Chapitre 5 Les interactions...

Chapitre 5

Les interactions proton-proton

Les collisions hadron-hadron sont dominees par des interactions softs (petitPT). Comme en DIS, occa-sionnellement une interaction dure (grandPT , grande masse,...) prend place. Ce type d’interaction est loind’etre compris dans tous ses aspects. Les aspects etudies dependent des conditions experimentales dont prin-cipalement l’energie disponible dans le centre de masse del’interaction. Aux basses et moyennes energies(en dessous de 100 GeV), actuellement, ce sont principalement les effets lies au spin qui sont etudies ainsique les effets non perturbatifs. Dans ce qui suit nous nous limiterons `a une approche de la QCD perturbativedans le domaine des interactions a haute energie (TeVatron et LHC).

A haute energie l’etude des interactions fortes est, pourcertains, particulierement importante car ellesproduisent un bruit de fond enorme aux processus etudiescomme dans les mesures portant sur le boson deHiggs et dans le cadre de la recherche de nouvelles particules (supersymetrie, etc). Les interactions fortesdoivent donc imperativement etre comprises a un tres haut niveau de precision et il faut donc en mesurerles parametres fondamentaux (αS, PDF, . . .). Pour d’autres, les plus hautes energies jamaisatteintes offrentla possibilite d’etudier des phenomenes nouveaux, li´es a la production d’un grand nombre de jets, a la sa-turation des densites de partons (s ∼ 1/x), aux dynamiques d’evolution a tres haute energie (modificationattendue de DGLAP aux petites valeurs dex), aux echanges multiples de partons, ou encore par exempleal’activite hadronique produite entre des jets de grande impulsion transverse,...

En presence d’une echelle dure, la section efficace hadron-hadron se factorise comme la convolution dedeux distributions de partons avec la fonction de diffusion dure, ˆσ, calculable perturbativement :

σhh′→X(Q)(Q) =∑

a,b=q,q,g

∫ 1

0dx1 dx2 fa/h(x1, µF) fb/h′(x2, µF) σab→X(Q)(x1, x2,Q, µF , αs(µR))

×θ(x1x2 ph · ph′ − Q2) , (5.1)

ou la fonction theta met en evidence le fait que le systeme partonique doit avoir une energie suffisante pourproduire le systemeX de masseQ. Ici aussi, comme en DIS, la fonction decrivant le processus durσ peutetre developpee perturbativement et depend des echelles de factorisation,µF , et de renormalisation,µR. Ladependence en l’echelle de renormalisation,µR, provient du fait que le terme relatif au processus dur ˆσ estlimite a un certain ordre du developpement enαS. L’echelle de factorisation donne la valeur jusqu’a laquelleles densites partoniques ont ete evoluees, suivant les equations DGLAP (a partir de l’echelle,Q0 utiliseepour extraire leur parametrisation). En general, on leschoisit egales l’une a l’autre et egales a l’echelle durede l’interaction qui nous interesse :µ = µR = µF = Q.

107

108 CHAPITRE 5. LES INTERACTIONS PROTON-PROTON

Le processus dur ˆσ se calcule suivant la serie perturbative enαS jusqu’a un ordre donne :

σ = c(0)αS(1+n∑

j=1

c( j)αjS) (5.2)

ou les coefficientsci sont des fonctions calculables des variables cinematiques.

e+

Q2

x1 x2

q(x, Q 2) q1(x1, Q2) g2(x2, Q2)

proton proton 1 proton 2

qg −> 2 jetse+q −> e+ + jet

x

σep = σeq ⊗ q σpp→2 jets = σqg→2 jets ⊗ q1 ⊗ g2 + · · ·

Figure 5.1 –

Figure 5.2 – Comparaison de la production de jets en DIS (ep) et hadron-hadron (pp).

En pratique le calcul de la section efficace devient vite tres complexe. Actuellement seul le processusDrell-Yan (voir plus loin) est connu au-dela du NLO.

Activit e sous-jacente

A grande energie (TeVatron, LHC), si l’on reprend notre image des fluctuations de partons au sein duproton l’effet du boost du a la plus grande energie des faisceaux sera encore augmente par rapport auxconditions experimentales de HERA, les densites partoniques sont donc d’autant plus grandes. L’activitehadronique dans le detecteur se complique, on distingue alors deux sous-ensembles dans l’evenement :

ր partie dure (ou hard)evenement ր interactions multiples de partons

ց Underlying eventց remanents des faisceaux

(+pile-up)

Partie hard. Elle correspond a l’activite relative a la composante dure et ne contient que les jets degrande impulsion transverse et autres objets portant une echelle dure (les bosonsZ et W, les particules degrande impulsion transverse par exemple le photon, les particules portant des quarks lourds,...).Underlying Event. Elle contient le reste de l’activite hadronique. Ce reste peut provenir des restes desfaisceaux (particules remanentes) de production de hadrons de faible impulsion transverse ou de diffusion

5.1. PRODUCTION DE JETS 109

supplementaires des partons avec le remanent de l’autre faisceau.

Comme nous l’avons vu au chapitre 4, la densite de partons augmente vite quand la valeur dux de Bjor-ken diminue. Les hautes energies ouvrent l’espace des phases aux petites valeurs dex qui vont contribuerde facon significative a la section efficace. Il faut donc s’attendre a ce que la probabilite d’avoir un pro-cessus avec deux partons issus du meme proton soit non negligeable. On parle alors d’interaction multiple(MPI = multiple parton interaction). Ce genre d’interaction est observe depuis longtemps dans les interac-tions pp pour lesquelles au moins une des deux interactions est soft.Actuellement, au LHC, les processuspour lesquels deux interactions sont dures commencent a etre etudiees, posant un grand nombre de ques-tions theoriques et experimentales. En particulier le fait que si deux partons sont emis par un proton, lesequations d’evolutions DGLAP etablies au chapitre 4 ne sont, a priori, plus valables. L’approche des PDF,qui decrivent la probabilite de presence d’un parton, sont a generaliser pour un plus grand nombre de partonstout en considerant leurs possibles correlations en impulsion. Ces processus sont de plus intrinsequementlies aux distributions spatiales des partons (dans le plantransverse) du proton qui sont encore tres malconnues (les quarks de valance sont-ils au centre du proton et les gluons plus en peripheries ?).

A tout cela il faut ajouter la possibilite, a haute luminosite, d’une superposition de plusieurs evenements(“pile-up” ) lors du meme croisement de faisceaux. Ces superpositionsne posent pas de probleme theoriquenouveau mais une difficulte experientale supplementaire. En 2012 au LHC, il n’etait pas rare d’observer 30interactions se superposer durant le meme croisement des faisceaux.

La figure 5.3 de droite illustre l’etendue du domaine cinematique couvert par le LHC (a 14 TeV) parrapport a HERA et aux experiences a cible fixe. On y voit la correlation entre l’echelle a laquelle se passel’interaction, M ou Q2, la rapidite du systeme partonique produit,y et la valeur d’un des deuxx. En par-ticulier, on voit que pour atteindre des petites valeurs dex il faut que le systeme partonique soit produittres a l’avant (ou a l’arriere), ce qui correspond a parexemplex1 tres petit etx2 relativement grand (ou lecontraire). Si les deuxx sont comparables le systeme partonique sera produit a unerapidite proche de zeroet plus la valeur de cesx sera grande plus l’echelleM sera elevee.

Differentes sections efficaces sont montrees a la figure 5.3 de gauche en fonction de l’energie dans lecentre de masse pour des collisionspp (jusqu’a

√s = 4 TeV) etpp (au-dela de 4 TeV). On remarque que

la section efficace de production de jets depT > 100 GeV croıt avec√

s, comme on s’y attend, car il y aplus d’energie disponible, en revanche elle decroıt pour pT >

√s/20 car la constante de couplageαS(s)

tend vers zero (liberte asymptotique) pours→∞.

5.1 Production de jets

La production de jets en collisions hadron-hadron (pp au TeVatron√

s = 1.96 TeV oupp au LHC,√s = 7 et 8 TeV) est le processus dur offrant le plus haut taux d’evenements et fournit un excellent test de

QCD. Il permet de mesurerαS, de tester la factorisation et de mieux contraindre les PDF.Ce saut en energiepar rapport au LEP ou a HERA se reflete dans les hautes valeurs atteintes pour l’impulsion transverse desjets (ils atteignent facilement plusieurs centaines de GeV).

La section efficace de production de 2 jets est obtenue par la formule :

dσ =∑

a,b,c,d=q,q,g

dx1 dx2 fa/h(x1, µF) fb/h′(x2, µF)σa+b→c+d

dΦdΦ (5.3)


0.1 1 1010

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

σjet(E

T

jet > √s/4)

LHCTevatron

σt

σHiggs(M

H = 500 GeV)

σZ

σjet(E

T

jet > 100 GeV)

σHiggs(M

H = 150 GeV)

σW

σjet(E

T

jet > √s/20)

σb

σtot

proton - (anti)proton cross sections

σ (n

b)

√s (TeV)

even

ts/s

ec f

or L

= 1

033 c

m-2 s

-1

Figure 5.3 – A gauche : Differentes sections efficaces sont presentees en fonction de l’energie disponibledans le centre de masse. A droite : domaines cinematiques couverts par les experiences a cibles fixes, HERAet le LHC.

Les variablesx1 et x2 n’etant pas directement observables on utilise les variables suivantes :

τ =ss= x1x2 y = log tan(

θ

2) =

12

logx1

x2(5.4)

La variableτ represente le rapport entre les carres des energies des centres de masse partonique et hadro-nique. La variabley est importante, elle est appelee larapidite1 du centre de masse partonique (diffuse a unangleθ) par rapport au laboratoire (centre de masse hadronique). Remarquons de plus que dx1 dx2 = dydτ.

1. Pour une particule de quadrivecteurp, sa rapidite est definie par :

y =12

logp0 + p3

p0 − p3(5.5)

en pratique on travaille avec la pseudo-rapiditeη = − log tanθ/2 ≃ y qui est une grandeur approchee et equivalente si la massepeut etre negligee. On a alors les relations :

coshy =EpT

et sinhy =ey − e−y

2=

pz

pT

et inversement :

p0 =

√

M2 + p2T coshy, x1 =

√τexp (y) =

M√

sexp (y), x2 =

√τexp (−y) =

M√

sexp (−y)

5.1. PRODUCTION DE JETS 111

La rapidite du systeme constitue des deux partons produits, d’impulsionpc et pd, est donnee par :

y =yc + yd

2=

12

logx1

x2(5.6)

Le carre de l’energie disponible dans le centre de masse des partons de l’interaction dur est donne par :

s= s x1 x2 = 4p2T cosh2 y ,

ou pT est l’impulsion transverse des partons sortants (n’ayant que deux partons sortants ils sont d’impul-sions transverses egales et depx et py de signes opposes).

On ecrit souvent la section efficace sous la forme :

d3σ

dyc dyd dp2T

=1

16πs2x1x2

∑

a,b,c,d=q,q,g

fa/h(x1, µF) fb/h′(x2, µF)|M(ab→ cd)|2 11+ δcd

(5.7)

ou les elements de matrice sont moyennes sur les etats de spin et sommes sur les etats de couleur. Le deltade Kronecker introduit le facteur statistique necessairepour les etats identiques de partons de l’etat final.

Tous les processus partoniques qui contribuent a l’ordre le plus bas sont representes a la figure 5.4 oules expressions des sections efficaces sont egalement donnees. Pour aller plus loin le lecteur consultera lareference [32].

La contribution relative des differents groupes de processus qui contribuent a la section efficace estillustree a la figure 5.5 en fonction de l’impulsion transverse des jets (a cet ordre ils se compensent l’unl’autre dans le plan transverse). La domination des processusqqaux grandes valeurs depT provient princi-palement de la contribution des quarks de valance (i.e. aux grandes valeurs dex). Le pic relatif des contri-bution du typeqgprovient d’interactions entre un quark de valence (portantde l’ordre de 0.2∗ Ebeam= 180GeV) et un gluon de petite fraction d’impulsion.

Les sections efficaces de jets inclusives (1 ou plusieurs jets) mesurees parD0 au Tevatron (√

s = 1.96TeV) et par ATLAS au LHC (7 TeV), sont montrees a la figure 5.6. Remarquons que la variablepT estegalement, mais indirectement reliee aux fractions d’impulsion des partons par les relations par l’espacedes phases :pT ∼

√x1x2s.

Cette mesure de section efficace s’etend sur huit ordres de grandeurs et presente un accord remarquableavec les predictions QCD au NLO. Le rapport entre les mesures et les predictions est montre a la figure5.7. Les predictions sont corrigees des effets d’underlying events et d’hadronisation par Monte Carlo(cescorrections partent de 20% et decroissent avecpT jusqu’a 2%). L’incertitude experimentale est domineepar celle sur l’echelle d’energie de mesure des jets de 1.2% pour unpT > 100 GeV. L’incertitude sur lespredictions theoriques (10–15%) est obtenue en la faisant varier entreµR = µF = pT/2 etµR = µF = 2pT .Un tres bon accord est trouve pour les predictions basees sur les PDF MRTS2004 et les resultats sont enaccords avec CTEQ6.5M. Ces resultats pourront donc servirpour mieux contraindre des PDF et en particu-lier les gluons car il y a une contribution importante des processusgg→ gget gq→ gq.

Une revue assez complete sur les jets au TeVatron et au LHC peut etre trouvee a la reference [30].

L’importance de la section efficace de production de jets depend bien entendu de la facon dont on definit unjet (dont le choix de l’algorithme de reconstruction et de lavaleur de ses parametres) et en particulier de lavaleur minimale de son impulsion transverse.


processus diagrammes |M|2/g4

q q′ → q q′ 49

s2+u2

t2

q q→ q q 49( s2+u2

t2 +s2+t2

u2 ) − 827

s2

ut

qq→ q′q′ 49

t2+u2

s2

qq→ qq +49( s2+u2

t2 +t2+u2

s2 ) − 827

u2

st

qq→ gg +3227

t2+u2

tu −83

t2+u2

s2

gg→ qq +16

t2+u2

tu −38

t2+u2

s2

gq→ gq + + −49

s2+u2

su +u2+s2

t2

gg→ gg ++ +92(3− tu

s2 − sut2 −

stu2)

Figure 5.4 – Elements de matrice eleves au carre pour les processus partoniques 2→ 2 a l’ordre le plusbas,a+ b→ c+ d, sommes sur les couleurs et moyennes sur les etats de spin[31]. Les invariants utilisessont definis comme suit : ˆs = (pa + pb)2, t = (pa − pc)2, u = (pb − pc)2. Les diagrammes croises n’ont pastous ete dessines.

5.2 Remarques sur les factorisations QCD

Nous avons vu que les densites de partons extraites des mesures en diffusioneppermettent de predire lasection efficace de jets en interactionspp avec une grande precision et sur un domaine cinematique vaste.C’est la une confirmation puissante du caractere universel des densites de partons. Ce caractere universeln’est possible que si l’on a d’une part une factorisation QCDde la section efficaceep→ eXet d’autre partde la section efficacepp→ jet(s)XY.

La factorisation QCD est donc un point essentiel. Elle est d´emontree dans un certain nombre de cas (ouplutot justifiee theoriquement sans que la demonstration soit parfaitement rigoureuse) : pour les sectionsefficaces totales, de jets et de quarks lourds que ce soit enepou enpp, a haute energie et pour une echelleQCD (par exemple masse invariante d’un jet) suffisamment grande. Dans les autres cas, les choses sont plusdelicates, et si la demonstration est possible, elle est plus ardue.

5.2. REMARQUES SUR LES FACTORISATIONS QCD 113

Figure 5.5 – Contributions relatives des differents types de processus de production de deux jets en fonctionde leur impulsion transverse enpp a une energie dans le centre de masse de 1.8 TeV.

(GeV)T

p50 60 100 200 300 400

dy (

pb/G

eV)

T/d

pσ2 d

-610

-510

-410

-310

-210

-110

1

10

210

310

410

510

610

710 |y|<0.4 (x32) 0.4<|y|<0.8 (x16) 0.8<|y|<1.2 (x8) 1.2<|y|<1.6 (x4) 1.6<|y|<2.0 (x2) 2.0<|y|<2.4

= 1.96 TeVs-1L = 0.70 fb

= 0.7coneR

NLO pQCD+non-perturbative corrections

T = p

Fµ =

RµCTEQ6.5M

600

DØ Run II

[TeV]12m

-110 -110×2 1 2 3 4 5 6 7

[pb

/TeV

]y*d

12m

/dσ2 d

1

310

610

910

1210

1510

1810

2110

2410

2710

3010

uncertaintiesSystematic

Non-pert. corr.

×)) y* exp(0.3 T

p=µ(CT10, NLOJET++

)16 10× y* < 4.4 (≤4.0 )14 10× y* < 4.0 (≤3.5 )12 10× y* < 3.5 (≤3.0 )10 10× y* < 3.0 (≤2.5

)8 10× y* < 2.5 (≤2.0 )6 10× y* < 2.0 (≤1.5 )4 10× y* < 1.5 (≤1.0 )2 10× y* < 1.0 (≤0.5 )0 10× y* < 0.5 (

ATLAS

= 0.6R jets, tanti-k-1 dt = 37 pbL∫ = 7 TeV, s

Figure 5.6 – Section efficace de jets mesuree par D0 en fonction de l’impulsion transverse du premier jetpour differents domaines en rapidite (y) [Phys. Rev. Lett.101 (2008) 062001] et par ATLAS en fonctionde la masse invariante des deux premiers jets pour differents domaines en rapidite [Phys. Rev. D86 (2012)014022].


0.5

1.0

1.5

|y| < 0.4

DØ Run II-1L = 0.70 fb

= 0.7coneR

50 100 200 3000.0

0.5

1.0

1.5

1.2 < |y| < 1.6

NLO scale uncertainty

0.4 < |y| < 0.8

T = p

Fµ =

RµNLO pQCD

+non-perturbative corrections

50 100 200 300

1.6 < |y| < 2.0

CTEQ6.5M with uncertainties

MRST2004

0.8 < |y| < 1.2

DataSystematic uncertainty

50 100 200 300

2.0 < |y| < 2.4

(GeV)T

p

data

/ th

eory

(GeV)T

p

data

/ th

eory

(GeV)T

p

data

/ th

eory

(GeV)T

p

data

/ th

eory

(GeV)T

p

data

/ th

eory

(GeV)T

p

data

/ th

eory

Figure 5.7 – Comparaison mesure/theorie de la section efficace de jets mesuree par D0 [Phys. Rev. Lett.101(2008) 062001].

De facon intuitive on peut se dire qu’a haute energie le facteur de boost de Lorentz sur les partons inci-dents d’un hadron du faisceau est tellement grand que les partons se deplacent quasiment a la vitesse de lalumiere. En cas de collisionspp les partons incidents d’un hadron et de l’autre ne sont donc pas capables,suivant le principe de causalite, d’echanger de l’information de quelque maniere que ce soit. On s’attenddonc qu’aux energies suffisamment hautes, les interactions des etats initiaux tendent vers zero. L’interactiondure, quant a elle, se deroule sur une duree tres breve et voit les hadrons initiaux comme dans un etat gele.De meme que pour les etats initiaux, les etats finaux s’ecartent a une vitesse telle que l’echange d’infor-mation est impossible. La plus grosse part du probleme provient en general de la difficulte d’absorber ladivergence colineaire dans les distributions de partons.Si elles presentent une dependance en logQ2 ellespeuvent etre absorbees dans la definition des densites de partons. Sinon, c’est plus problematique.

D’un point de vue technique pour demontrer une factorisation QCD, il faut donc classer les termes enpuissance deQ2. La demonstration sera faite si l’on arrive a associer un-a-un les termes en logQ2 a unedensite de partons initiale (qui absorbe les divergences UV) et que les autres termes puissent etre mis dansle higher twist, c’est-a-dire qu’ils soient en une puissance negative deQ et donc tendent a disparaıtre auxQ2 asymptotiquement grands. La theorie ne dit pas a partir dequelle valeur le terme factorisable (leadingtwist) domine. La surprise fut d’observer que la factorisation QCD semble etre valable desQ2 ≃ 1 GeV2 endiffusionep. C’est-a-dire a peine au dessus de la masse du proton.

Du point de vue de la physique au LHC, on espere mettre en evidence une nouvelle physique ou denouvelles particules en analysant des canaux particulierset en les comparant aux predictions du ModeleStandard qui utilisent presque toujours les densites de partons comme input. Il est donc crucial d’une partde s’assurer, dans chaque cas, que le processus analyse estfactorisable et d’autre part de connaıtre suffi-samment bien les PDF pour avoir des predictions suffisamment precises.

5.3. LE PROCESSUS DRELL-YAN 115

5.3 Le processus Drell-Yan

Le processus Drell-Yan correspond a l’annihilation d’un quark et d’un anti-quark produisant un photonou unZ (reel ou virtuel) qui a son tour donne naissance a une ou plusieurs particules. Le plus souvent, c’estla production d’une paire de leptons charges (e+e− ou µ+µ−) qui est utilisee. Il joua un role important dansla decouverte duJ/Ψ (AGS-Brookhaven et SPEAR-SLAC en 1974), duΥ (1977), duW et duZ (pp UA1et UA2 - CERN en 1983) et constitue un canal privilegie dansla recherche de nouvelles particules au LHC.Par ailleurs les mesures du processus Drell-Yan apportent des contraintes importantes pour la determinationdes PDF. Nous nous interesserons, ici, aux aspects lies aQCD et a la structure hadronique (PDF). Pour plusde details, voir par exemple [29].

5.3.1 A l’ordre le plus bas

L’expression de la section efficaceqq→ e+e− est directement liee, par inversion du temps a la sectionefficacee+e− → qq que nous avons longuement discutee dans un chapitre 3. Nousavions obtenu :

dσe−e+→qq

dΩ=α2

4se2

q

(

1+ cos2 θ)

=α2

4se2

q

t2 + u2

s2(5.8)

ou nous avions somme sur les etats de couleur de l’etat final. Dans le cas present, il faut moyenner sur lesetats de couleurs de l’etat initial, on trouve donc :

dσqq→e−e+

dΩ=α2

3x4sqqe2

q

t2 + u2

s2qq

σ(qq→ e−e+) =4πα2

9sqqe2

q (5.9)

En termes de la section efficacepp, cela donne donc :

dσpp→e−e+X

dQ2=∑

q,q

∫ 1

0dx1

∫ 1

0dx2

[

fq(x1) fq(x2) + (q↔ q)]

σ(qq→ e−e+)δ(Q2 − sqq) (5.10)

ou l’echelleQ2 correspond a la masse invariante de la pairee−e+ au carre,M2ee. On remarquera au passage

que si on croise le diagramme on retrouve bien la diffusion profondement inelastique (DIS). En explicitantl’expression deσ(qq→ e−e+), on peut ecrire la section efficace sous la forme :

dσpp→e−e+X

dQ2=

2πα2

9s1

Q2

∑

q,q

e2q

∫ 1

0dx1

∫ 1

0dx2

[

fq(x1) fq(x2) + (q↔ q)]

δ(1− sqq/Q2) (5.11)

ou l’on a utilise la proprieteδ(Q2 − sqq) = 1Q2δ(1− sqq/Q2). En introduisant la variableτ donnant le rapport

des echelles :

τ =m2

ee

s=

Q2

s=

sqq

s≃ x1x2 (5.12)

et en se debarrassant d’une des integrales en exploitant la fonction delta :δ(1− sqq/Q2) = δ(1− x1x2s/Q2) =1/x1δ(x2 − τ/x1), et :

dσpp→e−e+X

dτ=

4πα2

9s1τ

∑

q,q

e2q

∫ 1

τ

dx1

x1

[

fq(x1) fq(τ/x1) + (q↔ q)]

(5.13)

Ce comportement simple en le rapport des echelles est bien observe dans les donnees et montre anouveau, ici dans le cas du Drell-Yan, l’invariance d’echelle, c’est-a-dire le fait que les fonctionsfq(x1) et


Figure 5.8 – Invariance d’echelle observee dans le processus Drell-Yan. A gauche : diffusion de pions surnucleons issues de plusieurs experiences [Grosso-Pilcher and Shochet, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1986.36 :1-28.]. A droite : diffusion de protons sur des noyaux de l’experience E288 du FermiLab [Phys. Rev. D23 (1981) 604].

fq(x2) ne dependent pas de l’echelle. En d’autres termes les diffusions hadrons-hadrons mettent egalementen evidence leur structure en constituants ponctuels. L’invariance d’echelle mesuree dans les diffusionspion-nucleon est illustree a la figure 5.8, elle fut mesuree avec bien plus de precision plus tard, entre autrespar l’experience E605 en diffusion de proton sur noyau.

La figure 5.8 de droite met en evidence le desaccord entre les mesures et la prediction naıve que nousavons suivie jusqu’ici. Si le dependance en la variableτ est bien decrite, c’est-a-dire que l’invarianced’echelle est bien observee, la valeur absolue de la section efficace predite est presque deux fois trop basse.Mis a part le probleme de la normalisation, un desaccord est aussi prononce dans la dependence en l’im-pulsion transverse de la paire de leptons produits, comme illustre a la figure 5.9.

Figure 5.9 – Distribution en impulsion transverse du processus Drell-Yan comparee a la prediction naıve[A.S. Ito et al. Phys. Rev. D23 :604,1981]

On peut s’attendre a une contribution a l’impulsion transverse due au mouvement de Fermi des quarks


dans le proton du type :1σ

d2σ

d2pT=

b2π

exp(−b p2

T

2) (5.14)

L’impulsion transverse etant de 760 MeV en moyenne pour le proton, elle ne peut expliquer la presenced’evenements aux grandes valeurs dupT . Il faut considerer les contributions des ordres superieurs.

5.3.2 Emission d’un jet supplementaire (NLO)

Au premier ordre superieur enαS, nous trouvons les contributions donnees dans la table ci-dessous.

processus d’annihilation processus QCDq+ q→ g+ γ∗ q+ g→ q+ γ∗

+ +

16π2αSα89

[

( u2

t2 +t2

u2 ) + 2M2 sut

]

16π2αSα13

[

(− t2

s2 − s2

t2 ) − 2M2ust

]

La prise en compte de ces diagrammes supplementaires revient a considerer la possible presence d’unjet dans l’etat final. Le terme d’interference du processus d’annihilation donne du

s

ut=

1

p2t

(5.15)

ce qui correspond a une dependence decroissante beaucoup plus douce avecpT que le terme exponentiel dela gaussienne du mouvement de Fermi. Le terme dit Compton estplus complique a visualiser mais contri-bue aussi a adoucir la chute enpT .

Il n’est pas rare que l’ordre suivant des corrections radiatives soit important quand celui-ci apporte unnouveau type de diagrammes. C’est le cas ici du diagramme possedant un gluon dans l’etat initial.

Bien evidemment un traitement complet du NLO exige la priseen compte des corrections virtuelles quiannuleront les divergences de facon similaire a ce que nous avons vu au chapitre 3. L’expression completede la section efficace au NLO peut etre trouvee par exemple dans [1].

5.3.3 Contraintes sur les PDF

Le processus Drell-Yan apporte un moyen important de contraindre les PDF, et en particulier le rap-port d/u qui apporta une surprise. En comparant differentes sections efficaces Drell-Yan, et en utilisant lasymetrie d’hypercharge telle queu = up = dn et d = dp = un et en se limitant a deux saveurs :

σpp ∼ 49

u(x1)u(x2) +19

d(x1)d(x2) (5.16)

σpn ∼ 49

u(x1)d(x2) +19

d(x1)u(x2) (5.17)

On a donc le rapport des collisions proton-deuterium et proton-proton :

σpd

σpp=

(1+ 14

d(x1)u(x1) )

(1+ 14

d(x1)u(x1)

d(x2)u(x2) )

(1+d(x2)u(x2)

) ≃ 1+d(x2)u(x2)

(5.18)


Figure 5.10 – Section efficace Drell-Yan comparee a la prediction theorique prenant en compte les correc-tions QCD au premier ordre (effet de normalisation et de forme aux grandes valeurs depT) et d’effet demouvement de Fermi (effet aux petites valeurs depT).

Les mesures de ce rapport, par l’experience E866 de la figure5.11, montrent que les contributions desquarksu et d (de la mer) ne sont pas identiques. Aucune symetrie ne contraint ce rapport, mais cela resteneanmoins etonnant ou du moins contre-intuitif. Ces mesures impliquerent des modifications importantes(a l’epoque) de la parametrisation des densites de quarks dans la region de la valence.

5.3.4 La contribution du Z

Aux energies suffisamment elevees la contribution duZ devient importante. La discussion ici est a nou-veau tres similaire au case+e− → qq discute au chapitre 3.4.

La section efficace, a l’ordre le plus bas, en tenant compte du photon et du bosonZ vaut :

σ(qq→ l+l−) =πα2

3s1Nc

[

(e2q − 2eqvlvqSγ/Z(s) + (a2

l + v2l )(a

2q + v2

q)SZ(s)

]

(5.19)

ou lesv et a representent les couplages vectoriel et axial duZ aux fermionsq et l (voir chapitre 3.4). Leterme du a l’interferenceγ/Z s’exprime comme :

Sγ/Z(s) = ks(s− M2

Z)

(s− M2Z)2 + Γ2

ZM2Z

(5.20)

et le terme de la contribution duZ

SZ(s) = k2 s2

(s− M2Z) + Γ2

ZM2Z

(5.21)


x

Figure 5.11 – Mesure du rapport des sections efficaces Drell-Yan enpd et pp par l’experience E866.

ou

k =

√2GF M2

Z

4πα(5.22)

represente le rapport sans dimension des couplages faiblesur electromagnetique.

La figure 5.12 presente les mesures du processus Drell-Yan aux alentours du pic duZ par les experiencesD0 et CDF du TeVatron (figure de gauche) et de CMS au LHC (figure de droite). En tenant compte de l’ordresuperieur (NLO) un tres bon accord est observe. Si l’on garde la dependence angulaire, on trouve de faconidentique au processus de creation de quarks (e+e− → qq), en plus du terme habituel en (1+ cos2 θ), unterme en cosθ provenant de l’interference entre les courants vectorielet axial du couplage electrofaible(voir equation 3.19). Ce terme est a l’origine d’une asym´etrie avant-arriere (AFB) illustree a la figure 5.12.

) [GeV]llM(

]-1

) [G

eV

ll/d

M(

σ dllσ

1/

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110

1

15 30 60 120 200 600

channels)µ Data (e+

NNLO, FEWZ+MSTW08

CMS = 7 TeVs at -136 pb

ll →*/Z γ

Figure 5.12 – Mesures du processus Drell-Yan aux alentours du pic duZ par les experiences D0 et CDF duTeVatron et de CMS au LHC.


5.3.5 Production du bosonW

L’annihilation de deux quarks de saveurs differentes et de charges differentes en unW (en particulierud→W+ et ud→W−) :

u

d

W+

u

d

W−

est un processus dont l’etude a mene a des resultats importants dont le tout premier est la decouverte duW, en 1983, et la mesure de sa masse. Du point de vue de QCD et de lastructure hadronique il permet decontraindre avantageusement les PDF car il donne acces direct a un melange de la mer et de la valence encollisionspp.

La section efficace au niveau partonique s’ecrit :

σ(qq′ →W) =2πGF M2

W

3√

2|Vqq′ |2δ(s− M2

W) (5.23)

ou Vqq′ est l’element de la matrice de Kobayashi-Maskawa correspondant aux deux quarks consideres.

1 100.1

1

10

100

cs

flavour decomposition of W cross sections

cd

dc

su

us

sc

du

ud

pp pp

% o

f to

tal

σ LO(W

+ +W

- )

√s (TeV)

Figure 5.13 – Decomosition en saveurs de la production deW+ etW− en fonction de l’energie dans le centrede massepp pour

√s< 2 TeV etpp pour

√s> 2 TeV. [Figure de James Stirling].

Lors de collisionspp le W+ peut etre produit a partir des pics de valence enu du proton et end del’anti-proton. Par symetrie, la formation d’unW+ en pp est donc liee au produitupdp = updp = ud. Endefinissant l’asymetrie :

A(y) =dσdy (W+) − dσ

dy (W−)dσdy (W+) + dσ

dy (W−)=

u(x1)d(x2) − d(x1)u(x2)u(x1)d(x2) + d(x1)u(x2)

=Rdu(x2) − Rdu(x1)Rdu(x2) + Rdu(x1)

(5.24)

ou Rdu(x) = d(x)/u(x). En utilisant les relations

x1 = x0ey ≃ x0(1+ y) x2 = x0e

−y ≃ x0(1− y) (5.25)

5.4. EXTRAPOLATIONS DES PDF POUR LE LHC 121

ou lex0 correspond aux pour une rapiditey = 0. En developpement de Taylor :

Rdu(x1) = Rdu(x0) + y x0R′du(τ) Rdu(x2) = Rdu(x0) − y x0R

′du(τ) (5.26)

Et donc :

A(y) = −y x0R′du(x0)

Rdu(x0)(5.27)

Malheureusement on ne mesure pas directement lesW, mais le lepton charge de leurs desintegrationsW+ →l+νl et W− → l−νl. On mesure donc l’asymetrie en utilisant la rapidite du lepton charge, ce qui n’est pas unacces direct au rapportd/u mais permet de contraindre les parametrisations des PDF, comme illustre a lafigure 5.14.

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2Lepton Rapidity

Cha

rge

Asy

mm

etry

CDF 1992-1995 (110 pb-1 e+µ)CTEQ-3MRESBOS

CTEQ-3MDYRAD

MRS-R2 (DYRAD)MRS-R2 (DYRAD)(d/u Modified)

MRST (DYRAD)

Figure 5.14 – Mesure de l’asymetrie de la production deW mesuree par l’experience CDF [F.Abe et al.,CDF Coll., PRL 81, 5754 (1998)].

5.4 Extrapolations des PDF pour le LHC

Si l’echelle dure d’un processus etudie est une masse invariante,M, et sa rapidite,y, les valeurs domi-nantes des fractions d’impulsions des densites de partonsvaudront :

x1,2 ∼M e±y

√s

(5.28)

Les PDF etant mesurees dans le domaine des cibles fixes et deHERA, il faut les extrapoler jusqu’auxvaleurs deQ2 suffisamment grandes pour le LHC. Cela se fait en utilisant les equations DGLAP maintenantconnues au NNLO. Les distributions typiques attendues a cette echelle sont presentees a la figure 5.15. Ony constate l’importance de la densite de gluons.

5.4.1 Incertitudes sur les PDF.

Comme nous l’avons vu au chapitre precedent, les PDF sont relativement bien connues, sauf pour lesgluons et la mer aux petites valeurs dex et deQ2 (ce qui est relativement peu important pour la plupart dessujets etudies au LHC) ainsi que pour les gluons aux grandes valeurs dex (voir figure 5.16).

Pour la plupart des processus QCD au LHC, l’incertitude provenant des PDF est inferieure a 10%. Ce quiest inferieur aux corrections des ordres superieurs de QCD. Il y a cependant trois exceptions importantes :


Figure 5.15 – PDF suivant les ajustements operes par ZEUS et extrapolees aQ2 = 10000 GeV2.

– la production de jets a grandET (ET > 2 TeV)– la production de quarkst– certaines productions de particules nouvelles de grande masse

qui toutes trois dependent de la densite de gluons a grandx. On s’attend a des incertitudes de l’ordre de10% (elle depend bien evidement des coupures cinematiques appliquees).

Nous avons vu que les donnees du TeVatron permettent de discriminer les PDF les plus recentes. Onpeut, en fait, inclure les sections efficaces de jets directement dans les procedures d’ajustement des PDF.L’effet de l’usage des donnees jets de HERA dans les ajustements est montre a la figure 5.16 ou des dis-tributions de gluons sont obtenues avec et sans les mesures de jets. En creant des pseudo-donnees, on peutaussi etudier comment les mesures des sections efficaces de jets pourront ameliorer notre connaissance desPDF. Cette demarche est illustree aux figures 5.16 et 5.17 ou des pseudo-donnees correspondant a une lumi-nosite de 10f b−1 ont ete simulees dans le detecteur ATLAS. Si l’on suppose une mesure avec une precisionsystematique de 10% la precision sur la densite de gluonspeut etre sensiblement amelioree (figure 5.16).Mais on remarque aussi que ces resultats dependent fortement du bon controle de la calibration des jets.Si l’on suppose une incertitude de seulement 3% sur celle-ci, malgre une erreur systematique supposee auniquement 3%, les donnees jets du LHC ne permettront pas decontraindre d’avantage la densite de gluons.

5.5 Remarques en guise de conclusion

En une vingtaine d’annees QCD est passe du statut de modele a celui dela theorie des interactionsfortes. En presence d’une echelle dure, les predictionsperturbatives de QCD sont en accord avec les me-sures experimentales dans l’immense majorite des cas. Etce pour une diversite etonnante de resultats dontnous avons vu les principaux et sur un domaine cinematique extremement vaste. S’il reste quelques zonesd’ombre elles tiennent a notre habilite a manipuler QCD et ne mettent nullement la validite de la theorie enquestion.

Une grande variete de phenomenes observes ou attendusmais inobserves reste pourtant presente et

5.5. REMARQUES EN GUISE DE CONCLUSION 123

2 = 100 GeV2Q 2 = 1000 GeV2Q

2 = 10000 GeV2Q 2 = 30000 GeV2Q

ZEUS-O (HESSIAN)

ZEUS-JETS (HESSIAN)

2 = 100000 GeV2Q

ATLAS-JETS (HESSIAN)

, 10% syst., 0% JES)-1 (10 fb

2 = 300000 GeV2Q

-410 -310 -210 -110 -410 -310 -210 -110

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

x

gluo

n fr

actio

nal e

rror

Figure 5.16 – Precision sur la densite de gluons et comment elle peut etre amelioree en utilisant des (pseudo)donnees au LHC. On suppose ici une luminosite de 10f b−1 et une incertitude systematique de 10%.


2 = 100 GeV2Q 2 = 1000 GeV2Q

2 = 10000 GeV2Q 2 = 30000 GeV2Q

ZEUS-O (HESSIAN)

ZEUS-JETS (HESSIAN)

2 = 100000 GeV2Q

ATLAS-JETS (HESSIAN)

, 5% syst., 3% JES)-1 (10 fb

2 = 300000 GeV2Q

-410 -310 -210 -110 -410 -310 -210 -110

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

x

gluo

n fr

actio

nal e

rror

Figure 5.17 – Precision sur la densite des gluons et comment elle peut etre amelioree en utilisant des(pseudo) donnees au LHC. On suppose ici une luminosite de 10 f b−1, une incertitude systematique de 5%et une incertitude sur la mesure en energie des jets de 3%.

5.5. REMARQUES EN GUISE DE CONCLUSION 125

constitue autant de sujets de recherche d’actualite. Pourn’en citer que quelques-uns :– la question de la saturation (que nous avons evoquee au chapitre precedent)– a tres grande energie la dynamique partonique devrait etre decrite par d’autres equations que DGLAP,

ce sont les equations BFKL. Cette dynamique n’a pas encore ´ete clairement mise en evidence.– nous avons discute longuement les PDF qui representent les distributions d’impulsions longitudinales.

Quand est-il dans la direction transverse. Une classe d’evenement donne acces a ces distributionstransverses et permet a priori de realiser une image 3D du proton.

– d’ou provient le spin du proton ? Comment se repartit-il entre spin et moment angulaire des quarks etdes gluons ? C’est la un vaste programme de recherche actif depuis de nombreuses annees mais quireste principalement incompris.

– comment les factorisations sont-elles brisees dans certains cas ?– comprendre les phenomenes diffractifs.– que se passe-t-il dans des noyaux plus lourds ?

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