Clculo james-stewart

1. Trascendentestempranas 7E 7E Clculodeunavariable Trascendentestempranas CLCULO de una variable, Trascendentes tempranas es ampliamente reconocido por su precisin matemtica, claridad de la exposicin y notables ejemplos y conjuntos de problemas. Millones de estudiantes en todo el mundo han estudiado el clculo a travs del estilo registrado de Stewart, mientras que los instructores han adoptado su planteamiento una y otra vez. En la sptima edicin, Stewart contina estableciendo el estndar para el curso al tiempo que aade contenido cuidadosamente revisado. Las pacientes explicaciones, los excelentes ejercicios centrados en la resolucin de problemas y las series de ejercicios cuidadosamente graduadas que han hecho de los textos de Stewart best sellers, continan proporcionando una base slida para esta edicin. Desde los estudiantes con menos preparacin hasta los ms talentosos matemticos, la redaccin y la presentacin de Stewart les sirven para mejorar el entendimiento y fomentar la conanza. Caractersticas Cuatro pruebas de diagnstico cuidadosamente diseadas en el lgebra, geometra analtica, funciones y trigonometra aparecen al principio del texto. stas proporcionan a los estudiantes una manera conveniente de poner a prueba su conocimiento previo y poner al da las tcnicas y habilidades que necesitan para comenzar con xito el curso. Las respuestas estn incluidas y los estudiantes que necesiten mejorar se remiten a los puntos en el texto o en la pgina web del libro donde pueden buscar ayuda. Cada concepto se apoya en ejemplos resueltos con precisin, muchos de ellos con explicaciones paso a paso y ejercicios cuidadosamente seleccionados. La calidad de este sistema pedaggico es lo que distingue a los textos de Stewart de otros. Los ejemplos no son slo modelos para resolver problemas o un medio para demostrar las tcnicas, sino que los estudiantes tambin desarrollan una visin analtica del tema. Para proporcionar una mayor comprensin de los conceptos matemticos, muchos de estos ejemplos detallados muestran soluciones que se presentan grca, analtica y/o de forma numrica. Las notas al margen amplan y aclaran los pasos de la solucin. El tema de las ecuaciones diferenciales es unicado con el tema del modelaje. A los enfoques cualitativos, numricos y analticos se les da la misma consideracin. Se han incrementado el nmero de problemas a la serie de ejercicios ms difciles de la seccin Problemas adicionales al nal de cada captulo. Estas secciones refuerzan los conceptos que requieren los estudiantes para aplicar las tcnicas de ms de un captulo del texto y la paciencia mostrada en la forma de abordar un problema difcil. Clculo deunavariable 2. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T E S T E M P R A N A S S P T I M A E D I C I N 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina i 3. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina ii 4. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T E S T E M P R A N A S S P T I M A E D I C I N JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traduccin Mara del Carmen Rodrguez Pedroza Revisin tcnica Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional en Ingeniera y Tecnologas Aplicadas Instituto Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Clculo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Pgina iii 5. Clculo de una variable Trascendentes tempranas Sptima edicin James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamrica Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para Latinoamrica Ricardo H. Rodrguez Gerente de Procesos para Latinoamrica Claudia Islas Licona GerentedeManufacturaparaLatinoamrica Ral D. Zendejas Espejel GerenteEditorialdeContenidosenEspaol Pilar Hernndez Santamarina Coordinador de Manufactura Rafael Prez Gonzlez Editores Sergio Cervantes Gonzlez Gloria Luz Olgun Sarmiento Diseo de portada Irene Morris Imagen de portada Irene Morris Composicin tipogrfica 6Ns D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage LearningR es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grfico, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin, a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Single variable. Early trascendentals. Seventh Edition. James Stewart Publicado en ingls por Brooks/Cole, una compaa de Cengage Learning 2012 ISBN: 978-0-538-49867-8 Datos para catalogacin bibliogrfica Stewart James Clculo de una variable. Trascendentes tempranas. Sptima edicin ISBN: 978-607-481-881-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Pgina iv 6. A Bill Ralph y Bruce Thompson 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina v 7. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina vi 8. vii Prefacio xiii Al estudiante xxv Exmenes de diagnstico xxvii UN PREVIO DE CLCULO 1 1.1 Cuatro maneras de representar una funcin 10 1.2 Modelos matemticos: un catlogo de funciones esenciales 23 1.3 Nuevas funciones a partir de funciones viejas 36 1.4 Calculadoras gracadoras y computadoras 44 1.5 Funciones exponenciales 51 1.6 Funciones inversas y logaritmos 58 Repaso 72 Principios para la resolucin de problemas 75 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad 82 2.2 Lmite de una funcin 87 2.3 Clculo de lmites usando las leyes de los lmites 99 2.4 La denicin precisa de lmite 108 2.5 Continuidad 118 2.6 Lmites al innito, asntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redaccin de proyecto & Primeros mtodos para encontrar tangentes 153 2.8 La derivada como una funcin 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 1 Funciones y modelos9 2 Lmites y derivadas81 Contenido 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina vii 9. viii CONTENIDO 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales 174 Proyecto de aplicacin & Construccin de una montaa rusa 184 3.2 Reglas del producto y el cociente 184 3.3 Derivadas de funciones trigonomtricas 191 3.4 Regla de la cadena 198 Proyecto de aplicacin & Dnde debera un piloto iniciar el aterrizaje? 208 3.5 Derivacin implcita 209 Proyecto de laboratorio & Familias de curvas implcitas 217 3.6 Derivadas de funciones logartmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 3.9 Razones relacionadas 244 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 250 Proyecto de laboratorio & Polinomios de Taylor 256 3.11 Funciones hiperblicas 257 Repaso 264 Problemas adicionales 268 4.1 Valores mximos y mnimos 274 Proyecto de aplicacin & Clculo de arcoris 282 4.2 Teorema del valor medio 284 4.3 Cmo afecta la derivada la forma de una grca 290 4.4 Formas indeterminadas y regla de lHospital 301 Redaccin de proyecto & Los orgenes de la regla de lHospital 310 4.5 Resumen de trazado de curvas 310 4.6 Gracacin con clculo y calculadoras 318 4.7 Problemas de optimizacin 325 Proyecto de aplicacin & La forma de una lata 337 4.8 El mtodo de Newton 338 4.9 Antiderivadas 344 Repaso 351 Problemas adicionales 355 3 Reglas de derivacin173 4 Aplicaciones de la derivada273 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Pgina viii 10. CONTENIDO ix 5.1 reas y distancias 360 5.2 La integral denida 371 Proyecto para un descubrimiento & Funciones rea 385 5.3 Teorema fundamental del clculo 386 5.4 Integrales indenidas y el teorema del cambio neto 397 Redaccin de proyecto & Newton, Leibniz y la invencin del clculo 406 5.5 Regla de sustitucin 407 Repaso 415 Problemas adicionales 419 6.1 reas entre curvas 422 Proyecto de aplicacin & El ndice Gini 429 6.2 Volmenes 430 6.3 Volmenes mediante cascarones cilndricos 441 6.4 Trabajo 446 6.5 Valor promedio de una funcin 451 Proyecto de aplicacin & El clculo y el beisbol 455 Proyecto de aplicacin & Dnde sentarse en el cine 456 Repaso 457 Problemas adicinales 459 7.1 Integracin por partes 464 7.2 Integrales trigonomtricas 471 7.3 Sustitucin trigonomtrica 478 7.4 Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales 484 7.5 Estrategias para la integracin 494 7.6 Integracin utilizando tablas y sistemas algebraicos computarizados 500 Proyecto para un descubrimiento & Patrones en integrales 505 5 Integrales359 6 Aplicaciones de la integracin421 7 Tcnicas de integracin463 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina ix 11. x CONTENIDO 7.7 Integracin aproximada 506 7.8 Integrales impropias 519 Repaso 529 Problemas adicionales 533 8.1 Longitud de arco 538 Proyecto para un descubrimiento & Concurso de la longitud de arco 545 8.2 rea de una supercie de revolucin 545 Proyecto para un descubrimiento & Rotacin sobre una pendiente 551 8.3 Aplicaciones a la fsica y a la ingeniera 552 Proyecto para un descubrimiento & Tazas de caf complementarias 562 8.4 Aplicaciones a la economa y a la biologa 563 8.5 Probabilidad 568 Repaso 575 Problemas adicionales 577 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 580 9.2 Campos direccionales y mtodo de Euler 585 9.3 Ecuaciones separables 594 Proyecto de aplicacin & Qu tan rpido drena un tanque? 603 Proyecto de aplicacin & Qu es ms rpido, subir o bajar? 604 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 605 9.5 Ecuaciones lineales 616 9.6 Sistemas depredador-presa 622 Repaso 629 Problemas adicionales 633 8 Aplicaciones adicionales de la integracin537 9 Ecuaciones diferenciales579 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina x 12. CONTENIDO xi 10.1 Curvas denidas por medio de ecuaciones paramtricas 636 Proyecto de laboratorio & Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 644 10.2 Clculo con curvas paramtricas 645 Proyecto de laboratorio & Curvas de Bzier 653 10.3 Coordenadas polares 654 Proyecto de laboratorio & Familias de curvas polares 664 10.4 reas y longitudes en coordenadas polares 665 10.5 Secciones cnicas 670 10.6 Secciones cnicas en coordenadas polares 678 Repaso 685 Problemas adicionales 688 11.1 Sucesiones 690 Proyecto de laboratorio & Sucesiones logsticas 703 11.2 Series 703 11.3 La prueba de la integral y estimacin de sumas 714 11.4 Pruebas por comparacin 722 11.5 Series alternantes 727 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razn y la raz 732 11.7 Estrategia para probar series 739 11.8 Series de potencias 741 11.9 Representacin de las funciones como series de potencias 746 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 753 Proyecto de laboratorio & Un lmite escurridizo 767 Redaccin de proyecto & Cmo descubri Newton la serie binomial 767 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 768 Proyecto de aplicacin & Radiacin proveniente de las estrellas 777 Repaso 778 Problemas adicionales 781 10 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares635 11 Sucesiones y series innitas689 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xi 13. xii CONTENIDO A Nmeros, desigualdades y valores absolutos A2 B Geometra de coordenadas y rectas A10 C Grcas de ecuaciones de segundo grado A16 D Trigonometra A24 E Notacin sigma A34 F Demostracin de teoremas A39 G El logaritmo denido como una integral A48 H Nmeros complejos A55 I Respuestas a ejercicios de nmero impar A63 ApndicesA1 ndiceA115 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xii 14. xiii Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero siempre hay una pizca de descubrimiento en la solucin de cualquier problema. El problema puede ser modesto, pero si desafa su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la emocin y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O L Y A El arte de la enseanza, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar a descubrir. He intentado escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el Clculo, tanto por su utilidad prctica como por su sorprendente belleza. En esta edicin, como en las seis primeras ediciones, mi objetivo es mostrar a los estudiantes un sentido de la utilidad del clculo y desarrollar en ellos una competencia tcnica, pero tambin intento ilustrar la belleza intrnseca de la materia. Sin duda, Newton experiment una sensacin de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos; es mi deseo que los estudiantes compartan un poco de esa sensacin. El nfasis est en la comprensin de los conceptos. Creo que casi todo el mundo est de acuerdo en que esta comprensin debe ser el objetivo principal de la enseanza del Clculo. De hecho, el impulso para la actual reforma en la enseanza del Clculo vino desde la Conferencia de Tulane en 1986, donde se formul su primera recomendacin: Concentrarse en la comprensin de los conceptos He intentado implementar este objetivo mediante la regla de los tres: Los temas deben presentarse con enfoques geomtricos, numricos y algebraicos. La visualizacin, la experimentacin numrica y grca y otros enfoques han modicado la manera en que se ensea el razonamiento conceptual. La regla de los tres se ha ampliado para convertirse en la regla de los cuatro al hacer hincapi en la verbalizacin y lo descriptivo. En la redaccin de la sptima edicin me he propuesto lograr una comprensin conceptual y conservar an lo mejor del Clculo tradicional. El libro contiene elementos de la reforma, pero dentro del contexto de un currculo tradicional. He escrito otros libros de clculo que podran ser preferidos por algunos maestros. La mayora de ellos tambin vienen en versiones de una variable y de varias variables. Clculo: Transcendentes tempranas, sptima edicin, versin hbrida, es similar al presente libro en contenido y cobertura salvo que todos los ejercicios de la seccin estn disponibles slo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al nal de captulo. Clculo, sptima edicin, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones trigonomtricas inversas, logartmicas y exponenciales se tratan en un segundo semestre. Versiones alternativas Prefacio 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xiii 15. xiv PREFACIO Clculo, sptima edicin, versin hbrida, es similar a Clculo, sptima edicin, en contenido y cobertura, salvo que todos los ejercicios al nal de la seccin estn disponibles slo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al nal del captulo. Clculo esencial es un libro mucho ms breve (800 pginas), aunque contiene casi todos los temas de Clculo, sptima edicin. La relativa brevedad se logra a travs de una exposicin ms concreta de algunos temas y poniendo algunas caractersticas en el sitio web. Clculo esencial: transcendentes tempranas se asemeja a Clculo esencial, slo que las funciones trigonomtricas inversas, exponenciales y logartmicas se tratan en el captulo 3. Clculo: conceptos y contextos, cuarta edicin, destaca la comprensin conceptual an ms fuertemente que este libro. La cobertura de temas no es enciclopdica y el material sobre funciones trascendentes y ecuaciones paramtricas es tejido a lo largo del libro en lugar de ser tratadas en captulos separados. Clculo: primeros vectores introduce los vectores y las funciones vectoriales en un primer semestre y las integra en todo el libro. Es adecuado para los estudiantes que toman cursos de ingeniera y fsica simultneamente con el de Clculo. Clculo aplicado abreviado est destinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. Los cambios han sido resultado de los comentarios de mis colegas y estudiantes de la Universidad de Toronto y de la lectura de diarios, as como de las sugerencias de los usuarios y los revisores. stas son algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edicin. Parte del material ha sido reescrito para mayor claridad o mejor motivacin. Vase, por ejemplo, la introduccin al tema de valores mximos y mnimos en la pgina 274 y la introduccin a las series en la pgina 703. Se han agregado nuevos ejemplos, y las soluciones a algunos de los ejemplos existentes han sido ampliadas. Un caso puntual: he aadido detalles para la solucin del ejemplo 2.3.11 porque cuando enseo la seccin 2.3 de la sexta edicin me he dado cuenta de que los estudiantes necesitan ms orientacin cuando se conguran las desigualdades para el teorema de la compresin. El programa de arte ha sido renovado: se han incorporado nuevas guras y un porcentaje importante de las actuales guras han sido redibujadas. Se han actualizado los datos de ejemplos y ejercicios para ser ms pertinentes. Se han agregado tres nuevos proyectos: El ndice Gini (pgina 429) explora cmo medir la distribucin del ingreso entre los habitantes de un pas y es una atractiva aplicacin del tema de rea entre curvas. (Agradezco a Klaus Volpert por sugerir este proyecto.) En Familias de curvas implcitas (pgina 217) se investigan variadas formas cambiantes de curvas denidas implcitamente como parmetros en una familia. Las familias de curvas polares (pgina 664) exhiben las fascinantes formas de curvas polares y cmo evolucionan en el contexto de una familia. Qu hay de nuevo en la sptima edicin? 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xiv 16. PREFACIO xv Ms de 25% de los ejercicios de cada captulo son nuevos. stos son algunos de mis favoritos: 1.6.58, 2.6.51, 2.8.13-14, 3.3.56, 3.4.67, 3.5.69-72, 3.7.22, 4.3.86, 5.2.51-53, 6.4.30, 11.2.49-50 y 11.10.71-72. Los medios de comunicacin y tecnologa para apoyar el texto se han mejorado para dar a los profesores mayor control sobre su curso, proporcionar ayuda adicional para hacer frente a los diversos niveles de preparacin de los estudiantes del curso de Clculo y fortalecer el apoyo para la comprensin conceptual. Las caractersticas del nuevo Enhanced WebAssign incluyen un Cengage YouBook personalizado, un repaso Just in Time, un Show your Work, un Evaluador de respuestas, un Plan de estudio personalizado, Master Its, solucin en videos, videoclips de conferencias (con preguntas asociadas) y un Visualizing Calculus (animaciones TEC con preguntas asociadas) que se han desarrollado para facilitar el mejor aprendizaje de los estudiantes y hacer exible el trabajo docente en el aula. El TEC (Herramientas para Enriquecer el Clculo) ha sido completamente rediseado y est disponible en Enhanced WebAssign, CourseMate y PowerLecture. Selected Visuals y Modules estn disponibles en www.stewartcalculus.com. EJERCICIOS CONCEPTUALES La manera ms importante de fomentar la comprensin conceptual es a travs de los problemas que proponemos. Para ello he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan solicitando la explicacin del signicado de los conceptos bsicos de la seccin. (Vase, por ejemplo, los primeros ejercicios en 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso comienzan con una vericacin de conceptos y un Examen rpido Verdadero-Falso. Los ejercicios de verificacin de comprensin conceptual a travs de grficos o tablas se ven en los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-40, 2.8.43-46, 9.1.11-13, 10.1.24-27 y 11.10.2. Otro tipo de ejercicio donde se utiliza la descripcin verbal para vericar la comprensin conceptual est en los ejercicios 2.5.10, 2.8.58, 4.3.63-64 y 7.8.67. Considero de valor especial los problemas que combinan y comparan los enfoques numricos, grcos y algebraicos (ver ejercicios 2.6.39-40, 3.7.27 y 9.4.2). CONJUNTOS DE EJERCICIOS Cada conjunto de ejercicios es cuidadosamente calicado, progresando desde ejercicios CALIFICADOS conceptuales bsicos y problemas para el desarrollo de habilidades hasta problemas ms desaantes de aplicaciones y demostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo buscando en bibliotecas, ponindonos en contacto con empresas y organismos gubernamentales, y buscando informacin en internet con el n de presentar, motivar e ilustrar los conceptos del Clculo a partir de datos del mundo real. Como resultado, muchos de los ejemplos y ejercicios se tratan con funciones definidas por estos datos numricos o grficos. Vase, por ejemplo, la figura 1 en la seccin 1.1 (sismogramas del terremoto de Northridge), ejercicio 2.8.36 (porcentaje de la poblacin menor de 18 aos), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espa- cial Endeavour) y la gura 4 en la seccin 5.4 (consumo de energa de San Francisco). PROYECTOS Una manera de interesar y activar a los estudiantes es hacerlos trabajar (quizs en grupos) en proyectos extendidos que den la sensacin de triunfo al obtener un logro sustancial una vez nalizados. He incluido cuatro tipos de proyectos: proyectos de aplicacin que involucran aplicaciones diseadas para apelar a la imaginacin de los estudiantes. El proyecto posterior a la seccin 9.3 pregunta si una pelota lanzada verticalmente hacia arriba tarda ms tiempo en llegar a su altura mxima o en volver a su altura original. (La respuesta Mejoras tecnolgicas Caractersticas 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 06:48 a.m. Pgina xv 17. xvi PREFACIO podra sorprenderle.) En la siguiente seccin, 10.2, se muestra cmo utilizar las curvas de Bzier en el diseo de formas que representan letras para una impresora lser. La redaccin de proyectos pide a los estudiantes comparar mtodos actuales con los de los funda- dores del Clculo, por ejemplo, el mtodo de Fermat para encontrar rectas tangentes; para esto se sugieren referencias. Los proyectos para un descubrimiento anticipan resultados que se analizan ms adelante o fomentan el descubrimiento a travs del reconocimiento de patrones (vase la posterior a la seccin 7.6). Otros proyectos se encuentran en la Gua del instructor (vase, por ejemplo, el grupo ejercicio 5.1: Posicin a partir de muestras). RESOLUCIN DE PROBLEMAS Los estudiantes suelen tener dicultades con problemas para los que no existe algn procedimiento bien denido para obtener la respuesta. Creo que nadie ha mejorado mucho la estrategia de George Polya con sus cuatro etapas para resolver un problema, por lo que, en consecuencia, he incluido una versin de sus principios para resolver problemas despus del captulo 1. Estos principios, tanto explcita como implcitamente, se aplican en todo el libro. Despus de los otros captulos he colocado secciones llamadas Problemas adicionales, que incluyen ejemplos de cmo afrontar problemas difciles de Clculo. En la selec- cin de los variados problemas para estas secciones tom en cuenta el consejo de David Hilbert: un problema matemtico debe ser difcil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrar nuestros esfuerzos. Cuando propongo estos desaantes problemas en tareas y exmenes, los calico de manera diferente. Aqu premio signicativamente a un estudiante por sus ideas y aportaciones orientadas hacia una solucin y por reconocer cules principios de solucin de problemas son relevantes. TECNOLOGA La disponibilidad de la tecnologa no hace menos, sino ms importante comprender claramente los conceptos que subyacen en las imgenes en la pantalla. Cuando se utilizan correctamente, las calculadoras y dispositivos de gracacin son poderosas herramientas para analizar y comprender los conceptos. Este libro de texto puede utilizarse con o sin tecnologa y empleo dos smbolos especiales para indicar claramente cundo se requiere un tipo especial de mquina. El icono ; indica un ejercicio que denitivamente necesita de esta tecnologa, pero no indica que no sea posible usarla en otros ejemplos. El smbolo se utiliza para problemas que requieren todos los recursos de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). A pesar de todo, la tecnologa no deja obsoletos al lpiz y el papel. Con frecuencia son preferibles los clculos y trazos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cundo es apropiado trabajar a mano o con mquina. TEC es un acompaante de este libro de texto y est pensado para enriquecer y complementar su contenido (disponible desde internet en www.stewartcalculus.com y en Enhan- ced WebAssign y CourseMate). Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por m, TEC utiliza un enfoque exploratorio y de descubrimiento. En las secciones del libro donde la tecnologa es particularmente apropiada, los iconos al margen diri- gen a estudiantes hacia mdulos TEC que proporcionan un entorno de laboratorio en el que puede explorar el tema de diferentes maneras y en distintos niveles. Visual son animaciones de guras en el texto; Module son actividades ms elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente alentar a los estudiantes a usar Visual y Module para la exploracin independiente, hasta asignar ejercicios especcos de los incluidos en Module, o a la creacin de ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. TAREAS SUGERIDAS Aqu se presentan tareas sugeridas en forma de preguntas y tratan de emular un asistente efectivo de enseanza al funcionar como un discreto tutor. En cada seccin del texto se incluyen sugerencias para los ejercicios representativos (normalmente impares), indicando en rojo el nmero del ejercicio. Los ejercicios estn construidos de manera que no revelan ms de la solucin real de lo que es mnimo necesario para avanzar ms y estn disponibles a los estudiantes en stewartcalculus.com, CourseMate y Enhanced WebAssign. HERRAMIENTAS PARA ENRIQUECER EL CLCULO SAC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xvi 18. PREFACIO xvii ENHANCED WEBASSIGN La tecnologa est teniendo impacto en la forma en que se asignan tereas a estudiantes, particularmente en grupos numerosos. El uso de tareas en lnea es creciente y su inters depende de la facilidad de uso, calidad de calicacin y conabilidad. Con la sptima edicin hemos estado trabajando con la comunidad de Clculo y WebAssign para desarrollar un sistema ms slido de tareas en lnea. Hasta 70% de los ejercicios de cada seccin son asignables como tareas en lnea, incluyendo respuestas libres, opcin mltiple y otros varios formatos. El sistema tambin incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados paso a paso en tutoriales a travs de ejemplos textuales, con enlaces al libro de texto y a las soluciones en video. Las nuevas mejoras al sistema incluyen un eBook personalizable, una muestra de las caractersticas de su trabajo (Show Your Work), un repaso de prerrequisitos de preclculo (Just in Time), un editor de tareas mejorado (Assignment Editor) y un evaluador de respuestas (Answer Evaluator) que acepta respuestas matemticamente equivalentes y permite la calicacin de las tareas del mismo modo en que lo hace el profesor. www.stewartcalculus.com Este sitio incluye lo siguiente: Tareas sugeridas Repaso de lgebra Mi calculadora miente y la computadora me dijo Historia de las matemticas, con vnculos a los mejores sitios histricos Tpicos adicionales (complementados con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, frmulas para el trmino del residuo en la serie de Taylor, rotacin de ejes Problemas archivados (ejercicios de prctica que aparecieron en las ediciones anteriores, junto con sus soluciones) Problemas de desafo (algunos de los problemas especiales que aparecieron en secciones de ediciones anteriores) Vnculos para tpicos particulares a recursos externos de la web Tools for Enriching Calculus (TEC), Module y Visual Exmenes de diagnstico El libro comienza con cuatro exmenes de diagnstico relacionados con lgebra bsica, geometra analtica, funciones y trigonometra. Un previo de Clculo Se presenta una visin general del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del clculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio, se hace hincapi en varias representaciones de las funciones: verbal, numrica, visual y algebraica. Una discusin de los modelos matemticos conduce a una revisin de las funciones estndar, incluyendo las funciones exponenciales y logartmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 Lmites y derivadas El material sobre lmites est motivado por un debate previo sobre los problemas de la recta tangente y la velocidad. Los lmites son tratados desde puntos de vista descriptivos, grcos, numricos y algebraicos. La seccin 2.4, sobre la denicin precisa e-d de un lmite, es una seccin opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan de derivadas (especialmente con funciones denidas grca y numricamente) antes de estudiar las reglas de derivacin en el captulo 3. Aqu los ejemplos y ejercicios exploran los signicados de derivadas en diversos contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en seccin 2.8. 3 Reglas de derivacin Aqu se derivan todas las funciones bsicas, incluyendo las exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas. Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes explicar su signicado. En este captulo se estudian el crecimiento y decaimiento exponencial. Contenido 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xvii 19. xviii PREFACIO 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos bsicos relativos a los valores extremos y a las formas de las curvas se dedu- cen del teorema del valor medio. Las grcas con tecnologa hacen hincapi en la interaccin entre el Clculo y las calculadoras y el anlisis de las familias de curvas. Se proporcionan algunos problemas importantes, incluyendo una explicacin del porqu necesita levantar su cabeza 42 para ver la parte superior de un arcoris. 5 Integrales Los problemas del rea y la distancia sirven para motivar el estudio de la integral denida, recurriendo a la notacin sigma cada vez que sea necesario. (En el apndice E se proporciona un tratamiento completo de la notacin sigma.) Se enfatiza la explicacin del signicado de la integral en diversos contextos y en la estimacin de sus valores en grcas y tablas. 6 Aplicaciones de la integracin Aqu presento las aplicaciones de la integracin rea, volumen, trabajo, valor promedio que razonablemente pueden hacerse sin tcnicas especializadas de integracin. Se hace hincapi en mtodos generales. El objetivo es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en trozos pequeos, estimarla con sumas de Riemann, y reconocer su lmite como una integral. 7 Tcnicas de integracin Aqu se cubren los mtodos estndar pero, por supuesto, el verdadero desafo es reconocer qu tcnica se utiliza mejor en una situacin dada. En consecuencia, en la seccin 7.5 presento una estrategia para la integracin. El uso de sistemas algebraicos computarizados se explica en la seccin 7.6. Aqu aparecen las aplicaciones de integracin: rea de una supercie y longitud de un arco, para las que es til tener disponibles todas las tcnicas de integracin, as como aplicaciones a la biologa, la economa y la fsica (fuerza hidrosttica y centros de masa). Tambin he incluido una seccin de probabilidad. Aqu hay ms aplicaciones de las que en realidad se pueden cubrir en un curso determinado, as que los profesores deben seleccionar las aplicaciones adecuadas para interesar a los estudiantes y a ellos mismos. 9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unica este tratamiento preliminar de las ecuaciones diferenciales. Los campos direccionales y el mtodo de Euler se estudian antes de resolver las ecuaciones lineales y separables de forma explcita, por lo que los enfoques cualitativos, numricos y analticos reciben igual consideracin. Estos mtodos se aplican a los modelos exponenciales, logsticos y otros para el estudio del crecimiento de la poblacin. Las primeras cuatro o cinco secciones de este captulo son una buena introduccin a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una seccin nal opcional utiliza el modelo depredador-presa para ilustrar los sistemas de ecuaciones diferenciales. Este captulo introduce las curvas paramtricas y polares y las aplicaciones del Clculo en ellas. Las curvas paramtricas estn bien adaptadas a los proyectos de laboratorio; los tres presentados involucran a familias de curvas y curvas de Bzier. Un breve tratamiento de las cnicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el captulo 13. 11 Sucesiones y series innitas Las pruebas de convergencia tienen justicaciones intuitivas (vase la pgina 714) as como demostraciones formales. Las estimaciones numricas de sumas de series estn basadas en cul prueba se us para demostrar una convergencia. El nfasis est en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la fsica. Las estimaciones de error incluyen los de dispositivos de gracacin. Clculo. Trascendentes tempranas, sptima edicin, se apoya en un conjunto completo de materiales auxiliares desarrollados bajo mi direccin. Cada parte se ha diseado para mejorar la comprensin del estudiante y facilitar la enseanza creativa. Con esta edicin, 8 Aplicaciones adicionales de la integracin 10 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares Material auxiliar 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xviii 20. PREFACIO xix se han desarrollado nuevos medios y tecnologas que ayudan al estudiante a visualizar el clculo y a los instructores a personalizar el contenido para mejorar la forma en que ensean su curso. Las tablas en las pginas xxiiixxiv describen cada uno de estos auxiliares. Para la preparacin de sta y las anteriores ediciones he invertido mucho tiempo leyendo las opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran nmero de astutos revisores. Agradezco enormemente a todos ellos por el tiempo dedicado a la cuidadosa lectura y a la comprensin del enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. REVISORES DE LA SPTIMA EDICIN Agradecimientos Amy Austin, Texas A&M University Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Zhen-Qing Chen, University of WashingtonSeattle Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Le Baron O. Ferguson, University of CaliforniaRiverside Shari Harris, John Wood Community College Amer Iqbal, University of WashingtonSeattle Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang, Wayne State University Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Easteld College Joy Becker, University of WisconsinStout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown, University of MissouriSt. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado at Denver and Health Sciences Center Teri Christiansen, University of MissouriColumbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas at Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama in Huntsville Karin Reinhold, State University of New York at Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University REVISORES DE LA TECNOLOGA 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xix 21. xx PREFACIO REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of WisconsinGreen Bay Elias Deeba, University of HoustonDowntown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Newman Fisher, San Francisco State University Jos D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia UniversityNew York Paul Garrett, University of MinnesotaMinneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantalos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Hadar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of WisconsinMilwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald Janusz, University of Illinois at Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois at Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michaels College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York at Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry Manseld, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University of Pittsburgh Michael Montao, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xx 22. PREFACIO xxi Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacic F. J. Papp, University of MichiganDearborn Mike Penna, Indiana UniversityPurdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of WisconsinMadison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacic Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State UniversityTrumbull Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of WisconsinMilwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampi, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig, St. Marys University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State UniversityLos Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of WisconsinMadison Jerome Wolbert, University of MichiganAnn Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois UniversityCarbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Adems, me gustara dar las gracias a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh y Simon Smith por sus sugerencias; Al Shenk y Dennis Zill por su permiso para utilizar ejercicios de sus textos de clculo; COMAP por su permiso para utilizar el material de los proyectos; George Bergman, David Bleecker. Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para los ejercicios; Dan Drucker por el proyecto del derby de rodillos; Tho- mas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Strafn y Klaus Volpert por sus ideas para los proyectos; Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los nuevos ejercicios y sugerir formas para mejo- rarlos; Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisin en la correccin; y Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparacin y correccin del manuscrito de respuesta. Asimismo, doy las gracias a quienes han contribuido a pasadas ediciones: Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. Tambin agradezco a Kathi Townes, Stephanie Kuhns y Rebekah Million of TECHarts por sus servicios de produccin y al siguiente personal de Brooks/Cole: Cheryll Linthi- cum, gerente de proyecto de contenido; Liza Neustaetter, editor asistente; Maureen Ross, editor de medios; Sam Subity, gerente de medios de edicin; Jennifer Jones, director de marketing; y Vernon Boes, director de arte. Todos han hecho un trabajo excepcional. He sido muy afortunado de haber trabajado con algunos de los mejores en el negocio de la edicin en Matemticas durante las ltimas tres dcadas: Ron Munro, Harry Camp- bell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz Covello. Todos ellos han contribuido en gran medida al xito de este libro. JAMES STEWART 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxi 23. xxii PREFACIO Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboracin de los profesores Dr. Ernesto Filio Lpez de UPITA (IPN), M. en C. Manuel Robles Bernal, L.F.M. Luis ngel Filio Rivera, de ESIME Zacatenco (IPN), M. en C. Lilia Quintos Vzquez, de ESIME Ticomn (IPN), Dr. Abel Flores Amado, del ITESM Campus Puebla y al Mtro. Gustavo Zamorano Montiel, de la UPAEP (Puebla), en la revisin de esta sptima edicin en espaol. Adems agradecemos al Dr. Hugo Gustavo Gonzlez Hernndez, Director del Departamento de Ciencias y al Dr. Abel Flores Amado, Coordinador de la materia de Clculo as como a los siguientes profesores del ITESM Campus Puebla por la con- fianza depositada en la obra Clculo Trascendentes tempranas de Stewart y adoptarlo para sus cursos. Dr. Juan Jos Gmez Diaz Master Aida Ignacia Salazar C. Master lvaro Andrade Andrade Master Jorge Luis Figueroa Ramrez Dr. Juan Manuel Merlo Dr. Julio Csar Ramrez San Juan Master Luis Daniel Bravo Atentamente, Los Editores. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxii 24. Auxiliares para instructores Power Lecture ISBN 0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en formatos de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto completo predefinidas de conferencias en PowerPoint, una versin electrnica de la gua del instructor, un generador de soluciones, un software de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el clculo (TEC), un video de instrucciones y un comando JoinIn sobre el contenido de TurningPoint. Instructors Guide Por Douglas Show ISBN 0-8400-5418-1 Cada seccin del texto se analiza desde varios puntos de vista. La gua del instructor (Instructors Guide) contiene tiempo sugerido de asignacin, puntos a destacar, temas de debate del texto, materiales bsicos para la clase, sugerencias para trabajo en taller y ejercicios de trabajo de grupo en una forma adecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una versin electrnica de la gua del instructor est disponible en el DVD de PowerLecture. Complete Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4936-6 Contiene las soluciones detalladas de todos los ejercicios del texto. Solution Builder www.cengage.com/solutionbuilder Esta base de datos en lnea para el instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los ejercicios en el texto. El generador de soluciones (Solution Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas asignados en clase. Printed Test Bank Por William Steven Harmon ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos especficos de opcin mltiple y exmenes de respuesta libre. ExamView Testing Crear, entregar y personalizar los exmenes en formatos impresos en lnea con ExamView, permite una evaluacin de fcil uso a travs de un software tutorial. ExamView contiene cientos de elementos para exmenes de respuesta mltiple y libre. ExamView est disponible en el DVD de PowerLecture. Auxiliares para instructores y estudiantes Stewart Website www.stewartcalculus.com Contenido: Tareas sugeridas Repaso de lgebra Temas adicionales Ejercicios de simulacin Problemas de desafo Enlaces web Historia de las matemticas Herramientas para enriquecer el clculo (TEC) Tools for Enriching Calculus Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hu Hohn Herramientas para enriquecer el clculo (TEC) funciona como una poderosa herramienta para instructores, as como un entorno tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y revisar temas seleccionados. Los mdulos de simulacin en Flash en TEC incluyen instrucciones escritas y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC est accesible en CourseMate, WebAssign y PowerLecture. Los elementos seleccionados en Visual y Module estn disponibles en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign www.webassign.net El sistema de distribucin de tareas de WebAssign permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar listas a travs de la web. Enhanced WebAssign para el Clculo de Stewart involucra ahora a los estudiantes en la revisin del contenido al comienzo del curso y al principio de cada seccin as como en los conocimientos previos. Adems, para los problemas seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayuda adicional en forma de mayor retroalimentacin (las respuestas) y soluciones en video. Otras caractersticas clave incluyen: miles de problemas del Clculo de Stewart. Un personalizable Cengage YouBook, un plan de estudio personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el momento, un evaluador de respuestas, mdulos de animaciones y visualizacin del Clculo, concursos, videos de conferencias (con preguntas asociadas) y mucho ms. Cengage Customizable YouBook YouBook es un eBook en Flash interactivo y personalizable, que tiene todo el contenido del Clculo de Stewart. Las caractersticas de YouBook son una herramienta de edicin de texto que permite a los profesores modificar la narrativa del libro de texto segn sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rpidamente captulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no ensean, para crear un libro electrnico que coincida perfectamente con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar an ms el texto aadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas, videoclips, destacando notas y ms. YouBook est disponible en Enhanced WebAssign. TEC Electrnicos Impresos xxiii 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxiii 25. CourseMate www.cengagebrain.com CourseMate es una perfecta herramienta de autoaprendizaje para estudiantes y no requiere ningn apoyo de los profesores. CourseMate trae conceptos con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas interactivas para la preparacin de exmenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el Clculo de Stewart incluye: un libro electrnico interactivo, herramientas para enriquecer el clculo, videos, cuestionarios, tarjetas en flash y ms. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta de primera en su tipo que supervisa el trabajo estudiantil. Maple CD-ROM Maple proporciona un dispositivo avanzado de clculo matemtico de alto rendimiento plenamente integrado con smbolos numricos, todos accesibles desde un entorno tcnico desde WYSIWYG. CengageBrain.com Para accesos de materiales adicionales del curso y recursos de apoyo, por favor visite www.cengagebrain.com. En esta pgina busque por ISBN o por ttulo (desde la cubierta posterior de su libro) usando el comando de bsqueda en la parte superior de la pgina. Esto le llevar a la pgina del producto donde se pueden encontrar gratuitamente recursos de apoyo. Auxiliares para estudiantes Student Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4934-X Proporciona soluciones completamente detalladas para todos los ejercicios impares en el texto, dando a los estudiantes una oportunidad de verificar sus respuestas y asegurar que hicieron los pasos correctos para llegar a una respuesta. Study Guide Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5420-3 Para cada seccin del texto, la gua de estudio proporciona a los estudiantes una breve introduccin, una breve lista de conceptos al profesor as como resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La gua de estudio tambin contiene preguntas Tecnologa Plus y preguntas tipo examen de opcin mltiple y de estilo su propia respuesta. CalcLabs with Maple Single Variable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez ISBN 0-8400-5811-X CalcLabs with Mathematica Single Variable Por Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 Cada uno de estos comprensibles manuales de laboratorio ayudar a los estudiantes a aprender a usar las herramientas de tecnologa a su disposicin. CalcLabs contienen ejercicios claramente explicados y una variedad de proyectos para acompaar el texto y laboratorios. A Companion to Calculus Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 0-495-01124-X Escrito para mejorar el lgebra y las habilidades para resolver problemas de los estudiantes que estn tomando un curso de Clculo. Cada captulo de este acompaante tiene una clave referente a un tema de Clculo, que proporciona antecedentes conceptuales y tcnicas de lgebra especficos necesarios para comprender y resolver problemas de Clculo relacionados con ese tema. Est diseado para cursos de Clculo que incluyen la revisin de los conceptos de preclculo o para uso individual. Linear Algebra for Calculus Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 0-534-25248-6 Este comprensible libro est diseado para complementar el curso de Clculo. Proporciona una introduccin y un repaso de las ideas bsicas del lgebra lineal. Electrnicos Impresos xxiv 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxiv 26. xxv Al estudiante Leer un libro de texto de Clculo es diferente a la lectura de un peridico, una novela o incluso un libro de fsica. No se desaliente si tiene que leer un prrafo ms de una vez para entenderlo. Debe tener lpiz, papel y calculadora disponibles para esbozar un diagrama o hacer un clculo. Algunos estudiantes comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el texto slo si se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una seccin del texto antes de enfrentar los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las deniciones para ver el signicado exacto de cada trmino. Antes de leer cada ejemplo, le sugiero que lle- gue a la solucin tratando de resolver el problema usted mismo. Obtendr mucho ms que mirando la solucin si es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es inducir el pensamiento lgico. Es muy importante aprender a escribir las soluciones de los ejercicios de una manera articulada, paso a paso, con comentarios explicativos, no slo una cadena de ecuaciones o frmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de nmero impar aparecen al nal del libro, en el apndice I. Algunos ejercicios piden una explicacin verbal, interpretacin o descripcin. En tales casos no hay una nica forma correcta de expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha encon- trado la respuesta denitiva. Adems, a menudo hay varias formas diferentes para expresar una respuesta numrica o algebraica, as que si su respuesta aparenta ser diferente a la ma, no asuma inmediatamente que se equivoc. Por ejemplo, si la respuesta dada al nal del libro es y usted obtuvo , entonces est usted en lo correcto y racionalizar el denominador demostrar que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora gracadora o una computadora con software de grcos (en la seccin 1.4 se analiza el uso de estos dispositivos de gracacin y algunas de las dicultades que puedan surgir). Sin embargo, esto no signica que los dispositivos de grcos no puedan utilizarse para comprobar el trabajo de otros ejercicios. El smbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos 1(1 s2) s2 1 SAC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxv 27. xxvi de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). Tambin se usar el smbolo | para cuidar que no se cometa un error. He puesto este smbolo en los mrgenes en situaciones donde he advertido que gran parte de mis estudiantes tienden a come- ter el mismo error. Las Herramientas para enriquecer el clculo, acompaantes de este texto, estn indicadas por medio del smbolo y estn disponible en Enhanced WebAssign y en CourseMate (los recursos Visual y Module estn disponibles en www.stewartcalculus.com). Aqu se dirige al estudiante a los mdulos en los que puede explorar los aspectos del Clculo para los que la computadora es particularmente til. En TEC tambin se encuentra Tareas sugeridas para ejercicios representativos que estn indicados con nmero en rojo: 5. Estas sugerencias pueden encontrarse en stewartcalculus.com as como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Estas sugerencias de tareas hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solucin sin dar realmente la respuesta. Es necesario que el estudiante siga activamente cada pista con lpiz y papel a la mano para destacar los detalles. Si una sugerencia particular no permite resolver el problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Le recomiendo que conserve este libro para nes de consulta despus de terminar el curso. Es probable que olvide algunos de los detalles especcos del Clculo, por lo que el libro servir como una referencia til cuando sea necesario utilizar el Clculo en cursos posteriores. Puesto que este libro contiene ms material del que es posible cubrir en todo un curso, tambin puede servir como un valioso recurso para un trabajo cientco o de ingeniera. El Clculo es un tema apasionante, justamente considerado uno de los mayores logros del intelecto humano. Espero que el estudiante descubra que no slo es til, sino tambin intrn- secamente hermoso. JAMES STEWART TEC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Pgina xxvi 28. Exmenes de diagnstico El xito en Clculo depende en gran medida del conocimiento de las matemticas que le preceden: lgebra, geometra analtica, funciones y trigonometra. Los siguientes exmenes estn destinados a diagnosticar las debilidades que el estudiante pueda tener en estas reas. Despus de cada examen puede vericar sus respuestas comparndolas con las respuestas determinadas y, si es necesario, actualizar sus habilidades haciendo referencia a los materiales de repaso que se proporcionan. Examen de diagnstico: lgebraA 1. Evale las siguientes expresiones sin utilizar calculadora: a) b) c) d) e) f) 2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos: a) b) c) 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) 4. Factorice las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) 5. Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) b) c) d) 34 34 34 1634 2 3 2 523 521 s200 s32 3a3 b3 4ab2 2 3x32 y3 x2 y12 2 x 34x 53x 6 42x 5 2x 32 (sa sb )(sa sb ) x 23 2x2 5x 124x2 25 x4 27xx3 3x2 4x 12 x3 y 4xy3x32 9x12 6x12 2x2 x 1 x2 9 x 3 2x 1 x2 3x 2 x2 x 2 y x x y 1 y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 xxvii Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxvii 29. xxviii EXMENES DE DIAGNSTICO 6. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones. a) b) 7. Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto. a) b) 8. Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre slo las soluciones reales). a) b) c) x2 x 12 0 d) e) f) g) 9. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solucin en intervalos: a) b) c) d) e) 10. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) b) c) d) e) f) s10 s5 2 s4 h 2 h x2 x 1 2x2 12x 11 x 5 14 1 2 x 2x x 1 2x 1 x 2x2 4x 1 0 x4 3x2 2 0 3x 4 10 2x4 x12 3s4 x 0 4 5 3x 17 x2 2x 8 xx 1x 2 0 x 4 3 2x 3 x 1 1 p q2 p2 q2 sab sa sb sa2 b2 a b 1 TC C 1 T 1 x y 1 x 1 y 1x ax bx 1 a b 1. a) b) c) d) e) f) 2. a) b) c) 3. a) b) c) d) e) 4. a) b) c) d) e) f) 5. a) b) c) d) 81 81 1 81 25 9 4 1 8 6s2 48a5 b7 x 9y7 11x 2 4x2 7x 15 a b 4x2 12x 9 x3 6x2 12x 8 2x 52x 5 2x 3x 4 x 3x 2x 2 xx 3x2 3x 9 3x12 x 1x 2 xyx 2x 2 x 2 x 2 x 1 x 3 1 x 2 x y 6. a) b) 7. a) b) 8. a) b) c) d) e) f) g) 9. a) b) c) d) e) 10. a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Falsa e) Falsa f) Verdadera 6 1 3, 4 1 1 2s2 1, s2 2 3, 22 3 12 5 4, 3 2, 4 2, 0 1, 1, 7 1, 4 5s2 2s10 1 s4 h 2 (x 1 2)2 3 4 2x 32 7 Respuestas al examen de diagnstico A: lgebra Si tiene usted dicultades con este examen, puede consultar Review of Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxviii 30. EXMENES DE DIAGNSTICO xxix 1. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por y a) tiene pendiente b) es paralela al eje x c) es paralela al eje y d) es paralela a la recta 2. Encuentre la ecuacin de la circunferencia con centro en y que pasa por el punto . 3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es . 4. Sean y puntos en el plano. a) Encuentre la pendiente de la recta determinada por y . b) Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por y . Cules son los puntos de interseccin con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento . d) Encuentre la longitud del segmento . e) Encuentre la ecuacin de la perpendicular que biseca a . f) Encuentre la ecuacin de la circunferencia para la que es dimetro. 5. Trace la regin en el plano xy denida por la ecuacin o desigualdades. a) b) c) d) e) f) 3 x2 y2 6x 10y 9 0 A7, 4 B5, 12 A B A B AB AB AB AB 1 y 3 y 1 1 2 x y x2 1 x2 y2 4 9x2 16y2 144 2, 5 2x 4y 3 1, 4 3, 2 x 4 y y 2 Examen de diagnstico: geometra analticaB 1. a) b) c) d) 2. 3. Centro , radio 5 4. a) b) ; interseccin en x 4, interseccin en y c) d) e) f) y 3x 1 y 5 x 2 y 1 2 x 6 x 12 y 42 52 3, 5 4 3 4x 3y 16 0 16 3 1, 4 20 3x 4y 13 x 12 y 42 100 5. y x1 2 0 y x0 y x0 4 3 _1 2 y x 0 y x0 4_4 y x0 2 1 a) b) c) d) e) f) _1 3 2 _2 y=-1 +=4 y=1- x 1 2 Respuestas al examen de diagnstico B: geometra analtica Si tiene usted dicultades con este examen, puede consultar el repaso de geometra analtica en los apndices B y C. Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxix 31. xxx EXMENES DE DIAGNSTICO 1. La grca de una funcin f est dada a la izquierda. a) Determine el valor de . b) Estime el valor de . c) Para qu valores de x es ? d) Estime los valores de x tales que . e) Establezca el dominio y el rango de . 2. Si , evale el cociente de diferencias y simplique su respuesta. 3. Encuentre el dominio de la funcin a) b) c) 4. Qu aspecto tiene cada una de las grcas siguientes a partir de la grca de f? a) b) c) 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo de cada una de las grcas siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) 6. a) Evale y . b) Trace la grca de f 7. Si y , encuentre cada una de las siguientes funciones: a) b) c) f 1 f 2 f x 2 f x 0 f f x x3 f 2 h f 2 h f x 2x 1 x2 x 2 tx s3 x x2 1 hx s4 x sx2 1 y f x y 2 f x 1 y f x 3 2 y x3 y x 13 y x 23 3 y 4 x2 y sx y 2sx y 2x y 1 x1 f 2 f 1 f x x2 2x 1 tx 2x 3 f t t f t t t Sea f x 1 x2 2x 1 si x 0 si x 0 Examen de diagnstico: funcionesC y 0 x 1 1 FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 1. a) b) 2.8 c) d) e) 2. 3. a) b) c) 4. a) Reexin respecto al eje x b) Alargamiento vertical en un factor de 2 y despus un desplazamiento de 1 unidad hacia abajo c) Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 5. 2 3, 1 2.5, 0.3 3, 3, 2, 3 12 6h h2 , 2 2, 1 1, , , 1 1, 4 6. a) 7. a) b) b) c) 3, 3 f tx 4x2 8x 2 y x0_1 1 t f x 2x2 4x 5 t t tx 8x 21 Respuestas al examen de diagnstico C: funciones Si tiene usted dicultades con este examen, vea las secciones 1.1-1.3 de este libro y x0 a) 1 1 yb) x0 1 _1 c) y x0 (2, 3) yd) x0 4 2 e) y x0 1 f) y x0 1 g) y x 0 1 _1 yh) x0 1 1 Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxx 32. EXMENES DE DIAGNSTICO xxxi 1. Convierta de grados a radianes. a) b) 2. Convierta de radianes a grados. a) b) 3. Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si el arco subtiende un ngulo central de 30. 4. Encuentre los valores exactos de: a) tan(p3) b) sen(7p6) c) sec(5p3) 5. Exprese las longitudes de a y b de la gura en trminos de u. 6. Si y , donde x y y estn entre 0 y p2, evale sen (x y). 7. Demuestre las identidades: a) tan u sen u cos u sec u b) 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y . 9. Trace la grca de la funcin y 1 sen 2x sin usar calculadora. 300 18 56 2 tan3 sec y 5 4 0 x 2 sen x 1 3 2 tan x 1 tan2 x sen 2x Examen de diagnstico: trigonometraD a b 24 FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 Si tiene usted dicultades con este examen de diagnstico, vea el apndice D de este libro. 1. a) b) 2. a) b) 3. 4. a) b) c) 5. a) 24 sen u b) 1053 360 114.6150 2 cm 2 1 2s3 24 cos 6. 8. 9. 1 15 (4 6s2 ) 0, 3, , 53, 2 _ x0 2 y Respuestas al examen de diagnstico D: trigonometra Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxxi 33. Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Pgina xxxii 34. Un previo de Clculo El Clculo es fundamentalmente diferente de las matemticas que ha estudiado anteriormente: el Clculo es menos esttico y ms dinmico. Se ocupa de los cambios y el movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por eso puede ser til tener una visin general del tema antes de comenzar su estudio intensivo. Aqu damos un vistazo de algunas de las ideas principales del Clculo, mostrando cmo surge el concepto de lmite cuando intentamos resolver diversos problemas. 1 Ziga Camernik / Shutterstock PichuginDmitry/Shutterstock Brett Mulcahy / Shutterstock iofoto / Shutterstock Cuando termine este curso, podr usted estimar el nmero de trabajadores necesarios para construir una pirmide, explicar la formacin y ubicacin del arcoris, disear una montaa rusa para un viaje suave y calcular la fuerza sobre una presa. 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 1 35. 2 UN PREVIO DE CLCULO El problema del rea Los orgenes del clculo se remontan a unos 2500 aos a los antiguos griegos, quienes calcularon reas usando el mtodo de agotamiento. Los griegos saban cmo encontrar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos como se ve en la figura 1 y sumar las reas de estos tringulos. Un problema mucho ms difcil es encontrar el rea encerrada por una gura curvada. El mtodo griego de agotamiento consista en inscribir y circunscribir polgonos en la gura y a continuacin aumentar el nmero de lados de los polgonos. La gura 2 ilustra este proceso para el caso especial de un crculo con polgonos regulares inscritos. Sea el rea del polgono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el rea se parece cada vez ms y ms al rea del crculo. As, decimos que el rea del crculo es el lmite de las reas de los polgonos inscritos, y escribimos Los griegos no utilizaron explcitamente el concepto de lmite. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo V a.C.) utiliz la tcnica de agotamiento para obtener la conocida frmula para el rea de un crculo: En el captulo 5 utilizaremos una idea similar para encontrar las reas de regiones del tipo que se muestra en la gura 3. Nos aproximaremos al rea deseada por medio de reas de rectngulos (como en la gura 4), disminuyendo el ancho de los rectngulos y luego calculando el rea A como el lmite de estas sumas de reas de rectngulos. El problema del rea es el problema central en la rama del Clculo llamado clculo integral. Las tcnicas que vamos a desarrollar en el captulo 5 para encontrar reas tambin nos permitirn calcular el volumen de un slido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque. El problema de la tangente Considere el problema de encontrar la ecuacin de la recta tangente t a una curva con ecuacin en un punto dado P. (En el captulo 2 daremos una definicin precisa FIGURA 3 1 n 10 x y (1, 1) 10 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA 4 10 x y y= A (1, 1) A A AAAA FIGURA 2 A r2 . An y fx A lm n l An An FIGURA 1 A=A+A+A+A+A A A A A A En Preview Visual, puede ver cmo las reas de los polgonos inscritos y circunscritos se aproximan al rea del crculo. TEC 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 2 36. UN PREVIO DE CLCULO 3 de una recta tangente. Por ahora podemos considerarla como una recta que toca la curva en P como en la gura 5.) Como sabemos que el punto P se encuentra en la recta tangente, podemos encontrar la ecuacin de t si sabemos su pendiente m. El problema es que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente y tenemos slo un punto P de t. Para sortear el problema encontramos en primer lugar una aproximacin a m tomando un punto cercano Q de la curva y calculamos la pendiente de la recta secante PQ. De la gura 6 vemos que Ahora imaginemos que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P como en la gura 7. Puede ver que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su posicin limi- te. Esto signica que la pendiente de la recta secante se acerca ms y ms a la pendiente m de la recta tangente. Escribimos y decimos que m es el lmite de cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se aproxima a P, tambin podramos utilizar la ecuacin 1 para escribir En el captulo 2 veremos ejemplos especcos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del clculo llamada clculo diferencial, inventada ms de 2 000 aos despus que el clculo integral. Las principales ideas detrs del clculo diferencial se deben al matemtico francs Pierre de Fermat (16011665) y fueron desarrolladas por los matemticos ingleses John Wallis (16161703), Isaac Barrow (16301677) e Isaac Newton (16421727) y el matemtico alemn Gottfried Leibniz (16461716). Las dos ramas de clculo y sus principales problemas, el problema del rea y el problema de la tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una conexin muy estrecha entre ellos. El problema de la tangente y el rea son problemas inversos en un sentido que se describe en el captulo 5. Velocidad Cuando miramos el velocmetro de un automvil y leemos que se est desplazando a 48 mi/h, qu informacin estamos obteniendo? Si la velocidad se mantiene constante, despus de una hora nos habremos desplazado 48 mi. Pero, si vara la velocidad del coche, qu signica decir que la velocidad en un instante dado es 48 mi/h? A n de analizar esta situacin, examinemos el caso de un automvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que suponemos que es posible medir la distancia recorrida por el vehculo (en pies) a intervalos de un segundo como se registra en la siguiente tabla: mPQ f x f a x a 1 2 mPQ mPQ mPQ m lm Q lP mPQ m lm x l a f x f a x a 0 y x P y= t P Q t 0 x y y 0 xa x -f(a)P{a,f(a)} x-a t Q{x, } FIGURA 5 La recta tangente enP FIGURA 6 La recta secante PQ FIGURA 7 Recta secante aproximndose a la recta tangente t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 3 37. 4 UN PREVIO DE CLCULO Un primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la velocidad promedio durante el intervalo : Del mismo modo, la velocidad promedio en el intervalo es Tenemos la sensacin de que la velocidad en el instante 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde . As que imaginemos que se ha medido la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la siguiente tabla: Entonces podemos calcular, por ejemplo, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo : Los resultados de estos clculos se muestran en la siguiente tabla: Las velocidades promedio durante intervalos sucesivamente ms pequeos parecen estar aproximndose cada vez ms a un nmero cercano a 10 y, por tanto, esperaramos que la velocidad en exactamente sea de 10 pies/s. En el captulo 2 deniremos la velocidad instantnea de un objeto en movimiento, como el valor lmite de las velocidades promedio durante intervalos de tiempo cada vez ms pequeos. En la gura 8 se muestra una representacin grca del movimiento del automvil al ubicar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como funcin del tiempo. Si escribimos , entonces es el nmero de pies recorridos despus de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de tiempo es que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la gura 8. La velocidad cuando es el valor lmite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir, y de la ecuacin 2 reconocemos que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P. 2 t 4 2 t 3 t t 2 2, 2.5 t 2 f td ft 2, t t 2 v v lm t l 2 f t f 2 t 2 16.5 piess 42 9 4 2 velocidad promedio cambio en la posicin tiempo transcurrido velocidad promedio 24 9 3 2 15 piess velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6 piess velocidad promedio cambio en la posicin tiempo transcurrido f t f 2 t 2 FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2,f(2)} Q{t,f(t)} t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo de tiempo Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 2, 2.5 2, 2.12, 2.22, 2.32, 2.42, 3 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 4 38. UN PREVIO DE CLCULO 5 As, cuando resolvemos el problema de la tangente en el clculo diferencial, tambin estamos resolviendo problemas relativos a velocidades. Las mismas tcnicas permiten resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales. El lmite de una sucesin En el siglo V a.C. el lsofo griego Zenn de Elea plante cuatro problemas, ahora cono- cidos como Paradojas de Zenn, que estaban diseados para cuestionar algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenan en esos das. La segunda paradoja de Zenn se reere a una carrera entre el hroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado cier- ta ventaja al inicio. Zenn argumentaba, como se hace ver enseguida, que Aquiles nunca podra rebasar a la tortuga. Supongamos que Aquiles empieza en la posicin y la tortuga comienza en posicin (vase la gura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto , la tortuga est ms adelante en la posicin . Cuando Aquiles llega a , la tortuga est en . Este proceso contina indenidamente y as parece que la tortuga siempre estar por delante! Pero esto desafa el sentido comn. Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de sucesin. Las posiciones sucesivas de Aquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga forman lo que se conoce como una sucesin. En general, una sucesin es un conjunto de nmeros escritos en un orden denido. Por ejemplo, la sucesin puede describirse dando la siguiente frmula para el -simo trmino: Podemos visualizar esta sucesin ubicando sus trminos en una recta numrica como en la gura 10a) o dibujando su grca como en la gura 10b). En cualquiera de las dos representaciones observamos que los trminos de la sucesin se aproximan cada vez ms y ms a 0 al aumentar . De hecho, podemos encontrar trminos tan pequeos como queramos haciendo sucientemente grande. En estas condiciones, decimos que el lmite de la sucesin es 0, y lo indicamos escribiendo En general, la notacin se utiliza si los trminos de se aproximan al nmero L cuando n es sucientemente grande. Esto signica que los nmeros pueden acercarse al nmero L tanto como se quiera si se toma una n sucientemente grande. an 1 n {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} FIGURA 9 Aquiles Tortuga a a a a a t t t t . . . . . . a1 t1 a2 t1 t2 a3 t2 t3 a1, a2, a3, . . . t1, t2, t3, . . . an n an 1n n n an lm n l 1 n 0 lm n l an L an 1 n1 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 10 aaaa a) b) 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 5 39. 6 UN PREVIO DE CLCULO El concepto de lmite de una sucesin ocurre cada vez que utilizamos la representacin decimal de un nmero real. Por ejemplo, si entonces Los trminos de esta sucesin son aproximaciones racionales de . Regresemos a la paradoja de Zenn. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones y , donde para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones tienen el mismo lmite Es precisamente en este punto p que Aquiles alcanza a la tortuga. La suma de una serie Otra de las paradojas de Zenn, segn Aristteles, es la siguiente: un hombre parado en una sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendra que recorrer la mitad de la distancia, despus recorrer la mitad de la distancia restante y, a continuacin, recorrer la mitad de lo que falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede ser terminado. (Vase la gura 11.) Por supuesto, sabemos que el hombre realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la distancia total puede expresarse como la suma de una innidad de distancias cada vez ms pequeas como sigue: a1 3.1 a2 3.14 a3 3.141 a4 3.1415 a5 3.14159 a6 3.141592 a7 3.1415926 FIGURA 11 1 2 1 4 1 8 1 16 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 3 an tn an tn lm nl an lm n l an p lm n l tn 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 6 40. UN PREVIO DE CLCULO 7 Zenn argumentaba que no tiene sentido sumar una innidad de nmeros. Pero hay otras situaciones en que utilizamos implcitamente sumas innitas. Por ejemplo, en notacin decimal, el smbolo 0.3 0.3333... signica y as, en cierto sentido, debe ser cierto que Ms generalmente, si denota el n-simo dgito en la representacin decimal de un nmero, entonces Por tanto, algunas sumas innitas o series innitas, como se les llama, tienen un signicado. Pero debemos denir cuidadosamente lo que es la suma de una serie innita. Regresando a la serie en la ecuacin 3, denotamos por la suma de los n primeros trminos de la serie. Por tanto, Observe que como le aadimos cada vez ms trminos, las sumas parciales parecen ser ms cercanas a 1. De hecho, se puede demostrar que si es sucientemente grande (es decir, si se suman sucientes trminos de la serie), podemos aproximar la suma parcial tanto como queramos al nmero 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma de la serie innita es 1 y escribir 3 10 3 100 3 1000 3 10000 3 10 3 100 3 1000 3 10000 1 3 dn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 102 d3 103 dn 10n n sn 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1 216 0.99998474 s10 1 2 1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 0.9921875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s2 1 2 1 4 0.75 s1 1 2 0.5 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 7 41. 8 UN PREVIO DE CLCULO En otras palabras, la razn de que la suma de la serie sea 1 es que En el captulo 11 analizaremos con ms detalle estas ideas y utilizaremos la propuesta de Newton de combinar las series innitas con el clculo diferencial e integral. Resumen Hemos visto que el concepto de lmite surge al intentar encontrar el rea de una regin, la pendiente de la recta tangente a una curva, la velocidad de un mvil o la suma de una serie innita. En cada caso el problema comn es el clculo de una cantidad como el lmite de otras cantidades fciles de calcular. Esta idea bsica de lmite separa al Clculo de otras reas de las matemticas. De hecho, podramos denir al Clculo como la parte de las matemticas que estudia lmites. Despus de que Sir Isaac Newton invent su versin del Clculo, la us para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hoy el Clculo se utiliza para determinar las rbitas de los satlites y naves espaciales, en la prediccin de tamaos de poblacin, en la estimacin de la rapidez con la que los precios del petrleo suben o bajan, en la prediccin meteorolgica, en medir el ritmo cardiaco del corazn, en el clculo de las primas de segu- ros de vida y en una gran variedad de otras reas. En este libro exploraremos algunos de estos usos del Clculo. Con el n de dar una idea del poder del Clculo, terminamos este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que usted podr responder mediante el Clculo: 1. Cmo podemos explicar el hecho, ilustrado en la gura 12, de que el ngulo de elevacin desde un observador hasta el punto ms alto en un arcoris es 42? (Consulte la pgina 282.) 2. Cmo podemos explicar las formas de las latas en supermercados? (Consulte la pgina 337.) 3. Dnde est el mejor lugar para sentarse en una sala de cine? (Consulte la pgina 456.) 4. Cmo podemos disear una montaa rusa para un viaje suave? (Consulte la pgina 184.) 5. A qu distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el descenso? (Consulte la pgina 208.) 6. Cmo podemos utilizar las curvas y el diseo de las formas para representar letras en una impresora lser? (Consulte la pgina 653.) 7. Cmo podemos estimar el nmero de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran pirmide de Keops en Egipto? (Consulte la pgina 451.) 8. Dnde debe colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de beisbol lanzada por un jardinero y lanzarla al plato (home)? (Consulte la pgina 456.) 9. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, tarda ms tiempo en llegar a su altura mxima o en volver a su posicin original de lanzamiento? (Consulte la pgina 604.) lm n l sn 1 Rayos del Sol Observador Rayos del Sol 42 FIGURA 12 138 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Pgina 8 42. Funciones y modelos1 A menudo una grca es la mejor manera de representar una funcin porque transmite mucha informacin en un vistazo. En la fotografa se muestra la grca de la aceleracin del suelo, creada por el terremoto de 2008 en la provincia de Sichuan, en China. La ciudad ms golpeada fue Beichuan, como muestra la imagen. Mark Ralston / AFP / Getty Images CortesadetheIRISConsortium.www.iris.edu 9 Los objetos fundamentales con los que trata el Clculo son las funciones. Este captulo prepara el camino para el Clculo discutiendo las ideas bsicas sobre las grcas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas. Destacamos que una funcin puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuacin, una tabla, una grca o en palabras. Veremos los principales tipos de funciones que aparecen en el Clculo y describiremos cmo se utilizan estas funciones para modelar matemticamente fenmenos del mundo real. Tambin analizaremos el uso de calculadoras gracadoras y programas de gracacin por computadora. 43. 10 CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro situaciones siguientes: A. El rea A de un crculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r est dada por la ecuacin A r2 . Con cada nmero positivo r hay asociado un valor de A, por lo que decimos que A es una funcin de r. B. La poblacin humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estimaciones de la poblacin mundial P(t) en el tiempo t, para algunos aos. Por ejemplo, P(1950) 2560000000 Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que decimos que P es una funcin de t. C. El costo C de envo de un paquete por correo depende de su peso w. Aunque no hay alguna frmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce w. D. La aceleracin vertical a de suelo, medida por un sismgrafo durante un terremoto, es una funcin del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una grfica generada por la actividad ssmica durante el terremoto de Northridge que sacudi Los ngeles en 1994. Para un determinado valor de t, la grfica proporciona un valor correspondiente de a. 1.1 Cuatro maneras de representar una funcin Poblacin (millones)Ao 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 2010 6870 FIGURA 1 Aceleracin vertical de suelo durante el terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos) Departamento de Minas y Geologa de California 5 50 10 15 20 25 a t 100 30 _50 Cada uno de estos ejemplos describe una regla segn la cual, a un nmero dado (r, t, w o t), se le asigna otro nmero (A, P, C, o a). En cada caso decimos que el segundo nmero es una funcin del primero. Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. Usualmente consideramos funciones para los cuales los conjuntos D y E son conjuntos de nmeros reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la funcin. El nmero f(x) es el valor de f en x y se lee f de x. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x vara a travs de todo el dominio. Un smbolo que representa un nmero arbitrario en el dominio de una funcin f se llama variable independiente. Un smbolo que representa un nmero en el rango de f se conoce como variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente, y A es la variable dependiente. 44. EJEMPLO 1 La grfica de una funcin f se muestra en la figura 6. a) Encuentre los valores de f(1) y f(5). b) Cul es el dominio y el rango de f ? SOLUCIN a) De la figura 6 vemos que el punto (1, 3) est en la grfica de f, por lo que el valor de f en 1 es f(1) 3. (En otras palabras, el punto en la grfica que se encuentra por encima de x 1 est 3 unidades por encima del eje x.) Cuando x 5, la grfica se encuentra aproximadamente a 0.7 unidades por debajo del eje x, as que estimamos que f(5) 0.7. b) Vemos que f(x) est definida cuando 0 x 7, por lo que el dominio de f es el intervalo cerrado 0, 7 . Observe que f toma todos los valores de 2 a 4, as que el rango de f es y 2 y 4 2, 4 SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN 11 Es til pensar en una funcin como una mquina (vase la figura 2). Si x est en el dominio de la funcin f, cuando x entra en la mquina, que se acepta como una entrada, la mquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la funcin. As, podemos pensar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas, y en el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. Las funciones preprogramadas en una calculadora son buenos ejemplos de una funcin como una mquina. Por ejemplo, el comando raz cuadrada en su calculadora computa esa funcin. Oprima la tecla etiquetada (o )s sx e introduzca la entrada x; si x 0, entonces x no est en el dominio de esta funcin; es decir, x no es una entrada aceptable, y la calculadora indicar un error. Si x 0, entonces aparecer una aproximacin a sx en la pantalla. As, el comando sx en la calculadora no es exactamente el mismo que la funcin matemtica f definida por .f x sx Otra forma de imaginar una funcin es con un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha conecta un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que f(x) est asociada con x, f(a) est asociada con a, y as sucesivamente. El mtodo ms comn para la visualizacin de una funcin es con su grfica. Si f es una funcin con dominio D, entonces su grfica es el conjunto de pares ordenados x, f x x D (Observe que estos son pares de entrada-salida). En otras palabr

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