Commande Vectorielle des machines asynchrones
-
Upload
belatik-mourad -
Category
Documents
-
view
280 -
download
2
Transcript of Commande Vectorielle des machines asynchrones
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
1/64
1
Introduction la
commande vectorielledes machinesasynchrones
Patrick BRUNET
LTEG Henri BRISSON25 Avenue Henri BRISSON
18108 VIERZON(( 02 48 52 74 00
ml : [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected] -
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
2/64
2
SOMMAIRE
A. La commande vectorielle, ouimais pourquoi faire ?
B. Les modlisationsde la machineasynchrone
C. Principe dune commande flux
orient
D. Annexes
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
3/64
3
A
La commandevectorielle, oui mais
pourquoi faire ?
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
4/64
4
A1 . INTRODUCTION
Tous les fabricants de variateurs de
vitesse, quils soient industriels ou bien
distributeurs de matriel usage pdagogique
proposent des variateurs pour machine
asynchrone. Historiquement, sont apparus sur le
march des variateurs dits U/f = constante
et plus rcemment les variateurs contrle
vectoriel de flux avec ou sans capteur.
Aujourdhui contrle vectoriel fait mode
et il faut tre prudent car sous largument
commercial se cache peut-tre un convertisseur
U/f = constante amlior
Au-del de cet aspect purementcommercial, on peut se poser la question de ce
que lon peut prsenter des tudiants BAC+2
en Electrotechnique pour quau moins ils aient
une ide des performances compares des
diffrents types de variateurs, ceci pour leur
permettre de faire un choix judicieux de matriel
en fonction de lapplication mettre en uvre.
Ainsi, sil sagit de dmarrer tous les matins un
moteur asynchrone sans faire varier sa vitesse, le
recours au contrle vectoriel serait stupide !
La prsentation thorique du variateur en
U/f ne pose pas de problme partir de la
modlisation classique de la M.A.S. pour les
tudiants. Par contre, dtailler la thorie du
contrle vectoriel de flux nest pas la porte
dtudiants BAC+2 en Electrotechnique. Mais, il
est possible de mettre en vidence de faon
exprimentale les performances compares de
plusieurs variateurs.
Les rsultats exprimentaux prsents ci-
dessous ont t obtenus partir du schma de
principe suivant :
Capteur decourant
Variateur M.A.S. Frein
Capteur de couple
On dispose dun rseau triphas 220V/50 Hz.
Le moteur (CEGELEC) a une puissance nominale de 1.5 kW, un courant nominal de 6.4 A et une
tension nominale de 220 V.
Le couple dvelopp par le moteur est mesur par un couplemtre dynamique de marque Vibro-meter. Son tendue de mesure est de +/- 100 N.m. Il dispose de 2 sorties analogiques permettant
dobtenir :
- une image de la vitesse de rotation avec un facteur dchelle de 10 V pour 10000 tr/min,
- une image du couple instantan avec un facteur dchelle de 5 V pour 100 N.m.
Il est install entre le moteur et un frein courant de Foucault utilis ici uniquement en charge
inertielle.
Enfin un capteur de courant permet de visualiser le courant fourni par le variateur avec un
facteur dchelle de 1 V pour 10 A.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
5/64
5
A2. DEMARRAGE DIRECT DU MOTEUR
Il est obtenu en fermant le disjoncteur de tte et en supprimant le variateur. On a limit par un
autotransformateur la tension rseau 190 V pour ne pas saturer le moteur.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du courant moteur (voie RA)
et de la vitesse (voie RB).
On note le classique appel de courant
lors de la mise sous tension du moteur
(valeur instantane maximale de 40 A
environ). Il serait videmment encore
plus grand sous la tension nominale de
220V.
La monte en vitesse est quasi linaire
au dbut du dmarrage. La dure de miseen vitesse (environ 2 s) est dtermine
par linertie totale autour de larbre de
rotation, le moteur ntant pas charg. La
vitesse atteinte est proche de 1500 tr/mn
(vitesse de synchronisme), le moteur
tant vide.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du couple instantan(voie A)
et de la vitesse(voie B).
On note les oscillations du couple
instantan lors de la mise sous tension
pendant une dure de 0.6 s. Ainsi le
couple instantan monte 40 N.m alors
que le couple nominal du moteur est de
lordre de 10 N.m. Bien sr, ces
oscillations seraient encore plus
importantes sous tension nominale.
Il est important de bien noter ces
oscillations car le choix du couplemtre
dynamique devra tre fait partir de
celles-ci et non du couple nominal sous
peine de destruction lors dun tel
dmarrage.
A la fin de la phase de dmarrage, le
couple sannule puisque le moteur nest
pas charg.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
6/64
6
A3. DEMARRAGE AVEC UN VARIATEUR A U/f = constante
On utilise directement le rseau 220 V. Le variateur utilis est un Varial VNTA de CEGELEC. La
limitation de courant a t rgle 150% du courant nominal de 6 A du variateur. Aucune rampe
dacclration na t impose. La consigne de vitesse a t rgle 1500 tr/mn.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du courant moteur(voie A) et
de la vitesse (voie B).
Lappel de courant au dmarrage est
bien matris par le rglage de lalimitation en courant du variateur. La
monte en vitesse est un peu plus rapide
que lors du dmarrage direct car on
fonctionne ici tension nominale.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du couple instantan(voie A)
et de la vitesse (voie B).
On note que les oscillations du couple
instantan nont pas disparues bien au
contraire. Le variateur U/f = constante
de par son principe (contrle dit scalaire)
nest pas apte matriser le coupleinstantan. Il faut que les rgimes
transitoires lectriques aient disparu pour
quil puisse convenablement travailler.
Le signal issu du couplemtre est
parasit sur la dernire partie de
loscillogramme. Nous pensons que ceci
est d au dcoupage MLI de la tension
fournie par le variateur qui rayonne sur
le cble du couplemtre (problme de
CEM).
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
7/64
7
A4. DEMARRAGE AVEC UN VARIATEUR A CONTROLE
VECTORIEL DE FLUX
On utilise directement le rseau 220 V. Le variateur utilis est un Varial VNTV de CEGELEC. La
limitation de courant a t rgle 150% du courant nominal de 6 A du variateur. Aucune rampe
dacclration na t impose. La consigne de vitesse a t rgle 1500 tr/mn. Le codeur incrmentalinstall en bout darbre du moteur doit tre raccord sur le variateur.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du courant moteur(voie A) et
de la vitesse (voie B).
Lappel de courant au dmarrage est
matris et lon peut noter lvolution
progressive de la frquence dlivre par
londuleur du variateur au cours du
dmarrage.
Loscillogramme ci-contre reprsente
lvolution du couple instantan (voie
RA) et de la vitesse (voie RB).
On note que les oscillations du couple
instantan ont cette fois disparu lors
du dmarrage.
Le contrle vectoriel de flux permetdonc de traiter les rgimes transitoires
ce que ne permettait pas de faire le
variateur prcdent.
Le variateur contrle vectoriel de flux
est apte matriser le coupleinstantan. Bien sr cela se paie
puisque le codeur permettant de reprer
la position du rotor du moteur doit tre
raccord.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
8/64
8
A5. CONCLUSION
Les dmarreurs de moteurs (non tudis ci-dessus) sont utiliss pour limiter lappel de courant lors
de la mise sous tension, et en aucun cas faits pour contrler le couple instantan.
Les relevs prcdents mettent en vidence les spcificits de chaque famillede variateur de vitesse et les performances que lon peut en attendre. Ils doiventpermettre de dcrypter les catalogues const ruct eur .
Prenons lexemple de lALTIVAR 66 propos par SCHNEIDER : il sagit dun variateur de
vitesse pour moteur asynchrone prsent avec 2 options.
Dans la version de base, le constructeur indique une gamme de vitesse de 1 20. Cela signifie
que si la vitesse de synchronisme est de 1500 tr/min, le constructeur garantit les performances de
min/75
20
1500tr= jusquau synchronisme.
Il sagit alors dun variateur U/f = constante qui possde plusieurs lois de commande en U/f
suivant les applications souhaites (couple constant ou variable). Y figurent galement quelques
amliorations possibles comme la compensation RI qui permet de ne pas ngliger linfluence de la
rsistance statorique (*) et la compensation de glissement (**). On parle alors de variateur E/f =
constante. Mais, il ne faudra pas lui demander de performances au-dessous de 75 tr/min.
Toutefois, il existe une option dite SFVC : sensorless flux vectoriel control en Anglais ou
contrle de flux sans capteuren franais, qui permet de faire passer la gamme de vitesse de 1 100.
On pourra donc descendre jusqu 15 tr/min. Lalgorithme de commande de londuleur est plus
complexe que dans le cas dune commande en U/f classique, mais il nest toujours pas question dedemander du couple larrt cest dire vitesse nulle.
Si lapplication lexige, on passera alors lALTIVAR 66 contrle vectoriel avec capteur (il
sagit dun capteur de position du rotor : codeur incrmental). La carte de commande doit alors tre
adapte pour recevoir et traiter les informations du codeur. Dans ce cas la gamme de vitesse passe de 1
1000 .
Avec un tel produit, il est alors possible dexiger du couple larrt, mais ilaura fallu en payer le prix en rajoutant le codeur la facture !
VS
RSIS
LS
R'R/gI'R
L'R
VE
ISo
(*) : La commande en U/f se justifie partir du schma quivalent classique de la machine asynchrone en
ngligeant la rsistance statorique. Si lapproximation est bien justifie grande vitesse (RSIS ngligeable devant la
tension VS), elle ne lest plus petite vitesse puisque RSIS garde peu prs la mme valeur alors que VS est
beaucoup plus faible (U/f = cste)
(**) : La compensation de glissement permet de mieux maintenir la vitesse constante du moteur entre un
fonctionnement vide et un fonctionnement en charge. La frquence de londuleur est alors suprieure en charge
pour tenir compte du glissement.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
9/64
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
10/64
10
B1 . INTRODUCTION
Tout problme de motorisation avec une machine lectrique peut tre schmatis de la sorte :
MOTORISATION
+
SYSTEME entraner
Grandeurs de commande :tension, courant, frquence
Grandeur rgle :vitesse, couple, position
Le choix de la motorisation se fera en fonction de diffrents critres :
- cot de la fabrication
- facilit du rglage
- problmes de maintenance
La machine courant continu a rgn en matre jusqu ces dernires annes car bien que le cot
de fabrication soit assez lev, les possibilits de rglage (dcouplage naturel entre le courant dans
linduit et le flux) sont simples mettre en uvre et faisaient la diffrence mme si la maintenance pose
problme ( balais, collecteur).
Depuis quelques annes, grce la mise au point de calculateurs temps rel rapides, on
exploite de plus en plus les machines asynchrones. Les machines cage sont de fabrication simple et ne
posent pas de problmes de maintenance. Par contre, on ne savait pas raliser le dcouplage courant-flux
car on ne peut jouer que sur les caractristiques de la tension du moteur : il ny a pas dexcitation ! Cest
maintenant chose faite.
Par ailleurs, pour tudier une machine lectrique, le but de llectrotechnicien est dlaborer un
modle aussi fin que possible qui puisse rendre compte de la ralit. On sait que le dimensionnement
dune motorisation se fait en prenant en compte les rgimes transitoires ( mise en vitesse ) qui sont plus
contraignants que les rgimes tablis. Il importe donc que les modles soient utilisables aussi bien en
rgime statique que dynamique. Cest facile faire pour le moteur courant continu, a lest beaucoup
moins pour le moteur asynchrone.
De nombreuses applications industrielles ncessitent un contrle de vitesse ou de position. La
relation fondamentale de la dynamique permet dcrire :
re CCdtdJ =.
o Ce reprsente la somme des couples moteurs appliqus, Cr la somme des couples rsistants et J le
moment d'inertie de l'ensemble des parties tournantes. On obtient ainsi la vitesse par :
+=t
reo dtCCJ
0
)(1
, ce qui montre que le contrle de la vitesse (ou de la position qui est la
primitive de la vitesse) passe par le contrle du couple.
La machine courant continu excitation spare est bien adapte un contrledu couple car il suffit de contrler son courant induit. Le but atteindre est de faire la
mme chose avec la machine asynchrone.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
11/64
11
B2. MODELISATION EN REGIME PERMANENT
Bibliographie :
1. Cours dElectrotechnique : T1 Machines tournantes courants alternatifs par JL
DALMASSO (Collection DIA/BELIN)
2. Cours dElectrotechnique : T3 Machines courant alternatif par Cl TOUSSAINT et M
LAVABRE (Collection DUNOD)
3. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER(Editions TECHNIP)
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
12/64
12
B2. 1 . PRINCIPE DU FONCTIONNEMENT
1.1. Description sommaire de la machine (schma avec p =1)
Figure 1
xS1
xS2
xS3
xR3
xR2
xR1
ROTOR
STATOR
O
= (OxS1, OxR1)
s
entrefer
Le stator dune machine asynchrone est
identique celui dune machine synchrone : 3
enroulements coupls en toile ou en triangle sont
aliments par un systme de tensions quilibres. Il
va en rsulter (Thorme de FERRARIS) lacration dun champ magntique glissant dans
lentrefer de la machine. La vitesse de glissement de
ce champ par rapport au stator est:
S = S/p
o S dsigne la pulsation du rseau dalimentation
triphas statorique et p le nombre de bobines dechaque bobinage. p dsigne galement le nombre depaires de ples du champ (une paire tant constitue
dun ple Nord et dun ple Sud).
Remarque : le stator tant soumis un champ
variable doit tre feuillet pour limiter les pertes par
courant de Foucault.
Le rotorde la machine supporte un bobinagesemblable celui du stator : bobinage triphas
mme nombre de ples que celui du stator. Ces 3
bobinages sont coupls en toile et court-circuits sur
eux-mmes. Ce type de rotor est dit bobin mais onpeut envisager un rotor plus sommaire constitu de
barres conductrices court-circuites par un anneau
conducteur chaque extrmit. On peut alors montrer
que ce rotor cage dcureuil se comporte comme un
rotor bobin. Le rotor tourne une vitesse angulaire
ne pas confondre avec S.
En rgime permanent et S sont des constantes
mais a nest pas le cas en rgime variable.
Remarque : Sur la Figure 1, les axes 1, 2, 3correspondent aux axes des phases statoriques et
rotoriques.
Posons :
= (OxS, OxR)
langle fait par une phase rotorique par rapport la
phase statorique correspondante (c'est pourquoi on a
omis l'indice). Lorsque la machine tourne, cet angle
est une fonction du temps. En rgime permanent,
cest la drive de qui est une constante.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
13/64
13
1.2. Analogie avec un transformateur
Supposons les bobinages rotoriques en
circuit ouvert et le rotor fixe. Lorsque le stator
est aliment, un flux variable engendr par les
courants statoriques va traverser chacun des
bobinages rotoriques : il y a couplagemagntique entre les enroulements. On peut
donc dfinir un coefficient dinductance
mutuelle entre le bobinage 1 du stator et chaque
bobinage du rotor.
Ainsi, on aura m1 = m.cos() si p=1 o mreprsente la valeur maximum de m1 obtenue
quand les bobinages 1 stator et rotor sont en
regard ( = 0).De la mme faon, on aura m2 =
m.cos(+2/3) et m3 = m.cos(+4/3). On
rcuprera donc aux bornes de chaqueenroulement secondaire une tension variable de
pulsation S lorsque le rotor est fixe et dont lavaleur efficace dpend du dcalage entre les
bobinages. La machine asynchrone peut tre
appeletransformateur champ tournant.
1.3. Principe du fonctionnement de la machine asynchrone
1.3.1. Cas d'un fonctionnement
hyposynchrone
Les 3 bobinages du secondaire sont court-
circuits et le rotor tourne une vitesse Savec
< S.Le rotor peroit donc un champ glissant la
vitesse relativeR = S - .Il en rsulte donc la cration dune fem induite
dans les bobinages rotoriques. Cette fem est la
pulsation R = p.R= p.(S- ) = p..S - p..
R = S p.. ou S = p.. + R
La frquence rotorique est : fR = p.nR =
p.(nS - n) en dsignant par n la frquence de rotation
du rotor et nS celle du champ glissant.
La valeur efficace de la fem est ER =
(/2)KBR.NR.fR.Pavec KBR : facteur de bobinage dun enroulementrotorique
NR : nombre de brins de chaque enroulementrotorique
P : le flux sous un ple du champ glissantCette fem court-circuite sur lenroulement
va donner naissance un courant (dont lintensit est
limite par limpdance de ce dernier). Linteraction
entre ce courant et le champ glissant va donner
naissance des forces sexerant sur les brins du
rotor dont le moment par rapport laxe de rotation
constituera le couplede la machine. On notera que ce
couple nexiste que si la fem est non nulle cest dire
si fR est non nulle : le rotor ne doit pas tourner au
synchronisme pour quil y ait couple do le nom demachine asynchrone.
Dfinition: on appelle glissement la grandeur :g =
(nS - n)/nS = (S - )/SCette grandeur sans dimension sexprime en % . On a
fR = g.fS ou R = g.S.
La fem ER = (/2)KBR.NR.g.fS.P est doncdirectement proportionnelle au glissement.
1.3.2. Cas d'un fonctionnementhypersynchrone
Dans ce cas, on a > S .
R = p.R= p.( - S) = p.. -p.S
R = p.. - S ou S = p.. - R
En rsum quel que soit le fonctionnement :
S = p.. R+ : pour un fonctionnement moteur hyposynchrone- : pour un fonctionnement gnrateur
hypersynchrone
Dans un fonctionnement classique sur rseau
industriel, la pulsation S est bien-sr impose, mais
si on alimente la machine avec un onduleur, il est
possible de faire varier S pour mieux contrler la
machine.
Remarque : finalement cest lunique source
dnergie (alimentation du stator) qui cre le champ
glissant et le courant induit. il ny a pas de
dcouplage comme avec une machine courant
continu ou une machine synchrone avec les 2
sources dnergie dont une spcifique au champ :
lexcitation.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
14/64
14
B2. 2. SCHEMA EQUIVALENT une phase de la machine EN REGIMEPERMANENT
Ce schma est tabli partir de lanalogie avec le transformateur
2.1. Notations
On suppose les enroulements statoriques
primaires coupls en toile. La machine est
alimente par un systme triphas de tensions
quilibres.
Au primaire (stator) les grandeurs
caractristiques sont :
-VS : valeur efficace de la tension applique sur
un enroulement de phase
-S : pulsation de cette tension- RS: rsistance dun enroulement
-lS : inductance de fuite dun enroulement
- ES : fem dveloppe aux bornes du bobinage
ES = (/2)KBS.NS.fS.P
Au secondaire (rotor) les grandeurs
caractristiques sont :
-R = g.S : pulsation des fem et courantsrotoriques
- RR : rsistance dun enroulement
-lR : inductance de fuite dun enroulement- ER : fem dveloppe aux bornes du bobinage
ER = (/2)KBR.NR.fS.g.P
2.2. Schma quivalent une phase du moteur rotor ouvert
Dans ce cas, le rotor nest pas entran : = 0 ou g = 1. La frquence rotorique est donc aussi f.On peut donc dessiner un schma quivalent de type transformateur comme suit :
Figure 2
VS
RS lS
ES mSR ERo
lRRRIS IR = 0
mme frquence au primaire et au secondaire
Le rapport de transformation m(nombre sans dimension) est dfini par
SBS
RBRRS
NK
NKm =
Pour prendre en compte lexistence de lentrefer et des pertes fer du moteur, le modle peut tre
affin en rajoutant lensembleRf // Lf comme indiqu sur la Figure 3.
Figure 3
VS ES mSR ERo
lRRRRS lSIS IR = 0
mme frquence au primaire et au secondaire
Rf Lf
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
15/64
15
2.3. Schma quivalent rotor ferm
Dans ce cas 0 et g 1. Si le secondaire est court-circuit, on peut crire :
ER = (RR + jgSlR) IR
o les amplitudes complexes sont la frquence gSet oERa une valeur efficace proportionnelle g.
En divisant par g, on obtient :ER/g = (RR /g+ jSlR) IR = ERo
On constate alors que le rapport ER/g ne dpend plus de g et a la mme valeur que dans un
fonctionnement rotor ouvert :ERo. Par ailleurs, la pulsation apparat comme tant la mme que celle duprimaire. On peut donc adopter le schma du transformateur modifi comme suit :
Figure 4
VS ES mSR ERo
lRRR/gRS lSIS
mme frquence au primaire et au secondaire
Rf Lf
IR
En ralit, ce schma nest justifi que pour les tensions. Or, les 2 ronds imbriqus reprsentent un
transformateur parfait pour les tensions et les courants.
Pour justifier ce schma pour les courants, on peut remarquer que si la chute de tension dans
limpdanceRS + jSlSau primaire est faible, on a pratiquement VS ES = (/2)KBS.NS.fS.P. Cette
expression montre que P est impos par la tension dalimentation VS. La machine asynchronefonctionne flux forc sous rserve que lapproximation nonce plus haut soit correcte.
Ceci complte lanalogie avec le transformateur. On en dduit un schma simplifi par cette
approximation :
Figure 5
VSES
mSR ERo
lRRR/gIS
mme frquence au primaire et au secondaire
Rf Lf
IR
2.4. Conclusion
Le schma quivalent tabli ci-dessus rsulte de la modlisation du transformateur. On dfinit un
schma quivalent pour une phase du moteur, mais ce schma na de sens que si le moteur est triphas,sinon le thorme de Ferraris ne sapplique plus.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
16/64
16
Signification physique de la rsistance RR /g:
On constate que le schma est purement lectrique et quil ne comporte pas la traduction de la
transformation de lnergie lectrique en nergie mcanique. On peut toutefois crire :
)1
(g
gRRR
g
RR
g
RRRR
RR
R +=+=
Le 1er terme RR de la dernire galit reprsente la rsistance relle de lenroulement alors que le
2me )1
(g
gRR
est une rsistance fictive qui traduit la transformation de lnergie. Cest pourquoi on
lappelle parfoisrsistance motionnelle.
On pourrait dfinir galement un schma quivalent en faisant disparatre le transformateur par
la technique habituelle en divisant limpdance du secondaire par le carr du rapport de transformation.
B2. 3. SCHEMA EQUIVALENT une phase de la machine EN REGIME
PERMANENT
Ce schma est tabli partir des coefficients dinductance
Bibliographie :
1. Confrence de JP HAUTIER ET JP CARON aux journes 3EI de 1993
2. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER
(Editions TECHNIP)
3.1. Hypothses simplificatrices
Le circuit magntique de la machine nest
pas satur et lon nglige les pertes fer.
De ce fait, tous les coefficients
dinductance propre sont constants et les
coefficients dinductance mutuellene dpendent
que de la position des enroulements.
3.2. Loi des mailles matricielle
Figure 6
La machine possde 6 enroulements (3 au
stator et 3 au rotor) coupls magntiquement.
Pour chacun deux on peut crire une
quation tire de la Figure 6 du type :
dt
dRieRiv
==
o reprsente le flux total traverslenroulement.
R
v e
i
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
17/64
17
Pour lensemble des enroulements
statoriques, on crira en notation matricielle:
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
.
00
00
00
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
dt
d
i
i
i
R
R
R
v
v
v
Pour lensemble des enroulements
rotoriques, on crira en notation matricielle :
+
=
3
2
1
3
2
1
.
00
00
00
0
0
0
R
R
R
R
R
R
R
R
R
dt
d
i
i
i
R
R
R
3.3. Equations des flux
Figure 7
xS1
xS2
xS3xR3
xR2
xR1
ROTOR
STATOR
O
= (OxS1, OxR1)
s
On dsigne par :
- lS : le coefficient dinductance propre dun enroulement statorique (on ne confondra pas avec la
prsentation donne dans le paragraphe prcdent qui na rien voir puisquil sagissait dune
inductance de fuite)
- mS : le coefficient dinductance mutuelle avec chacun des 2 autres bobinages statoriques (on ne
confondra pas non plus avec un rapport de transformation : nombre sans dimension)
- m1, m2, m3 : les coefficients dinductance mutuelle avec les 3 bobinages rotoriques.
Compte tenu du schma ci-dessus, on crira :
m1 = mSR.cos(OxS1,OxR1) = mSR.cos()m2 = mSR.cos(OxS1,OxR2) = mSR.cos(+2/3) = mSR.cos(4/3)m3 = mSR.cos(OxS1,OxR3) = mSR.cos(+4/3) = mSR.cos(2/3)
o mSRreprsente la valeur maximale des coefficients dinductance mutuelle stator-rotor obtenue lorsqueles bobinages en question sont en regard lun de lautre.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
18/64
18
Lexpression du flux total travers le bobinage statorique 1 sera la suivante :
3322113211 ...)(. RRRSSSSSS imimimiimil +++++= (3.1)
Lcriture matricielle ci-dessous rsume les 3 quations de flux statoriques :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
.
cos.3/2cos.3/4cos.
3/4cos.cos.3/2cos.
3/2cos.3/4cos.cos.
.
R
R
R
SRSRSR
SRSRSR
SRSRSR
S
S
S
SSS
SSS
SsS
S
S
S
i
i
i
mmm
mmm
mmm
i
i
i
lmm
mlm
mml
[LS] [MSR]
[LS] : matrice [3,3] est appele matrice inductance du stator et [MSR] : matrice [3,3] galement, est la
matrice inductance mutuelle entre le stator et le rotor. [MSR] est une matrice circulante en ce sens que la2
meligne est obtenue partir de la 1
reen dcalant dun cran vers la droite chaque terme.
De faon similaire, on aura au rotor :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
.
cos.3/4cos.3/2cos.
3/2cos.cos.3/4cos.
3/4cos.3/2cos.cos.
.
S
S
S
SRSRSR
SRSRSR
SRSRSR
R
R
R
RRR
RRR
RRR
R
R
R
i
i
i
mmm
mmm
mmm
i
i
i
lmm
mlm
mml
[LR] [MRS]
[LS] : matrice [3,3] est appele matrice inductance du rotor et [MRS] : matrice [3,3] galement, est lamatrice inductance mutuelle entre le rotor et le stator.
On notera que la matrice des mutuelles du rotor est obtenue en transposant celle du stator.
3.4. Etude enrgime permanent
Dans ce cas, et S sont des constantes.
Les tensions statoriques forment un systme quilibr la pulsation S :
( )
( )
( )3/4cos.
3/2cos.
cos.
3
2
1
==
=
tVv
tVv
tVv
SSS
SSS
SSS
Les courants statoriques forment un systme triphas dphas :
( )
( )
( )SSSS
SSSS
SSSS
tIi
tIi
tIi
==
=
3/4cos.
3/2cos.
cos.
3
2
1
avec ),( 11 SSS vi=
Les courants rotoriques forment un systme triphas la pulsationR:
( )
( )( )RRRR
RRRR
RRRR
tIitIi
tIi
= =
=
3/4cos.3/2cos.
cos.
3
2
1
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
19/64
19
Dans lquation des flux, langle qui donne la position du rotor par rapport au stator est une
fonction du temps puisquil y a glissement. On crira = ten supposant qu t = 0 les axes du stator et
du rotor soient concidants. = p. prend en compte le nombre de ples de la machine. Les lments dela matrice des mutuelles sont donc aussi fonction du temps. En reprenant lquation (3.1) ci-dessus, ilvient :
332211111 ..... RRRSSSSS imimimimil +++= car 132 SSS iii =+
On pose :
lS-mS = LS : inductance cyclique statorique
Le mot cyclique signifie ici que lon prend en compte la contribution des 3 phases statoriques
mme si le flux correspondant LS .iS1 semble ne provenir que du courant iS1.
)...(. 33221111 RRRSSS imimimiL +++=
Calculons )...( 332211 RRR imimimA ++= avec = .t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3/4cos.3/2cos3/2cos.3/4coscos.cos. ++= RRRRRRRSR ttttttImA
( )( ) ( )RSRSRRRRSR tImtImA =+= cos..2
3cos..
2
3
o lon constate que A est la mme pulsation que le 1er terme de 1S .
On pose :
MSR = 3/2mSR : inductance mutuelle cyclique
Finalement, lexpression du flux devient :
)cos(.)cos(.1 RSRSRSSSSS tIMtIL +=
En utilisant la notation complexe habituelle aux grandeurs sinusodales la pulsation S, on a enomettant lindice :
S = LSIs + MSRIR (3.2)
De mme, la loi des mailles devient :
VS = RSIS + jSs (3.3)
Au rotor, on pourra crire pour les flux :
R = LR.IR + MSR.IS (3.4)
Ainsi que la loi des mailles :
0 = RR.IR+jSg..R (3.5)
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
20/64
20
3.5. Schma quivalent en rgime permanent : modle inductances couples
En reprenant les quations (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) prcdentes on peut crire :
VS = RSIS+jSLSIS + jSMSR.IR
0 = RR/gIR+jSLR.IR + jSMSR.IS
On en dduit un schma aux inductances couples :
Figure 8
Tel quel, ce schma fait penser un transformateur sans que lon puisse reconnatre le schma de
la Figure 5. On ne confondra surtout pas MSR avec le rapport de transformation m.
EXERCICE : montrer que le rapport de transformation mSR est gal MSR/LS
3.6. Schma quivalent en rgime permanent: modle inductances rparties
Les quations grises ci-dessus peuvent tre rcrites comme suit :
VS = RSIS+jS(LS-MSR)IS + jSMSR(IR+IS)
0 = (RR/g)IR+jS(LR-MSR)IR + jSMSR(IS+IR)
Ces quations permettent de dessiner le schma Figure 9 ci-dessous :
Figure 9
VS
RS L1 =LS-MSRIS
MSR
RR/gIR
L2 =LR-MSR
L1 est appele inductance cyclique de fuite du stator et L2 inductance cyclique de fuite durotor. Dans un moteur sans fuites de flux ces valeurs seraient nulles !
RS
VS LS
IS
RR/g
IRMSR
LR
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
21/64
21
3.7. Schma quivalent en rgime permanent: modle fuites totalises au rotor
Figure 10
VS
RSIS
LS
R'R/gI'R
L'R
VE
ISo
Si la machine tourne au synchronisme (g = 0), les 2 schmas de la Figure 9 et de la Figure 10
doivent tre quivalents, ce qui donne la valeur de linductance verticale : LS. Compte tenu de lquation
(3.3): VS = RSIS + jSs le terme jSs sidentifie VE.
Il est alors possible dcrire : S = LS.ISo o ISo est le courant absorb vide (g = 0) sur la Figure10.
Les nouvelles grandeursIR, LR et RRsont, elles, dfinir.
On a VE = jS.S etS =LS.IS +MSR.IR : quation(3.2)
Il vient :
RSoR
S
SR
S
SS III
L
M
LI '=
=
ce qui permet didentifier IR:
R
S
SRR I
L
MI ='
Essayons maintenant didentifier les lments : LR et RR en repartant de la loi des mailles
rotorique : 0 = (RR/g)IR+jSLRIR + jSMSRIS
+= RS
R
SR
RSS Lj
g
R
M
IIj , soit en reportant ISdans lexpression de VE
RSRSRSR
SR
RSRSRSSSSSE IMjLj
g
R
M
ILIMILjjV +
+=+== )( ce qui permet dexprimer VE
uniquement partir de IR:
+= )( SR
SR
RSS
R
SR
SRE M
MLLj
gR
MLIV Exprimons IRen fonction de IR:
+
=
+= SR
SR
RS
SR
SS
R
SR
SRSR
SR
RSS
R
SR
S
SR
SRE M
M
LL
M
Lj
g
R
M
LIM
M
LLj
g
R
M
L
M
LIV
2
')('
+
=
+
=
RS
SRR
SR
SS
R
SR
SR
S
SRR
SR
SS
R
SR
SRE
LL
ML
M
Lj
g
R
M
LI
L
ML
M
Lj
g
R
M
LIV
222222
1''
Compte tenu de la Figure 10, on peut aussi crire :
+
= RSR
RE Ljg
R
IV '
'
'
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
22/64
22
ce qui permet de trouver : RSR
SR R
M
LR .'
2
= et R
SR
SR
RS
SR
SR
SR L
M
LL
LL
M
M
LL
222
1'
=
= en
posant :RS
SR
LL
M2
1=
o
est appel coefficient de dispersion de BLONDEL
Interprtation physique du modle :
Interprtation de :
Le termeS
SR
L
Mreprsentele rapport de transformation de la machine dans le sens statorrotor :
mSR. De mme,
SR
R
M
Lreprsentele rapport de transformation de la machine dans le sens rotor stator :
mR S.
Si la machine na pas de fuites de flux, ces 2 rapports de transformation doivent tre inverses (il
suffit de se souvenir que dans un transformateur classique, cela reprsente le rapport des nombres de
spires des bobinages).
Dans ce cas :SR
R
S
SR
M
L
L
M= , ce qui conduit = 0.
Le coefficient de dispersion de Blondel permet destimer les fuites de flux de la machine.
Typiquement, on a : 10%.
Interprtation de RSR
SR R
M
LR .'
2
= et R
SR
SR L
M
LL
2
'
=
( )2'
RS
RR
m
RR
= et2
)('
RS
RR
m
LL
=
On peut donc dire que le modle est quivalent celui de la Figure 11 :
Figure 11
ISoVS VE mSR
lR = NRRR/gIS
mme frquence au primaire et au secondaire
LS
IR
RS
Ca nest autre que le modle de la Figure 5, aux pertes fer prs puisquelles nont pas t prises en compte et
avec une convention oppose pour le courantI
R. Mais cela donne une signification claire aux diffrents lments,alors que ceux introduits par lanalogie transformateur taient issus dune approximation.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
23/64
23
3.8. Schma quivalent en rgime permanent: modle fuites totalises au stator
En procdant comme prcdemment, il est possible de donner un schma o lon ramne les fuites
au niveau du stator. Le schma est alors le suivant :
Figure 12
VS
RSIS
L"S
R''R/g I''RNS
VE
ISo
V'E
Comme dans le paragraphe prcdent, jSSsidentifie VE .
Pour exprimer NS, on reprend les quations des flux (3.2) S = LSIs + MSRIRet(3.4) R = LR.IR +MSR.IS en exprimant IRen fonction de IS.
( )SSRRR
R IML
I = 1 soit ( ) RR
SRS
R
SRSSSRR
R
SRSSS
L
MI
L
MLIM
L
MIL
+
=+=
2
R
R
SRSSR
R
SRS
SR
SRSS
L
MIL
L
MI
LL
ML
+=
+
=
2
1
Le terme SN peut alors tre identifi SL et RR
SRSE
L
MjV
= '
Pour quil y ait quivalence entre les schmas, notamment vide (g = 0), on doit avoir
( )R
SRSS
LMLL
2
1'' ==
Il est alors possible den dduire la valeur du courant ISo :
SR
R
R
SR
R
R
SR
ss
ESo
M
L
M
L
M
Lj
VI
=
==
2''
'
Or (3.4) R = LR.IR + MSR.IS. Do RSoRSR
R
SR
RS III
M
L
MI ''=
= daprs la Figure 12.
On en dduit RSR
RR I
MLI =''
De la Figure 12, on tire la loi des mailles : RR
E Ig
RV ''
''' = ou R
SR
RRR
R
SRS I
M
L
g
R
L
Mj .
''=
De(3.5) 0 = RR.IR+jSg..R,on tire : RR
RS Ig
Rj = , soit en rcrivant la ligne du dessus :
R
SR
RRR
R
SRR IM
L
g
RI
L
M
g
R.
''=
, do :
R
R
SRR R
LMR
2
''
=
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
24/64
24
Soit finalement les 2 expressions : RR
SRR R
L
MR
2
''
= et R
R
SR
R
SRS L
L
M
L
ML
22
''
==
Interprtation physique du modle :
Le coefficientR
SR
LM reprsente 1/ mR S.
Lintrt du schma de la Figure 12 est de faire apparatre 2 lments : LS et RR qui auront des
courants en quadrature. Celui qui circule dans LS est gnrateur de flux et celui qui circule dans RR
gnrateur de couple comme on le verra dans la suite.
Le fait quils soient en quadrature est une premire approche de la commande vectorielle en
rgime permanent. On y retrouve la quadrature entre le champ magntique dexcitation et le courant
induit de la machine courant continu. Il est toutefois important de noter quil ny a ce stade aucun
moyen de rgler de faon indpendante chacun de ces 2 courants, ce qui constitue rellement la
commande vectorielle.
B2. 4. COUPLE ELECTROMAGNETIQUE EN REGIME PERMANENT(alimentation du moteur avec un rseau frquence fixe)
Pour exprimer le couple lectromagntique, on va utiliser le modle tabli la Figure 11.
Figure 11
ISoVS VE mSR
NRRR/gIS
mme frquence au primaire et au secondaire
LS
IR
RS
mSR sera not plus simplement m.
Le couple se calcule partir de la puissance lectromagntique par SEE TP =
4.1. Expression du couple TE
La puissance lectrique transmise au rotor de la machine est consomme dans les rsistancesg
RR :
SERe TIg
RP == 23
Le schma montre que :
( )
( ) 22
2
2
/
*
SRR
E
R
NgR
VmI
+=
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
25/64
25
On obtient donc :
( )
( ) ( )22
2
/
/3
SRR
RE
ENgR
gR
s
mVT
+
=
La tension EV nest pas directement accessible. On peut la remplacer par SV si la chute de tension
dans la rsistance SR est ngligeable, ce qui nest pas toujours le cas.
4.2. TE = f(g)
La reprsentation de cette fonction est faite EV = constante. On peut constater que toutes choses
gales par ailleurs, le couple est proportionnel au carr de la tension dalimentation. Le point g = 1
correspond un dmarrage de moteur.
La partie 0>
=S
S
n
nng correspond un fonctionnement moteur hyposynchrone et la partie
0TE sans que lquilibre puisse se rtablir. Le moteur dcrochera .
Le seul point de fonctionnement stable sera donc le point M1.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
27/64
27
4.4. TE = f(R)
Nous allons donner une autre expression du couple en utilisant la variable R, pulsation descourants au niveau rotorique. Le glissement a t dfini au paragraphe 1.3. pour un fonctionnement
moteur parS
S
n
nng
= . Dans ce cas g est positif, mais il devient ngatif pour un fonctionnement
gnrateur. On crira :S
Rg
= , le signe + correspondant un fonctionnement moteur et le signe un
fonctionnement gnrateur. Lexpression du couple devient :
( ) ( ) ( ) ( )222
22
22
22
/
/3
/
/3
RRR
RR
S
E
SRRSR
RSR
S
E
E
NR
RVpm
NR
RVpmT
+=
+=
(4.1.)
Figure 15
R
TE
RR/N
TEMAX
La Figure 15 a la mme allure que celle de la Figure 13, mais la variable est maintenant R. Le
couple passe par une valeur maximale2
22
2
3
SR
E
EMAX
N
VpmT
= pour une valeur de
R
R
RN
R= . On na pas
reprsent ici la partie correspondant au fonctionnement gnrateur car elle est symtrique par rapport
laxe R.Lquation (4.1.) montre que le couple en rgime permanent ne dpend que de la pulsation Rpour un moteur aliment sur un rseau industriel frquence et tension fixes.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
28/64
28
B2. 5. SOLUTIONS CLASSIQUES POUR LA VARIATION DE VITESSE
5.1. Dmarrage des moteurs sur un rseau industriel frquence fixe
On ne peut pas parler dans ce cas de variation de vitesse puisquil sagit simplement de passer de la
vitesse nulle la vitesse de fonctionnement. On souhaite simplement limiter lappel de courant au
dmarrage sans trop limiter le couple. Les solutions classiques sont :
- dmarrage toile triangle
- insertion de rsistances ou dinductances en srie avec le stator
- dmarrage par autotransformateur
- utilisation de produits spcifiques (Altistart de Tlmcanique par exemple)
Toutes les solutions prcdentes sont utilisables sur des moteurs cage. Dans le cas o le moteur
est rotor bobin, il est possible de faire varier la vitesse en utilisant un rhostat rotorique (classique ou
lectronique).
5.2. Variateurs scalaires U/f = constante
Figure 11
ISoVS VE mSR
NRRR/gIS
mme frquence au primaire et au secondaire
LS
IR
RS
Ona montr dans ce cas (B2. 4. 4.4.)que le couple lectromagntique en rgime permanent est
donn par :
( ) ( )222
22
/
/3
RRR
RR
S
E
E
NR
RVpmT
+=
La valeur maximale du couple est donne par2
22
2
3
SR
E
EMAX
N
VpmT
= pour
R
R
RN
R= .
Alimentons la machine partir dun onduleur pour lequel on a accs aux rglages de la frquencede travail et la valeur efficace de la tension VE.
2
22
2
3
SR
E
EMAX
N
VpmT
= ou
22
2
3
=
S
E
R
EMAX
V
N
pmT
Si lon peut travailler avec un rapport =S
EV
constante, cette valeur maximale du couple sera
constante quelque soit la frquence de travail.
De faon plus fine, si lon souhaite matriser le couple en rgime permanent de la machine, il
faudra imposer =S
EV
constante mais aussi la pulsation rotoriqueR.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
29/64
29
Le schma ci-dessous propose une structure de principe permettant le contrle du couple en
rgime tabli.
Figure 16
VS =K.S +
VS
S
p
R
+
Rseau EDF
Onduleur
M.L.I. MAS
Capteur devitesse
p
S = p R
K
Calculateur
La source dnergie est le rseau EDF mono ou triphas.
Le moteur est pilot par un onduleur de tension modulation de largueur dimpulsion.
Un capteur de vitesse permet daccder la grandeur . Un calculateur permet dlaborer laconsigne de pulsation de londuleur : RS p = . Rsera choisie en fonction du niveau de couplesouhait et lon prendra un signe + dans le cas dun fonctionnement moteur et le signe pour un
fonctionnement en freinage. S permet de fournir une consigne de tension VS pour londuleur : VS = K.S.
Ce type de commande correspond un fonctionnement autopilot au sens o la frquence qui est
gnre par londuleur est fonction de la vitesse relle de la machine. Il existe bien-sr des commandes
plus simples qui ne ncessitent pas de capteur de vitesse.
Critique de la conception :
On ne peut laborer que VS, alors que cest VE qui serait ncessaire ! Mais VE nest pas une
grandeur accessible. Ces 2 grandeurs diffrent toutefois assez peu dans le cas o lon peut ngliger lachute de tension dans la rsistance RS. Ceci est le cas vitesse assez proche de la vitesse nominale mais a
nest plus vrai aux faibles vitesses car on peut montrer que RSIS ne dpend pas de la vitesse couple
constant.
Voil pourquoi, le couple en rgime permanent tabli ne sera pas bien matris basse vitesse
avec ce type de variateur.
Les constructeurs proposent des profils de lois de commande VS/S non constants pour sadapteraux diffrents types de charges rencontres dans lindustrie (pompes, ventilateurs, etc), de la
compensation RI pour essayer de tenir compte de la chute de tension statorique, de la compensation de
glissement dans le cas o il ny a pas de capteur de vitesse.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
30/64
30
5.3. Variateurs contrle de courant
Reprenons le schma propos la Figure 12.
Figure 12
VS
RSIS
L"S
R''R/gI''R
NS
VE
ISo
V'E
On va exprimer ici le couple en rgime tabli partir du modle fuites totalises au stator.
La puissance lectromagntique est donne par :
SER
R
e TIg
RP == 2''
''3
La relation du diviseur de courant permet dcrire :
( )
( )2
2
2
2
22
2
22
''''
''
''
1
/''
1
/''
1
''
+
=
+
=
g
RL
LI
LgR
gRII
R
SS
SS
S
SSR
R
SR
( )
( )2
2
2
22
''''
''''
+
=
R
R
S
S
SR
RL
LII
carS
Rg
=
Ce qui permet de donner une expression autre de TE:
( )
( )
( )
( )2
2
22
2
2
2
22
''''
''
.''.3''
''
''.
''.3''.
''.
3
+
=
+
=
=
R
R
S
R
R
SS
R
R
S
S
S
R
R
R
R
S
E
RL
R
ILpR
L
LI
RpI
g
RT
Cette expression montre que le couple sera impos par une valeur de Ret une valeur de IS. Il estdonc possible dimaginer une structure identique celle donne la Figure 16. La seule diffrence rsidedans le fait que londuleur de tension sera remplac par un commutateur de courant dont on contrlera le
courant.
Cette solution a notamment t retenue par la SNCF (Z20500). La constante de
temps dun train au dmarrage tant longue, il est facile de comprendre que lon se
rapprochera dun fonctionnement en rgime tabli tout instant. Il en irait videmment
autrement de la motorisation dune machine outil avec des temps de raction trs
courts !
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
31/64
31
B3. MODELISATION EN REGIME QUELCONQUE
Bibliographie :
1. Machines lectriques : T1 par J CHATELAIN (Collection DUNOD)
2. Introduction llectrotechnique approfondie par J LESSENNE, F NOTELET, G
SEGUIER (Collection Technique et Documentation)
3. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER
(Editions TECHNIP)
La comprhension de cette partie ncessite un minimum de connaissances sur le
calcul matriciel. On trouvera enannexeun rsum des proprits les plus importantes(on pourra consulter un ouvrage de maths appliques : AZOULAY/AVIGNANT T2 BTS
et IUT Collection Edisciences).
En lectrotechnique, il nest pas rare dtre confront des changements de base. Ainsi, dans
ltude des rseaux dsquilibrs, on utilise un changement de base permettant dexprimer tout rseau (v1,
v2, v3) partir de 3 grandeurs appeles :
- composante directe : vd
- composante inverse : vi- composante homopolaire : vo
=
o
i
d
v
v
v
aa
aa
v
v
v
1
1
111
2
2
3
2
1
avec )3/2.exp( = ja : oprateur rotation de 3/2
La matrice
=
1
1
111
2
2
aa
aaP est appele matrice de changement de base.
On a dj rencontr des matrices dans la 1re partie :
- B2.3. 3.2. matrice rsistance - B2.3. 3.3. matrice inductance au stator et au rotor et matrice inductance mutuelle
La matrice rsistance est simple : elle est diagonale car elle na de composantes non nulles que
sur sa premire diagonale. Par contre, les matrices inductance et inductance mutuelle sont plus
complexes.
Le but dun changement de base est de rendre leur criture plus simple dans la nouvelle base.
Cela consiste en pratique les rendre diagonales.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
32/64
32
B3.1. DIAGONALISATIONDUNE MATRICE INDUCTANCE
Considrons une matrice inductance statorique ou rotorique en omettant lindice.
[ ]
=
lmm
mlm
mml
L
Cette matrice est symtrique par rapport sa premire diagonale. Elle est alors diagonalisable. On
va donc essayer de la diagonaliser et de dterminer le changement de base permettant de le faire.
La dmarche consiste trouver lesvaleurs propresde cette matrice :
1. On calcule pour cela le polynme caractristique de cette matrice soit :
[ ] [ ] 0)det( = IL o la notation det dsigne le dterminant, [I] reprsente la matrice
unit 3 sur 3, cest dire : [ ]
=
100
010
001
I et une valeur propre.
2. On cherche ensuite les racines de ce polynme qui sont les valeurs propres.
3. La matrice diagonale est alors obtenue en rangeant les diffrentes valeurs propres sur la
1re
diagonale et la matrice de changement de base est donne par un ensemble de 3
vecteurs propres rangs dans le mme ordre que les valeurs propres.
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
+=
= lmmmmlmmmlllmm
mlm
mml
IL 2222
)det(
o lon a dvelopple dterminant suivant la premire ligne de la matrice.
[ ] [ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( )( ) 22 2.2..)det( mmllmlmlmmlmllIL +=+=
[ ] [ ] 0)det( = IL si lun ou lautre des 2 facteurs sannule soit de faon vidente 1 = l-m pour lepremier, 2 = l-m et 3 = l+2m qui sont les racines de lquation du 2
medgr en m du 2
mefacteur.
La matrice diagonale peut donc scrire :
[ ]
+
=
ml
ml
ml
Ldiag
200
00
00
Reste maintenant dterminer la matrice de changement de basequi pourra scrire :
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]321 VVVP = o les 3 vecteurs (V)reprsentent un vecteur propre associ chacune des valeurs propres.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
33/64
33
Pour 1 on aura :
( )
=
c
b
a
ml
c
b
a
lmm
mlm
mml
o a, b, c sont les coordonnes du vecteur propre.
puisquun vecteur propre vrifie la proprit : [ ]( ) ( ) VVL =
En effectuant le produit de matrices, on obtient pour la premire ligne :
malamcmbla =++ soit 0=++ cba
On vrifiera que pour les 2 autres lignes on obtient le mme rsultat.
Par consquent tout vecteur dont les composantes forment un systme triphas quilibr est un
vecteur propre. On peut donc choisir avec quelconque :
( )
=
3/4cos
3/2cos
cos
1
V
La 2me
valeur propre tant identique la premire, on doit choisir un vecteur propre qui soit
indpendant. Un choix possible est :
( )
=
3/4sin
3/2sin
sin
2
V
On montrera facilement que pour 3, la solution est un vecteur dont les 3 composantes sontgales :
( )
=
1
1
1
3V
Une matrice de changement de base possible (elle nest pas unique) est :
[ ]
=13/4sin3/4cos13/2sin3/2cos
1sincos
P
Lintrt de ce changement de base est quil rend la matrice inductance de dpart (seulement
symtrique) diagonale :
[ ]
+
=
ml
ml
ml
Ldiag
200
00
00
On se propose de montrer dans la suite que moyennant quelques amnagements pour la matrice depassage, toutes les matrices et notamment la matrice inductance mutuelle peuvent tre diagonalises.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
34/64
34
B3. 2. CHANGEMENT DE BASEDE PARK
La transformation de PARK est ancienne (1929), si elle redevient lordre du jour, cest toutsimplement parce que les progrs de la technologie des composants permettent maintenant de la raliser
en temps rel.
Soit (VS) le vecteur tension appliqu aux 3 phases statoriques de la machine :
( )
=
3
2
1
S
S
S
S
v
v
v
V
Ce vecteur constitu des 3 tensions est priori quelconque car on ne se limite pas dans cette
partie un rgime sinusodal.
La transforme de PARK correspond tout simplement au changement de base prcdemmentexpos qui permet de diagonaliser une matrice inductance .
La matrice de changement de base est [P(S )] dfinie par :
( )[ ]
=
1)3/4sin()3/4cos(
1)3/2sin()3/2cos(
1sincos
SS
SS
SS
SP
lindice S tant ici rajout pour signifier que lon est au stator.
Le paramtre S est au choix de lutilisateur. Il doit donc tre choisi judicieusement et peut
dpendre du temps.
On crira alors :
=
So
Sq
Sd
SS
SS
SS
S
S
S
v
v
v
v
v
v
.
1)3/4sin()3/4cos(
1)3/2sin()3/2cos(
1sincos
3
2
1
ce qui reprsente le changement de coordonnes :
- vSdest appele composante directe de PARK
- vSqest appele composante en quadrature (ou encore transversale)- vSo sapparente la composante homopolaire.
On notera que le changement de base scrit : ( ) ( )[ ]( )NBSAB VPV .= qui correspond la notationhabituelle des mathmaticiens, avec AB signifiant Ancienne Base ou base de dpart et NB Nouvelle
Base ou base de PARK.
Lechangement de basepour une matrice [M] donne alors (voir annexe) :
[ ] [ ] [ ] [ ])()( 1 SABSNB PMPM = o la notation [ ] 1)( SP dsigne la matrice inverse de [ ])( SP
(voir annexe).
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
35/64
35
Le vecteur
So
Sq
Sd
v
v
v
reprsente les coordonnes de PARK du vecteur initial
3
2
1
S
S
S
v
v
v
lors du
changement de base.
2.1. Transformation de PARKorthonorme
Le carr de la norme du vecteur est obtenu en faisant le produit scalairedu vecteur par lui mme
(voir annexe).
Il est alors facile de remarquer que les 3 vecteurs qui constituent la matrice de changement de base
[P(S )] ne sont pas norms. Par contre, on constate quils sontorthogonaux2 2 (produit scalaire nul).
On prfre dfinir un changement de base qui soit orthonorm en dfinissant la matrice de passage
[P1(S)]:
( )[ ]
=
3/12/3
)3/4sin(
2/3
)3/4cos(
3/12/3
)3/2sin(
2/3
)3/2cos(
3/12/3
sin
2/3
cos
1
SS
SS
SS
SP
( )[ ]
=
2
1)3/4sin()3/4cos(
2
1)3/2sin()3/2cos(
2
1sincos
3/21
SS
SS
SS
SP
La matrice de changement de base [P1(S )] tant orthonorme, le calcul de sa matrice inverse esttrs simple (voir annexe) :
[P1(S )]-1 = transpose [P1(S )] = [P1(S )]
t
On aura alors [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]ABt
SABSNB VPVPV .. 11
1 ==
2.2. Transformation de PARK en rgime sinuso dal tabli
Nous allons appliquer la transformation de PARK au cas trs particulier dun rgime permanent
sinusodal de tension :
+
++
=
)3/4cos(
)3/2cos(
)cos(
3
2
1
tV
tV
tV
v
v
v
S
S
S
S
S
S
en prenant tSS =
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
36/64
36
++
+
=
)3/4cos(
)3/2cos(
)cos(
2
1
2
1
2
1
)3/4sin()3/2sin(sin
)3/4cos()3/2cos(cos
3
2
tV
tV
tV
v
v
v
S
S
S
SSS
SSS
So
Sq
Sd
do lon peut tirer pour la premire ligne de la multiplication de matrice :
[ ])3/4cos().3/4cos()3/2cos().3/2cos()cos().cos(3
2 +++++= ttttttVv SSSSSSSd
cos2
3cos
2
3
3
2VVvSd =
=
en utilisant la relation [ ])cos()cos(2
1cos.cos bababa ++= et en remarquant que
( ) ( ) +=+ 3/22cos3/82cos tt SS et qualors les 3 termes en ( )...2cos tS se dtruisent
puisquil sagit dun systme triphas quilibr.
De la mme faon, on trouvera : sin2
3VvSq = et 0=Sov
Conclusion :Les composantes de PARK sont des constantes en rgime sinuso dal forc lorsque lon prend
pour S langle de synchronisme St .
On peut dailleurs se servir de cette remarque pour mmoriser les coordonnes de la matrice de
PARK :
Figure 17
vS1
-vSq.sinS
vSq
vSd.cosS
S = St
vSd
vS2
vS3
En projetant les vecteurs VSdet VSqsur la direction de VS1comme indiqu ci-dessus, on retrouve
les 2 premiers coefficients de la matrice de PARK, le terme en VSo ne figure bien-sr pas puisque VSo est
nul. Les coefficients numriques rsultent eux de lopration de normalisation.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
37/64
37
2.3. Conservation de la puissance lors duchangement de base
Appliquons la transformation de PARK au systme de tensions et courants statoriques :
Par dfinition la puissance lectrique instantane scrit : ( ) ( ) 332211 .... SSSSSSST
S ivivivIVp ++==
( ) ( )[ ]( )SPSS VPV .1 = et ( ) ( )[ ]( )SPSS IPI .1 = o lindice P indique dans la base de PARK
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 111 ..== S
T
SP
T
S
T
SP
T
S PVPVV (voir annexe)
( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )SPT
SPSPSS
T
SP IVIPPVp ... 11
1 ==
Le dernier terme de lgalit reprsente la puissance lectrique instantane dans la base de
PARK .
Il y a conservation de la puissance lors du changement de base orthonorm de PARK.
B3. 3. MISE EN EQUATION MATRICIELLE DE LA MACHINE
3.1. Loi des mailles
En reprenant les rsultats du paragraphe B2.3.3.2. (loi des mailles), il vient avec des notationsvidentes :
( ) [ ]( ) ( )SSSsdt
dIRV += . et [ ]( ) ( )RRR
dt
dIR += .0
avec [ ]
=
S
S
S
S
R
R
R
R
00
00
00
et [ ]
=
R
R
R
R
R
R
R
R
00
00
00
On constate que ce sont des matrices diagonales
3.2. Equations des flux
En reprenant les rsultats du paragraphe B2.3. 3.3. (quations des flux), il vient avec desnotations videntes :
( ) [ ]( ) [ ]( )RSRSSS IMIL .. += et ( ) [ ]( ) [ ] ( )ST
SRRRR IMIL .. +=
[ ]
=
SSS
SSS
SSS
S
lmm
mlm
mml
L et [ ]
=
cos)3/2cos()3/4cos(
)3/4cos(cos)3/2cos(
)3/2cos()3/4cos(cos
.SRSR mM
La matrice [ ]SL est symtrique et lon a une notation analogue pour [ ]RL . La matrice [ ]
T
SRM est latransposede [ ]Msr .
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
38/64
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
39/64
39
en posant SS
dt
d
= , ce qui ne signifie pas que cest une constante !
( )[ ] ( )[ ]
==
SqSSdS
SqSSdS
SqSdS
SSS
SSS
S
So
Sq
Sd
ss
s
Pdt
dP
).3/4cos().3/4sin(
).3/2cos().3/2sin(
.cos.sin
21
21
21
)3/4sin()3/2sin(sin
)3/4cos()3/2cos(cos
3
2.1
1
1
Il est alors facile de montrer en effectuant la multiplication des matrices que :
( )[ ] ( )[ ]( )
+
=
0
... 11
1 Sd
Sq
SSPss Pdt
dP
Do le rsultat final :
( ) [ ]( ) ( )
+
++=0
.. Sq
Sd
SSPSPSsP dt
d
IRV
ou encore en dveloppant les composantes de PARK pour le stator :
SqSSdSdSSddt
dIRV += ..
SdSSqSqSSqdt
dIRV ++= ..
SoSoSSodt
dIRV += .
On notera le couplage de VSdavec Sq et VSq avec Sd
On aura les mmes quations au niveau du rotor en changeant partout lindice S en R et en
annulant les tensions puisque le rotor est en court-circuit.
4.2. Equations des flux
On procde de la mme faon :
[ ]( ) [ ][ ]( ) [ ][ ]( )RPRSRSPSSSPS IPMIPLP .)(..)(..)( 111 +=
On remarquera ici langle S pour le stator et langle R pour le rotor.
En multipliant gauche par ( )[ ] 11
SP , il vient :
( ) [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ][ ]( )RPRSRSSPSSSSP IPMPIPLP .)(..)(.)(..)( 1
1
11
1
1
+=
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
40/64
40
La matrice [ ] [ ][ ])(..)( 11
1 SSS PLP
ne pose pas de problme, compte tenu de la formule de
changement de base pour les matrices : [ ] [ ] [ ] [ ])()( 1 SABSNB PMPM = , il ne peut sagir que de la
matrice diagonale obtenue en B3.1. soit :
+
SS
SS
SS
ml
ml
ml
200
00
00
[ ] [ ][ ])(..)( 11
1 RSRS PMP
est moins simple obtenir cause des 2 angles S pour le stator et
langle R pour le rotor qui interviennent.
En faisant co ncider les axes directs rotor et stator, le calcul se simplifie
Figure 19STATOR
ROTOR
axe direct
STATOR et ROTOR
S R
On a alors : S == R + +
[ ][ ]
=
2
1)3/4sin()3/4cos(
2
1)3/2sin()3/2cos(
2
1sincos
3
2.
cos)3/2cos()3/4cos(
)3/4cos(cos)3/2cos(
)3/2cos()3/4cos(cos
)(. 1
RR
RR
RR
SRRSR mPM
[ ][ ]
=
0)3/4sin()3/4cos(
0)3/2sin()3/2cos(0sincos
2
3)(. 1
SS
SS
SS
SRRSR mPM
[ ] [ ][ ]
=
000
010
001
2
3)(..)( 1
1
1 SRRSRR mPMP
o lon constate que lon a ici aussi une matrice diagonale, ce qui justifie lintrt de la transforme dePARK.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
41/64
41
En reprenant les notations de B2.3. 3.4. LS = lS - mSet MSR = 3/2 mSR, et en dveloppant chaqueligne, on obtient les composantes de PARK du flux statorique :
RdSRSdSSd IMIL .. +=
RqSRSqSSq IMIL .. +=
SoSSSo Iml ).2( =
Il est remarquable de constater que ce sont les mmes quations que celles qui ontt tablies en rgime sinuso dal permanent, mais ici elles sont applicables quelque soit
le rgime.
On notera cette fois, labsence de couplage entre les axes d et qde la transformation. Cest cela
qui est le plus intressant.
Figure 20
MSR
d
q
Ro
St
Ro StMSR
Au rotor, on aura les mmes quations en substituant lindice S lindice R .
4.3. Equations dfinitives de la machine
Introduisons les quations de flux dans les lois de mailles prcdentes.
On ne sintresse quaux 2 premires quations, la dernire tant inutile car on sarrange pour que
les composantes homopolaires soient nulles.
( )RqSRSqSSRdSRSdSSdSSd IMILI
dt
dMI
dt
dLIRV +++= ..
( )RdSRSdSSRqSRSqSSqSSq IMILIdt
dMI
dt
dLIRV ++++= ..
On dfinit une transformation un axe en posant pour les tensions par exemple : VS =VSd+ j VSq.
On obtient alors en faisant la somme de la premire ligne et de la seconde multiplie par j :
( )RSRSSSRSRSSSSS IMILjIdt
d
MIdt
d
LIRV ++++= ..
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
42/64
42
avec une quation semblable au rotor :
( )SSRRRSSSRRRRR IMILjIdt
dMI
dt
dLIR ++++= ).(.0
o lon a posdtd =
4.4. Cas particulier du rgime permanent
On a montr au B3.2. 2.2.que si le rgime est sinusodal permanent, les composantes de PARK
sont alors constantes. Les drives
dt
dsont alors nulles.
Les quations se simplifient de la faon suivante :
( )RSRSSSSSS IMILjIRV ++= ..
( ) ( )SSRRRSRRSSRRRSRR IMILgjIRIMILjIR ++=++= ...).(.0
( )SSRRRSRR IMILjI
g
R++= ...0
On retrouve formellement les mmes quations que celles du paragraphe B2.3. 3.5.mais cettefois pour les composantes de PARK. Cest mgic !
En rgime permanent les schmas quivalents prsents en B2. 3. sont donc valables pourles composantes de PARK.
B4. EXPRESSION DU COUPLE INSTANTANE EN REGIME
QUELCONQUE
B4. 1 . PUISSANCE INSTANTANEE
On a montr en B3.2. 2.3.que la transformation de PARK conservait la puissance instantane.
( ) ( )SqSqSdSdSSSSSSS
T
SE IVIVivivivIVp ...... 332211 +=++== en tenant compte du fait que le terme homopolaire sera nul.
Faisons intervenir les lois des mailles du paragraphe B3.4. 4.3. :
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
43/64
43
SqSdSSqSqSSdSqSSdSdSE Idt
dIRI
dt
dIRp ......
+++
+=
{ } { })..(.... 22 SdSqSqSdSSqSq
Sd
Sd
SqSSdS IIIdt
dI
dt
dIRIRp +
+
++=
Le premier terme entre accolades est facilement identifiable aux pertes joules. Le second termecorrespond de la puissance lectromagntique stocke dans le champ comme le montre le calcul ci-
dessous :
Figure 21Exprimons la puissance lectrique instantane mise en jeu dans le circuit parfait
ci-contre (pertes joule nulles) :
idt
dieiupE ...
+===
Cette puissance correspond de la puissance lectromagntique stocke dans le champ (ou le
flux). Il ne sagit pas de puissance dissipe par effet Joule puisque le circuit est parfait, par ailleurs le
circuit ci-dessus ne met pas vidence de transformation dnergie.
Reste donc le 3me terme entre accolades : ce terme ne peut donc reprsenter que la puissance
lectrique transforme en puissance mcanique puisque notre modlisation nglige les pertes fer.
B4. 2. COUPLE INSTANTANE
Cette puissance peut se mettre sous la forme :
)SdSqSqSdSSEE IItp ... ==
( )SdSqSqSd
S
S
E IIt ... =
SdSqSqSdE IIpt ... =
On a utilis la lettre tE pour dsigner le couple dans cette expression pour la diffrencier de la
notation TE utilise en B2.4. car il sagissait du couple en rgime permanent ; p dsigne ici le nombrede paires de ples de la machine.
B4. 3. AUTRES EXPRESSIONS DU COUPLE INSTANTANE
Il est possible dobtenir dautres expressions du couple instantan en utilisant les expressions des
flux statoriques :
( ) ) )SdRqSRSqSSqRdSRSdSE IIMILIIMILpt ... ++=
)SdRqSqRdSRE IIIIMpt = .
i
e
u
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
44/64
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
45/64
45
B5. SIMULATION du fonctionnement de la machine asynchrone
dans la base de PARK
B5. 1 . RESUME DES EQUATIONS DISPONIBLES
On dispose des quations de tensions stator :
SqSSdSdSSddt
dIRV += ..
SdSSqSqSSqdt
dIRV ++= ..
avec des relations symtriques du ct rotor :
RqRRdRdRdt
d
IR += ..0
RdRRqRqRdt
dIR ++= ..0
On dispose des quations de flux stator :
RdSRSdSSd IMIL .. +=
RqSRSqSSq IMIL .. +=
avec des relations symtriques du ct rotor :
SdSRRdRRd IMIL .. +=
SqSRRqRRq IMIL .. +=
Rajoutons une quation de couple :
( )SdRqSqRdR
SR
E IIL
Mpt = .
et la relation entre les frquences vue au dbut :
RS p += .
ainsi que la relation fondamentale de la dynamique :
RE ttdt
dJ =
.
En utilisant la notation de Laplace, il est possible de dessiner un schma fonctionnel de la MAS,
tout comme on le fait pour une Mcc. Le schma est un peu plus compliqu, c'est tout !
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
46/64
46
B5. 2. DIAGRAMME FONCTIONNEL
La copie dcran ci-dessus reprsente un cran de travail obtenu sous MATLAB. On reconnatra(peut-tre ?) ci-dessus la mise en quation qui rsulte des quations rappeles.
La machine asynchrone prsente des entres :
- VSd(1 ) , VSq (2 ) ,S(3) : composantes de PARK et pulsation de la tension dalimentation
- le couple rsistant Cr(4) , caractristique de la charge
Les sorties suivantes sont accessibles : ISd(4 ) , ISq (5 ) composantes de PARK du courant moteur, tE(2 ) :couple moteur (Ce) et (1 ) vitesse de rotation (W).
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
47/64
47
B5. 3. DEMARRAGE DIRECT DU MOTEUR
Il faut encore raliser la transforme de PARK du rseau d'alimentation pour
l'appliquer au schma fonctionnel du moteur et calculer l'angle S par intgration de S.
C'est ce qui ralise le schma MATLAB qui suit :
Le bloc MAS correspond la modlisation faite plus haut. source_tri est une source
triphase quilibre de tension de valeur efficace 230 V et de frquence 50 Hz. PARK DIRECT permet de calculer les composantes de PARK du rseau de tension et PARK INVERSE permet de
reconstituer les courants absorbs par le moteur partir de ses composantes de PARK. Lintgrateur
permet dobtenir S partir de lintgration de S.
Bien sr pour que le modle tourne , il faut pouvoir disposer des coefficients de la machine, ce
qui suppose que lon puisse faire des mesures pour les dterminer.
Les valeurs numriques utilises dans le bloc M.A.S. ont t mesures sur un moteur de 3 kW.
Moment dinertie J= 50.10-3 kg.m2 Nombre de paires de ples p = 2 Inductance mutuelle cyclique MSR= 52 mH Inductance rotorique cyclique LR = 15.9mH Inductance statorique cyclique LS = 191mH Rsistance rotoriqueRR= 93 m Rsistance statoriqueRS= 1
On a suppos le couple rsistant nul lors de ce dmarrage.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
48/64
48
B5. 4. RESULTATS DE LA MODELISATION
Les 3 courbes suivantes dtaillent sparment l'volution du courant statorique, du couple et de la
vitesse .
Evolution du courant moteur
On reconnat le classique appel de
courant au dmarrage gal 5 fois environ le
courant nominal (le courant est mesur en A).
Aprs sa disparition, le rgime permanent est
atteint et il reste le courant correspondant au
comportement inductif du moteur vide.
Evolution du couple instantan
Loscillation de couple est llment
marquant de cet oscillogramme, puisque le
couple (mesur en N.m) monte jusqu plus
de 70 N.m. Il faudra donc prendre garde au
dimensionnement du couplemtre utilis si onne veut pas le dtruire. Aprs disparition du
rgime transitoire, le couple tend vers zro
puisque lon a annul le couple rsistant.
Evolution de la vitesse
Les oscillations de couple se fontvidemment ressentir sur lvolution de la
vitesse qui en rgime permanent se stabilise
157 rad/s puisque le moteur possde 2 paires
de ples.
Il est intressant de comparer ces rsultats de simulation avec les oscillogrammes prsents dans le
paragraphe A2. Les diffrences entre simulation et rsultats exprimentaux peuvent sexpliquer par lefait que le moteur peut tre satur et que bien sr les frottements ne sont pas ngligeables.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
49/64
49
C
Principe dunecommande flux
orient
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
50/64
50
C1 . Orientation du flux rotorique
Plusieurs stratgies sont envisageables. On va dcrire ici une commande flux rotorique orient.
Reprenons lexpression du couple lectromagntique faisant intervenir les flux rotoriques :
( )SdRqSqRd
R
SR
E IIL
Mpt = .
Avoir comme objectif dorienter le flux signifie quon souhaite quil nait quune composante sur
laxe d par exemple.
On aura donc comme objectifdannuler Rq . Cest bien sr le rle de la commande concevoir.
Le couple se rduira alors :
( )SqRd
R
SRE I
L
Mpt = . .
La stratgie consistera donc contrler de faon indpendante le terme de flux et le terme de
courant pour imposer un couple.
Figure 22
axe d
axe q
axe stator relS
axe rotor rel
R
R
La Figure 22 montre le flux rotorique orient sur laxe d.
Cela suppose donc de matriser galement langle S. Langle sera lui, donn par un capteur deposition (codeur incrmental ).
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
51/64
51
Rappelons les quations utilisables pour la commande :
Orientation du flux rotorique :
SdSRRdRRd IMIL .. +=
SqSRRqR IMIL ..0 +=
Loi des mailles au rotor :
RdRdRRqRRdRdRdt
dIR
dt
dIR +=+= ...0
RdRRqRRdRRqRqR IRdt
dIR +=++= ....0
car 0=Rq
C2. Estimation de Rd
Seules les grandeurs statoriques sont accessibles, les grandeurs rotoriques, elles, ne le sont pas, il
faut donc pouvoir les estimer partir des grandeurs statoriques.
A partir de SdSRRdRRd IMIL .. += et de RdRdRdt
dIR += .0 , on obtient
SdSRRd
R
R
Rd IMdt
d
R
L.. +=
soit SdSRRdR
R
Rd IMdt
d
R
L.. =+ qui peut tre rcrit en utilisant la notation de Laplace : s =
dt
d
SdSR
R
R
Rd IMsR
L.1 =
+ ou encore en posant R
R
R
R
L= , ( ) SdSRRRd IMs .1 =+
Sd
R
SR
estRd I
s
M.
1
_
+
=
Le flux Rd peut tre estim ( estRd_ ) partir du courant SdI grandeur statorique
accessible partir de la mesure des courants rels statoriques sous rserve de la
ralisation de la transformation de PARK.
R reprsente la constante de temps rotorique de la machine. Avec les valeurs numriques utilisesdans la modlisation, on a R =171 ms. Pour faire varier le flux Rd de la machine, il faut faire varier
SdI , mais cette variation prendra une dure non ngligeable (quelques R ) du fait du premier ordreprsent dans lexpression de Rd . On se souviendra qutablir un flux suppose lapport dune nergie et
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
52/64
52
que cela ne peut se faire de faon instantane. On prendra donc le temps de laisser le flux sinstaller dans
la machine avant de faire varier SqI pour obtenir le couple souhait : ( )SqRdR
SRE I
L
Mpt = . .
C3. Estimation de S et de S
Lestimation du flux sera ralisable sous rserve que lon puisse faire la transformation de PARK,
ce qui suppose la connaissance de langle S.
A partir de RdRRqR IR += ..0 et de SqSRRqR IMIL ..0 += on tire
Rd
RqR
R
IR
=
.
Sq
R
R
estRd
SR
estR IL
RM..
_
_ = , 0
_
_ .. RSqR
R
estRd
SR
estR dtIL
RM +
= et += estRestS __
S sera donc estim ( estS _ ) partir de la mesure de (codeur incrmental), et
du courant SqI grandeur statorique accessible partir de la mesure des courants rels
statoriques.
C4. Loi des mailles pour VSd et VSq
C4. 1 . loi des mailles pour VSd
Reprenons la loi des mailles statorique :
SqSSdSdSSddt
dIRV += ..
Nous allons exprimer cette tension en fonction des 2 grandeurs utiles la matrise du couple :
Rd et SqI .
Rd
SR
R
SdM
sI
+= .
.1 et RdSRSdSSd IMIL .. +=
A partir de SdSRRdRRd IMIL .. += on tire ( )SdSRRdR
Rd IM
L
I .1
=
soit ( ) RdR
SR
Sd
R
SR
SSdSRRd
R
SR
SdSSdL
MI
L
MLIM
L
MIL +
=+=
2
..
Rd
R
SR
Sd
SR
SR
SSdL
MI
LL
ML +
=
.1
2
Rd
R
SR
SdSSdL
MIL += .
o est le coefficient de dispersion de BLONDEL.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
53/64
53
De la mme faon, il faut exprimer Sq :
RqSRSqSSq IMIL .. +=
0.. =+= SqSRRqRRq IMIL avec lorientation du flux ce qui donne SqR
SR
Rq IL
MI .=
SqSSq
R
SR
SqSSq ILIL
MIL ...
2
==
Il est donc possible maintenant dcrire :
SqSSRd
R
SR
SdSSdSSd ILL
MIL
dt
dIRV ..
++=
SqSSRd
R
SR
SdSSdSSd ILsL
MIsLIRV ...... ++=
( ) ( )SqSSRd
R
SR
Rd
SR
R
SSSqSSRd
R
SR
SdSSSd ILsL
M
M
s
sLRILsL
M
IsLRV
...)1(
..... ++
+=++=
o la variable s reprsente loprateur de Laplace.
( )SqSSRd
R
SR
SR
R
SSSd ILsL
M
M
ssLRV
..
)1(.
+
++=
Cette relation exprime la loi des mailles interne la machine sur laxe den fonction
des 2 grandeurs que nous avons choisies pour exprimer le couple. On y remarque le
couplage entre laxe det laxe q.
C4. 2. loi des mailles pour VSq
Reprenons la loi des mailles statorique :
SdSSqSqSSqdt
dIRV ++= ..
que lon peut exprimer comme suit compte tenu des expressions du paragraphe prcdent :
( )SdSSqSSqSSq IL
dt
dIRV ++= ..
avec RdR
SR
SR
R
SRd
R
SR
SdSSdL
M
M
sL
L
MIL
+
+=+=
.1.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
54/64
54
( ) RdR
SR
SR
R
SSSqSSSqL
M
M
sLIsLRV
+
+++=
.1..
Cette relation exprime la loi des mailles sur laxe q en fonction des 2 grandeurs que
nous avons choisies pour exprimer le couple. On y remarque le couplage entre laxe detlaxe q.
C4. 3. Reprsentation des lois de mailles
La machine reoit une alimentation en tension ( VSdet VSq) et donne en sortie les grandeurs RdetIsq choisies pour la rgulation du couple
MACHINEASYNCHRONEdans la base de PARK
Rd
ISq
VSd
VSq
En rcrivant les lois des mailles pour VSd et VSq, on peut tablir un schma fonctionnel interne
la machine.
Pour VSdon a:
( ) SqSSRdR
SR
SR
R
SSSd ILsL
MM
ssLRV ..)1(.
+++= ce quidonne :
( ) ( )( )SqSSSd
R
SR
SR
R
SS
R
SR
SR
R
SS
SqSSSd
Rd ILV
sL
M
M
ssLRs
L
M
M
ssLR
ILV
.
.)1(
.
1
.)1(
.
.+
+
++
=
+
++
+=
SqSdRd IBVA .. +=
avec
( )
+
++
=
sL
M
M
ssLR
A
R
SR
SR
R
SS .)1(
.
1
et SS LB .=
Pour VSq on a:
( ) RdR
SR
SR
R
SSSqSSSq
L
M
M
sLIsLRV
+
+++=
.1..
ce qui donne :
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
55/64
55
( ) ( )
+
+
+=
+
+
+
= RdR
SR
SR
R
SSSq
SSSS
Rd
R
SR
SR
R
SSSq
SqL
M
M
sLV
sLRsLR
L
M
M
sLV
I.1
..
1
.
.1
RdSqSq DVCI = ..avec
( )sLRC
SS .
1
+= et
+
+=
R
SR
SR
R
SSL
M
M
sLD
.1
Le schma ci-dessous rsume les 2 quations prcdentes donnant Rdet Isq :
MACHINEASYNCHRONEDans la base de PARK
A
C
Rd
ISq
B
D
VSd
VSq
C5. Elaboration des lois de commande pour VSd et VSq
ISq_est
D.Rd_est
USd
B.ISq_est
Rd_est
MACHINEASYNCHRONEDans la base de PARK
A
C
Rd
ISq
B
D
Rd_con P.I.
USqP.I.ISq_con
Le schma ci-dessus reprsente la commande des grandeurs de rglage du couple.
Les mesures de Rd et Isd (appeles Rd_estet ISd_est) sont compares aux consignes. Un correcteur
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
56/64
56
P.I. (Proportionnel et Intgral) sur chaque entre permet la correction de lerreur.
On aura donc :
SdSqestSqSdRd UAIBIBUA .)...( _ =+= et SqRdestRdSqSq UCDDUCI .)...( _ =+= si lestimation desgrandeurs de contrle est convenable.
C6. Schma fonctionnel dune commande flux rotorique orient
MAS
estimateurs
ISd_est
ISq_est IS2
IS1
Onduleur
MLI
VS2
VS1
VS3
Rseau EDF
Filtrage
VSq
VSd
ISq_est
USd
B.ISq_est
Rd_est
Rd_con P.I.
D.Rd_est
USqP.I.ISq_con
[P(S)]
Redresseur
TransformesDe
PARK
[P(S)]-1
Mesure de
S_est = R_est + 1
Rd = -------ISd1+R.s
On a rajout sur le schma fonctionnel de la commande la partie puissance permettant
dalimenter la MAS.
Ainsi, les commandes VSdet VSqdoivent tre ramenes dans la base de dpart pour servir de loi de
commande un onduleur MLI.
On remarque les 2 capteurs de courants IS1 et IS2 (le troisime ntant pas ncessaire puisque la
somme des 3 courants statoriques est nulle). Ces courants sont ramens dans la base de PARK grce
lestimation de langle S. La mesure de est ralise partir dun codeur incrmental. On peut imagineraussi lutiliser comme capteur de vitesse dans le cas dun asservissement de vitesse.
ISq_estet Rd_estsont compars avec leur consigne.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
57/64
57
ANNEXES
1 . rgime permanent
2. rgime quelconque
3. inductance propre
4. inductance mutuelle
5. calcul matriciel
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
58/64
58
ANNEXE 1 : REGIME PERMANENT
Soit par exemple le circuit ci-dessus avec tVv m sin.=
On a tVdt
diLRiv m sin.=+=
La solution pour i de cette quation diffrentielle donne :
forclibre iii +=
o librei est de la forme )exp(.
tIo avec =L/R
et )sin(. = tIi mforc
Pour ltude en rgime permanent, on suppose que le rgime libre sest teint (soit au bout de 5 1%prs). Il ne reste alors plus que le rgime forc par la source de tension de pulsation . Le courant a doncla mme allure que la tension : sinusodale la pulsation et dphas de par rapport cette tension.
R
v L
i
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
59/64
59
ANNEXE 2 : REGIME
QUELCONQUE
Lexpression rgime quelconque soppose ici celle de rgime permanent o lon ne se
proccupe pas des rgimes transitoires qui sparent les rgimes tablis sinusodaux.
La modlisation dcrite dans ce paragraphe est donc plus gnrale que celle prsente en B2.
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
60/64
60
ANNEXE 3 : INDUCTANCE PROPRE
Le coefficient dinductance propre dun circuit traduit le fait que le flux
propre du champ magntique cr par le propre courant circulant dans le circuit i estproportionnel ce courant.
On crit :
iLpropre ..=
Ca ne pose pas de problme pour un bobinage ralis sur un milieu non magntique. Mais dans le
cas o lon utilise un milieu ferromagntique, lephnomne de saturation doit tre nglig pour que ce
coefficient puisse tre considr comme constant.
i
-
8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones
61/64
61
ANNEXE 4 : INDUCTANCE
MUTUELLEOn parle de coefficient dinductance mutuelle quand on a
plusieurs