CD:\ELP\Cours\Chap2 M. Correvon

Electronique de puissance __________ Chapitre 2

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE

T A B L E D E S M A T I E R E S

PAGE 2. COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE....................................................................................................1

2.1 GÉNÉRALITÉS..........................................................................................................................................................1 2.2 RÉPONSE INDICIELLE...............................................................................................................................................1 2.3 CIRCUIT DE COMMUTATION DE TENSION ................................................................................................................2

2.3.1 Montage.............................................................................................................................................................2 2.3.2 Évolution du courant dans la charge ...............................................................................................................3

2.4 RÉGIME PERMANENT...............................................................................................................................................8 2.4.1 Calcul des grandeurs électriques caractéristiques..........................................................................................8 2.4.2 Synthèse des résultats........................................................................................................................................9 2.4.3 Approximation du 1er ordre ............................................................................................................................10

2.5 SYNTHÈSE DES RÉSULTATS ...................................................................................................................................11 2.5.1 Régime permanent...........................................................................................................................................11 2.5.2 Régime dynamique (saut indiciel) ..................................................................................................................12

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 1

CD:\ELP\Cours\Chap2

2. COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE

2.1 GÉNÉRALITÉS

Dans ce chapitre, nous allons décrire de manière détaillée le comportement du courant traversant une charge inductive soumise à un train d'impulsions de tension de fréquence et de rapport cyclique fixe. Une démonstration mathématique aussi complète que possible va permettre de démontrer que dans certaines conditions, le système à étudier peut être remplacé par un modèle continu dans lequel les grandeurs électriques sont des valeurs moyennes. Il est alors possible de calculer de manière très simple les grandeurs moyennes ainsi que leur ondulation. Cette modélisation permet aussi bien de travailler en régime permanent qu'en régime transitoire.

2.2 RÉPONSE INDICIELLE

La réponse en courant d'une charge constituée d'une inductance et d'une résistance en série (Figure 2-1) soumise à un saut indiciel de tension fait appel aux équations différentielles du premier ordre à coefficients constants.

R

LUd

id(t)

Figure 2-1 : Charge inductive

L'équation différentielle décrivant le comportement électrique du circuit de la Figure 2-1 est définie par la relation suivante

dttdiLtiRU d

dd)()( ⋅+⋅= 2.1

La solution d'une telle équation différentielle a été traitée sous forme générale et par un exemple en annexe du chapitre 1 (Description des éléments de commutation et des phénomènes qui en découlent)

( ) ττ // )0(1)( td

tdd eie

RUti −− ⋅+−⋅= . 2.2

où τ représente la constante de temps électrique de la charge inductive

RL

=τ 2.3

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 2

CD:\ELP\Cours\Chap2

2.3 CIRCUIT DE COMMUTATION DE TENSION

Dans cette section, nous allons étudier en détail l'évolution du courant dans une charge inductive soumise à un train d'impulsions carrées de tension de rapport cyclique fixe donné

2.3.1 Montage

Le montage le plus simple pour étudier les caractéristiques de la commutation est représenté à la Figure 2-2. L'interrupteur commandé S est fermé puis ouvert de manière cyclique. Un cycle dure un temps Tp appelé Période de pulsation. Sur une période de pulsation, l'interrupteur est fermé pendant un temps te appelé Temps d'enclenchement, puis ouvert pour le restant de la période. Le temps d'ouverture td est appelé Temps de déclenchement.

R

L

D

U

i id

iD

ud

S d

Figure 2-2 : Circuit de commutation sur charge indctive

Ce circuit peut être décomposé en deux topologies distinctes, ceci en fonction de l'état de l'interrupteur commandé. La Figure 2-2 correspond à l'état fermé de l'interrupteur

R

L

U

i id

ud

te

TpS

Figure 2-3 : Circuit équivalent lors de la fermeture de l'interrupteur commandé

La Figure 2-2 correspond à l'état ouvert de l'interrupteur.

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 3

CD:\ELP\Cours\Chap2

R

L

U

i id

iD

ud

td

TpS

Figure 2-4 : Circuit équivalent lors de l'ouverture de l'interrupteur commandé

Dans la Figure 2-4, on voit la nécessité de la présence d'une diode dite de roue libre (freeweehling diode). C'est en effet grâce à cette dernière que le courant circulant dans l'inductance (source de courant) peut se refermer.

2.3.2 Évolution du courant dans la charge

Dans ce paragraphe nous allons analyser l'évolution du courant dans la charge lorsque l'interrupteur commandé est contrôlé à la fréquence de pulsation Fp, avec un temps d'enclenchement te. La Figure 2-5 montre la forme de la tension apparaissant aux bornes de la charge.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0

2

4

6

8

10

Ud=12

ud(t) [V]

t [s]

Tp te td

Figure 2-5 : Tension aux bornes de la charge

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 4

CD:\ELP\Cours\Chap2

A l'aide de la relation 2.2, on se propose de décomposé l'évolution du courant selon une séquence définie par l'état de l'interrupteur commandé. Le but final étant d'obtenir, sous certaines conditions des relations simplifiées utilisables par la suite. Grâce à ces relations, il sera possible de définir un modèle pseudo continu et par conséquent une fonction de transfert dans l'espace de Laplace utilisable lors de la modélisation en vue d'un asservissement quelconque.

0 10 15 20 25 t [ms]0

1

2

3

4

5

6

)1()( /τteRUti −−=

)( eti

)( ep tTi +

ττ /)(/)( )()1()( pp Ttp

Tt eTieRUti −−−− +−=

5

τ/)()( ette eti −−

)( pTi

i(t) [A]

τ/))(()( ep tTtep etTi +−−+

Figure 2-6 : Courant dans la charge

COM

MU

TATI

ON

SU

R CH

ARG

E IN

DU

CTIV

E Pa

ge 5

CD

:\ELP

\Cou

rs\Ch

ap2

Prem

ière

pér

iode

de

com

mut

atio

n

pTt<

≤0

Ferm

etur

e du

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mut

ateu

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ett<

≤0

O

uver

ture

du

com

mut

ateu

r :

pe

Tt

t<

≤

Vale

ur in

itial

e :

0)0(=

i

Vale

ur in

itial

e :

)1(

)(

/τet

ee

RUti

−−

⋅=

Vale

ur fi

nale

:

)1(

)(

/τet

ee

RUti

−−

⋅=

Va

leur

fina

le :

τ

ττ

//

/)

1()

()

(d

ed

tt

te

pe

eRU

eti

Ti−

−−

⋅−

⋅=

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Deu

xièm

e pé

riode

de

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mut

atio

n

pp

Tt

T2

<≤

Ferm

etur

e du

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mut

ateu

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ep

pt

Tt

T+

<≤

O

uver

ture

du

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mut

ateu

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pe

pT

tt

T2

<≤

+

Vale

ur in

itial

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ττ

//

)1(

)(

de

tt

pe

eRU

Ti−

−⋅

−⋅

=

Vale

ur in

itial

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)1(

)1(

)(

//

ττ

pe

Tt

ep

ee

RUt

Ti−

−+

⋅−

⋅=

+

Vale

ur fi

nale

:

)1(

)1(

)1(

)1(

)(

)1(

)(

//

//

//

//

ττ

ττ

ττ

ττ

pe

ed

ee

ee

Tt

tt

tt

tp

te

p

ee

RU

ee

eRU

eRU

eTi

eRU

tTi

−−

−−

−−

−−

+⋅

−⋅

=

⋅⋅

−⋅

+−

⋅=

⋅+

−⋅

=+

Va

leur

fina

le :

τ

ττ

τ

//

/

/

)1(

)1(

)(

)2(

dp

e

d

tT

t

te

pp

ee

eRU

et

TiT

i

−−

−

−

⋅+

⋅−

⋅=

⋅+

=

COM

MU

TATI

ON

SU

R CH

ARG

E IN

DU

CTIV

E Pa

ge 6

CD

:\ELP

\Cou

rs\Ch

ap2

Troi

sièm

e pé

riode

de

com

mut

atio

n

pp

Tt

T3

2<

≤

Ferm

etur

e du

com

mut

ateu

r :

ep

pt

Tt

T+

<≤

22

O

uver

ture

du

com

mut

ateu

r :

pe

pT

tt

T3

2<

≤+

Vale

ur in

itial

e :

ττ

τ/

//

)1(

)1(

)2(

dp

et

Tt

pe

ee

RUT

i−

−−

⋅+

⋅−

⋅=

Va

leur

initi

ale

: )

1()

1()

2(/

2/

/τ

ττ

pp

eT

Tt

ep

ee

eRU

tT

i−

−−

++

⋅−

⋅=

+

Vale

ur fi

nale

:

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)2(

)1(

)2(

/2

//

//

//

/

//

ττ

τ

ττ

ττ

τ

ττ

pp

e

ed

pe

e

ee

TT

t

tt

Tt

t

tp

te

p

ee

eRU

ee

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RUe

RU

eT

ie

RUt

Ti

−−

−

−−

−−

−

−−

++

⋅−

⋅=

⋅⋅

+⋅

−⋅

+−

⋅=

⋅+

−⋅

=+

Va

leur

fina

le :

τ

ττ

τ

τ

//

2/

/

/

)1(

)1(

)2(

)3(

dp

pe

d

tT

Tt

te

pp

ee

ee

RU

et

Ti

Ti

−−

−−

−

⋅+

+⋅

−⋅

=

⋅+

=

Nèm

e pér

iode

de

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mut

atio

n

pp

NT

tT

N<

≤−

)1(

Ferm

etur

e du

com

mut

ateu

r :

ep

pt

TN

tT

N+

−<

≤−

)1(

)1(

O

uver

ture

du

com

mut

ateu

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pe

pN

Tt

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≤+

−)1

(

Vale

ur in

itial

e :

ττ

ττ

ττ

τ

//

/)1

(/

/2 0

//

11

)1(

)1(

))1

((

d

p

p

e

dp

e

tT

TN

t

tN n

nTt

p

ee

ee

RU

ee

eRU

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i

−−−

−−

−− =

−−

⋅−

−⋅

−⋅

=

⋅⋅

−⋅

=−

∑

Vale

ur in

itial

e :

τττ

///

11)

1()

)1((

pp

eTNT

te

pee

eRU

tT

Ni

−−−

−−⋅

−⋅

=+

−

Vale

ur fi

nale

:

τττ

ττ

ττ

///

1 0

//

//

11)

1(

)1(

))1

(()

1()

)1((

ppe

pe

ee

TNT

t

N n

nTt

tp

te

p

eee

RU

ee

RU

eT

Ni

eRU

tT

Ni

−−−

− =

−−

−−

−−⋅

−⋅

=

⋅−

⋅=

⋅−

+−

⋅=

+−

∑

Vale

ur fi

nale

:

τττ

τ

τ

///

/

/

11)

1(

))1

(()

(

d

pp

e

d

tTNT

t

te

pp

eee

eRU

et

TN

iN

Ti

−−−

−

−

⋅−−

⋅−

⋅=

⋅+

−=

COM

MU

TATI

ON

SU

R CH

ARG

E IN

DU

CTIV

E Pa

ge 7

CD

:\ELP

\Cou

rs\Ch

ap2

Exem

ple

:

Cara

ctér

istiq

ue d

e l'a

limen

tatio

n

Tens

ion

: U

=

12V

Pé

riode

de

pulsa

tion

: T p

=

2ms

Rapp

ort c

ycliq

ue :

D

=75

%

Cara

ctér

istiq

ue d

e la

cha

rge

Indu

ctan

ce :

L =

10m

H

Résis

tanc

e :

R =

2Ω

00.

010.

020.

030.

040.

050

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

τττ

//5

/

11)

1()

4(pp

eTT

te

pee

eRU

tT

i−−

−

−−⋅

−⋅

=+

τττ

τ/

//3

/

11)

1()

3(d

pp

et

TTt

pe

eee

RUT

i−

−−−

−−⋅

−⋅

=

i (t)

[A

]

t [s

]

Figu

re 2

-7 :

Evolu

tion

du co

uran

t dan

s la

char

ge

En ré

sum

é :

τ

τττ

///

/

11)

1()

(d

pp

et

TNT

tp

eee

eRU

NT

i−

−−−

⋅−−

⋅−

⋅=

τ

ττ

/

/)1

(/

11

)1(

)(

p

p

eT

TN

te

pe

ee

RUt

NT

i−+

−−

−−

⋅−

⋅=

+

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 8

CD:\ELP\Cours\Chap2

2.4 RÉGIME PERMANENT

2.4.1 Calcul des grandeurs électriques caractéristiques

A partir des relations générales donnant le courant aux instants NTp+te, il est possible de définir le courant maximum circulant dans la charge lorsque l'on se trouve en régime permanent. Le régime permanent apparaît lorsque la valeur moyenne glissante du courant sur une période de pulsation est constante.

τ

τ

τ

ττ

/

/

/

//

1)1(

11)1(lim))1((lim

p

e

p

pe

T

t

T

NTt

NepNMAX

ee

RU

eeeR

UtTNiI

−

−

−

−−

∞→∞→

−−⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−⋅−⋅=+−=

2.4

A partir des relations générales donnant le courant aux instants NTp, il est possible de définir le courant minimum circulant dans la charge lorsque l'on se trouve en régime permanent.

ττ

τ

ττ

ττ

//

/

//

//

1)1(

11)1(lim)(lim

d

p

e

d

p

pe

tT

t

tT

NTt

NpNMIN

eee

RU

eeeeR

UNTiI

−−

−

−−

−−

∞→∞→

⋅−−⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

−−⋅−⋅==

2.5

La moyenne glissante sur une période de pulsation du courant circulant dans la charge correspond au courant moyen. Cette moyenne glissante est définie par la relation suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⋅⋅+−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=⋅=

∫∫

∫∫∫+

+

−+

−−

+

+

++

p

ep

ep

p

e

p

ep

ep

p

p

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TN

tNT

tMAX

tNT

NT

tMIN

t

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TN

tNT

tNT

NTp

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NTpp

dteIdteIeRU

T

dttidttiTdttiTNTI

)1(///

)1()1(

))1((1

)()(1)(1)(

τττ

2.6

En décomposant l'intégrale de la 2.6 en trois parties, on obtient pour chacune d'elle

( )

( ))1(

)1(

//

//

ττ

ττ

τ

τ

ep

ep

p

ep

p

tNTe

tNT

NT

ttNT

NT

t

eetRU

etRUdteR

U

−−

+−+

−

−⋅⋅−⋅=

⋅+=⋅−⋅∫ 2.7

ττττ

τ

ττττ

τ

ττ

//2//

/

////

)1(11

)1(

pde

p

p

epep

p

ep

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NTttT

NT

tNTMIN

tNT

NT

tMIN

tNT

NT

tMIN

eeeee

RU

eeIeIdteI

−−−−

−

−−+−+

−

⋅⋅−−−⋅=

−⋅⋅=⋅⋅−=⋅⋅∫ 2.8

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 9

CD:\ELP\Cours\Chap2

)1()1(11

)1(

//)1(//

/

//)1()1(/)1(

/

ττττ

τ

ττττ

τ

ττ

dpe

p

p

dpp

ep

p

ep

tTNtT

NT

tTNMAX

TN

tNT

tMAX

TN

tNT

tMAX

eeeee

RU

eeIeIdteI

−⋅⋅−−−⋅−=

−⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅

+−−−

−

+−+

+

−+

+

−∫ 2.9

Finalement le courant moyen sur une période de pulsation est donnée par la relation suivante

( )

)1()1(111

)1(111

)1(1

)(1)(

//)1(//

/

//2//

/

//

)1(

ττττ

τ

ττττ

τ

ττ

τ

τ

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dpe

p

p

pde

p

p

ep

p

p

tTNtT

NT

p

NTttT

NT

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tNTe

p

TN

NTpp

eeeee

RU

T

eeeee

RU

T

eetRU

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dttiTNTI

−⋅⋅−−−⋅⋅−

⋅⋅−−−⋅⋅+

−⋅⋅−⋅=

⋅=

+−−−

−

−−−−

−

−−

+

∫

2.10

En régime permanent (N→∞), on peut écrire pour le courant moyen

RU

TtdttiTI

p

e

TN

NTpN

p

p

⋅=⋅= ∫+

∞→

)1(

)(1lim 2.11

De la Figure 2-5, on peut calculer la moyenne glissante de la tension aux bornes de la charge.

p

eTN

tNT

tNT

NTp

Tt

td

pdi T

tUdtdtUT

dttuT

Up

ep

ep

p

p

⋅=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫+

+

++ )1(

01)(1 0

0

2.12

2.4.2 Synthèse des résultats

− Courant maximum :

τ

τ

/

/

1)1(

p

e

T

t

MAX ee

RUI −

−

−−

⋅= 2.13

− Courant minimum :

ττ

τ/

/

/

1)1(

d

p

et

T

t

MIN eee

RUI −

−

−

⋅−−

⋅= 2.14

− Tension moyenne idéale :

p

eTt

td

pdi T

tUdttuT

Up

⋅=⋅= ∫+0

0

)(1 2.15

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 10

CD:\ELP\Cours\Chap2

− Courant moyen :

RU

Tt

RUdtti

TI di

p

eTt

tp

p

=⋅=⋅= ∫+0

0

)(1 2.16

− Ondulation de courant :

)1(1

)1( //

/τ

τ

τd

p

et

T

t

MINMAX eee

RUIII −

−

−

−⋅−−

⋅=−=∆ 2.17

Des relations 2.15 et 2.16 on en déduit de manière mathématique formelle que la tension moyenne se trouve aux bornes de la résistance de charge. Cette tension moyenne et la résistance de charge définissent à elles seules le courant moyen. En d'autres termes : en régime permanent, la tension moyenne aux bornes de l'inductance est nulle.

2.4.3 Approximation du 1er ordre

Sous certaines conditions, il est possible de simplifier les relations 2.13 à 2.17. En effet en général, on choisit une période de pulsation d'un ordre de grandeur au moins à la constante de

temps électrique de la charge inductive : RLTp =<<τ

2.4.3.1 Développement de ex en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction xe est donne par la relation suivante ;

44 344 210

32

...!3!2

1

=

++++≅xxxex 2.18

Dans notre cas, nous en déduisons

ττ et te e −≅− 1/ 2.19

2.4.3.2 Régime permanent

p

eMAX T

tRUI ⋅= 2.20

)1(τd

p

eMIN

tTt

RUI −⋅⋅= 2.21

p

eTt

tp Tt

RUdtti

TI

p

⋅=⋅= ∫+0

0

)(1 2.22

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 11

CD:\ELP\Cours\Chap2

)1()(1

p

e

p

ep

p

epe

p

deMINMAX T

tTt

LTU

TtTt

LU

Ttt

RUIII −⋅⋅

⋅=

−⋅=⋅

⋅⋅=−=∆

τ 2.23

Rectification des valeurs IMAX et IMIN

)2

)(1()(1

21

21

ττep

p

eep

p

e

p

eMAX

tTTt

RUtT

Tt

RU

Tt

RUIII

−+⋅=−⋅⋅⋅⋅+⋅=∆+= 2.24

)2

)(1(

21

τep

p

eMIN

tTTt

RUIII

−−⋅=∆−= 2.25

2.4.3.3 En régime dynamique (saut indiciel)

( )

( ) ( )ττ

τ

ττ

τ

τ

ττ

τ

//

/

2

/

/

//

11

12

2

2)1(

11)1(

2)()()(

tt

p

e

t

tt

d

p

e

t

T

ttMINMAX

eIeTt

RU

e

t

Tt

RU

eeee

RUtititi

dd

d

p

e

−−

−

<<→<<

−

−

−−

−⋅=−⋅⋅≅

−⋅−

⋅⋅≅

+⋅

−−

⋅−⋅=+

=

321 2.26

2.5 SYNTHÈSE DES RÉSULTATS

Si les valeurs moyennes du courant et de la tension ne sont pas modifiées par les approximations du 1er ordre, il n'en est pas de même pour l'ondulation de courant et les valeurs extrêmes de ce dernier.

2.5.1 Régime permanent

En régime permanent, toutes les grandeurs sont exprimées en fonction du rapport cyclique dont la définition est donnée par :

p

e

TtD = 2.27

− Tension moyenne idéale aux bornes de la charge :

DUdttuT

UpTt

td

pdi ⋅=⋅= ∫

+0

0

)(1 2.28

− Courant moyen dans la charge :

RU

RDUdtti

TI di

Tt

tpdi

p

=⋅

=⋅= ∫+0

0

)(1 2.29

COMMUTATION SUR CHARGE INDUCTIVE Page 12

CD:\ELP\Cours\Chap2

− Ondulation de courant :

)1( DDLTU

III pMINMAX −⋅⋅

⋅=−=∆ 2.30

− Courant maximum (valeur supérieure de l'ondulation) :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⋅⋅= )1(21 DT

DRUI p

MAX τ 2.31

− Courant minimum (valeur minimale de l'ondulation) :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅⋅= )1(21 DT

DRUI p

MIN τ 2.32

2.5.2 Régime dynamique (saut indiciel)

Le saut indiciel est identique au cas ou la tension serait abaissée à la valeur moyenne selon la relation 2.28

( ) ( ) ( )τττ /// 111)( ttdit eIeR

UeR

DUti −−− −⋅=−⋅=−⋅⋅

= 2.33

Dans ce cas on parle de courant pseudo-conntinu.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

)1()( /τteIti −−⋅=

p

e

Tt

RUI ⋅=

)1( DDL

UTI p −⋅=∆

i(t) [A]

t [s]

Figure 2-8 : Evolution du courant réel et du courant pseudo-continu dans la charge