© HERMES Science Publications. Paris. 1999 HERMES Science Publications 8, quai du Marché-Neuf 75004 Paris

ISBN 2-7462-0041-4

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Catalogage Electre-Bibliographie Duc, Gîlles >"Font, Stéphanc Commande Hx et JL-anaJyse : des outils pour la robustesse - Paris, Hermès Science Publications, 1999. ISBN 2-7462-0041-4 RAMEAU: Commande BOl:'

DEWEY:

codes con'cctcurs d'en'curs (théorie de l'infOlmalÎon) commande automatique 378.51 : Enseignement supédeur. Mathématiques, Statistique 515: Analyse mathématique

Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement J'éservées il l'usage privé du copiste et non destinées à L1ne utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses elles courtes citations dans un but d'exemple et d'U1ustrallon, "taule représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4), Celle représentation ou reproduction, pm' quelque procédé que ce soil, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par Jes articles L 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle,

Commande Hoo et ~-analyse

des outils pour la robustesse

Gilles Duc

Stéphane Font

COLLECTION PÉDAGOGIQUE n'AUTOMATIQUE

SaliS la direction de Alain Ot.tstaloup

La collection pédagogique d'automatique du Club EEA, â laquelle appm1ient cel ouvrage, est dirigée par Alain Oustaloup, Enserb. L'objectiF de cette collectiol1 est de (ol/mir aux: enseignants et étudiants les éléments de base, théoriques et appliqués, en automatique. A cette lIn, les ouvrages de cette collection compremw1tt une partie cours, Hile partie travallX: dirigés et 1lne partie travaiL'\: pratiques.

EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL

Identification des systèmes, loan D. LANDAU, 1998.

Les micromachines, Patrice MINOITI, Antoine FERREIRA, 1998.

AUTOMATIQUE pour les classes préparatoires - cours el exercices corrigés, Claude FOULARD, Jean-Mane FLAUS, Mireille JACOMINO, 1997.

Elémenls de logique floue. Louis G/\CÔGNE, 1997.

Le micro-contrôleur 68HCll, Bernard BEGHYN, 1997.

Machines à commande numérique, Bernard MÊRY, 1997.

Automatique - commande des systèmes linéaires, 2e édition revue el augmenlée, Philippe de LARMINAT, 1996.

Détection el estimation des signaux. David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996.

Le filtrage des signaux, David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996.

Le signal aléatoire, David DECLERCQ, André QUINQUIS. 1996.

Le signal déterminÎste, David DECLERCQ, André QUINQUIS, 1996.

Identification et commande des systèmes, 2e édition revue et augmentée. lmm D. LANDAU, 1993.

Du Grafcet aux réseaux de Petri. 2e édition revue et augmentée, René DAVlD, Hassanc ALLA, 1992.

Table des Inatières

Introduction. ................ ................................ ................. .............................. .......... 9

Chapitre 1. Valeurs singulières et norme H CX) ... .......................... ....................... Il

1.1. Valeurs singulières d'une matrice de transfert............................................. Il

1.2. Norme H"" d'un système linéaire invariant................................................ 14 1.3. Propriétés de la norme H C1:> ......................................................................... 16

Chapitre 2. Synthèse H CX) , approche standard............... .................................... 17

2.1. Problème standard ................... .................. ....................... ........................... 17 2.2. Résolution du problème fi ~ standard par équations de Riccati................. 18

2.3. Exemple élénlentaire ................................................................................... 21

2.4. Résolution du problème fi"" standard par inégalités matricielles affines... 23 2.5. Mise en œuvre ............................................................................................. 26

2.5.1. Mise en forme pour la synthèse............................................................ 26

2.5.2. Objectifs de synthèse............................................................................ 27

2.5.3. Mise en œuvre par l'introduction de fonctÎons de pondération............. 28 2.5.4. Mise sous forme standard ..................................................................... 31

2.6. Exemple: asservissement de position ......................................................... 32 2.7. Autres exemples de mise en œuvre ............................................................. 37

2.7.1. Rejet ù'une perturbation mesurable ...................................................... 37 2.7.2. Utilisation d'une mesure supplémentaire .............................................. 38

2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté ........................................................... 39

Chapitre 3. Approche H 00 par {( loop-shaping }} ................................................ 41

3.1. Un problème fi ct:J particulier ...................................................................... 41 3.2. Exemple élémentaire ................................................................................... 43

3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte...................................... 43

6 Commande JJc:J) el Jl-analysc : des outils pour la robustesse

3.4. Réponses fréquentielles après optimisation FI 00 ........................................ 44 3.5. Exemple: asservissement de position ......................................................... 47

Chapitre 4. Il-analyse .................................... ....................................................... 49

4.1. Description des incertitudes de modèle.. ............................ ......................... 49 4.1.1. ReprésenLation générale par LFT ............................... .......................... 49 4.1.2. Exemples de mÎse sous forme LFT ...................................................... 50 4.1.3. Structure générale de la matrice d'incertitude....................................... 53

4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée ...................................... 54 4.3. Valeur singulière structurée......................................................................... 56

4.3.1. Définition ............................................................................................. 56 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée ......................................... 57

4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée ............................................. 61 4.4.1. GénérnlisalÎon du théorème du petit gain ............................................. 61 4.4.2. Exemple élémentaire ............... ............................................................. 62

4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre ................................................... 63 4.6. Robustesse de la position des pôles................................. ...................... ...... 64 4.7. Robustesse des marges de slabilité.............................................................. 64 4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle ....................................................... 66 4.9. Exemple: asservissement de position ......................................................... 68

4.9.1. IncertÎtudes et forme LFf du moteur ................................................... 68 4.9.2. Robustesse de la stabilité...................................................................... 70 4.9.3. Robustesse de la position des pôles...................................................... 70 4.9.4. Robustesse de la marge de module....................................................... 71 4.9.5. Robustesse du suivi de consigne .......................................................... 72

Annexe: borne supérieure de IlQ (p) ................................................................ 74

Chapitre 5. Pour aller plus loin... ....................................................................... 77

5.1. Le problème de la "synthèse robuste" ......................................................... 77 5.1.1. De la synthèse H cJ'J à la ~l-synthèse...................................................... 77 5.1.2. Approche de la ~L-synthèse par ]a D-K itération ................................... 78

5.2. Ouverture sur d'autres techniques................................................................ 80 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV .................................................. 81 5.2.2. Analyse et synthèse multi-crilère.......................................................... 82

Chapitre 6. Exercices corrigés.................................... ...... ................................... 83

Exercice J ................. ........................................................... ............................... 83 Exercice 2..... .............................. ................ ....................................... ................. 83 Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) .......................................................... 83 Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) ........................................... 84

Table des matières 7

Exercice 5........ ....... ............................ .......... ..... ................................................. 84 Exercice 6........................................................................................................... 84 Exercice 7........................................................................................................... 85 Exercice 8........................................................................................................... 85 Exercice 9........................................................................................................... 85 Exercice 1 O.................. ........................................................................ ............... 86 Exercice 1 1......................................................................................................... 86 Exercice 12......................................................................................................... 86 Corrigé de l'exercice 1........................................................................................ 87 Corrigé de l'exercice 2........................................................................................ 87 Corrigé de l'exercice 3........................................................................................ 88 Corrigé de l'exercice 4........................................................................................ 89 Corrigé de l'exercice 5........................................................................................ 89 Corrigé de l'exercice 6........................................................................................ 91 Corrigé de J'exercice 7 ........................................................................................ 93 Corrigé de l'exercice 8 .................................................................. ...................... 93 Corrigé de l'exercice 9 ........................................................................................ 93 Corrigé de l'exercice 1 0...................................................................................... 94 Corrigé de J'exercice 11...................................................................................... 94 Corrigé de l'exercice 12...................................................................................... 95

Chapitre 7. Etude d'un cas d'application ........................................................... 97

7.1. Présentation du problème ........... .................................... ............................. 97 7.2. Etablissement du schéma de ~-analyse........................................................ 99 7.3. Synthèse H <Xl standard d'un correcteur 1 entrée - 1 sOrLie .......................... 101 7.4. Synthèse H C1l standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie ........................ 105 7.5. Synthèse H <t;) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie ........................ 108 7.6. Synthèse H'1J par « loop-shaping ) d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie ..... 112 7.7. Conclusion ................................................................................................... 115

Bibliographie ........................................................................................................ 117

Introduction

La synthèse d'une loi de commande permettant de réaliser l'asservissement d'un processus passe par l'utilisation de modèles mathématiques. Ceux-ci peuvent être issus de la description des phénomènes physiques, ou d'expériences permeLLant de caractériser son comportement entrée-sortie. On peUl Lout de suite noter que ces modèles ne représentent qu'imparfaitement la réalilé : il y aura toujours des Încerti­tudes et des erreurs de modélisation, du fait que les phénomènes physiques ne peu­vent être qu'imparfaitement traduits par des modèles mathématiques, que les para­mètres de ces modèles ne sont connus qu'avec une certaine précision, et aussi qu'il ne sert à rien (et qu'il serait même nuisible) de travailler avec des modèles très précis et donc très complexes.

Sur la base d'un modèle imparfait, on va donc concevoir une loi de commande pOUf assurer stabilité, marges de stabilité, précision, performances dynamiques, ... Notons qu'il est rare que tous les objectifs d'un cahier des charges puissent être prÎs en compte explicitement lors de la synthèse. Ceux-ci seront donc vérifïés a posterio­ri, en utilisant en général un modèle plus précis que celui utilisé pour calculer la loi de commande.

Par ailleurs, puisqu'on travaille sur des modèles donl la validité est limitée, il faudra se préoccuper de la robustesse de la loi de commande obtenue, c'est-à-dire être capable de garantir la stabiJîté el certaines performances vis-à-vis d'incertitudes de modèles. Plus précisément, on dira qu'une propriété de l'asservissement (stabilité, temps de réponse, précision, ... ) est robuste si cette propriété est maintenue en pré­sence d'incertitudes de modèle décrites et quantifiées de façon appropriée (notons à ce propos que parler de "commande robuste" ne veut rien dire si on ne précise pas de quelle propriété il s'agit, et vis-à-vis de quelles incertitudes).

Le calcul d'une loi de commande alternera donc les 2 étapes de synthèse d'un COf­recteur et d'analyse des propriétés du système commandé, jusqu'à ce que les résultats obtenus soient jugés satisfaisants.

Historiquement, l'approche est née d'essais de prise en compte a priori d'objectifs de robustesse lors d'une synthèse. Celte vision s'est trouvée rapidement limitée à des descriptions grossières d'incertitudes de modèle, qui ne permettent pas de prendre en compte la nature physique des incertitudes. Une vision plus réaliste est de considérer celte approche comme une façon particulière de calculer un correcteur, sans que toutes les demandes de performance et de robustesse soient prises en

10 Commande HCfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

compte a priori. Dans cet ouvrage, on montrera qu'elle permet de modeler différents transferts du système asservi, de garantir des marges de stabilité, et d'assurer la ro­bustesse aux dynamiques négligées, par un retour dynamique de sortie.

Plus spécifiquement dédiée aux concepts de robustesse ct utilisant des notions très proches, la J.1-analyse permet quant à elle d'effectuer a posteriori des études de robustesse très fines. Le parti pris adopté dans ce livre est ainsi de montrer que l'as­sociation synthèse fI:::l + ~l-ana1yse fournit des outils puissants permettant de déter­miner des lois de commande efficaces, ce que les auteurs ont pu vérifier sur de nom­breuses applications telles que le pilotage de missile, ]e contrôle d'attitude de satel­lite, la commande de paliers magnétiques, ...

Le premier chapitre de cet ouvrage présente les outils nécessaires à cette appro­che: les valeurs singulières d'une matrice de transfert, et la norme H cr" d'un système linéaire. Le chapitre 2, dédié à la synthèse fI cr" standard, présente la notion de pro­blème standard, deux méthodes de résolution, ct des exemples de mise en œuvre. Le chapitre 3 s'intéresse à une approche particulière dc la synthèse fI co , appelée syn­thèse fI co par "loop-shaping". Le chapitre 4, dédié à]a J.1-analyse, montre comment des analyses de robustesse peuvent être conduites grâce à la représentation par LFT et la valeur singulière structurée J.1.

Un même exemple d'application est conduÎt dans les chapitres 2 à 4. Nous con­cluons celle partie consacrée au cours dans le chapitre 5, qui comprend une brève ouverture sur des techniques voisÎnes ou qui constituent un prolongement naturel, et en particulier sur la fl-synthèse.

Le chapitre 6 comprend douze exercices corrigés, qui tous peuvent être traités à la main, et constituent ainsi une base pour la conception de Travaux Dirigés. Enfin le chapitre 7 est consacré à une étude de cas sous Matlab, qui constitue la matière de séances de Travaux Pratiques.

Cet ouvrage est issu d'enseignements dispensés dans différentes écoles d'ingé­nieur, notamment l'École Supérieure d'Électricité (Supélec), l'École Nationale Supé­rieure des Techniques Avancées (ENSTA), et l'École Spéciale de Mécanique et d'Électricité (ESME-Sudria). Il s'adresse à des étudiants possédant déjà de bonnes bases en Automatique fréquentielle et connaissant les notions liées à la représenta­tion d'état. Le cours magistral (hors chapitre 5) cOlTespond à un volume de 15 heures environ.

Chapitre 1

ValellfS singlllières et norme Hoo

Ce chapitre présente les principaux outils utilisés dans ce cours. Les valeurs sin­gulières d'une matrice de transfert permettent de généra1iser la notion de gain aux systèmes mullivariables. Elles permeUent aussi de définÎr la norme H 00 d'un système linéaire. Le chapitre s'achève sur quelques propriétés importantes de celte norme.

1.1. Valeurs singulières dlune matrice de transfert

Considérons un système linéaire invarÎant avec un vecteur d'entrée eU) et un vecteur de sortie sU) de dimensions respectives m el p. Soit G(s) sa matrice de transfert. En réponse à une excitation harmonique e(t) = E e 1UH

, E E cm , la sortie du système s'écrit:

s(r) = GUm) E e jw1 ( 1.1 )

Pour un système monovariable, on définit à partir de celte relation le gain du système à la pulsation ro par le module lü(jm)l. Dans le cas multivariable, on utilise la notion de valeurs singulières, définies comme les racines carrées des valeurs pro­pres de GUro) multipliée par sa transconjuguée :

O'i(GUro»):= ~Ài(GUm)G(- jro)T )= ~Ài(G(- jw)T GUro»)

i = l, min (m, p) ( 1.2)

On peut remarquer que les produits G(joo) G(- jmr el G(- joo)' GUm) sont des matrices hermitiennes semi-définies positives. dont les valeurs propres sont par con­séquent réelles positives ou nulles: il est donc licite d'utiliser leur racine carrée (par aîlleurs les valeurs propres non nulles de ces deux matrices sont identiques).

Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées. On notera (J'tG) la plus grande valeur singulière el g(G) la plus petite:

12 Commande HCfJ cl ~L-analy5c : des outils pour la robustesse

Remarque: on peUl vérifier que pour un système monovariable, il n'existe qu'une seule valeur singulière, qui est telle que:

(l.4)

Quelques propriétés des valeurs singulières sont indiquées ci-dessous (pour plus de précision, on peut se référer à un ouvrage d'algèbre matricielle, tel que [Halo]) ; A et B sont des matrices complexes de dimensions compatibles, cl

Ilxll:2 J x" x = ~ X T x est la norme eucl idienne usuelle :

cr(A)=O <=> A=O

'VÀeC O"j(ÀA)=IÀla;(A)

cr(A+B) $ cr(A) + cr(B)

cr(A B) $ cr(A )cr(B)

Q( AB) ;:: Q( A) Q( B )

cr (A ) max Il A x 112 xr:C'" Il xii:!

() ." A xll~ 9: A = ml~JI -11-11--XEC x::!

si A est inversible, g:(A)cr(A-1)= Q(A-1 )cr(A) = 1

cr(E)<Q(A) => deL(A+E):;éQ

(1.5.a)

(1.5.b)

( 1.5.c)

( 1.5.cI)

( 1.5.e)

(1.51)

( 1.5.g)

( 1.5.11)

( 1.5.0

ptTI,!:lrrlllp: la relation (1.51), ou les relations (1.5.a,b,c), indiquent que crtA) est une norme; la relation (1.5.d) montre que cette norme est multiplicative.

Enfin toute matrice complexe A de dimensions p x III admet une décomposition en valeurs singulières, qui s'écrit:

}: diag {crl.···,cr"J si p=m

A=V2:W" avec 2::; (diag b-), ... ,cr fi} o px(m-p)) SI p<11l ( 1.6)

!: (diag {a] ,"',a", IJ

O(p-m}~111 si p>m

et V et W unitaires: VV* V*V = lp el WW" =WW· lm'

Valeurs singulières et norme Hw 13

Revenons à présenl à la relation (1.1). Les relations (1.5j) et (1.5.g) permettent d'écrire:

( 1.7)

Les valeurs singulières cri lCUw)) constituent donc une généralisation aux systèmes multivariables de la notion de gain. Elles peuvent être représentées dans le plan de Bode (figure 1.1). Pour un système muitivarinble, le "gain" à une fréquence donnée dépend donc en faiL du vecteur complexe E, et sera compris entre les valeurs singu­lières inférieure et supérieure.

E j(t.!t G(' )E }(jll ~ ~{) e

~1_G(s)1 ~

IIGIIC1J

Figure J./ - Valeurs singulières et norme H cr;) d'l/lle J1la(rice de trallsfert

Exemple: la figure 1.2 montre les 2 valeurs singulières de la matrice de transfert:

( 1.8)

On retrouve des tracés qui s'apparentent à ceux observés usuellement pour les sys­

tèmes monovariables (noter en partÎculier la résonance au voisinage de la pulsation

propre ..JïO du dénominateur des 4 termes). De nombreuses propriétés qui s'expriment en terme de gain pour les systèmes

monovnriables s'étendent aux systèmes multivariables en considérant les valeurs singulières cr(CUffi)) ct Q(C(jw)). On dira par exemple que le gain est faible à la

pulsation (ùsi ëf(C(jw)) est "petit", ct que le gain est fort si Q(C(jro)) est "grand".

Notons par contre que la notion de phase n'a pas de généralisation multivariable simple.

14 Commande HÇjJ el ~-ann1yse : des outils pour la robustesse

'~leurs Singuli~re~

10o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~' =1 :; ,~! t t 1: ... - - - -"" - ~ - -

10 -~ '--~_~~~'-'--_~~~~-'-'-_~~~-'-'--'-L.J 10" 10 '

Pulsation {rt'ld/~èC}

Figllre 1.2 - Valcurs sillgulières de la matrice de lrall~retl (1.8)

1.2. Norme Hel) d'un système linéaire invariant

Soit un système linéaire invariant décrÎt par la représentation d'état:

r.i:(t) = A .l(t) + B eU)

1 s(r) = C xU) + D e(t) ( 1.9)

à laquelle correspond la matrice de transfert G(s) C (s / - A t 1 B + D . Nous ferons

l'hypothèse que le système est stable. L'cnsemble des matrices de transfert G(s)

correspondant il un système stable est noté usuellement R.H Ci) .

Pour toute matrice G(s) dans RH C(J' on définit une norme, appelée norme H 00

et notéc Il G(s) 11Ci) , de la manière suivante (tigure 1.1) :

sup cr( G (jrn ) ) (1.10) fiER

Il G(s) 1100 est donc la valeur la plus élevée du gain du système sur l'ensemble des

pulsations (pour un système monovariable, c'est la valeur la plus élevée de IG(jOJ)I).

Sur la base de la définition (1.10), on peut obtenir facilement une borne infé­

rieure de Il G(s) lleo en recherchant la valeur la plus élevée du 2èlllC membre de (1.10)

pour un ensemble de valeurs de ù) choisies a priori. Mais si celui-ci présente un

maximum très flpointu", on risque de sous-évaluer la nonne H CJ:) •

Par ailleurs, la propriété suivante fournit un majorant y de la norme

Valeurs !oîinguIîères el norme Hoo 15

Propriété 1.1 ~ SOÎt un réel positif y> cr(D). Alors Il G(.\') II~ < y si et seulement si

la matrice hamiltonienne:

R = DT D-y2J

S DDT y2/ (1.11 )

nia pas de valeur propre sur l'axe imaginaire. iii

Démonstration. Soit c])(s) = y2/ G( -s{ C(s). Il est claÎr que Il C(s) IL < y sÎ et

seulement si èP(jco) > 0 pour tout ru ER. Comme cD(j 00) = - R > 0 et que c})(jm)

est une fonction conLinue de ru, c:I>(jru) > 0 pour tout ru E n. si et seulement si

(P(jru) est non singulière pour tout ru ER U {oo}, de sorte que <})(s) n'a pas de zéro

imaginaire pur, ou encore que <D(s) -1 n'a pas de pôle Îmaginaire pur.

Or il est facile d'établir que <P(s)-' admet pour représenlatîon d'état tA, B, C, D J, avec:

A H,; B=[y-l~:;R-} C=(R-'DTC yr'BT); D=-r' (1.12)

La propriété est donc établie si cette représentation d'élat n'a pas de mode non com­mandable ou non observable sur l'axe imaginaire.

Supposons donc que jw o soit une valeur propre de Hy non observable (de sorte

que jwo n'est pas un pôle de <P(s) -1 ). Alors il existe un vecteur .rD'" = ('" T .\2 T ) non

nul tel que:

Ces équations conduisent à :

DT C XI + Y BT x2 = 0

(A - jwo I)XJ 0

(AT + jwo / )X2 = Y CT ~-1 _y-2 D R-I DT)c XI = _y-tCTC x)

Comme A n'a pas de valeur propre imaginaire pure, on obtient Xl =0 et Xl =0. ce

qui contredit l'hypothèse de déparl. On prouve de la même façon que la représenta­tion d'état (1.12) nia pas de mode non commandable sur l'axe imaginaire. :J

La propriété 1.1 conduit soit à rechercher de façon explicite Je plus petit majorant possible en calculant les valeurs propres de H r (c'est ce qui est fait à Litre i11ustratif dans l'exemple ci-dessous, mais devient rapidement impraticable pour des systèmes d'ordre supérieur à 1), soil à affiner le majorant en ulilisant cette propriété de façon itérative.

16 Commande Hef) el Jl-analyse : des outils pour la robustesse

Exemple: considérons le système du premier ordre:

{

_r(t) = -a x(t) + eU) a>O

s(t) = x(t)

On obtienl successivement:

Hy=

soit 1

C(s)=--s+a

et donc H y n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire si et seulement si :

li

( 1.13)

résultat qui peut être aisément confirmé par le tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert C(s) , dont le module a effectivement pour maximum 1/ a , en w O.

1.3. Propriétés de la norme H r:r;

Les propriétés suivantes peuvent être aisément démontrées à partir de la définέtian (1.10) et de la propriété (1.5}) :

Il F(s) G(s) IIaJ :::; Il F(s} IL Il C(s) t ( 1.14.a)

(LI4.b)

Il (F(s) G(s»),,~:2: sup (II F(s) IL .11 G(s) ILJ (1.14.c)

Intuitivement, l'inégalité (1.14.0) exprime que le gain maximal de la mise en série de 2 systèmes est inférieur au produit de leurs gains maximaux respectifs. Les inégalités (1.14.b) et (1.14.c), qui correspondent à la mise en parallèle de 2 systèmes avec une entrée ou une sortie commune, indiquent qu'en ne considérant qu'une purtie de celte association, on obtÎent forcément un gaÎn maxÎmal plus faible.

Chapitre 2

Synthèse Hoo, approche standard

La synthèse HOC) propose un cadre général pour le calcul d'un correcteur, en ma­nipulant des concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité, de marges de stabililé et de modelage de différents transferts, vOÎre cer­tains objectifs de robustesse, en retour dynamique de sortie.

Ce chapitre expose tout d'abord la notion de problème standard, ct les 2 métho­des de résolution les plus utilisées. Puis la mise en œuvre par l'introduction de pon­dérations fréquentielles est détaillée. Les résultats obtenus sur un problème œasser~ vÎssement en position œun moteur électrique sont ensuite présentés. Le chapitre s'achève sur un aperçu des principales possibilités de mise en œuvre.

Pour simplifier l'exposé. nous nous sommes limités au cas d'un système monova­riable (1 commande ct 1 sortie régulée, mais éventuellement plusieurs mesures). Toutefois la synthèse H 00 permet de traiter des problèmes multivariablcs, au prix de quelques ajustements mineurs.

2.1. Problème standard

La synthèse H ctJ utilise la notion de problème standard, qui est représenté sur la figure 2.1 : la matrice de transfert P(s) modélise les interactions dynamiques entre 2 ensembles d'entrées et 2 ensembles de sorties: le vecteur IV représente des entrées extérieures, telles que signaux de référence, perturbations, bruits; le vecteur Il re­présente les commandes; les signaux e sont choisis pour caractériser le bon fonc~ tionnemenl de }' asservissement; enfin y représente les mesures disponibles pour élaborer la commande.

e HI

y li

Figure 2.1 - Problème fI a:l standard

18 Commande Hw el jJ.-analysc : des outils pour la robustesse

En effccluantune partÎtion de la matrice P(s) de façon cohérente avec les dimen­sions de H', Il, C, y sur la figure 2.1 :

P(s) ~'11 (S)] PylICs)

(2.1 )

on calcule aisément la matrice de transfert cnLre w et e du système bouclé, qui est appelée Transformalion Fractiollnaire Linéaire (LFT) inférieure:

ECs) F, (P(s), K(s»)W(s)

FI (P(s), K(s») := p/!\\.(s) + Pell (s) K{s) (/- Pyu (s) K(s) )-1 PylI.(S) (2.2)

La synthèse H co du correcteur est définie par Je problème suivant:

Problème H:o standard: P(s) eL y> 0 étanL donnés, déterminer K(~') qui stabi­

lise Je système bouclé de la figure 2.1. et assure Il Fr(p(s), K(s»)IL < y . Les correcteurs assurant la plus petite valeur de y possible seront dits "opti­

maux". Différentes méthodes peuvenL être envisagées pour résoudre le problème fi co

standard. Nous présentons ci-dessous l'approche par équations de Riccati, dans laquelle la valeur optimale de y est recherchée par dichotomÎe, et l'approche par Inégalités Matricielles Affines (en anglais Lincar Nlatrix fneqllalilÎes, ou LMI),

Ces 2 méthodes utilisent une représentation d'état de la matrice d'interconnexÎon P(s), que nous écrivons sous la forme suivante:

[i 1] [A y(t) = ~; [

X(/) ] w(f)

/tU)

(2.3)

avec XE R Il; W E R "Il ; Il E R Il,, ; e E R Il,; )' E R "\' .

2.2. Résolution du problème H co standard par équations de Riccati

Celte méthode, aussi connue sous Je nom d'algorithme de Glover-Doyle, est ap­parue à la fin des années 80 [GIDo, DGKF]. Elle reste aujourd'hui la méthode de résolution In plus utilisée.

Soient P = pT, Q = QI des matrices de mêmes dimensions que A . On note:

x = Ric ( A P J _Q _AT (2.4)

Synthèse H ct:J' approche standard 19

quand elle existe, la solution symétrique de l'équation de Riccati:

(2.5)

telle que toutes les valeurs propres de A - P X ont une parLÎe réelle strictement négative.

Pour résoudre le problème fi 00 standard, on suppose satisfaites les hypothèses suivantes:

fil) (A, BII

) est stabilisable et (C y , A) est détectable

fl2) rang (Dell):::: nll et rang (D)w)= ".\"

R (A - jro III B Il )

H3) '\/m E rang :::: Il + nu Cc Dell

H4) '\lm E R rang :::: J1 + Il y (A jroln Bw J

C)' Dy\!' .

Quelques commentaires sur ces hypothèses:

- Hl est l'hypothèse classique de toute méthode de synthèse utilisant les variables d'état (commande modale ou LQG par exemple) : elle est nécessaire pour obtenir la stabilité du système bouclé.

H2 est une condition suffisante pour que la matrice de transfert du correcteur soit propre. Remarquons que le fait d'avoir Dell de rang plcin signifie que toutes les commandes interviennent dans les variables régulées e. Par ailleurs, H2 suppose implicitement que "e ~ "11 et 1lU' 2: "y .

- H3 entraîne que Pell (s) n'a pas de zéro sur l'axe imaginaire (mais la réciproque

n'est pas vraie si la représentation d'état utilisée pour décrire Peu (s) n'est pas mini­

male). De même pour H4 el Pyl\'(s),

Remarque: si l'hypothèse Hl semble indispensable compte tenu de la façon dont est posé le problème, les hypothèses H2, fl3, fl4 sont propres à cette méthode de réso­lution.

Il est toujours possible, en appliquant une série de transformations au système (2.3) [Day, SaLe, ZhDG] de se ramener au cas où les conditions suivantes sont véri­fiées :1

Dl'W=O D~, (Cl' D,.J (0 Ill,,)

(~:J Dr" = (~'" J (2.6)

Le théorème suivant permet de tester ln faisabilité du problème standard:

IOn peut aussi sc reporter il [GIDo] ou [McGIll si l'on souhaile éviter ces lransformations.

20 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la rnbuslc~se

Théorème 2.1 Sous les hypothèses Hl - H4 et les conditions (2.6), le problème fi <:tJ standard a une solution si et seulement si les 5 conditions suivantes sont rem~ plies:

-2 B BT -B BT \ Y Il' Il' T Il Il J n'a pas de valeur propre sur

-A l'axe ÎmagÎnaÎre

il) il existe une matrice X co = Ric(H Cf);:: 0

(AT y-

2C;'CL, c~c\'J 1 iii) la matrîce J ct:l = T ' , n a pas de valeur propre sur

-BwBw -A

l'axe imaginaire

il') il existe une matrice Y(l} = RieU Cf));:: 0

v) p(Xa:Yco)<y2 où p () désigne le module de la plus grande valeur propre. •

Enfin la solution du problème standard est donnée par Je théorème suÎvant :

Théorème 2.2 - Sous 'es conditions du théorème 2.1, les correcteurs rationnels

K(s) stabilisant le système et satisfaisant Il F/(p(s), K(s))IL < y sonl décrits par la

LFI':

(2.7.a)

où <P(s) E RH!Xl est une matrice de transfert de dimensions "/1 x ")' arbitraire véri­

fiant !1ct>(s)llco < y , et Kil (s) est décrit par la représentation d'état suivante:

o [

XII (t)] y(t)

)'0(1)

(2.7.b) •

En particulier, le correcteur correspondant à ClJ(s) 0, appelé correcteur central, admet la représentation d'état:

(2.8)

Synthèse HC1J

, approche standard 21

La mise en œuvre de celte solution consiste donc à uliliser Lout d'abord les ré~ sultats du théorème 2.1 pour approcher la valeur optimale de y par dichotomie (procédure appelée couramment Il y -itération"). On calcule ensuile le correcteur central en appliquanLle théorème 2.2 .

..... Tn ... rrl1'''': la synthèse en temps discret a été notamment envisagée par [LîGW], [IgGl] ou encore [Sto).

2.3. Exemple élémentaire

Considérons le système de la figure 2.2, dans lequel on considère un vecteur

d'entrées w = (b li Y composé de 2 perturbations, Cl un vecteur de signaux. à con­

trôler e (z Il y comprenant la sonie à asservir cL la commande. La représentation de )a matrice P(s) du problème standard correspondant s'écrit:

x (0 )x+ (1 0 )( ~ ) + (I)u

(~) (~}+(~ ~J(~)+[~} )' (l)x+(O It)+(O)1I

x

Il

Figure 2.2 . Exemple élémel1laire, et forme standard corre'\lJ(Jf/dollfl;!

On peut vérifier que les hypothèses Hl à H4 sont remplies:

Hl) rang (Bu) = rang ( 1) 1 donc (A, Bu ) commandable

rang te \" )= rang ( 1) = 1 donc tel" A) observable

H2) rang (;".l = rang ( ~) 1 = Il,, el rang (0",..) = rang (0 1) = 1 = Il Y

(2.9)

22 Commande Hoo et ~l-analyse : des outils pour la robustesse

H3) \iwER rang(A-.iW/1l B"J=rang[-;W

Cl' Dell 0 ~ J ~ 2 = Il + ""

R [A-.iW/I/ BII'] (-.iW

H4) \iWE rang = rang C y D.lw '-' 1

1 0J = 'J = JI + Il 01- y

Par ailleurs ce problème vérifie directement les conditions de normalisation:

D,,, ~(~ ~J DYII =0

D,.,,' (e,. D,,,)~ (0 (G ~) = (0 1) (l.10)

[ Bl\' ]D\ll.T =(1 0J(OJ=(OJ Dy\\'· 0 1 1 1

Testons les conditions du théorème 2.1. On a, pour les conditions i) eL ;Îi) :

de sorte que i) et ii;) sont vérifiées pour y> 1 . Les équations de Riccati des condi­

tions ii) ct iv) s'écrivent:

Xcrl(O)+(O)X ctJ + X ct) &-2 -l)\'Ofj +1 =0

Yctl (0)+ (O)yO"} + Y<Yl &-2 -lYC1J +1 =0

de sorte que ii) et iv) sont vérilïées pour y> ], et fournissent:

y X ctl =yctl = ~>O et

VY- -)

., Y-

XctlY"" =-1-Y- -)

de sorte que v) est vérilïée pour y > .Ji. . Cette dernière valeur constitue donc la

valeur minimale. Les résultats du théorème 2.2 permettent de calculer le correcteur central pour

Synthèse li CfJ' approche standard 23

y > .J2 . dont la représentation d'état s'écrit :

lIU)=

qui correspond à la fonction de transfert:

K(s) = U(s) = Y(s) (1) 2_ 1 ~

y- -2 s+2-Y--",,;y--l y

(2.1l)

(2.12)

Un fait intéressant mérite d'être signalé: on voit que lorsque y tend vers sa va­

leur optimale Ji , le pôle du correcteur tend vers -00; lorsque y alteint sa valeur

optimale. le terme en s du dénominateur disparaît. et J'ordre du correcteur passe de

1 à O. Celte constatation a une portée générale: elle est liée au fait que pour la valeur

minimale de y • la matrice ZefJ devient singulière, de sorte que les équalÏons (2.8) ne sont plus applicables. À j'optimum, il y a réduction de l'ordre du COiTecteur fKwa], la

diminution d'ordre étant égale à la perte de rang de Zoo : lorsque y tend vers sa valeur optimale, on observe ainsi qu'au moins un des pôles du correcteur tend vers l'infini.

2.4. Résolution du problème H en standard par inégalités matricielles affines

Apparue plus récemment, la synthèse par LM! fournit une autre façon de résou­dre le problème standard [lwSk l, GaAp]. Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas le respect des hypothèses H2-H4 (1 'hypothèse Hl reste néces­saire). Nous limiterons l'exposé au cas où la condition:

(2.13)

est vériJiée. Dans le cas contraire, on résout tout d'abord le problème en considérant

des mesures fictives 5' correspondant il ce cas, et on modifie a posteriori le correc­

teur obtenu en effectuant le changement de variable y = 5'- Dyull dans ses équations

d'élat.

La faisabilité du problème standard est testée au moyen du lhéorème suivant:

24 Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse

Théorème 2.3 - Sous l'hypothèse Hl el la condition (2.13), le problème H cD stan­dard a une solution si et seulement si 2 matrices symétriques R et S existent, véri­fiant les 3 LMI suivantes:

RC T c

(2.14.a)

°r[ATS;SA SB\I'

T 1 (N; Ce N

o J 1 Bn' S -Y/Il". D,/ [0' < 0 n~ C Del\' -Y/lit

Il1t C

(2.14.b)

(/~ ;J~O (2.14.c)

où N R et N s constituent une base des noyaux de ~1/ T D t'u T ) et (Cy D )'1I') res­

pectivement. De plus, des correcteurs d'ordre r< Il existent si el seulement si les

LMI (2.14.a, b. c) sont vérifiées par des matrices R et S qui satisfont de plus la condition supplémentaire:

(2.14.d) Il

Dans celle formulation. les inégalités (2.14.a. b. c) remplacent les conditions i) à v) du théorème 2.1. On peut également rechercher directement la valeur optimale de y, en résolvant le problème suivant, qui est un problème d'optimisation convexe:

min Y sous (2.14.(1. b, c) R=RT,S=ST

(2.15)

La version en temps discret de ces résultats est également donnée dans [GaAp]. Elle est en tout point comparable.

A panir des matrices R et S solutÎons des problèmes précédents, différentes procédures peuvent être envisagées pour former un correcteur: des formules expli­cites sont données notamment dans [IwSkl, Gah], tandis que [GaAp 1 proposent une résolution par LMI, qui peut être résumée comme suit. Soit:

J.ic(t) = Acxc(t) + Bcy(t)

lu(t) = Ccxc (t) + Dcy(t) (2.16)

Synthèse Hco' approche standard 25

avec Xc ERr, une représentation d'état du correcteur d'ordre r:::; Il cherché. Le

système bouclé F,(p(s), K(s») a pour représentation d'état:

et, en vertu du "Bounded Real Lemmau [BEFB], sa norme H <Xl est inférieure à y si et seulement si il exÎste une matrice X = XI> 0 vérifiant:

(2.18.a)

qui est une inégalité matricielle bilinéaire en X, Ac' Be ,Cc 1 De' Une matrice X

qui convient peut être obtenue en effectuant une décomposition en valeurs singuliè-

res de In-R S , d'où on déduit 2 matrices M, N E R")( r de rang plein vérifiant:

(2.18.b)

qui permettent de déterminer:

(2.18.c)

où kl + désigne la pseudo-inverse de /'.1 (Iv! of" M = 1 r)' L'inégalité (2.18.a) est alors une LM! en Ac' Be ' Cc' Dc, dont la résolution fournit donc un corrccteur.

Enfin la condition (2.14.d) semble suggérer la possibilité de synthétiser des cor­recteurs d'ordre inférieur à l'ordre de la matrice d'interconnexion P(s). Il est toule­fois exceptionnel que la condition (2.14.d) soit spontanément remplie. La recherche dc correcteurs d'ordre réduit solution du problème standard pour une valeur donnée de y amène à donc considérer le problème suivant:

min "rang (III - R S) sous (2.l4.a, h, c) R=RT, S""Sl

(2.19)

A la différence du problème (2.15), ce problème n'est pas convexe. Différentes possibilités ont été examinées pour tenter de le résoudre [Galg, DaDe, IwSk2, EIOA, Val], sans garantie de convergence vers le minimum global. Remarque: la solution par LMI du problème H 00 standard apparaît plus complexe que la solution par équations de Riccati. En fait son intérêt est ailleurs: nous venons

26 Commande Hw et ~-analysc : des outils pour la robustesse

de voir par exemple qu'elle sert de base à la recherche d'un correcteur d!ordre réduit. Plus généralement, dans ee cadre, le problème fI o:l standard peul être vu comme un cas particulier d'une classe de problèmes beaucoup plus vaste [PZPB, BEFB], qui inclut par exemple la stabilisation quadratique par retour dynamique de sonie lBePa. BeGA], la recherche d'un correcteur minimisant une norme fI 2 sous contrainte de type fi OC! [ScGCl, l'analyse et la eonunande de systèmes dont la représentation d'état est linéaire en Il et rationnelle en x [EISe], le calcul d'un correcteur variant avec des paramètres du système (" gain scheduled conlroller") [Pac, ApGa, ScEI], ...

2.5. lVlise en œuvre

2.5.1. Mise Cil forme pOlir la synthèse

Un exemple de mise en œuvre, qui peut être considéré comme l'un des problèmes de base de la synthèse H (;I:J 1 prend comme point de départ le schéma-bloc de la fi­gure où C(s) est un modèle du système à asservir, el K(s) le correcteur à déterminer, pour asservir la sortie z sur la référence r. Le signal b est une pertur­bation.

z

Figure 2.3 - Analyse d'/III sysli!nw asservÎ

Calculons la matrice de transfert entre les signaux d'entrée r et b d'une part, l'erreur d'asservissement E et la commande Il d'autre part:

Z(s) = C(s) (- B(s) + U (s)) = C(s) (- B(s) + K(s)(R(s) - Z(s»))

E(s) R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) (R(s) - Z(s») = R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) E(s»)

On a donc:

E(s) = (J + C(s)K(s)rJ (R(s) - C(s) R(s») = S(sJ(R(s) - G(s) B(s») (2.20)

où S = (1 + CKtl est la fonction de sensibilité de l'asservÎssement, d'où avec

Urs) = K(s) E(s) :

Synthèse HO). approche standard 27

(E(S)]_M(S)(R(S)]_( S(s) S(s)G(s) J(R(.')J Urs) B(s) K(s) S("') K(s) S(s) G(s) B(s)

(2.21 )

et donc, en considérant le cadre standard introduit ci-dessus, un problème intéressant consiste à chercher un nombre}' > 0 el un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé, el assurant:

(2.22)

Dans ce problème, on lient compte en effet de 2 signaux d'entrée. appliqués à 2 en­droits différents de l'asservissement. et on surveille l'évolution de l'erreur, mais aussi de la commande: on veul en effet que ['erreur reste faible, mais au prix de comman­des raisonnables. Le problème ci-dessus se présente donc comme la recherche d'un compromis entre l'objectif recherché et les moyens nécessaires.

Toutefois ceUe formulation s'avère en pratique trop rîgide car elle ne laisse aucun élément de choix à l'utilisateur. Deux démarches peuvent être envisagées pour con­tourner cet obstacle. La première est présentée dans les paragraphes qui suivent: la seconde sera exposée au chapitre suivant

2.5.2. Objectifs de synthèse

On peut tout d'abord déduire [e comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M (s) en faisant des hypothèses sur le gain de la boucle ouverte. Ainsi:

a) si le gain de la boucle ouverte est grand soit /G(jro)K(jro)I» 1

(2.23.a)

On voiL donc que K(s) agit sur les transferts de r vers e et de b vers €, tandis qu'il est sans effet sur les transferts de r vers Il eL de b vers 11 • Cette approxima­tion intervient notammenl en basse fréquence: par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la boucle ouverte tend vers l'infini en basse fréquence, et les transferts Ses) et S(s)G(s) onl un zéro en 0, ce qui signifïc l'absence d'erreur stati­que pour des signaux r el b constant.

b) si [e gaÎn de la boucle ouverte est faible soil IG(jw)K(jw)I« 1

f1iJ (jro) :::: ( l K (jro)

G(jro) J K(jro)G(jro)

(2.23.11)

28 Commande Hoo ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

On voit donc que K (s) agit sur les lransferts de r vers ,., et de b vers Il , tandis qu'il est sans effet sur les lrunsferls de r vers E et de b vers E. Cette approxima­Lion intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non con'igé a naturellement tendance à décroÎt.re avec la fréquence, et r on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, afin d'éviter d'exciter inutilement la commande en dehors de la bande passante de l'asservissement.

Par ailleurs, les résultats du chapitre 4 permettenL d'établir que la robustesse de la stabililé vis-à-vis des dynamiques négligées peUL être garantie en imposanl un gabarit d'atténuation à K(s)S(s)G(s) en haules fréquences: intuitivement, on évite de la sorte de solliciter des dynamiques mal modélisées.

Pour compléter ce raisonnement asymptoLÎque, on peut rappeler que la marge de

module, c'est-à-dire la distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point

critique -1 , est l'inverse du maximum de IS(Jw)l.

Enfin la pulsation au gain unité mo de la boucle ouverte (IG(jù)o) K(jmo)1 = 1)

donne une image de la bande passante de l'asservissement (dans le cas simple où

IG(jm) K(jm)1 est monotone décroissante, eHe conespond à la limite entre les 2

approximations Cl) el b) ci-dessus), et conditÎonne fortement le temps de réponse (en première approximation, le produit 000 (Ill reste voisin de 3, où Tm désigne le temps

de passage au premier maximum de la réponse à l'échelon).

2.5.3. Alise Cil œuvre par l'introductioll de jOllctions de pondération

Reprenons le schéma-bloc de la figure 2.3. Pour atteindre les objectirs du para­graphe précédent, on peut introduire des pondérations sur les différents signaux, qui prendront la forme de liltres permettant. suivant le signal auquel elles s'appliquent, de privilégier un domaine de fréquences particulier. Considérons à celle fin le sché· ma de la figure 2.4, dans lequel l'erreur E est pondérée par le filtre \v, (s) • la com­mande Il par HI:! (s) , et l'entrée de perturbation b est la sortie d'un filtre Il') (s) . On obtient à présent, en considérant r et d comme entrées et CI et e2 comme signaux à surveiller:

(El CS)] [ W1 (s) Ses) E?(s) :::: tl'1(s)K(s)S(s)

w) (s) Ses) G(s) 1I'J (s) 'J[R(S)] w2{s) K{s) Ses) G(s) w3(s) D(s) (2.24)

S (! +GKtl

Le problème H CfJ standard qui en découle est le suivant: déterminer un nombre y>O, et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant:

(2.25)

Synthèse H::r:J' approche slandard 29

Figure 2.4 Mise Cil place des fJollllémtiotlS

L'avantage de considérer ce problème, plutôt que le problème plus simple (1.22), est que les fi1Lres wds) , W2(S) , ll'3(s) permettent de modeler les différenls trans­ferts S, K S , SC et K SC : les propriétés de la norme H a-:J (chapitre 1) assurent cn effet que si la condition (2.25) est vérinée, alors les 4 conditions suivantes le sont aussi:

(1.26.a)

IIw2K SIIC1J < y (2.26.b)

On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S, K S 1 SC et K SC est contrainte par un gabarit qui dépend des nItres choisis.

La figure 2.5 montre J'allure typique que l'on choisit pour les différents gabarils, compte tenu de la discussion du paragraphe 2.5.2 :

- le gabarit sur S esl fixée à une valeur k l faible en basse fréquence. pour assu­rer les objectifs de précision. La pulsation (01 pour laquelle le gabarit coupe l'axe o dB peUL être interprétée comme la bande passante minimale souhaitée pour l'asser­vissement. La valeur KI du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (c'est-il-dire sa norme H co ), ce qui impose une marge de module au moins égale à 1/ KI' Enfin aucune contrainte n'est imposée à S en haule fréquence.

30 Commallde Hoo el J.l-annlysc : des outils pour la robustesse

la valeur K:2 du gabarit sur K S ne lui impose aucune contrainte en basse fré­quence. tandis que la valeur k2 impose une contrainte en haute fréquence, au-delà de la bande passante choisie pour l'asservissement, plus ou moins sévère suivant la valeur choisie pour {J}2 (en pratique, les valeurs K 2 et k2 onl en général assez peu d'importance. tandis que le paramètre le plus ulile est ru '2. )

- le gabarit sur SC dépend des 2 filtres 1\'1 (s) et 11'3 (s) . Dans certains cas. il suffit de prendre w3 (s) constant, ce qui permet de régler l'atténuation en basse fré­quence. Mais WJ (s) permet également de modifier le comportement de SC en moyenne fréquence, ce qui peut s'avérer utile pour obtenir un comportcmenl transi­toire correct en réponse à une perturbation.

- enfin le gabarit sur K SC, si les filtres 11'\ (5), 11'1 (s) et w) (s) ont été choisis d'après lcs considérations précédentes. est évidemment détclminé. Mais dans cer­tains cas, on peut préférer ajuster par Hi) (s) le gabarit sur K SC plutôt que le gaba­rit sur SC 1 afin par exemplc de satisfaire un gabarit d'atténuation assurant la robus­(esse de la stabilité aux dynamiques négligées.

1 S(jm) 1 \1'3 constant

K1 __ 1 ________ oo ___ -:r--c-____ (J)

1

a) gabarit sur S c) gaharit sur sa

b) gabarit sur KS d) gabarit S1lr KSG

Figure 2.5 . Choix des pOlldérat;ollsji'éque1l1Îclles

Synthèse H:!J' approche standard 31

En pratique, on choisit les filtres \1'1 (S), \1'2 (s), \\'3 (s) d'après ces considéra­tions, et on résout le problème fI:t;l correspondant. qui donne la valeur de y et le correcteur. Bien entendu, la valeur de y n'est pas connue à l'avance, mais elle inter­vient dans les gabarits (2.26). Si ceux-ci ont été définis d'après les objectifs de l'as­servissement, on essaie donc en général d'orientcr le choix des filtres de façon à avoir une valeur de y proche de 1.

2.5.4. ~Jise SOliS forme standard

Une fois choisis les tlltres WI (s), \1'2 (s), ~1'3(S), il reste à mettre le problème ainsi défini sous forme standard, c'est-à-dire à identi fier les schémas-blocs des figu­res 2.1 et 2.4. Identifions tout d'abord les différents signaux:

- enlrées : li' (figure 2.1 ) = (;] (figure 2.4)

signaux surveillés: e (figure 2.1) = (;:] (figure 2.4)

- entrée du correcteur: y (figure 2.1) = e (figure 2.4)

sortie du corrccteur: Il sur les 2 figures. La représentation (2.3) utilisée pour résoudre le problème fi 00 est obtenue en

considérant une représentation d'état pour chaque fonction de transfert G(s) , \Ill (s).

ll':!(S), 11'3(5) :

{i = Ax +B(II-b)

G(s) : (entrée u - b, sortie z ) : z=Cx

soit finalement:

(2.27.a)

(2.27.b)

(2.27.c)

(2.27.d)

32 Commande Hw el f..l-ana1ysc : des outils pour la robustesse

[ '~l= [-~\tC ;~I ~ -~CJl['~~l+[:1 -~D]l(rJ+[~lu '\2 0 0 A2 0 .\2 0 0 d B2

.\') 0 0 0 A3 .\"3 0 B;, 0

(;:) {~IC ~I :, ~] [~l + [~I ~] (~J + [;} (2.28)

E [-C 0 0 o][x~l+[l O](r]+[O]1I '\2 d

Xj

Reste à voir si l'hypothèse Hl (et les hypothèses H2-H4 si on utilise l'algorithme de Glovcr-Doylc) sont vérifiées. Si (A, B) est commandab1e et (C, A) observable (ce que nous supposerons pour la suite), la partie non commandable du problème est constituée par le filtre H'J(S) , et la partie non observable par les filtres Hil (s), U':! (s) (les dynamiques de ces 3 filtres, d'après le schéma-bloc de la figure 2.4, ne

sont pas modifiées par le bouclage). L'hypothèse Hl impose donc de choisfr des pondérations stables. Par ailleurs, l'hypothèse H2 impose que D2 soit de rang plein; or D2 est le gain

pour ru -) 00 de la lransmiltance w2 (s) C2 (.'Il A2 t l B2 + D2 .

L'hypothèse H2 impose donc de choisir w2(P) avec un gain non nul à l'infini. On notera que le choix de pondérations stables interdit en particulier que le gain

de 11 \VI (s) tende vers 0 pour (ù -) 0 (w] (s) aurait alors un pôle en .'1 = 0). ce qui signifie qu'on ne peut imposer des transferts Ses) el Ses) C(s) nuls en Cl) = 0, donc une erreur statique nulle (on peut toutefois obtenir une erreur statique arbitrairement faible).

On peut enfin noter que l'ordre du correcteur K(s) donné par le théorème 2.2 ou solution du problème (2.15) sera égal à la somme des ordres de C(s) et des filtres \l'I(S). lV2(S) , \1'3(.'1')·

2.6. Exemple : asservissement de position

Nous présentons dans ce paragraphe les résultats obtenus sur un banc-lest cons­titué à partir d'un moteur à courant continu (figure 2.6), el décril par les équations suivantes:

Synthèse H<p' approche standard 33

& ( ) L- = -R l(t) - K/:J.(t) + A u(t)+b dt dO.

J -= KJ(t) - aQ(t) dl

n(t) = de dt

(2.29)

z(t) = 1..e(t) N

1 • n et e représentent respectivement le courant d'induit, la vitesse de rota­tion, et la position angulaire du moteur. Les tensions li, Z et b représentent ln commande, la mesure de position et une perturbation constante (tension d10ffset d'un ampli par exemple). Les valeurs nominales des paramètres sont les suivantes:

R =5,8 0.

L 5.10-3 H

Ke = 0,024 Vs

ampli

J =15.10-7 Kgm 2

a = 10-6 Nms

K L' ::: 0,024 NmA -1

A = 10

N 7

~ = 4 Vrd-I

11

n,o réducteur ( ~) ---t---~ b

moteur V---~ cap"1/,. 1 z

Figure 1.6 - Asserl'issemelll ell POSiTiofJ t/'/IIlIlIOIeW' il couralll colllÎml

Les objectifs de l'asservissement sont les suivants:

- bande passante : (j) c lo"::j 100 rdls - marges de stabilité : ~G ~ 15dB, L1<p ~ 50" • amplitude de la commande "raisonnable" - erreur statique due à b inférieure à 1 %

(2.30)

Pour effectuer la synthèse de l'asservissement, nous utiliserons un modèle simpli­fié. obtenu en considérant L ~ 0 dans les équations (2.29). Le processus a alors pour transmittance :

34 Commande Hel) et J..l-analyse : des outils pour la robustesse

G(s) = Zen U(s)

240 (2.31 )

La constante de temps ainsi négligée est peu différenle de L / R = 0,862.10-3 S .

Le filtre w1 (s) a été choisi afin que Je diagramme de Bode de 1 /lwI (jw) 1 :

- coupe l'axe 0 dB à 100 rd/s (bande passante demandée)

- présente un gain en haute fréquence de 1,7 de façon à limiter la norme H IX) de S ct à garantir ainsi une marge de module de l'ordre de 0,6.

- présente un gain suffisamment faible en basse fréquence

Dans un premier temps, les filtres w2 (s) et w3 (s) sont choisis constants, avec

H'.:; très faible ( w3 = 10-2 par exemple) : en d'autre terme, le calcul du correcteur

tient compte de la référence r, mais ignore la perturbation b. La valeur de Wz est

ajustée afin que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/ Wt • La

valeur w} = 0,5 a été retenue, pour laquelle la norme de la matrice (2.25) est

y = 0,957 . On augmente ensuite progressivement la valeur de "'3' jusqu'à ce qu'un effet si­

gnificatif apparaisse sur la valeur de y , en veillant toutefois à ce que celui-cl ne dépasse pas excessivement la valeur 1 : on oblient y 1,10 pour w3 0,15.

Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit] /11VZ (jw) 1. L'objectif est d'obliger le gain du correcteur à chuter dans les haules fréquences. afin

de limiter la sensibilité au bruît et de tenir compte du fait que le modèle utilisé de­

vient Încertain dans celle zone. A nouveau on fait en sorte de ne pas augmenter de

façon trop importante la valeur de y . Les filtres ainsi choisis sont:

s+128 lt'I(S) =-~----:-

1,7 (s+0,075)

1 +s/l 000

1 + s /50000 Wj 0,15

On obtient y = 1,17 pour un correcteur d'ordre 4, de fonction de transfert:

K(s) = 9,675 (1 + s /26)(1 + s /64)(1 + s /50000) s+0,075 (1 +.\'/375)(1 +s/931)(I+s/22500)

(2.32)

(2.33)

La figure 2.7 donne les modules des transferts qui interviennent dans le problème H <rj , comparés aux gabarits initialement définis (la valeur de y étant légèrement supérieure à l, ceux-ci sont légèrement dépassés).

Les figures 2.8 et 2.9 montrent les réponses de la boucle ouverte G(s) K(s) et du correcteur, qui respectenlle cahier des charges: la pulsation au gain unilé est égale il 100 rd/s, ct les marges de gain et de phase sont égales à 20 dB et 55° respectivement. Le correcteur présente un gain élevé en basse fréquence (ce qui assure une erreur statique vis-à-vis de b négligeable), une avance de phase au voisinage de la bande passante et un filtrage des hautes fréquences.

Synthèse Hoo. approche standard 35

Set 1/w1 KS el1/w2

0 0 10 10

·2 ·2 10 10

-4

104

10 0 0 5 10 10 10

102 SG el 1/w1/w3

1d KSG et 1/w2lw3

10° Il 10

.~

10

·4

0 10 0 5 10 10 10

Figure 2.7 - Réponsesfréqllelllielles des IrallsmÎUOllces S, KS, SG et KSG

Gain r-~-------.-----------r--------~

100

102 10~

pulsation (rad/sec) Phase (degrés)

pulsation (rad/sec)

Figure 2.8 - Répollscjréquemiellc de III boucle oU\'erle corrigée

On peut noter que le correcteur a un pôle en -0,075, donc très proche de l'origine. Comme indiqué au paragraphe 2.3, le correcteur a également un pôle très loin dans le demi-plan gauche, en -22 500. Son influence est négligeable sur les réponses fré­quentielles.

L'implantation du correcteur a été réalisée en effectuant les modifications ci­dessous, qui découlent des 2 remarques précédentes el n'entraînent aucune modifica­tion des réponses fréquentielles dans une large zone de part el d'autre de la pulsation

mc:

36 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la robustesse

Gain (dB)

::Eê~ ·20 -2 a 2 4

10 10 10 10 pUlsation (rad/sec)

Phase (degrés)

90 i

o - ---l ---

-,o~ -1 BO -2 0 2 4

10 10 10 10 pulsation (rad/sec)

Figure 2.9 - Répoflsefréquefltielle dll correctellr

- remplacement du pôle en -0,075 par un pôle en 0, afin de disposer d'une vérita­ble action intégrale.

- suppression des polynômes ] + s / 50 000 et 1 + s / 22500 du numérateur ct du dénominateur de K(s), ce qui diminue d'une unité l'ordre du correcteur sans changer en rien ses perfonnances.

Notons que celle étape de réduction du correcteur est souvent nécessaire, la commande H <Xl produisant des correcteurs d'ordre relativement élevé puisqu'égal à la somme des ordres de C(s) et des différents Iï1tres (paragraphe 2.5.4). Elle peut être réalisée de façon plus systématique en utilisant des méthodes appropriées [MiSB, SaPG], ou de façon plus rigoureuse en résolvant le problème (2.19).

On implante donc finalement le correcteur ci-dessous, lequel peut être écrit sous la forme du produit de 3 fonctions de transfert correspondant respectivement à un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe-bas intervenant au-delà de la bande passante:

K'(s)= 9,675 (l+s/26) l+s/64 s l+s/3751+s/931

(2.34)

Les réponses de l'asservissement il un échelon de consigne et de perturbation ap­paraissent sur la figure 2.10. Sur la première réponse, on obtient un dépassement d'environ 25%, avec un temps de 1 cr maximum qui vérifie la relation empirique werm ~ 3, sans erreur statique, et avec une commande du même ordre de grandeur que la référencc. La seconde montre qu'une modification de b n'introduit pas d'er­reur statique.

Synthèse HY.l' approche standard 37

-1V

(" !

o +-I-f--H -c- ----1---1- --;..--

.. _,= _.--- 1--

o

échelon tic cOI/signe échelon de perturha/ion

Figllre 2.JO - Répollses de /'asservisscmellt

2.7. Autres exemples de mise en Œuvre

La mise en œuvre détaillée dans le paragraphe 2.5 COlTcspond à un problème de base. La souplesse du cadre H:1) permet en effet d'imaginer de nombreux prolonge­ments, en adaptant le schéma précédent à la spécificité du problème. De façon géné­rale, on peUl tenir compte d'entrées agissant en différents endroits de la chaîne d'as­servissement, et contrôler différents signaux. Les paragraphes qui suivent donnent quelques exemples.

2.7.1. Rejet d'flue perturbatioll mesurable

Supposons que la perturbation b du schéma précédent soit mesurable. On a évi­demment intérêt à en tenir compte dans l'élaboration de la commande. On peul à cette fin construire le schéma de la figure 2.11. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant:

- \\' (r cl y comme entrée

- e = (el el Y comme signal à réguler

- Il comme commande

- )' =: (g b Y comme mesure

38 Commande H(f.) cL ).l-anulyse : des olllils pour ILl robustesse

Figure 2.11 - Asserl'ÎSsemenl avec rejeJ d'ul/e penurbatiolllllcsllrabie

Dans le cas d'une résolution par équations de Riccati (paragraphe 2.2), il con­

vient de vérifier l'hypothèse H2, avec en particulier rang ~D .l'Il' ) = Il),. Or celle-ci

correspond fi la transmission directe entre w = (r d)T et y = (g bf. En notant

(A:;, 8 3 , C.1' D3 ) une réalisation de W3(S) , cel1e-ci s'écrÎt:

D\'I\' =(1 0 J - 0 D 3

On voit donc que D3 doil être non nulle. De même D2 (transmission directe de ll'2 (s) ) doit être non nulle comme dans le problème précédent.

Les filtres ll'I (s) et w:; (s) seronL choisis comme expliqué au paragraphe 2.5.3. Le filtre \1'3 (s) permet:

- de pondérer le rejet de perturbation par rapport au suivi de référence (cas ll'3 (s) = w) constant)

de préciser le contenu spectral de la perturbatÎon (cas d'une perturbation agis­sant dans une certaine zone de fréquence).

2.7.2. Utilisatioll d'une meslIre supplémentaire

Supposons qu'en plus de la grandeur à asservir z, on dispose d'une mesure sup­plémentaire zs' On peut alors construire le schéma de la ligure 2.12, où li peut être inlerprétée comme une perturbation de mesure. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant:

( )T

- \II = r d li comme entrée

- e = (el el f comme signal à réguler

- Il comme commande

- )' = (g Zs f comme mesure

Synthèse H 00' approche standard 39

b

K( s) 1----'---.......... 1

II

-$

Figure 2. J 2 - ASscll'issemenr ill'ec rejet d'une perlurbatioll mesurable

En général il suffit de prendre la pondération supplémentaire H'..\ constante. Mais

celle-ci ne peut être choisie nulle si l'on fait la résolutÎon par équations de RiccatÎ. En effet la matrice D)'II" s'écrit :

(1 0

o 0

0'

H'4J

On ne peUL donc s'affranchir de la présence de la perturbation \.'. Par ailleurs on peUL noter que "'.. permet de réaliser un compromis entre les 2 mesures, donc d'ajuster la dynamique relative de chacune des 1. boucles.

Nous présentons au chapitre 7 un cas d'application illustrant celle démarche.

2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté

Dans le cas où l'on souhaite dissocier la dynamique du suivi de référence de celle du rejet de perturbation, on peut par exemple construire le schéma de la figure 2.13, dans lequel la référence et la mesure de la grandeur asservie entrent séparément dans le correcteur. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant:

- li' = (r d \' r comme entrée

- c = (el c2 Y comme signal à réguler

- 11 comme commande

- y = (r :: r comme mesure

40 Commande Roo ct ~-j]nalyse : des outils pour la robustesse

r

Figure 2. J 3 - Correcteur à 2 degrés de libené

De la même façon que dans le problème précédent. la pondération supplémen­taire 11'4 permet de régler la dynamique relative du suivi de consigne et du rejet de perturbation.

Chapitre 3

Approche Hoo par "loop-shaping"

L'approche proposée dans ce chapitre a été développée à partir de la notion de factorisation première d'une matrice de transfert, et de la stabiiisatÎon d'un système incertain exprimé sous celle forme [GIMc]. Il est toutefois possible de la présenter sans faire appel à ces notions, ce que nous avons choisi de faire ici.

Sa mise en œuvre utilise un problème H 00 de structure fixée, le réglage des per­formances étant obtenu par un modelage préalable de la boucle ouverte, suivant les principes de l'Automatique classique. Nous la présentons dans le cadre multivariable, et l'appliquons au problème d'asservissement déjà étudié au chapitre 2.

3.1. Un problème Hooparticulicr

Considérons le schéma-bloc de la figure 3.1 : la matrice de transfert cntre les perturbations d et b d'une part, la sortie )' et la commande Il d'autre part, s'écrit:

(Y(S)) ( Ses)

U(s) K(s)S(s)

S(s)G(s) j\ (D(S)J ( )-1 . S = 1 +GK K (s) Ses) GCs) B(s) ,

(3.1 )

On peut donc considérer le problème H o:J suivant: chercher un correcteur K(s)

stabilisant le système bouclé, et assurant pour une valeur y > 0 donnée:

(3.2)

b

Figure 3.1 . Problème considéré

42 Commande H'f.] ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

L'inconvénient de ce problème est qu'il ne donne aucun élément de réglage à l'utilisateur; par contre il représente un compromis naturel entre l'évolution de la sortie et celle de la commande, en réponse à des perturbations en entrée et en sortie. Ce problème présente en outre une propriélé remarquable; sa solution est en effet directement obtenue par le théorème suivant:

Théorème 3.1 [OIMe] - Soit (A, B, C) une représentation d'étal du système de

transmittanee G(s) 1. Si (A, B) est commandable et (C, A) observable, la valeur

minimale de y pour laquelle le système de la figure 3.1 peut être stabilisé par un

correcteur K(s) assurant (3.2) est donnée par:

(3.3)

où Àsup désigne la plus grande valeur propre, et X el Y sont les solutions définies

positives des 2 équations de Riccati suivantes:

(3.4.a)

(3.4.b) Il

Contrairement à l'approche standard (chapitre 2), on connaît donc à J'avance la valeur minimale de y que l'on peut atteindre. Le théorème suivant donne un correc­teur solution du problème.

Théorème 3.2 [GIMel Pour toute valeur de y supérieure à la valeur y rnin fournie par le théorème 3.1, un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant (3.2) est décrit par la représentation d'élat suivante:

{:\:e (t) = Ac .t'cU) + Be y(t)

a(t) Cc xeU)

Cc BTX

Zr = ~ + y X - y2/ t

(3.5.a)

(3.5.b) Il

Remarque: la version en temps discret de ces résultats est donnée dans [Wal]. Un exemple élémentaire est présenté dans le paragraphe suivant, landis que le pa­

ragraphe 3.3 propose un moyen d'introduire dans ce problème des éléments de ré­glage.

1 L'l démarche peut ëtre étendue au cas de systèmes non strictement propres [McGII J.

Approche Hr:t;) par "Ioop-slmping" 43

3.2. Exemple élémentaire

A titre d'exemple simple, considérons le schéma-bloc de la figure 3.1, avec le système:

a G (s) = - a > 0 soi t A = 0 B=a c= 1 (3.6)

s

Cc système est commandable et observable. Les équations de Riccati s'écrivent:

x (0) + (O)X - X (a 2 )X + 1 = 0

y(o)+(o)y -Y(I)Y +a 2 =0

Elles ont chacune une solution positive, qui s'écrivent X = lia et Y (l. La valeur

minimale de y pour laquelle le problème admet une solution est donc y min .fi.

Pour toute valeur de y supérieure à .fi, l'app1icaLÎon du théorème 3.2 fournit la

représentation d'état suivante:

ou encore la fonction de transfert:

K(s) = U(s) Y(s)

(3.7)

~2 _ 2 J. + 2 a ~2 -1 ) (3.8)

Comme pour le correcteur calculé dans l'exemple du chapitre 2 (paragraphe 2.3), on constate que le pôle du correcteur tend vers -00 lorsque y tend vers sa valeur

optimale .Ji ; lorsque y atteint sa valeur optimale, le terme en s du dénominateur disparaît, el l'ordre du correcteur passe de 1 à O. Comme dans l'approche standard,

cette réduction de l'ordre du correcteur pour la valeur optimale est un phénomène

général.

3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte

Nous avons déjà signalé qu'aucune fonction de pondération ne peut être intro­duite dans le problème (3.2), qui impose une matrice de transfert partÎculière. Pour

44 Commande Hrf) ct Il~anillysc : des outils pour la robustesse

régler les performances, on peut effectuer un modelage de la boucle ollverte (en anglais "loop-shaping") du processus, avanT de calculer le correcteur. La démarche est la suivante [McGII, McGl21 :

i) ajouter à la matrice C(s) du système il réguler un pré-compensateur Wei (s)

et 1 ou un post-compensateur Wc1 (s) (figure 3.2.a), de sorte que la réponse fréquen­tielle du sysLème augmenté Ci/(s) = Wc2 (s) C(s) Wcl (s) présente une forme saLisfaέsante:!. Typiquement:

- on assure des gains élevés en basse fréquence (par exemple au moyen d'une ac­tion inLégrale dans Wei (s) ou dans Wc::!. (s) sur la sortie à réguler).

- on assure des gains faibles dans les hautes fréquences (par exemple par des fil­tres passe-bas dans Wei (s) ).

- on choisit la fréquence de passage à 0 dB (qui correspond à peu près à la bande passante du système bouclé), en ajustant le gain général de l'un des compensateurs.

- on donne à la réponse fréquentielle une pente de -20 dB/décade au vOÎsinage de la fréquence de passage à 0 dB (par exemple au moyens de réseaux à avance de phase).

il) résoudre le problème H rf) précédent en considérant Co (s) au lieu de C(s) :

(3.9)

Iii) la structure de correction est obtenue en combinant les tïllres Wei (s) et Wc2 (s) déterminés en i) et le correcteur K(s) déterminé en il) (figure 3.2.b): dans le cas où la sorlÎe doiL suivre un signal de référence, on pourra sail prendre pour correcteur en série le produit WeI (s) K(s) W c2 (s) notamment si des actions inté­grales sont incorporées dans We2 (s) • soit dissocier les 3 éléments - ce qui convient nolammenL quand des actions intégrales sont incorporées dans Wei (s) .

On notera que toute la connaissance issue de l'Automatique fréquentielle tradi­tionnelle peut être utilisée lors de la phase 0, où de plus on se préoccupera principa­lement de régler Je gain sans trop s'occuper de la phase. Par aîlIeurs, il n'y a pas de contrainte de stabilité sur les compensateurs Wel (s) et Wc2 (s). qui peuvent en par­ticulier comporter des actions intégrales.

3.4. Réponses fréquentielles après optimisation H co

On peut néanmoins se demander si la réponse fréquentielle de la boucle ouverte finalement obtenue à l'étape iii) correspond au modelage effectué en O. Le raisonne­ment suivant permet de répondre à cette question.

2 Bien sûr, dans le CilS d'un système monovariable. un seul compensateur suffit.

Approche HCfJ par "Ioop-shaping" 45

bmule !Jll.ulIIJle

gral/LI gain

a) modelage du système

b) stmclures de correclion possibles

Figure 3.2 - SYllthèse H r1"J pal' "/oop-slwpÎug"

Supposons calculé un correcteur assurant l'inégalité (3.9). D'après les propriétés de la norme H Cù , chaque fonction de transfert qui compose la matrÎce qui intervient dans (3.9) aura une norme H Cù inférieure à y :

(3. JO)

Notons que dans Je cas monovariable. la première de ces inégalités assure ainsi que la marge de module du système esL au moins égale à l'inverse de y .

Par ailleurs, dans les zones où cr (Gu (jm) K (jeo»)« l (ce qui se produit en gé­

néraI en hautes fréquences), S{1(jeo);::::: 1 el K(jw)SIl(jw);::::: K(jeo). D'après la deuxième des inégalités (3.10), on a donc cr (K (jw») < y , et :

la même inégal ité étant vérifiée par cr (K (jw) Ga (jw»).

Réciproquement. dans les zones où cr(Gt/(jw) K(jw») » 1 (cc qui sc produit cn

général en basses fréquences),

46 Commande Ha';) et ~Hmulyse : des outils pour la robustesse

(si 1'on suppose que Ca et K sont currées), d'où l'on déduit:

(K . ») 1 1 cr (0 = > - (j a(K(jw») y

et:

Q(GI1 (jw) K(jW»)2 Q(G lI (jw») Q(K(jw)) > 2. Q(G'J (jw») y

la même inégalité étant là aussi vérifiée par QlK(jffi)G(/(jffi»).

(3.11.b)

Les inégalités (3.11) montrent que dans les zones où la boucle ouverte présente

soit un gain élevé, soiL un gain faible, le rapport entre les valeurs singulières obte­

nues à l'issue du "Joop-shaping" et celles de la boucle ouverte tinale n'excède pas la

valeur y de la norme H co • Notons de plus qu'il est montré dans [McGII, McGI21

que ce rapport tend asymptotiquement vers la valeur (/ 1)1/2 si cr (Ga (jw») -7 a ou si Q(GlI (jffi))-7 00 (figure 3.3).

On a donc une garantie que le "loop-shape" obtenu après le choix des compen­sateurs WeI Cs) et Wc2 (s) sera globalement respecté pour de faibles valeurs de y, dont, rappelons-le, la valeur minimale y min peut être calculée explicitement avant calcul du correcteur K(s). Cette valeur renseigne donc sur la pertinence des choix effectués lors de l'étape de "Ioop-shapîng". On considère généralement qu'une valeur de y de l'ordre de 2 à 3 est satisfaisante.

Figure 3.3 - Comparaison des répoll.'ies fréqllelllielles des bOllcles ouvertes.

Approche Hcr.J par "loop-shaping" 47

3.5. Exemple : asservissement de position

Nous reprenons avec celle approche l'exemple présenté au paragraphe 2.6. Le système étant monovariable, le modelage de la boucle ouverte peuL être accompli par un seul compensateur Wei (s) . Afin d'assurer le rejet de la perturbation b ct de fil­trer les hautes fréquences, un régulateur PI associé à un filtre passe-bas esl retenu. Son gain est ajusté pour que la boucle ouverte passe à 0 dB pour 110 rdls, soil une valeur légèrement supérieure à la bande passante demandée (figure 3.4) :

W ( )= 17,68 1+s/20

d S s 1 + s 11000

(3.12)

On obtient y min = 2,35. Le calcul du correcteur pour le système compensé G(s) Wei (s), et pour y = 1,01 Y min donne:

K(s) = 0 467 (1 + s Il 6,7)(1 + s /83,5)(1 + s /999,98) , (1 + s /19,98)(1 + s /342)(1 + s/934 )(1 + s /5585)

(3.13)

La figure 3.4 montre les réponses fréquentielles du système compensé G(s) Wd (s) et de la boucle ouverte G(s) Wei Cs) K(s), landis que la figure 3.5 montre la réponse fréquentielle ùu correcteur total WcI(s) K(s). On voit que la boucle ouverte finale reste proche de la réponse obtenue après le choix de Wei (s) , tandis que l'adjonction de K(s) permet d'assurer des marges de stabilité correctes. Les réponses de la boucle ouverte el du correcteur sonl par aîlleurs très proches de celles obtenues au paragraphe 2.6 (figures 2.8 et 2.9).

On peul remarquer que comme avec l'approche standard, la transmiuance K(s) possède un pôle très éloigné de l'origine (en -5585), dont l'influence sur les réponses fréquentielles est négligeable. Par conlre le correcteur obtenu Wei (s) K(s) a un pôle exactement à l'origine, résultant du choix de Wei Cs) .

On peut aussi noter que les transmiUances Wei (s) el K(s) font apparaître des termes très proches, donl J'influence devienl négligeable dans le produit WcI (s) K(s) :

- 1 + s /20 au numérateur de Wei (s) el 1 + s /19,98 au dénominateur de K (s)

- l+sl1000audénominatcurde Wd(s), l+s/999,98 au numérateur de K(s) Ces différentes remarques conduisent à impJanter le correcteur suivant, obtenu en

éliminant le pôle en -5585 de K(s) et les termes cités ci-dessus:

WcI (s) K(s) ~ K'(s) = 8,26 [1 +-~-' J 1 + s /83,5 1 s 16,7 1 +s/342 l+s/934

(3.14)

48 Commande Hw et Ji-analyse: des outils pour la robustesse

Gain (dB)

o 10

Phase (degrés)

-100

-200

10' 10~ 10~ pulsation (rd/sec)

4 10

-300L-~----~------~~----~--~--~~~

10° 10' 102

10J

104

pulsatîon (rd/sec)

Figure 3.4 - Réporlsesjréqllclliielles du processus pré-compensé (fin), et de la boucle VIII 'crie finale (gras)

correcteur Gain (dB)

20

~ o -·20

10' 102

pulsation (rd/sec) Phase (deqrés)

Cl 10 10' 10'

pulsation (rd/sec)

-~

3 10

3 4 10 10

Figure 3.5 Répollsejréqllentielle du correcteur

expression très proche de celle obtenue avec l'approche standard (paragraphe 2.6), et dans laquelle on reconnaît un régulateur PI complété par un réseau à avance de phase et un filtre passe-bas.

Chapitre 4

~-analyse

La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations, d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. Il convÎent donc d'étudier la robustesse de la loi de commande, c'est-à-dire de chercher à garantir la stabilité et un certain degré de performances en dépit de différentes inccrtitudes, quantifiées de façon appropriée.

Un formalisme général pcnneUant de représenter les incertitudes de modèle est présenté dans le premier paragraphe. Puis une première condition de robustesse de la stabilité est énoncée, en utilisant la norme H (1) • Celle analyse s'avérant en général trop pessimiste, il convient d'utiliser un outil plus approprié, la valeur singulière structurée, dont la définition et les propriétés importantes sont données au paragra­phe 4.3. Son milisation sur différents problèmes dc robustesse est exposée dans les paragraphes 4.4 à 4.8, ce chapitre se terminant par leur application à l'asservissement de position étudié aux chapitres 2 et 3.

4.1. Description des incertitudes de modèle

4.1.1. Rcpréscntation géllérale par LFT

Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement regroupées en deux classes: les incertitudes paramétriques, qui affectent la valeur d'un ou plusieurs paramètres réels; les dynamiques mal connues ou volontairement négligées dans l'écriture du modèle (intervenant en général en hautes fréquences), représentées par une ou plu­sieurs fonctions de transfert inconnues. Pour y incorporer le concept classique de marges de stabilité, on peut y ajouter des incerlitudes plus globales sur le gain et sur la phase, qui seront représentées par un ou plusieurs paramètres complexes.

Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 4.1 : toutes les incerLitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice 8(s); la matrice de transfert H(s) qui dans le cas d'un syslème asservi dépend évidemment du correcteur - modélise les interconnexions entre les entrées li' • les sorties y, et les signaux v et z qui permettent de faÎre intervenir les incer­titudes.

En écrivant les relations entre les différents signaux:

50 Commande HC1J et Il-analyse: des outils pour la robustesse

li

)'

Figure 4.1 - Représentation par LFT des incertitudes de modélisation

Z(s) H <:l'(s) V(s) + H <:11'(5) W(s)

Y(s) = Hy,,(s) V(s) + Hyll'(s) W(s)

V(s) = 8(S) Z(s)

on calcule le transfert entre w et e :

(4.1)

Cette expression est appelée une Transformation Fra ctioll Il a ire Liuéaire, ou LFT

(pour l'anglais Linear Fractional Transformation). Elle sera notée Fil (H (s), 8(S)) -

l'indice Il indiquant que 8 est connectée sur la partie supérieure de H . Pour écrire J'expression (4.2), il faut que la matrice 1 - H Zl'(S) 8(S) soit inversi­

ble pour presque tout s : on dit alors que la LFT Fit (H (S),8(S)) est bien posée. Sans perle de généralité, on peul toujours effectuer des mises à l'échelJe permet­

tanl de "normaliser" 8(5)! c'esl-à-dire de se ramener à la condition:

!18(S)IICIJ = sup a(8(jm)) < J (Il E R

(4.3)

Les exemples donnés dans le paragraphe suivant permettent de se familiariser avec ce concept.

4.1.2. Exemples de mise SOIIS forme LFT

Considérons un système de fonction de transfert G(s) . Si Go(s) désigne le mo­dèle nominal, el que ce modèle néglige une dynamique qu'on suppose être du pre­mier ordre, avec une constante de temps t < 1" max' on peul écrire:

1 C(s) = Co(s)-- ; t < 1" max

1+1"S (4.4)

La connaissance de la valeur 1" max permet d'établir une borne sur l'erreur relative

~-analysc 51

sur la réponse fréquentielle. On a en effet (figure 4.2) :

1 G(jw) lit jw 1 1 Lmax jw 1 Go (jw) - 1 = 1 + t jw :::; 1 + t max. jw

On peut donc modéliser la dynamique négligée en écrivant:

G(s) _ 1 = lI'l (s)~1 (s) soit G(s) = Go(s) (1 + \1'1 (s)~1 (s») (4.5) Go(s)

avec: wi (s) = t max S et V (0 I~I (jro)1 < 1 <::::> 11~1 (s)/Ioo < 1 1 + tmax S

La figure 4.2 représente l'allure du diagramme de Bode de \1'1 (s) ct le schéma-bloc correspondant. En identifiant celui-ci avec le schéma général de la LFT de la figure 4.1, on obtient:

[Z(S)]_H(S)[V(S)]_[ 0 1 ][V(S)] ; ~(s)=~](s) (4.6) Y(s) W(s) Go(s)\I'](s) Go(s) W(s)

(V

1 lin -I----.J"-----Y

Il'

Figure 4.2 - Modélisa/ioll d'l/Ile dynamique lIawcsfréqllcllccs 1Iégligée

Supposons à présent que Go (s) s'écrive:

Go(s) = ( )2 s+a

avec an - b < a < ao + b

En posant a = an + ob, -) < 6 < +), ct en remarquant que:

( J-I

lIb --=-- 1+0--s+a s+ao s+ao

(4.7)

52 Commande Ha) ct M-ana]yse : des outils pour la robustesse

on obtient le schéma-bloc de la figure 4.3 qui s'identifie avec la LFT de la figure 4.1 de la façon suivante:

-b 1

0 1 1

[ZI(S)J [VI(S) ] S+ClO 1 s+ l1o [VI (s) J 1

-b -17 1 1

1Ni- H(s) ~~~.\2 = 1 V~(s)

(s+aof ---1

S+{I() : (s+aof W(s) --~b-----:b--T---ï--- W(s) (4.8)

(s+(Jof ---1

S + {lo : (s + (Jo f

deS) = (~ ~J

w y

Figure 4.3 - II/certitude paramétrique

De façon générale. on peut établir [ZhDG] gue toute fonction matricielle dépen­dant rationnellement de variables 8 1 , •••• or peut être écrite sous la forme d'une LFT. avec une matrice H (s) indépendante des Oj' el:

Si enfin on souhaitc prendre en comptc une incertitude conjointe sur le gain et sur la phase l

, on peut introduire une incertitude complexe, par exemple sous la forme suivante:

(4.10)

gui correspond à un disgue de centre {1. 0) et de rayon sc' Ce modèle peut lui aussi

1 Celle incer1itude. plus difficile fl appréhender physiquement. peut par exemple être utilisée pour modé­liser une petile incertitude sur le gain !itatiquc, tout en tenant compte de rctards purs parasites. Une autrc ulilisalÎon permettant de garantir des marges de stabilité est donnée au paragraphe 4.7.

Il-analyse 53

être facilement identifié avec le schéma général: il correspond à un modèle du type (4.5), en remplaçant Go (s) par l, \VI (s) par Sc et L\I (s) par El' •

Une propriété imporlante des LFf est que toute association de LFf est encore une LFT [ZhDG]. Ai nsi si nous considérons une boucle d'asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle (4.5) avec la description (4.7) ct l'incertitude complexe (4.10) (figure 4.4), nous oblenons à nouveau une LFT par identification avec le schéma général de la figure 4.1, uvec :

y

Figure 4.4 - Boucle d'a.'iscl'l'issemellf avec 3 types d'incertitude

4.1.3. Structure géllérale de la matrice d'incertitude

En rassemblant les différenles sources d'incerLitudes de modèle, on obtient une matrice L\(s) , de dimension k 'X k , ayant la structure générale suivante:

des) diag {dieS), , .. ,L\q(s), BI111' ... ,Br/rr' EI/C1'· .. • Eelec } (4.12) di (S) E RH co ; {) i ER; E i E C

et vérifiant les conditions de normalisation:

La matrice des) comprend donc q matrices de transfert stables de structure quel­conque, r blocs réels dits "scalaires répétés" (Je scalaire Bj étant répété ri fois pour tenÎr comple de "incertilude correspondante), et c scalaires complexes répétés.

L'étude de robustesse consiste à chercher à garantir une propriélé particulière

54 Commande Hel) et )1-analyse : des outils pour la robustesse

(par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L\(s) décrit par (4.12). On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder cc problème:

- sail on ignore la structure de A(s) , en cherchant simplement quel1e est la plus grande valeur admissible de sa nonne. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme H cr.) • On obtient dans ce cas (paragraphe 4.2) une condition de robustesse de la stabilité assez simple, mais qui peut s'avérer très pessimiste.

sail on prend en compte la structure de A(s) • ce qui conduit à des résultats plus précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil: la valeur singulière structurée (para­graphe 4.3). Les analyses correspondantes sont menées dans les paragraphes 4.4 à 4.8. Remarque: si la propriété qu'on cherche à garantir est la stabilité, et si par hypothèse H (s) et A(s) sont stables, la seule source d'instabilité provient du bouclage par A(s) , et il est donc équivalent d'étudier la stabilité du système de la figure 4.5, avec M (s) ::: H 2:1' (s) .

z \'

Figure 4.5 - Schéma d'analyse de la robustesse de III stabilité

4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée

Si on ne lient aucun compte d'une éventuelle structure de la matrice d'incerlitude A(s) , le résultat suivant, connu sous le nom de "théorème du petit gain", conduit à déterminer une valeur maximale pour sa norme H:>:l'

Théorème 4.1 (théorème du petit gain) [ZhDG]. Si M(s) et A(s) sont stables, le

système de la figure 4.1 esl stable pour tout A(s) tcl que Il A(s) 11r1l < ri si et seule­

ment si IIM(s)lloo ~a-I ,où Atf(s) = Hz1'(s), •

Démonstration. On montre d'abord que la condition est suffisante: si

"M (s) 11<» ::; a -1 , alors Il A(s) Nf (s) IL ::; Il A(s) liro Il M (s) IL < 1. On a donc:

\i ro cr (A(jro) Nf (jro») < 1 :::;> \i ro det (! - A(jro) M (jro») * 0

d, ' (1 5 ') a d'd' l ' l'" {,,«() A(jro) z(t) 1 dl apres .. 1. n en e Ult que e systeme lOemre n a autre z(t) = M (jro) v(t)

jl-analyse 55

solution que (z(t) , \1(1))=(0,0), et ce pour tout 00 : en d'uutres termes, il n'exÎste

pas de Li(s) pour lequel le système de la figure 4.5 soit oscillateur. Comme ce sys­

tème est stable pour Li(s) 0, cela prouve, par continuité, sa stabilité.

Pour montrer que la condition est nécessaire, montrons que si Il M (s) IL > Cl. -1 il

existe Li(s) de norme H co inférieure à Cl. pour lequel le système est instable. Dans

ce cas en effet, soient (00 une pulsation pour laquelle cr (M (jwo») = P > Cl. -1 , et

M(jwo)=VIW"', avec :E=diag{p,a2, ... crk} une décomposition en valeurs sin­

gulières de M (jroo). Alors tout Li(s) tel que Li(jwo) = W diag {P-I ,0, ... 0 }V" et

cr(Li(jû}»)~cr(Li(jroo») vérifie Il Li(s) Il,,, =p-I <Cl. et det{!-Li(jroo)M(jûJo»)=O:

pour ce Li(s) , le système oscille à la pulsation 000' ~

~~~: nous avons vu au paragraphe 4.1.2 qu'une dynamique négligée du premier ordre peut être représentée par:

Supposons que ce système soit placé dans une boucle de contre-réaction, avec un correcteur K(s) (figure 4.6). On identifie facilement la transmittance M (s) du schéma général de la figure 4.5 à:

Nf (s) -w] (s) K(s)G(s)

1 + K(s)G(s)

Figure 4.6 - BOllcle d'aSSC'1'Îssement a\'CC dynamique 1légligée

D'après le théorème du petit gain, une condition de robustesse de la stabilité s'écrit donc :

56 Commande H::t:J et Il-analyse: des outils pour la robustesse

II

-W1(S)K(S)G(S) Il I-W,(jù))K(jm)G(jm) 1 <1 <=- \jm . <1 1 + K(s) G(s) ::t:J 1 + K(jm) G(jm)

soit encore: \j m 1 K(jro)G(jm) 1 < -:---1--:-1 + K(jm)G(jm) w] (jw)

(4.14)

On obtient donc une condition qui peut s'interpréter sous la forme d'un gabarit sur l'un des transferts de la boucle fermée (à noter que cette conditÎon peut être ex­plicitement prise en compte lors d'une synthèse H CI) ).

Remarque: il est possible que Jes résultats précédents soient à la base d'un fantasme assez répandu dans la communauté, qui veut que toute synthèse H aJ conduise néces­sairement à une loi de commande robuste. En fait le théorème du petit gain est diffi­cilement utilisable à des fins de synthèse car pour des problèmes réalistes, il conduit généralement à des conditions beaucoup trop sévères. Même utilisé comme outil d'analyse. il est en général trop pessÎmÎste, mais sa présentation est une première . approche. dont J'analyse par la valeur singulière structurée, beaucoup plus pertinente, peut être vue comme une généralisation.

4.3. Valeur singulière structurée

4.3.1. Définition

Reprenons la matrice ~(s) définie par (4.] 2). Soit P E C b-'<: une matrice de

mêmes dimensions que ~(s). Définissons l'ensemble !1 des matrices complexes présentant la même structure que ~(s) :

La valeur singulière structurée de P relatÎve à l'ensemble !1 est définie par:

Ill'. (p):= (Înf (cr(~): det (J - ~ p)= o)î-I

- àE~ ) (4.16)

Il à (p ):= 0 si \j ~ E à det (J ~ p) * 0

L'inverse de ~l ~(p) peut donc être interprétée comme la plus petite norme d'une

matrice ~ appartenant à J'ensemble ~ pour laquelle le système linéaire en

représenté sur la figure 4.7 devÎent singulier.

I I .,. , ...

Il-analyse 57

{V = Ll Z (1 -LlJ(l'! (OJ z = Pli<=> - P 1 z) = °

Figure 4.7- Illlelprélatioll de la valcllr singlllière structurée

4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée!

Les propriétés suivantes peuvent être démontrées très facilement. Elles permel­tent de se familiariser avec cet outiL

Cette propriété découle directement de la définition. A noler toutefois que ~l ê (p) peut être nulle sans que P soit nulle (exemple: p:::;: j el là = {(5 ER}) : dans le

cas général, J.Lê (p) n'est donc pas une norme.

Démonstration. Elle est semblable à celle du théorème du petit gain. Pour tout ~ tel que cr(Ll) < lIcr(P) , cr(LlP)<l,etdonc del(I-l!P);!:O.Donc J.Lll (p)::;cr(p).

_1

Réciproquement, soit P = V LW· une décomposition en valeurs singulières de P,

ct l! = ~v dillg {cr(p)-I,O, ... O }V*. Alors det(J -,1 p) ° et a(,Cl) = lIcr(P). Donc

J.LlI (p)~ a(p). J _1

P3) Si f!2

où PR(P) est appelé "rayon spectral réel"; en posant P T AT-1• où A est diago­

nale ou sous forme de Jordan, on a en effet det (I LlP) IT(l-(5À;), d'où le ré­

sultat.

P4) Si f!J

:! Suivant le temps dont on dispose. on peut accon1cr plus ou moins d'importance à celle partie. el retenÎr simplement que le calcul de J.L csl un problème dîfricilc, qu'on remplace pur la recherche d'une borne supérieure cl d'une borne inférieure.

58 Commande l/:f.l e1ll-analysc : des outils pour la robustesse

où plP) est le rayon spectral de P (même démonstratÎon).

Considérons à présent 2 ensembles de matrices ~tI c ~b • Dès lors que ces 2 en-

sembles vérifient ~2 ç; ~tI C ~!J ~ Ll] . et que la recherche d'un minimum d'une

fonction sur un ensemble plus large ne peut conduire qu'à réduire sa valeur, on dé­dUÎt de la définition la propriété suivante:

P5) '\1 P E Chk , si Ll/l c ~/J' Pn(p)::; ~~Jp)::; ~b\,,(p)::; cr(p)

En pratique, sauf dans des cas simples tels que ceux ci-dessus, le calcul de

flê (p) est un problème à complexité non polynomiale [BYDM]. On peut par contre

chercher à obtenir un majorant el un mÎnorant de J.lb\ (p), en affinant Pencadrement

qui vient d'être obtenu. Définissons pour cela les ensembles suivants:

D = diag {dtlkl .... , dqIkq' Dl .... ' Dp Dl .... ,

di ER; di> 0

. D· = D· * > 0 . D! E CCi XCi • D! , 1 1 • 1 • 1

} !(4.J7,(l)

D~'" >0 1

G = r 0= ding (Okl ,'" 0kq ' 0,,. .. Op 0CI"" OC, l l Gi E CrîXfi : Gi = Gj *

U={UELl;U·U=UU+=Ik }

Q = {L1E Ll; L1/A; = Ai A/ = 1 k) ; 0; E[-l; + 1]; Ej

(4.17.b)

(4.17.c)

(4.17.d)

L'ensemble D est constitué de matrices D hermitiennes définies positives, qui

commutent avec toute matrice L1 de Ll : D L1 = Ll D . L'ensemble G contient des

matrices hermitiennes (non définies (l priori) dont les seuls éléments non nuls cor­

respondent aux blocs réels de Ll . L'ensemble U est constitué des matrices unitaires

de Ll . Il est contenu dans l'ensemble Q . qui est lui aussÎ sous-ensemble de Ll .

On a alors, pour tout (D, L1)E DXLl :

det (! - L1 p)= det V - D-1 L1 D p)= del V - Ll D P D-1 )

de sorte que ~l~ (p) Pà (D P D-1 }:; cr {D P D-1

). On a donc:

P6) '\1 P E Ck}(k, PA (p)::; min cr (0 P D-1 ) - DED

La recherche de la borne supérieure donnée par la proprîété P6 peUl se faire en remarquant l'équivalence des propositions suivantes:

:3 D E D: cr (D P D-1 ):::-; a

:3 D E D: 1(D-1 p* D D P D-I)~ a 2

:3DED: D-1P·D2 PD- 1 _a 2 / ~O

3DED: P*D 2 p _a 2 D2:::-;0

:3D'ED: P·D'P _a 2 D':s;O

~-ilnillysc 59

(4.18)

On peut donc rechercher une borne supérieure de J.IQ. (p) en résolvant le problème

d'optimisation suivant:

Il_A (p) $ CL • avec a" = min a sous les contraintes: DeD

a ~O

p"DP-a 2 D:S;0

(4.19.11)

(4.19.b)

(4.19.c)

On peut noter que pour a fixé, l'inégalité (4.19.c) est une inégalité matricielle li­néaire (LMI) en D, tandis que pour D fixé, a est obtenu en calculant la valeur propre qui intervient dans la deuxième des propositions (4.18) : le problème d'opti­misation (4.19) est ainsi un problème dit "quasi-convexe", de sorle que tout mini­mum local est aussi global [YoND].J

Toutefois cette borne supérieure ne fait pas la distinction entre les incertitudes

réelles ou complexes. Dans le cas où /}. incorpore des blocs réels, elle est donc en

général de mauvaise qualité puisqu'elle les assimile à des blocs complexes.

L'utilisation conjointe des ensembles D et G permet de l'améliorer. On peut en

effet rechercher une borne supérieure de Il Il (p) en utilisant la propriété suivante

[FaTD, YoND], dont la démonstration est reportée en annexe de ce chapitre:

Il Il (p) :s; ~ .. avec p. = min ~ sous les contraintes: DeD,Gc:G

~~O

p" D P + j (C P - p" G ) - (j 1 D :s; 0

(4.20.a)

(4.20.b)

(4.20.c)

Là encore, pour (j fixé, l'inégalité (4.20.c) est une LMI en D et G, tandis que pour D et G fixés la recherche de P se résout par un simple calcul de valeur

3 La restriction à des matriœs D > 0 ne modifie pas la borne supérieure obtenue. En dfet, toute matrice

complexe D Înversible peul s'écrire sous la forme D = U R avec R = R- > 0, et U unitaÎre

( U· U = U U· = 1 k ), On a alors. d'après la défini lion IllCIllC des valeurs singulières:

cr(DM D-l)=a(u RAI R-1U-)=a(u Ri\! R-l)=cr(RM R-l)

60 Commande H~ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

propre: le problème d'optimisation (4.20) est lui aussi un problème quasi-convexe.

Pour déterminer une borne inférieure, notons que, pour tout (U,~) EUX!1

det (/ - ~ p) = det (/ - ~ U,. U p) = det (/ - ~' U p)

(puisque les matrices U sont unitaires), avec:

Il est donc équivalent de chercher ~ annulant det (I - ~ p) ou ~' annulant

det (l-~'U p). On a donc ~.~Jp) = ~à(U p);?: PR(U P), et par conséquent:

Malheureusement, le calcul de celle borne inférieure correspond à un problème d'optimisation qui comprend de nombreux maxima locaux.

En utilisant à présent l'ensemble Q , on note que:

celle dernière inégalité provenant de ce que la multiplication par Q n'affecte pas la norme des blocs complexes (pleins ou scalaires répétés), mais peut diminuer celle des blocs réels. Dès lors :

avec cr(~') ~ cr(~) . On a donc 1 / ~là (p) ~ 11 ~à (Q p). et donc ~à (Q p) ~ ~à (p) . Par conséquent:

On peut noter que les ensembles U et Q conduisent à des propriétés similaires,

~~ (P) étant invariant par multiplication par toule matrice de U mais non par toute

matrice de Q. L'intérêt de l'ensemble Q est qu'il est prouvé [YoDo] que l'inégalité

dans P8) est en fait une égalité, ce qui n'est pas toujours le cas avec U . Un algorithme permettant de déterminer un maximum local du 1 cr membre de

l'inégalité P8) est décrît dans [YoDo]. Il est intéressant de noter que de la matrice Q conespondant à ce maximum, on déduit immédiatement une matrice ~ assurant la

singularité de 1 - ~ P en posant ~ = k Q, avec k = ± (p R (Q p»)-1 , le signe de k ~ A

étant celui de la valeur propre de Q P qui correspond à P R (Q P) . On a en effet:

Il-analyse 6\

Remarque: la matrice ~ a tous ses blocs complexes de norme égale à k , et lous ses blocs réels de norme infériellre ou égale à k . Cela signifie que dans les analyses de robustesse menées dans les paragraphes suivants, les lermes réels d'une matrice d'in­certitude déstabilisante ne sont pas forcément tous situés sur les bornes de leur inter­valles d'incertitude respectifs.

4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée

4.4.1. Généralisatioll du théorème du petit gaiJl

De la définition de ~Q (p) on déduit le théorème suivant [Day, ZhDG], qui

fonde le principe de la JI-analyse:

Théorème 4.2 - Si H(s) n'a que des pôles à partie réelle négative, le système de la

figure 4.1 est stable pour toute incertitude ~(s) du type (4.12) telle que

Il ~(s) lico < a si et seulement si :

(4.21) Il

Démonstration. D'après la définition de ~ Q (M (jw)) , la condition (4.21) est équiva­

lente à :

'vi ~(s) tel que Il ~(s) IIC() < a, V 00, det (1 - ~(joo) iV! (joo)) ;: 0

{VU) = ~(joo) \'(1)

de sorte que si elle est vérifiée, le système linéaire z(t) = A1 (joo) v(t)

solution que (::(1) , v(t)) == (0,0).

n'a d'autre

Réciproquement, s'il existe (ûo telle que ~l~(Atf (jooo)) = P > a-l, cela signifie

qu'il exÎste ~o tel que cr(~o) = p-l et det (J - [\0 A-f (jOO O)) = o. Tout ~(s) tel que

~(jooo)=~() et a(~(joo))~a(~(jooo)) vérifïe 11~(s)ll<1J =p-I <a et annule

det(J - ~(jOOo)M (jOO O)) : le système oscille à la pulsation 00 0 •

Basée sur le théorème 4.2, la ~l-analyse consiste à évaluer un réel positif il ' le

plus faible possible, qui soit un majorant de ~l~(iVl(s)) sur "axe imaginaire. La pro­

cédure usuelle consiste à choisir un ensemble suffisamment dense de valeurs de 00,

et à calculer une borne supérieure de ~Q(!l1(joo)) pour chaque valeur choisie, en

utilisant (4.19) ou (4.20) : on prend alors pour ~ la valeur la plus élevée obtenue.

62 Commande Hw et f.l-analyse : des outils pour la robustesse

De la sorte, la robustesse de la stabilité est assurée pour toul L\(s) de norme H <Xl

inférieure ou égale il jI-1 . Lorsque la matrice L\(s) incorpore des incerlÎludes réel­

les (5 i • on en déduit notamment que le système reste stable pour toUl (5 i de valeur absolue inférieure ou égale à jI-l : on affecte ainsi un intervalle admissible il chaque

paramètre.

4.4.2. Exemple élémentaire

Considérons un système de fonction de transfert K / p , placée dans une boucle de contre-réaclion de gain 1. Nous supposerons que la valeur nominale de K est égale il 1, mais qu'elle esl entachée d'incertitude, soit:

K=l+ab, a>O, SER (4.22)

Le schéma d'analyse correspondant est donné sur la figure 4.8. On effectue faci­lement les calculs suivants:

-Cl M (s) = -- avec L\(s)

s+l 8 d'où det{I-M(jm)S) 1 +_{l_5

jm+ 1

Sachant que SE R , on a 2 cas possibles suivant la valeur de m :

-si m=O, det(1-A1(jw)0)=0 pour 0= l/a,onadonc /lê(M(jO»)=a

- si m:;t: 0 , det (1 - M (jm)S)-# 0 quel que sail (5. on a donc /l6 (Jllf (jm») = O. La courbe correspondante esl donnée sur la figure 4.8 : /lê (M (jm») étanl majoré par

a, on en déduÎt qu'il y a stabilité pour tout 0 dans l'intervalle ] -1/ a ; 1: a [.

a 1Iln (M{j{tl»)

1 (u

o --r~-----;;>-

Figure 4.8 - Boucle d'assel1'issCIIWlIlll1'eC incertitude paramétriql/e

Remarque. Deux commentaires peuvent être faÎts il partir de cet exemple:

- on note toul d'abord que la ~L -analyse ne donne pas accès au domaine de

Il-analyse 63

stabilité complet (un calcul de la fonction de transfert de l'asservissement montre qu'il y a stabi1ité pour tout K > 0, donc pour tout El dans l'intervalle

] -II CI ; + 00 [). Les intervalles déterminés par )l-anaIyse sont en effet les plus

grands intervalles centrés sur la valeur 0 et contenus dans le domaine de stabilité. Généralisons cette observation: dans le cas général d'un système à plusieurs para­mètres, le résultat de la ~l-analyse sera le plus grand hyper-reclangle centré sur l'ori-

gine et contenu dans le domaine de stabilité.

- la courbe donnant ~l A (M (j(ù») en fonctÎon de (ù est ici discontinue. Une dis­cussion a ce sujet est reprise le paragraphe suivant.

4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre

Comme le montrent les exemples du paragraphe 4.1.2, l'extraction dcs incertitu­des pour obtenir la représentation de la Figure 4.1 n'est pas toujours immédiate. Dans le cas où le modèle du système est affine en les paramètres incertains, une méthode systématique d'extraction a été proposée par Morton [Mor, ZhDG)). Pour un modèle non affine, il n'existe pas à notre connaissance de solution définitive, dans la mesure où les algorithmes proposés notamment par [BeCh], [LTBSJ, [ChDe], rBec], [Fon] ne garantissent pas que la matrice d'incertitudes Ll(s) soÎt de dimension minimale.

Par ailleurs, la question de la réduclion d'une LFT, c'est-à-dire de l'obtention d'un modèle dans lequel les paramètres seraient répétés un nombre de fois moins impor­tant, a été notamment abordée dans [WDBG, WoGG, BeDG, HVDE].

Il faul rappeler néanmoins que toule association de LFT est aussi une LFf [ZhDG). Lorsqu'il esl possibJe de décomposer le modèle du système en plusieurs blocs, soit affines en les paramètres incertains, soit d'ordre en s faible, il est assez simple de procéder à l'extraction en truvai11ant sur chaque bloc séparément. puis en rassemblant l'ensemble (on trouvera dans [Fon] l'extraction des incertitudes pour tous les modèles usuels du premier ou du second ordre).

Lorsque la matrice .6.(s) incorpore des incertitudes réelles, )l!! (M (jm») peUL être

une fonction discontinue de la fréquence, voire des données [PaPa, LeTi] - la pre­

mière situation se présente, par exemple. lorsque les variations paramétriques sont

telles qu'un pôle traverse l'axe imaginaire à une fréquence fhe. On constate égale­

ment que lorsque l'analyse de robustesse incorpore des incertitudes sur des modes de

résonance très pOÎntus, la courbe ~!! (M (jm») présente des pics très fins. Dans ces 2

cas, la recherche du majorant il, si elle est ef/'cctuée au moyen d'un simple échan­

tillonnage en fréquence, peut conduire à sous-estimer gravement Ic maximum de

/lA (M (jw)) 1 donc à tirer des conclusions erronées quant à la stabilité. - En présence d'incertitudes réelles, on peut appJîquer une procédure de régulari­

sation. Ainsi. Packard el Pandey [PaPaJ proposent de remplacer chaque paramètre réel 0i par un paramètre complexe 0i + a E;, Oj ER, Ei E e,les variations de Bi'

et Ei étant indépendantes. On évalue ensuÎte la valeur singulière structurée pour le

64 Commande Ht:t:l el Jl-analysc : des outils pour la robustesse

problème modifié par l'adjonction des Ei' Celle-ci est nécessairement une fonction

continue des données et de la fréquence, et son maximum tend vers le maximum de ~ Q (M (jrn)) quand a tend vers O.

Le paramètre de régularisation a est choisi faible (a ::::: 0,01 par exemple) pour limiter les incertitudes complexes artificiellement introduÎles à une valeur "raisonna­bic". Il faut néanmoins remarquer que l'incorporation des Ej double la dimension de la matrice des incertitudes paramétriques.

D'un point de vue pratique, on peut retenir qu'il est peu recommandé de travailler avec uniquement des incertitudes réeJJes. Souvent la présence d'une incertitude com­plexe suffit à donner à Il!l (M (jro)) une allure suffisamment régulière.

Enfin différents travaux, qui sortent du cadre de ce cours, ont été proposés pour éliminer l'échantillonnage en fréquence: dans certains d'entre eux [Hel, FrDB] la fréquence est traitée comme un paramètre incertain, et intégrée à l'analyse de robus­tesse. D'autres approches [MaDo, VaDu, FeBi] consistent à rechercher un intervalle de fréquences sur lequel les facteurs d'échelle D el G calculés pour une pulsation ct une valeur ïI données restent valables.

4.6. Robustesse de la position des pôles

Un objectif plus ambitieux que la stabilité est de chercher à garder les pôles du système bouclé dans une région n du plan complexe (n -stabilité), correspondant par exemple à une valeur maximale -a < ° de la panie réelle et un amortissement minimal ç des pôles complexes (figure 4.9). L'analyse est une simple extension de celle du paragraphe 4.4 [FFDM] : le domaine autorisé pour les pôles est limité non plus par "axe imaginaire mais par la frontière an de n, et c'est donc sur an qu'on teste la valeur singulière structurée. On obtient ainsi le résultat suivant:

Théorème 4.3 - Si H(s) et Ô(s) ont tous leurs pôles dans n, le système de la

figure 4.1 a tous ses pôles dans n pour tout Ô(s) du type (4.12) telle que

IIÔ(s)llcn < ~ si et seulement si :

(4.23) Il

4.7. Robustesse des marges de stabilité

L'incorporation d'incertitudes complexes dans une boucle d'asservissement per­

mel de garantir des marges de stabilité pour la boucle où elle est introduite: considé­

rons par exemple le schéma de la figure 4.10, où A(s) est du type du type (4.12) et

représente les incertitudes physiques, E est complexe, et Sc ER. En rassemblant les

2 incertitudes, on conçoit que la valeur singulière structurée doive à présent être

calculée relativement à l'ensemble:

1l1:= {Ô' = diag {A, E} ; Ô E Il : E E C } (4.24)

~L-analyse 65

Im(.~) " ..----~~-------, :3

()

-1 Q -2

-3

-"1 Re(s) -3 -2.5 -2 -1.5 "1 ·0.5 0

Figure 4.9 - Domaine requis pOlir le placemefll des pôles

Supposons que soit vérifiée la condition suivante:

(4.25)

où M (s) est définie sur la figure 4.10. Alors le système de la figure 4.10 est stable

pourlout i.l(s) de type (4.12) tel que Ilil(s)lIco <y,etpourtout E lei que IEI<y.

M(s)

L---------l K( s) ,....-------....1

Figure 4. JO - lnco1JJOrat;all d';ncertÎmdes complexes en entrée du sJ'stème

Or le transfert entre la sortie et l'entrée de l'incertitude complexe s'écrit:

(4.26)

où Ses) est la fonclion de sensibilité du système. D'après le théorème du petit gain

(paragraphe 4.2), on peut déduire du résultat précédent que pour tout il(s) du type

(4.12) tel que lIà(s)lIro < y, Sc Ses) a une norme fI ~ inférieure ou égale à y-l,

donc que:

66 Commande Ha::; ct 1 .. H.mnlyse : des outils pour la robustesse

La quantité l' K(jro) GUoo) 1 représente la distance entre un point du lieu de Ny­

quist et le point critique (-1. 0), dont le minimum est la marge de module (figure

4.11). On peut donc conclure que la marge de module est au moins égale à Sc Y , et

ce pour toutes les incertitudes physiques vérifiant IIA(s)lla'"J < y :1

lm

-1 0 ----~--~rA~r-------~---~Re

II-KGI

- K( jet)) G (jrt»

Figll1ë! 4.1 J Marge de module gaf(mlie

Dans le cas d'un systèmc présentant plusicurs boucles de contre~réaction. on peut généraliser la démarche en incorporant une incertitude complexe de ce type dans chaque boucle. L'analyse permel alors de garantir une marge de module dans cha­cune d'elles simultanément.

4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle

On peut enfin étudier par ~L-analyse si l'une des réponses fréquentielles de l'asser­

vissement respecte un gabarit spécifié (tel que ceux qu'on spécifie en synthèse H a'"J

standard). Supposons par exemple qu'on impose au transfert Ty, el (s), entre une

entrée (ou un vecteur d'entrées) el et une sortie (ou un vecteur de sorties) )'] de

l'asservissement, de respecter la contrainte:

(4.28)

OÙ HI] (s) est une fonction de transfert scalaire dont l'inverse du module joue ]e rôle

de gabarit. Nous supposerons dans la suite que el et YI sont de même dimension

.. \ Bien que nc constituanl pas une régularisation au sens mathêmaliquc de ce terme, l'incorporation de

celle incertitude complexe a en généml pour effet d'adoucir la courbe de Il A (M (jm)) .

Il-analyse 67

11) • On construit alors le schéma-bloc de la figure 4.12.a, en isolant les incertitudes

physiques d(s) , que nous supposerons normalisées CIId(s)llçr;> < 1 ), en incorporanl

le filtre wi (s) , et en définissant E(s) \1'] (s) YI (s).

Il faut à présent assurer que le transfert de H' vers e présente une norme fI cr:: in­

férÎeure ou égale l, et ce pour tout A(s) tel que IIA(s)IICil < 1 . D'après le théorème

du petit gain (paragraphe 4.2), cette condition est obtenue si el seulement sÎ le sys­

tème de la figure 4.12.b est stable pour toul A l (s) tel que Il.1 f (s )II~ < 1 . où A f (s) est une incertitude fictive non structurée bouclanl e sur w.

Si on définît alors la matrice de transfert M (s) comme indiqué sur la figure 4.12.b, et qu'on calcule ta valeur singulière structurée relativement à l'ensemble:

(4.29)

on peut donc énoncer que (4.28) est vérifiée pour tout A(s) tel que IId(s)llo') < 1 si

et seulement si :

a) Scltéllw pour la robllstesse du tramferl

de el l'ers YI

(4.30)

b) Schéma équimlem de robustesse de la stabilité

Figure 4.12 - Robustesse d'une répol/sc fréqu(!lIIielle

Comme dans le paragraphe 4.7, la valeur singulière structurée permet de trans­former la condition de robustesse de la performance (4.28) en condition de robus­tesse de la stabilité, et de tester ceLLe condition.

68 Commande H'XJ et Il-analyse: des outils pour la robustesse

4.9. Exemple: asservissement de position

Nous reprenons dans ce paragraphe l'exemple traité au paragraphe 2.6 du chapi­tre 2. Nous allons étudier les propriétés de robustesse du système muni du corrccteur calculé par l'approche Hm standard.

4.9.1. l1lcertitudes et forme LFT du moteur

Nous allons supposer que le moteur est soumis il 2 typcs d'incertitude:

- des incertitudes paramétriques sur le gain et la constante de temps principale - une dynamique négligée, correspondant il la constante de temps électrique.

La fonction de transfert du processus est donc la suivante:

K G(s)=-----

s(1+1:s)(l+r's) l' < 1:;n[\x (4.31 )

La dynamique négligée est lout d'abord modélisée, comme expliqué au paragraphe 4.1.2, en écrivant:

G(s)

Compte tenu de la valeur de la constante de temps négligée, on choisit , 10-' tmax= -s.

Supposons de plus que les paramètres K et 1 présentent ± 25% d'incertitude:

K Ko+KI OK' Ko = 240rd/sN , KI =60rd/sN, OK E]-1:+1[

t 1'0 + 110, . rD 15-10-3 S , 1'] =3,75.10-3 s, 0, E ]-1; +1 [

soit: K E ]180; 300 [rd/sN; tE ]11,25.10-3 ; 18.75.10-3 [s.

Le processus avec les seules incertitudes paramétriques a pour équations d'état:

(4.32)

Posons:

Il-analyse 69

- ZK (1) W(t)

d - z (1) =

l' dt

La 2Î!n1C équation s'écrit :

(4.33)

de sorte que la fonction de transfert peuL être mise sous la forme LFf de ln figure 4. J, la partie inférieure, que nous noterons Hp (.'1), étant décrite par les équations

d'état suivantes:

1 . d" . d ' ~. A( A (8 K el a matnce IOcertltu e s ccn vant: L\ s) = L\ J1 = 0

En ajoutant la dynamique négligée, et en bouclant le système avec le correcteur déterminé au chapitre 2, on obtient une nouvelle LFT (figure 4.13), avec une matrice d'incertitude qui siécrit :

(4.35)

,. y

Figure 4.13 - Forme LFT du système bOl/clé

70 Commande Hm ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

4.9.2. Robustesse de la stabilité

Le calcul d'une borne supérieure et d'une borne inférieure de ~l ~ (AI! (Jill)) con­

duit aux courbes de la figure 4.14. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,401, on en déduit que la stabilité est garantie pour tout

11~(s)ll11';) < 1/ 0,401 , donc pour le domaine d'incertitudes suivant:

qui contient les incertitudes paramétriques initiales et la dynamique négligée.

0.5

0.'1

0.3

0.2

0.1

o • 10

bornes 5upérillurc 01 inférieure tle mu

101 10'

borne supérieure de mil en w ;; 0 : 0.25

. pulsation (rtlls)10

Figure 4.14 - Robustesse de la stabilité

4.9.3. Robustesse de la positioll des pûles

A l'aide du même schéma, on peut chercher à garantir que les pôles du système

bouclé reste dans un domaine Q tel que celui définÎ sur la figure 4.9 ( .Q -stabilité),

en calculant Jl~ (M (s)). pour s parcourant la frontière de ce domaine (paragraphe

4.6). Il faul bien sûr que le modèle moyen (correspondant à K 0' 10' et sans dyna­

mique négligée) ail tous ses pôles dans .Q . Ceux-ci sont les suivants:

Partie réeJle 48,14

- 146,9 - 982,7 -1000

Partie imaginaire ± 9,16 ±39,9

a o

Pulsation propre 49,0 152,2

Amortissemen l 0,98 0,96

l-1-ana1yse 71

En choisissant -a = - 30 et ç = 0,3 , on obtienl la courbe de la figure 4.15. La

borne supérieure présentanl un maximum de l'ordre de 0,938 1 on en déduil que 1'.0 -

stabilité est garantie pour tout IILl(S)llm < 1/0,938, donc pour le domaine d'incertitu­

des suivant:

K E ]176,0; 304,0 [rd/sN 't E ]11,00.10-3 ; 19,00.10-3 [5 et IILl, (s)IIaJ < 1,06

bOlnes 5upérieuro el inférieure de mu

ta' 102

10' pulsillîan (rtl/s) 10' bOlIIo supariCUlt! dl.) mu en w = 0 : 0.57

Figure 4.15 - Robl/stesse de /a position des pôles

4.9.4. Robustesse de la marge de module

Le modèle moyen présentant une marge de module de 0.74, nous allons chercher à garantir une marge de module supérieure ou égale à 0,5 pour le système incertain. Comme expliqué au paragraphe 4.7. on modifie pour cela le schéma de la figure 4.13, en ajoutant une incertitude complexe (figure 4.16). La matrice d'incertitude est maintenant:

(4.36)

On obtient les courbes de la figure 4.l7. La borne superIeure présentant un

maximum de l'ordre de 0,908, on peuL garantir une marge de module au moins égale

à 0,5/0,908 = 0,55 , pour tout IILl(S)IL~ < 1/0,908, donc pour le domaine d'incertitu­

des suivant:

K E ]173)9; 306,1 [rd/sfV 1: E JI0,87.10-3 ; 19.13.10-3

[5 et liAI (s)IL < 1,10

72 Commande HcfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

Figure 4.16 - Schéma d'analyse de la robustesse de la marge de module

uorneS stJPëriCUIEl 01 infëriaurl! da mu

O"~o' 10' 10' pulsation (rd/5) 10' uorne supÎ!riouro da mu en w .. 0 : 0.25

Figure 4.17 - Ralms/esse de la marge de modllle

4.9.5. Robustesse du suivi de consiglle

La ligure 4.18 montre la réponse fréquentielle du transfert entre l'entrée de réfé­rence r et l'erreur d'asservissement E pour le modèle moyen. On peut chercher à garantir pour le système incertain un gabarit tel que celui représenté sur celte même figure, qui correspond à la fonction de transfert :

2,5.'1 + 1

"'2(s) S + 100 (4.37)

Comme expliqué au paragraphe 4.8, on modifie pour cela Je schéma de la figure

~~analysc 73

4.13, en ajoutant une dynamique négligée fictive (figure 4.19), avec 1I'2 (s) comme pondération. La matrice d'incertitude est maÎntenant :

(4.38)

reponSIl nCminill!l Dt gilbmlt choisi 10' ,.------.-----,----...,....----,

10°

~~--~---~---~--~ 1010" 10' 1

10 10' 10'

PUl5ilticn ('dis)

Figllre 4.18 - SI/li'; de cons;glle f/ominal. et gabarit cho;si

Figure 4.19 - Schéma d'analyse de la robmlesse dl/ sllivi de consigne

On obtient les courbes de la figure 4.20. La borne supérieure présentant un

maximum de l'ordre de 0,994, donc inférieur à 1, on en conclut que le gabarit Îni­

tialement choisi sera effectivement respecté, ct cc pour tout 116.(s)ll<7) < 11 0,994 donc

pour le domuine d'incertitudes suivant:

74 Commande Hrr; eljl-analyse : des outils pour la robustesse

K E ] 179,6; 300,4 [rd/sN ; 1" E ]11,23.10-3 ; 18,77.10-3 [s et liAI (s)ll", < 1,01

0.7

bernes supèlicur() cl inlârieura de mu

10' pulsalion (rd/5) 10· borna supârieuTo de mu cn w '" 0 : 0"25

Figure 4.20 - Robustesse du suivi de consigne

Remarque 1 : si dans ce problème la valeur maximale 11 de la borne supérieure de

~l ~ lM (jro) est supérieure il l, on ne peut garantir le gabarit proposé mais on peut

garantÎr le gabarit plus large ft IIw2 (jro)1 ' pour un domaine d'incertitudes réduit dans

un rapport il . Remarque 2 : par ailleurs, on prendra soin, dans les Il-analyses, de toujours calculer

la valeur de 1l~(M(jro)) en 00=0. En effet 1l~(M(jw)) peut présenter une discon­

tinuité en ce point lorsque les variations paramétriques amènent un pôle réel il fran­chir l'axe imaginaire (voir l'exemple du paragraphe 4.4.2).

Annexe: borne supérieure de Il ~ (p)

Nous allons démontrer la borne supérieure (4.20). Rappelons que pour l'établir on considère les deux ensembles de matrices définis par (4.17 .a) et (4.17 .b) reportés ci-dessous:

~HlI1alyse 75

On a alors, pour tout (C,Ô)EG x8: CÔ=Ô*C.

On en déduit que pour tout (Il, z) solution du système "-{

\l= Ô -

z= PI'

z • (C Ô Ô" G ) z = 0

<=> z.*Gv l',oGz =0

<=> v,o p,o G l' - v" G P l' = 0

et donc:

cette expression ayant pour but d'obtenir une expression où intervienne une matrice G , la présence de j permettant de conserver une matrice hermitienne.

Par a iIJe urs , soit v).:::), ~I les vecteurs et la matrice de plus petite norme pour laquelle le système cÎ-dessus est singulier. Comme l') = Ll) P 1'\ • on peut écrire;

1"" Il, 4'~, P", Il, ,; 0'("" III P", Il,: 1l~I(Pl Il p\',II,

rinégalilé provenant de la propriété (1.5j) de ln valeur singulière supérieure, et la dernière égalité de la définition de J.l~ (p). On il donc:

On sait enfin que sÎ H est une matrice hermitienne, ses valeurs propres sont

réelles. et la plus grande d'entre clles I(H) vérifie:

x" H x -A(ll) max---= . x,,",o x"x

En rassemblant ces 3 résultats, on obtient:

Si on remplace à présent P par D P D-1 ,où D est une matrice quelconque de

D, on obtient:

76 Commande lltfJ cl Il-analyse: des outils pour la robustesse

celte inégalité étant vérifîée pour tout (D, G) E D x G

En reprenant le raisonnement ayanl conduit à la borne supérieure (4.19), soit p* le minimum sur (D,G)E DxG du second membre de J'inégalité précédente. Alors:

cette dernière inégalité étant obtenue en posant D' = D2 E D el G':= DG DE G .

On obtient ainsi la borne supérieure (4.20).

Chapitre 5

POLIr aller plllS loin ...

Dans ce cours, nous avons présenté des méthodes de synthèse et d'analyse qui, utilisées conjointement, fournissent des outils permettant d'obtenir des commandes performantes et robustes dans un grand nombre de cas pratiques. L'objet de ce cha­pitre est de donner au lecteur une ouverture sur des techniques voisines ou qui cons­tituent un prolongement naturel, et en particulier sur la ~1 -synthèse, qui tente de réaliser de façon "automatique" l'association de la synthèse Ha;) et de la ~l-analyse.

5.1. Le problème de la "synthèse robuste"

5.1.1. De la synthèse Ha;) à la jJ -synthèse

Au vu des développements des chapitres 2 à 4, on peut être tenté de chercher une réponse au problème suivant: peut-on déterminer un correcteur qui garantÎsse que la norme H ctJ d'un système bouclé reste inférieure à un niveau y donné, ce système étallf soumis à différentes illcertitudes de modèle?

Pour aborder ce problème, on considère le schéma-bloc de la figure 5.1.a, qui

combine le schéma de la synthèse H co standard (figure 2.1) et celui de la ~l-analyse

(figure 4.1). Comme au chapitre 4, les incertitudes Ll(s) ont la structure générale:

Ll(s) ::= diag {Lll (s), ... ,Ll q (s), 0]1 rJ ' ••• ,0 ri rr ' El/Ci"" , E (.' 1 c,_ }

Ll i ( S) E RH U] ; 0 i ER; E i E C (5.1 )

ct nous supposerons qu'ellcs vérifient les conditions de normalisation:

En supposant de plus que le niveau y à satisfaire est égal à 1 (on peut toujours se

ramener à ce cas en intégrant la valeur de y dans la matrice P(s)), le problème est

Je suivant: déterminer un correcteur K(s) tel que la norme H Cf) du transfert de \1'

vers e soil Înférîeure à l, pour tout Ll(S) du lype (5.1) telle que IILl(.'I)IL < 1 .

Comme dans J'analyse de la robustesse d'une réponse fréquentielle (paragmphe

4.8), le théorème du petit gain permet d'établir que cette condition est obtenue si et

78 Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse

seulement sÎ le système de la figure 5.I.b est stable pour tout b. f (s) lei que

Il.6 l (s)lICf.) < 1 , où b. f (s) esl une incertitude fictive non structurée bouclant c sur

\l' . Celle condition est cHe-même équivalente à :

(5.3)

où l'ensemble L1," (défini comme en (4.29)) tient comple simultanément de la pré­

sence de b. l (s) et de la structure de il(s) . Déterminer un correcteur vérifiant (5.3)

est appelé un problème de Il-synthèse [Doy]. Malheureusement, en dehors de cas

simples, il n'a pas de solution connue à l'heure actuelle.

Z \'

..... \1

e w

e w y Il

Il

a - Problème de synthèse robuste b Mi,\"(! en/orme pour la ll-sy11lltèse

Figure 5.1 - Approche de III synthèse robl/ste par la p-symhèse

5.1.2. Approche de la Il*syllthèse par la D-K itération

Or, pour chaque valeur de ffi, l'inégalité suivante est vérÎtïée :

~LQ,,(F/(P(jffi), K(jffi))) ~ cr{olll FI (PUffi), K(jW))DI!)-I) (5.4)

où DI!} est n'importe queIle matrice inversible qui commute avec toute matrice de la

forme diag tb.(jro), il f (jro) J. Remarquons, au vu de la nOle 3 du chapitre 4, que

l'on n'esl pas obligé d'imposer à DIJJ d'être hermitienne.

Un problème plus réalisle est donc le suivant:

Problème 5.1 : Déterminer un correcteur K(s), et une matrice D(s) E RH Cf.) telle

que D(S)-lERHCf.) commutant avec toute matrice dîag {il(s),ilr(s)} ,tels

que:

Pour aller plus loin". 79

En effet, la condition (5.5) assurera que:

Notons que la contrainte d'avoir D(s) et D(s)-I appartenant à RHm est nécessaire

pour qu'il existe un correCLeur stabilisant la matrice de transfert qui apparaît dans (5.5).

Là encore, ce problème n'a pas de solution connue en général, mais on peut tenter de le résoudre en cherchant alternativement les matrices K(s) el D(s) : en effet, calculer K(s) li. D(s) fixé n'est autre qu'un problème H ~ -standard, correspondant au schéma-bloc de la figure 5.2 ; à K(s) tixé, la recherche de D(s) peut être con­duite en calculant la borne supérieure (5.4) pour un ensemble de valeurs de (ù choisi a priori, puis en interpolant les matrices Dm obtenues par une matrice de transfert stable et à inverse stable.

Figure 5.2 - Problème H Ct) -standard résolu lors des D-K iléra/iOJlS

On obtient ainsi la procédure suivante, appelée D - K itération [Doy, ZhDG] :

i) choisir un ensemble inilial de matrices DIlJ (par exemple égales à la maLrice identité)

ii) interpoler les matrices DIU par une matrice de transfert D(s) stable et à in· verse stable

iii) résoudre le problème HOC) -standard (5.5) à D(s) fixé

Iv) pour un ensemble de valeurs de Ol choisi a priori, calculer Dw telle que la

borne supérÎeure a(DhIF/(P(jOl),K(jOl»)Dw -l

) soit minimale (il s'agit d'un pro­

blème quasi~convexe du type (4.19»

v) comparer les matrÎces Dw avec celles obtenues à J'itération précédente: si elles sont proches (au sens d'un critère donné), arrêter; sinon retourner à l'éLape ii).

Pour examiner la convergence de celle procédure, on peut remarquer que:

80 Commande Hm ct ll-ana1yse : des outHs pour la robustesse

- le maximum sur ro de lu borne supérieure calculée à ré tape il') est nécessaire-ment plus peLit que la norme obtenue à l'étape iii)

- s; Oll était capable d'intelpoler pmfaitemen! les matrices Dm' la norme H tr)

obtenue à l'étape iii) serait nécessairement plus petite que le maximum sur ffi de la borne supérieure obtenue à l'étape il') de l'itération précédente. On aurait donc l'assu­rance que la procédure converge vers un minÎmum local.

Par ailleurs, le problème H co -standard résolu à l'étape iii) utilise une matrice

d'interconnexion PD (s) qui comprend les matrices D(s) ct D(s)-l (figure 5.2) :

l'ordre du correcteur obtenu par l'algorithme de Glover-Doyle (paragraphe 2.2) ou la résolution par LMl (paragraphe 2.4) sera donc égal à l'ordre de PD (s) , qui croît de

façon polynomiale avec J'ordre de D(s).

Le point qui pose problème est donc l'étape d'interpolation ii). En pratique, on se limite souvent à une interpolation grossière. de sorte qu'on perd toute garantie de convergence de la D - K itération. même vers un minimum local. 1

Il faut aussi noter que la procédure présentée ne prend pas en compte la présence éventuelle de paramètres réels dans ô(s) , puisque la borne supérieure (5.4) est aussi

valable pour des matrices complexes. Une procédure utilisant des matrÎces D et G telles que celles définies par (4.17) a été proposée sous le nom de (D-G)- K itéra­

tion [Vou]. Mais elle est plus lourde à meUre en œuvre. Une alternative plus simple a été proposée dans l T ASN].

Enfin ces procédures sont évidemment d'autant plus lourdes que le nombre d'in­certitudes prises en compte dans .6.(s) est important. Une utilisation intelligente de ces techniques consiste donc à les employer avec un nombre d'incertitudes limité, en ayant pris soin de choisir celles qui sont les plus pénalisantes pour la synthèse. Après quoi on fera une analyse de robustesse beaucoup plus fine, la procédure de )1-

analyse développée au chapitre 4 ne présentant pas les mêmes inconvénients. On retrouve donc encore une fois que la mise en pratique nécessite de séparer les phases de synthèse et d'analyse.

5.2. Ouverture sur d1autres techniques

Sur le plan méthodologique, ces dernières années ont vu un développement con­sidérable des approches utilisant les Inégalités Mutricielles Amnes (LM!). Lorsqu'il est possible de formuler un problème d'analyse ou de synthèse avec des LM!, on obtienl en effet un problème d'optimisation convex.e (ou quasi-convexe), pour lequel des algorithmes efficaces (avec un volume de calcul qui est une fonction polyno­miale du nombre d'inconnues) sont aujourd'hui disponibles fBoEI, NeNe].

Nous avons mentionné dans ce document que des problèmes tels que la synthèse H 00 ou le calcul de certaines bornes supérieures de )1 entrent dans ce cadre. Mais

1 Notons il cc sujet que, dans le clldrc d'une synthèse H cr: -standard, la procédure peut être utilisée Qvec

des matrices Dé) diagonales constuntes [ACGB] : elle permet de trouver une pondémtion "optimale"

cntre Jes différents couples entrée-sortie du critère H ~ .

Pour aller plus loin... 81

ces problèmes offrent un point de départ à bien d'autres: nous allons présenter briè­vement certains d'entre eux dans ces derniers paragraphes.

5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV

On appelle "système LPV" un système qui dépend Linéairement de Paramètres Variant dans le temps, et qui peut donc êlre représenté sous la forme:

(5.6)

où S(t) (91 (t), 92 (t), ...• 9 11 (t) Y est un vecteur de panimètres dépendant du temps.

Lorsque les différentes matrices de la représentation d'état (5.6) dépendent de 9(t)

de façon rationnelle, ce système peul être écrit comme la LFT d'un système linéaire

stationnaire (décrit par la matrice P(s) sur la figure 5.3) et d'une matrice G(I) iso­

lant les paramètres:

(5.7)

On peUL chercher pour ce système un correcteur sous la même forme, c'est-ti-dire se présentant comme la LFr d'un système de matrice de transfert K(s) et d'une réplique dc la matrice e(t) (figure 5.3): ce COlTccteur s'adapte de lui-même à l'évolution des paramètrcs (Pac, ApOa, ApBG • ScEI].

L'analyse et la synthèse de ces systèmes peut s'exprimer HU moyen de LM! : ainsi la synthèse de la matrice K(s) peut s'exprimer au moyen de 4 LMI [ApOa] qui se présentent comme une généralisation des LMI (2.14) de la synthèse lI!f2 standard.

e ---1

)'

tV 1+---

li

Figure 5.3 Syslèull.' el corrcClcl/r LPV

82 Commande H:r" et Il-analyse; des outils pour la robustesse

5.2.2. Analyse et synthèse 111l1lti-critère

Plus généralement, "évaluation des performances d'un système ou la synthèse d'un correcteur peut se faire suivant différents critères mathématiques. Si nous con­sidérons par exemple le système bouclé de la figure 5.4, on peut imaginer de cher­cher à satisfaire des contraintes prises parmi les spécifications suivantes:

- le transfert entre lt':r" et e:r" présente une norme H lT.l inférieure à un niveau 1 ctJ

- le transfert entre 1t'2 eL el présente une norme H 2 inférieure à un niveau 12

- le régime transÎtoire du système bouclé est au moins aussi rapide que la fonc-tion e -at (avec ct> 0 )

- le système bouclé a tous ses pôles dans une région convexe du plan complexe (qui peut être une bande, un cône, un disque, un ellipsoïde, ou tOUle intersection de ces régions)

- à tout instant la norme d'un signal intermédiaire (le vecteur des commandes par exemple) reste inférieure à une certaine valeur. pour toute condition initiale dans un ensemble convexe donné.

Ces différents critères (dont la liste n'est pas limitative) s'expriment en effet par des LMI et peuvent dans certains cas s'étendre au cadre LPV. On trouvera un nom­bre important de critères avec leur mise en forme pour l'analyse eL la synthèse dans les références [Fol, ScGC].

Figure 5.4 - Schéma général de synthèse

Signalons pour finir que les LMI permettent également J'extension de la synthèse H CJJ par "Ioop-shaping lt au cadre multi-modèle: les résultats donnés dans [MiVi] permettent en effet de rechercher un correcteur unique, d'ordre fixé, assurant une norme H:r" inférieure à un niveau y pour un nombre fini de modèles.

Chapitre 6

Exercices C0114 igés

Nous présentons dans cc chapitre J 2 exercices porlant sur la synthèse H <1J et la Il-analyse, qui peuvent être résolus à la main et servir de base à des séances de Tra­vaux Dirigés. Les corrigés figurent à la lin du chapitre.

, Exercice 1

Calculer les valeurs singulières de la matrice de transfert G(s) (

J / s

-2/ s 11 .'1). 2/s

Exercice 2

On considère un système de fonction de transfert G(s)::::: 1 . On veut détermέs+1

ner un correcteur assurant les performances suivantes:

- suivi de consigne avec erreur statique inférieure à 1% Lemps de réponse de l'ordre de 3 s

- marge de module au moins égale à 0,5 - gain entre la référence eL la commande inférieur à 2 pour tout ID.

Concevoir un problème fI ct;) standard permettant d'assurer ces objectifs. Donner une représentation d'état du système en boucle ouverte sous forme stan­

dard. Vérifier que les 2 premières hypothèses requises par l'algorithme de Glover­Doyle sont remplies.

Exercice 3 (suite de l'exercice précédent)

Un correcteur solution du problème précédent,l assurant y ::= 0,87 , est:

K(s) 1,4 s + 1 .1+0,01

1 L'algorithme de Glovcr-Doyle fournil en fait un correcteur d'ordre 2 (ordre de ln représentatÎon d'étal du système sous fonne standard). Mais le deux.ième pôle est en -BD, el peut donc êlre négligé sans que cela affecte les perrormonces du système.

84 Commande Hr:.o cll .. Hmalyse : des outils pour la robustesse.

Calculer les fonctions de transfert S(s), K(s) SCs) et K (s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle.

Comment modifier les pondérations pour atténuer le gain du correcteur dans les hautes fréquences?

Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents)

Un correcteur solution du problème précédent,:! avec y = 1,11, est:

K( ' 4 s+1 s) =

(s+0,01)(s+4)

Calculer les fonctÎons de transfert S(s); K(s) Ses) et K(s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle.

Le modèle nominal du système néglige une constante de temps secondaire, dont la valeur maximale est estimée à 0,25 s. La présence de celte constante de temps remet-elle en cause la stabilité de j'asservissement?

Exercice 5

On considère un système de fonction de transfert G(s) =-----. On veut +0,1 s + 1

déterminer un correcteur K(s) dont la sortie s'ajoute à une perturbation b (voir

figure 6.1). Le correcteur doit assurer les performances suÎvantes :

- limiter la résonance du transfert entre b ct )' à 1,4. ~ ramener la pulsatÎon propre du système aux alentour de 0,5. - assurer des marges de stabilité correctes.

Concevoir un problème H 00 standard permettant d'assurer ces objectifs.

Exercice 6

On reprend l'exemple élémentaire du paragraphe 2.3. Ecrire les LMI permcllant la résolution du problème. En déduire la valeur opti­

male de y et l'ensemble des matrices R et S admissibles. Discuter l'ordre du cor­recteur.

Calculer la matrice X dans le cas d'un correcteur d'ordre 1 \ puis d'un correcteur d'ordre O. Dans ce dernier cas, écrire la LMI permettant de le déterminer.

2 L'algorithme de Glover-Doylc fournit ici un correcleur d'ordre 3 (ordre de la représentation d'état du système sous forme standard) dom le pôle le plus élevé, comme précédemment, peUl être négligé.

Exercices corrigés 85

y

+ 0,1 s+ l

Il

Figure 6. J Slmet/lre de correctio/l (cxacÏce 5)

Exercice 7

SOÎt P = (01 2 J. Calculer ~là (p) dans les cas suivants, et comparer les va-

-2j

leurs obtenues:

A = C 2>,.}

- ~ = {dillg {81 ;8:J, 8),8 2 E C} - ~ {dÎag {8J ;b 2 }, 81,81 ER} - f! := {diag {15 ; 81, 15 ER}

Exercice 8

Soit P = (~ - : J. Calculer Il ~ (p) dans les cas suivants:

- f! {diag {o;8}, 15 ER}

- A:=. {diag {8;8}, 8 E C}

Exercice 9

Soit le système linéaire d'équations d'étal:

{'~1 = (1 +.81 )X1 + 02'~2 + /1

'\1 - .\( + (1 + 81 )'\:2

)' = XI + X 2 )'

ExtraÎre les incertitudes, conformément au schéma ci-dessus, cn donnanl la re~ présentation d'étal du système H, el l'expression de f! .

86 Commande H~ el Jl-analyse : des outi1s pour la robustesse

Exercice 10

{

otl = (1 +O( )XI + 5)x2 + Il

Même exercice que précédemment, avec ·\:2 XI + (1 + 82 )X2 )' x, + x2

Exercice Il

MA • , 'cl Y(s) eme exercIce que prece emment, avec --U(s)

Exercice 12

a=1+8.

On considère le système décrit par le schéma-bloc de la figure 6.2, avec

a=2+01l , g =l+o.~, 8a ,OgER.

Figure 6.2 - Système lll'CC 2 incertitudes paramétriques

y

Figure 63 Forme LFT recherchée

Extraire les incertitudes 8(1,8 g , conformément au schéma de la figure 6.3, en

donnant l'expression de la matrice de transfert fi Cs) et de la matrice A.

On note A1 (s) = fi zr (s) . Calculer ~l(M (jw)) correspondant à cette incertitude.

Déterminer par ~l-analysc un ensemble de valeurs de a, g pour lesquelles la sta­

bilité est garantie. Tracer dans la plan (a, g) le domaine de stabilité réel du système de la figure

6.2, et comparer au domaine déterminé par ~ -analyse.

Déterminer par ~ -analyse puis par calcul direct un ensemble de valeurs de {l, g pour lesquelles le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 .

Exercices corrigés 87

Corrigé de rexercice 1

On calcule:

G(jre)G(-jro/ =~( 1 IÎ 1 (1 -2J =_1 (2 0J 1re - 2 2) jre 1 2 ro 2 ° 8

Corrigé de "exercice 2

Les 3 premières spécifications concernent la fonction de sensibilité S(s). Elles permettent de fixer respectivement son gain statique (0,01), sa pulsation à ° dB (== 3/3), et son gain maximal (1/0,5), d'où on déduit le gabarit de la figure 6.4 :

') -- D,DI

Il s + 1

0,01

Figure 6.4 - Gabarit Sllr S Fig/lre 6.5 - Schéma de synthèse H co

La dernière revient à imposer au transfert K(s) Ses) un gabarit constant, égal à 2. On en déduit le schéma de synthèse de la figure 6.5, avec:

En écrivant:

( )-('J S+0,01]-'_05 s+2 \VI s - - - ,

s+2 s+O,OI

° 0,995

w\(s) = ,5 + --­s+O,Ol

y

88 Commande HC1'J ct J.l-analysc : des outils pour ln robustesse

on déduit une représentation d'état de Hl) (s) :

{

dX) --= 0,0) XI +E dt

el = 0,995 XI + 0,5 E

Une représentation d'élat du système sous forme standard est donc:

d[Y] (-1 ° J[YJ [o:lJ[rJ dt XI = -1 -0,01 XI + 1 i ° ~

[

el J [-0,5 0,995J [ J [0,5: ° J( J =: = -~I---+- ~: + -H9t ;.

On vérifie les 2 premières hypothèses de l'algorithme de Glover-Doyle, sOÎt avec les notations du chapi tre 2 :

M (Bu A Bu) = esl de rang 2, donc le système est commandablc. (1 -lJ ° -1

[CI' J (-1 0J - - cst de rang 1 : le système est non observable par E, mais la

CrA 1 ° partie non observable correspond au filtre \1'1 (s) (évident d'après le schéma) qui est

stable, donc le système est délectable.

A notcr d'ailleurs que lout système stable est de fait stabilisable el délectable.

- Dm [0 J ct D\w = J sont de rang plein (égal à 1). 0,5 -

Corrigé de l'exercice 3

On obtient:

Ses) s+O,OI, K(s)S(s) = .\"+1,41

s + 1 S 1,4 -- et K(s) (s)G(s) =--s+I,41 s+I,41

Ses) a un gain inférieur à 1 : en lraçanl son diagramme de Bode, on peul cons­tater qu'il est en dessous du gabarit 1/ \\'1 (s).

Le diagramme de Bode de K(s) Ses) est effectivement Înfërieur à 2. K(s) S(s)G(s) est le transfert entre r et y (figure 6.5) : la sortie répond à la

consigne comme un premier ordre de constante de temps ) 11 AI, d'où un temps de réponse de l'ordre de 3/ l ,14 ;::, 2,2 s.

Exercices corrigés 89

Pour atténuer le gain du correcteur en haute fréquence, il faut imposer un gabarit il K(s) Ses) (car en haute fréquence, K(s) Ses) ~ K(s)), lei que celui représenté sur la figure 6.6, avec par exemple Cl = 2 (supérieur à la bande passante obtenue précé­demment) el b = 100 (sufJisamment grand), soit :

( 1 + sIl OOJ-I

W.,(s)= 2---- l+s/2

0.5 1 + s /2 1 +s 1100

Figure 6.6 - Gabarit sur K S

Corrigé de l'exercice 4

On obtient:

(s+0,01)(s+4) s+1 4 Ses) =., ; K(s)S(s) = 4 ., ; K(s) Ses) G(s) = -., ---

s-+4s+4 s-+4s+4 5-+4.'1'+4

Ses) a un gain înferieur à 1 ; Ses) el K(s)S(s) ont leur diagramme de Bode en

dessous de leurs gabarits respectifs 1,1 l/lWI (jro)1 et 1,1 J IIw2 (jill)l. K(s) Ses) G(s)

est à présent un transfert du second ordre (avec un pôle double en -2). D'après l'exemple du paragraphe 4.2, la slabilité est assurée si Je diagramme de

Bode de K(s) Ses) G(s) est en dessous de celui de (-1: max s/{i+tmax .'1 )t l , avec ici

II '[max 4. La fonction K(s) Ses) G(s) obtenue vérifie celle condition.

Corrigé de l'exercice 5

On utilise le schéma de la figure 6.7, obtenu comme expliqué ci-dessous:

- les 2 premières spécilications indiquent qu'on veut garder entre b et y un comportement du second ordre, mais avec une pulsation propre plus faible el un amortissement plus grand. On applique donc à y une pondéraLÎon 11'1 (.'1) d'ordre 2, donl la forme générale est donnée sur la figure 6.8, et qui s'écrit:

90 Commande l-/cn el Jl-analysc : des outils pour la robustesse

avec les ordres de grandeur suivants: k 1,2. (01 = l, {Oo = 100 (suffisamment grand) ct ç{) = l;,J :::: 0,7 (pour éviter les résonances, tout en restant au plus près du tracé asymptotique).

y

S2 +0,1 s+ 1

Figure 6.7 - Schéma de synthèse li:o

'*' k -+----.. 1~----~~--~~

Figure 6.8 - Gabarit .ml' le transfert

de b vers y Figure 6.9 Gabarit SHr le lransfert

de b l'crs Il

- des marges de stabilité correctes peuvent être obtenues soit en disposant une pondération il J'entrée l' du système (le transfert entre b ct \1 représente la fonction de sensibilité S(s)). soit en disposant une pondération sur la commande (le transfert entre b el li représente la fonction K(s) Ses) G(s) ); nous avons choisi cette der­nière possibilité car elle permet également de limiter le gain du correcteur en haute fréquence. Le gabarit imposé à ce transfert (voir ligure 6.9) a un gain inférieur à 2 (ce qui, d'après l'abaque de Nichols, assure des marges de gaÎn et de phase au moins égales il 6 dB el 30°), et décroît dans les hautes fréquences, soiL :

(2 l + S/200J-

1

=::: 0.5 1 + .'1/2 1 + s / 2 1 + s / 200

Exercices corrigés 91

- si on utilise l'algorithme de Glover-Doyle, il faut enfin ajouter une perturbation

sur la sortie : sans celte pondération en effet la matrice DYII' du problème standard

est nulle puisque le transfert entre l'entrée b et la commande Il tend vers 0 en haute fréquence. Physiquement, cette perturbation peut être interprétée comme un biais ou un bruit sur la mesure. Afin de limiter son effet, on lui affecte une pondération H'3

constante choisie faible mais non nune, soit par exemple \\'3 .:::::: 0,01 .

Remarque: avec les gabarits cÎ-dessus, l'algorithme de Glover-Doyle fournit un correcteur assurant y = ],00.

Corrigé de l'exercice 6

On calcule tout d'abord les "facteurs externes" des 2 premières LMI :

D;",)= (1 : 0 1) d'où par exemple N R = [~ ~J -1 0

De même : (C \' Dyll' )= (I : 0 1) d'où N s = N R = [ ~ ~J. La matrice A

-1 0

étanl scalaire, les matrices R et S le sont aussi. La LMI (2.14.a) s'écrit:

1 0:0 O\T 1

0 1 :0 0 1

-1 0:0 0 -----1----o 0: 1 a 0

[

y

-R soit :

-1

o

010 1

-R -1

Y 0 o y

o a

0: R 0 1 ] o '- 1 0:0 0 1 --~-------r------- 1

R: -y 0 1 0 0 0 1 :0 0 1 1 1 1

0 1 1

0 -yl 0 0 -1 0:0 0 <0 --r-------r-------1 : 0 0: -y 0

-----1----o 0: 1 0

O! 0 a !' 0 -y 0 O!O 1

La LMI (2.14.b) s'écrit sous une forme identique, el fournit la condition supplémen­taire:

Enfin la LMI (2.14.c) s'écrit :

92 Commande Hm el ~l-analysc : des outils pour la robustesse

( R 1 J {R ~ 0 {S ~ 0 II S <:::> RS-l~O<:::> RS-l~O

Le domaine correspondant aux dernières inéquations esl représenté sur la figure 6.10.

S 5 \ 1 1 4.5-f---~--+·_-,---

! i 1 4 -I----:---·--i-r-··-

3.5 \ ! 1

J \ i 225~L 1 1. -\ 1---+----_ 1.5" 1

o:---~~---r_---1

R

Figl/re 6. JO - Domaine de couples (R, S) admissibles

La valeur minimale de y vérifie:

y2 -1> min (R 2, S2)= 1 (minimum atteint pour R = S) d'où y>.fi.

Le correcteur est d'ordre égal au rang de 1- R S , soÎl 1 cn général, sauf si l'on choisit S = Il R auquel cas 1- R S = 0 et on peut calculer un correcteur d'ordre O.

Un correcteur d'ordre 1 est obtenu en formant la représentation d'état (2.17) :

puis en choisissant: M = -N = ~ R S -1 dans (2.18.b), d'où d'après (2.18.c) :

Exercices corrigés 93

Les scalaires Ac, Be' C(:, De sont alors obtenus en résolvant la LMI (2.) S.a).

Dans le cas d'un correcteur d10rdre 0 (qui se réduit donc au seul De), on a R S = l , X = S , et :

Le scalaire De sera obtenu par résolution de la LMI (2.18.a), qui s'écril ici:

DeS 0

1 0

De 0

Corrigé de l'exercice 7

On obtient, dans l'ordre de J'énoncé:

-llê(P)=cr(P)~2,92

- llà(P) = 2 (pour 82

- ~à(P)= 1 (pour 81

- ~à(P)=PR(P)=1

j/2)

) )

1 De

0 0

-y 0 De <0

0 -y 0

De 0 -y

Chaque ensemble étant contenu dans le précédent, les valeurs obtenues pour ~là (p) sont décroissantes (non strÎl:temenL).

Corrigé de r exercice 8

On obtient respectivement 0 (pas de solution) et 1 (pour tS = - ) / 2 ± jfj /2 ).

Corrigé de l'exercice 9

94 Commande HtrJ elll·nnalysc : des outils pour la robustesse

el

A noter qu'il faut répéter 81 dans 6.., car 8, apparaît 2 fois dans les équations, par des termes différents.

Corrigé de l'exercice 10

On pose v, = 0, (x, + x2) 8, z, ; v2 = 82 x2 82 Z2,' d'où:

A noter que, 01 n'intervenant que dans la première équalion. il est possible de ne pas le répéter dans il (rien n'empêche de le faire, bien sûr, mais pourquoi faire com­pliqué sÎ l'on peul faire simple ?).

Corrigé de l'exercice Il

Cette fonction de transfert correspond à l'équation dinërentielle :

On pose \'1 = 0)' = 0:1 ; 1'2 = 0 (5' + 2)' + vI) = 8 :2 1 d'où:

Exercices corrigés 95

et

A noter que la mise en facteur de 0 dans l'équation différentielle permet d'avoir une matrice ,1 de dimensîon 2 (on peuL aussi, plus brutalement, développer l'équa-

tion et poser successivement "1 = 6 S, = 8 ZI 1 \12 = 28 Y = 262:2' v] = 62 y 5 Z]

avec 2:3 = li 4 ,et v 4 = 0 y = 0 Z:4 ' ouf! Mais alors ~ est de dimension 4, cl pourquoi

faire compliqué si ... ).

Corrigé de l'exercice 12

Le schéma-bloc peut être redcssiné sous la forme de la figure 6.11.

y

Fig/lre 6.11 Système bO/fclé avec 2 illcertÎwdes pommétriques

d'où l'on déduit facilemenl ;

-) 1 1

--1

s+3 s+3: ..\'+3 1 -1IS+2 ____ 1_-

.s±l __ .t±J_L.:Ltl -1 1: 1

--1

s+3 s+3! s+3

On a alors, avec AI(s) = H ::\,(5) : det(I:! -/'d(jw),1)

Comme 611

et 6 t-: sont réels, ce déterminant ne peul s'annuler que pour (0 = 0,

pour 0(1 et 51: vérifiant: 0a+og+3=O.Comme a(,1)=suP~o(/I,18t-:1), a(,1) eSl

96 Commande Ht1j el Jl~analyse : des outils pour la robustesse

maximalcpour 8'1 ::::8~ ::::-3/2.0nadonc:

fl(M (jro)} 0 si m;: 0

~L(M (j0)) = 2/3

On en déduit que la stabilité est garantie pour Lous i\ et 8 g tels que 18a l < 3/2

et \8 KI < 3/2 , soÎt pour tout (a, g) E ] 0,5 ; 3,5 [x ] - 0,5; 2,5 [ (tïgure 6.12.a).

L .. . d • ,1 ,Y(s) . bl a 10nctlOn c translcrl uU systeme est -- = • qUI est sta e pour R(s) s+a+g

a + g > 0 . Le domaine déterminé par ~L -analyse est le plus grand carré centré sur le

point nomÎnal et contenu dans ce domaine (figure 6.12). Si on cherche à présent à garantir par Il ~analyse que le pôle du système bouclé

reste inférieur à -1 , on doit résoudre:

( ) 8" + dct/2 -!vl(s)A =1+ =0 avec s=-I+jro

s+3

soit -1 + jCi) + 8a + Ô,Ii + 3 = O. Là encore celle équation n'a de solution que pour

m 0, auquel cas O:(A) est maximale pour 8(/ :::: 5.t: = -1 . On a donc:

~l(M ( -1 + jro)) 0 si ro:;t 0

~l(Nl (-1 + jO)) = 1

L' n -stabilité est donc garantie pour tout (51"

5 11 )e ] -1 ; + 1 [2 , soit pour tout

(a, g )E ]1 ; 3 [x ]0 ; 2 [. Le domaine réel est décrit par II + g > 1 (figure 6.12.b).

g

~ 1

·2

·3 ·1

INS

i 1

)oinl :n0l linhl i

1

'" 1 ! étJnniné ,,1 ùOll!.Ulle

"-~

1 TARL , i

I~ 1

Cl

li) s/abilité

g

I~

·1

·2

·3 ·1

! ! 1 1

1

nominlll tpaint

~ T I~ ~omaîhc délc rllliné

1 1

I~l- 1

I~ a

b) n -stabilité

Figure 6.12 - Résultats de fl-al/alyse dans le plan (a, g)

Chapitre 7

Etllde d'tIn cas d'application

L'objet de ce chapitre est de présenter les concepts de synlhèse H <X.l standard, de synthèse H t:r) par "loop-shaping" et de J.l-analyse sur un cas d'application réalîstc, il savoir la commande d'un bras relié à une plate-forme par une transmission élastique. Nous nous sommes basés sur la description fournie dans [Rotl.

Les synthèses eL les analyses correspondantes ont été réalisées sous MATLAB/SIMULINK, en utilisant les modules COllfrol Tao/box el ~l AllalysÎs and SynthesÎs Tao/box. Cette étude a été traitée de façon à servir de matière à l'établis­sement de séances de Travaux Pratiques.)

7.1. Présentation du problème

Le processus ~l asservir est représenté schématiquement sur la figure 7.1 : il est constitué d'une plate-forme ("body") aClionnée par un moteur électrique; un bras ("arm") est fixé sur cette plate-forme au moyen de 2 ressorts. Un bras plus petit (" extra foad") peut lui-même être attaché à l'extrémité du bras principal.

Différents points d'attache sont possibles pour les ressorts ainsi que pour le bras supplémentaire, ce qui modifie l'élasticité de la lransmission et l'inertie totale: de la sorte, le dispositif est représentatif d'un système flexible dont les caractéristiques changent en cours d'utilisation (bras de robot saisissant une charge par exemple).

L'objet du problème que nous envisageons ici est de calculer un correcteur uni­que permettant d'asservir l'extrémité du bras avec des performances satisfaisantes, quels que soient les points d'attache; la commande est la tension éleclrique envoyée sur le moteur; 2 mesures sont disponibles, à savoir l'angle de rotation de la plale­forme f) , et l'angle de déviation du bras par rapporl à la plate-fonne a (la grandeur à asservir est l'extrémité du bras, donc la somme 0 + a).

Le dispositif peut être décrit par les équations suivanles :

{ J,IJilIJ (ë(t) + ëi(t)) + K stijf a(t) = 0

(J ll/lb +J/out! )ë(t) + J10lUI aU):::::: y(1)

1 les fonctions mises en œuvre peuvent être demandées à. Gilles.Duc@supelec.fr.

(7.1 )

98 Commande HrrJ eL }..t-unalysc : des outils pour la robustesse

Body Anchor Polo""

Ann 0

a

000

o

o

o

o

Extr. I..o.d

Figure 7.1 Processus cl llssel1 Jir

où y(t) est le couple appliqué à la plate-forme, J lowl est J'inertie du bras, J III/b est

l'inertie du moteur et de la plate-forme, Kstijj représente l'élasticité des ressorts ct

dépend des dimensions R • d , r (figure 7.1). L'équation électrique du moteur complète la modélisation:

(7.2)

où RIlI est la résistance du moteur, K c et KI! sont les constantes de couple et de f.c.e.m., N est le rapport du réducteur mécanique.

On obtient à partir de ces équations la représentation d'état:

0 0 1 0 0

~al 0 0 0

: [1](1)+ 0

cl a 0 K.\1!l1 (NK('KtJ

v(t) (7.3) dt : = l'l11b RI/IJ ,Jllh Rm.l Iwb

0 _ K'\'liH _ K.\tilf (NKcK~.Y- (NKeKe)

l/twd .1 Jill/! Rm.llJ/lb Rm.lllII/!

où les paramètres fixes ont les valeurs suÎvantes :

(7.4.t:l)

et les 2 paramètres variables (en utilisant les ressorts nO 2 de la documentation cons­tructeur) peuvent prendre les valeurs suivantes:

Etude d'un eus d'application 99

J/{)tIIl E {O,002l; 0,0042; 0,0048; 0,0059} Kg m1

K,\'/Ij/ E {1,044; 1,159; 1,280; 1,318; 1,466; 1,609; 1,627; 1,779; I,973} N III

(7A.b)

Pour le calcul de l'asservissement, on sc donne les objectifs suivants:

- en réponse à un échelon de consÎgne, un Lemps d'établissement de J'ordre de 1 s et un dépassement inlërieur à 20%

- en réponse à un échelon unité de perturbatÎon ajouté à la commande, la réponse devra être en dessous de 0,1 après 1 s

- une marge de module de l'ordre de 0,4 - un gain entre la référence et la commande inférieur à 1 au delà de 100 rdls

ces performances étant obtenues pour toutes les valeurs données par (7 A.b). Les schémas de synthèse suivants seront successivement considérés:

- synthèse H ct:) standard en utilisant comme entrée du correcteur l'erreur ~ = r - (8 + a) • où r est la consigne de position de l'extrémité du bras (correcteur 1 entrée - 1 sortie)

- synthèse H 00 standard en utilisant comme entrées du correcteur g et 8 (cor­recteur 2 entrées - 1 sortie)

- synthèse fi cr.J standard en utilisant comme entrées du correcteur g, 8 et ct

(correcteur 3 entrées - 1 sortie)

- synthèse H:û "Ioop-shaping" en utilisant comme entrées du correcteur g, 8 et a (correcteur 3 entrées - 1 sorLÏe)

Dans chaque cas, le correcteur issu de la synthèse sera réduit de manière à con­server les dynamiques prépondérantes sans dégradation nOlable du comportement fréquentiel.

Chaque synthèse sera suivie d'une ~l-analyse, pour des incertitudes couvrant la plage de variation de l'éhlSticîté et de l'inertie, et avec une marge de module garantie. Ce dernier point étant commun à toutes les synthèses et demandant quelques expli­cations, nous allons le détailler de prime abord.

7.2. Etablissement du schéma de j.l-analyse

Les 2 paramètres incertains sont K,lIiff ct J l/lad . Le schéma devant comporter un

bloc d'incertitudes de laille la plus faible possible, il convient de remanier les équa­

lions en ce sens. On obtient tout d'abord, à partir des équations (7.3) el en posant

y=0+a:

KXfifl -----a J 'oad

(7.5)

100 Commande Ht1J et J..1~analyse : des oUlils pour la robustesse

On pose alors: jK'Wi1f = K.I"/îlTo + K s/îlT 1 Ô K

1 1 1 --=-- +-- 8)

puis:

J l{joLl J !ootl () J /omJ 1

{

ZI = KJ'iff 1 Ci

Z2 =_1_ (K s/UIo

a+vl )

J/l/{lIJ 1

de sorte que les équations (7.3) s'écrivent:

y = - [_1- +_1_ 8) J (KJ/ijlo + K,I"(f!1 8K )a = J load 0 J load 1

=_[_1_ +_1_ ÔJ](Ks/îJIO Ci+l'I)= J IrJ/ld 0 J fond 1

= __ 1_ (KJ

/UTo a+v\)-v2 J/OIllJ 0

Ci = - (_1_ + _1_ +_1_ BJ ] (K,ç'!lrO + K,\'/~{fl OK)a J II/Ih 1 food 0 l'oad 1

{NKc Ke)2 (" .) (NKcKe) + y-a \1=

Rm1J/IIb

=-[~+~ +_1_ 01J (K.flilf'o a + VI) lllllh 1 {oad 0 1 Joad 1

(7.6)

(7.7)

(7.8.a)

(7.8.b)

En ajoutant une incertitude complexe, pour garantir une marge de module mini­male, cn sortie du correcteur :

(7.9)

on peut connecter le correcteur entre les mesures et la commande, pour obtenir un schéma du type de la figure 4.1, avec une matrice d'incertitude:

Etude d'un cas d'application 101

(7.10)

Le schéma Simulink correspondant (en considérant le cas le plus général où le correcteur a 3 entrées) est représenté ci~dessous. Compte tenu des valeurs indiquées en (7A.b), on prendra:

COllecteur

KSfijJ 0 1,5085

_1_ =322,85 1 [(Jad 0

K~ti1f 1 = 0,4645

_1_ =153,35 l'mu[1

Figure 7.2 Schéma de p-analyse

7.3. Synthèse H cD standard dlun correcteur 1 entrée - 1 sortie

(7.11)

Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinfl gui) est donné sur la figure 7.3 : le

modèle de synthèse correspond à des valeurs moyennes des 2 paramètres variables

compte tenu des valeurs données par (7 A.b), à savoir KSlifJ = 1,4665 N m eL

.l'om/ = 0,0042 Kgm2

.

Les sorlies du problème standard correspondant sont l'erreur de consigne filtrée par W 1 et la commande filtrée par W2 ; ses entrées sont le signal de référence et une

102 Commande Hw el Il-analyse: des outils pour la robustesse

perturbation slajoutant à la commande après passage par un filtre W3. L'unique me­sure (entrée du correcteur) est l'erreur d'asservissement.

FÎ1;ure 7.3 . Synthèse H:>'.l Jtalldard d'llII correcteur J entrée - J Jor/iI.!

Chaque pondéraLÎon Wi est un filtre du premier ordre, défini par 3 paramètres: son gain statique, son gain à l'infini, et sa pulsation à 0 dB (bien sûr les 2 premiers paramètres doivent être l'un supérieur. l'autre inférieur à l, sauf s'ils sont identiques, auquel cas la pondération devient constante).

Les différents pavés permettent d'effcctuer les fonctions suivantes:

- le calcul du correcteur central par l'algorithme de Glover-Doyle (Synthèse Hin­fini)

- le tracé des réponses fréquentielles et de leurs gabarits, du correcteur, et de la boucle ouverte (Analyse fréquentielle)

le lracé des réponses temporelles du modèle de synthèse bouclé par le correc­teur (Simularion)

- la réduction du correcteur par la mélhode de troncature des valeurs singulières de Hankel (Rédllction)

- la sauvegarde des matrices d'état du C01Tccleur (Smt\'egarde)

la Il-analyse, comme indiqué au paragraphe 7.2 (Mil-analyse)

- le tracé des valeurs propres et des réponses temporelles du système bouclé, el

de la réponsc fréquentielle de la boucle ouverte, pour 28 modèles correspondant à différentes valeurs de l'élasticité el de l'inertie (Réponses)

Etude d'un cas d'application 103

les différents tracés pouvant être effectuées dans un ordre arbitraire, avant comme après la réduction du correcteur.

Nous donnons ci-dessous les résultats correspondant à un jeu de paramètres par­ticuliers. Il va de soi que nous ne prétendons nullement que ce réglage soit le meilleur!

Les paramètres choisis apparaissent dans le tableau 7.1 (les paramètres dont le choix est le plus sensible sur les performances de l'asservissement apparaissent en gras).

Wl W2 W3

ordre 1 1 1

Gain slatique 100 0.1 0.7

Gain à l'infini 1/2 10 100

Pulsation de coupure 5 100 4

Tableau 7.1 - Paramètres des/ol/ctiol/s de pondéra/ion

La synthèse conduit à y 1,189. La Jïgure 7.4.a montre comment les gabarits choisis agÎssent sur les différents transferts: sur S el K SGen moyenne fréquence, sur SGen basse et moyenne fréquence, sur K S en haute fréquence.

Le correcteur initial, d'ordre 7, a été réduit à l'ordre 4 avec conservation du gain statique, sans dégradation notable de la réponse fréquentielle (figure 7 .4.b). On peut vérifier qu'il présente un gain élevé en basse fréquence (de façon à rejeter la pertur­balion de commande), et que son gain décroît fortement dans les hautes fréquences (effet de roll-off). Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.4.c) permet de conlrôler les marges de stabilité: on voit notamment que la marge de gain est assez faible.

La ~l-analysc a été effectuée en choisissant une marge de module minimale de 0,3 (la marge de module du système nominal étant de 0,629). On obtÎent les bornes supérieure ct inférieure représentées sur la figure 7.4.d. Le maximum de la borne supérieure étant égal à 0,824, on peut garantir une marge de module au mOÎns égale à 0,3/0,824:::.: 0,36 pour toute valeur des paramètres dans des intervalles dilatés d'un fa~teur 1/0,824:::.: 1.21, soit:

K.\"Iij{ E [0,945 ; 2,072] N m, et

lIJ/lJud E[136,8; 508,9] (Kgm 2)-1 , soÎt J/olld E[0,00197; 0,00731] Kgm 2

Enfin les figures 7.4.e à 7.4.11 montrent respectivement le diagramme de Black de la boucle ouverte, la position des valeurs propres de la boucle fermée et les ré­ponses temporelles à un échelon de référence el à un échelon de perturbation de

104 Commande Ha) et Il-analyse; des outils pour la robustesse

commande. Bien que ces tests ne fournÏssent pas les mêmes garanties qu'une ~l ~

analyse, ils rendent compte d'une relative invariance du comportement pour les différentes charges ct élasticités.

1fwdwJ. y/W'/WJ et db Gain(d3)

Hw.. {W, et dr 50 100 40

0 20

-100 0

-, , 2 l -100 0 -200 0 10' 10 10 10 10 10 10

l/w, • y/w? et u/r 50

0

-50 0 0

10 10

Figure 7A.a - Principaux transferts. et gabarils correspondants

Gain (dB)

100

50 ~-l-1

i r----- .', ---'

/'" ./ -50

1 t '\

-100

-ISO

·200

V (1

(~ - - ~', ~

;--

_.n __ ... __ ---- --,--,,- .. -

·450 -400 -350 ·300 -250 ·200 ·150 -100

Phase (degrés)

Figure 7.4.c Diagramme de Black de la bOllcle Oll\'er/e corrigée, avant et après ré­

duc/ioll

Rase(~) PulsaUm (r<:d'sec)

~~ 10'

-, 10" 1 10" 10 10

Pulsalim (mcVsec)

Figure 7.4.b Diagramme de Bode du correcteur, QI'mll el après rédllctioJl

8amos supérieure ollnhlrlouro de mu

borna 5upôriouro de mu en w '" 0 -> 0.475

Figllre 7.4.d - Résultats de jl-tll/alyse

J 10

GaÎn (dB)

40

JO

20

10

·10

·20

-3D

·40

,.50

-60 '----'-_-'-_-'--_L.......----'-_--'-_........&l'"--'--........J

·400 ·350 <100 ·250 ·200 -ISO -100 -50

Phase (degrés)

Figure 7.4.e - Diagrammes de Black dl.' la boude Ol/verte corrigée

commande

':R 05~

00 1 2 -1 '----~-----'

!hela 1.";(----------,

2

o 2

OAEjarPhil 0.2

° -0.2

-0.40 1 2

Figure 7.4.g - Réponses li la référence

Etude d'un cas d'application 105

\I,llours propres en B.F.

Figure 7.4..f - V(llnErs propres Cil bOlicle fermée

Q.6~angleIOla! Ob commande

0.4 -0.5

0.2 -1

00 1 2 -1.50 1 2

thela

2

Figure 7.-1.11 Réponses il /a perturbation

On remarque notamment que les réponses en boucle ouverte évitent correctement le point critique; les réponses indicielles présentent un dépassement modéré maÎs un retour assez lent vers la valeur de consigne. En raison de ce dernier point, les per­formances demandées ne sont pas obtenues.

7.4. Synthèse fI:o standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie

Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf2gui) est donné sur la figure 7.5. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du

106 Commande Hr:r.J ct J.l-annlysc : des outils pour la robustesse

correcteur l'angle et considéré après une perturbation filtrée par W4 2, Le problème standard a donc maintenant 3 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans le cas précédenl.

Figure 7.5 - Sylllhèse H Œl standard d',m correcteur 1 ellfrées • J sortie

Les pondérations et les fonctions représentées par les différents pavés sont les mêmes que pour le problème précédent. Nous avons repris pour les filtres Wl, W2, W3 les pondérations choisies au paragraphe 1.3. La synthèse s'effectue donc uni­quement par itération sur W4, qui sera choisi constant.

On observe que pour de fortes valeurs de W4, le correcteur ignore la mesure supplémentaire e, qui est fortemenl perturbée: on retrouve donc le comportemenl oblenu avec le correcteur précédent

En diminuant W4, la mesure supplémentaire est progressivemenl prise en comp­le. On observe notamment une augmentation du gain en basse fréquence des fonc­tions de transfert vIe et V 1 a du correcteur, une légère diminution des marges de stabilité, une diminution du dépassement sur la réponse à la consigne el une réponse moins forte et plus rapide à la perturbation.

On choisit finalemenl W4 0,5, La synlhèse conduit à 'Y = 1,117 . Comme pré­cédemment, le correcteur initial d'ordre 7 a été rédui l à l'ordre 4.

La figure 7.6.(/ montre comment les gabarits choisis agissent sur les diflërents transferts, Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.6.b) mel en évi­dence une politique de conection en haute fréquence différente du cas précédent.

:! La présence de cette perturbation est nécessaire pour satisfaire les hypothèses de Glover-Doyle.

Elude d'un cas d'application 107

La ~ -analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment On obtient quasiment les mêmes résultats, avec un maxÎmum de la borne supérieure égal à 0,824 (ligure 7.6.c).

l/w, , y/w. el rJr 50r-----~------~

o 10

1/W2 , y/W2 et u/r 50r-------------~

o

·50 '------~----------' 10°

1/w1/w3 . ï/Wl/Wl el db 0

·50

·100

·150 " 10

l/w-;,/wJ , y/w;,JwJ et u/b 100

0

·100

·200 0

10

FigIlre 7.6.{/ . Principal/x /mw,fcrt.\', et gaharits correspolldaJlts

Gain (dB) 100r---~----r----r----r----r--~

50 .---.-•.. -.. -... ----... +----.. --.......... _".--.... -... ---.--.... - .-.. --i ( 1

o

-50

-100

·1~900

_._1.___ _ _____ .~~ :-2~~~' ~_ 1 1 ---.. -----t-----.- -- --... -----.... -

-600

1

1

·500 -400 -300 -200 ·100

Phase (denrés)

Figl/re 7.6.b - Diagrammes de BI{/ck de III boucle oUI'eJ'te corrigée, (/l'atll et après ré·

dllC/ioll

Bornes supérieure el inlérieure de mu

O.Br---f----t-++

0.2 " 10 10'

borne supérieure de mu en w :0 0 --> 0.475

Figllre 7.6.c . Ré.\'III/{/ts de ~l ·analyse

Les réponses en boucle ouverte Uigure 7.6.d) évitent correctement le point criti­que, les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.6.e) occupent des positions assez voisines de celles obtenues par la synthèse précédente. On note l'amélioration des réponses indicielles (ligures 7.6/ et 7.6.g), qui présentent un dépassement et un

108 Commande H rfJ et )l.analyse : des outils pour la robustesse

temps de réponse plus faibles, de sorte que les performances demandées sont main­tenant obtenues.

Gain (dB)

40

30

20

10

o -10

-20

-30

-40

-50

-~200 -350 -300 -250 -200 -150 -, 00 -50 o Phase (denrés)

-50 -50

valeurs propres en B.F.

-40 -30 -20 -10 o

Figure 7.6.tI· Diagral/lmes de Black de la boucle ouverte corrigée

Fig/lre 7.6.e . Valeurs propres en bOllcle fermée

1.s§anQI: total 3§comTande 0.4~anÇ]ljtotal o~comTande , 2 ...... __ ....... ; ... _............ 0.3 .. . ...... ;,............... : , .... : : ! -0.5' ........... : ............... .

t 1" .......... (............. 0.2' .......... ~............... :

0.5" ··········T·············· 0 .....; 0.1' ......... ,. ;............... -, .......... ,!" ...

o' -1' 0' -1.5 . o 1 20 1 20 1 20 , 2

theta

0.3lli~ 0.2" ........ t .. · .. ···· .... .

0.1 ............ L

00 1 2 2

Figure 7.6.f - Rêpomes cl la référe1lce Figure 7.6.g . Réponses à la perturhatio1/

7.5. Synthèse HOC) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie

Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf3gui) est donné sur la figure 7.7. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du

Etude d'un cas d'application 109

correcteur l'angle a. considéré après une perturbation filtrée par W5 3. Le problème standard a donc maintenant 4 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans les 2 cas précédents.

Figure 7.7 - Synllrèse H ctJ standard d'lfu correC1ClIr 3 entrées - J sortÎe

Nous avons repris pour les nitres W l, W2, W3 et la constante W 4 les pondéra­lions choisies au paragraphe 7.4. La synthèse s'effectue donc uniquement par itéra­tion sur W5, qui sera lui aussi choisi constant.

On observe que pour de fortes valeurs de W5, le correcteur ignore la mesure supplémentaire a. qui est fortement perturbée: on retrouve donc le comportement obtenu avec le correcteur précédent.

En diminuant W5, la mesure supplémentaire est progressivement prise en comp­te. On observe une modification légère des réponses fréquentielles du correcteur dans la zone de la résonance. Mais l'effet sur le lieu de Black est important puis­qu'elle éloigne la réponse en sortie de bande passante de la zone critique. L'effet est assez négligeable sur les réponses du modèle de synthèse, mais très important sur l'allure des réponses des autres modèles, qui gagnent en amortissement.

On choisit finalement W5 0,1. La synthèse conduit à y = 1,106. Le correcteur initial d'ordre 7 est réduit à l'ordre 4.

La figure 7.8.a montre comment les gabarits choisis agissent sur les différents transferts. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.8.b) montre une amélioration notable de la marge de gain par rapport aux cas précédents.

3 Là encore, la prést:ncc de ceHe pt:rturbation permet de satisfaire Ics hypothèses de Glover-Doyle.

110 Commande HCfl et Il-analyse: des outils pour la robustesse

La Il-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment. On obtient des résultats un peu meilleurs, puisque Je maximum de la borne supérieure est égal à 0,760 (figure 7.S.c) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,39 pour toute valeur des paramètres dans Jes intervalles suivants:

Ks1ill E [0,897 ; 2,119] N m et J lOdd E [0,00191 ; 0,00826] Kg m 2

Les réponses fréquentielles en boucle ouverte évitent toujours correctement le point critique mais surtout le déplacement de la résonance siefTectue loin de celui-ci (figure 7.8.d). Les valeurs propres de la boucle fermée présentent de meilleurs amortissements que lors des synthèses précédentes (figure 7.8.e). Les réponses indi­cielles (figures 7.8/ eL 7.8.g), présentent un dépassement CL un Lemps de réponse faibles, et sont surtout moins oscillantes et plus homogènes que dans les synthèses précédentes. Les performances demandées sont ainsi atteintes.

On peut donc conclure que la prÎse en compte des 3 mesures r, a et El comme entrées indépendantes du correcteur apporte un gain significatif en termes de per­formance et de robustesse.

1/w, ,·lw, et rJr 1/W,/W3 1 y/w,/wJ el rJb 50 0

-50

-100

-150 10

0 10

n

1 jw~ , y/w;; et u/r 1/W2/WJ , ylW~/Wl el u/b 50 50

0

a -50

-50 0

-100 0

10 10

Figure 7.B.a - Principaux 1 ral/sferts, el gabarits c01TeSpol1dallts

Gain (dB)

100

50 -----~--~----_+----~----~~__4

or .. --'--,-I,-·---·-r-----~-----+

·500 ·400 -:300 ·200 -100

PhasD (degrés)

Figl/re 7.B.b DÙlgrammes de Black de la boucle oHl'erle conigée, avcml et après réduction

Gain (dB)

·350 ·300 ·250 -200 -150 -100 -50 0

Phase (deÇJrés)

Figure 7.B.t! Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée

Etude d'un cas d'application 111

10' 10' 10l

borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475

Figure 7.B.c - Résullals de J-l-analyse

valeurs propres en B.F.

-30 -20 -10 o

Figure 7.B.e - Valcurs propres en boucle fermée

J 12 Commande Ha;, ct J.1-ilnalyse : des outils pour la robustesse

: glo" , 1

00 1 2

~:m"" .~.~~_I~:~:~_-0,1"'--

1

00 1 2 2 2 Iheta 1':81

, 0.5 ..

1

00 1 2

alpha

:':§a-~~- ooo;m·_·,·~IP~a ______ ----0.1 - L __ _

1 -0.0

00 1 2 -0.10 1 2 2

Figllre 7.SJ - Réponses à la référence Figure 7.8.g - Réponscs il la per/lll'batioll

7.6. Synthèse fI cr] par "Ioop-shaping" d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie

Rappelons que cette approche demande tout d'abord de choisir un précompensa­teur et un poslcompensateur, avant optimisation H Xl' Le schéma adopté (schéma Simulînk hlsgui) est donné sur la figure 7.9.

Les différents fillres onL élé choisis à partir des considérations suivantes:

--'""'-~D erreur

alpha

Figure 7.9 - Synthèse H o:l par "'oop-shapÎl1g" d'ull correcteur 3 clltrées - 1 sor/ie

Etude d'un cas d'application 113

- le précompensateur W 1 est un mtre passe-bas destiné à liltrer les hautcs fré­quences pour produire un effct de roll-off: on a donc choisi sa fi'équence dc coupure au-delà de la bande passante de l'asservissement.

- le postcompensateur W2 cst composé d'un Pl sur l'cHctlf d'asservisscment, et de gains sur les mesures supplémentaires 0 et a. On constate que la constante d'action intégrale du premier joue son rôle habituel: si elle diminue. la réponse à la perturba­tion rcvient plus rapidement à 0, et l'erreur de traînage sur la réponse à une rampe diminue.

- le deuxième terme de W2 permet d'ajuster le compromis entre dépassement sur la réponse à l'échelon et erreur de traînage sur la réponse à une rampe.

- le troisième terme de W2, comme dans la synthèse H cr:J standard, permet d'éloigner la réponse en sortie de bande passante de la zone critique dans le plan de Black, et donc d'améliorer la robustessc.

On a ainsi choisi:

10 Wd s)=-­s+IO {

4s+8 l W:!(s) = diag -.s-' -; 1 ; 20 f (7.12)

La synthèse conduit à y min = 2,663, soit une valeur considérée comme asscz fai­bIc dans cette méthode. Le corrcctcur H cr.: initial d'ordre 5 est réduit à l'ordre 2 (l'ordre du correcteur total passe donc de 7 à 4).

La figure 7.1 O.a montre le module de la boucle ouverte avant optimisation H en 1

comparé au même tracé à l'issue de l'optimisation J-J C1l ' avant et après réduction du correcteur. Elle permet de vérifier que le calcul du correcteur (ainsi que la phase de réduction) ne modifie pas fondamentalc111cntl'allure du tracé obtenu par le choix des pré- et postcompensateurs.

La figure 7.1 O.b montre les principaux transferts obtenus, qui ont des allures comparables à celles obtenues en synthèse standard.

Le diagramme de Black de la boucle ouverte (ligure 7.1 O.c) met en évidence des marges de stabilité satisfaisantes pour le modèle de synthèse.

La ~l-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que pour les synthèses précédentes. On obtient pour la robustesse les meilleurs résultats de toutes les syn­thèses, puisque le maximum de la borne supérieure est égal à 0,601 (figure 7.1 O.t!) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,49 pour loute valeur des paramètres dans les intervalles suivants:

K.\.tij( E [0,746 ; 2,270] Nm et l'oad E [0,00174 ; 0,01400] Kgm 2

Les réponses fréquentielles en boucle ouverte sont très homogènes avec des ré­sonances qui restent loin du point critique (figure 7.10.e). Les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.1 Of) présentent d'excellents amortissements, les réponses indicielles (figures 7.1 O.g et 7.1 0.1t), présentent des dépassements ct des temps de

114 Commande HO') ct Il-analyse: des ouli1s pour la robustesse

réponses un peu plus importants que ceux demandés, el qui étaienl oblenus par la synthèse standard effectuée dans des consÎtions comparables; par contre elles sont moins oscillantes el plus homogènes.

1/) rir rlb

:~s:P\l ! 'SO~"00~

I

l -100 0 -150 Cl

10'

101

10" 10 10 ,; S:0W

' I~BU/b -100

~-W~~~Ull'~~~~~~~~~~

1d -50 0 ·200"

Hi'

16'

10'" ·C la·' 1()' 10 10'

Figllre 7./O.a - COlllrôle du "loop-shape"

Gain (dB)

100

50

-501-··---+---!-

-1~90o -600 -500 -400 -200 -100

Phase (degrés)

Figure 7./D.c Diagrammes de Black de la boucle Olll'erte corrigée, am/If cr après ré­

duc/ion

0,7

0.6

0.5

04

0.3

0.2

10 10

Figure 7. JO.b Principal/x transferts, et gabarits correspondanrs

Bornes supérîeure el inférieure de mu

i i ! 1 1

li ! li

~ f 1

! .ill

il i

1 _ ~V1'~ 1 !I l· o ..!,~

.) 1 ~f,; ~, Il / i

1

1

II ! 1 !

! t 1

! l,II 1 11 1 1 0.1 Il

10 10' borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475

Figure 7./0.d - RésullClts de J-l-clIlalyse

Gain (dB)

40

30

20

10

o ·10

-20

-3D

-40

·50

'~2oo ·350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 ·50 o Phase (de\jres)

Figure 7.10.e • Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée

Elude d'un cas d'application 115

·40 -30 ·20 -iD o

Figl/re 7.10/ - V,J1curs prol'I'l'S CI! boucle jCl1llt!t.!

1.5b'no" 10'" :m.COI"d~ ::m--·"~t'~'~' o·:w· .. ·····~·~~r.n~~ ....... . 1 ............. ; . ......... : : : i 1 ............ .,................ 0.2' ....... ..,............... ·0.5' ,..,. .. ~ ............. .

0.5" ............ :................ 0 ........... : 0.1' ............. ;. ........... -1 ............. ! ............ . O· ·1 . 0 . -1.5 . o 1 2 a 1 20 1 20 1 2

OA~lhela O'ffia'~hil 0.3 ... ..····r· .... · ...... ·.. 0.05' ......... ~ .............. ..

0.2" ........ ··ô···· .... ······· O' .

0.1 ........ ,. .... : ........... -0.0 ............................. .

o 41

Ihela 1.5§: 1 .............. ; ...... .

05:" o

alpha

o 1 2 2 o 1 201 2

Figure 7. JO.g - Répollses il I{/ r~réreJ/ce Figure 7./0.11 - RépOIl.H!S cl la perturbatioll

7.7. Conclusion

Les deux méthodes de synlhèse fi CF,) (synthèse H ~ -standard ou H":l par "loop­shaping") ont été appliquées sur ce cas d'étude. Le choix de l'une ou l'autre mélhode peUL être guidé par les connaissances que l'on a li pr;cJri sur le processus. La possibi­lité d'ajout progressif d'entrée ou de sortie dans le crilère fail de la synthèse H':Fj­standard une très bonne approche pour un problème nécessitant des pondérations diverses, par exemple en présence de bruits ou même de non-linéarités, ou encore pour oplimiser une partie du cahier des charges (telle que le classique compromis entre robustesse el temps de réponse).

116 Commande Hen et )l-analyse : des outils pour la robustesse

La synthèse H en par "Ioop-shaping" est très cfficace lorsqu'on veut réutiliser les connaissances acquises tors de synlhèses de correcteurs classiques. Ellc pcrmet sou­vent d'cn améliorer les qualités ou de pouvoir simplement, à partÎr de correcteurs classiques disposés dans chaque boucle de commande, passer à un correcteur multi­variable.

Enfin ces deux méthodes peuvent en partie être utilisées de façon complémen­taire, chacune offrant un point de départ à l'auLre si le besoin s'en rait senlir.

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