BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI VEÀ SOÁ HOÏCCHUYEÂN ÑEÀ: SOÁ CHÍNH PHÖÔNG

I. Ñònh nghóa:Soá chính phöông laø bình phöông cuûa moät soá töï

nhieân. A : laø soá chính phöông thì A = k2 (k N)

II. Tính chaát:1) Soá chính phöông chæ coù theå taän cuøng baèng: 0;1;

4; 5; 6; 9; khoâng theå taän cuøng baèng 2; 3; 7; 8.2) Khi phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá, soá chính

phöông chæ chöùc caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ chaün, khoâng chöùa caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ leû.

Chöùng minh:Giaû söû A = k2 vaø k = ax.by.cz… (a; b; c; … laø caùc soá nguyeân toá)thì A = (ax.by.cz…)2 = a2x.b2y.c2z… (ñpcm)

Töø tính chaát 2 ta coù caùc heä quaû:a. Soá chính phöông chia heát cho 2 thì phaûi chia heát

cho 4b. Soá chính phöông chia heát cho 3 thì phaûi chia heát

cho 9c. Soá chính phöông chia heát cho 5 phaûi chia heát cho

25d. Soá chính phöông chia heát cho 8 thì phaûi chia heát

cho 16e. Tích cuûa caùc soá chính phöông laø moät soá chính

phöôngf. A = a.b, neáu a laø soá chính phöông thì b cuõng laø

soá chính phöông.3) Soá löôïng caùc öôùc cuûa moät soá chính phöông laø

leû. Ngöôïc laïi, moät soá coù soá löôïng caùc öôùc laø leû thì soá ñoù laø soá chính phöông

Chöùng minh:Neáu A = 1 thì A laø soá chính phöông coù moät öôùc.

Ta giaû söû A > 1 coù daïng phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá laø A = ax.by.cz… thì soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø (x+1)(y+1)(z+1) …

- 1 -

a) Neáu A laø soá chính phöông thì x; y; z; … laø caùc soá chaün, neân x+1; y+1; z+1; … laø leû, do ñoù soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø leû.;

b) Neáu soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø leû thì (x+1)(y+1)(z+1) … laø leû

Do ñoù caùc thöøa soá x+1; y+1; z+1; … ñeàu laø soá leû,

Suy ra x; y; z; … laø caùc soá chaün. Ñaët x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’; … (x’; y’; z’;… N) thì

A = (ax’by’cz’…)2 neân A laø soá chính phöông (ñpcm)

4) Neáu soá A bao haøm giöõa bình phöông hai soá töï nhieân lieân tieáp thì A khoâng theå laø số chính phương. Nghóa laø : neáu n2 < A < (n+1)2 thì A khoâng laø số chính phương.

III. Caùc kieán thöùc lieân quan:1. Neáu moãi soá haïng cuûa moät toång (hoaëc hieäu)

chia heát cho moät soá thì toång (hoaëc hieäu) ñoù chia heát cho soá ñoù.

2. Soá coù chöõ soá taän cuøng chia heát cho 2 thì soá ñoù chia heát cho 2Soá coù hai chöõ soá taän cuøng chia heát cho 4 thì

soá ñoù chia heát cho 4Soá coù ba chöõ soá taän cuøng chia heát cho 8 thì

soá ñoù chia heát cho 8Soá coù chöõ soá taän cuøng chia heát cho 5 thì soá

ñoù chia heát cho 5Soá coù hai chöõ soá taän cuøng chia heát cho 25 thì

soá ñoù chia heát cho 25Soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3 thì soá

ñoù chia heát cho 3Soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 9 thì soá

ñoù chia heát cho 93. Daáu hieäu chia heát cho 11

Cho A = A 11 (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …) 11

IV. Caùc daïng baøi taäp thöôøng gaëp:Daïng 1: Kieåm tra moät soá coù phaûi laø soá chính phöông hay khoâng:

- 2 -

k chöõ soá 0

k chöõ soá 0

k chöõ soá 0

k chöõ soá 0

Ví duï 1: Cho soá chính phöông n2 , tìm caùc soá chính phöông bieát

n

Giaûi Ta coù 112 = 121

1012 = 1020110012 = 1002001100012 = 1000200011000012 = 1000020000110000012 = 1000002000001…………

Toång quaùt

Ví duï 2: Caùc toång sau coù phaûi laø soá chính phöông khoâng ?

a) A = 3 + 32 + 33 + … +320 b) B = 11 + 112 + 113 c) C = 1010 + 8d) D = 100! + 7e) E = 1010 + 5f) F = 10100 + 1050 + 1

Giaûia) Ta coù 3n 9 vôùi moïi n 2 neân 32 + 33 + … +320

9Suy ra A = 3 + 32 + 33 + … +320 chia cho 9 dö 3Vì A chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9

neân A khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)b) Ta coù B = 11 + 112 + 113

= 11.(1 + 11 + 112)= 11.(1 + 11 + 121)= 11.133= 1463

Coù chöõ soá taän cuøng laø 3 neân B khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 1)

c) Ta coù 1010 + 8 coù chöõ soá taän cuøng laø 8 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 1)

d) Ta coù 100! + 7 coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 1)

- 3 -

e) Ta coù 1010 + 5 coù chöõ soá taän cuøng laø 05 chia heát cho 5 nhöng khoâng chia heát cho 25 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)

f) Ta coù 10100 + 1050 + 1 coù toång caùc chöõ soá laø 3 chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)

Ví duï 3: a) Cho A = 22 + 23 + 24 +…+ 220. Chöùng minh raèng A

+ 4 khoâng laø soá chính phöôngb) Cho B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 . Chöùng minh raèng

2B + 3 khoâng laø soá chính phöôngGiaûi

a) Ta coù A = 22 + 23 + 24 +…+ 220

neân 2A = 23 + 24 + 25 +…+ 221

suy ra 2A – A = 221 – 2222 do ñoù A – 4 = 221 – 2222 – 4 = 221 = (210)2.2 khoâng

laø soá chính phöông vì 2 khoâng laø soá chính phöông.b) Ta coù B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100

neân 3B = 32 + 33 + 34 +…+ 3101

suy ra 3B – B = 3101 – 3 do ñoù 2B + 3 = 3101 – 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = (350)2.3

khoâng laø soá chính phöông vì 3 khoâng laø soá chính phöông.Ví duï 4: Vieát lieân tieáp töø 1 ñeán 12 ñöôïc soá A = 1234 … 1112. Soá A coù theå coù 81 öôùc ñöôïc khoâng ?

GiaûiGiaû söû A coù 81 öôùc.Vì soá löôïng caùc öôùc cuûa A laø 81 (laø soá leû) neân A

laø soá chính phöông (1)Maët khaùc, toång cuûa caùc chöõ soá cuûa A laø

1+2+3+…+12 = 51 Vì 51 3; 51 51 neân A chia heát cho 3 nhöng A khoâng

chia heát cho 9, do ñoù A khoâng laø soá chính phöông maâu thuaãn vôùi (1).

Vaäy A khoâng theå coù 81 öôùc Daïng 2 : Laäp soá chính phöông töø caùc chöõ soá ñaõ choVí duï 1 :

Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, ñöôïc vieát bôûi caùc chöõ soá 3, 6, 8, 8.

Giaûi :

- 4 -

Goïi n2 laø soá chính phöông phaûi tìm Vì soá chính phöông khoâng taän cuøng baèng 3, 8 neân

do ñoù n2 phaûi taän cuøng baèng 6 Soá taän cuøng cuûa n2 baèng 86 hoaëc 36

Neáu taän cuøng laø 86 thì chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 4 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (tính chaát 2.a)

Suy ra: n2 coù taän cuøng baèng 36 Vaäy soá chính phöông ñoù laø 8836 = 942

Daïng 3: AÙp duïng tính chaát 4Ví duï: Chöùng minh raèng khoâng toàn taïi hai soá töï nhieân x vaø y sao cho x2 + y vaø x + y2 laø số chính phương.

Giaûi: Giaû söû x y. Ta coù : x2 < x2 + y ≤ x2 + x < (x + 1)2

Daïng 3: Kieåm chöùng moät soá thoûa maõn ñieàu kieän cho tröôùc coù laø soá chính phöông hay khoâng.Ví duï 1: Moät soá töï nhieân goàm moät soá chöõ soá 0 vaø saùu chöõ soá 6 coù theå laø moät soá chính phöông khoâng ?

GiaûiGiaû söû n2 laø soá chính phöông caàn tìm Neáu n2 taän cuøng baèng 0 thì noù phaûi taän cuøng

baèng moät soá chaün chöõ soá 0. Ta boû taát caùc chöõ soá 0 taän cuøng naøy ñi thì soá

coøn laïi taän cuøng baèng 6 vaø phaûi laø soá chính phöông. Ta xeùt hai tröôøng hôïp : Soá coøn laïi taän cuøng laø 06 hoaëc 66. Trong caû hai tröôøng hôïp ñeàu chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 4 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông (t/c 2)

Neáu n2 taän cuøng laø 6 thì töông töï nhö treân cuõng khoâng phaûi laø soá chính phöông

Vaäy soá coù tính chaát nhö ñeà baøi khoâng theå laø moät soá chính phöông. Ví duï 2: Tìm soá coù hai chöõ soá, bieát raèng neáu nhaân noù vôùi 135 thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.

Giaûi: Goïi soá phaûi tìm laø n, ta coù 135n = a2 (a N) hay 33.

5. n = a2. Soá chính phöông chæ chöùa caùc thöøa soá nguyeân toá vôùi soá muõ chaün neân n = 3. 5. k2 (kN).

- 5 -

Vôùi k = 1 thì n = 15; vôùi k = 2 thì n = 60; vôùi k 3 thì n 135; coù nhieàu hôn hai chöõ soá (loïai)

Vaäy soá phaûi tìm laø 15 hoaëc 60. Ví duï 3: Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá sao cho hai chöõ soá ñaàu gioáng nhau, hai chöõ cuoái gioáng nhau.

Giaûi :Caùch 1:

Goïi soá chính phöông phaûi tìm laø n2 = (a,b N, 1≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9).

Ta coù n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1).

Do ñoù 99a + a + b chia heát cho 11 neân a + b chia heát cho 11,

Vaäy a + b = 11.Thay a + b = 11 vaøo (1) ta ñöôïc n2 = 11(99a + 11) =

112(9a + 1).Do ñoù 9a + 1 phaûi laø soá chính phöông .

Thöû vôùi a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ta thaáy chæ coù a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 laø soá chính phöông

Vaäy a = 7 => b = 4 ta coù soá caàn tìm laø 7744 = 112 . 82 = 882 Caùch 2 :

Bieán ñoåi n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = ,

Do ñoù (kN).

Ta coù 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => => 4 ≤ k ≤ 9

Ta choïn 704 vì coù chöõ soá haøng chuïc laø 0Suy ra k = 8 vaø n2 = = 11 . 11 . 82 = 7744.

Ví duï 4 : Tìm soá ngueân toá (a > b > 0) sao cho laø soá chính phöông.Giaûi : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b

= 9(a – b) = 32(a – b)

- 6 -

Ñeå laø soá chính phöông thì a – b phaûi laø soá chính phöông.

Ta thaáy 1 ≤ a – b ≤ 8 neân a – b {1; 4}.Vôùi a – b = 1 thì {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87;

98}loïai caùc hôïp soá 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; coøn laïi 43 laø soá nguyeân toá.

Vôùi a – b = 4 thì {51; 62; 73; 84; 95} loïai caùc hôïp soá 51; 62; 84; 95; coøn 73 laø soá nguyeân toá.

Vaäy baèng 43 hoaëc 73.Daïng 4: Toaùn chöùng minh:Ví duï 1: Chứng minh rằng tích cuûa 4 soá töï nhieân lieân tieáp coäng 1 laø moät soá chính phöông.

Chöùng minh:Giaû söû trong boán soá töï nhieân lieân tieáp ta choïn

soá töï nhieân nhoû nhaát laø a, ta phaûi xeùt tích soá a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 coù laø soá chính phöông hay khoâng?

Ta bieát a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = a(a+3) (a+1) (a+2) + 1

= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1= (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1= (a2 + 3a + 1)2

Vì a laø moät soá töï nhieân neân (a2 + 3a + 1)2 phaûi laø moät soá chính phöông

Suy ra ñieàu caàn phaûi chöùng minh. Thoâng qua baøi chöùng minh treân ta khoâng chæ bieát ñöôïc a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 laø moät soá chính phöông maø coøn bieát ñöôïc noù coøn laø bình phöông cuûa soá naøo.

Ví duï :a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52 2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112 3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192 4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292 b) Bieåu thöùc sau ñaây laø bình phöông cuûa soá töï

nhieân naøo ? + 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ?

Bieát a = 10 neân a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131

Neân 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312 + 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ?

- 7 -

Bieát a = 15 neân a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271

Neân 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712 Vôùi caùch chöùng minh töông töï nhö treân ta coù caùc tính chaát sau:

i) Tích cuûa 4 soá töï nhieân chaún lieân tieáp coäng 16 laø moät soá chính phöông.

ii) Tích cuûa 4 soá töï nhieân leû lieân tieáp coäng 16 laø moät soá chính phöông.

Ví duï 2: Chöùng minh raèng moät soá töï nhieân vieát toaøn baèng chöõ soá 2 thì khoâng phaûi laø soá chính phöông.

Giaûi Caùch 1:Ta coù 2 4; 22 4. Giaû söû coù soá töï nhieân A ñöôïc

ghi bôûi n chöõ soá 2 vôùi n > 2 thì :A = 222…222 = 222…200 + 22 = 100.A1 + 22

Trong ñoùA1 laøsoá ñöôïc ghi bôûi n – 2 chöõ soá 2A = 4.25A1 + 22

Vì 4.25A1 4; 22 4 => A 4A laø soá chaún chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát

cho 4 neân A khoâng laø soá chính phöông.Caùch 2: Ta coù moät soá töï nhieân vieát toaøn baèng chöõ soá 2

thì coù chöõ soá taän cuøng laø 2 neân khoâng theå laø số chính phương.Ví duï 3: Chöùng minh raèng toång cuûa 4 soá töï nhieân lieân tieáp khoâng laø soá chính phöông.

Giaûi Goïi 4 soá töï nhieân lieân tieáp laø a; a+1; a+2; a+3; Ta coù S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6Bôûi vì 4a 2; 6 2 => S 2; 4a 4; 6 4 => S 4Vaäy S chia heát cho 2 nhöng S khoâng chia heát cho 4

neân S khoâng laø số chính phương.Taûn maïn cuøng soá chính phöông :

“Söï tuaàn hoaøn cuûa moät soá chính phöông”.Quan saùt caùc chöõ soá cuoái cuûa caùc bình phöông

caùc soá töø 1 ñeán 9 ta thaáy xuaát hieän daõy soá 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phöông cuûa 10 laø 100, coù chöõ soá cuoái laø 0. Caùc bình phöông cuûa caùc soá tieáp theo cuõng

- 8 -

coù caùc chöõ soá cuoái laäp thaønh daõy soá 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. taát caû caùc bình phöông cuûa caùc soá töï nhieân coù caùc chöõ soá cuoái laëp ñi laëp laïi trong voøng tuaàn hoøan naøy, hieän töôïng laëp ñi laëp laïi voâ soá laàn. Voøng laëp ñi laëp laïi naøy coù soá 0 laøm ranh giôùi.

Ngöôøi ta coøn phaùt hieän “soá goác” cuûa caùc bình phöông chæ coù theå laø 1, 4, 7, 9. maø khoâng theå laø caùc chöõ soá khaùc. Ngöôøi ta goïi “soá goác” cuûa moät soá laø chæ con soá thu ñöôïc khi coäng daàn caùc chöõ soá coù trong con soá, khi toång soá gaëp soá 9 thì boû ñi vaø tính toång tieáp neáu gaëp soá 9 laïi boû ñi ñeán khi coøn laïi soá cuoái cuøng nhoû hôn 9 thì giöõ laïi, chöõ soá coøn laïi goïi laø “soá goác” cuûa con soá ñaõ xeùt (hieåu theo caùch khaùc laø laáy toång caùc chöõ soá cuûa soá ñoù ñem chia cho 9, ta laáy soá dö cuûa pheùp chia ñoù). Nhö vaäy “soá goác” chính laø keát quaû pheùp tính coäng doàn caùc chöõ soá coù trong moät con soá, laáy soá 9 laøm ñieåm döøng. Ví duï : “soá goác” cuûa 135 laø 9, “soá goác” cuûa 246 laø 3…

ÖÙng duïng tính chaát vöøa neâu ta coù theå phaùn ñoaùn moät soá coù phaûi laø moät soá chính phöông hay khoâng. Ví duï : Xeùt xem soá 98765432123456789 coù phaûi laø moät soá chính phöông hay khoâng ?

Ta tìm soá goác cuûa con soá treân : Ta coù theå tính nhö sau :Caùch 1 :

9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9= 9+9+(8+1)+2(7+2)+2(6+3)+2(5+4)+ 8 => coù

soá goác laø 8Caùch 2

9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9= (9+8+7+6+5+4+3+2+1)+(2+3+4+5+6+7+8+9)= 45 + 44= 89 8 + 9 = 17; 1 + 7 = 8 => coù soá goác laø 8 ( Hay 89 : 9 = 9 dö 8 => coù soá goác laø 8)

- 9 -

Soá goác laø 8 khaùc 1,4,7,9 neân soá A khoâng laø soá chính phöông.

Soá goác cuûa caùc soá chính phöông coøn laäp thaønh moät daõy soá tuaàn hoaøn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. ÔÛ ñaây chöõ soá ranh giôùi laø chöõ soá 9 chöù khoâng phaûi laø chöõ soá 0 nhö tính chaát treân.Ví duï : 100 ( bình phöông cuûa 10) coù soá goác laø 1

121 ( bình phöông cuûa 11) coù soá goác laø 4144 ( bình phöông cuûa 12) coù soá goác laø 9169 ( bình phöông cuûa 13) coù soá goác laø 7196 ( bình phöông cuûa 14) coù soá goác laø 7225 ( bình phöông cuûa 15) coù soá goác laø 9256 ( bình phöông cuûa 16) coù soá goác laø 4289 ( bình phöông cuûa 17) coù soá goác laø 1324 ( bình phöông cuûa 18) coù soá goác laø 9(ranh giôùi cuûa chu kyø).361 ( bình phöông cuûa 13) coù soá goác laø 1(ranh giôùi laëp laïi)

“Söï kì laï cuûa soá leû”Ta coù 1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 + 13 = 49 = 72

………………………Ñeán ñaây ta coù quy luaät: Toång n soá leû ñaàu tieân

laø moät soá chính phöông1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n2

(Phaàn naøy chöùng minh ôû baøi taäp 22).“Laïi theâm moät ñieàu thuù vò”

Baïn nghó sao veà caâu noùi: “Toång laäp phöông caùc soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 laø moät soá chính phöông”. Ta deã daøng kieåm tra baèng maùy tính nhö sau:

13 +23 = 9 = 32

13 +23 + 33 = 36 = 62

13 +23 + 33 + 43 = 100 = 102

13 +23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152

13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441 = 212

- 10 -

13 +23 + 33 + 43 + 53 + 63 +73 = 784 = 282

……………………Neáu ta ta ñeå yù ta coù theå nhaän ra raèng:

1 + 2 = 31 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 = 151 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28…………………

Ñeán ñaây ta coù theå tìm ra ñöôïc quy luaät: 13 +23 +…+ n3 = (1 + 2 +…+ n)2

“Baïn tin khoâng”Ta coù soá 49 laø số chính phương. Neáu ta xen soá 48

vaøo giöõa seõ ñöôïc soá 4489, neáu tieáp tuïc xen soá 48 vaøo giöõa seõ ñöôïc soá 444889, moät caùch toång quaùt

. Luùc ñoù ta ñöôïc daõy soá 49, 4489, 444889,

44448889, …, , baïn nghó gì veà caùc soá haïng

cuûa daõy soá ñoù?Ñieàu thuù vò ôû ñaây laø moãi soá haïng cuûa daõy laïi chính laø số chính phương.

Chöùng minh :

A= = 9+8.10+8.102+…

+8.10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1

Ta vieát 9 = 1+4+4 vaø 8 = 4+4 ta ñöôïc: A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102+…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1

= 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1)

= 1+4. +4.

=

=

=

- 11 -

Ta coù 2.10n+1+1 3 (coù toång caùc chöõ soá baèng 3) neân soá trong ngoaëc laø soá nguyeân. Suy ra A laø số chính phương.V. MOÄT SOÁ BAØI TAÄP COÙ HÖÔÙNG DAÃN:

1/. (Daïng 1) Caùc soá sau coù phaûi laø soá chính phöông khoâng ?

a) A = 2004000 b) B = 20012001 2/. (Daïng 3) Chöùng toû raèng caùc soá sau khoâng laø

soá chính phöông.a) b) c)

3/. (Daïng 3) Chöùng toû raèng toång sau khoâng laø soá chính phöông.

A = 4/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 0, 2, 3, 4. Tìm soá chính

phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân.5/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 7, 4, 2, 0. Tìm soá chính

phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân. 6/. (Daïng 2) Cho boán chöõ soá 0, 2, 3, 5. Tìm soá chính

phöông coù boán chöõ soá goàm caû boán chöõ soá treân.7/.(Daïng 3) a) Cho moät soá töï nhieân goàm 15 chöõ soá 2.

Coù caùch naøo vieát theâm caùc chöõ soá 0 vaøo vò trí tuøy yù ñeå soá môùi taïo thaønh laø moät soá chính phöông hay khoâng ?

b) Moät soá töï nhieân goàm moät chöõ soá 1, hai chöõ soá 2, ba chöõ soá 3, boán chöõ soá 4, coù theå laø moät soá chính phöông hay khoâng?

8/. (Daïng 1) Vieát daõy soá töï nhieân töø 1 ñeán 101 laøm thaønh moät soá A

a) A coù laø hôïp soá hay khoâng ?b) A coù laø soá chính phöông hay khoâng ? c) A coù theå coù 35 öôùc hay khoâng ?

9/. (Daïng 1) Töø naêm chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, laäp taát caû caùc soá coù naêm chöõ soá goàm caû naêm chöõ soá aáy. Trong taát caû caùc soá ñoù coù soá naøo laø soá chính phöông khoâng?

10/. (Daïng 3) Tìm soá töï nhieân n coù 2 chöõ soá, bieát raèng 2n + 1 vaø 3n + 1 laø caùc soá chính phöông.

- 12 -

n-2 soá 9 n soá 0

11/. (Daïng 3) Tìm soá töï nhieân n coù 2 chöõ soá, bieát raèng neáu nhaân noù vôùi 45 thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.

12/. (Daïng 4)a) Caùc soá töï nhieân n vaø 2n coù toång caùc

chöõ soá baèng nhau. Chöùng minh raèng n chia heát cho 9.b) Tìm soá chính phöông n coù ba chöõ soá, bieát

raèng n chia heát cho 5 vaø neáu nhaân n vôùi 2 thì toång caùc chöõ soá cuûa noù khoâng ñoåi.

1/.(Daïng 3) Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá, sao cho neáu coäng noù vôùi soá coù hai chöõ soá aáy vieát theo chieàu ngöôïc laïi thì ta ñöôïc moät soá chính phöông.

14/. (Daïng 3) Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, bieát raèng : caùc chöõ soá haøng traêm, haøng nghìn, haøng chuïc, haøng ñôn vò theo thöù töï ñoù laøm thaønh boán soá töï nhieân lieân tieáp taêng daàn.

15/. (Daïng 3) Tìm soá chính phöông coù boán chöõ soá, bieát raèng chöõ soá haøng nghìn baèng chöõ soá haøng ñôn vò vaø soá chính phöông ñoù vieát ñöôïc döôùi daïng (5n+4)2

vôùi n N.16/. (Daïng 1) Cho soá töï nhieân A goàm 100 chöõ soá

1, soá töï nhieân B goàm 50 chöõ soá 2. Chöùng minh raèng A – B laø moät soá chính phöông.

17/. (Daïng 1) Coù hay khoâng coù moät soá chính phöông maø soá ñoù goàm 1995 chöõ soá 1 vaø caùc chöõ soá coøn laïi laø chöõ soá 0

18/. (Daïng 1) Caùc soá sau coù laø soá chính phöông khoâng :

a) A = 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20b) B = 31 + 32 + 33 +…+ 3100

c) C = 11 + 112 + 113

19/. (Daïng 1) Tìm soá töï nhieân n sao cho toång 1! + 2! + 3! + … + n! laø moät soá chính

phöông.20/. (Daïng 1) Soá naøo laø soá chính phöông; soá naøo

khoâng laø soá chính phöông?a) 21000 b) 31993 c) 4161 d)

21/. (Daïng 1) Chöùng minh raèng soá laø

soá chính phöông

- 13 -

22/. (Daïng 1) Chöùng minh raèng 100! khoâng phaûi laø soá chính phöông.

23/. (Daïng 4) Chöùng minh raèng toång cuûa n soá leû daàu tieân laø moät soá chính phöông: 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n2

24/. (Daïng 4) Chöùng minh raèng: Toång laäp phöông caùc soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 laø moät soá chính phöông: 13 +23 +…+ n3 = (1 + 2 +…+ n)2

25/. Chöùng minh raèng toång caùc chöû soá cuûa moät số chính phương khoâng theå baèng 5.

26/. Bình phöông caùc soá 1, 2, 3, …, 1982 roài vieát chuùng lieàn nhau theo moät thöù töï naøo ñoù. Coù ñöôïc moät soá coù nhieàu chöõ soá laø số chính phương khoâng ?

27/. Số chính phương coù theå baét ñaàu baèng 1983 chöõ soá 9 khoâng ?

28/. Toàn taïi hay khoâng soá töï nhieân A maø khi vieát theâm chính noù vaøo beân phaûi seõ ñöôïc số chính phương khoâng ?

29/. Soá töï nhieân N laø moät số chính phương vaø khoâng taän cuøng baèng chöõ soá 0. Sau khi xoùa hai chöõ soá cuoái cuøng cuûa noù ta laïi ñöôïc moät số chính phương. Tìm soá N lôùn nhaát coù tính chaát treân.

30/. Chöùng minh raèng caùc soá 16, 1156, 111556, … trong ñoù moãi soá baét ñaàu baèng chöõ soá thöù hai, baèng soá lieàn tröôùc noù xen soá 15 vaøo giöõa, laø nhöõng số chính phương. (xem muïc “Baïn tin khoâng ?”)

31/. Tìm taát caû caùc soá coù boán chöõ soá maø khi vieát noù vaøo beân phaûi soá 400 seõ ñöôïc moät số chính phương.

32/. Toång caùc chöõ soá cuûa moät số chính phương coù theå baèng 1983 khoâng? 1984 khoâng?

33/. Chöùng minh raèng moãi soá haïng cuûa daõy soá 11, 111, 1111, … khoâng theå laø số chính phương.

34/. Vieát taát caû caùc soá töï nhieân töø 1 ñeán 1976 theo thöù töï baát kì. Chöùng minh raèng soá vieát ñöôïc khoâng laø số chính phương.

- 14 -

HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI HOAËC ÑAÙP SOÁ1/. a) Soá A khoâng taän cuøng moät soá chaün chöõ

soá 0 (3 chöõ soá 0). neân khoâng laø soá chính phöông.b) Ta coù B = 20012001 = (20011000)2 . 2001 Soá 2001 coù toång caùc chöõ soá laø 3 chia

heát cho ba nhöng khoâng chia heát cho 9 => B khoâng laø soá chính phöông.

2/. a) , voâ lí.b) , voâ lí.

c) , voâ lí.3/. A = =

= soá chính phöông chöùa thöøa soá nguyeân toá vôùi soá

muõ chaün,do ñoù a+b+c = 37k2 (kN). Voâ lí vì a+b+c ≤ 27.Vaäy A khoâng laø soá chính phöông.4/. Ñaùp soá : 2304 = 482 5/. Ñaùp soá : 2704 = 522

6/. Ñaùp soá : 3025 = 552

7/. a) Khoâng phaûi laø soá chính phöông vì soá môùi taïo thaønh chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9

- 15 -

25 49 81 121 169n 12 24 40 60 84

3n + 1

37 73 121 181 253

b) Khoâng phaûi laø soá chính phöông vì soá môùi taïo thaønh chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9

8/. a) Toång caùc chöõ soá cuûa A laø 903 neân A 3 do ñoù laø hôïp soá

b) A chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân A khoâng laø soá chính phöông.

Hay A coù soá goác laø 3 neân khoâng phaûi laø soá chính phöông

c) A khoâng laø soá chính phöông neân soá löôïng caùc öôùc khoâng theå laø leû.

9/. Toång caùc chöõ soá töø caùc soá laäp ñöôïc laø 15 chia heát cho 3 nhöng khoâng chia heát cho 9 neân moãi soá laäp ñöôïc khoâng phaûi laø soá chính phöông

10/. Vì n coù 2 chöõ soá neân 10 ≤ n ≤ 99 neân 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199. Caùc soá chính phöông leû trong khoaûng treân laø 25; 49; 81; 121; 169.

Chæ coù soá 3n + 1 = 121 laø soá chính phöông. Vaäy n = 4011/. Ñaùp soá : 20; 45; 8012/. a) Goïi toång caùc chöõ soá cuûa n vaø cuûa soá 2n

laø k => ta coù n – k 9 vaø 2n – k 9; do ñoù (2n – k) – (n – k) 9 hay n 9

b) soá chính phöông phaûi tìm 5; 9 vaø coù 3 chöõ soá neân coù 2 ñaùp soá : 225 vaø 900

13/. ; coù 8 ñaùp soá: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92.

14/. Giaû söû chöõ soá taän cuøng cuûa soá chính phöông laø a + 3 chæ coù theå baèng 4; 5; 6; 9.

Töông öùng ta coù n2 baèng 2134; 3245; 4356;7689Chæ coù 4356 = 662 coøn caùc tröôøng hôïp coøn laïi

loaïi15/. Soá 5n + 4 taän cuøng laø 4 hoaëc 9. Ta xeùt 2

tröôøng hôïp: TH 1: Soá 5n + 4 taän cuøng laø 4 thì (5n + 4)2 taän cuøng laø 6. Caàn tìm caùc soá coù daïng laø bình phöông cuûa

- 16 -

50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá

50 chöõ soá

50 chöõ soá

1995 soá 1

1995 soá 1

moät soá taän cuøng baèng 4. Khoâng coù soá naøo thoûa maõn vì 742 = 5476 < < 7056 = 842 TH 2: Soá 5n + 4 taän cuøng laø 9 thì (5n + 4)2 taän cuøng laø 1. Caàn tìm caùc soá coù daïng laø bình phöông cuûa moät soá taän cuøng baèng 9.

Ta thaáy 292 = 841 < < 2401 = 492 coøn 392 = 1521

Vaäy soá caàn tìm laø 1521

16/. Ta coù A = +

Ñaët C = thì B = 2C

Suy ra A = C.1050 + C do ñoù A – B = C.1050 + C – 2C = C(1050 – 1).

Ta coù 1050 – 1 = = 9C

Vaäy A – B = C. 9C = 9C2 = (3C)2 = laø soá

chính phöông.

17/. Giaû söû A =

Toång caùc chöõ soá cuûa A baèng:

laø moät soá chia heát cho 3

nhöng khoâng chia heát cho 9 neân A khoâng laø soá chính phöông.

18/. a) Khoâng vì A taän cuøng 3 chöõ soá 0b) Khoâng (xem ví duï 2 daïng 1)c) Khoâng vì C coù chöõ soá taän cuøng laø 3

19/. Vôùi n = 1 thì 1! = 1 = 12

Vôùi n = 2 thì 1! + 2! = 3 khoâng laø soá chính phöông

Vôùi n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 9 = 32 laø soá chính phöông

Vôùi n 4 thì 1! + 2! +…+ n! taän cuøng baèng 3 neân khoâng laø soá chính phöông. (Thaäy vaäy 1! + 2! + 3! + 4! = 33, coøn 5!; 6! … ñeàu taän cuøng baèng 0).

Vaäy n = 1 hay n = 320/. a) 21000 = 22.500 = (2500)2

b) 31993 = 31992.3 = (3996)2.3 c) 4161 = (22)161 = (2161)2 d)

- 17 -

n-2 soá 9

n-2 soá 9 n soá 0

n-2 soá 9

21/. Ta coù

=

= = = = = = laø số chính phương

22/. Ta coù 100! = 1.2.3…100Ta ñi tìm soá coù taän cuøng laø 2 hoaëc 5 (vì 2.5 =

10)vaø taän cuøng laø 0Coù 10 soá taän cuøng laø 2 laø: 2; 12; 22; 32; 42;

52; 62; 72; 82; 92.Coù 10 soá taän cuøng laø 5 laø: 5; 15; 25; 35; 45;

55; 65; 75; 85; 95.=> Tích cuûa chuùng coù 10 chöõ soá 0 taän cuøng

Coù 9 soá taän cuøng laø 1 soá 0 : 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

Coù 1 soá taän cuøng laø 2 soá 0 : 100Vaäy 100! coù 10 + 9 + 2 = 21 (leû) chöõ soá 0 taän

cuøng neân khoâng laø số chính phương. 23/. Giaû söû coâng thöùc: 1 + 2 + 3 + … + (2n + 1) = n2 (1) ñuùng vôùi n=k, ta chöùng minh coâng thöùc (1) ñuùng vôùi n = k + 1.

Theo quy naïp ta coù: 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)

= (k + 1)2 Suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.24/. Theo baøi toaùn cuûa Gauss ta coù:

Baøi toùan trôû thaønh cmr: (1)

Giaû söû coâng thöùc (1) ñuùng vôùi n, ta chöùng minh coâng thöùc (1) ñuùng vôùi n + 1. Theo quy naïp ta coù :

Suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.

- 18 -

- 19 -