Cinematica y Leyes Del Movimiento

8/16/2019 Cinematica y Leyes Del Movimiento

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Unidad ´´Educativa ConsejoProvincial del Carchi´´

Nombre: Alexander Garzón Curso: 4toBachillerato

Fecha: 14/05/2016Especialidad: General Unifcado

Profesor: Eduardo Reye Calicación:

Tema! "ine#$tica y %eye del &o'i#iento

bjetivo: (n'eti)ar y Realizar El *ra+a,o

!"#$%!"#&1


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C'NE()T'C) * +E*E, -E+(.'('NT

C'NE()T'C)

La cinemática estudia los movimientos de los cuerposindependientemente de las causas que lo producen. En estecapítulo, estudiaremos los movimientos rectilíneos ycurvilíneos, y circulares.

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-


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En el caso del movimiento rectilíneo, se simularán dos prácticasque realizan los estudiantes en el laboratorio, que consiste en unmóvil que desliza por un carril sin apenas rozamiento. En la

primera práctica simulada, se determinará la velocidad constantede un móvil, en la segunda, se determinará la aceleración de unmóvil en movimiento uniformemente acelerado.

Ambas prácticas, se prestan especialmente para representar en unagráfica los datos obtenidos y aplicar el procedimiento denominadoregresión lineal, trazando la recta que mejor ajusta a los resultadoseperimentales. !e completa aquí el capítulo primero, en la partecorrespondiente a las medidas.

"os programas interactivos están dedicados a ayudar a losestudiantes a resolver problemas de cinemática. El estudiante

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puede observar el movimiento de caída de los cuerpos, establecer

la posición y la velocidad inicial, y parar el movimiento encualquier momento. Anotar los valores posición y velocidad delmóvil en cualquier instante, y en particular, cuando #ste alcanza laaltura máima o regresa al origen. Los valores que el estudianteobtiene resolviendo las ecuaciones del movimiento los puedecomparar con los que proporciona el programa interactivo.

La necesidad de establecer un origen y un sistema de referencia para describir un movimiento se pone de manifiesto en la

resolución de problemas de caída de los cuerpos. $uc%osestudiantes siguen un procedimiento equivocado. &or ejemplo,cuando un cuerpo es lanzado verticalmente %acia arriba calculan la'distancia' recorrida por el cuerpo %asta que alcanza su alturamáima, y luego, la que recorre %asta que llega al suelo,consideran la aceleración negativa como definición delmovimiento desacelerado, y les sorprende el signo negativo en lavelocidad o en la posición del móvil.

En este capítulo se representan gráficas que describen elmovimiento de una partícula. La interpretación de las gráficas esuna %abilidad que %an de conseguir los estudiantes, ya que unagráfica muestra de un vistazo el comportamiento o una tendenciade un fenómeno físico, información que no se puede conseguir mirando una tabla con los mismos datos. La interpretación de lasgráficas, posición(tiempo, velocidad(tiempo y aceleración(tiempo,no es tan evidente como pudiera parecer )*eic%ner +-.

/ama de la $ecánica que se dedica a la descripción delmovimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo

provocan. "inámica0 /ama de la $ecánica que se dedica ainvestigar las causas que provocan el movimiento mecánico.

5

http://www.monografias.com/trabajos12/moviunid/moviunid.shtmlhttp://monografias.com/trabajos10/anali/anali.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/cinematica-dinamica/cinematica-dinamica.shtmlhttp://monografias.com/trabajos10/anali/anali.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/cinematica-dinamica/cinematica-dinamica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/moviunid/moviunid.shtml


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$ovimiento $ecánico0 1ambio de posición de un cuerpo respecto

a otros, tomados como referencia. )2p0 1arácter 0 /elativo )2p0"efinir sistema bajo estudio )2p0 "efinir !istema de /eferencia)!/

6

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/el-caracter/el-caracter.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/el-caracter/el-caracter.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml


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*ases para el estudio del movimiento mecánico "efinición del!istema de /eferencia )!/ 3tilización de magnitudes físicasapropiadas y relaciones entre ellas. Empleo de modelos para elsistema físico0 $odelo de cuerpo rígido y $odelo de partícula.

3tilización del principio de independencia de los movimientos de2alileo así como del principio de superposición.

.

http://www.monografias.com/trabajos36/teoria-empleo/teoria-empleo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/indephispa/indephispa.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teoria-empleo/teoria-empleo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/indephispa/indephispa.shtml


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)2p0 !/0 1uerpos que se toman como referencia para describir elmovimiento del sistema bajo estudio. *ases para el estudio delmovimiento mecánico )2p0 )t )2p0 y)t )2p0 z)t !e le asocia)2p0 4bservador )2p0 !istema de 1oordenadas )2p0 y )2p0 )2p0 z )2p0 /eloj


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*ases para el estudio del movimiento mecánico !/50 Es aquel parael cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otroscuerpos, se mueve con $/3.

http://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtml


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*ases para el estudio del movimiento mecánico $agnitudes6ísicas )2p0 1inemáticas )2p0 &osición, 7elocidad, Aceleración)2p0 "inámicas )2p0 6uerza, 8orque

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http://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICOhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICOhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtml


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*ases para el estudio del movimiento mecánico $odelos de

&artícula0 el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual. de 1uerpo /ígido0 Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.

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8raslación pura

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/otación pura de cuerpo sólido Es aplicable el modelo del cuerporígido pero no el de partícula

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)2p0 4bjetivo )2p0 "eterminación de las Leyes del $ovimiento&osición )t, 7elocidad )t, Aceleración )t )2p0 "escribir el

$ovimiento mecánico )2p0 1inemática

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http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml


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$#todos 7ectorial )conciso, elegante )2p0 de 1oordenadas )2p0$ayor n9mero de ecuaciones )2p0 :atural )2p0 1oordenadascurvilíneas )2p0 &roblemas de la cinemática )2p0 &osición )t

)2p0 7elocidad )t )2p0 Aceleración )t )2p0 &. "irecto )2p0 &.5nverso )2p0 1ond. 5niciales

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http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT


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7ectorial

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"e 1oord.

1.


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:atural

1


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$etodología 5dentificar sistema físico !elección del !/5)3bicación del 4bservador !elección del m#todo o m#todos

)vectorial, de coordenadas o natural /esolver el problema directo)derivando o el indirecto )integrando o ambos0 ;allar

analíticamente la dependencia temporal de la posición, lavelocidad y la aceleración< y "ibujar las gráficas

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http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml


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7ector desplazamiento. 7ector velocidad media. /apidez media

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y t+ t= A * )2p0 r)t+ )2p0 r)t= )2p0 r)t+ 7ector posición en

el instante t+ )2p0 r)t= 7ector posición en el instante t=

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7ector desplazamiento El vector desplazamiento en el intervalode tiempo >t+ , t=? esta dado por0 @Es importante conocer latrayectoria del móvil para %allar el vector desplazamiento

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http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml


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* t+ t= :o es necesario conocer la trayectoria para determinar el

vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo esnecesario conocer las posiciones en dic%os instantes de tiempo A

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7ector velocidad media !e define el vector velocidad media en el

intervalo de tiempo >t+ , t=? como0

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y t+ t= A * La velocidad media apunta en la misma dirección delvector desplazamiento

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http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


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B)m )m t+ t= "istancia total recorrida en el intervalo de tiempo>t+ , t=?

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/apidez media La rapidez media es igual a la distancia totalrecorrida entre el tiempo total empleado La rapidez media no es unvector la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad

media )para el mismo intervalo de tiempo

2.


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7elocidad instantanea. /apidez instantánea

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t= tC= t'= t+ * A B)m )m )2p0 r+ )2p0 r )2p0 r= )2p0 r=C)2p0 rC )2p0 r=' )2p0 r'

2


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tD A B)m )m El vector velocidad instantánea es tangente a latrayectoria que describe la partícula t= t+

-0


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La velocidad instantánea es la derivada del vector posiciónrespecto del tiempo 7elocidad instantánea

-1


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Esta epresión podemos epresarla en función de sus componente

rectangulares

-2

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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/apidez instantánea )2p0 !i )2p0 t+ )2p0 t=

--


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/apidez instantánea La rapidez instantánea es igual al modulo de

la velocidad instantánea Al modulo de la velocidad instantánea sele conoce como rapidez instantánea

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7ector aceleracion media

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A B)m )m t= t+

-6


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Aceleración media !e define la aceleración media como la rapidezde cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo

de tiempo

-.


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-


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)2p0 B)m )2p0 )m La aceleración en este pequeo intervalode tiempo apunta %acia la concavidad de la trayectoria )2p0 t

)2p0 t+

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La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t

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La principal dificultad de orden didáctico estriba en que los

estudiantes no diferencian bien entre el valor de una magnitud y larazón de su cambio con el tiempo. Esta dificultad se pone demanifiesto en las situaciones en las que la velocidad es cero perola aceleración es distinta de cero, por ejemplo, cuando un móvilque se lanza verticalmente %acia arriba alcanza su altura máima.

4tros dos programas interactivos, se pueden calificar como problemas(juego, y tratan como otros que se verán a lo largo deeste curso, de %acer una 6ísica más intuitiva y divertida. !on

programas simples pero significativos desde el punto de vista de la6ísica. En el primero, se tratará de apuntar con un caón a un

blanco fijo. El estudiante se dará cuenta que %ay dos posiblessoluciones a este problema. En el segundo, se tratará de

bombardear un blanco móvil.

Ambas situaciones se resolverán por el procedimiento de prueba yerror en el menor n9mero de intentos posibles. &osteriormente, sesugiere al estudiante, que resuelva num#ricamente el problema yacierte al primer intento.

Aplicaremos lo aprendido sobre el tiro parabólico a situaciones dela vida diaria y en concreto, al popular juego del baloncesto.Eaminaremos con detalle todos los elementos que entran en el

juego del baloncesto0 la canasta, el balón, el aro y el tablero.

El estudio de las distintas situaciones nos permitirá conectar conotras partes de la 6ísica, como la Fptica, al estudiar el efecto deltablero, con la "inámica, al estudiar el c%oque del balón contra el

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suelo, con las 4scilaciones al estudiar la deformación del balón

cuando c%oca con una pared rígida, y con el fenómeno de ladispersión, al estudiar el c%oque del balón con el aro.

Los estudiantes resuelven sin dificultad problemas de encuentrosentre dos móviles en movimiento rectilíneo uniforme o uniformen

te acelerado, por ejemplo, policías que persiguen a ladrones. !inembargo, tienen dificultades para %allar el instante de encuentro)por primera vez de dos móviles en movimiento circular uniformeo uniformen te acelerado. !e %a diseado un applet que recrea unode estos problemas y que muestra que en una trayectoria circular%ay m9ltiples encuentros, y ensea a diferenciar entre posición ydesplazamiento angular.

En esta sección introduciremos las nociones necesarias paradescribir el movimiento de partículas puntuales. 3n objeto es

puntual si las dimensiones físicas de Gel son pequeas comparadascon las distancias características de su movimiento, o son

pequeas comparadas con la distancia al observador. &or ejemplosi lanzamos una silla por el aire, y la estamos observando de cercaveremos sus volteretas y evoluciones que %acen parecer su

movimiento muy complicado. !in embargo, si observamos la silladesde suficiente distancia parecer Ha un punto y su movimiento ser Ha muy simple de describir.

4-


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Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres,la posición, la velocidad y laaceleración.Posición

es el lugar en que se encuentra el móvil en un cierto instante detiempo . !uele representarse con el vector de posición . "adala dependencia de este vector con el tiempo, es decir, si nos

dan , tenemos toda la información necesaria para loscálculos cinemáticos.Velocidad

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es la variación de la posición con el tiempo. :os indica si el móvil

se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía eltiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivoy cotidiano de velocidad.Aceleración

indica cuánto varía la velocidad al ir pasando el tiempo. Elconcepto de aceleración no es tan claro como el de velocidad, yaque la intervención de un criterio de signos puede %acer que

interpretemos erróneamente cuándo un cuerpo se acelera o

cuándo se IIdeceleraCC . &or ejemplo, cuando lanzamos una piedra al aire y #sta cae es fácil ver que, seg9n sube la piedra,su aceleración es negativa, pero no es tan sencillo constatar quecuando cae su aceleración sigue siendo negativa porque realmentesu velocidad está disminuyendo, ya que %emos de considerartambi#n el signo de esta velocidad.

7elocidad!e define velocidad media como

tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen. :o obstante, aunque la velocidad media es una magnitud 9til, %ayque destacar que en su cálculo se deja muc%a información sin

precisar. Así, aunque sepamos que la velocidad media de un móvildesde un instante + a otro = %a sido IItantosCC metros por segundo,no sabremos si los %a %ec%o de forma constante, o si %a ido muylento al principio y rápido al final o si...por eso se define unamagnitud que eprese la velocidad instantánea, es decir, lavelocidad en cierto y determinado instante y que pueda calcularsecomo una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeosque pueda decirse eactamente a qu# velocidad se desplazaba elmóvil en cada instante. Es fácil darse cuenta de que esta definiciónse logra tomando como velocidad instantánea0

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y por tanto, coincide con la definición de derivada respecto altiempo. Así pues se define finalmente

"e esta definición se obtienen algunas consecuencias0

• La dirección de va a ser siempre tangente a latrayectoria.

• El módulo de puede calcularse, además de operandosobre el vector , sabiendo que

siendo la distancia que el móvil %a recorrido sobre latrayectoria.

Aceleración

Aceleración es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.!e puede definir unaaceleración media entre dosinstantes, inicial y final, como

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y, de manera análoga a la velocidad, puede definirse

una aceleración instantánea llevando estos instantes inicial y finalmuy cerca uno del otro, %asta tener así quela aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respectoal tiempo

1omponentes intrínsecas de la aceleración8omando el vector velocidad como un módulo por un vectorunitarios, es decir, como

y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las

derivadas )ap#ndice 1,

"e estas dos componentes la primera sedenomina aceleración tangencial porque, como se desprende de su

propia definición, su dirección es la del vector unitario y es por

tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente esla aceleración normal."e la aceleración tangencial diremos que su módulo es

)J.+

y su dirección

4.


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Esta se encarga de IImedirCC la variación de la velocidad sinimportarle su dirección ni sentido, sino solo su módulo, es decir,su IIintensidadCC.En cuanto a la aceleración normal, se puede demostrar que su

módulo es

)J.=

siendo el radio de curvatura de la trayectoria, y que su direcciónes siempre perpendicular a la trayectoria y %acia el interior de laIIcurvaCC.1lasificación de movimientosLos movimientos se pueden clasificar seg9n las componentesintrínsecas de su aceleración.

+.

+. . $ovimiento rectilíneo a velocidadconstante.

=. . $ovimiento circular uniforme.

D. . $ovimiento circular acelerado.

=.

+. . $ovimiento rectilíneo a velocidadconstante.

=. . $ovimiento rectilíneo uniformementeacelerado.

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D. . $ovimiento rectilíneo acelerado.

= y . $ovimiento curvilíneo.1omposición de movimientosLos problemas de composición de movimientos tienen ladificultad de saber respecto a que sistemaestamos resolviendo y

por tanto determinar siempre las magnitudes respectoal sistemaapropiado, bien el especificado por el problema, bienuno elegido adecuadamente. Es com9n en este tipo de problemas

la presencia de más de un móvil y %ay que ser muy cuidadoso paraidentificar correctamente que móviles se mueven y respecto a qu#.8ranslación pura!us relaciones, que pueden deducirse fácilmente de la sumavectorial y posterior derivación respecto al tiempo, son0

)J.D

En donde intervienen el sistema IIquietoCC y el que se IImueveCC,que es el IIprimadoCC. Las magnitudes con el subíndice K son lasrelativas entre los sistemas de referencia.3na estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear esla siguiente0

+. &lantear un sistema fijo, respecto al cual conocemos, al

menos, cómo es el movimiento de uno de los otrossistemas.

=. "ibujar entonces el vector de posición que buscamos)generalmente el de un sistema respecto al otro.

D. /elacionar estos vectores entre sí como sumas unos delos otros.

!e %a dibujado esto en la figura J.+.

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3na vez que conocemos el vector de posición se puede etraer el

resto de información derivando o realizando la operaciónmatemática necesaria.

Figura: /elación vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor verá la

piedra que cae como .

/otación puraEn este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro conuna velocidad angular constante , pero manteniendo el origen encom9n.La fórmula interesante es la que relaciona sus velocidades

)J.-

que presenta una dificultad un poco mayor de deducción, y por esono se epresa aquí.Las magnitudes que aparecen en esta fórmula son , que es lavelocidad que el móvil presenta respeto al sistema IIfijoCC. , lavelocidad del móvil vista desde el sistema que rota, y que es lavelocidad angular con la cual el sistema móvil rota respecto alIIfijoCC, aunque siempre manteniendo en com9n su origen decoordenadas.

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&or ejemplo, si %ubiera una mosca posada en el eje de un

tocadiscos y girando con #l a una cierta velocidad angular , queobservara a un mosquito avanzar por el disco con una velocidad, vista desde el punto de vista de la mosca, que está rotando, eneste caso0

• !ería la velocidad del mosquito vista desde el eje deltocadiscos, pero el observador fijo, es decir, sin girar.

• es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve almosquito desplazarse por el disco.

• es la velocidad angular del disco.• es el vector de posición del mosquito, en el sistema fijo.

/esolución de problemas

8iro parabólico!e denomina tiro parabólico, en general, a aquellos movimientosque suceden de forma bidimensional sobre la superficie de latierra.&ara este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus

componentesJ.=

e . El movimiento en no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán

)J.J

pero en cambio en el eje se deja sentir la fuerza de la gravedad,supuesta constanteJ.D y por tanto sus ecuaciones serán

)J.

Algunas preguntas típicas del tiro parabólico son calcular elalcance y altura máima. Estaspreguntas se pueden contestar

sabiendo que la altura máima se alcanzará cuando . "e estacondición se etrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura

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máima y sustituyendo en la ecuación de las se obtiene la alturamáima. El alcance máimo se puede calcular razonando que, paracuando esto suceda, el móvil volverá estar al nivel del suelo y por

tanto , sustituyendo se obtiene y, sustituyendo #ste en lasel resultado. 4tras cantidades se pueden conseguir de manerasimilar.

e serán las coordenadas donde el móvil se encuentra en el

instante , inicio del movimiento, y y la velocidad con

la que se mueve en ese instante. !i nos %an indicado que el móvilse movía con una velocidad formando un ángulo con la%orizontal se puede ver muy fácilmente que,

entonces, y .

A su vez el significado de las variables e es el siguiente0 #stas

nos indican a que distancia %orizontal ) y altura ) se encuentrael móvil en cada instante de tiempo , considerando que estamos

tomando como origen para medir estas distancias %orizontales yalturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemostomando todos los demás datos.

!e podría %acer un estudio más complejo incluyendo elrozamiento del aire. &ara esto %abrá que modificar las

ecuaciones e a las nuevas ecuaciones deducidas en el ap#ndice*.1omponentes intrínsecas

!ea un móvil cuyo vector de posición es

1alcular su velocidad, aceleración y componentes intrínsecas de#sta, así como el radio de la trayectoria para . "erivo

para encontrar y . 3na primera vez

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y una segunda vez

A%ora calculo el módulo de la velocidad0

que, derivado respecto al tiempo nos dará el módulo de .

y multiplicando por el unitario de , que es

nos da el vector

5-


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&or 9ltimo podemos calcular como . ;aciendo las

oportunas sustituciones tendremos que para

, ,

, con lo cual y de esta forma, podremos despejar el radio de la trayectoria, que será

1álculo de trayectorias"ado el vector de posición de un móvil

calcule la ecuación de su trayectoria. Este tipo de problemas se

resuelve en general despejando en una de las ecuaciones de ode y sustituyendo en la otra, encontrando así en función de oal rev#s. En este caso tenemos que

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y sustituyendo en

tendremos

1on el objeto de describir el movimiento de una partícula en elespacio basta especificar su posición en cada instante de tiempo.Llamaremos vector posición de la partícula en el instante t alvector que va desde un origen )arbitrario pero fijo %asta la

posición de la partícula en el instante t . Este vector, que

usualmente denotaremos por ~r )t es una función del tiempo. A lacurva que describe la posición de la partícula a medida que eltiempo transcurre la llamaremos la trayectoria de la partícula. Esel lugar geom#trico descrito por el etremo del vector ~r )t . En lafigura +, la curva 1 es la trayectoria descrita por una partícula. !ila partícula se encuentra en el punto A de la trayectoria en elinstante t +, su vector posición es ~r )t +. !i en un instante

posterior, digamos t =, la partícula se encuentra en el punto B de latrayectoria, su vector posición es ~r )t =.

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8rayectoria, vector posición

1iertamente la evolución de la partícula en el tiempo no quedadeterminada completamente por su trayectoria 1. La partícula encuestión puede %aber recorrido la trayectoria de muc%as maneras.!i nos referimos a la figura + , podría %aber tardado en ir de A a Bdiez segundos, o quizás una %ora, o podría %aberse movidolentamente al pasar por A, o quizás muy rápido, y estos %ec%os noquedan para nada descritos con solo especificar la traza )i.e., la

trayectoria que fue dejando la partícula en su movimiento. &or otra parte, la función ~r )t sGM contiene toda la información sobreel movimiento de ella. A partir de ~r )t podemos conocer todos losdetalles asociados al movimiento de la partícula ) e.g., quedistancia recorrió en un intervalo de tiempo Nt , que tan rápido

paso por A, cuanto tiempo tardo en ir de A a B, etc.. &or ejemplo,el desplazamiento efectuado por la partícula al ir de A a B estaGdado por

N~r AB O ~r )t = P ~r )t +. )+1omo el intervalo de tiempo que tarda la partícula al ir desde la

posición A a la posición B es Nt AB O t = P t +, es natural definir lavelocidad media de la partícula entre A y B como el cociente entreN~r AB y Nt AB, es decir

. )=

:otese que la velocidad media, tal como la %emos definido, es unvector y su dirección es paralela a la del vector desplazamiento.

En la vida cotidiana, sin embargo, casi nunca se usa la velocidadmedia, tal como la %emos definido en )=. En nuestro lenguajecom9n, al referirnos a una velocidad promedio siempre pensamosen el cociente entre la distancia recorrida, a lo largo de latrayectoria, y el tiempo que tardamos en recorrer esa distancia. Aeste cociente, que es un escalar y no un vector, lo llamaremos larapidez media. &ara ser más precisos, fijemos un punto sobre latrayectoria, digamos P )ver la figura =. A%ora podemos medir lalongitud del arco )medido sobre la trayectoria desde el punto P y

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cualquier punto sobre la trayectoria. En particular llamaremos s)t + a la longitud del arco PA, s)t = la longitud del arco PB, y engeneral s)t la longitud del arco desde el punto P %asta la posiciónde la partícula en el instante t .

Entonces, de acuerdo al lenguaje com9n, definiremos la rapidez

media de la partícula entre los puntos A y B como el cociente

. )D

En general, no %ay ninguna relación entre la velocidad media y larapidez media entre A y B, salvo que siempre la magnitud delvector ~v AB es mayor que el modulo de la rapidez media v AB )puesla longitud de un arco entre dos puntos es mayor que la longitudde la cuerda entre los mismos puntos. En general, el

conocimiento de la velocidad media entre A y B no nos da unainformación detallada del movimiento de la partícula entre A y Bcomo mencionamos anteriormente. &or ejemplo no sabemos quevelocidad tenía la partícula al pasar por A o cual era su velocidadal pasar por B. !in embargo, si el punto B es suficientementecercano al punto A, va nos da una muy buena idea de la rapidezcon que la partícula pasa por A. Así, conviene definir la rapidez instantánea ) o simplemente rapidez a secas en el instante t )i.e.,cuando la partícula pasa por A a

5.


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roceode li#ite

. )-El lado derec%o de )- es justamente la derivada de s con respectoal tiempo en t +. "e este modo, la rapidez en A )i.e., en el instantet + estaG dada por

ds

v)t + O )t +. )Jdt

3sando el mismo procedimiento podemos definir la velocidad instantánea ) o velocidad, a secas, como

, )

es decir,

)Q 1uando %acemos tender t = a t + )en otras

palabras, cuando llevamos al punto

B junto al punto A, la distancia medida sobre el arco AB y sobrela cuerda AB se asemejan cada vez mas )i.e., RNr ABR S N sabe cuando

B T A, de modo que la magnitud del vector ~vt + coincide con elmodulo de v)t +. "e este modo, la rapidez )instantánea essimplemente la magnitud del vector velocidad )instantánea. &or otra parte, es evidente de este proceso de limite )si la trayectoria

5


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es una curva suave que la dirección del vector velocidad ~v)t + es

la dirección de la tangente a la trayectoria en el punto A.!iguiendo un uso %abitual, llamaremos t U a la tangente unitaria ala curva. En realidad t U es una función del arco s )i.e., de ladistancia PA medida sobre la trayectoria. En resumen, el vector velocidad de la partícula al pasar por el punto A de la trayectoriaestaG dado por

~v)t + O v)t +t.U )V

La ecuación )V es una consecuencia directa de la regla de lacadena. En efecto,

, ) pues d~r/ds es precisamente la tangente unitaria a la curva en el punto A.

Además de la posición y de la velocidad, otra cantidad relevanteen la descripción del movimiento es la aceleración. "e %ec%o laaceleración juega un papel crucial en las leyes de :eWton querigen el movimiento de las partículas. "efiniremos aceleraciónmedia entre dos puntos A y B de la trayectoria al cociente

. )+K

6inalmente, definiremos la aceleración instantánea )oaceleración, a secas en el instante t como

. )++

;asta a%ora %emos visto como, a partir del conocimiento de lafunción ~r )t , podemos obtener distintas propiedades delmovimiento de la partícula tales como su velocidad, rapidez,aceleración, velocidades y aceleraciones medias. El problemacentral de mecánica como veremos en el capitulo siguiente es el

problema inverso. En efecto, lo que nos interesaraG más adelantees como, a partir de la aceleración )i.e., de la función ~a)t para t X K y del estado inicial de la partícula )i.e., de su posición ~r yvelocidad ~v en t O K podemos determinar totalmente la

5


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evolución de la partícula, i.e., su vector posición ~r como función

del tiempo. Este camino inverso es simple de llevar a cabo, a partir de las ecuaciones )++ y )Q, utilizando el 8eorema6undamental del 1alculo.!i integramos la ecuación )++ entre t O K y t O , y usamos el8eorema 6undamental del 1alculo tenemos,

)+=

Llamando a la variable de integración ! y luego cambiando por t , podemos arreglar )+= de modo que

)+D

&or lo tanto, si conocemos la velocidad inicial ~v)K de la partícula y su aceleración ~a)! entre K y t , por medio de )+D podemos determinar su velocidad entre K y t . A%ora podemos%acer un proceso similar, usando )Q, para determinar ~r )t a partir de ~r )K y de ~v)! entre K y t . AsGM obtendremos

)+-

Las ecuaciones )+D y )+- representan justamente la solución del problema inverso buscado.

Yuizás la aplicación más simple de las ecuaciones )+D y )+-consiste en encontrar la trayectoria de una partícula sometida aaceleración constante, digamos ~a O ~g )esta situacióncorresponde precisamente a la de una partícula movi#ndose en elcampo gravitatorio uniforme, cerca de la superficie de la tierra< eneste caso ~g estaG dirigido a lo largo de la vertical %acia abajo y sumagnitud estaG dada aproimadamente por g O R~g R S ,V+>mZseg=?< g se conoce %abitualmente como aceleración de

gravedad . ;aciendo pues ~a O ~g )constante en )+D obtenemosde inmediato

~v)t O ~v)K [~g t. )+J

60


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62/151

Coordenadas Cartesianas

Este es el sistema más simple de coordenadas. &ara representar alvector ~r utilizamos su proyección a lo largo de tres ejesortogonales, fijos, los que denotaremos como "$ , "% y "& ,respectivamente, tal como se indica en la figura -. Llamaremos U 'al vector unitario a lo largo de "$ ,U al vector unitario a lo largode "% y ( U al vector unitario a lo largo de "& . A la proyección de~r a lo largo de "$ )i.e., a ~r \ U' la denotaremos por ). A las

proyecciones de ~r a lo largo de "% y "& las llamaremos y y z respectivamente."e este modo, podemos representar al vector ~r )en la base devectores orto normales U',U, ( U por

~r O )U' [ yU[ z (.U )+V

1oordenadas 1artesianas

&uesto que el vector ~r es una función del tiempo, tambi#n lo sonsus coordenadas ), y, z . &or otra parte los vectores de la base, U ',U, ( U, son constantes. "erivando con respecto al tiempo la

62


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epresión )+V para ~r , obtenemos la correspondiente epresión

para la velocidad en cartesianas. 1omo los vectores de la base sonconstantes, al derivar )+V obtenemos

)+

"erivando a su vez )+ con respecto al tiempo, obtenemos laepresión para la aceleración en cartesianas,

)=K

"e a%ora en adelante utilizaremos una notación introducida por :eWton para escribir las diferentes derivadas con respecto altiempo. Así pues, denotaremos por

etc., )=+

1on esta notación podemos escribir

y~v O )]U' [ y]U[

z ](,U)==

~a O )^U' [ y^U[ z ̂(,U

)=D

respectivamente. &ara ilustrar el uso de coordenadas cartesianasvolvamos al ejemplo de una partícula movi#ndose en un campogravitatorio uniforme que discutimos en la sección anterior.Elijamos el origen de coordenadas de modo que coincida con~r )K< entonces, la posición de la partícula queda determinada por )+Q. A%ora elegimos el eje "& de modo que coincida con ladirección del campo gravitatorio. "e este modo

~g O P g (,U )=-

en que g denota la aceleración de gravedad. 1onsideremos luegoel vector ~v)K. 1omo %emos dic%o antes, si ~v)K es colonial con~g , el movimiento de la partícula es rectilíneo. En cambio, si~v)K no es colonial con ~g , siempre podemos escoger como eje"% a la dirección paralela al vector ~v)K P v z )K( U )aquí v z )K

6-


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denota la proyección de ~v)K sobre el eje "& . 1on esta elección

tenemos

~v)K O v y)KU[ v z )K(,U )=J

y, reemplazando )=- y )=J en )+Q obtenemos

~r )t O y)t U[ z )t (,U )=

en que y)t O v y)Kt )=Q

y

, )=Vrespectivamente.

Coordenadas Polares

En diversas circunstancias, el sistema de coordenadas cartesianosno resulta el mas apropiado. &or ejemplo, al discutir elmovimiento de un p#ndulo simple, o al describir la Gorbita de unsat#lite bajo la acción del campo gravitatorio terrestre, lasecuaciones de movimiento en cartesianas son mas biencomplicadas. En esos casos resulta muc%o más adecuado usar coordenadas polares, las que introducimos a continuación.1onsideremos una partícula en movimiento en un plano. &or

supuesto podemos representar el movimiento de la partícula encoordenadas cartesianas ) ),y como se indica en la figura -. !inembargo, tambi#n podemos usar otros para Hmetros pararepresentar la posición P de la partícula.

64


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1oordenadas &olares

En efecto, podemos determinar completamente la posición P especificando la distancia de P al origen " y el GAngulo queforma "P con un eje fijo ) por ejemplo el eje "$ . Llamemos

pues * a la distancia de " a P y + al GAngulo entre "$ y "P .Entonces la posición de P queda especificada completamente por los valores de * y + . Al par ) *,+ los llamaremos coordenadas

polares. Aquí * es una longitud y es siempre positiva o cero, encambio + es un GAngulo que usualmente tomaremos entre K y = .3sando la geometría del triangulo "-P de la figura, resultaelemental encontrar la relación entre el par ) ),y de coordenadascartesianas y el par ) *,+ de coordenadas polares. "e la figuratenemos

) O *cos+ y O *sen+.

3sando el 8eorema de &itágoras

tambi#n tenemos

)=

, )DK

y, por ultimo, de la geometría del triangulo "-P tenemos

, )D+

de modo que

. )D=

65


66/151

1on el objeto de representar los vectores ~r , ~v y ~a en este

sistema de coordenadas, elegiremos una base apropiada.Llamaremos *U al vector unitario a lo largo de ~r )i.e., a ladirección + O constante, Go, en otras palabras, la dirección demáimo crecimiento de la variable *. &or otra parte, llamaremos+ U al vector unitario ortogonal a *, dirigido en la dirección decrecimiento del GAngulo +

*ase del sistema de coordenadas polares

La base de vectores *U, + U varia en el tiempo, junto con elmovimiento del punto P . En cambio la base de vectores U',UestaG fija. 1on el objeto de calcular la dependencia temporal de *U y+ Uen el tiempo, conviene representar los vectores móviles *U y + Uen la base U',U. "e la figura tenemos

*U O cos+ U' [ sen+ U )DDy

+ U O Psen+ U' [ cos+ . U )D-

Es evidente de la figura J, así como tambi#n de las ecuaciones)DD y )D-, que los vectores *U y + U solamente varían si varia elGAngulo + . "erivando )DD con respecto a + vemos que

)DJ

&or otra parte, diferenciando )D- con respecto a + obtenemos

66


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)DYue la derivada de *U sea proporcional a + Ues una consecuenciadel %ec%o que *Ues unitario. En efecto, derivando la igualdad *U\ *UO + con respecto a + , obtenemos de inmediato que *U\d*/+ U O K, esdecir d*/d+ U es ortogonal a *U. 1omo estamos en un espacio dedos dimensiones, Gesto a su vez implica que d*/d+ U debe ser

paralelo a + U.1on estos preliminares podemos a%ora obtener las epresiones

para los vectores posición, velocidad y aceleración encoordenadas polares. "e la figura ??, obtenemos de inmediato"P _ ~r O **.U)DQ

&ara obtener la velocidad derivamos )DQ con respecto al tiempo."e este modo, usando la regla de Leibniz, tenemos

. )DV

;emos visto anteriormente que *U varia solo si + varia. Asiques,

usando la regla de la cadena y )DJ obtenemos

)D

&ara referencia futura es conveniente calcular d+/dt U . &rocediendoen forma análoga a la manera que obtuvimos )D, se tiene

)-K

/eemplazando )D en )DV y utilizando la notación de :eWton

para denotar las derivadas temporales, finalmente obtenemos,

~v O *] *U[ *+ ]+.U )-+

3na vez obtenida la velocidad es simple obtener la aceleracióniterando el procedimiento anterior. "e %ec%o, derivando )-+ conrespecto al tiempo, y utilizando la regla de Leibniz, se tiene

. )-=

6.


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6inalmente, reemplazando las epresiones para d*/dt U y d+/dt U

obtenidas en )D y )-K respectivamente, obtenemos finalmentela epresión para la aceleración en coordenadas polares

)-D

&ara ilustrar el uso de las coordenadas polares, consideremos elmovimiento de una partícula en un circunferencia con rapidezconstante, i.e., el movimiento circular uniorme. 1onsideremos

pues una circunferencia de radio sobre la cual se mueve una

partícula con rapidez constante vK. 1on el objeto de describir elmovimiento de la partícula elijamos un sistema de coordenadas

polares con origen en el centro de la circunferencia

$ovimiento 1ircular 3niforme

"ada esta elección de coordenadas, * O es constante y por lo

tanto *] O *^ O K. /eemplazando estos valores en )-+ tenemos

~v O + ]+.U )--

1omo la partícula estaG obligada a moverse en la circunferencia,solo tiene componente tangencial de la velocidad )i.e., solo lacomponente a lo largo de + U de su velocidad es no nula. Además,de )-- tenemos

vK O +,] )-J

6


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de modo que la velocidad angular 0 _ + ] de la partícula es

constante y estaG dada por 0 O vK /. Ba que 0 O + ] es constante para este movimiento, entonces + ̂ O K. /eemplazando * O , *] O *^ O K, y + ] O K en )-D se tiene,

)-

Entonces, para el movimiento circular uniorme la aceleración dela partícula es centrípeta )i.e., es radial y dirigida %acia el centrode la circunferencia. :ota0 La epresión )- para la aceleración

de una partícula en movimiento circular uniforme fue obtenida por primera vez por 1%ristian ;uygens )+=`+J ) e.g., ver por ejemplo >=?, que es una ecelente referencia para distintostemas de la %istoria de la mecánica< ver tambi#n >D?.

Coordenadas Cilíndricas

1onsideremos una partícula P que se mueve en el espacio. Enlugar de representar la posición de P en coordenadas cartesianas

como lo %icimos mas arriba, podemos proyectar su movimiento alo largo de un eje )llamemos "& a este eje y sobre el plano

perpendicular a "& , digamos el plano $% , y utilizar coordenadas polares sobre este plano.

En la figura ?? el punto P se mueve en el espacio, - representa su proyección en el plano $% , z mide la altura de P sobre el plano)i.e., la coordenada a lo largo del eje "& . &ara describir la

posición de - sobre el plano $% utilizamos coordenadas polares.Elegimos como eje polar a un eje fijos sobre el plano, quellamaremos "$ . A la distancia del origen de coordenadas " al

punto - la llamaremos *, en tanto que al GAngulo entre "- y "$ lo llamaremos + . La posición de P queda completamentedeterminada al especificar los valores de *, + y z . A este conjuntode parámetros los llamaremos coordenadas cilíndricas. Lacoordenada z varia entre P y [, la coordenada * entre K e y + entre K y = . En la figura ?? tambi#n %emos representado la base

6


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de vectores orto normales *U, + U y ( U, dirigidos a lo largo de las

direcciones de crecimiento de *, + y z respectivamente. Losvectores *U y + U yacen sobre el plano $% en tanto que ( U es

perpendicular al plano.

1oordenadas 1ilíndricas

3na vez introducidas las coordenadas cilíndricas procedemoscomo en los casos anteriores a encontrar las epresiones para losvectores posición, velocidad y aceleración de P en estas

coordenadas. "el triangulo "-P de la figura ?? tenemos deinmediato

~r O **U[ z (.U )-Q

"erivando ~r con respecto al tiempo, utilizando )D, )-K )omejor auGn directamente )-+ para epresar la derivada de "- conrespecto al tiempo obtenemos

~v O *] *U[ *+ ]+ U[ z ](.U )-V

Aquí %emos usado que el vector ( U, como en el caso de lascoordenadas cartesianas, es constante.6inalmente, derivando )-V con respecto al tiempo y utilizando

)-D, obtenemos)-

Ejemplo: 1omo aplicación del uso de las coordenadas cilíndricasencontraremos la posición, velocidad y aceleración de una

partícula que se mueve con rapidez uniforme, vK, a lo largo de una

.0


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12lice. La %#lice es la curva que se obtiene al trazar una recta

sobre el plano y luego enrollar el plano alrededor de un cilindro,tal como se indica en la figura ??. Alternativamente es la curvaque describe la punta de la %#lice de un avión que se mueve avelocidad constante.

$ovimiento a lo largo de una %#lice

"e esta definición la ecuación de la %#lice en coordenadascilíndricas queda dada por

)JKen que es el radio de la %#lice y b el paso de la 12lice, es decir cuando aumenta z al girar una vuelta )i.e., al avanzar + en = . :oHtese para la %#lice z es multivariada, y por lo tanto tenemos quetomar + variando entre P y [ para especificar completamentela posición de un punto sobre la %#lice. "erivando )JK con

respecto al tiempo obtenemos de inmediatoy ^ )J+

!ubstituyendo los valores dados por )JK y )J+ en )-Q y )-Vencontramos

)J=

)JD

.1


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respectivamente. :o Htese que la componente radial de la

velocidad es nula como era de esperar pues la partícula se muevesobre la superficie del cilindro de radio )la velocidad estangencial a la superficie del cilindro.1omo la magnitud de ~v es constante, e igual a vK, en este

ejemplo, de )JD obtenemos. )J-

:o Htese que en este caso la velocidad angular, + ], es constante y

por lo tanto + ̂O K. 6inalmente usando )JK, )J+, y )J- en )-obtenemos

)JJ :o Htese que si %acemos b O K en )JD, )J-, y )JJ, re obtenemoslas epresiones correspondientes del movimiento circular uniforme que %abíamos obtenido en la sección anterior. Esto erade esperarse, pues si el paso de la %#lice es nulo, el movimientosobre la %#lice se reduce al movimiento sobre un circulo.

Coordenadas Esféricas

1onsideremos una partícula P que se mueve en el espacio. Enlugar de representar la posición de P en coordenadas cartesianascomo lo %icimos mas arriba, podemos usar coordenadas esf#ricas.En la figura +K el punto P se mueve en el espacio, - representa su

proyección en el plano $% , representa su proyección en el plano $& . Llamaremos r a la distancia "P , i.e., al largo del vector ~r . Así mismo llamaremos + al GAngulo entre 4& )vector

posición y el eje z . 6inalmente llamaremos ϕ al GAngulo entre"- y el eje ). A este conjunto de parámetros )r,+,ϕ lo llamaremoscoordenadas es2ricas. Aquí, la coordenada r es no negativa )i.e.,r X K, en tanto que K + , y K ϕ = . En la figura +Ktambi#n %emos representado la base de vectores orto normales r U,

.2


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r

3

r

x

y

z

R

7

3

+ U y varp1iU , dirigidos a lo largo de las direcciones de crecimiento

de r , + y ϕ respectivamente. Los vectores r U y + U yacen en el plano)vertical que contiene al eje z y a la recta P-, en tanto que ϕ yaceen el plano $% .

1oordenadas Esf#ricas

"escomponiendo r U, + U y ϕU, obtenemos las relaciones siguientes0

r U O sen+ )cosϕU' [ senϕU [ cos+(,U )J + U O cos+ )cosϕU' [

senϕU P sen+ (,U )JQ

y,ϕU O PsenϕU' [ cos .ϕ U )JV

"erivando estas epresiones es simple obtener,

)J

)K

.-


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y

)+

8al como lo %icimos en el caso de las coordenadas polares, a%oraencontraremos las epresiones para el vector posición, lavelocidad y la aceleración en coordenadas esf#ricas, usando lasepresiones )J, )K, y )+. "e la definición de r y de r U )ver tambi#n la figura +K tenemos que,

~r O rr.U )=

"erivando )= con respecto al tiempo y usando la regla de lacadena tenemos,

. )D

&ara obtener el termino entre par#ntesis en la ultima ecuaciónusamos la regla de la cadena para obtener,

y luego )J para obtener finalmente

"erivando luego )D y procediendo de un modo análogo, unofinalmente encuentra,

)-

Antes de cerrar este capitulo deseamos discutir dos problemastípicos. El primero es el lanzamiento de proyectiles y el segundolos problemas de persecución.

.4


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an!amiento de Pro"ectiles

El lanzamiento de proyectiles fue analizado correctamente por primera vez por 2alileo 2alilei )+J-`+-=. El problema, por supuesto, es encontrar la trayectoria de una partícula que esarrojada con rapidez inicial vK formando unaGngulo + con la

%orizontal, en presencia de un campo gravitacional uniforme ~g dirigido a lo largo de la vertical, %acia abajo )ver figura .1omo %emos visto anteriormente, la ecuación que gobierna elmovimiento del proyectil es la ecuación )+Q. ;emos visto que elmovimiento de tal proyectil ocurre en un plano. !i elegimos lascoordenadas cartesianas ) y,z para describir el movimiento del

proyectil en el plano, entonces la evolución de las coordenadas y)t y z )t del proyectil estaG dada por )=J y )= respectivamente.En t#rminos de la rapidez inicial vK y del GAngulo de tiro + ,tenemos v y)K O vK cos+ y v z )K O vKsen+ . /eemplazando estasepresiones en )=J y )= respectivamente, el movimiento del

proyectil estaG dado en forma param#trica )i.e., en la forma y O y)t , z O z )t con el tiempo como para metro por

y)t O vK cos+ t, )J

. )

/ecordemos que %emos elegido el origen de coordenadas demodo que coincide justo con el punto de lanzamiento y %emosestablecido t O K como el instante en que se arroja el proyectil.!i despejamos el tiempo t de )J en t#rminos de y, y l oremplazamos en ) obtenemos

. )Q

.5


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)Q corresponde a la ecuación de una para bola en el plano ) y,z ,

invertida, y con eje de simetría el eje z . 1ompletando el cuadradoen )?? podemos escribir la ecuación de la parábola como

)V

"e )V vemos que la altura máima que alcanza el proyectil es

)

altura que ocurre cuando el proyectil se encuentra a una distancia%orizontal d O desde el punto delanzamiento. En otras palabras,el v#rtice de la para Hbola se encuentra en el punto )d,1 del plano.Yuizás la propiedad más importante en el lanzamiento de

proyectiles es el rango, i.e., a que distancia desde el punto de

lanzamiento se encuentra el proyectil cuando toca tierra )cuando z O K nuevamente. El rango O )vK ,+ es fácil de obtener a partir de )??. ;aciendo z O K en )Q obtenemos dos soluciones para y,digamos y O K e y O en que

)QK

:o Htese que O =d , lo que era de esperar pues el eje de simetría

de la para Hbola es la recta z O d . 8anto el rango, , como la alturamáima que alcanza el proyectil, 1, son funciones de los datos dellanzamiento vK y + . En particular, ambos son proporcionales aque es la u Hnica epresión con dimensiones de longitud que

podemos construir a partir de vK y g .&ara una rapidez inicial vK dada, si consideramos el rango comofunción del GAngulo de lanzamiento, + , este es máimo cuando elGAngulo de lanzamiento es / - )i.e., -J. Además, como lafunción seno satisface sin3 O sin) P 3, el rango correspondiente

.6


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a un GAngulo + es igual al rango correspondiente a / =P+ )en otras

palabras, la función )vK ,+ es sim#trica con respecto a -J.

Pro#lemas de Persecución: a $ama " el Perrito

Los problemas de persecución son un tema clásico de la cinemaGtica. 8radicionalmente llevaban el rotulo del mercante y el pirata)ver >??. Las %erramientas de calculo que se usan en este tipo de

problemas son un poco mas sofisticadas que la del resto delcapitulo, de modo que esta sección se puede saltar en una primeralectura y retornar a ella más adelante.1onsidere dos puntos )la dama y su perrito< el primero, -)la

dama, se mueve en línea recta con velocidad constante v y elsegundo, P )el perrito, describe una curva con rapidez constanteu de modo que en todo instante se dirige %acia su amo )la dama.El objeto es determinar la ecuación de la trayectoria de P , en losdistintos casos )u 4 v, u O v, y u 5 v. Eisten muc%as variantes deeste tipo de problemas. El lector interesado puede consultar >??.1on el objeto de encontrar la trayectoria del perrito, elegiremoscoordenadas cartesianas. Elegimos el eje "$ de modo quecoincida con la trayectoria de la dama. "enotaremos por 1 a la

trayectoria del perrito. El perrito recorre 1 con rapidez constanteu, de modo que en todo instante t , la recta tangente a 1 en el punto

P intersecta al eje "$ justo en -, i.e., en la posición de la dama enel instante t . !i consideramos la trayectoria de la dama como todoel eje "$ , eds. claro que sobre la curva 1 debe %aber un punto Atal que la tangente a 1 en A es perpendicular al eje "$ .Elegiremos justamente la tangente a 1 en A como el eje "% .Llamemos ) e y a las coordenadas del perrito P en un instante

..


78/151

dado )i.e., P O ) ),y. 1omo P y - recorren sus respectivas

trayectorias con rapidez constante, debemos tener AP "-

O , )Q+u v

ya que A, " y P , - son dos pares de posiciones simultaneas del perrito y de la dama. &or definición de la tangente a 1 en el punto P tenemos que

6- d)

O P , )Q= 6P dy

en que el punto 6 es la proyección de P sobre el eje "$ . El signomenos se %a introducido en )Q= para tomar en cuenta que la curva1 tiene pendiente negativa en P . A%ora, AP O s es el arco descrito

por el perrito sobre 1 ) medido a partir del punto A, en tanto que"- O "6 [ 6-. &ero, por construcción, "6 O ) y 6P O y, demodo que podemos reescribir )Q+, usando )Q=, como en que

%emos definido e _ v/u.

, )QD&or otra parte, a lo largo de la curva 1, el elemento de arco estaGdado )usando el 8eorema de &itágoras por

)Q-de donde sigue

, )QJ

en que el signo menos proviene del %ec%o que s aumenta cuando ydisminuye. "erivando la ecuación )QD con respecto a y, usando)QJ, obtenemos

.


79/151

, )Q

la cual es una ecuación diferencial de primer orden para O d)/dyque se puede resolver mediante separación de variables. Enefecto, la ecuación )Q se puede escribir como cuya integral es

d dy

O e , )QQ p+ [ = y

sin%P+ O log ye [ c, )QVen que c es una constante de integración. !in embargo, O d)/dy OK para y O "A _ a, lo cual determina la constante de integración.8enemos entonces

)Q

de modo que, usando la definición de la función sen%) ), )i.e.,sin% ) O )ep )P ep)P ) / =, obtenemos

. )VK

.


80/151

A C%&'(&)AC(%& VE*E+%S %S '(P%S $E

+%V(+(E&'%S ,)E -A. E& A C(&E+A'(CA

0


81/151

1


82/151

2


83/151

$475$5E:84 14: A1ELE/A154: 7A/5A*LE

-


84/151

$475$5E:84 14: A1ELE/A154: 14:!8A:8E E 523AL

A 1E/4

4


85/151

$475$5E:84 14: A1ELE/A154: 14:!8A:8E B"56E/E:8E A 1E/4

5


86/151

$475$5E:84 E: EL &LA:4

6


87/151

$475$5E:84 "E &/4BE185LE!

.


88/151

$475$5E:84 /E185L5:E4 3:564/$E


89/151


90/151

0


91/151

$475$5E:84 &A/A*4L514

1


92/151

$475$5E:84 /E185L5:E4 3:564/$E$E:8EA1ELE/A"4

2


93/151

$475$5E:84 A/$4:514 !5$&LE

-


94/151

$475$5E:84 15/13LA/

3n movimiento circular es aquel en que la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo del tiempo )trayectoria generauna curva en la que todos sus puntos se encuentran a la mismadistancia / de un mismo punto llamado centro.

Este tipo de movimiento plano puede ser, al igual que elmovimiento rectilíneo, uniforma o acelerado. En el primer caso, elmovimiento circunferencial mantiene constante el módulo de lavelocidad, no así su dirección ni su sentido. "e %ec%o, para que elmóvil pueda describir una curva, debe cambiar en todo instante ladirección y el sentido de su velocidad. *ajo este concepto,siempre eiste aceleración en un movimiento circunferencial, puessiempre cambia la velocidad en el tiempo, lo que no debemosconfundir, es que si un movimiento circular es uniforme es porquesu 'rapidez' es constante.

4


95/151

+%V(+(E&'% C(*C)A* )&(F%*+E+E&'E

ACEE*A$%

El movimiento circular uniformemente acelerado )$13A se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe unatrayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad deforma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se

mueve con aceleración constante.

5


96/151

6


97/151

.


98/151


99/151

E.ES $E +%V(+(E&'%

Fundamentos teóricos de las le"es

5saac :eWton )+-=(+Q=Q


100/151

El primer concepto que maneja :eWton es el de masa, que

identifica con cantidad de materia. :eWton asume acontinuación que la cantidad de movimiento es el resultado del

producto de la masa por la velocidad. En tercer lugar, precisa laimportancia de distinguir entre lo absoluto y relativo siempre quese %able de tiempo, espacio, lugar o movimiento.

En este sentido, :eWton, que entiende el movimiento como unatraslación de un cuerpo de un lugar a otro, para llegar al

movimiento absoluto y verdadero de un cuerpo0

compone el movimiento )relativode ese cuerpo en el lugar )relativoen que se lo considera, con elmovimiento )relativo del lugar mismo en otro lugar en el que est#situado, y así sucesivamente, paso a

paso, %asta llegar a un lugar inmóvil ,es decir, al sistema de referencias de

los movimientos absolutos.+K

"e acuerdo con esto, establece que los movimientos aparentes sonlas diferencias de los movimientos verdaderos y que las fuerzasson causas y efectos de estos. 1onsecuentemente, la fuerza en

:eWton tiene un carácter absoluto, no relativo.

Las leyes enunciadas por :eWton, y consideradas como las másimportantes de la mecánica clásica, son tres0 la ley de inercia, la

relación entre fuerza y aceleración y la ley de acción y reacción. :eWton planteó que todos los movimientos se atienen a estas tresleyes principales, formuladas en t#rminos matemáticos. 3nconcepto es la fuerza, causa del movimiento y otro es la masa, lamedición de la cantidad de materia puesta en movimiento< los dosson denominados %abitualmente por las letras 6 y m.

100

https://es.wikipedia.org/wiki/Masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#cite_note-16https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#cite_note-16https://es.wikipedia.org/wiki/Inerciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#cite_note-16https://es.wikipedia.org/wiki/Inercia


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Primera e" de &e/ton o e" de (nercia

La primera ley del movimiento rebate la idea aristot#lica de que uncuerpo solo puede mantenerse en movimiento si se le aplicauna fuerza. :eWton epone que0

odo cuerpo persevera en su estado

de reposo o ser odo cuerpo

persevera en su estado de reposo o

movimiento uniorme y rectilíneo a no

ser que sea obligado a cambiar su

estado por uerzas impresas sobre 2l

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sísolo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo

uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzascuya resultante no sea nula. :eWton toma en consideración, así, elque los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente afuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algonovedoso respecto de concepciones anteriores que entendían queel movimiento o la detención de un cuerpo se debíaeclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nuncaentendiendo como esta a la fricción.

En consecuencia, un cuerpo que se desplaza con movimientorectilíneo uniforme implica que no eiste ninguna fuerza eternaneta o, dic%o de otra forma, un objeto en movimiento no se detienede forma natural si no se aplica una fuerza sobre #l. En el caso delos cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por loque si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se %a ejercido unafuerza neta.

101

https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneohttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneohttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo


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:eWton descubrió la ley de la inercia, la tendencia de un objeto en

movimiento a continuar movi#ndose en una línea recta, a menosque sufra la influencia de algo que le desvíe de su camino. :eWtonsupuso que si la Luna no salía disparada en línea recta, seg9n unalínea tangencial a su órbita, se debía a la presencia de otra fuerzaque la empujaba en dirección a la 8ierra, y que desviabaconstantemente su camino convirti#ndolo en un círculo. :eWtonllamó a esta fuerza gravedad y creyó que actuaba a distancia. :o%ay nada que conecte físicamente la 8ierra y la Luna y sinembargo la 8ierra está constantemente tirando de la Luna %acianosotros. :eWton se sirvió de la tercera ley de epler y dedujomatemáticamente la naturaleza de la fuerza de la gravedad."emostró que la misma fuerza que %acía caer una manzana sobrela 8ierra mantenía a la Luna en su órbita.

La primera ley de :eWton establece la equivalencia entre el estadode reposo y de movimiento rectilíneo uniforme. !upongamos unsistema de referencia ! y otro !G que se desplaza respecto del

primero a una velocidad constante. !i sobre una partícula enreposo en el sistema !G no act9a una fuerza neta, su estado demovimiento no cambiará y permanecerá en reposo respecto delsistema !G y con movimiento rectilíneo uniforme respecto delsistema !. La primera ley de :eWton se satisface en ambossistemas de referencia. A estos sistemas en los que se satisfacen lasleyes de :eWton se les da el nombre de sistemas de referenciainerciales. :ing9n sistema de referencia inercial tiene preferenciasobre otro sistema inercial, son equivalentes0 este conceptoconstituye el principio de relatividad de 2alileo o neWtoniano.

El enunciado fundamental que podemos etraer de la ley de :eWton es que la . Esta epresión es una ecuaciónvectorial, ya que tanto la fuerza como la aceleración llevandirección y sentido. &or otra parte, cabe destacar que laaceleración no es la variación de la posición, sino que es lavariación con la que varía la velocidad.

102

https://es.wikipedia.org/wiki/Tierrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lunahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tierrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lunahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercial


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"e la ecuación podemos deducir que si act9an fuerzassobre los cuerpos, el cambio que se provoca en su aceleración es

proporcional a la fuerza aplicada y dic%o cambio se produce en ladirección sobre la que se apliquen dic%as fuerzas.

Sistemas de referencia inerciales

La primera ley de :eWton sirve para definir un tipo especial desistemas de referencia conocidos como sistemas de referenciainerciales, que son aquellos desde los que se observa que uncuerpo sobre el que no act9a ninguna fuerza neta se mueve con

velocidad constante.3n sistema de referencia con aceleración )y la aceleración normalde un sistema rotatorio se incluye en esta definición no es unsistema inercial, y la observación de una partícula en reposo en el

propio sistema no satisfará las leyes de :eWton )puesto que seobservará aceleración sin la presencia de fuerza neta alguna. !edenominan sistemas de referencia no inerciales.

"iferencia de planteamiento de un problema debido a la posibilidad de observarlo desde dos puntos de vista0 el punto de

10-


104/151

vista de un observador eterno )inercial o desde un observador

interno

&or ejemplo consid#rese una plataforma girando con velocidadconstante, , en la que un objeto está atado al eje de giro medianteuna cuerda, y supongamos dos observadores, uno inercial eternoa la plataforma y otro no inercial situado sobre ella.

4bservador inercial0 desde su punto de vista el bloque se mueve encírculo con velocidad v y está acelerado %acia el centro de la

plataforma con una aceleración centrípeta . Estaaceleración es consecuencia de la fuerza ejercida por la tensión dela cuerda.

4bservador no inercial0 para el observador que gira con la plataforma el objeto está en reposo, a O K. Es decir, observa unafuerza ficticia que contrarresta la tensión para que no %aya

aceleración centrípeta. Esa fuerza debe ser . Esteobservador siente la fuerza como si fuera perfectamente real,aunque solo sea la consecuencia de la aceleración del sistema dereferencia en que se encuentra.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referenciainercial, ya que siempre %ay alg9n tipo de fuerzas actuando sobrelos cuerpos< no obstante, siempre es posible encontrar un sistemade referencia en el que el problema que estemos estudiando se

pueda tratar como si estuvi#semos en un sistema inercial. Enmuc%os casos, la 8ierra es una buena aproimación de sistemainercial, ya que a pesar de contar con una aceleración traslacional

y otra rotacional, ambas son del orden de K.K+ y, enconsecuencia, podemos considerar que un sistema de referencia deun observador en la superficie terrestre es un sistema de referenciainercial.

104

https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_centr%C3%ADpetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_centr%C3%ADpetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercial


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Aplicación de la Primera e" de &e/ton

!e puede considerar como ejemplo ilustrativo de esta primera leyuna bola atada a una cuerda, de modo que la bola gira siguiendouna trayectoria circular. "ebido a la fuerza centrípeta de la cuerda)tensión, la masa sigue la trayectoria circular, pero si en alg9nmomento la cuerda se rompiese, la bola tomaría una trayectoriarectilínea en la dirección de la velocidad que tenía la bola en elinstante de rotura.

8ras la rotura, la fuerza neta ejercida sobre la bola es K, por lo queeperimentará, como resultado de un estado de reposo,un movimiento rectilíneo uniforme.

105

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme


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Segunda e" de &e/ton o e" Fundamental de

la din0mica

La !egunda Ley de :eWton epresa que0

El cambio de movimiento esdirectamente proporcional ala motriz impresa y ocurreseg9n la línea recta a lo largode la cual aquella fuerza seimprime.

Esta ley se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Laaceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerzaneta aplicada sobre el mismo. La constante de proporcionalidad esla masa del cuerpo )que puede ser o no ser constante. Entender lafuerza como la causa del cambio de movimiento y la

proporcionalidad entre la fuerza impresa y el cambio de lavelocidad de un cuerpo es la esencia de esta segunda ley.

Ba conocemos que la fuerza aplicada a un cuerpo es capaz de producir variaciones de velocidad, es decir, aceleraciones.A%ora trataremos de encontrar alguna relación de tipo cuantitativoentre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que adquiere,vali#ndonos para ello de un eperimento idealizado que nosayudará a comprender esa relación."ispongamos de una caja de masa m, la cual está dotada de unasrueditas que le permiten moverse a trav#s de una superficie

perfectamente pulid, con el objeto de suponer nula el roce.106

https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICOhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml#TEORICO


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• a1 Cuando la masa se mantiene constante2

!i aplicamos a la caja fuerzas 6, =6 y D6 se van adquiriendoaceleraciones que se resumen en la siguiente tabla0

+asa constante

Aceleración a =a Da -h

6uerza 6 =6 D6 -6

8abla AEn dic%a tabla se ven las características siguientes0

• !i 6 se duplica, a se duplica.• !i 6 se triplica, a se triplica.• !i 6 se cuadruplica, a se cuadruplica.

1omo puede notarse, la aceleración aumenta en la misma

proporción en que aumenta la fuerza, es decir0a aceleración de la

caja es

directamente

proporcional a la

fuer!a 3ue act4a

so#re ella2

$atemáticamente puede epresarse0

• #1 Si mantenemos constante la fuer!a2

1onsideremos a%ora las tres cajas de masas diferentes0 m< =m< Dm<sobre las cuales actuará la misma fuerza como lo muestra la figuraD.

10.


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Los resultados se resumen en la siguiente tabla0Fuer!a constante

$a

sa del cue

r po

Aceler

ación

8abla *En dic%a tabla se ven las características siguientes0

• !i m se duplica, a se reduce a la mitad.

10


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• !i m se triplica, a se reduce a la tercera parte.• !i m se cuadruplica, a se reduce a la cuarta parte.

1omo puede notarse, la aceleración se reduce en la misma proporción en que aumenta la masa, es decir0

a

aceleración

es

inversament

e

proporcional

a la masa2

$atemáticamente se epresa así0

!i condensamos las conclusiones de los casos a y b podemosescribir que0

a aceleración 3ue

ad3uiere un

cuerpo esdirectamente

proporcional a la

fuer!a 3ue act4a

so#re él5 e

inversamente

proporcional a su

masa2

&ara epresar matemáticamente la ley debemos decir que0 el

cociente entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración queadquiere permanece constante. Es decir, si sobre un cuerpo seejercieran fuerza 6+, 6=, 6D, 6- etc., y sus correspondientesaceleraciones fueran a+, a=, aD, a-, se cumpliría en valor absolutoque0

Ese valor constate es la masa del cuerpo, pudi#ndose escribir0

10

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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4bservaciónLa segunda Ley de :eWton trata de a acción de una sola fuerza,

pero en la práctica aparecen actuando siempre varias fuerzas, lascuales pueden ser reemplazadas por una 9nica fuerzallamada fuer!a resultante.Así, por ejemplo cuando una caja se mueve %acia la derec%adebido a la acción de una fuerza 6, figura -, está actuando siempre%acia la izquierda una fuerza de roce )6r.

4bservando la figura y aplicando la segunda ley de :eWton podemos escribir que0

Unidades de Fuerza

&artiendo de la ecuación fundamental de la dinámica deducimos que la unidad de fuerza es aquella que al actuar sobreun cuerpo de masa igual a la unidad, le comunica una unidad deaceleración.La ecuación tambi#n nos permite definir cualquier unidad defuerza en función de la unidad de masa y la unidad de aceleraciónen los sistemas c.g.s., $..!. y t#cnico.

c2g2s.0

+262S.0

'écnico0Cuadro resumen

!iste

3nidad

!ím bolo

110

http://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/cinematica-dinamica/cinematica-dinamica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/cinematica-dinamica/cinematica-dinamica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml


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ma

c.g.s.

dina

dyn

$

.

.!.

:eWton

:

8

#cnico

ilo

p

ondio

pondio

p p

Definiciones de unidades

3na dina es lafuerza capaz decomunicarle a lamasa de un gramola aceleración de+cmZs=

3n &e/ton es la

111


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fuerza capaz decomunicarle a lamasa de unilogramo laaceleración de+mZs=

3n 6ilopondio esla fuerza con quela tierra es capazde atraer a unilogramo masaubicado al nivelmar y a -J delatitud.

Equivalencias entre unidades de fuerza

• a1 *elación entre el &e/ton " la dina

&ara obtener la relación entre :eWton y dinas bastará condescomponer el :eWton así0

1omo + g. O +KKK y + m O +KK cm., podemos escribir0

Luego0

• #1 *elación entre el &e/ton " el 6ilopondio

!i dejásemos caer libremente el ilogramo patrón, descendería

como todos los cuerpos, con una aceleración de ,V mZs=. Lafuerza que origina esta aceleración es el p.!i aplicamos la fórmula fundamental de la dinámica setendrá que0

Luego0

• c1 *elación entre el 6ilopondio " la dina

112

http://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtml


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!abemos que 1omo escribimos que0

Luego0

&or otra parte se tiene que07 6p 8 7999 p, es decir

Entonces0

&or lo que concluimos que0

Es importante decir, que es lo mismo escribir p que g.(f)ilogramo(fuerza o g.(p )ilogramo(peso, para efecto detransformaciones de unidades y problemas.!i escribimos las equivalencias en un cuadro tenemos0

3sando el cuadro podemos concretar diciendo0• !i la transformación tiene el mismo sentido de la flec%a

multiplicamos.• !i la transformación tiene mismo sentido opuesto a la

flec%a dividimos.'ransformaciones de unidades de fuer!a

• +. 8ransformar K,=J ) +K(V :eWton a dinas.

11-

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT


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4bs#rvese en el cuadro que se sigue el mismo sentido de la flec%a,

lo que nos indica que debemos multiplicar por la equivalencia +KJ.K,=J ) +K(V : O K,=J ) +K(V ) +KJ dinasK,=J ) +K(V : O K,=J ) +KD dinas

• =. 8ransformar +=KK dinas a p.4bservando el cuadro de las unidades, nos damos cuenta que sedebe dividir entre ,V y +KD. &ero al dividir por +KD equivale amultiplicar por +K(D.

• D. 8ransformar =,J ) +K(D p a :eWton.4bservando en el cuadro nos damos cuenta que %a demultiplicarse por VK y luego dividirse por +KJ. La operación sedispone así0

• -. 8ransformar K,=J : a dyn.El cuadro nos muestra que debemos multiplicar por +KJ.

• J. Epresar en : una fuerza de =KKKKK dyn.El cuadro nos muestra que transformación es en sentido opuesto ala flec%a. Luego, debemos dividir por +KJ.

• . @1uántas dinas son K,=J p4bservando el cuadro de las unidades, nos damos cuenta que sedebe multiplicar por +KD y VK.

114


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Peso y masa. Diferencias

Es de gran importancia que se conozca la diferencia entre el peso yla masa, pues, algunas veces se suelen presentar confusiones.

• a masa es la medida de la inercia que tienen loscuerpos, siendo la inercia la resistencia que presentan loscuerpos a cambiar su estado de reposo o demovimiento. El peso es el valor de la fuerza de atracciónque la tierra ejerce sobre #l.

•

a masa es constante en cualquier lugar en que seencuentre, en cambio el peso varía seg9n la distancia aque se encuentre del centro de la tierra. Esto se eplica

por que la tierra no es una esfera perfecta, sino que esligeramente aplastada en los polos. 1uando vamos de los

polos al ecuador nos alejamos del centro de la tierra.• a masa se epresa en una unidad llamada ilogramo, en

cambio el peso se epresa en :eWton.• a masa es una magnitud escalar que se mide con la

balanza, en cambio el peso es una magnitud vectorial quese mide con un dinamómetro. Ecuación del peso de un cuerpo

La caída de un cuerpo es un caso dinámico que puede ser resueltode acuerdo a la epresión

1omo la fuerza con la que la tierra atrae a los cuerpos se ladenomina peso )P y la aceleración con que caen se ledenomina gravedad )g, entonces la epresión anterior puede

escribirse así0Gravitación y fuerza de gravedad

&ensemos sobre los siguientes %ec%os que se presentan enla naturaleza0

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http://www.monografias.com/trabajos10/restat/restat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/origen-tierra/origen-tierra.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/el-ecuador/el-ecuador.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/dinamometro-hidraulico/dinamometro-hidraulico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/restat/restat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/origen-tierra/origen-tierra.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/el-ecuador/el-ecuador.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/dinamometro-hidraulico/dinamometro-hidraulico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtml


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•

• 1onsideremos una esferita, que rueda %orizontalmente por una mesa y a gran velocidad. Al llegar al etremo nose desplaza en línea recta ni uniformemente, sutrayectoria es una curva como la indicada en la figura J.

• 3n sat#lite lanzado desde la tierra, figura , tampoco semueve en línea recta, sino que gira alrededor de ella.

1omo %a podido notarse, eiste una constante atracción entre latierra y los cuerpos que están dentro de ella. Esta atracción no sólose produce entre la tierra y los cuerpos dentro de ella, pues, todoslos cuerpos se atraen los unos a los otros. !e atraen la luna y latierra, la tierra y los demás planetas se atraen entre sí.

La atracción entre los cuerposdel universo recibe el nombrede gravitación universal

a fuer!a de gravedad es lafuerza con que un cuerpo esatraído %acia la tierra en undeterminado lugar

La gravitación es una constante universal denotada por 2, encambio la gravedad no es universal pero si constante y su valordepende de la distancia al centro de la tierra.

Ejemplo de problemas relacionados con la egunda !ey de "e#ton.

116

http://www.monografias.com/trabajos/sistsolar/sistsolar.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/creun/creun.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/sistsolar/sistsolar.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/creun/creun.shtml


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• +. 3na fuerza le proporciona a la masa de =,J g. unaaceleración de +,= mZs=. 1alcular la magnitud de dic%afuerza en :eWton y dinas.

$atos

m O =,J g.a O+,= mZs=.6 O ): y dynSolución

:ótese que los datos aparecen en un mismo sistema de unidades)$..!.

&ara calcular la fuerza usamos la ecuación de la segunda ley de :eWton0

!ustituyendo valores tenemos0

1omo nos piden que lo epresemos en dinas, bastará conmultiplicar por +KJ, luego0

• =. @Yu# aceleración adquirirá un cuerpo de K,J g.cuando sobre #l act9a una fuerza de =KKKKK dinas

$atos

a Om O =,J g.6 O =KKKKK dynSolución

La masa está dada en $..!., en cambio la fuerza está dada en

c.g.s.&ara trabajar con $..!. debemos transformar la fuerza a la unida$..!. de esa magnitud ):

La ecuación de la segunda ley de :eWton viene dada por0

"espejando a tenemos0

11.

http://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/tra

Cinematica y Leyes Del Movimiento

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