Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I...
Transcript of Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I...
![Page 1: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/1.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Richiami di Cinematica piana
Prof. Ettore PennestrıUniversita Roma Tor Vergata
![Page 2: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/2.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 2 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. IntroduzioneLa Cinematica e quella scienza che studia il moto dei corpiindipedentemente dalle cause che l’hanno provocato.Lo studio delle proprieta cinematiche dei moti rigidi epreliminare a qualsivoglia modellazione di sistemi fisici.Scopo della presente trattazione e quello di richiamare alcunerelazioni fondamentali dei moto rigidi.Per semplicita la trattazione e limitata al caso piano.Testo consigliato per un’introduzione all’argomento:Di Benedetto, A., Pennestrı, E., Introduzione alla Cinematicadei Meccanismi, Casa Editrice Ambrosiana, vol. 2 e 3.
![Page 3: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/3.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 3 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Il centro di istantanea rotazioneSi puo dimostrare l’esistenza di un punto P0 del corpo rigidocaratterizzato da velocita nulla.Tale punto e definito quale centro di istantanea rotazione(c.i.r.).Per dimostrare l’esistenza di un punto con tali caratteristicheconsideriamo lo schema di Figura 1.
Figura 1: Nomenclatura
![Page 4: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/4.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 4 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Dalla geometria presentata possono ottenersi le relazioni
XM = a + xM cosφ− yM sinφ , (1a)YM = b + xM sinφ + yM cosφ (1b)
che restituiscono la posizione assoluta del punto M nelriferimento assoluto.
![Page 5: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/5.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 5 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Derivando rispetto al tempo otterremo le componenticartesiane della velocita del punto M
dXM
dt= a− xM φ sinφ− yM φ cosφ , (2a)
dYM
dt= b + xM φ cosφ− yM φ sinφ (2b)
Volendo determinare la posizione del c.i.r. P0 imponiamo chele componenti della sua velocita siano nulle.
![Page 6: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/6.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 6 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Pertanto, particolarizzando le (2) perM ≡ P0 e posto XP0=
YP0= 0, si ha
−xP0φ sinφ− yP0
φ cosφ = −a , (3a)
+xP0φ cosφ− yP0
φ sinφ = −b (3b)
![Page 7: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/7.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 7 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Risolvendo il sistema lineare rispetto ad xP0ed yP0
si ha
xP0=a sinφ− b cosφ
φ,
yP0=a cosφ + b sinφ
φ
(4a)
(4b)
Sostituita la soluzione in (1) si ha
XP0= a− b
φ,
YP0= b +
a
φ,
(5a)
(5b)
![Page 8: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/8.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 8 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
In definitiva poiche la soluzione del sistema (3)
• esiste sempre (Il determinante della matrice dei coeffi-cienti e sempre 6= 0;
• e unica
resta dimostrata l’esistenza ed unicita del c.i.r.
![Page 9: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/9.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 9 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Cinematica del puntoDato un punto M che percorre una traiettoria espressa dauna funzione continua e derivabile, sia ~r(t) il vettore cheindividua la posizione assoluta di tale punto sulla traiettoria.
Si definisce velocita ~v(t) del punto M il limite del rapportoincrementale
~v(t) = lim∆t→0
~r(t + ∆t)− ~r(t)∆t
= lim∆t→0
∆~r
∆t(6)
![Page 10: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/10.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 10 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Velocita
Figura 2: Nomenclatura
Se la velocita di M viene misurata in funzione dell’ascissacurvilinea s, allora
~v(t) = sτ , (7)
essendo τ il versore della tangente alla traiettoria in M .
![Page 11: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/11.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 11 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Accelerazione
Figura 3: Nomenclatura
L’accelerazione del punto M vale
~a(t) = lim∆t→0
~v(t + ∆t)− ~v(t)
∆t= lim
∆t→0
∆~v
∆t. (8)
![Page 12: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/12.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 12 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
In alternativa, considerata l’espressione (7) della velocita,avremo
~a(t) =d
dt(sτ ) . (9)
Figura 4: Nomenclatura
![Page 13: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/13.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 13 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Con riferimento alla geometria della Figura 4, sia dθ l’angoloinfinitesimo che sottende l’arco ds nel centro di curvatura Ωdello stesso.La precedente relazione puo esprimersi nella forma
~a = sτ + sdτ
dt(10)
Essendodτ
dt=dτ
dθ
dθ
ds
ds
dt(11)
~a =sτ + sdτ
dt
=sτ + sdτ
dθ
dθ
ds
ds
dt. (12)
![Page 14: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/14.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 14 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Inoltre, essendo
dθ
ds=
1
MΩ=
1
ρ(13)
edτ
dθ= n , (14)
con n versore della normale alla traiettoria diretto daM versoΩ, la precedente equazione diventa
~a = sτ +s2
ρn
In definitiva l’accelerazione di un punto puo scomporsi in unacomponente tangenziale ed in una normale alla traiettoria.
![Page 15: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/15.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 15 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6. Derivate di un vettore rispetto altempoDesignato con ~r = rr un versore di modulo r e versore r, laderivata di ~r risulta essere:
d~r
dt=d (rr)
dt= rr + r
dr
dt. (15)
Figura 5: Nomenclatura
![Page 16: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/16.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 16 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
D’altra parte se r(t) ed r(t + ∆t) sono le posizioni assuntedal versore agli estremi dell’intervallo di tempo ∆t, sussistela relazione
dr
dt= lim
∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
k × r∆θ
∆t= θk × r ,
(16)essendo
• k il versore della normale al piano contenente le posizioniestreme del versore;
• θ il modulo del vettore velocita angolare
~ω = θk . (17)
![Page 17: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/17.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 17 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Derivata di un versore o di un vettore il cui modulo e costante:
dr
dt= ~ω × r
Se il modulo del vettore e variabile:
d~r
dt= rr + ~ω × ~r
![Page 18: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/18.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 18 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Derivando ancora una volta rispetto al tempo avremo
d2~r
dt2= rr + r
dr
dt+d
dt(~ω × ~r)
= rr + r (~ω × r) +d~ω
dt× ~r + ~ω × d (rr)
dt
= rr + ~α× ~r + r (~ω × r) + ~ω ×(rdr
dt+ r
dr
dt
)= rr + ~α× ~r + ~ω × (~ω × ~r) + 2~ω × rr (18)
![Page 19: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/19.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 19 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
In definitiva si ha
d2~r
dt2= rr + ~α× ~r − ω2~r + 2~ω × rr .
![Page 20: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/20.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 20 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Componenti dell’accelerazione• rr: Accelerazione di trascinamento
• ~α × ~r: Componente tangenziale dell’accelerazionerelativa
• −ω2~r: Componente normale dell’accelerazione relativa
• 2~ω × rr: Accelerazione di Coriolis
![Page 21: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/21.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 21 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
7. Velocita dei punti di un corpo rigido
Figura 6: Nomenclatura
Dalla geometria di Figura 6 avremo
~rB = ~rA +−→AB . (19)
![Page 22: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/22.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 22 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Derivando rispetto al tempo i vettori presenti avremoDerivando rispetto al tempo i vettori presenti avremo
d~rBdt
=d~rAdt
+d−→AB
dt. (20)
~vB = ~vA + ~ω ×−→AB . (21)
![Page 23: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/23.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 23 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Il termine ~ω ×−→AB rappresenta la velocita relativa del punto
B rispetto ad un osservatore posto in A, ovvero
~vBA = ~ω ×−→AB . (22)
Figura 7: Velocita relativa tra due punti di un corpo rigido
![Page 24: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/24.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 24 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Se A ≡ P0, la (21) si particolarizza nella seguente
~vB = ~ω ×−−→P0B . (23)
![Page 25: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/25.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 25 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
8. Accelerazioni dei punti di un corporigidoDerivando rispetto al tempo la relazione (21) si ha
~aB = ~aA +d(~ω ×−→AB
)dt
= ~aA + ~α×−→AB + ~ω × d
−→AB
dt
= ~aA + ~α×−→AB + ~ω ×
(~ω ×−→AB
)= ~aA + ~α×
−→AB + ω2−→BA (24)
![Page 26: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/26.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 26 of 41
Go Back
Full Screen
Close
QuitFigura 8: Accelerazione relativa tra due punti di un corporigido
![Page 27: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/27.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 27 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Accelerazioni di punti appartenenti allo stesso corpo rigido
~aB = ~aA + ~α×−→AB + ω2−→BA
• ~aB: Accelerazione assoluta del punto B
• ~aA: Accelerazione di trascinamento (Accelerazione delpunto A)
• ~a tBA = ~α×
−→AB: Componente tangenziale accelerazione
relativa
• ~a nBA = ω2
−→BA: Componente normale accelerazione
relativa
![Page 28: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/28.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 28 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
FinalitaMettere in relazione le caratteristi-che cinematiche dei punti A2 ed A1appartenenti a corpi distinti
![Page 29: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/29.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 29 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
9. Velocita di punti appartenenti a corpidistintiSiano B1 e B2 due corpi mobili eA2 un punto di quest’ultimoistantaneamente sovrapposto al punto A1 del primo.
Figura 9: Caratteristiche cinematiche di punti distinti
![Page 30: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/30.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 30 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Dalla geometria della Figura 9 sussiste la relazione
~RA2= ~RΩ1
− ρn .
Derivando rispetto al tempo avremo
d~RA2
dt=d~RΩ1
dt− d (ρn)
dt,
ovvero
d~RA2
dt=d~RΩ1
dt− dρ
dtn− ρdn
dt=d~RΩ1
dt− ρdn
dt, (25)
in quanto ρ = A2Ω1 si puo ritenere costante per 2 motiinfinitesimi.
![Page 31: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/31.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 31 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Posto
~vΩ1=d~RΩ1
dt,
~vA2=d~RA2
dt,
e tenuto conto delle uguaglianze
~ω2 = ~ω1 + ~ω21 ,
~ω21 =dφ
dtk = φk ,
la (25) diventa
~vA2= ~vΩ1
− ~ω1 × ρn− φk × ρn . (26)
![Page 32: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/32.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 32 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Interpretazione dei termini:
• ~vA1Ω1= −~ω1 × ρn = ~ω1 ×
−−→Ω1A1;
• ~vA2A1= −φk × ρn = ~ω21 ×
−−→Ω1A1.
In definitiva la (27) diventa
~vA2= ~vΩ1
+ ~vA1Ω1+ ~vA2A1
= ~vA1+ ~vA2A1
. (27)
Relazione tra velocita punti appartenenti a corpi distinti
~vA2= ~vA1
+ ~vA2A1
![Page 33: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/33.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 33 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Utile uguaglianza vettoriale:
~a×(~b× ~c
)≡ ~b (~a · ~c)− ~c
(~a ·~b
)(28)
![Page 34: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/34.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 34 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
10. Accelerazioni di punti appartenenti acorpi distintiLa derivata rispetto al tempo della (27) fornisce
d~vA2
dt=d~vΩ1
dt− d
dt(~ω1 × ρn)− d
dt
(φk × ρn
).
Tenuto conto che e
dn
dt=(~ω1 + φk
)× n , (29)
![Page 35: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/35.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 35 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Derivate temporali dei singoli termini
d~vΩ1
dt= ~aΩ1
− ddt
(~ω1 × ρn) = −~α1 × ρn− ~ω1 ×[(~ω1 + φk
)× ρn
]− ddt
(φk × ρn
)= −φk × ρn− φk ×
[(~ω1 + φk
)× ρn
]
![Page 36: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/36.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 36 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Sostituendo:
~aA2=~aΩ1
− ~α1 × ρn− ~ω1 ×[(~ω1 + φk
)× ρn
]− φk × ρn− φk ×
[(~ω1 + φk
)× ρn
]=~aΩ1
− ~α1 × ρn + ω21ρn− ~ω1 ×
(φk × ρn
)− φk × ρn− φk × (~ω1 × ρn) + φ2ρn .
![Page 37: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/37.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 37 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Se si pone
• ρn =−−→A1Ω1 =
−−→A2Ω1;
• ~aA1= ~α1 ×
−−→Ω1A1 + ω2
1
−−→A1Ω1, accelerazione assoluta di
A1 (moto trascinamento);
• ~a tA2A1
= φk×−−→Ω1A2 = φΩBτ , componente tangenziale
accelerazione relativa di A2 rispetto ad A1;
• ~a nA2A1
= φ2−−→A2Ω1, componente normale accelerazione
relativa di A2 rispetto ad A1;
![Page 38: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/38.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 38 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
I seguenti termini
− φk × (~ω1 × ρn)− ~ω1 ×(φk × ρn
)= −~ω1 ×
(φk × ρn
)− ~ω1 ×
(φk × ρn
)= 2~ω1 × ~vA2A1
forniscono l’accelerazione complementare o di Coriolis.
In definitiva, la relazione tra le accelerazioni di punti A2 edA1 appartenenti a corpi distinti risulta essere
~aA2= ~aA1
+ ~a tA2A1
+ ~a nA2A1
+ 2~ω1 × ~vA2A1.
![Page 39: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/39.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 39 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Riassunto equazionifondamentali analisi
cinematica
![Page 40: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/40.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 40 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Punti A e B appartenenti almedesimo corpo rigido
• Velocita
~vB = ~vA + ~ω ×−→AB .
• Accelerazioni
~aB = ~aA + ~α×−→AB + ω2−→BA
![Page 41: Cenni cinematica piana - download.meccanica.science · Home Page Title Page Contents JJ II J I Page1of41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr`ı](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022041203/5d516eae88c993e16a8b8786/html5/thumbnails/41.jpg)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 41 of 41
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Punti A2 e A1 appartenenti acorpi rigidi distinti
• Velocita~vA2
= ~vA1+ ~vA2A1
• Accelerazioni
~aA2= ~aA1
+ ~a tA2A1
+ ~a nA2A1
+ 2~ω1 × ~vA2A1.