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CINEMATICA
La cinematica è lo studio del moto
dei corpi da un punto di vistapuramente matematico
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CINEMATICA
Grandezze fisiche importanti nellacinematica:
• spazio
• tempo
• velocità• accelerazione
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VELOCITA’
La velocità è il rapporto tra spaziopercorso e tempo impiegato a
percorrerlo
t
sv
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VELOCITA’
Unità di misura della velocità:
• metri al secondo m/s• chilometri orari km/h
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VELOCITA’
Bolt corre icento metri in
9 secondi e 58centesimi: qualè la suavelocità in m/se km/h?
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VELOCITA’
Il Frecciarossava da Milano a
Roma (632 Km)in 3 ore e 25minuti: calcolala velocità
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VELOCITA’
Il pianetaNettuno dista
dal sole 4,5miliardi di km ecompie la suaorbita in 164,9anni: calcola lavelocità
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VELOCITA’
La Terracompie un giro
su se stessa in24 ore: calcolala velocitàall’equatore e
ai poli
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MOTO UNIFORME
I primi tre casi presentano una sostanzialedifferenza con l’ultimo: infatti, nei primi tre
la velocità è una MEDIA, perché non èsempre uguale, mentre nell’ultimo caso lavelocità è fissa: si parla di MOTOUNIFORME
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MOTO UNIFORME
Un moto si dice uniforme se:
• la velocità è costante• gli spazi percorsi sono proporzionaliai tempi impiegati
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Legge oraria del m.u.
Una LEGGE ORARIA è una formula chepermette di calcolare lo spazio percorso da
un corpo al variare del tempo.
La legge oraria del moto uniforme derivadirettamente dalla definizione di velocità
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Legge oraria del m.u.
t v s Oppure, se al tempo t=0 il corpo ha giàpercorso una distanza So dal punto origine:
o st v s
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Grafico spazio-tempo
Graficamente, lalegge oraria delmoto uniforme èrappresentata dauna retta nel pianocartesiano in cui si
pone in ascisse iltempo e in ordinatelo spazio
0
10
20
30
40
5060
70
80
90
100
0 2 4 6 8
Tempo (secondi)
S p a z i o ( m
e t r i )
-
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Grafico spazio-tempo
La velocità puòessere così ricavatadal grafico:
preso un triangolocon cateti paralleliagli assi, la velocità
è il rapporto tracateto verticale eorizzontale
0
10
20
30
40
5060
70
80
90
100
0 2 4 6 8
Tempo (secondi)
S p a z i o ( m
e t r i )
L “ ” d l
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La “scoperta” del moto
uniforme
Il moto uniforme è una astrazionematematica.
Possiamo chiederci se esistono in naturamoti uniformi
L “ ” d l
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La “scoperta” del moto
uniforme
La scienza anticariteneva che il moto deicorpi si esaurisse inmodo spontaneo (adesclusione di quello deicorpi celesti) e che
quindi un corpo in motonon più soggetto a forzedovesse prima o poifermarsi
L “ ” d l
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La “scoperta” del moto
uniforme
Galileo Galilei nellaprima metà del ‘600ipotizzò, al contrario,che il moto di un corposu di un pianoorizzontale in assenza di
attrito dovessecontinuareindefinitamente senzamutare velocità.
L’ i l di
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L’esperimento mentale di
Galileo
Nel 1632 Galileo proposeun esperimento mentaleper provare la suateoria: in esso siimmaginava un pianoillimitato e privo di attriti
ed una sferaperfettamente liscia
L’ i t t l di
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L’esperimento mentale di
Galileo
Se la sfera è posta sul piano in discesa questaaumenta gradualmente la sua velocità
L’ i t t l di
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L’esperimento mentale di
Galileo
Se la sfera è lanciata sul piano in salitaquesta diminuisce gradualmente la suavelocità
L’ i t t l di
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L’esperimento mentale di
Galileo
Infine, se il piano non è né in salita né indiscesa, la velocità non sarà né aumentatané diminuita, e quindi il moto sarà uniforme
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Il principio di inerzia
Basandosi sulle ideedi Galileo Newtonformulò in modo piùgenerale (ovverosenza riferimenti apiani e sfere) questa
ipotesi, che verràchiamata “principiodi inerzia”
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Il principio di inerzia
UN CORPO PERSEVERA NEL SUO
STATO DI QUIETE O DI MOTO
RETTILINEO UNIFORME FINCHE’ NON INTERVENGONO DELLE FORZE A
MODIFICARNE IL MOTO
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Il principio di inerzia
Questo non è un principio verificabilesperimentalmente in modo diretto; la
prova della sua validità sta nel fatto cheesso, insieme con gli altri principi delladinamica, consente di descrivere in modocorretto i fenomeni naturali
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Il principio di inerzia
La sonda spazialeVoyager 2 staviaggiando nello
spazio dal 1977,alla velocitàattuale di56000Km/h,
grazie alla solaspinta iniziale delrazzo vettore
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Relatività del moto
Strettamente connesso al principio diinerzia è quello della RELATIVITA’ DEL
MOTO, ovvero il fatto che il movimentonon è mai assoluto, ma va sempre riferitoa qualcos’altro.
Infatti nel principio di inerzia non sidistingue tra “quiete” e “moto rettilineouniforme”
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Relatività del moto
Ad esempio, la nostra scuola è ferma pernoi che stiamo sulla Terra, ma rispetto a
un osservatore posto, per esempio, sullaluna, si muove intorno all’asse terrestre auna velocità di quasi 1200 Km/h
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Sistema di riferimento: spazio
Lo studio di qualsiasi movimento devequindi sempre far riferimento a qualcosa
che assumiamo come abbastanza fisso darendere le nostre osservazioni utilizzabilianche in futuro e dal altre persone.
La posizione del corpo di cui stiamostudiando il moto verrà dunque sempreriferita a questa cosa
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Sistema di riferimento: tempo
Inoltre, poiché lo studio del moto implicaanche misure di tempo, dovremo anche
procurarci dei cronometri perfettamentetarati e tutti sincronizzati su una comuneORIGINE DEI TEMPI
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Sistema di riferimento
Un sistema di riferimento dovrà esserecostituito da:
• corpi estremamente stabili, a cui riferirela posizione nello spazio
• cronometri estremamente precisi e con
una comune origine dei tempi
Si t di if i t l
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Sistema di riferimento: la
monorotaia
Nell’esperimento della monorotaia ilsistema di riferimento è costituito:
• dalla riga graduata in cm posta sullarotaia stessa e con origine nel punto dipartenza del carrello, per gli spazi
• dai cronometri posti ai vari traguardi,tutti avviati nel momento del lancio delcarrello (origine dei tempi)
Si t di if i t l
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Sistema di riferimento: la
monorotaia
Nell’esperimento della monorotaia ilsistema di riferimento è costituito:
• dalla riga graduata in cm posta sullarotaia stessa e con origine nel punto dipartenza del carrello, per gli spazi
• dai cronometri posti ai vari traguardi,tutti avviati nel momento del lancio delcarrello (origine dei tempi)
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Sistema di riferimento: la Terra
Sulla Terra il sistema di riferimento è:
• per gli spazi il sistema dei meridiani e dei
paralleli, basati sul meridiano di Greenwiche sull’equatore come origine
• per i tempi una serie di orologi atomici
gestiti da diversi istituti (come il GalileoFerraris di Torino) con origine lamezzanotte di Greenwich
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Sistema di riferimento: la Terra
I due angoliPCP’ e PAO
sonolatitudine elongitudinedi P
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Sistema di riferimento: il cielo
Per i fenomeni celesti esistono diversisistemi di riferimento spaziali (il tempo è
misurato più o meno come per i fenomeniterrestri)
Uno di questi individua un astro con la suaaltezza sull’orizzonte (altezza) e con ladistanza angolare tra il meridianodell’astro e quello che passa per il nord
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Sistema di riferimento: il cielo
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Velocità media
Nel moto uniforme non importa quale sia iltratto di percorso su cui si misura la
velocità, perchè questa è costante.Invece, in un moto non uniforme lavelocità può variare a seconda del tratto dipercorso considerato
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Velocità media
Un automobilistapuò che va dalcentro di Milano aquello di Torino(142 km) in un’orae 50 minuti ha unavelocità di 77 KM/h,
ma questo solo sesi considera l’interotratto
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Velocità media
In effetti, iltachimetro avràregistrato velocitàmolto maggiori inautostrada e moltominori, perfinonulle nel traffico
cittadino o ai caselli
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Velocità media
Si dice VELOCITA’ MEDIA il rapporto traspazio percorso e tempo impiegato
La velocità complessiva registratadall’automobilista dell’esempio è unavelocità media
t svm
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Velocità istantanea
Si dice VELOCITA’ ISTANTANEA ilrapporto tra spazio percorso e tempoimpiegato, quando l’intervallo di tempo (o dispazio) è molto breve, al limite il più brevemisurabile con gli strumenti a disposizione
Il tachimetro dell’automobile registra la
velocità istantanea
t
s
v
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Velocità istantanea
La velocità istantanea richiederebbe untempo al limite tendente a zero: questosignifica che in effetti essa è soltanto
un’astrazione matematica, quelle che simisurano nella realtà sono sempre solovelocità medie
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Discesa su un piano inclinato
Il primo astudiare e acomprendere
il moto su unpianoinclinato fuGalileo
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Discesa su un piano inclinato
Oggi l’esperimento di Galileo può essereripetuto facilmente con la monorotaia acuscino d’aria posta in leggera inclinazione
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Discesa su un piano inclinato
Se si fa scendere un carrello su un piano
inclinato senza (quasi) attrito e se nestudia il moto ponendo a distanze ugualidei traguardi e rilevando i tempi si notanosubito due cose:
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Discesa su un piano inclinato
1) Lo spaziopercorso èproporzionale
al quadrato deltempo
Spazio-tempo
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
tempo
s p a z i o
-
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Discesa su un piano inclinato
2) La velocitàmedia èproporzionale
al tempo
Velocità media
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
tempo
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Discesa su un piano inclinato
Queste due caratteristiche sono tipichedi un moto molto semplice ma anchemolto particolare che si chiama MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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Accelerazione
Il rapporto (che in questo caso ècostante) tra la variazione di velocità Δve il tempo t in cui questa variazione si è
attuata si dice ACCELERAZIONE
t
v
a
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Accelerazione
L’accelerazione è una delle grandezzefondamentali della meccanica, forse lapiù importante, perché essa è il prodotto
delle forze impresse ai corpi e quindi nedetermina il movimento
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Accelerazione: unità di misura
L’unità di misura dell’accelerazione è ilmetro al secondo al secondo (o metro alsecondo-quadrato)
2/ sm 2
sm
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Accelerazione: unità di misura
La Toyota Yarisva da 0 a 100Km/h in 15,3
secondi: calcolal’accelerazionein m/s2
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Caduta libera
Anche il moto dicaduta libera è unmoto uniformemente
accelerato: infattiesso può essereconsiderato un casolimite del piano
inclinato, coninclinazione 90°
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Caduta libera
Galileo fu il primo aipotizzare chel’accelerazione in
caduta libera èindipendente dallamassa. Secondo unaleggenda lo provò
facendo cadere corpidiversi dalla torre diPisa
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Caduta libera
In realtà fu Newton ilprimo a dare unaprova sperimentale
di questo fattodimostrando che ilperiodo dioscillazione di un
pendolo èindipendente dallanatura del coprooscillante
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Caduta libera
Un veicolo orbitante, come la ISS, ècostantemente in caduta libera; se le suediverse parti cadessero diversamente la
struttura si sbriciolerebbe
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Caduta libera
Oggi è possibileeffettuarel’esperimento
pensato da Galileo inassenza d’aria,utilizzando un tubodi vetro e una pompaa vuoto, come si puòvedere in questofilmato
http://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_k
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La velocità nel moto
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La velocità nel moto
uniformemente accelerato
Indicando con Vo la velocità iniziale èanche possibile scrivere questa formulacosì
Oppure:t avv 0
t avv 0
La velocità media nel moto
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ve oc ed e o o
uniformemente accelerato
La velocità media, secondo ladefinizione, è il rapporto tra spaziopercorso e tempo impiegato
Per cui, invertendo la formula:
t v s m
t svm
-
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Lo spazio percorso nel moto u.a.
Posiamo quindi calcolare sia la velocitàdel corpo sia lo spazio da esso percorsocon queste due formule
t v s m
t avv 0
-
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Lo spazio percorso nel moto u.a.
Questo, naturalmente, a patto di sapercalcolare la velocità media a partire daquella istantanea
t v s m
t avv 0
?
Velocità media = media delle
-
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velocità
Nel moto uniformemente accelerato,contrariamente ad altri tipi di moto, lavelocità media può essere calcolata
come media aritmetica di velocitàiniziale e finale
20
vvvm
Il problema del moto
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p
uniformemente accelerato
In questo modo abbiamo un insiemecompleto di formule per risolverequalunque problema sul moto
uniformemente accelerato
20
vvvm
t v s m
t avv 0
La legge oraria del moto
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gg
uniformemente accelerato
Tuttavia, per comodità, possiamocombinare queste formule per avernedue anziché una, evitando il calcolo della
velocità media
20
vvvm
t v s m
t avv 0
La legge oraria del moto
-
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gg
uniformemente accelerato
Sostituendo come indicato si ottiene:
t vt av
s
2
00
t vt a
s
2
20
t vt a s 0
2
2
1
La legge oraria del moto
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gg
uniformemente accelerato
Questa è la forma tipica della LEGGEORARIA DEL MOTO UNIFORMEMENTEACCELERATO
t vt a s 0
2
2
1
La legge oraria del moto
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gg
uniformemente accelerato
Abbinata alla formula della velocitàconsente di risolvere qualsiasi problemasul moto uniformemente accelerato
t vt a s 0
2
2
1
t avv 0
-
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Moto dei proiettili
Il moto dei proiettilifu a lungo dibattuto:il matematico Nicolò
Tartaglia, adesempio, ipotizzòche la traiettoriafosse un misto di
tratti rettilinei ecircolari
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Moto dei proiettili
Fu invece Galileoa dimostrare chein assenza
d’aria latraiettoria diun proiettile èuna parabola
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Moto dei proiettili
La dimostrazione siottiene scomponendoil moto nella
componenteorizzontale e inquella verticale econsiderandole in
modo indipendente
Componenteorizzontale
Componenteverticale
Moto vero
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Dimostrazione del moto
• Il moto in orizzontaleè un moto uniforme:infatti, tolta l’aria, non ci
sono ostacoli• Il moto in verticale èun moto uniformementeaccelerato: si tratta diuna caduta libera, conaccelerazione pari a g
Componenteorizzontale
Componenteverticale
Moto vero
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Dimostrazione del moto
Per semplificaresupponiamo che ilproiettile sia lanciato
dall’origine,parallelamente all’asse x
Nella caduta indichiamocon x lo spazio percorsoin orizzontale, con yquello percorso inverticale
X
Y
-
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Dimostrazione del moto
In orizzontale, legge delmoto uniforme:
In verticale, legge delmoto uniformementeaccelerato:
X
Y
t v x 0
2
2
1t g y
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Dimostrazione del moto
E questa è, appunto,l’equazione di unaparabola con verticenell’origine
X
Y
2
2
02 xv
g
y
-
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Gittata
Per calcolare la gittata Ddel lancio, conoscendol’altezza h, bastasostituire h al posto di ye D al posto di x, einvertire la formula
Gittata D
Altezza h
2
2
02
Dv
g h
-
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Gittata
La gittata del lancio è quindi direttamenteproporzionale alla velocità orizzontale e allaradice quadrata dell’altezza del lancio.
g
hv D 2
0
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Gittata massima
Quindi:
• in un lancio verticale (Vo=0) la gittata èzero
• in un lancio “ad alzo zero” (h=0) la gittataè zero
Il miglior compromesso tra questi due
estremi, ovvero la gittatta massima, si haquando il lancio avviene a 45° rispetto alsuolo
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Dai proiettili ai satelliti
Newton fu il primo ateorizzare che unproiettile lanciato a
sufficiente velocitàpotesse fare il girodella Terra e tornareal punto iniziale,
restando così inorbita permanente
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Dai proiettili ai satelliti
Verne ipotizzò unviaggio sulla luna permezzo di una navicella-
proiettile sparata da uncannone: anche seteoricamente la cosa èpossibile, la fortissima
accelerazioneucciderebbe all’istantel’equipaggio
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Dai proiettili ai satelliti
Più di recente l’uso deisupercannoni è statoipotizzato per il lancio
in orbita di piccolisatelliti.
Il cannone HARP fu ingrado di lanciare unproiettile a 180Km diquota
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Dai proiettili ai satelliti
Il primo satelliteartificiale, lo Sputnik 1,fu messo in orbita 300
anni dopo lespeculazioni di Newton,nel 1957.
Fu però usato un razzovettore, che fornisceuna spinta costante peralcuni minuti