7/26/2019 Cilindro de Pared Gruesa

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CILINDRO DE PARED GRUESA

Para resolver el problema propuesto, se usa un mtodo caracterstico

de la teora matemtica de la elasticidad.

Consideremos un cilindro largo con extremos axialmente restringidos

cuya seccin transversal tiene las dimensiones mostradas en la fgura.

El radio interno de este cilindro es r! el radio externo es ro. "ean

pi, la presin interna en el cilindro y Po la presin externa. "e buscan los

es#uer$os en la pared del cilindro causados por esas presiones.

%n elemento infnitesimal de espesor unitario est defnido por dos

radios, r y r+dr y un ngulo d , como se muestra en la fgura. "i

el es#uer$o normal radial &ue act'a sobre el elemento infnitesimal a una

distancia r del centro del cilindro es r , este es#uer$o variable a una

distancia r+dr ser e&uivalente a r ( (d r / dr ) dr .

El elemento escogido debe estar en e&uilibrio esttico. El rea sobre

el cual act'a r es ) x r d , sobre la &ue act'a r+dr es ) x

(r+dr)d y cada rea sobre el cual act'a t es igual a ) x dr .

Considerando una sumatoria de #uer$as igual a cero y teniendo en cuenta

&ue t est inclinado * d con respecto al e+e radial tenemos

"implifcando y sin tomar en cuenta los infnitesimales de orden

superior nos &ueda

)r rd+2tdr (d 2)(r+dr )(r+dr )d=0

-dr +rt=0

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Esta ecuacin tiene dos es#uer$os desconocidos r y t .

Compatibilidad Geomtrica

"i u representa el movimiento de una superfcie cilndrica de radio

r , u+du es el movimiento de la superfcie adyacente de radio r+dr .

Por consiguiente, la de#ormacin unitaria r , de un elemento en la

direccin radial es

Considerando la longitud de la superfcie cilndrica de#ormada como

2(r+u) y la no de#ormada como 2r , la de#ormacin unitaria t es

Propiedades de los materiales

e la ley de /oo0e generali$ada tenemos

"in embargo, nuestro cilindro es

axialmente restringido, por lo &ue x 1 2 ! de sta ecuacin deducimos

&ue x= (r+t) , introduciendo este resultado en las ecuaciones 3 y 4 y

resolvindolas simultneamente obtenemos expresiones para r y t

en #uncin de de#ormaciones unitarias.

5

r=u+duu

dr =

du

dr

t=2(r+u )2r

2r =

u

r6

7r=1

E(r tx )

t=1

E(t rx )

x=1

E(x r t)

3

4

8r= E

(1+)(12)[ (1 ) r+ t]

t= E

(1+)(12)

[ (1 ) t+ r] 9

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:ormulacin de la ecuacin di#erencial

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