CIL03-0206

Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering – CILAMCE 2005 Brazilian Assoc. for Comp. Mechanics (ABMEC) & Latin American Assoc. of Comp. Methods in Engineering (AMC), Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19th – 21st October 2005

Paper CIL 03-0206

GERAÇÃO DE CONFIGURAÇÕES EQUILIBRADAS DE SISTEMAS DE LINHAS FLEXÍVEIS ATRAVÉS DE MÉTODOS DE RELAXAÇÃO DINÂMICA

Danilo Machado Lawinscky da Silva Breno Pinheiro Jacob [email protected] [email protected] Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore – LAMCSO COPPE / UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro Cidade Universitária – Centro de Tecnologia – Bloco B Sala 100 – Caixa Postal 68506 21945-970 - Rio de Janeiro – RJ – Brasil Resumo. As necessidades da indústria de exploração de petróleo offshore fazem surgir novas concepções estruturais que empregam sistemas de linhas flexíveis (tanto de ancoragem como de risers). Tais sistemas apresentam configurações cada vez mais complexas, com comportamento dinâmico e não-linear geométrico; assim, para sua análise, torna-se essencial o uso de um procedimento de solução numérica apropriado, baseado no Método dos Elementos Finitos. O procedimento usual de análise dinâmica de linhas flexíveis pelo MEF se baseia no estabelecimento de uma configuração inicial de equilíbrio estática para definir a malha de elementos finitos. Usualmente essa configuração equilibrada inicial é obtida empregando as equações clássicas da catenária. Contudo, em problemas mais complexos essas equações não podem ser aplicadas. Assim, o objetivo deste trabalho consiste em superar este problema com o uso de uma aproximação mais geral de elementos finitos, associada a algoritmos de relaxação dinâmica. Tais algoritmos podem ser iniciados a partir de configurações arbitrárias, não necessariamente em equilíbrio sob a ação do carregamento. Trata-se de um procedimento de solução robusto e que contorna problemas numéricos como mal-condicionamento da matriz de rigidez tangente, permitindo que o problema estático seja resolvido de maneira satisfatória. Palavras-chave: métodos de relaxação dinâmica, métodos numéricos, linhas flexíveis, estruturas offshore 1. INTRODUÇÃO Sistemas de linhas flexíveis e cabos são freqüentemente usados na engenharia civil e oceânica. Tais linhas (tipicamente usados em sistemas de ancoragem para posicionar plataformas offshore e em sistemas de risers e mangotes para transportar fluidos que resultam do processo de explotação de petróleo) apresentam comportamento acentuadamente dinâmico e não-linear, com carregamentos ambientais dependentes do tempo e condições de contorno não-lineares, o que requer o uso de um procedimento de solução numérica apropriado, baseado no Método dos Elementos Finitos. No procedimento usual, a primeira etapa é o estabelecimento de uma configuração inicial de equilíbrio estático, para definir a malha de elementos finitos. Em seguida, a malha de elementos finitos obtida é empregada para a análise dinâmica não-linear. No entanto, diferentemente de outros tipos de estruturas comuns, mais rígidas, para linhas flexíveis o comportamento não-linear acentuado faz com que a especificação de uma configuração de

CILAMCE 2005 – ABMEC & AMC, Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19th – 21st October 2005

equilíbrio estática seja um problema complexo, que requer o uso de métodos robustos e que possam ser inicializados a partir de uma configuração arbitrária facilmente definida, e que não necessariamente esteja em equilíbrio. Tradicionalmente a configuração inicial de equilíbrio estático de linhas flexíveis é obtida através de pré-processadores que empregam formulações analíticas baseadas nas equações clássicas da catenária. Contudo, para as configurações cada vez mais complexas de sistemas de linhas flexíveis que têm sido propostas, a aplicação das equações da catenária deixa de ser a alternativa mais viável. A pesquisa em formulações analíticas baseadas nas equações da catenária é muito extensa (Cardoso, Ferreira, Rodrigues, 2004), procurando avançar em tópicos como o tratamento de linhas compostas por materiais de diferentes propriedades; incluindo bóias e flutuadores distribuídos; considerando fundo do mar irregular; considerando a rigidez à flexão, e levando em conta carregamentos arbitrários como o de correnteza. No entanto existem limitações para o desenvolvimento e uso eficiente de formulações analíticas, que passam pela combinação de todos estes fatores e incluem também o tratamento de sistemas mais complexos, por exemplo com diversas linhas conectadas entre si e a tendões, ou sistemas como mangotes flutuantes, onde a rigidez à flexão é relativamente mais importante e o comportamento hidrostático é não-linear e deve ser tratado de forma mais rigorosa. Para determinação de configurações estáticas de linhas flexíveis baseadas em aproximações mais gerais de Elementos Finitos, o ideal seria o emprego de um procedimento de solução robusto e que possa ser iniciado a partir de uma malha de EF correspondente a uma configuração facilmente definida, não necessariamente em equilíbrio sob a ação do carregamento. Assim, nesse procedimento deveria ser especificada arbitrariamente apenas uma geometria inicial retilínea sem carregamento (nem mesmo peso próprio). No entanto os procedimentos convencionais de solução para problemas estáticos não-lineares discretizados pelo MEF, baseados no método iterativo de Newton-Raphson, podem se tornar ineficientes por várias razões. Por exemplo, o uso de uma geometria inicial livre de carregamentos leva a uma matriz de rigidez tangente singular. Fornecer um estado de tensões iniciais arbitrário pode eliminar esse problema, mas isso leva novamente ao problema inicial, de como definir uma configuração sob tal estado de tensões. Além disso, a rigidez à flexão muito baixa ou ausente, bem como a compressão, também conduzem a uma matriz de rigidez tangente altamente mal-condicionada. Embora a ocorrência de uma matriz de rigidez tangente mal condicionada não represente um problema em análises dinâmicas, uma vez que os efeitos de inércia e amortecimento atenuam esse mal-condicionamento, em análises estáticas este problema pode levar à falha na convergência do processo iterativo de Newton-Raphson. Nesse contexto, surge a necessidade de considerar algoritmos mais robustos, que contornem problemas como o mal-condicionamento da matriz de rigidez tangente, de modo a permitir que o problema estático seja resolvido de maneira precisa e eficiente. O objetivo deste trabalho consiste em estabelecer procedimentos de solução estática robustos e eficientes, orientados para a definição de configurações de equilíbrio estático de sistemas complexos de linhas flexíveis sob ação do peso próprio ou de outras componentes de carregamento estático. As configurações estáticas assim obtidas poderão então ser empregadas em uma análise dinâmica subseqüente, garantindo uma solução estável, eficiente e livre de transientes. Para superar os problemas mencionados anteriormente, associados tanto ao uso de formulações analíticas de catenária quanto ao uso do método de Newton-Raphson como algoritmo de solução de problemas discretizados pelo MEF, serão considerados algoritmos de relaxação dinâmica. O Método de Relaxação Dinâmica (MRD) tem sido usado para obter a solução estática de problemas da mecânica estrutural em geral. Este método baseia-se no fato de que a solução estática é a parte em regime permanente (steady-state) da resposta transiente. Neste caso, a


componente transiente da resposta não tem interesse e deve ser desprezada. Somente a componente em regime é considerada. Este tipo de técnica é classificado na literatura como um método pseudotransiente ou pseudodinâmico (Oakley et al., 1995). Considerando que a resposta estática é o caso limite da resposta dinâmica amortecida por um longo período de tempo, o MRD faz uso de efeitos dinâmicos “artificiais” de inércia e amortecimento para construir um mecanismo de condicionamento para a matriz de rigidez tangente, no caso de uma formulação implícita, ou simplesmente em termos de forças no caso de uma formulação explícita, de modo a contornar os problemas numéricos relatados anteriormente. Para acelerar a convergência, amortecimento artificial pode ser usado nas equações do movimento, levando a relaxação gradual dos efeitos de inércia. Uma clara vantagem é obtida nessa transformação de estática para dinâmica; os termos dinâmicos (inércia e amortecimento) agem como um mecanismo de condicionamento e o problema do mal condicionamento da matriz de rigidez tangente desaparece. O procedimento resultante pode ser iniciado a partir de configurações arbitrárias, não necessariamente em equilíbrio sob a ação do carregamento. Em suma, pode superar as limitações apontadas para as equações da catenária e para o MEF associado ao método de Newton-Raphson, de modo a obter a configuração inicial de equilíbrio para linhas flexíveis a um baixo custo computacional. 2. EQUAÇOES DO MOVIMENTO As equações do movimento são apresentadas, dando suporte a discussão que se segue. As equações semi-discretas de elementos finitos para o movimento no incremento de tempo n + 1 podem ser escritas como

MU**

n+1 + CU*

n+1 + F(Un+1) = Rn+1 (1) onde M é a matriz de massa, C é a matriz de amortecimento, F é o vetor de forces internas e R é o vetor de forças externas. Os parâmetros U** , U* e U representam os vetores para aceleração, velocidade e deslocamentos, respectivamente. Deve-se notar que o vetor de forces internas F é função dos deslocamentos, assim F(Un+1) = K0Un+1 + Q0(Un+1) (2) onde K0 representa a matriz de rigidez linear e Q é o vetor de não-linearidades, podendo incluir termos de não-linearidades relativos a: geometria/material, condições de contorno/contato e cargas não conservativas. A solução da Eq. (1) pode ser obtida pelo uso de um método de integração direta. 2.1 Método de Integração Explícito O uso de um método de integração explícito, em lugar de um implícito, para resolver o sistema de equações dado pela Eq. (1), é atrativo com o uso de computação paralela. Aproximações de diferenças centrais são tipicamente empregadas para as derivadas. Assim.

U**

n = 1h2 ( )Un-1 - 2Un + Un+1 (3)

U*

n = 12h ( )Un+1 - Un-1 (4)

Substituindo essas aproximações em Eq. (1), as equações para os deslocamentos no tempo n + 1 podem ser obtidas


⎝⎜⎛

⎠⎟⎞1

h2 M + 12h C Un+1 = Rn - F(Un) +

2h2 MUn - ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞1

h2 M - 12h C Un-1 (5)

onde h é o passo de tempo. Essas equações são lineares (mesmo em problemas não-lineares), e a parcela entre parênteses no lado esquerdo, é constante a menos que o passo de tempo h varie durante a análise. Ainda, se matrizes de massa e amortecimento diagonais forem usadas, essas equações representam um sistemas de equações algébricas desacoplado onde cada componente da solução pode ser calculada independentemente. Para análises dinâmicas, a história dos deslocamentos no tempo (resposta do sistema) é procurada. Neste caso, vetores de massa e de amortecimento que melhor modelam as propriedades físicas do sistema são usados. São usadas também, técnicas para avaliar o máximo passo de tempo que garanta a estabilidade do método. 2.2 Método de Integração Implícito Em geral, a obtenção de respostas dinâmicas de problemas inerciais é mais eficiente quando associada a algoritmos implícitos de integração no tempo (Bathe, 1996). Os efeitos não-lineares envolvidas são tradicionalmente tratados por uma variação da técnica iterativa de Newton-Raphson, normalmente chamada Método de Newton-Raphson Modificado (Jacob et al., 1994). Em sua forma incremetal-iterativa, as equações de movimento podem ser escritas como

MU**

n+1(k) + CU*

n+1(k) + (K T

(k -1)DU(k))n+1 = Rn+1(k) - (KU) n+1

(k -1) (6) com

Un+1(k) = U n+1

(k -1) + DU (k)n+1 (7)

Nesta equação, KT é a matriz de rigidez tangente e k é o contador de iterações. Em problemas estáticos não há presença de termos de inércia e amortecimento, isto é

K T(k -1)DU(k) = R(k) - (KU)(k -1) (8)

Onde Rn+1(k) é aproximado por R n+1

(k -1) nas iterações do método de Newton-Raphson. Contudo, a ocorrência de uma matriz KT singular ou mal-condicionada, resulta no colapso da solução da Eq. (8). Fazendo uso dos operadores de Newmark’s (Newmark, 1959)

U*

n+1(k) = U*

n + [(1 - γ)U**

n + γU**

n+1(k) ]h (9)

Un+1(k) = Un + hU*

n(k) + [(0.5 - β)U**

n + βU**

n+1(k) ] h2 (10)

a Eq. (6) resulta

K TE(k -1)DU(k)|n+1 = DR (k)

n+1 (11) com

K TE(k -1)|n+1 = (K T

(k -1) + a0M + a1C)|n+1 (12)

DR (k)

n+1 = R (k)n+1 - (KU) n+1

(k -1) + M[a0(Un - U n+1(k -1)) + a2U

*

n + a3U**

n] + C[a1(Un - U n+1

(k -1)) + a4U*

n + a5U**

n] (13)


Un+1(k) = U n+1

(k -1) + DU (k)n+1 (14)

Nas equações acima, as são constantes dependentes somente dos parâmetros de integração, γ e β, e do passo de tempo, h. A equação (12) mostra que apesar da possibilidade da matriz de rigidez tangente, KT, ser mal-condicionada, a presença dos termos dinâmicos garante que a matriz de rigidez tangente efetiva, KTE, não venha a ser mal-condicionada. As iterações de equilíbrio na Eq. (11) são iniciadas a cada passo de tempo até a convergência

|| DU (k)n+1 || ≤ eU ; || DR(k -1)

n+1 || ≤ eR (15) ser atingida. 2.3 A Idéia do Método de Relaxação Dinâmica Como mencionado anteriormente, o MRD baseia-se no fato de que a solução estática é a parte em regime permanente da resposta transiente. A componente transiente da resposta não é de interesse, somente a componente em regime é desejada. Por isso, são utilizadas matrizes de massa e amortecimento fictícias que na maioria das vezes não representam a realidade da estrutura e apenas servem para acelerar a determinação da resposta no steady-state. Velocidades iniciais nulas são tomadas como condições iniciais. As cargas estáticas são aplicadas e mantidas constantes, o sistema se movimenta dinamicamente até o movimento cessar. Esse procedimento se torna eficiente se termos apropriados para massa e amortecimento forem definidos. Se as características físicas do problema forem usadas para modelar a massa e o amortecimento, é esperado que a resposta transiente persista por um longo tempo, o que inviabiliza a utilização do método, uma vez que isso significa excessivo custo na obtenção da solução e dificuldades em controlar oscilações espúrias. Uma estratégia para contornar esses problemas é assumir propriedades artificiais que garantam uma resposta fortemente amortecida. O uso de um esquema de integração estável é desejável. A questão passa a ser então como estimar essas propriedades artificiais. Uma escolha arbitrária do valor do incremento de tempo pode levar a função a tender para infinito muito rapidamente, em formulações explícitas, indicando instabilidade numérica. Dessa forma, o valor do incremento de tempo deve atender ao critério de estabilidade. O amortecimento viscoso, introduzido para fazer cessar as oscilações, deve ser tal que a estrutura se aproxime de sua posição estática rapidamente. Ou seja, deve ser próximo do valor do amortecimento crítico da estrutura. De fato, qualquer valor para o fator de amortecimento pode ser usado para obter convergência, no entanto, é mais conveniente usar um valor ligeiramente menor que o crítico em lugar de um valor maior que o crítico. Em casos com amortecimento super-crítico, a função converge assintoticamente para solução estática. Contudo, apesar da diferença entre dois valores consecutivos da função ser pequeno, este valor pode estar longe da solução final. Quando o amortecimento sub-crítico é aplicado as oscilações passam a ter amplitudes sucessivamente menores e com isso a convergência pode ser verificada através da comparação desses valores. A escolha de um fator de amortecimento conveniente oferece algumas dificuldades de inicio. O fator de amortecimento crítico pode ser calculado através da estimação da freqüência fundamental. Contudo, não é necessário conhecer o fator de amortecimento crítico com tanta precisão, e assim, estimativas para esse valor podem ser usadas. Como as oscilações em si não são de interesse, é possível escolher densidades fictícias para aumentar a convergência. Essas densidades fictícias não possuem, no entanto, nenhum significado físico. E portanto, uma estimativa inicial da freqüência fundamental e com isso do amortecimento crítico não pode ser baseada na intuição quando densidades fictícias são usadas.


O MRD é especialmente atrativo em problemas com não linearidades geométrica ou física acentuada. Em tais problemas, onde significantes mudanças na rigidez da estrutura ocorrem durante a análise, podem ser utilizadas técnicas adaptativas para automatizar o cálculo dos parâmetros do método de integração quando necessário, dando origem ao chamado método da relaxação dinâmica adaptativo (Underwood, 1983). 3. MÉTODO DE RELAXAÇÃO DINÂMICA O Método de Relaxação Dinâmica é apresentado a seguir em suas duas formulações, explícita e implícita. A formulação explícita do MRD baseia-se no uso dos operadores de diferenças finitas como método de integração das equações do movimento. A formulação implícita do MRD baseia-se no uso dos operadores de Newmark como método de integração das equações do movimento. 3.1 Método de Relaxação Dinâmica Explícito A formulação explícita do algoritmo de relaxação dinâmica é fundamentada na Eq. (1). Com o vetor de forças elásticas implementado elemento por elemento, evitando assim a necessidade de montar matrizes de rigidez globais. A matriz de massa utilizada é do tipo discreta ao invés da matriz consistente, portanto diagonal. O amortecimento é introduzido através da multiplicação do coeficiente de amortecimento c pela matriz de massa. Isso tem fundamental importância na redução do custo computacional uma vez que, desta forma, chega-se a um sistema de equações algébricas desacopladas onde cada componente pode ser calculada independentemente sem a necessidade de montar e fatorar matrizes globais. Além do mais, o erro introduzido com o uso da matriz de massa discreta tende a ser compensado com o uso dos operadores de diferenças centrais (Hughes, 2000). Equações Fundamentais. O algoritmo do MRD é então baseado nas seguintes equações semi-discretas do movimento para o n-ésimo incremento de tempo

MU**

n + cMU*

n + F(Un) = Rn (16) A solução da Eq. (16) é obtida usando um método explícito para integração no tempo. O método de diferenças centrais é empregado por sua facilidade de implementação. As derivadas temporais são avaliadas pelas seguintes expressões de diferenças centrais definidas no ponto médio do intervalo (Park, 1977)

U*

n+1/2 = 1h ( )Un+1 - Un (17)

U**

n = 1h ( )U*

n+1/2 - U*

n-1/2 (18) onde h é o incremento de “tempo”. Como o vetor velocidade está definido no meio deste incremento, é necessário calcular U*

n. Recomenda-se (Park e Underwood, 1980) a adoção da seguinte expressão

U*

n = 12 ( )U*

n+1/2 + U*

n-1/2 (19) Substituindo as Eqs. (18) e (19) na Eq. (16) e arrumando os termos na Eq. (17) tem-se o par de equações usadas para a velocidade e deslocamento


U*

n+1/2 = (2 - ch)(2 + ch) U

*

n-1/2 + 2h

(2 + ch) M-1 ( )Rn - Fn (20)

Un+1 = Un + hU*

n+1/2 (21)

onde a inversa da matriz de massa, M-1

, é obtida através de cálculo trivial uma vez que M é diagonal. Como as equações acima envolvem o uso de Un e U*

n-1/2 , o cálculo da solução no primeiro passo de tempo requer um procedimento especial de inicialização uma vez que U0 e U*

0 são desconhecidos. A seguinte relação pode ser determinada a partir da Eq. (19)

U*

1/2 = 2U*

0 - U*

-1/2 (22) Fazendo uso dessa expressão, a Eq. (20) pode ser transformada no seguinte procedimento de inicialização

U*

1/2 = 12(2 - ch) U*

0 + h2 M-1 ( )R0 - F0 (23)

Pelo fato do sistema de equações ser desacoplado, o custo computacional por intervalo de tempo se torna muito baixo e é devido principalmente ao cálculo do vetor de forças internas, montado elemento por elemento. O objetivo de uma análise estática usando o Método de Relaxação Dinâmica é obter a resposta em regime (steady-state) a partir de uma resposta pseudo-transiente. Com isso, os parâmetros de massa e amortecimento não precisam representar o sistema físico. Eles são definidos de maneira a produzir a mais rápida convergência para o steady-state, essa convergência é baseada no erro relativo do resíduo de forças.

e = || R - Fn ||

|| R || = || R~ n |||| R || ≤ etol (24)

onde R é a carga estática e R~ n é o vetor de resíduos para o passo de tempo n. Note-se que quando a convergência é alcançada (i.e. e ≤ etol), as forças internas e externas são balanceadas, como na análise estática. Critérios de convergência alternativos podem ser formulados baseados na energia do sistema ou decaimento das normas dos vetores de velocidades e acelerações. Parâmetros de Integração. Os parâmetros de integração do MDR consistem da matriz de massa diagonal M, do coeficiente de amortecimento c e do passo de tempo h. A performance (taxa de convergência) do algoritmo é função do raio espectral κ. A mais rápida convergência é obtida para o menor valor possível de |κ| < 1. As seguintes expressões para h e c satisfazem a condição de convergência ótima (Underwood, 1983)

h ≤ 2lm

(25)

c @ 2 l0 (26) Onde l0 e lm são o menor e o maior autovalor do sistema. Como observado por Underwood (1983), a primeira equação corresponde ao limite de estabilidade do método de diferença central e a segunda representa o amortecimento crítico para o menor autovalor.


Como l0 e lm são, em geral, desconhecidos a priori, técnicas eficientes para estimar seus valores devem ser utilizadas. Um limite superior para o máximo autovalor pode se obtido do teorema de Gerschgorin

lm < max(i)∑j=1

n

|K~ ij|Mii

(27)

onde K~ ij são os elementos da matriz global de rigidez tangente. Das equações (27) e (25) pode-se notar que o passo de tempo e a matriz de massa não são independentes. Algum desses parâmetros (c ou h) pode ser fixado e então o valor apropriado para os demais determinado. A partir das equações (27) e (25), obtêm-se uma relação para os valores da matriz de massa diagonal

Mii ≥ h2

4∑j=1

n

|K~ ij| (28) Uma estimativa para o valor do autovalor mínimo pode ser obtida pela seguinte expressão

l0 @ (Wn)T K*

n Wn

(Wn)T MWn (29)

onde Wn é um vetor de ponderação. Para problemas lineares K*n é equivalente a matriz de

rigidez linear K0. Para problemas não-lineares, os valores de (K*n)ii são dados por

(K*n)ii =

(Fn)i - (Fn-1)i

h(U*

n-1/2)i (30)

As opções para vetores de ponderação incluem Un , U*

n-1/2 e Rn. Aqui, U*

n-1/2 será utilizado. Essa escolha, além de produzir os melhores resultados, promove o cancelemento de U*

n-1/2 na Eq. (30) eliminando assim a possibilidade de ocorrer zero no denominador. Em problemas não-lineares, onde podem ocorrer regiões de instabilidade, o menor autovalor, e com isso o argumento da raiz quadrada na Eq. (26), pode ser negativo. Nessas condições, o coeficiente de amortecimento c é posto igual a zero como recomenda Underwood (1983). Estratégias adaptativas, como as propostas por Underwood (1983), podem ser utilizadas para atualizar os parâmetros de integração durante a análise. 3.2 Método de Relaxação Dinâmica Implícito O Método de Relaxação Dinâmica apresentado aqui foi proposto por Wu (1995). Até então, a solução das equações diferenciais de movimento, no MRD, era baseada no uso dos operadores de diferenças finitas como método de integração. Aqui, a massa estrutural real é usada ao invés da massa fictícia. As equações de movimento são resolvidas usando os operadores de Newmark, sendo o amortecimento computacional deliberadamente introduzido. Para garantir a estabilidade e acelerar a convergência, procedimentos de controle para o nível de amortecimento, incrementos de carga, passo de tempo, e parâmetros de integração são usados. Teoricamente, a resposta transiente do movimento amortecido cessa e a solução final estática é alcançada se um tempo suficientemente grande é dado. Na prática, no entanto, isto não é sempre possível devido às questões de estabilidade e eficiência. Tais questões são


afetadas por muitos fatores, como a forma do amortecimento artificial e seu procedimento de controle, o tamanho dos incrementos de carga e de tempo. Assim, tendo a estabilidade como prioridade, alguma forma de controle adaptativo para esses fatores deve ser usada para melhorar a eficiência. Estabilidade Numérica. Experimentos numéricos indicam que ambos, amortecimento computacional e amortecimento artificial são necessários para alcançar a convergência. E ainda, é necessário ajustar adaptativamente o amortecimento artificial e o tamanho do passo de tempo a medida que o tempo é incrementado. O amortecimento computacional é introduzido pelos operadores Newmark. A escolha do termo de amortecimento artificial, embora arbitrária, é importante. Por simplicidade faz-se uso de uma matriz de amortecimento diagonal. Recomenda-se (Wu, 1995) o uso de uma matriz diagonal C = cI (I uma identidade da matriz) para o amortecimento, onde o coeficiente c é proporcional a parcela de rigidez do grau de liberdade. Dessa forma, tem-se um esquema de integração implícito de passo simples com dois parâmetros principais, c e h. O controle do termo de amortecimento artificial consiste em ajustar o valor de c. Em geral esse valor deve ser escolhido de tal modo que com o incremento do nível de carregamento e do passo de tempo o número de interações para o equilíbrio seja mantido menor que 10. Na prática, somente duas ou três iterações são necessárias. Aceleração da Convergência. Para garantir a eficiência do algoritmo, a convergência é acelerada ajustando-se adaptativamente os seguintes parâmetros: Incremento de Carga. Em problemas não-lineares, melhor estabilidade é obtida aplicando as forças externas e os deslocamentos prescritos incrementalmente. É desejado que a convergência seja alcançada o mais rapidamente possível para cada nível de carregamento. Os dois parâmetros associados com o incremento de carga são o tamanho do incremento e o momento em que o carregamento é incrementado. Um incremento de carga constante pode ser usado, mas a convergência é acelerada se for usado um controle adaptativo desse incremento. O controle adaptativo do incremento de carga é feito da seguinte forma: (a) o valor do incremento não é alterado se o número de iterações, Niter, para encontrar a convergência está entre 5 e 10; e (b) seu valor é aumentado (reduzido) pelo fator 10 / Niter (valor máximo limitado a 2) caso contrário. Boa convergência é encontrada quando o valor do incremento de carga varia entre 1 e 10% da carga total. Em geral, mesmo para um único incremento de carga (i. e. o incremento de carga igual a 100% da carga), a convergência é alcançada. No entanto, incrementos de carga grandes, assim como incrementos de carga muito pequenos, podem levar a perda de eficiência. O nível de carga é incrementado ao final das iterações de equilíbrio de cada passo de tempo. Uma vez atingido 100% do carregamento, este é mantido constante em todos os passos de tempo subseqüentes até que a solução estática seja alcançada. Passo de Tempo. O tamanho do passo de tempo tem influência no nível de carregamento e nos efeitos de inércia. Isso afeta diretamente a velocidade com que a convergência é alcançada em cada passo de tempo. Aqui, o tamanho do passo de tempo é ajustado de duas maneiras diferentes de acordo com o nível de carregamento. Antes de atingir o carregamento total, ele é ajustado da mesma forma que o incremento de carga. Uma vez o carregamento total atingido, ele é ajustado da seguinte forma: seu valor é aumentado em 35% se Niter ≤ 5; não é modificado se 5 < Niter ≤ 10; e é diminuído de 15% x Niter / 10 se Niter > 10; independente do número de iterações, o valor dos passo de tempo é reduzido em 25% se ||Un+1|| > 2 ||Un||. O objetivo é garantir a convergência nas iterações de equilíbrio mantendo uma taxa razoável de convergência em cada passo de tempo, e com isso minimizar o número de passos e o número total de iterações necessárias para obtenção da solução final. Como


parte do processo de relaxação, a tendência é aumentar o passo de tempo a medida que o movimento cessa e a solução se aproxima da posição de equilíbrio estático. O movimento pode ser monitorado passo a passo a partir da norma dos resíduos ao final de cada passo de tempo. Quando o movimento tende a cessar, a norma dos resíduos tem seu valor reduzido gradativamente. Amortecimento. O parâmetro de amortecimento é ajustado adaptativamente de maneira simultânea ao passo de tempo para controlar o nível de amortecimento artificial introduzido. Antes do carregamento total ser atingido, o valor do coeficiente é afetado por um fator de 5n onde n = Niter / 10 é a parte inteira do cociente. Uma vez atingido o carregamento total, o coeficiente de amortecimento é ajustado de um passo de tempo para o outro da seguinte forma: seu valor é reduzido em 25% se ||U

**

n+1|| > ||U**

n||. Essa redução não é feita caso ||Un+1|| > ||Un||. Se, no entanto, Niter ≥ 10, seu valor é aumentado 5n vezes o seu valor atual. Os efeitos combinados do ajuste do passo de tempo e do nível de amortecimento refletiram na diminuição da força residual. 4. EXEMPLO NUMÉRICO É apresentada aqui uma aplicação dos algoritmos do Método de Relaxação Dinâmica descritos anteriormente. 4.1. Mangote Mangotes são dutos utilizados para transportar fluidos, resultantes do processo de explotação de petróleo, de uma unidade flutuante para outra, em geral, de uma unidade de armazenamento para uma unidade de transporte (Costa et al., 2002), como mostrado esquematicamente na Figura (1).

Figura 1. Desenho esquemático do mangote.


O mangote tratado aqui possui 278.5 m de comprimento e liga duas unidades flutuantes distantes 250 m uma da outra. Este mangote é constituído por 53 segmentos de diferentes diâmetros e materiais, apresentando trechos com flutuação. Suas conexões com as unidades flutuantes são rotuladas. A discretização de elementos finitos é feita por elementos de pórtico não-linear baseados em uma formulação corotacional (Crisfield, 1990). O objetivo principal da formulação corotacional é separar os movimentos de corpo rígido dos movimentos que geram deformações. Com isso, obtém-se um elemento mais preciso, robusto e menos sensível à magnitude das rotações incrementais. O elemento de pórtico espacial possui 6 graus de liberdade por nó, que representam movimentos lineares e movimentos angulares. Com este tipo de elemento é possível considerar a rigidez à flexão das linhas, de modo a representar linhas cuja rigidez à flexão é representativa, tais como risers rígidos e risers flexíveis, e como no caso do mangote. O carregamento ambiental a que a linha está sujeita consiste de um perfil de correnteza com velocidade unitária na superfície da lâmina d’água e nula no fundo. A configuração inicial arbitrada consiste de uma malha reta repousando na superfície da lâmina d’água, na qual são aplicados deslocamentos às suas conexões de modo que elas sejam levadas às posições de projeto, como mostrado na Figura 2. Essa malha inicial reta está completamente livre de carregamentos, não possuindo nem curvaturas nem esforços iniciais.

Figura 2. Malha inicial reta para aplicação dos deslocamentos prescritos.

Resultados Obtidos Primeiro Caso: com aplicação da correnteza A configuração final do mangote sob ação do peso próprio, correnteza e empuxo é a configuração mostrada na Figura (3).

Figura 3. Configuração de equilíbrio do mangote sob ação da correnteza

Segundo Caso: sem aplicação da correnteza Neste caso, serão usadas duas estratégias para obtenção da configuração de equilíbrio da linha. Na primeira, será imposta à malha reta uma pequena imperfeição (arco em seno, com amplitude 1 x 10 -8m) no plano XY. Essa imperfeição faz com que a linha saia do plano XZ. A segunda estratégia consiste em equilibrar a linha no plano XZ, ou seja, sem a aplicação de qualquer tipo de imperfeição à malha inicial. As configurações finais assumidas pela linha são mostradas nas Figuras (4) e (5) a seguir.


Figura 4. Configuração de equilíbrio (sem correnteza, sem imperfeição inicial).

Figura 5. Configuração de equilíbrio (sem correnteza, com imperfeição inicial).

Observações Três configurações equilibradas foram obtidas. Uma delas sob ação do carregamento de correnteza e as demais livres da ação da correnteza. Quando a correnteza é aplicada, a obtenção da configuração de equilíbrio é mais simples, o procedimento de solução é mais eficiente e a configuração final apropriada à análise dinâmica a ser feita em seguida. Quando não é aplicado o carregamento de correnteza, a linha busca a posição de equilíbrio no próprio plano. Isso, além de gerar esforços de compressão na linha, gera curvaturas e momentos excessivos nas proximidades de suas conexões. A convergência do MRD é dificultada, neste caso, havendo uma pequena perda de eficiência no procedimento de solução. Para obrigar a linha a sair do seu plano, sem aplicação da correnteza, foi introduzida uma imperfeição na malha inicial reta. Essa imperfeição deslocou a linha do plano XZ, formando um “S” no plano XY. E assim, os esforços de compressão são praticamente eliminados e as curvaturas e momento suavizados. No entanto, a configuração em “S” é inapropriada para análise dinâmica a ser realizada posteriormente. Pois a presença de uma rigidez à flexão significativa, dificulta que a linha seja levada pela correnteza para sua posição real, encontrada pelo MRD quando é aplicada a correnteza no cálculo da configuração inicial de equilíbrio. 5. CONCLUSÕES Este trabalho teve como objetivo a utilização de algoritmos de relaxação dinâmica para geração de configurações iniciais equilibradas para linhas flexíveis. A utilização dos algoritmos de relaxação dinâmica possibilitou contornar os problemas numéricos presentes nos métodos tradicionais de solução de problemas não-lineares, através da construção um mecanismo de condicionamento para a matriz de rigidez tangente. A utilização de tais algoritmos superou também as limitações impostas pelas equações clássicas da catenária à geração de configurações iniciais de linhas.


Duas formulações do Método de Relaxação Dinâmica foram apresentadas, uma implícita e outra explícita. Ambas apresentando resultados satisfatórios nos experimentos numéricos realizados. De maneira geral, pode-se fazer as seguintes observações: (a) Partir de uma configuração inicial estaticamente equilibrada é extremamente importante no desempenho da análise dinâmica. O ganho de desempenho na análise dinâmica é considerável quando esta análise é iniciada a partir de uma configuração equilibrada sob a ação de todas as parcelas estáticas do carregamento, incluindo correnteza, evitando transientes desnecessários. (b) O custo de obtenção da configuração de equilíbrio, empregando-se o Método de Relaxação Dinâmica, é baixo. Assim, mesmo que em alguns casos o MRD requeira um tempo de CPU um pouco maior que o Método de Newton-Raphson, o tempo total de solução estática é insignificante em comparação ao tempo de análise dinâmica. Nesse caso, a principal vantagem do MRD é a sua robustez, sendo capaz de alcançar a configuração de equilíbrio em situações onde o Método de Newton-Raphson falha. (c) O uso de estratégias adaptativas aumenta significativamente a eficiência do algoritmo. (d) Com relação à precisão dos resultados, as duas formulações do MRD apresentam soluções satisfatórias, mostrando-se bastante robustas nos experimentos numéricos realizados. (e) O MRD apresenta uma vantagem adicional em relação aos métodos clássicos de solução de problemas não-lineares, sua facilidade de implementação. Um procedimento de geração de configurações iniciais equilibradas para linhas flexíveis foi apresentado. Esse procedimento se mostrou bastante eficiente e robusto, cumprindo os objetivos deste trabalho. Com isso, uma contribuição é dada à análise e projeto de sistemas offshore compostos por linhas de ancoragem e risers. REFERÊNCIAS Bathe, K. J., 1996. Finite Element Procedures, New Jersey, Prentice-Hall. Belytschko, T., Plaskacz, E., 1992. SIMD implementation of a non-linear transient shell

program with partially structured meshes. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol.33, pp. 997-1026.

Cardoso, D. C. T., Lima, B. S. L. P., Jacob, B. P., Albrecht, C. H., Masetti, I. Q., 2004.

Métodos Analítico-Numéricos para Cálculo de Configurações de Equilíbrio da Linhas de Ancoragem com Bóias de Alívio. Anais das XXXI Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural, vol.3, pp. 1081-1090, 17 a 21 de Maio, Mendoza - Argentina.

Costa, A. P. S., Sphaier, S. H., Jacob, B. P., 2002. Estudos de novas configurações de um

sistema de transferência de óleo para navios aliviadores. Trabalho de final de curso do Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Costa, A. P. S., Rolo, L.F.A., Goulart, M.P., Silva, S.H.S.C., 2002. Offshore Loading Trends

In Brazil, World Maritime Technology Conference. Crisfield, M. A., 1990. A Consistent Co-Rotational Formulation for Non-Linear, Three-

Dimensional, Beam-Elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 81, pp. 131-150.


Farhat, C., Sobh, N., Park, K., 1990. Transient finite element computations on 65536 processors: The Connection Machine. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol.30, pp. 27-55.

Ferreira, F. M. G., Silveira, E. S. S., Masetti, I. Q., Menezes, I. F. M., 2004. Uma estratégia

para a geração de configurações iniciais 3D para análise dinâmica de linhas de ancoragem. Anais do XXV CILAMCE – Congresso Ibero-Latino Americano sobre Métodos Computacionais em Engenharia, Recife, Brasil.

Hughes, T. J. R., 2000. The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite

Element Analysis, New York, Dover Publications. Jacob, B. P., Ebecken, N. F. F., 1994. An optimized implementation of the

Newmark/Newton-Raphson algorithm for the time integration of non-linear problems. Comunications in Numerical Methods in Engineering, vol.10, pp. 983-992.

Malone, J., 1988. Automated mesh decomposition and concurrent finite element analysis for

hypercube multiprocessor computers. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol.70, pp. 27-58.

Newmark, N. M., 1959. A method of computation for structural dynamics. Journal of

Engineering Mechanics Division, A.S.C.E., vol. 85, pp. 67-94. Oakley, D. R., Knight, Jr., N. F., 1995. Adaptive Dynamic Relaxation Algorithm for Non-

Linear Hyperelastic Structures – Part I: Formulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol.126, pp. 67-89.

Park, K. C., 1977. Practical aspects of numerical time integration. Computers & Structures,

vol.7, pp. 343-353. Park, K. C., Underwood, P., 1980. A variable-step central difference method to structural

dynamics analysis – Part 1: Theoretical aspects. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol.22, pp. 241-258.

Papadrakakis, M., 1981. Post-buckling analysis of spatial structures by vector iteration

methods. Computers & Structures, vol.14, pp. 393-402. Pica, A., Hinton, E., 1981. Further developments in transient and pseudo-transient analysis of

Mindlin plates. International Journal for Numerical Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol.17, pp. 1749-1761.

Rodrigues, G. J. O., Cardoso, D. C. T., Lima, B. S. L. P., Jacob, B. P., Fernandes, A. C., 2004.

Procedimento Analítico-Numérico para Análise de Linhas Submetidas a Cargas Tridimensionais de Correnteza. Anais do XXV CILAMCE – Congresso Ibero-Latino Americano sobre Métodos Computacionais em Engenharia, Recife, Brasil.

Underwood, P., 1983. Dynamic relaxation. T. Belytshko and T.J.R. Hughes, eds.,

Computational Methods for Transient Dynamic Analysis, pp. 246-265. Elsevier Science Publishers B.V.

Wu, S., 1995. Adaptive dynamic relaxation technique for static analysis of catenary mooring.

Marine Structures, vol.8, pp. 585-599.

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