Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association...

87
(533) 1 Introduction Let be a nonempty finite set with elements. We denote by ( ) the full matrix ring with complex entries whose rows and columns are indexed by . Let -{0}. Let . The -entry of is de- noted by for We assume that for . A matrix is called a complex Hadamard matrix if the next equationholds : For The following is one of complex Hadamard matrices: (1) a Hdamard matirx, (2) the character table of a finite abelian group. 63 Takuya Ikuta 神戸学院法学第42巻第 2 号 (2012年12月) Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association schemes of three classes Abstract In this paper, we classify type II matrices and complex Hadamard matri- ces on pseudocyclic amorphous association schemes of class 3. ( 1 )

Transcript of Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association...

Page 1: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(533)

1 Introduction

Let �be a nonempty finite set with �elements. We denote by �� ( ) the

full matrix ring with complex entries whose rows and columns are indexed

by �. Let �� -{0}. Let ����� ��. The �����-entry of � is de-

noted by ������ for �������We assume that ���������� for

������. A matrix ����� ��is called a complex Hadamard matrix

if the next equation holds :

For ������

���������

������������������

�����

������

�������������

The following is one of complex Hadamard matrices:

(1) a Hdamard matirx,

(2) the character table of a finite abelian group.

63

Takuya Ikuta

神戸学院法学第42巻第 2号 (2012年12月)

Classification of complex Hadamard

matrices on pseudocyclic amorphous

association schemes of three classes

Abstract

In this paper, we classify type II matrices and complex Hadamard matri-

ces on pseudocyclic amorphous association schemes of class 3.

( 1 )

Page 2: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(534)

A matrix ����� ��is called a type II matrix if the next equation

holds :

����

������

������������ ������ ���

From (1), (2), we know that a complex Hadamard matrix is one of type

II matrices.

We consider complex Hadamard matrices within the framework of asso-

ciation schemes. Let ���� ��be a complex Hadamard matrix. Let

������� ����be a symmetric association scheme of class . Let ��� ���

be the set of adjacency matrices for ��� ����Let ����������� �be the

Bose-Mesner algebra for ������� ����. Then, we consider the next ex-

pression :

��

���

����� ���

where ��� �and �� ��for ������� �

The aim of our recent research is to construct and classify complex

Hadamard matrices satisfying the equation ( 3 ). Recently, we have con-

structed two new infinite series of complex Hadamard matrices on some as-

sociation schemes. It seems to be difficult to classify complex Hadamard

matrices within the framework of association schemes. We take notice some

special association schemes, namely, pseudocyclic amorphous association

schemes ����������������� of class 3, and classify complex

Hadamard matrices attached to such association schemes. The first

eigenmatrix �of pseudocyclic amorphous association schemes is given by

神戸学院法学 第42巻第2号

64

Page 3: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(535)

��

��

�������

�������

�������

� ��

�������

������

������

��

������ �

�������

������

��

������

������ �

�������

�������������������������

� ���

where �is a positive integer, and ����. In what follows, we assume that

���.

Then we have the following :

Theorem 1. ���� �� ��be a type II matrix. ����������������

����be a pseudocyclic amorphous association scheme of class 3. We write

����

���

����

where � �and ���. We set

�� ���

��� �

� �

for ��������

Then ��������������are one of the following :

(1) ����������������������,

(2) �������������������,

(3) ������������

����������

����

�������

���������

������ �

(4) ���������

��������

��������

�������

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

65

Page 4: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(536)

������������������

������� �������

(5) �����������������������

��������

��������

������� ,

(6) ��������������������������������������������,

(7) ��������������������������������������

�����

�������������

�����������������������

(8) Let

��������

�������������������������

�������

��������������������

�������

�����������������

����

��������������

������

We set

��������������

��������������������

����������������

Then, ���satisfies the next equation :

��

�����������

(9) Let

�����

������������������

��������������������

�������

神戸学院法学 第42巻第2号

66

Page 5: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(537)

��������������������

�������

�������������������������������

������ �

We set

����������������

������������������������������������

�����������

����������������������

���������������������

Then, �������satisfy the next equation :

���

�����������

Theorem 2. Let ����� ��be a complex Hadamard matrix. Let �����

��������be a pseudocyclic amorphous association scheme of class 3.

We write

���

���

where �� �������for �������and ����We set

�����

��

� ��

��

for �� ���

Then, one of the following holds

(1) ��� ���for �� ���������, the others ���������

(a Hadamard matrix),

(2) �������������������������,

(3) ���������������

������������

����

��������

���������

������ �

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

67

Page 6: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(538)

(4) �����������������������

��������

��������

������� �

(5) �����������

�����

�����

�����

�����������

��

������

�where ���is a solution of

����

������������

(6) Let

�����

������������������

��������������������

�������

��������������������

�������

�������������������������������

������

We set

���������������

������������������������������������

����������

����������������������

��������������������

Then, �������satisfy the next equation :

���

�����������

2 Complex Hadamard matrices, Pseudocyclic

amor-phous association schemes of class 3

In this section, we introduce the known results.

Let �be the first eigenmatrix of pseudocyclic amorphous association

schemes of class 3 as the following :

神戸学院法学 第42巻第2号

68

Page 7: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(539)

��

��

�������

�������

�������

� ��

�������

������

������

��

������ �

�������

������

��

������

������ �

�������

�������������������������

����

where �is a positive integer, and ����.

�<�>�=�����������( �������())�

��=(�-�)���

��=��

��=-(�+�+�)�

��=-(���+���+���)�

��=���+��

������

��=������(������[

��������

��������

��������

�������

])�

��

[ � �������-����������-����������-���]

[ � -�����-��� �����-��� �����-���]

[ � �����-��� -�����-��� �����-���]

[ � �����-��� �����-��� -�����-���]

��

The next theorem is very useful to find complex Hadamard matrices.

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

69

Page 8: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(540)

Theorem 3. Let ��������������������be real numbers satisfying

������

������������

����

������� ���

������

������������

����

������� ���

������

������������

����

������� ��

������

���������������

�����

������� ��

�������������������������������������

����������� ����

���������������������������������

���������������� ����

������

����������������������������������������������

and assume ������Let ��be a complex number satisfying

������������� ����

Define complex numbers �����by

���������

��������

� ����

���������

��������

� ����

Then

��

��

���

��

���� ���������� ����

��

��� ���������� ����

Moreover, ���������, then ����������.

Proof. First we need to check the denominators of (14) and (15) are

nonzero.

If ����������, then by (13), we have

��

��

��

���

��

���

�����

or equivalently,

��

������������

�����

神戸学院法学 第42巻第2号

70

Page 9: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(541)

Together with (20), this implies ��

���, which is a contradiction. Therefore,

�� is well-de.ned.

Similarly, if ����������, then we obtain ��

���using (21), which is a

contradiction. Therefore, �� is well-de.ned.

/ * Now we can check that (16) is satis.ed.

��

��=�������()

��<�����������������������>�=����������(���)

����=����-�����+�

��=�����+�����+�����-�����������-�

����=�����-���������+����+����-�

����=�����-���������+����+����-�

����=�����-���������+����+����-�

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

���=[�����������������������������]

��=�����<�����>

�<���!��!��!��!���!���!��>�= ����"# $�%���(��)

���=(!����-�)�(!�����-!�)

���=(!����-�)�(!�����-!�)

{&'��$��$(��+����-!�)�&'��$��$(��+����-!�)�

&'��$��$(��+����-!�)�

&'��$��$(�����+�����-!��)�&'��$��$(�����+�����

-!��)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

71

Page 10: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(542)

���������(��+��- �)} ��������

��

Moreover, if �������, then by (13), �� is an imaginary number with

������. In this case, we can check �����������as follows.

��

����=(��(-)-�)�( ����(-�)- )�

�����=(��(-)-�)�( �����(-�)- �)�

�������=(��(-)-�(-))�(-�)�(��(-)��(-�)�

�-��(-�)��(-)� ��)�

{���������(����-�)����������(������-�)} ������

��

��

We find complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous associa-

tion of three classes. To do this is to check the next Lemma:

Lemma 1. Let ����� ��. Let �����������������be a pseudocyclic

amorphous association scheme of three classes, and �be the first eigenmatrix

given by (5). Let

����

���

����

We set

�������

��

�����

��

��

for � �� �. Then, if the next seven equations hold, then � is a type II ma-

trix :

����������������������������������������

神戸学院法学 第42巻第2号

72

Page 11: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(543)

�������������������������������� ����

���������������������������

���������������������������������

������������ ����

����������������������������������������

�������������������������������� ���

������

������������

����

������� ����

������

������������

����

������� ����

������

������������

����

������� ����

������

���������������

�����

������� ����

����������������������������

������������������������

���������������������

������������

���������������� ���

������

����������������������������������������������

��������<������������>

=��������������(��)�

� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

�� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

�� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

�� =����-�������+���+����-��

�� =����-�������+���+����-��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

73

Page 12: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(544)

����=�����-���������+����+����-�

����=����+����+�����-���������-�

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���=(������)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

����=(���-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)

���=[ � �� �������������������������]

��

[

(-�����-��)��+(����-��)���+(����-��)���

+(-�������+����+��)���+(-�������+����

+��)���+(������-�����+��)����-������

+����

(����-��)��+(-�����-��)���+(����-��)���

+(-�������+����+��)���+(������-�����

+��)���+(-�������+����+��)����-������

+����

(����-��)��+(����-��)���+(-�����-��)���

+(������-�����+��)���+(-�������+����

+��)���+(-�������+����+��)����-������

+����

���-�������+����+����-��

���-�������+����+����-��

����-���������+����+�����-��

����-���������+����+�����-��

������-��������-��������+�������-����

神戸学院法学 第42巻第2号

74

Page 13: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(545)

+����������

-���������+�������+��������-���������

+���������-������

��������-���������-���������+�������+���������

-�����

]

3 Proof of Theorem 1

Lemma 2. �����are given by the following :

���������

�����������

���������

�����������

Proof. From e1-e2, e1-e3 we have the following :

�-��-(��)���(�����-�����+����-����-���+���)�

�-��-(��)���(�����-�����+����-����-���+���)�

����-������

���=��+(��)������-(��)����-(��)������

+(��)�����

����-������

���=��+(��)������-(��)����-(��)������

+(��)�����

Lemma 3. Under Lemma 2, ��is given by the following :

�����

���������������������

�����������

������������

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

75

Page 14: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(546)

��������<��������> =��������������(��)�

�� =�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����

�� =�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����

� =���<��->���[������������]>�

� =����

�� =�����

�� =�����

������

������

���-(� )�����!�-(� )�����-(� )������!�

+(�� )������-(� )�����!�-(� )�����

-(��)��!�+���-�+(�� )���+(�� )���-(� )�����

���"��#��$���%#���&���'�

��� =-(��)��!�+(�� )������-(� )�����!�

-(� )�����-(� )������!�

��-(� )����+(�� )���-(� )�����!�-(� )�����

+(�� )���+����

Using Lemmas 2, 3, e1=e2=e3=0 hold in Thorem 3. Therefore, it is

sufficient to find �����������which (20)-(26) hold.

In what follows, ��������are given in Lemmas 2, 3. Then we have the

following :

Lemma 4. Let �������� be given in Lemmas 2,3. Then the next equation

with respect to �����������holds : Under Lemmas 2, 3, we have the following :

���������������������������������������

������������������������������������

神戸学院法学 第42巻第2号

76

Page 15: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(547)

��������<�������>�=� ��� ��������(���)�

��=-���(�+)�(�-)�(�+��)-���(�-)����

-���(�-)�(�+)�

��=�+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����

���=�+(��)����-(��)��-(��)�����+(��)����

��=+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��

+�[��]��+�[��]���+�[�]��[��]��

+�[�]��[��]���+�[��]��[��]���-��

��=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��

+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-��

���=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��

+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-��

��=��-�����+��+��-��

���=���-�������+��+���-��

���=���-�������+��+���-��

���=��+���+���-�������-��

��=(���-�)��-���(����+����)

+�(���+�����)�

���=(��-�)���-��(����+����)

+�(����+����)�

���=(��-�)���-��(����+����)

+�(����+����)�

�-����-(� �(�+))�(�-��)�((�+)��

+(�+)���+(�-)���+���-!)

�((�-)��(�+��+��)+��(��-��-))�

Since ���������, we have the assertion. □

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

77

Page 16: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(548)

From Lemma 4 we consider the next three cases :

������ ��������

������������������������������ ��

�����������������������������������

����������������

3.1 Case A : ��������

In this subsection, we assume that ������. Then we have the following :

Lemma 5. Let ������. Then the next equation holds :

����������������������������� �

������������������������ �� ��� ����

��������<�����>�=� ��� ��������(��)�

���=���

��=-���(�+�)�(�-)�(��+��)-���(�-)������

-���(�-�)�(�+�)�

���=�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����

���=�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����

��=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

���=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

���=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��

+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���

+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��

���=����-�������+���+����-��

���=����-�������+���+����-��

����=�����-���������+����+����-��

神戸学院法学 第42巻第2号

78

Page 17: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(549)

����=�����+�����+�����-���������-�

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

�� ����������������������

���-�����-(����(�+�))(���-���)((��+�)���

+(�+�)���+��-�)

(�(�-�)�����+(�-�)�����+����-��-�)

Since we asumme ����, we have the assertion. □

From (27), we consider the next three cases:

�������� ��������

�������������������������������

�����������������������������������

��

3.1.1 Case A�1: �������.

Let ������. Then we have the following :

Lemma 6. Let ���������. Then we have the following :

������������������������������� ����

������ �<���>�= ��!��"���#���($)

����=���

����=���

���=-��%(�+�)(�-�)(���+���)-��%(�&�)�����

-���(�-�)(�+�)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

79

Page 18: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(550)

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �+��� �+��� �-�����������-�

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

���-����-(����(�-�))�(�+�)�(���+�)�(���-�)�

×((� �+�)����-�+� �)

From (28) we consider the next three cases :

神戸学院法学 第42巻第2号

80

Page 19: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(551)

���������� ������

���������� ������

�������������������������

���������������

For the above cases, we have the following :

Lemma 7. Let �����������. Then, Cases A�1�1, A�1�2 does not satisfy a

type II matrix. CaseA�1�2 is reduced to the following :

���������������������������

����������������� ���+�=�

����� =���<��->��[-�]>�

������������

������������� �������

����������� ���-�=�

����� =���<��->��[�]>�

�! =["��#"�$#"�$#"�%#���#��$#��$]�

&�� [�������� ���!]�

���������-�'�+��

���������-�'�+��

�$�������-�'�+��

������������

��$���������

��$���������

����=��=�$=-�'�+�#���=��$=��$=��

����������$ (�'�+�)(���-%+�'�=�

����$ =���<��->��[-(-%+�'�)�(�'�+�)]>�

"�������$�-)%(�'%�(�'*+ *(�'%+ ��(�'�+ +)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

81

Page 20: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(552)

������������������

3.1.2 Case A�2 : �������������������������.

Let �������������������

���. Then we have the following :

Lemma 8. Let ���������������������������

���. Then we have the fol-

lowing :

������������������������������������� ���

����� ��<���>�=������������(�)�

����=����

����=-(�� +������ -!+���)�( +�)�

���=-��"�( +�)�( -�)�(���+���)-��"�( -�)#�����

-����( -�)�( +�)�

���=��+(���)����� -(���)����-(���)����� +(���)�����

���=��+(���)����� -(���)����-(���)����� +(���)�����

$��=�+�[�%�]#�+�[�%�]#�+�[�%&]#�+�[�%�]���

+�[�%�]���+�[�%&]���+�[�%�]��[�%�]����

+�[�%�]��[�%&]����+�[�%�]��[�%&]����-�

$��=�+�[�%�]#�+�[�%�]#�+�[�%&]#�+�[�%�]���

+�[�%�]���+�[�%&]���+�[�%�]��[�%�]����

+�[�%�]��[�%&]����+�[�%�]��[�%&]����-�

$��=�+�[&%�]#�+�[&%�]#�+�[&%&]#�+�[&%�]���

+�[&%�]���+�[&%&]���+�[&%�]��[&%�]����

+�[&%�]��[&%&]����+�[&%�]��[&%&]����-�

����=���#�-���������+��#�+��#�-&�

����=���#�-���������+��#�+��#�-&�

神戸学院法学 第42巻第2号

82

Page 21: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(553)

����=�����-���������+����+����-�

����=����+����+�����-���������-�

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

����=(���-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)

��-���� -((�� +)���+�� -�)�(��+�- )�

×(��-�+ )�( +�)

From (29) we have the next three cases :

�������������������������

���������� ���������

���������� ��������

���������������

For the above cases, we have the following :

Lemma 9. Let ���������������������������

�����. Then, Case A�2�2

does not satisfy a type II matrix. Cases A�2�1, A�2�3 are reduced to the follow-

ing, respectively :

����������

������������������������

����

�����������

���������������������������������������

�������������������(�� +)���+�� -�=��

�������=���<�->��[-(�� -�)�(+�� )]>

� ��=[�����������������������]

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

83

Page 22: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(554)

����[��������� �������]�

����������(�����+�)�(�+��)�

���������-�+�

����������-�+�

����������(-����+�)�(�+��)�

�����������(-����+�)�(�+��)�

�����������

����=(�����+�)�(�+��)��=��=-�+���=���

=(-����+�)�(�+��)���=�

�������������+-�= �

�����=���<��->��[-+�]>�

���������(�(�-�))�(��-��-)�

����������(�(�-�))�(��-��-)�

���������(�(�-�))�(��-��-)�

���������(�(�-�))�(��-��-)�

���������(�(�-�))�(-+�)�(��-��-)�

����������(�(�-�))�(-+�)�(��-��-)�

���������-���(�-�)�(-+�)�(��-��-)�

�� ��!"�����#�$��-��-�����%�&

��������������-+�= �

������=���<��->��[-�+]>�

����������-�����(�-�)��(�+)��

���"��#���'���(��=�&

������=���<��->��[-]>�

���������

����������

神戸学院法学 第42巻第2号

84

Page 23: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(555)

�����������

�����������

� ���������

� ���������

�����������

�������=[����������������]������

��

[

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-���+ �)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(�����-�����-������+������+����)�

(���+�����+ ���+�)

]

��

������������ ��!"�#$��

��

�=

[

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�

(���-���+ �)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

85

Page 24: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(556)

(�����-�����-�����+������+���)�

(��+�����+ ���+�)

]�

��=����

��

����=[� ������� ��� ���]�

������=[����������������]�������

��

[

���(�+�)�

-�+��

-�+��

-��

-��

(�+�)�(�+�)

]

��

��� �=�����=-����=-��� ��=-��� �=-��

���=��

3.1.3 Case A�3 : ��������������������������������

Let ������������������������

������ . Then we have the following :

Lemma 10. Let ��������������������������������

������ . Then we

have the following :

神戸学院法学 第42巻第2号

86

Page 25: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(557)

�����������������������������������������

������������������ ����

��������<��>=��� ����������(�)�

���=���

��=-(������-������+���+����-���-�)�

(��-��+�)�

��=-����(�+)�(�-�)�(��+���)-����(�-�)����

-����(�-)�(�+)�

�=��+(���)������-(���)����-(���)�����+(���)����

��=��+(���)�����-(���)���-(���)�����+(���)����

��=�+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]���

+�[��]��+�[��]���+�[�]��[��]���

+�[�]��[��]����+�[��]��[��]���-��

�=�+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]���

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]���

+�[��]��[���]����+�[���]��[���]���-��

��=�+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]���

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]���

+�[��]��[���]����+�[���]��[���]���-��

��=���-�������+���+��-��

���=����-���������+���+���-��

��=���-�������+��+���-��

��=���+����+���-���������-��

�=(���-�)���-���(�����+�����)

+�(����+������)�

��=(��-�)����-��(�����+�����)

+�(�����+�����)�

�=(���-�)���-���(�����+�����)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

87

Page 26: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(558)

+��(�����+�������)�

���-���(���)�(+�)�(-�)�((-�)����-�+)

�(��(-�) �����+�� �-���-�)�((-�)����+�+)�

(-�) ��

From (30) we consider the next four cases :

���������� ����

�����������������������

��������������������� ��������

�����������������������

�����������������������

For the above cases, we have the following :

Lemma 11. Let ��������������������������������

������ . Then, Case

A�3�1 does not satisfy a type II matrix. Cases A�3�2, A�3�3, A�3�4 are re-

duced to the following, respectively :

(1) ��������������

������������

���

��������

������

������ �

(2) ����������

����������

�������

�������

��������� ������

������� �������

(3) �����������������������

��������

��������

������� �

�������������������-�=��

�������=���<��->��[�]>�

����������(���)�(��- )�(��-�)�(��� �-�!�+�)

�(-�) ��

神戸学院法学 第42巻第2号

88

Page 27: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(559)

��������������� ���������������������

�������������(�-�)����-�+�=��

�������=���<��->��[-(�-�)�(�-�)]>

��!�=["���"���"���"��������������]

#��[�$���������������!]

%��=[��������������������]

%�����=[�$����������%�]

����&%����'

%����

��

[

-��

(�-�)�(�-�)�

(�-�)�(�-�)�

(-�+�)�(�-�)�

(-�+�)�(�-�)�

(-�(�-���+��)�(�(�-���+�)

]

��

����=-����=��=(�-�)�(�-�)����=���=(-�+�)�(�-�)�

�����=(-�(�-���+��)�(�(�-���+�)�

��������������������(�-�������+�����+)��(�-����

-�=��

�������=���<��->��[-(���)�()��(�-����-�)�

(�(�-���+�)]>

��!�=["���"���"���"��������������]

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

89

Page 28: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(560)

����[��������� ������]�

��� =[�����������������]�

��� =[������ ������]�

����������

����

��

[

(���-���-�)�(�-�)�

(-�������+�-�)�(�-�)�

(-�������+�-�)�(�-�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

]

��

����=(���-���-�)�(�-�)���=�=(-�������+�-�)�

(�-�)�

�����=��=(-�������+���+�)�(���-���+�)���=��

����������� �����-���+�+�=�

����� = !"<#�->$�[-(�+�)�(�-�)]>�

����[���������� ������]�

��� =[�����������������]�

���� =[������� ������]�

����������%�

�����

��

[

神戸学院法学 第42巻第2号

90

Page 29: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(561)

��

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-���+���+�)�(���-���+�)

]

��

���=���==��=�=(-�-�)�(�-�)��

=(-���+���+�)�(���-���+�)�

3.2 CaseB: �������������������������������

In this subsection, we assume that ������������������������

���.

Then, we have the following :

Lemma 12. Let ������������������������

���. Then we have the fol-

lowing :

������������������������������������� ����

� ������<����>�=��������������(���)�

��=-(����+����-�+���+��+���)�(�-�)�

��=-����(�+�)�(�-�)�(��+�)-����(�-�)����

-���(�-�)�(�+�)�

��=�+(��)����-(��)��-(��)����+(��)���

�=�+(��)�����-(��)���-(��)����+(��)���

���=�+�[���]��+�[��]��+�[�� ]��+�[���]��

+�[��]��+�[�� ]�+�[���]��[��]���

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

91

Page 30: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(562)

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �+��� �+��� �-�����������-�

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

�����������������������

���-�����-(���)�(�+�)�((���+�)����+(�+�)����

+���-�)�

((�-�)����+(�-�)����-�+�)�((�+�)����+(���+�)����

+���-�)�(�-�) �

From (31) we have the next cases :

�������������������������������

��������������������������� ���

�����������������������������

���������������

神戸学院法学 第42巻第2号

92

Page 31: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(563)

3.2.1 Case B�1 : �������������������������.

Let �������������������

���. Then we have the following :

Lemma 13.

Let ������������������������

���������

��������������

���. Then

we have the following :

������������������������������������� ����

��������������� (���+�)����+(�+�)����+���-�=�

��<���> =��������������(�)�

��� =-(�������+���-�+���)�(�+�)�

��� =-(�����+�����-�+�����+���+�����)�(�-�)�

�� =-�� �(�+�)�(�-�)�(���+���)-�� �(�-�)!�����

-����(�-�)�(�+�)�

�� =��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

�� =��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

� =�+�[�"�]!�+�[�"�]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���

+�[�"�]���+�[�"#]���+ �[�"�]��[�"�]����

+�[�"�]��[�"#]����+�[�"�]��[�"#]����-��

� =�+�[�"�]!�+�[�"�]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���

+�[�"�]���+�[�"#]���+�[�"�]��[�"�]����

+�[�"�]��[�"#]����+�[�"�]��[�"#]����-��

� =�+�[#"�]!�+�[#"�]!�+�[#"#]!�+�[#"�]���

+�[#"�]���+�[#"#]���+�[#"�]��[#"�]����

+�[#"�]��[#"#]����+�[#"�]��[#"#]����-��

��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�

��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�

��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

93

Page 32: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(564)

����=�����+�����+�����-���������-�

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

���-���� -(���-�+ )(���+�- )((� +�)���-�

+� )�( +�)

From (32) we consider the next three cases :

���������� ��������

���������� ��������

�������������������������

���������������

Lemma 14.

Let ������������������������

��������

��������������

���. Then

Case B�1�2 does not satisfy a type II matrix. Cases B�1�1, B�1�3 are reduced

to the following, respectively :

(1) ������������������������

(2) �����������������

�����������

�����

���������

�����������������������-�+ =��

��������=���<��->��[- +�]>

������������ -�( -�)�� ���( +�)��

������ �!�"���#� =��

� $�=[���%���%���%���%���%���%���]

神戸学院法学 第42巻第2号

94

Page 33: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(565)

��������=[������������� ]���������

��

[

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(�����-������+������-������)�(���+���+�)�

(�����-����� +�������-�������+�������)�

(���+�����+����+�)�

(�����-������+������-������)�(���+���+�)

]

��

��

��������

��=

[

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

(�����-������+������-������)�(���+���+�)�

(�����-����� +�������-�������+�������)�

(���+�����+����+�)�

(�����-������+������-������)�(���+���+�)

]�

��=����

[�������������]�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

95

Page 34: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(566)

��

����=[������������]�

��� ���=[������ ���������]�

��������� ����

��� ���

��

[

-�+

(���-����+��+�)�(�+)

-�+

-�+

(���-���+�)�(�+)

-�+

]

[----]�

��=��=��=��=-�=���=�

��

�������� ������+-�=��

���� ��=�� <!�->"�[�-]>�

#������ ���(�(�-�))�(��-��-)�

��"�� ����$���%��=��

�������� ����������+��-+&��=��

���� ���=�� <!�->"�[-(-+&��)�(��+�)]>�

'��([������ �����������)]�

����=[������������]�

��� ���=[������ ���������]�

神戸学院法学 第42巻第2号

96

Page 35: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(567)

�����������

����

��

[

-�+��

(������+)�(�+��)�

-�+��

(-�����+)�(�+��)�

��

(-�����+)�(�+��)

]

�=��=-�+����=(������+)�(�+��)���=���

=(-�����+)�(�+��)���=��

��

3.2.2 Case B�2 : �����������������������.

Let �����������������

���. Then we have the following :

Lemma 15.

Let ������������������������

���������

������������

���. Then

we have the following :

���������������������

����������������������

������������������� ����

�����������������(�-)���+(�-)���-�+�= �

!<��>�=!"#$�"%��#&��'(()

���=-(����-��+�-�)�(�-)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

97

Page 36: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(568)

����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)(�-�)

���=-���(�+�)�(�-�)�(���+���)-���(�-�)������

-���(�-�)�(�+�)

���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)����

���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)����

��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

����=�����-���������+����+����-�

����=�����-���������+����+����-�

����=�����-���������+����+����-�

����=�����+�����+�����-�����������-�

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

���-��� �-(��)�(�+�)�(�-�)��

�((���+�)�(�-�)��������-(�-�)�(���+�)�(�-�)����

-������+������+���+�)(�-�)��

神戸学院法学 第42巻第2号

98

Page 37: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(569)

From (33) we consider the next two cases :

��������������

������������������������

���������������������

���������� ����

For these, we have the following :

Lemma 16.

Let �����������������������

���������

�����������

���.

(1) �������������������������������������

(2) We set

���������������

�������������������

������������ ���

�����

����������

If ��, then there exists a type II matrices.

����������� ������

������ ����

��� �����

��� �����

��� �����

��� �����

���=(���+�)�(�-�)��������-(�-�)�(���+�)�(�-�)����

-������+������+���+��

��� �-(�� )�(�-�)����(�-�)���

��� �-(�-�)����(�-�)���

��� �(�� )�(�-�)����(�-�)���

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

99

���������������

Page 38: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(570)

����=[�����������������]

���

��

[

- + ��

(-��� +��)����+(��� ��-��� -��)�( -�)�

(��� -��)����+(��� ��-��� -��)�( -�)�

����

-���+( -�)�( -�)�

(-�� ��+��� +�)�( ��-�� +�)

]

��

������������������������������ ������������

����!���"����� -�=#�

����!���"�����$$=#%

����!���"����� -�=#�

&' =���()�$*�������

����= [-��-����������������-�]

��

����!���"�����$$=#�

���=(�� +�)�( -�)��

���=-( -�)�(�� +�)�( -�)

���=-�� �+#� ��++� +�

$$� ��������+������+��

,����=����-�������

,���� ��� ���(�� +�)�(�� --)�( -�)��

神戸学院法学 第42巻第2号

100

Page 39: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(571)

��������������� �� ��� ��������������

��

����=(���)�(�����-���-�+������(������-������

-� ����))�((���+�)�(�-�))!

����=-(���)�(-�����+���+�+������(������-������

-� ����))�((���+�)�(�-�))

"���"��#����$�

�����([���% �"(���)��% �"(���)])!

��$$�!

[�������&�� '�-�����&�� ']

[�����-��]

[ ������ �'�'�-��(� �'�']

[(����'��(���-��'��(��]

[���� &�'������-��&�'�����]

['���(���(�'���-���������]

[&������'� &'�-��� �'� &']

[�������'� � �-���(��('�&]

[�����'(&&&�(��-���(&&&�(�]

[�����'���&����-������' ��]

[�����' ���' ��-������' �]

[�����'�(��'�&'�-������� �']

[� ���'&�( ����-���(&�����]

[�(���&(��'��(�-���(��'��(]

[�����&�'&�&'(��-���(��&'(�]

[�'���&�&�(���(�-���(������]

[�&���&�&����&�-��� &'�� ]

[����&��'�&�(��-��� ����&�]

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

101

Page 40: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(572)

��

3.2.3 Case B�3 : �������������������������.

Let ������������������

����. Then we have the following :

Lemma 17.

Let ������������������������

���������

�������������

����. Then

we have the following :

��������������������������������������� ����

�������������� �(�+�)����+(���+�)��� + ��-�=��

��<���>�=�������������(�)�

�� �=-(�����+�����-�+ ��)�(���+�)�

�� �=-(�����+�����-�+���� + ��+�� ��)�(�-�)�

���=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+�� )-�� �(�-�)!����

-�� �(�-�)�(�+�)�

���=��+(�� )��� ��-(�� )��� -(�� )��� ��+(�� )��� �

� �=��+(�� )������-(�� )����-(�� )��� ��+(�� )��� �

���=�+�[�"�]!�+�[�" ]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���

+�[�" ]���+�[�"#]�� +�[�"�]��[�" ]����

+�[�"�]��[�"#]��� +�[�" ]��[�"#]��� -��

���=�+�[ "�]!�+�[ " ]!�+�[ "#]!�+�[ "�]���

+�[ " ]���+�[ "#]�� +�[ "�]��[ " ]����

+�[ "�]��[ "#]��� +�[ " ]��[ "#]��� -��

� �=�+�[#"�]!�+�[#" ]!�+�[#"#]!�+�[#"�]���

+�[#" ]���+�[#"#]�� +�[#"�]��[#"]����

+�[#"�]��[#"#]��� +�[#" ]��[#"#]��� -��

神戸学院法学 第42巻第2号

102

Page 41: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(573)

����=�����-���������+����+����-�

���=����-�������+����+���-�

���=����-�������+����+���-�

����=�����+����+����-���������-�

����=(���-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���-���� ( +�)�(���-�)�(���+�� -�)�(( +�)����

-�� ��+�� -�)�(�� +�)��

From (34) we consider the next three cases :

���������� �����

��������� ��������

������������������� �����

���������������

For these, we have the following :

Lemma 18.

Let ��������������������

���������

����������

���. Then

Case B�3�2 does not satisfy a type II matrix. Cases B�3�1, B�3�3 are reduced

to the following, respectively :

(1) ��������������

���������������

�����

����

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

103

Page 42: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(574)

(2) ��������������������������

���������������� �� �-�=��

���� �=���<� ->��[�]>�

���=[� ��� ����������� ��� �����]�

����[ ���� ���!���]�

"�!�=[� �������� ��� �����]�

"�!�� �=[ ���� �!�"�!]�

#$!�%&"�!�� '�

"�!�� �

�(

[

-�+��

-�+��

( ��(�)�+ )�(�+ ��)�

��

(-*��(�+ )�(�+ ��)�

(-*��(�+ )�(�+ ��)

]

(�

��� =��=-�+����=( ��(�)�+ )�(�+ ��)�� �=��� �=

���=(-*��(�+ )�(�+ ��)�

������������� �+�(�-�=��

������=���<� ->��[-�(�+�]>�

� � ������(�((�- ))((�)�-�(�-�)�

��+�!!�,��%$��!,%!���

神戸学院法学 第42巻第2号

104

Page 43: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(575)

��������������(+)�� -��+��-�=��

��������=���<� ->��[(��-��+�)�(+)]>�

���=[� �� ��������� �� ����]�

��������=[���������������]���������

��

[

(-���+ ����-����)�(�+��+�)�

(-���+ ����-����)�(�+��+�)�

(-���+ ����-����)�(�+��+�)�

(-���+ ����-����)�(�+��+�)�

(�� -����+ �����- ����+ ���)�

(��+���+ �+ )�

(���-����+�����-�����)�(�+��+�)�

(���-����+�����-�����)�(�+��+�)

]

(-���+ ����-����)�(�+��+�)

=-����(-�)��(+)��

��

!���=[� ������� �� ����]�

!������=[�������������!��]�

"#��$%!������

!������

��

[

-+�

-+�

(��-���+�+�)�(+)�

(��-��+�)�(+)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

105

Page 44: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(576)

-�+��

-�+�

]

[-��-������-��-�]�

��=��=���=���=-����=���=��

3.3 Case C : ��������������������������������.

In this subsection, we assume that

�������������������������������

������ . Then, we have the following :

Lemma 19. Let �������������������������������

������ . We set

����������������

������������������������������������������

�����������

������������������������

����������������������

Then we set

�����

���������

If ���, then there infinite type II matrices for ���.

�� ��������(�-�)��(���+���+���)+�(���-��

-�)=��

��<�������>�=��������������(���)�

����=-(������-�����+���- �+����+������

+���- -�����)(���-��+�)�

神戸学院法学 第42巻第2号

106

Page 45: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(577)

���=-����(�+�)�(�-�)�(���+��)-����(�-�)����

-���(�-�)�(�+�)�

���=��+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����

��=��+(��)������-(��)����-(��)�����+(��)����

���=�+ [���]�+ [��]�+ [���]�+ [���]���

+ [��]���+ [���]��+ [���]� [��]����

+ [���]� [���]���+ [��]� [���]���-��

���=�+ [��]�+ [�]�+ [��]�+ [��]���

+ [�]���+ [��]��+ [��]� [�]����

+ [��]� [��]���+ [�]� [��]���-��

��=�+ [���]�+ [��]�+ [���]�+ [���]���

+ [��]���+ [���]��+ [���]� [��]����

+ [���]� [���]���+ [��]� [���]���-��

����=����-���������+���+���-��

���=���-�������+���+��-��

���=���-�������+���+��-��

����=����+���+���-���������-��

����=(��-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)�

���=(���-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)�

���=(���-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)�

�������������������������

���=�+��������+�������+���������+��������

+������+�����-��������-�����+����

-������-�����-����+����-�������

-��������+ ������+ �������+��������

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

107

Page 46: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(578)

-�����������+������������-���������

+����������-�����������+������������

-���������+���������+���������+��������������

-�����������-�������������+������������

+������������-��������������+���������������

-������������+���������������-������������

-��������������+������������

���=(�-�)��(�+���)

���=(�-�)���(�+���)�(�������-�������+���-���

+�����-�)

���=��(�-�)�������+(��(���-���-�))�(�-�)������

+(�+�)�(�-)�(�����-���-)

������������+������+��

��������

��������

��������

��������

���-����(���)�(�+�)�(�-)����(�-�)�

������������(�-�)��

�����-�������(�-�)��

����=[��������������������]

���

��

[

神戸学院法学 第42巻第2号

108

Page 47: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(579)

(-�����+���)����+(-�����+���)����-�����+����

(�����-���)����+(������-�����-��)�(�-�)�

(�����-���)����+(������-�����-��)�(�-�)�

����

����

-���-���+(-����+���+�)�(��-���+�)

]

��

� ���=���-��������

� ����(�-�)��(���-�)�(�+���)�((�-�)�����+��

+���-��)

�((�-�)�����+��-��-�)�

��� ���-�<���<��(���-�)�(�+���)<��

����������=(�-�)�����+��+���-���

���=(�-�)�����+��-��-��

������� � ��!��� � ���"#�������$#��$��% $�����

��������!�&

���=����=-����=-���

���=����='���=-�'�

���=����=����=-��

�������� �$ ���$�!���

4 Appendix

��("��� � ��� ������)*"�+,�-�)�$-)��$ �����

���)�$*��%�*��%-��#�" ������ �� ������)������$��

�"������

�����" �#����%)��������.*)��/���%��� ��=.*)��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

109

Page 48: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(580)

�����=��

�<�>=����� ������(���� ����())�

�=(�-�)���

�=��

�=-(�+�+�)�

�=-(���+���+���)�

�=���+��

�������

�=������(������[

��������

��������

��������

�������

])�

������

��

[ � �������-��� �������-��� �������-���]

[ � -�����-��� �����-��� �����-���]

[ � �����-��� -�����-��� �����-���]

[ � �����-��� �����-��� -�����-���]

��

������

�!<"��"��"��"���"���"��>=� �#� $������%(��!)�

��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]�"�

神戸学院法学 第42巻第2号

110

Page 49: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(581)

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �+��� �+��� �-�����������-�

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

�����=[������������������������������������]

����

��

[

(-�����-���)���+(�����-���)���+(�����-���)���

+(-����� �+�����+���)����+(-����� �+�����

+���)����+(����� �-�����+���)����-����� �

+����

(�����-���)���+(-�����-���)���+(�����-���)���

+(-����� �+�����+���)����+(����� �-�����

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

111

Page 50: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(582)

+���)����+(-������+�����+���)����-������

+���

(�����-���)���+(�����-���)���+(-�����-���)���

+(������-�����+���)����+(-������+�����

+���)����+(-������+�����+���)����

-������+���

���-���������+���+����-�

���-���������+���+����-�

���-���������+���+����-�

����-�����������+����+����-�

�������-���������-���������+�������-����

+����������

-���������+�������+�������-���������

+���������-�����

�������-���������-���������+�������+���������

-����

]

��

��-����-(���)���(�����-�����+����-����-���+���)

��-����-(���)���(�����-�����+����-����-���+���)

��������-������������=��+(���)������-(���)����

-(���)������+(���)����

��������-������������=��+(���)������-(���)����

-(���)������+(���)����

���������������������

�����=��+(���)������-(���)����-(���)������

+(���)����

神戸学院法学 第42巻第2号

112

Page 51: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(583)

�����=��+(���)������-(���)����-(���)������

+(���)����

�<��������������>�= ��� ��������(���)

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

���=� �<�->��[��������������������]>

����=�����

����=�����

����=�����

��������

��������

�����-(���)��������-(���)������-(���)��������

+(���)������-(���)��������-(���)������-(���)����

+���-��+(���)����+(���)����-(���)����

���� �������� �� ��!���"�

�����=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������

-����(�-�)�(�+�)

��#�����������!���"���=��=��=$%

��& �� "���!����

�����=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������

-����(�-�)�(�+�)

�<�����������>�= ��� ��������(���)

���� � ���� �'�� �(���('��)������)��� ��� ������

������� ��!���� �*%

���=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

113

Page 52: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(584)

-����(�-�)�(�+�)�

��=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

��=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

���=��� �-���������+�� �+�� �-��

���=��� �-���������+�� �+�� �-��

���=��� �-���������+�� �+�� �-��

���=��� �+��� �+��� �-�����������-��

���=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)�

���=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)�

���=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)�

���-����-(�����(�+�))�(���-���)�((�+�)����

+(�+�)����+(�-�)����+���-�)

�((�-�) ��(���+���+���)+��(� �-���-�))�

�������������������������������

�� ��!���-���="�

神戸学院法学 第42巻第2号

114

Page 53: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(585)

��������(�+)��+(�+)�� +(�-�)� + �-�=��

��������(�-�)�(��+�� +� )+ (��-�-)=��

����������-�� =��

�<���� >�=��������������(��)�

�� �=���

���=-���(�+)(�-�)(��+�� )-���(�-�)��

-�� (�-)(�+)�

��=��+(�� )�� �-(�� )�� -(�� )� �+(�� )� �

� �=��+(�� )���-(�� )��-(�� )� �+(�� )� �

���=�+�[�]�+�[� ]�+�[� ]�+�[�]��

+�[� ]�+�[� ]� + �[�]�[� ]��

+�[�]�[� ]�� +�[� ]�[� ]� -��

��=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ � ]�+�[ �]��

+�[ � ]�+�[ � ]� + �[ �]�[ � ]��

+�[ �]�[ � ]�� +�[ � ]�[ � ]� -��

� �=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ � ]�+�[ �]��

+�[ � ]�+�[ � ]� +�[ �]�[ � ]��

+�[ �]�[ � ]�� +�[ � ]�[ � ]� -��

���=���-�����+���+��- �

�� �=�� �-��� �� +���+� �- �

� �=� �-�� � +��+� �- �

� �=���+�� �+� �-���� � - �

!��=(� �- )��-� (��� +��� )

+(���+�� � )�

!� �=(��- )�� -�(��� +� ��)

+(��� +��� )�

! �=(���- )� -��(��� +� ��)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

115

Page 54: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(586)

+��(�����+�������)�

����� ������������

���-����-(�����(�+�))�(���-���)�((���+�)����

+(�+�)����+���-�)

�(��(�-�)������+(�-�)������+�����-���-�)�

���������������� ���!���� ���

����" �#������-���=$�

����" �#���(���+�)����+(�+�)����+���-�=$�

����" �#�����(�-�)������+(�-�)������+�����-���

-�=$%

����" �#������-���=$�

&�<���>�=&��'���� �(���(�)�

����=����

����=����

���=-��)�(�+�)�(�-�)�(���+���)-��)�(�-�)������

-����(�-�)�(�+�)�

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

��=�+&[���]��+&[���]��+&[��*]��+&[���]���

+&[���]���+&[��*]���+ &[���]�&[���]����

+&[���]�&[��*]����+&[���]�&[��*]����-��

��=�+&[���]��+&[���]��+&[��*]��+&[���]���

+&[���]���+&[��*]���+ &[���]�&[���]����

+&[���]�&[��*]����+&[���]�&[��*]����-��

��=�+&[*��]��+&[*��]��+&[*�*]��+&[*��]���

+&[*��]���+&[*�*]���+&[*��]�&[*��]����

神戸学院法学 第42巻第2号

116

Page 55: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(587)

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �-���������+�� �+�� �-�

����=��� �+��� �+��� �-�����������-�

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(�� �-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

���-�����-(����(�-�))�(�+�)�(���+�)�(���-�)�((� �

+�)����-�+� �)

��������������������������������

�������� ��������+�=!�

�������� ��������-�=!�

�������� �����(� �+�)����-�+� �=!"

�������� ��������+�=!�

���� ���=���<��->��[-�]>

���#���� �����

��$�����������������"

�������� ��������-�=!�

���� ���=���<��->��[�]>

��%�=[���������������������������]

&��[�#���� ����!�����%]

��#���� ����-� �+�

��#���� ����-� �+�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

117

Page 56: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(588)

����������-��+

���������

����������

����������

���=�=��=-��+��=��=��=�

�������������(��+)��-�+��=��

�������=���<�->��[-(-�+��)�(��+)]>

����������-�������(���+�����+���+�)

��������� �!"#�$� "��!�

�����������(��+)��+(�+)���+���-�=��

�<�>�=��%&!����%'�!�(�)

���=�

���=-(���+����-�+�)�(�+)

��=-�(�(�+)�(�-)�(�+��)-�(�(�-)����

-���(�-)�(�+)

��=�+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)���

���=�+(��)����-(��)��-(��)�����+(��)���

��=+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��

+�[��]��+�[��]���+ �[�]��[��]��

+�[�]��[��]���+�[��]��[��]���-!

��=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+ �[��]��[���]��

+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-!

���=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��

+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-!

��=��-�����+��+��-�

神戸学院法学 第42巻第2号

118

Page 57: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(589)

����=�����-���������+����+����-

����=�����-���������+����+����-

���=�����+�����+�����-�����������-

����=(����-)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

����=(����-)����-���(������+������)

+��(�����+�������)

���-��� -((�� +�)����+�� -�)�(���+�- )�(���-�

+ )�( +�)

��������������(�� +�)����+�� -�=��

�����������������+�- =��

�����������������-�+ =��

��������������(�� +�)����+�� -�=��

��������=���<��->��[-(�� -�)�(�+�� )]>

� ��=[��������������������������]

����[���������� ��� �� �]

����������� (���� ��+�)�( +���)

����������� - +�

����������� - +�

������������ (-���� +�)�( +���)

������������ (-���� +�)�( +���)

������������ �

����=(���� ��+�)�( +���)���=��=- +�����=���

=(-���� +�)�( +���)����=�

�����������������+�- =��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

119

Page 58: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(590)

��������=�<��-> �[-�+�]>�

�������������(��(�-�))�(���-���-�)�

�������������(��(�-�))�(���-���-�)�

�������������(��(�-�))�(���-���-�)�

�������������(��(�-�))�(���-���-�)�

�������������(��(�-�))�(-�+�)�(���-���-�)�

�������������(��(�-�))�(-�+�)�(���-���-�)�

�������������-����(�-�)�(-�+�)�(���-���-�)�

����������������-���-��������

�������������� ��-�+�=!�

��������=�<��-> �[-�+�]>�

�������������-������(�-�)���(�+�)���

�� �����"���#��=��

���������=�<��-> �[-�]>�

�������������

�������������

�������������

�������������

�������������

�������������

�������������

��������=[����������������$]���������

��

[

(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&

(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&

(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&

(���-'��+�%)�(���+���+�)&

神戸学院法学 第42巻第2号

120

Page 59: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(591)

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(����-����-������+����+���)�

(���+ ����+����+)

]

��

����������������������

��

��=

[

(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�

(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�

(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�

(���-��+� )�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�

(����-����-������+����+���)�

(���+ ����+����+)

]

��=� �

��

!���=["��"��"��"���"���"��]

!������=[�#$�����������!��] !�����

��

[

����(�+�)�

-�+��

-�+��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

121

Page 60: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(592)

-��

-��

(�+�)�(�+�)

]

��

����=����=-���=-�����=-����=-����=��

����� ������(�-�)������+(�-�)�����+����-���

-�=�

��<���>=�������� �����(�)�

��=����

��=-(���������-�������+�����+����-���-�)�

(���-���+�)�

��=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+��)-�� �(�-�)�����

-���(�-�)�(�+�)�

��=��+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����

�=��+(��)������-(��)����-(��)�����+(��)����

��=�+�[���]��+�[��]��+�[���]��+�[���]���

+�[��]���+�[���]��+�[���]��[��]����

+�[���]��[���]���+�[��]��[���]���-��

��=�+�[��]��+�[�]��+�[��]��+�[��]���

+�[�]���+�[��]��+�[��]��[�]����

+�[��]��[��]���+�[�]��[��]���-��

�=�+�[���]��+�[��]��+�[���]��+�[���]���

+�[��]���+�[���]��+�[���]��[��]����

+�[���]��[���]���+�[��]��[���]���-��

���=�����-���������+����+����-��

��=����-�������+����+���-��

神戸学院法学 第42巻第2号

122

Page 61: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(593)

����=�����-���������+����+����-�

����=����+����+�����-���������-�

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

����=(���-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)

��-���� (��)�( +�)�( -�)�(( -)���-�+ )�(��(

-)�����+�� ��-�� -�)

�(( -)���+�+ )�( -)��

���������������������������������������

���� ���!���� -�=��

���� ���!�����( -)���-�+ =��

���� ���!�������( -)�����+�� ��-�� -�=��

���� ���!�����( -)���+�+ =�"

���� ���!���� -�=��

���!��=���<#->��[�]>

��$ ���!�� (��)�(�� -%)�(�� -�)�(�� ��-�&�

+�)�( -)��

��'���� ���(�����)����������������������"

���� ���!�����( -)���-�+ =��

���!���=���<#->��[-( -�)�( -)]>

� *�=[�����������������������]

+���[�$ ���!��� ������ *]

,���=[�����������������]

,��!���=[�$ ���!������,��]

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

123

Page 62: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(594)

�����������

����

��

[

-��

(�-�)�(�-�)�

(�-�)�(�-�)�

(-�+�)�(�-�)�

(-�+�)�(�-�)�

(-���-���+��)�(���-���+�)

]

��

����=-����=�=(�-�)�(�-�)����=��=(-�+�)�(�-�)�

��=(-���-���+��)�(���-���+�)�

��������������������-�������+�����+�����-����

-�=��

�����=���< �->!�[-(���)�(�����-����-�)�

(���-���+�)]>

��"�=[#���#��#��#������������]

$��%[�&�������������"]

����=[�����������������]

����=[�&�����������]

����������

���

��

[

(���-���-�)�(�-�)�

(-�������+�-�)�(�-�)�

神戸学院法学 第42巻第2号

124

Page 63: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(595)

(-�������+�-�)�(�-�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

]

��

���=(���-���-�)�(�-�)��==(-�������+�-�)�

(�-�)���=�=(-�������+���+�)�

(���-���+�)��=��

����� �����������-��+�+�=��

� �����=���<��->��[-(�+�)�(�-�)]>�

� ��[��� ��������������]�

��=[�����������]�

����=[��� �������� �]�

!"��#$ ���%�

����

��

[

��

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-���+&��+�)�(���-���+�)

]

��

���=���==��=�=(-�-�)�(�-�)�

�=(-���+&��+�)�(���-���+�)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

125

Page 64: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(596)

��������(�+)��+(�+)�� +(�-�)� + �-�=��

�<����� >�=��������������(��)�

� �=-(���+��-�+�� + �+�� �)�(�-�)�

���=-���(�+)(�-�)(��+�� )-���(�-�)��

-�� (�-)(�+)�

��=��+(�� )�� �-(�� )�� -(�� )� �+(�� )� �

� �=��+(�� )���-(�� )��-(�� )� �+(�� )� �

���=�+�[�]�+�[� ]�+�[��]�+�[�]��

+�[� ]�+�[��]� + �[�]�[� ]��

+�[�]�[��]�� +�[� ]�[��]� -��

��=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ ��]�+�[ �]��

+�[ � ]�+�[ ��]� +�[ �]�[ � ]��

+�[ �]�[ ��]�� +�[ � ]�[ ��]� -��

� �=�+�[��]�+�[�� ]�+�[���]�+�[��]��

+�[�� ]�+�[���]� +�[��]�[�� ]��

+�[��]�[���]�� +�[�� ]�[���]� -��

���=���-�����+���+��-��

�� �=�� �-��� �� +���+� �-��

� �=� �-�� � +��+� �-��

���=���+�� �+� �-���� � -��

���=(� �-�)��-� (��� +��� )

+(���+�� � )�

�� �=(��-�)�� -�(��� +� ��)

+(��� +��� )�

� �=(���-�)� -��(��� +� ��)

+(�� +���� )�

�� ���!���"�#��$����!����

��-� ��-(���)(�+)((�+�)��+(�+)��

神戸学院法学 第42巻第2号

126

Page 65: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(597)

+���-�)�

((�-�)����+(�-�)����-�+�)�((�+�)����+(���+�)����

+���-�)(�-�)��

� ��������������� ��������� ��������

��������(���+�)����+(�+�)����+���-�=��

��������(�-�)����+(�-�)����-�+�=��

��������(�+�)����+(���+�)����+���-�=�

��������(���+�)����+(�+�)����+���-�=��

!�<���>�=!�"#�����"$��%(�)�

����=-(�������+���-�+���)(�+�)�

����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)(�-�)�

���=-�&�(�+�)�(�-�)�(���+���)-�&�(�-�)�����

-���(�-�)�(�+�)�

���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)�����

���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)�����

���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���

+![���]���+![���]���+ ![���]�![���]����

+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��

���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���

+![���]���+![���]���+ ![���]�![���]����

+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��

���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���

+![���]���+![���]���+![���]�![���]����

+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��

%���=����-���������+���+���-��

%���=����-���������+���+���-��

%���=����-���������+���+���-��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

127

Page 66: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(598)

����=�����+�����+�����-���������-�

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

���-���� -(���-�+ )(���+�- )((� +�)���-�

+� )�( +�)

��������������������������������������

�����������������-�+ =�

�����������������+�- =�

��������������(� +�)���-�+� =�!

�����������������-�+ =��

��������=���<"�->��[- +�]>

���#�������� -�( -�)�� ���( +�)��

��������������$� =�!

� %�=[��� ��� ��� ��� ��� ��� ���]

��������=[�#������������ %]�������

[

(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)

(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)

(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)

(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)

(� �&-�� ��+&� ��-&� ��)�( ��+� +�)

(� �'-�� �%+��� �&-��� ��+��' ��)�

神戸学院法学 第42巻第2号

128

Page 67: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(599)

(���+�����+����+�)

(�����-�����+������-������) (���+���+�)

]

�������

��=

[

(-�����+������-������) (���+���+�)

(-�����+������-������) (���+���+�)

(-�����+������-������) (���+���+�)

(-�����+������-������) (���+���+�)

(�����-�����+������-������) (���+���+�)

(�����-������+�����-�������+�������)

(���+�����+����+�)

(�����-�����+������-������) (���+���+�)

]�

��=����

[]�

����=[���������������]�

�������=[����������������]�

� ��!"������#�

�������

[

-�+�

(���-�����+���+�) (�+�)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

129

Page 68: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(600)

-�+��

-�+��

(�����-���+�)�(�+�)�

-�+�

]

[-����-��-����-�]

�=�=��=��=-���=��=�

��

����������������+�-�=��

��������=���<��->��[�-�]>

�������������(��(�-�))�(���-���-�)

�������������� ��=�

��������������������+��-�+!��=��

��������=���<��->��[-(-�+!��)�(���+�)]>

"�#$[���������������#��%]

&���=[��������������]

&������=[������������#&��]

'��#�(&�����)

&�����

��

[

-�+��

(�������+�)�(�+���)�

-�+��

(-!����+�)�(�+���)�

��

(-!����+�)�(�+���)

神戸学院法学 第42巻第2号

130

Page 69: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(601)

]

��=��=-�+����=(������+�)�(�+���)����=���

=(-����+�)�(�+���)����=��

��

����� ������(�-�)����+(�-�)����-�+�=��

��<���>�=�������� �����(�)�

����=-(�����-���+�-�)�(�-�)�

����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)�(�-�)�

���=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+���)-�� �(�-�)�����

-����(�-�)�(�+�)�

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����

���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��

����=����-���������+���+���-��

����=����-���������+���+���-��

����=����-���������+���+���-��

����=����+����+����-�����������-��

!���=(���-�)����-���(������+������)

+��(�����+�������)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

131

Page 70: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(602)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

����=(����-�)���-��(�����+�����)

+�(����+������)

���-���� -(���)( +�)( -�)��((� +�)(

-�)�������-( -�)(� +�)( -�)���

-�� ��+�� ��+� +�)�( -�)��

��������������������������������������

�������� ����� -�=�!

�������� �����(� +�)( -�)�������

-( -�)(� +�)( -�)���-�� ��+�� ��

+� +�=�"

#����$������%�&

����'�������%�

���� ���

���� ���

���� ���

���� ���

##�=(� +�)( -�)�������-( -�)(� +�)( -�)���

-�� ��+�� ��+� +�

���� -(���)( -�)##�( -�)��

���� -( -�)##�( -�)��

���� (���)( -�)##�( -�)��

(���=[��!��!��!���!���!���]

(��

神戸学院法学 第42巻第2号

132

Page 71: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(603)

[

-�+��

(-�����+���)����+(������-����-���)�(�-�)�

(�����-���)����+(������-�����-���)�(�-�)�

����

-���+(�-�)�(�-�)�

(-����+����+�)�(��-���+�)

]

��

�� ����������������������������������������

�������� ������-�=!�

�������� �����""=!#

�������� ������-�=!�

��

$%�=���&'�"(�������

)���= [-��-������������-����-�]*

��

�������� �����""=!�

���=(���+�)�(�-�)�*

���=-(�-�)�(���+�)�(�-�)*

���=-�����+�!���++��+�*

""���������+������+��*

,����=���-�������*

,����������(���+�)�(���--)�(�-�)�*

��.����,���/�!�""�(��&���������(0�����#

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

133

Page 72: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(604)

��

����=(���)�(�����-��-+���� �(�����-�����

-������))�((���+�)�(�-�))�

����=-(���)�(-�����+��++���� �(�����-�����

-������))�((���+�)�(�-�))

�� �� ���������

� ���([�������(���)������(���)])�

������

[������������-��������]

[�������������-�����������]

[�������������-��� ������]

[ ���� ���-���� ��]

[���������-�������]

[���� � ����-����������]

[�������������-�����������]

[�������������-���� � ��]

[������� ��� ��-���� ��� �]

[������������-���������]

[��������������-����������]

[����� ������-���������]

[�������� ����-���� �����]

[� ����� ��� �-���� ��� ]

[���������� �-���� �� ]

[�������� ��� �-���� ����]

[��������������-����������]

[�������� ��-������]

��

神戸学院法学 第42巻第2号

134

Page 73: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(605)

������������(+)�� +(�+ )�� �+��-�=��

� <� >�=��������������(�)�

� ��=-(� �+�� -�+��)�(�+ )�

���=-(� �+�� -�+�� �+��+� ��)�(- )�

� �=- ���(+)�(- )�(� +� �)- ���(- )����

- ���(-)�(+)�

��=� +( ��)�� ��-( ��)�� �-( ��)����+( ��)����

���=� +( ��)�� �-( ��)�� -( ��)����+( ��)����

� �= +�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��

+�[��]��+�[��]���+ �[�]��[��]��

+�[�]��[��]�� �+�[��]��[��]���-��

��= +�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+ �[��]��[���]��

+�[��]��[���]�� �+�[���]��[���]���-��

���= +�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��

+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��

+�[��]��[���]�� �+�[���]��[���]���-��

� �=� �-� ���� +� �+��-��

� ��=� ��-� ����� �+� �+���-��

���=���-�������+��+���-��

���=� �+� ��+���-� �� ����-��

� �=(���-�)�� -���(� ���+��� �)

+�(� ��+� ����)�

� ��=(��-�)�� �-��(� ���+���� )

+�(� ���+� ���)�

���=(� �-�)���-� �(��� �+���� )

+�(����+� �� �)�

� -���(+)�(� -)�(� +�-�)�((+)��

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

135

Page 74: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(606)

-�����+���-�)�(���+�)��

���� ��������������������������������

�����������������-�=��

�����������������+���-�=��

��������������(�+�)����-�����+���-�=�

�����������������-�=��

��������=�� <!�->�[�]>

��"�=[#���#���#���#��������������]

$���[�%����������������"]

&���=[��������������������]

&������=[�%�����������&��]

'����(&�����)

&�����

��

[

-�+��

-�+��

(�������+�)�(�+���)�

��

(-*����+�)�(�+���)�

(-*����+�)�(�+���)

]

��

����=��=-�+����=(�������+�)�(�+���)����=��

���=���=(-*����+�)�(�+���)

�����������������+���-�=��

神戸学院法学 第42巻第2号

136

Page 75: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(607)

��������=�<� ->��[-���+�]>�

� �����������(��(�- ))�(���-���-�)�

��������������������

��������������(�+�)�� �-�����+ ��-�=!�

��������=�<� ->��[(�����- ��+�)�(�+�)]>�

��"�=[� �#� �#���#���# �# �#��]�

��������=[���������������"]���������

��

[

(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#

(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#

(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#

(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#

(����%-�����"+ !!��� - $����$+ �%����)�

(���+ ����+ ���+%)#

(���� -�!���$+ �����- �����)�(���+���+�)#

(���� -�!���$+ �����- �����)�(���+���+�)

]

(-����$+ ����-������)�(���+���+�)=

-������(�-�)���(�+�)���

��

&���=[� #��#��#� �#� �#���]�

&������=[�������������&��]�

'����(&�����)�

&������

��

[

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

137

Page 76: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(608)

-�+��

-�+��

(���-�����+���+�)�(�+�)�

(�����-��+�)�(�+�)�

-�+��

-�+�

]

[-��-������-��-�]

��=��=���=���=-����=���=�

��

��������(�-�)���(���+���+���)+��(���-���-�)=��

��<�������>�=��������������(���)

����=-(�������-�������+���-��+�����+�������

+���--�������)�(���-���+�)

���=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������

-����(�-�)�(�+�)

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����

���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���

+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����

+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�

神戸学院法学 第42巻第2号

138

Page 77: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(609)

����=�����-���������+����+����-�

���=����-�������+����+���-�

���=����-�������+����+���-�

����=�����+����+����-���������-�

����=(���-�)����-��(�����+�����)

+��(�����+�����)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

���=(����-�)���-���(�����+�����)

+��(����+������)

�� ����������������������

���=�+���������+�������+����������+��������

+�������+������-��������-������+����

-������-�����-�����+�����-��������

-���������+��������+���������+����������

-���������+�����������-��������

+�����������-����������+������������

-���������+��������+��������

+�������������-����������-������������

+������������+������������-�������������

+��������������-������������+��������������

-������������-�������������+������������

���=(�-�)���(�+���)

���=(�-�)���(�+���)�(�������-�������+���-���

+����-�)

���=��(�-�)��������+(��(���-���-�))�(�-�)������

+(�+�)�(�-�)�(�����-����-�)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

139

Page 78: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(610)

����������+������+��

�������

������

�������

������

��-����(���)�(�+)�(�-�)����(�-�)�

�����������(�-�)

����-������(�-�)

����=[�����������������]

���

��

[

(-�����+���)���+(-�����+���)����-����+���

(�����-���)����+(�����-����-���)�(�-�)�

(�����-���)���+(�����-����-���)�(�-�)�

���

����

-��-���+(-���+���+�)�(�-��+�)

]

��

�����=��-�������

������(�-�)��(��-)�(+��)�((�-�)���+�

+���-��)�((�-�)���+�-���-)

�������-<��<�(��-)�(+��)<��

神戸学院法学 第42巻第2号

140

Page 79: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(611)

����������=(-�)�� ��+�+��-���

���=(-�)�� ��+�-��-��

������������������������������������� �������

�����������!

��=����=-����=-���

��="���=#���=-�#�

��=����=�����=-��$

������������������"$

> ���%&'��'��(�')��*+�%�'��%�(����"���, ��-���������

.�� %�������/���'���'��)�� �����"�����#����-'���'�$

'��'�$���0�

1��%��� &'��'��(�')��*+�%�'��%�(����"���, ��-��������

�.�� %�������/���'���'��)�� �����"�����#����-'���'�$

'��'�$���0

�� �

[ � ��"��-��" ��"��-��"��"��-��"]

[ � -��"�-��" ��"�-��" ��"�-��"]

[ � ��"�-��" -��"�-��" ��"�-��"]

[ � ��"�-��" ��"�-��" -��"�-��"]

[

(-��"�-��")� �+(��"�-��")� �+(��"�-��")� "

+(-��2��+��2�+��2)� ����2�+��2)� �"

+(��2��-��2�+��2)� �"-��"��+��"�

(��"�-��")� �+(-��"�-��")� �+(��"�-��")� "

+(-��2��+��2�+��2)� ����2�+��2)� �"

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

141

Page 80: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(612)

+(-�������+�����+���)���-������+��

(����-��)���+(����-��)���+(-����-��)��

+(�������-�����+���)����

�����+���)���+(-�������+�����+���)���

-������+��

����-���������+����+�����-�

����-�������+���+����-�

����-�������+���+����-�

�����-���������+����+����-�

�������-�������-�������+�������-����

+��������

-��������+������+�������-��������

+��������-����

�������-��������-��������+������+��������

-���

]

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

神戸学院法学 第42巻第2号

142

Page 81: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(613)

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

����

(���-���+���+���+��) (���+��+�)

(���-���+���+���+��) (���+��+�)

(���-���+���+���+��) (���+��+�)

(���-��+��) (���+��+�)

(-��+�����-��-�) (���+��+�)

(-��+�����-��-�) (���+��+�)

(����-����-����+�����+���)

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

143

Page 82: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(614)

(���+�����+����+�)

[

(��-�����+���+���+��)(���+��+)�

(��-�����+���+���+��)(���+��+)�

(��-�����+���+���+��)(���+��+)�

(���-���+��)(���+��+)�

(-�����+������-����-��)(���+��+)�

(-�����+������-����-��)(���+��+)�

(�����-����-� ����+������+����)(���+�����

+����+�)

]

[

���(�+�)�

-�+��

-�+��

-��

-��

(�+�)(�+�)

]

����

����

����

������

[

-��

(�-)(�-�)�

(�-)(�-�)�

(-�+)(�-�)�

神戸学院法学 第42巻第2号

144

Page 83: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(615)

(-�+�)�(�-�)�

(-���-���+��)�(���-���+�)

]

��

�����

[

(���-���-�)�(�-�)�

(-�������+�-�)�(�-�)�

(-�������+�-�)�(�-�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

(-�������+���+�)�(���-���+�)�

]

��

�����

[

��

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-�-�)�(�-�)�

(-���+���+�)�(���-���+�)

]

��

��

��

[

(-�����+������-������)�(���+���+�)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

145

Page 84: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(616)

(-�����+������-����)(���+���+�)�

(-�����+������-����)(���+���+�)�

(-�����+������-����)(���+���+�)�

(�����-������+������-�����)(���+���+�)�

(���� -������+�������-�������+�� ���)

(��+�����+����+ )�

(�����-������+������-�����)(���+���+�)

]

������

[

-�+��

(��-�����+���+�)(�+�)�

-�+��

-�+��

(�����-���+�)(�+�)�

-�+�

]

����

����

�����

[

-�+��

(������+�)(�+��)�

-�+��

(-����+�)(�+��)�

��

(-����+�)(�+��)

]

神戸学院法学 第42巻第2号

146

Page 85: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(617)

����

�������

����

����

����

����

����

����

����

[

-+��

(- ���+ ��)�� �+(������-����-���)�(- )�

( ���- ��)�� �+( �����-����-���)�(- )�

� ��

-� �+(-�)�(- )�

(-����+ �+�)�(��-��+ )

]

����

����

����

����

�����

[

-+��

-+��

( �����+ )�(+ ��)�

��

(-����+ )�(+ ��)�

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

147

Page 86: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(618)

(-�����+�)�(�+���)

]

��

[

(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�

(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�

(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�

(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�

(�����-� ����+�������-�������+�������)�

(���+�����+����+�)�

(�����-������+� ��� -� ����)�(���+ ��+ )�

(�����-������+� ��� -� ����)�(���+ ��+ )

]

������

[

-�+��

-�+��

(���- ����+���+ )�(�+�)�

(�����-���+ )�(�+�)�

-�+��

-�+�

]

��

��

��

��

��

��

神戸学院法学 第42巻第2号

148

Page 87: Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association ...jura/law/files/42-2-03.pdf · 2016-09-08 · matrices within the framework of association schemes.We

(619)

����

����

[

(-����+���)���+(-����+���)���-����+����

(����-���)���+(���� �-����-���)�(-�)�

(����-���)���+(���� �-����-���)�(-�)�

���

���

-��-��+(-�� �+��+�)�( �-��+�)

]

����

��������������������������������������������� !

Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……

149