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Dterminants -

Sommaire

1. Dterminant dune matrice carre 11.1. Dterminant dune matrice carre A . . 11.2. Interprtation en dimensions 2 et 3 . . . 21.3. Proprits lmentaires . . . . . . . . . . 21.4. Dterminant de la transpose . . . . . . 31.5. Manipulation de colonnes . . . . . . . . . 31.6. Dterminant dune matrice triangulaire . 31.7. Dterminant dun produit . . . . . . . . . 41.8. Dterminant de 2 matrices semblables . 4

2. Calcul de dterminants 42.1. En dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . 42.2. Dv. selon une ligne ou colonne . . . . . 52.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Dterminant dune famille de vecteurs 63.1. Dterminant dune famille de vecteurs . 63.2. Interprtation gomtrique . . . . . . . . 73.3. Caractrisation des bases . . . . . . . . 7

4. Dterminant dun endomorphisme 74.1. Dterminant dun endomorphisme

dans une base . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. Dterminant dun endomorphisme . . . . 74.3. Dterminant de la compose . . . . . . . 74.4. Caractrisation des automorphismes . . 84.5. Dterminant de lendomorphisme rci-

proque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Dterminant dune matrice carre

1.1. Dterminant dune matrice carre A

Thorme : On considre les applications de Mn() dans , qui, de plus, vrifient les propritssuivantes : elles sont linaires par rapport chaque colonne ; qui sont multiplies par 1 quand on inverse deux colonnes ; et telles que la matrice In a pour image 1.Il existe une et une seule application vrifiant ces trois conditions.

Dfinition : Cette application est appele le dterminant de la matrice, on note det(A) ce dtermi-nant.Quand on crit le dterminant avec une matrice explicite, on le note comme une matrice, mais avec

des barres verticales au lieu de parenthses, par exemple :

1 23 4

Dmonstration : On admet lexistence et lunicit du dterminant dune matrice deMn().On va simplement faire le calcul en dimension 2.

Par linarit par rapport la premire colonne, on a :

a cb d = a

1 c0 d + b

0 c1 d.

Par linarit par rapport la deuxime colonne, on obtient maintenant :a cb d = a

c1 10 0

+ d1 00 1

+ b

c0 11 0

+ d0 01 1

.

On remarque que :

1 10 0 =

1 10 0, en inversant les deux colonnes, cest donc nul !

On a aussi :

0 01 1 =

0 01 1, en inversant les deux colonnes, cest donc aussi nul !

Par dfinition :

1 00 1 = 1.

Cours de Sp T.S.I. Christophe Caignaert Lyce Colbert Tourcoing http://c.caignaert.free.fr

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Enfin :

0 11 0 =

1 00 1 = 1.

Finalement :

a cb d = ad bc.

Cette dmonstration nest valable quen dimension 2, mme si son principe est valable dans toutes lesdimensions. . .

1.2. Interprtation en dimensions 2 et 3

On a bien vu en dimension 2 quon retrouvait, avec les proprits demandes, le calcul classique dudterminant.Le mme calcul, trois fois plus long, nous donnerait le dterminant connu en dimension 3 galement.On rappelle linterprtation gomtrique de ces dterminants lorsque les colonnes sont les coordon-nes de 2, ou 3, vecteurs dans une base orthonormale directe.On appelle ces vecteurs

(u , v ) en dimension 2, et, (u , v , w ) en dimension 3. En dimension 2, le dterminant est laire algbrique du paralllogramme construit sur u et v .

Cette aire est positive si(u , v ) est direct, ngative si cest indirect.

En dimension 3, le dterminant est le volume algbrique du paralllpipde construit sur u , v etw . Ce volume est positif si

(u , v , w ) est direct, ngatif si cest indirect.1.3. Proprits lmentaires

Thorme : Le dterminant dune matrice qui a une colonne nulle est nul.

Dmonstration : cette colonne est gale 0 fois cette colonne, par linarit le dterminant est doncnul.

Thorme : Le dterminant dune matrice qui a deux colonnes gales est nul.

Dmonstration : En changeant les deux colonnes gales de A : on ne change pas le dterminant, puisque cest deux fois le mme ; mais on le multiplie par 1, en appliquant une des proprits caractristiques.On a donc : det(A) = det(A) det(A) = 0.

Thorme : A Mn(), , det(A) = n det(A)

Dmonstration : On fait simplement jouer n fois la linarit, successivement par rapport chaquecolonne.

Thorme : Soit D une matrice diagonale, alors, le dterminant de D est le produit des lments dela diagonale.

Dmonstration : On fait encore simplement jouer n fois la linarit, successivement par rapport chaque colonne.On obtient le produit des lments de la diagonale et du dterminant de In.Ce dernier valant 1 par proprit lmentaire, le dterminant a bien la valeur annonce.


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1.4. Dterminant de la transpose

Thorme : Soit A Mn(), det(AT

)= det(A)

Cette proprit, dlicate dmontrer est admise.En pratique, cela signifie que toute proprit sur les colonnes est applicable sur les lignes.Par exemple, si A a deux lignes identiques, son dterminant est nul : AT ayant deux colonnes gales aun dterminant nul !

1.5. Manipulation de colonnes

Thorme : On ne change pas la valeur dun dterminant si, une colonne, ou une ligne, on ajouteune combinaison linaire des autres colonnes, ou lignes.

Dmonstration : On fait jouer la linarit par rapport la colonne, ou la ligne, modifie.On se retrouve avec le dterminant de dpart et une somme de dterminants nuls puisquils ont deuxcolonnes, ou lignes, gales.

Remarque : On utilise souvent ceci pour faire apparaitre des 0 dans une ligne ou une colonne.

1.6. Dterminant dune matrice triangulaire.

Thorme : =

a1 x y

0 a2. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . . an1 z

0 0 an

= a1 a2 . . . an1 an

Autrement dit, le dterminant dune matrice triangulaire est le produit des lments de la diago-nale.

Dmonstration : On factorise par a1, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur auxautres, on amne des 0 sur la premire ligne et on obtient :

=

a1 x y0 a2 s t...

. . .. . .

. . ....

.... . . an1 u

0 0 an

= a1

1 x y0 a2 s t...

. . .. . .

. . ....

.... . . an1 u

0 0 an

= a1

1 0 0 0 0

0 a2 s t...

. . .. . .

. . ....

.... . . an1 u

0 0 an

On recommence ensuite avec a2. On obtient ainsi de suite par une rcurrence admise :

= a1 a2 . . . an1 an

1 0 0

0 1. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . . 1 0

0 0 1

= a1 a2 . . . an1 an


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1.7. Dterminant dun produit de 2 matrices, de la matrice inverse dune matrice inversible

Thorme : A, B Mn ()det (A B) = det (A) det (B)

Thorme : A GLn ()

det(A1

)=

1det (A)

Dmonstration : A A1 = In, det (In) = 1,do : det (A) det

(A1

)= 1

On en conclut que det (A) , 0, lgalit annoce en dcoule immdiatement.

Thorme : A Mn, on a alors : A inversible det(A) , 0

Dmonstration : On a dj montr que A inversible det(A) , 0.Montrons maintenant la rciproque.On sait que A est inversible si et seulement si elle transforme une base en une autre base, cest diresi et seulement si, les vecteurs colonne de A forment une base.Supposons que A ne soit pas inversible, cela revient ce que les vecteurs colonne de A forment unefamille lie, cest dire quune des colonne est combinaison linaire des autres.On enlve cette colonne cette combinaison linaire des autres colonnes, on obtient un dterminantdune matrice avec une colonne nulle, qui est donc nul.La rciproque est dmontre.

1.8. Dterminant de 2 matrices semblables

On rappelle que deux matrices sont semblables si et seulement si : elles sont les matrices dun mme endomorphisme dans deux bases diffrentes, ou bien, il existe P GLn () telle que B = P1AP

Thorme : A et B, 2 matrices semblables deMn (), alors : det (A) = det (B)

Dmonstration : On a P GLn () telle que B = P1AP, do :

det (B) = det(P1

) det (A) det (P)

= det(P1

) det (P) det (A)

= det(P1 P

) det (A)

= det (A)

2. Calcul de dterminants

2.1. En dimension 2 et 3

On va dabord rappeler un rsultat bien connu : a cb d = ad bc


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En dimension 3, on peut utiliser la rgle de Sarrus, qui se montre de la mme faon, en noubliant pasquelle nest absolument pas gnralisable un ordre autre que 3...

a d g

b e h

c f i

= aei + dhc + gbf ceg f ha ibd

2.2. Dveloppement suivant une ligne ou une colonne

La rgle des signes est :

+ + (1)n+1

+ + + (1)i+j...

. . ....

. . .... +

(1)n+1 +

On remarque quon a (1)i+j en i eme ligne et j eme colonne.

On dveloppe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la rgle de signes (1)i+jaij ijo aij est le coefficient de la matrice et ij est le dterminant obtenu en enlevant la ligne i et la colonnej correspondante. On admet ce rsultat.

Thorme : On peut dvelopper selon la j me colonne :

=n

i=1(1)i+jaij ijou dvelopper selon la i me ligne :

=n

j=1(1)i+jaij ij

Il est important de noter quon peut choisir sa ligne ou sa colonne.

Un dterminant est donc un polynme des coefficients de la matrice...

2.3. Exemples

On notera les dterminants avec un indice qui correspond leur rang, qui est toujours plus grand que1.

a/ Utilisation dune formule de rcurrence

Soit le dterminant n =

2 1 0 0

1 2. . .

. . ....

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . . 2 1

0 0 1 2

n

quon dveloppe selon la 1re colonne,


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n = 2n1 1

1 0 0 0

1 2 1. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . . 2 1

0 0 1 2

n1

= 2n1 n2

en dveloppant ce dterminant selon la 1re ligne.

On obtient ainsi la relation de rcurrence n = 2n1 n2 quon rsout en calculant 1 et 2.

b/ Manipulation de lignes ou colonnes

Soit le dterminant n = |abs (i j)|n =

0 1 2 n 1

1. . .

. . .. . .

...

2. . .

. . .. . . 2

.... . .

. . .. . . 1

n 1 2 1 0

n

avec n > 3.

A chaque ligne, de la dernire la seconde, on enlve la prcdente. Ces oprations sont faites succes-sivement... Il faut bien vrifier quon peut les faire successivement et quon nutilise pas une ligne ouune colonne qui a t modifie... et qui donc nexiste plus !

On obtient donc : n =

0 1 2 n 11 1 1 1

1 1. . .

. . ....

.... . .

. . .. . . 1

1 1 1 1

n

A chaque ligne, de la dernire la troisime, on enlve la prcdente. Ces oprations sont faites suc-cessivement...

On obtient donc, en dveloppant successivement selon la premire et la dernire colonne :

n =

0 1 2 n 11 1 1 10 2 0 0...

. . .. . .

. . ....

0 0 2 0

n

=

1 2 n 12 0 00 2 0 0...

. . .. . .

. . ....

0 0 2 0

n1

= (1)n (n 1)

2 0 0

0. . .

. . ....

.... . .

. . . 0

0 0 2

n2

Enfin, n = (1)n+1 (n 1) 2n2.

3. Dterminant dune famille de vecteurs dans une base

3.1. Dterminant dune famille de vecteurs

Dfinition : Soit (u1, u2, . . . , un) une famille de n vecteurs dun espace vectoriel de dimension n.Le dterminant de cette famille de vecteurs dans une baseB est le dterminant de la matrice formedes vecteurs colonne des coordonnes des ui dans la baseB .On le note encore det , en faisant au besoin rfrence la baseB : detB .

Exemple : Dans un espace vectoriel de dimension 3, muni de la baseB = (e1, e2, e3),


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detB (e1 e3, 2 e2 + e3, e1 e2 + e3) =

1 0 1

0 2 11 1 1

= 53.2. Interprtation gomtrique

On a dj vu cette interprtation en dbut de chapitre, on la rappelle ici : En dimension 2, le dterminant est laire algbrique du paralllogramme construit sur u et v .

Cette aire est positive si(u , v ) est direct, ngative si cest indirect.

En dimension 3, le dterminant est le volume algbrique du paralllpipde construit sur u , v etw . Ce volume est positif si

(u , v , w ) est direct, ngatif si cest indirect.La seule chose particulire est que le rsultat ne dpend pas de la base sous rserve quon travailledans une base orthonormale directe !

3.3. Caractrisation des bases

Thorme : La famille (u1, u2, . . . , un) de n vecteurs dun espace vectoriel de dimension n est une basesi est seulement si, dans nimporte quelle baseB , detB (u1, u2, . . . , un) , 0

Dmonstration : Cest une base si et seulement si la matrice des coordonnes dans B est inversible,cest dire si et seulement si le dterminant de cette matrice est non nul, mais ce dterminant est aussile dterminant de la famille de vecteurs dansB !

4. Dterminant dun endomorphisme

4.1. Dterminant dun endomorphisme dans une base

Dfinition : E un espace vectoriel de dimension n muni dune baseB .Soit L (E), et A sa matrice dans la baseB : A = MB ().Alors : detB () = det(A) = det (MB ()).

4.2. Dterminant dun endomorphisme

Thorme : E un espace vectoriel de dimension n muni de deux basesB etB .Soit L (E), alors : detB () = detB ().Le dterminant dun endomorphisme ne dpend pas de la base dans laquelle on travaille.

Dmonstration : Soit A = MB (), et A = MB (), on a alors : A = P1AP, avec P la matrice depassage deB versB .

det(A) = det P1AP = det(P1) det(A) det(P) =1

det(P)det(A) det(P) = det(A).

Ce qui prouve le rsultat annonc.

On avait dailleurs dj vu que deux matrices semblables avaient le mme dterminant !

4.3. Dterminant de la compose de deux endomorphismes

Thorme : E un espace vectoriel de dimension n muni dune baseB .Soit , L (E), alors : det( ) = det() det().

Dmonstration : On se place dans la baseB , alors :MB ( ) = MB () MB ().Et comme le dterminant dun produit de matrices est le produit des dterminants, on a le rsultatannonc.


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4.4. Caractrisation des automorphismes

Thorme : E un espace vectoriel de dimension finie.Soit L (E), alors : est un automorphisme det() , 0.

Dmonstration : On a un automorphisme si et seulement si il transforme une base en une autre base,cest dire si et seulement si sa matrice dans une base est inversible.

4.5. Dterminant de lendomorphisme rciproque

Thorme : E un espace vectoriel de dimension finie.

Soit GL(E), alors : det(1) = 1det()

.

Dmonstration : Dans une base B , la matrice de 1 est linverse de la matrice de , ce qui donneimmdiatement le rsultat.

Dterminant d'une matrice carreDterminant d'une matrice carre AInterprtation en dimensions 2 et 3Proprits lmentairesDterminant de la transposeManipulation de colonnesDterminant d'une matrice triangulaireDterminant d'un produitDterminant de 2 matrices semblablesCalcul de dterminantsEn dimension 2 et 3Dv. selon une ligne ou colonneExemplesDterminant d'une famille de vecteursDterminant d'une famille de vecteursInterprtation gomtriqueCaractrisation des basesDterminant d'un endomorphismeDterminant d'un endomorphisme dans une baseDterminant d'un endomorphismeDterminant de la composeCaractrisation des automorphismesDterminant de l'endomorphisme rciproque

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