1/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷニュートリノ振動は、精製時・観測時と飛行時の状態が違うことにより発生し、

生成されるニュートリノ ( ), ,e m tn n n は、組になる ( ), ,e m t- - - を観測することで、

( ), ,e m tn n n として観測される。

( ), ,e m tn n n ：フレーバーニュートリノ（flavor neutrino）と呼ばれる

弱い相互作用：3 3 3

0 0 0

12 eW We Wm m m

m m mm

mm m

tn m n t ng g g- - - -

=

- -

= =

æ ö+ + +ç ÷

è øå å å

生成されるニュートリノ ( ), ,e m tn n n は、生成された瞬間に違う状態 ( )1 2 3, ,n n n に変貌

し、量子力学に従って時間経過し飛行する。

( )1 2 3, ,n n n ：質量固有状態ニュートリノ（neutrino mass eigenstate）と呼ばれる。

量子力学：

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1 1 1†

2 2 2

3 3

1

33

2

0000

00

ˆe et t

di t H t Udt

t tU

t

m

t

m

n n n nn n

n nn n n nn n n n n n

æ ö æ ö æ ö æ öæ öç ÷ç ÷ = ç ÷ç ÷

ç ÷ ç ÷è

æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷= Ü = Üç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ÷ç ø è÷ ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø øø è

【2 世代の例】( )( )

( )( )

1

22

1 0cos sin0sin cos

00

e Um

nq qnq q

n nn n

- æ öæ ö= ç ÷ç

æ öæ ö= ÷

è øèç ÷ç ÷

ø è ø øè

とまとめられる。原因は、ニュートリノの質量を直接観測できないことに依る。模式図で表

わすと、

陽子（p）中性子（n）

uud

udd

e-

en

W -

3n

2n1n

= 2n¢1n¢

3n ¢

中性子崩壊による生成

量子力学による時間発展

フレーバーニュートリノ

質量固有状態ニュートリノ

= mnen

tn

e-

W -en

e-弱い相互作用による生成電子観測

フレーバーニュートリノ

太陽ニュートリノは、太陽内の核融合で生成される電子ニュートリノで、太陽から放出され、

地球上のニュートリノ観測所で観測される。量子力学による飛行時には、通常、ニュートリ

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ノは、宇宙空間などで、自由に飛行できる（真空中の飛行）。ところが、太陽内部の飛行では、

大量の電子が存在するため、 " "e ee W en n- - -+ ® ® + 等が頻繁に起こり、電子ニュートリノの

飛行の仕方に無視できない影響を与えることがわかっている（物質中の飛行）。その結果、真

空中のニュートリノ振動理論に大幅な変更が加わる。1

太陽ニュートリノ

太陽の中での核融合反応によりニュートリノが生成される。弱い相互作用で生成されるニ

ュートリノは電子ニュートリノになる。とくにボロン 8（8B）から生成される電子ニュート

リノを地球上で観測ターゲットにする。そのエネルギーは太陽の標準モデルにより 1～10 MeV であり、このエネルギーのニュートリノが観測にかかるように実験機器を設定しておく。

ニュートリノの飛行距離は、太陽と地球の距離の約 1011ｍである。

太陽ニュートリノ観測結果によると、地球にくるニュートリノの数が太陽の標準模型より

の期待する理論値のニュートリノの数の約半分（スーパーカミオカンデ観測）であることが

示された。

12

=電子ニュートリノ数の観測値

約電子ニュートリノ数の理論値

(6.1)

1968 年にデービスにより最初に発見された太陽ニュートリノ振動

2000 年にスーパーカミオカンデにより再確認された太陽ニュートリノ振動

太陽ニュートリノの飛来の様子は、太陽から放出された電子ニュートリノが宇宙空間を飛行

1 Lincoln Wolfenstein (1978)により提案され、Stanislav P.Mikheyev と Alexei Y.Smirnov (1986)によって太陽内のニ

ュートリノ振動にも拡張され、MSW 効果と呼ばれる

電子ニュートリノ数の理論値

電子ニュートリノ数観測の 値

電

電

子

子ニ

ニュ

ュートリ

ートリノ

ノ数の観測値

数の理論値

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する。その様子を、模式図で表わすと・・・

m1011

Bfrom 8en 08.047.0 ±=

理論

観測

である。この場合は

( )( )

( ) ( )2 11 10 211

MeV 1 10 MeV10 eV

m 10E

mL

- -D = = ～～～ O (6.2)

なる。大雑把に

2 2m mnD (6.3)

とすると、ニュートリノの質量として

( )510 eVmn-= O (6.4)

になる。残念ながら、この振動は、実験結果から排除された。そこで、

太陽内部には電子が一杯あって、宇宙空間と違って、電子ニュートリノは電子と多

重散乱する

太陽から脱出後、宇宙空間の飛行に移る

を考慮する必要がある。太陽内部の電子と電子ニュートリノの散乱は

４体フェルミ似相互作用

で記述できることが分かっている。

４体フェルミ相互作用とニュートリノ

弱い相互作用は近似的に４体フェルミ相互作用で記述され、太陽内部の物質（電子・陽子・

中性子）とニュートリノの相互作用で終状態にニュートリノを放出するのは

電子 陽子・中性子

tmn ,,e sntmn ,,e

電子

en

太陽内部ではν e が生成される

Z Z

W

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と図示できる。2ステライルニュートリノ（ sn ）は

全く loc locL YSU(2) ×U(1) の弱い相互作用をしない第４番目のニュートリノ

である。３世代ニュートリノ以外にしばしばW ±と Z とまったく相互作用しないこのようなス

テライルニュートリノが導入される。

太陽中では、

核融合にてニュートリノが生成されるので電子ニュートリノ

が対象になるニュートリノである。生成された電子ニュートリノは、当然太陽中に存在する

電子と散乱する。その結果見かけ上ポテンシャル項をとうして質量が現れる。つまり、

( ) ( )( ) ( )( )5 5( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2e

FeL eL e e

GL x i m x e x x x e xmn mn n g g n n g g= ¶/ - + - - (6.5)

Fiertz 変換により４体フェルミ相互作用項は

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

5 5

00 5

† 0

† 0

0

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2

( ) ( ) ( ) 1 ( )2

( ) ( ) 2 ( ) ( )2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Fe e

Fe e

FeL eL

F eL eL

induced e e

G e x x x e x

G e x e x x x

G e x e x x x

G e x e x x x

E x x

mmg g n n g g

g n g g n

n g n

n g n

n g n

- -

Þ - +

= +

= +

Þ +

太陽 太陽

太陽 太陽

太陽 太陽

(6.6)

以下詳しく調べてみる。標準模型でのラグランジアンでは

( ) ( )5 51 12F

ch e eG e e m

mn g g g g né ù é ù= - -ë ûë ûL (6.7)

( )

( ) ( ) ( )

2 2 25 5 5

5 5 5

8 41 sin 1 sin 1 4sin3 32

1 1 1

Fn w w w

e e

G u u d d e em m m

m m mm m t t

g q g g q g g q g

n g g n n g g n n g g n

é ùæ ö æ ö= - - - - - - - -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûé ù´ - + - + -ë û

L(6.8)

と記述する（問題１）。

ここで Fiertz 変換を使用する。つまり、

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

(1) (2) (3) (4)5 5

(1) (4) (3) (2) (1) (4) (3) (2)

1 1

A AAAc

mmy g g y y g g y

y y y y y y y y

- -

= G G º Ä Äå(6.9)

の左辺から右辺への移行を Fiertz 変換と呼ぶ。ただし、

2 太陽内部では核融合の過程で en が放出される。放出されたニュートリノ en は原理的・理論的には太陽内部を

飛行中に振動効果により他のニュートリノに変化し、ほんの僅かに ,m tn （や sn ？）が現れる。

5/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

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5 5

( ), ( ), ( ), ( ), ( )

A I A calar A ector A ensorA xial Vector A seudo Scalar

m mn

m

g s

g g g

G = = = =

= =

S V TA P

(6.10)

である。具体的には、

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )

(1) (4) (3) (2) (1) (4) (3) (2) (1) (4) (3) (2)5 5

(1) (4) (3) (2) (1) (4) (3) (2)5 5

(1) (4) (3) (2)

A AA S PA

V A

T

c c I I c

c c

c

m mm m

mnmn

y y y y y y y y y g y y g y

y g y y g y y g g y y g g y

y s y y s y

G G = +

+ +

+

å(6.11)

である。そこで(6.9)のように (2) (4)y y« を実現すれば、

( ) ( ) ( ) ( )5 51 12F

ch e e e eG e e e em

mn g g g g n n né ù é ù= - - Þ Ä Äë ûë ûL (6.12)

になり、その結果、†e e e eÄ Þ =電子密度 (6.13)

のように電子密度に関連付けられる。そこで、

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

(1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)5 5 5 5

(1) (4) (3) (2) (1) (2) (3) (4)

1 1 1 1

A A A A

rsabm mm a b r s m

as rb

a b r s

y g g y y g g y y y y y g g g g

y y y y y y y y

- - = - -

G G = - G G(6.14)

として、

( )( ) ( )( ) ( ) ( )5 51 1 A AAAc

rs as rbab mmg g g g- - = - G Gå (6.15)

が成立する。さらに

( ) ( )25 51 2 1g g- = - (6.16)

を利用すると

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5 5 5 54 1 1 1 1A AAAc

rs as rbab mmg g g g g g- - = - G - G -å (6.17)

１）両辺に ( ) ( ),br sal

lg g を乗じて (a , b )と( r ,s )の Tr をとる。

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

5 5

5 5

4Tr 1 1 256

Tr 1 Tr 1 64A AAAc c

l mm l

ll

g g g g g g

g g g g -

- - = -

- G - G - = -å V A

(6.18)

ここに、Aå は

( )( )5 51 1 0g g- + = (6.19)

に注意しての(6.11)代わりに

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

5 5 5 5

5 5 5 5

1 1 1 1

1 1 1 1

A AA S P S PA

V A V A

T

c c c

c c

c

as rb as rb as rb

as asrb rbm mm m

as rbmnmn

g g g g

g g g g

s s

- +

- +

G G = - - + + +

+ - - + + +

+

åg g g g (6.20)

とできる。これを用いて

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

5 5

5 5

4Tr 1 1 256

Tr 1 Tr 1 64A AAAc c

l mm l

ll

g g g g g g

g g g g -

- - = -

- G - G - = -å V A

(6.21)

を得る（問題２－A）。

２）それ以外は

0S P S P V A Tc c c c- + += = = = (6.22)になる（問題２－B）。

これから

256 64 4c c- -- = - Þ =V A V A (6.23)

を得るので

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5 5 5 54 1 1 4 1 1rs rbab asm m

m mg g g g g g g g- - = - - - (6.24)

故に

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

(1) (2) (3) (4)5 5

(1) (2) (3) (4)5 5

1 1

1 1

rsab mr b r s m

rbas mr b r s m

y y y y g g g g

y y y y g g g g

- -

= - - -(6.25)

つまり

( ) ( ) ( ) ( )(1) (2) (3) (4) (1) (4) (3) (2)5 5 5 51 1 1 1m m

m my g g y y g g y y g g y y g g y- - = - - (6.26)

である。これを Fiertz 変換といい、

V-A 型は Fiertz 変換に対して不変である

性質がある。

太陽内のニュートリノ有効相互作用

これを適用して、太陽内の電子や陽子・中性子とニュートリノの相互作用の影響を調べる。

そのために、

平均場近似を用いる

こととなる。さて、

512eL egn n-

º (6.27)

を用いると

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( ) ( ) ( ) ( )

( )

Fiertz trans.

5 5 5 5

5

1 1 1 12 2

2 1

F Fch e e e e

F eL eL

G Ge e e e

G e e

m mm m

mm

n g g g g n n g g n g g

n g n g g

é ù é ùé ù é ù= - - = - -ë û ë ûë û ë û

é ù é ù= -ë ûë û

L(6.28)

になる。同様に

( )2 2 25 5 5

8 42 1 sin 1 sin 1 4sin3 3

n F w w w

eL e L L L L

G u u d d e em m m

m m mm m t t

g q g g q g g q g

n g n n g n n g n

é ùæ ö æ ö= - - - - - - - -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûé ù´ + +ë û

L

(6.29)を考慮する。

これに平均場近似を適用しニュートリノの有効相互作用を導く。太陽では核融合の過程から

電子ニュートリノが放出され地球に到達する。電子ニュートリノに着目すると運動方程式は

( ) ( )e e

C C C CeL eL eL eR eR eL ch n eL eL eL eR eR eL ch ni m mm m

m n m nn g n n n n n n g n n n n n= ¶ - + + + = - ¶ - + + +

L L L L L

(6.30)から

( ) eLeLm

m nn

æ ö¶ ¶ç ÷¶ =ç ÷ ¶¶ ¶è ø

L L (6.31)

で導かれる（問題３―Ａ））ので、

( )( ) ( )

( ) ( )

5

2 2 25 5 5

2 1

8 4 2 1 sin 1 sin 1 4sin3 3

e

CeL eR F eL

F w w w eL

i m G e e

G u u d d e e

m mm n m

m m mm

g n n g g g n

g q g g q g g q g g n

é ù- ¶ = - + -ë û

æ öé ùæ ö æ ö+ - - - - - - - -ç ÷ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûè ø

(6.32)

を得る（問題３―Ｂ））これから、平均場近似に移行すると非相対論的影響のみ考慮するので

ポテンシャル項（ 0g 成分）のみ、かつ 5g 項は無視できる (6.33)

ことがわかる（問題４）。 eLn の係数が平均場の中での値（ポテンシャル項）として置き換え

られる。その結果、運動方程式を

( )0 0e

ch n CeL eRi V V mm

m ng g n né ù¶ + + - =ë û (6.34)

ここで

†2chFV G e e= < >

8/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

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( )2 † 2 † 2 †8 42 1 sin 1 sin 1 4sin3 3

nF w w wV G u u d d e eq q qé ùæ ö æ ö= - < > - - < > - - < >ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

(6.35)

になる。少し書き換えて

( ) ( )0 0e e

ch n C ch n CeL eR eL eRp V V m E V V mm

m n ng g n n g n né ù é ù+ + - = + + - -ë û ë ûγp (6.36)

になるので、電子ニュートリノのエネルギーは

e

ch nE E V Vn = + + (6.37)

に変化する。また、ミューニュートリノやタウニュートリノ（ ,m tn ）の荷電相互作用、 chL に

は ( ) ( )5 51 1e e mm tn g g tg g né ù é ù- -ë ûë û があるが、(6.35)を導くと同様の手続きで

( ) ( ) ( )†

5 5 51 1 2 12

e eF

e F eL LG e G em m

m t m tn g g tg g n n g n tg g< >é ù

é ù é ùé ù ê ú- - = -ë ûë û ë û ê úë û

を与えない

(6.38)

になるので、 †e e< >の項からの効果ない。

以上をまとめると

en e

ch nE E V Vn = + +

,m tn,

nE E Vm tn = +

sn sE En =

( )

†

2 † 2 † 2 †

28 42 1 sin 1 sin 1 4sin3 3

chF

nF w w w

V G e e

V G u u d d e eq q q

= < >

é ùæ ö æ ö= - < > - - < > - - < >ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

(6.39)

である（問題５）。この表式がニュートリノ振動の解析に使用される。特に、電子ニュートリ

ノの場合には、エネルギー固有値がch nE V V+ + (6.40)

に変更されるので

( )0 0( ) exp( ) ( ) ;ch ne et iH t t H E V V t t tn n= - D = + + D = - (6.41)

になる。

物質によるニュートリノ振動

このエネルギーの表式を使用してもう一度ニュートリノ振動を調べてみよう。平均場の影響

9/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

は弱い相互作用を通してあらわれるので、( ),e mn n が基準になる。対応する時間発展は、(5.43 )

を用いると

( )2

3 1cos 2 sin 24vacmHE

s q s qD= - - 、

( ) ( )( ) ( )

e evac

t ti H

t tt m m

n nn næ ö æ ö¶

=ç ÷ ç ÷¶ è ø è ø(6.42)

1

2

( ) ( )cos sin( ) ( )sin cos

e t tt tm

n nq qn nq qæ ö æ öæ ö

=ç ÷ ç ÷ç ÷-è øè øè ø(6.43)

で記述される。ここで、平均場の影響を取り入れると、

00

ch n

vac n

V VH H

Væ ö+

= + ç ÷è ø

(6.44)

になる。ここで、全体にかかる位相は物理的に意味がなくなるので

30 22 20

ch n ch n ch

vac vacn

V V V V VH H H IV

sæ ö+ +

= + = + +ç ÷è ø

(6.45)

より、結果として

3

2

ch

matter vacVH H s= + (6.46)

を得る（問題６）。また

( )2

3 1cos 2 sin 24vacmHE

s q s qD= - - (6.47)

を代入して、整理すると

2 23 1cos 2 sin 2

4 2 4

ch

matterm V mHE E

q s s qæ öD D

= - + +ç ÷è ø

(6.48)

になる。

今回は、平均場による余分な項があるので、

1

2

( )( ) cos sin( )( ) sin cos

e tttt m

nn q qnn q q

- æ öæ ö æ ö= ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

(6.49)

で

1 11

2 22

( ) ( )0( ) ( )0t tm

it tmt

n nn n

æ ö æ öæ ö¶=ç ÷ ç ÷ç ÷¶ è øè ø è ø

(6.50)

のように対角型にはならない。そこで、あらたに

10/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

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1 1

2 2

( ) cos sin ( ) ( )( ) sin cos ( ) ( )

M Me M M

MM MM M

t t tU

t t tm

n q q n nn q q n næ ö æ ö æ öæ ö

= ºç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷-è øè ø è ø è ø(6.51)

により対角化する。対角化されたハミルトニアンを diagmatterH とすると

†diagmater M matter MH U H U= (6.52)

が条件になる（問題７）。平均場近似での時間発展は

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

M MdiagmatterM M

t ti Ht t t

n n

n n

æ ö æ ö¶ ç ÷ ç ÷=¶ ç ÷ ç ÷è ø è ø

(6.53)

になる。

計算を実行しよう。

2 23 1 3 1

2 2

†

cos 2 sin 24 2 4

cos 2 , sin 24 2 4

ch

matter

ch

diagmatter M mater M

m V mH A BE E

m V mA BE E

H U H U

q s s q s s

q q

æ öD D= - + + º - +ç ÷è ø

D D= - =

=

(6.54)

故に、

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

cos sin cos sinsin cos sin cos

cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin

cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin

M M M Mdiagmatter

M M M M

M M M M M M M M

M M M M M M M M

A BH

B A

A B B A

B A A B

q q q qq q q q

q q q q q q q q

q q q q q q q q

- -æ ö æ öæ ö= ç ÷ ç ÷ç ÷ -è øè ø è øæ- - - - -ç=ç - - - +è

ö÷÷ø

(6.55)を得る。これを対角型すると

3 2 2diagmatterH A Bs= - + (6.56)

になり、混合角 Mq は

2 2 2 2sin 2 , cos 2M M

B AA B A B

q q= =+ +

(6.57)

で与えられる（問題８）。以上から、

11/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

1 1 3 2 2

2 2

12 2 2 2

2

2

( ) ( ) with

( ) ( )

( ) cos sin ( ) with sin 2 , cos 2

( ) sin cos ( )

cos 2 , 4 2

M M

diag diagmatter matterM M

Me M M

M MMM M

ch

t ti H H A Bt t t

t t B At t A B A Bm VA BE

m

n ns

n n

n q q nq q

n q q n

q

æ ö æ ö¶ ç ÷ ç ÷= = - +¶ ç ÷ ç ÷è ø è ø

æ öæ ö æ ö= = =ç ÷ç ÷ ç ÷- + +è øè ø è ø

D= -

2

sin 24mE

qD=

(6.58)

になる。

共鳴ニュートリノ振動

ここで、混合角の表式を調べてみよう。

2 2 2 2

2 2

sin 2 , cos 2

cos 2 , sin 24 2 4

M M

ch

B AA B A B

m V mA BE E

q q

q q

= =+ +

D D= - =

(6.59)

になっている。最大に混合（(5.14)参照）が起こるのは

sin 2 1 45M Mq q= Þ = (6.60)であり

2

0 cos 24 2

chm VAE

qD= Þ = (6.61)

を得る。この特別な条件を

共鳴現象（resonance phenomena）と呼ぶ。この条件は

†2chFV G e e= < > (6.62)

を用いると、(6.61)は

( )2

† †cos 22 2

crit

F

me e e eEG

qD< >= º< > (6.63)

になる。この条件を満たしている場合には、

最初のニュートリノ質量がいくつであっても、最大の混合になる

ことが特徴である。また、ハミルトニアンは 3 2 2diagmatterH A Bs= - + なので

23 3sin 2

4diagmatter

mH BE

qs sD= - = - (6.64)

で与えられる。

結果として、振動は

12/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

23

4diagmHEsD

= - (6.65)

のときに2

2 2( ) sin 2 sin4e

m LP tEmn n q®

D= (6.66)

になることから、2

3sin 24

diagmatter

mHE

q sD= - (6.67)

のときには2 2

2 2 2( sin 2 ) sin 2( ) sin 2 sin sin4 4e M

m L m LP tE Emn n

q qq®D D

= = (6.68)

が導かれる。この結果、

( ) 1e

P tmn n® = ⇒ en から mn への完全転化

が起こりえる。これは、2 sin 2 (2 1) ; 0,1,2,4 2

m L n nE

q pD += = (6.69)

の時に起こることがわかる。以上から

Mq ( )†ee e nº ( ) 1

eP t

mn n® =

混

合

最

大

452 321 cos 2

2 2 F

mE

cG

qD

( ) ( )2 321 2 1sin 2 0,1,2,

4 2nm L n

Ec pq +D

= =

になる。従って、2 2cos 222 2e

chF e

m mE E V G NE Emn n

qD D- = = = (6.70)

より、大雑把に

2 2 F em G END (6.71)

として実験からニュートリノの質量の２乗差がわかる。

221mD の理論的予言を、エラー! 参照元が見つかりません。より求めてみる。単位を揃えて、

2 2 2 2 F ecm c G EnD

使用する数値として

en の基準値として、エラー! 参照元が見つかりません。

Eの基準値として 10 MeV

13/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

を選び

( )13197 MeV fm 1f 10 cmc m -= × =

FG として、( )

( )5 2 92 1.16637 10 GeV 1GeV 10 eVFG

c- -= ´ =

を用いて計算すれば

2 4 221 3

4 2 2 1.51 10 eV10 MeV 100 / cm

eF e

A

E nm G Enc cN

- æ öæ öD = ç ÷ç ÷ ´è øè ø´ (6.72)

程度になる。2013 年の実験データより、 ( ),e mn n ではなく、 ( ), ,e m tn n n での解析結果は

より、

42 5 221 7.5 10 eVm c -D = ´ (6.73)

と得られている。 ( ),e mn n で簡単化した予言と、良い一致をしている事が分かる。

14/14 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 47 分 第六章 ニュートリノ振動：ＭＳＷ

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第六章問題

１）標準模型のラグランジアンから(6.8)を導け。

２）Ａ）(6.18)を導け。

Ｂ）(6.22)を次の結果を用いて導け。

（１）両辺に ( ) ( )5 51 , 1br sag g- - を乗じて (a , b )と( r ,s )の Tr をとる

（２）両辺に ( ) ( )5 51 , 1br sag g+ + を乗じて (a , b )と( r ,s )の Tr をとる

（３）両辺に ( )( ) ( )( )5 51 , 1br sam

mg g g g+ + を乗じて (a , b )と( r ,s )の Tr をとる

（４）両辺に ( )( ) ( )( )5 51 , 1br samn

mns g s g+ + を乗じて (a , b )と( r ,s )の Tr をとる

３）Ａ）(6.31)を「作用不変の原理」から導け。

Ｂ）(6.32)を導け。

４）(6.33)を説明せよ。ここで、

uy

æ ö= ç ÷è øv

として、(6.32)を代表して

( )( ) ( )5 LV Ammyg g y g j-

を

0 50 0 0, ,

0 0 0I I

I Ig gæ ö æ ö æ ö

= = =ç ÷ ç ÷ ç ÷- -è ø è ø è ø

sg

sの表示を用いて書き換えたときに非相対論近似ではuのみから成る項が主な寄与になるこ

とから議論するとよい。

５）(6.39)の表にある sn に対するs

E En = の関係式を導け。

６）(6.46)を導け。

７）(6.52)を導け。

８）(6.56)と(6.57)を導け。

９）(6.60)に対比して、ほとんど混合が起こらない場合を議論せよ。