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CINETIQUE - DYNAMIQUE

2 ETUDE DANS UN REPERE NON GALILEEN

I. MASSE - CENTRE D’INERTIE 3 1. Conservation de la masse ................................................................................................................ 3 2. Point matériel ................................................................................................................................... 3 3. Système fini de point matériels ........................................................................................................ 3 4. Cas d’une courbe matérielle ............................................................................................................ 3 5. Cas d’une surface matérielle ............................................................................................................ 4 6. Cas d’un domaine tridimensionnel matériel ..................................................................................... 4 7. Système de solides .......................................................................................................................... 5 8. Symétrie matérielle .......................................................................................................................... 5 9. Théorèmes de GULDIN ................................................................................................................... 5

II. PRINCIPE FONDAMENTAL 7 1. Principe de l’inertie ........................................................................................................................... 7 2. Quantité de mouvement ................................................................................................................... 7 3. Quantité d’accélération .................................................................................................................... 8 4. P.F.D. pour un point matériel ........................................................................................................... 9 5. P.F.D. pour un système matériel ...................................................................................................... 9

III. THEOREMES GENERAUX 10 1. Théorème de la résultante dynamique ..........................................................................................10 2. Théorème du moment dynamique .................................................................................................10 3. Théorème des actions mutuelles ...................................................................................................10 4. Forces intérieures ..........................................................................................................................10

IV. TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE 11 1. Résultante cinétique .......................................................................................................................11 2. Moment cinétique ...........................................................................................................................11 3. Résultante dynamique ...................................................................................................................12 4. Moment dynamique ........................................................................................................................12 5. Relation entre moment dynamique et moment cinétique ..............................................................12 6. Projection du moment dynamique sur un axe ................................................................................13

V. OPERATEUR D’INERTIE 14 1. Rappel ............................................................................................................................................14 2. Définition ........................................................................................................................................14 3. Matrice associée dans la base b ....................................................................................................15 4. Théorème de König ........................................................................................................................16 5. Théorème de Huyghens .................................................................................................................16

VI. PUISSANCE 17 1. Point matériel .................................................................................................................................17 2. Système matériel............................................................................................................................17 3. Cas du solide..................................................................................................................................18

VII. ÉNERGIE CINETIQUE 19 1. Point matériel .................................................................................................................................19 2. Système matériel............................................................................................................................19 3. Cas du solide indéformable ............................................................................................................21

VIII. RESUME (CAS DU SOLIDE) 22 1. Moment cinétique ...........................................................................................................................22 2. Moment dynamique ........................................................................................................................22 3. Énergie cinétique ...........................................................................................................................22

IX. APPLICATIONS 23 1. Solide en rotation autour d’un axe fixe ...........................................................................................23 2. Équilibrage .....................................................................................................................................25 3. Solide en rotation autour d’un point fixe .........................................................................................26

X. ETUDE DANS UN REPERE NON GALILEEN 30 1. Problème ........................................................................................................................................30 2. Mise en équation ............................................................................................................................30 3. Exemple du cycliste .......................................................................................................................32

CINETIQUE - DYNAMIQUE 3

I. MASSE - CENTRE D’INERTIE La masse m d’un corps caractérise la quantité de matière de celui-ci. C’est une me-sure additive.

1. Conservation de la masse t1 et t2 étant les dates de deux instants différents, la masse de tout domaine S de l’espace affine euclidien E3 à l’instant t1 est égale à sa masse à l’instant t2.

∀ et , =t t m S t m S t1 2 1 2( , ) ( , )

Théorème Soit une fonction vectorielle f qui à tout point M d’un ensemble matériel S, et à tout instant t, associe le vecteur

f M t( , ) , alors :

∫∫

S

RRS

dmtMfdtd

dmtMfdtd

),(=),(

et ceci, quel que soit le repère R choisi.

2. Point matériel Un point matériel M est un point de l’espace euclidien E affecté d’une masse m.

3. Système fini de point matériels Supposons donné un système matériel S, constitué de n points matériels M1, M2,..., Mn de masses respectives m1, m2, ..., mn. La masse m de ce système matériel est égale à la somme des masses des n points.

∑=

n

iimm

1

=

On appelle centre d’inertie G de ce système matériel S le barycentre des n points Mi affectés des coefficients respectifs mi. Le point A de l’espace affine étant arbitraire-ment choisit, la position du point G est donnée par l’égalité suivante :

∑=

n

iii AMmAGm

1

=

4. Cas d’une courbe matérielle Supposons donné un solide S constitué de points matériels dont les positions, dans l’espace affine euclidien E, E2 ou E3, sont les points d’une courbe paramétrée Γ,

image d’une fonction F continûment dérivable. La connaissance du solide curviligne S implique la connaissance d’une masse li-néique µ(M) définie en chaque point M de la courbe Γ.


La masse m du solide S est donnée par l’égalité :

m (M) dl= µΓ∫

Le centre d’inertie G du solide S est défini, indépendamment du point A, par l’égalité vectorielle suivante :

dlAMMAGm )(= ∫Γ

µ

5. Cas d’une surface matérielle Supposons donné un solide S constitué de points matériels dont les positions, dans l’espace affine euclidien E2 ou E3, sont les points d’une surface paramétrée Σ, image

d’une fonction F continûment dérivable. La connaissance de la surface solide S implique la connaissance d’une masse surfa-cique µ(M) définie en chaque point M de la surface Σ. La masse m du solide S est donnée par l’égalité :

m M ds= µ( )Σ∫∫


∫∫Σ

µ dsAMMAGm )(=

6. Cas d’un domaine tridimensionnel matériel Supposons donné un solide S constitué de points matériels dont les positions, dans l’espace affine euclidien E3, sont les points d’un domaine tridimensionnel ∆, image

d’une fonction F continûment dérivable. La connaissance du solide plein S implique la connaissance d’une masse volumique µ(M) définie en chaque point M du domaine tridimensionnel ∆. La masse m du solide S est donnée par l’égalité :

m M dv= µ( )∆∫∫∫


∫∫∫∆

µ dvAMMAGm )(=


7. Système de solides Considérons un système matériel S constitué de n solides Si de centre d’inertie Gi et de masse mi. La masse m du système matériel S est égale à la somme des masses des n solides.

∑=

n

iimm

1

=

Le centre d’inertie G du système matériel est le barycentre des n points Gi affectés des masses mi.

∑=

n

iii AGmAGm

1

=

8. Symétrie matérielle Si un solide possède un élément de symétrie tel qu‘un point O, une droite ∆ ou un plan Π, alors le centre d’inertie G est situé au point O, sur la droite ∆ ou sur le plan Π. Il convient donc de rechercher ces éléments de symétrie avant d’entreprendre tout calcul.

9. Théorèmes de GULDIN

A. 1ER THEOREME Supposons données, dans un plan de l’espace affine euclidien, une courbe paramé-trée Γ et une droite ∆ qui ne se coupent pas. Alors :

L’aire A de la surface de révolution engendrée par la rotation de ΓΓΓΓ autour de ∆∆∆∆ est égale au produit de la longueur L de la courbe ΓΓΓΓ et de la longueur du cercle engendré par la rotation autour de ∆∆∆∆ du centre d’inertie G de la courbe ΓΓΓΓ.

O

G

∆

y

yG

Γ A=2πYG.L


B. 2EME THEOREME Supposons donnés, dans un plan de l’espace affine euclidien, un domaine δ limité par une courbe paramétrée fermée Γ et une droite ∆ qui ne coupe pas le domaine. Alors :

Le volume V du domaine tridimensionnel de révolutio n engendrée par la rota-tion de ΓΓΓΓ autour de ∆∆∆∆ est égal au produit de l’aire A du domaine plan δδδδ et de la longueur du cercle engendré par la rotation autour de ∆∆∆∆ du centre d’inertie G du domaine plan δδδδ.

O

G

∆

y

yG

Γ δ V=2πYG.A


II. PRINCIPE FONDAMENTAL

1. Principe de l’inertie

Il existe un repère privilégié dans lequel un point matériel qui serait soustrait à toute influence aurait une accélération nulle. Ce repère est dit galiléen ou absolu.

A. RELATIVITE GALILEENNE On remarque que s’il existe un repère galiléen, alors il en existe une infinité, qui se déduisent du premier par des mouvements d’accélération nulle (mouvement de tran-slation uniforme). Tous ces repères conviennent dont pour exprimer les lois de la mécanique classique. Ainsi, la notion de vitesse d’un point matériel n’a pas de signification absolue, et ne peut être que relative au repère galiléen particulier qui a été choisi. On en tire le prin-cipe de relativité galiléenne suivant :

Aucune expérience mécanique, exprimée dans un repèr e galiléen, ne doit permettre de mettre en évidence le mouvement de ce repère par rapport à un autre repère galiléen.

2. Quantité de mouvement

A. POINT MATERIEL

Soit un point matériel M, de masse m et animé d’une vitesse RMV / par rapport à un

repère R. Le vecteur RMVmP / = définit la quantité de mouvement de ce point maté-riel. Il est considéré comme lié à M et dépend, bien entendu, du repère de mouve-ment R. Pour pouvoir caractériser cette quantité de mouvement en n'importe quel point A de l'espace, on construit le glisseur RM /Σ :

∧=σ≡

≡ΣRMRMA

RM

A

RM

M

RMPAM

PP

//,

//

/0

B. SYSTEME MATERIEL À chaque particule élémentaire M de masse dm du système matériel S est associée :

la quantité de mouvement : RSMRM dmdP // V ∈=

le glisseur :

∧=σ≡

≡ΣRMRMA

RM

A

RM

M

RMdPAMd

dPdPd

//,

//

/0


On obtient alors le torseur des quantités de mouvement de S par rapport au repère R appelé torseur cinétique et dont les éléments de réduction, exprimés en un point quelconque A, sont les suivants :

cinétique moment

cinétique résultante

//,

//

/

→

→

∧=σ

=≡Σ

∫

∫

∈SM

RMRSA

S

RMRS

A

RSdPAM

dPP

Si on considère une partition de S :

( ∅=∩+= 2121 et SSSSS ) on a bien évidemment :

RSRSRSSRS ///)(/ 2121Σ+Σ=Σ=Σ +

3. Quantité d’accélération

A. POINT MATERIEL Soit un point matériel M, de masse m et animé d’une accélération /M Ra

par rapport à

un repère R. Le vecteur / M RD m a=

définit la quantité d’accélération de ce point maté-riel. Il est considéré comme lié à M et dépend, bien entendu, du repère de mouve-ment R. Pour pouvoir caractériser cette quantité d'accélération en n'importe quel point A de l'espace, on construit le glisseur RM /∆ :

∧=δ≡

≡∆RMRMA

RM

A

RM

M

RMDAM

DD

//,

//

/0

B. SYSTEME MATERIEL A chaque particule élémentaire M de masse dm du système matériel S, est associée une quantité d’accélération élémentaire / / M R M S RdD dm a ∈=

.

On obtient alors le torseur des quantités d'accélération de S par rapport au repère R appelé torseur dynamique et dont les éléments de réduction, exprimés en un point quelconque A, sont les suivants :

dynamique moment

dynamique résultante

//,

//

/

→

→

∧=δ

=≡∆

∫

∫

∈SM

RMRSA

S

RMRS

A

RSdDAM

dDD

Si on considère une partition de S :

( ∅=∩+= 2121 et SSSSS ) on a bien évidemment :

RSRSRSSRS ///)(/ 2121∆+∆=∆=∆ +


4. P.F.D. pour un point matériel Considérons un point matériel M de masse m en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg. L'action mécanique qu'il subit se représente par un glisseur de résul-

tante F et de moment nul en M. Le principe fondamental de la dynamique appliqué sur ce point s’écrit :

/ gM RF m a=

La quantité / gM Rm a

est appelée quantité d’accélération galiléenne du point M.

5. P.F.D. pour un système matériel Considérons un système matériel S en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg soumis à une action mécanique extérieure

gRS /M :

≡SSA

SS

A

RSM

Rg

/,

/

/M

Alors, le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce système s’écrit :

// gS RS S = ∆M

et s’énonce :

Il existe un repère galiléen et une chronologie gal iléenne tels que le torseur des forces extérieures appliquées sur un système ma tériel est égal au torseur des accélérations galiléennes de ce système.


III. THEOREMES GENERAUX L’égalité du torseur des forces extérieures et du torseur de quantités d’accélérations galiléennes nous donne deux égalités vectorielles qui sont généralement appelées théorème de la résultante dynamique et théorème du moment dynamique.

1. Théorème de la résultante dynamique Il s’exprime par l’égalité : / /=

gS S G S RR m a ∈

2. Théorème du moment dynamique

Il s’exprime par l’égalité : gRSASSAM /,/, δ=

3. Théorème des actions mutuelles Considérons un système matériel S en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg et une partition de S en deux sous systèmes S1 et S2.

On a, bien évidemment : 21 SSS += et ∅=21 SS ∩

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à ces trois systèmes matériels :

gRSSS //

∆=M gRSSS // 111

∆=M gRSSS // 222

∆=M

En remarquant que : 11211 /// SSSSSS

MMM +=

et 22122 /// SSSSSS

MMM +=

on peut écrire :

gRSSSSS /// 1112

∆=+MM et gRSSSSS /// 2221

∆=+MM

Ajoutons membres à membres ces deux égalités :

gg RSRSSSSSSSSS ////// 21221112∆+∆=+++ MMMM

Or :

ggg RSRSRS /// 21∆=∆+∆ et

SSSSSS /// 21MMM =+

D’où :

gRSSSSSSS //// 2112∆=++ MMM

Et finalement : 0

2112 // =+ SSSS MM

4. Forces intérieures Les forces intérieures d’un système matériel S sont des actions gravitationnelles, électromagnétiques ou de contact (ou de liaison) entre éléments de ce système. Prises deux à deux, ces forces s’annulent (ceci découle du principe des actions mu-tuelles que nous venons d’établir à partir du principe fondamental de la dynamique). Le torseur des forces intérieures d’un système matériel est donc équivalent à zéro :

0int/ ≡SM


IV. TORSEURS CINETIQUE ET DYNA-MIQUE

1. Résultante cinétique G étant le centre d’inertie d’un système matériel S, on peut écrire :

∫∈

=SM

dmOMOGm

En dérivant par rapport au temps cette égalité, on obtient :

∫∫∫∈

∈

∈∈

∈ =

=

SM

S/RM

SM RRSM

S/RG dmVdmOMdtd

dmOMdtd

Vm =

c’est à dire : S/RG

SM

S/RMS/R VmdmVP ∈

∈

∈ == ∫ (1)

La quantité de mouvement d’un système matériel est égale à celle de son centre d’inertie où serait concentrée toute la mass e.

2. Moment cinétique

A. CAS GENERAL Le seul outil dont on dispose dans le cas d'un système matériel quelconque est la relation de changement de point qui s'écrit :

RSGRB,SRA,S VABm /// ∈∧+σ=σ

B. CAS DU SOLIDE INDEFORMABLE

Exprimons le vecteur RA,S /σ : ∫∈

∈∧=σSM

RSMRA,S dmVAM //

Le système matériel S étant indéformable, on peut remplacer RSMV /∈ par

AMV RSRSA ∧Ω+∈ // dans l’égalité précédente :

( )∫∫∈∈

∈ ∧Ω∧+∧=σSM

RS

SM

RSARSA dmAMAMdmVAM ///,

En remarquant que la quantité RSAV /∈ est indépendante de l’intégration, on peut écrire :

( )∫∫∈

∈

∈

Ω∧∧−∧

=σ

SM

RSRSA

SM

RSA dmAMAMVdmAM ///,

Finalement, on obtient :

( )∫∈

∈ Ω∧∧−∧=σSM

RSRSARSA dmAMAMVAGm ///,


L’expression se simplifie si on calcule le torseur cinétique : au centre de masse du solide ; en un point fixe (s’il en existe un). Remarque : Dans cette relation, la vitesse qui intervient est celle du point A apparte-nant au solide S.

C. TORSEUR CINETIQUE Le torseur cinétique d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère R s’écrit, en un point quelconque A :

( )

Ω∧∧−∧=σ

=≡Σ

∫∈

∈

∈

SM

RSRSARSA

RSGRS

A

RS dmAMAMVAGm

VmP

///,

//

/

3. Résultante dynamique En dérivant la relation (1), on obtient :

∫∫∈

∈

∈

∈∈

=

=

SM R

S/RM

RSM

S/RMS/RG dmVdtd

dmVdtd

Am

C’est à dire : / S R G S/R M S/R

M S

D m a a dm∈ ∈∈

= = ∫

La quantité d’accélération d’un système matériel S est égale à celle de son centre d’inertie où serait concentrée toute la mass e.

4. Moment dynamique

A. CAS GENERAL Le seul outil dont on dispose dans le cas d'un système matériel quelconque est la relation de changement de point qui s'écrit :

/ / /A,S R B,S R G S Rm AB a ∈δ = δ + ∧

B. CAS DU SOLIDE INDEFORMABLE Le champ des accélérations d'un solide indéformable n'est pas équiprojectif. Les techniques utilisées pour le calcul du moment cinétique ne sont donc pas applicables ici. Le cas particulier du solide indéformable ne présente pas d'intérêt particulier pour le calcul du moment dynamique.

5. Relation entre moment dynamique et moment cinéti que Exprimons le moment dynamique :

// / M S RA,S R M S RM S M S

dAM a dm AM V dm

dt∈∈

∈ ∈

δ = ∧ = ∧∫ ∫


( ) ∫∫∈

∈

∈

∈ ∧

−

∧=δSM

RSM

RSM R

RSMRA,S dmVAMdtd

dmVAMdtd

///

Le point A où est exprimé le moment dynamique peut être mobile par rapport au re-père d'observation R. Il faut donc écrire :

( )∫∫∈

∈

∈

∈ ∧

−+

∧=δ

SM

RSM

RRSM

RSMRA,S dmVOMOAdtd

dmVAMdtd

///

( ) ∫∫∈

∈∈

∈

∈ ∧−∧+

σ=δSM

RSMRSM

SM

RSMRA

RRSARA,S dmVVdmVV

dtd

0=

/////,/

En remarquant que la quantité RAV / est indépendante de l’intégration, on peut

écrire : RSGRA

SM

RSMRA

SM

RSMRA VVmdmVVdmVV ////// ∈

∈

∈

∈

∈ ∧=∧=∧ ∫∫

Finalement, on a : ( ) RSGRA

RRSARA,S VVm

dtd

///,/ ∈∧+

σ=δ

Cette relation est utilisée de manière intensive pour calculer les moments dyna-miques ; elle est d’un très grand intérêt dans la mesure où elle évite d’exprimer les accélération, dont le calcul est toujours très pénible. Elle est particulièrement facile à mettre en œuvre si : le point A est fixe dans le repère d’observation ; le moment dynamique est calculé au centre de masse G ; les vitesses des points A et G sont colinéaires. Remarque : Dans cette relation générale, la vitesse qui intervient est celle du point A choisi pour exprimer le moment dynamique de l’ensemble matériel quelconque (qui n’est pas forcément un solide indéformable).

6. Projection du moment dynamique sur un axe Il arrive fréquemment dans les problèmes de mécanique que l’on ait pas besoin de l’expression complète du moment dynamique, mais seulement de sa projection

uRA,S

⋅δ / sur un axe ( )uA

, . Ce qui donne :

( ) ( )uVVmudtd

u RSGRA

RRA,SRA,S

,, //// ∈+⋅

σ=⋅δ

Or : ( ) ( )R

RA,SR

RA,SR

RA,S dtud

udtd

udtd

⋅σ−

⋅σ=⋅

σ

///

Donc : ( ) ( )uVVmdtud

udtd

u RSGRA

RRA,S

RRA,SRA,S

,, ///// ∈+

⋅σ−

⋅σ=⋅δ

Malgré son apparente complexité, cette expression présente l’énorme avantage de ne pas faire intervenir d’accélérations ! De plus, on s’arrange en général pour ne pas avoir à calculer tous les termes : en prenant A en G ; en prenant un point A de vitesse nulle ; en projetant sur un axe fixe.


V. OPERATEUR D’INERTIE Par deux fois, dans le cas d’un solide indéformable, nous avons rencontré

l’expression : ( )∫∈

Ω∧∧−SM

S/R dmAMAM

Nous allons maintenant l’évaluer.

1. Rappel Considérons l’application antisymétrique L

AM. Nous savons que cette application est

linéaire et que, dans E :

( ) uAMuuAM

AM

∧=→ LL

Le vecteur AM étant exprimé sur la base ( )zyxb

,,= , à savoir :

zzyyxxAM

++=

l’application LAM

peut être représentée par la matrice 3x3 suivante :

bxy

xz

yz

L

−−

−=

0

0

0

2. Définition

L'opérateur SA,

≈

J qui à tout vecteur u de E fait correspondre la quantité :

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫∈∈∈

≈

−=−=∧∧−=SMSMSM

A,SdmudmudmuAMAMu

AMAMAM

2 LLLJ

est appelé "opérateur d'inertie du solide S au point A".

SA,

≈

J est linéaire par linéarité du produit vectoriel.

SA,

≈

J est symétrique.

En effet : u

∀ et E∈v

( ) ( )( )∫∫∈∈

⋅=⋅SMSM

dmvudmvuAMAMAM

2

LLL

( ) ( ) ( )∫∫∈∈

⋅−=⋅SMSM

dmuvdmvuAMAMAM

2

LLL

( ) ( )( )∫∫∈∈

⋅=⋅SMSM

dmuvdmvuAMAMAM

2

LLL

( ) ( )∫∫∈∈

⋅=⋅SMSM

dmuvdmvuAMAM

22 LL

Alors : ( ) ( )uvvuvuSASA

,,

: E,≈≈

⋅=⋅∈∀ JJ


3. Matrice associée dans la base b

L’application LAM

2 est linéaire et sa matrice associée est LxL.

Or : ( )

( )( )

bbbyxyzxz

yzzxxy

xzxyzy

xy

xz

yz

xy

xz

yz

LL

+−+−

+−=

−−

−×

−−

−=×

22

22

22

0

0

0

0

0

0

Par conséquent :

( )( )

( ) bAbA

SA

CDE

DBF

EFA

dmyxdmydmx

dmydmzxdmx

dmxdmxdmzy

=

=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫≈

--

--

--

+ z- z-

z- + y-

z- y- +

22

22

22

,J

La quantité :

• ( )∫ += dmzyA 22 est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( )A x,

, est

notée ( ) SxAI ,, et vaut ( ) ( )xxI

SASxA

,,,

≈

⋅= J

De même :

• ( )∫ += dmzxB 22 est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( )A y,

,

• ( )∫ += dmyxC 22 est appelée moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( )A z,

,

• ∫= dmyD z est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( )A y z, ,

,

• ∫= dmxE z est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( )A x z, ,

,

• ∫= dmxF y est appelée produit d’inertie de S par rapport au plan ( )A x y, ,

.

De plus : ( ) AIdmdmzyxCBA 2 2 2 2222 =ρ=++=++ ∫∫

IA est appelé moment d’inertie polaire de S par rapport au point A. Il est indépendant de la base b choisie pour exprimer la matrice. Remarques :

L’application LAM

2 étant symétrique, sa matrice associée est diagonalisable. Il existe

alors une base de vecteurs propres appelée base principale d’inertie dans laquelle le tenseur d’inertie est diagonal. On parle dans ce cas de tenseur principal d’inertie . Si le tenseur d’inertie est déterminé par rapport au centre d’inertie du solide, on parle de tenseur central d’inertie (qui n’est pas forcément diagonal). Dans la base principale d’inertie et au centre d’inertie le tenseur est central princi-pal d’inertie .


4. Théorème de König Le théorème de König donne une relation entre le tenseur d’inertie en G et en un point quelconque A. Remarque préliminaire : Si

u est indépendant de l’intégration, alors

( ) 0

=∧

= ∫∫

∈∈

udmGMdmuSMSM

GML

Supposons connu SG,

≈

J et cherchons à l’exprimer en A.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )dmuudmudmuuSMSMSM

SA GMAGAMAMAMAM +

2

, ∫∫∫∈∈∈

≈

−=−=−=

LLLLLLJ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )dmudmudmudmuuSMSMSMSM

SA GMGMGMAGAGGMAGAG

0

, ∫∫∫∫∈∈∈∈

≈

−−−−=

LLLLLLLLJ

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )udmudmuuSG

SM

u

SMSA GMAG

mGA

AGAG

,

0

,

,

≈

∈∈

≈

+

−−= ∫∫

≈

JLLLLJ

J

Finalement : ( ) ( ) ( )( )uuumGASGSA

,,,

≈≈≈

+= JJJ

Le tenseur d’inertie au point A du solide S est égal à la somme du tenseur central d’inertie et du tenseur d’inertie en A du point matériel G affecté de la masse m.

5. Théorème de Huyghens Considérons un solide S, un point A, un vecteur unitaire

u de direction quelconque

et cherchons la valeur du moment d’inertie de S par rapport à l’axe ( )A u,

. Appliquons le théorème de König :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )uuIuuuuuuImGASuGmGASGSASuA

,,,,,,,,

≈≈≈≈

⋅+=⋅+⋅=⋅= JJJJ

Calculons la valeur du dernier terme de l’expression précédente :

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2,

,, AGumAGuAGumAGuAGmuuumGA

∧=∧=∧∧⋅=⋅≈ J

Il suffit d'interpréter ( ) 22dAGu =∧

, carré de la distance entres les droites ( )G u,

et

( )A u,

pour obtenir :

( ) ( )2

,,,, dmII SuGSuA +=


VI. PUISSANCE

1. Point matériel

On appelle puissance d'une force F appliquée à un point matériel M qui se déplaçe

à la vitesse RMV / par rapport à un repère R, la quantité :

RMM/R VF /⋅=P

2. Système matériel Soit maintenant un système matériel S en mouvement par rapport à un repère R et

un système de forces SSnSS FF /,/,1 ,..., appliquées respectivement en M1,...,Mn.

A. PUISSANCE DES FORCES EXTERIEURES

La puissance des forces extérieures SSiF /, qui s'exercent sur S est égale à la somme des puissances développées par les différentes forces extérieures. C’est à dire :

∑=

∈⋅=ni

i=

RSMSSiRS iVF1

//,/eP (2)

B. PUISSANCE DES FORCES INTERIEURES Considérons le système S comme formé de n points matériels M1,...,Mn.

Le point matériel Mi exerce sur le point matériel Mj une force jiF / et reçoit de ce der-

nier une force ijF / égale et opposée à jiF / .

Pour un couple de points ( )M Mi j, , la puissance développée par ces forces est égale

à : ( )RSMiRSMjjiRSMiijRSMjjiij VVFVFVF /////// ∈∈∈∈= −⋅=⋅+⋅P

ou encore : MiMjji

R

jijiij VF

dt

MMdF /// ⋅=

⋅=P

La puissance de toutes les forces intérieures au système matériel S est alors égale

à la somme des puissances pour tous les couples de points ( )M Mi j, :

∑∑∑−

=>

⋅==1

1

/

i=n

i

j=n

j>i

jiji

ii,j

ijS dt

MMdFPPi

ijF /

Mj

Mi

RSMiV /∈

RSM jV /∈

jiF /


3. Cas du solide Le système matériel S est maintenant indéformable. Le mouvement de S par rapport à un repère R est décrit par le torseur cinématique suivant :

Ω

≡∈ /

/

RSA

RS

A

S/RV

V

A. PUISSANCE DES FORCES EXTERIEURES

En remplaçant RSMiV /∈ par RSiRSA AMV // Ω∧+∈ dans l’expression (2) on obtient :

( )∑∑ Ω∧⋅+⋅= ∈

n

i=

RSiSSi

n

i=

RSASSiRS AMFVF1

//,

1

//,/eP

( )∑∑ Ω+⋅= ∈

n

i=

RSiSSi

n

i=

SSiRSARS AMFFV1

//,

1

/,// ,,eP

En utilisant les propriétés du produit mixte, le deuxième terme s’écrit :

( ) ( ) ∑∑∑ ∧⋅Ω=Ω=Ωn

i=iSSiRS

n

i=iSSiRS

n

i=

RSiSSi AMFAMFAMF1

/,/

1

/,/

1

//, ,,,,

Et donc : ∑∑ ∧⋅Ω+⋅= ∈

n

i=iSSiRS

n

i=

SSiRSARS AMFFV1

/,/

1

/,//eP

Cette égalité peut encore s’écrire :

SSARSSSRSARS MRV /,//// ⋅Ω+⋅= ∈eP

On reconnaît là le comoment du torseur cinématique S/RV et du torseur des forces

extérieures SS /

M et finalement :

( ) S/RSSS/RSSS/R VMVMeP ⊗==//

,c

B. PUISSANCE DES FORCES INTERIEURES

Dans le cas d’un solide indéformable, le terme R

ji

dt

MMd

est égal à jiRS MM∧Ω / .

Alors : ( ) ( ) 0=,, //// jiRSjijiRSjiij MMFMMF Ω=∧Ω⋅=P

car jiji MMF et / sont colinéaires.

Et donc : 0== ∑> iji,j

ijS PPi


VII. ÉNERGIE CINETIQUE

1. Point matériel

Nous avons vu que la puissance développée par une force F s’exerçant sur un point

matériel M se déplaçant à la vitesse RMV / par rapport à un repère R, est égale à :

RMM/R VF /⋅=P Si le mouvement de M est décrit par rapport à un repère galiléen Rg, le principe fon-damental de la dynamique nous permet d’écrire :

gggRMRMM/R VAm // ⋅=P

C’est-à-dire : g

g

g

gRM

R

RMM/R V

dtVd

m //

= ⋅

P

Cherchons de quelle grandeur la puissance gM/RP est la dérivée temporelle.

Il vient :

=2

/ 21

ggRMM/R Vm

dtdP

Posons : 2

/ 21

ggRMM/R VmT =

Cette grandeur scalaire, homogène à une énergie, est appelée énergie cinétique ga-liléenne du point matériel M. On obtient alors la relation suivante :

( )gg M/RM/R T

dtd=P

appelée théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel et qui s’énonce :

La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galilé enne d’un point matériel est égale à la puissance galiléenne des forces exercées sur ce point.

Par extension, on appelle énergie cinétique d’un point matériel M de masse m animé

d’une vitesse RMV / par rapport à un repère R, la quantité :

2/

21

RMM/R VmT =

2. Système matériel Dans le cas d’un système matériel S en mouvement par rapport à un repère R, l’énergie cinétique totale est simplement égale à la somme des énergies cinétiques de tous les points de ce système.

Énergie qu’on notera : ( )∫∈

∈=SM

S/RMRS dmVT2

/2

dans le cas d’une répartition continue


et ( )∑=

=∈=

ni

i

S/RMiRS iVmT1

2

/2

dans le cas d’une répartition discrète. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à un point matériel Mi du système S.

On obtient : ( )/RgM/RgM iiT

dtd=P

Ajoutons membres à membres les n égalités obtenues pour les n points Mi de S :

( ) ( ) ( )ggiiii RS

ni

i

RSMi

ni

i/RgM

i=n

i=/RgM

i=n

i/RgM T

dtd

Vmdtd

Tdtd

Tdtd

/1

2/

111 21 =

=

== ∑∑∑∑=

=∈

=

==

P

Explicitons le premier terme de l’égalité précédente :

∑∑=

∈=

⋅=i=n

i

S/RgMi

i=n

i/RgM ii

VF11

P (3)

Le terme iF représente la résultante des forces appliquées sur le point Mi. Il peut

résulter d’actions extérieures au système appliquées en Mi notées SSiF /, et/ou

d’actions intérieures à ce système notées

( )

∑≠=

j=n

ijj

ijF1

/ .

L’égalité (3) devient alors :

( )

∑ ∑∑=

∈

≠==

⋅

+=i=n

i

S/RgM

j=n

ijj

ijSSi

i=n

i/RgM ii

VFF1 1

//,

1

P

Et, en développant :

( )( )

∑ ∑∑∑=

≠=

∈=

∈=

⋅+⋅=i=n

i

j=n

ijj

S/RgMij

i=n

i

S/RgMSSi

i=n

i/RgM iii

VFVF1 1

/

1

/,

1

P

Cette dernière égalité peut se mettre sous la forme :

( ) ( )∑ ∑∑∑= >

∈∈=

∈=

−⋅+⋅=

i=n

i

j=n

ij

S/RgMS/RgMij

i=n

i

S/RgMSSi

i=n

i/RgM jiii

VVFVF1

/

1

/,

1

P

SRS

i=n

i/RgM gi

ie PPP +=∑=

/1

Finalement, on obtient la relation suivante :

( )gg RSSRS T

dtd

// =+ ie PP

appelée théorème de l’énergie cinétique pour un système matériel et qui s’énonce :

La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galilé enne d’un système matériel est égale à la puissance galiléenne des forces exté rieures à ce système aug-mentée de la puissance des forces intérieures.


3. Cas du solide indéformable

A. THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE La puissance des forces intérieures d’un solide étant nulle, le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un solide indéformable s’écrit simplement de la manière sui-vante :

( )gg RSRS T

dtd

// =eP

et s’énonce :

La dérivée temporelle de l’énergie cinétique galilé enne d’un solide indéfor-mable est égale à la puissance galiléenne des force s extérieures appliquées à ce solide.

B. EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE Le mouvement du solide S est défini par le torseur cinématique :

Ω

≡∈S/RA

S/R

A

S/RV

V

En remplaçant RSMV /∈ par RSRSA MAV // Ω∧+∈ dans la définition de l’énergie ciné-tique on obtient :

( )∫∈

∈∈ ⋅Ω∧+=SM

RSMRSRSARS dmVMAVT ////2

En développant, il vient :

( )∫∫∈

∈

∈

∈∈ Ω+⋅=SM

RSMRS

SM

RSMRSARS dmVMAdmVVT ///// , ,2

En utilisant les propriétés du produit mixte on obtient :

∫∫∈

∈

∈

∈∈ ∧⋅Ω+⋅=SM

RSMRS

SM

RSMRSARS dmVAMdmVVT /////2

On reconnaît là le comoment du torseur cinématique S/RV et du torseur cinétique

RS /Σ et on peut écrire :

( ) RSRSRSRSRST ///// ,c2 VV ⊗Σ=Σ= Continuons le développement :

( ) ( )∫∫∈

∈

∈

∈∈ Ω∧+∧⋅Ω+Ω∧+⋅=SM

S/RS/RARS

SM

S/RS/RAS/RARS dmMAVAMdmMAVVT // 2

( ) ( ) ( )( )∫

∈

∈∈∈

Ω∧∧⋅Ω+

Ω+Ω+=

SM

S/RS/R

S/RARSS/RS/RAS/RARS

dmMAAM

VAGm,GAVmVmT , , ,2 /2

/

Finalement, en utilisant les propriétés du produit mixte :

( ) ( ) ( )∫∈

∈∈ Ω∧∧⋅Ω−Ω+=SM

S/RS/RS/RS/RAS/RARS dmAMAMAG,VmVmT ,222

/


VIII. RESUME (CAS DU SOLIDE)

1. Moment cinétique Expression en un point quelconque A :

( ) RSARSA,SRSA VAGm ///, ∈

≈

∧+Ω=σ J

Expression au centre d’inertie G :

( )RSG,SRSG //, Ω=σ

≈

J

Expression en un point P de vitesse nulle :

( )RSP,SRSP //, Ω=σ

≈

J

2. Moment dynamique Expression en un point quelconque A (d’un système quelconque) :

( ) RSGRA

RRSARA,S VVm

dtd

///,/ ∈∧+

σ=δ


( )R

RSGRG,S dtd

σ=δ /,/


( )R

RSPRP,S dtd

σ=δ /,/

3. Énergie cinétique ( ) RSRSRSRSRST ///// ,c2 VV ⊗Σ=Σ=

Expression en un point quelconque A :

( ) ( ) ( )AG,VmVmT S/RS/RAS/RAS/RSA

S/RRS ,222

,/ Ω++Ω⋅Ω= ∈∈

≈

J


( ) ( )2,/2 S/RGS/RSG

S/RRS VmT ∈

≈

+Ω⋅Ω= J


( )S/RSP

S/RRST Ω⋅Ω=≈

,/2 J


IX. APPLICATIONS

1. Solide en rotation autour d’un axe fixe

A. PARAMETRAGE DU PROBLEME Soit un solide S de forme quelconque, de masse m et de centre d’inertie G en liaison pivot supposée parfaite avec un bâti S0 auquel est lié le repère galiléen

),,,( 0000 zyxOR

= .

La liaison pivot est d’axe ( , )O z

0 . Le repère ),,,( zyxOR

= , lié à S, est choisi, pour simplifier les calculs, tel que le plan ( , , )O z x

0 contienne le point G.

On notera : )(),( 0 txx θ=

et : 0zcxaOG

+= Le solide S étant quelconque, sa matrice d’inertie au point O, dans la base

),,( 0zyxb

= , est de la forme :

bO

SO

CDE

DBF

EFA

−−−−−−

=≈

,J

B. B ILAN DES FORCES EXTERIEURES EXERCEES SUR 1 • Les actions de la liaison pivot sont représentées, en O, par le torseur :

bO

L/

ML

ZYX

≡0,,

,,SS0

M

• Sur S s’exerce également l’action mécanique, supposée connue, d’un ensemble

matériel E, représentée au point O, par le torseur :

bEE

EEE

O

E/SML

ZYX

≡0,,

,,M

Lorsque S est la roue d’un véhicule, E est constitué par la route, la pesanteur, l’arbre de transmission...

θ

x

y

z0

y0

x0

G

O c a

θ

S0

S


C. TORSEUR CINEMATIQUE Le mouvement de 1 par rapport à 0 est décrit par le torseur cinématique suivant :

θ=∧Ω=

θ=Ω≡

=

θ=Ω≡

∈∈ yaOGV

z

V

z

S/SS/SG

S/S

GS/SO

S/S

O

S/S ɺ

ɺɺ

00

0

0

0

0

00

0 V

D. TORSEUR DYNAMIQUE

Résultante dynamique : ( )xyamAmD S/SGS/Sɺɺɺ 2 00 θ−θ== ∈

Moment dynamique : Le point O ayant une vitesse nulle, le moment dynamique sera exprimé en ce point.

( ) ( )0

0

0,

0

000

+−−θ=

Ω=

σ=δ≈

zCyDxEdtd

dtd

dtd

S/SSOO,S/SO,S/S

ɺJ

Finalement : ( )

( ) ( )

−θ++−−θ

θ−θ≡∆

yExDzCyDxE

xyam

O

S/S ɺɺɺ

ɺɺɺ

2

0

2

0

E. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Le P.F.D. nous permet d’écrire 6 équations scalaires : • 3 équations de projection de la résultante dynamique :

sur x : 2 θ−=+ ɺamXX E

sur y : θ=+ ɺɺ amYY E sur z0 : 0=+ EZZ

• 3 équations de projection du moment dynamique :

sur x : EDLL E 2 θ−θ=+ ɺɺɺ

sur y : θ−θ−=+ ɺɺɺ 2 DEMM E

sur z0 : θ= ɺɺ CNE Équations à partir desquelles on peut exprimer facilement les inconnues de liaison X, Y, Z, L, M. La dernière équation permet de déterminer le mouvement : • Inconnues de liaison :

E

E

E

E

E

MDEM

LEDL

ZZ

YamY

XamX

−θ−θ−=

−θ−θ=

−=−θ=

−θ−=

ɺɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺ

ɺ

2

2

2

• Équation du mouvement : 0=−θCNEɺɺ


2. Équilibrage Un des problèmes essentiels en fabrication est l’équilibrage des solides tournant au-tour d’un axe fixe. Cela, afin d’éviter la naissance de vibrations mécaniques pouvant engendrer une détérioration rapide des paliers, ou plus simplement créer une gêne à l’utilisation du matériel, dont le bruit.

A. CONDITIONS D’EQUILIBRAGE . Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécanique dans la liaison entre S et S0 aussi constante que possible. En particulier, indépendante du mouvement de 1 par rapport à S0, c’est à dire de ɺ ɺɺθ θ et . D’après les équations précédentes, ces conditions d’équilibrage nous donnent : 0=a : le centre d’inertie G est sur l’axe de rotation )z,( 0

O (équilibrage statique) ;

0== ED : l’axe de rotation )z,( 0

O est axe principal d’inertie de S (équilibrage

dynamique). Remarque : Dans un équilibrage statique ( 0=a ), seule la résultante générale de l’action mécanique de S sur S0 est indépendante du mouvement par rapport à S0.

B. REALISATION PRATIQUE DE L ’EQUILIBRAGE DYNAMIQUE . On remplace S par un solide S’ constitué de S et de deux solides S1 et S2, assimi-lables à des points matériels, tel que S’ soit dynamiquement équilibré. Soit mi la masse du solide Si (i = 1, 2) placé au point Mi de coordonnées cartésiennes xi, yi, zi dans le repère R. Notons G’ le centre d’inertie de S’ et D’ et E’ les produits d’inertie de S’ par rapport aux axes du repère R. S’ est dynamiquement équilibré si G’ est sur l’axe ( )O z,

0 et si 0=′=′ ED .

Traduisons ces conditions : • La position du centre d’inertie G’ est donnée par la relation :

21

2211

mmmOMmOMmOGm

GO++

++=′ .

Si G’ est sur l’axe ( )O z,

0 cette équation vectorielle s’écrit en projection :

sur x : ma m x m x+ + =1 1 2 2 0 (4) sur y : m y m y1 1 2 2 0+ = (5) • Les produits d’inertie E’ et D’ ont pour valeur :

0' 222111 =++= zymzymDD (6) E E+m x z m x z' = + =1 1 1 2 2 2 0 (7) Remarque : si D est différent de zéro (cas général) l’équilibrage dynamique ne peut se faire avec une seule masse. En effet, si par exemple m2 0= , à partir des relations précédentes, on obtient : y1 0= et donc 0=D ce qui est incompatible avec l’hypothèse de départ.


On dispose de quatre équations pour déterminer les huit inconnues x y z mi i i i, , , . Le problème admet une infinité de solutions et il faut alors se fixer quatre conditions. Examinons ces conditions dans le cas de l’équilibrage dynamique d’une roue de vé-hicule. Passons en coordonnées cylindriques. Les huit inconnues sont alors : ρ θi i i iz m, , , . Dans ce type d’équilibrage, les masses sont fixées sur le bord de la jante, de chaque côté de la roue. Les quatre conditions imposées sont les valeurs des paramètres z1, z 2 1 2, ,ρ ρ avec généralement r=ρ=ρ 21 et les quatre inconnues sont :

m , m , , 1 2 1 2θ θ En éliminant m x2 2 entre les équations (4) et (7), il vient :

m x z z E maz1 1 2 1 2( )− = − En éliminant m y2 2 entre les équations (5) et (6), il vient :

m y z z D1 1 2 1( )− =

On obtient alors : ( )tansin

θρ θ1

21

1 1 2 1

=−

=−

DE maz

mD

z z et

De même : ( )2122

12

12 cos

et tanzz

mazEm

mazED

−θρ−=

−=θ

Remarque : Au lieu d’ajouter des masses aux points M1 et M2, on peut aussi enlever les mêmes masses (perçage de trous) aux points N1 et N2 symétriques des points M1 et M2 par rapport à l’axe de rotation. Cette méthode est couramment utilisée dans l’industrie.

3. Solide en rotation autour d’un point fixe

A. EQUATIONS GENERALES Considérons un solide S, de masse m et de centre d’inertie G en liaison rotule par-faite de centre O avec un bâti S0. Au bâti S0, est lié le repère terrestre ),,,( 0000 zyxOR

= supposé galiléen.

Le repère ),,,( zyxOR

= , lié à S, est choisi, pour simplifier les calculs, tel que le point

G soit situé sur l’axe ( , )O z

c’est à dire : zlOG

= .

θ2 x

y

z

ρ1 θ1

M1

S M2

ρ2


Le repère R se déduit du repère R0 par les trois rotations classiques d’Euler dont les paramètres sont ψ, θ et ϕ.

B. MOUVEMENT DE LAGRANGE ET POISSON On appelle ainsi le mouvement d’un solide de révolution (plus généralement tel que

BA = ) qui a un point fixe sans frottement, et qui est soumis à des forces telles que leur moment est porté par le ligne des nœuds (orthogonal à ( , )O z

0 et ( , )O z

) .

Le solide S est de révolution d’axe ( , )O z

:

)_,(_,

,

00

00

00

zO

SO

C

A

A

=≈

J

Les actions extérieures se résument à :

• une action à distance :

θ−

≡−

≡nmgl

zmgzmg

OG

PE/S

sin

0

00M (la pesanteur)

• une action de contact : ( )0

0

,,

SS0,0,0

,,

zyxO

L/

ZYX

≡M (la liaison rotule)

Remarque : on fait l’approximation implicite que la terre ne tourne pas sur elle-même.

ϕ

θ

ϕ

θ

ψ

ψ O

x

y0

z0

x0

y z

n

u

v

S

v z

ϕ

x

n

y

ϕ

z0 n θ

v

u z

θ

y0 z0

ψ

n

x0

u

ψ


Les trois équations du mouvement seront obtenues à partir : • du théorème du moment dynamique exprimé au point O (pour annuler les actions

de la liaison) en projection sur les axes z et z0 :

zzM RSOSSO

⋅δ=⋅0/,/,

0/,0/,0

zzM RSOSSO

⋅δ=⋅

• du théorème de l’énergie cinétique (car, la liaison étant parfaite, et seule la pesan-teur exerçant une action, il existe une intégrale première) :

teS/RRS cUT +=∫ 00

=/ eP

Nous « travaillerons » dans la base ( ) n v z, , car dans cette base, l’opérateur d’inertie

est le même que dans la base ( ) x y z, , et le vecteur rotation a une expression simple

à établir :

( )( ) θψ+ϕ

θψθ

=ϕ+θ+=

θ+θψ=ϕ+θ+ψ=Ωcos

sin

z

sin cos

,,0

0/ 0

ɺɺ

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺɺ

zvn

RS znvzznz

Calcul du moment cinétique

Le point O étant fixe, on a : ( )00// RS

O,SRO,S Ω=σ≈

J

( )( )θψ+ϕ

θψθ

=

θψ+ϕθψ

θ⋅

=σcos

sin

cos

sin

00

00

00

,,

/, 0

ɺɺ

ɺ

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

C

A

A

C

A

A

zvn

RSO

Théorème du moment dynamique en projection sur z

• D’une part : 0/, =⋅ zM SSO

; car zn

⊥

• D’autre part : ( ) ( ) ( )zdtd

zdtd

zdtd

z RSORSORSORSO

⋅σ−⋅σ=⋅σ=⋅δ

0000 /,/,/,/,

Or, on sait que : ( ) ( )( ) 0

sin

,,

0/ 0 θ−θψ

=∧θ+ψ=∧Ω= ɺ

ɺɺ

ɺ

zvn

Rz znzzzdtd

Et donc : ( )( )

0

0

sin

cos

sin

0/, =θ−θψ

⋅θψ+ϕ

θψθ

=⋅σ ɺ

ɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

C

A

A

zdtd

RSO

On obtient finalement : ( ) 00/, =⋅σ z

dtd

RSO

C’est-à-dire : teRSO cz =⋅σ

0/,

Relation que l’on écrira : 0cos r=θψ+ϕ ɺɺ (8)


Théorème du moment dynamique en projection sur 0z

• D’une part : 00/, =⋅ zM SSO

; car 0zn

⊥

• D’autre part : ( ) ( )0/,0/,0/, 000z

dtd

zdtd

z RSORSORSO

⋅σ=⋅σ=⋅δ

car z0 est un axe fixe.

On obtient finalement : ( ) 00/, 0=⋅σ z

dtd

RSO

C’est-à-dire : 00 0/, z

teRSO Scz ==⋅σ

Cela revient à dire qu’il y a conservation de la projection du moment cinétique sur 0z

.

Cette relation nous donne :

( )( )

0coscos sin

cos

sin

0

cos

sin

2

zSCA

C

A

A

=θψ+ϕθ+θψ=θ

θ⋅θψ+ϕ

θψθ

ɺɺɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

Soit, en tenant compte de la relation (8) :

0cos sin 0

2zSrCA =θ+θψɺ (9)

Théorème de l’énergie cinétique (seul le poids trav aille) • Calculons la puissance :

dtdU

lgmznz

nlgm

zgm

OO

RSPoidsRS =θθ= ϕ+θ+ψ

θ−

== ⊗⊗ sin0

sin00

// 00

ɺ

ɺ

ɺɺ

VMPe

On en déduit : hlgmU +θ−= cos • Calculons l’énergie cinétique :

( ) ( ) ( )2222/

,// cossin2 000

θψ+ϕ+θψ+θ=Ω⋅Ω= ɺɺɺɺ CAT RSSO

RSRS J

Il vient alors : ( ) hlgmrCA 2cos2sin 2

0222 +θ−=+θψ+θ ɺɺ

C’est à dire : ( ) 20

222 2cos2sin rChlgmA −=θ+θψ+θ ɺɺ (10)

Les équations du mouvement de Lagrange et Poisson (8), (9) et (10) peuvent s’écrire sous la forme d’un système différentiel du premier ordre, en ψ, θ et ϕ tel que :

( )

=θψ+ϕ

=θ+θψ

−=θ+θψ+θ

0

02

20

222

cos

cos sin

2cos2sin

0

r

SrCA

rChlgmA

z

ɺɺ

ɺ

ɺɺ

où h, r0 et Sz0 sont des constantes données par les conditions initiales.


X. ETUDE DANS UN REPERE NON GA-LILEEN Les études précédentes ont été effectuées dans l’hypothèse où le repère terrestre est considéré comme galiléen. Si, dans de nombreux cas, cette hypothèse se révèle satisfaisante, elle ne l’est pas systématiquement et on est amené à prendre comme repère galiléen, soit un repère géocentrique soit un repère héliocentrique (ou de Copernic). Dans ce cas, l’étude d’un phénomène terrestre décrit dans le repère relatif terrestre fait apparaître des composantes pudiquement appelées forces d’inerties d’entraînement et complémentaires (ou de Coriolis). Il en va de même lorsque, le repère terrestre étant considéré comme galiléen, on étudie un mouvement dans un repère relatif (exemple du mouvement d’une toupie sur le plateau d’un manège observé par un utilisateur de ce dernier). Et, n’oublions pas la statique en repère relatif, mise en évidence par d’Alembert, en 1743 dans son traité de dynamique et qui entraîne la question fatidique :

« pourquoi le cycliste penché lors un virage ne tom be-t-il pas ? »

1. Problème Considérons d’une part un solide S de masse m et de centre d’inertie G auquel est associé un repère ),,,( zyxGR

= en mouvement par rapport à un repère non galiléen

),,,( 11111 zyxOR

= et d’autre part un repère galiléen ),,,( 0000 zyxOR

= .

2. Mise en équation On applique classiquement le P.F.D. au solide S :

0// RSSS∆=M

C’est à dire : 0

/ / S S G S RR m a ∈=

et 0

, / , / /gA S S A S R M S R

M S

M AM a dm→

∈∈

= δ = ∧∫

x1

O

A

z0

y0

x0

y1

z1

O1

G

x

y

z

S


Si on désire faire apparaître le mouvement relatif de S par rapport à R1 dans les équations du mouvement, il suffit de calculer l’accélération en tenant compte du re-père intermédiaire R1. On sait que pour un point quelconque A de S, l'accélération peut s’écrire sous une forme condensée de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( )A A A Aa r c ea a a a= + +

Si on pose : ( )

( )

r PSrS

r PSA

a dm

AP a dm

∆ ≡

∧

∫∫∫

∫∫∫

Torseur des quantités d’accélération relative

( )

( )

e PSeS

e PSA

a dm

AP a dm

∆ ≡

∧

∫∫∫

∫∫∫

Torseur des quantités d’accélération d’entraînement

( )

( )

c PScS

c PSA

a dm

AP a dm

∆ ≡

∧

∫∫∫

∫∫∫

Torseur des quantités d’accélération de Coriolis alors : c

SeS

rSRgS ∆+∆+∆=∆ /

et principe fondamental s’écrit alors :

SScS

eS

rS /

M=∆+∆+∆

C’est-à-dire : cS

eSSS

rS ∆−∆−=∆

/M

Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique « dans un repère non gali-léen », il faut ajouter à l’action mécanique

SS /M que subit le système matériel

l’opposé des quantités d’accélération d’entraînement eS∆− et de Coriolis c

S∆− . Ces quantités, qui viennent s’ajouter à l’action mécanique réelle, peuvent être inter-prétées comme des actions mécaniques « fictives » qui sont appelés usuellement « action d’inertie d’entraînement » et « action d’inertie de Coriolis ». On ne saurait trop mettre en garde contre ce point de vue. Une fois admise l’existence de référentiels privilégiés, le point de vue galiléen pré-sente l’intérêt majeur de définir les actions mécaniques comme les causes uniques des mouvements que l’on observe. Au contraire, les actions d’inertie qui apparais-sent quand on se place dans un référentiel non galiléen ne sont que les consé-quences du mouvement du référentiel d’observation.


3. Exemple du cycliste Considérons un cycliste prenant, à vitesse constante, un virage de centre O et de rayon r. Pour simplifier les calculs, nous ferons l’hypothèse que le cycliste et sa ma-chine forment un système matériel S indéformable de masse m et de centre d’inertie G auquel on attachera un repère R. Le repère terrestre R0 sera considéré galiléen. Pour conserver son équilibre, le cycliste est amené à se pencher d’un angle α par rapport à la verticale, vers l’intérieur du virage. Appliquons le théorème de la résultante dynamique au système matériel S. Il vient, de manière évidente :

0/ / Sol S G S RR m g m a ∈+ =

Cette équation nous permet de déterminer aisément la réaction du sol :

0/ / Sol S G S RR m a m g∈= −

L’approche peut être trompeuse si on décrit le problème dans le repère R lié à S. En effet, dans ce repère, le cycliste est immobile et on serait tenté de conclure hâti-vement que le dit cycliste est en équilibre sous l’action de deux forces (poids et réac-

tion du sol) non colinéaires : 0 /

=+ gmR SSol ? ? ?

Cela ne peut être car n’oublions pas que le principe fondamental de la statique, issu du principe fondamental de la dynamique, ne s’applique que dans un repère galiléen. Utilisons donc le P.F.D. dans le repère mobile R. L’accélération relative étant nulle, on obtient :

0/ / 0Sol S G S RR m g m a ∈+ − =

On retrouve l’expression plus conforme d’une somme de trois vecteurs nulle. En assimilant le problème à un problème de statique, on identifie la quantité

0/ G S Rm a ∈−

à une force appelée force centrifuge.

Mais, n’oublions pas que cette force centrifuge est une force inertielle donc fictive !

m g

?/ =SSolR α

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