COMO SUPERAR LAS MATEMATICAS DE 2 DE BUP

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TABLA TR IG O N O M ETRICA

Cosa Sen a Tan a (Tan tt) '1

Î. ..3 l

4°

X 1,00000000'"‘ 0,99984770

0,99 939 083 0,99862953 0,99756405

0,00000000 0,01745241 0,03489950 0,05233596 0,06975647

0,000000000,017455060,034920770,052407780,06992681

no existe 57,28996163 28,63625328 - 19,081 i 3669 14,30066626

9.0°. • 89°

88o87!86

?7°8°9°

0,996194700,994521900(992546150,990268070,98768834

0,087155740,104528460,121869340,139173100,15643447

0,087488660,105104240.122784560,140540830,15838444

11,430052309,514364458,144346437,115369726,31375151

85°84°83o8281°

10o11°12°» 114

0,984807750,981627180,978147600,974370060,97029573

0,173648180,190809000,207911690,224951050,24192190

0,176326980.194380310,212556560,230868190,24932800

5,671281825,144554024,704630114,331475874,01078093

80°7978°77°76°

15°' <1718°19°

0,965925830,961261700,956304760,951056520,94551858

0,258819050,275637360,292371700,309016990,32556815

0,267949190,286745390,305730680,324919700,34432761

3,732050813,487414443,270852623,077683542,90421088

75°74°73°72°71°

20°21°22°23°24°

0,939692620,933580430,927183850,920504850,91354546

0,342020140,358367950,374606590,390731130,40673664

0,363970230,383864040,404026230,424474820,44522869

2,747477422,605089062,475086852,355852372,24603677

70°69°68°67°66°

25° 26° 271K29

0,906307790,¿987940S0,891006520,882947590,87461971

0,422618260,438371150,453990500,469471560,48480962

0,466307660,487732590,509525450,531709430,55430905

2,144506922,050303841,962610511,880726471,80404776

65°64°« :6261°

3 °:3C3233°34

0,866025400.8S7167300,848048100,838670570.82903757

0,500000000,515038070,529919260,544639040,55919290

0,577350270,600860620,624869350,649407590,67450852

1,732050811,664279481,600334531,539864961,48256097

60°59°S8o57!56°

K36°3738°39

0,819152040,809016990.798635S10,788010750,77714596

0,57357644 0,58778525 0,60181S02 0,61566148 0,62932039

0,700207540,726542530,753554050,781285630,80978403

1,428148011,376381921,327044821,279941631,23489716

55°* :53o525!°

4 ° :4142°,43"°

\44

0,76604444-'0,75470958

0,743144830,731353700,71933980

1 "0,64278761 0,65605903

■ 0,'66913061 0,68199836 0,69465837

0,839099630,869286740,900404040,932515090,96568877

1,191753591,150368411,110612511,072368711,03553031

50o49<

■:470460,70710678 0,70710678 1,00000000 l.iOOOOOOOO- 45°

. / Sen a ; " -■ Cosa (Tan a ) '1 T ana a

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PABLO TANIGUCHI DIETRICHC atedrático de M atem áticas

del I. B. «J. Maragall»

C O M O SUPERAR

LAS MATEMATICAS

DE 2° DE B. U. P.

B a rc e lo n a1988

EDUNSAEDICIONES Y DISTRIBUCIONES UNIVERSITARIAS, S.A. V iladom at, 247 249 08029 B arcelona

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© Pablo Taniguchi Edita:© EDUNSA

Ediciones y Distribuciones Universitarias. SV iladom at, 247 249 - 08029a BarcelonaI .S .B .N .: 84-85.257-17-0D e p ó s i to L e g a l B - 34.143-87D IA R T S , S . A.c/. Sant Jaume, 2008291 - R ip o lle t

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A m i /l i jo A k ir a

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PROLOGO

Esta o b ra , lo m ism o q u e su p redeceso ra , ha sido c o n ceb id a c o m o com ple- m en io de cu a lqu ier libro de tex to d e 2 ." de B .U .P Es asi q u e c ad a cap í tu lo presen ta , a d em ás de u n resum en teó r ico , u n a va r iada y c o m p le ta colecc ión d e ejercicios y p ro b le m as rcsuletos de fo rm a r a z o n a d a y, al final, u n a recopilac ión de ejercicios y p r o b lem as p ro p u e s to s p a ra q u e el a lu m n o po n g a en prác t ica las ideas a dqu ir idas . P o r consigu ien te , el l ib ro puede ser e m p le ad o p a ra recu p e ra r evaluac iones , p a ra o rg a n i za r t rab a jo s en g ru p o , p a ra p o ten c ia r la cap ac id ad de t r a b a jo de los a lu m n o s más a p ro v ec h ad o s y p a ra p re p a ra r exám enes libres o del Bachil le ra to a dis tanc ia . A fin de q u e se p uedan c o m p r o b a r los resu ltados , se incluye al final del libro un so luc ionarlo .

El g ra d o de d if icu l tad de los ejercicios y p ro b lem as está in d icad o del siguien- le m odo : Si el n ú m e ro del ejercicio o p ro b lem a lleva un asterisco, su d if icu l tad es supe r io r a la no rm al ; si lleva d o s asteriscos, su co m plicac ión es au n m ayor ; si no lleva

asteriscos, cua lqu ier a lu m n o ha de estar en condic iones de p o d e r resolverlo.

D eb ido a la g ran d i fus ión de las ca lcu ladoras e lec trón icas nos ha parec ido conven ien te re fe r i rnos a ellas en a lgunas ocasiones. Asi, en ciertos resúm enes te ó ricos y ejercicios de cálculo ap arecen m é to d o s y co n se jo s práct icos p a ra q u e los q u e p osean u n a c a lcu lad o ra de t ipo c ientíf ico o b ten g a n d e ella el m áx im o p rovecho.

V a n o s cap í tu los llevan al final un ap én d ice c o n ten ien d o p ro b lem as c u r io sos, ju eg o s con c a lcu lad o ra o u n a reseña h istórica . Se incluye u n a breve b iograf ía de! insigne m a te m á t ic o a lem án C a r lo s Federico G a u ss con m otivo del bicentena- n o de su nac im ien to .

£7 autor

Barcelona, diciembre de 1977

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PROLOGO DE LA SEGUNDA EDICION

Esta segunda ed ic ión , c o m p le ta m e n te rev isada , p re sen ta pocas variaciones respecto de la p r im era . La tab la t r ig o n o m é tr ica ha s ido t ra s la d ad a al d o r so de la c u bierta con el fin de facili tar su localización, y en su lugar hem os crc-ido conven ien te in se r ta r u n a breve “ H is to r ia de la t r ig o n o m e tr ía ” . A s im ism o , nos ha pa rec ido o p o r tu n o incluir en el d o rso de la co n tra cu b ie r ta u n a tab la de lo g ar i tm o s de c u a t ro c ifras decimales, con in s trucc iones p a ra su m an e jo . T a m b ién se h a inc lu ido un d iag ra m a es t ruc tu ral q u e m u es tra posibles a l te rna t ivas c o n respec to al o rd e n en q u e se p u e d en e s tud ia r los capítulos,

En cu an to a los tem as t r a ta d o s , so b re to d o los q u e tam b ién ap arecen en el cuest ionar io de 3.* de B .U .P . , c abe adver t ir q u e h an s ido d e sa rro l lad o s en p r o fu n d id a d p a ra po d e r asi p re sen ta r un a m p l io a b an ico de posib i lidades a qu ien los a b o rd e El c ap i tu lo re la tivo a vectores ha sido c o lo c ad o d e l ib e ra d a m e n te al final, d e b id o a que en los ú l t im os meses del curso el a lu m n o ya tiene cierta experiencia en el m a n e jo de los vectores de la Física.

P o r ú l t im o , qu is iera su b san a r u n a lam en tab le o m is ió n en el p ró logo an te r io r , cual es expresa r mi s incero ag radec im ien to a la a rq u i tec to M a r ia G isper t p o r las e s tu pen d as i lustraciones, a los profesores de la Facu ltad de In fo rm á t ic a de la U nivers idad A u tó n o m a de B arce lona , señores J u a n Jo sé Villanueva, Jo rd i Agüitó y F rancesc Fabre- gat p o r su des in te resada a y u d a , y a mi a d o r a d a esposa , M a r in a Fa ixó i P a ra ro ls , por su c o n s tan te a p o y o e ines tim able co la b o rac ió n en el m e c a n o g ra f ia d o y la redacción de este t ra b a jo

&

El autor

Barcelona, Febrero 1981

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I N D I C E

I RECTA R EA LResumen te ó ric o ................................................. 9Ejercicios y problem as resueltos . . . 13Ejercicios y problem as p ro p u e s to s ................................ 17Apéndice Juega al nim con tu calculadora. . . . . . 18

II PLANO CA RTESIA NOResumen te ó ric o ...................... 19Ejercicios y problem as resueltos .......................... 24Ejercicios y problem as p ro p u e s to s ....................... 31A péndice: El principe de los m atem áticos . . 34

III FU N C IO N ESResumen te ó ric o ......................... 35Ejercicios y problem as resueltos ............................... 44Ejercicios y problem as p ro p u e s to s ................. , 5 4Apéndice Cuenta atrás............................ . 5 8

IV IN V ERSA DE UNA FUNCIONResumen te ó r ic o . .................................................. . 59Ejercicios y problem as resueltos . . 66Ejercicios y problem as propuestos ................. , 72Apéndice; Una compradora caprichosa . . . 74

V RAZO NES TRIG O N O M ETRICA S DE ANGULOS AGUDOSResumen te ó ric o ............................................ . . . 75Ejercicios y problem as resueltos .................... 80Ejercicios y problem as p ro p u e s to s . . 88Apéndice : Historia de la trigonometría ............ 92

VI RAZONES TRIGON OM ETRICA S DE ANGULOS ORIENTADOSResumen te ó r ic o .................... 93Ejercicios y problem as resueltos ........... , . . 104Ejercicios y problem as propuestos . . . 1 1 7Apéndice. Paradoja logarítmica ................. . 1 2 0

V II FUNCION ES TRIG ON OM ETRICA Ss

Resumen teó rico , , , .................... 121Ejercicios y problem as resueltos. ....................... 132Ejercicios y problem as p r o p u e s to s ......................... . 1 5 1Apéndice: M atem agia ......................................................... 154

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P. TANlGUCHi

V III S U C E S IO N E S

Resumen te ó ric o .................................................................................................. 155Ejercicios y problem as resuellos .....................................................................161Ejercicios y problem as p ro p u e s to s .......................... .................................. 170Tabla de l ím ite s . ............................................................................. ................. . 1 7 4

IX L IM IT E S F U N C IO N A L E S

Resumen teórico ................................................................................... .. • 175Ejercicios y problemas resueltos . . ...................................................... 178Ejercicios y problemas p ro p u e s to s ................. ............................................. 187

X F U N C IO N E S C O N T IN U A S

Resumen teórico . . . . . . ........................................................ ....................... 191Ejercicios y problem as resueltos........................................................................193Ejercicios y problem as p ro p u e s to s ..................................... ........... .. . . 199

X I F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S Y L O G A R IT M IC A S

Resumen te ó ric o 201Ejercicios y problem as resue lto s...........................................................................207Ejercicios y problem as p r o p u e s to s ............................... 213

X II D E R IV A C IO N

Resumen te ó r ic o ................. ................................................... ....................... 215Ejercicios y problem as resu e lto s ................................................. 217Ejercicios y problem as p ro p u e s to s ................................................................ 223Apéndice - C riptuaritm ética ........................................ 226

X III IN T E G R A C IO N

Resumen te ó ric o .......................... ............................................................... 227Ejercicios y problem as resueltos. 229Ejercicios y problem as propuestos ....................... 232Apéndice I I a del descubrimien to del calculo infinitesim al.......................... 234

X IV V E C T O R E S

Resumen teórico......................................... ....................................................235Ejercicios y problem as resue ltos............................................................... 241Ejercicios y problem as propuestos .......................... 248

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS .................................. 253

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I Recta real#■

R E SU M EN T E O R IC O

1. Números reales. Recta real.

El conjunto de todos los números decimales es el conjunto R de los números reales.

Por ejemplo,

3 2 /3 = 0,666...

- 2 .5 “ jt = 3 ,1 4 1 5 \ / —)> — —1,245 .

son ntimeros reales.

[.os números reales se representan como puncos de una recta graduada llamada recta real.

- 2 5 V T 2 /3 V T rr

■ 1 . 1 ■ t . .1- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Todo número real se representa como un único punto de la recta real y recíprocamente, todo punto de la recta real representa un único número real Por este motivo se suele decir, cometiendo un abuso del lenguaje, cjue los puntos de la recta real son números reales, e incluso, para representar la recta real se utiliza el símbolo R.

2. V alo r absoluto.

El valor absoluto de un número real x, se representa por | x | y se define así.

i i í x si x ^ 0W ~ \ _x S1 x < 0

Por ejemplo, | 2 1 = 2| - 2 j = - ( - 2 ) = 2

10 1 = 0

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10 P TANIGUCHI

Propiedades:

1.a Un número y su opuesta tienen el mismo valor absoluto:

| * | = \ ~ x \

2.a El único número real que tiene valor absoluto igual a cero es el propio cero:

|x | = 0 <=> * = 0

3 3 El valor absoluto del producto de dos números reales es igual al producto desus valores absolutos;

M = W - b l4 3 El valor absoluto del cociente de dos números reales (con divisor 0) es

igual al cociente de sus valores absolutos

*

jy b l5 a El valor absoluto de la suma de dos números reales es que la suma de sus

valores absolutos

\ x + j r | < | x | + b |

Por ejemplo: |3 + 2 | = | 3 | + | 2 | pero | 3 + (—2) | < j 3 1 + 1 —2 1 -

6 .a El valor absoluto de la diferencia de dos números reales es ^ que la diferencia de sus valores absolutos:

\x - y \ > \ x \ - h \Por ejemplo: | 3 — 2 ] = ) 3 1 — j 2 1 pero | 3 — (—2)| > | 3 1 — j — 2 1

3, Distancia entre dos puntos de la recta real.

La distancia entre dos puntos a y b de la recta real viene dada por el valor absoluto de su diferencia'.

dist. (a, b) = \a — b\

Por ejemplo, dist. (6, 4) = | 6 — 4 1 = 2dist (2, 3) = | 2 — 3 | = 1

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RECTA R E A L

Propiedades:

1.a La distancia que hay entre a y b, coincide con la que hay entre b y a.

dist. (a, b) = dist. ( a)

2 a La distancia entre dos puntos es cero si, y sólo si, dichos puntos coinciden:

dist. (a, b) = 0 <=> a = b

3 a Dados tres puntos a,b, c de la recta real, la distancia entre los puntos a y ces que la suma de las distancias entre a y b y entre b y c •

dist. (a , c) ^ dist. (a , b) + dist. {b% c)

(Se suele Llamar a esta propiedad, propiedad triangular de la distancia.)

Por ejemplo, dist. (3, 5) = dist (3, 4) + dist. (4, 5), pero,dist (1, 3) < dist. ( 1 .4 ) + dist (4, 3)

, dO .3)! d (3, 5 ) ^ , d (1 .4 ) ____ __

, d (3 ,4 ) , d(A. 5> ¡ , d{4,3)

4. Intervalos.

Un intervalo de extremos a y siendo a < b, cs un segmento de La recta real, que tiene por extremos dichos puntos. Hay cuatro clases de intervalo'

l.° Intervalo cerrado: si contiene sus extremos. Se representa por: [a, b\

2 ° Intervalo abierto ■ si no contiene a ninguno de sus extremos. Se representa po r: } a j [

\a. b[ = {.v £ R / a < x < b)

3 ° Intervalo semtcerrado por la izquierda (o semtcerrado) si sólo contiene a su extremo inferior (el de la izquierda) Se representa por \a,b\

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12 P. TANIGUCHI

c T ^ U,b[ = { x € ' R / < b \

4.° Intervalo semiabierto por la ixguterda (o ¡emiabierto): si sólo contiene a su extremo superior (el de la derecha) Se representa por: ]a< b]

^ \a, b\ = \x € R / a < * íCJ b)

Observaciones;

a) Para expresar que un extremo pertenece al intervalo se escribe, en el símbolo que lo representa, un corchete hacia adentro. Si el extremo no pertenece al intervalo se escribe un corchete hacia afuera.

b) Por ejemplo, la expresión { x £ R / a ^ . x < b) define el conjunto formado por todos ios números reales comprendidos entre a y b, incluido a (por eso aparece ei símbolo <1} pero excluido b (por eso aparece el símbolo <).

La longitud de un intervalo es la distancia entre sus extremos. Por ejemplo, la longitud del intervalo cerrado (3, 51 es dist. í 3, 5) = 2. v la ionmtud del intervalo abierto 1—2, 1[ es dist. (—2, 1 )= 3.

- 2 - 1 0 1 2 3 4 5

El punto medio de un intervalo de extremos a y b es el punto que equidista de a y b (dista de a lo mismo que de b)\ su valor es la semisuma de los extremos: {a + b)/2 Por ejemplo, el punto medio de [3, 5] es 4 y el de 1—2, 1 f es —0,5

5, Semirrectas.

Dado un número real a, hay cuatro clases de semirrecta de extremo a:

1,° Semirrecta derecha y cenada: [a, + co[ = j x € R ! x ^ a \

a

2 " Semirrecta derecha y abierta: \a, + oo[ = jx€ : R / x > a\

a

3 ° Semirrecta itguierda y cerrada: 1 — co, a] = {.y £ R / x < a)

a

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4 ” Semirrecta ¡iguiercla y abierta: ]— oo, a[ — |.v £ R /.v < a\

Rf OTA RE A l n

Ejercicios y problemas resueltos

1 Expresa el conjunto A = R — {1, 2} como unión del menor número posible de intervalos y semirrectas.

Polución

Dibujemos el conjunto A :

1 2

Se observa que; A — ]—oo, !( U J 1, 2[ U ]2„+oo(.

^ Expresa el conjunto A — R — [1, 2[ como unión de dos semirrectas.

Solución

Dibujemos el conjunto A :

1 2

Se observa que: A = ] — oo, 1[ U 12, +oo[.

^ Considera los siguientes intervalos;

A = [ - 1 ,2 ] C = [3, 5[B = [1, 3[ D = ] 4 ,6]

Halla los conjuntos:

AU B A U DA f lB C f l DB U C C - DB f lC A u B u C ü D

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14 P T A N lG U C m

Solución

Dibujemos A . B, C y D

-1 0 1 2 3—-- —----•—

4 5«--•

6

B

-1 0 1 2 3 4 5 6

C

-1 0 1 2 3 4 5 6

D

-1 0 1 2 3 4 5 6Se observa que

A U 13 = 1-1. 3( C 0 D - - [3.6]A n B = [ 1, 21 c n o = 34, 5[B U C = [1, J[ C - D == 13.4]B n c = <|) A\ J B \ J C \ J D = [ ~ \ .61

Considera los siguientes conjuntos:

A = [ - 2 , 0] B = l—oo, —1[ C = í— 1,

Hallar los conjuntos:

a n b A n c b n cAU B AU C B U CA - B A - C B - CB - A C - A C - B

Solución

Dibujemos A , B y CA

-4 *3 -2 -1 0 1 2 3 4

0^ *---- —*-— • ——•------ •-- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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R tC 'TA R L A L 15

Se observa que:

A r \ B = l - 2 , - l [ A — B = [—1,0]^ u S = )~oo,0) B — A — ]—oc, —2[^ n c = [ - i , o ] A - C = l - 2 , - 1 1A U C — l—2, +oo[ C — A = ]0, +■ oo(

n C = 4> B — C = BB U C = R C — B = C

5 Dibuja el conjunto A = \x £ R / ¡ x — 1 |^ 2 } , ¿Qué clase de intervalo es?

Solución

La expresión |x — 1 2 significa '"la distancia de x a 1 es menor o igual que 2". Los puntos más alejados de 1 que venlican esta condición son precisamente los que distan 2 de 1, es decir 3 v ~ L

- 2 - 1 0 1 2 3 A

Por tanto, el conjunto A es el intervalo cerrado [—1, 3]

Se puede llegar a esta misma conclusión mediante manipulaciones algebraicas de la expresión jar — 1 2:

|x — 1 1 < 2 <=> —2 < x — 1 < 2 <=> (—2) + 1 < (* — 1) + i < 2 + 1 <=> -1 < 3

Luego, A = lar 6 R i H1 x 3| = [— 1, 3]

f Demuestra las propiedades de la distancia en la recta reai

1 a dist. (a, b) — dist. (b, a)2.a dist. (a, b) = 0 <=> a = b3.a dist. {a, b) <. dist. (a, b) + dist (b, c)

Solución

<: .las propiedades son consecuencia de las p ro p iu u d e s del 1 uoi absoluto

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16 P. TANIGUCHI

1 1 dist. {a, b) — d ist (¿, a)En efecto,

d ist (tf. b) = \a — b\ y dist. (b, d) = | b — a \

P ero, com o a — b — — {b — a), en v irtud de la prim era p rop iedad del valorabsoluto se tiene que | a — b\ = | b — a | , lo cual dem uestra la p rop iedad

2 ■' dist (a, b) = 0 <=> a = bEn efecto, d ist (a, b) = 0 <=> | a — b \ = 0Pero, en v irtud de la segunda p rop iedad del valor absoluto se tiene

| a — b \ = 0 <=> a — b = 0 <=> a = b

lo cual dem uestra la p rop iedad

3 a dist (a, () d ist {a , b) + dist. ib, í)En efecto,

dist (a, < ) = \a — c |

d ist [a, b) — \a — b\

dist. (b , r ) = |¿ — r¡

H ab rá que dem ostrar, pues, que

\a — c| — b \ + ¡ b — c\

o lo que es lo mismo:

\a — b\ + | h — c | ~^\a — c¡

Pero, en v irtud de la qu in ta p rop iedad del valor absoluto, que puede escribirse asi | v | + |jy | | x + j y | , tenem os

| a — b ¡ + \b — c \ '^ \ { a — b) + (b — r) | = | a — c \

con lo cual queda d em ostrada la p rop iedad

7 Expresa R — N como unión del menor numero posible de intervalos y semirrectas N es el conjunto de los números naturales:

N = jO, 1 ,2 ,

Solucióna

Dibujemos el conjunto R — N

0 1 2 3 6

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RLCTA REAL 17

se observa que:

R — N = ] —co , 0( U ( U ] » .» + 10

Ejercicios y problemas propuestos

3. Expresa los siguientes conjuntos como unión del menor número posible de intervalos y semirrectas:

4 Sean. H = ] - 3 , - I ] , £ - [ - 2 , 0 ] , C = J - 1 , 2 | y D = | l , . 3 ] Halla los conjuntos:

a) A (J B, A fl B, A — B y B — A ¡)) 4 u C y A [ ] Cc) ^ U B U C U Dd) (y4 u B) n ce) (B \J C ) — D

5 Resuelve el ejercicio anterior pero para: A = ) — oo, 4], B — (—2, + oo[., C = ]— o o ,—1[ y D = j l , + o o [

1 Dibuja los siguientes intervalos, e índica de qué tipo son

a) 1 -1 .3 J c) 10, 2,51b) ]0,5, 31 d) 1 - 3 , - 1 ,5 ]

2 Dibuja las siguientes semirrectas e indica de qué tipo son

a) ] —oo, 2] c) [3 ,2 , +oc[b) ] —2 , +ooí d) J—oo, — 3{

A = R — { - 3 , - 2 , - 1 ,0 } B = R — ]2, 31 C = R — 1—1, 2j D - R - j O , 1,5 f

E = Rs— |0 , +ooiF = R — j—co, — 1 íG' = R - ( [ - [ , 0] U 12, 4[)H — R — {] — oo, — 1 [ U [ 1, + oof)

1 = R - ({0, I, 2} U 13, 4] U 15, 6[ U 17, + oo |)

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J8 P TAÑI CUCHI

6 Resuelve el ejercicio 4, pero para: A = l— 1, 2], B = } — 1, 2[,C = [0 ,+ o o [ y D = ]— oo» 0[

7 Dibuja los siguientes conjuntos y, caso de hallar un intervalo, indica de qué upo es

A = { * € R / |* l < 1} C = U € R / | x | > 1}B = Ú £ R / ¡x| < 1} D = U € R / j je| > 1}

8 Dibuja los siguientes conjuntos y, en caso de hallar un intervalo, indica de qué tipo es*

A = { x € R / |jc — 2 1< 3} C = { v € R / \ x - l \ ' ¿ 3}B = {.v€ R i \ x + l j < 0.5 j D — {* £ R / \ x + 11 > 0,51

9 Expresa los siguientes conjuntos como unión del menor número posible de intervalos y semirrectas

a) R — Z, donde Z es el conjunto de los números enteros 2 — {0, ± I, ± 2 , ± 3 , . }

b) R — A , donde A es el conjunto de los números impares negativos

— — * * * -----------------------------------------------

JU EG A A L NIM C O N TU C A LCU LA D O R A

Juegan 2 personas. Se po n e a cero !a ca lcu lado ra y se va sum ando p o r tu rn o s 1, 2 ó 3 E l prim ero que haga 21 o m ás ,p ie rd e . Por ejem plo , A kira inicia e lju e g o en tran d o 2 en la pan ta lla A con tinuación Zaida sum a 3 en la pan ta lla se lee 5 V asi sucesivam ente (la secuencia de tod as las jugadas aparece en el esquem a de abajo) van jugando hasta que A kira llega a 20 . en tonces Zaida ha de sum ar 1, 2 ó 3, to ta lizan d o 21 o m ás con lo cual pierde

Akira | ' 2 i 3 1 1 -N

Zaida 2 o 3 3 1

Pantalla ¡ íl | 2 5 j , s 11 14 1 5 ‘L . . J 20 L 2.í ._

1 l jueg o se puede com plicar un poco si se perm ite sum ar 1. 2. 3. 4 5 ó 6 y p ierde quien t o talice SO o mas Para cada una de las dos m odalidades exp u estas ex isten e s tra teg n « óp tim as para ganar, siem pre que se ac tué en segundo lugar . Sabrías en coi n ra r la s= ' S o | ii._ g m en la pag 33)

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II Plano cartesianoR E SU M E N T E O R IC O

1 Elementos que intervienen en un plano cartesiano.

El plano cartesiano es el conjunto formado por todos los pares ordenados de números reales. Por tal motivo, dicho plano cartesiano se representa por el símbolo R x R, o por su equivalente R2

R 2 = { ( jc , j y ) /x , j6 R Í

2. Distancia entre dos puntos de plano cartesiano.

Sean {xi ,y2) ^ os puntos del piano cartesiano Su distancia viene dadapor la expresión:

dist. (x2, j 2)l = y / ( x 1 - x 2)2 + (ji, - y 2)

Por ejemplo, la discancia entre los puntos (6, 5) y (3, 1) es:

\ / ( 6 - 3)2 + (5 - I f = \ / 9 + 16 — 5

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: u P TAN1GUCIII

Para hall; tr con una calculadora d valor de una expresión de la forma \/ 'a 2 + b1, por qcniplo y 5 + ^ 2- st ha proceder así

a) Se in troduce 5 en la pantalla v se pulsa la tecla x^_ , o bien 1 F ] | .y | . segúnel modelo En la pantalla ha de aparecer el valor de 52. es decir. 2 5

b) Se pulsa la teda f+ j

c| Se introduce 12 en la pantalla y se pulsa la tecla x 2 , o bien, f~F] [ar2| En la pantalla ha de aparecer, el valor de 122, es decir. 144

d) Se pulsa la tecla | = | En la pantalla ha de aparecer el valor de 25 + 144, es decir, 169

e| Se pulsa la tecla de aparecer el va

V x j . o bien, jF || y £ | . según el modelo. En la pantalla haor de \ / I 6 9 , es decir, 15

3. Rectas.

Una recta del plano puede ser vertical, horizontal u oblicua

Las rectas verticales tienen una ecuación de la forma

X — i

ya que todos sus puntos tienen la misma abscisa c. Análogamente, las rectas bort- \on tales tienen una ecuación de la forma:

y = i>

pues codos sus puntos tienen la misma ordenada b

y*b.......... tí

X

Las rectas oblicuas tienen una ecuación de la forma

y = ax + b [a d= 0)

El numero a recibe el nombre de pendiente de la recta Si a > 0 la recta, vista de izquierda a derecha es ascendente; si a < 0, la recta es descendente Las rectas

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PLAN O C A R T ESIA N O 2!

horizontales tienen pendiente nula; las rectas verticales carecen de pendiente. (Para más información sobre la pendiente, véase el aparato 12 del resumen teórico del capítulo VI). Se demuestra que dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, tienen la misma pendiente.

4. Ecuaciones no uniformes de una misma recta.

Las ecuaciones de la forma:

x = c (recta vertical)y = b (recta horizontal)y = ax + b (recta oblicua)

reciben el nombre de ecuaciones uniformes, porque toda recta del plano cartesiano tiene una única ecuación de esta forma.

Pero, una recta no tiene por qué ser cxpiesada por una ecuación uniforme. Así, el conjunto de los números reales que satisface una igualdad de la forma:

px + qy = r

donde p y q no son simultáneamente nulos, es una recta. Dicha igualdad recibe elnombre de ecuación no uniforme de la citada recta.

Por ejemplo x + 2y = 1 es una ecuación no uniforme de la recta de !a figura:

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P TANlCUCil!

Pero, .v + 2 j ~ \ no es la untca ecuación no uniforme de esta recta. Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por una constante no nula, por ejemplo 2, obtenemos otra ecuación no umlorme de la misma recta Zx + 4y = 2

5 Ecuación de una recta conocidos un punto y la pendiente.

La recta cjue pasa por el punto fx j .j j) y que tiene pendiente a, tiene por ecuación

y -.>! := a (x - *i)o equivalentemente

y = a x + (y , — «su y)

(Véase e! qcrcicio resuelto n ° 3 }

6 Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos.

Consideremos la recta determinada por dos puntos: (xy.^j), {xj.yi) Se presentan tres posibilidades

a) a , = x2

En este caso la recta es vertical y su ecuación uniforme es x = c dondec — x t =

b) y 1En este caso la recta es horizontal v su ecuación uniforme es: y = b, donde

h = .y i = ^ 2

i

h

-y1Xnni

c X

a

i

b,

'1

t y -b■ « ■ 1i i

X, X2 X

c ) Aj Jt2, J j =¿= y 2

En este caso, la recta es oblicua y su ecuación es de cualquiera de las siguientes íorm as, equivalentes en tre si

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PLANO C ART LSI ANO

{y ~ y ¡ ) f o - x i) = (j'7 ~ y ¡ ) (* ->2 - Q i

J - J i ar2(j c - A ' i )

ar2 - -V,>2 - Q l-*7. 1 r')

^ = 2 l - Z íJíj Jr.

La pendiente de la recta es

(Véase el ejercicio resuelto n ° 5 )

7. Intersección de dos rectas.

Para hallar la intersección de dos rectas, basca resolver el sistema formado por las ecuaciones de dichas rectas' ( px + qy = r

l p"x + q y = r

Se presentan tres casos

a) El sistema tiene solución única Entonces las rectas se cortan en un punto (xo>Jo)- cuyas coordenadas son las soluciones del sistema x = x0, y = y a

b) E l sistem a carece de solución. E ntonces las rectas son paralelas

c) El sistema tiene infinitas soluciones Entonces ambas ecuaciones representan a la misma recta, es decir, las rectas son coïncidentes

(V éanse los ejercicios resueltos núm eros 6 , 7 y 8 .)

8. Circunferencias.

U na circunferencia de cen tro (a, b) y rad io r (r > 0 ) es el conjun to form ado por los puntos de R 2 cuya distancia al punto (a, t>) es r

a >x

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Su ecuación es. (x — a)2 + (y — b)2 = r2. (Véase el ejercicio resuello n." 9 )


1 Hallar la distancia que hay entre los puntos (4, 7) y (—2, — 1). Comprueba el resultado mediante un dibujo.

Solución

La distancia ped ida es

V' [4 — (—2)j2 + [7 — (— 1}P = v ' 6 2 + 82 « v ^ Ó ü = 10

Para comprobar este resultado dibujemos los puntos (4, 7) y (—2, — 1) en un plano cartesiano tomando 1 cm como unidad en sus ejes.

Usando una regla graduada se verifica el resultado.

_ Halla la ecuación uniforme y la pendiente de la recta determinada por la ecuación:

l x + 2y = 4

Solución

Despejemos y de esta ecuación:

~ i x + 4 3x 4 3

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PLA N O C A R T E S IA N O 25

Luego, la ecuación uniforme es:

3 o

de donde se deduce que la pendiente vale.

L

3 Cuál es la ecuación uniforme de la recta que pasa por el punto (2, —3) y tiene pendiente 4.

Solución

Primer método

La ecuación de la recta es d t la forma:

y = 4x + b

pues, según los datos, la pendiente vale 4.

Para hallar ¿, bastará imponer que la recta pasa por (2, —3). es decir, que la ecuación de la recta se satisface para x = 2 e y = — 3

— 3 = 4-2 + b => ¿ = - 1 1

Luego la ecuación pedida es y — 4x — 1 i

Segundo método

Aplicando la fórmula del apartado 5 del resumen teórico

y ~ ax + ( >■, - ax¡)

para a = 4 y para ( v , . j ,) = (2 , — 31 resulta:

y = 4 x + [(—3) — 4 2} — 4 x — 11

(La ventaja del primer método radica en que no requiere memoraar la formula )

4 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (—1, 2) y es paralela a la recta que tiene por ecuación:y — —5* +• 1.

Solución

L.i pendiente de la recta que tiene por ecuación y — — 5* + 1 es — 5 Y como la recta pedida es paralela a ésta, ha de tener la misma pendiente —3 Luego

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P TAN!CUCHI

el problema se ¡educe a hallar la ecuación de la recta que pasa por ( — 1, 2) y tiene pendiente — 5

Procediendo como en el ejercicio anterior

y — — 5x + bZ = ( - ? ) . ( _ ! ) + b b — —3

La ecuación pedida es > = — 5x — 3

5 Hallar las respectivas ecuaciones de las rectas determinadas por los siguientes pares de puntos:

a) (1 .4 ) y ( 1 , - 3 ) .

b) (4, — 1) y (1 ,-1 ).c) (1 .2 ) y ( - 1 . - 4 ) .

Solución

a) (1 , 4 ) y ( L —3)

Estos dos puntos tienen la m ism a abscisa L uego , la recta d e term inada por ellos es vertical y su ecuación es x = 1

b) ( 4 , - 1 ) y ( 1 , - 1 )

Los dos puntos tienen la misma o rdenada P or tan to , la recta que pasa po r ellos es horizontal, y su ecuación es y =- — 1

iu

' i------ ,

0 1•y. “

-3

c) i l 2) y ( - 1 . - 4 )

Estos puntos tienen abscisas distintas y ordenadas asimismo distintas. Luego.

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PL A N O C A R T E S IA N O 21

la recta que pasa por ambos es oblicua; podemos hallar su ecuación de dos maneras.

Primer método aSea y — ax + b la ecuación de la recta Como pasa por (1, 2) y (— 1, —4) estos

puntos han de satisfacer su ecuación'

2 = a 1 + b —4 = a (—1) + b

Resulta, pues, un sistema de ecuaciones en las incógnitas a y b

r a + b = 2 l —a + b — —4

cuyas soluciones pueden haüarse con facilidad; a = 3, b = — I Luego, la ecuación pedida es y — 3x — 1

Segundo método

Aplicando la fórmula del apartado 6 del resumen teórico

para — {I, 2) y (x2, j 2) = (—1 ,—4) obtenemos

-4 —2 x +-1 -1y = Sx + (2 — 3 ) = 3x — I

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2« l> TANK.UCHI

(La ventaja del primer método sobre el segundo estriba en que no hace falta me- monzar ninguna fórmula.)

f Halla la intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:

i x + ly 5 ; 2x —y ~ 8

Solución

Si un punto (Jí\jy) pertenece a ambas rectas (es decir, si pertenece a su intersección), l " n r _s ha de satisfacer sus respectivas ecuaciones; y reciprocamente. Por tanto, l:i . resolver el sistema

i 3.v + 2y = 5\ I x —y == 8

Despejemos >• de la segunda ecuación.

y =• 2..v — 8

y sustituyamos el resultado en la primera:

3x + 2 (2* — 8) — 53.x + 4jc — 1 6 = 5I x = 2 i

21 ,, = — = ,

de donde resulta v = 2 3 — 8 = — 2

Como el sistema tiene solución umea x — 3, y = —2, las rectas se cortan en el punto que tiene estas coordenadas, es decir ( 3 , - 2 ) .

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•y Cuál es ia intersección de las rectas determinadas por las ecuaciones:

4x — 2y = 3 ; —6x + 5y = 9

:> oi1 icio

Todo punto de ía intersección ha de ser solución del sistema de ecuaciones

f 4a- - l y = 3

PLAN O C. A!< l'LSIANO :<

Resolvámoslo

4.v — 2 v = 3 => y — Ax — 3

-6x + — 9 => — 6x + 3 (

a , 12jc- 9 n- o x + = 9

■ 12x + 12x - 9

Lo absurdo de esta ultima expresión, demuestra que las rectas no se cortan {su intersección es vacía); luego, son paralelas

8 Halla la intersección de las rectas determinadas por las ecuaciones;

- 2 x + Í y = 6 ; 8x — 12y = —24

Solución

Bastará resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas

j —2x 1 8 * -

2x + 3>' = 6

Hagámoslo

-2x + 3 y = 6

12 y= - 2 4

2x + 6 3

8* — 12y = - 2 4 8* — 12 ( — y 6 ) -24

xT

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30 P. TAN1GUCHI

8 * - 4 (2* + 6 ) = -24 8jc — S x — 24 = —24

—24 = —24

Esta última igualdad nos indica que las dos ecuaciones reprtsentan a la misma recta (observa que multiplicando por —4 los dos miembros de la pttmera ecuación resulta la segunda ecuación); luego, las rectas son coïncidentes.

9 Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 y con centro en el punto(3, í )

Solución

Primer método

La circunferencia pedida está formada por los puntos cuya distancia a (3, 5) es 2. Sea uno de dichos puntos

dist [{x,j), (3, 5)] - 2

\ / ( * _ 3 ) + (.y — 5 )2 = 2

Finalmente, elevando ambos miembros al cuadrado queda;

Aplicando la fórmula del aparato 8 del resumen teórico:

\ x - a ) 2 + { y - b f ^ ¿

para (a,b) — (3, 5) y r = 2 , resulta

( * - 3 Í * + t r - J ) 2 - 2 a

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1 f v # Demuestra que x 2 + 2x + y 2 — 6y — 6 es la ecuación de una circunfe-X Ve renda. Halla su centro y su radio.

Solución

Si x 1 + 2x + y 2 — 6y = 6 es la ecuación de una circunferencia, entonces dicha ecuación proviene de una de la forma.

(ór — <sr)2 + (y — b)2 = r 2

la cual ha sido desarrollada y simplificada. Esto nos sugiere que reconstruyamos los pasos dados, desarrollando y simplificando la ecuación anterior, para luego comparar el resultado con la ecuación dada

(.x2 — 2ax + a2) + {y 2 — 2bx ■+ b2) -= r 2 X2 — l a x + y 2 — 2bx — r2 — a 2 — b2

C o m p aran d o esta ecuación con la dada resulta

—l a — 2 => a = — I- 2 b = - 6 -> b = 3

r2 — a2 — b2 = 6 => r 2 = 6 + 32 + (— l ) 2 = 16 — 42

Luego, efectivamente la ecuación dada representa una circunferencia. la que tiene radio 4 y centro en (—1, 3),

C om probación

Bastará desarrollar y simplificar la ecuación de la circunferencia de radio 4 ycentro en (—1, 3), y comprobar que el resultado coincide con la ecuación que aparece en el enunciado’

[* — (—l) ] 1 + (y — 3)2 = 42 (x + l )2 + {y - 3)2 = 42

ar2 + 2x + 1 +jy2 — 6y + 9 = 16 x 2 + 2x + > 2 — 6y — 6

PLANO CARTESIANO 31

Ejercicios y problemas propuestos1 Hallar la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos-

a) (3 ,5 ) y (7 ,2 ) d) (8, - 7 ) y (3 .5 )b ) ( 5 , - 2 ) y ( - 1 ,6 ) c) ( 3 , - 4 ) y ( - 2 , - 1 )c) ( - 4 ,3 ) y (0 ,0 ) f) ( 1 /3 , - 2 /3 ) y ( 5 /3 , - 5 /3 )

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32 V TAN1GUCHI

2 A qué clase de recta (vertical, horizontal u oblicua) pertenecen las siguientes ecuaciones

3. Dibuja las rectas indicadas en el ejercicio anterior, Halla las ecuaciones uniformes de las tres últimas

4 Los ejes de coordenadas son rectas Halla sus respectivas ecuaciones.

5 Una recta horizontal pasa por el punto (2, —3). ¿Cuál es su ecuación?

6 Una recta vertical pasa por el punto (—4, 3), ¿Cuál es su ecuación?

7 Halla la ecuación de una recta, sabiendo que pasa por el punto (—3, 5) y su pendiente es —2 /3

8 Una recta pasa por el punto ( 4 , - 2 ) y carece de pendiente ¿Cuál es su ecuación ?

9 Halla la ecuación de una recta sabiendo que pasa por el punto (—5, —2) y que es paralela a la recta que tiene por ecuación y = 3

10 ¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a la que tiene por ecuación x = —2y que pasa por el punto (3, 4)?

1 I Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (—2, 0) y que esparalela a la recta de ecuación y = 5x + 4

1 2 La ecuación de una recta es i x — 2y = 4 Halla la ecuación de la paralela que pasa por el punto (—1, 5)

1 3 Una recta pasa por los puntos (3, 5) y (2, 5) ¿Cuál es su ecuación?

14 Sabiendo que los puntos (—-1. —6) y (—1, 3) pertenecen a una recta, hallala ecuación de ésta

1 5 Halla la ecuación de la recta que pasa por leas puntos (2 . 0 ) y (0,2)

16 Encuentra la ecuación de la recta determinada por los puntos (2, 3) y

I 7 Halla la intersección de ios siguientes pares de rectas definidas por sus ecuaciones

a) y ~ — 3 d) + 2y = 1b) y = — 3x e) 2x — 6 = 0c) v = — 3 f) 12 + 3j = 0

( - 1 . 0 )

a) v = - 2 , > - 1b) y — —2 , y = — 2.Yc) v ■= —2 , y = — 2..v

d ) x = —2 , x — 3e) y = —2 ; y = 4

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PLAN O CA R TESIA N O 33

18. Cuál es la intersección de las rectas cuyas respectivas ecuaciones son: y =■ 3.v —4, y = —2x -+- 11.

19. Encuentra la intersección de las rectas definidas por:2x + 6y = 5, i x + 9y = 6.

20. Halla la intersección de las rectas determinadas por: 9 x — 1 2 j= 1 5 , — 12ar+ 1 6 j ~ —20.

21. Las ecuaciones de dos rectas son, respectivamente: 4v — 3j = 6,5x + 4y — 8. Hallar su intersección.

22. Una recta pasa por los puntos (2, —3) y (4, 6), y otra, pasa por los puntos ( 3 ,—5) y ( - 2 , - 4 ) . Halla su intersección.

23. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r, en los siguientes casos:

a) C = (0 ,0 ) y r = l . c) C = ( - 2 ,5 ) y r = 2b) C = (5 ,7 ) y r = 3. d ) C = ( 3 , - 4 ) y r = ^ 2 .

24 Halla el centro y el radio de cada una de las circunferencias definidas por las siguientes ecuaciones:

' a) (x — 3}2 + (_> — 5)2 — 16 c) (* + 2)2 + / = 1/9b ) x 7 + y i = l d) ( * - l /2 ) i + (jy+ l /3 )2 = 3

2 5. Una circunferencia con centro en (—3, 0) es tangente al eje de las ordenadas. Halla su ecuación.

26* Demuestra que la ecuación x 7 — 10.v + y 1 +■ 8 j = 59 representa una circunferencia. Halla el centro y el radio de la misma

27. Halla la intersección de la recta y = — x + 2 con la circunferencia que tiene por ecuación: x 7 + y 1 = 27.

28. Halla )a intersección de la recta que pasa por los puntos (—3, —2) y (1, 4),con la circunferencia con tentro en ( 2 , - 1 ) y radio 7

29* Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (—4, 7),H . 6 ) y (1,2) .

* * * ------------------------------------------------------

(V iene de la pág. i 3).Prim era m odalidad Sum ar cada vez 4 -x, siendo x el n úm ero q u e h a p u es to el prim er jugador. Segunda m odalidav Sum ar cada vez 7 - x .

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H PRIM 11*K i>K ! OS MATEMATICOS

Se m e n u que en cierta o p o rtu n id ad el exp lorador y científico alem án barón de Muin l'Oldi, p regunto al mal em atico trances 1 aplace ¿Q uién es el m atem ático m ás g rande de A lem a m a ’" , ‘T f a f f , respondió I ap lace " P e ro , ,,y G auss'*" replicó H um bold t "B u en o —contestó I a p la te — G auss es el m atem atico m ás g rande del m u n d o ” , E sta anécdo ta ofrece u n a perspectiva adecuada para evocar la personalidad y la obra de C arlos Federico G auss, que fue llam ado Prtn cipe de los M atem áticos El nom bre de G auss es constan te en el cam ino de ascenso de las M ate m ancas, la Fisica y la A stronom ía; m ás de un h isto riad o r científico ha s ituado a G auss en el mism o plano de A rquim edes y Newton

H ijo de padres pobres. G auss nació en una m iserable cabañ a de B runsvic, A lem ania, el 30 de abril de 1771 Su padre tra b a ja b a com o ja rd in e ro , b a rq u e ro de cana) y a lab añ il, era ju sto y escrupulosam ente honesto , pero rudo y a veces b ru ta l, e hizo to d o lo que estaba de su m ano para fru s tra r a su h ijo y privarle de ad qu irir una educación adecuada a sus facultades 1 uc- sola m ente por una serie de1 felices coincidencias que G auss se libró de convertirse en ja rd in e ro o al bañil Por lo que respecta a su m adre, G auss fue verdaderam ente a fo rtu n ad o , de tuerte carácter y aguda inteligencia, se puso de parte de su h ijo y se opuso a la obstinada lucha de su m an d o por m antenerlo tan ignoran te com o él m ism o l a ascendencia del gem o de G auss se evidencia en su lio Friedrich Benz, herm ano de su m adre, condenado p o r necesidad económ ica al o ficio de lejedor, a rie que llego a dom inar to talm ente, fue un hom bre genial, a ltam ente inteligente cuya m ente aguda e inquieta se desarro lló por si m ism a en cam pos muy alejados de sus m edios subsis tenciales. y ayudo m ucho a su sobrino

Poco después de haber cum plido los siete años. G auss ingresó en su prim era escuela, una reliquia de la Edad M edia, regen tada por un lai B ütiner cuya pedagogia consistía en sacudir a los niños hasta llevarlos a un estado de a te rro rizad a estupidez A los diez años G auss fue adm itido en la clase de aritm etica C om o era la p rim era clase, ningún m uchacho había o ído nunca nada sobre progresiones aritm éticas A H uitner se le o cu rrió la "b r i l la rn e " idea de p roponerles el siguiente roblem a "C alcu la r la suina 81297 + 81495 + 81693 t y asi sucesivam ente, hasta llegar a 100899" (es decir, sum ar los 100 prim eros térm inos de una p rogresión a ritm é tica) A penas el pro fesor había acabado de enunciar el p rob lem a, cu ando G auss había dad o ya con la respuesta correcta y nadie le había enseñado el truco E llo im presionó tan to a B ilttner que se redim ió ráp idam ente Pagó de su bolsillo el m ejor texto asequible de M atem áticas y lo obsequió a G auss B ütlner, p o r si solo, p robab lem ente no hub iera podido hacer m ucho p o r el joven genio Pero, por una feliz coincidencia, el m aestro de escuela tenia un ayudan te , Ju a n M artin BarteLs (1169-1836), un joven apasionado por las M atem áticas Bartels conocía algunos hom bres influ yentes que llevaron a G auss a presencia de! d u que de Brunvisc, e! cual, cau tivado p o r la sencillez y la m odestia del joven genio , se com prom etió a costear sus estudios. A sí, gracias a un cu m ulo de a fo rtu n ad as casualidades. G auss pud o iniciar su b rillan te carrera

No había cum plido G auss los 22 años y ya había escrito una ob ra fundam ental en el estudio de los núm eros "D isqu isiciones A ritm é tica s" , y realizado im portan tes trabajos de m a tem ática pura P ero , no sólo fue un excelente teórico sino tam bién un hábil y paciente calculista A partándose de las tab las y d a to s publicados por los dem ás as tró n o m o s, calculó la Orbita de Ceros, el prim er astero ide descub ierto por Jo sé Piazzi en P ale rm o , el I ° de enero de 1801, ello le vahó el nom bram ien to de d irecto r del observatorio de la U niversidad de G o ttm ga Dos años más tard e publicó su "T e o ría del M ovim iento de los C uerpos C e le stes" , o b ra que encauzó por nuevos rum bos a la A stronom ía. A sociado con el científico G uillerm o W eber fundo en G om nga el prim er lab o ra to rio de m agnetism o del m undo Allí sentó las bases de la teoría m atem ática del elecirom agnensm o, fo rm uló las leyes del m agnetism o terrestre , inventó el magne- lóm eiro b ifilar, el telégrafo m agnético y el heliógrafo P ero si en A ritm ética, A stronom ia y Física G auss llevaba la de lan te ra , no quedó a trás tam p o co en A lgebra y G eom etría F u e el prim ero en dem ostrar que to d o po linom io con coeficientes com plejos tiene todas sus raíces com plejas, resu ltado que se conoce com o " teo rem a fundam enta l del á lg e b ra " Realizó avances sobre la geom etría de E u tlides, estancada desde hacia dos mil año s , y es muy posible que influyera so bre su am igo W olfang Bolyai en el descubrim iem o de las geom etrías no euclideas En geome tria diferencial (cálculo infinitesim al ap licado a la geom etría) hizo im portan tís im os descubrí m ientos, sobre lodo en lo relativo a la m edida de la cu rvatu ra de las curvas, en tre los que deslaca su fam oso " teo rem a egregio".»E n el cam po de la estadística m atem ática desarro lló la teoría de los erro res y construyó su célebre " c a m p a n a " , curva de la d istribución norm al

E! legado científico de G auss es ab u n d an te y riquísim o; de él só lo hem os p o d id o hacer unas simples pinceladas. Sólo nos queda añ ad ir que esla b reve evocación de la fig u ra y la obra de G auss, fallecido en G o td n g a el 23 de febrero de J855, no d e ja dudas sob re la afirm ación hecha ñor Laplace a H um bold t el m atem ático m ás grande del m undo

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III FundonesR E SU M E N T E O R IC O

I . Correspondencias.

Sean A y B dos conjuntos que llamaremos conjunto ¡ma al y mu ¡unto final, espcctivamente.

Recordemos q ie una correspondencia f de A en fí.. se simboliza así

f A —> B

v relaciona cada elemento A co i uno, vanos o ningún elemento de B ‘par locual puede decirse que f es un subcomunto de A x B I Si a £ A esta relacionadocon b G B, se escribe / {/;) = b, diciéndose que b es una imagen de a., y que a esuna antiimagen de b

Un ejemplo de correspondencia es

B

En este caso I tiene dos imágenes 5 y 6 2 tiene una imagen 6 , 3 también tiene una imagen 7; y 4 carece de imagen Asimismo, 3 tiene una anuimagcn1, 6 tiene dos antiimágenes 1 y 2, 7 tiene tena a n ti imagen 3 : 8 y 9 no tienen antumagen

2. Funciones. Dominio y recorrido de una función.

Una función ( l ) de A en B es una correspondencia

f A s B

i 1 1 En el a p a ñ a d o 4 dam os o tra d e fim unn de función

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36 P TANIGUCHI

en Ja que cada elemento de A tiene a lo sumo una imagen perteneciente a B

Por ejemplo la correspondencia;

es una función En cambio, la correspondencia que aparece en el apartado anterior no es una función, pues en el conjunto inicial hay un elemento con más de una imagen.

Se llama dominio de una función y A -* B, y se representa por Dom [ al conjunto formado por los elementos de A que tienen imagen.

Dom f = {x & A / f {x)& B)

Por ejemplo, el dominio de la función que aparece arriba es {1, 2, 4}. Observa que el dominio es un subconjunto del conjunto inicial.

El recorrido (o imagen) de una función f : A -* B se representa por Rec f , y es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominio

Rec f = { / [x)¡ x E Dom f )

Por ejemplo, el recorrido de la función que aparece arriba es Í6, 8}. Observa que el recorrido es un subconjunto dei conjunto final

3. Aplicaciones.

Una función f . A -» B es una aplicación si, y sólo si, todo elemento del conjunto inicial tiene exactamente una imagen, es decir, si Dom f — A .

Por ejemplo, la siguiente función es una aplicación .A — I---- ► B

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i I A i ION I S 37

pues Dom / = A . En cambio, esta otra función no es una aplicación:

ya que en el conjunto inicial hay un elemento que carece de imagen, es decir Dom g A

Una aplicación es inyecttva si, y sólo si, elementos distintos del conjunto inicial tienen imágenes distintas.

Por ejemplo, la siguiente función es una aplicación inyectiva

En cambio, la función / q u e aparece al principio es una aplicación, pero no es inyectiva porque en c! conjunto inicial hay dos elementos distintos (1 y 2} que tienen la misma imagen Tampoco la función g es una aplicación inyectiva simplemente porque no es una aplicación

Una aplicación es exhaustiva (epiyectiva, luprayectfva o sobreyecttva) si, y sólo si, todo elemento del conjunto final tiene por lo menos una antnmagen perteneciente al conjunto inicial.

Por ejemplo, la siguiente función es una aplicación exhaustiva

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38 P TANIGUCHI

En cam bio, las f u n c io n e s /g y h no lo so n : f y h , porque en el con junto final hay por lo m enos un elem ento que carece de ann ím agen ; y ¿ porque no es una aplicación.

U na aplicación es biyectiva si, y sólo si, es inyectiva y exhaustiva, es decir si, to d o elem ento del con jun to final tiene exactam ente una antiim agen.

P o r ejem plo, la siguiente función es una aplicación b iyectiva:

- — ►A B

4. Funciones reales de variable real.

Si en una función, el conjun to inicial y el con jun to final cscán form ados po r núm eros reales, se dice que la función es real de variable real. P rácticam ente todas las funciones que estudiarem os a lo largo del curso van a ser de este tipo. E s m ás, la m ayoría de tales funciones ten d rán a R com o con jun to inicial y com o conjunto final, o sea, serán de la forma*

/ R - R

P or tal m otivo , y siem pre que no se diga lo con tra rio , supondrem os que las funciones son de R en R P or ejem plo, al decir:

“ Sea la función f {x) — y/x" ( ' )querrem os decir:

“ Sea la función f • R - > R "

x~* \ / xa

El dom inio de la función an terio r es [0 , + o o [ pues los únicos núm eros reales que tienen raíz cuadrada (que pertenezca a R) son los núm eros m ayores que cero y el mismo cero. Se observa que si reducim os el con jun to inicial al dom inio d e / resulta una aplicación

(!) Algunos amores utilizan la expresión x \fx en vez de/ (ar) = \fx

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FUNCIONES 39

/■ [0, +oo[ RX -* \ fx

pues esta vez todo elemento de [0, +oof tiene imagen

En general, si f R -» R es una función, en tonces/ D om / -> R es una aplicación Por esta razón, algunos autores dan la ^guíente definición de función

Una función es una aplicación

/ / I -> R

donde A es un subconjunto de R llamado dominio.

í . Representación gráfica de una función.

La gráfica de una función f R —► R está formada por los puntos (x,y) G R2 tales que x G Dom f e y = / (x).

La expresión

y =/(*)recibe el nombre de ecuación de la función, x se llama variable independiente porque varía arbitrariamente en el dominio d t f \ y en cambio, se llama variable dependiente, porque su valor depende del valor que asignemos a x.

Por e je m p lo , la gráfica de la fu n c ió n /^ ) = \ f x está formada por los puntos {*, j 1) 6 R 2 donde x 6 [0, + oo[ (dominio de / ) e y — \ f x

Observa que x varía arbitrariamente en [0, +oo[, pero y depende de lo que valga x: es su raíz cuadrada

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40 P. TANIGUCHI

6. Sum a, resta, m ultiplicación, división y potenciación de funcionesSean / : R - » R y ¿ : R - * R dos funciones, y sea x un número real común a sus

respectivos dominios:x 6 {Dom f ) ("I {Dom g)

Los números reales f { x ) y g{x) pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos (en este último caso, siempre que el divisor sea 4= 0). Esto nos permite definir operaciones entre funciones: suma, resta, multiplicación y división,

f + g : R - * R f g . R - R-v - / ( .v ) + g (.v) .V -»/(.y ) g (,v)

/ — g R -*■ R f / g R -* Rv -* f {x) - g (.V) v _, / M

& wO bviam ente , f + g . f — g, fg y f /g son funciones, cuyos respectivos dominios

son:Dom ( f + g) = Dom { j — g) = Dom { fg) — {Dom f ) f) {Dom jg)

Dom {J7g) = {Dom f ) D í-v 6 D- m g / g (v) 4= 0 i == \{Dom f ) D {Dom g)] — fv 6 Domg / g (.y) — Oí

P ara en tender esta últim a expresión, ten en cuenta que para exista f { x ) /g (-y), no sólo han de existir f {x) y ¿(.y) (lo cual sucede si ,v pertenece a Dom f y a Dom g) sino que adem ás g (.v) ha de ser 4= 0.

Un caso interesante es aquel en el que una de las dos funcionesy y g es constante:

c + g R -♦ R cg R -* R c/g R -* R

ar-u í + g ( v) x ^ c g (-'=') .v¿ k .)

Veamos, por último, la potenciación de funciones. Sea/ R —» R. una función.; definimos:

/ * = / / P = f f f r = / ■ / " /

( / / es el producto de f por f ) . Es inmediato que todas estas funciones tienen tu mismo dominio que f Dom f = Dom / 2 — Dom f ! = ...

7, Funciones polinómicas. Valor de una función peline mica.

Las funciones polinómicas son las de la fo tnu

f ( x ) = a^v" + 1 + - vv +

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FU NC IO NES 41

donde aü, a ¿ a n_ son constantes (números reales)

El dominio de una función polinónnca es R, por !o que toda función polinó- mica es una aplicación.

El recorrido de una función polmómica de grado impar es R

En cambio, el recorrido de una función poltnómica no constante y de grado par es una semirrecta cerrada que será derecha s¡ el coeficiente dei término de mayor grado es positivo, o izquierda si dicho coeficiente es negativo

El valor de f { x ) para x = a es precisamente f ( a ) Una forma cómoda de calcular / ( a ) consiste en hallar el resto de dividir f ( x ) por x — a (teorema del resto) aplicando la regla de Ruffini.

Calculemos, por ejemplo, f ( 2 ) siendo f ( x ) = 5x3 + 3x2 + x + 6.

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42 P. TAN IG UCHI

5 3 1 62) 10 26 54

5 13 27 60 -*f(2) = 60

Esta manera de hallar / ( 2 ) es la idónea si se dispone de una calculadora; la secuencia de teclas que hay que pulsar es:

5 0 2 [+ ] 3 0 2 [+ ] 1 0 2 [T j 6

D espués de pulsar la tecla | = | , aparece en la pan talla el resu ltado : 6 0

8. Fundones radonales.

L as fundones radonales son las que se pueden expresar com o cociente de dos funciones polinóm icas:

f ( \= + + a X/[X) b0x m + blx m~ 1 + ... + bm

P o r ejem plo,

r ( \ 1 , , x 1 — 1 , , , 3x3 — 2x2 + 5x — 1/ W = _ : * M = — j ? 3 7 T T —

T o d a función polinóm ica es una función racional: basta ponerle com o denom inado r la función constan te 1. P o r ejem plo,

X /A 2 . 1 x 2 + }x — 2f ( x ) = * = — g(x) = x + 3 x - 2 =j a r y - J

Sin embargo, no toda función racional es polinómica Por ejemplo, la función / ( x ) = 1/x es racional, pero no es polinómica.

El dominio de una función racional está formado por los x £ R que no anulan el denominador'

D m ( -p -£ + - y , * -) = {x 6 R / b0x m + ... + bm f 0} V b0x m + ... 4-b m J

o sea que dicho dominio está formado por todos los números reales excepto los que satisfacen la ecuación: b0x m + ¿jX1" “ 1 + ... + bm — 0.

Por ejemplo, el dominio de la función racional:

2x x J ~ 1/W = T T T « R — {1, - 1}

9. Composidón de fundones.

Sean f • A - * B y g \ C -> D dos funciones, y sea x G Dom f Si / (x) pertene-

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FU NC IO NES 43

cc a Dom g, podemos calcular g l / ( x ) l , que es ia imagen de f ( x ) respecto de ia función g Esto nos permite definir una nueva operación entre funciones la composición

g o f A - t D

La expresión g ° f se lee “/ compuesta con g" (-y no al revés), porque primero actúa f y a continuación actúa g Obviamente g ° / es una función cuyo dominio es

Dom ( g ° f ) = ix €E Dom f / } (x) £ Dom g}

Por ejemplo,

Observa que Dom ( g ° / ) = {2, 3, 4 } , fíjate que 1 £ Dom t \ pero 1 £ Dom ( g ° f ), porque / ( i j =*. 8 £ Dom g.

Veamos ahora dos ejemplos de composición de funciones de R en R Sea f (x) = x 2 y g(x ) = 2x — 3 , entonces

(g ° / ) (*) = g l /{ x ) l = g (x 2) = 2x2 - 3

en cam bio ,

( / ° g ) (•*) = /í< ?W J = / ( 2 x - 3) = ( 2 x ~ 3)2 = 4 x 2 - 12x + 9

O b serv a , de pas.o, que la com posición de funciones no es, en general, una operación conm utativa .

10. Funciones radicales.

Son las de la forma / (x) = \ f x donde n es un número natural ^ 2. Si n es impar su dominio es R Pero, si ti es par, el dominio se reduce a [0, + oo[ ya que

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44 P. TANIGUCHI

los números negativos carecen ele raíces de índice par (es decir, no tienen ni raí/ cuadrada, ni raíz cuarta, ni raíz sexta, etc ).

En el capítulo IV se definen con rigor estas funciones y se explica el Hílenlo de raíces mediante el empleo de una calculadora

Ejercicios y problemas propuestos1 Dada la función:

f í S - 2x<S - - I*4 + - 5x2 + X + 30} W x 6 - 6 x 4 - 5xi - I x 1 + 8* + 1

se pide calcular/ ( 3).

Solución

Sean

g( v) = 2*6 - 3a5 - 5x* + 4.v3 - 5a 2 + x + 30 b(x) = .y6 - 6 v4 - 5 aj - 7a2 + 8a- + 1

Calculem os g{ 3) y h (3 ), ap licando la regla de Ruffini y el teorem a del resto

2 - 3 - 5 4 - 5 1 303) ó 9 12 48 129 390

2 3 4 16 43 130 420 «-g(3)

1 0 - 6 - 5 - 7 8 13) 3 9 9 12 1 5 69

1 3 3 4 5 23 70 «- ¿(3)

t m v ¿(3) 4206 • f{i)~w¡ = ~ =

/ j Halla el dominio y el recorrido de la siguiente función:

/ : R - > R A -> 3x2

Solución

Para todo x E R se verifica que 3a2 E R Ello demuestra que todo número real tiene imagen, es decir, que Dom f — R (por lo cual, f es una aplicación)

Para hallar el recorrido de f observemos que para todo v E R se cumple que 3a2 > 0 .

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FUNCIONES 45

Es más, el valor 0 se alcanza únicamente cuando x = 0,

f [ x ) = = 0 0

y por otra parte, 3xJ puede tomar cualquier valor positivo, por grande que sea; luego,

R e ( f = (0, +oo(Esto último lo podemos demostrar con más rigor probando que los únicos

elementos que tienen antiimagen son precisamente los que pertenecen a [0, +cc( En efecto, sea y & R; veamos en que condiciones existe x G Dom / , tal que

/ ( -v)

f (x) - y <=I> L*2 =y x1 —y ! 5 <==> x — ± \fy ñObserva que se puede extraer raíz cuadrada a ^ / 3 siempre que y sea ^ 0, es decir, si y sólo si jy pertenece a [0, +oo[.

3 Encuentra el dominio y el recorrido de la función:

lf ( x ) = ■1

Solución

Sabemos que la división por cero no está permitida; por tanto, el único caso en que no podemos c a lc u la r /^ ) se verificará cuando 1 se3 igual a cero, es decir, cuando x = 1

Luego,

Dom f — {jc 6 R / ac =£ 1} = R — {1}

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46 P TANIGUCHI

Observa en la figura que:

Rec f = { j £ R / j k ^ 0 } = R - { 0 }

Esto último lo podemos demostrar con rigor, probando que solo los elementos de R — {0} tienen antiimagen. En efecto, sea y G R veamos en qué condiciones existe x G Dom / tal que f (x) = y

f { x ) = y = y

Fíjate que existe x siempre que y sea ^ 0, es decir, si y sólo si ^ G R — {0}

4 Cuál es el dominio v cuál es el recorrido de la fundón:y /

X — > y /x

Solución

Los únicos números que poseen raíz cuadrada son los números ^ 0. Luego,

Dom f = { r £ R / x ) 0 ) = [ 0 , + oo[

Es inmediato que el recorrido de f e s [0, 4- col En efecto, como x ^ 0 , también \ f x ^y 0, lo cual demuestra que Recf<z. [0, +oo[. Recíprocamente, dado y G [0, +oo[ existe x > 0, tal quef (x) = \ f x = y : dicho x es x = y 2', ello demuestra que [0, +oo( c= R t c f Luego, como R e c f c [0, + oo[ y [0, +co[ cz Rec f resulta que R e c f= [0, +oo[

* Encuentra el dominio de la fundón:

13

Solución

Para que se pueda extraer raíz cuadrada a 4 — x2, se ha de tener' 4 — x 2 ^ 0 Veamos en qué condiciones se verifica esto último

4 - x I > 0 < = > 4 > x 2 « - 2 < x < 2

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Luego. Dom f = {x 6 R / —2 <. x 2} = [—2. 2]

FUNCIONES 47

Observa que el recorrido de / es [0, 21

Halla el dominio de la funaón que tiene por ecuación

í

J l x - 1

Solución

Llamemos f u la función Es fácil ver que el dominio d e /e s tá formado por los v 6 R tales que 2.x — I > 0 En efecto, por una parte, ha de ser 2x — 1 0 paraque sea posible la extracción de la raíz cuadrad a . y por otra parte, no puede ser 2 v — 1 = 0 , pues hemos de dividir 5 por \ J 2 x — 1

Pero.

2x — 1 > 0 <=> 2x > 1

de lo cual se deduce que

Dom f — j.v € R / x > 0,5} = ] 0 J , + oo(

x > 0.5

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48 F TANIGUCHI

Observa en la figura que Rtc / = ]0, + cp[.

Halla el dominio de la función racional:

•+• 1/ ( * ) “ x — 5x + 6

Solución

De las operaciones que hemos de realizar para h a lla r/(x ), la única que puede ofrecer dificultades es la división, pues la división por cero no está permitida Hallemos, pues, los valores de x que anulan el divisor:

x 2 — 5x + 6 = 0

Luego, Dom f = R — 12, 3}.

x =5 ± \ f ñ - 24 ^ 3

2 2

8

Solución

Encuentra el dominio de la función

/ w = {2x si x < 13 si x > 2

Tanto si x < 1 como si x > 2 , / ( x ) existe En cambio, si 1 ^.x^C 2, no está definido f ( x ) Por tanto

Dom/= {x€ R / x < 1 ó x > 2 } = l - o o , lt U }2, + oo[ = R - 11, 2j

Observa que el recorrido es ]— oo, 2[ U 13}

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FUNCIONES

Encuentra el dominio de la siguiente fundón:

r / . i x/ ( * ) = — T +x + l x — 9

Solución

D ad o x € R, para poder calcular la su m a : "

_ J x

x + 1 x2 — 9

lo único que hace falta es que los dos denom inadores sean d istintos de cero, es d e o r ,

x + 1 ¿ 0 y x J - 9 ¿ 0

Pero, por un lado,

y por o tro .

x2 — 9 = 0 <=> x ~ ± 3 Luego, D o m f = R — {— 1, 3. — 3|

j q Dadas las fundones: f { x ) = 2x + y x , g(x) = 3x — \ / x

a) Encuentra Dom f y Dom g.b) Halla f + g y su dominio

Solución

a) 2x y 3x pertenecen a R para todo valor de x En cambio, y 'x pertenece a R sólo para x ^ 0, Por tanto, 2x + y/aT y 3x — y/x" son números reales sólo m x ^ 0 ; de ello se deduce que

Dom f = Domg = jx E R i x 0} = [0, + co[

b) ( / + g) (x) = f ( x ) + g{x) - (2x + y f t + ( 3x - \ / x) = Yx

A pesar de que 5x pertenece a R para todo valor de x. ello no significa que el dominio de f + g sea R,

En efecto, por definición de suma funcional tenemos

( / + £ ) ( * ) = / ( * )lo cual implica que para que exista ( f + g){x) han de existir f |x) y g(x). y esto sólo se verifica para los x ^ O Por tanto,

Dom ( f + g) = (0, + oo!

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50 P .T A N IG U C H I

En general, cuando sumamos las funciones/y g, sumamos sus respectivas fórmulas y simplificamos el resultado (*). Tal simplificación nos puede conducir a una fórmula para f + g cuyo campo de validez no coincida con el dominio de f + g ( 2). Por esta razón, para hallar Dom ( / + g) han de hallarse los x para los que existen f { x ) y g (.r), simultáneamente.

11 Considera las siguientes fundones:

f ( x ) ~ 2 y f a g{x) = 3 y / x

a) Halla Dom f y Dom g.b) Halla fg y su dominio.

Solución

a) Como los únicos números reales que admiten raíz cuadrada en R son los números positivos y cero, es inmediato que;

D o m f = Dom g = {x € R / x ^ 0} = [0, + col

b) (fg) (a) = / ( * ) g(x) = 2 \ f f f - 5 \ f x = 6 ( \ / x f - 6x.

Se observa que 6x existe para todo x 6 R Pero ello no significa, sin embargo, que el dominio de fg sea R

En efecto, por definición, { f g ) { x ) = f ( x ) g ( x ) y para que exista el producto f (x) g(x), han de existir los dos factores/(jr) y g(x), y esto sólo sucede cuando x ^ Q Por canto, el dominio de fg es [0, -t-ooí y no R

En general, cuando multiplicamos dos funciones,/y g, multiplicamos sus respectivas fórmulas y simplificamos el resultado. Ello nos puede conducir a una fórmula cuyo campo de validez sea más amplio que dominio de fg. Por este motivo, para hallar dicho dominio, hemos de encontrar los x para los que existan/(xr) yg(*)

1 ~ Sean las funciones: / (x) = - - - , g(x) = \ J x + 1.

A Halla:

a) Dom f y Dom g.

11 1 En nuestro caso hem os sum ado d.v + = 5* y sim plificado X con —\ f x . ob teniendo una fórmula_para ./' *■ g _ 5 .it Sin em bargo, al sim plificar y > con — \ f x hem os supuesto im plícitam ente que ta tito >v x como —\ f x son nú/meros reales, lo cual no sucede para cuakjm cr calo r de .v sino sólo para los qite son positivos o cero Por ejem plo no p o dem os decir que \ t + g l ( — 1) = / ( —!) + &{— 1) = 3 + y [ ' \ ++ 1 2 — y — 1 ) = j - 3 — 21 + ( y — ! — T) = — 5 porque y ^ I no es un núm ero real, fíiaie quef \ — 1) v g ( — U no son números reales y, po r tan to , —1 no puede pertenecer al dorrinno de / + g.\2) Por ejem plo, —1 pertenece al cam po de validez de la fórmula de f + g Vv. pues para v = I fx es i.l num ero rc.d — Pti i;ambir- 1 no pertenece i Do m l f + g)

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FUNCIONES 51

b) g ° / y D om (g o / ) .c ) / ° H Dom ( / ° g ) .

Solución

a) Dado que \ / x es un número real si, y sólo si, tenemos que:

D o m f~ | r € R / ^ 0 ) = R - |0 }

Por otro lado, como sólo los números mayores o iguales que cero admiten la raíz cuadrada, tenemos que x + \ £ R si, y sólo si, x + 1 ^ 0 , es decir, si, y sólo si, x ^ — 1. Luego,

Dom g = { j r £ R / x > ~ l } — [— 1, + oo [

b) (¿ ° f ) (*) = ! t / W l + !•Do»? (g ° / ) está formado por los * £ D o m f tales que f ( x ) £ Dom g. Ello

se debe a que como (g ° / ) (x) = g [ /(* ) ) , tanto f { x ) como g [ /(* )) han de ser números reales.

P o r tan to , hem os de hallar los x 41 0 tales que ^ — 1. E stas condiciones

las verifican todos los números positivos y los números negativos menores o iguales que —1. Luego,

Dom ( g ° / ) = { ; c £ R / ; c > 0 ó — 1} = 10, +oo{ U ]—co, — 1 ] — R — ]— 1, 0]

1 01

«) ( / ° &) (*) = / U M i = f i V x + i ) = ^ - r - r ry x + 1Sabemos que:

Dom ( / ° g) = {* G D o m g !g(x) £ Dom f }

Pero, la condición x G D o m g equivale a ' x ^ — 1; asimismo, g { x )& D o m f equivale a y jx + 1 ^ 0. Luego, podemos escribir:

Dom ( / ° g ) = {* ^ — 1 / \ J x + 1 ¿ 0}

de lo cual se deduce inmediatamente que:

Dom ( / o g ) ~ { x , £ R / a r > — 1} = ]*-!, + oo[

Dadas las siguientes fundones:

/ M = \ f ise te pide que halles:

1 X _____ _______f ( x ) =» \ / x + 3 g(x ) = y / 2 5 - x 1

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52 P. t a n ic u c h i

a) Dom f y Domg.b) / + í y D ° m ( f + g ) -c) f g y £><”» ( ,$ •< * ) l ° / y D o m g o f .

Solución

a) Dow f esta formado por los x E R tales que x + 3 ^ 0, es decir, x ^ — 3 Luego, D o rn f— [—3, +oo[.

Análogamente, se encuentra que Dom g — [—5, 53

b) ( / + g) (•*) = / ( * ) + g(x ) = \ A + 3 + %/25 - * 2-Dado x E R, para poder sumar / (x) = \ / x +• 3 con g(x) = y 2 5 — x2,

ambos sumandos han de ser números reales. Ello exige que se verifiquen simultáneamente las siguientes condiciones:

x > — 3 y — 5 < x < 5

es decir, — 3 ^ x 5, Luego,

D o m { f + g )= [ - 3 , 5j

También podríamos haber llegado a este resultado razonando así: Para poder realizar la suma / ( x ) + g(x), los dos sumandos han de ser números reales, es decir, x ha de pertenecer tanto al dominio de / como al de g. Luego,

Dom ( f + g) — D o rn f D om g — [ - 3 , +oo[ f| 1 -5 , 5} = 1 -3 , 5]

c) {/&) (•*)= f { x ) g { x ) = V x + 3 ■ \ / 2 5 - x * = y /{ x + 3 H 2 5 - x 2) =

= - 3 ^ + 2 5x + 75

Razonando como en el apartado anterior, fácilmente se concluye que:

Dom (fg )= [ - 3 , 5J

¿)(,g0/ ) ( * )= ,g f/(*))= ,g (\A + 3 )-\/¿ü -(>/jc+ 3? = y/2 5 - ( x +3) =

Para que \ / 2 2 — x sea un número real, ha de ser 22 — x ^ 0, es decir, x 4^22 Por otra parte, para poder calcular g [ f (x)}, antes hemos de calcular f (x), lo cual exige que sea x — 3. Luego,

D o m { g o f ) = \x e K Í x ^ n y x > - 3 ) = [ - 3 , 22 |

Y ^ Dadas las siguientes funciones:

4 x 3 + 4 ~'2/ w = "D ■ ■>„ T ' «(*) =x2 + 2x — 3 x 3 — 4x

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FUNCIONES 53

x3 — 4x = 0 <=> x(x2 — 4) = 0 | X2 ^ _

Se te pide que halles:

a) Dom f y Dom g.b) / + £ Y Dom ( / + ¿ ) -c) / - ¿ y D(m (/-& )•¿ )fe y Dom fe. "■o ) f /g y D o m (f/g ).

Solución

a) La ecuación x2 + 2x — 3 = 0 tiene dos soluciones x, = 1 y x2 = — 3. Luego,

Dom f = R — {1, —3}

Por otra parte, la ecuación x3 — 4x = 0 la resolvemos así

' x = 00 <=> x = ¿ 2

Luego,

Domg = R — {0, 2, —2}

, . . ... w , r, x , x3 + 4 x2 — 7x + 10b) O +«> W = / ( * ) + í W = +

(x3 + 4) (x3 - 4x) + (x2 - 7x + 10) (x2 + 2x - 3)(x2 + 2x - 3) (x3 - 4x)

x6 — 3x4 — x3 — 7x2 + 2 5x — 30 x3 + 2x4 - 7x3 - 8x2 + 12x

Para que ex ista /(x ) + g(x), han de ex istir/(x ) y g (x ), por tan to ,/(x ) + g(x)no está definida cuando toma uno de los siguientes valores 1, —3, 0, 2 y —2Luego,

Dom [ f + g) = R — {1, — 3, 0, 2, —2}

1 / C w \ r< \ / •. X3 + 4 x2 — 7 x + 1 0c ) ( / - ¿ ) (* )-/(* )-* (» ) = V n . t o - 3 7 ^ 5 ------

(x5 + 4) (x3 — 4x) — (x2 — 7x + 10) (x2 + 2x — 3)(x2 + 2x — 3) (x3 — 4x)

= X6 - U 4 + 9X3 + 7X 2 - 5 7 x + 30 x3 + 2x4 — 7X3 — 8x2 + 12x

Razonando como en el apartado anterior se concluye que

Dom ( f - g ) = R - {1, - 3 , 0, 2, - 2 )

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54 P TA N IG U C H I

(x3 + 4) (x2 - 7x + 10) _ ^ - 7x4 + lQx3 + 4x2 - 28x + 40 {x2 + 2x — 3) (a3 — 4a-} x í + 2a4 — 7x3 — S x2 + 12x

Dom {fg) = R — {1, —3, 0, 2, —2}

x 3 + 4

e) ( f / z ) M = ^ + 2 x ~ 5 = U 3 + 4) (x3 - 4a) =¿(*) ** - 7 * + 10 (x2 + 2 x ~ 3 ) (x3 - 7x + 10}

a 3 — 4x _ / - 4x4 + 4 a3 - I6.y

x* ~ 5a3 - 7a2 + 41x ~ 30/ fJ|f)

Para que exista ——- han de existir/"(X) y,g{x}, y además, ha de scrg(x) 41 O &\x )

f { x ) no existe cuando a vale I ó —3 g (x ) no existe cuando x vale 0 , 2 ó —2

Hallemos los valores de a para los que g{x) = 0 :

Obstrvactón: Si hacemos a ~ 0 en la fórmula obtenida para (a ) resulta 0 , por tanto, 0 pertenece al campo de validez de la citada fórmula, Sm embargo, 0 no pertenece al dominio de f / g , porque { f /g ) (0) ■= / (0 )/g (0 ) y ¿ (0 ) no existe En general, para hallar la fórmula de un cociente funcional: f /g, dividimos la fórmula de f por la de g, y simplificamos la expresión. Si a su vezg es un cociente, el denominador pasa multiplicando el numerador de f / g (es lo que le sucede a a 3 — 4a); ello puede provocar que existan valores de a para los queg(x) no exista y, por tanto, tampoco exista f { x ) / g { a)» pero que, sin embargo, pertenezcan al campo de validez de la fórmula obtenida para f /g , Por este motivo, el dominio de un cociente funcional f / g se ha de hallar buscando los x £ R para los que existen f ( x ) y g(x). y además es g(x) f 0.

I. Cuáles de las siguientes funciones son pohnómicas:

x2 — 7x + 10 x 3 — 4 a

Luego,

= 0 <=> x 2 ~ 7a + 10 — 0 <=> x —7 ± \ J 49 - 40 / 5

2 2

/ ( a ) = x 2 — 2 x + 6 p(a ) = a / 2 t (a ) = x~ 2 + 5

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r UNCIONES 55

g(x) = 5 — .v q(x) — 2 ¡x *{a) = (2.x — 3)2h(x) = a.2,3 r(x) = yx~ t (x) -• \ f l x + ti

£(•*) ~ X t ** j(x) = |x | w(x) x 13 v ' 1 1 x2 + 3x + 2

&1 De las funciones del ejercicio anterior, ¿cuáles son racionales r1

3 Dadas las funciones

/ ( x ) — 4x3 — 5x2 + 6x — 7 g{x) = x 2 + 3x — 2

Calculaa) f ( x ) + g(..x)h) f ( * ) - & ( x )«) / ( * ) ¿(x )d) el cociente y el resto de la división de j (x) por g(x)

4 Resuelve el ejercicio anterior, pero para

/ (x) = x 6 — i x 5 + 2x3 — 8.x + 10 g(x\ = x i — 2x + 5

5 Aplicando el teorema del resto y la regla de Ruffim, calcula los siguientesvalores numéricos

a) f { 2 ) para / ( x ) = 2x3 — 5x2 + 6x — 7b) g(5) para g (x) = 5xJ — 3x3 + 4x2 — 5 x — 10c) h{—2) para h{x) = 2xs — 6x4 + 5x3 — x2 — x — 3d) £(3, 2) para ^(x) = —x5 + 2x4 + 3x3 — 7x + 8c) / ’(—l, 29) para p(x) — 0,3x4 — 5,2x3 + ó ^ x 2 — 3,6x + 0,7

6 Calcula los siguientes valores numéricos

\ f i ai , x4 + x3 + x 2 -t- x + 1a) / (4) para /(x ) = — -------- 5--— -X — X + X — X + 1

i -, .1 i , ¡ 1 —-X3 + 4x2 — 3x + 4b ) <(- 3 ) para =

c l * ( 2 , 1 7 ) p a r , t ( x | = V - 5 . 2 4 + 1 . 5 4 - 0 . 4 4 + 4 - 6 4— 3x4 + 2,5x3 — 0,5x2 + 2,7

7 Halla el dominio de cada una de las tune iones de! ejercicio 1

8 Cuál es el dominio de las siguientes funciones

t ( v) = 3.a + I h\ x) — y x — I

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g (X) = _ _ L _ £(*) « - ¿ -x + 1 y x + 2

9. Halla el recorrido de las funciones del ejercicio anterior.

10. Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

/ ( * ) = * * - 4 H x) = y 2 - v

& (x) ~ r - “ k{x) = r - ^ - r2x + a y — 2.\- + 5

11. Cuál es el recorrido de las fundones del ejercicio anterior.

12 Halla el dominio de las siguientes funciones.

f { x ) = y / l - x 2 h{x) = y 'x 2 + 13x , , s yr — 2x + 3

x2 - 16 w x1 + 5

13 Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

r . . je* — 3a2 •+ a — 7 . 1/ ( * ) = — ;— ;---------77 % ) :xz - 2 x - 15 \ / 4 — -y2

g(x) = Jx3 — óx2 + 3x + I k.{x) — y x + *

14? Cuál es el dominio de Üas siguientes funciones:

/(■*) = — 7 -T + 1 T ¿ ('v) = 5_Tx + 1 y — 1 ’ 2x + 3 x2 — 9g{x) - \ f x + \ J i — x £(x) = y / x + 3 — y / 3x — 2

15 Halla el dominio de las siguientes funciones:

/ : [0, 1 ] - [0. 1] b : {0.41 -» Rx - * \ f x x - * y / x ~

g : [0. 21-» {0, 21 Jfe . [ - 3 . 3]— R*x~* 2x x —* 1

y j l — x

16? Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

r, . ( x SI X C 0 . . . Í X — 1 SI X ^ — 1

/ W = \ 2 * si , > 0 ‘ « “ V ? » x > \

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1 UNCIONES 57

x < 1 í l / .v si — 2 < .* < 2g(x) = ^ 2 si I ^ a- < 2 k.(x) — 2 * y/ i 0 — x si _r > 5!1 si2 s,

3 si17 Cuál es el dominio de las siguientes funciones:

f{ x ) = ¡ a- + 1 | b(x) = y / j* 2 - ! ]

í W ” R ^ ” 7 7 3 7 7

18 Dadas las funciones:

/ (ar) = 3„r2 — 5x + 6 g(x) = x* — 9x + ¿0

halla

a ) / + & Y Dom ( / + ¿).b) f - g y Dom ( f - g).c) fg y Dom (fg).d) f/g y Dom (f/g))

19 Resuelve el ejercicio anterior, pero para

r , \ 2x2 — 3a + 1 a: + 5a ) f ( x ) = y g ( X ) = ----------------------------

b) f (a) = \ J x + 3 y g(x) - y / 5 - a

c) / (* ) = i/-* y ¿(*) = A * + 2

20. Dadas las funciones:

/ ( * ) = 2* + 3 ¿(*) = a:2 - 5

halla:

a) Dom f y Dom g.b ) g o f y D o m ( g o f ) .c) f o g y D tw » (/o ¿ ).

21. Resuelve el ejercicio a n t e r i o r p e r o p a r a .

a) / ( * ) = 7 ^ 4 " y = ^

b) / ( j r ) = y r + 2 y g(jc) = y /9 - x i

c) / (* ) = A y *(•*)

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58 P TAN1GUCHI

22 Resuelve el ejercicio 20, pero para:

a) / ( * ) = 3x + 2 y ¿(x) = l /xb) /(■*) = 2x + 1 y g(x) = y /2 x ~ + l

c) / W = 4 ~ 3 y ¿(x ) = V i * - 1

23 Resuelve el ejercicio 20, pero para,

a ) / ( * ) = * + 1 y ¿ ( x ) = | x |

b ) / ( x ) = ! / x y g ( x ) = l / xc ) f ( x ) = l / x y g{x) = \ x + l\

24* Dadas las funciones:

f { x ) = + v ^ fo - 2x ^ ) = v /2 m - x / i o —~2.x

a) H a ila /+ ¿ y Dom ( / +• ¿). El campo de validez de la fórmula obtenida p a ra /+ ¿ ¡ , ¿coincide con. el dominio d e / + g ?

b) Lo mismo, pero para f —gc) Lo mismo, pero para fg.

* * * ----------------------------------------------

CUENTA ATRAS

Se trata de un sencillo juego entre dos personas utilizando una calculadora. Las reglas sonI o El prim er ju g ad o r in tro d u ce en la p an ta lla un n ú m ero cualq u ie ra y pulsa la te c la j^ j . Por

ejem plo , Pablo teclea e l núm ero 7 4 7 9 5 .

2 o El segundo ju g ad o r elige una cifra n o nu la d e l nú m ero q u e está en la p an ta lla y la rep itee l m áxim o nu m ero posib le de veces fo rm a.id o u n nú m ero m en o r q u e el de la p a n ta lla , aco n tinuación pulsa la t e c l a Q . Eor e jem plo M arina p u ed e elegir en tre- 4 4 4 4 4 , S í 5 5 5 , 7777 y 9999, en la pan ta lla ap arecerían resp' d iv a m e n te , 3 0 3 5 1 , 1 9240 , 6 7 0 1 8 y 64796..

3o El p roceso se rep ite . Es decir, cada jugado va eligiendo p o r tu rn o s una c ifra no nu la delnúm ero q u e aparece en la p an ta lla y la rep ite ei m áx im o nú m ero posib le de veces, pero fo rm an d o u n núm ero m enor q u e e l de la p a n ta lla ,y a co n tin u ac ió n pulsa la t e c l a p l G ana el q u e consiga q u e salga cero en la pan ta lla , d< spués de h ab er pulsado la te c la P jT S ig i,ic n d o con e l e jem plo , supongam os q u e M arina lia e l. g ido la c ifra 5 (ap arece en negrita) d e l num ero 7479S ; p o r consigu ien te resta 55555 aparee en d o an te la p an ta lla 19240 . A co n tin u ac ió n Pablo elige la c ifra 4 , resta“ 4 4 4 4 y en la i an ta lla aparece 14796. Y a s í sucesivam ente . M arina 14796 - 11111 = 3 6 8 5 . Pablo . 3fc .5 - 3333 = 352.. M arina. 352 - 222 = 130.Pablo 130 - 33 = 97 M arina. 97 - 77 = 0. P ablo 20 - 2 = 18. M arina 18 - 8 = 10.Pablo 1 0 - 1 = 9 . M arina: 9 - 9 —0, ¡G ana * arma!

4 o Si se infringe alguna de las reglas se p ierde e ju eg o . Por ejem plo , si aparece en la p ,tn talla un n ú m ero negativo

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IV Inversa de una fundónR E SU M E N T E O R IC O

l . Función identidad.

Llamaremos función identidad en el conjunto A (abreviadamente, identidad en A ) a la definida por:

lA a ->ax —* x

lA es una aplicación biyectiva.

Por ejemplo,

A A

Se verifican las siguientes propiedades

a) Si / . A -* B es una función, entonces f ° lA ~ f

b) Si f A -* B es una función, entonces, IB ° f = f

2. Inversa de una aplicación biyectiva.

Sea f A B una aplicación biyectiva Como todo elemento de B tiene una única antíimagen que pertenece a A , podemos definir una aplicación f ~ l : B —► A que relacione cada elemento de B con su antumagen Por ejemplo

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60 P TANIGUCHi

-i—*

Se verifica que / ~1 también es una aplicación biyectiva, se llama la aplicación inversa de f

Se satisfacen las siguientes propiedades (obsérvalas en el ejemplo de arriba):

) / - « / = hdonde IÁ es la identidad en el conjunto A , e 1B la identidad en B (véase el apartado anterior),

3. Funciones radicales de índice impar.

Si n es un número natural impar, entonces la función polinómica:

/ R - > Rx ~ * x

es una aplicación biyectiva, cuya inversa, que también es una aplicación biyectiva, es;

rir -1f ~ l :R -* R

y - * x ,

donde x es tal que x n — y *(')

( l) En genera!, para averiguar la furnia de la gráfica de la inversa de una función f , se mira al trasluz la gra fica de / . por el dorso de la hoja en que cst3 esta dibujada, g iran d o el papel hasta tener el eje de abscisas (eje de las x) apuntando hacia arriba (com pruébalo)

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IN V IK SA DL: UNA (-UNCION 61

Como por definición de raíz wésima el número que elevado a n da y es y/y, podemos escribir:

La luiKión f recibe el nombre de función radical de Índice impar n.

Pero, es usual utilizar la letra vpara las abscisas, y la letra^ para las ordenadas; por tanto, permutando las nomenclaturas, tenemos

/ - ’ R -* Rv - y '* '

Resumiendo, la función ladica) de índice impar n = \ f x es una aplicación biyectiva es la inversa de la función polinónuca /{.*) = ,vn.

4, Inversa local de una función.

N o toda función / ; A -+ B es una aplicación biycctiva Sin embargo, reduciendo convenientemente e conjunto inicial y el conjunto final se puede obtener una aplicación biyectiva f . A -* B Por ejemplo,

O

( I ) II s u no es la única po>ibilid<id de cnnMTuir / lam inen podrumo:» lu b c r lom ado A =■ { l . 3 4 | . c|uc Imbi eraron* ob iem do una / J d e m u c

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62 P TAÑI CUC 11 1

Por ser / una aplicación biyccttva tiene inversa: f ~ x B -> Aque es asimismo una aplicación biyectiva

•-1

Si ahora ampliamos A a A y B a B, obtenemos una función g . B -* A que recibe ei nombre de (una) inversa local de f ( 2)

Evidentemente, g es una función, cuyo dominio es B y cuyo recorrido es A

Dom g=^ B Rec g ~ A

y. Funciones radicales de índice par.

Sea » un número natural par y distinto de cero. La función polmómica

/ R - > Rx x"

(1 ) D ecim os una inversa local ' de f y no la inversa local d c f ' \ porque dicha inversa local depende de la elección de /

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IN V E R S A DE UNA FUNCION 63

es una aplicación que no es biyectiva (no es ni inyectiva ni exhaustiva). Sin embargo, reduciendo el conjunto inicial y el conjunto final a [0. +oo[ obtenemos una aplicación biyectiva:

f : {0, +oo[ -♦ [0, + o o t

Miy- y*

• <t>

aíísíeii

I4 f

<X>yA.

Z’úC iiJ ilf iá k U

y.f(x)

i í é e !

Cx-iríjf

La inversa de es la siguiente aplicación biyectiva:

f "1(y)='/y"

/ 1 : [0, + cc(-

y -{0, +co(

V ^Tl 1)

Si ahora ampliamos a R el conjunto inicial y el conjunto final, tenemos la ju n ción radical de índice par n.

g : R -» R

donde utilizamos, como es costumbre, la letra .v para representar las abscisas, v la letra y para representar las ordenadas. Obviamente, D o m g = fO. + co f y Recg = [0, + co[.

Resumiendo, la función radical de índice par n : g{-f) = \ f x . es una inversa local de la función f { x ) = x n Su dominio y su recorrido son iguales a |0 , +co[

6. Cálculo de raíces.

Veamos cómo se hallan raíces con la calculadora:

(1 ) O b sc rv a la grafica am trnor y com parala con està figura.

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a) Raíces cuadradasyor su uso frecuente, las calculadoras suelen tener una tecla que proporciona dilectamente la raíz cuadrada de un número real positivo. Así, por ejemplo, para calcular \ / 2 2 5, «- procede así:

1 ° Se introduce 22 5 en la pantalla,

2 ° Se pulsa la tecla | \ / x | , o bien, [ f ] [ \ / x ] , según el modelo. En la pantalla

64 P. TANIGUCHI

ha de aparecer el resultado: 1 5

b) Raíces ti-¿urnas (ti > 2 )Para hallar <lfx, con x > 0, hay que calcular x 1'" usando la tecla fy * l . Por ejemplo, para calcular y 1296 se procede así.1,° Se introduce 1296 en la pantalla.2.° Se pulsa la teda (y * !, o bien, jjF] | y*], según el modelo.

3 ° Se introduce el índice 4 en la pantalla y se pulsa la tecla l / x | , o bien, _Fl / x | ; en la pantalla ha de aparecer el desarrollo decimal de 1/4.' 0 ,25.

4 o Finalmente, pulsando la tecla [= ] obtendremos el resultado buscado. 6.

Advertencia En los modelos que presentan la tecla j>‘''■] el cálculo es directo.

Por razones técnicas, las calculadoras no calculan raíces de números negativos Sin embargo, tales números admiten raíces de índice impar ; por ejemplo, no se puede hallar y^—32 con la calculadora, a pesar de que y —32 = —2- Esta dificultad se puede salvar teniendo en cuenta que si x > 0 y » es impar, entonces \ f —x — — \ f x (si n es par, no existe \ f — x) Por ejemplo, para calcular \ ¿ — 32 calculamos y 3 2 y anteponemos el signo menos al resultado:

^ 3 2 = - i¿/32 = - 2

7. Funciones potenciales.

Sea k un número entero £ 0 La función / : R -» Rx -+ x *

se llama función potencial de exponente entero k- Por ejemplo,

1 : R - * R /" R —> R g : R —> R ¿ ; R R / 1 \X-*X X - S X 1 X - t x ~ l X-+X-2

El dominio de una función potencial de exponente entero k. es R si k. > 0 , o R — {0} si k < 0 Por ejemplo, Dotn l — Dom f — R, y Dom g = Dom h = R — {0} (ten en cuenta que, por ejemplo, 0 " ‘ = 1/0 £ R).

(1) Recuerda que x~{ ~ Ux y que x~2 = l/x!

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INVERSA DE UNA FUNCION 65

Consideremos ahora una fracción irreducible k/n , donde n es positivo Lafunción: / • R -» R

x - + x k'n = d / 7

se llama fundón potencial de expórtente fraccionario k/n. Por ejemplo:

/ : R - > R g R - Rx XA/i — \ /x * x x “4/3 =

¿ : R —> R /? R -» R __= x -> x -* '4 = ^

El dominio de una función potencial de exponente fraccionario k./n depende de ciertas características de k/n. Se presentan los siguientes casos

a) k > 0 y n impar.Entonces el dominio es R Por ejemplo, el dominio de la función f ( x )= x * /i es R

b) k < 0 y n imparEntonces el dominio es R — {Oj. Por ejemplo, el dominio de la funcióng(x) = x~ 4,i es R — {0}

c) k. > 0 y « par.Entonces el dominio es {0, + co[ Por ejemplo, el dominio de la función b{x) = x 3/4 es [0, +oo[.

d) k < 0 y n parEntonces el dominio es ]0, +co[ Por ejemplo, el dominio de la funciónp{x)—x~ iM es ]ü, +oc[.

8, Cálculo de x*‘n con una calculadora.

Para calcular x k/n(x > 0) con una calculadora, hay que emplear la tecla D 3 Se puede hacer de dos maneras, veámoslas con un ejemplo 324 3

1 ° Usando paréntesis.

a) Se introduce 32 en la pantalla

h) Se pulsa la tecla | yx | , o bien, | y * 1 según el modelo

c) Se abre un paréntesis pulsando la tecla [J] o bien S E

dj Se introduce 4 en la pantalla, se pulsa la tecla | -f-1 y se introduce 5 en la pantalla.

e) Se cierra el paréntesis pulsando la tecla Q ], o bien, ¡ F | [Y| En la pantalla ha de aparecer el desarrollo decimal de 4/5 0,8

í) Se pulsa la tecla | — | ; en la pantalla ha de aparecer el valor de 324/S 16.

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66 1> TANIGUC III

2 ° Usando la memoria,

a) Se calcula 4/5 = 0,8 en la forma habitual y se guarda en la memoria

b) Se introduce 32 en la pantalla

c) Se pulsa la tecla | y* | , o bien, {T] | y* \

d) Se pone en la pantalla el desarrollo decimal de 4/5 (0,8) que estaba guardado en la memoria

e) Se pulsa la tecla 1 = | . en la pantalla ha de aparecer el resultado 16

A d ve rten c ia En los m o d e lo s q u e p resen tan la tecla a '•/, (que p e rm i te la in t ro d u cc ió n de fracc iones en la pan ta l la ) , el cálculo es d irec to

1 a) Demuestra que la función polinómica: f : R -» Rx - » 3 x J + 2 x + 5

se puede expresar por medio de sumas y productos entre constantes y potencias de la función identidad:

I :R -+ R x -* x

b) Generaliza el resultado anterior a una función polinómica cualquiera.

Solución

a ) En efecto / = 3 / 2 + 2 J + 5 , pues

(3 12 + 21 + 5 ) (x )= 3I \ x ) + 2I(x) + 5 = 3 f/{cc)]2 + 2 /(x ) + 5 == 3x2 + 2x + 5 ~ / (x)

b) Efectivamente, si

f ( x ) = a0x” + alxn ~ 1 + + an _ ,x + an

entonces,

/ = a0 ¡n~ ' + + an_ }I + a n

2 Consideremos la función: f : R -+ Rx 2x + 3

a) Demuestra que f es una aplicación biyectiva.

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IN V E R S A D i l N A I I NC ION

b) Halla / ', es decir, la inversa de /c) Comprueba que / ” 1 o / = J y / o / ” 1 = í , siendo I la identidad en Rd) Dibuja la gráfica de / y la de / ” *. Compáralas.

Solución

a) En primer lugar / es una aplicación, pues para cada ar£; R, f { x ) — 2x + 3 es un único número real

Para demostrar q u e /es biyectiva. podemos probar q u e /es mycctiva y exhaustiva, o equivalentemente, que todo^y CE R tiene una única antnmagen Esto último es lo que vamos a hacer, por ser más sencillo

En efecto, sea y € R (conjunto final) hemos de probar que existe un único x £ R (conjunto inicial) tal que / (x) = y

y — ^/ ( x ) = y <=> 2x + } —y <=> x — — ^—

La única antitmagen de^ es, pues {y — 3) í 2, lo cual demuestra q u e/es biyectiva

b) La inversa de la aplicación biyectiva/ R -* R es la ap licación /” 1 R-+ R. asimismo biyectiva, que aplica a cada y €. R (conjunto final de / ) en su únicaantnmagen respecto de / ( y — 3 ) / 2, es decir

/ ” ' R - R. J - 3

c) Para probar q u e / 1 ° / = / hemos de demostrar que para cada x £ R se tiene que;

( / " ' o / ) ( jc) = J(JC)

En efecto,

( / - ' o f ) ( x ) = / - ‘ [ /<*)) = / - ' (2x + ) ) = { l x + p 3 = ,.v = /(.V)

Análogamente, para probar q u e / ° / ” ‘ = L hay que demostrar que para cada y £ R se tiene que

( / ° r l) w = i wEfectivamente,

W , / | / - ,W| =/ ( Z Z ± ) =2 i / - +3>=>=ÍO)

d) Las gráficas de / y de f ~ x son, respectivamente:

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68 P TANIGUCHI

Se observa que la gráfica de f ~ l es “ igual” a la gráfica d e /p e ro con los ejes coordenados permutados, el eje de abscisas de una es el eje de ordenadas de la otra, y viceversa Ello nos sugiere una manera cómoda de averiguar la forma de la gráfica d e / -1 a partir de la gráfica d e /: mirando ai trasluz esta última, por el dorso de la hoja en que está dibujada, girando el papel hasta tener el eje de abscisas (eje de las x) apuntando hacia arriba (compruébalo). Este método, en la práctica, puede ser útil para dibujar la gráfica d e / -1 cuando ésta no sea una recta: basta calcar la gráfica de/ por el dorso de la hoja en que está dibujada. (Por ejemplo, la gráfica de la función raíz cúbica x — \ f y se puede dibujar calcando por el dorso la gráfica de la función potencial de exponente 3 =

2 La siguiente función no es una aplicación biyectiva:

/ : R -> R x->x*

Sabemos que si reducimos el conjunto inicial y el conjunto final a [0, + oo[, resulta la siguiente aplicación biyectiva ( 1):

/ : (0, + oo[ -> [0, + oo[

Su inversa es:

/ “ ’ : [0, +oo[-> [0, +oo[

y - * v 5 "Si ahora ampliamos a R los conjuntos inicial y final, resulta la función

raíz cuadrada (función radical de índice 2):tí

g : R ^ R ^ x -» y x

(1 ) V er el aparrado 4 d d resumen teórico

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INVERSA Db UNA PUNCION

siendo Dom g = Rec g = [0, + oo[ (hemos escrito x en vez de _y, y viceversa, porque así se acostumbra); g es una inversa local de f

a) Halla, siguiendo un proceso análogo, una inversa local de / (x) = x 1 reduciendo el conjunto inicial de /a*}~-oo , 0].

b) Encuentra una inversa local de la función f ( x ) — x*, reduciendo elconjunto inicial de / a [0, + oo[.

Solución

a) Reduciendo el conjunto inicial de f a ] —oo. 0 | y el conjunto final a |0 , +co[. resulta la aplicación biyectiva.

y*

f l 1 —co, 0] -♦ [0, + oo[. Jí

cuya inversa f \ ~] aplica a cada y ¿z 0 en el \ s. 0 tai que )x

/ , 1 Í0, + co[ —► ] —03, 0 |V —» x, donde x es ral que v2 - v

Pero, el número negatilo o nulo x que elevado al cuadrado da ) o precísame me —V'> (por ejemplo, si )- — 4, entonces x — — y /4 = —2) Luego, podemos escribir

|Ü, +oot -► )— oc, 0)y _ ^ /j .

Finalmente, escribiendo x en vez de y, y viceversa, por ser asi la tosm m hu. y ampliando a R el conjunto inicial v el ton|unto final, tibltndremos otra invetsa local de f {v) ■- x1

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70 P. TANIGÜCHI

Sí : R - RJf ** —\ f x

o) Procediendo como en el enunciado, reduzxamos a [0, +oo[ el conjunto inicial y el conjunto final de f { x ) = x 4 Resulta la aplicación biyectiva

/ LO, +oc[ -> 10. + oof

IR' ■“tifiL j y-tOO-x*

4X-* X

j- s'x - ’ 1 - : b"j, 'l i l i l í

cuya inversa es

f 1 [0, + oo[ -» [0, +oo[

y ^ \ / y

x-f 1(y )= 7 y ”

Finalmente, ampliando a R el conjunto inicial y el conjunto final, y escribiendo x en vez de y, obtenemos la función radical de índice 4, que es una inversa local de la función potencial de exponente 4

* . R - R* -* \ / x

4 Procediendo como en el problema anterior, halla una inversa local de la función:

f { x ) = x 1 — 6x + 8

reduciendo el conjunto inicial de / a [3, + oo[.

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IN VERSA DE UNA FUNCION 71

Solución

Dibujemos la gráfica de / :

Si reducimos el conjunto inicial a [3, +oo[ y el conjunto final a 1.5, + cc[, resulta la siguiente aplicación btyectiva del gráfico de la izquierda Su inversa es la aplicación biycctiva

/ ' (5. + oo] -> (3, + ooly +*

donde * es tal que ce2 — 6jc + 8 =j> (ver figura derecha)

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12 P TAN1GUCHI

Hallemos la fórmula correspondiente a la función j

x2 — 6x + 8 — y <=> x2 — ó* + (8 —y) = 0

De las dos posibilidades que se presentan elegimos la primera, pues 3 + \j'y + 1 € [3, +oo[, pero 3 — \J y + 1 [3, +oo[ Luego, podemos escribir

/ -I [5, + oo[-> [3, +oo[y -* 3 + \ / y + I

Finalmente, ampliando a R el conjunto inicial y el conjunto final, y escribiendo x en vez de y , obtenemos una inversa local de f :

g ; [5, +oo[ -» [3, + co[X-* 3 + y jx + 1

Ejercicios y problemas propuestos1 Dada la función

f (x) = 5 — 3x

a) Demuestra que se trata de una aplicación biyectiva.b) H^lla su in v e rs a /-1c) Dibuja la gráfica de } y la de / -1 Compáralas

2* Resuelve el ejercicio anterior, pero para

a ) f (x ) = x5b) / (x) = x 3 + 1

3* Sea H = R — {1} y B = R — (0) Consideremos la función-

f . A -> B1

X — > 7X —

Ma) Demuestra que / escuna aplicación biyectivab) Halla su inversa / -1c) Dibuja la gráfica de / y la de f ~ l Compáralas

4* Halla una inversa local ¿ de la función

/ ( x ) = x6

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IN V E R S A DE UNA FUNCION 73

reduciendo el conjunto inicial a ÍO, + oo[ H az un diseño de la gráfica de / y de la de g

5* Resuelve el ejercicio anterior, pero para:

/ ( * ) = - x 2 *

6* Encuentra una ínversal local g de la función

A * ) = l * + 1 1reduciendo el conjunto inicial a [ — 1, +oo[. Dibuja la gráfica d e / y la deg

7* Halla una inversa local g de la función

f ( x ) — 1/x2

reduciendo el conjunto inicial a ]0, +oo[ H az un diseño de la gráfica de y de la de g.

8* Encuentra una inversa local g de la función:

/ (x) = 4 — x 1

reduciendo el conjunto inicial a [0, 2 J Dibuja la gráfica de / y la de g

9* Halla una inversa local g de la función:

f (x) ~ x 2 + 2x — 8

reduciendo el conjunto inicial a [—1. + col Haz un diseño de la gráfica de/ y de la de g.

10 a) Halla el dominio de la función

« (* )=b) ¿D e qué función es g su inversa?

11. Cuii es el dominio de la función'

g ( x ) = t f x

¿D e qué función es g una inversa local?

12- Calcula las siguientes raíces.

a) c /1 2 9 6 c) v /6561 e) ^ 1 6 8 0 7b) ^ 0 ,0 5 2 9 d) ^ '3 ,8 3 1 6 f) ^ 4 0 ,8 4 1 0 1

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74 ¡ \ T A N IO LC U l

1 3 Cuánto valen, aproximadamente, las siguientes raíces

a) y / r d) y T ó J g) 1^9999b) ^ 2 5 e) ^ 8 ,2 9 h) y 298.6c) aJ /T I f) V/ ^ 2 9 í) y 1 39,1618

14. Calcula las siguientes raíces, si es posible

a) ^ ^ 8 c) y --243 e) ^ '- 1 6 3 8 4b) y = 4 d) ^ - 8 1 11 y '- 128

15 Halla el dominio de las siguientes funciones potenciales

a) / ( x ) - x 3 c) b{x) = x2 3 e) p(x) = a *b) g(x) - v-5 d) k ( x ) ~ x ~ 2-3 f | q{x) = x“7 6

16 Halla los respectivos recorridos de las funciones del ejercicio anterior

17 Calcula las siguientes potencias

a) 9 ' 2 c) 16_3/4 e) 243 25b) 2 432 5 d) 1 56255 6 f) 218737

18 Cuánto valen, aproximadamente, las siguientes potencias

a) 43/4 c) 2 9 5 7 c) 128 ,697 5b) 12~2/} d) 8 4 ,24 3 0 2 3,5 2“5 6

!9 Demuestra que toda función potencial de exponente fraccionario se obtiene componiendo una función potencial de exponente entero con una función radical

* * *

U NA C O M PR A D O R A CA PRICH O SA

En u n a c o n f ite ría hay cho co la te de c u a tro clases cu y o s respectivos p rec ios p o r tab le ta son 6 p ta s ., 5 p tas .. 3 p tas. y 2 p tas , l.o li desea co m p rar 20 tab le tas de cho co la te gastándose ex ac ta m ente 5 0 p tas ., y de m odo que d e cada clase h a y a p o r lo m enos u n a tab le ta de ch o co la te .

¿C uántas un id ad es de cada tip o h a de escoger e l su frido d ep en d ien te para satisfacer a la ca p richosa co m p rad o ra? (S o luc ión en la pág 190).

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V Razones trigonométricas de ángulos agudos

R ESU M EN T E O R IC O

1. Razones trigonométricas.

Las raines trigonométricas de un ángulo a de un triángulo rectángulo, son unos números asociados a a. No dependen del triángulo rectángulo concreto en que se calculen, pues dependen exclusivamente del ángulo a

Las mis importantes son el seno, el coseno y la tangente, que definimos a continuación:

r , cateto opuesto r cSeno de a —---- ■.------- 5------------- Sen Ct = —

hipotenusa n„ , cateto adyacente „ bCoseno de a = ---- ¡------------------ Cos a = —

hipotenusa <i_ , cateto opuesto1 angente de a — ---------

cateto adyacenteTan a = j

Otras razones trigonométricas que hoy en día prácticamente no se usan son:

Cotangente de

Secante de a

cateto adyacente _ ba = ------------ L— _ _ Coc a = —cateto opuesto

hipotenusa r I— - - - - Scc a = ,cateto adyacente

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I> l A N K .l ( I I I

_ , hipotenusa , , aC osivantc de o. — -------------------------- <. ,scc a — —

cateto opuesto <

En general, cuando hablemos de razones trigonométricas nos icíenremos mu- sámente a las mis importantes seno, coseno y tangente.

Dado que la longitud de un cateto siempre es menor que la longitud de lahipotenusa, tenemos que el seno y el coseno de un ángulo agudo son números positivos menores que I , de su tangente, en cambio, sólo podemos decir que es unnumero positivo, que puede ser menor, igual o mayor que 1

2 Propiedades de las razones trigonométricas.

Las principales propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo Ot son

Sen‘ o + Cos* a = 1 Sen (90° — a) = Cus ai T 2 I Cos ( 90° — a) — Sen aI + r.m a ~ ~ —j— • ,

Cos a Tan (90° - a ) - — —Sen a T an«Tan aCos a

3 Sistema sexagesimal de medida de ángulos.

La unidad de este sistema es el grado, que representa la noventava parte de un ángulo recto (es decir, un ángulo recto mide 90 grados) Cada grado se divide a su vez en 60 partes iguales llamada minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas iegundos

Para abreviar , cada una ele estas divisiones se denota por un símbolo Asi, por eiemplo, un ángulo de 36 grados, 20 muimos y 12 segundos se expresa simbólicamente en la lorma 36° 20 12"

Por razones técnicas, fáciles de comprender, la mayoría de las calculadoras electrónicas representan los ángulos mediante un número decimal de grados Por eiemplo, 64" .30 36 se representa en !a forma • 64,51°.

Para llegar a este resultado, se procede del siguiente modo. Se multiplica por 60 el número de minutos para expresarlos en segundos: 30 60 ' ~ I 800 y al producto se le suma el número se segundos 1800 + 36 — 1836 , el núnu io obtenido se divide por 3600, porque en un grado hay 3600 segundos I $ 36/ 3600 ■ 0 5 I ° Finalmente, el cociente se suma al número de grados 64" + 0,5 I" = 64 ,51° (Si en el ángulo no aparecen segundos, por eicmpln. 18" 42 , el proceso es más sencillo Rasu Jivichi poi 60 el número de minutos 42 /60 — 0 ,7" y sumar el cociente al número de grados. 18" + 0,7" — 18 ,n"1 S decir, que 18" 42 ' = 18,7" )

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RAZONES ÍRICiONOMl TRIC AS DI ANGULOS AGUDOS

Recíprocamente, dado un ángulo expresado mediante un numero decimal ele grados, por ejemplo 31 ,2 3 5", para expresarlo en grados, minutos v segundos, hay que proceder asi Se multiplica la parte fraccionaria por 60. porque en 1“ hay 60 0.2 3 S 60 14,1 La parte enteia ele este producto es el numero deminutos, se multiplica la parte fiaccionaria por 60, porque en i ha\ 600,1 60 = 6 ” Luego, 3 1,23 5° = 31° 14 6 ' •

El iompíemeritario de un ángulo a es 90° — a Si. por ejemplo, o 31'* 14 6 ,la diferencia ha de calcularse asi

89° 59 6 0 “31°__ 14 6"58“ 45 54"

Es decir, que 58“ 45 54 es el complementario de 31" 14 ó

4. Valor de una razón trigonométrica

Por regla general, las razones trigonométricas de un ángulo son números decimales no periódicos con infinitas cifras. Sin embargo, basta conocer sus valores aproximados, normalmente, siete cifras decimales exactas son más que suficientes

Cn el d o r s o de la cu b ie r ta se e n c u e n t r a u n a lab ia co n los senos, cosenos y t a n g e n tes de á n g u lo s q u e v a r ían de g ra d o en g ra d o De 0 o a 4.5'', el n o m b r e de la r a /o n

c o r re sp o n d ie n te a p a rece en la pa r te supe r io r . De 45" a 9 0 ’’, a p a rece en la p a n einferior. P a ra ha lla r las razones t r ig o n o m é tr ica s de á n g u lo s no en te ros , tales com o 2 3 ,P 6 R " o 56" 23 ' P ” d e b en con su l ta rse tab las t r ig o n o m é tr ica s m ás am plias

Hoy en día, las tablas trigonométricas han sido netamente superadas por las calculadoras de bolsillo llamadas “científicas’’ Para hallar el seno, el coseno o la tangente de un ángulo basta introducir el ángulo en la pantalla (generalmente expresado como un número decimal de grados) y pulsar unas teclas convenientes para obtener el resultado apetecido

Por ejemplo, para calcular Sen 30° se han de seguir los siguientes pasos.a) En primer lugar nos hemos de percatar de que la máquina va a trabajar con

grados sexagesimales La mayoría de los modelos tienen una clavija DBG- RAD que ha de estar en posición D EG

b) A continuación introducimos el ángulo 30° en la pantalla pulsando las teclas0 GD

c) Por úlumo, pulsamos la tecla [SIN o bien las teclas |_Fj | SIN , según el nwdélo En la pantalla ha de aparecer el valor de Sen 30“ 0,5

5, Angulo cuya razón trigonométrica es dada.5.1 Arco seno.

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78 P. TANIGUCHl

Dado un número real í, comprendido entre 0 y 1, es decir, í £ ]0, 1 [ existe un ángulo agudo a (y sólo uno) tal que Sen Ct = s. Dicho ángulo recibe el nombre de “arco cuyo seno es s”, abreviadamente, are Sen s (léase “arco seno s”). Es decir

Sen Ct — s a ~ are Sen sW

Por ejemplo, como Sen 30° ~ 0,5 se tiene que are Sen 0,5 = 30°.

Para hallar con una tabla trigonométrica el valor de are Sen s, se busca en la columna del seno el valor que más se aproxime a s; el ángulo correspondiente es un valor aproximado de are Sen s. Por ejemplo, are Sen 0 ,39 S 18° y are Sen 0 ,87462 = 61°, (Observa,que en este último caso hemos leído el ángulo a la derecha y no a la izquierda.)

Con una calculadora el proceso es más sencillo, Basta introducir s en la pantalla y pulsar unas teclas convenientes para obtener are Sen s.

Por ejemplo, para calcular are Sen 0,5 se han de seguir los siguientes pasos;

a) En primer lugar, nos hemos de percatar de que el resultado vendrá expresado en grados sexagesimales. La mayoría de los modelos tienen una clavija D EG- RAD que ha de estar en posición D EG .

b) A continuación introducimos 0,5 en la pantalla pulsando las teclas [O] Q [T j.

c) Por último, pulsamos las teclas ARCl ~SIN[ o [F j (ÁRC SIN) o | INV]SIN] o f F j fTÑ V lfSÍÑ l o f F l IS IN -1 , según el modelo. En la pantalla ha

de aparecer 30.

J.2 Arco coseno.

Análogamente, dado c G ]0 , 1 í, existe un ángulo agudo a (y sólo uno), tal que Cos a = c. Dicho ángulo se llama ' ‘arco cuyo coseno es c”, abreviadamente, are Cos c (léase “arco coseno c"). Es decir:

Cos a = c <=> a — are Cos c

Por ejemplo, como Cos 60° — 0,5 se tiene que are Cos 0,5 — 60°.

El proceso para hallar are Cos c, sea con una tabla trigonométrica o con una calculadora, es análogo al que vimos para el arco seno.

5.3 Arco tangente.

Dado un número real positivo t, existe un ángulo agudo a (y sólo uno), tal que Tan a — t. Dicho ángulo recibe el nombre de “arco cuya tangente es t ”, abreviadamente, are Tan t. Es decir:

Tan a — t <=> a = are Tan t

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RAZONES T R IG O N O M E T R IC A S DE ANGULOS A G U D O S 79

Por ejemplo, como Tan 4 5 ° ~ 1, entonces are Tan I — 45o-

£1 proceso para hallar are Tan t es similar al que se sigue para hallar el arcoseno

6, Resolución de triángulos rectángulos.

Los elementos de un triángulo son 6: 3 lados y 3 ángulos Resolver un triángulo es hallar todos sus elementos conociendo sólo algunos de ellos En el caso particular de un triángulo rectángulo, basta conocer dos lados, o bien, un lado y un ángulo agudo.

Se presentan cuatro casos que exponemos escuetamente (Véanse ejemplos en los ejercicios resueltos 7, 8, 9 y 10)

a) Primer caso, se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo

Datos, a, a.

Incógnitas; (3, b, c

Resolución. (3 — 90° — <x b = a-Cos a c — a S en a

Com probación. a + p = 90°b2 + c2 ^ a 2

b) Segundo caso: se conoce un cateto y un ángulo agudo

Datos: b,<x

Incógnitas; (3, a, c

Resolución; (3

a

c

-- 90° - a b

Cos a : ¿ Tan a

Comprobación: a + (3 = 90°¿ - d = b2

c) Tener caso • se conoce la hipotenusa y un cateto

Datos 4, b

Incógnitas a , (3, c.

Resolución cí = are Cos (b/a) p = 90° - a c = b-Tan a

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80 P. TANIGUCH1

Comprobación: a = are Sen {e/a) a + p = 90°<? = a2 - b 1

d) Cuarto caso: se conocen los dos cafetos

Datos . b,c.

Incógnitas: a , p, a

Resolución: a = are Tan {c/b) p =» 90° - a

bCos a

Comprobación P = are Tan (b/c) a + p = 90° a1 = P + r2

Ejercicios y problemas resueltos| Expresa el ángulo 38,52° en grados, minutos y segundos.

Solución

La parte fraccionaria del ángulo dado es 0 ,5 2 °; multipliquémosla por 60 para transformarla en minutos, ya que en I o hay 60":

0 ,5 2 ° = 0,52 6 0 ’ = 31,2’

De momento, tenemos que 38,52° = 38° 31,2\ Para hallar el número de segundos, multipliquemos por 60 la parte fraccionario de los minutos (pues en 1' hay 6 0 ”): 0 , 2’ = 0 , 2 - 60” = 12”

Luego, el resultado pedido es: 38° 31’ 12” .

2 Expresa el ángulo 59,27529° en grados, minutos y segundos.

Solución

Multiplicando la parte fraccionaria por 60, tenemos:

0,27 529° = 0,27 5 2 9 -6 0 ’ = 16, 5174’

Repitiendo el proceso, resulta.

0 ,5 1 7 4 ’ = 0 ,5 1 7 4 -6 0 ” = 31 ,044” £ 31”

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RAZONES T R IC O N O M bT R IC A S Di ANG ULOS AGUDOS SI

El resultado pedido es 59° 16’ 31"

^ Expresa el ángulo 14° 39’ en forma de número decimal de grados.

Solución

Expresemos 39’ en forma de fracción decimál de grado;

39°39’ = ^ = 0 , 6 5 °

El resultado es: 14° + 0 ,6 5 ° = 14,65°

4 Expresar el ángulo 24° 56' 17” como un número decimal de grados. (Se redondeará el resultado a 3 cifras decimales.)

Solución

Transformemos a segundos 56* 17” * 56’ 17" = 56-60 ’ + 17” = 3377 '

Dividamos este resultado por 3600 (porque en 1° hay 3600”) para expresarlo como fracción decimal de grado'

3377°3377 = ^ r = ° ' 9 3 8 °

El resultado es; 24° + 0 ,9 3 8 ° — 24 ,938°

5 M ediante un triángulo rectángulo isósceles, Halla las razones trigonométricas de 4 5°.

SoluciónEn todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos suman 90° Si, en particular,

el triángulo es isósceles, dichos ángulos agudos son iguales, por lo que valen 45° cada uno

Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo que se utilice para hallarlas, sino sólo del ángulo, Por tanto, consideremos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tengan longitud 1; aplicando cjjcore- ma de Pitágoras encontramos que la hipotenusa mide y / P + T1 ~ \ / 2

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82 P TAN1GUCH1

Luego, las razones trigonométricas pedidas son

Sen 45° = 1

7 ?Cos 41° =

La expresión se puede racionalizar

7 T1

Tan 4 5 ° = — = 1 1

y /2

v /2 ~ y /2 y f í “ 2

por lo que podemos escribir Sen 45° = Cos 45°: VE2

6 Dividiendo un triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales, halla las razones trigonométricas de 30° y de 60°.

Solución

Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60° Su altura lo divide en dos triángulos rectángulos iguales, cuyos ángulos agudos miden 60° y 30°, respectivamente

Si, en particular, el lado del triángulo equilátero mide 2. los lados del triángulo rectángulo de la izquierda miden-

En efecto, el cateto de la base mide la mitad del lado del triángulo equilátero, es decir, ]; el cateto vertical (altura del triángulo equilátero) se halla aplicando el teorema de Pitágoras: \ / 2 ? — P = \ /T .

Luego, las razones trigonométricas pedidas son:

7 1 - - >21

T ~

Sen 60° =

Cos 60 ° =

Tan 6 0 ° = y / T

Sen 30° =

Cos 30° =

Tan 30° =

2

V E21 = jV L

7 T 3

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RAZONES TRIGONOMETRICAS DL ANGULOS AGUDOS

Resuelve, el siguiente triángulo rectángulo, en el que se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo (primer caso):

( ' )

Solución

En primer lugar, el otro ángulo agudo P mide

P = 9 0 ° - 2 5o = 65°

Como Sen 25° = c/1 5, resulta

r = 15 Sen 2 5 ° = 15 0 ,422 6 1 8 3 6,34

y como Cos 25° = b / \ 5, tenemos

b = 15 Cos 2 5 ° = 1 5 0 ,906 3 0 7 8 — 13.60

Luego, los resultados pedidos son

P = 65° c = 6 ,34 cm b =1 3,60 cm

Comprobación

En primer lugar, Ct y (3 han de sumar 90°

a + p = 25° + 6 5 ° = 90°

Para comprobar los dos últimos resultados, basta aplicar el teorema de Pitágoras.

■b1 + r 1 52 = 225Ib2 + c2 - ó ,3 4 2 + 13,602 = 225 ,1556 = 225 <a )

Observa que la pequeña diferencia que hay entre 225 ,1556 y 225 se debe a que los valores de b y c que hemos dado han sido redondeados previamente

( i ) Para hallar 15 Sen 2 5 ° con una calculadora, se procede asi (a) Se in tro d u ce 1 5 en la p a n u lla (h | Se pulsa la recia I"*") (c) Se introduce 25 en la pantalla (d) Se pulsa b t e c b j S l Ñ ] . o bien. |~F]| S IN | < según el m odelo (la clavija D H G -R A D ha de estar en posición D EG )< en la pantalla ha de aparecer el seno de 2 5 ° 0 ,4 2 2 6 1 8 3 (c) Se pulsa la tecla []= ]; en la pantalla ha de aparecer <1 valor de 15 Sen 25 6 ,3 3 9 2 7 4 512) P ara hallar 6 ,3 4 2 + 1 3 .6 0 2 con una calculadora, se procede asi (a) Se introduce 6 ,3 4 en la pantalla (b) Se pulsa la tecla | x2] o bicnT( 7 j f ? ] , scgiin el modelo, (c) Se pulsa la ted a ["+’). (d ) Se introduce 1 3 :6 en la pantalla (e) -Se pulsa la tecla |x " |T o b icn : (T] l 0 Se pulsa la tecla | = | en la pantalla ha de aparecer 2 2 5 1 5 5 6

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84 P. TAN1GUCH1

8 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo, en el que se conoce un cateto y un ángulo agudo (segundo caso) :

Solución

El ángulo (3 vale 9 0 ° — 57° = 33°

Como Cos 57° = 8¡a tenem os:

a ------§— _ ------- 1-------- ~ 14 69 ( i \Cos 57° 0 ,5 4 4 6 3 9 “ ^ * oy 1 >

y como Tan 57° = c /8 , resulta:

(=■ 8-Tan 57° = 8 1,539865 S 12,32

Luego, los resultados pedidos son:

(3 = 33° a S 14,69 m b * 12,32 m

Comprobación

a + p = 57° + 33° = 90°

í ¿t2 — c2 = = 82 — 64l a 2 ~ c * ^ 14,6 9 2 - 12 ,322 = 64 ,0137 ^ 6 4 ( l )

9 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo en el que se conoce la hipotenusa y un cateto (tercer caso):

(1) Para hallar 8/Cos 5 7o con una calculadora, se procede asi (a) Se introduce 8 en la pantalla (b ) Se pulsa la tecla fT ) (c ) Se introduce 57 en la pantalla (d) Se pulsa la tecla fC Q S l , o bien, |F |f C O S lT según el modelo (la clavija D EG -R A D ha de estar en posición D E G ); en la pantalla ha de aparecer el coseno de 57° 0 ,5 4 4 6 3 9 (e) Se apncta la tecla [=1 , en la pantalla ha de aparecer el valor de 8 /C os 57° 14,688629(2) Para llegar a este resultado con una calculadora, procédasc como se describe al final del ejercicio ante ñor, pero, pulsando la tecla | — | en vez de | 4-1

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RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS 85

Solución

Como Cos a = 3,65

— 0,72, resulta

de donde

Por último, como Tan a =

a = are Cos 0,72 = 43,945 52° = 43° 56’ 4 4 ”

3 = 90° - a = 90° - 43° 56' 4 4 ” = 46° 3’ 16”

c

(*)

3,6, tenemos

c = 3,6 T a n a = 3.6 Tan 4 3 ,9 4 5 5 2 ° == 3,6 0 ,9 6 3 8 5 2 9 = 3,47

Luego, los resultados pedidos son:

<x=í 43° 56’ 44" p = 46 ° 3’ 16" t S 3,47 cm

Comprobación

a = are Sen (c/a) = are Sen ^ ~ )

= are Sen (0,694) = 43,947 584° = 43° 56' 51”

(La pequeña diferencia de 7" con el resultado a = 43° 56’ 44" se debe a que al obtener c = 3,47 hemos efectuado un redondeo.)

» 4 - 3 = 4 3 ° 56’ 4 4 ” + 4 6 ° 3’ 16" = 89° 59’ 6 0 " = 90°

(c2 = a 1 - b 1 = 52 — 3,62 = 12,04 t ¿ = 3,472 = 12,0409 = 12,04

I I) T en iendo 43 l)45 52 en la pan ta lla para obtener 4 3 ° ^6 44 ¿un tina calculadora: se procede asi i ¡i) Se am ita 4 3 ° ÍM So pulsa l<t ícela [ —] (c) Se introduce 43 en la pantalla (d i Se pulsa la tcvla 0 le , Se introduce 6 0 en Ja pantalla, y se pulsa la tecla | = j en la pantalla ha de aparecer 56.7 52 l 11J Se an««u 56 r^ i Se repite la operación an terio r se resta 56 y se m ultiplica por 6 0 , en la pantalla ha de aparecer 4 5 8 7 2 : valor que se redondea a 4 4 fh) F inalm ente . se ano ta 44*’

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86 P. TANIGUCHI

1 0Resuelve di siguiente triángulo rectángulo, en el que se conocen los dos catetos {cuarto caso):

Solución

Como Tan a — 7/16 — 0,4375 tenemos que:

a = are Tan 0 ,4375 « 23 ,629378° s 23° 37’ 46”

de donde: P = 90° - a £ 90° - 23° 37’ 4 6 ” = 6 6 ° 2 2 ’ 14”

Por último, como Cos (X— 16/a, resulta

a — . J J L . = . LÉ — ---------- ~ 17 46C o sa Cos 23 ,629378° 0 ,9161573

Luego, ios resultados pedidos son

a £ 23° 37’ 4 6 ” b £ 66° 22 ’ 14” a = 17,46 m

Comprobación

{3 = are Tan {b/c) = are Tan (16 /7 )= are Tan 2 ,2857143 = 6 6 ,370622° = 6 6 ° 2 2 ’ 14”

a + p = 23° 37’ 4 6 ” + 66° 2 2 ’ 14" = 89° 59’ 6 0 ” = 90° ' a2 ~ P + <*= 162 + 12 = 305 l a2 — 17 ,462 = 304,8516 £ 305

I I Desde un barco se mide, por ràdar, la distancia a la dm a de una mon-JL taña: 2570 m. Halla la altura de la montaña, sabiendo que el ángulo

que forma la visual con el horizonte es de 29°.

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RAZONES T R IG O N O M E T R IC A S DE A N G U L O S AGUDOS a?

Solución

Sea c la altura pedida. Como Sen 29° = c/2 570 tenemos que:

c = 2 570 Sen 29° = 2 5 70 0 ,4 8 4 8 0 9 6 3 1246

La montaña tiene 1246 m de altura, aproximadamente

12 En un instante dado, el altímetro de una avioneta registra 1095 m de altitud. El piloto ve la torre de control del aeropuerto mediante una visual que forma un ángulo de 81° con la vertical, ¿A qué distancia de) aeropuerto vuela el aparato?

n

Solución

Sea a ia distancia pedida Como C o s 8 1 ° = 1095!a resulta que

109? _ 1095C o s8 1 ° 0,1 564345

La avioneta vuela a unos 7 km del aeropuerto

7000

13 Para calcular el ancho de un río, se midió una distancia A B = 20 m (ver figura) a lo largo de su orilla, tomándose el punto A directamente opuesto a un árbol C, situado al otro lado. Desde el punto B se midió el ángulo A B C = 6 1 ° . ¿Cuál es la anchura del río?

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33 P TAN1GUCH1

Soi’idót.

Sea c b distancia pedida. Como T a n 6 1 ° = f /2 0 resulta que:

c — 20 Tan 61° = 2 0 ' 1 ,8040477 S 36

La anchura del río es de 36 m, aproximadamente.

14 La inclinación de los rayos solares varía a lo largo del día En cierto instante, un poste de 12 m de altura, proyecta una sombra de 24 m. ¿Cual es el ángulo de inclinación de los rayo« solare respecto de La honrontal?

Ó

12 IT,

horizontal 24 m . '

Solución

Sea O el ángulo pedido Como T a n a = 1 2 /2 4 = 0,5 tenemos que

a = are Tan 0.5 = 26 ,56505 Io S 26° 3 3’ 54”

El ángulo de inclinación de los ravos solares, respecto de la horizontal, es de 25° 33’ 54” , aproximadamente

Ejercidos y problemas propuestos1 Expresa los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos:

a) 13,58° c) 7 9 ,7 6 9 2 °b) 65 ,2 3 7 ° d) 3,5°

2. Expresa los siguientes ángulos como número decimal de grados (se emplearán a lo sumo 5 cifras decimales):

a) 2 9 ° 51’ c) 37° 17’ 2 2 ” ,b) 8 3 ° 25' d) 19° 2 7 ’ 4 9 ”

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RAZONES TRIGONOMl TRICAS DI. ANGULOS AGUDOS 89

3 Desarrolla decimalmente las razones trigonométricas obtenidas en los e|er- cicios resueltos 5 y 6 Compara los resultados con los de una tabla trigonométrica.

4 Completa la resolución dei triángulo rectángulo del problema resuelto n ° 11

5. Idem n.° 12

6 Idem n.° 1 3.

7. Idem n." 14

8. Resuelve el triangulo de la figura siendo a — 1 4 tra, a = 32‘

9. Idem para: a — 34 dm, p — 26°

10 Idem para: ¿ = 15 m, a = 48°

11 Idem para, f = 24 cm, (3 = 3 5°

12 Idem para, a = 16,3 km, ¿ = 7,5 km

13 Idem para: a — 423,2 Dm, r = 1 520 m,

14 ídem para. ¿ = 3,4 cm, c = 58 min.

15 Cuál es la altura de una casa, si proyecta una sombra de 1 8 m cuando los rayos solares tienen un ángulo de inclinación de 50°, respecto de la horizontal

16 A la distancia de 16 m del pie de un poste, el ángulo de elevación (ver figura) de su punto más alto es de 36°.

✓Oir-jub -lt> t jfjevrn: -:>n

observador ifimHalla la altura del poste y la distancia de) observador a la cúspide

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90 P. TANIGUCHI

17, Halla la distancia que media entre un observador y la cima de un risco de 59 m de altura, sabiendo que el ángulo de elevación es de 46°.

18 Desde la parte superior de un faro, a 120 m por encima del horizonte, el ángulo de depresión de una boya es de 42°,

¿A qué distancia está la boya del pie del faro? ¿Qué distancia hay entre la boya y la parte superior del faro?

19. Dos torres gemelas distan entre sí 1 km Desde la parte superior de una de ellas se ve la base de la otra bajo un ángulo de depresión de 5o.

¿Qué altura tienen las torres?t>

20. Un artista, que mide 1,75 m de estatura, proyecta en el suelo una sombra de 2 m, ¿Cuál es ei ángulo de depresión de los rayos de lu2 que lo iluminan?

21. Desde el punto medio M de la distancia entre dos torres A y B, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30° y 60°, respectivamente

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RAZO NES T R IG O N O M E T R IC A S DL ANGULOS AGUDOS 91

u u u p , i

L

1UUU1■

III

I

Si A tiene una altura de 40 m, halla la altura de B y la distancia entr< ambas torres.

22* Se ha de trazar un túnel A D que atraviese una montaña

Halla su longitud a partir de los datos que aparecen en la figura

23* Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura, encuentra que desde un cierto lugar, el fuerte se ve bajo un ángulo de 10°, y que desde otro lugar, 200 m más cerca del fuerte, éste se ve bajo un ángulo de 15°

30! J 5

4-200m

¿ Cuál es la altura del fuerte y cuál es su distancia al segundo lugar de observación? (Indicación- Expresa Tan 10° y Tan 1 5o en función de las incógnitas, y resuelve el sistema de ecuaciones.)

24* Un asta de bandera de 2 ni de longitud se alza sobre la azotea de una casa Desde un punto del plano de la base de la casa, los ángulos de elevación de la punta y base del asta son 50° y 46°, respectivamente Halla la altura de la casa

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HISTORIA DE LA TRIGONOM ETRIA

Los origenes de osla ram a de la m aiem áuca, bau tizada ju stam en te con nom bre griego a princip ios del siglo xv u , hay que situarlo s en la ciencia griega Los p rim eros indicios de trigo nom etría se encuen tran en A ristarco (310-230 a de O , en el Arenario de A rquim edes (28~ 212 a de C ) , en la Opina a tribu ida a Iluclides (450-380 a. de C ) y en la cuad ra triz de D inóstra to (s iv a de C .), que ha transm itido Pappu.s ts. iv de nuestra E ra), en particu la r se observan dos proposiciones que hoy expresaríam os de la siguiente m anera: para i) < x < ■ 2, la función

^ en- “ es decreciente v la función ^ alt * es creciente x ‘ r

La construcción de una tabla de cuerdas del circulo, in strum en to fundam en ta l de la trígono m etria , se atribuye a H iparco <s. ii a de C .)¡ no sabem os en qué princip ios se basaba , pero tal vez utilizara una proposición de los Datos de E uebdes, la que lleva el núm ero 93 de las ediciones criticas En to d o caso, esta p roporc ión perm ite justificar la construcción de una tab la de senos que da el m atem ático h indú AryabhaLa a princip ios del siglo vi de nuestra Era N o obstan te , con esta observación no salim os del te rreno de las especulaciones; en cam bio , a fines del siglo i de nuestra E ra tenem os pruebas ciertas con M enelao de A lejandría , a s tró n o m o que realizó observaciones en R om a el añ o 98 y escrib ió una obra Sobre el cálculo de las cuerdas que desgraciada m ente no ba llegado hasta noso tros Ll m ejor m étodo para el cálculo de tablas de cuerdas de la trigonom etría griega fue d esarro llado en la segunda m n ad del siglo n de nuestra Lra por C laudto P to lom co en los cap ítu los i \ y xi de su Sintaxis matemática o A Imagesto; en el se pone de relieve la im portancia p rim ord ia l, no de la cuerda de un arco de circunferencia, sino del arco doble, lo cual p rep ara la aparición del seno del arco

Los hindúes fueron los p rim eros en desarro lla r la tr igonom etría helenística, in tro d u je ro n el seno y el coseno M ás tarde , los científicos á rab es , iras asim ilar las enseñanzas de los S iddliarta h indúes, consiguieron avances fundam entales, m erced j los cuales la tr igonom etría se convirtió en ciencia au tó n o m a y varia

Las prim eras tab las de senos en el m undo árabe fueron p robab lem ente obra de a l-K h w a ri/n u 1 (s ix), las cuates fueron trad u c id as al lam í en 1126 por A delardo de Baih C o n tem p o rán eo de al-K hw arizm i fue H abas al H asib . el cual conocía , adem as de las nociones de seno y coseno las de tangen te , co tangen te , secante y cosecante

H acia el siglo \ (por ejem plo , en El perfeccionamiento del A Imán esto de a l-B a ttan u , el estud io de las razones trigonom étricas, represen tadas com o segm entos asociados a una circunferencia de radio d ad o , liabia alcanzado ya un d esarro llo bas tan te considerab le Se h ab ian descubierto las relaciones m ás sim ples en tre tales razones, se len ian proced im ien tos eficientes para constru ir tab las y v an o s teorem as fundam enta les para la resolución de triángulos

C on la llegada del R enacim iento , cuyas características esenciales son una nueva am plitud de pun tos de vista y concepciones y el desarro llo de un conocim ien to no eclesiástico, la ciencia europea lo m a nuevos rum bos. Los científicos vuelven a estud ia r a los griegos y estud ian asim ism o la ciencia árabe En esta e tap a cabe d estacar a R eg iom ontano 114361476) p o r sus Cinco libros sobre triángulos y a Jo h a n n W erner (1468 1528) por sus fó rm ulas de transfo rm ac ió n de produc

tos en sum as, por ejem plo Sen o Sen ¡i - 4- (Cos {« — ¡}) — C os (o * ¡i)\ A partir de estei.m om ento los avances en trígono niel n a son cad a día más espectacu lares, se descubren más ló r m uías y m ejores m étodos para ca lcu lar tab las, sob te to d o d eb ido al nacim ien to de nuevas ram as de la m atem ática G eom etría analítica (D escartes, 1596 1650) y C álculo infinitesim al (Ncscton, 16431707 y Leibm z, 1646-1716, ver pág 234j l úe p recisam ente d eb ido a este u ltim o que M aciaurm (1698-1746) y T aylor (1685-1731) descubrieron m étodos para ca lcu lar polinom ios que aproxim en funciones, por ejem plo*

.. 1 * x' . . . ...?! 5 ' ?! 1v- , 5-1 v* .

í"!A + 4 ~ 6 ’

I I ) Ver en el vilurnen primero, pág 150 "Origen de )a palabra álgebra"

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V I Razones trigonométricas de ángulos orientados

R E SU M E N T E O R IC O

I. Circunferencia trigonométrica. Angulos orientados.

Se llama circunferencia trigonométrica a la que tiene radio unitario (de longitud 1) y cuyo centro es el origen de coordenadas.

Supongamos que sobre el semieje positivo de abscisas (eje de las x) descansan dos radios superpuestos Uno de ellos permanecerá fijo, y el otro se desplazará generando ángulos.

Si el desplazamiento se realiza en sentido contrario al de las agujas de un reloj, se dice que los ángulos generados son positivos Por ejemplo

'■'í

f > ^ \l \_ r j

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94 P. TAN1GUCHI

Si, por el contrario, el radio móvil se desplaza en el mismo sentido que el de las agujas de un reloj, se dice que los ángulos generados son negativos. Por ejemplo:

f \

( V.)v y

2, Razones trigonométricas de un ángulo orientado.

Sea a un ángulo orientado y sea P (a) su punto terminal:

Definimos: Sen a = Segunda coordenada de P (a)Cos a = Primera coordenada de P (a) q-an a — Segunda coordenada de P (a) _ Sen a

Primera coordenada de P (a) Cos aPor ejemplo, dado que P (0o) —(1 ,0 ) y P (9 0 ° ) = (0, 1),

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R AZO NES T R IG O N O M E T R IC A S DE A N G U L O S O RIEN TA D O S 95

las razones trigonométricas de estos ángulos son respectivamente;

Sen 0o = Segunda coordenada de (1, 0) = 0

Cos 0o = Primera coordenada de ( 1 , 0 ) = 1

Tan 0° = - p = 0

Sen 90 ° = Segunda coordenada de (0, 1) = 1

Cos 90° = Primera coordenada de (0, 1) = 0

Tan 90° = (no existe en R).

Dado que la división por 0 no está permitida podemos decir que Tan 90° no es un número real. No obstante, algunos autores definen Tan 9 0 ° = oo (infinito), lo cual no es sino una manera diferente de decir que Tan 90° no existe en R, pues 0 0

no es un número real.

3. Significado geométrico de 1a tangente.

Consideremos la recta perpendicular al eje de abscisas (eje de las x ) en el punto (1,0) . Graduemos esta recta con la misma unidad y orientación que el eje de ordenadas (eje vertical).

Consideremos un ángulo orientado O, y prolonguemos el radio móvil que lo ha generado hasta cortar la citada perpendicular. El punto de corte es precisamenteTan a.

4. Valores máximo y mínimo del seno y del coseno.

Como el radio de la circunferencia trigonométrica es 1, las coordenadas de sus puntos están comprendidas entre —1 y 1, inclusive ambos. Por este motivo, para todo ángulo a se cumple que:

- 1 < Sen a < 1 —1 < Cos a < 1

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96 P TANIGUCHI

D e la tangente, en cambio no podemos hacer una afirmación análoga; sólo podemos decir que al variar a , Tan a va tomando todos los valores reales posibles, siempre que C o s a ^ 0, es decir, si P ( a ) no es ni (0, 1) ni {0, —1) (Los ángulos cuyo coseno es 0 son ± 9 0 ° , ± 2 7 0 ° , + 4 5 0 ° . )

5. Periodicidad de las razones trigonométricas.

Sea P (a) el punto terminal del ángulo a. Si, a partir de esta posición, hacemos que el radio móvil describa una vuelta completa, en sentido positivo o negativo, se vuelve a la posición inicial, es decir, el punto terminal vuelve a ser el mismo

Lo mismo sucede si en vez de una vuelta se describen dos o más vueltas completas, es decir*

P ( a ± » - 3 6 0 ° ) = P ( a ) « € N

o, equivalentemente:

P (a + k- 360°) = P (a) k e Z

De esto se desprende que:

Sen (a + jfc-360°) = Sen aCos (a + £-360°) = Cos a £ 6 ZTan (a + * 360°) = Tan a

oEn este último caso, puede verse que basta dar media vuelta completa para que

la tangente no se altere (véase la fórmula X IV del apartado número 8). Por lo que tendremos:

Tan (o + * .]8 0 ° ) = Tan a * C Z

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RA/ONi S TRIGONOMETRICAS DI AN(,ULOS OKil NTA!X)S '>7

6. Signos de las razones trigonométricas según los cuadrantes.

Cuadrante Sen Cos TanI + •f -f-

II a~ — —III — —IV - + -

fin la figura de la izquierda aparecen los signos de las coordenadas de los puncos terminales, según los cuadrantes Basándonos en las definiciones dadas en el apartado anterior, se obtienen en seguida los resultados que aparecen en la tabla de la derecha (Por ejemplo, en el primer cuadrante las dos coordenadas son positivas; ello implica que el seno y el coseno son positivos, y como la tangente es el cociente del seno por el coseno, también es positiva)

7. Valor de una razón trigonométrica.

7.1 Cálculo mediante una tabla trigonométrica.

Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo orientado a mediante una tabla trigonométrica cualquiera, se encuentra en primer termino el ángulo agudo ¡3 formado por el radio móvil con el eje de abscisas (eje de las x) Las razones trigonométricas de a coinciden, respectivamente, con las de 3. peto afectadas de los signos correspondientes al cuadrante en que se encuentra el punto terminal del ángulo a (ver el apartado anterior) Veámosio caso por caso

Sen a = + Sen 3 Cos a = + Cos 3 Tan a — + Tan 3

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98 IV TANIGUC'Hl

b) P (a) está en cl segundo cuadrante

Sen a = + Sen ß Cos a = — Cos ß Tan a = — Tan ß

Sen a = — Sen ß Cos a = — Cos ß Tan a = + Tan ß

Sen Ct — — Sen ß Cos a = + Cos ß Tan a = — Tan ß

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RAZON! STKK.ONOMl TRICAS 1)1 \NC.l l()S OKU NT \UOS

7,2 Cálculo mediante una calculadora.

En « te caso no hace falta el proceso anterior: basta introducir el ángulo en la pantalla (generalmente en forma de un número decimal de grados) y pulsar unas teclas convenientes para obtener el resultado deseado (ver el apartado 4 dei capV)

8. Propiedades de las razones trigonométricas.

Siendo a y P ángulos orientados cualesquiera, se cumplen entre otras, las siguientes propiedades comúnmente llamadas fórmulas trigonométricas o identidades trigo nomttrtcas

Fórmulas pitagóricas

I Cos2 a + Sen2 a = 1 11 1 + Tan2 a —-----~r—Cos2 a

Fórmulas de reducción

III

IV

Cos (—a) = Cos a

Sen (—a) = — Sen a

XI

XII

Tan (90° - a') =l a n a

Cos (180° + a) = — Cos a

V Tan (—ct) = — Tan a XUI Sen (1 80° + a) = — Sen a

Ví Cos (90° + a) = — Sen a XIV Tan (180° + a) = Tan a

v n Sen (90° + a ) = Cos a

Tan (90° + a) = — '— Tan a

Cos (90° — a) = Sen a

XV Cos (180° — a) = — Cos a

VIII

IX

XVI

XVII

Sen (180° — a) = Sen a

Tan (180° - a ) = - Tan a

X Sen {90° — a) = Cos a

Fórmulas de adición de ángulos

X V III Cos (a + P) = Cos a Cos (3 - Sen ct-Sen (3

XIX Sen (a + p) = Sen a-Cos P + Cos a-Sen pw Tan a + Tan PXX Tan a + P) = -r~~~=-------T ~ n' 1 - Tan a Tan P

Fórmulas de sustracción de ángulos

XXI Cos (a — P) = Cos o Cos p + Sen a Sen p

XXII Sen (a — P) = Sen o Cos P — Cos a Sen P

X X III T a n ( a - P ) =v ’ 1 + Tan Ct-Tan 3

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100 P. TANIGUCHI

Fórmulas d d ángulo dobleXXIY Cos (2 a) = Cos2 a - Sen2 a = 2 Cos2 a - 1 = 1 - 2 Sen2 a

XXV Sen (2 a) = 2 Sen a Cos a

XXVI Tan (2 a) = -2 Tan ° -1 — Tan a

9. Angulos cuyo coseno es c 6 {—1, 1].

D ado un número real c comprendido entre — 1 y 1, inclusive ambos, es decir, c € t— 1, 11 existen infinitos ángulos a tales que Cos a = c

Todos estos ángulos tienen a lo sumo dos puntos terminales distintos, por este motivo, reducimos el problema a encontrar dos ángulos que tengan puntos terminales distintos y cuyo coseno sea C-

Por ejemplo, si f = 0, Los puntos terminales son (0, 1) y (0, —1), por lo que los ángulos pueden ser 90° y —90°

Ln cambio, si t = 1, sólo habrá un punto terminal: (1 ,0 ) y, por tanto, solo necesitaremos dar un ángulo 0 o, por ejemplo. Si c = — 1 sucede lo mismo: sólo hay un punto terminal (—1 ,0 ), por lo que sólo necesitaremos dar un ángulo [ 8 0 15 por ejemplo

Si c no es ni 1 ni —1, habrán dos puntos terminales distintos y, por tanto, tendremos que encontrar dos ángulos. Por comodidad distinguiremos dos casos .

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R AZO NES T R IG O N O M E T R IC A S DE A NG ULOS O RIENTADOS 101

a) c > 0 (ver figura de ia izquierda, final página anterior).El ángulo a se encuentra con una tabla trigonométrica o con ia calculadora

(a = are Cos r, ver el apartado n,° 5 del resumen teórico del capítulo anterior). El otro ángulo es —a Por ejemplo, si c — 0,5 los ángulos son 60° y —60°, pues, Cos 60° = Cos ( - 6 0 ° ) = 0,5.

b) c < 0 ( ver figura de la derecha, final página anterior).En este caso, si se trabaia con una tabla trigonométrica, primero se busca ei

ángulo p tal que Cos (3 = |¡r | Entonces, a = 180o — P es uno de los ángulos pedidos y el otro es —a Por ejemplo, si c= —0,5, observando la tabla encontramos que p = 60°, pues Cos 60° = 0,5 ; por tanto, uno de los ángulos pedidos es 180o —6 0 ° = 120° y el otro es; —120°.

Si se trabaja con una calculadora, a se obtiene directamente (ct — are Cos c; ver el apartado n.° 5 del resumen teórico del capítulo anterior); el otro ángulo es —a.

10. Angulos cuyo seno es s, con i 6 [—I, 1].

Al igual que con el coseno, nos limitaremos a encontrar dos ángulos, con puntos terminales distintos (si los hubiere) tales que su seno valga i.

Por ejemplo, si í = 0, los puntos terminales son (1, 0) y (—1 0), por lo que losángulos buscados pueden ser 0o y 180°.

fcn cambio, si s — 1 sólo habrá un punto terminal: (0, 1) y, por tanto, sólo necesitaremos dar un ángulo; 90° por ejemplo. Si s — — 1, sucede lo mismo; sólo hay un punto terminal que es (0, —1), por lo que sólo hay que dar un ángulo. —90° por ejemplo.

Si s no es ni 1 ni —1, habrán dos puntos terminales distintos y, por tanto, ten* drenaos que encontrar dos ángulos, Por comodidad distinguiremos dos casos:

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102 ¡\ TAN1CUCHI

¥x

a) s > O (ver figura de la izquierda)

Ei ángulo a se encuentra con una tabla trigonométrica o con una calculadora(a = are Sen r). El otro ángulo es 180° — a. Por ejemplo, si s — 0,5 uno de losángulos 30° y el otro es: 180o — 3 0 ° = 150°

b) s < 0 (ver figura de la derecha).En este caso, si se trabaja con una tabla trigonométrica, primero se busca el án

gulo P tal que Sen P = ]r [ Entonces, a = —p es uno de los ángulos pedidos, y el otro es 180 + p. Por ejemplo, si s = —0,5 , observando la cabla encontramos que P = 30°, pues Sen 30° = 0,5; uno de los ángulos pedidos es —30° y el otro es: 1 8 0 ° + 3 0 ° = 210°.

Si se trabaja con una calculadora, a se obtiene directamente (a — are Sen s); el otro ángulo es 180 — a (ten en cuenta que a es negativo: a = —P, es decir que 1 8 0 ° - a = 1 8 0 + p)

11. Angulos cuya tangente es /, con / £ R.

Veamos cómo se hallan dos ángulos con puntos terminales distintos, tales que su tangente valga /.

Por ejemplo, si t = 0, es inmediato que los ángulos son 0 o y 180°.

Si f}¿0, la cuestión es algo más complicada. Por comodidad distinguimos doscasos -

♦x

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R A ZO N ES T R IG O N O M E T R IC A S DE A N G U LO S ORIENTADOS 103

a) t > 0 (ver figura de la izquierda, final página anterior)En ángulo a se encuentra con una tabla trigonométrica o con una calculadora (a = are Tan /); ei otro ángulo es 180° + a. Por ejemplo, si / = 1, uno de los ángulos es 45° y el otro es: 180° + 4 5 ° = 22 5°.

ob) / < 0 (ver figura de la derecha, final página anterior)

En este caso, si se trabaja con una tabla trigonométrica, primero se busca el ángulo p tal que T an p = | / | . Entonces, a = ~ p es uno de los ángulos pedidos, y el otro es 180° — p. Por ejemplo, si Z — — I , entonces, P = 45°, por lo que uno de los ángulos buscados es —45 ° y el otro es: 180° — 4 5 ° = 135°.

Si se trabaja con una calculadora, a se obtiene directamente (a = are Tan /); el otro ángulo es 180° + a. (Ten en cuenta que a es un ángulo negativo, a = —p , es decir, que 180° + a = 180 — p.)

12. Pendiente de una recta.

Recordemos que si una recta tiene por ecuación:

y — ax + b

el número real a se llama pendiente de la recta.

Sea a un ángulo orientado formado por el semieje positivo de abscisas y la recta: Entonces se verifica que; Tan a = a

es decir, que la pendiente de una recta coincide con la tangente de cualquiera de los ángulos orientados formados por el semieje positivo de abscisas y la mencionada recta.

13. Ecuaciones trigonométricas.Son igualdades en las que intervienen razones trigonométricas, pero que, a

diferencia de las identidades trigonométricas (apartado n 0 8), sólo se cumplen para ciertos valores del ángulo o.. (Véanse ejemplos en los ejercicios resueltos 18, 19 y 20.)

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104 1> T .W K.U C Hi

Ejercicios y problemas resueltosJ Expresa el ángulo — 235,45861° en grados, minutos y segundos.

Solución

Multiplicando la parte fraccionaria por 60, tenemos

0 ,45861° = 0,45861 60* = 27 .5166 '

Repitiendo el proceso resulta

0 ,5 1 6 6 ’ = 0 .5166 6 0 ” = 30,996” 2 31”

El resultado pedido es — (2 3 5° 27 3 1 1. que puede expresarse sin paréntesis —235° 27’ 31' : pero teniendo en cuenta que el signo menos afecta a toda la expresión

2 Halla un ángulo positivo, menor que 360'', tal que su punto terminal coin cida con el de 1190°.

Solución

Dividamos 1190° por 560°

1 190° | 360° i ' |1 10° 3

Luego, el ángulo 1190° describe 3 vueltas completas en sentido positivo, más 110° El ángulo pedido es 110".

3 Halla un ángulo positivo, menor que 360 ", tal que su punto terminal coincida con el de - 132° 23’ 17” .

Solución

Es inmediato que a = 3 6 0 ° — 132° 23' 17” , efectuemos esta resta

I ] j O bserva que no se puede simplificar el cero del d iv idendo c:t>n ?f ten» del d m s fc pues |;t divisum daría resto 11° |=-, nc* conduciría a una conclusión errónea

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R \/0M S I KK.ONOMI I KK \S|)I \\t ,1. 1 OS OKU NI \l)OS

f y

3 5 9° 59' 60"132" 23' H ’

221" 36' 43"

{■1 resultado es 221° 36' 43

^ Halla las razones trigonométricas de 139°.

b o l l i c i ón

Hallemos el ángulo agudo (i que forma el radio móvil con el eje de abscisas

[3 1 8 0 ° - 139u = 41°

Las razones trigonométricas de 1 39° son las mismas que las de 41°, pero afectadas de los signos correspondientes al segundo cuadrante:

Sen 1 3 9 ° = +Scn 4 1 ° S 0 ,6560590 C os 1 39° = —C os 41° = —0,7547096 Tan 139° = —Tan 41 ° ^ -0 ,8 6 9 2 8 6 7

(fistos mismos resultados se pueden obtener directamente si se dispone de una calculadora )

No hace falta aprenderse de memoria la tabla de signos del apartado 6 del resumen teórico En este caso, basta darse cuenta de que en el segundo cuadrante, lo s puntos (x, >) verifican y > ü. x < 0

•>x

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UK> P TANIGUCH1

(*, y) --"'y >0

x< 0Como el seno es la segunda coordenada del punto terminal de l 59°, y el coseno la primera, resulta que, según lo que acabamos de ver. en el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno negativo De esto se deduce que la tangente es negativa, pues es el cociente que resulta de dividir el seno (positivo) por el coseno (negativo)

Halla las razones trigonométricas de —1 5 52°

Solución

En primer lugar, veamos cuántas vueltas completas da el ángulo — 1 5 52°

1112° | 360° 112° 4

Luego, —1 5 52° da 4 vueltas completas (en sentido negativo) y finalmente recorre aún — 1 12°

El ángulo agudo (3 que forma el radio móvd con el eje de abscisas es

P = 180o - 112° = 68°

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RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ORIENTADOS 107

Luego, las razones trigonométricas de —1552° son las mismas que las de 68°, pero afectadas de los signos correspondientes al tercer cuadrante

Sen ( - 1 5 52°) = -S e n 68° S -0 ,9 2 7 1 8 3 9 Cos (— 1 5 52°) = -C o s 68° £ -0 ,3 7 4 6 0 6 6 Tan ( -1 5 5 2o) - +Tan 68° £ +2,47 50868

(Estos mismos resultados se pueden obtener directamente si se dispone de una calculadora.)

6 Halla dos ángulos a, con puntos terminales distintos, tales que Cos a = = 0 ,8090170 .

Solución

Bien sea con una tabla trigonométrica o con una calculadora, hallamos que el primero de los angulos.es 36° El otro es —36°.

e= 0 ,8090170

Los ángulos pedidos son 36° y —36°.

7 Halla dos ángulos a, con puntos terminales distintos, tales que Cos a = = -0 ,7 3 1 3 5 3 7 .

Solución

Si sólo disponemos de una tabla trigonométrica, hemos de buscar el ángulo agudo (3 tal que Cos p = 0 ,7 3 1 3 5 3 7 ; resulta ser 43° Luego, uno de los ángulos pedidos es: 180° — 43° = 1 37°; el otro es —137°

r = —0,7313537

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108 P. TANIGUCHl

La solución es más fácil si se dispone de una calculadora. Basta hallar:

a = are Cos ( -0 ,7 3 1 3 5 3 7 ) = ] 37°

L1 otro ángulo es —a, es decir, —137°.

8 Halla dos ángulos a, con puntos terminales distintos, tales que Sen a — = 0 ,4848096

Solución

Uno de los ángulos podemos encontrarlo con una tabla trigonométrica o una calculadora 29° El otro es 180o — 2 9 ° = 151° (observa la figura).

s — 0 ,4848096

Los ángulos pedidos son 29° y 151°

9 Halla los ángulos a, con puntos terminales distintos, tales que Sen a = = -0 ,7 3 1 3 5 3 7 .

Solución

Si sólo disponemos de una tabla trigonométrica, hemos de buscar el ángulo agudo p tai que Sen p = 0,731 35 37; resulta ser 47°. Luego, uno de los ángulos buscados es —47° y el otro es: 180 + 47° = 227°.

í = —0,73135 37

La solución es más sencilla si se dispone de una calculadora. Hallamos:

a = a r c Sen ( -0 ,7 3 1 3 5 3 7 ) = - 4 7 °

El otro ángulo es. 180° - a = 180° + 47° = 227°.

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RAZONES TRIGONOMETRICAS DI. ANGULOS ORI!! NTADOS 109

1 «a Halla dos ángulos Ct, con puntos terminales distintos, tales que Tan a = 1 U = 1,9626105.

Solución

Uno de los ángulos es 63°, el otro es 180° + 63° = 243°

11 Halla dos ángulos (t, con puntos terminales distintos, tales que Tan a = 1 = - 1 ,6 6 4 2 7 9 5 .

Solución

Si sólo disponemos de una tabla trigonométrica, hallamos (3 tal que Tan p = 1 ,6642795, resulta que P — 59° Luego, uno de los ángulos pedidos CS - 5 9 ° V el otro es 180° - 59° = 12 1°

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110 P. TA N iG U C H I

El ejercicio se resuelve más fácilmente con una calculadora.

Hallamos:

a ~ a r e Tan (—1,6642795) = —59°

El orro ángulo es 180° + a = 180° — 59° = 12 Io.

1 Halla el ángulo positivo que forma el eje de abscisas con la recta cuya M.JL ecuación es y = —x + 2.

Solución

El ángulo pedido es el ángulo a de la figura.

La pendiente de la recta dada es el coeficiente de x en su ecuación, es decir — 1. Pero, como por otra parte dicha pendiente es la tangente del ángulo formado por el eje de abscisas y la recta, se tiene que: Tan a = —l

Por tanto, hemos de encontrar un ángulo positivo a tal que T a n a = > — 1.

Si sólo disponemos de una tabla, hallamos primero el ángulo P tal que Tan P = 1. Resulta p — 45°,»por lo que a = 180° — 45° = 13 5o.

Caso de disponer de una calculadora, hallamos

are Tan (—I ) ——45°

El otro ángulo que tiene por tangente —1 es 180° más el antenor es decir, 180° + (—45°) = 135°; este último es precisamente el ángulo buscado.

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R A ZO N ES T R IG O N O M E T R IC A S DE ANGULOS O R IEN TA D O S 111

13Solución

Halla la ecuación de una recta sabiendo que pasa por el punto (2, —3) y que el ángulo formado por el eje de abscisas y la recta es de 68°.

La pendiente de la recta es:

a = Tan 68° = 2 ,4750868

Luego, la ecuación de la recta es de la forma:

y = 2 ,4750868 x + b

donde b se halla imponiendo que la recta pasa por el punto ( 2 , - 3 ) :

- 3 = 2 ,4750868-2 + b b = —7,9501736

La ecuación de la recta es:

y — 2 ,4750868 ar— 7 ,9501736

14 Halla el ángulo agudo formado por las rectas cuyas respectivas ecuaciones son:

y ~ 5 x y — i x

Solución

Sean a y p los respectivos ángulos positivos formados por el eje de abscisas y las rectas dadas:

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112 P. TAÑI CUCHI

El ángulo pedido es y = a — P Por ios datos sabemos que Tan a = 5 yT.in P = 3 H aliemos Ci y P .

a = are Tan 5 = 78 ,690067°P = are Tan 3 = 71 ,565051°

de donde obtenemos:

y = a - p = 7 ,125016° = 7 ° 7 ’ 30”

1 c Sabiendo que Cos2 a + Sen2 a = 1 demuestra que:

1 + Tan2 a — ■ 1Cos2 a

Solución

Dividamos por Cos2 a los dos miembros de la identidad Cos2 a + Sen2 a = 1

Cos2 a Sen2 a 1Cos2 a Cos2 a Cos2 a

i + ( - | £ n ° _ y = iV Cos a / Cos a

Pero, por definición de tangente, se tiene

Sen a-= = Tan aCos a

Sustituyendo este resultado en la fórmula anterior, queda finalmente;

1 + Tan2 a = 1Cos2 a

Utilizando la fórmula X IX de adición de ángulos:

Sen (i

demuestra que:

16 Sen (a + P) = Sen a-C os p + Cos a-Sen p

Sen (a + 180°) = — Sen a

Solución

Aplicando la cicada fórmula XIX, para P = 180°, tenemos:

Sen (g + 180°) = Sen a-Cos 1 80° + Cos a Sen 180°

Para hallar Cos 180° y Sen 180° basta tener en cuenta que P ( I8 0 ° ) = = (—1,0), de lo cual se deduce inmediatamente que; Cos 180° = — 1 y

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RAZO NES TRIGO NO M ETRICA S DE ANGULOS O RIEN TA D O S 113

Sen 180° = 0. Sustituyendo estos resultados en la fórmula anterior, queda finalmente:

17Sen (a + 180°) = Sen <!■(— 1) -f Cos O 0 = —Sen a

Utilizando la fórmula XXI de sustracción de ángulos:

Cos (a — P) = Cos a • Cos P +°Sen a • Seo {3

Demuestra la fórmula de reducción:

Cos (90° — a) — Sen a

Solución

Aplicando la fórmula XXI a 90o — a, tenemos:

Cos (90° — a) = Cos 90° Cos a + Sen 90° Sen a

Como P{90°) = (0, 1), resulta que Cos 90° = 0 y Sen 90° = 1 Finalmente, sustituyendo en el resultado anterior, queda

Cos (90° — a) = 0 Cos a + i ■ Sen a = Sen a

18 Halla los ángulos a comprendidos entre 0o y 360° tales que:

Sen a = Cos a

Soluc ion

Sen a = Cos a Sen a Cos a

= 1 <=> Tan a = 1

Por tanto, bastará hallar los ángulos a, comprendidos entre 0o y 360°, tales que T a n O = 1 Mediante una tabla trigonométrica o una calculadora se halla que dichos ángulos son 45° y 180° + 45° - 225°

fVLuego, los ángulos pedidos son

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1> TN N K .l'n il

Comprobación

En primer lugar. 45° y 22 5° están comprendidos entre 0o y 360° Por otra parte se verifica que

ÍSen a , = Sen 45o - = 0 ,7 0 7 1 0 6 8

C o sa , = Cos 45° = = 0 ,7 0 7 1 0 6 8

( Sen a z = Sen 225° = - 0 . 7 0 7 1 0 6 8

IC o s a , = Cos 225° = - 0 . 7 0 7 1 0 6 8

J Halla los ángulos a comprendidos entre 0 o y 3 6 0 ° tales que

Cos (2 a) = Sen a

Solución

Aplicando la fórmula XXIV del ángulo doble

Cos (2 a) — 1 — 2 Sen2 a

queda

1 — 2 Sen2 a = Sen a2 Sen2 a + Sen a — 1 = 0

Sen a =1 ± v ' l + 8 —1 + 3 0,5

- 14 4

Se presentan, pues, dos posibilidades

a) Sen a = 0,5

Hay dos ángulos comprendidos entre 0o y 360° cuyo seno vale 0.5

a, = are Sen (0,5) = 30° a 2 = 180o - 3 0 ° = 150°

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RA ZO N ES TR IG O N O M E T R IC A S DE A NG ULOS O RIEN TA D O S 115

b) Sen a = —I.

Sólo hay un ángulo comprendido entre 0 o y 360° cuyo seno vale — 1

a , = 270°

Tengase en cuenta que are Sen (— 1) = —90°, y que hemos de hallar un ángulo con el mismo punto terminal, pero comprendido entre 0o y 360°; para ello, bastará sumarle 360° a —90° para obtener 270°

Luego, los ángulos pedidos son.

a , = 30° a 2 = 150° a , = 270°

Comprobación

En primer lugar, 30°, 1 50° y 270° están comprendidos entre 0o y 360°. Por otra parte, tenemos:

í Cos (2 a t) = Cos 60° = 0,5 l Sen a , = Sen 30° = 0,5 í Cos (2 a 2) = Cos 300° = 0,5 l Sen ctj = Sen 150° = 0.5 f Cos (2 a ,) = Cos 540° = - 1 \ Sen (a ,) = Sen 270° = —1

^ H ;Jla los ángulos, comprendidos entre 0 o y 360°, inclusive ambos, talesfcU que:

Sen (2 a) = Sen a

Solución

Aplicando la fórmula XXV dei ángulo doble;

Sen (2 a) = 2 Sen a-Cos a

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116 P TANICUCHI

queda: 2 Sen o Cos a = Sen a

S' n a (2 C “ “ - l ) = 0 < 2 C « « - l = 0

Se presentan, pues, dos posibilidades

i) Sen a = 0

Hay 3 ángulos comprendidos entre 0o y 360°, inclusive ambos, que verifican esta condición

0oa t = 180° a 3 = 360°

Hay dos ángulos comprendidos entre 0o \ 360° que satisfacen esta condición

Luego, los ángulos pedidos son:

a , = 0 ° a 4 ss 60°a , = 180° a 3 = 300°a 3 = 5 6 0 °^

valores que se comprueban con facilidad

Observa que si en la igualdad 2 S ena Cos a = Sen a hubiésemos simphfi cado Sen a en ambos miembros, habríamos perdido las 3 primeras soluciones del problema 0 o, 180° y 360°

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Ejercicios y problemas propuestos1 Expresa los siguientes ángulos en grados minutos y segundos-

a) 787 ,27° c) 549 ,3212°b) - 2 9 5 ,1 3 7 ° d) -4 7 ,3 6 2 5 1 °

2. Expresa ios siguientes ángulos como número decimal de grados:

a) 123° 39’ c) - 3 1 4 ° 2 4 ’ 4 5 ”b) - 2 8 7 ° 58’ d) 1823° 12’ 28”

3, Para cada uno de los siguientes ángulos baila un ángulo positivo, menor que 360° y que tenga el mismo punto terminal.

a) - 86° c) - 2 7 0 °b) 400° d) 450°

4 Idem para:* a) 587° c) 2329°

b) - 8 1 6 ° d) - 3 2 5 8 °

5. Idem para:

a) - 6 3 ° 29 ’ c) - 1 5 1 3 ° 26’ 35”b) 827° 19’ 2 5 ” d) 12582° 1’ 4 8 ”

6. Halla las razones trigonométricas de 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Escribe tus resultados en una tabla como la siguiente:

R A Z O N E S T R IG O N O M E T R IC A S DE A N G U LO S O R IE N T A D O S 117

a Sen a Cos a Tan a0°

90°180°270°360°

1. Valiéndote de los resultados del ejercicio anterior, halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) - 9 0 ° c) - 2 7 0 °b) - 1 8 0 ° d) - 3 6 0 °

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118 P . TAN1GUCH1

8. Emplea los resultados del ejercicio propuesto n.° 6 para hallar las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 4 5 0 ° c) 3600°b) - 5 4 0 ° d) - 9 0 0 °

9. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 15 3° c) 300°b) 245° d) 435°

10. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) - 3 7 ° c) - 1 3 1 °b) - 2 5 0 ° d) - 3 8 8 °

11 Cuáles son las razones trigonométricas de los ángulos.

a) 1428° c) 5492°b) - 2 8 2 7 ° d) - 1 7 8 4 7 °

12. Halla las razones trigonométricas de:

a) 103° 4 0 ’ c) 867° 10’b) —2 Í8 ° 2 0 ’ d) - 1 5 2 6 ° 50’

1 3. Halla dos ángulos a , con puntos terminales distintos, en cada uno de los siguientes casos:

a) C o s a = 0 ,8 2 9 0 3 7 6 d) Cos a = - 0 ,1 3 9 1 7 3 1b) Sen a = 0 ,7 4 3 1 4 4 8 e) Sen a = - 0 ,4 6 9 4 7 1 6c) Tan a = 0 ,4 2 4 4 7 1 8 f) Tan a = - 3 ,7 3 2 0 5 0 8

14. Encuentra dos ángulos a, con puntos terminales distintos, en cada uno de los siguientes casos:

a) Cos a = 0,7 d) Cos a = —0,35b) Sen a = 0,1 e) Sen a = —0,943c) Tan a = 7 * f) Tan a = -0 ,8 9 7 2

15. Para cada una de las rectas cuyas ecuaciones aparecen a continuación, halla el ángulo formado por el eje de abscisas y la recta:

a) y — x + 1 c) y — — y / í x + 2

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R A ZO N ES T R IG O N O M E T R IC A S DE A NG ULOS O R IEN TA D O S 119

b) j = - 0 ,6 2 4 8 6 9 4 a : - 5 d ) y = ^ - x - l

16. Halla el ángulo formado por el eje de abscisas y cada una de las rectas definidas por las siguientes ecuaciones'

a) y — 2x + 3 c) y = + ^

b) y = ~~lx — 1 d) y —

2—I x + 6

3

17. Encuentra el ángulo formado por el eje de abscisas y cada una de las siguientes rectas:

a) 3* + 3y = 2 c) - 2 * + 6,1 5 5 367.y = * / íb) > /? .v — 3j = 5 d) — 5x — — 10

18 Para cada uno de los pares de rectas cuyas ecuaciones aparecen a continuación, halla el ángulo agudo formado por ambas.

(y = x + Í - f y = - 3 ,7 3 2 0 5 0 8 * + 1,521a' ly = v/ 3 * - 2 > l j = —0 ,4 8 7 7 3 2 6 * — 4,8971

19, Halla el ángulo agudo formado por cada uno de los siguientes pares de rectas:

P 3 * + p = 1 ,3 7 6 3 8 1 9 * -4 .6 2 9 8 2 1 8\ y = x + 2 ’ t > = 1,1503684a: + 0,2682171a)

20. Encuentra el ángulo agudo formado por cada uno de los siguientes pares de rectas:

b>{T x ~ 7

y ~ ~ ~ T * * T

21. Demuestra la fórmula V de reducción, a partir de las fórmulas de reducción III y IV.

22. Utilizando la fórmula X X II de sustracción de ángulos*

Sen (a — p) = Sen a-C os P — C osa-Sen p

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120 p TAMGi/rm

demuestra las fórmulas de reducción;

a) Sen (90° — a) = Cos a b) Sen ( 1 80° — a) — Sen a

23 Utilizando la fórmula XX de adición de ángulos;

»i-, , n\ Tan a + Tan BTan (a + p) = -¡— = kq' ’ 1 —T an a-T an P

demuestra la fórmula XIV de reducción: Tan (180° + ct) = Tan a

24. Demuestra las fórmulas de sustracción de ángulos a partir de las fórmulasde adición de ángulos y de las fórmulas de reducción III, IV y V.

25. A partir de las fórmulas de adición de ángulos, demuestra las fórmulas del ángulo doble

26. a) Demuestra la fórmula XI de reducción: Tan (90° — o )= -= t— ~' 1 an a

a partir de las fórmulas de reducción JX y X,

b) ¿Por qué no puede demostrarse la citada fórmula XI a partir de la fórmula X X III de sustracción de ángulos?

27 Halla los ángulos a, comprendidos entre 0o y 360", inclusive ambos,tales que Sen a + Cos a = 0

28 Idem, pero verificando que Sen a = Tan a.

29. Idem, pero verificando que Cos {2 a) + Cos a = 0.

30 Idem, pero verificando que Sen ( / a) = Cos a.

* * * ----------------------------------------------

i

PARADOJA LOGARITMICA

Las funciones logarítm icas son c ie rtam en te im p o rta n te s , h as ta lo s p ro fan o s suelen h ab la r d e l m anejo de los logaritm os co m o de una operac ió n m atem ática m uy im p o rtan te . C on ellos puede incluso dem ostrarse algo rea lm ente so rp ren d en te : ¡Q ue 1/4 es m ayor que 1/2! Ln e fec to . Es c ie rto q u e 2 > 1; y st ahora m ultip licam os am bos m iem bros de esta desigualdad p o r log (1 /2 ) queda 2 log (1 /2 ) > ! o g (1 /2 ) , es decir, iog (1 /4 ) > log (1 /2 ) , pues 2 log (1 /2 ) = log (1 /2 ) = log < 1/4). A hora b ien , la función logarítm ica en base 10 es es tric tam en te crec ien te y , p o r consigu ien te , si log (1 /4 ) > log (1/2) en to n ces , fo rzosam en te es 1/4 > 1 /2 (!!) . ¿Q ué e r ro r se ha co m etid o en esta ''d e ln o s tra c ló n '’', («Solución en la pág. 225).

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V II Fundones trigonométricas1. Radianes.

Un ángulo positivo mide un radián si el arco recorrido por el punto terminal del radio móvil tiene una longitud igual a I.

Como la longitud de la circunferencia trigonométrica es 2?t, en una vuelta completa se genera un ángulo de 2n radianes; por tanto

2it radianes = 360°

o sea:

Jl radianes — 180°

De aquí se deduce que:

1 radián = 57,29578° £ 57° 17’ 44"71

y también que:

1 ° ” radianes ~ 0,01745 32 radianesi oü

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122 P TANIGUCH1

Se suelen adoptar los siguientes convenios de notación:

a) Utilizar letras griegas minúsculas' a , p, y para representar ángulos medidos en grados sexagesimales

b} Utilizar las letras latinas minúsculas x,_y, \p a r a representar ángulos medidos en radianes.

c) Omitir la palabra “ radianes” en la expresión de los ángulos medidos en radianes. Así. por ejemplo, de ahora en adelante escribiremos.

7T = 180°

en vez de “ ti radianes = 180o”

Para expresar a en radianes, bastará multiplicar a por lo que vale Io .

a (grados) = a • (radianes) = a 0,01745 321 oU

Recíprocamente para expresar x en grados, bastará multiplicar x por lo que vale un radián

x(radianes) = je• - ~ f - £ x 57 ,29578°

2. Razones trigonométricas de ángulos medidos en radianes.

Para cada x E R, Cos x. Sen x y Tan x representan, respectivamente, ei coseno, el seno y la tangente del número real x (es decir, del ángulo x radianes) Esio nos permite definir las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, que estudiaremos en sendos apartados sucesivos.

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FU N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S 123

Para hallar Sen x, Cos x o Tan .Y con una tabla trigonométrica hay que expresar x en grados sexagesimales: x- 180°/ti, y proceder como en apartado n ° 7 del resumen teórico del capítulo anterior (ver el ejercicio resuelto n.° 4) Si se clíspore de una calculadora, el método es mucho más sencillo; basta proceder como en e' apartado n ° 4 del capítulo V , pero asegurándonos de que la maquina trabaja ron radianes y no con grados sexagesimales, poniendo la clavija D EG -RA D en posición RAD.

Veamos. por ejemplo, cómo se calcula Cos 2 (coseno de 2 radianes)'

a) Se pone la clavija D EG -R A D en posición RAD.

b) Se introduce el ángulo 2 en la pantalla pulsando la tecla [T]

c) Se pulsa la tecla j COS , o bien las teclas | COS~j , según el modelo.En la pantalla ha de aparecer el resultado Cos 2 = —0,4161468 . (Véase elejercicio resuelto n.° 4.)

5. Fundón seno.

3.1 Definidón.

La función seno es la definida por:

Sen: R -* R x -* Sen x

Su gráfica se llama sinusoide.

3.2 Propiedades.

1 ° Para todo .y E R, Sen ,v está definido. Por tanto la función seno es una aplicación cuyo dominio es: Dom (Sen) = R.

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124 P. T A N IG U C H i

2.° Para todo * £ R es — 1 1 , es decir, S e n x € [—1, 1}, por estemotivo se dice que la función está acotada. Su recorrido es: [—1, 1]

3 ° S en* = 0 paca los x que tengan su punto terminal en (1 ,0 ) o en (—1 ,0 ); ello sólo sucede cuando * es un múltiplo de Jt: 0, +Jt, ±2tí , ± 3 íl, ... es decir, cuando x es de la forma £-it con ( 6 2

4 .° Sen x ~ l para los -Y cuyo punto terminal es (0, 1) es decir para:

Tí 2

3 rr 5 Tt 7 te 9 ji 1 1 TT2 ' 2 2 * 2 ’ 2 ’ '

lo s X c u y o p u n to te rm in a l es (0 , - 1 )

7 ji 9 tt 1 I t i

' 2i

2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’

n 2

6 o Para todo a 6 R s t cumple que

Sen (.e + 2re) = Sen x

Por esta razón, se dice que la función seno es periódica y que su período vale 2n. Observa que la parte de sinusoide que se obtiene para x [0, 2^] fl > longitud de este intervalo cerrado es 2jt), es exactamente igual a la que se obtiene para x £ [2n, 4rt], y a la que se obtiene para a: £ [—2rc. 0 j, ere

7 ° La sinusoide es una linca continua, es decir no se interrumpe nunca. Por « ta razón, se dice que la función seno es una función continua.

4, Fundón coseno.

4.1 Definidón.

La función coseno es la definida p o r-

Cos : R -* RCos x

Su grafica se llama cosinuloide

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i l NCIONLS TRKiONOMl TKlC \S

4.2 Propiedades.

1 0 Para todo x € R , Cos a está definido Por tanto la función coseno es unaaplicación cuyo dominio es Dont (Cos) — R.

2 ° Para todo x E R es — 1 ^ Cos t í j 1, es decir, Cos x £ I—-1. 1).. por estemotivo, se dice que la función coseno está acolada. Su recorrido es

. por c [ - 1. 11

3 ° Cos -v — 0 para todos los a que tengan punto terminal en (0, 1) o en (0, — 1).ello sólo sucede cuando a; es un múltiplo impar de rt/2

Ti . 3n 5 7t , 7tt*r —— , + —— , •+* — , + —— .~ 1 2 1 2

es decir, cuando .v es de la torma (Ik. + 1) Jt/2 con £ E Z

4 ° C o sa — 1 para los x c¡ue son múltiplos de 2tt 0, +271, ±4í!, + 6it,

5 0 Cos a = —1 para los que son múltiplos impares de Ti. ±Tt, ± 37t, +371,

6 ° Para todo a 6 R se cumple que Cos (a + 2 Jt) = Ct»sapor lo que se dice que la función coseno es periódica con periodo igual a 2ir Observa que la parte de cosinusoidt que se obtiene para a £ 10, 27tl, es exactamente igual a la que se obtiene para x £ 12K, 4ft], y a la que se obtiene para a £ [—271,0], etc

7.° La cosinusoide es una linea continua, es decir no se interrumpe nunca Por esta razón, se dice que la función coseno es una función continua

J . Función tangente.

5.1 Definición

La función tangente es la detinida por Tan R —* Rx —* Tan a

Su c;r¡(k.i so llama taneentotde

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126 P. TA N IG UCHI

J.2 Propiedades.

I o Dado que Tan * — S e n * /C o s * , Tana; no es un número real cuando C os* = 0, es decir, cuando * es un múltiplo impar de n /2 :

o sea, cuando x es de la forma (2& + 1) ■ ít/2 con k E Z. Por tanto, su dominio es

Observa que la parte de tangentoide que se obtiene para * € : ]—n/2, tt/2[ (la longitud de este intervalo abierto es n) es exactamente igual a la que se obtiene para x (E )lt/2 , 3ti/2[ y a la que se obtiene para* S ] — 3rt/2, —n/2 [, etc.

5 ° La tangentoide no es una línea continua, porque sufre interrupciones cuando Tan * no pertenece a R Por este motivo, se dice que la función tangente es discontinua (es decir no continua) y que sus puntos de discontinuidad (abscisas para las que la giáfíca se interrumpe) son los múltiplos impares de n /2:

6. Propiedades de las fundones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Son las fórmulas que aparecen en el apartado n ° 8 del resumen teórico del capítulo anterior, pero con los ángulos expresados en radianes.

7. Funciones trigonométricas inversas.

Son inversas locales (ver el apartado 4 de resumen teórico del captulo IV) de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

Sus respectivos nombres son: funaón arco seno, función arco coseno y función arco tangente, a cuyo estudio dedicaremos sendos apartados sucesivos.

2 ° T a n * toma todos los valores reales posibles. Por tanto la función tangente no esta acotada, y su recorrido es: Rec(Tan) = R.

3 ° Tan * = 0 cuando Sen * = 0 (pues Tan * — Sen * / Cos *) es decir, cuando * es un múltiplo de 7t: 0, ± 2 n , ± 3 n , +4n,

4 ° Para todo * del dominio de la función tangente se cumple que

Tan (* + tt) = Tan *

por lo cual, se dice que dicha función es periódica con período igual a 7t

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FU N C IO N ES T R IG O N O M E T R IC A S 127

8. Fundón arco seno.

8.1 Definidón.

Consideremos la aplicación:

Sen : [—rt/2 , it/2 ]—»■ {—1 ,1 ] x -* Sen x

obtenida a partir de la función seno reduciendo el conjunto inicial a [--rt/2, r t/2] y el conjunto final a [—1, l] . Observa que esta aplicación es biyectiva, pues para t o d o ^ é [—1, 1] existe un único x Q [—rt/2 , Jt/2] tal que S e n x —

Por ser Sen una aplicación biyectiva tiene inversa: es la llamada aplicación arco seno:

[ - 1 . 1]-+ [—Jt/2, r t /2] y -* x = are S en j

(x es tal que Senx = y)

Como es usual que representemos por x las abscisas y por y las ordenadas, cambiando la notación tenemos;

Sen“ 1: [ - 1 , l]-> { -r t/2 , rt/2] x-> are Senx

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128 P. TANIGUCHJ

Finalmente, ampliando a R los conjuntos inicial y Final, obtenemos la función arco seno ■

are Sen R -♦ Rx -* are Sen a:

8.2 Propiedades.

I o are Sen x sólo está definido para los x que pertenecen a (—1, 1] Por tanto, Dom (are Sen) = [—1, 1],

2 ° Para todo r 6 [— 1, 1] es — Ji/2 < are Sen x ^ Jt/2 es decir, are Sen x E E [—Tl/2, J l/2] , por este mocivo se dice que la función arco seno está acotada. Su recorrido es: [—-Jt/2, n /2 ]

3 0 La gráfica de la función arco seno es una línea continua en todos los puntos cuyas abscisas pertenezcan a [—1, 1] que es su dominio Por esta razón, se dice que esta función es continua en su dominio

8.3 Valor de are Sen x, con x E [—1, 1].

Para hallar el valor de are Sen .r con una tabla trigonométrica, se halla primeramente el ángulo a comprendido entre —90° y 90°, inclusive ambos, tal que S en a = .v (ver el apartado n ° 10 del resumen teórico del capítulo anterior) A continuación se expresa a en radianes a n /1 8 0 . Por ejemplo, are Sen 0,5 = = 30° = n /6 s 0 ,5235988 y are Sen ( -0 ,5 ) = - 3 0 ü = - n /6 S -0 ,5 2 35988

Si se dispone de una calculadora todo es mucho más sencillo. El método es enteramente análogo al descrito en el apartado n ° 5 del capítulo V , poniendo la clavija DEG-RAD en posición RAD

Veamos, por ejemplo, los pasos que hemos de dar para calcular are Sen 0.5

1 ° Se pone la clavija DEG-RAD en posición RAD

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FU N C IO N ES T R IG O N O M ETRICA S 129

2 ° Se introduce 0,5 en la pantalla.

3.° Se pulsan las tedas [Á R C l|SÍÑ 1 o [F] ÍARCl [sIÑ I o [ IÑ V l|S IN | o | IN V | | S IN o [jF| S IN -1 según el modelo. En la pantalla ha de aparecer 0 ,5235988.

9. Fundón arco coseno. "

9.1 Definidón.

Procediendo como en el apartado anterior, consideremos la aplicación biyectiva:

Cos : [0, it]—► [ - 1 ,1 ]x -+ Cos x

Su inversa es la aplicación arco coseno:

Cos [—1, l]-> [0, 7t]y -» x = are Cos y

(jr es tal que Cos x = y )

Escribiendo x en vez de y viceversa, y ampliando a R el conjunto inicial y el conjunto final, obtenemos la función arco coseno:

are Cos : R —» Rx-> are Cos x

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130 P. TA N IG U C H I

9.2 Propiedades.

1 ° are Cos x sóio está definido para los x que pertenecen a | — 1, 1 ] Por tanto,Dom (are Cos) = {—1, Ij

2 ° Para todo x E (— 1, 1 ] es 0 ^ are Cos x ^ jt, es decir are Cos * £ [0, í t ) ,por este motivo, se dice que la función arco coseno está acotada Su recorrido es' Rec (are Cos) = 10, Jt]

3 ° La gráfica de la función arco coseno es una línea continua en todos los puntoscuyas abscisas pertenezcan a [—1, 1], que es su dominio Por esta razón se dice que esta función es continua en su dominio.

9.3 Valor de are Cos x, con * £ [—1, lí-

Para hallar ei valor de are Cos X con una tabla trigonométrica, se encuentra el ángulo a comprendido entre 0o y 180°, inclusive ambos, tal que C o s a — x (ver el apartado n 0 9 del resumen teórico del capítulo anterior) A continuación se expresa a en radianes: a Jt/180. Por ejemplo, are Cos 0,5 = 60° — t i / 3 = ~ 1,0471976 y are Cos ( - 0 , 5 ) - 120° = 2 ji/3 £ 2 ,0943591

Si se dispone de una calculadora todo es mucho más sencillo Basta proceder como con la función arco seno

10. Función arco tangente.

10.1 Definición.

Procediendo como en los casos anteriores, consideremos la aplicación biyectiva.

Tan ]— n / 2 . n /2(-» Rx -*■Tan -V

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Su inversa es la aplicación arco tangente:

Tan-1 : R - » }—n /2 , n /2 [ y - » x = are T a n j

(* es tal que Tan x = y )

escribiendo x en vez de y, y viceversa, y ampliando a R el conjunto final, obtenemos la función arco tangente:

are Tan : R -► Rx —* are Tan x

10.2 Propiedades.

1.° are Tañar está definido para todos los x pertenecientes a R. Por tanto, la función arco tangente es una aplicación cuyo dominio es1

Dom (are Tan) = R

2 ° Para todo x E R es —rt/2 < arcTanx < ít/2 , es decir, are Tan x 6 ]—tt/2 , t t /2 [ y por este motivo se dice que la función arco tangente está acotada. Y su recorrido es: Rec (are Tan) — ]—tt/2 , tt/2 [.

3.° La gráfica de la función arco tangente es una línea continua que no se interrumpe nunca. Por esta razón, se dice que esta función es continua.

10.3 Valor de are Tan x , con x GR.

Para hallar el valor de are Tan x con una tabla trigonométrica, se encuentra el ángulo a , comprendido entre —90° y 90°, tal que Tan a = x (ver el apartado n 0 11 del resumen te¿ríco del capítulo anterior). A continuación se expresa a en radianes: a Jt/180°. Por ejemplo are Tan l = n /4 S 0 ,7853982 y are Tan ( - 1 ) = —it/4 3 - 0 , 7 8 5 3982.

Sí se dispone de una calculadora, todo es más fácil.

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132 P TANIGUCHI

Ejercidos y problemas resueltosj Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

- y . - - y , i 2 , — 0 , 5 , - p y v / 2

Solución

7t 180°2 2 —90°

j - = — = - 6 0 °

3tt _ 3 180°2 2

2 180°2 = — - = 1 14,591 5 6 ° = 1 14° 3 5 ’ 30" ti

A t 1 S f l O

- 0 ,5 = - - - — = —2 8 ,6 4 7 8 8 9 ° = —28° 38' 52”71

7 2 180°— = ¿ = 38,197 186° = 38° 1 T 50"

3 371

r - \ / í ■ 1 80°N/ 2 = _y-------------£ 8 1 ,0 2 8 4 6 9 ° S 81° 1 42"v Tt

/j Expresa en radianes los siguientes ángulos:" 30°, - 4 5 ° , 150°, - 2 0 ° , 54°, 263° y 23° 17’ 15” .Solución

30° = = 0,52 3 59881 oU O

- 4 5 ° =

150° =

4 5 - tt ti

180 4

150-Tt _ 5* -180 6 "

-2 0 ti Tt180 9

54,263-rt ,180

15” = ^ 2 3 + -

_ 2 0 ° = = ~ ~ S -0 ,3 4 9 0 6 5 9

3600 Í t w ^ - ^ t F 2 - 3 0 '4 0 6 4 4 3 6

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 133

Para cada uno de los siguientes ángulos halia un ángulo positivo, menor que 2ti, y que tenga el mismo punto terminal.

Solución

71a ) — (ver fig. izquierda)

En este caso, es inmediato que el ángulo pedido e s .

2n — j - = = 5,23 59878

b) —~ (ver fig central)

El ángulo buscado es el menor ángulo positivo de la form a.

25* i ,x — — n ¿ n4

siendo n el número de vueltas que da el ángulo 2 5 n/4.

Efectuando operaciones resulta-

_ 25re — 8«7t _ (25 — 8k)-tt ^ Ax - — - ^ ^

en donde vemos que n es el mayor número entero para el que se verifica que 25 — 8 » ^ 0 . M ediante tanteos sencillos encontramos que n = 5

El ángulo pedido es, pues,

= (2 5 - 8-3)it = n s o 7853982 4 4

c) — ~Y ~ (ver ^8 ' derecha)

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134 P TANICUCH1

También en este caso, el ángulo buscado es el menor ángulo positivo de la forma:

^ 34n , Ax = n - 2 n ---- ^ 0

siendo esta vez n — 1 y no n, el número de vueltas que da el ángulo,

Efectuando operaciones encontramos que

6nn — 34tc {6» — 34)rc ^ A x j ^

en donde vemos que n es el menor entero para el que se cumple que 6n — 34 ^ 0. Mediante tanteos sencillos encontramos que n = 6 ,

Luego, el ángulo pedido es

x = (6 6 - 34)7t = 2n _ 2 ,0 9 4 3 9 5 1

Aclaración

Este ejercicio también puede solucionarse mediante este otro procedimiento:

1 ° Se expresa el ángulo en grados sexagesimales (Por ejemplo' — rc/3 = —60°),2 ° Se halla el ángulo positivo, menor que 360°, y que tiene el mismo punto ter

minal (En nuestro ejemplo. 360 — 6 0 ° = 300°) Véanse los ejercicios resueltos n ° 2 y n.° 3 del capítulo anterior.

3.° Se expresa en radianes el resultado anterior (En el ejemplo: 300° = = 300 7t/180 = 5tt/3 = 5,2359878).

^ Halla Sen*, C o sx y T anx , para x = 13 ji/5 .

Solución

Primer método • M ediante una tabla trigonométrica

Expresamos 13rc/5 en grados sexagesimales.

1371 _ 13 .180°5 - 5

Procediendo como es habitual (véanse los ejercicios resueltos n ° 4 y n ° 5 del capítulo anterior), hallemos el cuadrante donde cae el punto terminal de 468° y el ángulo agudo (3 formado por el radio móvil y el eje de abscisas1

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Se observa que P (468°) está en el segundo cuadrante y que p = 180° — 108° = 72°. Por tanto, las razones de 4 6 8 ° (es decir las de 1 3 7t/5) coinciden, respectivamente, con las de 7 2o, afectadas de los signos correspondientes al segundo cuadrante:

Sen ( l 3 - j - ) = + Sen 72° = 0,95 10565

Cos ^ 1 3 - y ) = - Cos 72° = - 0 ,3 0 9 0 170

Tan ^ 1 3 - y - ) = - Tan 72° = -3 ,0 7 7 6 8 3 5

Segundo método: Empleando una calculadora.

Expresamos el valor aproximado de 1 3n / 5 usando la aproximación de 7t que nos proporciona la calculadora: 13lt/5 = 8 ,1 6 8 1 4 0 9 . A continuación calculamos el seno, el coseno y la tangente de 8 ,1681409 , cerciorándonos de que la clavija D E G -R A D esté en posición RAD:

Sen ( l 3 -y -^ = Sen (8 ,1 6 8 1409) = 0 ,9510565

Cos ^ 1 3 y —) £ Cos (8 ,1681409) = -0 ,3 0 9 0 1 7 0

Tan ( 13 -y -^ = Tan (8 ,1681409) = - 3 ,0 7 7 6 8 3 5

Aclaración

Según el modelo con que se trabaje, es posible que no se obtengan estos valores sino otros muy similares. En general la diferencia con los resultados correctos será mayor cuanto menos precisa sea la aproximación de rt que comemos

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136 Y. TAN1GUCHI

j Demuestra que para todo x €1?. tal que Sen x =£ 0 y Cos x 4 0 , se verifica la igualdad:

1 . 1 1 1Sen2 x Cos2x Sen2 x C os2x

En efectoI + 1 _ Cos2 x + Sen2 x

Sen2 y Cos2x Sen2 v Cos2 x

Pero, como Cos2 x + Sen2 y = 1, resulta

1 1 1 1Sen2 x Cos2 y Sen2 .y Cos2 ..y Sen2 \ Co

Demuestra que la siguiente igualdad:

( 1 ^ (Sen x + Cos x f( U T ^ r i w ) a i ^ & r

se verifica para todo x € R tal que Sen x £ 0 y Cos x 0.

Solución

Sustituyendo en el primer miembro Tan x por S enx /C osx , y operando

, Sen x Cos x Sen x Cos x , , Sen2 ,y + Cos2 x= 1 + — + — + — = 1 + 1 +

2 +

C o sx S enx C o sx S enx C osx Sen x

1Cos x Sen x

Desarrollando el segundo miembro tenemos

(Sen x + Cos x )2 Sen2 x + 2 Sen v Cos v + Cos2 xSen x Cos x Sen x Cos x2 Sen x Cos x Sen2 x + Cos2 x , 1+ — = 2 +Senx C o sx S enx C o sx S enx C o sx

El resultado es idéntico al obtenido al desarrollar el primer miembro.

• j Encuentra los x E [0,2nJ tales que

a) Sen * = 0 ,5877853b) Sen * = -0 .5 8 7 7 8 5 3

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Solución

a) Sen * = 0 ,5 8 7 7 8 5 3

Los ángulos pedidos son; (ver fig. izquierda)

*, = are Sen (0 ,587785 3) = 36° = - 4 ¡ ~ - S 0 ,6 2 8 3 1 8 6 ( ' )1 oU

x 1 = n - x l 3 2 ,5132741

b) Sen * = —0,587785 3

Hallemos previamente: (ver fig. derecha)

y — are Sen ( -0 ,5 8 7 7 8 5 3 ) = - 3 6 ° s -0 ,6 2 8 3 1 8 6

Este resultado no es solución del ejercicio, pues no pertenece a 10,2jt]. Sin embargo, las soluciones pedidas son:

x , = n - ? =£ n + 0 ,6 2 8 3 1 8 6 = 3 ,7699113 x2 = 2 ? t + j S 2 n —0 ,6 2 8 3 1 8 6 = 5,6548667

^ H allar lo sx € [0,2lt] que verifican.

a) Cos * = 0 ,5 7 3 5 7 6 4b) Cos * = -0 ,5 7 3 5 7 6 4

Solución

I I i Si se dispone de un4 cnicuiud' «ru, rn> hace falta hallar 36° para luego expresar este Ángulo en radianes 1 I resu ltad" si, p iicde uh .en e r di re tí am en té . véase el apartad o n “ K del resum en teórico

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138 IV TAN IG UCHJ

a) Cos x = 0 ,5 7 3 5 7 6 4

Los ángulos pedidos son (ver fig. izquierda)

x, — are Cos (0,573 5764) = 5 5 ° = - ^ ° ^ = 0 .9 599311

x 2 = 2n — Xj = 5,3232 543

b) C o sx = -0 ,5 7 3 5 7 6 4

Los ángulos pedidos son: (ver fig derecha)

x, = are Cos ( - 0 ,5 7 3 5 7 6 4 )= 180o - 5 5 ° = 1 2 5 " ^ 2 ,1816616 x2 = 2n — x t = 4 ,101 5 2 3 8

^ Cuales son los x 6 {0,2rt] tales que; a) Tan x = 3 ,7320508b) Tan x = -3 ,7 3 2 0 5 0 8

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Solución

a) Tan * = 3 ,7320508

Los ángulos pedidos son : (ver fig. izquierda) ( 1)

ar, = are Tan (3 ,7320508) = 75° = = 1 ,3089970I oU

x 2 — n + x t ^ 4 ,4505897

b) Tan * = - 3 ,7 3 2 0 5 0 8

Hallemos previamente: (ver fig. derecha)

j = are Tan ( -3 ,7 3 2 0 5 0 8 ) = - 7 5 ° S -1 ,3 0 8 9 9 7 0

Los ángulos pedidos son:

X i - n + y = 1 ,8325957 x 2 = 2n + y ^ 4 ,974 1 8 8 4

1 0 Resuelve en [—rc, rc] la ecuación: Cos ( x f l ) = 0,5.

Solución

Hagamos y = x /2 ; entonces x = 2^. Por tanto, hemos de hallar lo s j £ {—Jt/2, Jt/2] tales que Cosjy = 0,5.

y y — are Cos 0,5 = - y = 1 ,0471976

y 2 = - y y = — y - = —1,0471976

Luego, las soluciones pedidas son

x t — 2yy ~ - y - = 2,0943951

X2 = 2y2 = - ~ ? É -2 ,0 9 4 3 9 5 1

<1) Este resu ltado se puede ob tener d irectam ente con una calculadora, sin necesidad de calcular previa m ente 7 5 °

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140 P TAN1G UCH1

Comprobación

En primer lugar como — 7T < < 7t y - n < — -y - < n,

se tiene que x , ,x 2 6 í—7t, 7t ] ; por otra parte:

Cos ( ^ - ) = Cos (1 ,0471976) = 0 ,5000013 ^ 0 ,5

Cos ( = Cos ( -1 ,0 4 7 1 9 7 6 ) = 0 ,5 0 0 0 0 1 3 ^ 0 ,5

1 1 Halla los x €: {1 — n / 2 , 1 -f 7l/2] tales que: T an2 (x — 1) = I.

SoluciónHagamos j = x — 1; entonces x = y + 1 Por tanto, hemos de hallar los

y* z {—n /2 , n i 2] tales que T an2j = 1, es decir, Tan 7 = ± 1 .

y x = are Tan 1 — — 0 ,78 5 3982

y 2 = are Tan ( - 1 ) - - - 5 - £ -0 ,7 8 5 3982

Las soluciones pedidas son:

* i = y \ + 1 + 1 = 1,7853982

*2 = J 2 + 1 + 1 = 0 ,2146018

Comprobación

En primer lugar es inmediato que

1 II , i It , i Jt1 — =- < 1 + ~ r < ! +2 4 2i 7T \ Tí -, Tí

2~ 4* 2"

por lo que aq, x z g- £ 1 ---------- 1 + - 5 ~ ] . Por otra'parte

Tan2 (x, - 1) = Tan2 (0,78 5 3982) = 1 ,0000002 S 1 Tan2 (x2 - 1) = Tan2 ( -0 ,7 8 5 3 9 8 2 ) = 1 ,0000002 S 1

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J 2 Halla los x E [0, n] tales que 8 Tan (2Ly) = 2 5 Tan x.

Solución

Sustituyendo en la ecuación dada la lórmula del ángulo doble

Tan (2.v) 2 Tan *1 — Tan x

queda:

8 -2 Tan x

1 — T an2 ar2 5 Tan a

Poniendo todo en el primer miembro y sacando factor común Tan x, resulta:

T “ ->- [ r r ^ b r - 25] “ 01 — Tan x - 16 — 2 5 + 25 T an2.¥ nl an x :------= — = U

1 — Tan2 x

Tan .y (2 5 Tan2 v - 9) = 0 <Tan x — 0

2 51 an2 y — 9 = 0

Resolvamos en [0, ni las dos ecuaciones que se presentan

a) Tan x = 0

Es inmediato que en este caso las soluciones son

,Vj = 0 y x 2 = n = 3,141 5927

b) 25Tan2 x - 9 - 0

Tan .y = ± y / j r =3 ± 0,6

Hallemos, pues, los ar £ [ 0 ,7i] que Tan x = + 0,6

v3 = are Tan 0,6 - 0 ,5 40419 5 x4 = Jt + are Tan (—0,6) =

„ -0 ,5 4 0 4 1 9 5 2,601 1732

y - a i : iq( 0 .6i

x4 - 5T + V

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142 P. TAN1GUCH1

Finalmente, las soluciones de la ecuación 8 Tan ( 2 a ) = 2 5 Tan a que pertenecen a [0, it] son. ^ = 0 a 3 = 0 ,5404195

x2 = « = 3,141 5927 x4 ~ 2 ,60117 32La comprobación no ofrece dificultades

13<£ Resuelve en el intervalo cerrado [0, 2 n] la siguiente ecuación trigonométrica:

Cos (2x) = Cos x + Sen x

SoluciónHemos de hallar los [0, 2rc] cales que: Cos ( 2 a ) = Cos a + Sen a

En virtud de la fórmula X X IV de! ángulo doble se tiene

Cos ( 2 a ) = Cos2 A — Sen2 a

Sustituyendo este resultado en la ecuación dada queda

Cos2 a — Sen2 a = Cos a + Sen a

Pero, como a2 — b1 = [a + b) (a — b). podemos escribir

(Cos A + Sen a ) ( C o s a — Sen a ) = Cos a + Sen a

(Cos a + Sen a ) ( C o s a — Sen a ) — (Cos a + Sen a ) = 0Cos A + Sen A = 0

(Cos A + Sen a ) (Cos a — Sen A — 1) = 0 <CCos a — Sen a — 1 = 0

Se presentan, pues, dos posibilidades. Examinémoslas; es decir, resolvamos las dos ecuaciones trigonométricas planteadas:

a) Cos a + Sen a = 0Sen a = — Cos A *

lien a

C o s .Tan a = — 1

Para hallar los x £ [0, 2 t t] tales que Tan x = — 1, hallemos primeramente

y = are Tan (— 1) = -----^ - = 0,785 3982 Las soluciones a , y a 2 que se presentan son

a, = n - -5 — = ~ = 2 ,3561945 1 4 4

x , = Z n - - 7 - = ^ r = 5 .4 9 7 7 8 7 2 1 4 4

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FU N C IO N E S TR IG O N O M E T R IC A S 143

b) Cos x — Sen x — 1 — 0

De la fórmala pitagórica. Cos2x + Sen2x = 1 se deduce que, C o sx == í y l — Sen2 x. Sustituyendo en Cos x — Sen x = 1, queda una ecuación irracional en la incógnita Sen x:

+ \ J 1 — Sen2 x — Sen x — 1 = 0

Procediendo como es usual en estos casos

+ \ J 1 — Sen2 x — 1 + S enx (+ \ J 1 — Sen2 x)2 = (1 + Sen x)2

1 — Sen2 x ~ 1 + 2 Sen x + Sen2 x2 Sen2 x + 2 Sen x — 0 Sen2 x + Sen x = 0

S enx-(Senx + 1) — 0 < ^ *' Sen x + 1 = 0

Los x € [0 ,2n] que verifican Sen x = 0 son: 0, K y 2ti. Sólo hay un X £ [0 , 2n]

que cumpla que Sen x + 1 — 0, es decir, Sen x — — 1. es -= -

Las soluciones halladas: 0, rc, 2n y - y - , deben ser comprobadas en la ecuación

Cos x — Sen x — I = 0, pues como provienen de una ecuación irracional, al elevar al cuadrado pueden haberse introducido soluciones extrañas. Hagámoslo.

Cos 0 — Sen 0 — 1 = 1 — 0 — 1 = 0 => 0 es soluciónCos 7t — Sen 7t — 1 = — 1 — 0 — 1 = —2 o => n no es soluciónCos (2rt) — Sen (2?i) — 1 = 1 — 0 — 1 = 0 => 2rc es solución

Cos ^ '^ r '^ — Sen ^ — 1 = 0 — (—1) — 1 = 0 => -y - es solución

Luego, los x E [0, 2n] que satisfacen la ecuación C o s x — Senx — 1 = 0 son

X j = 0

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144 P. TAN1GUCH1

Finalmente, las soluciones de la ecuación propuesta inicialmente (Cos (2x) ■■ = C o s* +• Senx) y que pertenecen al intervalo cerrado [0, 2rr], son:

2 ,3561945

* , = =. 5 ,4977872i 4

-*3 = 0; ^ = 2 n 2 6 ,283 1 8 5 4

x, = = 4 ,7123891

Estos resultados se comprueban sin dificultad

14 Halla los x E [0, n /2 ] tales que: Senx - C o sx = 0,25

Solución

Primer método

Como Sen (2x) = 2 Sen x Cos x (fórmula XXV) tenemos:

c ^ Sen (2x)Sen x -Cos x = ----- j — —

de donde la ecuación dada se expresa como

Sen(2x) Q , ?

Sen (2x) = 0,5

Para resolver esta ecuación, resolvamos primeramente la ecuación

Sen^y = 0,5

En el intervalo [0, TtJ las soluciones de la ecuación propuesta serán de la forma x —y l l \ y como y 6 [ 0 ,n) se cumplirá que x E [0, n /2 ] . L o s j E [0, n] calesSen y = 0,5 son

= are Sen (0,5) = n ! 6 ~ 0 ,5235988 y 2 ~ n — >', - 5 n /6 = 2 ,6179939

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Luego, las soluciones de la ecuación propuesta pertenecientes a [0, Tt/2] son :

= \ = T I s 0,2617994 *2 = = TI “ 1'3089970Comprobación

En primer lugar, como n /2 £~ 1 ,5 7 0 7 9 6 4 ,«-resulta que x ¡ ,x 2 € [0, n /2 ) . Por otra parte

Sen x , • Cos x t = 0 ,2500001 £ 0,25 Sen x 2-Cos * 2 = 0,2 5

Segundo método

D ado que Cos2* + Sen2* = 1 (fórmula I) se nene:

Cos x = + \ / 1 — Sen2 x

Sustituyendo en la ecuación dada, queda una ecuación irracional en Sen x que hemos de resolver:

Sen x- (+ \ / l — Sen2 x) — 0,2 5 [Sen x- (± v / l - Sen2*)]2 = 0 ,2 52 Sen2*-(1 — Sen2 a:) = 0 ,0625 Sen4 x — Sen2* + 0 ,062 5 = 0

Resulta pues una ecuación bicuadrada en S en* que resolvemos seguidamente:

1 ± \ / l - 4 - 0 ,0 6 2 5 1 ± \ / 0 J 5Sen2 * = 2

/ 1 ± v /0 ,7 5 . ± 0 ,9 6 5 9 2 5 8Sen * — + 2 - < ± 0 ,2588191

Dado que * ha de pertenecer a [0, J t/2 ], obviamente desechamos las soluciones negativas, pues el seno es negativo en los cuadrantes 3 ° y 4 .°, y los ángulos que pertenecen a (0 , t t / 2] son del primer cuadrante.

Busquemos, pues, los * E [0, Jt/2) tales que S e n * = 0 ,9659258 o bien, S e n * = 0 ,258819 1:

*, = are Sen (0 ,9 6 5 9 2 5 8 )= 1,3089968 x2 = are Sen (0,2 5 88 191 ) = 0 ,261 7 9 9 4

(La pequeña diferencia que hay entre la solución 1,3089968 y la solución L 3089970 obtenida por el método anterior, se debe a que al calcular Sen* hemos hallado valores aproximados de las raíces cuadradas )

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146 P.T A N 1G U C H !

j ^ Halla el dominio de la fundón:

/ ( x ) — Senx + 2 C o sx — Sen2 x + 3 Sen x- C o sx

Solución

Las funciones seno y coseno tienen por dominio a R. Esto ejuiere decir que para todo x € R, existen Sen x y Cos x. Estos dos números reales (Sen x y Cos x) pueden ser sumados, restados, multiplicados entre sí y multiplicados por constantes.

Por tanto, para todo se verifica que.

/ (x) = Sen x + 2 Cos x — Sen2 x + 3 Sen x Cos x

es un numero real, lo cual implica que el dominio de / es R

Resumiendo. Dom f — R porque para codo x € R se tiene que f (x) € R

I f Cuál es el dominio de la fundón:

/ ( * ) — Cos x — Tan x

Solución

Para todo x € R se tiene que C o sx £ R, es decir, que Dom (Cos) = R Sin embargo, Tan x no pertenece a R cuando x es un múltiplo impar de Jt/2 , es decir, cuando x es de la forma' {2k + l ) - r c /2, con ^ € 2 .

En consecuencia, la diferencia: .Cos x — T a n x sólo se podrá realizar cuando T a n x pertenezca a R, es decir, cuando x no sea un múltiplo impar de n /2

Luego, el dominio de f estará formado por los números reales que no son múltiplos impares de n / 2 , es decir;

D o m / = R - ^ (2 * + l ) - í - , * e 2 }

-M. * § ü -3 2 "JL r r 3 <t 5 f r 7 tr2 2 2 2 2 2 2 2

j y Halla el dominio de la fundón:

n \ c \ . 2 Sen x + 3 Cos x/ ( * ) = S » (C o. x) + 4 _ C os);t

Solución

D ado que Dom (Sen) = Dom (Cos) = R, es inmediato que para todo x € R se verifica1

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a) Sen (Cos x) 6 R, pues Cos x es un número reai cuyo seno, que es Sen (Cos x ) , también pertenece a R.

b) (2 Sen x + 3 Cos x) € Rc) ( 4 - C o s 2x ) e R

Ahora bien, como para todo x € R se verifica —1 Cos x ^ Iresulta que Cos2 x ^ 1, de lo que se deduce que • 4 — Cos2 x 3

•*-> 11 2 Sen x + 3 C o sx ~ nEllo implica que: ----- ----- ——r fe R para codox 6 R4 — Cos x

pues el denominador 4 — Cos2 x no se anula nunca (por ser 3)

En definitiva, pues, tenemos que para todo x € R se cumple que

r , \ c ir- \ , 2 Sen x + 3 C o sx - D/ ( x ) = Sen (Cos x) + 4 _ Co¿ x ------ 6 R

es decir: D om / — R.

I q Encuentra el dominio de la fondón:

I Im Sen x Cos x

Solución

Observa que la suma sólo se podrá realizar si los sumandos

1 1 ------- y —— ...Sen x Cos x

son números reales. Para ello, es necesario y suficiente que tanto Senx como Cos x sean distintos de cero.

En consecuencia, los únicos números reales que no pertenecen ai dominio d e / son aquellos para los que Sen x = 0 . o bien, Cos x = 0 Pero recordemos quc- para que se cumpla una de estas condiciones, el punto terminal del ángulo x ha de estar sobre uno de los ejes coordenados, pues P (x) = (Cos x, Sen x). Los ángulos cuyos puntos terminales están sobre uno de los ejes coordenados, son los múltiplos de r t /2 :

0 , ± — , ±rt, ± - y - , ± 2rc ,...

es decir, son los de la forma; x = £ ti/2 con ^ £ Z

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14« P T A N lfiU C H l

Luego, el dominio d e /e s ta rá formado por ios números reales que no son múltiplos de í t / 2, es decir,

Dom / = R — I

I p . Busca el dominio de la fundón:

1/ ( * > - Sen x + Cos x

Solución

Es inmediato que los únicos números que no tienen imagen son aquellos para los que se verifica que- S enx + C o sx — 0, Transformemos esta expresión.

í— , Sen x » ib e n x = - C o s* <=> -=-------— —i <=> l a n x — — lCos x

Hemos de hallar, pues, los x pertenecientes a R tales que Tan x — — 1; uno de ellos es: are Tan (—1) — —Jt/4 . Los demás se obtienen sumando a —n / 4 un múltiplo de n*

- ~ ±*’ - -5- ± 2n> - ±3n -4 4 4

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20 Cuál es el dominio de la función: f ( x ) — Tan (x/2).

Como la tangente no está definida cuando el ángulo es un múltiplo impar de n / 2 , resulta que Tan (x / 2 ) no pertenece a R cuando x / 2 es de la forma:

-y- = (2£ + 1) - y *G Z

o sea cuando x es un múltiplo impar de Tt:

x = (2£ + l ) í t k e z

Luego, el dominio de / e s t a r á formado por los números reales que no sean múltiplos impares de 71, es decir:

D om / = R - {{2* + l ) n , k € Z)

-3 tt - rr o- 3 rr 5 o

21* Halla el dominio de la fundón: / ( x ) = y /S tñ x .

Solución

Ya sabemos que S e n x 6 R para todo x £ R . Sin embargo, para que podamos extraer la raíz cuadrada a Sen x, es necesario y suficiente que Sen x ^ 0. Por tanto, el dominio de / estará formado por aquellos números reales cuyo seno es ^ 0 .

D om / = ( x £ R / Sen x ^ 0}

La manera más cómoda de hallar este conjunto es a partir de la sinusoide, observando para qué valores de x, la gráfica está en el semiplano superior cerrado (porque para estos valores se cumple predsamente que y = Sen x ^ 0).

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150 P . TA N IG U C H I

Dom / — ... U [—4n, —3?t] U [—2ít, —jt] U [O, Jt] U [2n, 3ji] U [4n, 5nj U ...

Observa que todos estos intervalos tienen por extremo inferior (el extremo de la izquierda} un múltiplo par de Jt; el extremo superior (es decir, el que está a la derecha) se obtiene sumando Jt al otro extremo.

Por tanto, Dom / es la unión de todos los intervalos cerrados de la forma

2k.n + Jtl = f2 /b t, (2 k + l ) j t ] k . G Z

es decir;

D o m /= U [2£jt, (Zk. + 1 )ít)* 6 2

A este mismo resultado podríamos haber llegado mediante el siguiente razonamiento :

Como Sen x es la segunda coordenada de P (x), punto terminal del ángulo x,

En particular. Sen x 0 cuando x € 10, Jt] Por otra parte, sabemos que si a x le sumamos un múltiplo cualquiera de 2jí, s u seno no se altera:

Sen (x + k.'2n) = S enx k .€ :Z

De ello se deduce que los intervalos en los que el seno es ^ 0 se obtienen sumando un múltiplo de 2zt a los extremos de 10, Jt); por tanto, dichos intervalos son de la forma:

[0 + £-2n, Jt + i 2n] = [2£n, {2k + l)?t] k. 6 2

por lo que

D o m /= U (2£jt, ( 2£ + l )n ] k € Z

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Ejercidos y problemas propuestos1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos

a) n /4 c} 3jt/ 10 e) —l l n / 2b) - n / 5 d) 17n /3 i) 8 j t - ( n / 6 }

2 Idem para:

a) l c) 0,25 e) - y Í 3b) - 3 d) 1 7 /6 f) \¡n

3, Expresa en radianes los siguientes ángulos

a) 90° c) - 6 0 ° e) 210°b) 180° d) 18° f) - 3 0 0 °

4, Idem, para:

a) 5o c) 48 0 ° e) 29° 31’b) —35° d) 7 5 ,2352° f) 52° 19’ 33”

5, Para cada uno de los siguientes ángulos halla un ángulo positivo, menor que 2rt, y que tenga el mismo punto terminal: t

a) —7t/4 c) 3 5 it/6 e) — 23tc/6b) —7 rt/3 d) 2 7 * /4 f ) - 3 8 « / 3

6 Halla las razones trigonométricas de:

a) Los ángulos del ejercicio propuesto n ° 1b) Los ángulos del ejercicio propuesto n.° 2.c) Los ángulos del ejercicio propuesto n ° 5.

7. Demuestra que para todo x € R tal que Sen x £ 0 y Cos x st 0, se tiene que

Cos2 x ■ Tan2 x- + ■ — 1T an Jf

8 Demuestra que para todo x € R tal que Cos x 4= 0 se cumple que •

1 1

FU N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S 15 i

T an4 x + T an2 x ■Cos4 x Cos2 x

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152 P. TANIGUCH1

9, Demuestra la identidad: Cos (2x) = Cos4 x — Sen4 x.

10. Demuestra que para todo x € R que no sea múltiplo impar de Jt/2 , se veri* fica la identidad:

1 1 l1 — Sen x 1 + Sen x Cos2 x

1 1 Demuestra la siguiente identidad:

Sen (n — x ) • Cos x^ — Cos (re — x ) ■ Sen ^ - y ------ x^ = 1

.12.. Utilizando fórmulas de adición de ángulos, demuestra las siguientes identidades ;

a) Sen ^ + x^ = — Cos x

14. Calcula los x G [0, 2ít) tales que:

a) C o sx — 0 ,5299193b) S e n x = 0 ,3420201c) Tan x = —1,5398650

15 Halla los x G R tales que

a) Cos x = 0,5b) Sen x = 0,5c) Tan x ~ I

b) Cos ^ yy- + x^ = + S en .

d) C o sx = - 0 ,9 7 8 1 4 7 6e) Sen x = -0 ,9 8 4 8 0 7 8f) T a n x = 0 ,4 4 5 2 2 8 7

d) C o sx = - 0 ,5e) Sen x = —0,5f) Tan x = — 1

16 Resuelve en [0, 2«) la siguiente ecuación trigonométrica:

Cos (3x) = — 1

17 Halla los x G t—í t /2 , í t / 2 ] tales que1 Sen2 x + C o sx = 1.

18. Resuelve en [—re, re] la ecuación

5 1 3 Tan xSen x Tan x

19. Cuáles son los x G R tales que: Sen ( 2 x ) = 1 .

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20. Encuentra los R que verifican: Cos ( 2jc / 3) — 0.

21 Halla los x £ R tales que' T a n (x /2 ) = 1.

22 Resuelve en [0, 2n] la ecuación.

3t - = 8 Tan a: — 2

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 153

Cos- x

Indicación: Utiliza la fórmula pitagórica II.

23* Encuentra los x 6 [—n, 7t] que cumplen:

Sen 2x — 2 Cos2 x + 2 Cos *

24* Halla los x £ R tales que

4 Cos x —

( f - )2 5* Encuentra los x £ [0, 2n] tales que

2 Sen x + 3 Cos x — 1

26* Resuelve en [0, 2n] la siguiente ecuación.

Sen ^ rc ~ ^ . |^Sen + x^ + Sen (2x)J

— |Cos x — Cos ^ y x^ J • Cos (2x)

27* Encuentra los x £ {0, 2ttJ tales que:

1 8T a n (2 x )+Tan (2x) Tan x — T an3 x

28* Resuelve en [0, 2tc] la ecuación:

Cos (2x) — Cos x — Sen x

29 Hálla el dominio de cada una de las siguientes funciones’

f (x) = Sen x 4- Cos x b (x) = Sen2 xg (x) — Sen x • Cos x k (x) = Sen (x2)

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P. TA N ÍG U C H I

30. Cuál es c! dominio de las siguientes funciones

/ (x) = x2 + Sen x — Sen (x /2) + Cos (x + 1) — 1

g { x ) - i / x 2 í Sen { \ / x l + 1 ) - \/-<2 + 4 ■ Cos ( \ f x2 + 4)

31 Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

/(.v) — Sen h(x) = Cos ( " T Z y )

*w=Cos ( i f r ) *w=Stn ( t t f t ó ")32. Halla el dominio de las siguientes funciones:

/ (x) - Tan (2x) b(x) = Tan (Cos x)

iW = T«n ( ^ r ) * W = Sin (

33 Cuál es el dominio de las siguientes funciones:

/ ( x ) = Sen ( \ /x ) h(x) = Cos ( \ / 1 — x2)

i W - C o s ( - i _ ) t w = s « „ ( - 77 l _ r )

34* Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

/ (x) = \ /C o s x h (x) = Tan (x2)

¿ (x) = Tan (> /x) k (x) = \ / f a n x ~

* * * ---------------------------

MATEMAG1A

Se p u ed e adivinar el cum pleaños de una p ersona h aciendo q u e realice c ie rtas operaciones con una calculadora, D ale la m áquina, s itú a te en u n a po sic ió n desde la q u e no te sea posib le ver la pan ta lla , y d íle: I o ) “ Escribe el núm ero d e l d ía en la p a n ta lla " . 2 o) “ M ultip lica p o r S ” . 3 o) “ Sum a 6 ” . 4 o ) “ M ultiplica p o r 4 ” . 5 o) “ Sum a 9 ” . 6 o) “ M ultip lica p o r 5 " . 7o ) “S um a e l n ú m ero del m es” 8o ) “ R esta 165” Por ú liitno , haz que te enseñe e l resu ltado . Las d o s ú ltim as cifras son el núm ero del m es, y e l re s to el núm ero d e l d ía . P or ejem plo , si e l nú m ero es 23 ! 1, el cum pleaños es el 23 de nov iem bre; si es 301 el cum pleaños es e l 3 d e enero . Con u n p o co de im aginación se pueden in tro d u c ir variantes a esta d iversión: p e rm u ta r las e n trad as del nú m ero d e l m es y el de los d ía s , añad ir una 9 a in strucción , p o r ejem plo , “ M ultiplica p o r 4 7 ” y luego t ú divides el resultad o p o r 4 7 , e tc .

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V III SucesionesR E SU M E N T E O R IC O

1. Sucesiones.

Una sucesión de números reales es una aplicación; r N 0 -> R donde N 0 es el conjunto de los números naturales distintos de cero, es decir, N 0 — N — {0}

La imagen del número natural », se representa por sn y se llama término n-ésmo de la sucesión. Por ejemplo, sl es el primer término, es el segundo término, etc

Normalmente, una sucesión se representa por (ín) y como es imposible escribir todos sus términos, se ha de dar un criterio (generalmente una fórmula), que permita hallar s„ para cada valor concreto de n\ dicho criterio se llama término general.

Veamos algunos ejemplos:

a) s„ = l/n

En casos como éste, se dice que el término general es explícito, porque consiste en una fórmula que permite calcular sn en función de n. Por ejemplo, t2 = 1/2 = 0,5.

b) í, = 1 ; s2 = 2 ; sn ~ S- — 2 * * si s > 3

En casos como éste, se dice que el término general es recurrente, porque consiste en una fórmula que permite hallar ín en función de los términos que le preceden Por ejemplo:

r, + s2 1 + 2 3i , - — r - _ - r _ 1,5

Se llama sucesión constante a la que tiene todos sus términos iguales Por ejemplo, la sucesión (ín) cuyo término general es stt — 2 es una sucesión constante En cambio, las sucesiones de los ejemplos de arriba no son constantes

2. Operaciones con sucesiones.

Para operar (sumar, restar, ...) dos sucesiones, basta operar sus respectivos términos generales. Por ejemplo, si (an) y (b„) son dos sucesiones tales que

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156 l5 TA N IG U C H l

a„ ~ }n + 1 y bn = 2«, entonces el término general de {af) + (bn) es an + bn — = 5« + 1 De un modo análogo se opera una constante con una sucesión, Por ejemplo, el término general de 2-{an) es 2an = 6n + 2 (Véase el ejercicio resuelto n ° 3.)

3. Sucesiones acotadas.

Se dice que la sucesión (an) está acotada superiormente sí existe un número real k, llamado cota superior, tal que para todo n € N 0, se verifica an ^ k. Por ejemplo, la sucesión ( 1/«) está acotada superiormente por 1 porque 1/« ^ 1 para todo n £ N 0, (Observa que cualquier número mayor que 1 también es una cota superior de esta sucesión.) La sucesión (h2), en cambio, no está acotada superiormente porque n7 puede tomar valores tan grandes como queramos.

Se dice que la sucesión (an) está acotada inferiormente, si existe un número real k , llamado cota inferior, tal que para todo n £ N 0, se verifica k . ^ a n . Por ejemplo, las sucesiones (1/») y (k2) están acotadas inferiormente por 0. (Fíjate que cualquier número menor que 0 también es una cota inferior de estas sucesiones.) En cambio, la sucesión (—n) no está acotada inferiormente por ningún valor.

Se dice que la sucesión (an) está acotada, si lo está superior e inferiormente Ello equivale a la existencia de un número positivo k, llamado cota, tal que para todo se cumple que [<*„|^ k Por ejemplo, las sucesiones (1 ¡n) y(— \ ¡ \ f t í ) están acotadas por 1. En cambio, las sucesiones (h2) y (•—«) no están acotadas, porque la primera no está acotada superiormente y la segunda no lo está inferiormente,

4. Sucesiones convergentes.

Diremos que la sucesión (a„) tiene límite a, y escribiremos'

lim an = a

si podemos hacer que todos los an, excepto quizás unos cuantos, estén tan cerca de a como queramos Es decir, sí para todo número positivo £ (por pequeño que sea) existe un subíndice n0 tal que si ti n0, entonces \ an — a] < £.

Veamos algunos ejemplos*

a) La sucesión (an) definida por aH— 10“", cuyos primeros términos son:a¡ = 10_I = 0, 1, a2 = 10~2 = 0,0 1 , a3 = 10~3 = 0,001, ... tiene límite 0, es decir, lim an — 0

3n2 + 1b) La sucesión (an) definida por an = — cuyos primeros términos son :

a¡ = 4/1 = 4, a2 = 13/4 = 3,2 5, ^ = 2 8 / 9 = 3 , T

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SUCESIONES 15

= 4 9 /1 6 = 3,062 5, a¡ = 76/25 = 3,04, ... tiene límite 3, es decir, lim an = 3

_ »c) La sucesión (¿n) definida por ¿ „ = 0 ,3 3...3 cuyos primeros términos son

0,3, 0 ,33, 0 ,333 , ... tiene límite 0,3 = 1/3 f 1), es decir, lim d ¡„ = l /3

d) La sucesión (1 /n) tiene límite 0. iim (l/w) = 0

e) Toda sucesión constante tiene límite. Por ejemplo, la sucesión (¿/„) con an = 2 para todo n 6E N a, tiene límite 2 lim 2 = 2,

Se dice que una sucesión es convergente si tiene límite ( 2) En caso contrario se dice que es divergente, Por ejemplo, las cinco sucesiones de arriba son convergentes En cambio, las sucesiones cuyos términos generales son, respectivamente an — «2, bn — —h y cn = (—1)", son divergentes

5. Propiedades de las sucesiones convergentes ( 3).

1 a Toda sucesión convergente está acotada.

Por ejemplo, la sucesión (1/»), que tiene límite 0 , está acotada por 1, pues | l /» |ís ; I para todo n 6 N 0; en cambio, la sucesión (m2) no es ni convergente ni acotada No toda sucesión acotada es convergente. Por ejemplo, la sucesión (a„) con an = (— 1 y , cuyos primeros términos son : — 1, + 1 , —1 , + 1 , no esconvergente, aunque está acotada por 1

2 d Sean (a„), (bn), (rrt) tres sucesiones tales que para todo « 6 N 0 se cumple que an b„ cn Si (an) y (r„) son convergentes y tienen el mismo límite c entonces, (bn) es convergente y su límite es c (4)

Por ejemplo, tomemos: an = — 1/rc, bn = (— 1)"/« y cn = 1 jn Estas sucesiones verifican la hipótesis del enunciado

1 (— 1 )" 1 < — < ---- es decir a . < b„ < c„n n « * ^ »

lim { — ) = lim —— = 0 es decir lim a„ — lim i„ = 0V n / n n n

Luego, (¿w) es convergente y su límite es 0 lim b„ = lim (— 1)*/» = 0

| 11 K e n u rJ k que 0 .3 es un numen,« Jeu m a l pcriúdiLi.) tuv ;i ge»er;uri7 es 1/3(2 ) Ai d e u r esto se entiende que el 1 im he es un núm ero real, o sca4 que no es ni +-<x> ru ce

I y \ Las p ropiedades que hacen referencia a Jas operaciones entre sucesiones convergentes aparecen cn elüpariadit IJ Je esle resum en teo n co(4 ) F-II d a rg o t J e los m atem áticos este resultad«:■ se conoce com o el teorema de la polu ta "LTn detenido \bn) es i oridui.ido p-ir J o s policías (//„l y \ f H) Si los policías se dirigen a J.-i com isaria i : entonces el detenido fjm liK n se dirige a <

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i 58 P, TA N IG U C H I

6. Sucesiones infinitésimas o nulas.Se dice que una sucesión es infinitésima (o nula) si tiene límite 0. Por ejemplo,

las sucesiones ( 10“") y ( 1/n ) son infinitésimas.

Propiedad fundamental: El producto de una sucesión infinitésima por una sucesión acotada, es otra sucesión infinitésima.

Por ejemplo, consideremos la sucesión infinitésima (an) con an = 1/n, y la sucesión {(?„) con bn ~ (— 1 y \ que es acotada (pero no convergente). Su producto es una sucesión infinitésima; lim a„ b„ = lim l /n- (— 1)" = lím (— l )n/n = 0.

7. Sucesiones monótonas.

Se dice que una sucesión (an) es creciente (o monótona creciente) si para todo n € N 0 se verifica: an^ .a n+1. Si, en particular, se verifica que an <a„+1 para todo n £ N 0 se dice que la sucesión es estrictamente creciente. Por ejemplo, la sucesión (h2), cuyos primeros términos son; l, 4, 9, 16, 25 , es estrictamente creciente. En cambio, la sucesión

a _ í w/2 si w es par ” l ( « + l )/2 si n es impar

cuyos primeros términos son: 1, 1, 2, 2, 3, 3, es creciente pero no es estrictamente creciente

Se dice que una sucesión (a„) es decreciente (o monótona decreciente) sí para todo n € N q se verifica: an ^ an+v Si, en particular, se verifica que an > an+l para todo n £ N 0, se dice que la sucesión es estrictamente decreciente. Por ejemplo,la sucesión (1 /»), cuyos primeros términos son; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... es estrictamente decreciente. En cambio, la sucesión [an) de término general: an ~ = —E{ \ /n ) ( 1) cuyos primeros términos son; —1 , —1 , —1, —2 , —2, ... (compruébalo) es decreciente pero no es estrictamente decreciente.

Se dice que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente Si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, se dice que la sucesión es estrictamente monótona. N o toda sucesión es monótona Por ejemplo, la sucesión (an) de término general an — (—1)", cuyos primeros términos son: —1 , + 1 , - 1 , + 1,... no es monótona

8. M onotonía y convergencia.

Los siguientes resultados, de demostración francamente difícil, son de mucha utilidad para establecer la convergencia de ciertas sucesiones, principalmente la que defín? el número e.

(1) £ (y ’« | significa parte entera de \Jn'. por ejemplo, E{\/2) = £ ( 1, 41.. 1— 1

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SU CESIO NES 159

I.° Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Por ejemplo, la sucesión (an) con an = 0 ,33 ... 3 es creciente (estrictamente) 0,3 < 0,33 < 0 ,333 < 0 ,3333 <,.. y está acotada superiormente por 0,4. Por tanto, es convergente; sü' límite es 1/3. Si una sucesión es creciente, pero no está acotada superiormente, es divergente ( ’). Por ejemplo, la sucesión («2).

2 ° Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente

Por ejemplo, la sucesión (1/«) es decreciente (estrictamente) y está acotada inferiormente por 0. Por tanto, es convergente (su límite es 0) Si una sucesión es decreciente, pero no está acotada inferiormente, es divergente ( 2). Por ejemplo, la sucesión (•—«).

9. El número e.

La sucesión (an) cuyo término general es aH — ( l + 1/«)" es creciente (estrictamente) y está acotada superiormente por 3 Por tanto, es convergente, su límite es un número irracional que comúnmente se representa por e.

e = lim ( l + = 2 ,718281.

10. Límites infinitos.

Diremos que la sucesión (an) tiene límite + oo (más infinito) y escribiremos;

lim an = +oo

si podemos hacer que todos los excepto quizás unos cuantos, sean tan grandes como queramos. Es decir, si para todo número positivo k. (por grande que sea) existe un subíndice n0 tal que si n ^ n0 entonces an > k.

Por ejemplo, las sucesiones (n2), (« — 1) y (3n) tienen límite + oo En cambio, las sucesiones ( 1/«), (—») V {¿„) con <?„ = (—1)", no tienen límite +oo

Diremos que la sucesión (an) tiene límite — oo (menos infinito) y escribiremos.

lim an = — oo

si podemos hacer que todos los an, excepto quizás unos cuantos, sean menores que cualquier número negativo arbitrariamente elegido Es decir, si para todo número negativo — k. (por grande que sea k) existe un subíndice na tal que si ti nB entonces a„ >—k

11 1 T iene lim ite +'X> ( 2 | T iene lim ite —cc

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160 P TAN iG U C H !

Por ejemplo, las sucesiones (*-«), (3 — n1) y (—2") tienen límite —oo. En cambio, las sucesiones {!/»), («2) y (a„) con an — (—!)” no tienen límite —oo

Propiedad fundamental: Si (a„) tiene límite infinito (+ co ó —oo) entonces (Ua„) tiene límite 0

Por ejemplo, lim n2 — +oo=> lim l /n 2 = 0 y lim (—n) = — oo => lim — = 0

1 i . Límites y operaciones.Sean {<?„) y (&„) dos sucesiones, cuyos respectivos límites (finitos o infinitos)

son conocidos-

U e R U € Rlim a„— < + oo lim bfl = < + co

( — 00 ( — co

En el cuadro de la pág 174, se estudian los límites de (an) + (bn}, (an) — (bn), (an)'{b„)> ian )/ (^«) Y Ian)16”** respecto de cada una de las 3 • 3 = 9 posibilidades que se presentan

Si el límite se puede conocer directamente, éste aparece consignado en el cuadro Por ejemplo, si lim a„ — 2 y lim bn = 3, y deseamos calcular lim an bn, buscamos en ia primera fila (que corresponde al caso en que los dos límites son finitos), la casilla que está debajo de lim an bn Allí encontramos a b , lo cual significa que lim an bn ~ 2 3 = 6

Si el límite no se puede conocer directamente, aparece un símbolo de interrogación (?) Tales casos se llaman casos de indeterminación (o formas indeterminadas) y el límite, que puede ser finito o infinito, e incluso puede ser que no exista, depende de las sucesiones concretas (an) y [bn] (Ver ej. prop. 17 y 18)

Si en vez de operar dos sucesiones operamos un constante con una sucesión, bastará considerar la constante como límite de una sucesión constante Por ejemplo, si queremos calcular lim 21/n, tomamos an — 2 y bn — l /n , entonces, comolim an = a — 2 y bm bn = b = 0, encontraremos que lim a = ab = 2° ~ 1.

12. Cálculo de límites en ciertos casos de indeterminación.

a) Si an es un polinomio en la variable n, entonces lim aH coincide con el limite del término de mayor grado del polinomio (Ver ejercicio resuelto n.° 5)

b) Si an es el cociente de dos polinomios en la variable n, entonces lim a„ se puede calcular aplicando el resultado anterior, o bien, dividiendo el numerador y el denominador por la máxima pocencia de n que aparezca en el denominador. (Ver los ejercicios resueltos 6 , 7 y 8).

c) Cuando aparecen raíces cuadradas puede resultar conveniente multiplicar y dividir por la expresión conjugada (Ver tos ejercicios resueltos 9 y 10)

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SUCESIONES 161

d) Sea (an) es una sucesión de límite 1 y sea (¿n) una sucesión de límite infinito (+00 ó — co). Entonces lim a = e*. donde t se calcula así. t = lim (*„ — 1 ) bn (Véase el ejercicio resuelto n.° 14 ) Un caso particular es' lim (1 + k/n)n — ek,

14. Evaluación de límites.

Se llama evaluación del límite de una sucesión (an) al proceso que consiste en hallar algunos de sus términos, preferentemente con subíndices avanzados, y observar su comportamiento: si se acercan a un cierto valor, si crecen indefinidamente, etc Se practica con una de estas dos finalidades

a) Si no hemos calculado lim a„, para hacernos una idea de si el límite existe y de cuánto debe valer, caso de que exista. Por ejemplo, es difícil calcular el límite de la sucesión cuyo término general es: cn = •ófn = »*'" ( ‘ )

Sin embargo, calculando ( 2):

c1D = I 0 1'10 = 1 ,2589254 r 1000 = 1000" M0 ^ 1,0069317Cj0 = 501/50 = 1 ,0813827 cJ831J = 2 8 3 1 J 1/18,15 ^ 1,000362 1c300 = 30O,/3(>o= 1 ,0 1 9 )9 4 5 fMJS27 = 982 5271/982í27 S 1*0000140

se puede afirmar, con cierta dosis de seguridad, que lim cn = 1 (Véase el e|crcicio propuesto n ° 24.)

b) Para comprobar el resultado, caso de haber calculado el límite de la sucesión Por ejemplo, supongamos que se nos ha pedido que hallemos el límite de la sucesión cuyo término general es an — s / td + 1 — n y hemos encontrado que lim an = 0. Podemos corroborar este resultado calculando

at = s j 82 + 1 - 8 ^ 0 ,0 6 2 2 5 7 7* 50 = y / 502 + 1 - 50 s 0 ,009999 a3„ = y / 3 1 7 2 + 1 - 317 = 0 ,0015772 a12U = y /7 2 2 8 2 + 1 - 7228 S 0 ,000069

Ejercicios y problemas resueltosj Dada la sucesión (*„) definida por: an = 1 /».

a) H alla un subíndice n0 tal que para todo n ^ » 0 se cumpla que \ a „ \ < 0 , 0 0 0 2 3 .

(1 ) O bserva que i„ = a¡¡- con a „ ~ n y = 1 /» Se tra ta de un ca jo de indeterm inación, pues lim a n = + a c y hm — b = 0 (m ira el ú ltim o casillero de ia cuarta fda del cuadro de la pág. 174)( 2 1 En el apartado 6 del resum en teórico del capítulo IV se explica la m anera de realizar estos cálculos

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162 P TAN1GUCHI

b) Demuestra, basándote exclusivamente en la definición de límite, que lim an ~ 0.

Solución

a) Analicemos la expresjón \an | < 0 ,00023 .

|<z„| < 0 ,0 0 0 2 3 <=• | j < 0 ,0002 3 < = - < 0 ,0 0 0 2 3 <=»

*“ • T O o 2r > ” ^ ” < w o b r “ 4347-82 ■Luego bastará elegir para nQ cualquier número natural mayor que 4 3 4 7 , 82 .... por ejemplo h0 = 4348.

b) Hemos de demostrar que para todo número positivo 6, por pequeño que sea, existe un subíndice ng tal que si n ^ k0, entonces \ a„ | < e. Sea, pues, e > 0: veamos las condiciones que ha de verificar n para tener que \aH | < 8

— < e <=► — < 8 <=> - i - < n <=> n > — n i n e £K ! < £ <=>

Luego, bastará elegir para n0 cualquier número natural que sea mayor que I/e.

2 Sea (<*„) la sucesión cuyo término general es an = n2.

a) Halla n0 de modo que para todo n ^ ng se verifique an > 100.000.

b) Demuestra, basándote únicamente en la definición de límite +co, que lim an = + oo.

Solución

a) Analicemos la expresión an > 100.000

an > 100 000 > 100 0 00 <=> « > y ' 100 0 00 = 316.22

Luego, bastará elegir para «0 cualquier número natural que sea mayor que 3 16,22 , por ejemplo, «0 — 3 I 7

b) Hemos de demostrar que para todo número real positivo por grande que sea, existe un subíndice ng tal que si n ^ n0, entonces an > k.- Sea, pues, k. > 0 , veamos las condiciones que ha de verificar « para tener que <s„ > k.'

an > k. <=> n1 > k. <=> n > \ f k

Luego, bastará elegir para n0 cualquier número natural que sea mayor que \fk_

Dadas las sucesiones (an) y {bn) cuyos respectivos términos generales son :3 www.FreeLibros.me

6UL fcMONES 163

. 3 » - 2 i .... 5a _ — - —■—-— o„ = •n + 1 " » + 2halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

^ ~ ^ c) g) 2 (a '| - 3 {b„)b) K ) + (*„) ' K ) S u \ i« ) ( -■ )- (* ■ ) i f - L

j ( O

Solución

x 3« — 2 — 3« + 2a) ~ a n = « + 1 n + l

+ h ■■ *” ~ 2 , 5 - ( 3 « - ¿ ) ( » + 2)4-S(« + 1) ..> - ■” « + 1 » + 2 ( « + ! ) ( » + 2 )

_ 3«2 + 9« + 1 «2 + 3 n + 2

, 3 « - 2 5 (3« — 2) (« + 2) — 5 (» + i)c> ‘' ’ " >" = T T r ' v r r " („ + ¡ h » + '2í----------- =

= 3«2 - « - 9 V + 3» + 2, 3» — 2 5 1 5 « - 1 0

«)

0

« + 1 « + 2 k 2 4- 3» + 2I 1 n + 1

3 « - • 2 3 » - 2« + 1

3« - - 2* « K + l ( 3 « - 2 ) ( » + 2) 3«2 + 4« — 4

*. " 5 ( « + ! ) 5 5« + 5H + 2

U , 3 » - 2 a 5 6« - 4 15g) 2<?„ — ib = 2 —: 3 ■ — —— = —■— t-------------v67 ” " « + 1 « + 2 « + 1 « + 26»2 — 7» — 23

t¡7 + 3« + 2. . 2 / 3« — 2 \ 2 (3 » ~ -2 )2 9«2 — 1 2 « + 4h , ‘ ’ - “ l T r r v = t í t t t =

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164 P TAN IG U C H l

Para cada una de las sucesiones cuyos respectivos términos generales aparecen a continuación, averigua si son crecientes o decrecientes, o si no son ninguna de las dos cosas (es decir, no monótonas).

a) a„ = 2 » + 3 c) cm = 1

■ > )*„— T T T d K = 6n + 2 ' n 3 + ( - 1 ) ”Solución

a) Hallemos unos cuantos términos y observémoslos = 5, a2 = 7, ¿í3 = 9, ¿4 = I 1 , ...

Todo indica que la sucesión es estrictamente creciente; sin embargo, para afirmarlo rotundamente hemos de demostrar que para todo n E N 0 se verifica que an < an+i E n efecto, sea « E N ,,; entonces an— 2n+ 3 y an+ , — 2 (« + 1) + 3= = 2« + 5, Luego, como es obvio que 2» + 3 < 2« + 5, resulta que < an+ , , con lo cual queda demostrado que la sucesión (<*„) es estrictamente creciente.

b) Examinemos los primeros términos de la sucesión: ¿, = 2/3 = 0,6, ¿2 = 2 /4 = 0 ,5 , ¿j = 2/5 = 0,4, ¿4 = 2/6 = 0 ^ . .

Parece que la sucesión es estrictamente decreciente. Demostrémoslo Sea n E N 0, entonces.

2 2 2

¿n = 7 T T + 1 = (» + 2) + i = 7 T T

Es inmediato que - ^ es mayor que -— , pues de dos fracciones positi

vas con el mismo numerador, es mayor la que tiene el denominador más pequeño (por ejemplo, 2/3 > 2/4). Luego, bn > hn + ,, lo cual demuestra que la sucesión (¿n) es estrictamente decreciente.

c) La sucesión (rn) tiene todos sus términos iguales a 1 Por tanto, para todo n E N 0 se verifican simultáneamente estas dos condiciones: cH ^ cn + , y cn & cn + i Luego, (c„) es una sucesión a la vez creciente y decreciente aunque no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.

d) Examinemos los primeros términos de la sucesión:

A ____6 - _ A _ = t = 3 A = ____6_____^ _ 6_ _ 6 = 31 3 + (—l )1 3 - 1 2 3 3 + (— 1 )3 3 - 1 2

f 6 6 ^ // ^ ^__ __ 6 - ir3 + (—1)J = 3 + 1 ^ 4 = ’ * = 3 + (— 1 )4 = 3 + 1 _ 4 = ’

Se observa que esta sucesión no es creciente ni decreciente, ya que sus términos son alternativamente iguales a 3 y a 1,5

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SUCESIONES

Calcula: lim (5 «2 — 3» + 1).

Solución

Dado que 5«2 — in + 1 = 5n2 £ 1 --- ~~ + 2 J , sean an = 5n2 y bn =

= I j — + - t —,- • Entonces lnn an — lim 5«2 = + 00; lim b„ =>K 5»

— lím ( 1 j — H— = 1 — 0 + 0 = 1 , pues lim - r — = 0 y lim = 0V H 5nz ) v 5n y 5«2

Luego, lim (5 »2 — 3» + I) = lim 5n2 = +co

(Líjate en este ejemplo, por qué aseguramos que el limite de un polinomio enla variable n es igual al límite de su término de mayor grado )

^ , 5» — 3» + 2» — 1Halla el limite de la sucesión dehnida por: a =■—~5 j---- — —

4»j + 2 nl — 3» + 7

Solución

Tanto el numerador 5»J — 3n2 + In — 1 como el denominador 4n3 ++ 2tí2 — 3» + 7 tienen límite +00 Por tanto, el límite del cociente, es decir,hm es un caso de indeterminación. Hay dos maneras de calcularlo.

Primer método

Dividamos el numerador v el denominador de an por la máxima potenciade n que aparece en el denominador, es decir, n3

5n3 - 3n2 + ln - 1 + 5 _ J _ +_J _____ Ln3 __ n3 n3 tf3 ti3 _ n n2 n3

Ün ~ 4n3 + l n 2 - 3« + 7 “ 4 ? 2 ? 3n T ~ “ 2 3 T--------------3--------------- —y- + —3--------y + -y - 4 + y + —y» k n « h n ti n

Por último, teniendo en cuenca que: lim (3/«) = lim (2 /n2) = lim (1 /n3) = 0

y que lim (2/n) = lim (3 /n2) = lim (7 /n3) = 0, resulta que hm an — ^ + q ^ q +''q

= 3 /4 = 1,2 5

Segundo método

Recordando que un polinomio en n y su termino de mayor grado tienen el mismo limite (véase el ejercicio anterior), al calcular lim a„ podemos sustituir 5»3 — 3n2 + 2 » — 1 por 5 » \ y 4n3 + l n 1 — 3n + 7 por 4«3. resultando lim ~ lim 5»3/ 4 »3 = lim 5 / 4 = 5 / 4 = 1 ,2 5 .

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166 P TANIGUCH1

7 Cuál es el límite de la sucesión definida por: a„ — » + » + 1--------v 2»3 — 5« + 6« — 3

Solución

Primer método

Dividamos el numerador y el denominador de ctn por b 3 , que es la máxima potencia de n que aparece en el denominador

ri1 + « + 1 b 23 —y + — + — + — + y

b b k b n n n

" 2b3 — 5b2 + 6 b — 3 2b3 5h2 . 6 b 3 5 . 6 33 3 3 3 T~ 2 “i" y 3« B B B B B B B

Y como lim (1/»') — lim ( l /» 2) = lim (1/ b3) = 0 y lim (5/B) = lim (6/b 2) =

= lim (3 /b 3) = 0 , tenemos que lim an = — — * — = = 0Cm v í va v U

Secundo método

Teniendo en cuenta que el límite de un polinomio en n coincide con el límite de su termino de mayor grado, resulta:

■ b 2 + n + 1 b 2 .. 1 Alim a„ — lim — -¡----- — --------------- = )im — ;--= iim ------= U" 2n — 5b + 6 b — 3 2b3 2b

2 J , 1

8 Encuentra el límite de la sucesión definida p o r: a„ = --------- i------------- .K " 2» + 3

Solución

Primer método

Dividamos numerador y denominador por b 2 que es la máxima potencia de n que aparece en el denominador.

—3k3 6b2 1 ? c 1—3b + 6 ------ 7B 2 H2 B 2 B 2

2 b 2 3 3 3—r + ~ r 2 + —rb n n

El numerador tiene límite —o o ( ’ ) y el denominador tiene límite 2 Luego, lim a„ = —oo

I I ) Fn efe«». Iim ¡ ~ } » |= - o o íputs l i r o í » = + c o ) y lim (6 - 1-V ) = ó Por tanto, la suma —3 n + f> — i/n nene linmr — oo

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SU CESIO NES 167

Segundo método

Teniendo en cuenta que el límite de un polinomio en n coincide con el límite de su término de mayor grado, resulta'

lim a n = lim — — = lim — = lim (— 1,5») = — oo2n + 3 2n

^ Calcula el límite de la sucesión definida por: an = \Jn + 1 — \ f ñ .

Solución

Tanto y /n + 1 como y/jTtienen límite +oo. Por tanto, el límite de la diferencia, es decir, lim an, es un caso de indeterminación. Para calcular el límite pedido hemos de proceder así:

i - . i¡m ( J i m _ ^ _ hm .V V y /» + 1 + y V

(y/»"+*l )2 — (y /» )1 » 4 - 1 —« I= lim yss, J= — — lim ----------- :----= - — lim -----yass —------- j= r

\J n + 1 + \Jn \ J n + \ + \Jn y » + 1 + y / »/■ "■ ... y““ ,«m tu» ■ ■ ii-h i i i

Como lim y » 4- i = 4-00 y lim y » = -f oo, resulta que lim ( y » 4- I 4- + \ /» ) = 4- 00, de donde

lim a_ = lim — í— i—=r- ~ 0y / ^ n 4- ^

10 Calcula: lim y /» 2 + 3» — 4 — n.

Procedamos como en el ejercicio anterior:

i n — --------- 7 i ( \ / ”2 + ” 4 - n) (y /» 2 4- 3« - 4 + »)hm y « 4- 3« — 4 — « = lim — --------------- ------ v—---------------------^ « 2 4- 3« - 4 4 n

(y /« 2 + 3« — 4)2 — «2 »2 4- 3« — 4 — «2= lim ------> y ....... — .---------- = hm —

^ « 2 4- 3« — 4 4- « ^ n 2 ~ 3« — 4 4- «3» — 4= ■ hm

y /» 2 4- 3« — 4 4- «

Estamos nuevamente ante un caso de indeterminación, pues tanto el numerador como e! denominador tienen límite 4- oo. Para calcular el límite del cociente, dividamos el numerador y el denominador por la máxima potencia de n que aparece en éste ultimo: \ f n — n

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168 P. TAÑI CUCHI

3 « - 4ara — t c — .■ « = --------—y » + 3» — 4 + «

3 « ___ 4_ j ____4_n n «= hm —y - ■■ = hrn

7 ^ ; 3 « - 4 1 «« tr v

3« 4“ ~~j "J" ■*" 1n n n

3 - ° — = 1,5J £ + 1 y / l + 0 - 0 + 1 2

( _ l ) nDada la sucesión cuyo término general es <*„= 3 ^

a) Halla sus 4 primeros términos.b) ¿Es monótona?c) Demuestra que está acotada.d) ¿Es convergente?

Solución

*> = - S t V - - r r V = - - T “ ” 0 -5( ~ I ) ‘ - 1 1l 3 + 1 1 + 1 2( - 1 ) 2 1 123 + 1 8 + 1 9

( - O 3 - 1 133 + 1 27 + 1 28

( - 1 ) 4 1 14 J + I 64 + 1 65

-0 ,0 3 5 .. .

0,015

b) La sucesión (a„) no es monótona, pues a¡ < av > a3, a-i < aA, ya quesus términos son alternativamente negativos y positivos.

c) La sucesión (<?„) está acotada por 0 ,5 : [ an | <1 0,5 para todo, n € N 0. En efecto, basta observar que los valores absolutos de sus términos forman una sucesión estrictamente decreciente:

0,5, 0 ,111..., 0 ,0 3 5 . , 0 ,0 1 5 . , ....

d) Observando los primeros términos de la sucesión podemos darnos cuenta de

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SUCESIONES 169

que tiene límite 0. Sin embargo, para demostrarlo con rigor, hemos de proceder así: Sean (bH) y (i,) las sucesiones definidas por ¿„ = (— 1)" y ca =

— —j — . La sucesión (bn) está acotada, pucs|¿„) = 1 para todo « £ N 0;Tí -f - I

y la sucesión {c„) es infinitésima, pues como lim («3 + I ) = + oo, entonces lim cn = 0. Por tanto, el producto de ambas sucesiones, que es (an): b e =

i (—i r= (—1)" —í-----— — —■r---— = a„, también es una sucesión infinitésima, es

« + 1 « + 1decir, lim an — 0.

( » + 1 V ~2h~^T")

Solución

Calculemos el límite de la base y el límite del exponente ’

n + _J_ + JL_

lim ^ + * = lim = l im --------- j - = - 5- = 0,52n + 3 In 3 - > 5 2— 4 . ------ ¿ -f- ------

n n nlim n = + 00.

Como la base tiene por límite un número positivo menor que 1, y el exponente tiene límite + co, entonces la sucesión de potencias tiene límite 0, es decir, lim<*„ = 0 (Ver cuadro pág. 174).

a | \ 2n — I

— + 5 /

Solución3« — 1

Calculemos el límite de la base lim g + j ~ Y ^ exponente

lim (2 h — 1) = + 00.

C o m o la base tiene po r lím ite a un núm ero m ayor que 1 y el exponente tiene lím ite + 00, la sucesión de potencias tiene lím ite + 00, es decir, lim an ~ +00 (V er cuad ro pág. 1 7 4 )

H Calcula el límite de la sucesión que tiene por término general a„ = / n2 + 5 V"2

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Hallemos el límite de la base: lim -w ^ = lim ^1 + ~t ) = * Y “nite

del exponente:: lim 2r^ — +co. Como la base tiene límite 1 y el exponente tiene límite + oo, estamos ante tin caso de indeterminación. Para calcular lim an hemos

170 P, TANIGUCHI

de proceder así; lím an — e‘ donde t — lim ^ l j 2«1 —

= lim —■ + — — 2»J = 10. Luego, lim a„ = ew .

£ / /^A1 £ Galcula el límite de la sucesión cuyo término general es an — ——-=—

^ donde E (y 'ff) significa “parte entera de \ /ñ " . ^ ”

Solución

Dado que \ f ñ tiene límite + 00, entonces también la sucesión de las partes enteras de \ f n tiene límite + oo Por tanto, como el numerador y el denominador tienen límite + co , estamos frente a un caso de indeterminación

Sabido es que si x es un número real, entonces x — 1 < £ (x) ^ x (Por ejemplo, la parte entera de 3,5, que es 3, está comprendida entre 2,5, y 3,5 ) Luego, en particular, \Jn — 1 < E {\¿n) ^ \ f ñ de donde deducimos que.

1 £ ÍV/ ” ) < v7» . 1 < , j js. < an ^ 1y » v » v » v »

Finalmente, teniendo en cuenta esta desigualdad y que lim (l — l / \ , / » }= 1, resulta que lim an — 1.

Ejercicios y problemas propuestos31, Dada la sucesión (an) definida por: an = - —■ -y - .

a) Halla un subíndice n0 tal que para todo n > #0 se cumpla que \ an ¡ < < 0 ,000001

b) Basándote únicamente en la definición de límite, demuestra que lim an = 0.

2n j2 Consideremos la sucesión cuyo término general es an —

a) Halla un subíndice »„ de forma que para todo n0 se cumpla que \an — 2 /3 ( < 0 ,0003.

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SU CESIO NES 171

b) Básate solamente en la definición de límite y demuestra que lím aH — 2/3

3. Sea (a„) la sucesión definida por an =z 3b + 5.

a) Encuentra un subíndice n0 tal que para todo n ^ n ü se cumpla que an > 200000 .

b) Utiliza únicamente la definición de límite +oo, para demostrar que lim an ~ +co.

4 Dada la sucesión (an) definida por; an = —4n + 1

a) Encuentra «0 de modo que para todo n ^ c n 0 se tenga que an < < - 1 0 0 0 0 0 .

b) Básate solamente en la definición de límite — co para demostrar que lim a„ = — oo-

5 Sean an — --¿ -1 - y ¿ } ? — - ” * . Halla el término general de" n + 5 ; n2 + 2 6

cada una de las siguientes sucesiones: —(<*„), (<*„) + (b„), (<?„) — (bn),k m * . ) . i / ( o . K ) / ( U 3 W - 2 W . {any

6 Continuando el ejercicio anterior:

a) Calcula lim an y lim bn,

b) Halla los límites de las ocho sucesiones definidas a continuación.

c) Relaciona estos ocho límites con lim an y lim bn. (Por ejemplo, comprueba que lim {—<*«) — — hm an.)

7 Para cada una de las sucesiones cuyos respectivos términos generales aparecen a continuación, averigua si son crecientes o decrecientes, o sí no son ninguna de las dos cosas (es decir, no monótonas): an = 3n2 + 2» + 5,

b„ = - » 2 + » + 1, cn « 2 » +~'l" * ~ ' *" = ~4 , = 1/2». ¿„ = l / ( - 2 ) fl

8 Continuando el ejercicio anterior

a) Para cada una de las sucesiones, indica sí está acotada superiormente o si no lo está; indica asimismo si está acotada inferiormente o si no lo está

b) Halla el límite de cada una de las sucesiones, caso de que existan ¿Cuáles son convergentes y cuáles son divergentes?

9 Dadas las sucesiones definidas por. dn = yfñ< bn — — \¿n, cn — y 2,

d , = E (s f n \ «, = 4 + ( - 1 f . f . - </>■ i . - - f - r . K - 4" ■ f 3n + i n + j >

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172 P. TAN1GUCH1

a) Señala las que son crecientes, las que son decrecientes y las que no son ninguna de las dos cosas.

b) Para cada una de las sucesiones, indica si está acotada superiormente o si no lo está; indica asimismo si está acotada inferiormente o si no lo está.

c) Halla sus respectivos límites, caso de que existan. ¿Cuáles son convergentes y cuáles son divergentes?

10 Halla el límite de las sucesiones cuyos respectivos términos generales son

8 n* + 6k3 — 3 n1 + 4« — 6 2 ns + 3 n4 — 5 n2 + 7= t t r-5 — s — r_ =

2 n* — 3«3 + 5»2 + k + 2 " 3k2 — 6« + 8

b = 4«3 + 2b2 — n — I , _ 5n* + 6n2 — 1H 5h4 + 6«2 + 3» — 2 n —3» + 10

1 1 Calcula el límite de las sucesiones definidas por; an = \ f l n + 2 — y / 3 s —2,

b„ ~ ~ n' (» = \ A » 2 + ~ 5 “ \ / 4 « 2 — 5n + 1.

12. Halla el límite de las sucesiones definidas por: a„ — \f~in + 2 — y / 2 ^ 2 ,

b„ — \J n 2 + 5 — n2, cn ~ \¿ 4 n 2 + 4n — 5 — y /» 2 — 5« + 1.

13 Calcula el límite de las sucesiones cuyos respectivos términos generales son :

a - ( 3 ” 2 + 5 ” ~ 1 V ” c / 7 « 3 ~ 5 « 2 + 8 « - 1 \ *

n \ 4«2 + 6 « + 7 / " v 5»3 + 8«2 — 6n + 9 /

r / 5n2 + 2n — 1 \ 2" + 3 , _ / «3 + 2»2 + 3« + 4 \ + 4" \ 3w2 + 4n — 6 / “ V n3 — 2n2 + 3» — 4 /

14. Halla el límite de las sucesiones definidas por:

/ 3»2 + H - 1 \ ~ 3n / 7n3 - 5g2 + 8 « - 1\n \ 4«2 + 6n + 1 ) ” v 5n3 + 8«2 — 6« + 9 /

K - {w + 2 n - - 1 2n - 3 j ( n3 + 2«2 + 3 n + 4 \ - «J - 4w + 4 n - - 6 ) H \ «3 — 2n2 + 3 n — 4 /

15. La suma de los » primeros términos de una progresión geométrica de tér-p** __ |

mino general an = a - r n, con a 4* 0 , r £ 0 , y r 4* I , es: sn = a¡ —

Calcula lim s„ en los siguientes casos; a) r > 1, b) —1 < r < 1, c) r — — 1,d) r < — 1

1 t i - 7 mlt- 1 i¿ ..1. f)16* Calcula. lim ------------ ~— —------

n

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SL.C ISIONkS 17 4

17 Dadas las sucesiones cuyos respectivos términos generales se indicanan — 1/h2, bn — 3n — 2, cn = 5n2 + In — 1, dn — —n i ti1. en — i?3,f„ = ti2 \2 +(-1)"]a) Halla los límites de estas sucesiones

b) Calcula los siguientes límites: lim an bn. lim an cn. \im an dn> hm a„en, ltm dn e„. lim a j n.

c) Concluye que si una sucesión tiene límite 0 y otra tiene limite + k ó — oo, según como sean las sucesiones concretas, el producto puede tener por límite a 0, a un número real distinto de 0, a -eco, a — oo. e incluso puede que el producto no tenga límite.

18, Dadas las sucesiones definidas por. aH = [3 + (— 1 ("J n y bn = 2n + 1

a) Calcula: lim ^fl, lim bn y \im {anibn).

b) Concluye, basándose también en ejercicios anteriores, que si dos sucesiones tienen límite +co , su cociente puede tener por límite a un número real (no necesariamente igual a 1) a +oo, e incluso puede que dicho cociente carezca de límite

, 9 O k a , b , i . m ( i + t i i ”)+ 6 » — 2 V» + 3 » — 1/ \ n » /

20 Calcula: a) lim -— ” ——, b) lim (y /« 2 — \ /» 4— ffj [y ' 2n + \Jn + 1 j-f- 1 j — )7

+ 2 n + 2 n * ¡ /-----------------2 1* Calcula a) lim y _ y M im y + y > c) *im V' +

22** Calcula el límite de la sucesión definida por.

1 1 Iy/«2 + 1 \J n1 + 2 \J n1 + n

23* Se define una sucesión (an) recurrentemente por a l — I = y 2ansi n':¿ 2

a) Halla a7. a 3 y a4b) Encuentra una fórmula explícita que permita calcular an directamente en

función de n (es decir, sin tener que calcular los términos que le preceden)c) Calcula lim an

24** Demuestra, basándote exclusivamente en la definición de límite, que la sucesión cuyo término general es cn = tiene límite 1 Indicación. Dado e > 0, halla un subíndice «0 tal que n "'£■ n0 => n < ( ” | e3

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T A B L A D E LIM ITES

S U C E S I O N E S

lim a„ lim b n iim (a n + bn)

"c,o1¿

l/m (an • b n) lim — - bn

l im (a n)bn

a b a + b a — b a - b a/b si b ^ 0 1 si b = 0

ab si a > G ? si a < 0

a +ÖO +00 -00+** si a > 0

7 si a = 0 —00 si a < 0

0+ » si a > 1

? si a = l 0 s i 0 « . a < l

? si a < 0

a — C*> —00 +00s ia > 0

7 si a = 0 + 0® si a < 0

00 si a > 1 7 si a = 1

+ °» S i0 < a < l ? si a < 0

+«30 b +00+®° s ib > 0

7 si b = 0 si b < 0

+09 s i b > 0

? s ib = 0 si b < 0

+ °» s ib > 0 ? si b - 0

0 si b < 0

-h» +O0 +00 ? + « 7 +OO

■H» -oo —OO 7 0

"•OO b ~oo -OOsi b > 0

7 s ib = 0 -H» si b < 0

s ib > 0 si b = 0

si b < 0

•foo —CÆ —00 7 <>

—OQ —00 •> +00 •> •>

lim i'(x) x-*>

1 im g(x»X“>p

î

lim [f(x ) + g (x )]x-*j

h m [f ix ) g (x ) 1 lim ffx.i -gix) x-».p

f(x) lin 1 —

gU)x —>P

l ,m [ f (x , ] * (x >

F U N C I O N E S

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IX Límites funcionalesR E SU M E N T E O R IC O

L. Definiciones.

La expresión'

Jim f { x ) = q

representa que ei limíte de la función/ , cuando x tiende a p, es q Intuitivamente, esto significa que podemos hacer que / (x) esté tan cerca de q como queramos, a condición de que x esté suficientemente próximo de p

Se presentan en total 3 3 = 9 casos:

í número real i número realj!> = + oo £ = ) + co

— 00 f —ce

cuyas correspondientes definiciones se esquematizan en el cuadro que aparece a continuación.

CASOS D E F IN IC IO N D E Jim f { x ) = q

P í Para todo £ > 0 existe 8 > 0 tal que si x € D o m f y

0c n.° real j * - / t | < 6 = H / ( * ) - ? l < e

n ° real + 00 \x — ¿>| < 5 = > /(x ) > e

n ° real — co | * - ¿ | < 8=>-/(x) < £

+ 00 n,° real x > 8 => | / ( x ) — í | < £

+ 00 + 00 x > 8 => f ( x ) > £

+ co — 00 x > 8 = > / ( x ) < —e

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176 P. T A N IG U C ii l

— 00 n.° real X < - 5 = > | / ( x ) - í | < E

—co + 00 x < — 8 = > /(x } > e

— 00 — 00 x < — 8 =>/(.*) < — e

Por ejemplo, Jim f ( x ) — 3 si, y sólo si, para todo número positivo £, existe un

número positivo 6 tal que si x € Dom / y | x — 2 1 < 8, entonces, j f { x ) — 3 j < e

2. Límites funcionales y límites de sucesiones.

Los límites funcionales y los límites de sucesiones están estrechamente relacionados

Jim f ( x ) = q si, y sólo si, para toda sucesión (an) tal que an E Dom f an p

y lim an = p , se cumple que lim f ( a n) — q.

Por ejemplo, Jim f ( x ) — 3 si, y sólo si, para toda sucesión (a„) de puntos per

tenecientes al dominio de f , pero distintos de 2, tai que h m a „ = 2, se tiene que lim/{<*„) — 3

3. Límites y operaciones.

Sean / v g dos funciones cuyos respectivos límites, cuando x tiende a p ( 1), son conocidos, En el cuadro que aparece en la pág 174 se estudian los límites de

J + & f “ & f ¿ ' f t y y f e respecto de cada una de las 3 3 = 9 posibilidades que se presentan

1 í¡ £ R l f £ Rhm / í r j = < + oo lim e{x) = s + oox ■ ' ' j v *f * if — oo • f—oo

■Si ei limite no se puede conocer directamente aparece un símbolo ele intei rogación f.J ) Tales casos se llaman casos de in d e te rm in a c ió n (o fo rm as, in d e te rm in a d a s ) y el límite, que puede ser finito o infinito, e incluso puede ser que no exista, depende de las funciones concretas f y g

1 I \ y fui>.\t. v.r un nunii.ro r. -.i\ +x> •• —x-

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LIMITES F U N C IO N A L E S 177

4. Fundones acotadas.

Sea / u n a función y sea A un subconjunto del dominio de / Se dice que/ está acolada en A si existe un número positivo k., llamado cota, tal que' x € A =>=> | / (x) | ^ k.- Por ejemplo, la función f (x) — x 2 está acotada en [— 1, 2] por 4pues: x € [—1, 2] =í*]x2| < 4. Sin e m b a rg o ,/n o esta acotada en R pues no existe ningún número real k. tai que para todo x 6 R se cumpla que | *2Í k, ya que |x | puede tomar valores arbitrariamente grandes.

Si, en particular, una función está acotada en su dominio (A D orn f) se dice simplemente que / es una función acotada. Por ejemplo, la función / (x) = = Spn x es una función acotada por l pues |S e n x |^ 1 para todo r £ R

Propiedad fundamental

S ea /u n a función tai que J im /( x ) = 0 y sea g otra función Entonces, si se

verifica una de estas tres condiciones:

a) p € R v g está acotada en un intervalo abierto que contiene a p n) p = + oo y g está acotada en una semirrecta derechac) p — —oo y g está acotada en una semirrecta izquierda ( 1)

se tiene que lim (f { x ) g (x)] = 0, (Ver el ejercicio resuelto n.° 20, apartado d.)

5. Cálculo de límites en ciertos casos de indeterminación.

a) El limíte de una función polinómica, cuando la variable tiende hacia + oo o hacia —oo, coincide con el límite del termino de mayor grado. Por ejemplo;

lim (2x3 — 5x + ó) — lim 2xJ = + oo y lim (2.x3 — 5x + 6) =.v -* +oc x -* +co 1 x-> —ccrlim 2x3 = —ao. (Véase el ejercicio resuelto n.° 3.)

b) Se puede calcular el límite del cociente de dos funciones polinónucas cuando la variable x tiende hacia +oo o hacia —oo, aplicando el resultado anterior o bien, dividiendo el numerador y el denominador por la máxima potencia de x que aparezca en el denominador (Véanse los ejercicios resueltos 6 y 7 )

c) Si al calcular el límite del cociente de dos funciones pohnómicas cuando la variable x tiende hacia R, sucede que tanto el numerador como el denominador so anulan en a, entonces, dicho limite se puede calcular dividiendoel numerador y el denominador por x — a y este proceso se puede repetir sicontinúan anulándose las dos funciones en el punco a (Véase el ejercicio resuelto n.° 7, apartado c.)

i i f Si =.s mu lurii.Km ¿coi id . t i.n R injonees csj,* ui cuAjnur mun. iL >■ M.mirreua. por lo qm.'• i.M 11-. H l is ms O Hli.lll 1« UICS

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178 P TAÑ I CUCHI

d) Si en un caso de indeterminación aparece una expresión con raíces cuadradas de funciones polinótnicas, se puede multiplicar y dividir por la expresión conjugada (Véase los ejercicios resueltos 11 y 12 )

c) Si al calcular Iim [ / ( x ) ] slx) resulta que la base f { x ) tiene límite I y el expo

nente tiene límite +oc ó —oo. entonces el limite pedido vale e1 donde t — hm [/(de) — 1| g(x) (Véase el ejercicio resuelto n ° 1 9 ) Casos particu

lares son. iim {1 + kJxY — «k v lim (1 + ^a)1 * — ekx-* loe.' X -> 0'

f) El limite del seno de un ángulo, dividido por el mismo ángulo, cuando dichoSen xángulo tiende a 0 , es 1 En particular, l>m ~ ——- = 1 (Véase el ejercicio

resuelto n 0 20, apartado c }

6. Evaluación de límites funcionales.

Se llama evaluación de un límite funcional lim J (at) al proceso que consiste en

h a lla r/(x ) pará valores de x muy próximos a p Se realiza con una de estas dos finalidades

a) Para hacerse una idea de si el límite funcional existe y cuánto vale, caso de no haberlo calculado previamente

b) Para comprobar el resultado, caso de haber calculado el límite Por ejemplo,Sen (2x)

seaf ( x ) = — — Podemos com probar!1) que l im /^ x ) = 2 calculando

f{x) para valores de x próximos a 0.

/ • ( -0 .0 4 ) = $Cn S 1 .9978673' —0,04

/ ( 0 , 00341) - " q Q O ^ l8" S , ’9999 8 3 9

Ejercicios y problemas resueltosj Dada la función f ( x ) = i x + 2.

a) Halla 6 > O de modo que se verifique: |x — 1 1 < 5 => ( / (* ) — í | < < 0 ,0003

l l ) Vt*r qcrcici«.' resuden n ° 2 0

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LIMITES F U N C IO N A L E S 179

b) Basándote exclusivamente en la definición de límite, demuestra que U m /(x ) = 5.

Solución

a) Examinaremos la expresión \ f { x ) — 5 |:

| / ( x ) - 5 |= j ( 3 x + 2) — 5 1—| 3x — 3| = | 3 (x — 1 ) |= 3 |x — 1 1

Luego, | f ( x ) — 5 1 < 0 ,0 0 0 3 <=> 3 1 x — 1 [ < 0 ,0003 <=> | x — 11 < 0 ,0001 , de donde se deduce que un valor de 8 es Ó — 0 ,0 0 0 1.

b) Hemos de demostrar que para todo 8 > 0 existe 5 > 0 tal que[ a- — 11 < 5 => = > ¡/(x ) — 5 ¡ < e. En efecto, | / (x) — 5 | < s <=> 3 1 x — 1 j < £

• |x — 1 1 < e / 3 de lo cual se deduce que podemos elegir § = 8 / 3

2 Sea f la función definida por f ( x ) = — 2x + 1,

a) Encuentra 8 > 0 de forma que se cumpla: x < — 8 => f { x ) > 375857.

b) Empleando únicamente la definición de límite demuestra que * & « / < * > = + c o -

Solución

a) Examinemos la desigualdad/"(x) > 375857:

f ( x ) > 375857 < = > - 2 x + i > 375857 <=> - 2 x > 375856 ^=>

x < - 1 71 | 5Z.- = —187928 (*)

Luego, x < —187928 -=>f(x) > 375856; es decir que podemos elegir 8 = 187928.

b) H emos de demostrar que para todo £> 0 existe 8> 0 tal que x < —8 => / (x) > £En efecto, sea 8 > 0 ; entonces f ( x ) > £ <=> —2 x + 1 > 8 <=>

. 8 — 1 8 — 1 T . , ~ 8 — lx < ----- ^ ~ ------- 5— Luego, basta elegir o — -—-—

2 Sea / ( x ) = 5x* — Í x 2 + 6x 4- 4. Calcula:

a) iim f ( x ) ; b) lim f ( x ) ; c) lim f{ x ) .x ■» +•» x -* —« j x -* i

Solución. r í ó 4 1

a I / ( v) = 5 \ — 3.v + ó.v + 4 -- 5.v i 15x 5.x: 5.x’ J

111 Rcojcrd.« '.]IK se d u i J en I««* Jos m iem bros J¿ una ..ksigiwW ad pr«r un m ism o numsn» iiJ<rs>fciuU;ul t.itmhi.i de sen tido

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180 P TANIGUCHI

verifica que lim = lim —^ = lim — - 0 resulta queX - * 4 * 0 0 ) X —► + G0 X ~ > + O Ü J ^ 3 ^

¡mi f I — ~ + ~ 2 + T ^ ll = Í. de donde lim f ( x ) — lim Sx3 = +A* —♦ + 0 0 L 5 ^ 5 x 2 A - * + 0 ? A - . + Ü C

b) Procediendo como en el apartado anterior, tenemos

/ w = s 4 1 ~ t + h * i ? ] y c o m ° j c - - os [ ‘ - 4 + ? ? + 4 1 sresulta; lim f{ x \ — lim Jx3 = ~ c o ( 1V

A -> — C O ' A - t — i » ' ’

c) C o m o /y 3) = 5' 33 — 3-32 + 6-3 + 4 = 130, queda; l im jf ( x )= 1 3 0

oo.

Sea / l a fundón / ( x j c s x 3 + 1.

a) Demuestra que f está acotada en el intervalo [—4, 3].

b) Demuestra que f no es una fundón acotada.

Solución

a) En efecto, si x € [—4, 3], el máximo valor que puede tomar j (x) e s / ( 3) = = 33 + l = 28, y el mínimo valor e s / ( —4) = (—4)3 + I = —63, Luego, para todo x € [ —4, 3) se verifica que j / ( x } |< ó 3 , es decir, que f está acotada en [—4, 3] por 63

b) Efectivamente, basta demostrar que f (x) puede tomar valores tan grandes como queramos, lo cual es consecuencia de que lim f ( x ) — lim (x3 + 1) =

1 * 3 A —♦ 4*0 0 A —♦ 4*COlim x = + o cX -* 4-CO

^ Demuestra que la fundón f ( x ) — Sen (x2 — 3x + 5) es una función acotada.

Solución

En efecto, para todo número realj* tenemos que |S e n j |^ 1 Luego, si en particular^ = x 2 — 3x + 5, resulta: | Sen {x2 — 3x + 5 ) |< 1, es decir,) / ( x ) | <. 1, lo cual demuestra que f está acotada por I

6 * * ™ - í ¿ 7 T z Í f 1 1 - Hail"

a) lim f (x) ; b) lim f {x )\ c) lim f (x).X~*+CO X —* —CO X-* 2

\ J) O bserva los resultados de los dos prim eros apartados -y daLe cuanta de po r qué podem os asegurar que el linm e de una función polm om ica cuando x tiende a +00 ó a — oo coincide con el lim ite del term ino de m ayor g rado

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LIM ITES F U N C IO N A LE S IXI

Solución4x3a) lim f ( x ) — lim — 5— = lim 4x = +oc

<-»+06 v-*+oc x x-*+«j

4b) hm / (x ) = lim —V - — lim 4 x = — 00

X -> -OC- V -t —OC' J T X -* — Í3Ü

4 23 — 2 22 4- 3 2 — 5 25 ,c) C o m o / 2) - 5— — =*= — = 1,+ 6 - 2 + 9 25

resulta que lim / ( x ) = 1

7 Sea/ (x) = ~ ~ ■ Calcula:/ 2x — 1 Ox 4- 8

a) lim f ( x ) ; b) lim / ( x ) ; c) lim f ( x ) .X-*+00 X“»— oo * -*'1

Solución

a) lim f { x ) = lim - ~ t " = l'm Lr" ~ *4~ ~ 5' x->+aoJ v ’ x-*+oo 2ar «->+# 2 2

b) Hm f ( x ) = lim -7 - = im " T ” = “ 7 " = ^’ X -> —ocr * -* -00 2x r — —o* 2 2

, r ■ . . , C v 5 1 2 - 15 1 + 10 0c) Si intentamos calcular/ ( 1 ) obtenemos / (, *) = - 7----Tñ~¡-----o“ = "7T2 1 — 1(1 i + o O

L u e g o ,/ ( l ) no existe. Estamos, pues, ante un caso de indeterminación. Para calcular el límite pedido dividamos el numerador y el denominador por x — 1

5 - 1 5 10 5x2 — 1 5 x 4 -1 0 c --------------:-------- = 5x

X — 1I) 5 - 1 0

5 - 1 0 L o

2 - 1 0 8 2x2 — 1 Ox 4- 8-------------- ;-------- — ¿X ■

x — 11) 2 - 8

2 - 8 L o

lim / (x)x ->l

= limx ->1

5x2 - 15x + 105x2 - 1 5 x + 10

lim X ~~ *2 x * - lOx + 8 x 1-* 1 2X3 — lOx 4- 8

5-2

1 -

1 -

x — 110 - 5 5

-8 - 6 6

5 x - 10” " ïT Â T

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182 P TAÑI CUCHI

8 CalcuJa: fe Æ — 4_ 8

Soluciónx 1 — 4Como —j — no existe, para x — 2 (sale 0 /0), dividiendo el numerador y eli r — 8

x 'f' 2denominador por x: — 2 queda —r-—— (compruébalo). En consecuencia,

xr + 2x + 4

lim \ Æ — ~ = i,m \ / t * t ~ ~ = \ / , -2 v v3 _ g x _,2 V x 2 + 2x + 4 V2 + 2 . / 4 1

22 + 11 + 4 v 12 s / Y¿X + 1

9 Calcula: limx-> +oc 2* + 1

Solución

Tanto el numerador como el denominador tienen límite +oo, por lo que estamos frente a un caso de indeterminación Para calcular el límite pedido dividamos el numerador y el denominador por 2*.

2X 4 17* + 1 7 * 7 7

lim - - = lini--— ----- —— = iim ------------ = = 2 ( 1)x -> +oe 2 + 1 x -> +oc_ 2 ^ 1 * - +oo , 1 1 + 0

~ F + ~ F + ~2*

10 Caicula: x H 'ü c o 'F -

Solución

lim = lim ( -y -^ = bm 3* = 0-> —oo 2 x~* —00 \ 2 / x-* —x>

j ! Calcula : lim ( y 2x + 3 — \ f 2x — 1)

Solución

Como lint \ / 2x + 3 — lim y 2x — 1 — + oo, estamos ante un caso dv -* i-«: •* -• +00indeterminación Para calcular el límite pedido, multipliquemos y dividamos por\ ' 2 x + 3 + y 2* — I

lim ( y ¿x + 3 — y 2x — I ) =V-» + CO ' v v

l l i 11 ■ i x n i. i i j i*i > i |i ■=. 1.1 l í i i ' i I h 11 l* 4 x t í-m iIu i tju ’v Im i i l '¿K\ \}

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LIM ITES FU N C IO N A LE S 183

- K.« (v / 2 x '+ 3 - y¡2x - 1 ) ( y / ï x + 3 + y / l x - I) * ^ +co \ / 2 x + 3 + y / 2 x - i

lim W 2 x + i f ~ Uni ( 2 x + 3 ) - ( 2 x - 1)\ / 2 x + 3 + y / 2 x - 1 +00 -y/2x + 3 + y /2 x - 1

= lim , I........... ^ - + .. =7- .x - +«> ^ 2x + 3 + \ / 2 x - l

Como lim \ / I x + Í + \ ¡ 2 x — 1 = +oo resulta Km —= s = = — —7—* - + < V 2 * + 1 + y 2x ~ 1

Luego, el lím>te pedido vale 0

1 ^ Calcula: lim ( y x 2 + 3x~—• 1 — x)M. Ám X-* +00

Solución

Como lim \ / x 1 + 3x — 1 — +00 v Km x = +co., estamos ante unV x + 5.x — i — + oo y+00 X-> +00caso de indeterminación. Para calcular el limite pedido, multipliquemos y dividiremos por \ / x + 3A' — 1 + x:

lim (y /x 2 + 3x — 1 — x)V -, 4-CO Y

(y /x 2 + i x — 7 — x) (y /x 2 + 3x — 1 + x)= lim

y / x 2 + 3 * - 7 + X

( x / ^ + l )2 x l + ' b x — 1 — x 2lim —— — ---------- = bm

x - +=0 y /x 2 + 3x — I + x * “* +tJ0 y /x 2 + 3x— í + x

, 3x — 1= lam — - ■■*=----------

y X 2 + 3x - 1 + X

Tanto el numerador como el denominador tienen límite +oo, lo cual nos indica que nuevamente estamos frente a un caso de indeterminación Para calcular el límite hemos de dividir el numerador y el denominador por la máxima potencia de x que aparece en el denominador y / x2 —x,

3x I, 3x — 1 x x¡un lim

'■-* y /x 2 + 3x - 1 + X *■* +00y /x 2 + 3x - 1 X-X------------------------------1---------

X X

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184 P. TAN1GUCHI

3 — 3 ------ —= Üm ----- - z — -----------— lim

5 ' ° = — — 1,5v / l + 0 - 0 + 1 2

Luego, el límite pedido vale 1,5.

J ^ Calcula: Jim ------^ --------,

Solución

Como hm + 1 3 — 4) = y /3 + 13 — 4 = 0 y l im jx —3) = t.\ esta

mos ante un caso de indeterminación (pues 0 /0 no se puede calcular) Para hallar el límite pedido multipliquemos y dividamos por y / x 4- 1 3 + 4 '

, y/ar + 1 3 — 4 , (y / x +"l 3 - 4) U x + 13 + 4)h m -------------;--------= lim -— -— ——-— ■.■=■ =

J f - 3 * - « { x - 3) { y / x - 1 3 + 4 )

(v /x + 13)2 — 4 2 , jc + 13 — 16= I i m , ■ - ■— = lim —u m ----------------------- . —, — = — ------------- ....... i i--------i--------------=

(jc— + 13 + 4) * - 5( x - 3) ( v/ a + 13 + 4)

x - 3 , 1 1 l= u m ---------------. — ■ —--------- — lim — j- —— ------ — — .i —■— = —{ x - 3 )(y /x + 13 + 4) y /x + 1 3 + 4 y /3 + 1 3 + 4 8

14 Cílc,il;' fe(-rfr)Solución

Hallemos el limite dt l.¡ base lim — — — = —~ — = — ■= 1 \ el del- x + 3 2 + 3 5

i i- 1 *'2 = 1, 1 1 , , ( 3x - 1 \exponente hm —— —- Luego, lim I -------- ;— I

r <->r x 2 & jr-*2 \ x + 3 /

| 5 Calcula hm ( ~ *** - + x V í x * - 2 x + 3 }

Solución

Hallemos el limite de la base Imi 7—e— — = hm — — = 0.8‘ - - x 5a: - lx a 3 1 1 X: 5 v 5

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LIMITES f u n c i o n a l e s 185

y el del exponente: ^ lim ^ (5 jf + 7) = + co. Como la base tiene límite positivo

y menor que 1, y el exponente tiene límite + oo, entonces la potencia tiene límite 0 (ver cuadro pág. 174). Luego, el límite propuesto vale 0.

1 Calcula: lim ( + ^1 U *-.+«>V 3a: + 6 uc — 9 /

x‘ + 6* - 7

Solución

El límite de la base es: lim ^ + <>x— — = lim -— r- = lim = 0x-* +oo 3* + 6 x — 9 x ~* +0° 3x * +0° 3*

y el del expooente: lim (x 2 + 6x — 2) = lim x2 — +oo Por consiguiente, elX-*■ +co 7 +00 °límite pedido vale 0.

n Calcula: lim ( — r——^*->+ooV 3x + 1 /

2x - 3

SoluctónI x 3 + 1Hallemos el límite de la base y el del exponente: lim

X -

x^'+oo 3 * 2 + 15 * 3 5 *

üm —-r = lim —— = +oo y lim (2 x — 3) = +co Por tanto, el límite : -» +00 3*-> x -+ +00 3 x -* +0°

propuesto vale +oo.

4x* - í x 2 + 1 \ 1 “ *18 Cal“*a:Solución

4*3 _ 3 *3 + iHallemos el límite de la base y el del exponente: lim ;---- -— — =

3 * J + * _ 2

q*3 q a= lim —— — ------= 1 , 3 v lim (1 — x ) = +oo. Como la base tiene límite

x -» —oo 3 * 2 3 + -> —oo

mayor que 1 y el exponente tiene límite + oo, entonces la potencia tiene límite + oo Luego, el límite pedido vale + oo

1 Q Calcula: lim ( ^ ~ 1* + l V **-.+«> \ Z*2 + 6 * - 1 }Solución

2 * 2 _ 3* + 5Hallemos el límite de la base y el del exponente: lim ——:--- —•——*— =

2 r +oc 2x + 6x - 12 * 2

= lim — r = 1 y lim 3 * = +oo. Como la base tiene límite 1 y el expo-V - » + 0 0 2 * -v + o c

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186 P TANIGÜCH1

neme tiene límite + oo, estamos ante un caso de indeterminación. El límite pedido es de la forma ec donde

, = i,m ( i 4 r J l ± l _ i V . , , = bm & - > * ^ ~ 2^ - 6* ^ ' }X .x -+• » \ 2x2 + 6x — 1 / * - *■ * 2xl + 6.v — 1i —9x + ó 2 i —27x^ + 1 , 27 x^ i t s

— lint 5 x = l im - — =------------------- ‘ l im -— r—;— - = —r - 2,t + 6jl - 1 * - + * 2 a + 6.x — 1 v - +.k ¿x2

Luego, el límite propuesto vale e~ u í

2 0 Sea / ( x) = S-C- j ^ • Calada, a) ^U m ^/(x); b) Jim ^/Í*);c) b m /(x ); d)* lim f h r)' a: -»0 ' ' x-> +ao v

Solución, , . Sen (2 n / 4) Sen (n/ 2) 1 4 , - 4a) /171/41 ------— ------= ------ V—- i = ——- = - Luego lim. / (jc = -Jt/4 71/4 71/4 Tt & a-.)T/4j Jt

b) / (n) =• —— —— = — = 0 Luego, hm j Lx) — 0■ ■ 71 7t x -v .J ' '

\ c I I ,7Ai I Sen (2 0) Sen 0 0c) Si intentamos calcular f (0) resulta / ( 0 ) = ----- ^----— —q— = q no existe

Para calcular hm / (x) lientos de aplicar el siguiente resultado “ El limite del

cociente del seno de un ángulo, dividido por el mismo ángulo, cuando dicho ángulo tiende a cero, es 1 ’ Pues bien, como en el numerador tenemos el seno de 2,v, en el denominador hemos de tener 2.x; dado que sólo tenemos x, multipliquemos por 2 numerador y denominador

i,„, r(x) = ]im í ü l í M . _ hm 2 S ln (2.tL.x -*u x x o ¿x

Finalmente, como hm ^en (^*) _ | rcsulta que lim f í x ) = 2 - 1 = 2x -»ti 2 .x x - » ( j

d) Es inmediato que el numerador no tiene límite hm Sen (2.x) no existe. Porx -*■ +CO

consiguiente, para calcular el límite buscando, escribamos:/(a) — l/x-Sen(2ar). El primer factor tiene limite, hm l/jc = 0 y el segundo factor es una función

acotada |Sen(2ar)|^ 1 para todo R Luego, en virtud de la propiedad fundamental de las funciones acotadas (apartado n 4 del resumen teórico) tenemos que el límite del producto de ambos factores es 0. Por tanto,

" l = 0

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LIMITES FU N C IO N A LES 187

2 J ^ Calcula : limCos x — 1

Solución

Hallemos el límite del numerador y el límite del denominador lim (Cus x — 1) —x -* 0 ‘

— Cus 0 — 1 = 1 — 1 = 0 y lim x - () Lueno, el límite de! cociente es unX —* VI

caso de indeterminación. Para calcular el límite pedido, multipliquemos el numerador y el denominador por Cos x + 1

. Cos x — 1 ,. (Cos x — 1) (Cos x + 1) . Cos2 x — 1lim = iim :-- r------- — = lim — -- ----------— =

x x-D x (C o s x + I) * - i i x (Cos x + 1), — Sen2x , S enx — Senx— lim — rrx------- t t~ = nm

X (Cos X + 1 ) X - » 1.1 JC Cos X + 1

n , Sen x , , — Sen x — Sen 0 —0 „P e r o , h m — —■ = J y n m ---------------------= ---------------------- = = ------------- = 0 ,

v_>" x •*-*0 C o sx -f 1 Cos 0 + 1 1 + 1de donde resulta que el límite propuesto vale 1-0 = 0

Ejercicios y problemas propuestos1 Dada la función f ( x ) = 4x — 3,

a) Halla Ó > 0 tal que. | x — 3 1 < 8 =>| / ( x ) — 9 | < 0 ,000008

b) Basándote exclusivamente en la definición de límite, demuestra que lim f (x) = 9

2 Sea la función / (x) = ^x + 2

a) Encuentra 5 > 0 tal que x > 6 = > |/ ( x ) | < 0 ,000025

b) Empleando únicamente la definición de límite, demuestra quelim / (x) = 0.

v +00

Dada la función / (x) = 6x + 13 x + 5

a) Halla 8 > 0 de modo que. x < — 8 =>-1 / ( x ) — 2 j < 0,000001

b) Utiliza solamente la definición de límite para probar que l»m ^/ (x) = 2

4 Considera la función f ( x ) = —— - ,i ^a) HaOa 8 > 0, tal que1 |x + 11 < 8 =>/ (x) > 150000

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b) Basándote únicamente en la definición de límite, demuestra que lim f (x) = + oo

V —>— r

5 Sea la función / (x) = 2x* + 1

a) Halla 8 > 0 tal que: x < — 8 = > /(x ) > 328000.

b) Demuestra, empleando solamente la definición de límite, quelim f ( x ) = +oo.

x -* -aa

6 Sea f ( x ) = 3x4 + 2x3 — 5x2 + 6x — 8 Calcula:

a) lim t (x ), b) lim / ( x ) ; c) lim f{x).x-+ + x> x —* —oo *-* —r '

7 Sea / (x) = — óx3 + 2x3 — 8x + 9 Halla

a) lim f ( x ), b) lim f (x), c) lim / (x)v-> +CO a-»—00' x-*2

188 P.TANIGUCHl

Sea la función racional / (x) — — Calcula.3x — 5x — 12

al lim f ( x ) , b) lim f ( x ) c ) lim / ( x ) ; d) lim / (x).< ■* +<KT ' x- t—X)' ' x -* t ' ' ’ x-* Y ' ’

2x2 — x — 39 Dada la función racional íf(x) = — \ “ • Calcula:x4 + x3 -+ 2x2 + 2x

a) lim /(x ) , b) lim f ( x ), c) lim / (x ) ; d) lim / (x ) .• .* - » f C C " .<•-*— 00" X - > — Y 7 ' 7

10 Considera la función racional f (x) = — — ~r—— Calcula3x — 12x — 9x + 36

a li ir: / (x), b) l im ^ /(x ) ; cj ltm 2/ ( x ) ; d )lim ^ /(x )

l 1 Calcula a) lint -------- , ; b) lint -j — .} * -» ( x - 3)2 x -» -w | 2 x + l |

x 1 — 1 , , , . 5/ 2xi — 3x + 112 Halla a) lim \ ¡ X\ — , b) lim \ f■ X -> — I v v-3 4. 1 7 X -» +oo vX3 + 1 + +00 V 3x + 6

13 Encuentraa) lim 2X, b) lim 2X, c) lim 2 x ,

X -> +CO ■ X -* — 00 X - t + 0 0

d) lim 2~*, e) lim 2"*; f) lim 2X.3* - i

+ 2a) lim /(x ); b) lim / ( x ) ; c) lim / (x)

- v - .+ o o ' • • x - > - « r ' x - t 2 J '

14 Sea / (x) = ■—- , - — Calcula

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LIMITES F U N C IO N A L E S

15 Calcula los siguientes límites:

a) lim ( \ / } x + 1 — y / 3 x + 5) c) lim {\Jx2 + 5x —8 — x2 — 3x + 2)X +'00 _______________ " vX — oc _________

b) lim (v/3X2 + 13 — x) d) lim (x — \ / x + 1)x -> +oo x -* +oo v

16. a) lim ( \ / 3 x ■+■ 1 3 — \ / 3 x — 3); b) lim ^ ——------- >x x —* ¿ x — Z

\ «• x + Ic) hmi — v----------------- .y / 5x + 9 — 2

17 Sea / ( * ) = ( - ¿ * I 7 ] | - ) Calcula:

a) ] > m / W ; ^ x l ' + o c ^ ’ C) x l ‘ - o c /W

3x2 + 2 x - 5 V - „1 8 s “ / w = ( l 7 T ^ f )

; b) lim f (xx-> —oo v

19 s „ /<*) = ( - g i f ) “ ’U

a} lim / ( x ) ; b) lim f { x ) , c) lim / ( x ) , d) lim f{x )x -*■ +00 ' 7 —00 x f x-*\ ' x -* — V

Calcula :

á) x ]*“ «,/(■*): b) * I ™ * / M • c) Km f (x), d) J im / ( x )

20 S e a / ( * ) = ( - / “ ^ ) " Halla .

a) lim /{ x ) ; b) lim /'(x), c) lim /{ x ) , d) lim f (x)x -» +00 x —► —00' w ' j* _► | J 1 '

21 Calcula los siguientes límites

\ , ( 5 x 3 ~ 6 x 2 + 8 x — 7 \ 6x~ s , . f x + \ \ l ~ Zxlx-i’ícoV 5x3 + 2x2 + 3x + 1 0 / x + 3 /

b , hm d) hm ( - " ' V "x~*+00\ 3 x + 2 / ' x -» +oo \ x + 3x — 6x + 1 0 /

22 Halla los siguientes límites'

, . Sen(3x) , .. Sen2xa) l im A c) l im ----------------

' x ~*0 X X -*0 X

b ) l l m l ü d £ l d l h m ^ L Í ^ Ix —1 ü 4 /v*V X

23* Calcula los siguientes límites.

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190 P. TAN IG UCHI

Tan xa) Iim — - — c) lim

x-x) X x*-n/2 2x — n

Sen (x - 1) C osx - 1b) ’51 — a '4 — d) J'-T,*' 3 — 3x x - n £

24* Encuentra los siguientes límites:

, , S enx Sen [Tan (2X)1a) lim------------ c) lim r-------i—

x + :X> X X -* +00 ^ J

Ls , Cos X Cos2 (v /x2 + 2)b) lim — - — d) bm --------- —

x - - o c X ' x - > - a c . x * + 8

25* Halla los siguientes límites

a) lim (1 + Senx)1/Jt c) lim ( Senx - o ’ > * -» n\ 2 J

( Y 4- a \ sen 0. jr/2)

—r------.—) d) lint (1 + x + Sen (x2)]5x + I / ' * — ce

i (x + i;

2 11 *

E (x )26* Calcula lim^ — —— , donde E (x) significa “parte entera de x ’

* * *

(V iene de la pág, 74 ).Sean x , y , z, t re sp ec tiv am en te las u n idades d e ch o co la te de 6 p ta s ., 5 p tas ., 3 p ta s . y 2 pías. E n to n c es x + y + z + t = 20, 6 x + 5 y + 3 z + 2 t = 50; h em os de e n c o n tra r u n a so lución de es te sis tem a de ecuac iones fo rm ad a p o r nú m ero s en te ro s y m ayores que 0, pues h a de haber c h o c o la te de to d as las clases.

Si re stam o s a la segunda ecuación el dob le de la p rim e ra (p a ra e lim inar t) nos quedara 4 x + 3 y + z = 10, es decir, 3 y + 7. = 10 - 4 x De a q u í se deduce fác ilm en te que x = 1 En e fec to , co m o y > 1, z í* 1, resu lta que 3 y + z > 4 : p o r ta n to , si fuera x > 2 se ría 10 - 4 x ^ 2 , es decir, 3 x + z ^¿2

C o m o x = 1, 3 y + z — 6 , es decir, z = 6 - 3 y. T am bién a q u í se ve in m ed ia tam en te que y — 1, p u es si fuera y ^ 2 se ría 6 - 3 y < 0 . es decir, z < 0 . Y com o y = 1, es z — 6 - 3 ' 1 = 3, de d o n d e t = 2 0 - ( 1 + 1 + 3 ) = 13.

L uego, la única so luc ión es u n a ta b le ta de ch o co la te de 6 p ta s , una de 5 p ta s , tres de 3 ptas. y 15 de 2 p tas

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X Fundones continuasR E SU M E N T E O R IC O

1. Continuidad.Una función / es continua en un punto a si, y sólo si. su gráfica no se interrum

pe en dicho punto a. EUo equivale a que se verifiquen estas dos condiciones;

1 ° f {a) existe, es decir, a € Dom f .

2 ° U m ^/(x) existe y vale f{d ) .

S i /e s continua en todos los puntos de un conjunto A , diremos q u e /e s continua en A .

El conjunto formado por todos los puntos en que / es continua recibe el nombre de campo de continuidad de / y se representa por Cont f

Cont f = [a € R / / es continua en a)

2. Discontinuidad.

Si una función no es continua en un punto, diremos que es discontinua en dicho punto, y que éste es un punto de discontinuidad de la función Esto sucede cuando se verifica alguna de estas condiciones;

a) f { a ) no existe, es decir, a (é Dom f .

b) hmJ { x ) no existe.

c) / (a) Y hm J (•*) existen, pero no coinciden.

3. Operaciones elementales con funciones continuas.

•Sean / y g funciones continuas en el conjunto A . Entonces,

1) / + g es continua en A

2) f —g es continua en A .

3) f g es continua en A .

4) f /g sólo es continua en los a G A tales que g(a) 0.

Si / e s continua en el conjunto A , entonces,

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192 P. TAN1GUCHI

1) —f e s continua en A

2) c f es continua en A para todo c € R

3) / 2, / 3, , / " son continuas en ¿4.

4) M f es continua en todos los a A tales que f { d ) /= 0

4. Composición de funciones continuas

Si f es continua en a y g es continua e n /(a ) , entonces ¿ ° / es continua en J De esto se deduce inmediatamente que si / es continua en A y g es continua en B — { f (d )/ a € A }, entonces g o / es continua en /f

5. Campo de continuidad de algunas funciones.

FU N C IO N C A M PO D E C O N T IN U ID A D

Polinómica R

Racional Puntos en que el denominador no se anula

Irracional \¡fx R si n es impar; [0. + oo[ si n es par

Seno R

Coseno R

T angeme R - i(2£ + 11 j t / 2 , k ¥~-Z\

Arco seno [ - 1 . 1!

Arco coseno [-1 II

Arco tangente R

Exponencial a* í ! ) R

Logarítmica luga ,v i 1) R+ es decir ]0, +co[

Observa que el campo de continuidad de cada una de estas funciones coincide con su dominio No toda función satisface esta condición; véase el ejercicio resuelto n 1“ 4

En d cjLpitul" si^uK'nU* se define y «lüd i.t O«n lleulle rn ij función

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FU N C IO N ES C O N T IN U A S 193


1 Dibuja la gráfica de la función f { x ) ~ 2x + 1 y comprueba que es continua en R.

Solución

Se observa que la gráfica es una línea continua (no sufre interrupciones). A esta misma conclusión se puede llegar mediante consideraciones teóricas, pues se demuestra que toda función polinórruca es continua, y la función f(x ) = 2x + 1 es polmómica.

2 Dibuja la gráfica de la función valor absoluto: / ( x ) = | x | y halla su campo de continuidad.

Solución

M i,SISI

Se observa que f es continua en R, es decir, Cont f = R.

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194 P. TAN IG UCHI

^ Dibuja la gráfica de la fundón / ( x ) = 1/x y baila su campo de continuidad.

Solución

Se observa que / es continua en todo R, salvo en 0 , pues/(O ) no existe ( 1). luego, Cont/ — { < i € R / ¿ í t ¿ 0 } = R — {0}

yj S e a / la fundón definida por f { x ) = | *! X ^ ^

a) Dibuja su gráfica.

b) Halla su dominio.

c) Halla su campo de continuidad y comprueba que no coindde con su dominio.

Solución

a)

b ) / ( x ) existe para todo r G R . Luego, el dominio d e / e s R D o m f — R.

c) Se observa que la gráfica d e / s e interrumpe para x — 2, porque jím ^ /(x ) no

( 1 ) / sólo es discontinus en 0 , es decir, 0 es el punto de discontinuidad de f Observa que la gráfica de f se interrumpe cuando x = 0

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FU N C IO N E S CON TINU AS 195

existe (fíjate que cuando x se acerca a 2 por la derecha f (x) tiende a 3, pero si se acerca por la izquierda / (x) tiende a l ) . Por tanto, la función tiene un punto de discontinuidad (y uno solo): x = 2. Su campo de continuidad es, entonces;

C o n tf= { x € R / x ¿ 2 } = R - {2}

que no coincide con Dom f — R

^ Demuestra que la función j (jc) = Sen x + Cos x es continua en R.

Solución

Las funciones seno y coseno son continuas en R Por tanto, su suma / (x) — = Senx-t- Cos x también es una función continua en R.

^ Halla el campo de continuidad de la fu n c ió n /(x ) = x 2 • Cos x.

Solución

Sean las funciones: ¿ ( x ) ^ x 2 y ¿(x) —C osx ; g es continua en R, por ser polinómica; también h es continua en R, por ser la función coseno Luego, el producto de estas funciones1 / ( x ) = g (x ) J>(x) = x2 C o sx es una función continua en R, es decir, C o n tf— R.

7 Demuestra que las funciones: f ( x ) = Sen (x2) y g(x) = Sen2 x, son continuas en R.

Solución

Sean las funciones: h{x) = x 2 y £(x) — Senx. Ambas son continuas en R; la primera por ser polinómica y la segunda por ser la función seno. Luego, tanto k ° h como h o k. son funciones continuas en R. Y como

{k ° h) (x) = k_[h (x)l = ^(x2) = Sen (x2) = / (x)

(h o k) (x) = h U(x)] = h (Sen x) = Sen2 x = g(x)

es decir / = k ° h y g — h o resulta que / y g son continuas en R,

„ Demuestra que la fundón radonal f (x) = — + i — — es continua8 en R. V + 1

Solución

Sean las funciones: g(x) = 3X3 — 2x2 + 5 x — 6 y b(x) — x 2 + 1. Tanto g como h son continuas en R, por ser polinómicas Luego, su cociente, que es /

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196 P. TAN1GUCHJ

es una función continua salvo en los puntos donde el denominador se anula. Pero, A(x) = x* + 1 es una fundón que no se anula nunca, pues la ecuación x2 + 1 = 0

carece de soludones reales. Ello demuestra que f es continua en R.

^ S e» /1» fundón radonal: /(* ) «=■ ^ .

a) Halla las soludones x ,, x 2 de la ecuación x2 •+■ x — 2 = 0 , y demuestra que d campo de continuidad de / es R — (x,, x2}. Corrobora este resultado observando la gráfica d e /

b) Calcula lim / (x ) . Corrobora tu resaludo observando la gráfica de /

c)#Haz lo mismo para (x).

SoluciónX J « - 1 ± > / * ” + 8 ^ 1a ) a r + x — 2 = 0 <=> x --------- 1— — <

Las funciones ¿(x) = x2 + 2x — 3 y ¿ (x ) = x* + x - - 2 , son continuas en R,por ser polinómicas. Luego, su cociente, que es / , es una función continua,excepto en los puntos donde el denominador se anula, es decir, C o n tf— = R — {1, —2}.

Los puntos de discontinuidad de f son 1 y —2, lo cual queda reflejado en la gráfica de / pues esta se interrumpe cuando la abscisa toma dichos valores

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F l 'NCIONES CONTINl i VS

bl t {1) = = ~|y~ (compruébalo), Por tanto, el límite lim f { x ) es un o s o

de indeterminación. Para calcular» hay que dividir el numerador y el denominador por x — 1

1 2 —3 x? + 2x — 3= x + 3

x + 2

1) 1 3 x - 1' ) 3 LO

I 1 - 2 x * + x - 2I) 1 - 2 ^ x ~ 1

1 2 [_0

Luego,x2 + 2x — 3

lim f (x) = lim — — — = lim - -~~X2 + x - 2 *-*» x + 2 3

x - 1 / 2\ ^

c) / ( —2) = —jy = -Q- (compruébalo) Por tanto estamos nuevamente ante

un caso de indeterminación.Para x suficientemente próximo de —2, x — 1 es distinto de 0, por lo quepodemos dividir el numerador y el denominador por x — 1, quedando

x + 3lim / ( * ) = lim

2 X + 2

Cuando x tiende a — 2, x + 3 tiende a 1 y x + 2 tiende a 0. Si x > — 2 entonces x + 2 > 0 por lo que cuando x tiende a —2 por la derecha (x + 3)/(x + 2 ) tiende a + oo (observa la gráfica) Sm embargo, si x < —2, entonces x + 2 < 0 lo cual indica que si x tiende a —2 por la izquierda, entonces (x + 3)/(x + 2} tiende a —co (observa la gráfica)Luego, íim^ / ( x ) no existe (no puede ser m un número real, ni + oo, ni — oo)

lo cual concuerda con la forma de la gráfica de f

10 Halla el campo de continuidad de la fundón f (x) = Cos ( 1/x).

Solución

Sean las funciones: g{x) = 1/x y ¿(x) = C o sx ; g es continua en todo R, excepto en 0 , pues g(0) no existe En cambio, h es continua en R por ser la función coseno. Por tanto, b o g es continua en todos aquellos puntos en que lo sea g, es decir, en R — (0}

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198 P. TANIGUCHI

Pero, como;

(b °g ) (x) - b ]g(x)] = h ( l /x ) = Cos ( l /x ) = f ( x )

resulta que / es continua en R — {0}, o sea que C o n tf— R — |0 ).

Demuestra que la siguiente función es continua en R:

11 Í Sen.

*

si x 0

si x = 0

Solución

En primer lugar, es inmediato que/ es continua en 0 , pues:

ib,/(,)_£, Jas.. i„ /(o)Veamos ahora q u e /e s continua en los restantes puntos de la recta real. Consideremos las funciones: g(x) — Sen x y b(x) = x. Ambas son continuas es R, y la

» i n i/ii n • /?(**) Senx , ,segunda no se anula en R — 10/. Por tanto, su cociente: ^ ^ = / fx)

es una función continua en R — {0K

Finalmente, por ser /^continua en {0} y en R — {0}, f es continua en R.

12* Halla el campo de continuidad de la fundón : /(x ) = \ / x + 3 + \J 1 0 —x.

Solución

Consideremos las funciones: g{x) — \ f x , ¿ (x) = x + 3 y k{x) ~ 10 —x; g es continua en [0, + oo[; es cambio b y k. son continuas en R por ser funciones polinómicas. Por tanto, como (g o h) (x) = g [¿(x)] = g(x + 3) = \ / x + 3 resulta que g o h será continua para las x tales que x + 3 ^ 0 ; es decir, g o h es continua en [—3, + oo[. Análogamente, como (g o £} (x) = g U(x)] = g( 10 — x) = — \ / l 0 — x rcsulra que k, es continua en )— oo, 10].

Por último, la suma:

(g o b) (x) + (g o b) (x) = \ / x + 3 + \ / l 0 — x —f (x)

será continua en aquellos puntos en que tan to g 0 b com og ° k sean continuas. Por tanto, / es continua en [—3, +oo[ (1 ]—oo, 10] = [—3, 10], es decir, C o n tf— [—3, 10].

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F U N C IO N E S C O N T IN U A S

Ejercidos y problemas propuestosDibuja las gráficas de las siguientes funciones y baila sus respectivos campos de continuidad: f { x ) = x — 1, g(x) — \ ¡ { x — 1), b(x) = x 2, £(x) = X/x2

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y halla sus respectivos campos de continuidad:

\ f - 1 si 2 , J 3 si x < 3= i 2 s, x > — 2* « = i , s, v > 1

í X si x < 0 í * + 1 si * < 013x si x > 0 1 2 —x s i x i ^ O

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y halla sus respectivos campos de continuidad

-x si x í j —2/ ( ■ * ) = ' \ x 2

4 Halla el campo de continuidad de las funciones f (x) — L ¿(x) = x,h(x) = I x 2 — 5x 2 + 6* — 8, £(x) = (x + 1 )3.

5 Cuál es el campo de continuidad de las siguientes funciones

/ ( x ) = x2 — Sen x b{x) = Sen (3* — 5)

g (x) = (x2 + 2 x — 1) • Cos x k. (•*) = Cos f j\ X "f* 1 /

6 Halla los campos de continuidad de las funciones racionales

f< x )= > * + ' b lx) = x \ + > f ’ - '- W x2 + 3x + 2 X2 + 2 X + 2

< \ x* — 8 L/ x x 2 + 1= ---- 7- *(*) = 'x 2 — 4 x> - x 2 - 1 2 x

1 Encuentra el campo de continuidad de las funciones: f {x) = Sen ( \/x ) .g(x) = i / T T C o s x , b(x) — \J x — 1 k{x) = i/ 1 6 — x 2

8 r Halla el campo de continuidad de las siguientes funciones:

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200 P TANIGUCHI

/(* )= ■1

Sen XX

4 w = Tan ( _ _ ! _ )

k(x) = T an2 - y )1 - Cos X

9* Busca el campo de continuidad de las siguientes funciones,

f { x ) = Sen2 x — 3 Cos2 x ¿(x) = y / x — 1 + y / 5 — x

¿(*) =x- Sen x — 3 Cos2 (2x) _ £(x) = -

x

1 V ' y 'x + 5 - y f l - x

1 0* Encuentra el campo de continuidad de las siguientes hincones

Sen (x7)x0

si x £ 0

si x = 0

í Cos x b (x )= - r - 51

f 1 Si X = 0

x =/= 0

Sen (x — 1/2) ¡ 1 k n i — S1 l / \ ' * Cos1 - 2x 2 *(*) =

1 si X = y

(i) - x í ¿ 0

0 si x = 0

II* Cuál es el campo de continuidad de las siguientes funciones

/ ( * ) =

¿(x) =

x2 six í/=2

2

x3 —8

S I X -

si x ¡£ ± 2x2 —4

3 s i x = 20 si x = —2

¿(*) =

k { x ) =

—r —- si x 2 y x 3x2 — 5x + 6

2 si x = 33 si x = 2

x3 + 4x2 + 5x + 2 , , , , 2-------- r s i X sfc —1 y X sfc — i.

x + 3x + 20 si x = — 1

— 1 si x = —2

12 a) Demuestra que para toda función / s e tiene; C ontf a Dom f

b) Halla dos funciones cuyos respectivos campos de continuidad sean distintos de los correspondientes dominios.

13* Sea la función / ( x ) — E (x ) donde £ (x) significa “ parte entera de x", es decir el mayor entero que es < x Por ejemplo, £ (3 ,8 ) — 3, pero £ ( - 3 ,8 ) = - 4 .

a) Halla el dominio de / b) Dibuja la gráfica de /

c) Halla el campo de continuidad d e / y comprueba que no coincide con e! dominio d t /

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XI Fundones exponenciales y logarítmicas

R E S U M E N T E O R I C O

1. Defin ición de a*.

Sea a un número rea!, positivo y discinto de 1 Sea ( * „ ) la sucesión de aproximaciones decimales por defecto de x. Entonces

ax = lim ax" ( ' )

Por ejemplo, si a = 1 y x = 1t, entonces

* , = 3,1 2X‘ = 8 ,5741877x2 — 3,14 2* ¡ = 8 ,81 5 24 0 9* 3 = 3,141 2Xs — 8 ,82135 33 .x4 = 3,141 5 2**= 8,82441 1 1.

2* = lint 2* "= 8 ,8249781

2 . Función exponencial en base a

Sea R + el conjunto de los números reales positivos, es decir, R + = 10, -t-oof, v sea a un número real positivo y distinto de 1

La función exponencial en base a es la definida por

exp0 R -> R +* -> ax

Las tum iones exponenciales más importantes son

expío ( * ) — Y expe (.v) = f

Fst.i última suele denominarse I ioti.ton exponencial y se acostumbra represen tarla poi <\¡

txp ( \) = ex

! I ) i ijin. sí \ i.\ un jhm7'k i'*? l k u h w I »* n r n id r i t o (f* — fim . i!4.' J o j r i.jut t ix \ ti te tab a dctmuJ< ip i r . t i.. ¡-u n i Sir- i.tíiIi.ii u • •/■** «i*i '.'•i ib i i.l«. Im itli • |u r . i t u t ,ti.f unii L s Ih mpitrsi> ni J ü f im a * para u u k j iu u ' i i i i ¡k i = : n ò I •>. ii.i-.u-na! in d ù u u ill \ u= m udi. s.«ni la i.p.u. :*«.abam os de -.11.11 « a iiru lo \ t\s ra u o n il.. www.FreeLibros.me

202 P, TAN IG UCHI

3. Propiedades de la fundón exponencial en base a. ( ! )

Propiedades fundamentales ( 2)

1 a cxpfl es una aplicación bíyectiva Ello implica que:

1) a* > 0 para todo x GE R.2) Para todo y E R + existe un único x E R tal que: rf* —y.

2 a Para toda pareja x,x'GE R se tiene que,

cxpc (x + x') ~ expa (x) cxpa (x7), es decir, ax + x ~ a*-a*'.

3.a expa es una función continua en R.

4 a expa ( l ) = ¿, es decir, a 1 = a.

es decir a * = ——.a

5.a expa (0 ) — 1, es decir, a° = 1

6 a Para todo x S R se cumple que'

expa (—jc) = --------- -expa (x)

7.a Para toda pareja x . r 'G R se verifica que,

exp (x — x ') = -X a j»*) es decir ax ~ x'— ~ r .expa ( x ) " cr

8.a Para toda pareja x . ^ G R se tiene que:

[expa (x )]*= Vexpa (x-^), es decir, (d*)k — axk.

(1) T odas estas propiedades, salvo la 2 a, la 6 a, la 7 a y la 8 * son fácilm ente observables en las gráficas que aparecen a continuación(2 ) Estas cuatro p ropiedades caracterizan la función expa de tal form a que expff es la única función que las verifica(3 ) Se puede dem ostrar que estas propiedades son consecuencia de las anteriores www.FreeLibros.me

FU N C IO N E S E X PO N EN CIA LES Y LOG AR ITM ICA S 203

9 a Cuando a > I se tiene que;

1) Si x > 0 entonces expa (x) > 1, es decir, a* > 1.2) Si x < 0 entonces 0 < expa (x) 0 entonces 0 < expa (x) < I, es decir, 0 < 4* < 1.2) Si x < 0 entonces expa (x) > 1, es decir, a* > 1.

10 a Cuando a > Jí se tiene que

1) iim exp- (x) = + oo, es decir, lim a* — + oo.X - * +0D 1 X —* +00

2) lim exp„ (x) = O, es decir, lim ¿r* = 0.X -» —00 1 X -* —00

Cuando O < a +¿» 1 x “* +oo2) lim exp. (x) = + oo, es decir, Jim íZ* = + oo.

x — —oc 1 x -> —00

1 1 a Si a > I entonces expa es una función estrictamente creciente, esto es'Si x < x", entonces, expfl (x) < expa (x"), es decir, x < x'=> c? < <r*

Si O < a < 1 entonces expa es una función estrictamente decreciente, esto es ,Si x < x ', entonces, expa (x) > expa (x'), es decir, x < x'=> a* > a* “

4. Cálculo de <sr* con una calculadora.

a) Cálculo de 10'1 Por ejemplo para calcular 10 J 2J se procede así

1 0 Se introduce 3,25 en la pantalla.2 0 Se pulsa la tecla | 10*] o las teclas JF 10* según el modelo, En la

pantalla ha de aparecer el resultado 1778 ,2794 .

b) Cálculo de e“ Por ejemplo, para calcular e~ a'2i se procede así

1 0 Se introduce —0,2 5 en la pantalla2 0 Se pulsa la tecla £_ o las teclas [F] [ 2 según el modelo. En la pantalla

ha de aparecer el resultado 0 ,778 8 0 0 8

c) Cálculo de a* siendo a =¡¿ e y a 10 Por ejemplo, para calcular 2 7,338 se procede asi

1 11 Se introduce 2 en la pantalla2 0 Se pulsa la tecla ( 2 0 ^ten [El 1 3 scg^n modelo3 (> Se introduce 7,538 en la pantalla4 0 Se pulsa la tecla = . En la pantalla ha de aparecer el resultado

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204 F. TANIGUCHI

5. Definición de logaritmo en base a.

Dado x > 0 se llama logaritmo en bate a de x y se representa por log^ (.y) ( 1)al número real y tal que ay = x. Es decir,

loga (x) = y <=> a>' = x ( 2}

Por ejemplo,

log2 (8) = 3 pues 2 5 = 8log2 ((),5) = - I pues 2~ l = 1/2 = 0,5

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgareso simplemente logaritmos¡ en vez de logl0 se suele emplear el símbolo log Porejemplo,

log (100) = 2 pues 10* = 1 0 0log (0,1) = — i pues 1Ü-1 = 0,1

Los logaritmos en base e se llaman logaritmos nepenanos o logaritmos naturales, en vez de log,, se suele emplear el símbolo in. Por ejemplo:

In (0,7 788008) = - 0 , 2 5 pues e“ 0'25 = 0 ,778 8 0 0 8

6. Función logarítmica en base a.

La función logarítmica en base a es la definida por

lo& R + ^ R C)x ->luga (x)

Como loga (x) es el número real y tal que expa (j/) = x, resulta que la función logarítmica en base a es la inversa de la función exponencial en base a: logQ = expa_1 Recíprocamente, la función exponencial en base a es la inversa de la función logarítmica en base a. expQ = log,,-1

Las funciones logarítmicas más importantes son:

1) La función logarítmica en base 10 que generalmente se representa por log en vez de log10

2) La función logarítmica en base e, a la que se suele llamar función logarítmica, generalmente se la representa por In en ve2 de loge

(Ir Los paren lesis pu citan vuprimirse uiandu ello no produzca confusión\2 \ Ten bien píeseme 411c, cualquiera que sea la base o, los números positivos, y sólo ellos; nenen loganrnio en dicha base I.11 el dorso de la com racubierta hay una juhla de logarnmos 1}) H jaic que ü dominio de las funciones logarítmicas es el conjunto de ios números posmvos

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(UNCION! S I XI'ONI N< ( U f S N L (K , \RITMK \S

7. Propiedades de la función logarítmica en base a, (*)

Propiedades fundamentales (2)

1 a loga es una aplicación biyectiva.

2 a Para toda pareja v, x £ R 4 se tiene que

log, (.v x') — log, {x) + log„ \X j

3 d logQ es una función continua en RC (es-decir, es continua en todo su d o minio)

4 a log^ (a) = 1

Otras propiedades (3)

Va loga (1) — 0

6 / Para todo x £ R + se tiene que log^ (1 ix ) = —loga lx)

7 J Para toda pareja x, x E R+ se cumple que;

loga ( x / x ) = log,, (x) - loga (x )

8.a Para todo .r £ R* v todo k £ R, se tiene que

!og« (**) = £ loga M 9 a Para todo .v £ R4 y todo n £ N tal que n ^ 2, se verifica que

l o g a í V ^ H - 1 ^

( 1 ) Ti><]üs estüs> p r o p ie d a d e s . e x c e p to la 2 A la 6 A. la ? a . la 8 :í v la 9 * so n fa t lím em e- . ilis<rvabl=_s -.ri l.is ¿•f.ilic.ts '|<jc aparecen a cnntjnuaaón( 2 | Í.M iís p r o p ie d a d e s e a r a u e r i z a n !(>&,. d e ta l f o r m a ^ lu J o ^ fl es la l i m u f u n c ió n > \w \,w i.c n f i¿ ¡ i i 4 1 Si. i'iir i.ie d e m o s t r a r cpje ■•;sra.s p n « p ied a d o . m ui l i 'T>s<v- k fn .ia d e I-i* .m u n o n s

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10.a Cuando a > 1, se tiene que:

1) si x > ] entonces log*, (x) > 0.2) si 0 < x < 1 entonces log^ (x) < 0.

Cuando 0 < a < 1, se tiene que:

1) si x > 1 entonces log^ (x ) < 0.2} si 0 < x < 1 entonces log^ (x) > 0

11 .a Cuando a > 1, se tiene que;

X!in?oolo & ( x ) = + 0 0 y i™0io& (* )= - co-Cuando 0 < a < 1, se tiene que:

x^ J ° S a M = - ° ° y Lim k>ga(*)= +o>'

12.a Si a > 1, entonces log , es una función estrictamente creciente, es decir,

0 < X < x'=> log^ (•*) < ^°g« (x")

Si 0 < a < 1, entonces log^ es una función estrictamente decreciente, esdecir,

0 < x < x'=> loga (•*■) > loga {x')

8 . Relación entre las distintas fundones logarítmicas.

Sean a y b dos números reales positivos y distintos de 1. Entonces existe unnúmero real k tai que para todo x € R + se cumple que:

El valor de k. es • k —

log* (*) = * ' loga (*)

1loga (*)

Esto significa que conociendo los valores que toma una función logarítmica (loga), sc pueden conocer los valores que toma cualquier otra función logarítmica (log¿) Por ejemplo, los logaritmos neperianos se pueden calcular a partir de los

decimales; para ello basta calcular: k. = -r— " t t = •, y — 2 ,302585 ,logioW 0 ,4342945

de donde: In (x) = 2,302 5 8 5 • log (x)

Por ejemplo, ln (2) = 2 ,302585 • lo g (2) = 2 ,3 0 2 5 8 5 -0 ,3 0 1 0 3 = 0 ,6931472

9. Cálculo de logaritmos mediante la calculadora.

a) Cálculo de logaritmos decimales. Por ejemplo, para calcular log (3 ,25) se ha de proceder asi:

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r UNCIONES EXPONENCIALLS Y LOGARITMICAS 207

I ° Se introduce 3,25 en la pantalla2 o V pulsa la tecla lo# o bien las teclas [F log , según el modelo, En

la pantalla ha de aparecer el resultado: 0,5 1 18834

b) Calculo de logaritmos nepertanou Por ejemplo, para calcular ln (3,2 5 ) se ha deproceder así

1 ° Se introduce 3,2 5 en la pantalla.2 0 Se pulsa la tecla _ta o bien las teclas [Fj ¡ ln | , según el modelo En la

pantalla ha de aparecer el resultado1 1,178655

c) Cálculo de logaritmos en base a, siendo a d 10 y a 4= e- Se puede utilizar indistintamente una de las siguientes fórmulas:

i , loS (-*) , , , ln (jr)log« (*) = ~ r ~ 7 ~ r l°g« (•*) -log (a) ln (a)

Por ejemplo, calculemos log2 (3,2 5) utilizando la primera fórmula, se ha de proceder así.

1 ° Se calcula l og(3, 25) según se indica al principio2 o Sí pulsa la tecla |-t-|3 ° Se calcula log (2)4 ° Se pulsa la tecla | = | En la pantalla ha de aparecer el valor de log2 (3,25)

1,7004397


1 Sabiendo <jue: log 2 = 0 ,3 0 1 0 3 0 0 y log 3 = 0 ,4 7 7 1 2 1 3 , calcula:

a) log 6 c) log 9 e) log 2000b) log 1,5 d) log 2 f) log 0 ,003

Solución

a) log 6 = log (2 3) = log 2 + log 3 = 0,3010300 + 0 ,4 7 7 12 13 = 0,77815)3

b) log 1.5 = lo g (3 /2 ) = log 3 - l o g 2 = 0 ,4 7 7 1 2 1 3 -0 ,3 0 1 0 3 0 0 = 0.1760913

c) log 9 = log (3J) = 2 log 3 = 2 0, 4771213 = 0 ,9542426

d) log = - Í 2 S Í . = ° :-3-—^ - 3Q0 = 0,07 5 2 5 7 5

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208 P. TANIGUCH1

e) log (2 0 0 0 ) = log ( 1 0 0 0 - 2 ) = log 1 0 0 0 + log 2 = log 1 0 3 + log 2 == 3 + 0 ,3 0 1 0 3 0 0 = 3 ,3010300.

0 log (0,003) = log (0,001 • 3) = log (0 ,001) + log 3 = log ( 1 0 “ 3) + log 3 = - 3 + 0 ,4771213 = -2 ,5 2 2 8 7 8 7 .

2 Sea / la función definida por f { x ) — | ^ S| * ^ ^

a) Dibuja la gráfica de f

b) Halla el dominio y el campo de continuidad de f

c) Dibuja la gráfica de la función gfx) = log [ /(* ) ] .

d) Halla el dominio y el campo de continuidad de g.

Solución

a)

b) Dom / = R, C ontf = R — i 2}.

c) 51 * < 2 l log 1 0 = 1 SÍ ^ > 2 :

d)DoCT¿ = R, Coutg = K — {2Í

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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 209

3 Sea f la fundón definida por / (x) = «Sen x.

a) H alla su dominio.

b) Halla su campo de continuidad.

Solución

a) Para rodo x £ R se tiene que S enx es un número real, pues el dominio de la función seno es R. Y como la función exponencial también tiene por dominio a R, resulta que f { x ) £ R, para todo x £ R, es decir, Dom f — R {1).

b) Sea a £ R. La función seno es continua en R, y por tanto es continua en a La función exponencial también es continua en R , en particular, es continua en Sen a. Luego, f es continua en ¿¡r, y como a puede ser cualquier elemento de R, resulta que / es continua en R • Cont j = R ( 2).

Dada la fundón f { x ) = In (1 — x í).

a) Halla su dominio.

b) Halla su campo de continuidad.

a | Puesto que los únicos números que tienen logaritmo son los números positivos, hemos de hallar los x 6 R tales que 1 — x2(> 0:

1 — x 2 > 0 <=> I > x 2 <=> — 1 < x x £ ] —1, 1|

Luego, D o m f— ] —1. 1 [.

Solución

b) Sea g(x) = 1 —x2, esta función es continua en R por ser polinómica, en particular, es continua en l—l , 1[. La función logarítmica In es continua en R+ Como para todo a E 1— L 1[ se cumple que ¿(a) E R+, resulta que in es continua en gf/z)

Luego, la función: ln Igfxjj = ln j 1 — x2) —■ f {vi es continua en todo,;¡ E ! — L l( , es decir. C o n t t - - ] — 1, ll

Halla el dominio de la función;

i (x) = ln (x — 1 ) — In ( 10 — x)

l)| ...l l | DI ...t'l.Il ■ I ■ }'■ W :'H )■ I R.-R

-lili :!=.’■ . I I : I ■ I'.’ Si I I RR

X|.| K I :.*• L' ■

R ! i

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210 P TAN IG UCHI

Como la resta es una operación que siempre se puede realizar, bastará hallarlos x 6: R para los que existen In (x — 1) y ln (10 — x).

Dado que sólo los números positivos tienen logaritmo, hemos de encontrar los x € R tales que jc — 1 > 0 y 10 — x > 0 ; pero,

x — I > 0 < = > x > 1 1 , , . .> de donde l < x < 1 0

10 — x > 0 <=> 10 > x )

Luego, D o m f— {x £ R / 1 < x < 10} ~ ) 1, 10[

f Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:

log x = 1 + log (3 3 — x)

Solución

Transformemos el segundo miembro de la ecuación.

1 + log (33 — x) = log 10 + log (33 — x) = log [10>(33 — x)J = log (330 — lOx)

Luego, la ecuación dada se puede escribir así:

lo g x — log (330 — lOx)

y como la función logarítmica es una aplicación biyectiva (en particular es ínyec- tiva), si x y 3 3 0 — lOx tienen el mismo logaritmo, forzosamente han de ser iguales, es decir.

x — 330 — lOx

Resolviendo esta ecuación se obtiene x = 30

Comprobación

flog 30 = 1 ,4771213l l + log (33 - 3 0 ) = 1 + lo g 3 = 1 + 0, 4771213 = 1,4771213

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:

log x — 3 log 2 = log 3 — log (x + 2)

Solución

log x + log (x + 2) = log 3 + log (23) ( 1)log [x (x + 2)} = log (3 8) log (x2 + 2x) = log 24

(l) 3 ¡og 2 =iog (21).

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Por ser iog urna aplicación biyectiva, se tien e x2 + 2x = 24 <=> x = <C

Hemos de desechar la solución * = —6, pues log (—6) no existe Luego, la solución es x = 4, cuya comprobación no ofrece dificultad

q Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas:

í log (x ly ) - log JO l log x + log y = 2 + log 2

•Solución

De la primera ecuación se desprende inmediatamente que x + 2y — 50

Transformando convenientemente los dos miembros de la segunda ecuación,

log x + logjk = log (xy)2 + log 2 — log (102) + log 2 = log (100- 2) = log 200

esta puede escribirse así: log (xy) = log 200, de donde se desprende quexy = 200

Por consiguiente hemos de resolver el sistema de segundo grado:

í x + ly = 50 l xy = 200.

Despejando x = 5 0 — 2y en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda ecuación.» se tiene:

yo(50 — 2_y) y — 200 <=>y2 — 2 5y — 100 = 0 < = > j = <

Hemos de desechar la solución y — — 5, pues log (—5) no existe Luego, y — 20, de donde resulta que x — 50 — 2 - 2 0 = 10.

La solución del sistema es;

x = 10 j y = 2 0

cuya comprobación no ofrece dificultad

^ Resuelve la ecuación exponencial 2* — 52.

Solución

Como 32 — 2S, la ecuación puede escribirse; 2* = 25 de donde se desprende inmediatamente que x = 5

Conviene observar que ésta es la única solución de la ecuación propuesta, ya que las funciones exponenciales son aplicaciones biyectivas,

PUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 211

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212 F TANIGUCHI

10 Resuelve la ecuación exponencial i x — 7.

Solución

Como 7 no es una potencia entera de 3, tomemos logaritmos en ambos miembros,

log (3*) = log 71 a 1 log 7 0 ,845098x log 3 = log 7 =>x — -r-=— — —r— ----- — 1 7712435

* 8 log 3 — 0 ,4771213

Luego, x vale aproximadamente 1,7712435.

Comprobación

3» .™ ««= : 6 ,9999981 Sí 7

11 Resuelve la ecuación exponencial 52 * = 1.

Solución

Como 1 = 5°, resulta:

52 ~ J: — 5o <=> 2 —x = 0 <=> * = 2

j[ 2* Resuelve la ecuación exponencial 3* ~ 1 — 3* + 3X + 1 = 189,

Solución

Llamemos y a 3X, es decir, y — 3* Entonces

« - i = J l _ J L 3 ~ 3

3* + 1 — 3 3* = 3>

con lo cual la ecuación dada se transforma en:

— y + 3^ = 189

que se resuelve sin dificultad, hallándose que j/ — 81, es decir, 3"* = 8 1 .

Pero, como 81 = 34 resulta que 3* — 34, de donde se desprende que la solución de la ecuación propuesta es x = 4.

Comprobación

34 “ 1 - 34 + 34 + 1 = 33 - 34 + 35 = 27 - 81 + 243 = 189

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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 213

J Resuelve la ecuadón exponencial 16* — 4* = 240.

Solución

Sea y — 4*. entonces:

16* = (42)* = 4 2jc = (4*)2 = /

La ecuación se transforma en.

y - y = 240 <=> J = < i 6n

Hemos de desechar la solución y = —15, pues y — 4* y las funciones exponenciales sólo toman valores positivos.

Luego, y = 4X = 16 = 42, de donde resulta que la solución de la ecuación es x — 2.

Comprobación

162 — 4 Z = 256 — 16 = 240

Ejercicios y problemas propuestos1 Sabiendo que: log 2 = 0 ,3 0 1 0 3 0 0 y log 3 = 0 ,477 121 3, calcula

a) log 4 d) log 15 g) log 0,7 5b) log 5 e) log (1 /8 ) h) log \ / bc) log 36 f) log i) log 6,7 5

2. Demuestra con ejemplos que las siguientes fórmulas son FALSAS.

a) expa {x +_>)= expfl x + exP-jr ^ / _x_\ _ expa xb) exp„ (x - y ) = expa * - expQjy ° \ y ) expfljyc) expa (xy) = expa x • expay e) expa x + exPay = expa (xy)

3, Demuestra con ejemplos que las siguientes fórmulas son FALSAS

a) loga (x + jy) = log* X + logaJ d) loga f = l° gaXb) loga (x ~ y ) = 1°& X - logaT V } ) ¡O&Tc) loga (•*?) = l°gfl X logaJ <0 log« X logaJ = loga (x + y)

4 Halla el dominio y el campo de continuidad de las siguientes funciones

/ ( x ) = 5 JC+1 ¿(x) = ln(e* + 1) p(x) = log (Sen x + 1)g (x) = x2 — 2* k. (x) = ln (x — 1) q (x) = Cos (In x)

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214 P .T A N 1G U C H I

5. Calcula , loga (***) y exPo (log^ x).

6 ' Halla el dominio de las siguientes funciones:

/(•*) *= logl 4X2 - 9 | k(x) = ln | 3* 5 1g(x) = log {x + 2) + log (9 - x 1) P(x) = log ( y / x + 1)b(x) — ln (e* — 1) # (at) = ln (Sen x)

7. Demuestra que las siguientes funciones son continuas en R .

f ( x ) = exp (x2) h (x) = ln (1 + Sen2 at)

| ( x ) = 5 w , i ^ (^ ) = ln (x 2 + 2x + 2)

8* Halla el dominio y el campo de continuidad de las siguientes funciones'

/ ( * ) = 10* + log x h{x) = exp ( \ / x ) p{x) =

¿(at) = ln | j>e| k(x) = y / '\ogx q{x) = log (log x)

9. Las funciones f { x ) — log(A^) y g{x) = 2 lo g x, ¿son iguales? Razona larespuesta.

10. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log x + log 2 = 1 + log 3 c) log (x2) — log 3 = log a: + log 5b) log (22 — x) = log x — 1 d) log x + log 4 = log (jc + 1) + log 3

11. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log at + lo g (3 x + 5) = 2 c) log (* — 2) — l = log 2 — log (x — 3)b) 2 log x = 4 + log (x /1 0 ) d) log y / J x T T + log 5 = 1 + log y / 2 x — 3

12. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

al / x + ^ = 7 u\ í iog •* + 3 lo g j = 5llog ac + lo g j = 1 Uog (Ar/y) = 3

13. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 2* = 8 c) 7* + 1 = 1 e) 7X= 14b) 5* ~ 1 = 62 5 d) 3* = 1 /2 7 f)4** + 3 = J 0

14* Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 2* ~ 1 + 2* + 2* + 1 = 14 e) 9 * - 6 3* + J + 81 = 0b) 5* + 5 * -* = 6 f) 3 4 * + l - 5-2*1 = 182c) 33 x -2 = 9*í - 2 g) 2 5 * - 5*+ ‘ + 6 = 0d) 3 * + 3*+1 + 3*+2 = 1 0 4 h) 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 * = 25 5

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X II DerivaciónR E SU M E N T E O R IC O

I. Concepto de derivada.

S e a /u n a función y sea a un punto de su dominio. Se dice q u e /e s derivable en a si, y sólo si, el siguiente límite existe y es un número real;

Lim M - Mx - > a x — a

Este limite que generalmente se representa p o r/ ' {a) se llama derivada de f en el punto a :

/ ' W = í í , ® #x-*a x — a

Haciendo x — a + h se ve enseguida que f ' (a) = lim ~-^a + ^ — ÍS ¿ Lb-*o b

Esta fórmula es de gran utilidad para la demostración de las propiedades de las derivadas y para el cálculo de ciertas derivadas.

2. Interpretación geométrica de La derivada.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el punto de abscisa a es / » .

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5. Campo de derivabUidad.

Sea A subconjunto de R. Se dice que / es derivable en A si, y sólo si, es deri- vabie en cada uno de los puntos de A . El conjunto formado por todos los puntos en que/ es derivable se llama campo de derivabUidad d e / y se representa por Der f4. Función derivada.

Sea / una función Se llama función derivada de / a la definida por:

f R - » R

Por ejemplo, s i / (x ) — x 1 entonces: / ' : R -» Rx - r 2x

Evidentemente, el dominio d e / ' es el campo de derivabilidad d e / es decir, D o m f '= Der f5. Continuidad y derivabilidad.

Si / es derivable en el punto a, entonces / es continua en a, pero no recíprocamente (véase el ejercicio resuelto n.° 11). Es decir, D e r f c: C o n t f c: Dom f .6. Propiedades de las derivadas.

1 ° ( / + # - / ' + * '

2 ° i f - á ’- f - g '

$-° (cf ) ' — cf ' Para tQdo í € R

4 0 ( / í ) '” / ' i + / i '

v & > i6 ° (g ° / ) ' = (g ' ° f ) f es decir, { g ° / ) ' { x ) ~ g ' [ f{ x ) ] - f ' { x ) Esta pro

piedad se conoce con el nombre de regla de la cadena.

7 ° ( / ' “ *) = '/ o / - i" • es decir- ~ 7 ^ 7 - f^ )] Esta PrüPlcdadse conoce con el nombre de teorema de la función inversa.

7. Tabla de derivadas.

1 ( / '= ( >

II (.va)' ~ a x a ~ 1 para todo a 6 R — {Oí

III (Sen x ) = Cos v

IV (Cos x) = —Sen x

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D ER IV A C IO N 217

V (T a n x ) '= ‘ \ — = 1 + Tan2xCos x

V I (are Sen x ) '= ^y l — x2

V II (a rc C o sx ) '= - 1

V III (are Tan x ) '= 11 + x 2

IX ( e x ) ' = e x < es decir ( e x p x ) ' — e x p x

X (ax) ' = ax -In a, es decir (expa x ) '= exp„x \na

XI ( ln x ) '= — v ' x

X II (loga x ) ' = i ^ = — j -----' x x ln a


I Sea / ( x ) = x 3. Empleando únicamente la definición de derivada, calculaf ( 2 ) .

Solución

m = i,m + b4 = IB = ,,m =- 1 ’ h -*n h h 0 b

8 + 12¿ + 6 ¿2 + ¿ 3 - 8 , ¿ (1 2 + + / / ‘I= iim —------ ----- -------— ---- — = Jimb -*a h ¿ -.o b

= lim (12 + 6¿ + ¿ 2) = 1 2h -»l!

La derivada pedida es j (2) = 12

~ Halla la derivada de cada una de las siguientes funciones

/ ( x ) = x 4 g (x ) = 4X

Solución

/ e s una función potencial; por tanto, su derivada se ha de calcular aplicando la fórmula II: [xa) '= ax° ~ 1 En efecto, f '(x) = (x4) = 4x3

g, en cambio, es una función exponencial; por consiguiente, se ha de calcular su derivada aplicando la fórmula X {ax) '~ a x ln ■* Efectivam ente. ¿*'( v) “= ( 4 Jt) ' = 4 * - ] n 4

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218 P .T A N IG U C H 1

3 Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a ) / ( * ) = — c )¿ (x ) = ^x

b ) g ( x ) = \ / í d ) ^ ( x ) = - ¿ :& T

Solución

Las funciones / , g, h y k son potenciales y, por tanto, se derivan aplicando la fórmula II : (xa) '= a x a~ 1

a) / ( * ) = x ~2 =►/'(*) = -2 a r " 2" 1 = - 2 x ~3 = - — ■

b) g (x) = x 1'2 => g{x) = x1/J ~ l = - y x u l = - y - / j

c) h(X) = h\x) = - j - X3' 5 - 1 = - } - x 2/J = - J ^ j

á ) k . { x ) ^ x ~ 1/(>í>k:{x) = - - y x 1/6 ’ = g - x 13 6 = 6 f á "

a Halla la derivada de la siguiente fundón polinómica:

/ (a:) = x A — 8X* + Jx2 — 6x + }

Solución

f ( x ) = (x4 - 8X3 + Jx2 - 6 x + i ) ' — (x4) ' - 8 (x 3)' + 5 (x2) ' - 6 (x ) '+ (3 ) '= = 4x3 - 8 ( 3 x 2) + 5 (2x) — 6 1 + 0 = 4x3 - 2 4 x 2 + l Q x - 6

5 Halla la ecuadón de la tangente a la gráfica de la función / ( x ) = x 2 en el punto cuya absdsa es — 1.

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D ERIV A CIO N 219

Solución

El punto de contacto entre la tangente y la curva (parábola) tiene abscisa — 1 y ordenada / ( — I) = (— l ) 2 = 1. Luego, la tangente pasa por el punto (—1, 1). La pendiente de la tangente es / ' ( — l); calculémosla; f ' { x ) — (■ví ) '= 2x => =* / (—1 ) = 2 •(—1) — —2,

El problema, pues, se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (—1, 1) y tiene pendiente —2. Dicha ecuación es de la forma y = —2x + b, b se calcula imponiendo que la recta pasa por (— 1, 1): 1 = —2 • (—1) + b => b = ~ I Luego, la ecuación de la tangente es y = — 2x — 1.^ H alla la derivada de la fundón / ( x ) = x 2 • ln x.

Solución

f ' { x ) — (x2)'- ln x + x2 - (In x ) '= 2x ln x + x2 • = 2x ln x + x

y Calcula la derivada de / ( x ) =

Solución

c, t N x ( S e n x ) '— S en x -(x )' x-C os x — Sen x - 1 _ x C o s x ~ S e n x y (* ) = ^ ^ “ 7

^ Halla la derivada de b siguiente fundón: b(x) = ln3 x.

Solución

Habremos de calcular esta derivada aplicando la regla de la cadena:

(g ° f ) ’{* ) -¿ ' l f { x ) 1 •/'(*)Para ello tendremos que expresar la función como compuesta de dos fundones En efecto, observemos que para calcular b (x), primero hay que calcular lnx , y a continuación se eleva al cubo el resultado: h{x) = (ln x)3. Basándonos en esto, consideremos las funciones:/ ( x ) = ln x yg(x) — x3. Entonces, (g ° / ) (x) — = g i f (x)] = g ( ln x) — (lnx)3 = b(x), es decir, h = g o f

Para aplicar la regla de la cadena calculemos/ ' y g : f ' ( x ) ~ ( l n x ) ' ~ 1/x, g ^ ) = (x3)/ — 3X2. Finalmente, resulta;

A 'M = (g ° / ) 'W = g f/(x )J ■/'{*) = g'(ln x) - i - = 3 (ln x f ~ L = ^X X X

La derivada pedida es: b'(x) — * • - ,

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Q Deriva ks siguientes fundones: b (x) = Sen (x2) y k, (•*) — Sen2 x.

Solución

Consideremos k s funciones f ( x ) — x 2 y g (x) = S enx. Entonces:

(g ° / ) (*) = g l / W J = g ( x l ) = Sen C*2)

( / ° I ) (•*) = / U W J = / ( S c n x) = Sen2 x

Por tanto, para calcular h' y k ' hemos de aplicar k regla de la cadena:

U V ) 'W V W • / » ( / ° «)'(*) = / 'tg ( * ) l -Í'WPara ello, calculemos f ' y g - f ' ( x ) = 2x y g'(x) = C osx . Luego,

= (g ° f ) \ x ) - -f '{x) - ¿ { x 1) 2x - Cos (x2)- 2x = 2x Cos (x2)

k'{x) — { f ° g ) \ x ) — f [g(x)j -g'{x) = / '(S e n x) Cos x = 2 Sen x Cos x

Las derivadas pedidas son: h'(x) — 2x Cos (x2) y £'(x) = 2 Sen x-C os x.

1 0 # Calcula k derivada de k fundón f (x) — x?tn * con x > 0.

Solución

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros, queda: in [ / (x)J = = In (xSen *) — Sen x ■ ln x es decir, (In o / ) (x) = Sen x • ln x. Derivemos ambos miembros de esta igualdad:

(ln o /) '(x > = ln '[ /(x ) ) f ( x ) = f { x )

(Sen x T n x ) '= (Sen x)Tn x + Senx- ( ln x ) '= Cos x - ln x + Senx-

Finalmente, resulta

y-|~y / (•*) “ Cos x ■ ln x + * => f ' ( x ) = f (x) ^Cos x- ln x + J =>

=» / » = x*en* [ c o s x - l n x f ^ - ]

j j La fundón valor absoluto

J w 11 I-X si X < 0 es continua en R, es decir, Cont/ = R.

a) Demuestra que y no es detivable en 0 (a pesar de ser continua en 0).b) Halla el campo de derivabilidad de f

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D ER IV A C IO N “i “> Ií-í- 1

Solución

a) H ay que demostrar que f ' { 0) no existe. En efecto,

/ ■ (O j- fa m + ' X r W . ^ l2 4 b M =lim 1*1h - + o h o h ¿ ♦ o h

Para to d o ¿ > 0 se tiene que: — 1; en cambio, para todo h < 0 se

|¿ ] - 6 «ene que — = - ^ - 1 .

Por tanto, ¿lim - p - no existe, es dec ir,/'(O ) no existe, lo cual demuestra que/

no es derivable en 0.

b ) S ia r > 0 , entonces f ( x ) — x lo cual significa que f ' { x ) = 1 En cambio, si x < 0 , f (x) = —x por lo q u e / '(x ) = — 1 Por ta n to ,/e s derivable en todo punto x 0 :

rv / / l SÍ X > 0

/ W = i - 1 ,¡ . < 0

lo cual demuestra que D e r f — R — {0}.

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12 * Aplicando el teorema de la

demuestra que:

(are Tan

Solución

Sea f la función definida por

f ] - f ■ -H_y-»X = T a n j

R

Su inversa es la función:

r H - r f [x -+y — are Tan x

Para aplicar el teorema de la función inversa hemos de calcular: / ' (y) = = (Tanj»)'= Tan2^ + 1. Pero, como * = Tanjy e y = f ~ I (x), sustituyendo en

/ O) — Tan2y + 1, re su lta :/ ' l / “ 1 (x)] = x2 + 1, de donde, ( / “ ')'(■*) =

en virtud del teorema de la función inversa. Finalmente, dado que / _1 (x) — = are Tan x, resulta:

(are Tan x ) '= — —x2 + 1

fundón inversa: ( / ' ) » = ^

y=arc tan x

►x

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D ER IV A C IO N 223

Ejercicio y problemas propuestosI . Sea la función/(x) = x4 Empleando únicamente la definición de derivada,

calcula a ) / ' ( 3 ) ; b) j '{ a ) siendo a un número real cualquiera

2 Resuelve el ejercicio anterior pero para / ( x ) = x3 + x2 + x + 1

3 Calcula la derivada de / ( x ) = x2, g(x) = x 1/2, b(x) = x*, k { x ) = 2 x,

4 Halla la derivada de: f (x) = — g(x) = ^ /x , i (x ) = y/x*, £(x) =-7V

Calcula la derivada de: f { x ) — 2x3 — 6x2 + 7x — 9,, x4 x3 x2

£(*) + ~ y + — + x '

, , 3x6 8x5 óx4 3x3 7x2 5x 2* W “ — } - + ~ + ^ ----------4“ + T " T

Halla la derivada de cada una de las siguientes funciones

/ ( x ) = x Senx b(x) = C o sx r* p(x) — 2X■ are Sen xg ( x ) = \ / x - l n x £(x) = T a n x are Tan x t7(x) = ^ l n x

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones

r, , T a n x . x ■+• 1 . . . Senxf (x ) = h(x) = z p(x) = ■x +■ 3x + 1 are Sen x

* ( * ) = 7 í W = -ln x Cos x are Tan x

8 Demuestra con ejemplos que es falso que: a) La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de sus derivadas b) La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus derivadas

9 Aplicando la regla de la cadena halla la derivada de;

/ ( x ) = Cos (x3) h (x) = y are Tan x p (x) = Sen (ln x)g(x) = ln (Sen x) £(x) = Cos3 x q(x) = are Tan ( y r )

10 Calcula la derivada de las siguientes funciones

f (x) = (x2 + I )10 h (x) = exp ( \ / x ) p (x) = are Sen (3x)|( x ) — y / x 2 + 1 £(x) = Sen (2x) q{x) — cxp2 (x2)

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224 P. TA N JG U C H I

11. Sea y = f (x). Demuestra con ejemplos que las siguientes fórmulas son FALSAS: a) (S en ^ ) '= Cos ( j ') ; b) { \ J y ) ‘ = \ f y í ; c) (ey)‘= e yd) (ln_>)' = In ( / ) .

12 Seaj)i= /"(x) una función derivable. Aplicando la regla de la cadena demuestra las siguientes fórmulas

( j aV' —aya~ x y" a £ 0 (are Cos_yV = —

(Sen >) = Cosy y (are T an^) = p

(C o sj) ' = — Seivy y ' (ey ) '= e y y ', {ay )'= a y ■ In a y"

(T a n j) '= J i - = (1 + T ar?y)-y ( M ' = 2—Cos y y

(are Senjr)' = / _ L — <> & D )'= J hga ~ = -----V I - y y y ln a

1 3 Utiliza las fórmulas del ejercicio anterior para calcular las derivadas de las siguientes funciones

f ( x ) — Tan4 v k_(x) — —.....I..... : r(x) — are ScnfV are Cos a; \ ¿ /

g(x) = \ / ln x p(x) = Sen V * /(x) = are Tan (ex )

. 1 „ , . u (x) = ev *h(x) = y— q{x) = Tan ( 3x) ,

S e n a ¿'(jc) = ln (_v + x + l )

14 Halla las derivadas de las siguientes funciones:

f (x) = x 2 Tan x + 2 \ f x - é* k(x) = ~ — + 4 are Tan x — \ / x 2+ 2x+ 2Sen x v

£(x) = x 2* — 3 ^ / x -t- ^ p{x) = Sen2 x +C os (V) — 5 V are Sen x

■Sen x + Cos x —eM n x are Tan x Cos2 ar y j n x

1 5. Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de la función / (x) = 3x 2 —— 5x + 8, en el punto de abscisa 2

16 Cuál es la ecuación de la tangente a la gráfica de la función /(ar) = y x~enel punto de abscisa 4.

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D E R IV A C IO N 225

17. Halla la ecuación de la tangente a la sinusoide en el punto de abscisa 0.

18. ¿E n qué punto la tangente a la parábola^ — x 1 — I x + 3 es paralela a la recta y = —5x + 3 ?

19. Sea la función definida por: / M — S*I r si x > 0

a) Dibuja la gráfica de / y halla Cont fb) Demuestra que f es derivable en 0c) Halla el campo de denvabilídad de / ; compáralo con Contf.d) Define la función derivada f y represéntala gráficamente.

20. Sea la función: / ( * ) = " , * 5 1 x > ,

a) Dibuja la gráfica de / y halla el campo de continuidad de f .b) Demuestra que / no es derivable en 1.c) Halla el campo de derivabilidad de / ; compáralo con Contf.d) Define la función derivada f ' y represéntala gráficamente.

1 —1 si — 121. Sea la función: f { x ) = j 1 si —1 < x < 1

( x si x ^ 1 '

a) Halla Dom f .b) Dibuja la gráfica de / y halla Contf.c) Halla D erf.d) Compara D o m f C o n t f y Derf.e) Define la función derivada f y dibuja su gráfica.

22* Halla la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f { x ) = xtnx x > 0 h{x) = ( 1 + ^ ) sen *

g(x) = (In x f x > 1 k (•*■) = (arc Cos x)* + 1

23? Aplicando el teorema de la función inversa, demuestra que:

(are S en x )' =

(Viene de la pág. 120).log (1/2) — -log (2) ~ -0,301030. Ai multiplicar por log (1/2) los dos miembros de la desigualdad 2 > 1 hemos de cambiar el sentido de la desigualdad: 2 log (1/2) < log (1/2), pues log (1/2) es negativo.

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22 6 P. T A N IG U C H I

CRIPTOARITMETICA

La palabra crip toaritm ética fUe introducida p o r M, V attiquant que escribía bajo el seudónim o de Minos en la revista belga Sphinx, dedicada a m atem ática recreativa, “ Los criptógrafos -dice Minos en la edición de Mayo de 1931- para ocultar el significado de los mensajes, ponen núm eros en vez de letras. Nosotros, por el contrarío , sustituirem os cada cifra por una letra d istin ta” . Veamos un ejem plo sencillo;

AA+BBCBC

En primer lugar, es inm ediato que C sólo puede ser 1, ya que la suma de dos núm eros de dos cifras siempre es m enor que 200. A + B term ina en B, lo cual implica que A vale 9 6 0, según que se arrastre o no una unidad de la colum na anterior; pero , es evidente, que A ^ 0 , ya que es la prim era cifra de un núm ero, o sea que A = 9. Por últim o, A + B acaba en C = 1, de donde A + B = 11 y com o A = 9 resulta que B = 2 . La sum a es 99 + 22 = 121.

¿Sabrías resolver los siguientes problem as9

1 El más conocido de los problem as de crip toaritm ética es el que concierne a un telegrama recibido po r los padres de un estudiante; SEND MORE MONEY { ¡Enviadme más dinero!).

SENE.+M ORE

MONEY

2 Sabido es que la sal com ún es el cloruro de sodio (G N a); CL + NA = SAL SAL es prim o y CL cuadrado perfecto.

3. El problem a propuesto por Minos ai in troducir la palabra crip toaritm ética es.

ABC+DE

FECDEC

AGBC

4 En castellano "d o sx dos = cuatro". Sin embargo, en inglés: TWO x T W O = T H R £E

5 TOC x T O C = ENTRE

6. Estudiem os un poco de geografía en francés; CHINE + AS1E = JAPON AS es cubo perfecto , JA y JAP son cuadrados perfectos.

7. Un problem a sobre educación sexual en inglés: M AN + WOM AN — CHILD

M*AN* - WOMAN = CHILD

8. Por últim o, un “anticriptogram a aritm ético” . Dem ostrar que:

MARINA - PABLO ^ A K IR A (Solución en la pág. 252)

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XIII Integración (1)R E SU M E N T E O R IC O

1. Primitiva de una fundón.

Se dice que la función F es una primitiva de la fu n c ió n /s i la derivada de F e s / es decir, si F '= f . Por ejemplo, F (x) = x 1 es una primitiva de la función / (.v) — 2xy pues F'{x) = 2x

Se verifica que s i / e s una primitiva de / , entonces para codo c C R s e cumple que F + c también es una primitiva de /

F '= / = > ( F + c ) ' = f

ya que la derivada de c es 0, por ser una constante. Por ejemplo, las primitivas de f { x ) = 2x son las funciones de la forma F (x) — x 2 + í, pues, F (x) — = (x2 + f ) '= (x1)' + (c)' = 2x + 0 = /(-* )

En general, las primitivas de una función / se representan por

J / ( * ) dx (léase “ integral d e / ” )

Por ejemplo: j I x d x = x 1 + c

El proceso de hallar las primitivas de una función se llama integración. La constante c recibe el nombre de constante de integración.

El símbolo dx (léase “ diferencial de x”) sirve para designar la variable inde

pendiente, con el fin de evitar confusiones. Por ejemplo. J*2xy dx = x 2y + c,

pero, j 2xy dy = xy1 4- c. En el primer caso, dx señala que x es la variable

independiente y que y es una constante En el segundo caso, en cambio, dy señala que y es la Variable independiente y que x es una constante

2. Propiedades de las primitivas.

j [ / w + ¿ M i d x = j v (* )d x + j ¿ (* )dx

(1 ) N o s lim itarem os a casos m uy sencillos t el próxim o curso abordarem os con p rofund idad este tema

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22$ P TA N IG U C H I

J [ / (* ) “ £(•*)] ¿* = / / ( •* ) d x - j g ( x ) d x

J k f { x ) dx = k_ j f (*) dx

3. Tabla de primitivas.

I J o dx = c

II j d x = x 4- C

C yr+*III I x r dx = — — s- + c $¡ r d=-— IJ T + 1

IV J ~ J = j x ~ l dx — \n x + c

V \ - y ^ ~ d x ^ \ n [ f { x ) \ + c

VI j e x d x ^ e x + (

V II | aU x = ~ ^ - + cln a

IX

X

V III J c o s x d x = Sen x + c

Sen x dx — —Cos x + c

———s— dx — 1(1 + Tan1 ar) dx = Tan x + c Cos x •>

XI f - / — • = - L ■ are Tan f — )J a r + a a \ a J

XH f - ^ - ? =, ~ L - ln ( d L Z ± \ .J x 2 — a la \ x + ¿ /

X III f ~ ~ = = = = r — are Sen ( ) + cJ x /a 1 - ! ? \ a )

+ c

\+ c

X IV

y / S - ?

J + x / x 2 +l>) + cy x + b

4. Comprobación de resultados

Si se ha hallado que j f ( x ) d x — F (x ) + c para averiguar si el resultado es

correcto, basta comprobar que F ' ( x ) = f ( x ) . Por ejemplo, si se ha calculado

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IN TEG R A C IO N 229

j 2 x dx — x2 + c basta comprobar que (x2 + f ) '= 2x para tener la certeza de

que el resultado es correcto.

Ejercicios y problemas resueltos1 Demuestra que F (x ) = \ / x 2 + l es una primitiva de / (x) = —yr*¿sr-~.A y V + 1

Solución

Bastará demostrar que F '= / , efectivamente.

F '(*) = ( v ^ T ! ) '= — y = = r = = / W2 \ / x 2 + 1 y / x 2 + 1

J Sen2 xSeo X' Cos x d >c = — ^— + c.

Solución

(Sen2x-—^— + rj = Sen x- Cos x. En efecto.

Sen2x . V 2 SenX-Cos x + 0 = Sen x • Cos x( Sen x . Y+ ÍJ " 2

2 Calcula las siguientes integrales:

a) j x 2 dx c) J* \ / x d x

b ) J “ T ^ d ) j - j ^ d x

Solución r xr+ia) Aplicando la fórmula I I I : J x T dx — -------y - + c st r 4* —1r + 1

x 2+i x 3resulta: | x dx — ■ + c = ~ + (

b ) j - ~ r d x = J*x 3 dx. Apliquemos la fórmula I I I :

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230 P. TANIGUCHI

: ) J v T * = J x 1'2 dx. Apliquemos la formula III :v3/2 ■)

:1/2 d x = - j j Y + c = — x in + c

d)J dx = 2 J* — En este caso hay que aplicar la fórmula IV,

resultando

f dx = 2 f —í— d x = 2 lnx + f J .v v x

4 Calcula: í —~ — dx.J x 2 + 1

Solución

Como el numerador es la derivada del denominador, podemos aplicar la fórmula V:

J ~ ~ - d x = ¡n [f(x)1 + c => j x j X+ y dx = ln (x2 + 1) + (

Calcula: C dx J x 2 + 9

Solución

Como x 2 + 9 = x 1 + i 2, aplicamos la fórmula X I :

Í 2^~~7 = "T- are Tan (x/a) + c => f—~ — = are Tan ( x / i ) + cJ x 1 + a 1 2a J x + 9 6

dx6 Encuentra: - .

J ^ / 4 ^ 9 ?

Solución

f dx_______ f ______ dx__________f dx _ 1 f ______dx_____

J \ J 4 9 x 2 1 /9 7 4 /9 - x 2) 3 y / 4 / 9 - x 1 ~ 3 y / { 2 / i ) 2 - x 2

Aplicando la fórmula X III: f — = are Sen {xfa) + cJ s / a 2 - x 2

resulta; f ==f= — are Sen ( * ^ + c = are Sen (3jc/2) + cJ i / ( 2 / 3 ) V 2 /3 ^

de donde, finalmente obtenemos:

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IN TEG R A C IO N 231

Í —j - —- = ~ are Sen (3 x /2 ) + cJ \ J 4 - 9x2 3

Aclaración: c¡ 3 también CS' una constante y por eso hemos puesto c en el resultado,

y H alla: J"^x + C o s x dx

Solución

x + Cos x dx — J*x dx + J* Cos x dx — J* —- dx =

x 2= - j - + Sen x — In x + c

g * H alla: J c o s x • 2Scn * dfc.

Solución

La derivada de 2sen * es 2Sen x ln 2 Cos x. Luego,

Ji r 7 S i n x

C o s x -2 Sen* á x = - y ^ y j 2Se" *• ln 2 ■ Cos X dx = - ^ - y - + f

Calcula: j x Sen (x 2) dx.

Solución

Como [Cos (x2) ] '= —Sen (x 2) 2x — —2x Sen (x 2), se tiene

j x Sen (x 2)<¿e = ------- J — 2x Sen (x 2)d x — Cos (x 2) + c

1 0 Halla una primitiva F de la función f ( x ) = x 3 tal que F (3 ) = 1.

Solución

F es de la forma. F (x) = x 2 dx = x 3/3 + c. Para hallar c apliquemos la con- 1 = 1 : *dición F ( 3 ) :

33F (3 ) = - i - + c = 9 + c = 1 => c — —8

x 3Luego, la función pedida es: F (x) = - j 8

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232 P. TANIGUCH1

1 1 <£ Halla la ecuación de una curva, sabiendo que pasa por el punto ( 1 , - 5 ) X y que en cada uno de sus puntos la pendiente es el doble de la abscisa.

Solución

Sea y = F (x) la ecuación de la curva. Como pasa por el punto {1, — 5 } ha de verificarse que F ( l ) = —5.

Por otra parte, como la pendiente de la curva en el punto de abscisa x es F (x) resulta que. según los datos, ha de verificarse que F '(x ) = 2x

Por tanto, el problema se reduce a encontrar una primitiva F de la función f ( x ) — 2x tal que F ( l ) = — 5.

F[x) es la forma; F (x) — j 2xd x — x 2 + c Para calcular c impongamos la

condición F ( l ) = —5. F ( l ) = l 2 + c = — 5 => c = —6

Luego, la ecuación de la curva pedida es J = x 2 — 6

Ejercicios y problemas propuestos1 Demuestra que F(x) = Tan x + ln x — 3 x 2 + 1. es una primitiva de

/ ( * ) = -7 A — + ~ - 6*Cos x v

2. Comprueba los siguientes resultados;

j (x2 + 1 )dx — A - + x + c í 2* dx = - r —r- + c5 •> ín 2

f — f X~T" ~ -4— are Tan (x / 2 ) + c I — dx = \n(ex + 1) +J x l + 4 2 J ex + 1

3 Calcula

a) J"x d x e) J* x dx

b) J* 2 dx d) J 'x 2' 3 dx o / - # ?S /x

4 Halla

dxb' / p t l í A X 2 + 5

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INTEGRACION 233

d>JwT2? *>Ji£r 'lí-p b -5 Encuentra:

N f <¡6f f s f <¿r*>J7rz7 c)J t ^ 7 c ) i W ^ f

b) f _ ¿ £ _ H) f ^ f) f -> j . n ~ a ' j . / d _ i««* ’ J

dx\ / 4 — x 2 * 9 — 16 x 2 y '9 x 2 + 12

6 Calcula

a)JV T r* c) J" s¿7+7dx '>/*«■**b) f 1 dx d) r i ± ^ ¿ * f) í - ^ ~

; j 2 * + 3 ' • ' * + ** ’ J x - i a x

7 Halla:

a) J*(Sen x + Cos x) d x d)

b) / ( c o s j t - «> J*(Cos x + 2 ex) dx

c) J ( v ^ + 2 ^ 7 - - i - ) * f ) J ( 3 S , „ , + 2 « - - g | | ¿ T ) <&

87 Calcula:

, ) f * , j x c j f i í ü i M ^ . ) f Q ” »~ Cos (x ) ’ J x J \ / Sen * + 1

b) f -^-=r dx d) f Cos (3x) dx f) í — dxJ y x J J x

9* Encuentra:

a)J*T an2x<¿c c) J* ~^x

b)J s ^ «JVZ&10 Demuestra por derivación las fórmulas que aparecen en la tabla de inte

grales (resumen teórico)

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234 P. TAN [CUCHI

J 1 Demuestra que ios siguientes resultados son, en general, FALSOS :

//(*)•*(*) dx = (J / W dx) ■ ( J í W dx) ¡ \ f '(■*)] " dx = [J / W d x]-

Indicación Sean F y G primitivas de f y g, respectivamente Demuestra, por derivación, que FC no es una primitiva de fg, que F/C no es una primitiva de f /g , que F ” no es una primitiva de f n y que \ /F " n o es una primitiva de \ f f , ilustra tus conclusiones con ejemplos.

12 Halla una primitiva F de f ( x ) = \ J x tal que F (4) = 2

13 Halla una primitiva F de f ( x ) = C o s x tal que F ( 0 ) = 1

14* Halla la ecuación de una curva, sabiendo que pasa por el punto (—6, —4) y que en cada uno de sus puntos la pendiente es la mitad de la abscisa

, * * * ------------------------------------------------HISTORIA DEL DESCUBRIMIENTO DEL CALCULO INFINITESIMAL

El cálculo infin itesim al nene dos ram as C álculo d iferencial y cálculo integral. t i cálculo diferencia! surgió d u ran te el m ien to de resolver dos p rob lem as, ap aren tem en te d iversos pero in tim am ente re lac ionados, y urgenies p a ra la C iencia del siglo xvu: el prob lem a del m ovim iento no un ifo rm e y el de la tangen te El p rim ero consiste c-n calcular la velocidad de un m óvil en un in stan te d ad o (velocidad in stan tánea) cu an d o el m ovim iento no es u n ifo rm e, y el segundo consiste en tra ta r la tangen te a una curva en un p u n to de la m ism a A m bos prob lem as fueron resuellos m edian te un m étodo general llam ado an tiguam em e 'm é to d o de las ta n g en te s" o "d ife re n c ia c ió n " y que actualm en te se conoce con el nom bre de ''d e r iv a c ió n " D iebo m étodo fue d escub ierto p o r el inglés Isaac N ew ton (1642-172?) y por el a lem án G o d o fred o 1 eibniz (1646-1716), independíem e- m ente u n o de o tro ,

El cá lcu lo in tegral surgió d u ra n te el in te n to de resolver e l p ro b lem a de la in tegración que consiste en ca lcu lar long itu d es de curvas, áreas lim itadas p o r curvas y vo lúm enes lim itados p o r superficies curvas. C ie rto es q u e ya los griegos h a b ía n e n c o n tra d o un engorroso m é to d o llam ado ex h au c íó n p a ra resolver c ie rto s casos particu lares- lo n g itu d de la c ircu n fe ren c ia , área del c ircu lo , vo lum en d e la esfera , e tc . Sin em b arg o , el descu b rim ien to crucial de N ew to n y Leibniz consistió en re lac ionar e l an tig u o m é to d o de la ex h au c ió n co n el rec ien tem en te inven tado m é to d o d e las tan g en tes o derivación , d em o stran d o que e l p ro b lem a de la in teg ración p u ed e resolverse m ed ian te e l p ro ceso inverso de la d erivación , es decir, ca lcu lan d o prim itivas

U na de las m ás agrias d isp u tas que reg istra la H isto ria de la C iencia es la que sostuv ieron N ew ton , L eibniz y sus respectivos p a rtid a rio s so b re la p rio rid ad del d escu b rim ien to del cálcu lo infin itesim al. E ste tip o de d isp u ta s se d ab a con b as tan te frecuencia en la época . Las ideas nuevas so lían guardarse celosam ente p o r tem o r al p lagio , y eran co m u n icadas p o r vez p rim e ra en cursos un iversitarios o p o r m edio de c a r ta s , su p u b licación en le tra im presa so lía realizarse años después de h a b e r sido descub ie rtas E ra p o sib le , pues, que los c ien tíf ic o s de un p a ís trab a ja ran sin saber lo que se e s tab a investigando en el e x tra n je ra y, p o r consigu ien te , q u e dos personas h ic ie ran ei m ism o descu b rim ien to in d ep en d ien tem en te una de o tra . Y e s to fue p rec isam en te lo que suced ió con io s inven to res del cá lcu lo infin itesim al. Al p arecer N ew ton descu b rió el m é to d o de las tangentes (derivac ión) en tre 166S y 1666, p e ro n o lo p u b licó hasta 1693 i n cam b io L eibniz, au n q u e parece ser q u e h izo e l m ism o d escu b rim ien to e n tre 1675 y 1677, lo p u b licó en 1684. es decir, an tes que N ew ton .

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X IV VectoresR E SU M E N T E O R IC O

1. Vectores fijos.

Los vectores fijos son segmentos orientados ( ') . Así, el vector P Q de la figura es un vector fijo con origen en P y extremo en Q

Los vectores se emplean para representar las magnitudes vectoriales en Física: fuerzas, velocidades, etc.

2. Vector posición de un punto.

Sea A — {a, b) un punto del piano cartesiano. Se llama vector postetón de A . V se representa por ITal vector fijo cuyo origen coincide con el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto A

l 11 Un vector fi |u tjuedá univocaineiue deu-rm inado po r un par o rdenado de pun tos Isu origen y su extre m o |. v reciprocam ente P o r consiguiente tam bién puede definirse vector fijo com o par ordenado de puntos

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:36 P T A N IC U C H l

a recibe el nombre de primera componente de 7 y b el de segunda componente de IT Por consiguiente, se escribe 7 = (a, b) (*)

3. Operaciones con vectores posición.

3.1 Suma,

Sea V 2 el conjunto de los vectores posición de los puntos del plano cartesiano y sean 7 = (a jo ) y dos de sus elementos E) vector 7 + 7 vienedefinido por ^

7 + 7 = (a + c, b + d) b*dd

b

Esta operación es asociativa y conmutativa Tiene elemento neutro: el vector posición del origen de coordenadas 0 = (Ó, 0). T iene elemento simétrico u opuesto ■ el opuesto del vector 7 = (a, f>) es el vector —7 = (—a, — (ver ejercicio resuelto n ° 1), Por consiguiente, V 2 es un grupo conmutativo (o grupo abehano) respecto de la suma de vectores,

3.2 Producto de un número real por un vector.

Sea a G R y sea7 = (a, b) G V Llamaremos al producto de a p o r7 a l vector:

a - 7 = (aa, ab)

Esta operación se conoce con el nombre de producto por escalares, Por ejemplo, si 7 = ( O ) tenemos;

2 7 = (4, 8 )

0,5 7 = ( L 2 )

( - 1 ) 7 = ( - 2 , - 4 j

- 2 7 = ( - 4 , - 8 )

- 0 ,5 7 = ( - 1 , - 2 )

( ! ) A lgunos auroren» prefieren escribir u [a , b) com etiendo un abuso de lenguaje que se puede prestar 4 '.onhsiones. ya que se emplea el mism o sím bolo para represen tar al p un to \ a su veuior posición

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V LC T O R E S 237

Observa que a •'«'(Ct =£ 0) tiene ia misma dirección que Hp y el mismo sentido si a > 0, o sentido contrario si a < 0

Propiedades del producto por escalares:

1 o Propiedad asociativa: Para todo a, p 6 R y to d o ’u '€ V 7, se cumple que.

a-(P-Tf) = (aP)-TT2 ° Propiedad doblemente distributiva Para todo a, P E R y todo u? v*i£ V 2,

se verifica:

a ( if+ 1 ) = a T + a ? (a + p) tf= a tT + P iT

3 0 Existencia de elemento neutro Para todo tTG V2 se cumple que 1 -tT="if

4. Traslaciones. Vectores libres.

Sean a y b dos números reales La aplicación

i r r 2- r 2(x, y) -*• (x +■ a, y + b)

recibe el nombre de traslación Sus componentes o coordenadas son a y b, por lo que se representa

t r = (aT b ) o

Las traslaciones en R2 reciben el nombre de vectores libres de dos componentes. El apelativo “ libre'’ les viene de que “actúan“ sobre todos los puntos del plano. Por ejemplo, 1T= (1 ,5 ) aplica a (0, 0) en (1, 2), a (4, 1) en (5, 3), a (—4, —3) en {—3, —1), etc ; en general aplica a (•*'>.)') en (x + l ,j / + 2)

i- r

1 — >7 !

>/r1/

El conjunto de los vectores libres de dos componentes lo represen taremos por i 2 Las operaciones con vectores libres son enteramente análogas a las operaciones con vectores posición, y verifican las mismas propiedades

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238 P. T A N IG U C H I

5. Aplicaciones geométricas de los vectores libres.

5.1 Suma de un punto y un vector.

Sea P = {x,y) un punto del plano cartesiano y sea IT— (a, b) € E2 (conjunto de vectores libres de dos componentes) Llamaremos suma de P y "iT y lo representaremos por P + u7 al punto del plano cartesiano: {x + a ,y + b), es decir.

(x <y) + (a ’ b) = (x + a ,y + b)

Observa que P +1T es el resultado de aplicar la traslación TT al punto P.

5.2 Ecuación vectorial de una recta.

Sea Pp — (xn, yn) un punto del plano cartesiano y sea u*— (a, b) £ E 2 con u (0, 0). El conjunto formado por todos los puntos del plano que son de la forma: P = P0 4 - a íT con a £ R es una recta.

1 1 í Algunos autores prefieren escribir \T== b)

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V EC T O R E S 239

Se dice que "íT = (a, b) es un vector director de la recta ( 1), y que la expresión

( * J ) = (*o.Jo) + <x-(aTb)

es una ecuación vectorial de la citada recta ( 2).

Por ejemplo, una ecuación vectorial de la recta que pasa por ei punto P — (3, 4) y tiene vector director t r = (2, 1) es: (x,^) = (3, 4) + a (2 ,1 )

Sea (3 un número real distinto de 0 y sea u un vector libre distinto de (0, 0) Dado que los vectores"¡T y (3 u" tienen la misma dirección se puede afirmar que Si una recta tiene vector director TT entonces, cualquier paralela tiene vector director de la forma (3 •IT

(1 \ D e c im o s un v e c to r d i r e c to r d e la r e c ta p o rq u e iu a lq u i< r ' « w v c t t u i q u e o fif*,« la m is m a d i r e c c ió n q u e tf i im b ic n s e ra i r c i o r d i r e a ó r de la r e c ta fcn general cumple q u e « Ifé.v u n te * u > r director, e n to n c e s k>s d e m á s v e c to r e s d t r e c io r c s s o n d e la f o rm a a c o n a +■ 0(2 | Decim os una ecuación v n .to n a l '. porque elidiendo o tro pum o \ 0 0 o vector d irector de h re c u se tu nc i)tra ecuación vectorial de la rrnsma recta

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240 P . TANIGUCH1

5.3 Punto medio de un segmento.

El punto medio del segmento cuyos extremos son Pj = y P2 = (.v2,_y2)es el punto

M — \ 2 ’ 2 )

6 . Vectores en el espado.

Los vectores fijos, los vectores posición y las traslaciones (vectores libres) en el espacio tridimensional R 3 se definen de forma análoga a sus respectivos homónimos en el plano cartesiano Rz.

En efecto, sea P = (a, b, c) un punto de R 3 ; el vector posición de P es el vector fijo iT= (a, b, c).

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VECTORES 241

y la traslación: i f ; R3 -+ R J(jr.jy, x) -» {x + a , y + ¿, c).

es el vector libre 1!'= (a, b, c).

Las operaciones entre vectores de tres componentes (fijos o libres) se definen así:

Suma: Si "¡T= (a, b, c) y TT= (cTe,7), entonces:

"¡T+'v'— (a + d, b + e, c + í)

Producto por escalares: Si "iT= (a, b, c) y a £ R, entonces:

a "íT= (a a, a b, a -c)

y verifican las mismas propiedades que las operaciones entre vectores de dos componentes.

7. Concepto de espacio vectorial

Llamaremos espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (o simplemente espacio vectorial) a un conjunto E dotado de dos operaciones: suma: vT+ V y producto por escalares: a - 3* con a 6 R, que verifican las siguientes propiedades:

1 .a £ es un grupo conmutativo respecto de la suma, es decir, verifica las propiedades asociativa y conmutativa, tiene elemento neutro y elemento simétrico.

2.a El producto por escalares verifica las propiedades asociativa y doblemente distributiva, y tiene elemento neutro.

V 2, E2, V 3 y £ } son ejemplos de espacios vectoriales.

Ejercidos y problemas resueltos1 Sean los vectores posición 1T= (3, 4) y v = (—3, 4).

a) H alla —TTy —iT

b) Representa gráficamente 37 ^ —u" y —'T.Solución

a) -T T - - ( T t ) = ( - 3 , - 4 )

- ~ = - (—374) = (37—?)

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*»)

Sean los vectores posición 1T= (-*2, 5) y v = (3, —2).

a) Halla "u"+ T.

b) Representa gráficamente Tn "v" y TT + v?

Solución

a) i T + T = ( —2, 5) + (3 , —2) = { —2 + 3, 5 - 2) = (1, 3)

b)

3 Sean los vectores posición TT = (—1, —5) y v = (4, 2).

a) Halla 3tT, 2 T y 3tT + 27T

b) Representa gráficamente ul ~v, 3TT, 2 \T y 3TT+ 2 vT

Solución

a) 3 a r = 3 . ( - l , - 2 ) = ( - 3 , - 6 )2 ^ = 2 -(475) = (8 , 4)3TT+ 2 r = ( - 3 , - 6 ) + (8 , 4) = (5, - 2 )

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VECTORES 243

b) ni

1" ,

f ini;“ - - t : ---♦

- ' i i -V

l -

a . . . -c

i > ■

i Sea» los vectores libres u*= (3, 5) y T = (—2 , —l).

a) Halla u" + vT

b) Representa gráficamente T £T y u + v, tomando como origen de vectores el punto P*={4, 2).

Solución

a) u + v = (37T) + ( - 2 , - 1 ) = (3 - 2 7 5 - 1 ) = (17?).

b) Los tres vectores tienen origen en P — (4, 2). Sus respectivos extremos son

• d c - T (4, 2 )+ (375) = (7, 7)• d e T : P + "?”= (4, 2) + ( - 2 7 - 1 ) =_(2, 1)• d c 'r+ V '. P + (S' + ^ = (4, 2 ) + (1 ,4 ) = (5, 6)

------------AyT«■i(■■i■■■i

I B E Sr

” — ------------- : z z ¡ \*L.i - - -

------------■5 V

— r___ “ — . ..

------—

5 Una recta pasa por el punto P = ( 2 , 3).a) Halla su ecuación vectorial sabiendo que uno de sus vectores directores

es TT= F T T fy

b) tKbuja la recta.

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Solución

a) La ecuación vectorial es: ( x , y ) ~ ( 2 , 3) + a - ( —1,4 ).

b) Para dibujar la recta, como sabemos que pasa por P = (2, 3) habremos de hallar otro punto P" de la misma. Para ello, bastará dar a a cualquier valor no nulo; por ejemplo, a = 1 ;

P ' ~ (2, 3 ) + l . ( ^ I 7 4 ) = ( 2 - l , 3 + 4) = ( l , 7 )

Luego, el dibujo pedido es:

p

\ñ

p

\\

>

\

6 Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 4) y es paralela a la recta cuya ecuación vectorial es:

( * . j ) = { - 4 , 5) + o ( 3 , - l )

Solución

U n vector director de la recta pedida es el vector director de la recta dada: "*T= (3, —1). Por tanto, la ecuación vectorial de la paralela que pasa por (3, 4) es:

{xty ) - ( 3 , 4 ) + a . ( T P í )

7 H alla la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P j = (3, —2) y P 2 = ( - l , 3 J .

Solución

Para hallar ia ecuación vectorial de una recta, hay que disponer de dos da tos ' un punto y un vector director.

Elijamos a P , como el punto que va a intervenir en la ecuación (también podíamos haber elegido a P-,). Entonces un vector director de la recta es la traslación (vector libre) TT= (a, b) que aplica a Pt en P2:

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V EC T O R E S 245

Por consiguiente, P2 ~ P 1 +~u, es decir:

( - 1 . 5) = (3, ~ 2 ) + (aH>)

Hallemos a y b a partir de esta igualdad:

( - 1 , 3) = (3 + a, —2 + b) => { 32 + b => b = 5

Por tanto, u = (—4, J) ( 1) y la ecuación vectorial pedida es.

( x ^ ) = ( 3 >- 2 ) + a ( = 4 T 5 )

c Halla la ecuación cartesiana de la recta cuya ecuación vectorial es:

(*,j) = ( 3 , - l ) + a-(Z7)Solución

Dado que:

(3, —1) + a -{ 2 , 3) = (3, —1) + (2 a , 3 a ) = (3 + 2 a, — 1 + 3a)

la ecuación de la recta se puede escribir en la forma

(x,^) = (3 + 2a, ~ 1 + 3a)

de donde se deduce que:

x — 3 + 2 a ,[ 2 i

y = — 1 + 3a

(1) Observa que también se puede calcular TT "restando" ( - J , J | v 0 . - 2 ) ( - 1 V) - 1 5— ( — 1 — 3, 3 + 2) = (—4, 5). Este método no es. desde luego, muy riguroso mingue si, muy tín o

1.2) Algunos ¡nitores llaman a esta pareja de expresiones ’ecuaciones paramétnc.is de la recia

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246 P. TANJGUCHI

Despejemos a de la primera expresión y sustituyamos el resultado en la segunda:

x — 3 , , je— 3 3 11a = = ~ i " => y = - l + S — — ^ y ~ ~ Y x ~ ~ Y

La ecuación cartesiana de la recta dada es, pues:

3 11y ~ ~ Y x ~ ~ T

« Sea la recta definida por la ecuación vectorial:

(*o0 ~ (—5, 5) + a • (—27?)

a) ¿Pertenece el punto (J , —7) a esta recta?

b) ¿Pertenece (7, - 4 ) ?

Solución

a) El punto ( 5 , - 7 ) pertenece a la recta si, y sólo si, satisface su ecuación vectorial, es decir, si existe a 6 R tal que;

( 5 , - 7 ) = ( - 3 , 5 ) + a - ( = r i )Averigüemos si exrste o no el citado (X:

(5, - 7 ) = ( - 3 - 2o, 5 + 3a) <=> { 5 = —3 — 2a <=> a = —4 —7 =5 5 + 3a <=> a — —4

Luego, a = —4:

( - 3 , 5 ) - 4 ( - 2 , 3) - (5, —7}

lo cual demuestra que ( 5 ,— 7) pertenece a la recta dada.

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V EC T O R E S 247

b) Razonando como en el apartado anterior, averigüemos si existe a € R tal que (7, ~ 4 ) — (—3, 5) + a (—2, 3). Procediendo.

(7, - 4 ) = ( - 3 - 2 a , 5 + 3a) “7 = —3 — 2a <=> a — —5

5 + 3a <=> a = —3

Como no existe un valor de a que satisfaga simultáneamente las condiciones: 7 = —3 — 2a y —4 = 5 + 3a, resulta que (7, —4) no pertenece a la recta

1 ^ Halla el punto medio M del segmento cuyos extremos son P¡ = (1, 4)1 U ** ' ^ "y P2 — (3, 2). Representa gráficamente P t, P 2 y M .

Solución

/ 1 + 3 4 + 2 \• — ) = U . i )

1 L> . . . —~ \

------------------ ----------------- 4 • ■■----- i—

■ AN « -------- t ~

- i - -—t-----

n

J

- - -H —!—

—i— i

—- -------------

---------------------------

11 D ado el segmento cuyos extremos son P¡ = ( —2, —5) y P 2 = (1, 4),X halla dos puntos A y B que lo dividan en tres partes iguales.

Solución

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248 P. TANIGUCH1

Hallemos la traslación 7 = (a, b) que aplica a P , en P2 (ver fig. izquierda):

( I . 4 ) - ( - 2 , - J ) + (fcM =• {¡ZlZZ 5} V = ( X 9 ) (■)

Puesto que hemos de dividir el segmento en 3 panes iguales, hallemos la

tercera parte de i r ~ ~7— (1, 3). Luego, los puntos pedidos son (ver fig. derecha)

A = P, + - j - 7 = ( - 2 , - 5 ) + ( lT T )« ( - 1 , —2)

1 _B — A + -^ -u T = (—1, —2) + (1, 3) = (0, 1)

Ejercicios y problemas propuestos1. Sean los vectores posic¡ónTT= (2, 4) y 7 = (3, —3).

a) Dibújalos

b) Halla 2 7 — i r ~ 7 —2 7 y y dibújalos.

c) Halla 3 7 “y - 7 —7 ™ 3 7 y -----j - 7 y dibújalos.

2. Sean los vectores posición 7 = (4, 5) y 7 = ( 1 , - 4 ) .

a) Dibújalos.

b) Halla —7 y dibújalo.

c) Halla 7 + 7 y IT—7 y dibújalos.

3. Sean los vectores posición 7 = (—4, 2) y 7 = (3, —9).

a) Dibújalos.

b) Halla ZíT y —2 7 y dibújalos.

c) Halla —y 7 y 7 y dibújalos.

d) Halla 2 7 + - y - 7 y 2 7 ~ ~ 7 y dibújalos.

(1) También podríamos haber calculado T "restando" ( + 4 1 y ( - 2 . - 5 ) (1. 4 ) — 2. —5) = - ( ] + 2. 4 + ? ) = ( } , 9)

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VECTORES 249

4. Sean los vectores Ubres TT= (4, —4) y T = (3, 2).

a) Halla TT+’vT

b) Dibuja "C v* y lT + 'v ' tomando como origen el punto (—3, 2),

c) Dibuja IT, v* y 7T + v~ tomando como origen el punto (2, — 1).

d) H a lla - j -“37 2IT—V y -^-T T + 277 y dibújalos tomando como origen

el punto (2, —1).

5. Halla las respectivas ecuaciones vectoriales de las rectas determinadas por los siguientes puntos y vectores directores. Dibuja las rectas:

a) (3. - 2 ) y t ^ T ) c) (4, 5 )y (TToi

b) (2, 5) y ( 2 , - 3 ) d) ( - 3 , - 2 ) y (0 ,1 )

6. Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por (2, —7) y es paralela a la recta cuya ecuación vectorial es (x ,j ) = (3, —4) + a - (6, f). Dibuja las rectas.

7. Halla las respectivas ecuaciones vectoriales de las rectas determinadas por los siguientes pares de puntos. Dibuja las rectas.

a) { 2 , - 3 ) y (6, 4) =} (2, 5) y (2, 7)

b) ( - 1 , - 4 ) y ( - 3 . 4) d) (3, - ó ) y (4, - ó )

8. Halla las respectivas ecuaciones vectoriales de los ejes de coordenadas.

9. Halla la ecuación cartesiana de las siguientes rectas definidas por sus ecuaciones vectoriales. Dibuja las rectas.

a) (x ,y) = (2, - 3 ) + a - ( 6 ^ 5 ) c) (xsy ) = (3, 5) + a - (M Í)

b) (x,y) = ( - 3 , 4) + a -(2 , 1) d) (x,y) - ( - 2 , 4) + a- (07T)

10. Sea la recta definida por su ecuación vectorial:

(x ,j) = ( l , 3 ) + a - ( ^ T )a) Dibújala.

b) Dibuja la recta definida por (x.j/) = (— 1, 2) + a - {12, —6). ¿Es paralela a la anterior?

c) Lo mismo, pero para la recta {x,y) = (3, 4) + a - (—2, 1).

d) Lo mismo, pero para la recta (x,_y) = (4, — 1) + a -(4 , —3 ) . '- -

11. Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta determináda por la ecuación vectorial: (x ,y) = (—3, —7) + a - (4, —f).

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250 P TA.N1CUCHI

a ) ( J , - t l ) , b) (—1, —8); c) (3, 5)

12* a) Demuestra que una recta es vertical si, y sólo si, la primera componente de su vector director cs nula.

b) Demuestra que una recta es horizontal si, y sólo si, la segunda componente de su vector director es nula.

13* Demuestra que la pendiente de una recta de vector director IT— (a. E) es b/a.

14* Demuestra que si una recta tiene vector director (a, b) con a ¿ 0, entonces, ía tangente del ángulo que forma la recta con el e>e de abscisas es b/a.

1 5* Se llama mòdulo o longitud de un vector IT= (a ,b ) y se representa por j~u| a la distancia entre sus extremos. Se llama argumento delT y se representa por arglT al ángulo 9 formado por el vector (1 ,0 ) yTT

a) Demuestra que |U| = \ J a 1 + b2

b) Halla el argumento de cada uno de los siguientes vectores:( M ) , h T T ) , (= l = ¡ ) y (17^T).Indicación- Dibuja los vectores y los argumentos; calcula estos últimos a partir de sus respectivas tangentes

c) Halla las componentes a y b de un vector, sabiendo que, su módulo es 3 y su argumento 60°

d) Demuestra que si jluj ~ r y argTT= 0 son conocidos, entonces "¡T=(r • Cos 9, r- Sen ¡5).

16 Halla el punto medio de cada uno de los segmentos determinados por los siguientes pares de puntosa) (3, 5) y (7, 1) d) (8 , 7) y ( 3 , - 4 )b) ( - 2 , 4) y ( - 6 , 8) e) ( - 7 , - 9 ) y ( - 8 . - 4 )c) (4, 5) y ( - 2 , - 7 ) f) (4, - 2 ) y (6. - 3 )

17* Dado el segmento cuyos extremos son (2, —6) y (8, —3), halla dos puntos A y B que lo dividan en 3 partes iguales

18* Halla tres puntos A , B y C que dividan al segmento de extremos (—2, 7)y (6, 3) en cuatro partes iguales.

19* Dado el segmento P Q con P = {2, 4) y Q = (7, — 1), halla un punto A de P Q tal que la longitud de PA sea 2 /3 de la longitud de AQ. (Indicación. divide el segmento en 2 + 3 = 5 partes iguales.)

20 Se llama medtana de un triángulo a toda recta que pasa por uno de ios vérti

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VECTORES 25]

ces y por el punto medio del lado opuesto. Y se Uama baricentro de un triángulo al punto de intersección de sus medianas

a) Dibuja el triángulo cuyos vértices son: A = ( 5 , 6 ) , B = ( 5 , —2) y C = ( - 5 ,8 ).

b) Dibuja sus medianas y halla sus respectivas ecuaciones vectoriales

c)* Demuestra que el baricentro del triángulo es el punto (1, 4) (Indicación comprueba que este punto pertenece a las tres medianas,)

21** Demuestra que el baricentro del triángulo cuyos vértices son A = (¿3,, a2), B = b7) y C = (<•,. c2) es el punto

( a¡ + + fj <2j + b2 + ^5 * 3 )

22 Sean los vectores con tres componentes: IT = (0, 2, —4), TT = (—3, 6, 3)y wT= ( 1 , - 1 ,1).

a) Halla 2uj -•>£ - j - T C ^-TTy — 2u"

b) Halia 5v% —vj------"v’y ----y - 7

c) Halla — 2wi vv"y y- wT

d) HallaTT+~vj "¡T + y 7 + w !

e) Halla T — vT “iT + "v"+"w*y W w T —TT

f) Halla 2TT+ 3v^ uT v” y -y— 1T+ 2vT

g) H alia 3iT + 4tT + 5 vsTy "u* + — ■ IT + 4í\T

2 3* Demuestra que el conjunto 5 de las sucesiones de números reales es un espacio vectorial respecto de las operaciones suma y producto por escalares

(an) + iK ) - K + K )a (a„) = (a a„)

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25.! P TAN1GUCHI

(V iene de la pág. 226)

1 ía ) 1 s in m ed ia to que M = 1. (b ) D ado que M + S es un n ú m ero de dos c ifras , S vale 8 ó 9 y O vale 0 ó 1. Pero , co m o ya M = l hab rá de se r O igual a 0. (c) E sto ú ltim o im plica que en la co lu m n a E + O n o se a rra stra n inguna un idad . E n e fec to , en caso c o n tra rio te n d r ía que ser F, = 9 y arrastrarse u n a un idad de la co lum na N + R , lo cu a l im plica ría que E + O + 1 = 1 0 , es dec ir, N = 0 , lo cu a l e s im posib le . P o r consig u ien te , co m o en la co lu m n a E + O no se a rra stra n inguna u n id ad , S — 9. id ) P o r ser O — 0 y E =£ N o bservando la co lu m n a E + O vem os q u e E + 1 — N lo cu a l im plica q u e N + R 10, es dec ir, N + R + - ( + l ) = E + 10 d o n d e < + l) índ ica q u e a lo m ejo r se a rra stra u n a u n idad de la co lum na D + E. S u stitu y en d o N p o r E + 1 en esta ú ltim a igualdad y sim p lificando resu lta R + ( + 1 ) = 9 , es decir, R = 8 ó 9 . Pero , co m o S = 9 necesariam en te R = 8 y , p o r ta n to , se a rra stra 1 de la co lu m n a D + E. (e) De esto ú ltim o se dedu ce q ue D + E > 12 ya que Y n o p u ed e se r 0 n i 1.

Por o tra p a r te , co m o D y E só lo p u ed en valer, 7 , 6 , 5 , 4 , 3. ó 2 resu lta q u e las ún icas co m binaciones posib les para D + E so n 7 + 6 , 6 + 7, 7 + 5 y 5 + 7, es dec ir, D y 1 só lo p u ed en valer 7, 6 ó 5. P ero , si E = 7 e n to n ces N = 8 , lo cu a l es im posib le p u es R — 8 , si E = 6 e n to n ces N = 7 y p o r ta n to 5 lo cual ta m p o c o es posb le ya q u e D + i. > 12. Luego, E = 5 , N = 6 y D = 7 , d e d o n d e , Y = 2. (d ) La sum a es: 9 5 6 7 + + 1085 = 10652

2 Es inm ed ia to q u e A = 0 y S = I , y com o SA L es p rim o , só lo p o d rá ser 103, 107 ó 109, es decir, L = 3, 7 ó 9. Pero , CL es cu ad rad o p e rfe c to y los cu ad rad o s p e rfe c to s n o acaban n i en 3 m en 7. L uego, L = 9 y p o r ta n to C' = 4. F in a lm e n te , re s ta n d o SA L - - CL = 109 - 4 9 = 60 se o b tien e N = 6. La sum a es 4 9 + 6 0 = 109.

3 (a) E n el segundo p ro d u c to parc ia l vem os que D x A = D de d o n d e A — 1. (b ) T an toD x C co m o E x C te rm in a n en C , de d o n d e C = 0 ó 5 ; p e ro , si fu e ra C — 0 sería E + C = = B , es decir, E = B lo cual es im posib le L uego, C = 5 . (e) C o m o D x 5 y t ' x 5 acaban en 5, D y E son im pares, d e las p o sib ilidades q u e se p re sen tan - 3, 7 y 9 , h em o s de d esechar ia ú ltim a p o rq u e e l m u ltip lican d o y los p ro d u c to s parc ia les c o n s tan de 3 c ifras . O sea, D E = 37 ó 73 A hora b ien , E x B es un n ú m ero de d o s c ifras y a q u e si fu e ra de una cifra , co m o A = 1, el p rim er p ro d u c to parcial sería EEC y no FEC . p o r e l co n tra rio D x B es un nú m ero de una c ifra pues a l final de l segundo p ro d u c to p arc ia l m u ltip licam os D x A = D y no llevam os n in g u n a unidad del p ro d u c to de D x B. Por consiguiente D <'. L de io que se desp ren d e que DE = 3 7 . (d ) Por ser D x B — 3B un num ero deuna c ifra es B < 3 y, com o A = 1 y D = 3, só lo p u ed e ser B = 0 ó 2 . P ero E x B = 7Btien e dos cifras ¡o que im plica q u e B # 0 , es decir, B = 2 . (e) F in a lm en te , co m p le tan d o la m ultip licac ión 125 x 37 = 4 6 2 5 se o b tien e : F = 8 , G = 6 y H = 4 .

4 (a) Es in m ed ia to q u e T = 1 y N =£» 4 , ya que THRJEE tien e 5 cifras, (b ) E — 4 p o rq u e 44 es la úm ea co m b in ac ió n posib le p a ra un cu ad rad o p e rfe c to q u e acaba en d o s cifras iguales (N o pued e ser E — 0 ya que se ría O = 0). (c) D e e s to ú ltim o se deduce q u e O vale 2 u 8 , (d ) F in a lm en te , ta n te a n d o las posib ilidades que se p re sen tan resu lta TW O = = 138 y T H R L E = 1 9044

5. 208 x 2 0 8 = 4 3 2 6 4

6. MAN = 85 6 , WOMAN = 3 9 8 5 6 , C H ILD = 4 0 7 1 2

7 De ser cierto que MARINA - PABLO = AK1RA, sería, PABLO + AKIRA ~ MARINA.De esto se deduce fácilmente que: 0 = 0, M = l , P = 9 y B = 9, lo cual no es posible pues P B

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SOLUCIONES A LOS EJER C IC IO S PROPUESTOS

I RECTA REAL

3. A= ]—00 , —3[ U ]—3, —2[ U ]—2, —í{ U ]—1, 0[ U ]0, +°° ], B = ] - ° ° , 2 ] U ] 3 , ■+«>[; C = ]—00 , —1[ U ] 2 , + ° ° [;

D= ]—00 , 0] U [ l ,5, +°° [; E = j - o o .O t , F = ( - ! , + « > [ ,

G = ] _ « . , _ ! [ u ] 0 , 2] U [ 4 , + o o [ ; H = [ - 1 , 1[;

1= ] - ~ , 0[ u 10, 1[ U 11,2[ U ]2,3[ U ]4, 5] U [6,7]4. a) ]—3, OJ, [—2, 1], ]—3,—2[, ]— 1,0); b) J—3, 2|, 0 ;

c) ]—3, 3}; d) ]— 1. 0]; e) (—2, 1[.5. a) R, (—2,4], ]—o o ,~ 2 [ , ] 4 ,+*> [; b) ) - « > , 4], ]—<*>,—1),

c> R ; d ) ) - o o , _ U ; e ) ) _ c » , l ] .6. a) [— 1, 2], ]— 1, 2 [ , |— 1, 2f, O; b) (— 1, +oo [, {0, 2];

c) R; d) [0,2); e) [0, +«-! .

7. A= [ - 1 , 1} int. cerrado, B= ]—], 1[ mt, abierto.

8. A= [ - 1 , 5] int. cerrado- B= ]—1.5, —0 ,5[ int. abierto

9. a) R - Z = U ] x ,x + l{xeZ

b) R — A = ( U ].. 2 n - 3 , - 2 n - i [ ) U ]- l ,+ » o [ neN

11 PLANO CARTESIANO

1. a) 5 ; b) I 0 ; c ) 5 ; d ) 1 3 ;e) V § 4 ~ 5,83; 0 5/3

2. Verticales: c y e; horizontales: a y f; oblicuas: b y d.

3. y = —i x + t ; x = 3 ;y = ™4

4 Eje de abscisas; y = 0; eje de ordenadas; x = 0.

5. y = - 3 10. x =36. x = —4 11. y = 3 x + 6

7. y — —t x + 3 12. 3 x - 2 y = —138. x = 4 13. y = 59. y = - 2 14. x = - l

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254 P TAN1GUCHI

15. y = - x + 2

16. y = x + 1

17. a) ( - 2 , 1); b) (1 , - 2 ) ; c) ( - 2 , 4 ) ; d) y e): son paralelas.

18. ( 3 ,5 )

19. Son paralelas,

20. Son coïncidentes.

21. (4 8 /3 1 ,2 /3 1 )

22. (76/47, -2 2 2 /4 7 )

23. a) x 2 + y 2 = 1 ; b) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 9 ;e ) (x + 2)2 + (y - 5 )2 = 4 ,d) (x - 3)2 + (y + 4 )2 = 2

24. a) (3, 5), 4 ; b) ( 0 ,0 ) , 1 ; c) ( - 2 , 0), 1 /3 ; d ) (1 / 2 , - 1 /3 ) , V T

25. (x + 3)2 + y2 = 9

26. ( 5 , - 4 ) , 10

27. (0 ,2 ) , (2 ,0 )

28. (2 ,3 3 ,5 ,9 9 ) , ( - 4 , 3 3 , - 3 ,9 9 ) aprox

29. (x + 4)2 + (y - 2)2 = 25

I I I FU N C IO N ES

1 f, g , k , p , u , v

2 Todas menos ry s

3 a) 4 x3 - 4 x 2 + 9 x — 9; b) 4 x3 - 6 x2 + 3 x - 5;c) 4 xs + 7 x4 - 17 x3 + 21 x2 - 3 3 x + 1 4 ; d ) 4 x - 17 ,65 x - 4 1

4. a) x6 - 3 x 5 + 3 x 3 — 10 x + I 5 ;b ) x 6 — 3 x 5 + x3 - 6 x + 5,c ) x 9 - 3 x8 - 2 x 7 + 13 x 6 - 15 x 5 - 12 x4 + 2 0 x3 + 16 x2 - 0 0 x + 50d ) x 3 - 3 x2 + 2 x - 9 , 1 9 x 2 - 36 x + 55

5. a) l , b ) 15 315 , c) - 2 0 5 ; d) - 41 ,92512; e) 28,653431

6 a) 1 ,6634146;b ) - 4 ,4 7 0 5 8 8 2 ;c ) -1 5 ,7 3 5 0 3 4

7 Dom q = Dorn t = R — { 0 } , Doiri r = [0, +°° f, Dom w - R { - 2 , - 1 } ; eldominio de las demás es R.

8, Dom f ~ R, Dom g = R - { —1 }, Dom h = [ 1, + ° ° ( , Dom k = ] - 2 , +®° [

9 Rec f = R; Rec g = R — { 0 ) , Rec h = (0, +°° [, Rec k = ]0, + ° ° [

10 R , R - { 1,5 >, ]—00 , 2], , 2,5[

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SO LU C IO N ES A LO S E JE R C IC IO S PR O PU ESTO S '255

H . [ - 4 , + '» [ ; R — { 0 } ; [0, +°° [, ]0, +°° [

12. {—1,1 ]; R — { 4 , —4 } ; R ; R

13. R - { 5 , - 3 } ; R ; H M [ ; R

14. R — { 1 ,-1 };[0, 1 ]TR - { 3, -3 , -1 ,5 } ; [2/3, [

15. [ 0 , l ] ; [ 0 , l ] ; [ l ,4 ] ; [ - 3 ,2 [16. R ;R — {2};R —]—1,1[ =]—°°, —1 ]U [1, +<*>[; ]~2,0[O ]0,2[ U]3,S[*J ]5 ,10]

17. R; R - { 0 } ; R; R - { 1 , - 1 ]

18. a) R; b) R ; c ) R ,d) R — { 4 , 5 }

19 a) R — { 3 ,4 , -1 }, ídem, ídem, R - { 3 ,4 , - 1 5 },b) [ - 3 ,5 ] , ídem, ídem, { -3 , 5[;c) [-2 /3 , + « > [ - { 0 }, ídem, ídem, ]-2 /3 , -H» [ - { 0}

20 . a) R , R ; b ) 4 x2 + 12 x + 4 , R ;c ) 2 x2 - 7 , R

21 a) R — { 4 } , R - { 0 } ; x - 4, R - { 4 } ; x / ( í - 4 x ) , R - { 0 , 1/4}

b) [—2. +°° [, [ -3 , [ -2 , 7], V v ^ + 2, [ -3 ,3 ]c) [ 0 , + t» [ , R ; x , [ 0 , + o ° ( ; x , R

2 2 . a) R , R - { 0 } ; 1/(3 x + 2), R — { - 2 / 3 } ; (3 /x ) + 2 , R - { 0 } ,b) R , [-0 ,5 , +«■ [, V 4 x + 3, [-0 ,7 5 , +«> [; 2 V '2 x + t + 1, [-0 ,5 , -H»[,C) R ~ i -°>75 [ ^ 3> +°° t, x/(4 x + 3), 1-0,75,0];

< 4 V 3 x - I + 3 ) ' 1 , [ l / 3 , + ° ° f

2 3 . a)R ,R ; [ x + 1 |,R , j x j + l.R ,b ) R — ( 0 } , R — { 0 } ; x , R - ( 0 } , x , R - ( 0 ) ;c) R - { 0}, R , ¡ (1/x) + ! | , R - { 0 }, | x + 1 | ‘ 1, R { - l}

24. a) 2 V '2 x + 5, [ - 2 , 5 , 5], b) 2 V 10 - 2 x, [ - 2 , 5 , 5], c) 4 x - 5, [ - 2 , 5 , 5}

IV INVERSA DE UNA FUNCION

1 f ’ 1 (x) = (5 - x)/3

2. a) f " 1 ( x ) = V ^ b ) f ' 1 0 0 = V x - *3. f " 1, B — ► A, f " 1 (x) = (l/x ) + L

4 f ; [0, + ° ° [ — •* [ O . + ^ l J - 1 ( x ) = V r x

s. f -1 ' ] - ° ° , 0 ] — * [o, + « [ , f - '

6 f - ' : ( 0 , + ~ [ * [ -1 ,+ « .[ ,? -> ( x ) = x - 17 f - 1 : ]0, + ° ° [ - — + ]0 , + « > [ , f - ' (x) = V T 7 x

8. f - ' [ 0 ,4 ] ----- ► [0,2], f ' 1 (x) — V4"-"x~

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9. í~l : [ -9 , +oo [ — » [—1, +oo [, f (x) = — 1 +-Vx*+r910. a) R ;b) f (x) = xs11. a) [0, +°° [: b) f (x) = x8

12. a )3 6 ;b )0 ,2 3 ,c )9 ;d ) l ,4 ;e ) 7 ;0 2,l13. a) 2,236068; b) 2,9240174; c) 1,5112092,

d) 4,0373258;e) 1,6968312; 0 0,8135789; g) 2,5118613;h) 3,1262086;k) 1,5816407

14. a) ~ 2 ,b ) no existe,c) - 3 ;d ) n e ,e) -4 ,f)n .e .

15. a) R ;b) R - { 0 } ;c ) R ;d ) R - { 0}; e) [0, +°° [; í) }0, +°° [16. a) R ,b ) R - { 0}; c) [0, + « f, d) ]0, +«> [; e) {0, + « [ ; f) ]0, + ~ [17. a) 3 ;b) 9 ,c) 0,125; d) 3125,e) 0,1111111 ,f) 27

18. a) 2,8284271, b )0 ,1907857; c) 11,080771 ;d ) 369,04789;e) 898,17864,0 0.071967367

Y RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS

1 a) 13° 34’ 48” , b) 65° 14’ 13".c) 79° 46’ 9” , d) 3o 30’2. a) 29,85°,b) 83,41667°;c) 37,28944°,d) 19,46361°4. /3 = 61° . b - 2 248 m5. a - 9 °, b ~ 6 914 m6. j? = 29°, a ~ 4 l m

7. 0 = 63° 26’ 6” , a ^ 2 6 ,8 m

8.. 0 - 58°, b ~ 11,87 cm, c ~ 7 ,4 2 cm

9. a = 64° , b ~ 14,90 dm, c ~ 30,56 dm

10. 0 = 42°, a ~ 22,42 m, c ~ 16,66 m

11. a~ 5S°. a ~ 29,30 cm ,b ~ 16,80 cm12. a = 62-,604975° =62° 36’ 18” ,0 = 27° 23’42” , c ~ 14,47 km

13. a = 21,049121° =21° 2’ 57” , 0 = 68° 57’ 3” , b ~ 394,96 Dm14. «=59,620875° =59° 37’ 15” ,/3 = 30° 22’ 45” , a ~ 6,72 cm

15. 21,45 m

16 11,62 m, 19,78 m17. 82 m

18. 133,3 m, 179,3 m

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 257

19. 87,5 m

20. 41,185925° =41° II*9”

21. 120 m, 138,56 m22. 3 621 m

23. 103,1 m, 384,9 m24. 13,26 m

VI RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ORIENTADOS

1. a) 787° 16’ 12”; b) —295° 8’ 13”;c) 549° 19’ 16”;d) -47° 21’ 45”2. a) 123,65° ;b) -287,96667° ;c) -314,4125° ;d) 1 823,20778°3. a) 274°; b) 40°; c) 90°; d) 90°4. a )227°;b )264°, c ) 169°;d )342°5. a) 296° 31’;b) 107° 19’ 25”;c) 286° 33’ 25”;d) 342° 1’ 48”7. a) Las mismas que 270°; b) íd. 180°; c) id. 90°; d) id. 0°8. a) Las mismas que 90°; b) íd. 180°, c) íd. 0°; d) íd. 180°9. a) Sen 153° = 0,4539905 ;Cos 153° - -0,8910065; Tan 153° = -0 ,5095255 ;

b) -0,9063078; -0,4226183,2,1445069;c) -0,8660254; 0,5; -1,7320508;d) 0,9659258; 0,2588191; 3,7320508

10. a) -0 ,601815;0,7986355; -0,753554,b) 0,9396926; -0,3420201; -2,7474774;c) -0,7547096; -0,656059; 1,1503684;d) -0,4694716; 0,8829476; -0,5317094

11. a) -0,2079117; 0,9781476; -0,2125 566;b) 0,7986355; 0,601815; 1,3270448;c) 0,9993908; -0,0348995; -28,636253;d) 0,4539905; -0,8910065; -0,5095254

12. a) 0,9716867; -0,2362729; -4,1125614;b) 0,9793406; —0,2022176; -4,8430045;c)0 ,5421971; -0,8402513 ; - 0 ,6452797;d) -0,998473; 0,0552412; —18,074975

13. a) ±34°; b) 48°, 13.2°; c) 23°, 203°;d )± 9 8 ° ;e )-2 8 ° ,2 0 8 ° ;d )-7 5 ° , 105°

14. a) ±45° 34’ 23”;b) 5° 44’ 21”, 174° 15’39”;c ) 81° 52’ 12”,261° 52’ 12”;d)±110° 29’ 14”;e) -70° 33’42”, 250° 33’42”; 0 -4 1 ° 53’ 54”, 138° 6’6”

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258 P. TANIGUCHI

15. a) 45°; b) -3 2 ° , c) -6 0 ° , d) 30°16. a) 63° 26’ 6”,b) -71° 33’ 54” ,c) 56° 18’ 36”;d) -66° 48’ 5”17. a) -4 5 ° , b) 30°, c) 18°; d) -59° 2’ 10”18. a) 15° ; b) 49°19. a) 75° ;b) 5°20. a) 5° 54’ 22”; b) 84“ 5’ 38”26. b) Porque Tan 90° £ R

27. 135°,315°28. 0o ,360°29. 60°,180°30. 30°, 90°, 150°, 270°

V II FUN C IO N ES TR IG O N O M ETRICAS

1. a) 4 5 ° ; b ) —3 6 ° ; c) 54° ; d) 1 0 2 0 ° ; e) - 9 9 0 ° ; f) 1 410°

2. a) 57° 17’ 4S”;b) —171° 53’ 14”;g)14° 19’ 26” ;d) 162° 20’ 17”;e) —206° 34’ 58” ; 0 1 8 ° 14’ 16”

3. a) n¡2; b) v ; c) - n/3; d) tt/ 10; e) 7 tr/6, 0 -5 rr/34. a) 0,0872665; b) -0,6108653; c) 8,3775806;

d) 1,313102; e) 0,515163,f) 0,91325815. a) 7 ff/4;b) 5 tf/3;c) 11rr/6;d) 3 ff/4;e) ir/6;f)4 rr/314. a) 1,012291; 5,2708945; b) 0,3490659; 2;7925269;

c) 2,146755; 5,2883478; d) 2,9321532; 3,3510323;e) 4,5378^63; 4,886922; f) 0,418879; 3,5604718

15. a) 2 k rr ± (fr/3), k € Z;b) 2 k fr+(ir/6), 2 k rr+ (5 w/6),k e Z;c) k n +(ir/4), k € Z;d) 2 k rr ± (2 */3),k € Z ,e) 2 k n -(r t l6 ) , 2 k n + (7 rr/6),kS Z, f)k n - (n /4 ),k £ Z

16. jt/3, n, 5 ít/317. ± jt/2 ,018. ± ff/319. kir + (n /4 ),k € Z

20. 3 k ít ± (3 rr/4), k £ Z21. 2 k ?r + (w /2),k£Z

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SOLUCIONES A LO S E JE R C IC IO S PR O PU E STO S 259

22. ff '4; 5n/4: 1.03037$8; 4,1719695

23. ± n¡7, t n

24. 2 k n ± (ff/6), k € 2

25. 5,58-14265

26. 0; ff/4, 2ir/3; 3rr/4. ; 5jT/4. 4jr/3, 2n

21 rr/3, 4 ir/3

28. 0 . <r/4, ir*2, 5 ít/4 , 2 jt

29 Todas R

30. Las dos R31. Dom f = R - { 0 }, Dom g = R { - 1 ] ,

Dom h = R - { 1, 1 í , Dom k = R { 2 , 3 }

32 R - { (2 k + 1) rr/4, k £ 2 1,R - { 0. 2/(2 k rt + n), k e Z }, R,R - • { k f f . k C Z }

33 [0 . + « - ( .{ 0 , +<*>(,[ 1 .1 ] , ] - l . 1{

34 U [2 k rr — (tt/2), 2 k ir + ( ít /2)1,v.ez 1 v[0, +°° { - { (k ff+ rt 2)-, k € N ]

R - { ± V ( 2 k + O n i 2, k € N },

U [ k i r , ( k + 1 >tt/2]

VIH SUCESIONES

I a) n0 > 749 999

2. a) n0 > 6

3 a) n0 > 6 6 6 6 6

4 a) no > 25 001

6. a ) 4 ; 3 , b) - 4 , 7 ; 1 . 1 2 . 1 / 4 , 4 / 3 ,6 , 6 4

7. Crecientes: (an ) , ( d rt) , ( e ri) ;dec r (b n) , ( c n ) ,(g„ )

8. a) Acot sup e inf (cn ), (d n ), (gn ), (h„) , acot sólo sup (b n), acot sóloinf (an ) ,n o acot ni sup. ni inf (f„)¡b) lím an = lím en = +« . , !,m bn = - « , (cn ), (d„) , (gn ), (h„) tienen lím 0, (fn ) no tiene lím

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260 P TA N IG U CH !

9. a) Cree (a„), (cn), (d „ ) , (g n) ; decr.; (b n ) , ( c n) , ( f n );b) Acoi sup. e in f.: (c„), (e„), (f„), (gn), (h„); sólo sup. : (b„); sólo mf. : (a„), <d„);c) + « , — oo , V^2, + 0° , no tiene, 1, 1,0.

10. 2 ,0 ;+ °° ,11. 0 ; 0 ,9 /4

12. +°° , —00 , +°°

13. 0; e -4 J; + .14. +00 , e4 0, 0.

16. 1/2

17. a) 0 , +°° , +°° , 0 ; +>5° ; +<»; b) 0 ; 5 , 0 ; +°° , , no existe.

18. a)+°° , +°° ; no existe.

19. a) ( 3 /5 ) . e ’ 9 ,b) 0

20. a) 1/4; b) 1/(2 — \ / r2) = (2 + \ / 2 ) / 2

21. a) 1 ,b) 3, c) 3

22. 1. (Aplicar la prop. 2 a del ap 5 del res teórico.)

23. b )a n = 2 k c o n k = 1/2 + 1 / 4 + . 4- l / 2 n = 1 - 2 " n ,c ) 2

IX LIMITES FUNCIONALES

1. a) 5 « 0,000002 10.2, a)Ô > 119 998 11.

3. a) 5 > 9 00Ö 005/3 ~ 3 000 001,67 12.4. 5 « 150 0 0 0 ~v2 - 0 ,0 0 2 5 8 1 9 13.5. 6 > 163/999,5 ~ 404,97 14.

6. a) +°° ,b ) +°° ,c ) - 8 157.‘ a) ; b) +00 ;c ) - 1 8 3 16

8. a) 1/3; b) l / 3 ; c ) 3/19; d) 1/13 17.9. a) 0 ;b ) 0 , c ) 3 /11 ; d) 5/3 18.

a) -00 b) +°° , c ) 0 , d ) n o existe

a) , b) +°°

a) i /~ = 2j3 - ,b ) - i f 2 ß

a) +°° , b) 0; c) 0, d) + ° ° ; e ) 8 ; f ) 1/8

a) 1/9; b ) 0 ; c ) 3/29

a) 0 ;b ) +«> ;c ) 4 ; d ) +°°

a) 2 ; b) 1/6; c) 4/5

a) t n j ; b ) l ; c ) !

a ) 0 ; b ) - B » , c ) 0 ; d ) 2

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SOLUCIONES A LOS EJERCIC IOS PROPUESTOS 261

19. a) +°° ; b) 0 ; c ) 7 /3 ; d) (1 3 /6 )s - 4 7 , 7 5

20. a) e6 - 4 0 3 ,4 3 : b ) e 6 ; c ) 4 , d) - 1 / 8

2 ! . a) e ' 9 - 0 ,0 0 0 0 6 7 ? ; b ) 0 , c) + ° ° , d) es - 2 9 8 1

22. a ) 3 ; b) 0 ; e ) 0 , d ) I

23. a) 1; b ) —1 /3 , c ) n o e x i s te ; d) 1/2

24. T o d o s, ü. (A p lica r la p . fu n d a m e n ta l de las f a c o t , n .n 4 res t. i

25. a ) e , b ) 1 ; c ) 1; d ) e

26 !. (V er c ap V IH , p ro b lem a resu e llo n “ 15.1

X F U N C IO N E S C O N T IN U A S

1. Cont f = R ;C o n t g = R — { 1 }\ C o n f 1i - R ; C o n t k - R 1 0 }

2. R — { - 2 } ; R ; R , R - { 0 )

3. R; R — { - 3 . 0 } , R — {—2,2}; R - { 0 , 2 }

4. Todas R

5. R ; R; R; R — { —l }

6. R - { - 2 , - 5 } ; R — { 2 , - 2 } ; R - , R { 0 , 4 , 3}

7 . [ 0 , + < » [ ; R ; [ 1 , + ° ° t ; [ - 4 , 4 ]

8. R - { k i r . k e Z } ; R - { 2 k rr, k £ Z } ; R , R { (2 l< + I) v , k € Z }

9. R ; R - { 1 1 } ; 1 1 , S ] ; [ —5 , 7 ] — { l } = [—5,1 • J i l . / {

10. R , R - { 1 / 2 } ; R - { 0 } ; R

11. R — { 2 }; R — { —2 ) , R - { 2, 3} , R - { - 2 }

12. b) Por ejemplo, las funciones f y k del ejercicio 2

13. c) R — Z

XI F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S V L O G A R IT M IC A S

1. a )0 ,6 0 2 0 6 0 0 ; b )0 ,6 9 8 9 7 0 0 . c) 1,5563026; d ) 1,1760913; e) —0,9030900;0 0 ,0 9 5 4 2 4 3 ; g) — 0,1249387; h )0 ,3 8 9 0 ?5 6 ; ¡>0,82930.38

2. In d icac ió n ; D ar v a lo res; p o r e jem p lo , a = 2, x = 2 , y = L

3. In d icac ió n : D ar va lo res; p o r e jem p lo , a-= 10, x = 2, y = 1, y em p lear la lab ia delo g aritm o s q u e se e n c u e n tra a l d o rso de ia c o n lra eu b ie r ta .

4. D om f = C o n t f = R ; D o m g = C o n t g = R; D om h = C o n t h = R;D o m k = C o m k = ] 1, + » ¡; D o m p = C o m p = R — { 2 k r r — rr/2, k 7 };

D o m q = C o n t q = ]0, + <*> [

5. x, x

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262 P. T A N IG U C H I

6 . Dom f = R — { 3/2, -3 /2 }, Dom g = J-2,3{; Dom h ~ ]0, +°°{;Dom k = R - { log 5/log 3}; Dom p - fO, -H» [;Dopiq“ kez 1 2 k ir,(2 k + ! )n [

8. ]0, 4-oo [(r _ { 0}; (O, +°° [,[1, +°°[; ]0, +<»[ — { 1 ]0 ,1( u )1 ,+<*>[;]],+<x>[

9. No.pues Dom f= R - { 0} y Dom g= ]0,+°o [10. a) 15; b) 20; c) 15, d) 311. a) 5,b) 1 000;c)7;d) 2,612. a)x , = 2 ,y, = 5 ;x 2 = S ,y , = 2 ;b )x = 103’5 ~ 3 162,28, y = 10o,s ^3 ,1613. a) 3 ,b) 5 ;c) —1;d) —3 ;e) log 14/lc® 7 ~ 1 ^562072;

0 (log 50/log 4 - 3)/2 ~ -0,08903614. a) 2, b) 1,c) 2, -0 ,5 ; d) log 8/log 3 ~ 1,8927893 ;e) 2 ;f)2 ;

g) xi = log 3/log 5 ~ 0 ,6826063, x2 = log 2/log 5 ~ 0,4306766, h) 7

XII DERIVACION

3. f (x) * 2 x ;g’ (x) = í x'm ; h ’ (x) = n x" '1; k’ (x) = 2X • ln 2; p’ (x) = ( l/2 )x i n ( l / 2 ) = - 2 'x . ln 2 :q ’ (x) = rrx .Inrr

4. P (x) = -3 x"4 ; g’ (x) = | x"2'3; h’ (x) = ■§• x50"* ; k’ (x) = - ? x"9' 75. P (x) = ó x 2 - 12 x + 7,g’ (x) = x3 + x2 + x + 1;

h* (x) = 18 x5/7 - 40 x A 13 + 24 x3/S + 9 x2/2 - 7 x/2 + 5/36 . P(x) = Sen x + x Cos x;g’(x) = | x",/2 l n x + x"1/2,

h’ (x) = ex (-Sen x + Cos x);k’ (x) = are Tan x/Cos2 x + Tan x /(x 2 + 1);p’ (x) = 2X (ln 2 are Sen x + 1/y í - ? ) ; q’(x) = e' ln x + e*/x

7. P (x) = (x/Cos2 x - Tan x)/x2 ,g’(x) = (ln x - l)/ln2 x;h’ (x) = ( -x 2 — 2 x - 2)/(x2 + 3 x + l)2 ,k’ (x) = (0,5 x '1'’2 Cos x + y ' x Sen x)/Cos2 x,p’ (x) - (are Sen x ■ Cos x - Sen x l " \ / T - x2)/(arc Sen x)2;q’ (x) - ex [are Tan x - (x2 + 1 ) '1 ]/(are Tan x)2

9. P (x) = - Sen x3 - 3 x2 ; g’ (x) = Cos x/Sen x;h’ (x) = 0,5 (are Tan x)"1''2 - (x2 + l ) " 1 ,k’ (x) - -3 Cos2 x * Sen x, p" (x) = Cos (ln x)/x, q’ (x) = 0,5 (x + ] )" 1 - x '1 n

10, P (x) = 20 x (x2 -f I)9 ,g’ (x) ~ x l V ? + 1; h* (x) = 0,5 ■ exp(V 'x) - x"|/2 j k’(x) = 2 Cos (2 x); p’ (x) = 3/ \ / \ - 9 x 2 ,q ’ (x) = exp2 (x2) ln 2 ■ 2 x

13. P (x) = 4 Tan3 x/Cos2 x ,g’ (x) = 0,5 (ln x ) í2/x;

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 263

h’ (x) = -2 - Sen’3 x • Cos x ; _k’ (x) = (1/3) ■ (are Cos x j ^ / V 1 -x * ;p * (x ) = 0,5 • C osV x”- x*‘ n , q’ (x) = 3/Cos2 (3 x ); r’ (x) = 0,5/ V 1 - (x3 /4); t ’ (x) = e* /(e2 x + 1); u' (x) = e V* • 0,5 • x ',/2 ; v’ (x) = (2 x + l)/(x2 + x + 1)

14. f (x) = 2 x - Tan x + x2/Cos2 x + \ vn . ex + 2V *"ex , g’ (x) = 2X + x • 2X • !n 2 — x*2'3 + Sen x/Cos2 x;h’ (x) = -(Sen x + Cos x - e* ln x) "L • (Cos x - Sen x - ex • ln x - ex /x); k ’(x) = (2 x -S e n x -x 2 Cosx)/Sen2 x + 4/(x2 + l ) - ( x + l)-(x2 4-2x + 2)~*/2; p’ (x) = 2 Sen x • Cos x — 3 x2 • Cos(x3) - 2,5 • (are Sen x) 11 l 'V 1 - x2 , q’ (x) = —(are Tan x) "2 /(x2 + I ) -1*2 Sen x/Cos3 x + ( \ / ln x -0 ,5 /y 1 ñ x )/ln x

15. y = 7 x - 4

16. y = x/4 + 117. y = x

18. ( 1 ,-3 )19. a) Cont f = R; c) Der f = R; d) f (x) = 0 si x < 0, F (x) = 2 x si x > 0

20. a) Con f = R; c) Der f = R — { 1 } ;d) f (x) = I si x < 1, f ) (x) = 2 si x > 121. a) R ;b) Cont f = R — { - 1}, c) R - { — 1, 1}; d) T (x) = 0 si x < —1,

f ( x ) = 0 s i - l < x < l , P ( x ) = l s i x > l22. f (x) = xln x (2 ln x /x);g’ (x) = (ln x)x • (ln (ln x) + I/líi xJ;

h’ (x) = (1 + x2 )Sen x • [2 x Sen x/(x2 + 1) + Cos x ln (x* + I)J;_____k*(x) = (are Cos x)x+1 • [ln (are Cos x) - (x + 1) / (are Cosx V i - x 2) )

X III IN TEG RAC IO N *

3. a) x2/2;b) 2 x;c) - x ' 3/3;d) f x5'3 , e ) i x4/3; f) j x3/s

4. a)arcTanx;b)(l/4)arc T an(x/4);c)(l/V 5)arcT an(x/'V 0;d) (1/20) are Tan (4 x/5);e ) (1 /2 )ln [(x - l)/(x + 1)];0 (1 /6 ) ln [(x -3 ) /(x + 3»

5. a) are Sen x ;b) are Sen (x/2); c) are Sen (x/ V 7 ); d) (1/4) are Sen (4 x/3);e) ln (x + V x + 1); 0 (1/3) ln (x + V X + 4 /3 )

6. a) ln (x3 + l);b) (1/2) ln (2 x + 3); c) ln (Sen x + 3);d) ln (x + ex);e) -ln (Cos x); f) ln (ln x)

7. a) -Cos x + Sen x;b) Sen x - Tan x ;c ) f x3n + f x4/3 - ln x:d) x2/2 — 10 are Tan x; e) Sen x + 2 ex ;0 -3 Cos x + 2x/ln 2 + ln (Cosx + 5)

8. a) (1/2) ■ Tan (x2);b )2 e V * ;c) -Cos (ln x)-d) (1/3) • Sen (3 x),e) 2V SW X + 1; 0 (1/ln 2) • 2ln x

•Nota: Omitimos las constantes de integración.

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264 P. TANIGUCHI

9. a) Tan x - x ;b) -1 /Tan x ; c) -(1 /ln 2) • 2 "x ; d) 2 e*12. F (x) ~ j x3/i - 10/313. F (x) = Sen x + l14. F (x) ¡= xJ /4 — 13

XIV VECTORES

1. b ) ( M 5 .0 7 3 , ( - 2 , —4 ) ,(~4. - 8 ) , ( - 1 , -2);c) (9 ,-9 ) , ( 1 , - í ) , ( - 3 ,3 ) , ( - 9 ,9 ) , ( - 1 ,1 )

2. b ) ( - l , 4 ) , c ) (5 7 5 ,(3 ,9 ) ( + +3. o) ( - 8 ,4 ) , (8 , —4); c ( 1, -3 ) , ( - 1 , 3); d) ( - 7 ,1 ) , ( - 9 ,7 )4. a) (7, —2);d) (—1 ,1),(5, —10), (872)6. ( * ,y )“ ( 2 , - 7 ) + o ( M ^ ^7. a) (x, y) = (2 ,3 ) + a (4/7); b) (x, y) = ( - 1 , -4 ) + « ( -2 ,1 ) ;

c )(x ,y ) = (2, 5) + a ( (U );d ) (x ,y ) = (3, -6 ) + a (T o ) +8. Eje absc.: (x, y) = (0 ,0 ) + a (1, o 7 eje ord.: (x ,y ) = (0 ,0) + a (0 ,1)9. a) 5 x + 6 y = -8 ;b ) x - 2 y = —11 ,c) y = 5;d) x = -210. b) Sí;c) si; d) no.11. a) Sí; b) no; c) no.15. b )45°, 135°,225°,315o;c) a= l ,5 ,b = 1 ,5^ /7 -2 ,5 9 8 0 7 6 216. a) (5,3); b) (—4, 6), c) (1, -1 ); d) (5,5 , 1,5); e) (-7 ,5 , -6 ,5), f (5, -2 .5 '17. (4, -5 ) , (6, -4 )18. (0 ,6 ), (2 ,5 ), (4 ,4)

19. (4 ,2 ) + +20. b) (x, y) = (3 ,6) + a (3 ,3); (x, y) = (5, -2 ) + a ( - M ) ;

( x ,y ) » ( - 5 ,8 ) + « (9 , - ¿ 522. a) ( 0 ,4 , - 8 ) , ( 0 ^ 2 , 4 ) ,(Ó, 1, ^2), (0, -1 ,1 ) , (0, 8);

b) (-1 5 ,3 0 ,1 5 ), ( 3 ,- 6 , -3 ) , ( - 1 ,2 , 1 ),(27-4 , -2 );c) (3 —3 ,6 ) ,( -2 “, 2, - 4 ) ,(1 /2 ,-1 /2 , 5 ,7 7 /3 ,1 /3 , -2 /3);

d) W 7 ^ , (T ,l , - 2 l ( - 2 , 5 ,1 );e) (3, - 4 , - 7 ) , ( - 2 , 7 ,1 ) ,( -2 .3 ,9 ) ,

0 ( - 9 , 2 2 , 1 ) , ( T - 1 , - 3 ? , (1,0755;g) (—?, 25, 10), (2, —1,12)

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DIAGRAMA ESTRUCTURAL

precedencia recomendada precedencia obligada

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COMO SUPERAR LAS MATEMATICAS DE 2 DE BUP

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