Collèges Rollinat et Lurçat Fiche n°1 : Le théorème …...Collèges Rollinat et Lurçat A 5 cm...

Collèges Rollinat et Lurçat

A

5 cm 12 cm

13 cm B C

Fiche n°1 : Le théorème de Pythagore. I- Calculer une longueur.

Énoncé : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des

carrés des longueurs des deux autres côtés.

Application 1 :

Application 2 :

II- Triangle rectangle ?

Cas n° 1 : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés

des longueurs des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

AUTRE FORMULATION : Si un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC², alors il est rectangle en A.

Application.

Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [BC].

Calculons :

D’une part : AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

D’autre part : BC² = 13² = 169

On constate que AB² + AC² = BC².

Donc, d’après la réciproque du théorème de

Pythagore le triangle ABC est rectangle en A.

Cas n° 2 : Si le carré du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux

autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

Application :

Le triangle DEF tel que DE = 5 cm ; DF = 4 cm et EF = 10,5 cm, est-il rectangle ? Justifier.

Le côté le plus long du triangle DEF est [EF] (car 5 ≈ 8,7 et 4 ≈ 5,7)

Calculons : EF2 = 10,5

2 = 110,25

DE2 + DF

2 = (5 )

2 + (4 )

2 = 5

2×( )

2 + 4

2×( )

2 = 25×3 + 16×2 = 75 + 32 = 107

On constate que EF2 ≠ DE

2 + DF

2.

Donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.

C

4 cm

3 cm

A B

Calculer BC :

ABC est un triangle rectangle en A,

Or, d’après le théorème de Pythagore, on a:

BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4²

BC² = 9 + 16

BC² = 25

BC =

BC = 5 cm Le segment [BC] mesure 5 cm.

Le triangle MPR est rectangle en M. On donne : PR = 7 cm et MR = 58 mm.

Calculer PM. Arrondir au millimètre.

Le triangle PMR est rectangle en M.

D’après le théorème de Pythagore, on a :

PR2 = PM

2 + MR

2

72 = PM

2 + 5,8

2

49 = PM2 + 33,64

PM2 = 49 – 33,64

PM2 = 15,36

PM = PM ≈ 3,9 cm La longueur PM est environ égale à 3,9 cm.

7 cm

58 mm


Fiche n°2 : Puissances. Définition :

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.

an désigne le produit de n facteurs égaux à a :

an = a × a ×…× a

n facteurs

Attention : Ne pas confondre !!!

(–5)4 = (–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625

–54 = –5×5×5×5 = – 625

Définition :

a désigne un nombre relatif non nul. n désigne un entier non nul.

a-n

désigne l’inverse de an :

a-n

=

Exemple :

2-3

est l’inverse de 23 donc 2

-3 =

Formules :

a et b désignent deux nombres relatifs non nuls.

n et p désignent deux nombres entiers relatifs.

an a

p = a

n+p

= an-p

(an)

p = a

n×p (ab)

n = a

n×b

n

104×10

-7 = 10

4+(-7) = 10

-3

= 100-5

= 10-5

= 105-(-9)

= 105+9

= 1014

(106)-8

= 106×(-8)

= 10-48

[(-8)×4]5 = (-8)

5×4

5

On dit qu’un nombre est en notation scientifique (ou écriture scientifique) lorsqu’il est écrit sous la forme

« a 10n » où 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier positif ou négatif.

120 000 000 000 = 1,2×1011

0,000 000 000 002 1 = 2,1×10-12

1 000 000 = 1×106

0,000 145×1013

= 1,45×10-4

×1013

= 1,45×109

12×10-5

×9×109 = 12×9×10

-5×10

9 = 108×10

4 = 1,08×10

2×10

4 = 1,08×10

6

Application1 : Écrire A en notation scientifique A =134

1744

10121025,0

106108

.

A =1718)9(27

9

27

134

1744

134

1744

106,110161016103

1048

10101225,0

101068

10121025,0

106108

Application 2 : Écrire B sous forme décimale B = 2

87

1018

108109

B = 004,01041041018

1072

1018

101089

1018

108109 321

2

1

2

87

2

87

Application 3 : Écrire C sous forme fractionnaire simplifiée C = 18

128

1018

1014,01021

C = 3

49

63

649

18

294100

18

94,210

18

94,2

1018

1094,2

1018

101014,021

1018

1014,01021 2

18

20

18

128

18

128


Fiche n°3 : Le théorème de Thalès. I- Calculer une longueur.

Application 1 : Sur la figure ci-dessous, (CF) et (DE) sont

parallèles (les longueurs sont en centimètres).

Les droites (CD) et (EF) sont sécantes en B. Calculer les

longueurs BD et EF. Donner la valeur exacte puis l’

arrondi au dixième de cm.

Réponse : D’une part les points B, C, D et d’autre part les points B, F, E sont alignés et les droites (CF) et (DE) sont parallèles. Or, d’après le théorème de Thalès, on a :

soit

Donc : BD =

=

≈ 9,3 [BD] mesure

cm.

Valeur exacte Valeur arrondie à 10-1 près

BE =

= 10,5 EF = BE – BF = 10,5 – 4,5 = 6

Le segment [BD] mesure 6 cm.

Application 2 : Les points X, C, A sont alignés ainsi que

les points P, C, B. Les droites (PX) et (AB) sont parallèles.

On donne :

CX = 4 cm ; CA = 6 cm ; CB = 7,5 cm et PX = 54 mm.

Calculer CP et AB.

Réponse : D’une part les points X, C, A et d’autre part les points P, C, B sont alignés. Les droites (PX) et (AB) sont

parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a :

soit

Donc CP =

= 5 cm et AB =

= 8,1 cm

I- Droites parallèles ?

On donne (en cm) : AN = 11 ; AC = 17 ; AM = 10 et AB = 15. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Réponse : Les points A, N, C sont alignés. Les points A, M, B sont

alignés.

On calcule :

≈ 0,67 ET

≈ 0,65

On constate que

≠

.

Donc, d’après le théorème de Thalès, les droites (MN)

et (BC) ne sont pas parallèles.

On donne : AM = 2 cm ; AB = 6 cm ; AN = 1,6 cm et

AC = 4,8 cm.

Montrer que (MN) et (BC) sont parallèles.

Réponse :

On calcule :

=

ET

On constate que

=

.

De plus, les points M, A, B d’une part et les points

N, A, C d’autre part sont alignés dans le même

ordre.

Donc, d’après la réciproque du théorème de

Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

E

D

C

B F

7

3

,

p

a

r

a

-

X

k

d

e

s

l

o

n

g

u

e

u

r

s

-

P

r

o

p

o

r

ti

o

n

n

a

li

t

é

d

e

s

l

4,5

4


Fiche n°4 : Arithmétique. Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux entiers.

Application : déterminer le PGCD des nombres 48 et 72.

Liste des diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 20, 24 et 48.

Liste des diviseurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

Donc PGCD(48 ;72) = 24.

Méthode 1 : L’algorithme d’Euclide (mathématicien de la Grèce antique).

Exemple : Calculer PGCD(1053 ; 325)

On peut présenter ces résultats sous forme d’un tableau (le tableau n’est pas obligatoire) :

On utilise l’algorithme d’Euclide :

Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD(1053 ; 325) = 13.

Méthode 2 : Soustractions successives. Déterminons PGCD(252,360) :

360 – 252 = 108

252 – 108 = 144

144 – 108 = 36

108 – 36 = 72

72 – 36 = 36

36 – 36 = 0

La différence est nulle, on arrête.

Donc, PGCD(252 ; 360) = 36 (c’est la dernière différence non nulle)

Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur

sont premiers entre eux.

Fractions :

33

9

3

14

3

57

3

2

3

5

84

173

84

16

84

189

21

4

4

9

7

2

3

2

4

9

2

7:

3

2

4

9

Un problème : En France métropolitaine, les terres

agricoles représentent les

du territoire.

Les

du reste, soit 147 000 km

2, sont

occupés par les bois et forêts.

Calculer la superficie de la France métropolitaine.

a b reste

1 053 325 78 1053 = 3×325 + 78

325 78 13 325 = 4×78 + 13

78 13 0 78 = 6×13 + 0

Réponse :

×

=

×

=

de la superficie de la France métropolitaine

représente 147 000 km2.

de la superficie de la France métropolitaine

représente 147 000 : 4 = 36 750 km2.

15×36 750 = 551 250 La superficie de la France

métropolitaine est de 551 250 km2.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A8ce_antique


Fiche n°5 : Géométrie dans l’espace. Formules à connaître par cœur :

Patron d’une pyramide :

Calculer un volume :

Pavé droit :.............................................L l h

Cube :.....................................................a3

Prisme :..................................................B h

Cylindre :......................base×hauteur = R2 h

Sphère, boule : ..................Volume :.....43 R

3

Aire :..........4 R

2

Pyramide :…...........................................13 B h

Où B est l’aire de la base et h la hauteur

Cône :............................... 13 ×base×h = 1

3 R

2 h

Énoncé : La pyramide SABCD ci-contre a pour base le rectangle

ABCD et pour hauteur le segment [SA].

On donne (en cm) : AB = 8,2 et SA = 4 et AD =

.

Calculer le volume de la pyramide SABCD. Donner la valeur arrondie à l’unité.

Réponse :

La formule du volume d’une pyramide est : V =

V =

soit V ≈ 25

Le volume de la pyramide est environ égal à 25 cm3.


Fiche n°6 : Agrandissements et réductions.

Propriété 1 :

Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k :

les longueurs sont multipliées par k,

les aires sont multipliées par k2

,

les volumes sont multipliés par k3

.

APPLICATION 2 :

On considère le cône de révolution de sommet S et de base

le disque de centre O et de rayon AO.

On donne (en centimètres) : SO = 8 ; SA = 10 et SI = 4.

1) Montrer que AO = 6 cm.

2) Calculer le volume V du cône.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

3) On coupe le cône par un plan passant par I et parallèle à sa base.

On obtient ainsi un petit cône, réduction du grand cône.

a) Quelle est la nature de la section obtenue ?

b) Calculer le rapport de cette réduction.

c) En déduire le volume V’ du petit cône.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

Propriété 2 :

Si k > 1 alors il s’agit d’un

agrandissement.

Si 0 < k < 1 alors il s’agit d’une

réduction.

Les réciproques sont vraies.

APPLICATION 1 : Pour la pyramide SABCD ci-contre :

La base est le rectangle ABCD de centre O.

AB = 3 cm et BD = 5 cm. La hauteur [SO] mesure 6 cm.

1) Montrer que AD = 4 cm.

Le triangle ABD est rectangle en A.

Or, d’après le théorème de Pythagore, on a :

BD2 = AB

2 + AD

2 5

2 = 3

2 + AD

2

AD2 = 52 – 32 AD

2 = 25 – 9 AD

2 = 16

Or, AD > 0 donc AD =

2) Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm3.

V(SABCD) =

24 cm

3

3) Soit O' le milieu de [SO].On coupe la pyramide par un plan

passant par O' et parallèle à sa base.

a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?

ABCD étant un rectangle, la section A’B’C’D’ est aussi un

rectangle.

b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide

SABCD. Donner le rapport de cette réduction.

k =

= 0,5

V(SA'B'C'D') = V(SABCD)×0,53= 0,125×24 = 3 cm

3.

c) Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.

Réponses :

1) Le triangle SOA est rectangle en O.

D’après le théorème de Pythagore, on a :

SA2 = SO

2 + AO

2

102 = 8

2 + AO

2

100 = 64 + AO2

AO2 = 100 – 64 = 36

AO est une longueur donc AO = = 6 cm.

2) Volume du cône : V=

= 96π cm

3.

Valeur exacte : 96π cm3.

Valeur arrondie au dixième : 301,6 cm3.

3) a) la section obtenue est le disque de centre I.

b) k =

= 0,5 Le rapport de

réduction est de 0,5.

c) Dans une réduction les volumes sont

multipliés par k3.

Volume du petit cône : V’ = V×k3 = 96π×0,5

3 =

12π cm3.

Valeur exacte : 12π cm3.

Valeur arrondie au dixième : 37,7 cm3.


Fiche n°7 : Calcul littéral. Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).

a, b et k désignent 3 nombres relatifs.

k(a + b) = ka + kb

k(a – b) = ka – kb

a, b, c et d désignent 4 nombres relatifs.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

A = – 4(2x – 5)

A = -8x + 20

B = (7x – 5)(2x – 8)

B = 14x2 – 56x – 10x + 40

B = 14x2 – 66x + 40

C = –3(7 + 2x)(5x – 8)

C = -3(35x – 56 + 10x2 – 16x)

C = -3(10x2 + 19x – 56)

C = -30x2

– 57x + 178

D = (9x – 3)( –7x – 5)

D = -63x2 – 45x + 21x + 15

D = -63x2 – 24x + 15

Les 3 identités remarquables, sont :

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² (a – b)(a + b) = a² – b²

A = (3x + 7)2

A = (3x)2 + 2×3x×7 + 7

2

A = 9x2 + 42x + 49

B = (8x – 12)2

B = (8x)2 – 2×8x×12 + 12

2

B = 64x2 – 192x + 144

C = (4x – 15)(4x + 15)

C = (4x)2 – 15

2

C = 16x2 –225

D = 1012

D = (100 + 1)2

D = 1002 + 2×100×1 + 1

2

D = 10 000 + 200 + 1

D = 10 201

E = 293×307

E = (300 – 7)(300 + 7)

E = 3002 – 7

2

E = 90 000 – 49

E = 89 951

F = 972

F = (100 – 3)2

F = 1002 – 2×100×3 +3

2

F = 10 000 – 600 + 9

F = 9 409

G = (7x – 3)2

– (3x – 1)(2x – 2)

G = (7x)2 – 2×7x×3 + 3

2 – (6x

2 – 6x – 2x + 2)

G = 49x2 – 42x + 9 – (6x

2 – 8x + 2)

G = 49x2 – 42x + 9 – 6x

2 + 8x – 2

G = 43x2 – 34x + 7

Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

A = 6x – 18

A = 6×x – 6×3

A = 6(x – 3)

B = 15 – 6x

B = 5×3 – 3×2x

B = 3(5 – 2x)

C = x2 – 8x

C = x×x – 8×x

C = x(x – 8)

D = 4x2 – 10x

D = 2x×2x – 2x×5

D = 2x(2x – 5)

E = (2x – 3)2 + (2x – 3)(x + 1)

E = (2x – 3)(2x – 3) + (2x – 3)(x + 1)

E = (2x – 3)[(2x – 3) + (x + 1)]

E = (2x – 3)(2x – 3 + x + 1)

E = (2x – 3)(3x – 2)

F = (5 – x)(x + 2) – 3(5 – x)2

F = (5 – x)[(x + 2) – 3(5 – x)]

F = (5 – x)(x + 2 – 15 + 3x)

F = (5 – x)(4x – 13)

A = x2 + 6x + 9

A = x2 + 2×x×3 + 3

2

A = (x + 3)2

B = 36x2 – 96x + 64

B = (6x)2 – 2×(6x)×8 + 8

2

B = (6x – 8)2

C = 16 + 49x2 – 56x

C = 49x2 – 56x + 16

C = (7x)2 – 2×(7x)×4 + 4

2

C = (7x – 4)2

D = 4x2 – 25

D = (2x)2 –5

2

D = (2x – 5)(2x + 5)

E = 25 – (2x + 4)2

E = 52 – (2x + 4)

2

E = [5 – (2x + 4)][5 + (2x + 4)]

E = (5 – 2x – 4)(5 + 2x + 4)

E = (–2x + 1)(2x + 9)

F = (7x – 3)2 – (3x + 7)

2

F = [(7x – 3) – (3x + 7)][(7x – 3) + (3x + 7)]

F = (7x – 3 – 3x – 7)(7x – 3 + 3x + 7)

F = (4x – 10)(10x + 4)


Fiche n°8 : Trigonométrie. Formules.

cos = ( )côté adjacent

( )hypoténuse sin =

)(

).(cot

hypoténuse

opposéé tan =

).(cot

).(cot

adjacenté

opposéé

Trois moyens mnémotechniques : CA SO TO SOH CAH TOA CAH SOH TOA

H H A Soit ABC un triangle rectangle en A.

cos =

sin =

tan =

a) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et = 50°. Calculer KJ. Arrondir au dixième.

J

K I

b) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer puis . Arrondir au dixième.

M

N L

c) Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculer . Arrondir au dixième.

P

O Q

Deux formules : On note x la mesure d’un angle en degré. On a :

tan x =

et (cos x)

2 + (sin x)

2 = 1

Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :

sin =

soit

=

d’où KJ = 8×sin50° KJ ≈ 6,1 cm

Dans le triangle LMN rectangle en N, on a :

a) tan =

donc tan =

A l’aide de la calculatrice, on obtient: ≈ 65,2°.

2nd tan ( 6,5 ÷ 3 )

b) tan =

donc tan =

A l’aide de la calculatrice, on a : ≈ 24,8°.

2nd tan ( 3 ÷ 6,5 )

Dans le triangle OPQ rectangle en Q, on a :

sin =

donc sin =

A l’aide de la calculatrice, on a : ≈ 45,6°.

2nd sin ( 5 ÷ 7 )


Fiche n°9 : Racine carrée. La racine carrée du nombre a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a.

Pour un nombre positif a, = a Pour un nombre positif a, 2 = a

a et b désignent deux nombres positifs.

× et

=

Attention :

Les « non-formules » : a + b ≠ a + b et a - b ≠ a – b

= 5 et + = 4 + 3 = 7

Application 1 : Ecrire les expressions suivantes sous la forme a b, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible :

A = 12 + 7 3 – 27

A =

A =

A =

A

B = 125 – 2 20 + 6 80

B =

B =

B = 5

B =

B = 25 Application 2 :

A = ( 3 – 4)2 =

B = (3 + 5)2 = 3

2 + 2×3× + = 9 + 6 + 5 = 14 + 6

C = ( 5 + 2)( 2 – 5) =

D = (3 + 3)(4 – 2 3) = 12 – 6 + 4 – 2 = 12 – 2 – 2 = 12 – 2 – 2×3 = 12 – 2 - 6 = 6 - 2

Application 3 : Rendre entier le dénominateur d’un quotient.

En général, on évite d’avoir une racine carrée au dénominateur d’une écriture fractionnaire

a)

b) si A = et B = 5 alors

c)

=

3 × 27 = = = 9


Fiche n°10 : Équations. On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre à chacun de ses

membres.

On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul chacun de

ses membres.

Exemple 1 : Résoudre l’équation 3x + 2 = -7x + 5

3x + 7x = 5 - 2

10x = 3

x =

x = 0,3

La solution de l’équation est 0,3.

Vérification : pour x = 0,3, on a :

Membre de gauche : 3×0,3 + 2 = 0,9 + 2 = 2,9

Membre de droite : -7×0,3 + 5 = -2,1 + 5 = 2,9 Donc l’égalité est bien vérifiée.

Exemple 2 : Résoudre l’équation :

4

3

12

1

3

4

xx

12

9

12

1

12

)4(4

xx

91)4(4 xx

4x + 16 - x + 1 = 9

3x + 17 = 9

3x = 9 - 17

3x = -8

x = 3

8 La solution de l’équation est

3

8

Une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 est une équation produit nul d’inconnue x.

Exemple : Résoudre l’équation (x + 4)(x – 7) = 0

Si un produit est nul alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

x + 4 = 0 ou x – 7 = 0

x = - 4 ou x = 7

Les solutions de l’équation sont - 4 et 7.

Vérification :

Pour x = -4, on a : (x + 4)(x – 7) = (-4 + 4)×(-4 – 7) = 0×(-11) = 0 L’égalité est bien vérifiée pour x = - 4.

Pour x = 7, on a : (x + 4)(x – 7) = (7 + 4)×(7 – 7) = 11×0 = 0 L’égalité est bien vérifiée pour x = 7.

a désigne un nombre relatif.

Lorsque a < 0, l’équation x2 = a n’admet pas de solution.

Lorsque a = 0, l’équation x2 = a admet une solution unique 0.

Lorsque a > 0, l’équation x2 = a admet deux solutions et -

a) Résoudre : x2 = 108

x = ou x =

x = ou x =

x = 6 ou x =

Les solutions de l’équation sont 6 et

b) Résoudre : x2

= –9

Cette équation n’admet aucune solution.

Le carré d’un nombre est toujours positif.

Application :

On donne A = (4x + 7)

2 – (6 – 2x)(4x + 7)

1) Factoriser A.

2) a) Résoudre l’équation

(4x + 7)(6x + 1) = 0

b) Les solutions de

cette équation sont-elles

des nombres décimaux ?

Justifier.

Réponse :

1) A = (4x + 7)2 – (6 – 2x)(4x + 7)

A= (4x + 7)[(4x + 7) – (6 – 2x)]

A = (4x + 7)(4x + 7 – 6 + 2x)

A= (4x + 7)(6x + 1)

2) a) L’équation (4x + 7)(6x + 1) = 0 est une équation produit nul.

Si un produit est nul alors l’un, au moins, de ses facteurs est nul.

4x + 7 = 0 ou 6x + 1 = 0

4x = -7 ou 6x = -1

x =

ou x =

Les solutions de l’équation sont

et

.

b)

= -1,75 =

Le nombre

est un nombre décimal.

≈ -0,166 Le nombre

n’est pas un nombre décimal. C’est un nombre rationnel.


Fiche n°11 : Statistiques. Étendue : L’étendue d’une série statistique est un nombre qui précise la dispersion des données.

C’est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de la série.

Médiane : La médiane d’une série de données est un nombre qui partage cette série en deux séries de

même effectif. Pour déterminer les médianes, il faut ordonner les séries. Interprétation : Il y a autant de

valeurs inferieures ou égales à la médiane que de valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Quartiles : Pour déterminer les quartiles, il faut ordonner les séries.

Le premier quartile est la donnée de la série se trouvant au quart de l’effectif. Interprétation : Au moins un

quart (soit 25%) des valeurs sont inferieures ou égales au premier quartile Q1.

Le troisième quartile est la donnée de la série se trouvant au trois-quarts de l’effectif. Interprétation : Au

moins trois-quarts (soit 75%) des valeurs sont inferieures ou égales au troisième quartile Q3. Les quartiles sont des caractéristiques de dispersion.

Ex 1 : Voici les notes obtenues par Laurine :

12 – 17 – 11 – 18 – 10 – 8 – 13 – 19

Ordre croissant : 8-10-11-12-13-17-18-19

Compléter le tableau : Explication pour l’étendue :

19 – 8 = 11

Étendue 11

Moyenne : 13,5

Médiane : 12,5

1er quartile : 10

3ème quartile: 17

Ex 2 : Voici les notes obtenues par Marc :

14 – 12 – 11 – 18 – 7 – 7– 13.

7-7-11-12-13-14-18

Compléter le tableau :

Explication pour le 1ème

quartile :

×7 = 1,75

Donc le 1ème

quartile est

la 2ème

valeur soit 7.

Étendue 11

Moyenne : 11,71

Médiane : 12

1er quartile : 7

3ème quartile: 14

Ex 3 : Voici les tailles, en mètres, de 12 personnes :

1,51 – 1,81 – 1,75 – 1,84 – 1,61 – 1,71 – 1,61 – 1,59

1,49 – 1,85 – 1,77 – 1,73 1,49-1,51-1,59-1,61-1,61-1,71-1,73-1,75-1,77-1,81-1,84-1,85


Explication pour la médiane : Il y a 12 valeurs. La médiane est

donc située entre la 6ème et la 7ème

valeur (1,71 + 1,73) :2 =1,72

Étendue 0,36

Moyenne : 1,69

Médiane : 1,72

1er quartile : 1,59

3ème quartile: 1,77

Ex 4 : Voici les notes obtenues par Natacha :

11 – 8 – 5 – 15 – 18 – 3 – 14 – 15 – 16 – 8 – 8

3-5-8-8-8-11-14-15-15-16-18


Explication pour le 3ème

quartile :

×11 = 8,25

Donc le 3ème

quartile est

la 9ème

valeur soit 15.

Étendue 15

Moyenne : 11

Médiane : 11

1er quartile : 8

3ème quartile: 15

Ex 5 : Voici les notes obtenues par une classe de 25 élèves.

Note : 1 2 3 4 5

Effectif : 2 3 3 2 3

Note : 6 7 8 9 10

Effectif : 3 4 2 2 1

Compléter le tableau : Il y a 25 valeurs, donc la médiane

est la note du 13ème élève soit 5

Étendue 9

Moyenne : 5,2

Médiane : 5

1er quartile : 3

3ème quartile: 7

Ex 6 : Il y a deux correcteurs au brevet des

collèges: le premier a 11 de moyenne avec 55

candidats et son collègue n'a que 9,5 de moyenne

avec 45 candidats. Quelle est la moyenne

générale ?

= 10,325

Ex 7 : Les gendarmes ont effectué un contrôle de vitesse

sur le bord d'une route nationale.

vitesse [50;70[ [70;90[ [90;110[ [110;130[

effectif 15 90 35 5

Centre de

classe

60 (50+70) :2=60

80 100 120

Calculer la vitesse moyenne Vm des automobilistes contrôlés.

Vm =

Vm ≈ 84 km.h

-1

Ex 8 : On a relevé la nationalité des vainqueurs des 85 premiers Tours de

France cyclistes entre 1903 et 1998.Le tableau ci-dessous donne le nombre de victoires par nationalité. Compléter le tableau :

France Belgique Italie Espagne Autres Total

Nombre de

victoires 36 18 9 9 13 85

Fréquence f 0,42 0,21 0,11 0,11 0,15 1

Angle (°) 152 76 38 38 55 360

Formule pour les fréquences : f =

1) Compléter le tableau.

2) Construire un diagramme

circulaire représentant cette

situation (on prendra 5 cm

pour rayon du cercle).


Fiche n°12 : Classes de 6ème et 5ème.

Classe de 6ème

:

Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre

elles.

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est

perpendiculaire à l’autre.

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Le périmètre d'une figure est la longueur du bord de cette figure. Pour un polygone il faut ajouter les longueurs de tous les côtés.

Classe de 5ème

: Médiane d’un triangle : Droite passant par un sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé.

Hauteur d’un triangle : Droite passant par un sommet d’un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point.

On dit qu’elles sont concourantes en ce point.

Ce point de concours est le centre du cercle qui passe par les trois sommets

du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante,

alors elles forment des angles alternes-internes

et correspondants de même mesure.

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment

des angles alternes-internes (ou correspondants) de même

mesure, alors elles sont parallèles.

Trapèze Parallélogramme

Parallélogrammes particuliers

Rectangle Losange Carré

Les côtés en gras

sont parallèles. Pour les quatre parallélogrammes ci-dessus, O est le centre de symétrie, les droites en

pointillés sont les axes de symétrie et enfin, les côtés opposés sont parallèles.

O O

O

O

Définition (classe de 4ème

) : Tangente vient du latin tangere, toucher.

En géométrie, la tangente est une droite qui « touche » une courbe en un point

sans la couper.

La tangente au cercle ( C ) en A est perpendiculaire au rayon [OA].

Alternes-internes

Correspondants

Propriété :

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.


Fiche n°13 : Classe de 4ème.

1) Droite des milieux. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième

côté de ce triangle.

Si, dans un triangle, un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est

égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Si une droite passe par le milieu d’un des cotés d’un triangle et si elle est parallèle à un deuxième

côté, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté de ce triangle.

2) Triangle rectangle et cercle circonscrit. Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre

l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle

circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

3) Cercle inscrit. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles

de même mesure. Le point de concours des 3 bissectrices des angles

d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

5) Vitesse moyenne.

Vitesse moyenne (en km/h) =

ou v =

Remarque : km/h se note également km.h-1

Trois exercices : Convertir :

a) 1280 minutes en heures-

minutes.

b) 219,6 km.h-1

en m.s-1

.

Marie est partie de chez elle à 10h10 et

est arrivée à son lieu de vacances à

12h25 après avoir parcouru 247,5 km

en voiture. Calculer sa vitesse moyenne.

En roulant à une vitesse

moyenne de 96 km.h-1

. Calculer

la distance parcourue en 43 min.

a) 1280 = 21×60 + 20

Donc 1280 min = 21 h 20 min

b) 219,6 km = 219 600 m et 1 h =

3600 s

= 61 Donc

219,6 km.h-1

= 61 m.s-1

.

12h25 – 10h10 = 2h15 = 2,25h

v =

=

= 110

Sa vitesse moyenne est 110 km.h-1

.

96 km d km

60 min 43 min

d =

= 68,8 La distance

parcourue en 43 minutes est 68,8 km.

A

P

C B K

L M

4) Aire (6ème

,5ème

et 4ème

) à connaître.

Triangle : b h

2

Quadrilatères :

Rectangle :...........................Ll

Carré :..................................... a

2

Parallélogramme :...................bh

Losange :............................... D d

2

Trapèze : ............................. (B + b) h

2

Disques :

Périmètre : ..............................2R

Aire :........................................ R2

m/s s

m


Fiche n°14 : Angles inscrits – Polygones réguliers. C est un cercle de centre O. A, B, et M sont trois points distincts du cercle C .

Propriété :

Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure.

°

= 50°

= 40°

= 20°

= 60°

= 120°

= 140°

= 70°

= 50° = 20° = 60° = 70°

Un polygone est dit « régulier » quand tous ses côtés ont la même longueur, et tous ses angles ont la

même mesure.

Figures à connaître :

Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier

POUR CALCULER L’ANGLE AU CENTRE, ON UTILISE LA FORMULE :

On écrit :

Exemple : le pentagone régulier à 5 côtés, donc l’angle au centre mesure : 360° : 5 = 72°.

A

B

O

C

M

Définition 1 : On dit que l’angle est

un angle inscrit dans le cercle C .

Définition 2 : Un angle au centre du

cercle C est un angle dont le sommet est

le centre du cercle C .

Ici est un angle au centre.

Propriété : Dans un cercle, si un angle

inscrit et un angle au centre

interceptent le même arc de cercle alors

la mesure de l’angle inscrit est égale à la

moitié de celle de l’angle au centre.

O M

A

N

B

O

N

A

M

B

O

A

B

M

N

O B

M N

A

O 120°

O 90°

O

72°

O

45°

O

60°


Fiche n°15 : Système d’équations.

Résoudre le système :

Résolution par substitution :

On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre

dans une des équations :

On remplace l’inconnue dans l’autre équation. Elle devient

une équation du premier degré à une seule inconnue :

On développe la nouvelle équation :

On isole l’inconnue :

On réduit chaque membre :

On résout :

On remplace y par –3 dans la première équation, puis on

calcule :

Verification:

La solution de l’équation est le couple (2 ; -3).

Résoudre le système :

Résolution par addition :

ÉTAPE 1 : ÉLIMINER x.

On multiplie chaque équation par un nombre afin de que

les coefficients de x soient opposés :

On obtient un nouveau système équivalent :

On ajoute membre à membre les deux équations, pour

éliminer x :

+

0x - 22y = 8 On obtient une équation du premier degré à une

inconnue, qu’on résout :

22y = -8 y = - 8

22 donc y = -

4

11

ÉTAPE 2 : ÉLIMINER y.On multiplie ce qu’il faut afin de

que les coefficients de y soient opposés :

On obtient un nouveau système équivalent :

On ajoute « membre à membre » les deux équations, pour

éliminer y :

+

11x + 0y = 1 On obtient une équation du premier degré à une inconnue,

qu’on résout :

11x = 1 x = 1

11

La solution de ce système est le couple (

;

).

Résolution d’un problème. Dans une boulangerie, Fabien achète 3 pains au

chocolat et 2 croissants ; il paie 2,80€.

Dans la même boulangerie, Bob achète 1 pain au

chocolat et 3 croissants ; il paie 2,10€.

Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un

croissant.

Choix des inconnues :

x le prix d’un pain au chocolat.

y le prix d’un croissant.

Mise en équations :

Résolution du système :

+

–

-7y = -3,5 donc y =

= 0,5

+

–

7x = 4,2 donc x =

soir x = 0,6

Le prix d’un pain au chocolat est de 0,60 € et le prix d’un

croissant est de 0,50€.


Fiche n°16 : Pourcentage et inéquation.

1) Pourcentage.

Augmenter un nombre de p% revient à multiplier ce nombre par 1 +

.

Ex : pour augmenter un nombre de 30 %, on multiplie le nombre par 1 + 0,30 = 1,30.

Diminuer un nombre de p% revient à multiplier ce nombre par 1

Ex : Pour diminuer un nombre de 23 %, on multiplie le nombre par 1 - 0,23 = 0,77.

Applications.

1) En 2014 une ville comptait 400 000 habitants. Entre 2014 et 2015 la population a augmenté de 5 %.

Calculer la population de cette ville en 2015.

Augmenter de 5%, revient à multiplier par 1 + 0,05 = 1,05. Donc 400 000×1,05 = 420 000

En 2015, la ville compte 420 000 habitants.

2) Sur les 120 élèves de 3èmes

d’un collège, 108 ont obtenu le Brevet. Calculer le pourcentage de réussite.

= 0,9 = 90 % Le pourcentage de réussite est de 90 %.

3) Après un rabais de 15%, le prix d’un ordinateur est de 680 €. Quel était son prix initial ?

Soit x le prix initial. On a : x -15%

680

Diminuer de 15 % revient à multiplier par 1 – 0,15 = 0,85 Donc x =

= 800

Le prix initial était de 800 euros.

4) Vrai ou Faux ? : Augmenter un prix de 20% puis effectuer une remise de 20% sur le nouveau prix revient à

redonner à l’article son prix initial.

Faux. Prenons par exemple un prix de 100 €, ce prix après une augmentation de 20% serait de 120 €.

Ce prix de 120 € après une remise de 20% serait de 120 × 0,8 = 96 €, donc il ne retrouve pas son prix

initial, il subit une baisse de 4% (autre méthode : 1,20×0,80 = 0,96)

2) Inéquation. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent vraie l’inégalité.

Ces valeurs de l’inconnue sont appelées les solutions de l’inéquation. Pour trouver ces valeurs, on procède

comme pour la résolution d’une équation, c’est à dire en isolant l’inconnue.

Exemple : résoudre l’inéquation –3x + 4 -2

–3x –2 – 4

–3x – 6

x ≤ 3

6

x ≤ 2

Les solutions de l’inéquation –3x + 4 –2 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 2.

Il reste ensuite à représenter l’ensemble de ses solutions.

Cette représentation consiste à tracer un axe gradué et orienté sur lequel on souligne les parties représentant

les nombres qui sont solutions.

Représentation des solutions de l’inéquation : –3x + 4 -2

Solutions

2

Exemples : a) 5x - 10 0

5x 10

x 2

b) 12 - 6x < 0

-6x < -12

x > 2

2

Solutions 2

Solutions

Attention à ce passage.


Fiche n°17 : Notion de fonction.

La fonction f qui, à un nombre, associe son carré se note : f : x x2.

La fonction f associe, au nombre x, le nombre f(x) = x2.

On a : f(5) = 52 = 25

On dit que l’image de 5 par la fonction f est 25. Cette image est unique. L’image de 5 par la fonction f se note f(5).

On dit aussi que 5 est un antécédent de 25 par la fonction f. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

f(-5) = (-5)2 = 25

f : 5 25 f : -5 25

Antécédent de 25 image de 5 Antécédent de 25 image de -5

5 et -5 sont deux antécédents de 25 par la fonction f.

Application 1 :

Soit h la fonction définie par :

h : x x2 + 2 On peut aussi écrire h(x) = x

2 + 2

1) Calculer l’image de 15 par la fonction h.

h(15) = 152 + 2 = 225 + 2 = 227 l’image de 15 par la fonction h est 227.

2) Calculer le ou les antécédent(s) de 83 par la fonction h.

Pour calculer le ou les antécédents de 83 par

la fonction h, il faut résoudre l’équation h(x) = 83 soit :

Application 2 :

Dans un repère orthogonal d’unité 1 cm sur chaque axe, représenter graphiquement la fonction f pour x compris

entre 1 et 4,5 :

f : x 5x – x2

Utilisons un tableau de valeurs :

x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

f(x) 5×1-12= 4 5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25

Représentation graphique :

x2 + 2 = 83

x2 = 83 – 2

x2 = 81

x = ou x =

x = 9 ou x = -9

Les antécédents de 83 par la fonction h sont 9 et –9.

C

x

f(x)

Application 3 : Soit g une fonction.

On considère le tableau de valeurs suivant :

x – 4 – 2 1 5 10

g(x) 4 1 4 – 2 5

1) Quelle est l’image de 1 par la fonction g ?

L’image de 1 par la fonction g est 4.

2) Donner g(– 2) = 1

3) Donner un antécédent par la fonction g du nombre 1.

Un antécédent par la fonction g du nombre 1 est –2.

4) Donner deux antécédents par la fonction g du nombre 4 :

Deux antécédents par la fonction g du nombre 4 sont –4 et 1.

Exploitation du graphique de l’application 2 :

On lit graphiquement que l’image de 2 par la fonction f est 6, on écrit f(2) = 6

Deux antécédents de 4 par la fonction f sont 1 et 4, on écrit f(1) = 4 et f(4) = 4


Fiche n°18 : Fonctions linéaire et affine. Définitions. a) Fonction affine.

a et b désignent deux nombres relatifs donnés.

Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b.

Si f désigne cette fonction, on la note f : x ax + b.

On dit que ax + b est l’image de x et on note f(x) = ax + b.

b) Cas particuliers.

Pour b = 0, la fonction x ax + b devient x ax + 0, donc x ax.

Une fonction affine pour laquelle b = 0 est une fonction linéaire.

Pour a = 0, la fonction x ax + b devient x 0×x + 2, donc x b.

Par cette fonction, tous les nombres ont la même image.

On dit que cette fonction est une fonction constante.

Exercice 1 :

Déterminer la fonction linéaire f par laquelle l’image de 15 est 45.

On sait que l’image de 15 est 45 donc f(15) = 45. f est une fonction linéaire donc f est de la forme f(x) = ax

f(15) = a×15 on en déduit : 15a = 45 d’où a =

= 3. Conclusion : f : x 3x

Exercice 2 : Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.

On considère les points A (-3 ; 2) et B (1 ; 4).

La droite (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine f.

1) Déterminer f.

f est une fonction affine donc elle est de la forme f(x) = ax + b

Il faut calculer a puis b.

Calcul du nombre a :

A(-3 ; 2) signifie que l’image de -3 par la fonction f est 2 donc f(-3) = 2.

B(1 ; 4) signifie que l’image de 1 par la fonction f est 4 donc f(1) = 4.

a = –

donc f(x) = 0,5x + b

Calcul du nombre b :

On sait que f(1) = 4 d’où f(1) = 0,5×1 + b = 4 0,5 + b = 4 b = 4 – 0,5 = 3,5

Conclusion : f : x 0,5x + 3,5

2) Le point C(2 ; 4) appartient-il à la représentation graphique d’une fonction affine f ?

Calculons f(2) = 0,5×2 + 3,5 = 1 + 3,5 = 4,5

On constate que f(2) ≠ 4 donc le point C n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction f.

3) Le point D(-100 ; -46,5) appartient-il à la représentation graphique d’une fonction affine f ?

Calculons f(-100) = 0,5×(-100) + 3,5 = -50 + 3,5 = -46,5

On constate que f(-100) = -46,5 donc le point D appartient à la représentation graphique de la fonction f.

Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

On dit que y = ax + b est une équation de cette droite.

Le nombre a est appelé le coefficient directeur de cette droite.

Le nombre b est appelé l’ordonné à l’origine de cette droite.

Dans un repère la représentation graphique d'une fonction

affine est une droite d'équation y = ax + b

a est le coefficient directeur :

si a > 0, la fonction est croissante.

si a < 0, la fonction est décroissante.

si a = 0, la fonction est constante.

b est l’ordonnée à l’origine

(en effet, si x = 0, alors y = a 0 + b = b ;

la droite coupe donc l'axe des ordonnées en b) 0 x

y

b

1

a

1

axe des abscisses

axe des ordonnées


Fiche n°19 : Fonction affine : représentation graphique.

Un exemple : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x – 1.

-) f est une fonction affine car elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = 2 et b = -1.

-) f étant une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite, c’est la droite d’équation y = 2x – 1.

-) Méthodes pour construire la droite :

Méthode 1 : Trouver les coordonnées de deux points :

On choisit « au hasard » deux nombres dont on calcule

les images, par exemple 0 et 3 :

f (0) = 2×0 – 1 = 0 – 1 = -1

On obtient un premier point de coordonnées (0 ; -1)

f (3) = 2×3 – 1 = 6 – 1 = 5

On obtient un second point de coordonnées (3 ; 5)

x 0 3

f(x) -1 5

Méthode 2 : On utilise le coefficient directeur de la

droite a = 2 et l’ordonnée à l’origine b = -1.

Autre méthode pour déterminer une fonction affine : Énoncé : g est une fonction affine telle que g(2) = 4 et g(–5) = –17. Déterminer g.

g est une fonction affine donc g(x) = ax + b.

g(2) = a×2 + b = 2a + b et g(2) = 4 donc 2a + b = 4

g(-5) = a×(-5) + b = -5a + b et g(-5) = -17 donc -5a + b = -17

+

7b = -14 donc b =

= -2

On remplace b par -2 dans la première équation du système :

2a + (-2) = 4 2a = 4 + 2 2a = 6 a =

a = 3

La solution du système est le couple (3 ; -2).

Conclusion : la fonction g est définie par g(x) = 3x – 2

y

x

On obtient deux équations à deux

inconnues.


Fiche n°20 : Probabilités.

Vocabulaire :

Une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans savoir avant l’expérience le résultat

qu’on obtiendra est appelée expérience aléatoire (lancer une pièce de monnaie, lancer un dé…)

Chacun des résultats possibles lors d’une expérience aléatoire est un événement (pile ou face).

La probabilité d’un événement A représente les chances que l’événement se réalise lors d’une

expérience aléatoire. Cette probabilité se note p(A).

C’est un nombre compris entre 0 et 1.

Si tous les événements d’une expérience aléatoire ont la même probabilité on dit que les événements

sont équiprobables. (exemple : lancer un dé).

Exemple 1 :

Dans une boîte, il y a 4 jetons bleus, 5 jetons verts et un jeton jaune.

Tirer, au hasard, un jeton dans la boîte et noter sa couleur est une expérience aléatoire.

On note B l’événement « le jeton tiré est bleu »

La probabilité de l’événement B est : p(B) =

= 0,4

L’événement « le jeton tiré n’est pas bleu » est l’événement contraire de B.

On le note « non B » ou « »

On a p( ) =

0,6 ou p( ) = 1 – p(B) = 1 – 0,4 = 0,6

Exemple 2 :

Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves.

Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »

On utilise un arbre de probabilité.

(P ; P) 1

2 ×

1

2 =

1

4 (probabilité d’obtenir deux piles)

(P ; F) 1

2 ×

1

2 =

1

4 (probabilité d’obtenir pile puis face)

(F ; P) 1

2 ×

1

2 =

1

4 (probabilité d’obtenir face puis pile)

(F ; F) 1

2 ×

1

2 =

1

4 (probabilité d’obtenir deux faces)

Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.

p(E) =

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

3

4.

Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance deux fois de suite

une pièce de monnaie.

L’événement « » est : « On n’obtient pas la face PILE ».

Calculer p( ) = 1 – p(E) = 1 -

=

F

P

F

P

F

P 12

12

12

12

12

12


Fiche n°21 : Le tableur.

Exemple 1 :

On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par une fonction affine f

et par une autre fonction g. Une copie de l’écran obtenu est donnée ci-dessous.

1) Quelle est l’image de -3 par f ?

L’image de -3 par f est 22.

2) Donner l’expression de f(x).

On observe que la formule qui a été entrée dans la cellule C2 est : = –5*C1+7

Donc la fonction affine f est définie par f(x) = –5x + 7

3) Calculer f (7).

f(7) = -5×7 + 7 = -35 + 7 = -28 L’image de 7 par f est -28.

4) On sait que g (x) = x² + 4. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour

compléter la plage de cellules C3: H3. Quelle est cette formule ?

La formule saisie est =B1^2+4 ou =B1*B1+4

Exemple 2 :

Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l’expérience

suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même

probabilité d’être tiré.

1) Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l’expérience avec un

tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs en fonction du nombre de

tirages.

a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac ?

Aucune justification n’est attendue.

La couleur le plus présente est le jaune.

b) Le professeur a construit la feuille de

calcul suivante :

Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2

avant de la recopier vers le bas ?

La formule saisie dans la cellule C2 est :

=B2/A2

2) On sait que la probabilité de tirer un jeton

rouge est de 5

1.

Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?

20

4

5

1 L’expérience étant aléatoire, il y a

donc 4 boules rouges dans le sac.

Définition d’un tableur :

Un tableur est un programme informatique capable de

manipuler des feuilles de calcul. À l'origine destinés au

traitement automatisé des données financières, les logiciels

tableurs sont maintenant utilisés pour effectuer des tâches

variées, de la gestion de bases de données simples à la

production de graphiques (on peut alors parler de tableur-

grapheur), en passant par diverses analyses statistiques.

Exemples de tableurs : Microsoft Excel, OpenOffice Calc,

Numbers…

http://fr.wikipedia.org/wiki/Programme_informatique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logiciel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_de_donn%C3%A9es

http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3%A9sentation_graphique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Statistique


Fiche n°22 : Fonction linéaire : ce qu’il faut savoir faire.

I) Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire. f est la fonction linéaire qui à x associe –7x.

a) Calculer l'image de 3 par la fonction f.

On a f(x) = –7x donc f(3) = -7×3 = -21 L’image de 3 par la fonction f est -21.

b) Calculer f(-9).

f(–9) = –7×(–9) = 63 L’image de -9 par la fonction f est 63.

II) Calculer un antécédent d’un nombre par une fonction linéaire. Soit la fonction linéaire h : x 5x.

a) Quel est l’antécédent de 10 par la fonction h.

On a h(x) = 5x.

On cherche x tel que h(x) = 10

5x = 10 x = 2

L’antécédent par la fonction h de 10 est 2.

b) Trouver m tel que h(m) = –8.

h(m) = 5m donc 5m = –8 et m = 5

8 L’antécédent par la fonction h de -8 est

5

8 .

III) Déterminer une fonction linéaire connaissant un nombre et son image. a) g est une fonction linéaire. On sait que g(2) = 3

Quel est le coefficient de la fonction g ?

g est une fonction linéaire donc g(x) = ax

On a g(2)=3 et g(2) = 2a donc 2a = 3 soit a = 3:2 = 1,5

g est une fonction linéaire de coefficient 1,5.

Donner l'expression de l'image de x par g.

On a :

g : x 1,5x

b) Déterminer la fonction linéaire l telle que 4 7.

l est une fonction linéaire donc l(x) = ax.

On a l(4)=7 et l(4) = 4a donc 4a = 7 soit a = 4

7= 1,75 Conclusion : l : x 1,75x

c) Déterminer la fonction linéaire i telle que : i : 4 -14.

i est une fonction linéaire, donc elle est de la forme i(x) = ax. On a i(4) = a×4 = 4a et on sait que i(4) = -14,

donc : 4a = -14 soit a = 2

7

4

14

= -3,5 Conclusion : i : x -3,5x

IV) Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire. La droite (d) représente une fonction linéaire f.

a) Lire l'image de 3.

L’image de 3 par la fonction f est 1, c’est-à-dire f(3) = 1.

b) Lire l’antécédent de 2.

L’antécédent de 2 est 6.

c) Déterminer graphiquement f.

f : x 3

1x

d

1

O 1


Fiche n°23 : Fonction affine : ce qu’il faut savoir faire.

I) Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine. f est la fonction affine qui à x associe –7x + 4.

Calculer l'image de 3 par la fonction f.

f(3) = -7×3 + 4 = -21 + 4 = -17 L'image de 3 par la fonction f est -17.

II) Calculer un antécédent d’un nombre par une fonction affine. Soit la fonction affine h : x 5x – 7.

a) Calculer l’antécédent de 13 par la fonction h. (autre formulation : quel est le nombre dont l’image est 13 ?)

L’antécédent de 13 par la fonction h est la solution de l’équation : 5x – 7 = 13 5x = 20 x = 5

20 x = 4

L’antécédent de 13 par la fonction h est 4.

b) Trouver m tel que h(m) = –8.

h(m) = 5m – 7 = - 8 On obtient ainsi une équation qu’il faut résoudre.

5m = -8 + 7 5m = -1 m = 5

1 L’antécédent de -8 par la fonction h est

5

1 .

III) Déterminer graphiquement les équations des droites d1 et d2.

IV) Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images. h est une fonction affine telle que h(8) = –7 et h(11) = 2. Déterminer la fonction h.

h est une fonction affine donc elle est de la forme

h(x) = ax + b.

1) Je calcule a.

a = 33

9

3

27

118

)11()8(

hh

Donc h(x) = 3x + b

2) Je calcule b.

On sait que h(11) = 2

Or, h(11) = 3×11 + b = 33 + b

Donc on a : 33 + b = 2 soit b = 2 – 33 b = -31

3) Conclusion.

h : x 3x – 31

V) Méthode pour démontrer qu’un point appartient à la représentation graphique

d’une fonction. a) On considère i la fonction telle que i(x) = 22x + 7

Le point A(-2 ; -37) appartient-il à la représentation graphique de la fonction i ?

i(-2) = 22×(-2) + 7 = -44 + 7 = -37

Donc Le point A(-2 ; -37) appartient à la représentation graphique de la fonction i

b) Le point B(-4 ; 10,1) appartient-il à la droite (d) d’équation y = –2x + 2 ?

-2×(-4) + 2 = 8 + 2 = 10 Or, 10 ≠ 10,1

Donc, le point B(-4 ; 10,1) appartient à la droite (d) d’équation y = –2x + 2.

a) Pour la droite (d1), l’ordonnée à l’origine est b = -1

et le coefficient directeur est a = -3 (en se décalant

d’une unité vers la droite, on descend de 3 unités).

d1 : y = –3x – 1 donc f1 : x –3x – 1

b) Pour la droite (d2), l’ordonnée à l’origine est b = 2

et le coefficient directeur est a = 2 (en se décalant

d’une unité vers la droite, on descend de 3 unités).

d2 : y = 2x + 2 donc f2 : x 2x + 2


Fiche n°24 : Programme de calcul. Exemple 1 :

Programme A Programme B

Choisir un nombre ;

Lui ajouter 1 ;

Calculer le carré de la somme obtenue ;

Soustraire au résultat le carré du nombre de

départ.

Choisir un nombre ;

Ajouter 1 au double de ce nombre.

1) On choisit 5 comme nombre de départ.

Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes ?

2) On choisit 3

2 comme nombre de départ.

Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes ?

3) Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les résultats

obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux.

3) Pour le nombre x on obtient :

Programme A : (x + 1)2 – x

2 = x

2 + 2x + 1 – x

2 = 2x + 1

Programme B : 2x + 1

On remarque que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux.

Exemple 2 : On considère le programme de calcul ci-dessous :

Choisir un nombre ;

Ajouter 1 ;

Calculer le carré de la somme obtenue ;

Soustraire le carré du nombre de départ ;

Ecrire le résultat final.

Quelle est la nature de la fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme ?

Réponses : En choisissant x le programme donne l’expression (x + 1)² – x² .

En développant, on obtient : (x + 1)² – x² = x2 + 2×x×1 + 1

2 – x

2 = x

2 + 2x + 1 – x

2 = 2x + 1

La fonction f définie par f(x) = 2x + 1 est une fonction affine, car elle des de la forme f(x) = ax + b où a = 2 et b = 1.

Exemple 3 : On donne le programme de calcul :

Choisir un nombre ;

Lui soustraire 8 ;

Multiplier la différence obtenue par le nombre choisi ;

Ajouter 16 à ce produit ;

Ecrire le résultat.

1) Effectuer ce programme en choisissant le nombre 3.

2) Effectuer ce programme en choisissant le nombre x.

Développer l’expression obtenue.

3) Factoriser l’expression P = x2 – 8x + 16.

4) Quels nombres faut-il choisir pour obtenir

36 comme résultat ?

Réponses : 1) Pour le nombre 5 on obtient :

Programme A : (5 + 1)2 – 5

2 = 6

2 – 25 = 36 – 25 = 11

Programme B : 2×5 + 1 = 10 + 1 = 11

2) Pour le nombre 3

2 on obtient :

Programme A : (3

2 +1)

2 – (

3

2 )

2 = (

2)3

3

3

2 –

9

4 = (

2)3

1 –

9

4 =

9

1 –

9

4 =

3

1

9

3

Programme B : 3

2 ×2 + 1 =

3

1

3

3

3

4

Réponses : 1) 3 – 8 = –5 ; –5×3 = –15 ;

–15+16 = 1 On obtient 1.

2) (x – 8)×x + 16 = x2 – 8x + 16

3) P = x2 – 8x + 16 = x

2 – 2×4×x + 4

2 = (x –

4)2

4) Les nombres qu’il faut choisir pour

obtenir 36 sont les solutions de l’équation (x – 4)

2 = 36

x – 4 = ou x – 4 = -

x – 4 = 6 ou x – 4 = - 6

x = 6 + 4 ou x = - 6 + 4

x = 10 ou x = -2

Les solutions de l’équation sont -2 et 10. Donc, pour obtenir 36, on peut choisir -2 ou 10.


Fiche n°25 : Questionnaire à choix multiple (QCM).

Choisir la bonne réponse (A, B ou C).

N° Question : Réponse A Réponse B Réponse C

1 5 543 et 3 151 sont-ils premiers entre eux ? Oui Non On ne peut pas le

savoir

2 L’écriture décimale de -4² + 103 × 10

-1 + (-3)²

est :

93 125 75

3 L’écriture scientifique de

est :

0,75×103 7,5×10

-6 7,5×10

2

4 L’expression factorisée de A = 81 – (4x – 2)2

est :

(11 – 4x)(4x + 7) (83 – 4x)(79 + 4x) 9(4x – 2)

5 L’écriture décimale de 9×10-2

+ 7×10-3

est : 63×10-5

0,000 63 0,097

6 L’expression factoriser de

B = (9x – 2)2 – (7x + 5)(9x – 2) est :

(9x – 2)(2x – 7)

(9x – 2)(16x + 3)

(9x – 2)(2x + 3)

7 L’expression développée de

B = (9x – 2)2 – (7x + 5)(9x – 2) est :

18x2 – 67x + 14

81x2 – 5x + 14

18x2 – 5x – 7

8 Pour x = –5 l’expression 2x² – 3x – 3 est égale à : -38 62 33

9

3

2

5

1

5

4 15

14

3

2

20

6

10 )(2

325

75 45 15

11 Combien font 5% de 650 ? 32,5 645 13 000

12 Quelle est la masse approximative de la terre ? 32 tonnes 6 × 1024

kg 7 × 10-15

g

13 3

2

4 10

5 10

est égale à 0,0000008 8

0,8

14 Pour x = –2, l’expression 5x² + 2x – 3 est égale

à : 13 –27 17

15 Quelle est l’expression qui est égale à 10 si on

choisit la valeur x = 4 ?

x(x + 1)

(x + l)(x – 2)

(x + 1)2

16 Quelle est l’expression développée

de (3x + 5)2 ?

3x2 + 25

9x2 + 25

9x2 + 30x + 25

17

Quelle est la valeur exacte de

?

24

3,464

32

18

Quel est le nombre qui est solution de l'équation

2x – (8 + 3x) = 2 ?

10

– 10

2

19

En 3e A, sur 30 élèves, il y a 40% de filles. En 3e

B, sur 20 élèves, il y a 60% de filles. Lorsque les

deux classes sont réunies, quel est le pourcentage

de filles dans le groupe ?

36% de filles.

48% de filles.

50% de filles.

20

Après un rabais de 15%, le prix d’un ordinateur est

de 680 €. Quel était son prix initial ?

695

800

782

Réponses : 1) B 2) A 3) C 4) A 5) C 6) A 7) A 8) B 9) A 10) C

11) A 12) B 13) B 14) A 15) B 16) C 17) C 18) A 19) B 20) B

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