1  

 

 

 

 

第 3章    整数规划 

   

2  

第 3章的主要内容 

整数规划问题与模型 

整数规划算法 

  

 

 

 

 

3  

 

 

 

 

3.1    整数规划问题举例 

 

 

背背包问题

实例：一

（重量）

目标：选

价值 大

题 

一个背包

为 wi，

选择一些

大。 

包，容量为

价值 vi。

些物品装入

4 

为 W。n

 

入背包，

n 件物品

使其总容

，物品 i

容量   W

 

i 容量

W，总

5  

问题建模 

变量 xi –  是否选择物品  i。 

整数规划（0‐1规划）： 

max  i vixi 

s.t. i wixi  W 

xi  {0, 1} 

6  

集合覆盖（Set Cover）问题 

实例：基础集合 U = {e1, e2, …, en}，集合族 C = {S1, S2, …, 

Sm}，每一个集合 Si是 U 的一个子集。 

目标： 小数目的子集的集合族 C’  C，使得 C’中子

集的“并”包含（覆盖）U 中的所有元素。 

 

整数规划（0‐1规划）： 

定义判定变量 xi，xi = 1表示集合 Si被选取，xi = 0 表示

7  

集合 Si未被选取。 

min  i xi 

s.t.      Si: e  Si xi  1,        e  U 

xi  {0, 1} 

旅行售货员（TSP）问题 

实例：给定  n+1  个城市，任两个城市  vi  和  vj  之间

有一个距离 cij  0（cij = cji, cii = 0）。一个旅行售货员，

从城市  v0  出发，走遍所有的城市，再回到  v0。 

8  

目标：售货员应该怎样走，才能使走过的总距离 短？ 

 

9  

 图片来自 www.princeton.edu 

10  

TSP问题建模 

变量  xij：是否使用从城市  vi  到城市  vj  的路径。 

约束 

每个城市只能到达一次、离开一次。 

所走过的路径构成一个圈（不能多于一个圈）。   

11  

njix

nSx

njx

nix

xc

ij

SjSiij

n

iij

n

jij

jiijij

,,2,1,0,1,0

},2,1,0{1

,,2,1,0,1

,,2,1,0,1s.t.

min

,

0

0

 

12  

强制路径构成仅一个圈 

使用如下约束： 

nSxSjSi

ij ,,1,0,1,

 

13  

 

14  

整数线性规划的特征、模型 

特征—变量整数性要求 

问题本身的要求 

引入的逻辑变量的需要 

性质—可行域是离散点的集合 

整数线性规划的常见模型： 

一般整数规划模型——变量取值为整数。   

0‐1整数规划模型——变量取值为 0 或 1。   

15  

混合整数规划模型——部分变量取值为整数，部分

变量取值为实数。   

整数规划与线性规划的关系 

整数规划                        线性规划 

         

为整数， ixxbAx

xc

0s.t.

min

0s.t.

min

xbAx

xc

16  

线性规划是整数规划的放松。 

整数规划的可行解是对应的放松问题的可行解。 

放松的线性规划的 优值    整数规划的 优值。 

解整数规划 

对整数规划的几点说明： 

对放松问题的 优解进行简单的舍入（如，四舍五入）

不能得到整数规划的 优解。这样的整数解对于原整

数规划甚至是不可行的。 

17  

  整数可行解的数目可呈爆炸性增长，简单的枚举法不

18  

可取。 

算法 

求精确解：   

割平面算法 

分枝定界算法   

求近似解：   

舍入法   

原始‐对偶方法 

19  

 

 

 

 

3.2 Gomory割平面算法 

   

20  

割平面算法的基本思想[Gomory, 1958] 

用单纯形法解松驰问题(P0)，求到 优解 x0。 

若 x0是整数向量，则 x0是 ILP问题(P)的 优解，计算

结束。 

否则，根据 x0 设法对(P0)增加一个约束条件，称为割

平面条件。这个割平面条件将(P0)的可行域割掉一块，

且 x0在被割掉的区域中，而原 ILP的任何一个整数可行

解都没有被割掉。 

21  

记增加了约束条件的问题为(P1)。对(P1)继续上述过程，

直到求到一个整数 优解为止。 

说明 

如果在增加约束的过程中，得到的 LP 没有可行解，则

原 ILP没有可行解。 

如果得到的 LP 问题无界，则原 ILP问题或者无界，或

者没有可行解。 

22  

割平面生成方法 

给定整数规划问题 IP0，A, b, c 中的元素均为整数。 

设它的松弛问题为 LP0。用单纯形算法解 LP0，设求得

的 优 bfs为 x0，它的基为 B = (AB(1), AB(2), , AB(m))。 

为简便，记非基变量下标的集合为 N。 后一张单纯

形表所表示的 LP0的典式为： 

23  

mibxax

zxz

iNj

jijiB

Njjj

,,1,)(

0

 

为简便记，令 zxB )0( ， jja 0 ， 00 zb 。上式将统

一记为 

mibxax iNj

jijiB ,,0 ,)( 。 

若 ib 全为整数（0   i  m），则 x0为原问题 IP0的 优

解。 

24  

否则假设 lb 不是整数（0  l  m）。 lb 所对应的约束为： 

lNj

jljlB bxax

)( 。        (1)   

因为 0, jxj ，可知

Nj

jljNj

jlj xaxa。因此有 

lNj

jljlB bxax

)( 。由于所要求的 x 为整数向量，该

不等式可加强到 

lNj

jljlB bxax

)( 。      (2) 

25  

(1)  (2)，得： llNj

jljlj bbxaa 。将该式记为 

                              lNj

jlj fxf ，        (3) 

其中 0  flj < 1, j；0 < fl < 1，称为割平面条件。 

割平面条件(3)式是一个新的约束。将它加到 LP0 中，

得到更紧的松弛问题 LP1。 

将(3)式两端乘以1，再引入松弛变量 s，得到 

                            lNj

jlj fsxf ，称为割平面方程。 

26  

这样就得到 LP1 的一个基本（不可行）解和其对偶的

一个可行解，从而可使用对偶单纯形算法继续求解 LP1。 

注意 

在割平面条件 lNj

jlj fxf 中，有 ljljlj aaf 和

lll bbf 。 

当 0lja （以及 0lb ）时， ljf （以及 lf ）为 lja （以

及 lb ）的小数部分。 

27  

例： 25.1lja ， 25.0125.125.125.1 ljf 。 

当 0lja 时， ljf 等于 1  “ lja 的小数部分”。（ lb 总是 

 0） 

例： 25.1lja ， 75.0225.125.125.1 ljf 。 

 

割割平面算算法的流流程图 

28 

 

29  

算例 

整数,0,023

623s.t.

max

21

21

21

2

xxxx

xx

x

 

 

解解： 

30 

 

31  

将松弛问题 LP0化为标准型：

0,,,023

623..

min

4321

421

321

2

xxxxxxx

xxxts

x

, 

使用单纯形算法求解： 

  x1  x2  x3  x4   

z  0  1  0  0  0 

x3  3  2  1  0  6 

x4  3  2  0  1  0 

32  

  x1  x2  x3  x4   

z  3/2  0  0  1/2  0 

x3  6  0  1  1  6 

x2  3/2  1  0  1/2  0 

  x1  x2  x3  x4   

z  0  0  1/4  1/4  3/2

x1  1  0  1/6  1/6 1 

x2  0  1  1/4  1/4  3/2 

求到松弛问题 LP0的 优 bfs，不是整数解。 

33  

第 2 行生成的割平面条件为： 

21

41

41

43 xx ， 

割平面方程为： 

21

41

41

143 sxx 。 

加入割平面方程，得到松弛问题 LP1的单纯形表： 

  x1  x2  x3  x4  s1   

z  0  0  1/4  1/4  0  3/2

34  

x1  1  0  1/6  1/6 0  1 

x2  0  1  1/4  1/4  0  3/2 

s1  0  0  1/4 1/4 1  1/2

应用对偶单纯形算法继续求解 LP1。 

  x1  x2  x3  x4  s1   

z  0  0  0  0  1  1 

x1  1  0  0  1/3 2/3  2/3 

x2  0  1  0  0  1  1 

x3  0  0  1  1  4  2 

LP1的 优解为 x = (2/3, 1, 2, 0, 0)，仍然不是整数解。 

35  

第 1 行生成的割平面条件为： 

32

32

32

14 sx 。 

对应的割平面方程为： 

32

32

32

214 ssx 。 

加入割平面方程，得到松弛问题 LP2： 

  x1  x2  x3  x4  s1  s2   

z  0  0  0  0  1  0  1 

36  

x1  1  0  0  1/3 2/3  0  2/3 

x2  0  1  0  0  1  0  1 

x3  0  0  1  1  4  0  2 

s2  0  0  0  2/3 2/3 1  2/3 

继续用对偶单纯形算法求解。 

  x1  x2  x3  x4  s1  s2   

z  0  0  0  0  1  0  1 

x1  1  0  0  0  1  1/2 1 

x2  0  1  0  0  1  0  1 

x3  0  0  1  0  5  3/2  1 

37  

x4  0  0  0  1  1  3/2 1 

得到 LP2的 优解 x = (1, 1, 1, 1, 0, 0)，是整数解。 

因此原问题 IP0的 优解为 x* = (1, 1)。 

对算例的解释 

第 1 次切割，割平面条件为 

21

41

41

43 xx 。                (1) 

由问题 LP0，可知 

38  

213 236 xxx ，              (2) 

214 23 xxx                         (3) 

将(2)、(3)代入(1)，得到与(1)等价的割平面条件： 

                                12 x 。 

第 1 次切割，加入的割平面方程为 

21

41

41

143 sxx 。(4) 

将(2)  、(3)代入(4)，可将 s1写成 x1和 x2的线性组合： 

121 xs 。                  (5) 

39  

第 2 次切割，割平面条件为 

32

32

32

14 sx 。          (6) 

将(3)、(5)代入(6)，得到与(6)等价的割平面条件： 

                                021 xx 。 

 

   

40 

 

41  

 

 

 

 

3.3  分枝定界法 

   

42  

分枝定界法的基本思想 

将状态空间  U  一分为二。——分枝 

状态空间可以取  IP  的可行域，或者比其更大。 

进入一个状态空间  U’。若判定在  U’  内不可能找到比

当前已知解更好的解，则摒弃该搜索空间。——剪枝 

若在状态空间  U’  内能够找到更好的解，则用新的解

代替当前的已知解。——定界 

若在状态空间  U’  内已经找到了 好的解，则结束对 

43  

U’  的搜索。 

否则对状态空间  U’  继续分枝。 

整数规划的情形 

考虑整数规划问题 IP0，其松弛记为 LP0： 

整数,0s.t.min T

xbAx

xc

，    0s.t.min T

xbAx

xc

。 

求 LP0的 优解，记为 x0。若 x0为整数解，则已经求

44  

到了 IP0的 优解。 

否则设0ix 不为整数。向 IP0 中分别加入两个约束

0ii xx 和 0

ii xx ，得到两个整数规划问题 IP1和 IP2： 

整数,0

s.t.min

0

T

xxxbAx

xc

ii ，    整数,0

s.t.min

0

T

xxxbAx

xc

ii 。 

显然，若 IP0有 优解，则其 优解必定或者在 IP1上

取得，或者在 IP2上取得。 

45  

解 LP1，若其 优解不是整数解，则对 IP1继续进行分

枝……；解 LP2，若其 优解不是整数解，则对 IP2继

续进行分枝……。 

在这个过程中，若对某个 LPk，其 优解 xk为整数解，

且解值比当前已知的 IP0的整数解 x*的解值还要好，

则将 xk作为 IP0的当前已知 好解。 

若 LPk 的 优解不是整数解，且其解值 cTxk 比当前已

知的 IP0的 好的整数解的解值 cTx*还要差（即，cTxk  

cTx*），则放弃对 LPk的搜索。 

46  

重复上述过程，当整个状态空间（或者由于求到了整

数解，或者由于剪枝）都搜索完毕后，当前已知 IP0好的解 x*就是 IP0的 优解。 

47  

搜索树 

 

48  

例子 

解整数规划：

整数,0,21

1124124.s.t

min

21

2

21

21

21

xx

x

xxxx

xx

。 

解： 

49  

解 LP0， 优解为

T0

25

23

x

， 优解值 z0 = cTx0 = 4。 

在01x 上进行分枝，得到两个约束：x1  1和 x1  2。 

IP1

整数,0,121

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxx

x

xxxx

xx

，    IP2

整数,0,221

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxx

x

xxxx

xx

。 

50  

解 LP2 ， 优 解 为

T2

232

x

， 优 解 值

272T2 xcz 。 

在22x 上进行分枝，得到两个约束：x2  1和 x2  2。 

51  

IP3

整数,0,2

121

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxx

x

xxxx

xx

，    IP4

整数,0,22

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxxx

xxxx

xx

。 

解 LP3， 优解为 T3 125.2x ，解值 25.33T2 xcz 。 

在31x 上进行分枝，得到两个约束：x1  2和 x1  3。 

52  

IP5

整数,0,2

121

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxx

x

xxxx

xx

，    IP6

整数,0,3

121

1124124.s.t

min

21

1

2

21

21

21

xxx

x

xxxx

xx

。 

解 LP5， 优解为 T5 12x ， 优解值 33T5 xcz ，

将其保存为当前已知 IP0 的 好的解 T* 12x ，

53  

3* z 。 

解 LP6，无解（到达叶节点）。 

解 LP4，无解（到达叶节点）。 

解 LP1， 优解

T1

231

x

，解值*1T1

25 zxcz ，

剪枝。 

状态空间搜索完毕，求得 优解 T* 12x ，解值

3* z 。 

54  

例子的搜索树 

IP0

IP2 IP1

IP3 IP4

IP5 IP6

21 x 11 x

12 x 22 x

31 x21 x

35 z无解

无解

剪枝 251 z

T5 12x

 

55  

例子的搜索过程 

 

56  

 

分枝定界法解整数规划的算法 

1 活点集合  A  {IP0}，上界  U  +，当前 好的整

数解  x*  NIL。 

57  

2 while A   do   

3     从  A  中取出一个问题  IPk， 

并将  IPk从  A  中删除。 

4     解  LPk。 

5     if  无解  then  转  2 else  记 优解为  xk*，值为  zk*。 

6     if zk* < U then   

7         if xk*  是整数解  then x*  xk*，U  zk*   

else  选择  xk*  的一个非整数分量，生成 

IPk  的两个后代问题，加入 A。 

58  

8     endif   

9 endwhile   

10 if x* = NIL then  输出“IP0  无解”  else  输出解  x*。 

11 return   

线性规划舍入法 

解整数规划的一个方法，是将其放松为线性规划，解

线性规划得到分数 优解，再将分数 优解舍入为原

整数规划的近似解。   

59  

没有通用的舍入方法。必须针对具体的问题，设计不

同的舍入方法。   

举例：顶点覆盖问题 

实例：无向图 G = (V, E)。 目标：找 V 的一个最小尺寸的顶点覆盖（子集 V’，使得 V’包含 E 中每一条边的至少一个顶点）。

60  

整数规划： VvxEvuxx

x

v

vu

Vvv

}1,0{),(1s.t.

min

线性规划： VvxEvuxx

x

v

vu

Vvv

0),(1s.t.

min

舍入方法： 设 x 是顶点覆盖 LP 的最优解。构造整数解 x 如下：

61  

o.w.,021,1 v

vxx

。

分析： x 是一个顶点覆盖。 证明：任取一条边 e = (u, v)。因为 x 是一个可行解，

因此有 xu + xv 1。这表明 xu和 xv中必至少有一个

1/2。即， ux 和 vx 中至少有一个为 1。因此， x 是一个

顶点覆盖。

x 的解值 xSOL 不超过最优解值 OPT 的 2 倍。

 

例

证明：

例子： 

SOL x Vv

vx

62 

2 Vv

vx OPT2。

 

63  

OPTf = 3/2  OPT = 2  SOL = 3  SOL  2OPT   

   

 

 

 

 

64