Cicloides 2014
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Matemáticas II
LA CICLOIDE
UNIVERSIDAD DE LA CORUÑA
INGENIERIA DE DISEÑO INDUSTRIAL Y DEL PRODUCTO
MATEMATICAS II
LA CICLOIDE
PROFESOR: Fernando Coveño Arlegui
ALUMNA: Gloria Saavedra Chávez
Abril, 2014
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Matemáticas II
LA CICLOIDE
1. INTRODUCCIÓN
Dentro de las curvas y su representación, la Cicloide es una de las más famosas en la
historia de las matemáticas, y una de las estudiadas en la presente asignatura.
Esta curva está presente en los puentes, relojes, péndulos y toboganes. También en
la naturaleza y en el diseño.
Observar su construcción al rodar la bicicleta por la noche (pues en una de sus
ruedas lleva una luz); me demuestra que empiezo a apreciar la belleza de las
ecuaciones.
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Matemáticas II
LA CICLOIDE
LA CICLOIDE
1. HISTORIA
La cicloide, es una curva particular, que fue estudiada por matemáticos importantes,
en todas las épocas. En 1950, Galileo Galilei la descubrió y le dio su nombre, al
encontrar que era el mejor de los perfiles posibles para construir los arcos de los
puentes; también desarrollo junto a su alumno Viviani un método de construcción detangentes.
Pero sería Pascal quien realizó el estudio exhaustivo de sus propiedades y las dio a
conocer en 1659 con “Historia de la cicloide”, a partir de entonces sabios como
Huygens, Newton, los hermanos Bernouilli y Leibnitz estudiaron las aplicaciones
mecánicas de la misma.
En 1696 Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la soluciónal problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando
existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), demostrando
que la solución era una cicloide.
Por las diversas querellas que provoco entre sus estudiosos se la conoce como la
"Helena" de los geómetras. (1)
1 De: La garra del león. Marcelo Dos Santos http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm
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LA CICLOIDE
2. DEFINICION
Cicloide es una curva descrita por un punto fijo “P” de una circunferencia que ruedasin deslizar a lo largo de una recta.(2)
La cicloide, generada por el rodamiento de una circunferencia
3. Calculo de las ecuaciones paramétricas
De la fig. 02 vemos que la distancia recorrida OA=arcAP, Luego
OA=l
R
P(x) = R. l – R.sen(ᴨ-l)
P(y) = R + R.cos(ᴨ-l)Operando obtenemos
,para todol
que pertenece (-oo,oo)
3.1 Calculo del ciclo de repetición.
De la fig.03, observamos que se repite para y=o, R(1- cosl)= 0, por lo tanto
cumple para l= 0,2ᴨ,4ᴨ,etc. Si reemplazamos en x, comprobamos que el ciclo se
repite cada 2ᴨ
R.2 Capitulo 1- Geometría Diferencial. Antonio Lopez de la Rica – Agustín De La Villa Cuenca.
x= R(l – senl)
y= R( – cosl)
z= 0
Datos previos:La recta es el eje OXLa circunferencia está situada en el planoOXYEl radio = RP inicial esta en el origen.
Fig.01
Fig. 02
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Fig.03
3.2 Calculo de la longitud del arco que describe.
La longitud de arco de la cicloide es igual a 4 veces el diámetro del círculo generador u 8veces su radio. (fig04). (l=t, b=R)
Fig.04Reemplazando,
3.3 Calculo del área bajo el arco que describe.
El primer arco de la cicloide se produce cuando los valores de l están entre 0 y , yaque el circulo generador necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 3). Luegoel área bajo un arco de la cicloide está dada por:. (fig05). (l=t, b=R)
Fig.05
Reemplazando,
Es decir tres veces el área del circulo generador.
L= 8R
A= 3.ᴨR
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LA CICLOIDE
3.3 Particularidades
La normal a la tangente en cualquier punto P, pasa por el punto de contacto entre elcirculo generador y la directriz.
La envolvente de la cicloide es unacicloide desplazada
VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”
Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama CICLOIDE ALARGADA (C>1)
Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama CICLOIDE RECORTADA (C<1)
(pR,R+c) (3pR,R+c) (5pR,R+c)
R=Radio de la circunferenciac= la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia.
x= R(l – c.senl)
y= R( – c.cosl)z= 0
donde:c > 1 Cicloide alargada.c = 1 Cicloide natural.c < 1 Cicloide recortada.
YR+c
(pR,R+c) (3pR,R+c) (5pR,R+c)Y
R+c
l=2p l=4p(2pR,R-c) (4pR,R-c)
R-c
l=2p l=4p(2pR,R-c (4pR,R-c
R-c
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4. EPICICLOIDES
Se construyen al rodar sin deslizar un punto “P”, contenido en un círculo de radio r, sobre
otro circulo de radio R.
En las Epicicloides, ruedan por el exterior.
4.1 Calculo de las ecuaciones paramétricas
P(x) = (R+r). CosΦ + r.Cosg =(R+r). CosΦ + r.Cos(p-(a+Φ))
P(y) = (R+r). SenΦ - r.Seng =(R+r). SenΦ - r.Sen(p-(a+Φ))
Operando obtenemos
Cuando R/r=k es un número racional, las epicicloides son curvas algebraicas. Ejemplos
Datos previos:
Los radios son R,r.
OP = OA + AP
En el punto A, a+g+Φ=p
g=p-(a+Φ)
Arco que recorren RΦ=ra
a=RΦ/r
a+Φ=Φ(r+R)/r
Φ
x= (R+r). CosΦ - r.Cos(Φ R+r)/r)
y= = (R+r). SenΦ - r.Sen(Φ R+r)/r)
z= 0
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LA CICLOIDE
Si k=1 R=r, tenemos una CARDIOIDESi k=2 R=2r, tenemos una NEFROIDE
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LA CICLOIDE
4.2 VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”
Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama EPICICLOIDE ALARGADA (C>r)
Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama EPICICLOIDE RECORTADA (C<r)
R=Radio de la circunferenciac= la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia.
x= (R+r). CosΦ - c.Cos(Φ R+r)/r)
y= = (R+r). SenΦ - c.Sen(Φ R+r)/r)z= 0
donde:c > r Epicicloide alargada.c = r Epicicloide natural.c < r Epicicloide recortada.
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LA CICLOIDE
5. HIPOCICLOIDES
Se construyen al rodar sin deslizar un punto “P”, contenido en un círculo de radio r,dentro de otro circulo de radio R.
5.1 Calculo de las ecuaciones paramétricas
P(x) = (R-r). CosΦ + r.Cosg =(R-r). CosΦ + r.Cos(a-Φ)
P(y) = (R-r). SenΦ - r.Seng =(R-r). SenΦ - r.Sen(a-Φ)
Operando obtenemos
Datos previos:
Los radios son R,r.
OP = OA - AP
En el punto A, a=g+Φ g=a-Φ
Arco que recorren RΦ=ra
a=RΦ/r
a-Φ=Φ(R-r)/r
Φ
x= (R-r). CosΦ
r.Cos(Φ R-r)/r)
y= = (R-r). SenΦ - r.Sen(Φ R-r)/r)
z= 0
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LA CICLOIDE
Cuando R/r=k es un número racional, las epicicloides son curvas algebraicas. Ejemplos
Si k=4 R=4r, tenemos una ASTROIDE
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LA CICLOIDE
5.2 VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”
Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama HIPOCICLOIDE ALARGADA (C>r)
Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama HIPOCICLOIDE RECORTADA (C<r)
R=Radio de la circunferenciac= la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia.
x= (R-r). CosΦ + c.Cos(Φ R-r)/r)
y= = (R-r). SenΦ - c.Sen(Φ R-r)/r)z= 0
donde:c > r Hipocicloide alargada.c = r Hipocicloide natural.c < r Hipocicloide recortada.
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LA CICLOIDE
6.0 CICLOIDES ESPECIALES
Al abordar el presente estudio, me encontré con unas cicloide muy especial:
La braquistocrona, que es un segmento de la cicloide invertida, y que es la curva queproporciona la trayectoria de un cuerpo que cae libremente entre dos puntos cualesquieraen un tiempo mínimo. Esta surgió como solución a esta búsqueda.
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LA CICLOIDE
Fuentes de informaciónApuntes de Clase
Bibliografía
GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Antonio Lopez de la Rica & Agustín De La VillaCuenca. Editorial CLAGSA. Madrid. Paginas 1-2-14 . ISBN-10: 8492184736
EL LIBRO DE LAS CURVAS. Pablo Olalquiaga Bescos & Alfonso OlalquiagaBescos, Fundacion ESTEYCO, 2005 ISBN 9788493355302
Webgrafía.Curvas con historia: de las cónicas a las ecuaciones de las flores. Antonio Pérez Sanz -IES Salvador Dalí http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4
La garra del león . Marcelo Dos Santos (especial para Axxón)http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm
TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL - La Gran Belleza De Las Trocoides . AquilesPáramo Fonseca
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm#cap1