Chapter 13 편도함수

Chapter 13 편도함수

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 13 편도함수

Contents

13.7 최대값과 최소값

13.8 라그랑주 승수

Chapter 13 편도함수

13.7 최대값과 최소값

Definition(a, b)를 중심으로 하는 어떤 원판 안의 모든 점 (x, y)에서 f(x, y) ≤ f(a, b)이면 이변수 함수 f는 (a, b)에서 극대를 갖는다고 말하고 f(a, b)를극대값이라 부른다. 마찬가지로 그러한 원판안의 모든 점 (x, y)에서f(x, y) ≥ f(a, b)이면 f는 (a, b)에서 극소를 갖는다고 말하고 f(a, b)를극소값이라 부른다.

Theorem만약 f가 (a, b)에서 극값(극대값 또는 극소값)을 가지며 편도함수가 (a, b)에서 존재하면, fx(a, b) = 0 이고 또한 fy(a, b) = 0이다.

Definitionfx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0이거나 이러한 편도함수들 중 하나가 존재하지 않는그러한 점 (a, b)를 f의 임계점이라 부른다.

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13.7 최대값과 최소값

▶ 임계점에서 함수는 극대값 또는 극소값을 가질 수 있고 아무것도 가지지

않을 수도 있다

Theorem중심이 (a, b)인 원판에서 f의 이계 편도함수가 연속이고fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0 [즉 (a, b)는 f의 임계점]이라 하자. 판별식

D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)–[fxy(a, b)]2

에 대하여 다음이 성립한다.

1. D > 0, fxx(a, b) > 0이면 f(a, b)는 극소값이다.

2. D > 0, fxx(a, b) < 0이면 f(a, b)는 극대값이다.

3. D < 0이면 f(a, b)는 극소값도 극대값도 아니다. 이 경우 (a, b)는안장점이다.

▶ D = 0이면 이것만으로는 판단할 수 없다.

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13.7 최대값과 최소값

Example

f(x, y) = x4 + y4–4xy + 1의 극대값, 극소값과 안장점을 구하여라.

풀이.

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13.7 최대값과 최소값

Example

점 (1, 0, –2)와 평면 x+ 2y + z = 4 사이의 최소거리를 구하여라.

풀이.

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13.7 최대값과 최소값

Example

뚜껑이 없는 직육면체 상자를 12m2넓이의 판지로 만들려고 한다. 이 상자의부피의 최대값을 구하여라.

풀이.

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13.7 최대값과 최소값

Theoremf가 R2상의 유계(bounded)인 폐집합(closed set) D에서 연속이면 f는 D안의어떤 점 (x1, y1), (x2, y2)에서 최대값 f(x1, y1)과 최소값 f(x2, y2)를 갖는다.

유계인 폐집합 D에서 연속함수 f의 최대값, 최소값을 구하려면

1. D내에 있는 f의 임계점에서 f의 값을 구한다.

2. D의 경계에서 f의 최대값, 최소값을 구한다.

3. 1과 2로부터 얻은 값 중 가장 큰 값은 최대값, 가장 작은 값은 최소값이다

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13.8 라그랑주 승수

Theorem (라그랑주 승수법)

제약조건 g(x, y, z) = k를 만족하는 f(x, y, z)의 최대값과 최소값을 구하기위하여 (이들 최대값과 최소값이 존재하며 곡면 g(x, y, z) = k위에서 ∇f ̸= 0이라 가정함)

1. 다음을 만족하는 모든 x, y, z와 λ의 값을 구한다

∇f (x, y, z) = λ∇g (x, y, z) , g (x, y, z) = k

2. 1에서 구한 모든 점 (x, y, z)에서 f의 값을 계산한다. 이 값들 중 가장 큰것이 f의 최대값이고 가장 작은 것이 f의 최소값이다.

▶ 위 정리는 이변수함수를 포함한 일반적인 다변수함수에서도 성립한다.

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13.8 라그랑주 승수

Example

뚜껑이 없는 직육면체 상자를 12m2넓이의 판지로 만들려고 한다. 이 상자의부피의 최대값을 구하여라.

풀이.

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13.8 라그랑주 승수

Example

원 x2 + y2 = 1 위에서 정의된 함수 f(x, y) = x2 + 2y2의 최대값, 최소값을구하여라.

풀이.

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13.8 라그랑주 승수

Example

x2 + y2 + z2 + t2 = 1에서 정의된 함수 f(x, y, z, t) = x+ y + z + t의 최대값,최소값을 구하여라.

Example

x2 + y2 ≤ 1 위에서 정의된 함수 f(x, y) = x2 + 2y2의 최대값, 최소값을구하여라.