P A P E R AAS-93-581

MERICAN

S T R O N A U T I C A L SOCIETY

A M A A

Numerical Investigation of Chaos in the Attitude Motion of a Gravity-Gradient Satellite

Harry A. Karasopoulos Aeromechanics Division

Wright Laboratory

a n d

David L. Richardson Department of Aerospace Engineering

University of Cincinnati

AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference

VICTORIA, B.C., CANADA AUGUST 16-19, 1993

AAS Publications Office, P.O. Box 28130, San Diego, OA 92198

Numerical Investigation of Chaos in the Attitude Motion of a Gravity-Gradient Satellite

Harry A. Karasopoulos* Aeromechanics Division

Wright Laboratory a n d

David L . Richardson^ Department of Aerospace Engineering

University of Cincinnati

A b s t r a c t

This paper extends the numerical investigation of the nonlinear pitching dynamics of a gravity-gradient satellite in an elliptical orbit about a cen­tral body. The satellite is assumed to be a rigid body influenced only by torques from an inverse-square gravitational field, and its major axis is assumed to be normal to the orbit plane. The resultant planar pitching mo­tion is either periodic, quasiperiodic, or chaotic, depending upon the values of the system parameters, eccentricity and satellite inertia ratio. This work emphasizes the numericed prediction of transition from regular to chaotic motion through the use of Lyapunov exponents. The relationships of the system parEimeters to the nonlinearity of the system are explored with chaos diagrams, which incorporate the results of the Lyapunov exponent calcula­tions into a useful tool for predicting the onset of chaujtic motion. The chjios diagrams constructed about the origin of the phase plane display severzil interesting characteristics which are investigated in a precursory manner, such as the seemingly fractal nature of the border between regular and chaotic motion.

Introduction

Large attitude perturbations due to gravity-gradient torques on artificial satellites are a well known phenomena. Today, these and other perturbations must be carefully considered

•Aerospace Engineer, WL/FIMH, Bldg 450, 2645 Fifth St, Ste 30, WPAFB, OH USA 45433-7936 'Professor, Department of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, University of Cincinnati,

Cincinnati, OH USA 45221-0070

a n d a c c o u n t e d f o r i n t h e d e s i g n p r o c e s s . P i t c h a n g l e p e r t u r b a t i o n s a r e o f t e n o f s p e c i a l i n t e r e s t t o t h e d e s i g n e r b e c a u s e o f t h e c e n t r a l - b o d y p o i n t i n g r e q u i r e m e n t s o f m a n y E a r t h o r b i t i n g s a t e l l i t e s . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e p l a n a r p i t c h - a t t i t u d e d y n a m i c s o f a g r a v i t y -g r a d i e n t s a t e l l i t e h a s r e c e i v e d a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n .

A n u m b e r o f s t u d i e s h a v e u t i l i z e d n o n l i n e a r a n a l y s i s t o o l s s u c h a s P o i n c a r e m a p s t o s t u d y t h e p l a n a r p i t c h d y n a m i c s f o r a n e c c e n t r i c o r b i t [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] . Z l a t o u s t o v et al [ 1 ] ( a l s o i n B e l e t s k i i [ 2 ] ) s t u d i e d f a m i l i e s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d f o u n d t h a t s t a b l e p e r i o d i c s o l u t i o n s e x i s t f o r e v e r y v a l u e o f e c c e n t r i c i t y . M o d i a n d B r e r e t o n [3] a p p l i e d t h e m e t h o d o f h a r m o n i c b a l a n c e t o o b t a i n f a m i l i e s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d f o u n d t h a t a t t h e m a x i m u m e c c e n t r i c i t y f o r s t a b l e m o t i o n , t h e s o l u t i o n m u s t b e p e r i o d i c . I n m o r e r e c e n t w o r k , m o d e r n a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l n o n l i n e a r a n a l y s i s m e t h o d s h a v e b e e n a p p l i e d t o t h e u n c o n t r o l l e d g r a v i t y - g r a d i e n t p i t c h m o t i o n p r o b l e m . T h e e m p h a s i s o f m u c h o f t h i s r e s e a r c h h a s b e e n o n t h e a p p l i c a t i o n o f M e l n i k o v ' s a n a l y t i c a l m e t h o d t o e x a m i n e c r i t e r i a f o r t h e o n s e t o f c h a o s n e a r t h e s e p a r a t r i c e s o f n e a r l y - i n t e g r a b l e s y s t e m s . K o c h a n d B r u h n [7] u t i l i z e d t h e M e l n i k o v m e t h o d t o a n a l y z e t h i s p r o b l e m , t a k i n g i n t o a c c o u n t a d d i t i o n a l t e r m s d u e t o a n o n - s p h e r i c a l g r a v i t a t i o n a l field a n d m a g n e t i c d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s a t e l l i t e a n d t h e c e n t r a l b o d y . S e i s l a n d S t e i n d l [ 8 ] a l s o a p p l i e d t h e M e l n i k o v m e t h o d , s u p p l e m e n t i n g t h e b a s i c p r o b l e m w i t h a n a e r o d y n a m i c d r a g t e r m . B o t h o f t h e s e a n a l y s e s a r e v a l i d f o r o n l y s m a l l v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y d u e t o a s s u m p t i o n s r e q u i r e d b y t h e M e l n i k o v m e t h o d .

T o n g a n d R i m r o t t [ 9 ] a l s o e x a m i n e d t h e b a s i c p r o b l e m b u t w i t h m o r e e m p h a s i s u p o n n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n , p r e s e n t i n g t w o s e q u e n c e s o f P o i n c a r e m a p s o f v a r y i n g v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y w h i l e h o l d i n g t h e i n e r t i a r a t i o c o n s t a n t . K a r a s o p o u l o s a n d R i c h a r d s o n [ 1 0 ] u s e d L y a p u n o v e x p o n e n t s , P o i n c a r e m a p s , b i f u r c a t i o n d i a g r a m s , a n d a c h a o s d i a g r a m t o f u r t h e r t h e n u m e r i c a l e x p l o r a t i o n o f t h e p i t c h m o t i o n f o r a r b i t r a r y v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y a n d s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o . U s i n g a c o m b i n a t i o n o f b r a n c h i n g t h e o r y , F l o q u e t t h e o r y , h i g h -p r e c i s i o n n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , a n d o t h e r m e t h o d s , G u l y a e v et al [ 1 1 ] f o u n d t h a t a t l e a s t o n e o f t h e r o u t e s t o c h a o s f o r t h i s p r o b l e m o c c u r s t h r o u g h p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o n s .

T h e r e i s a n i n c r e a s i n g a m o u n t o f i n t e r e s t i n t h e b a s i c p r o b l e m s u p p l e m e n t e d w i t h c o n t r o l s . C o l e a n d C a l i c o [ 1 2 ] e x a m i n e d t h e n o n l i n e a r d y n a m i c s o f a s p i n n i n g s y m m e t r i c s a t e l l i t e i n a n e l l i p t i c o r b i t s u b j e c t t o c o n t r o l t o r q u e s a b o u t t w o o f t h e s p a c e c r a f t a x e s . G r a y a n d S t a b b [ 1 3 ] a p p l i e d M e l n i k o v ' s m e t h o d t o p r o d u c e a n a l y t i c a l c r i t e r i a f o r t h e o n s e t o f c h a o s i n t h e c o n t r o l l e d p i t c h m o t i o n f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e .

T h i s p a p e r e x t e n d s t h e n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n ( p a r t i c u l a r l y t h e w o r k o f R e f e r e n c e [ 1 0 ] ) o f t h e n o n l i n e a r d y n a m i c s o f t h e p l a n a r p i t c h i n g m o t i o n f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n a n e l l i p t i c a l o r b i t a b o u t a c e n t r a l b o d y w i t h a n i n v e r s e - s q u a r e g r a v i t a t i o n a l field. E m p h a s i s i s p l a c e d o n n u m e r i c a l p r e d i c t i o n o f t r a n s i t i o n f r o m r e g u l a r t o c h a o t i c m o t i o n t h r o u g h t h e u s e o f L y a p u n o v e x p o n e n t s . T h e r e l a t i o n s h i p s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s t o t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e s y s t e m a r e e x p l o r e d w i t h c h a o s d i a g r a m s , w h i c h i n c o r p o r a t e t h e r e s u l t s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t c a l c u l a t i o n s i n t o a u s e f u l t o o l f o r p r e d i c t i n g t h e o n s e t o f c h a o t i c m o t i o n .

Equations of Motion

T h e s a t e l l i t e i s a s s u m e d t o b e a r i g i d b o d y i n f l u e n c e d o n l y b y t o r q u e s f r o m a n i n v e r s e - s q u a r e g r a v i t a t i o n a l f i e l d . S a t e l l i t e e n e r g y d i s s i p a t i o n a n d o t h e r t o r q u e s , s u c h a s a e r o d y n a m i c , m a g n e t i c , t h e r m a l b e n d i n g , o r s o l a r r a d i a t i o n p r e s s u r e , a r e i g n o r e d . O t h e r «issumptions u s e d i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n a r e :

• T h e s a t e l l i t e ' s m a j o r a x i s i s n o r m a l t o t h e o r b i t p l a n e .

• S a t e l l i t e r o l l a n d y a w a n g l e s a n d t h e i r r a t e s a r e z e r o . F o r z e r o p i t c h a n g l e , t h e m i n o r a n d i n t e r m e d i a t e a x e s p o i n t i n t h e r a d i a l a n d t r a n s v e r s e d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y .

• T h e s a t e l l i t e ' s l a r g e s t d i m e n s i o n i s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e o r b i t r a d i u s .

• T h e s a t e l l i t e ' s m a s s i s n e g l i g i b l e w i t h r e s p e c t t o t h e m a s s o f t h e c e n t r a l b o d y .

T h e r e s u l t i n g p i t c h e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n a n e l l i p t i c a l o r b i t a b o u t a c e n t r a l b o d y i s

w h e r e e i s t h e o r b i t a l e c c e n t r i c i t y , V ' i s t h e p i t c h a n g l e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o t h e r a d i a l d i r e c t i o n , a n d / i s t h e t r u e a n o m a l y , a s s e e n i n F i g u r e 1 .

( 1 )

P e r i a p s i s

fir

X.?

F i g u r e 1 . O r b i t a n d A t t i t u d e G e o m e t r y

3

T h e s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o , K , i s a n o n - d i m e n s i o n a l f u n c t i o n o f t h e p r i n c i p a l m o m e n t s o f i n e r t i a o f t h e s a t e l l i t e , d e f i n e d a s

I t i s a s s u m e d t h a t 1^ > l y > Ix, w h i c h a r e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r s t a b l e t h r e e - a x i s r o t a t i o n s o f a s a t e l l i t e i n c i r c u l a r o r b i t a b o u t a s p h e r i c a l c e n t r a l b o d y . F o r p i t c h o s c i l l a t i o n s a b o u t t h e r a d i a l d i r e c t i o n , t h e i n e r t i a r a t i o h a s t h e r a n g e 0 . 0 < A < 1 . 0 . T h e u p p e r l i m i t c o r r e s p o n d s t o t h e i n e r t i a p r o p e r t i e s o f a d u m b b e l l s a t e l l i t e a n d t h e l o w e r l i m i t t o a n o b l a t e a x i a l l y s y m m e t r i c s a t e l l i t e . * x

Predicting the Onset of Chaos

C h a o s i s o f t e n d e f i n e d a s a n e x t r e m e s e n s i t i v i t y t o c h a n g e s i n i n i t i a l c o n d i t i o n s w h i c h l e a d s t o a n e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e o f i n i t i a l l y n e i g h b o r i n g t r a j e c t o r i e s . T h e p l a n a r p i t c h i n g p r o b l e m e x a m i n e d h e r e i s a H a m i l t o n i a n s y s t e m . F o r z e r o e c c e n t r i c i t y , t h e s o l u t i o n t o t h e e q u a t i o n o f m o t i o n i s w e l l u n d e r s t o o d a n d c h a o s c a n n o t o c c u r . F o r n o n - z e r o v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y , h o w e v e r , F q u a t i o n ( 1 ) d e s c r i b e s a p e r t u r b e d H a m i l t o n i a n s y s t e m ( b y e ) a n d i s n o n - i n t e g r a b l e . N o n l i n e a r t h e o r y p o i n t s o u t t h a t s t o c h a s t i c i t y ( c h a o s ) w i l l a l w a y s o c c u r i n s u c h a s y s t e m f o r a n y n o n - z e r o v a l u e o f t h e p e r t u r b a t i o n p a r a m e t e r . H o m o c l i n i c t a n g l e s f o r m a r o u n d t h e s e p a r a t r i c e s o f h a r m o n i c a n d s u b h a r m o n i c s o l u t i o n s , g i v i n g b i r t h t o l a y e r s o f c h a o s i n t h e v i c i n i t y o f t h e s e p a r a t r i c e s . T h e s e a r e a s o f c h a o s , o r " r e s o n a n c e l a y e r s " , a r e b o u n d e d b y i n v a r i a n t c u r v e s k n o w n a s K A M s u r f a c e s . T r a j e c t o r i e s c a n n o t c r o s s t h e s e b o u n d a r i e s a n d a t r a j e c t o r y w h i c h i s i n i t i a l l y c h a o t i c ( r e g u l a r ) , r e m a i n s c h a o t i c ( r e g u l a r ) f o r a l l t i m e . ^ ' H e n c e , t h e p i t c h a n g l e c a n e x p e r i e n c e e i t h e r r e g u l a r o r c h a o t i c m o t i o n f o r v a r i o u s i n i t i a l s t a t e s a n d v a l u e s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s , e a n d K . B o t h t y p e s o f m o t i o n m a y o c c u r a t a v e r y c l o s e p r o x i m i t y t o e a c h o t h e r i n p h a s e s p a c e , a n d t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e t w o t y p e s o f b e h a v i o r c a n b e c o m p l e x . A l t h o u g h t h e s e r e g i o n s o f c h a o s e x i s t f o r a n y n o n - z e r o v a l u e o f e c c e n t r i c i t y , t h e i r a r e a o f t h e p h a s e s p a c e t e n d s t o w a r d s z e r o a s e 0 . B e c a u s e o f t h e u s u a l l y h i g h l y l o c a l i z e d n a t u r e o f c h a o s f o r a p e r t u r b e d H a m i l t o n i a n s y s t e m , i t i s o f t e n d i f f i c u l t t o d e f i n e a p r e c i s e c r i t e r i a f o r t h e o n s e t o f " g l o b a l " c h a o s o v e r a l a r g e r a n g e o f s y s t e m p a r a m e t e r s a n d i n i t i a l s t a t e s . T h i s t r a n s i t i o n i s o f t e n s u b j e c t i v e l y d e f i n e d a s t h e p o i n t w h e r e m o s t o f t h e p h a s e s p a c e b e c o m e s c o v e r e d b y s t o c h a s t i c r e g i o n s , a n d i t i s o c c a s i o n a l l y m o r e q u a n t i t a t i v e l y d e f i n e d i n t e r m s o f a p a r t i c u l a r p e r c e n t a g e o f t h e p h a s e s p a c e w h e r e c h a o s o c c u r s .

N u m e r o u s t e c h n i q u e s e x i s t f o r p r e d i c t i n g t h e t r a n s i t i o n f r o m r e g u l a r t o c h a o t i c m o t i o n a n d f r o m l o c a l t o g l o b a l c h a o s . C h i r i k o v ' s r e s o n a n c e o v e r l a p m e t h o d [ 1 4 ] i s a n a n a l y t i c a l m e t h o d w h i c h p r o v i d e s a n e s t i m a t e f o r t h e t r a n s i t i o n t o g l o b a l c h a o t i c m o t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n p a r a m e t e r . I t w a s a p p l i e d t o t h i s p r o b l e m b y T o n g a n d R i m r o t t [9] f o r K = 1 a n d u n d e r - p r e d i c t e d t h e n u m e r i c a l l y d e t e r m i n e d v a l u e o f e c c e n t r i c i t y f o r t h e o n s e t

'Negative values of the inertia ratio are physically possible but correspond to defining the pitch angle from the transverse direction instead of the local verticcd.

'This is only true for non-dissipative systems. Damping destroys the KAM surfaces, allowing transient chaos to occur and, possibly, strange attractors to exist.

K = yaw ( 2 )

/ 4

o f g l o b a l c h a x j s b y r o u g h l y 5 0 % . M e l n i k o v ' s m e t h o d ( a u s e f u l a n a l y t i c a l t o o l f o r p r e d i c t i n g t h e t r z m s i t i o n t o l o c a l c h a o t i c m o t i o n i n t e r m s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s ) c a n n o t b e a p p l i e d t o E q u a t i o n ( 1 ) b e c a u s e t h e e c c e n t r i c i t y p e r t u r b a t i o n i s n o t d i s s i p a t i v e . I t h a s , h o w e v e r , b e e n a p p l i e d t o t h e g r a v i t y - g r a d i e n t p r o b l e m s u p p l e m e n t e d w i t h a d d i t i o n a l t e r m s ( s e e [ 7 ] , [8 ] a n d [ 1 3 ] , f o r e x a m p l e ) a l t h o u g h l i m i t e d t o o n l y s m a l l v a l u e s o f e .

A n u m b e r o f n u m e r i c a l t r a n s i t i o n p r e d i c t i o n t e c h n i q u e s a l s o e x i s t . F o u r i e r s p e c t r a o f t r a j e c t o r i e s c a n g i v e p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t r a n s i t i o n p r o c e s s i t s e l f . S e n s i t i v i t y a n a l y s i s o f a s y s t e m o n i t s i n i t i a l c o n d i t i o n s m a y d e l i v e r r e a s o n a b l e e s t i m a t e s f o r t h e o n s e t o f c h a o s , a s s h o w n b y T o r t o r e l l i a n d V a k a k i s [ 1 5 ] . S e q u e n c e s o f P o i n c a r e m a p s c a n p r o v i d e e s t i m a t e s f o r t h e o n s e t o f b o t h l o c a l a n d g l o b a l c h a o s o v e r a l a r g e r a n g e o f i n i t i a l s t a t e s f o r a p a r t i c u l a r s e t o f s y s t e m p a r a m e t e r s . L y a p u n o v e x p o n e n t s , w h i c h m e a s u r e t h e m e a n e x p o n e n t i a l r a t e o f d i v e r g e n c e o f i n i t i a l l y c l o s e t r a j e c t o r i e s , t y p i c a l l y p r o v i d e a n a c c u r a t e , i f c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e , d e t e r m i n a t i o n o f w h e t h e r a t r a j e c t o r y i s r e g u l a r ( p e r i o d i c o r q u a s i p e r i o d i c ) o r c h a o t i c . W h e n g r i d s o f L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e c o m p u t e d a n d f o r m e d i n t o c h a o s d i a g r a m s , w e o b t a i n a u s e f u l m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e o n s e t o f c h a o s o v e r l a r g e r a n g e s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s f o r p a r t i c u l a r i n i t i a l s t a t e s .

Determining the Nature of the Motion via Poincare Maps

T h e p u r p o s e o f a P o i n c a r e m a p , o r s u r f a c e o f s e c t i o n , i s t o f a c i l i t a t e t h e s t u d y o f a s y s t e m ' s p h a . s e s p a c e b y e l i m i n a t i n g a s y s t e m v a r i a b l e . A P o i n c a r e m a p i s m a d e b y p l o t t i n g a d i s c r e t e c o l l e c t i o n o f p o i n t s c r e a t e d f r o m i n t e g r a t i n g t h e e q u a t i o n o f m o t i o n a n d p e r i o d i c a l l y s a m p l i n g t h e g e n e r a t e d v a l u e s o f s t a t e s a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t h e t r a j e c t o r y . T h u s , a P o i n c a r e p l o t p r o v i d e s a s o r t o f " s t r o b o s c o p i c " v i e w o f t h e p h a s e s p a c e . F o r t h i s p a r t i c u l a r s t u d y , w e m a p p e d t h e c o n t i n u o u s t h r e e - s p a c e o f {tp, tp', / ) * i n t o t h e d i s c r e t e t w o - s p a c e o f ( V ' r u V ' n ) b y c o l l e c t i n g a n d p l o t t i n g N v a l u e s o f

V n = V ' ( / n ) ( m o d u l u s t t ) , a n d rp'^ = tp'ifn), ( 3 )

w h e r e / „ = 2 n 7 r + / o , n = 0 , 1 , 2 , . . . A . ( 4 )

S o l u t i o n s w e r e s a m p l e d o n c e e a c h o r b i t a s t h e s a t e l l i t e p a s s e d t h r o u g h p e r i a p s i s , a n d a t l e a s t 2 0 o r b i t s w e r e i n t e g r a t e d b e f o r e t h e d a t a w a s p l o t t e d t o a l l o w t h e t r a j e c t o r i e s t o s e t t l e . O u r n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s m a d e e x t e n s i v e u s e o f a n o p t i m i z e d c o e f f i c i e n t s v e r s i o n o f a R u n g e - K u t t a i n t e g r a t i o n a l g o r i t h m . T h i s r o u t i n e h a s e x c e l l e n t s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s a n d a l o c a l t r u n c a t i o n e r r o r o f t h e i n t e g r a t i o n s t e p - s i z e r a i s e d t o t h e 6 t h p o w e r . T y p i c a l i n t e g r a t i o n s t e p - s i z e s f o r t h e t r u e a n o m a l y r a n g e d f r o m 2 x / 2 5 0 t o 2 7 r / 1 5 0 .

B o t h r e g u l a r a n d c h a o t i c m o t i o n m a y b e o b s e r v e d i n t h e P o i n c a r e m a p s . P e r i o d i c m o t i o n i s c h a r a c t e r i z e d a s o n e o r m o r e f i x e d p o i n t s , a n d q u a s i p e r i o d i c m o t i o n p r o d u c e s a c l o s e d c o n t o u r o n t h e s u r f a c e o f s e c t i o n w h e n a s u f f i c i e n t n u m b e r o f t r a j e c t o r y s a m p l e s a r e m a p p e d . C h a o t i c m o t i o n a p p e a r s o n a P o i n c a r e m a p a s a n o n - o r d e r e d s c a t t e r i n g o f p o i n t s w h i c h , i f N w e r e l a r g e e n o u g h , w o u l d c o m p l e t e l y f i l l a n a r e a o f t h e s u r f a c e o f s e c t i o n .

The prime ( ') denotes differentiation with respect to true anomaly, / .

F i g u r e s 2 p r e s e n t f o u r P o i n c a r e m a p s f o r e c c e n t r i c i t i e s o f e = 0 . 0 , . 0 1 , . 0 7 5 , a n d 0 . 2 , r e s p e c t i v e l y , a n d f o r c o n s t a n t s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o , K = 0 . 2 0 . T h e s u r f a c e o f s e c t i o n f o r t h e c i r c u l a r o r b i t c a s e ( F i g u r e 2 a ) d i s p l a y s t h e t y p e s o f r e g u l a r m o t i o n w h i c h e x i s t f o r t h e u n p e r t u r b e d p r o b l e m . P e r i o d i c m o t i o n m a y b e o b s e r v e d i n t h e s t a b l e p e r i o d - o n e s o l u t i o n a t t h e o r i g i n , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s y n c h r o n o u s s t a t e w h e r e t h e s a t e l l i t e a l w a y s p o i n t s t o w a r d s t h e c e n t r a l b o d y . T h e u n s t a b l e p e r i o d i c e q u i l i b r i a a t ( ± j , 0 . ) c o r r e s p o n d t o t h e a l i g n m e n t o f t h e s a t e l l i t e ' s m i n o r m o m e n t o f i n e r t i a w i t h t h e l o c a l h o r i z o n t a l . T h e s e p a r a t r i c e s c o n n e c t t h e s e u n s t a b l e e q u i l i b r i a a n d s e p a r a t e t h e m o t i o n i n t o t w o t y p e s : p i t c h t u m b l i n g , o r c i r c u l a t i o n , w h i c h o c c u r s o u t s i d e t h e s e p a r a t r i c e s , a n d p i t c h l i b r a t i o n , w h i c h o c c u r s i n s i d e . Q u a s i p e r i o d i c o r b i t s a p p e a r i n t h i s figure a s i s l a n d s a b o u t t h e o r i g i n . I t i s e m p h a s i z e d t h a t F i g u r e 2 a d e p i c t s o n l y a f e w o f t h e i n f i n i t e n u m b e r o f a c t u a l p e r i o d i c a n d q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n s . P e r i o d 3 / 4 ( 3 p i t c h o s c i l l a t i o n s i n 4 o r b i t s ) a n d 2 / 3 s o l u t i o n s o c c u r , f o r e x a m p l e , f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 0 . , . 2 7 0 5 8 1 2 ) a n d ( 0 . , . 5 2 7 9 1 1 ) , r e s p e c t i v e l y . T h e s e a n d o t h e r r e s o n a n c e s a l l h a v e t h e i r o w n s e p a r a t r i c e s w h i c h w i U p r o d u c e r e g i o n s o f s t o c h a s t i c i t y f o r s o m e e > 0 .

Poincare' Map at K=0.20, e=0.0

0.25n 0.50n

F i g u r e 2 a . P o i n c a r e M a p f o r K = 0 . 2 a n d e = 0 . 0

I n a g r e e m e n t w i t h n o n l i n e a r d y n a m i c s t h e o r y , t h e g e n e r a l t r e n d o f t h i s s e q u e n c e o f P o i n c a r e m a p s ( a n d o t h e r s - s e e R e f e r e n c e [ 1 0 ] ) i s t h a t a n i n c r e a s e i n e c c e n t r i c i t y c a u s e s t h e a r e a o f p h a s e s p a c e w h e r e c h a o t i c m o t i o n o c c u r s t o e n l a r g e w h i l e t h e a r e a o f r e g u l a r m o t i o n d e c r e a s e s . M o r e d e t a i l e d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p i t c h m o t i o n m a y b e g l e a n e d f r o m t h e s e p l o t s . F i g u r e 2 b i n d i c a t e s t h a t n e c e s s a r y b u t i n s u f f i c i e n t a p p r o x i m a t e c o n d i t i o n s f o r p i t c h l i b r a t i o n t o o c c u r f o r K = 0 . 2 0 a n d e = . 0 1 a r e - . 7 0 < xp'g < . 8 0 , a n d f o r p i t c h t u m b l i n g t o b e p o s s i b l e , V'o > - 8 5 o r ip'^ < - . 7 5 . T h e s e b a n d s o f i n i t i a l s t a t e s w h e r e p e r i o d i c o r q u a s i p e r i o d i c p i t c h l i b r a t i o n c a n o c c u r a r e s i g n i f i c a n t l y r e d u c e d w h e n e c c e n t r i c i t y

125 Poincare' Map at K=0.20. e=0.01

-O.SOn 0.50K

F i g u r e 2 b . P o i n c a r e M a p f o r K = 0 . 2 a n d e = . 0 1

125 Poincare' MapatK=0.20, e=0.075

-I.OOh

-125 -0.50n -0.25 K 0.00 0.25K 0.50K

F i g u r e 2 c . P o i n c a r e M a p f o r K = 0 . 2 a n d e = . 0 7 5

7

Poincare' Map at K=0.20. e=0.2

O.SOn

F i g u r e 2 d . P o i n c a r e M a p f o r K = 0 . 2 a n d e = . 2 0

i s i n c r e a s e d t o . 0 7 5 ( F i g u r e 2 c ) , a n d a l m o s t n o n - e x i s t e n t a t e = 0 . 2 i n F i g u r e 2 d . T h e P o i n c a r e m a p o f F i g u r e 2 b i l l u s t r a t e s l o c a l c h a o s ; t h e o n s e t o f g l o b a l c h a o s o c c u r s f o r s o m e v a l u e o f e c c e n t r i c i t y b e t w e e n e = . 0 7 5 ( F i g u r e 2 c ) a n d e = . 2 ( F i g u r e 2 d ) .

O n e m a y a l s o u s e P o i n c a r e m a p s t o t r a c k t h e t y p e o f m o t i o n f o r a p a r t i c u l a r i n i t i a l s t a t e o v e r a v a r i a t i o n i n o n e o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e t r a j e c t o r y w i t h t h e i n i t i a l s t a t e {tpoii>'o) = ( O - ^ O . ) a n d K = 0 . 2 i n F i g u r e s 2 . T h e t r a j e c t o r y w i t h t h i s i n i t i a l c o n d i t i o n i s q u a s i p e r i o d i c b u t v e r y c l o s e t o a p e r i o d - o n e s o l u t i o n f o r e = . 0 1 ( F i g u r e 2 b ) , a t t h e b o r d e r b e t w e e n q u a s i p e r i o d i c a n d c h a o t i c m o t i o n f o r e = . 0 7 5 ( F i g u r e 2 c ) , a n d c h a o t i c f o r e — 0 . 2 ( F i g u r e 2 d ) . T h u s , o n e c a n e x a m i n e s e q u e n c e s o f P o i n c a r e m a p s a n d o b t a i n r e a s o n a b l e e s t i m a t e s f o r t h e o n s e t o f c h a o s . O n e a d v a n t a g e o f u s i n g P o i n c a r e m a p s f o r t h i s p u r p o s e i s t h a t t h e t y p e o f m o t i o n m a y b e d e t e r m i n e d v e r y q u i c k l y f o r a n e n t i r e a r e a o f i n i t i a l s t a t e s . W e m a y d e d u c e f r o m F i g u r e 2 c , f o r e x a m p l e , t h a t n o t o n l y d o e s t h e p a r t i c u l a r i n i t i a l s t a t e ( 0 . , - . 3 ) p r o d u c e n e a r l y p e r i o d i c m o t i o n , b u t ( 0 . , - . 2 ) w o u l d a s w e l l . A d i s a d v a n t a g e , h o w e v e r , i s t h a t t w o { K a n d e ) ^ d e t a i l e d a n d l e n g t h y s e q u e n c e s w o u l d g e n e r a l l y h a v e t o b e c o n s t r u c t e d t o o b t a i n a c c u r a t e e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r v a l u e s a t w h i c h t h e t r a n s i t i o n t o c h a o t i c m o t i o n o c c u r s f o r a p a r t i c u l a r i n i t i a l s t a t e . I n c o n t r a s t , c h a o s d i a g r a m s p r o v i d e t h i s i n f o r m a t i o n i n o n l y o n e p l o t .

^Past work (Reference [10]) has shown transition to be a function of satellite inertia ratio, K , as well as eccentricity.

8

Determining the Onset of Chaos via Lyapunov Exponents and Chaos Diagrams

T h e L y a p u n o v e x p o n e n t s f o r a p a r t i c u l a r t r a j e c t o r y a r e a m e a s u r e o f t h e m e a n e x p o n e n t i a l r a t e o f d i v e r g e n c e o f i n i t i a l l y n e a r b y t r a j e c t o r i e s . A p o s i t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t i n d i c a t e s t h a t t h e t r a j e c t o r y i s c h a o t i c , a n d h e n c e t h e p r e d i c t a b i l i t y o f i t s f u t u r e s t a t e s q u i c k l y v a n ­i s h e s w i t h t i m e . T h e t i m e ( o r t r u e a n o m a l y ) s c a l e i n w h i c h t h i s p r e d i c t a b i l i t y v a n i s h e s i s a f u n c t i o n o f t h e m a g n i t u d e o f t h e l a r g e s t L y a p u n o v e x p o n e n t , < T I , c a l l e d t h e " f i r s t " L y a p u n o v e x p o n e n t . B e c a u s e E q u a t i o n ( 1 ) r e p r e s e n t s a p e r t u r b e d o n e d e g r e e - o f - f r e e d o m H a m i l t o n i a n s y s t e m , t w o L y a p u n o v e x p o n e n t s o f e q u a l m a g n i t u d e b u t o p p o s i t e s i g n e x i s t f o r e a c h t r a ­j e c t o r y . T h e s e e x p o n e n t s a r e z e r o f o r r e g u l a r m o t i o n , a n d n o n - z e r o f o r c h a o t i c m o t i o n . F o r t h e l a t t e r c a s e , t h e g r e a t e r t h e v a l u e o f a i , t h e g r e a t e r t h e t r a j e c t o r y ' s s e n s i t i v i t y t o i n i t i a l c o n d i t i o n s , a n d t h e m o r e " c h a o t i c " t h e t r a j e c t o r y . B e c a u s e o f t h e a b s e n c e o f s t r a n g e a t t r a c t o r s f o r a p e r t u r b e d H a m i l t o n i a n s y s t e m , a c h a o t i c t r a j e c t o r y t e n d s t o fill t h e p h a s e s p a c e u n i f o r m l y . A s a r e s u l t , L y a p u n o v e x p o n e n t s f o r s u c h s y s t e m s t e n d t o w a r d a c o n s t a n t v a l u e a s A - + o o , r e g a r d l e s s o f t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e s t a t e v e c t o r . ^

I n t h e c a l c u l a t i o n o f L y a p u n o v e x p o n e n t s w e e x a m i n e t h e c h a n g e i n d i m e n s i o n o f a s m a l l c i r c l e o f i n i t i a l c o n d i t i o n s o f r a d i u s i n t h e p h a s e s p a c e o v e r N o r b i t s , o r i t e r a t i o n s o f t h e P o i n c a r e m a p . T h r o u g h s t r e t c h i n g a n d c o n t r a c t i o n o f t h e p h a s e s p a c e , t h e c i r c l e i s t r a n s f o r m e d a f t e r a s m a l l A / i n t o a n a p p r o x i m a t e e U i p s e h a v i n g s e m i m a j o r a n d s e m i m i n o r a x e s , ^1 a n d 6 2 , w h e r e

A n u m b e r o f t e c h n i q u e s f o r t h e c a l c u l a t i o n o f L y a p u n o v e x p o n e n t s a p p e a r i n t h e l i t e r a t u r e . I n t h i s s t u d y , L y a p u n o v e x p o n e n t s w e r e c o m p u t e d u s i n g a m o d i f i e d v e r s i o n o f a c o d e g i v e n i n A p p e n d i x A o f W o H et al [ 1 6 ] .

C h a o s d i a g r a m s p l o t t h e m a g n i t u d e o f t h e first L y a p u n o v e x p o n e n t a s a f u n c t i o n o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s , a n d t h u s i n d i c a t e t h e o c c u r r e n c e a n d r e l a t i v e m a g n i t u d e o f c h a o t i c m o t i o n f o r s p e c i f i e d i n i t i a l s t a t e s . I n t h i s s t u d y c h a o s d i a g r a m s w e r e n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d f o r a f u U r a n g e o f e c c e n t r i c i t y a n d i n e r t i a r a t i o v a l u e s , 0 < e < 1 a n d 0 < A' < 1 . L y a p u n o v e x p o n e n t s w e r e c a l c u l a t e d i n 4 0 0 x 5 0 0 a n d 3 2 0 x 4 0 0 p o i n t g r i d s . A c o l o r s c a l e w a s a s s i g n e d t o t h e p o s i t i v e e x p o n e n t s t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f s t o c h a s t i c i t y .

T h e o r e t i c a l l y , a s u f f i c i e n t c r i t e r i a f o r d e t e r m i n i n g t h e e x i s t e n c e o f c h a o t i c m o t i o n f o r a p a r t i c u l a r s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s a n d s y s t e m p a r a m e t e r s i s t o c a l c u l a t e t h e first L y a p u n o v e x p o n e n t u s i n g F q u a t i o n ( 6 ) o v e r a n i n f i n i t e n u m b e r o f o r b i t s a n d c h e c k i f CTI i s g r e a t e r t h a n z e r o . I n r e a l i t y , w e h a v e t o u s e A - C 00 a n d w e find t h e v a l u e o f CTI t o b e g e n e r a l l y d e p e n d e n t u p o n A . O v e r t h e v a s t m a j o r i t y o f t h e r a n g e o f e c c e n t r i c i t y a n d s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o i n v e s t i g a t e d , t h i s d e p e n d e n c e w a s m i l d a n d h a d l i t t l e i n f l u e n c e o n o u r r e s u l t s . V e r y c l o s e t o t r a n s i t i o n f r o m r e g u l a r t o c h a o t i c m o t i o n , h o w e v e r , t h e p l o t o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s

S i i A f ) = * o 2 " ' ^ / a n d ^2(A/) = 6 0 2 " ^ ^ ^ . ( 5 )

T h e first L y a p u n o v e x p o n e n t f o r a d i s c r e t e s y s t e m i s

N ( 6 )

9

v e r s u s N o f t e n h a d l o w a m p l i t u d e o s c i l l a t i o n s a b o u t z e r o . T h e L y a p u n o v e x p o n e n t s f o r r e g u l a r m o t i o n v e r y c l o s e t o t r a n s i t i o n e s p e c i a l l y t o o k a g r e a t n u m b e r o f o r b i t s t o s e t t l e d o w n t o z e r o . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g u r e 3 i l l u s t r a t e t h e s e t r e n d s . T h e L y a p u n o v e x p o n e n t s c a l c u l a t e d f o r e = . 0 1 , r e g u l a r m o t i o n f a r f r o m t r a n s i t i o n , h u g g e d t h e <TI = 0 l i n e a f t e r o n l y a f e w o r b i t s . I n c o n t r a s t , t h e a i c u r v e r e p r e s e n t i n g r e g u l a r m o t i o n c l o s e t o t r a n s i t i o n ( e = . 0 7 5 ) h a d r e l a t i v e l y l a r g e o s c i l l a t i o n s a b o u t z e r o , e v e n a f t e r t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s h a d b e e n c a l c u l a t e d a n d a v e r a g e d o v e r a n u m b e r o f o r b i t s . L i k e w i s e , t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s f o r e = . 0 7 6 , c h a o t i c m o t i o n c l o s e t o t r a n s i t i o n , r e q u i r e d m o r e A ' t o s e t t l e d o w n t o i t s a^o v a l u e t h a n f o r e = . 2 , c h a o t i c m o t i o n f a r f r o m t r a n s i t i o n .

040

0 30 -

0.20 -

-0 00

-0.10

First Lyapunov Exponent vs N for K=0.2 and (0.0.0.0)

Chaotic Motion Far from Transition (e-02)

Chaotic Motion dose to Transition (e-.076)

i n Regular Motion dose to Transition (e-.075)

Regular Motion Far from Transition (e-.01)

_ l _ _ l _ 50 100 ISO 200

N u m b e r Of Ort>it8. N 250 300

F i g u r e 3 . E x a m p l e L y a p u n o v E x p o n e n t s f o r K = 0 . 2 a n d I n i t i a l C o n d i t i o n s ( 0 . 0 , 0 . 0 )

B e c a u s e o f t h e s e t r e n d s , a s m a l l , p o s i t i v e c o n s t a n t , c , w a s u s e d i n s t e a d o f z e r o a s t h e t h r e s h o l d t o d e t e r m i n e i f t h e m o t i o n w a s r e g u l a r o r c h a o t i c i n t h e c h a o s d i a g r a m s . T h e c r i t e r i a f o r c h a o t i c m o t i o n i n t h e c h a o s d i a g r a m s t h e r e f o r e w a s a i > c. P r a c t i c a l l i m i t a t i o n s o n c o m p u t e r t i m e r e s t r i c t e d A t o a v a l u e o f 5 0 . ^ C o a r s e l y g r i d d e d b u t m o r e a c c u r a t e ( l a r g e A ) c o m p u t a t i o n s s h o w e d t h a t b o t h t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e e x p o n e n t s a n d t h e b o r d e r b e t w e e n c h a o t i c a n d r e g u l a r m o t i o n w e r e r e a s o n a b l y r o b u s t w i t h A = 5 0 .

'Run-times of nearly a week were required to generate these diagrams asing a Convex computer.

10

Example Chaos Diagrams

C o l o r - s c a l e c h a o s d i a g r a m s w e r e c r e a t e d f o r a n u m b e r o f i n i t i a l s t a t e s . B e c a u s e m o s t i n t e r e s t i n t h e g r a v i t y - g r a d i e n t s t a b i l i z a t i o n o f a r t i f i c i a l s a t e l l i t e s l i e s i n s m a l l l i b r a t i o n s a b o u t z e r o p i t c h a n g l e , t h e e x a m p l e s s h o w n h e r e w e r e a l l c r e a t e d f o r i n i t i a l s t a t e s i n t h e v i c i n i t y o f t h e o r i g i n .

F i g u r e 4 , first p r e s e n t e d i n R e f e r e n c e [ 1 0 ] , s h o w s a c o l o r - s c a l e c h a o s d i a g r a m f o r t h e i n i t i a l s t a t e ( 0 . 0 , 0 . 0 ) a n d f o r A = 5 0 . W h i t e d e n o t e s r e g u l a r m o t i o n a n d o t h e r c o l o r s i n d i ­c a t e t h e m o t i o n i s c h a o t i c . T h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t h e s t o c h a s t i c i t y o f e a c h t r a j e c t o r y i s d i s p l a y e d i n t h e c o l o r s p e c t r u m , r a n g i n g f r o m b l u e ( s m a l l a ) , t h r o u g h g r e e n a n d y e l l o w ( i n t e r m e d i a t e a ) , t o r e d ( l a r g e a ) . O n t h i s s c a l e o f t h e e n t i r e r a n g e s o f t h e s y s t e m p a ­r a m e t e r s , i n c r e a s e s i n e c c e n t r i c i t y c a n b e s e e n t o g e n e r a l l y i n c r e a s e t h e m a g n i t u d e o f t h e c h a o s , o r s e n s i t i v i t y t o i n i t i a l c o n d i t i o n s , o f t h e s y s t e m . I t i s i n t e r e s t i n g t o see h o w c o m p l e x t h i s c h a o t i c s e a i s f o r s u c h a s i m p l e s y s t e m . N o t e t h e s e l f - s i m i l a r f e a t u r e s o f t h e c h a o t i c " p e n i n s u l a s " f o r s m a l l v a l u e s o f A , a n d t h e i s l a n d s o f r e g u l a r m o t i o n s u r r o u n d e d b y c h a o s . W e o b s e r v e t h a t f o r v e r y s m a l l v a l u e s o f K , t h e m o t i o n i s r e g u l a r - e v e n f o r v e r y l a r g e v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y . I n f a c t , i n t h e l i m i t a s A ^ 0 ( e 0 ) , t h e m o t i o n i s r e g u l a r f o r a l l e (A').ll S i m i l a r l y , i n t h e l i m i t a s e —> 0 , t h e m o t i o n i s r e g u l a r f o r a l l A".

F i g u r e 5 p r e s e n t s a n e n l a r g e m e n t o f a p o r t i o n o f F i g u r e 4 , s h o w i n g t h e f e a t u r e s o f t h e c h a o s d i a g r a m f o r s m a l l v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y . T h e b o r d e r b e t w e e n c h a o t i c a n d r e g u l a r m o t i o n i s v e r y c o m p l e x a n d h i n t s o f a f r a c t a l n a t u r e . N o t e t h a t t h e c o l o r s p e c t r u m i n d i c a t i n g t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s h a s b e e n r e - s c a l e d f r o m F i g u r e 4 . I n f a c t , e a c h o f t h e f o O o w i n g c h a o s d i a g r a m s w a s u n i q u e l y c o l o r - s c a l e d t o m a k e t h e i r s t r u c t u r e m o r e e a s i l y s e e n .

T o a p p l y c h a o s d i a g r a m s a s a first-order d e s i g n t o o l t o a v o i d c h a o t i c p i t c h i n g m o t i o n i n g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e s w o u l d r e q u i r e k n o w l e d g e o f a v a r i e t y o f i n i t i a l s t a t e s o i {tpo,ip'o)-A f e w a d d i t i o n a l e x a m p l e c h a o s d i a g r a m s f o r s m a l l v a r i a t i o n s a b o u t t h e o r i g i n a r e g i v e n i n F i g u r e s 6 - 9 . N o t e t h a t c h a o s d i a g r a m s f o r {±ipo, fp'o) a r e i d e n t i c a l d u e t o t h e s y m m e t r y o f F q u a t i o n ( 1 ) . F i g u r e 6 p r e s e n t s a c h a o s d i a g r a m f o r t h e i n i t i a l s t a t e o f ( 0 . 0 , 0 . 5 ) . T h e o v e r a l l s t r u c t u r e o f t h i s p l o t d i f f e r s h t t l e f r o m F i g u r e 4 a l t h o u g h s o m e o f t h e d e t a i l s ( s u c h a s t h e s i z e a n d s h a p e o f t h e c h a o t i c p e n i n s u l a s , f o r e x a m p l e ) c h a n g e s o m e w h a t . C h a o s d i a g r a m s c o m p u t e d f o r t h e i n i t i a l s t a t e s ( 0 . 0 , - 0 . 2 5 ) a n d ( 0 . 0 , - 0 . 5 ) a r e g i v e n i n F i g u r e s 7 a n d 8 . A g a i n , t h e b a s i c s t r u c t u r e o f t h e d i a g r a m s s e e m s t o c h a n g e l i t t l e f o r t h i s s m a U v a r i a t i o n i n i n i t i a l p i t c h r a t e . H o w e v e r , t h e i s l a n d s o f r e g u l a r m o t i o n i n t h e c h a o t i c r e g i o n s , b a r e l y d i s c e r n i b l e i n s o m e o f t h e p r e v i o u s c h a o s d i a g r a m s , n o w a p p e a r t o e x h i b i t s e l f - s i m i l a r i t y . F i g u r e 9 p r e s e n t s a c h a o s d i a g r a m f o r t h e i n i t i a l s t a t e o f ( 5 . 0 d e g , 0 . 0 ) . T h i s p l o t v a r i e s l i t t l e f r o m F i g u r e 4 e x c e p t f o r t h e b o r d e r b e t w e e n r e g u l a r a n d c h a o t i c m o t i o n a t l a r g e v a l u e s o f t h e i n e r t i a r a t i o .

"This cannot always be seen in these figures because the plotting package used in this study draws the axes such that they overlap a portion of the grid.

1 1

0.03 0.00 0 . 2 5 0 . 5 0

I n e f t r a R a t i o . K 0.75 t.00

F i g u r e 4 . C h a o s D i a g r a m o f L y a p u n o v E x p o n e n t s f o r t h e I n i t i a l S t a t e ( 0 . , 0 . ) W h i t e d e n o t e s r e g u l a r m o t i o n ; o t t e r c o l o r s i n d i c a t e c h a o s .

0.100

0.0O0 0.25

Ineftia Ratio. K 0.50

F i g u r e 5 . C h a o s D i a g r a m o f L y a p u n o v E . x p o i i s e n t s f o r t h e I n i t i a l S t a t e ( 0 . , 0 . ) f o r S m a l l F c c e n t r i c i t i e s

12

0.00 0.00 0.25 a50

I n e r t i a F t e A i o , K 0.75 1.00

F i g u r e 6 . C h a o s D i a g r a m o f L y a p u n o v E x p o n e n t s f o r t h e I n i t i a l S t a t e ( ( ) . , . 5 )

1.3

0.00 0.00 0.25 ' aso ttpi \J00

Inertia Ratio. K

14

0 . 0 0 ' — ' — • • — ' — ' — • • ' — ' — ' — ' — ' — ' — ' — — ' — ' — ' — ' — ' — ' — ' 0 . 0 0 0 . 2 5 0 . 5 0 0 . 7 5 ' . 0 0

: A; v - ;t k i e r t i a F W f O , K

F i g u r e 1 0 . A r e a o f F i g u r e 4 to b e F n l a r g e d

0 . 0 0 Om 0 . 0 2 O J 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5

I n e r t i a R t f t ^ K

F i g u r e 1 1 . F n l a r g e m e n t o f C h a o t i c P e n i n s u l a o f F i g u r e 4

15... .

0 . 0 0 O J O I 0 . 0 2 O J 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5

I n e r t i a R E r t i o , K

F i g u r e 1 2 . A r e a o f F i g u r e 1 1 t o b e F n l a r g e d

0 . 0 0 7 5 0 0 . 0 1 0 0 0 O J O I 2 5 0 0 . 0 1 5 0 0

I n e r t i a R ^ , K

F i g u r e 1 3 . E n l a r g e m e n t , o f C h a o t i c P e n i n s u l a o f F i g u r e 1 1

16

K=.00750

K=.01050

f O M

-0.02-

K=.0105O

K=.00750

K=.01050

% =0.0

K=.01050

K=.01625 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 0.5200 0.5205 0.5210 0.6215 0.5220 0.5225 0.5230 0.5235 0.5240

K=.01625

Eccentricity

F i g u r e 1 4 . C o m b i n a t i o n o f F i g u r e 1 3 a n d o f a B i f u r c a t i o n D i a g r a m f o r . 5 2 0 < e < . 5 2 4 a n d f o r t h e I n i t i a l S t a t e ( 0 . , 0 . )

1 7

T h e f r a c t a l n a t u r e o f a t l e a s t a p o r t i o n o f t h e b o r d e r b e t w e e n r e g u l a r a n d c h a o t i c m o t i o n i s d i s p l a y e d i n F i g u r e s 1 0 - 1 3 t h r o u g h t w o s u c c e s s i v e e n l a r g e m e n t s o f a r e g i o n o f F i g u r e 4 . F i g u r e 1 0 i n d i c a t e s t h e a r e a o f F i g u r e 4 f o r t h e first e n l a r g e m e n t , a n a r e a c o n t a i n i n g o n e o f t h e p e n i n s u l a s f o r s m a l l v a l u e s o f K . T h e first e n l a r g e m e n t i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 1 a n d t h e a r e a f o r t h e s e c o n d e n l a r g e m e n t i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 . F i g u r e 1 3 d i s p l a y s t h e s e c o n d m a g n i f i c a t i o n . C o m p a r i s o n o f F i g u r e s 1 1 a n d 1 3 s h o w s t h e s e l f - s i m u l a r i t y b e t w e e n d i f f e r e n t s c a l e s w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c o f a f r a c t a l c u r v e .

A s a r o u g h c h e c k o f t h e a c c u r a c y o f t h e s e c h j i o s d i a g r a m s , a b i f u r c a t i o n d i a g r a m f o r rp' w a s c o n s t r u c t e d b y v a r y i n g e c c e n t r i c i t y w h i l e h o l d i n g i n e r t i a r a t i o c o n s t a n t a t A = . 0 1 0 5 f o r t h e i n i t i a l s t a t e ( 0 . 0 , 0 . 0 ) . T h i s p l o t o f t h e s o l u t i o n s o f ip\y s a m p l e d i n t h e s a m e m a n n e r a s f o r t h e P o i n c a r e m a p s a n d c o l l e c t e d f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f e c c e n t r i c i t y , w a s t h e n c o m p a r e d w i t h a g r a y - s c a l e v e r s i o n o f F i g u r e 1 3 . A c o m b i n e d p l o t , m a d e b y s p l i t t i n g t h e c h a o s d i a g r a m a t A = . 0 1 0 5 , a n d i n s e r t i n g t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m f o r t h e s a m e r a n g e i n e c c e n t r i c i t y , i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 4 . W e s e e t h a t t h e s t o c h a s t i c p o r t i o n s o f t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m a l i g n w e l l w i t h t h o s e o f t h e K = . 0 1 0 5 s l i c e o f t h e c h a o s d i a g r a m . F u r t h e r m o r e , w e n o t e t h a t t h e p o r t i o n s o f t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m o f r e g u l a r m o t i o n s u r r o u n d e d b y c h a o s d i s p l a y p e r i o d i c m o t i o n a t t h e i r c e n t e r s . H e n c e , t h e c e n t e r o f e a c h o f t h e " b a y s " o f r e g u l a r m o t i o n , l o c a t e d b e t w e e n t h e c h a o t i c p e n i n s u l a s o f t h e c h a o s d i a g r a m , a p p e a r s t o f e a t u r e a p e r i o d i c s o l u t i o n s u r r o u n d e d b y q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n s . F o r e x a m p l e , xp' a l t e r n a t e l y b o u n c e s b e t w e e n t h r e e s o l u t i o n s a t t h e c e n t e r o f t h e b i g g e s t r e g u l a r m o t i o n g a p a t i f = . 0 1 0 5 a n d e » . 5 2 1 5 .

Concluding Remarks

T h i s p a p e r e x t e n d s t h e n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e n o n l i n e a r p i t c h i n g d y n a m i c s o f a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e i n a n e l l i p t i c a l o r b i t a b o u t a c e n t r a l b o d y . T h e p r o b l e m i s c o n ­s t r a i n e d b y t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e s a t e l l i t e i s a r i g i d b o d y i n f l u e n c e d o n l y b y t o r q u e s from a n i n v e r s e - s q u a r e g r a v i t a t i o n a l field, a n d t h e s a t e l l i t e ' s m a j o r a x i s i s n o r m a l t o t h e o r b i t p l a n e . T h e r e s u l t a n t p l a n a r p i t c h i n g m o t i o n i s e i t h e r p e r i o d i c , q u a s i p e r i o d i c , o r c h a o t i c , d e ­p e n d i n g u p o n t h e i n i t i a l s y s t e m s t a t e a n d t h e v a l u e s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s , e c c e n t r i c i t y a n d s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o .

T h i s w o r k e m p h a s i z e d t h e n u m e r i c a l p r e d i c t i o n o f t h e t r a n s i t i o n f r o m r e g u l a r t o c h a o t i c m o t i o n t h r o u g h t h e u s e o f L y a p u n o v e x p o n e n t s , c o n t i n u i n g t h e w o r k o f K a r a s o p o u l o s a n d R i c h a r d s o n o f R e f e r e n c e [ 1 0 ] . S o m e o f t h e r e l a t i o n s h i p s o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s t o t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e s y s t e m w e r e e x p l o r e d w i t h c h a o s d i a g r a m s , w h i c h i n c o r p o r a t e t h e r e s u l t s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t c a l c u l a t i o n s i n t o a u s e f u l t o o l f o r p r e d i c t i n g t h e o n s e t o f c h a o t i c m o t i o n . I n c r e a s i n g e c c e n t r i c i t y , f o r e x a m p l e , t e n d e d t o i n c r e a s e t h e m a g n i t u d e o f t h e L y a ­p u n o v e x p o n e n t s f o r m o s t v a l u e s o f i n e r t i a r a t i o , a n d h e n c e s t r e n g t h e n t h e s t o c h a s t i c i t y o f t h e p i t c h i n g m o t i o n .

I t a p p e a r s t h a t c h a o s d i a g r a m s m a y b e c o n s t r u c t e d a n d u t i l i z e d a s a n e f f e c t i v e e n g i ­n e e r i n g t o o l f o r s a t e l l i t e o r b i t a n d h a r d w a r e d e s i g n , b y a l l o w i n g c h c i o t i c p i t c h i n g m o t i o n t o b e a v o i d e d t h r o u g h c a r e f u l s e l e c t i o n o f t h e o r b i t e c c e n t r i c i t y a n d t h e s a t e l l i t e i n e r t i a r a t i o . A s e r i e s o f e x a m p l e c h a o s d i a g r a m s c o n s t r u c t e d a b o u t t h e o r i g i n o f t h e p h a s e p l a n e d i s -

, 18

p l a y e d s e v e r a l i n t e r e s t i n g c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h w e r e i n v e s t i g a t e d i n a p r e c u r s o r y m a n n e r . P o r t i o n s o f t h e t r a n s i t i o n b o r d e r b e t w e e n r e g u l a r a n d c h a o t i c m o t i o n d i s p l a y e d a f r a c t a l n a t u r e . S e l f - s i m i l a r c h a i n s o f i s l a n d s o f r e g u l a r m o t i o n a p p e a r e d i n t h e s e a o f c h a o s i n s o m e o f t h e c h a o s d i a g r a m s .

F u t u r e w o r k w i l l c o n t i n u e t h e n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e p i t c h i n g m o t i o n f o r a g r a v i t y - g r a d i e n t s a t e l l i t e , i n c o r p o r a t i n g a t t i t u d e a n d o r b i t p e r t u r b a t i o n s d u e t o d a m p i n g a n d a n o b l a t e c e n t r a l b o d y .

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1 9

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