busqueda de matrices de hadamard a trav es de secuencias ...
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association...
Transcript of Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous association...
(533)
1 Introduction
Let �be a nonempty finite set with �elements. We denote by �� ( ) the
full matrix ring with complex entries whose rows and columns are indexed
by �. Let �� -{0}. Let ����� ��. The �����-entry of � is de-
noted by ������ for �������We assume that ���������� for
������. A matrix ����� ��is called a complex Hadamard matrix
if the next equation holds :
For ������
���������
������������������
�����
������
�������������
The following is one of complex Hadamard matrices:
(1) a Hdamard matirx,
(2) the character table of a finite abelian group.
63
Takuya Ikuta
神戸学院法学第42巻第 2号 (2012年12月)
Classification of complex Hadamard
matrices on pseudocyclic amorphous
association schemes of three classes
Abstract
In this paper, we classify type II matrices and complex Hadamard matri-
ces on pseudocyclic amorphous association schemes of class 3.
( 1 )
(534)
A matrix ����� ��is called a type II matrix if the next equation
holds :
����
������
������������ ������ ���
From (1), (2), we know that a complex Hadamard matrix is one of type
II matrices.
We consider complex Hadamard matrices within the framework of asso-
ciation schemes. Let ���� ��be a complex Hadamard matrix. Let
������� ����be a symmetric association scheme of class . Let ��� ���
be the set of adjacency matrices for ��� ����Let ����������� �be the
Bose-Mesner algebra for ������� ����. Then, we consider the next ex-
pression :
��
���
����� ���
where ��� �and �� ��for ������� �
The aim of our recent research is to construct and classify complex
Hadamard matrices satisfying the equation ( 3 ). Recently, we have con-
structed two new infinite series of complex Hadamard matrices on some as-
sociation schemes. It seems to be difficult to classify complex Hadamard
matrices within the framework of association schemes. We take notice some
special association schemes, namely, pseudocyclic amorphous association
schemes ����������������� of class 3, and classify complex
Hadamard matrices attached to such association schemes. The first
eigenmatrix �of pseudocyclic amorphous association schemes is given by
神戸学院法学 第42巻第2号
64
(535)
��
��
�������
�
�������
�
�������
� ��
�������
�
������
�
������
��
������ �
�
�������
�
������
��
������
�
������ �
�
�������
�������������������������
�
� ���
where �is a positive integer, and ����. In what follows, we assume that
���.
Then we have the following :
Theorem 1. ���� �� ��be a type II matrix. ����������������
����be a pseudocyclic amorphous association scheme of class 3. We write
����
���
����
where � �and ���. We set
�� ���
�
��� �
�
� �
�
for ��������
Then ��������������are one of the following :
(1) ����������������������,
(2) �������������������,
(3) ������������
����������
����
�������
���������
������ �
(4) ���������
��������
��������
�������
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
65
(536)
������������������
������� �������
(5) �����������������������
��������
��������
������� ,
(6) ��������������������������������������������,
(7) ��������������������������������������
�����
�������������
�����������������������
(8) Let
��������
�������������������������
�������
��������������������
�������
�����������������
����
��������������
������
We set
��������������
��������������������
����������������
Then, ���satisfies the next equation :
��
�����������
(9) Let
�����
������������������
��������������������
�������
神戸学院法学 第42巻第2号
66
(537)
��������������������
�������
�������������������������������
������ �
We set
����������������
������������������������������������
�����������
����������������������
���������������������
Then, �������satisfy the next equation :
���
�����������
Theorem 2. Let ����� ��be a complex Hadamard matrix. Let �����
��������be a pseudocyclic amorphous association scheme of class 3.
We write
���
�
���
where �� �������for �������and ����We set
�����
��
� ��
�
��
�
for �� ���
Then, one of the following holds
(1) ��� ���for �� ���������, the others ���������
(a Hadamard matrix),
(2) �������������������������,
(3) ���������������
������������
����
��������
���������
������ �
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
67
(538)
(4) �����������������������
��������
��������
������� �
(5) �����������
�����
�
�����
�
�����
�
�����������
�
��
������
�where ���is a solution of
����
������������
(6) Let
�����
������������������
��������������������
�������
��������������������
�������
�������������������������������
������
We set
���������������
������������������������������������
����������
����������������������
��������������������
Then, �������satisfy the next equation :
���
�����������
2 Complex Hadamard matrices, Pseudocyclic
amor-phous association schemes of class 3
In this section, we introduce the known results.
Let �be the first eigenmatrix of pseudocyclic amorphous association
schemes of class 3 as the following :
神戸学院法学 第42巻第2号
68
(539)
��
��
�������
�
�������
�
�������
� ��
�������
�
������
�
������
��
������ �
�
�������
�
������
��
������
�
������ �
�
�������
�������������������������
�
����
where �is a positive integer, and ����.
�<�>�=�����������( �������())�
��=(�-�)���
��=��
��=-(�+�+�)�
��=-(���+���+���)�
��=���+��
������
��=������(������[
��������
��������
��������
�������
])�
��
[ � �������-����������-����������-���]
[ � -�����-��� �����-��� �����-���]
[ � �����-��� -�����-��� �����-���]
[ � �����-��� �����-��� -�����-���]
��
The next theorem is very useful to find complex Hadamard matrices.
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
69
(540)
Theorem 3. Let ��������������������be real numbers satisfying
������
������������
����
������� ���
������
������������
����
������� ���
������
������������
����
������� ��
������
���������������
�����
������� ��
�������������������������������������
����������� ����
���������������������������������
���������������� ����
������
����������������������������������������������
and assume ������Let ��be a complex number satisfying
������������� ����
Define complex numbers �����by
���������
��������
� ����
���������
��������
� ����
Then
��
��
���
��
���� ���������� ����
��
��� ���������� ����
Moreover, ���������, then ����������.
Proof. First we need to check the denominators of (14) and (15) are
nonzero.
If ����������, then by (13), we have
��
�
��
��
���
��
���
�����
or equivalently,
��
������������
�����
神戸学院法学 第42巻第2号
70
(541)
Together with (20), this implies ��
���, which is a contradiction. Therefore,
�� is well-de.ned.
Similarly, if ����������, then we obtain ��
���using (21), which is a
contradiction. Therefore, �� is well-de.ned.
/ * Now we can check that (16) is satis.ed.
��
��=�������()
��<�����������������������>�=����������(���)
����=����-�����+�
��=�����+�����+�����-�����������-�
����=�����-���������+����+����-�
����=�����-���������+����+����-�
����=�����-���������+����+����-�
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
���=[�����������������������������]
��=�����<�����>
�<���!��!��!��!���!���!��>�= ����"# $�%���(��)
���=(!����-�)�(!�����-!�)
���=(!����-�)�(!�����-!�)
{&'��$��$(��+����-!�)�&'��$��$(��+����-!�)�
&'��$��$(��+����-!�)�
&'��$��$(�����+�����-!��)�&'��$��$(�����+�����
-!��)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
71
(542)
���������(��+��- �)} ��������
��
Moreover, if �������, then by (13), �� is an imaginary number with
������. In this case, we can check �����������as follows.
��
����=(��(-)-�)�( ����(-�)- )�
�����=(��(-)-�)�( �����(-�)- �)�
�������=(��(-)-�(-))�(-�)�(��(-)��(-�)�
�-��(-�)��(-)� ��)�
{���������(����-�)����������(������-�)} ������
��
��
□
We find complex Hadamard matrices on pseudocyclic amorphous associa-
tion of three classes. To do this is to check the next Lemma:
Lemma 1. Let ����� ��. Let �����������������be a pseudocyclic
amorphous association scheme of three classes, and �be the first eigenmatrix
given by (5). Let
����
���
����
We set
�������
��
�
�����
�
��
��
for � �� �. Then, if the next seven equations hold, then � is a type II ma-
trix :
����������������������������������������
神戸学院法学 第42巻第2号
72
(543)
�������������������������������� ����
���������������������������
���������������������������������
������������ ����
����������������������������������������
�������������������������������� ���
������
������������
����
������� ����
������
������������
����
������� ����
������
������������
����
������� ����
������
���������������
�����
������� ����
����������������������������
������������������������
���������������������
������������
���������������� ���
������
����������������������������������������������
��������<������������>
=��������������(��)�
� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
�� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
�� =+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
�� =����-�������+���+����-��
�� =����-�������+���+����-��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
73
(544)
����=�����-���������+����+����-�
����=����+����+�����-���������-�
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���=(������)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
����=(���-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)
���=[ � �� �������������������������]
��
[
(-�����-��)��+(����-��)���+(����-��)���
+(-�������+����+��)���+(-�������+����
+��)���+(������-�����+��)����-������
+����
(����-��)��+(-�����-��)���+(����-��)���
+(-�������+����+��)���+(������-�����
+��)���+(-�������+����+��)����-������
+����
(����-��)��+(����-��)���+(-�����-��)���
+(������-�����+��)���+(-�������+����
+��)���+(-�������+����+��)����-������
+����
���-�������+����+����-��
���-�������+����+����-��
����-���������+����+�����-��
����-���������+����+�����-��
������-��������-��������+�������-����
神戸学院法学 第42巻第2号
74
(545)
+����������
-���������+�������+��������-���������
+���������-������
��������-���������-���������+�������+���������
-�����
]
�
□
3 Proof of Theorem 1
Lemma 2. �����are given by the following :
���������
�����������
���������
�����������
Proof. From e1-e2, e1-e3 we have the following :
�-��-(��)���(�����-�����+����-����-���+���)�
�-��-(��)���(�����-�����+����-����-���+���)�
����-������
���=��+(��)������-(��)����-(��)������
+(��)�����
����-������
���=��+(��)������-(��)����-(��)������
+(��)�����
□
Lemma 3. Under Lemma 2, ��is given by the following :
�����
���������������������
�
�����������
�
������������
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
75
(546)
��������<��������> =��������������(��)�
�� =�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����
�� =�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����
� =���<��->���[������������]>�
� =����
�� =�����
�� =�����
������
������
���-(� )�����!�-(� )�����-(� )������!�
+(�� )������-(� )�����!�-(� )�����
-(��)��!�+���-�+(�� )���+(�� )���-(� )�����
���"��#��$���%#���&���'�
��� =-(��)��!�+(�� )������-(� )�����!�
-(� )�����-(� )������!�
��-(� )����+(�� )���-(� )�����!�-(� )�����
+(�� )���+����
□
Using Lemmas 2, 3, e1=e2=e3=0 hold in Thorem 3. Therefore, it is
sufficient to find �����������which (20)-(26) hold.
In what follows, ��������are given in Lemmas 2, 3. Then we have the
following :
Lemma 4. Let �������� be given in Lemmas 2,3. Then the next equation
with respect to �����������holds : Under Lemmas 2, 3, we have the following :
���������������������������������������
������������������������������������
神戸学院法学 第42巻第2号
76
(547)
��������<�������>�=� ��� ��������(���)�
��=-���(�+)�(�-)�(�+��)-���(�-)����
-���(�-)�(�+)�
��=�+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����
���=�+(��)����-(��)��-(��)�����+(��)����
��=+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��
+�[��]��+�[��]���+�[�]��[��]��
+�[�]��[��]���+�[��]��[��]���-��
��=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��
+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-��
���=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��
+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-��
��=��-�����+��+��-��
���=���-�������+��+���-��
���=���-�������+��+���-��
���=��+���+���-�������-��
��=(���-�)��-���(����+����)
+�(���+�����)�
���=(��-�)���-��(����+����)
+�(����+����)�
���=(��-�)���-��(����+����)
+�(����+����)�
�-����-(� �(�+))�(�-��)�((�+)��
+(�+)���+(�-)���+���-!)
�((�-)��(�+��+��)+��(��-��-))�
Since ���������, we have the assertion. □
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
77
(548)
From Lemma 4 we consider the next three cases :
������ ��������
������������������������������ ��
�����������������������������������
����������������
3.1 Case A : ��������
In this subsection, we assume that ������. Then we have the following :
Lemma 5. Let ������. Then the next equation holds :
����������������������������� �
������������������������ �� ��� ����
��������<�����>�=� ��� ��������(��)�
���=���
��=-���(�+�)�(�-)�(��+��)-���(�-)������
-���(�-�)�(�+�)�
���=�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����
���=�+(��)�����-(��)���-(��)������+(��)�����
��=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
���=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
���=+�[��]��+�[��]��+�[��]��+�[��]��
+�[��]���+�[��]���+�[��]��[��]���
+�[��]��[��]���+�[��]��[��]����-��
���=����-�������+���+����-��
���=����-�������+���+����-��
����=�����-���������+����+����-��
神戸学院法学 第42巻第2号
78
(549)
����=�����+�����+�����-���������-�
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
�� ����������������������
���-�����-(����(�+�))(���-���)((��+�)���
+(�+�)���+��-�)
(�(�-�)�����+(�-�)�����+����-��-�)
Since we asumme ����, we have the assertion. □
From (27), we consider the next three cases:
�������� ��������
�������������������������������
�����������������������������������
��
3.1.1 Case A�1: �������.
Let ������. Then we have the following :
Lemma 6. Let ���������. Then we have the following :
������������������������������� ����
������ �<���>�= ��!��"���#���($)
����=���
����=���
���=-��%(�+�)(�-�)(���+���)-��%(�&�)�����
-���(�-�)(�+�)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
79
(550)
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
��=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �+��� �+��� �-�����������-�
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
���-����-(����(�-�))�(�+�)�(���+�)�(���-�)�
×((� �+�)����-�+� �)
□
From (28) we consider the next three cases :
神戸学院法学 第42巻第2号
80
(551)
���������� ������
���������� ������
�������������������������
���������������
For the above cases, we have the following :
Lemma 7. Let �����������. Then, Cases A�1�1, A�1�2 does not satisfy a
type II matrix. CaseA�1�2 is reduced to the following :
���������������������������
����������������� ���+�=�
����� =���<��->��[-�]>�
������������
������������� �������
����������� ���-�=�
����� =���<��->��[�]>�
�! =["��#"�$#"�$#"�%#���#��$#��$]�
&�� [�������� ���!]�
���������-�'�+��
���������-�'�+��
�$�������-�'�+��
������������
��$���������
��$���������
����=��=�$=-�'�+�#���=��$=��$=��
����������$ (�'�+�)(���-%+�'�=�
����$ =���<��->��[-(-%+�'�)�(�'�+�)]>�
"�������$�-)%(�'%�(�'*+ *(�'%+ ��(�'�+ +)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
81
(552)
������������������
□
3.1.2 Case A�2 : �������������������������.
Let �������������������
���. Then we have the following :
Lemma 8. Let ���������������������������
���. Then we have the fol-
lowing :
������������������������������������� ���
����� ��<���>�=������������(�)�
����=����
����=-(�� +������ -!+���)�( +�)�
���=-��"�( +�)�( -�)�(���+���)-��"�( -�)#�����
-����( -�)�( +�)�
���=��+(���)����� -(���)����-(���)����� +(���)�����
���=��+(���)����� -(���)����-(���)����� +(���)�����
$��=�+�[�%�]#�+�[�%�]#�+�[�%&]#�+�[�%�]���
+�[�%�]���+�[�%&]���+�[�%�]��[�%�]����
+�[�%�]��[�%&]����+�[�%�]��[�%&]����-�
$��=�+�[�%�]#�+�[�%�]#�+�[�%&]#�+�[�%�]���
+�[�%�]���+�[�%&]���+�[�%�]��[�%�]����
+�[�%�]��[�%&]����+�[�%�]��[�%&]����-�
$��=�+�[&%�]#�+�[&%�]#�+�[&%&]#�+�[&%�]���
+�[&%�]���+�[&%&]���+�[&%�]��[&%�]����
+�[&%�]��[&%&]����+�[&%�]��[&%&]����-�
����=���#�-���������+��#�+��#�-&�
����=���#�-���������+��#�+��#�-&�
神戸学院法学 第42巻第2号
82
(553)
����=�����-���������+����+����-�
����=����+����+�����-���������-�
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
����=(���-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)
��-���� -((�� +)���+�� -�)�(��+�- )�
×(��-�+ )�( +�)
□
From (29) we have the next three cases :
�������������������������
���������� ���������
���������� ��������
���������������
For the above cases, we have the following :
Lemma 9. Let ���������������������������
�����. Then, Case A�2�2
does not satisfy a type II matrix. Cases A�2�1, A�2�3 are reduced to the follow-
ing, respectively :
����������
������������������������
����
�����������
���������������������������������������
�������������������(�� +)���+�� -�=��
�������=���<�->��[-(�� -�)�(+�� )]>
� ��=[�����������������������]
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
83
(554)
����[��������� �������]�
����������(�����+�)�(�+��)�
���������-�+�
����������-�+�
����������(-����+�)�(�+��)�
�����������(-����+�)�(�+��)�
�����������
����=(�����+�)�(�+��)��=��=-�+���=���
=(-����+�)�(�+��)���=�
�������������+-�= �
�����=���<��->��[-+�]>�
���������(�(�-�))�(��-��-)�
����������(�(�-�))�(��-��-)�
���������(�(�-�))�(��-��-)�
���������(�(�-�))�(��-��-)�
���������(�(�-�))�(-+�)�(��-��-)�
����������(�(�-�))�(-+�)�(��-��-)�
���������-���(�-�)�(-+�)�(��-��-)�
�� ��!"�����#�$��-��-�����%�&
��������������-+�= �
������=���<��->��[-�+]>�
����������-�����(�-�)��(�+)��
���"��#���'���(��=�&
������=���<��->��[-]>�
���������
����������
神戸学院法学 第42巻第2号
84
(555)
�����������
�����������
� ���������
� ���������
�����������
�������=[����������������]������
��
[
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-���+ �)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(�����-�����-������+������+����)�
(���+�����+ ���+�)
]
��
������������ ��!"�#$��
��
�=
[
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-�����+���+����+ �)�(���+���+�)�
(���-���+ �)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
85
(556)
(�����-�����-�����+������+���)�
(��+�����+ ���+�)
]�
��=����
��
����=[� ������� ��� ���]�
������=[����������������]�������
��
[
���(�+�)�
-�+��
-�+��
-��
-��
(�+�)�(�+�)
]
��
��� �=�����=-����=-��� ��=-��� �=-��
���=��
□
3.1.3 Case A�3 : ��������������������������������
Let ������������������������
������ . Then we have the following :
Lemma 10. Let ��������������������������������
������ . Then we
have the following :
神戸学院法学 第42巻第2号
86
(557)
�����������������������������������������
������������������ ����
��������<��>=��� ����������(�)�
���=���
��=-(������-������+���+����-���-�)�
(��-��+�)�
��=-����(�+)�(�-�)�(��+���)-����(�-�)����
-����(�-)�(�+)�
�=��+(���)������-(���)����-(���)�����+(���)����
��=��+(���)�����-(���)���-(���)�����+(���)����
��=�+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]���
+�[��]��+�[��]���+�[�]��[��]���
+�[�]��[��]����+�[��]��[��]���-��
�=�+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]���
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]���
+�[��]��[���]����+�[���]��[���]���-��
��=�+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]���
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]���
+�[��]��[���]����+�[���]��[���]���-��
��=���-�������+���+��-��
���=����-���������+���+���-��
��=���-�������+��+���-��
��=���+����+���-���������-��
�=(���-�)���-���(�����+�����)
+�(����+������)�
��=(��-�)����-��(�����+�����)
+�(�����+�����)�
�=(���-�)���-���(�����+�����)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
87
(558)
+��(�����+�������)�
���-���(���)�(+�)�(-�)�((-�)����-�+)
�(��(-�) �����+�� �-���-�)�((-�)����+�+)�
(-�) ��
□
From (30) we consider the next four cases :
���������� ����
�����������������������
��������������������� ��������
�����������������������
�����������������������
For the above cases, we have the following :
Lemma 11. Let ��������������������������������
������ . Then, Case
A�3�1 does not satisfy a type II matrix. Cases A�3�2, A�3�3, A�3�4 are re-
duced to the following, respectively :
(1) ��������������
������������
���
��������
������
������ �
(2) ����������
����������
�������
�������
��������� ������
������� �������
(3) �����������������������
��������
��������
������� �
�������������������-�=��
�������=���<��->��[�]>�
����������(���)�(��- )�(��-�)�(��� �-�!�+�)
�(-�) ��
神戸学院法学 第42巻第2号
88
(559)
��������������� ���������������������
�������������(�-�)����-�+�=��
�������=���<��->��[-(�-�)�(�-�)]>
��!�=["���"���"���"��������������]
#��[�$���������������!]
%��=[��������������������]
%�����=[�$����������%�]
����&%����'
%����
��
[
-��
(�-�)�(�-�)�
(�-�)�(�-�)�
(-�+�)�(�-�)�
(-�+�)�(�-�)�
(-�(�-���+��)�(�(�-���+�)
]
��
����=-����=��=(�-�)�(�-�)����=���=(-�+�)�(�-�)�
�����=(-�(�-���+��)�(�(�-���+�)�
��������������������(�-�������+�����+)��(�-����
-�=��
�������=���<��->��[-(���)�()��(�-����-�)�
(�(�-���+�)]>
��!�=["���"���"���"��������������]
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
89
(560)
����[��������� ������]�
��� =[�����������������]�
��� =[������ ������]�
����������
����
��
[
(���-���-�)�(�-�)�
(-�������+�-�)�(�-�)�
(-�������+�-�)�(�-�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
�
]
��
����=(���-���-�)�(�-�)���=�=(-�������+�-�)�
(�-�)�
�����=��=(-�������+���+�)�(���-���+�)���=��
����������� �����-���+�+�=�
����� = !"<#�->$�[-(�+�)�(�-�)]>�
����[���������� ������]�
��� =[�����������������]�
���� =[������� ������]�
����������%�
�����
��
[
神戸学院法学 第42巻第2号
90
(561)
��
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-���+���+�)�(���-���+�)
]
��
���=���==��=�=(-�-�)�(�-�)��
=(-���+���+�)�(���-���+�)�
□
3.2 CaseB: �������������������������������
In this subsection, we assume that ������������������������
���.
Then, we have the following :
Lemma 12. Let ������������������������
���. Then we have the fol-
lowing :
������������������������������������� ����
� ������<����>�=��������������(���)�
��=-(����+����-�+���+��+���)�(�-�)�
��=-����(�+�)�(�-�)�(��+�)-����(�-�)����
-���(�-�)�(�+�)�
��=�+(��)����-(��)��-(��)����+(��)���
�=�+(��)�����-(��)���-(��)����+(��)���
���=�+�[���]��+�[��]��+�[�� ]��+�[���]��
+�[��]��+�[�� ]�+�[���]��[��]���
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
91
(562)
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �+��� �+��� �-�����������-�
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
�����������������������
���-�����-(���)�(�+�)�((���+�)����+(�+�)����
+���-�)�
((�-�)����+(�-�)����-�+�)�((�+�)����+(���+�)����
+���-�)�(�-�) �
□
From (31) we have the next cases :
�������������������������������
��������������������������� ���
�����������������������������
���������������
神戸学院法学 第42巻第2号
92
(563)
3.2.1 Case B�1 : �������������������������.
Let �������������������
���. Then we have the following :
Lemma 13.
Let ������������������������
���������
��������������
���. Then
we have the following :
������������������������������������� ����
��������������� (���+�)����+(�+�)����+���-�=�
��<���> =��������������(�)�
��� =-(�������+���-�+���)�(�+�)�
��� =-(�����+�����-�+�����+���+�����)�(�-�)�
�� =-�� �(�+�)�(�-�)�(���+���)-�� �(�-�)!�����
-����(�-�)�(�+�)�
�� =��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
�� =��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
� =�+�[�"�]!�+�[�"�]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���
+�[�"�]���+�[�"#]���+ �[�"�]��[�"�]����
+�[�"�]��[�"#]����+�[�"�]��[�"#]����-��
� =�+�[�"�]!�+�[�"�]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���
+�[�"�]���+�[�"#]���+�[�"�]��[�"�]����
+�[�"�]��[�"#]����+�[�"�]��[�"#]����-��
� =�+�[#"�]!�+�[#"�]!�+�[#"#]!�+�[#"�]���
+�[#"�]���+�[#"#]���+�[#"�]��[#"�]����
+�[#"�]��[#"#]����+�[#"�]��[#"#]����-��
��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�
��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�
��� =���!�-���������+��!�+��!�-#�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
93
(564)
����=�����+�����+�����-���������-�
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
���-���� -(���-�+ )(���+�- )((� +�)���-�
+� )�( +�)
□
From (32) we consider the next three cases :
���������� ��������
���������� ��������
�������������������������
���������������
Lemma 14.
Let ������������������������
��������
��������������
���. Then
Case B�1�2 does not satisfy a type II matrix. Cases B�1�1, B�1�3 are reduced
to the following, respectively :
(1) ������������������������
(2) �����������������
�����������
�����
���������
�����������������������-�+ =��
��������=���<��->��[- +�]>
������������ -�( -�)�� ���( +�)��
������ �!�"���#� =��
� $�=[���%���%���%���%���%���%���]
神戸学院法学 第42巻第2号
94
(565)
��������=[������������� ]���������
��
[
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(�����-������+������-������)�(���+���+�)�
(�����-����� +�������-�������+�������)�
(���+�����+����+�)�
(�����-������+������-������)�(���+���+�)
]
��
��
��������
��=
[
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
(�����-������+������-������)�(���+���+�)�
(�����-����� +�������-�������+�������)�
(���+�����+����+�)�
(�����-������+������-������)�(���+���+�)
]�
��=����
[�������������]�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
95
(566)
��
����=[������������]�
��� ���=[������ ���������]�
��������� ����
��� ���
��
[
-�+
(���-����+��+�)�(�+)
-�+
-�+
(���-���+�)�(�+)
-�+
]
[----]�
��=��=��=��=-�=���=�
��
�������� ������+-�=��
���� ��=�� <!�->"�[�-]>�
#������ ���(�(�-�))�(��-��-)�
��"�� ����$���%��=��
�������� ����������+��-+&��=��
���� ���=�� <!�->"�[-(-+&��)�(��+�)]>�
'��([������ �����������)]�
����=[������������]�
��� ���=[������ ���������]�
神戸学院法学 第42巻第2号
96
(567)
�����������
����
��
[
-�+��
(������+)�(�+��)�
-�+��
(-�����+)�(�+��)�
��
(-�����+)�(�+��)
]
�=��=-�+����=(������+)�(�+��)���=���
=(-�����+)�(�+��)���=��
��
□
3.2.2 Case B�2 : �����������������������.
Let �����������������
���. Then we have the following :
Lemma 15.
Let ������������������������
���������
������������
���. Then
we have the following :
���������������������
����������������������
������������������� ����
�����������������(�-)���+(�-)���-�+�= �
!<��>�=!"#$�"%��#&��'(()
���=-(����-��+�-�)�(�-)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
97
(568)
����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)(�-�)
���=-���(�+�)�(�-�)�(���+���)-���(�-�)������
-���(�-�)�(�+�)
���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)����
���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)����
��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
����=�����-���������+����+����-�
����=�����-���������+����+����-�
����=�����-���������+����+����-�
����=�����+�����+�����-�����������-�
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
���-��� �-(��)�(�+�)�(�-�)��
�((���+�)�(�-�)��������-(�-�)�(���+�)�(�-�)����
-������+������+���+�)(�-�)��
□
神戸学院法学 第42巻第2号
98
(569)
From (33) we consider the next two cases :
��������������
������������������������
���������������������
���������� ����
For these, we have the following :
Lemma 16.
Let �����������������������
���������
�����������
���.
(1) �������������������������������������
(2) We set
���������������
�������������������
������������ ���
�����
����������
If ��, then there exists a type II matrices.
����������� ������
������ ����
��� �����
��� �����
��� �����
��� �����
���=(���+�)�(�-�)��������-(�-�)�(���+�)�(�-�)����
-������+������+���+��
��� �-(�� )�(�-�)����(�-�)���
��� �-(�-�)����(�-�)���
��� �(�� )�(�-�)����(�-�)���
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
99
���������������
(570)
����=[�����������������]
���
��
[
- + ��
(-��� +��)����+(��� ��-��� -��)�( -�)�
(��� -��)����+(��� ��-��� -��)�( -�)�
����
-���+( -�)�( -�)�
(-�� ��+��� +�)�( ��-�� +�)
]
��
������������������������������ ������������
����!���"����� -�=#�
����!���"�����$$=#%
����!���"����� -�=#�
�
&' =���()�$*�������
����= [-��-����������������-�]
��
����!���"�����$$=#�
���=(�� +�)�( -�)��
���=-( -�)�(�� +�)�( -�)
���=-�� �+#� ��++� +�
$$� ��������+������+��
,����=����-�������
,���� ��� ���(�� +�)�(�� --)�( -�)��
神戸学院法学 第42巻第2号
100
(571)
��������������� �� ��� ��������������
��
����=(���)�(�����-���-�+������(������-������
-� ����))�((���+�)�(�-�))!
����=-(���)�(-�����+���+�+������(������-������
-� ����))�((���+�)�(�-�))
"���"��#����$�
�����([���% �"(���)��% �"(���)])!
��$$�!
[�������&�� '�-�����&�� ']
[�����-��]
[ ������ �'�'�-��(� �'�']
[(����'��(���-��'��(��]
[���� &�'������-��&�'�����]
['���(���(�'���-���������]
[&������'� &'�-��� �'� &']
[�������'� � �-���(��('�&]
[�����'(&&&�(��-���(&&&�(�]
[�����'���&����-������' ��]
[�����' ���' ��-������' �]
[�����'�(��'�&'�-������� �']
[� ���'&�( ����-���(&�����]
[�(���&(��'��(�-���(��'��(]
[�����&�'&�&'(��-���(��&'(�]
[�'���&�&�(���(�-���(������]
[�&���&�&����&�-��� &'�� ]
[����&��'�&�(��-��� ����&�]
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
101
(572)
��
□
3.2.3 Case B�3 : �������������������������.
Let ������������������
����. Then we have the following :
Lemma 17.
Let ������������������������
���������
�������������
����. Then
we have the following :
��������������������������������������� ����
�������������� �(�+�)����+(���+�)��� + ��-�=��
��<���>�=�������������(�)�
�� �=-(�����+�����-�+ ��)�(���+�)�
�� �=-(�����+�����-�+���� + ��+�� ��)�(�-�)�
���=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+�� )-�� �(�-�)!����
-�� �(�-�)�(�+�)�
���=��+(�� )��� ��-(�� )��� -(�� )��� ��+(�� )��� �
� �=��+(�� )������-(�� )����-(�� )��� ��+(�� )��� �
���=�+�[�"�]!�+�[�" ]!�+�[�"#]!�+�[�"�]���
+�[�" ]���+�[�"#]�� +�[�"�]��[�" ]����
+�[�"�]��[�"#]��� +�[�" ]��[�"#]��� -��
���=�+�[ "�]!�+�[ " ]!�+�[ "#]!�+�[ "�]���
+�[ " ]���+�[ "#]�� +�[ "�]��[ " ]����
+�[ "�]��[ "#]��� +�[ " ]��[ "#]��� -��
� �=�+�[#"�]!�+�[#" ]!�+�[#"#]!�+�[#"�]���
+�[#" ]���+�[#"#]�� +�[#"�]��[#"]����
+�[#"�]��[#"#]��� +�[#" ]��[#"#]��� -��
神戸学院法学 第42巻第2号
102
(573)
����=�����-���������+����+����-�
���=����-�������+����+���-�
���=����-�������+����+���-�
����=�����+����+����-���������-�
����=(���-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���-���� ( +�)�(���-�)�(���+�� -�)�(( +�)����
-�� ��+�� -�)�(�� +�)��
□
From (34) we consider the next three cases :
���������� �����
��������� ��������
������������������� �����
���������������
For these, we have the following :
Lemma 18.
Let ��������������������
���������
����������
���. Then
Case B�3�2 does not satisfy a type II matrix. Cases B�3�1, B�3�3 are reduced
to the following, respectively :
(1) ��������������
���������������
�����
����
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
103
(574)
(2) ��������������������������
���������������� �� �-�=��
���� �=���<� ->��[�]>�
���=[� ��� ����������� ��� �����]�
����[ ���� ���!���]�
"�!�=[� �������� ��� �����]�
"�!�� �=[ ���� �!�"�!]�
#$!�%&"�!�� '�
"�!�� �
�(
[
-�+��
-�+��
( ��(�)�+ )�(�+ ��)�
��
(-*��(�+ )�(�+ ��)�
(-*��(�+ )�(�+ ��)
]
(�
��� =��=-�+����=( ��(�)�+ )�(�+ ��)�� �=��� �=
���=(-*��(�+ )�(�+ ��)�
������������� �+�(�-�=��
������=���<� ->��[-�(�+�]>�
� � ������(�((�- ))((�)�-�(�-�)�
��+�!!�,��%$��!,%!���
神戸学院法学 第42巻第2号
104
(575)
��������������(+)�� -��+��-�=��
��������=���<� ->��[(��-��+�)�(+)]>�
���=[� �� ��������� �� ����]�
��������=[���������������]���������
��
[
(-���+ ����-����)�(�+��+�)�
(-���+ ����-����)�(�+��+�)�
(-���+ ����-����)�(�+��+�)�
(-���+ ����-����)�(�+��+�)�
(�� -����+ �����- ����+ ���)�
(��+���+ �+ )�
(���-����+�����-�����)�(�+��+�)�
(���-����+�����-�����)�(�+��+�)
]
(-���+ ����-����)�(�+��+�)
=-����(-�)��(+)��
��
!���=[� ������� �� ����]�
!������=[�������������!��]�
"#��$%!������
!������
��
[
-+�
-+�
(��-���+�+�)�(+)�
(��-��+�)�(+)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
105
(576)
-�+��
-�+�
]
[-��-������-��-�]�
��=��=���=���=-����=���=��
□
3.3 Case C : ��������������������������������.
In this subsection, we assume that
�������������������������������
������ . Then, we have the following :
Lemma 19. Let �������������������������������
������ . We set
����������������
������������������������������������������
�����������
������������������������
����������������������
Then we set
�����
���������
If ���, then there infinite type II matrices for ���.
�� ��������(�-�)��(���+���+���)+�(���-��
-�)=��
��<�������>�=��������������(���)�
����=-(������-�����+���- �+����+������
+���- -�����)(���-��+�)�
神戸学院法学 第42巻第2号
106
(577)
���=-����(�+�)�(�-�)�(���+��)-����(�-�)����
-���(�-�)�(�+�)�
���=��+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����
��=��+(��)������-(��)����-(��)�����+(��)����
���=�+ [���]�+ [��]�+ [���]�+ [���]���
+ [��]���+ [���]��+ [���]� [��]����
+ [���]� [���]���+ [��]� [���]���-��
���=�+ [��]�+ [�]�+ [��]�+ [��]���
+ [�]���+ [��]��+ [��]� [�]����
+ [��]� [��]���+ [�]� [��]���-��
��=�+ [���]�+ [��]�+ [���]�+ [���]���
+ [��]���+ [���]��+ [���]� [��]����
+ [���]� [���]���+ [��]� [���]���-��
����=����-���������+���+���-��
���=���-�������+���+��-��
���=���-�������+���+��-��
����=����+���+���-���������-��
����=(��-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)�
���=(���-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)�
���=(���-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)�
�������������������������
���=�+��������+�������+���������+��������
+������+�����-��������-�����+����
-������-�����-����+����-�������
-��������+ ������+ �������+��������
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
107
(578)
-�����������+������������-���������
+����������-�����������+������������
-���������+���������+���������+��������������
-�����������-�������������+������������
+������������-��������������+���������������
-������������+���������������-������������
-��������������+������������
���=(�-�)��(�+���)
���=(�-�)���(�+���)�(�������-�������+���-���
+�����-�)
���=��(�-�)�������+(��(���-���-�))�(�-�)������
+(�+�)�(�-)�(�����-���-)
������������+������+��
��������
��������
��������
��������
���-����(���)�(�+�)�(�-)����(�-�)�
������������(�-�)��
�����-�������(�-�)��
����=[��������������������]
���
��
[
神戸学院法学 第42巻第2号
108
(579)
(-�����+���)����+(-�����+���)����-�����+����
(�����-���)����+(������-�����-��)�(�-�)�
(�����-���)����+(������-�����-��)�(�-�)�
����
����
-���-���+(-����+���+�)�(��-���+�)
]
��
� ���=���-��������
� ����(�-�)��(���-�)�(�+���)�((�-�)�����+��
+���-��)
�((�-�)�����+��-��-�)�
��� ���-�<���<��(���-�)�(�+���)<��
����������=(�-�)�����+��+���-���
���=(�-�)�����+��-��-��
������� � ��!��� � ���"#�������$#��$��% $�����
��������!�&
���=����=-����=-���
���=����='���=-�'�
���=����=����=-��
�������� �$ ���$�!���
□
4 Appendix
��("��� � ��� ������)*"�+,�-�)�$-)��$ �����
���)�$*��%�*��%-��#�" ������ �� ������)������$��
�"������
�����" �#����%)��������.*)��/���%��� ��=.*)��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
109
(580)
�����=��
�<�>=����� ������(���� ����())�
�=(�-�)���
�=��
�=-(�+�+�)�
�=-(���+���+���)�
�=���+��
�������
�=������(������[
��������
��������
��������
�������
])�
������
��
[ � �������-��� �������-��� �������-���]
[ � -�����-��� �����-��� �����-���]
[ � �����-��� -�����-��� �����-���]
[ � �����-��� �����-��� -�����-���]
��
������
�!<"��"��"��"���"���"��>=� �#� $������%(��!)�
��=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]�"�
神戸学院法学 第42巻第2号
110
(581)
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
���=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �+��� �+��� �-�����������-�
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
�����=[������������������������������������]
����
��
[
(-�����-���)���+(�����-���)���+(�����-���)���
+(-����� �+�����+���)����+(-����� �+�����
+���)����+(����� �-�����+���)����-����� �
+����
(�����-���)���+(-�����-���)���+(�����-���)���
+(-����� �+�����+���)����+(����� �-�����
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
111
(582)
+���)����+(-������+�����+���)����-������
+���
(�����-���)���+(�����-���)���+(-�����-���)���
+(������-�����+���)����+(-������+�����
+���)����+(-������+�����+���)����
-������+���
���-���������+���+����-�
���-���������+���+����-�
���-���������+���+����-�
����-�����������+����+����-�
�������-���������-���������+�������-����
+����������
-���������+�������+�������-���������
+���������-�����
�������-���������-���������+�������+���������
-����
]
��
��-����-(���)���(�����-�����+����-����-���+���)
��-����-(���)���(�����-�����+����-����-���+���)
��������-������������=��+(���)������-(���)����
-(���)������+(���)����
��������-������������=��+(���)������-(���)����
-(���)������+(���)����
���������������������
�����=��+(���)������-(���)����-(���)������
+(���)����
神戸学院法学 第42巻第2号
112
(583)
�����=��+(���)������-(���)����-(���)������
+(���)����
�<��������������>�= ��� ��������(���)
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
���=� �<�->��[��������������������]>
����=�����
����=�����
����=�����
��������
��������
�����-(���)��������-(���)������-(���)��������
+(���)������-(���)��������-(���)������-(���)����
+���-��+(���)����+(���)����-(���)����
���� �������� �� ��!���"�
�����=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������
-����(�-�)�(�+�)
��#�����������!���"���=��=��=$%
��& �� "���!����
�����=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������
-����(�-�)�(�+�)
�<�����������>�= ��� ��������(���)
���� � ���� �'�� �(���('��)������)��� ��� ������
������� ��!���� �*%
���=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
113
(584)
-����(�-�)�(�+�)�
��=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
��=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
�=�+�[���] �+�[���] �+�[���] �+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
���=��� �-���������+�� �+�� �-��
���=��� �-���������+�� �+�� �-��
���=��� �-���������+�� �+�� �-��
���=��� �+��� �+��� �-�����������-��
���=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)�
���=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)�
���=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)�
���-����-(�����(�+�))�(���-���)�((�+�)����
+(�+�)����+(�-�)����+���-�)
�((�-�) ��(���+���+���)+��(� �-���-�))�
�������������������������������
�� ��!���-���="�
神戸学院法学 第42巻第2号
114
(585)
��������(�+)��+(�+)�� +(�-�)� + �-�=��
��������(�-�)�(��+�� +� )+ (��-�-)=��
����������-�� =��
�<���� >�=��������������(��)�
�� �=���
���=-���(�+)(�-�)(��+�� )-���(�-�)��
-�� (�-)(�+)�
��=��+(�� )�� �-(�� )�� -(�� )� �+(�� )� �
� �=��+(�� )���-(�� )��-(�� )� �+(�� )� �
���=�+�[�]�+�[� ]�+�[� ]�+�[�]��
+�[� ]�+�[� ]� + �[�]�[� ]��
+�[�]�[� ]�� +�[� ]�[� ]� -��
��=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ � ]�+�[ �]��
+�[ � ]�+�[ � ]� + �[ �]�[ � ]��
+�[ �]�[ � ]�� +�[ � ]�[ � ]� -��
� �=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ � ]�+�[ �]��
+�[ � ]�+�[ � ]� +�[ �]�[ � ]��
+�[ �]�[ � ]�� +�[ � ]�[ � ]� -��
���=���-�����+���+��- �
�� �=�� �-��� �� +���+� �- �
� �=� �-�� � +��+� �- �
� �=���+�� �+� �-���� � - �
!��=(� �- )��-� (��� +��� )
+(���+�� � )�
!� �=(��- )�� -�(��� +� ��)
+(��� +��� )�
! �=(���- )� -��(��� +� ��)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
115
(586)
+��(�����+�������)�
����� ������������
���-����-(�����(�+�))�(���-���)�((���+�)����
+(�+�)����+���-�)
�(��(�-�)������+(�-�)������+�����-���-�)�
���������������� ���!���� ���
����" �#������-���=$�
����" �#���(���+�)����+(�+�)����+���-�=$�
����" �#�����(�-�)������+(�-�)������+�����-���
-�=$%
����" �#������-���=$�
&�<���>�=&��'���� �(���(�)�
����=����
����=����
���=-��)�(�+�)�(�-�)�(���+���)-��)�(�-�)������
-����(�-�)�(�+�)�
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
��=�+&[���]��+&[���]��+&[��*]��+&[���]���
+&[���]���+&[��*]���+ &[���]�&[���]����
+&[���]�&[��*]����+&[���]�&[��*]����-��
��=�+&[���]��+&[���]��+&[��*]��+&[���]���
+&[���]���+&[��*]���+ &[���]�&[���]����
+&[���]�&[��*]����+&[���]�&[��*]����-��
��=�+&[*��]��+&[*��]��+&[*�*]��+&[*��]���
+&[*��]���+&[*�*]���+&[*��]�&[*��]����
神戸学院法学 第42巻第2号
116
(587)
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �-���������+�� �+�� �-�
����=��� �+��� �+��� �-�����������-�
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(�� �-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
���-�����-(����(�-�))�(�+�)�(���+�)�(���-�)�((� �
+�)����-�+� �)
��������������������������������
�������� ��������+�=!�
�������� ��������-�=!�
�������� �����(� �+�)����-�+� �=!"
�������� ��������+�=!�
���� ���=���<��->��[-�]>
���#���� �����
��$�����������������"
�������� ��������-�=!�
���� ���=���<��->��[�]>
��%�=[���������������������������]
&��[�#���� ����!�����%]
��#���� ����-� �+�
��#���� ����-� �+�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
117
(588)
����������-��+
���������
����������
����������
���=�=��=-��+��=��=��=�
�������������(��+)��-�+��=��
�������=���<�->��[-(-�+��)�(��+)]>
����������-�������(���+�����+���+�)
��������� �!"#�$� "��!�
�����������(��+)��+(�+)���+���-�=��
�<�>�=��%&!����%'�!�(�)
���=�
���=-(���+����-�+�)�(�+)
��=-�(�(�+)�(�-)�(�+��)-�(�(�-)����
-���(�-)�(�+)
��=�+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)���
���=�+(��)����-(��)��-(��)�����+(��)���
��=+�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��
+�[��]��+�[��]���+ �[�]��[��]��
+�[�]��[��]���+�[��]��[��]���-!
��=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+ �[��]��[���]��
+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-!
���=+�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��
+�[��]��[���]���+�[���]��[���]���-!
��=��-�����+��+��-�
神戸学院法学 第42巻第2号
118
(589)
����=�����-���������+����+����-
����=�����-���������+����+����-
���=�����+�����+�����-�����������-
����=(����-)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
����=(����-)����-���(������+������)
+��(�����+�������)
���-��� -((�� +�)����+�� -�)�(���+�- )�(���-�
+ )�( +�)
��������������(�� +�)����+�� -�=��
�����������������+�- =��
�����������������-�+ =��
��������������(�� +�)����+�� -�=��
��������=���<��->��[-(�� -�)�(�+�� )]>
� ��=[��������������������������]
����[���������� ��� �� �]
����������� (���� ��+�)�( +���)
����������� - +�
����������� - +�
������������ (-���� +�)�( +���)
������������ (-���� +�)�( +���)
������������ �
����=(���� ��+�)�( +���)���=��=- +�����=���
=(-���� +�)�( +���)����=�
�����������������+�- =��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
119
(590)
��������=�<��-> �[-�+�]>�
�������������(��(�-�))�(���-���-�)�
�������������(��(�-�))�(���-���-�)�
�������������(��(�-�))�(���-���-�)�
�������������(��(�-�))�(���-���-�)�
�������������(��(�-�))�(-�+�)�(���-���-�)�
�������������(��(�-�))�(-�+�)�(���-���-�)�
�������������-����(�-�)�(-�+�)�(���-���-�)�
����������������-���-��������
�������������� ��-�+�=!�
��������=�<��-> �[-�+�]>�
�������������-������(�-�)���(�+�)���
�� �����"���#��=��
���������=�<��-> �[-�]>�
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
��������=[����������������$]���������
��
[
(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&
(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&
(���-%����+���+����+�%)�(���+���+�)&
(���-'��+�%)�(���+���+�)&
神戸学院法学 第42巻第2号
120
(591)
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(����-����-������+����+���)�
(���+ ����+����+)
]
��
����������������������
��
��=
[
(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�
(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�
(���- ����+���+����+� )�(���+���+�)�
(���-��+� )�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(-�����+������-����-��)�(���+���+�)�
(����-����-������+����+���)�
(���+ ����+����+)
]
��=� �
��
!���=["��"��"��"���"���"��]
!������=[�#$�����������!��] !�����
��
[
����(�+�)�
-�+��
-�+��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
121
(592)
-��
-��
(�+�)�(�+�)
]
��
����=����=-���=-�����=-����=-����=��
����� ������(�-�)������+(�-�)�����+����-���
-�=�
��<���>=�������� �����(�)�
��=����
��=-(���������-�������+�����+����-���-�)�
(���-���+�)�
��=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+��)-�� �(�-�)�����
-���(�-�)�(�+�)�
��=��+(��)�����-(��)���-(��)�����+(��)����
�=��+(��)������-(��)����-(��)�����+(��)����
��=�+�[���]��+�[��]��+�[���]��+�[���]���
+�[��]���+�[���]��+�[���]��[��]����
+�[���]��[���]���+�[��]��[���]���-��
��=�+�[��]��+�[�]��+�[��]��+�[��]���
+�[�]���+�[��]��+�[��]��[�]����
+�[��]��[��]���+�[�]��[��]���-��
�=�+�[���]��+�[��]��+�[���]��+�[���]���
+�[��]���+�[���]��+�[���]��[��]����
+�[���]��[���]���+�[��]��[���]���-��
���=�����-���������+����+����-��
��=����-�������+����+���-��
神戸学院法学 第42巻第2号
122
(593)
����=�����-���������+����+����-�
����=����+����+�����-���������-�
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
����=(���-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)
��-���� (��)�( +�)�( -�)�(( -)���-�+ )�(��(
-)�����+�� ��-�� -�)
�(( -)���+�+ )�( -)��
���������������������������������������
���� ���!���� -�=��
���� ���!�����( -)���-�+ =��
���� ���!�������( -)�����+�� ��-�� -�=��
���� ���!�����( -)���+�+ =�"
���� ���!���� -�=��
���!��=���<#->��[�]>
��$ ���!�� (��)�(�� -%)�(�� -�)�(�� ��-�&�
+�)�( -)��
��'���� ���(�����)����������������������"
���� ���!�����( -)���-�+ =��
���!���=���<#->��[-( -�)�( -)]>
� *�=[�����������������������]
+���[�$ ���!��� ������ *]
,���=[�����������������]
,��!���=[�$ ���!������,��]
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
123
(594)
�����������
����
��
[
-��
(�-�)�(�-�)�
(�-�)�(�-�)�
(-�+�)�(�-�)�
(-�+�)�(�-�)�
(-���-���+��)�(���-���+�)
]
��
����=-����=�=(�-�)�(�-�)����=��=(-�+�)�(�-�)�
��=(-���-���+��)�(���-���+�)�
��������������������-�������+�����+�����-����
-�=��
�����=���< �->!�[-(���)�(�����-����-�)�
(���-���+�)]>
��"�=[#���#��#��#������������]
$��%[�&�������������"]
����=[�����������������]
����=[�&�����������]
����������
���
��
[
(���-���-�)�(�-�)�
(-�������+�-�)�(�-�)�
神戸学院法学 第42巻第2号
124
(595)
(-�������+�-�)�(�-�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
�
]
��
���=(���-���-�)�(�-�)��==(-�������+�-�)�
(�-�)���=�=(-�������+���+�)�
(���-���+�)��=��
����� �����������-��+�+�=��
� �����=���<��->��[-(�+�)�(�-�)]>�
� ��[��� ��������������]�
��=[�����������]�
����=[��� �������� �]�
!"��#$ ���%�
����
��
[
��
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-���+&��+�)�(���-���+�)
]
��
���=���==��=�=(-�-�)�(�-�)�
�=(-���+&��+�)�(���-���+�)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
125
(596)
��������(�+)��+(�+)�� +(�-�)� + �-�=��
�<����� >�=��������������(��)�
� �=-(���+��-�+�� + �+�� �)�(�-�)�
���=-���(�+)(�-�)(��+�� )-���(�-�)��
-�� (�-)(�+)�
��=��+(�� )�� �-(�� )�� -(�� )� �+(�� )� �
� �=��+(�� )���-(�� )��-(�� )� �+(�� )� �
���=�+�[�]�+�[� ]�+�[��]�+�[�]��
+�[� ]�+�[��]� + �[�]�[� ]��
+�[�]�[��]�� +�[� ]�[��]� -��
��=�+�[ �]�+�[ � ]�+�[ ��]�+�[ �]��
+�[ � ]�+�[ ��]� +�[ �]�[ � ]��
+�[ �]�[ ��]�� +�[ � ]�[ ��]� -��
� �=�+�[��]�+�[�� ]�+�[���]�+�[��]��
+�[�� ]�+�[���]� +�[��]�[�� ]��
+�[��]�[���]�� +�[�� ]�[���]� -��
���=���-�����+���+��-��
�� �=�� �-��� �� +���+� �-��
� �=� �-�� � +��+� �-��
���=���+�� �+� �-���� � -��
���=(� �-�)��-� (��� +��� )
+(���+�� � )�
�� �=(��-�)�� -�(��� +� ��)
+(��� +��� )�
� �=(���-�)� -��(��� +� ��)
+(�� +���� )�
�� ���!���"�#��$����!����
��-� ��-(���)(�+)((�+�)��+(�+)��
神戸学院法学 第42巻第2号
126
(597)
+���-�)�
((�-�)����+(�-�)����-�+�)�((�+�)����+(���+�)����
+���-�)(�-�)��
� ��������������� ��������� ��������
��������(���+�)����+(�+�)����+���-�=��
��������(�-�)����+(�-�)����-�+�=��
��������(�+�)����+(���+�)����+���-�=�
��������(���+�)����+(�+�)����+���-�=��
!�<���>�=!�"#�����"$��%(�)�
����=-(�������+���-�+���)(�+�)�
����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)(�-�)�
���=-�&�(�+�)�(�-�)�(���+���)-�&�(�-�)�����
-���(�-�)�(�+�)�
���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)�����
���=��+(��)������-(��)����-(��)������+(��)�����
���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���
+![���]���+![���]���+ ![���]�![���]����
+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��
���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���
+![���]���+![���]���+ ![���]�![���]����
+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��
���=�+![���]�+![���]�+![���]�+![���]���
+![���]���+![���]���+![���]�![���]����
+![���]�![���]����+![���]�![���]����-��
%���=����-���������+���+���-��
%���=����-���������+���+���-��
%���=����-���������+���+���-��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
127
(598)
����=�����+�����+�����-���������-�
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
���-���� -(���-�+ )(���+�- )((� +�)���-�
+� )�( +�)
��������������������������������������
�����������������-�+ =�
�����������������+�- =�
��������������(� +�)���-�+� =�!
�����������������-�+ =��
��������=���<"�->��[- +�]>
���#�������� -�( -�)�� ���( +�)��
��������������$� =�!
� %�=[��� ��� ��� ��� ��� ��� ���]
��������=[�#������������ %]�������
�
[
(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)
(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)
(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)
(-� ��+�& ��-�� ��)�( ��+� +�)
(� �&-�� ��+&� ��-&� ��)�( ��+� +�)
(� �'-�� �%+��� �&-��� ��+��' ��)�
神戸学院法学 第42巻第2号
128
(599)
(���+�����+����+�)
(�����-�����+������-������) (���+���+�)
]
�
�
�������
��=
[
(-�����+������-������) (���+���+�)
(-�����+������-������) (���+���+�)
(-�����+������-������) (���+���+�)
(-�����+������-������) (���+���+�)
(�����-�����+������-������) (���+���+�)
(�����-������+�����-�������+�������)
(���+�����+����+�)
(�����-�����+������-������) (���+���+�)
]�
��=����
[]�
�
����=[���������������]�
�������=[����������������]�
� ��!"������#�
�������
�
[
-�+�
(���-�����+���+�) (�+�)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
129
(600)
-�+��
-�+��
(�����-���+�)�(�+�)�
-�+�
]
[-����-��-����-�]
�=�=��=��=-���=��=�
��
����������������+�-�=��
��������=���<��->��[�-�]>
�������������(��(�-�))�(���-���-�)
�������������� ��=�
��������������������+��-�+!��=��
��������=���<��->��[-(-�+!��)�(���+�)]>
"�#$[���������������#��%]
&���=[��������������]
&������=[������������#&��]
'��#�(&�����)
&�����
��
[
-�+��
(�������+�)�(�+���)�
-�+��
(-!����+�)�(�+���)�
��
(-!����+�)�(�+���)
神戸学院法学 第42巻第2号
130
(601)
]
��=��=-�+����=(������+�)�(�+���)����=���
=(-����+�)�(�+���)����=��
��
����� ������(�-�)����+(�-�)����-�+�=��
��<���>�=�������� �����(�)�
����=-(�����-���+�-�)�(�-�)�
����=-(�����+�����-�+�����+���+�����)�(�-�)�
���=-�� �(�+�)�(�-�)�(���+���)-�� �(�-�)�����
-����(�-�)�(�+�)�
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)�����
���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
���=�+�[���]�+�[���]�+�[���]�+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-��
����=����-���������+���+���-��
����=����-���������+���+���-��
����=����-���������+���+���-��
����=����+����+����-�����������-��
!���=(���-�)����-���(������+������)
+��(�����+�������)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
131
(602)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
����=(����-�)���-��(�����+�����)
+�(����+������)
���-���� -(���)( +�)( -�)��((� +�)(
-�)�������-( -�)(� +�)( -�)���
-�� ��+�� ��+� +�)�( -�)��
��������������������������������������
�������� ����� -�=�!
�������� �����(� +�)( -�)�������
-( -�)(� +�)( -�)���-�� ��+�� ��
+� +�=�"
#����$������%�&
����'�������%�
���� ���
���� ���
���� ���
���� ���
##�=(� +�)( -�)�������-( -�)(� +�)( -�)���
-�� ��+�� ��+� +�
���� -(���)( -�)##�( -�)��
���� -( -�)##�( -�)��
���� (���)( -�)##�( -�)��
(���=[��!��!��!���!���!���]
(��
�
神戸学院法学 第42巻第2号
132
(603)
[
-�+��
(-�����+���)����+(������-����-���)�(�-�)�
(�����-���)����+(������-�����-���)�(�-�)�
����
-���+(�-�)�(�-�)�
(-����+����+�)�(��-���+�)
]
��
�� ����������������������������������������
�������� ������-�=!�
�������� �����""=!#
�������� ������-�=!�
��
$%�=���&'�"(�������
)���= [-��-������������-����-�]*
��
�������� �����""=!�
���=(���+�)�(�-�)�*
���=-(�-�)�(���+�)�(�-�)*
���=-�����+�!���++��+�*
""���������+������+��*
,����=���-�������*
,����������(���+�)�(���--)�(�-�)�*
��.����,���/�!�""�(��&���������(0�����#
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
133
(604)
��
����=(���)�(�����-��-+���� �(�����-�����
-������))�((���+�)�(�-�))�
����=-(���)�(-�����+��++���� �(�����-�����
-������))�((���+�)�(�-�))
�� �� ���������
� ���([�������(���)������(���)])�
������
[������������-��������]
[�������������-�����������]
[�������������-��� ������]
[ ���� ���-���� ��]
[���������-�������]
[���� � ����-����������]
[�������������-�����������]
[�������������-���� � ��]
[������� ��� ��-���� ��� �]
[������������-���������]
[��������������-����������]
[����� ������-���������]
[�������� ����-���� �����]
[� ����� ��� �-���� ��� ]
[���������� �-���� �� ]
[�������� ��� �-���� ����]
[��������������-����������]
[�������� ��-������]
��
神戸学院法学 第42巻第2号
134
(605)
������������(+)�� +(�+ )�� �+��-�=��
� <� >�=��������������(�)�
� ��=-(� �+�� -�+��)�(�+ )�
���=-(� �+�� -�+�� �+��+� ��)�(- )�
� �=- ���(+)�(- )�(� +� �)- ���(- )����
- ���(-)�(+)�
��=� +( ��)�� ��-( ��)�� �-( ��)����+( ��)����
���=� +( ��)�� �-( ��)�� -( ��)����+( ��)����
� �= +�[�]�+�[��]�+�[��]�+�[�]��
+�[��]��+�[��]���+ �[�]��[��]��
+�[�]��[��]�� �+�[��]��[��]���-��
��= +�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+ �[��]��[���]��
+�[��]��[���]�� �+�[���]��[���]���-��
���= +�[��]�+�[���]�+�[���]�+�[��]��
+�[���]��+�[���]���+�[��]��[���]��
+�[��]��[���]�� �+�[���]��[���]���-��
� �=� �-� ���� +� �+��-��
� ��=� ��-� ����� �+� �+���-��
���=���-�������+��+���-��
���=� �+� ��+���-� �� ����-��
� �=(���-�)�� -���(� ���+��� �)
+�(� ��+� ����)�
� ��=(��-�)�� �-��(� ���+���� )
+�(� ���+� ���)�
���=(� �-�)���-� �(��� �+���� )
+�(����+� �� �)�
� -���(+)�(� -)�(� +�-�)�((+)��
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
135
(606)
-�����+���-�)�(���+�)��
���� ��������������������������������
�����������������-�=��
�����������������+���-�=��
��������������(�+�)����-�����+���-�=�
�����������������-�=��
��������=�� <!�->�[�]>
��"�=[#���#���#���#��������������]
$���[�%����������������"]
&���=[��������������������]
&������=[�%�����������&��]
'����(&�����)
&�����
��
[
-�+��
-�+��
(�������+�)�(�+���)�
��
(-*����+�)�(�+���)�
(-*����+�)�(�+���)
]
��
����=��=-�+����=(�������+�)�(�+���)����=��
���=���=(-*����+�)�(�+���)
�����������������+���-�=��
神戸学院法学 第42巻第2号
136
(607)
��������=�<� ->��[-���+�]>�
� �����������(��(�- ))�(���-���-�)�
��������������������
��������������(�+�)�� �-�����+ ��-�=!�
��������=�<� ->��[(�����- ��+�)�(�+�)]>�
��"�=[� �#� �#���#���# �# �#��]�
��������=[���������������"]���������
��
[
(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#
(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#
(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#
(-����$+ ����-������)�(���+���+�)#
(����%-�����"+ !!��� - $����$+ �%����)�
(���+ ����+ ���+%)#
(���� -�!���$+ �����- �����)�(���+���+�)#
(���� -�!���$+ �����- �����)�(���+���+�)
]
(-����$+ ����-������)�(���+���+�)=
-������(�-�)���(�+�)���
��
&���=[� #��#��#� �#� �#���]�
&������=[�������������&��]�
'����(&�����)�
&������
��
[
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
137
(608)
-�+��
-�+��
(���-�����+���+�)�(�+�)�
(�����-��+�)�(�+�)�
-�+��
-�+�
]
[-��-������-��-�]
��=��=���=���=-����=���=�
��
��������(�-�)���(���+���+���)+��(���-���-�)=��
��<�������>�=��������������(���)
����=-(�������-�������+���-��+�����+�������
+���--�������)�(���-���+�)
���=-����(�+�)�(�-�)�(���+���)-����(�-�)������
-����(�-�)�(�+�)
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
���=��+(���)������-(���)����-(���)������+(���)����
���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
���=�+�[���]��+�[���]��+�[���]��+�[���]���
+�[���]���+�[���]���+�[���]��[���]����
+�[���]��[���]����+�[���]��[���]����-�
神戸学院法学 第42巻第2号
138
(609)
����=�����-���������+����+����-�
���=����-�������+����+���-�
���=����-�������+����+���-�
����=�����+����+����-���������-�
����=(���-�)����-��(�����+�����)
+��(�����+�����)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
���=(����-�)���-���(�����+�����)
+��(����+������)
�� ����������������������
���=�+���������+�������+����������+��������
+�������+������-��������-������+����
-������-�����-�����+�����-��������
-���������+��������+���������+����������
-���������+�����������-��������
+�����������-����������+������������
-���������+��������+��������
+�������������-����������-������������
+������������+������������-�������������
+��������������-������������+��������������
-������������-�������������+������������
���=(�-�)���(�+���)
���=(�-�)���(�+���)�(�������-�������+���-���
+����-�)
���=��(�-�)��������+(��(���-���-�))�(�-�)������
+(�+�)�(�-�)�(�����-����-�)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
139
(610)
����������+������+��
�������
������
�������
������
��-����(���)�(�+)�(�-�)����(�-�)�
�����������(�-�)
����-������(�-�)
����=[�����������������]
���
��
[
(-�����+���)���+(-�����+���)����-����+���
(�����-���)����+(�����-����-���)�(�-�)�
(�����-���)���+(�����-����-���)�(�-�)�
���
����
-��-���+(-���+���+�)�(�-��+�)
]
��
�����=��-�������
������(�-�)��(��-)�(+��)�((�-�)���+�
+���-��)�((�-�)���+�-���-)
�������-<��<�(��-)�(+��)<��
神戸学院法学 第42巻第2号
140
(611)
����������=(-�)�� ��+�+��-���
���=(-�)�� ��+�-��-��
������������������������������������� �������
�����������!
��=����=-����=-���
��="���=#���=-�#�
��=����=�����=-��$
������������������"$
> ���%&'��'��(�')��*+�%�'��%�(����"���, ��-���������
.�� %�������/���'���'��)�� �����"�����#����-'���'�$
'��'�$���0�
1��%��� &'��'��(�')��*+�%�'��%�(����"���, ��-��������
�.�� %�������/���'���'��)�� �����"�����#����-'���'�$
'��'�$���0
�� �
[ � ��"��-��" ��"��-��"��"��-��"]
[ � -��"�-��" ��"�-��" ��"�-��"]
[ � ��"�-��" -��"�-��" ��"�-��"]
[ � ��"�-��" ��"�-��" -��"�-��"]
�
[
(-��"�-��")� �+(��"�-��")� �+(��"�-��")� "
+(-��2��+��2�+��2)� ����2�+��2)� �"
+(��2��-��2�+��2)� �"-��"��+��"�
(��"�-��")� �+(-��"�-��")� �+(��"�-��")� "
+(-��2��+��2�+��2)� ����2�+��2)� �"
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
141
(612)
+(-�������+�����+���)���-������+��
(����-��)���+(����-��)���+(-����-��)��
+(�������-�����+���)����
�����+���)���+(-�������+�����+���)���
-������+��
����-���������+����+�����-�
����-�������+���+����-�
����-�������+���+����-�
�����-���������+����+����-�
�������-�������-�������+�������-����
+��������
-��������+������+�������-��������
+��������-����
�������-��������-��������+������+��������
-���
]
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
� ��
神戸学院法学 第42巻第2号
142
(613)
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
(���-���+���+���+��) (���+��+�)
(���-���+���+���+��) (���+��+�)
(���-���+���+���+��) (���+��+�)
(���-��+��) (���+��+�)
(-��+�����-��-�) (���+��+�)
(-��+�����-��-�) (���+��+�)
(����-����-����+�����+���)
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
143
(614)
(���+�����+����+�)
[
(��-�����+���+���+��)(���+��+)�
(��-�����+���+���+��)(���+��+)�
(��-�����+���+���+��)(���+��+)�
(���-���+��)(���+��+)�
(-�����+������-����-��)(���+��+)�
(-�����+������-����-��)(���+��+)�
(�����-����-� ����+������+����)(���+�����
+����+�)
]
[
���(�+�)�
-�+��
-�+��
-��
-��
(�+�)(�+�)
]
����
����
����
������
[
-��
(�-)(�-�)�
(�-)(�-�)�
(-�+)(�-�)�
神戸学院法学 第42巻第2号
144
(615)
(-�+�)�(�-�)�
(-���-���+��)�(���-���+�)
]
��
�����
[
(���-���-�)�(�-�)�
(-�������+�-�)�(�-�)�
(-�������+�-�)�(�-�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
(-�������+���+�)�(���-���+�)�
�
]
��
�����
[
��
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-�-�)�(�-�)�
(-���+���+�)�(���-���+�)
]
��
��
��
[
(-�����+������-������)�(���+���+�)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
145
(616)
(-�����+������-����)(���+���+�)�
(-�����+������-����)(���+���+�)�
(-�����+������-����)(���+���+�)�
(�����-������+������-�����)(���+���+�)�
(���� -������+�������-�������+�� ���)
(��+�����+����+ )�
(�����-������+������-�����)(���+���+�)
]
������
[
-�+��
(��-�����+���+�)(�+�)�
-�+��
-�+��
(�����-���+�)(�+�)�
-�+�
]
����
����
�����
[
-�+��
(������+�)(�+��)�
-�+��
(-����+�)(�+��)�
��
(-����+�)(�+��)
]
神戸学院法学 第42巻第2号
146
(617)
����
�������
����
����
����
����
����
����
����
[
-+��
(- ���+ ��)�� �+(������-����-���)�(- )�
( ���- ��)�� �+( �����-����-���)�(- )�
� ��
-� �+(-�)�(- )�
(-����+ �+�)�(��-��+ )
]
����
����
����
����
�����
[
-+��
-+��
( �����+ )�(+ ��)�
��
(-����+ )�(+ ��)�
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
147
(618)
(-�����+�)�(�+���)
]
��
[
(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�
(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�
(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�
(-�����+����� -������)�(���+ ��+ )�
(�����-� ����+�������-�������+�������)�
(���+�����+����+�)�
(�����-������+� ��� -� ����)�(���+ ��+ )�
(�����-������+� ��� -� ����)�(���+ ��+ )
]
������
[
-�+��
-�+��
(���- ����+���+ )�(�+�)�
(�����-���+ )�(�+�)�
-�+��
-�+�
]
��
��
��
��
��
��
神戸学院法学 第42巻第2号
148
(619)
����
����
[
(-����+���)���+(-����+���)���-����+����
(����-���)���+(���� �-����-���)�(-�)�
(����-���)���+(���� �-����-���)�(-�)�
���
���
-��-��+(-�� �+��+�)�( �-��+�)
]
����
��������������������������������������������� !
Classification of complex Hadamard matrices on pseudocyclic……
149