College meerdimensionale meetkunde voorjaar 2020broer/uploads/Teaching/martinus2020.pdfRechtsonder...

College meerdimensionale meetkunde

voorjaar 2020

[email protected]

meerdimensionale meetkunde 1

Citaten “Here, however, a word of warning may be in order: do not try to

visualize n-dimensional objects for n ≥ 4. Such an effort is not only doomed to

failure – it may be dangerous to your mental health. (If you do succeed, then

you are in trouble.) To speak of n-dimensional geometry with n ≥ 4 simply

means to speak of a certain part of algebra.”

(V. Chvátal, 1983)

“This is wrong, and even Chvátal acknowledges the fact that the

correspondence between intuitive geometric forms and algebraic machinery

can be used in both ways.”

(G.M. Ziegler, 1995)


Visualisaties

De vijf driedimensionale regelmatige lichamen zijn hier gevisualiseerd in een tweedimensionale vorm:

1e. Als tekening, in parallelprojectie.

2e. Als uitslag, d.w.z. opengeknipt en ‘plat geslagen’ (tweedimensionaal gemaakt).

3e. Als een Schlegel-diagram, d.w.z. in centrale projectie vanuit een punt buiten de figuur, nabij het midden van een zijvlak.

Bij elke figuur is het Schläfli-symbool {p, q} vermeld. Dit betekent:

- Het lichaam bestaat uit regelmatige p-hoeken.

- Daarvan komen in elk hoekpunt q stuks samen.


Personen (I): Ludwig Schläfli (1814-1895)

Ludwig Schläfli was rond 1850 tamelijk onbekend.

Tijdens zijn leraarschap in o.a. theologie maakte hij zich veel wiskunde eigen. Zijn landgenoot Jakob Steiner zag zijn talent en stimuleerde hem.

Schläfli werkte nadien aan de universiteit van Bern. Hij reisde met Steiner en anderen naar Italië, voor deze groep was hij de tolk.

Schläfli was een pionier. Zijn werkwijze was vooral synthetisch, d.w.z. hij bediende zich in principe niet van algebraïsche hulpmiddelen.

Schläfli classificeerde meerdimensionale polytopen, inclusief sterpolytopen, en generaliseerde de formule van Euler voor veelvlakken. Zijn geschrift hierover dateert van 1852, maar werd pas in 1901 gepubliceerd.

Schläfli deed onderzoek op meerdere terreinen, ook aan kwadrieken in meerdimensionale ruimtes.

Hij was tevens een kenner van het Sanskriet.


Enkele woorden In het vervolg worden lichamen onderzocht in meerdimensionale ruimtes. Tot dusverre zijn woorden als veelhoeken (polygonen) en veelvlakken (polyeders) gebezigd. Het verzamelwoord hiervoor is polytopen. De eenvoudigste polytoop in de n-dimensionale ruimte is het simplex. Dit is dus in dimensie 2 een driehoek, en in dimensie 3 een viervlak. Een simplex in dimensie n is een n-simplex. Het meervoud van simplex is simplexen (evenzo: complex, complexen).

In sommige literatuur heet een kubusachtig lichaam in de vierdimensionale ruimte een hyperkubus. Deze terminologie is moeilijk uit te breiden naar hogere dimensies. Daarom wordt een ‘kubusachtig’ lichaam in dimensie n een n-kubus genoemd. Ook gebruikelijk is de naam n-orthotoop. Een zijpolytoop (‘face’) van een hoofdpolytoop heet vaak een cel. Een sferisch lichaam in de vierdimensionale ruimte heet soms een hypersfeer. In het vervolg zal dit lichaam een (n-1)-sfeer worden genoemd. Het ‘oppervlak’ van dit lichaam is immers (n-1)-dimensionaal. Zo is de cirkel de 1-sfeer, en de bol de 2-sfeer.


Regelmatige polytopen in dimensie 4 (1)

In dimensie 4 worden zes gewone regelmatige polytopen gevonden.

- De 5-cel is het 4-simplex.

- De tessaract is de hyperkubus of 4-kubus. Het Schläfli-symbool {4, 3, 3} geeft aan dat de gewone kubus {4, 3} meerdere keren in de tessaract voorkomt, en wel 3 keer bij elke ribbe.

In de tabel blijken dualiteiten, waaronder zelfdualiteiten.

Rechtsonder een projectiefiguur van de 4-kubus.



Hieronder Schlegel-diagrammen van de zes regelmatige polytopen in de vier-dimensionale ruimte. Genoemd naar Victor Schlegel (1843-1905) te Stettin. Volgorde als op de voorgaande dia.



Er is één volkomen regelmatige vulling (‘tessellation’) van de driedimensionale euclidische ruimte.

Dit is de ruimtevulling door kubussen. Hoort thuis in deze paragraaf.

Schläfli-symbool {4, 3, 4}.


Intermezzo: de vier sterveelvlakken Voor de stervijfhoek of het pentagram is de notatie 5/2 bedoeld. De sterveelvlakken zijn genoemd naar Johannes Kepler (1571-1630) en Louis Poinsot (1777-1859).



Er zijn tien regelmatige ster-polytopen in dimensie 4.

Vier hiervan waren reeds door Schläfli gevonden en beschreven.

In de tabel zijn weer dualiteiten te onderkennen: {p, q, r} en {r, q, p} zijn duaal. Een regelmatige polytoop is zelfduaal als p = r.

Dualiteit zegt iets over de opbouw (‘constructie’) van een polytoop, in vergelijking met de duale. Daarnaast zijn symmetrie’vlakken’ en rotatie-assen (met -hoeken) vaak onderscheidend.

Op de volgende dia een overzicht met visualisaties.



Hier zijn van elke regelmatige sterpolytoop twee visualisaties toegevoegd. Bron: Wikipedia, List of regular polytopes and compounds. Bijgewerkt 25 februari 2020.


Een hobbyist? Paolo Freire in zijn werkkamer te Bonn.


Drie regelmatige polytopen in elke dimensie (1)

In dimensies hoger dan vier zijn er steeds slechts drie regelmatige polytopen. Dit zijn het simplex, het orthoplex en de orthotoop.

Bovenaan het 5-simplex, met 6 hoekpunten, 15 ribben, 20 facetten van dimensie 2, 15 facetten van dimensie 3, en 6 zijcellen van dimensie 4. Een naam is 6-cel.

Het 5-simplex {3, 3, 3, 3} is zelf-duaal.

Middenin het 5-orthoplex {3, 3, 3, 4} en onderaan de 5-orthotoop {4, 3, 3, 3}.

Het orthoplex en de orthotoop hebben beide als grondvorm een vierkant, respectievelijk binnenin en buitenom.

Ze zijn in elke dimensie elkaars dualen.


Drie regelmatige polytopen in elke dimensie (2)

Simplex: Een 2-simplex is een (regelmatige) driehoek. Richt in het middelpunt hiervan een loodlijn op en vorm met de top (op die loodlijn) een viervlak. Bij verstandige keuze van de top is het viervlak regelmatig. Zo krijg je dus een 3-simplex.

Dit procédé werkt ook weer naar dimensie 4, en zo verder. Zodoende bestaat in elke dimensie een regelmatig n-simplex.

Hiernaast het 2-orthoplex en de 2-orthotoop (gestippeld).

Orthoplex: Neem op elke coördinaat-as de twee punten met coördinaten 1 resp. -1. Dit levert precies de 2n hoekpunten van het n-orthoplex (cross polytope).

Het 3-orthoplex is de octaëder, met binnenin drie vierkanten.

Orthotoop: Neem alle mogelijke punten met coördinaten 1 of -1. Dit levert de 2n hoekpunten van de n-orthotoop (measure polytope).

De 3-orthotoop is de kubus, met buitenom zes vierkanten.


Drie regelmatige polytopen in elke dimensie (3) Hieronder projecties van het 9-simplex, het 9-orthoplex en de 9-orthotoop. Hogere dimensies zijn vermeden – het overzicht verdwijnt.


Regelmatige polytopen – een nabetrachting De platonische veelvlakken spreken al millennia tot veler verbeelding. Kepler hechtte er eerst een mythische betekenis aan: zie het Mysterium Cosmographicum ------------> Na Schläfli, maar vóór de publicatie van diens resultaten, hebben meerdere mensen zich verdiept in meerdimensionale regelmatige polytopen. Schläfli werkte geheel synthetisch, dat wil zeggen zonder algebraïsche hulpmiddelen zoals coördinaten, vectoren en vergelijkingen. Misschien kwam dit mede door de invloed van Jakob Steiner – die ook uit het kanton Bern kwam. Het onderzoek naar de eigenschappen van polytopen – zoals symmetrie-’vlakken’ en rotatie-assen, moet uiterst nauwkeurig geschieden. Het visualiseren van regelmatige polytopen heeft in het digitale tijdperk een hoge vlucht genomen.


Personen (II): Hermann Günther Grassmann (1809-1877)

Grassmann woonde en werkte te Stettin. Zijn werk scheen voor verscheidene tijdgenoten ondoorgrondelijk. Pas later werd zijn werk op waarde geschat en hogelijk gewaardeerd.

Grassmann ontwikkelde in feite het concept voor meerdimensionale lineaire ruimtes (waarover hierna meer); dit zonder over de later gebruikelijke terminologie te beschikken. Hij meende dat algebra de basis moest zijn voor zijn ‘uitgebreide meetkunde’. Hij publiceerde zijn resultaten in 1844.

Grassmann wijdde zich ook aan filologische problemen. Hij vergeleek Sanskriet met Indogermaans. Voor zijn filologische werk ontving hij een eredoctoraat te Tübingen.

Grassmann’s wiskundige werk was hoogst origineel. Hij geldt nu als een pionier.


Over lineaire ruimtes (1)

We beschouwen een driedimensionale euclidische ruimte. In deze ruimte leggen we een rechthoekig assenstelsel, met een x-as, een y-as en een z-as, die onderling loodrecht op elkaar staan, waarop een eenheid gekozen wordt.

Ieder punt in de ruimte heeft dan eenduidig bepaalde coördinaten (x, y, z).

Belangrijk is een metriek: met behulp van de coördinaten kunnen afstanden en hoeken worden bepaald.

In de ruimte zijn zgn. lineaire afbeeldingen toegestaan, zoals spiegelingen, rotaties, translaties, en vermenigvuldigingen met een reëel getal. Hierdoor is congruentie en ook gelijkvormigheid met behulp van zulke lineaire afbeeldingen te omschrijven.

Op voor de hand liggende wijze kan dit voor willekeurige dimensie n worden gedaan.


Over lineaire ruimtes (2)


Grassmann werkte het idee van een euclidische meerdimensionale ruimte verder uit. Hij voerde vectoren in en andere hulpmiddelen. Zo ontwierp Grassmann geheel zelf het concept van een meerdimensionale vectorruimte.

Grassmann gebruikte een eigen terminologie. Zo gebruikte hij niet het woord ‘vector’; dit woord werd geïntroduceerd door W. R. Hamilton, de man van de quaternionen.

Het concept van lineaire vectorruimtes is heden ten dage zeer gangbaar. Grassmann liet zien dat zo’n ruimte een basis moet hebben van (n) onafhankelijke vectoren.

De basisvectoren kunnen alle onderling loodrecht op elkaar staan – zoals op de vorige dia de vectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1). Maar de onderling loodrechte stand is niet verplicht. [De vectornotatie is trouwens vaak verticaal.]

Later zijn vragen opgekomen als:

- Kunnen de coördinaten van punten, c.q. de kentallen van vectoren, andere getallen zijn dan reële getallen?

- Moet de dimensie beslist eindig zijn?

- Hoe definieer je dimensie?

Personen (III): Arthur Cayley (1821-1895)

Arthur Cayley werkte veertien jaar als advocaat. Hiernaast hield hij zich met wiskunde bezig. Hij leverde bijdragen aan vele gebieden. Reeds in 1843 publiceerde hij een opzet van meerdimensionale analytische meetkunde. Deze publicatie had nog weinig navolging.

Vanaf 1863 was Cayley hoogleraar wiskunde te Cambridge. Hij zag kans afbeeldingen in een meerdimensionale ruimte weer te geven met matrices. Daarbij definieerde hij voor het eerst de matrixvermenigvuldiging.

Ook ontwikkelde hij een metriek die, later, bleek te passen bij niet-euclidische ruimtes; dit werd onderkend door Felix Klein.


De geleidelijke erkenning van meerdimensionale meetkunde

Grassmann schreef over zijn Ausdehnungslehre:

eine neue mathematische Disciplin (1844).

Besefte Grassmann dat hij met iets bijzonders bezig was? Het was in elk geval nieuw. Hij vermeed termen als ‘meerdimensionaal’, ‘meetkunde’, ‘ruimte’. Wilde hij degenen die louter de driedimensionale meetkunde echte meetkunde (geometrie immers) vonden niet voor het hoofd stoten?

Schläfli vermeed eveneens termen als bovengenoemd. Ook hij had een eigen terminologie. Het valt moeilijk te geloven dat hij niet zou beseffen waarmee hij doende was. Hij lijkt voorzichtig te zijn.

Riemann was eerst ook nog voorzichtig (1854).

Daarna kwam geleidelijk erkenning tot stand.

Bevestigd door Felix Klein in zijn Erlanger Programm (1872).


Personen (IV): Felix Klein (1849-1925)

Klein werd in 1872 al hoogleraar te Erlangen. Hij werkte de langste tijd te Göttingen.

Hij overzag en groepeerde de talrijke meetkundige ontwikkelingen uit de negentiende eeuw.

Hij maakte Göttingen, waar Gauss en Riemann hadden gewerkt, weer tot het leidende centrum voor de wiskunde.

Hij gaf een onderwijsprogramma vanaf het begin tot en met de universiteit.

Hij zou uitgroeien tot een stimulator voor verbetering van middelbaar onderwijs.

Klein is o.a. bekend door de Fles van Klein, die geen binnen- of buitenkant heeft.

Kun je de Fles van Klein maken zonder een extra (vierde) dimensie te gebruiken?


Volumebepalingen (1) Wat kan men in een meerdimensionale ruimte verstaan onder: volume? We houden het eenvoudig: Onder het n-dimensionale volume van een n–balk verstaat men het product van de lengtes van de n ribben die in een hoekpunt samenkomen. Deze definitie levert voor de gevallen n = 2 (rechthoek) en n = 3 (balk) de bekende formules voor oppervlakte resp. inhoud. Hiervan uitgaande is het n-volume van n-prisma’s, n-cilinders en meer lichamen te bepalen; zo ook het n-volume van een n-parallellotoop. Stelling (Schläfli). Laat gegeven zijn twee n-parallellotopen die een hoekpunt gemeenschappelijk hebben, terwijl in dit hoekpunt de n ribben van de beide parallellotopen langs dezelfde rechten liggen. Dan verhouden de n-volumes van de parallellotopen zich als de producten van de lengtes van de ribben in het gemeenschappelijke hoekpunt. Dit is in de dimensies 2 en 3 zeer wel bekend.


Volumebepalingen (2)

Definitie, geldig in elke dimensie:

Een sfeer is de verzameling van de punten op een gegeven afstand van een gegeven (middel)punt.

In een 1-dimensionale ruimte is een sfeer een puntenpaar.

In een 2-dimensionale ruimte is een sfeer een cirkel.

In een 3-dimensionale ruimte is een sfeer een bol.

Het 1-volume van een puntenpaar is 2r

Het 2-volume van een cirkel is πr2

Het 3-volume van een bol is 4

3 . Πr3

(alternatieve formule in figuur)

Om het n-volume van een sfeer met straal r in de n-dimensionale ruimte te bepalen kunnen we integreren. Uitgangspunt kan elk der bovenstaande formules zijn.



Laat Vn(r) het volume zijn van een sfeer in de n-dimensionale ruimte. Bij elke x is de doorsnede van de gegeven sfeer loodrecht op de x-as, een deelsfeer, die gelegen is in een (n-1)-dimensionale deelruimte, met volume Vn-1(y).

Omdat y = √(r2 – x2) geldt

Vn(r) = ∫[-r, r] Vn-1(√(r2 – x2)) dx =

= 2. ∫[0, r] Vn-1(√(r2 – x2)) dx

Dus volgt, na substitutie van u = x/r :

Vn(r) = 2rn . ∫[0, 1] Vn-1(√(1 – u2)) du



Het 2-volume (de oppervlakte) van een cirkel met straal r is

V2(r) = 2r2 . ∫[0. 1] 2.√(1 – u2) du

Deze integraal kan verder worden bepaald door de substitutie u = sin v. Daardoor wordt het integratie-interval [0, ½ π], en verschijnt er een factor π in de uitkomst: V2(r ) = πr2 . Hierbij kan worden gebruikt de omzettingsformule cos2 v = ½(1 + cos 2v).

Het 3-volume (de inhoud) van een bol met straal r is

V3(r) = 2r3 . ∫[0, 1] π. (1 – u2) du

Dit is een elementaire integraal. Er verschijnt niet een extra factor π in de uitkomst: V3(r) = 4/3. πr3

Telkens als de factor √(1 – u2) in een oneven macht voorkomt, komt er in de uitkomst een factor π bij.


Volumebepalingen (5) Uitkomsten:

volume 1-sfeer (cirkel) πr2

volume 2-sfeer (bol) 4/3. πr3

volume 3-sfeer, in 4-dim ½ π2r4

volume 4-sfeer, in 5-dim 8/15 . π2r5

volume 5-sfeer, in 6-dim 1/6 . π3r6

Dit kan worden samengevat tot:

Vn(r) = π½n . {Г(½n + 1)}-1 . rn

De gammafunctie (Euler, 1729) is een ‘gladde’ functie die de faculteiten omvat: Г(n + 1) = n!

Algemeen geldt: Г(x + 1) = x.Г(x),

mits x ≠ 0, -1, -2, …..;

Belangrijk om te weten: Г(½) = √π

Een grafiek van de gammafunctie staat hiernaast.


Personen (V): Pieter Hendrik Schoute (1846-1913) Schoute, geboren te Wormerveer, studeerde civiele techniek te Delft. Hij promoveerde te Leiden op een wiskundig proefschrift, was hbs-leraar en werd in 1881 hoogleraar te Groningen. In 1892-1893 was hij rector-magnificus. Zijn rectorale rede wijdde hij aan het meetkundeonderwijs (1893). Hij was jarenlang secretaris van de Commissie van Toezicht op het Middelbaar Onderwijs te Groningen. In 1899 en 1900 was hij voorzitter van het Wiskundig Genootschap in Nederland. Schoute reisde veel en ontmoette onder meer Cayley en Schlegel. Na 1890 publiceerde hij veelvuldig over meerdimensionale meetkunde, o.a. over regelmatige polytopen. Schoute werd, als gezaghebbend op zijn terrein, door een bekend uitgever gevraagd een studieboek over meerdimensionale meetkunde te schrijven. Dit mondde uit in zijn bekende tweedelige werk Mehrdimensionale Geometrie (1902, 1905). Meer over Schoute: www.math.rug.nl/bernoulli/Geschiedenis/Schoute


De formule van Euler (1) Bekend is de formule van Euler voor veelvlakken in de driedimensionale ruimte: H - R + Z = 2, waarin H het aantal hoekpunten is, R het aantal ribben, en Z het aantal zijvlakken. René Descartes (1596-1650) kende dit verband reeds – wat Euler niet wist. De formule van Euler(-Descartes) geldt voor alle convexe veelvlakken, maar ook voor andere veelvlakken, mits die vanuit een intern punt kunnen worden geprojecteerd op een bol zonder dat zijvlakken of ribben elkaar overlappen. Algemeen geldt de formule voor zgn. enkelvoudig samenhangende veelvlakken. Je kunt een enkelvoudig samenhangend veelvlak opblazen tot op een eromheen liggende bol zonder dubbelingen of juist verlies van hoekpunten, ribben of zijvlakken te krijgen.


De formule van Euler (2)

In een tweedimensionale ruimte (i.c. het platte vlak) geldt een equivalent van de formule van Euler. Elke veelhoek heeft net zoveel hoekpunten als ‘ribben’ (zijden), en dus geldt

H – R = 0

Ook geldt een triviale versie van de formule van Euler in een ééndimensionale ruimte (i.c. op de rechte lijn). Daar is elke ‘veelhoek’ slechts een lijnstuk. Dus geldt

H = 2

In de één-, resp. twee-, resp. driedimensionale ruimte geldt:

H = 2 resp. H – R = 0 resp. H – R + Z = 2



Vanaf nu vereenvoudigen we de notatie.

N0 = aantal hoekpunten,

N1 = aantal ribben,

enz.

Algemeen: Nk = aantal deelcellen van dimensie k.

Voor de zes regelmatige polytopen in dimensie 4 geldt telkens

N0 – N1 + N2 – N3 = 0

Dit is wat werd verwacht.



Geldt de formule voor sterpolytopen? Qua opbouw is het pentagram een vijfhoek met vijf hoekpunten en vijf zijden. Maar van buitenaf gezien heb je 10 hoekpunten en 10 zijden. Waarbij geldt dat telkens twee van die zijden op dezelfde rechte lijn liggen – dus in zekere zin geen verschillende zijden zijn. Bovendien kun je het pentagram niet opblazen tot op een cirkel zonder dat je overlappingen krijgt. In dimensie 3 wordt de dubbelzinnigheid nog een stuk groter. Voor sterpolytopen zijn m.n. door Cayley andere, meer toepasselijke formules ontworpen. In dit gedeelte van deze presentatie wordt daarom voorbijgegaan aan sterpolytopen. [Dirk Huylebrouck, ‘Euler-Cayley Formulae for ‘Unusual’ Polyhedra’, Bridges Finland Conference Proceedings (2016). Online.]


De formule van Euler (5) Schläfli:

Σk = 0, …, n-1 (-1)k.Nk = 1 - (-1)n

Dus: als n even is, is deze som 0, en als n

oneven is, is deze som 2.

Schoute gaf een eenvoudiger vorm van de

formule, namelijk door ook de polytoop zelf

mee te rekenen, met uiteraard Nn = 1

Schoute:

Σk = 0, …, n (-1)k.Nk = 1 Dit komt voor elke n overeen met de

formule van Schläfli.

Reeds Schläfli ontdekte de geldigheid van een equivalent van de formule van Euler in n dimensies.

Schoute was vóór 1900 niet op de hoogte van Schläfli’s werk en kwam tot dezelfde conclusie. Schoute had wel kennis van het werk van anderen, met name Schlegel.

In deel II van zijn Mehrdimensionale Geometrie (1905) gaf Schoute een bewijs gebaseerd op de stap-voor –stap opbouw van polytopen.

Ná Schoute werden scherpere bewijzen gepubliceerd; zie H.S.M. Coxeter, Regular polytopes (1973).



Als voorbeeld de formule van Euler (versie Schoute) voor simplexen.

Aantallen hoekpunten, ribben, …… bepaald met de driehoek van Pascal.

De getallen zijn aantallen combinaties; 252 is het aantal mogelijke combinaties om 5 elementen uit een verzameling van 10 elementen te kiezen. Het 9-simplex bevat dus 252 verschillende 4-simplexen, die elk 5 hoekpunten hebben. 1 dimensie naam formule N0 – N1 + N2 ..…..... (-1)n . Nn

1 1

1 2 1 1 lijnstuk 2 – 1 = 1

1 3 3 1 2 driehoek 3 – 3 + 1 = 1

1 4 6 4 1 3 viervlak 4 – 6 + 4 – 1 = 1

1 5 10 10 5 1 4 4-simplex 5 – 10 + 10 – 5 + 1 = 1

1 6 15 20 15 6 1 5 5-simplex 6 – 15 + 20 – 15 + 6 – 1 = 1

9 9-simplex 10 – 45 + 120 – 210 + 252 – 210 + 120 – 45 + 10 – 1 = 1


Personen (VI): Alicia Boole Stott (1860-1940)

Alicia Boole (-Stott) was een dochter van de bekende Engelse logicus George Boole (1815-1864), die sinds 1849 hoogleraar was te Cork. Enige tijd na diens overlijden woonde de familie weer in Engeland.

Zij kreeg interesse in meetkundige modellen via een oudere zwager. Geheel op eigen kracht onderzocht zij vierdimensionale lichamen. Zij ontdekte daarbij de zes regelmatige vierdimensionale polytopen. Hiervan maakte zij driedimensionale doorsneden.

Ze kreeg een publicatie van Schoute onder ogen, en zocht contact met hem. De samenwerking duurde tot zijn dood in 1913.

In 1914 ontving zij een eredoctoraat bij het 300-jarig bestaan van de universiteit te Groningen. Modellen gemaakt door Alicia Boole Stott bevinden zich in het Groninger Universiteitsmuseum.

Meer over haar is te vinden in: www.math.rug.nl/bernoulli/Geschiedenis/Schoute


Alicia Boole Stott – vervolg Hiernaast: een nauwkeurige tekening van Schoute van het centrum van de 600-cel (doorsnede), en een model van Boole Stott van hetzelfde.


Alicia Boole Stott – in 1914 Cortège na afloop van de erepromoties, op weg naar een ontvangst op het Stadhuis; woensdag 1 juli 1914. De dame is waarschijnlijk Alicia Boole Stott. Met dank aan Henk de Snoo voor de foto.


Alicia Boole Stott – enkele notities

Het was bijzonder dat Alicia Boole Stott reeds in 1914 een eredoctoraat ontving aan de Groningse universiteit. Zij was zeker de eerste vrouwelijke wiskundige aan wie deze eer te beurt viel. Maar zij was niet de eerste vrouw die eredoctor werd in Groningen. Dat was Jantina (Tine) Tammes, die in 1911 een eredoctoraat ontving. Tine Tammes werd in 1919 hoogleraar botanie.

Zowel Tine Tammes als Alicia Boole (Stott) hadden te maken met belemmeringen omdat zij vrouw waren.

In 1914 was Alicia Boole Stott niet de vrouw die vanwege haar eredoctoraat de meeste aandacht kreeg. Bij dezelfde gelegenheid ontving namelijk ook Koningin Wilhelmina een eredoctoraat.

Hiernaast: delen van de uitslag van de 120-cel. meerdimensionale meetkunde 38

Uitslagen (1)

Je wilt een object dat in een ruimte van hogere dimensie voorkomt, visualiseren.

Hoe kan dat:

- door een projectie,

- door één of meerdere doorsneden,

- door zoiets als een Schlegel-diagram,

- door een uitslag.

Hiernaast: (1e) een naar twee dimensies uitgeslagen simplex,

(2e) een projectie van een naar drie dimensies uitgeslagen hyperkubus.

Belangrijke eigenschap: bij het uitslaan blijven alle lengtes en veel hoeken gelijk.


Uitslagen (2)

We kunnen uiteraard ook rechthoekige simplexen uitslaan naar lagere dimensie.

I. De rechthoekige driehoek ABC is uitgeslagen op de rechte lijn waarop de hypotenusa ligt. Uiteraard geldt AC1 = AC en BC2 = BC, en dus AC1

2 + BC22 = AB2

II. Het rechthoekig viervlak OABC is uitgeslagen op het vlak waarin de hypotenusa ligt. Nu geldt dat de rechthoekige driehoeken OAB, OBC en OCA geheel intact blijven, inclusief de rechte hoeken bij O. Dus geldt ook:

(Opp O1BC)2 + (Opp O2CA)2 + (Opp O3AB)2 = = (Opp ABC) 2


Uitslagen (3) Hieronder in vijf delen de uitslag van een vierdimensionaal rechthoekig simplex. De uitslag bestaat uit één niet-rechthoekig viervlak (in het midden) en vier rechthoekige viervlakken, met het hoekpunt met de rechte hoeken boven, zodanig dat:

- de hypotenusa’s precies op de zijvlakken van het niet rechthoekige viervlak passen,

- De twee zijvlakken, van twee der rechthoekige viervlakken, die langs één ribbe van het niet-rechthoekige viervlak thuishoren, congruent zijn.


Uitslagen (4)

Hiernaast één van de rechthoekige viervlakken. Het hoekpunt met de rechte hoeken bevindt zich nu beneden.

Drie zijvlakken van dit rechthoekige viervlak zijn rechthoekige driehoeken, die bij ‘virtueel terugvouwen’ naar vier dimensies elk samenvallen met een rechthoekige driehoek die zijvlak is van één van de overige drie rechthoekige viervlakken.

[Zie volgende dia: OABC en OABD hebben driehoek OAB gemeenschappelijk; enz.]

Het aantal verschillende rechthoekige driehoeken is dus

½ . (4 x 3) = 6 = het aantal ribben van het

niet –rechthoekige viervlak.

(Modellen uit circa 1963, collectie auteur)


Pythagoras uitgebreid (1)

De vier kleinere viervlakken op de foto zijn rechthoekig. Zoals in de tekening OABC.

Hierbij geldt dat OA, OB en OC twee aan twee loodrecht op elkaar staan.

In een 4-dimensionale ruimte denke men zich een rechthoekig 4-simplex OABCD in, met OA, OB, OC en OD twee aan twee loodrecht. Van dit 4-simplex is ABCD de hypotenusa.

Nu geldt voor de volumes, geheel analoog aan de stelling van Pythagoras in lagere dimensies:

VOABC2 + VOABD

2 + VOACD2 + VOBCD

2 = VABCD2

Bewijs: rechttoe rechtaan, met OA = a enz., dan wel met behulp van een algemene stelling van Schläfli.



De tekst hierboven komt uit deel II van de Mehrdimensionale Geometrie van Schoute. Indien deze stelling bewezen wordt, is de uitbreiding van de stelling van Pythagoras (zie vorige dia) automatisch ook bewezen.

Het bewijs van de stelling is algebraïsch, met behulp van zgn. determinanten van matrices. Het wordt hier achterwege gelaten.

Alles is volkomen analoog aan het driedimensionale geval.

Zie: College driedimensionale meetkunde, 2020.



Zoals bekend geldt in twee dimensies ook het omgekeerde van de stelling van Pythagoras.

D.w.z. als AC2 + BC2 = AB2, dan is driehoek ABC rechthoekig in C. Komt al voor bij Euclides.

Geldt de omgekeerde stelling nu ook in hogere dimensies?

Dit hoeft niet zo te zijn. In 1935 bewees Oene Bottema (1901-1992) dat een viervlak OABC, waarvoor de betrekking VOAB

2 + VOAC2 + VOBC

2 = VABC

2 geldt, niet rechthoekig behoeft te zijn.

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung XLV, 1935, Heft 1/4, 53-56.


Personen (VII): Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003)

Coxeter studeerde te Cambridge. Hij verbleef onder meer op Princeton. Hij ontmoette vele meetkundigen, zo ook in 1930 Alicia Boole Stott.

In 1938 ging hij naar Toronto, waar hij in 1948 hoogleraar werd.

Coxeter overzag de gehele meetkunde, werkte het liefst zonder algebra, die hij indien nodig wel gebruikte. Hij schreef over polytopen, ook over zgn. complexe polytopen. Hij breidde de kennis over polytopen verder uit.

Zijn werk Introduction to geometry (waarvan de 1e druk verscheen in 1961) werd een klassieker.

Hij bezocht Nederland regelmatig, mede vanwege zijn schoonfamilie. In 1978 werd hij erelid van het Wiskundig Genootschap.


Geïnspireerd door Coxeter – naar zij zeiden

De graficus Maurits Cornelis Escher, voor zijn ‘Circle limits’ (hier no. 3). Gebaseerd op een regelmatige figuur in een niet-euclidische meetkunde.

De architect Richard Buckminster Fuller, voor zijn ontwerp van het Amerikaanse paviljoen op World Expo 1967 te Montreal.


Coxeter over Schoute In zijn uitgebreide artikel ‘Polytopes in the Netherlands’ (zie literatuurlijst) bespreekt Coxeter enkele Nederlandse meetkundigen. In Nederland was veel belangstelling voor meerdimensionale meetkunde. Over Schoute is Coxeter zeer uitgebreid. Onderstaand citaat is uit het artikel.


Onderzoek naar eigenschappen van simplexen

Over bijzondere eigenschappen van driehoeken bestaat een uitgebreide literatuur.

Over bijzondere eigenschappen van viervlakken bestaat ook heel wat literatuur, al is deze veel minder omvangrijk.

Over bijzondere eigenschappen van simplexen is de literatuur bepaald niet omvangrijk. Meestal gaat het om bijzondere simplexen, zoals orthogonale simplexen.

In zekere zin worden juist bij orthogonale simplexen sommige eigenschappen van driehoeken teruggevonden.

Dit geldt met name voor het bestaan van een Eulerrechte.


Iets over orthogonale simplexen (1)

Stelling: een simplex is ortogonaal dan en slechts dan als het orthocentrisch is.

Orthogonaal: elke twee ribben die elkaar niet snijden, kruisen elkaar loodrecht.

Orthocentrisch: de lichaamshoogtelijnen gaan door één punt.

Het bewijs van deze stelling verloopt net als voor viervlakken in dimensie 3.

Stelling: een orthogonaal simplex bezit een Eulerrechte, waarop verscheidene bijzondere punten liggen. Hieronder zijn (1) het zwaartepunt, (2) het hoogtepunt, (3) het middelpunt van de omgeschreven sfeer en (4) de middelpunten van alle sferen die door zwaarte- en hoogtepunten van deelsimplexen van eenzelfde dimensie gaan.

Bewijs: geheel analoog aan het driedimensionale geval (weliswaar bewerkelijker). Zie tekening.


Iets over orthogonale simplexen (2)

Stelling (E. Egerváry, circa 1939): een n-simplex A1A2….An+1 is orthogonaal dan en slechts dan als er getallen b1, b2, ….., bn+1 bestaan zodanig dat

AiAj2 = bi + bj, voor i en j uit 1, 2, …., n+1 en i ≠ j.

Het bewijs is niet heel ingewikkeld, maar moge hier achterwege blijven. De stelling geeft een algebraïsche formulering van orthogonaliteit.

Dit is nadien gebruikt door m.n. Leon Gerber (1940).

Hij bewees (1975): Neem een (variabel) simplex met hoekpunten A1, ….., An+1, waarbinnen een vast punt Q ligt met gegeven afstanden QA1, ……, QAn+1 tot de hoekpunten. Dan is het volume van het simplex maximaal als dit orthogonaal is.

Een fraai voorbeeld van een optimaliseringsstelling.


Citaat

“Le temps le mieux employé est souvent celui qu’on perd”

(P.H. Schoute, in de rede uitgesproken bij de overdracht van het rectoraat van de Rijks Universiteit Groningen, 1893)


Literatuur H.S.M. Coxeter, Regular polytopes (1973). H.S.M. Coxeter, ‘Polytopes in the Netherlands’, Nieuw Archief voor wiskunde (3) 26-1, maart 1978; 116-141. A.N. Kolmogorov, A.P. Yushkevich (editors), Mathematics of the 19th Century; part on Geometry & Analytic Function Theory (translated from Russian, 1996). P.H. Schoute, Het voorbereidend onderwijs in meetkunde (rectorale rede 1893), www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/schoute1.html . (ru = Nijmegen] P.H. Schoute, Mehrdimensionale Geometrie. I. Teil: Die linearen Räume (1902). P.H. Schoute, Mehrdimensionale Geometrie. II. Teil: Die Polytope (1905). D. J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde (21990). Yung-Chow Wong, Linear geometry in Euclidean 4-space (1977).


College meerdimensionale meetkunde voorjaar 2020broer/uploads/Teaching/martinus2020.pdfRechtsonder...

Documents

Transcript of College meerdimensionale meetkunde voorjaar 2020broer/uploads/Teaching/martinus2020.pdfRechtsonder...