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Communications numériquesModulations numériques
Laurent [email protected]
Université Paris 13, Institut GaliléeEcole d’ingénieurs Sup Galilée
Parcours Informatique et Réseaux Apprentissage - 2ème année2018-2019
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 1 / 67
Sommaire
IntroductionModulations numériques : pourquoi ?Modulations numériques : comment ?
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)PrincipeModulations M-ASK symétriquesRéalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)PrincipeModulations M-PSKRéalisation physique et performances
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)PrincipeModulations QAMRéalisation physique et performances
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)PrincipeModulations FSK et CPFSKModulation MSK
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 2 / 67
Introduction
Sommaire
IntroductionModulations numériques : pourquoi ?Modulations numériques : comment ?
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 3 / 67
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Transmission en bande de base
◮ Pour le moment, tous les signaux physiques générés ont une largeur de bandeque l’on peut écrire :◮ filtre NRZ : B ≈ 1
T◮ filtre RZ : B ≈ 2
T◮ filtre biphase Manchester : B ≈ 2
T
◮ filtre en racine de cosinus surelevé : B = 1+β2T
◮ On a vu en TP que B dépendait du filtre de mise en forme he(t), du débitbinaire Db, et de la taille M de l’alphabet utilisé
◮ Les densités spectrales de puissance des signaux en bande de base sontcentrées sur la fréquence f0 = 0.
◮ Si le canal a une bande passante limitée, on cale la largeur de bande occupéedu signal sur les caractéristiques du canal : on utilise toute la bande passantedisponible.
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 4 / 67
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Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Limites de la bande de base
◮ Impossible de diviser le canal en sous-canaux pour transmettre plusieurscommunications à la fois (multiplexage fréquentiel)
◮ Impossible de créer une onde électromagnétique pour la transmission sans fil(si on émet une onde à 30 Hz, on a une longueur d’onde de 10000 km !)
◮ Chaque type de communication correspond à une bande de fréquencerépertoriée :◮ TNT terrestre : 470 MHz à 830 MHz◮ GSM (900) : 880 MHz à 960 MHz
◮ Nécessité de pouvoir créer des signaux dans une bande de fréquence donnée
◮ Les caractéristiques de cette bande dépendent du canal où l’on veuttransmettre et du type de communication
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 5 / 67
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Bande de base vs. Modulation
◮ Bande de base◮ Transmission des signaux dans leur bande de fréquence originale◮ Utilisation de la totalité de la bande passante du canal BP◮ Signaux électriques et lumineux : câbles USB, Ethernet, fibres optiques, etc...
◮ Bande transposée (ou large de bande)◮ Transmission des signaux dans une bande de fréquence donnée◮ Eventuellement, division de la bande passante disponible en plusieurs canaux◮ Ondes électromagnétiques, signaux électriques et optiques : réseau hertzien,
infra-rouge, laser, câbles ADSL, etc...
Modulation : transformation du signal en bande de base pour l’adapter au canalde transmission
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 6 / 67
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Bande de base vs. Modulation
Attention, si la largeur de bande en bande de base est (par exemple) 1T, alors en
bande modulée, cela correspond à une largeur de bande 2T
(et inversement)
BMOD = 2BBB
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 7 / 67
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Bande de base vs. Modulation
Imaginons que l’on souhaite envoyer un signal sur un canal de bande passante[BPminBPmax ] :
◮ On veut créer un signal modulé ayant comme largeur de bande (en bandemodulée) BMOD = BPmax − BPmin et centré sur la fréquence f0 =
BPmin+BPmax2
◮ Cela revient à créer un signal en bande de base ayant comme largeur debande (en bande de base) BBB =
BPmax−BPmin2 puis translater son spectre de f0
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 8 / 67
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Introduction Modulations numériques : comment?
Modulations numériques
Conversionbits/symboles
Filtre demise en
forme he (t)Modulation
dn ak x(t) e(t)
Emetteur
Filtre decanal hc (t)
Bruitadditif b(t)
e(t) e′(t) r(t)
Canal de transmission
Démodulation
Filtre deréceptionhr (t)
Echantillonage
DécisionDécodage
r(t) y(t) z(t)
zk = z(kT )
âkd̂n
Récepteur
◮ Modulation : partir d’un signal x(t) en bande de base, et le transformer ensignal e(t) en bande modulée, donc la largeur de bande sera centrée sur f0.
◮ Démodulation : processus inverse
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 9 / 67
Introduction Modulations numériques : comment?
Principe de la modulation
Imaginons que l’on ait un signal x(t) avec une densité spectrale de puissanceΓx(f ) centrée en f = 0. Comment la translater pour la centrer en f = f0 ?
◮ cf TD 1 : T F{
x(t)e2πjf0t}
= X (f − f0)
◮ Proposition : prendre e(t) = x(t)e2πjf0t ? ?
◮ Problème : dans ce cas, e(t) est complexe, ce qui n’est pas possible (ce doitêtre un signal physique)
e(t) = Re{
x(t)e2πjf0t}
◮ e2πjf0t : porteuse
◮ x(t) : signal en bande de base (dans ce cours : filtre d’émission NRZ)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 10 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)PrincipeModulations M-ASK symétriquesRéalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 11 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Principe
Modulation par déplacement d’amplitude : ASK
On modifie l’amplitude de la porteuse : Amplitude Shift Keying
e(t) = Re{
x(t)e2πjf0t}
Si on suppose que les ak sont réels, et que he(t) est réelle (c’est le cas si onconsidère un filtre NRZ), alors x(t) est réel et :
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =∑
k∈Z
akhe(t − kT ) cos(2πf0t)
◮ On ne transforme pas notre signal en bande de base, on le multiplie juste parun cosinus
◮ Chaque symbole ak modifie l’amplitude de la porteuse durant une durée T :ak correspond à l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ En fait, tous les codages en ligne que l’on a vu en bande de base étaient desmodulations ASK avec f0 = 0 !
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 12 / 67
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
Modulation M-ASK symétriques
Re(.)
Im(.)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 70
M=2
0 1
Re(.)
Im(.)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 70
M=4
00 01 11 10
Re(.)
Im(.)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 70
M=8
000 001 011 010 110 111 101 100
−→ x(t) codé avec un dictionnaire M-aire antipolaire
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 13 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
2-ASK symétrique - Filtre NRZ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
✁1
0
1
x(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
!1
0
1
cos(2
✂
f 0t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
✄1
0
1
Temps (s)
e(t
)=x(t
)cos(2
☎
f 0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 14 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
8-ASK symétrique - Filtre NRZ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
�✺✵
✆
①✭*
✮
✝ ✞.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2�1
0
1
cos(2�
f 0t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
�5
0
5
Temps (s)
e(t
)=x(t
)cos(2�
f 0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 -3 7 -3f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 15 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Réalisation physique et performances
Modulateur
Filtre demise en
forme he (t)×
cos(2πf0t)
ak x(t) e(t)
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =∑
k∈Z
akhe(t − kT ) cos(2πf0t)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 16 / 67
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Réalisation physique et performances
Démodulateur
◮ A la sortie du canal (sans bruit), on a r(t) = e(t) = x(t) cos(2πf0t)
◮ Comment retrouver x(t) à partir de r(t) ?
◮ On utilise 2 cos(2πf0t)r(t) = 2 cos2(2πf0t)x(t) = x(t) + x(t) cos(4πf0t)
◮ Avec un filtrage passe-bas, on peut récupérer x(t) !
×
2 cos(2πf0t)
Filtrepasse bas
Filtre deréception
hr (t) = he(−t)
r(t) y(t) z(t)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 17 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Réalisation physique et performances
Energie moyenne par bit
◮ L’énergie moyenne par bit pour un signal modulé avec une modulationM-ASK est exactement la même que celle que l’on aurait pour un signal enbande de base
◮ On peut donc utiliser les mêmes formules qu’en bande de base
Esym =1
M
M∑
i=1
|ai |2Ehe
Ebit =1
M log2 M
M∑
i=1
|ai |2Ehe
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 18 / 67
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Réalisation physique et performances
Probabilité d’erreur binaire
Si on utilise un codage de Grey et si le récepteur est optimal, on peut montrer que
TEB ≈ 2M − 1
M log2 MQ
(
√
2EbitN0
3 log2M
M2 − 1
)
◮ Il s’agit de la même formule qu’en bande de base !
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors BMOD = 2BBB =2T
(attention, on n’est plus
en bande de base !), et on a donc η =log2 M
2 . Plus M augmente, plus ηaugmente.
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente. Il y a donc uncompromis à réaliser.
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 19 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)PrincipeModulations M-PSKRéalisation physique et performances
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 20 / 67
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Modulation par déplacement de phase : PSK
◮ Pour la modulation ASK on a modifié l’amplitude de la porteuse
e(t) = Re{
x(t)e2πjf0t}
e(t) =∑
k∈Z
akhe(t − kT ) cos(2πf0t)
◮ ak correspond à l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ Et si on modifiait la phase au lieu de l’amplitude ?
◮ PSK : Phase Shift Keying
◮ On fait passer le signal x(t) sur la phase de la porteuse
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 21 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Modulation par déplacement de phase : PSK
e(t) = Re{
e2πjf0t+jx(t)}
◮ Si on suppose que les ak sont réels, et que he(t) est réelle (c’est le cas si onconsidère un filtre NRZ), alors x(t) est réel et :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
e(t) = cos
(
2πf0t +∑
k∈Z
akhe(t − kT )
)
◮ ak correspond à la phase de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ L’amplitude de la porteuse reste constante, mais la phase change toutes lesT secondes
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 22 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Choix des symboles
Les ak représentent ici une phase et il est courant de les renormaliser entre 0 et2π. Au lieu de prendre les dictionnaires unipolaire et antipolaires classiques, on vaprendre
◮ soit
ak ∈2π
M{0, 1, · · · ,M − 1} (unipolaire)
◮ soit
ak ∈π
M{−(M − 1), · · · ,−3,−1, 1, 3, · · · ,M − 1} (antipolaire)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 23 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Modulation ASK équivalente
Comme he(t) est un filtre NRZ, on peut montrer que :
e(t) = cos
(
2πf0t +∑
k∈Z
akhe(t − kT )
)
e(t) =∑
k∈Z
cos(2πf0t + ak)he(t − kT )
Avec des formules de trigonométrie, cela peut s’écrire
e(t) =∑
k∈Z
cos(ak )he(t − kT ) cos(2πf0t)−∑
k∈Z
sin(ak )he(t − kT ) sin(2πf0t)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 24 / 67
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Modulation ASK équivalente
e(t) =∑
k∈Z
cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0t)−∑
k∈Z
sin(ak)he (t − kT ) sin(2πf0t)
e(t) est la somme de deux signaux ASK :
◮ Un premier signal
I (t) =∑
k∈Z
cos(ak )he (t − kT )
modulé par une porteuse cos(2πf0t) (les symboles sont ici les cos(ak))
◮ Un deuxième signal
Q(t) =∑
k∈Z
sin(ak)he (t − kT )
modulé par une porteuse − sin(2πf0t) = cos(2πf0t +π2) (les symboles sont ici les sin(ak))
◮ I (t) : composante en phase (Inphase), Q(t) : composante en quadrature de phase(Quadrature)
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 25 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Modulation ASK équivalente
En repartant de l’expression
e(t) = Re{
e2πjf0t+jx(t)}
on peut observer que
e(t) = Re
e
2πjf0t+j
∑
k∈Z
akhe(t − kT )
e(t) = Re
{
∑
k∈Z
e jakhe(t − kT )e2πjf0t
}
◮ Cette modulation PSK avec les symboles ak est mathématiquementéquivalente à une modulation ASK avec les symboles αk = e
jak
◮ αk : symboles équivalents en modulation ASK
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 26 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Formulations équivalentesNous avons donc trois formulations parfaitement équivalentes :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
◮ Faire passer les ak sur la phase de la porteuse
◮ Porteuse d’amplitude m(t) = 1 constante et de phase φ(t) = x(t)
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)
◮ Faire passer les cos(ak ) sur une porteuse en phase et les sin(ak ) sur une porteuse en quadraturede phase
◮ Composante en phase I (t) =∑
k∈Z
cos(ak )he (t − kT ), composante en quadrature de phase
Q(t) =∑
k∈Z
sin(ak )he (t − kT )
e(t) = Re
∑
k∈Z
e jak he (t − kT )e2πjf0 t
◮ Transmettre les symboles complexes αk = ejak en modulation ASK
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 27 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Principe
Constellation
ConstellationConstellation : représentation des symboles αk équivalents en modulation ASKdans le plan complexe
◮ Dans le cas ASK, on a αk = ak et les αk sont réels
◮ Dans le cas PSK, les αk = ejak sont sur le cercle unité
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 28 / 67
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
2-PSK ou BPSK
Re(.)
Im(.)
0 1r = 1
ak ∈ {0, π} −→ αk = ±1
Exactement pareil qu’une modulation 2-ASK symétrique !
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 29 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
2-PSK ou BPSK - Filtre NRZ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
1
2
✸
x(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2�1
0
1
cos(2�
f 0t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2�1
0
1
Temps (s)
e(t
)=cos(2�
f 0t +
x(t
))
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1ak = π 0 π π 0 0 0 π π π 0 0
αk= 1−11−1−1−111−11f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 30 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
4-PSK ou QPSK
Re(.)
Im(.)
1101
00 10
r = 1
ak ∈{
−3π4,−π
4,π
4,3π
4
}
−→ αk = ±√2
2± j√2
2
Ici on a utilisé le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire enfaisant tourner la constellation de −π4 .
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 31 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
4-PSK ou QPSK - Filtre NRZ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
�2
0
2
x(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2�1
0
1
cos(2�
f 0t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2�1
0
1
Temps (s)
e(t
)=cos(2�
f 0t +
x(t
))
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1ak =
3π4−3π4
π4−π4
−3π4
π4
αk=−√
2+j√
22
−√
2−j√
22
√2+j√2
2
√2−j√2
2−√
2−j√
22
√2+j√
22
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/secondeLaurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 32 / 67
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
8-PSK
Re(.)
Im(.)
111
110010
011
001
000 100
101
r = 1
ak ∈{
−7π8,−5π
8,−3π
8,−π
8,π
8,3π
8,5π
8,7π
8
}
Ici on a utilisé le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire enfaisant tourner la constellation de −π8 .
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 33 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Réalisation physique et performances
Modulateur
Filtre demise en
forme he (t)
Filtre demise en
forme he (t)
×
×
cos(2πf0t)
− sin(2πf0t)
+αk = e
jak
cos(ak) = Re(αk )
sin(ak ) = Im(αk)
I (t)
Q(t)
e(t)
I (t) =∑
k∈Z
cos(ak)he (t − kT ) Q(t) =∑
k∈Z
sin(ak)he (t − kT )
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 34 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Réalisation physique et performances
Démodulateur
×
×
Filtrepasse bas
Filtrepasse bas
Filtre deréception
hr (t) = he (−t)
Filtre deréception
hr (t) = he (−t)
2 cos(2πf0t)
−2 sin(2πf0t)
r(t)
Î (t)
Q̂(t)
zI (t)
zQ(t)
2 cos(2πf0t)r(t) = I (t) + I (t) cos(4πf0t)− Q(t) sin(4πf0t)
−2 sin(2πf0t)r(t) = Q(t)− I (t) sin(4πf0t) −Q(t) cos(4πf0t)
Après un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en échantillonant cos(ak) et sin(ak ),et enfin ak
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 35 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Réalisation physique et performances
Energie moyenne par bit
◮ Pour calculer l’énergie moyenne par bit, on utilise les symboles αi équivalentsen modulation ASK.
◮ Tous ces symboles sont complexes, mais sont situés sur le cercle unité. On adonc
|αi |2 = 1pour tous les symboles
◮ On a donc
Ebit =1
log2 MEhe
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 36 / 67
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Réalisation physique et performances
Probabilité d’erreur binaire
Si on utilise un codage de Grey et si le récepteur est optimal, on peut montrer quesi M > 2
TEB ≈ 2log2 M
Q
(
√
2 log2 MEbitN0
sin( π
M
)
)
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors B = 2T
(attention, on n’est plus en bande de
base !), et on a donc η = log2 M2 . Plus M augmente, plus η augmente.
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 37 / 67
Modulation par déplacement de phase (PSK) Réalisation physique et performances
Comparaison ASK / PSK
0 5 10 15 20 25 3010
−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Ebit
/N0
(en dB)
TE
B
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques
2−ASK
4−ASK
8−ASK
16−ASK
32−ASK
0 5 10 15 20 25 3010
−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Ebit
/N0
(en dB)
TE
B
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−PSK
2−PSK
4−PSK
8−PSK
16−PSK
32−PSK
◮ A TEB fixé, on peut transmettre avec M plus grand avec une M-PSKqu’avec une M-ASK
◮ En revanche, les modulateurs et démodulateurs sont plus complexes à réaliseravec une M-PSK
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 38 / 67
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)PrincipeModulations QAMRéalisation physique et performances
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Laurent Oudre [email protected] Communications numériques 2018-2019 39 / 67
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe
Modulations APSK
◮ Modification de l’amplitude (ASK) :◮ ak modifie l’amplitude toutes les T secondes◮ Symboles équivalents en modulation ASK : αk = ak réels
◮ Modification de la phase (PSK) :◮ ak modifie la phase toutes les T secondes◮ Symboles équivalents en modulation ASK : αk = e
jak sur le cercle unité
◮ Si l’on veut modifier simultanément l’amplitude et la phase toutes les Tsecondes ?
◮ Amplitude and Phase Shift Keying (APSK)
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe
Modulations APSK : principe
A chaque période symbole T , on change l’amplitude mk et la phase Φk de laporteuse
e(t) = m(t) cos (2πf0t +Φ(t))
◮ m(t) =∑
k∈Z
mkhe(t − kT )
◮ Φ(t) =∑
k∈Z
Φkhe(t − kT )
A chaque période symbole T on agit sur deux paramètres au lieu d’un, ce quirevient à une mise au carré du nombre de symboles possibles
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe
Modulations APSK : constellation
Modification conjointe de l’amplitude et de la phase : peut être vuemathématiquement comme la transmission de symboles αk complexes en ASK telsque
αk = mkejφk
Re(.)
Im(.)
-3 -1 1 3
-3
-1
1
3
0
Φk
mk
Remarque : ASK revient à mk = ak ,Φk = 0 et PSK à mk = 0,Φk = ak
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe
Modulations APSK : amplitudes et phasesPar définition des symboles équivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
{
∑
k∈Z
αkhe(t − kT )e2πjf0t}
Comme αk = mkejφk , on peut montrer que :
e(t) =∑
k∈Z
mkhe(t − kT ) cos (2πf0t + φk )
On a donc :
m(t) =∑
k∈Z
|αk |he(t − kT )
Φ(t) =∑
k∈Z
arg(αk)he(t − kT )
◮ m(t) transmet le module du symbole
◮ Φ(t) transmet l’argument du symbole
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe
Modulations APSK : composantes en phase et enquadrature de phasePar définition des symboles équivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
{
∑
k∈Z
αkhe(t − kT )e2πjf0t}
Et on a par définition de I (t) et Q(t)
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)On peut montrer alors que :
I (t) =∑
k∈Z
Re(αk)he(t − kT )
Q(t) =∑
k∈Z
Im(αk)he(t − kT )
◮ I (t) transmet la partie réelle du symbole◮ Q(t) transmet la partie imaginaire du symbole
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations QAM
Cas particulier courant :
Re(αk ) ∈{
−(√M − 1), · · · ,−3,−1, 1, 3, · · · ,
√M − 1
}
dictionnaire antipolaire
Im(αk ) ∈{
−(√M − 1), · · · ,−3,−1, 1, 3, · · · ,
√M − 1
}
dictionnaire antipolaire
αk ∈ {±1± j ,±1± 3j ,±3± j ,±3± 3j , ...}
◮ Si chaque dictionnaire contient√M symboles réels, cela fait M symboles
complexes !
◮ Comme si on transmettait simultanément un signal√M-ASK symétrique réel
et un signal√M-ASK symétrique imaginaire pur
◮ Deux signaux√M-ASK symétriques I (t) et Q(t) en quadrature de phase :
d’ou le nom Quadrature Amplitude Modulation
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulation 4-QAM
Re(.)
Im(.)
-3 -1 1 3
-3
-1
1
3
0 1101
00 10
αk = ±1± j
code la partie réelle - code la partie imaginaire
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
4-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
1
2
m(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
Φ(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−1
0
1
Temps (s)e(t
)=m
(t)c
os(2π
f 0t+Φ
(t))
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1αk = -1+j -1-j 1+j 1-j -1-j 1+j
mk =√2√2√2√2√2√2
Φk =3π4
−3π4
π4
−π4
−3π4
π4
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
4-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−1
0
1
I(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−1
0
1
Q(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−1
0
1
Temps (s)e(t
)
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
αk = -1+j -1-j 1+j 1-j -1-j 1+jf0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulation 16-QAM
Re(.)
Im(.)
-3 -1 1 3
-3
-1
1
3
0 11110111
0101 1101
11100110
0100 1100
10100010
0000 1000
10110011
0001 1001
αk ∈ {±1± j ,±1± 3j ,±3± j ,±3± 3j}
code la partie réelle - code la partie imaginaire
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
16-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−4
−2
0
2
4
m(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
Φ(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
Temps (s)e(t
)=
m(t
)cos(2π
f 0t+Φ
(t))
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1αk = -1-3j 1+3j -3+jmk =
√10
√10
√10
Φk =−π2 − atan( 13 ) π2 − atan( 13 ) π − atan( 13 )f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
16-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
I(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
Q(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
0
2
Temps (s)
e(t
)
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1αk = -1-3j 1+3j -3+j
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Modulateur
Filtre demise en
forme he (t)
Filtre demise en
forme he (t)
×
×
cos(2πf0t)
− sin(2πf0t)
+αk
Re(αk )
Im(αk )
I (t)
Q(t)
e(t)
I (t) =∑
k∈Z
Re(αk )he (t − kT ) Q(t) =∑
k∈Z
Im(αk )he (t − kT )
e(t) = I (t) cos(2πf0t)− Q(t) sin(2πf0t)
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Démodulateur
×
×
Filtrepasse bas
Filtrepasse bas
Filtre deréception
hr (t) = he (−t)
Filtre deréception
hr (t) = he (−t)
2 cos(2πf0t)
−2 sin(2πf0t)
r(t)
Î (t)
Q̂(t)
zI (t)
zQ(t)
2 cos(2πf0t)e(t) = I (t) + I (t) cos(4πf0t)− Q(t) sin(4πf0t)
−2 sin(2πf0t)e(t) = Q(t) − I (t) sin(4πf0t)− Q(t) cos(4πf0t)
Après un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en échantillonant Re(αk ) et Im(αk ),et enfin αk
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Energie moyenne par bit
◮ Pour calculer l’énergie moyenne par bit il faut utiliser les symboles αiéquivalents en modulation ASK
◮ On peut démontrer que l’énergie moyenne par bit d’une modulation M-QAMest exactement la même que celle d’une modulation
√M-ASK
◮ En réalité, une modulation M-QAM correspond à deux modulations√M-ASK indépendantes en parallèle
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Probabilité d’erreur binaire
Si on utilise un codage de Grey et si le récepteur est optimal, on peut montrer que
TEB ≈ 2√M − 1√
M log2√M
Q
√
2EbitN0
3 log2√M
M − 1
◮ Comme si on avait deux modulations√M-ASK indépendantes !
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors B = 2T
(attention, on n’est plus en bande de
base !), et on a donc η = log2 M2 . Plus M augmente, plus η augmente.
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Comparaison ASK / QAM
0 5 10 15 20 25 3010
−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Ebit
/N0
(en dB)
TE
B
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques
2−ASK
4−ASK
8−ASK
16−ASK
32−ASK
0 5 10 15 20 25 3010
−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Ebit
/N0
(en dB)
TE
B
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−QAM
4−QAM
16−QAM
64−QAM
256−QAM
1024−QAM
◮ On peut transmettre avec une M-QAM pour le même taux d’erreur binairequ’une
√M-ASK symétrique !
◮ En revanche, les modulateurs et démodulateurs sont plus complexes à réaliseravec une M-QAM
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Réalisation physique et performances
Bilan
Notions importantes
◮ m(t) : amplitude
◮ Φ(t) : phase
◮ I (t) : composante en phase
◮ Q(t) : composante en quadrature de phase
Modulations
ASK PSK QAMm(t) ak 1 |αk |Φ(t) 0 ak arg(αk )I (t) ak cos(ak ) Re(αk)Q(t) 0 sin(ak) Im(αk )
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)PrincipeModulations FSK et CPFSKModulation MSK
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Principe
Modulation par déplacement de fréquence : FSK
On a déjà modifié l’amplitude et la phase de la porteuse, cette fois ci on vamodifier la fréquence fondamentale de la porteuse : Frequency Shift Keying
e(t) = Re{
e2πjt(f0+x(t))}
Ce qui revient à
e(t) = cos (2π (f0 + x(t)) t)
◮ Dans le cas d’un filtre de mise en forme he(t) NRZ, cela devient
e(t) =∑
k∈Z
cos (2π (f0 + ak) t) he(t − kT )
◮ On change la fréquence fondamentale de la porteuse tous les T , en fonctiondes symboles ak : la fréquence fondamentale pour kT ≤ t < (k + 1)T estf0 + ak
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Principe
Choix des symboles
Dans le cas d’une modulation FSK à M symboles, les ak doivent être homogènesà une fréquence et on choisit un dictionnaire antipolaire :
ak ∈∆f
2{−(M − 1), · · · ,−3,−1, 1, 3, · · · ,M − 1}
◮ f0 est donc la fréquence centrale
◮ ∆f est l’excursion de fréquence
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulations FSK et CPFSK
Modulation FSK
◮ Dans la suite du cours on suppose que M = 2 (cas 2-FSK, souvent appelésimplement FSK)
◮ On a donc 2 fréquences fondamentales possibles :◮ f1 = f0 −
∆f2
◮ f2 = f0 +∆f2
◮ On a doncf2 − f1 = ∆f
◮ Plus on réduit ∆f , moins on utilise de bande passante
◮ Indice de modulationµ = ∆f T
◮ Plus µ est petit, moins on utilise de bande passante
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulations FSK et CPFSK
FSK non cohérente
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
e(t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f = 6 Hz (f1 = 10 Hz, f2 = 16 Hz)
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulations FSK et CPFSK
FSK cohérente et non cohérente
◮ Problème : il y a un saut tous les T quand la fréquence change : FSK noncohérente
◮ Ces sauts créent des fréquences parasites sur le spectre du signal modulé
◮ On peut transformer x(t) pour que la phase soit continue dans le temps :FSK cohérente (ou CPFSK)◮ Plus difficile à réaliser en pratique◮ Permet de réduire l’occupation spectrale
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulations FSK et CPFSK
FSK cohérente
◮ Pour une FSK non cohérente, on a
e(t) = cos(2πf0t + φ(t))
avecφ(t) = 2πakt pour t ∈ [kT ; (k + 1)T [
◮ Pour une FSK cohérente, on va poser
φ(t) = 2πak(t − kT ) + φk pour t ∈ [kT ; (k + 1)T [
◮ La condition de continuité donne
2πak+1((k + 1)T − (k + 1)T ) + φk+1 = 2πak((k + 1)T − kT ) + φk
φk+1 = 2πakT + φk
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulations FSK et CPFSK
2-FSK cohérente
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
e(t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f = 6 Hz (f1 = 10 Hz, f2 = 16 Hz)
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulation MSK
Modulation MSK
Rappel :
◮ Plus µ est petit, moins on utilise de bande passante
◮ Avec une CPFSK, on diminue la largeur de la bande passante
◮ Minimum Shift Keying (MSK) : plus petite valeur de µ permettant uneprobabilité d’erreur optimale (µ = 0.5).
◮ MSK : CPFSK (cohérente) avec un filtre NRZ et ∆f = 12T
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Modulation par déplacement de fréquence (FSK) Modulation MSK
MSK
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
e(t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f =
12T = 5 Hz (f1 = 10.5 Hz, f2 = 15.5 Hz)
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