Chapter 3

Force System Resultants(ระบบของแรงลพท)

ผสอน: รศ.ดร.วชดา เสถยรนาม

หอง: ภาควชาวศวกรรมโยธา

E-mail: wichsa@kku.ac.th

ทบทวนประเดนส ำคญทไดเรยนไปแลว• บททแลว เรำพจำรณำวตถทมขนำดเลกและถอเสมอนเปนจดๆ

เดยวได

• ส ำหรบในบทน เรำจะเกยวของกบวตถซงมขนาดทไมสามารถจะถอวาเปนจดได

• ดงนนแรงตำงๆทกระท ำบนวตถอำจจะกระท ำตำงจดกน และบงคบใหเรำตองเขำไปเกยวของกบระบบของแรงทไมพบกนทจดๆเดยว

• บทน เราจะศกษาผลของแรงทมตอวตถคงรป

2

3

วตถประสงคเพอศกษำ

• แนวคดและวธกำรค ำนวณหำโมเมนตของแรง

• วธกำรหำโมเมนตรอบจดหรอแกนใดๆ

• วธกำรหำโมเมนตของแรงคควบ

• วธกำรหำแรงลพธซงเกดจำกระบบแรงทไมรวมศนย

• เรยนรวธกำรแทนทของแรงระบบหนงดวยระบบของแรงซงงำยกวำและสมมล (equivalent) กบระบบเดม

3.1 โมเมนตของแรง

Moment of a Force

5

โมเมนตของแรง (Moment of Force)• โมเมนตของแรงรอบจดหรอแกนใดๆ คอแรงทพยำยำมท

จะท ำใหวตถ “หมน”

6

โมเมนตของแรง1. ขนาดของโมเมนต

– F เปนแรงทพยำยำมท ำใหเกดกำรหมน

– d เปนระยะระหวำงจดหมนและแรง Fโดยท ำมมฉำกกบแรงนน

2. ทศทางของโมเมนต– เปนปรมำณเวคเตอร ตองบอกทศทำง

– ใชกฎมอขวำ

FdM O =

7

สญลกษณของโมเมนต• โมเมนตเปนปรมำณเวคเตอร

• ตองใชสญลกษณทแตกตำงจำกแรง

2D & 3D 2D

8

Ex. 3.1-1 จงค ำนวณหำโมเมนตรอบจด O

𝑀𝑂 = 𝐹 ⋅ 𝑑= −(100 ⋅ 2)= −200 N ⋅ m

𝑀𝑂 = 𝐹 ⋅ 𝑑= +(100 ⋅ 2)= 200 N ⋅ m

𝑀𝑂 = 𝐹 ⋅ 𝑑= +(100 ⋅ 1)= 100 N ⋅ m

𝑀𝑂 = 𝐹 ⋅ 𝑑= +(100 ⋅ 0)= 0 N ⋅ m

𝟏𝟎𝟎 𝐍

𝟏𝟎𝟎 𝐍 𝟏𝟎𝟎 𝐍 𝟏𝟎𝟎 𝐍

11

Ex. 3.1-2 จงค ำนวณหำโมเมนตรอบจด A, B, C, และ D

𝑀𝐴 = 𝐹 ⋅ 𝑑= −800 ⋅ 1.5 + 1= −2000 N ⋅ m

𝑀𝐵 = 𝐹 ⋅ 𝑑= −800 ⋅ 1.5= −1200 N ⋅ m

𝑀𝐶 = 𝐹 ⋅ 𝑑= 800 ⋅ 0= 0 N ⋅ m

𝑀𝐷 = 𝐹 ⋅ 𝑑= 800 ⋅ 0.5= 400 N ⋅ m

12

โมเมนตลพธของระบบแรงรวมระนำบ• โมเมนตลพธของระบบแรงรวมระนำบ คอ ผลรวมของโมเมนต

รอบจดใดๆ

332211 dFdFdF

FdMOR

++=

=

13

Ex. 3.1-3 จงค ำนวณหำโมเมนตของแรงทง 4 รอบจด O

( )

( ) ( )

mN9.333

30sin32030cos3440060250

−=

++−+−=

= dFMO

14

กำรเขยนโมเมนตของแรงในรปเวคเตอร• โมเมนตของแรง ทกระท ำรอบจด สำมำรถเขยน

อยในรปของเวคเตอรไดคอ

โดยท เปนเวคเตอรก ำหนดต ำแหนงของจดใดๆ บนเสนตรงทแนวแรง ผำน

F O

F

r

𝐌𝒐 = 𝐫 × 𝐅

15

ผลคณเวคเตอร (Cross Product)ผลคณของเวคเตอร และ จะไดผลลพธเปนเวคเตอร

1 ขนาดของเวคเตอร

2 ทศทางของเวคเตอร

A B C

BAC =

sinABC =

C

( ) CAB uBAC sin==

C

16

คณสมบตของกำรคณแบบเวคเตอร• กฏของกำรสลบทใชไมได

แต

• กำรคณดวยสเกลำร

• กำรกระจำย( ) DABADBA +=+

ABBA −=

( ) ( )aaaa BABABABA ===

ABBA

17

ผลคณเวคเตอรในระบบพกดฉำก• ผลคณเวคเตอรของเวคเตอรหนงหนวย

0

0

0

=−==

=−==

=−==

kkijkjik

jjkijikj

iijkikji

( )( )

( )( ) 190sin11

00sin11

==

==

ji

ii

18

ผลคณเวคเตอรในระบบพกดฉำก (ตอ)• ผลคณเวคเตอรของเวคเตอร และ

• เมอพจำรณำผลคณเวคเตอรหนงหนวย( ) ( )

( )kjiBA

xyyx

xzzxyzzy

BABA

BABABABA

−+

−−−=

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kkjkik

kjjjij

kijiii

kjikjiBA

+++

+++

++=

++++=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

BABABA

BABABA

BBBAAA

A B

19

ผลคณเวคเตอรในระบบพกดฉำก (ตอ)• ผลคณเวคเตอรของเวคเตอร และ สำมำรถเขยนอยในรปของดเทอรมแนนท

yx

yx

zyx

zyx

zyx

zyx

BB

AA

BBB

AAA

BBB

AAA

jikji

kji

BA

=

=

A B

(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

21

กำรเขยนโมเมนตของแรงในรปเวคเตอร (ตอ)• โมเมนตของแรง รอบจด สำมำรถค ำนวณไดโดยF

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

FrM ==

O

( ) ( ) ( )kjiM xyyxxzzxyzzyO FrFrFrFrFrFr −+−−−=

FrM =O

= (-0.2i+0.16j) x (-400i+693j)

= -138.6 k -64.0 k N.m= -202.6 k N.m

22

Ex. M A = ?

F = 400i +693j N

0.20 m

0.16 m

A

B

แรงกระท ำบนหชำงทจด B จงหำโมเมนตของแรงนรอบจดยด A

𝐌𝑨 = 𝐫𝑨𝑩 × 𝐅

i j k i j

-0.2 0.16 0 -0.2 0.16

-400 693 0 -400 693

23

F = -40i -20j +40k N

Ex. M A = ?

( ) ( ) ( )

mN6.223

100120160222

=

+−+=AM

1.246.223

100cos

4.1226.223

120cos

3.446.223

160cos

1

1

1

=

=

=

−=

=

=

−

−

−

ขนาด ทศทาง

MA = (rABx F) = (i+3j+2k) x (-40i-20j+40k)

= [(3)40-(-20)2]i – 120j +100k= 160i – 120j + 100k N.m

-

+ + +

- -i j k i j

1 3 2 1 3

-40 -20 40 -40 -20

𝐌𝑨 = 𝐫𝑨𝑩 × 𝐅

QUIZ

24

𝐌𝒐 = 𝐫 × 𝐅

ทบทวนประเดนส ำคญทไดเรยนไปแลว• โมเมนตของแรง

FrM =

26

หลกของกำรสงผำน (Principle of Transmissibility)• โมเมนตของแรง ทกระท ำรอบจด สำมำรถค ำนวณหำได

โดยผลคณของเวคเตอร ของจดใดๆบนเสนตรงทแรง ผำนและแรง

F O

Fr

F

𝐌𝒐 = 𝐫𝑨 × 𝐅= 𝐫𝑩 × 𝐅= 𝐫𝑪 × 𝐅

27

Ex. 3.1-4 The pole is subjected to a 60N force that is directed from C to B. Determine the magnitude of the moment created by this force about the support at A.

( ) ( ) ( )

kji

kji

rrr

jir

kjir

22

024331

43

23

+−−=

−+−+−=

−=

+=

++=

ACABCB

AC

AB

• สรางเวคเตอรก าหนดต าแหนงi j k

A 0 0 0

B 1 3 2

C 3 4 0

M = 𝐫 × 𝐅

28

Ex. 3.1-4 (ตอ)เขยนเวกเตอรของแรง F

F = -40i -20j +40k N

หำโมเมนตโดยใชผลคณของเวกเตอร

( ) ( ) ( )

+−+−

+−−==

=

222212

226060

kjir

uF

CB

CB

CB

r

F

i j k i j

3 4 0 3 4

-40 -20 40 -40 -20

MA = (rABx F) หรอ= (i+3j+2k) x (-40i-20j+40k)

= [(30)40-(-20)2]i – 120j +100k= 160i – 120j +100k N.m

-

+ + +

- -i j k i j

1 3 2 1 3

-40 -20 40 -40 -20

MA = (rACx F) = (3i+4j) x (-40i-20j+40k)

= 160i – 120j +100k N.m

29

Ex. 3-4 (ตอ)

ขนำดของโมเมนต

ทศทำงของโมเมนต

( ) ( ) ( )

mN6.223

100120160222

=

+−+=AM

1.246.223

100cos

4.1226.223

120cos

3.446.223

160cos

1

1

1

=

=

=

−=

=

=

−

−

−

MA = 160i – 120j +100k N.m

30

โมเมนตลพธของระบบแรง• โมเมนตลพธทเกดขนเนองจำกระบบของแรงทกระท ำตอวตถใหเกดกำรหมนรอบจด สำมำรถค ำนวณไดจำกO

( )FrM =OR

31

โมเมนตของแรงทงสามรอบจด O สามารถค านวณไดจาก

MO = (rOAx F1)+(rOAx F2)+ (rOBx F3)

โดยท

Ex. 3.1-5 Three forces act on the rod. Determine the resultant moment they create about the flange at O and determine the coordinate direction angles of the moment axis.

kjir

jr

254

5

−+=

=

OB

OA

i j k

O 0 0 0

A 0 5 0

B 4 5 -2

32

Ex. 3.1-5 (ตอ)

MO = (rOAx F1) + (rOAx F2) + (rOBx F3)

= [5(20)-40(0)]i + [0]j + [0(40)-(-60)(5)]k +[0i-0j+0k] +[5(-30)-(40)(-2)]i + [(-2)80-(-30)4]j + [4(40)-80(5)]k

= 30i - 40j + 60k N.m

i j k i j i j k i j i j k i j

0 5 0 0 5 + 0 5 0 0 5 + 4 5 -2 4 5

-60 40 20 -60 40 0 50 0 0 50 80 40 -30 80 40

33

ตวอยำง 3.1-5 (ตอ)ขนำดของโมเมนต

ทศทำงของโมเมนต

( ) ( ) ( )

mN1.78

604030222

=

+−+=OM

8.391.78

60cos

1211.78

40cos

4.671.78

30cos

1

1

1

=

=

=

−=

=

=

−

−

−

34

ทฤษฎของวำรยอง (Varignon’s Theorem)• คนพบโดยนกคณตศำสตรชำวฝรงเศสชอ วำรยอง(ค.ศ. 1654-1722)

• โมเมนตของแรงลพธยอมเทำกบผลบวกของโมเมนตของแรงยอยรอบจดหมนเดยวกน

( ) FrFFrFrFrM =+=+= 2121O

35

Ex. 3.1-6 (Varignon’s Theorem)Three forces act on the rod. Determine the resultant moment they create about the flange at O and determine the coordinate direction angles of the moment axis.

kjir

jr

254

5

−+=

=

OB

OA

F1 + F2 = -60i + 40j +20k +50j= -60i + 90j + 20k

MO = rOAx (F1 + F2) + rOBx F3

= 30i – 40j + 60k N.m

i j k i j k

0 5 0 + 4 5 -2

-60 90 20 80 40 -30

i j k

O 0 0 0

A 0 5 0

B 4 5 -2

QUIZ

36

𝐌𝒐 = 𝐫 × 𝐅

3.2 โมเมนตของแรงรอบแกนใดๆ

Moment of a Force about a Specified Axis

ทบทวนประเดนส ำคญทไดเรยนไปแลว

𝐌𝒐 = 𝐫 × 𝐅

𝑀𝑜 = 𝐹𝑥 × 𝑑𝑦

Scalars Definition

• Moment of Force

Vectors Definition

39

โมเมนตของแรงรอบแกนใดๆ• วธสเกลำร

da เปนระยะระหวำงแกนทตองกำรหำโมเมนตไปยงแนวแรง (ตงฉำกกบแนวแรง)

aa FdM =

40

โมเมนตของแรงรอบแกนใดๆ• วธเวคเตอร

เวคเตอรหนงหนวยทบอกทศทำงทตองกำรทรำบองคประกอบของโมเมนต

( ) aaM uFr =

au

ผลคณเชงสเกลำร (Dot Product)• ผลคณเชงสเกลำรระหวำง

เวคเตอร 2 เวคเตอร มผลลพธเปน สเกลาร

• ใชเพอ– ค ำนวณหำมมระหวำงเวคเตอร

– ค ำนวณหำองคประกอบของแรงทขนำนหรอตงฉำกกบแนวใดๆ

• ชวยลดควำมซบซอนของปญหำแบบ 3 มต

cosAB=BA

กฏของกำรคณแบบสเกลำร• กฏกำรสลบท

• กฏกำรคณดวยสเกลำร

• กฏกำรกระจำย

ABBA =

( ) ( ) ( ) ( )aaaa BABABABA ===

( ) ( ) ( )DABADBA +=+

ผลคณเชงสเกลำรของเวคเตอรในระบบพกดฉำก• ผลคณเชงสเกลำรของเวคเตอร 1 หนวย

• ผลคณเชงสเกลำรของเวคเตอร A และ B

090cos)1()1(

10cos)1()1(

==

==

ji

ii

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjikjiBA

+++

+++

++=

++++=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

BABABA

BABABA

BBBAAA

zzyyxx BABABA ++=BA

กำรประยกตใชผลคณสเกลำร• มมระหวำงเวคเตอร

• องคประกอบของเวคเตอรทขนำนหรอตงฉำกกบแนวใดๆ

= −

AB

BA1cos

uA == cos|| AA 2

||

2 AAA −=⊥

sinAA =⊥

( )uuAuA == cos|| A||AAA −=⊥

45

โมเมนตของแรงรอบแกนใดๆ• วธเวคเตอร

สำมำรถเขยนอยในรป

และ

( ) aaa MM uFru == 0

( )

zyx

zyx

aaa

aa

FFF

rrr

uuu

Mzyx

== Fru

( ) aaaaa M uFruuM ==

46

Ex. 3.2-1The force F = {-40i + 20j + 10k} N acts on the point A. Determine the moments of this force about the x and a axes.

• เรมจากการค านวณหาโมเมนตรอบจดบนแกนทตองการหาโมเมนต

• ในกรณน จด O เปนจดทอยบนแกน x และ a เราจงตองค านวณหาโมเมนตรอบจด O กอน

kjir 643 ++−=OA

FrM = OAO

( ) ( )

kji

kjikjiM

10021080

102040643

+−−=

++−++−=O

i j k

O 0 0 0

A -3 4 6

47

Ex. 3.2-1 (ตอ) โมเมนตรอบแกน x สำมำรถค ำนวณไดโดยใชผลคณเชงสเกลำร

โมเมนตรอบแกน a ตองค ำนวณหำทศทำงของแกน a กอน

( )

iiM

ikji

iM

80

mN80

10021080

−==

−=

+−−=

=

xx

Ox

M

M

jir 43 +−=Oa

( )

( )

ji

jiuM

jikji

uM

9672

5

4

5

3120

mN120mN16848

5

4

5

310021080

−=

+−−==

−=−=

+−+−−=

=

Oaaa

OaOa

M

M

( ) ( )2243

43

+−

+−=

jiuOa

i j k

O 0 0 0

A -3 4 6

a -3 4 0

48

Ex. 3.2-2 The rod is supported by two brackets at A and B. Determine the moment MAB produced by F = {-600i + 200j – 300k}N, which tends to rotate the rod about the AB axis.

เรมจากการค านวณหาโมเมนตรอบจดๆหนงบนแกนทตองการหาโมเมนต

FrM = ADA

( )

ki

kjijM

12060

3002006002.0

+−=

−+−=A

jr 2.0=AD

x y z

A 0 0 0

D 0 0.2 0

49

Ex. 3.2-2 (ตอ)โมเมนตรอบแกนสำมำรถค ำนวณหำไดโดยใชผลคณเชงสเกลำร

ทศทำงของโมเมนตชจำกจด B ไปทจด A

BAABAM uM =

( ) ( )

ji

jiru

45.089.0

2.04.0

2.04.0

22

−−=

−+−

−−==

BA

BABA

r

( ) ( )

mN67.53

45.089.012060

=

−−+−= jikiBAM

x y z

A 0 0 0

B 0.4 0.2 0

50

QUIZ( ) aaM uFr =

3.3 โมเมนตของแรงคควบ

Moment of a Couple

ทบทวนประเดนส ำคญทไดเรยนไปแลว• Moment about an Axis

โมเมนตรอบจดใดๆ บนแกนทตองการหาโมเมนต

เวกเตอรหนงหนวยตามแกนทตองการหาโมเมนต

53

โมเมนตของแรงคควบ (Couple Moment)• แรงคควบ (Couple) คอแรงสองแรงทมขนำดเทำกน มแนว

กระท ำขนำนกน และมทศทำงตรงกนขำมกน

• โมเมนตของแรงคควบจะพยำยำม

ท ำใหวตถหมน

• เปนเวคเตอรอสระ

ไมเปลยนแปลงตำมจดทคดโมเมนต

54

โมเมนตของแรงคควบ (Couple Moment)

วธสเกลำร

FdM =

วธเวคเตอร• สำมำรถค ำนวณไดโดย

( ) FrFrM +−= BA

M = 𝐫 × 𝐅

เปนเวคเตอรอสระ ไมเปลยนแปลงตามจดทคดโมเมนต

55

ตวอยำง 3.3-1 Determine the couple moment acting on the pipe. Segment AB is directed 30°below the x-y plane.

วธสเกลำร

ขนำด 130 N.m

ทศทำงไปตำมแกน -y

( )

N.m130

30cos625

=

=

= FdM

วธสเกลำร

เปนเวคเตอรอสระ ไมเปลยนแปลงตามจดทคดโมเมนต

56

ตวอยำง 3.3-1 (ตอ)วธเวกเตอร

FrM =

𝐅 = −25 𝐤

( )

ki

kjij

rrr

30sin630cos6

30sin6830cos68

+−=

−+−=

−= BABA

( ) ( )

N.m130

2530sin630cos6

j

kki

FrM

−=

−+−=

=

x y z

A 0 8 0

B 6cos30 8 -6sin30

วธเวคเตอร

M = 𝐫𝑩𝑨 × 𝐅𝑨

𝐫𝑩𝑨

𝐅 = −𝟐𝟓𝐤

เปนเวคเตอรอสระ ไมเปลยนแปลงตามจดทคดโมเมนต

57

ผลรวมของโมเมนตของแรงคควบ(Resultant Couple Moment)

• โมเมนตของแรงคควบหลำยๆคสำมำรถรวมกนไดแบบเวคเตอร

( )FrM =

58

Ex. 3.3-2 Determine the moment of the couple acting on the member.

( ) ( )

kN.m390

1120390

=

+=

= FdM

แยกองคประกอบของแรง แลวหาโมเมนตคควบขององคประกอบแตละค

61

แรงคควบสมมล (Equivalent Couples)• แรงคควบสองคจะสมมลกน ถำโมเมนตทเกดจำกแรงคควบทงสองคมคำเทำกน

( ) ( ) FFFFM == '' if3.04.0

62

Ex. 3.3-4 A couple acts on the gear teeth. Replace it by an equivalent couple having a pair of forces that cat through points A and B.

โมเมนตของแรงคควบขนาด 40 N

เมอแรงคควบทงสองสมมลกน ดงนน

( )

N.m24

6.040

=

=

= FdM

( )

N120

2.024

=

=

=

F

F

FdM

63

Ex. 3.3-4 (ตอ)

=

𝟒𝟎 𝐍

𝟏𝟐𝟎 𝐍 𝟏𝟐𝟎 𝐍

𝟒𝟎 𝐍

QUIZ

64

M = 𝐫 × 𝐅

Couple Moment

3.4 ระบบทสมมลกน

Equivalent System

ทบทวนประเดนส ำคญทไดเรยนไปแลว• โมเมนตของแรงคควบ

• ผลรวมโมเมนตของแรงคควบ

• แรงคควบสมมล

67

• แรงยงอยบนเสนตรงเดมทแรงพาดผาน

ระบบทสมมลกน (Equivalent System)กำรยำยแรง โดยแรงและโมเมนตลพธทกระท ำตอวตถไมเปลยนแปลง

* ยายแรงไปกระท าอกต าแหนงไดเลย โดยยงคงทศทางเดมไว

68

ระบบทสมมลกน (Equivalent System)• แรงไมอยบนเสนตรงเดมทแรงพำดผำน

* แทนแรงทต ำแหนงใหมในทศทำงเดม พรอมทงเพมโมเมนตคควบ

69

Ex. การยายแรง

A B

10 N5 N

A B

15 N

MA = - (10.1) - (5.2)= - 20 N.m

A B

15 N

MB = (10.2) +(5.1)= 25 N.m

1 m1 m 1 m

1 m1 m 1 m 1 m1 m 1 m

ยายมา A ยายมา B

MA = 20 N.m

= =

σF𝑅 = -10 - 5 = -15 N σF𝑅 = -10 - 5 = -15 N

MB = 25 N.m

70

Ex. 3.4-1 Replace the forces acting on the brace by an equivalent resultant force and couple moment acting at point A.

45cos400

45sin400 +→ σ𝐹𝑥= −100 − 400𝑐𝑜𝑠45 = −382.8 𝑁

1. หาผลรวมของแรงทงหมดทกระท าทจด A

+↑ σ𝐹𝑦= −600 − 400𝑠𝑖𝑛45 = −882.8 𝑁

𝐹𝑅 = 382.22 + 882.82 = 962 N

2. หาผลรวมของโมเมนตทกระท ารอบจด A

𝑀𝐴 = 100 0 − 600 0.4 − 400𝑠𝑖𝑛45 0.8 − 400𝑐𝑜𝑠45 0.3= -551 N.m

71

Ex. 3.4-1(ตอ)

=

72

Ex. 3.4-2 A structural member is subjected to a couple moment M and forces F1 and F2. Replace this system with an equivalent resultant force and couple moment acting at its base, point O.

1. หาผลรวมของแรงทงหมดทกระท าทจด O

( ) ( )

+−

+−=

=

−=

22

2

1

1.015.0

1.015.0300

300

800

ji

uF

kF

CB

( )

kji

jik

FFF

800166250

166250800

21

−+−=

+−+−=

+=R

73

Ex. 3.4-2 (ตอ)2. หาผลรวมของโมเมนตทกระท ารอบจด O

( )

( ) ( )

ji

jikji

FrM

kk

FrM

250166

1662501.015.0

0800

22

11

−−=

+−++−=

=

=−=

=

OB

OC

( ) ( )

kji

kjiji

MMMM

300650166

30040002501660

21

+−−=

+−+−−+=

++=R

kr

kjir

=

++−=

OC

OB 1.015.0

kjiF 800166250 −+−=R

kjiM 300650166 +−−=R

74

กำรแทนแรงและโมเมนตดวยแรงเพยงแรงเดยว

• ถำแรงลพธและโมเมนตลพธรอบจด O ตงฉำกตอกน จะสำมำรถแทนระบบของแรงและโมเมนตไดดวยแรงลพธเพยงแรงเดยวทจด P

75

กำรแทนแรงและโมเมนตดวยแรงเพยงแรงเดยว

• แรงทงสำมสำมำรถแทนไดดวยแรงลพธเพยงแรงเดยว โดยกระท ำหำงจำกจดหมนเปนระยะ d ซงจะท ำใหระบบทงสองสมมลกน

76

Ex. แทนดวยแรงเดยว

A B

10 N5 N

A B

15 N

σM𝐴 = -(10.1) -(5.2) = -15.d

d = 20/15 = 1.33 m

1 m1 m 1 m

1 m1 m 1 m

แทนดวยแรงเพยงแรงเดยว

1.33 m

σF𝑅 = - 10 - 5 = -15 N

=

1. ค านวณหาแรงลพธ

2. ค านวณหาโมเมนตลพธ

77

Ex. แทนดวยแรงเดยว

A B

10 N5 N

A B

15 N

σM𝐴 = -(10.1) – (5.2) - 10 = -15.d

d = 30/15 = 2 m

1 m1 m 1 m

1 m1 m 1 m

แทนดวยแรงเพยงแรงเดยว

2 m

σF𝑅 = -10 - 5 = -15 N

10 N.m

=

1. ค านวณหาแรงลพธ

2. ค านวณหาโมเมนตลพธ

78

Ex. 3.4-3 The beam AE is subjected to a system of coplanar forces. Determine the magnitude, direction and location on the beam of a resultant force which is equivalent to the given system of forces measured from E

( ) ( )2 2

1

1

100 500cos 60 350 N

200 500sin 60 233 N

350 233 420 N

350cos 34

420

233cos 124

420

x

y

R

F

F

F

−

−

= + =

= − = −

= + − =

= =

−= =

1. ค านวณหาแรงลพธ

79

Ex. 3.4-3 (ตอ)

( ) ( ) ( )

N.m216

5.01005.3200260sin500

−=

−+−= AM

2. ค านวณหาโมเมนตลพธจากแรงยอยเดม

3. ค านวณหาต าแหนงของแรงลพธทท าใหเกดโมเมนตลพธตอคานเทาเดม

( )

m93.0

0350233216

=

+−=−

+=

x

x

yxxyA

d

d

dFdFM

แรงลพธอยหางจากจด E 6 - 0.93 = 5.07 m

=

5.07 m

80

Ex. 3.4-4 The jib crane is subjected to three coplanar forces. Replace this loading by an equivalent resultant force and specify where the resultant’s line of action intersects the column AB and boom BC.

( )

( )

( ) ( )

kN16.4

6.225.3Σ

kN6.25.25

46.0

kN25.35.25

375.1

22

=

−+−=

−=−−=

−=−−=

R

y

x

F

F

F

1. ค านวณหาแรงลพธ

( ) ( ) ( )

kN.m46.6

2.175.16.15.26.06.0Σ

−=

−−−=BM

kN16.4

2. ค านวณหาโมเมนตลพธจากแรงยอย

kN.m46.6

81

Ex. 3.4-4 (ตอ)

m48.2

6.246.6

=

−=−

=

x

x

xyB

d

d

dFM

3. ยายต าแหนงของแรง (อยบนชนสวน BC)

m99.1

25.346.6

Σ

=

−=−

=

y

y

yxB

d

d

dFM

หรอ

4. ยายต าแหนงของแรง (อยบนชนสวน AB)

82

Ex. 3.4-5 The slab is subjected to four parallel forces. Determine the magnitude and direction of the resultant force equivalent to the given force system and locate its point of application on the slab.

( ) ( )

N.m3500

104005100

−=

−=xM

N1400

600400500100

−=

−−−=RF

( ) ( )

N.m4200

61008600

=

−=yM

m5.21400

3500==

=

y

yRx

d

dFM

m31400

4200==

=

x

xRy

d

dFM

1. ค านวณหาแรงลพธ

2. ค านวณหาโมเมนตลพธจากแรงยอย

3. ค านวณหาต าแหนงของแรงลพธ

83

Ex. 3.4-5

FR = 1400 N

dx = 3mdy = 2.5m

=10m

8m

QUIZ

84

Equivalent System

อางอง:• กลศาสตรวศวกรรม โดย รศ. ยงศกด พรรณเชษฐ

• เอกสารประกอบการสอน 171100 Statics โดย อ.ดร.ณฐพงษ อารมตร

• เอกสารประกอบการสอน 171100 Statics โดย อ.ดร.ธเนศ เสถยรนาม

R.C. Hibbeler P. Beer J.L. Meriam