CHAPITRE 4 

Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre

Objectifs:

- Utiliser la calculatrice pour déterminer un angle aigu ou le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu.

- Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un triangle rectangle.

- Calculer, dans un triangle rectangle, un angle ou la longueur d’un côté en utilisant la trigonométrie

- Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre.

- Construire un polygone régulier.

Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).

On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.

Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules de trigonométrie.

Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche indépendante des mathématiques. Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.

Ici on appelle la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle rectangle en C.

Hypoténuse (c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit.)Côté opposé à

Côté adjacent à

B

A

C

I. Vocabulaire du triangle rectangle Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir

nommer les côtés d’un triangle rectangle.

hypoténuse

à opposé côté Sin

hypoténuse

àadjacent côté Cos

àadjacent côté

à opposé côté Tan

Hypoténuse

Côté adjacent à

Hypoténuse

Côté adjacent à

Côté opposé à

Côté opposé à

II. Trois formules trigonométriques

-Pour s’aider à retenir ces trois formules, on peut retenir le « célèbre » mot

Soh Cah Toa

ypoténuse

àdjacent côté os

haC

àdjacent côté

à pposé côté an a

oT ypoténuse

à pposé côté in

hoS

Remarques :

- sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente »

Méthode:

1. On nomme les côtés du triangle.

Calculer la longueur de AB.

2. On repère le côté que l’on

cherche et le côté que l’on connaît,

en les soulignant par exemple.

Côt. Adj.

Hyp.

Côt. Opp.

3. On choisit la formule dans

laquelle il y a les deux

côtés soulignés.

B

41°

A

C23 cm

?

Comme ABC est rectangle en C,

on a:

III. Applications 1) Calcul de la longueur d’un côté connaissant un angle et un autre côté

ABBC

Âsin

Méthode:

1. On nomme les côtés du triangle

Calculer la longueur de AB

2. On repère le côté que l’on

cherche et le côté que l’on connaît,

en les soulignant par exemple.

Côt. Adj.

Hyp.

Côt. Opp.

3. On choisit la formule dans

laquelle il y a les deux

côtés soulignés.

B

41°

A

C23 cm

?

Comme ABC est rectangle en C,

on a:

4. On remplace dans la formule

tout ce que l’on connaît. sin 41° = 23AB

5. On fait un produit en croix

et on calcule AB AB = 23 ÷ sin 41°

Donc AB 35,1 cm

ABBC

Âsin

A

B C

26 cm

10 cm

2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longueur connaissant la longueur de deux côtés

Calculer l’angle BÂC.

Méthode:

2. On repère les deux côtés que

l’on connaît, en les soulignant.

Côt. Adj.

Hyp.

Côt. Opp.3. On choisit la formule dans laquelle

il y a les deux côtés soulignés.

1. On nomme les côtés du triangle.

Comme ABC est rectangle en B, on a:

?

ABBC

BÂCtan

A

B C

26 cm

10 cm

Calculer l’angle BÂC.

Méthode:

2. On repère les deux côtés que

l’on connaît, en les soulignant.Côt. Adj.

Hyp.

Côt. Opp.

3. On choisit la formule dans laquelle

il y a les deux côtés soulignés.

1. On nomme les côtés du triangle.

Comme ABC est rectangle en B, on a:

?

4. On remplace dans la formule

tout ce que l’on connaît.tan BÂC =

1026

5. Avec la calculette, on tape:

Arctan (10/26)=Donc BÂC 21°

ABBC

BÂCtan

IV. Angles inscrits- angles au centre 1) Introduction et définitions

est un

angle au centre.

BOA ˆ

C’est un angle

dont le sommet

est le centre

du cercle.

BJA 1ˆ BJA 2

ˆ BJA 3ˆ

, et

sont des angles inscrits.

C’est un angle dont

le sommet est

sur le cercle.

2) Propriétés

En mesurant les angles, on constate que :

BJA 1ˆ BJA 2

ˆ BJA 3ˆ mesurent 46°

BOA ˆet mesure 92°

Propriété 1

La mesure d’un angle au centre est le double de

celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Propriété 2

Deux angles inscrits qui interceptent

le même arc ont la même mesure.

V. Polygones réguliersUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle

dont tous les côtés ont la même longueur.

O

120°

O90°

O

72°

O

45°

O

60°

Triangle équilatéral

Carré Pentagone régulier

Hexagone régulier

Octogone régulier

Remarque:

L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la

formule suivante: angle au centre =360°

nb côtés polygone

Exemple: Construction d'un décagone

régulier inscrit dans un cercle à

la règle, au compas et au

rapporteur.

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation ABCDEFGHIJ est un décagone

régulier inscrit dans le cercle de centre O