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CB2015-1SEGUNDO BLOQUE-
MATEMATICAS
CB2015-1SEGUNDO BLOQUE-MATEMATICAS
Matemaacuteticas - 8 semanas
bull
Aspectos generes
bull
Inco
bull
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Un 1 - N$eros rees
bull
Un 2 - Ecampcones e necampcones
bull
Un - (ampncones
bull
Un ) - (ampncones eeentes
bull
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+
bull
Teeconerencs
bull
Actes eampts
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Material didaacutectico de apoyo
g Ccamp prcceer recamprso
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Estimados estudiantes
Benenos ampo e tetcs e camp e 3rnr s 4errents 3scspr coprener stnts stampcones soampconr pro3es en erentes conte6tos7
8ro33eente gampnos e ampstees no 4n sento gro por s tetcs eng$n nstnte e samps s9 pero es necesro 4cer ampn r erente prcoprener samp ampnento7 S o3seros etenente o ampe nos roesegamprente poeos encontrr recones sgncts se en s orsgeotrcs9 en e oren9 en sncronltcn9 en ron o en s campents ampee3eos reltr ro7
Este ampo est se=o pr ampe se protgonst e samp propo prenltgte9 preo es nspens3e cttamp post tr3gtr concenc s tetcs ampe sepnten7
Inepenente e crrer ampe camprs9 sern necesros eeentos campntttos pr4cer nss tor ecsones9 o camp 4ce reente 4cer ampn tr3gto conscentepr ogrr os o3gtetos propampestos7
E ampo nc constrampeno 3ses pr e ono e ge3r e ccampo coo son
os congtampntos namprcos ampe rn respampest ampc4os nterrogntes9 se tr3gtrnpro3es one nterenen s opercones9 ecampcones e necampcones sampspropees9 ampego se 4r ampn tr3gto con rltones proporcones pr campnr congampnos oeos ampncones7
Un sn n$ero e pccones se pampeen 4cer prtr e os conocentos ampeo3tenr sn amp gampn por pcr entro e samp crrer proeson7 Lnterccn9 prtcpcn gestn oportampn en c ampn e s ctespropampests o rgo e ampo sern ampnentes pr eencr os nces en ampscn e conceptos en pccn e stampcones pro3e e samp entornoproeson7
Es grto s3er ampe pesr e s stncs geogrcs9 estreos en coampnccn
pernente trs e nampestr amp rtamp7 Aproec4eos os recamprsos 4gos eest ptor ampn 3ente e prenltgte en one se esrro conocento9 sescampte9 se nlt se pnten soampcones7Con no ampn 3ampen ne e coproso9 o ntos ncr con este proceso
Atentamente
El equipo detutores
Mampo e Mtetc 1
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
Mampo e Mtetc 1
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Un 1 - N$eros rees
bull
Un 2 - Ecampcones e necampcones
bull
Un - (ampncones
bull
Un ) - (ampncones eeentes
bull
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+
bull
Teeconerencs
bull
Actes eampts
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Material didaacutectico de apoyo
g Ccamp prcceer recamprso
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Estimados estudiantes
Benenos ampo e tetcs e camp e 3rnr s 4errents 3scspr coprener stnts stampcones soampconr pro3es en erentes conte6tos7
8ro33eente gampnos e ampstees no 4n sento gro por s tetcs eng$n nstnte e samps s9 pero es necesro 4cer ampn r erente prcoprener samp ampnento7 S o3seros etenente o ampe nos roesegamprente poeos encontrr recones sgncts se en s orsgeotrcs9 en e oren9 en sncronltcn9 en ron o en s campents ampee3eos reltr ro7
Este ampo est se=o pr ampe se protgonst e samp propo prenltgte9 preo es nspens3e cttamp post tr3gtr concenc s tetcs ampe sepnten7
Inepenente e crrer ampe camprs9 sern necesros eeentos campntttos pr4cer nss tor ecsones9 o camp 4ce reente 4cer ampn tr3gto conscentepr ogrr os o3gtetos propampestos7
E ampo nc constrampeno 3ses pr e ono e ge3r e ccampo coo son
os congtampntos namprcos ampe rn respampest ampc4os nterrogntes9 se tr3gtrnpro3es one nterenen s opercones9 ecampcones e necampcones sampspropees9 ampego se 4r ampn tr3gto con rltones proporcones pr campnr congampnos oeos ampncones7
Un sn n$ero e pccones se pampeen 4cer prtr e os conocentos ampeo3tenr sn amp gampn por pcr entro e samp crrer proeson7 Lnterccn9 prtcpcn gestn oportampn en c ampn e s ctespropampests o rgo e ampo sern ampnentes pr eencr os nces en ampscn e conceptos en pccn e stampcones pro3e e samp entornoproeson7
Es grto s3er ampe pesr e s stncs geogrcs9 estreos en coampnccn
pernente trs e nampestr amp rtamp7 Aproec4eos os recamprsos 4gos eest ptor ampn 3ente e prenltgte en one se esrro conocento9 sescampte9 se nlt se pnten soampcones7Con no ampn 3ampen ne e coproso9 o ntos ncr con este proceso
Atentamente
El equipo detutores
Mampo e Mtetc 1
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
Mampo e Mtetc 1
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
Mampo e Mtetc 1
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
Mampo e Mtetc 1
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
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coproso rente
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Conceptamp7 E
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ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
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rltonento9entenero cerc e stnts ors e
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pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
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8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
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Coampnc correctenteen
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Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
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props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
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el estudiante
de-e
estudiante
de-e
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Ientcr osstntos
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pr o3tener osresamptos
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Coprenso7 Eestampnte
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cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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+
bull
Teeconerencs
bull
Actes eampts
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Material didaacutectico de apoyo
g Ccamp prcceer recamprso
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Estimados estudiantes
Benenos ampo e tetcs e camp e 3rnr s 4errents 3scspr coprener stnts stampcones soampconr pro3es en erentes conte6tos7
8ro33eente gampnos e ampstees no 4n sento gro por s tetcs eng$n nstnte e samps s9 pero es necesro 4cer ampn r erente prcoprener samp ampnento7 S o3seros etenente o ampe nos roesegamprente poeos encontrr recones sgncts se en s orsgeotrcs9 en e oren9 en sncronltcn9 en ron o en s campents ampee3eos reltr ro7
Este ampo est se=o pr ampe se protgonst e samp propo prenltgte9 preo es nspens3e cttamp post tr3gtr concenc s tetcs ampe sepnten7
Inepenente e crrer ampe camprs9 sern necesros eeentos campntttos pr4cer nss tor ecsones9 o camp 4ce reente 4cer ampn tr3gto conscentepr ogrr os o3gtetos propampestos7
E ampo nc constrampeno 3ses pr e ono e ge3r e ccampo coo son
os congtampntos namprcos ampe rn respampest ampc4os nterrogntes9 se tr3gtrnpro3es one nterenen s opercones9 ecampcones e necampcones sampspropees9 ampego se 4r ampn tr3gto con rltones proporcones pr campnr congampnos oeos ampncones7
Un sn n$ero e pccones se pampeen 4cer prtr e os conocentos ampeo3tenr sn amp gampn por pcr entro e samp crrer proeson7 Lnterccn9 prtcpcn gestn oportampn en c ampn e s ctespropampests o rgo e ampo sern ampnentes pr eencr os nces en ampscn e conceptos en pccn e stampcones pro3e e samp entornoproeson7
Es grto s3er ampe pesr e s stncs geogrcs9 estreos en coampnccn
pernente trs e nampestr amp rtamp7 Aproec4eos os recamprsos 4gos eest ptor ampn 3ente e prenltgte en one se esrro conocento9 sescampte9 se nlt se pnten soampcones7Con no ampn 3ampen ne e coproso9 o ntos ncr con este proceso
Atentamente
El equipo detutores
Mampo e Mtetc 1
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
Mampo e Mtetc 1
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
Mampo e Mtetc 1
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
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entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
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Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
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Mnegtr
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8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
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geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
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cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Material didaacutectico de apoyo
g Ccamp prcceer recamprso
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Estimados estudiantes
Benenos ampo e tetcs e camp e 3rnr s 4errents 3scspr coprener stnts stampcones soampconr pro3es en erentes conte6tos7
8ro33eente gampnos e ampstees no 4n sento gro por s tetcs eng$n nstnte e samps s9 pero es necesro 4cer ampn r erente prcoprener samp ampnento7 S o3seros etenente o ampe nos roesegamprente poeos encontrr recones sgncts se en s orsgeotrcs9 en e oren9 en sncronltcn9 en ron o en s campents ampee3eos reltr ro7
Este ampo est se=o pr ampe se protgonst e samp propo prenltgte9 preo es nspens3e cttamp post tr3gtr concenc s tetcs ampe sepnten7
Inepenente e crrer ampe camprs9 sern necesros eeentos campntttos pr4cer nss tor ecsones9 o camp 4ce reente 4cer ampn tr3gto conscentepr ogrr os o3gtetos propampestos7
E ampo nc constrampeno 3ses pr e ono e ge3r e ccampo coo son
os congtampntos namprcos ampe rn respampest ampc4os nterrogntes9 se tr3gtrnpro3es one nterenen s opercones9 ecampcones e necampcones sampspropees9 ampego se 4r ampn tr3gto con rltones proporcones pr campnr congampnos oeos ampncones7
Un sn n$ero e pccones se pampeen 4cer prtr e os conocentos ampeo3tenr sn amp gampn por pcr entro e samp crrer proeson7 Lnterccn9 prtcpcn gestn oportampn en c ampn e s ctespropampests o rgo e ampo sern ampnentes pr eencr os nces en ampscn e conceptos en pccn e stampcones pro3e e samp entornoproeson7
Es grto s3er ampe pesr e s stncs geogrcs9 estreos en coampnccn
pernente trs e nampestr amp rtamp7 Aproec4eos os recamprsos 4gos eest ptor ampn 3ente e prenltgte en one se esrro conocento9 sescampte9 se nlt se pnten soampcones7Con no ampn 3ampen ne e coproso9 o ntos ncr con este proceso
Atentamente
El equipo detutores
Mampo e Mtetc 1
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
Mampo e Mtetc 1
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
Mampo e Mtetc 1
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
Mampo e Mtetc 1
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Estimados estudiantes
Benenos ampo e tetcs e camp e 3rnr s 4errents 3scspr coprener stnts stampcones soampconr pro3es en erentes conte6tos7
8ro33eente gampnos e ampstees no 4n sento gro por s tetcs eng$n nstnte e samps s9 pero es necesro 4cer ampn r erente prcoprener samp ampnento7 S o3seros etenente o ampe nos roesegamprente poeos encontrr recones sgncts se en s orsgeotrcs9 en e oren9 en sncronltcn9 en ron o en s campents ampee3eos reltr ro7
Este ampo est se=o pr ampe se protgonst e samp propo prenltgte9 preo es nspens3e cttamp post tr3gtr concenc s tetcs ampe sepnten7
Inepenente e crrer ampe camprs9 sern necesros eeentos campntttos pr4cer nss tor ecsones9 o camp 4ce reente 4cer ampn tr3gto conscentepr ogrr os o3gtetos propampestos7
E ampo nc constrampeno 3ses pr e ono e ge3r e ccampo coo son
os congtampntos namprcos ampe rn respampest ampc4os nterrogntes9 se tr3gtrnpro3es one nterenen s opercones9 ecampcones e necampcones sampspropees9 ampego se 4r ampn tr3gto con rltones proporcones pr campnr congampnos oeos ampncones7
Un sn n$ero e pccones se pampeen 4cer prtr e os conocentos ampeo3tenr sn amp gampn por pcr entro e samp crrer proeson7 Lnterccn9 prtcpcn gestn oportampn en c ampn e s ctespropampests o rgo e ampo sern ampnentes pr eencr os nces en ampscn e conceptos en pccn e stampcones pro3e e samp entornoproeson7
Es grto s3er ampe pesr e s stncs geogrcs9 estreos en coampnccn
pernente trs e nampestr amp rtamp7 Aproec4eos os recamprsos 4gos eest ptor ampn 3ente e prenltgte en one se esrro conocento9 sescampte9 se nlt se pnten soampcones7Con no ampn 3ampen ne e coproso9 o ntos ncr con este proceso
Atentamente
El equipo detutores
Mampo e Mtetc 1
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
Mampo e Mtetc 1
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
Mampo e Mtetc 1
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
Mampo e Mtetc 1
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
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Lpnteentos7
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Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
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Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
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proporcon
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Coampnc correctenteen
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Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
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Indicador de logtue el
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pr o3tener osresamptos
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cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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INTRODUCCIOacuteN
E ampo e Mtetcs9 consttampe ampn poo prescn3e pr coprensn e stampcones concrets 3strcts9 sampscept3es e ampnorltcn9 ampe resampt reente en campamper re e estampo7 Le pertregterctrse con nss campntttos e ampso e ampncones en constrampccne oeos ampe representen enenos o pro3es e re e orcnespecc7
Se nc e proceso con ampn resn e congtampnto e os n$eros rees en oreerente opercones ens en c4o congtampnto samps propees7 Lampegose eect$ ampn estampo e recn e gamp esgamp trs eersos tpos e ecampcones e necampcones samp ampt en soampcn e
pro3es9 gamp ampe e trtento ampe se concepto e ampncn9 tntone coo camprtc samps erentes pccones7Es portnte sampr ampe9 e ter ampe prece en e amp es ampn poo prcnltr os propstos e camprso9 en consecampenc se e3e copeentr etr3gto pnteo con 33ogr sampnstr9 s coo con e esrrooe os egterccos pnteos en s amps rtampes7
E ampo const e camptro n$ceos tetcos ampe sern tr3gtos amprnte sens7
17 Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os n$eros
rees est3ecer recones entre e6presones rees727 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees
ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn e pro3es77 Funciones Funcioacuten lineal En est ampn s ampncones se 3orn
coo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erentes eeentose ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregt oren oeogrco7
)7 Funciones9 Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e oscoponentes e ampncn camprtc se ncamprson en soampcn epro3es one nterengn ests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn e
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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Mampo e Mtetc 1
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
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Indicador de logtue el
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)aloren
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estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
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cplt e reltr os operconesecampentes
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coproso rente
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cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
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loIndicador de logtue el
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de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
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propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
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Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
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rltonento9 proceentos7representcn eampn
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
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Ientcr osstntos
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encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
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es cplt e segampr ampn
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epenenc oportampn prampe3 50
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Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
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Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
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el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
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es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
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Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
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segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
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samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
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Ientcr egorto
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J0K
es cplt e reltros
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s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
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50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
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0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
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representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
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rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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amps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto7En campnto sste e eampcn se 4 progro os ampces9 ampneampcn prc9 ampn tr3gto e amp o trabajo wiki ampe sertr3gto trs e 4errent + e e6en n7
Ecuaciones Funciones FuncioacutenSistema de los
nuacutemeros reales Funcioacuten Lineal Cuadraacutetica
Sistema de los nuacutemeros reales Aprener stngampr erentescongtampntos namprcos9 operr correctente en e congtampnto e os
n$eros rees est3ecer recones entre e6presones rees7 Ecuaciones Se nltrn toos pr soampconr ecampcones nees ecampcones camprtcs9 s coo samp pccn en soampcn epro3es7
Funciones Funcioacuten $ineal En est ampn s ampncones se 3orncoo ampn reg e sgncn entre os congtampntos7 En samp estampo setenen en campent e ono9 e ccampo erccn e erenteseeentos e ampncn9 stos coo s coorens e ampn pregtoren oeo grco7
Funcioacuten cuadraacutetica Se 4ce ampn nss e os coponentes e ampncncamprtc se ncamprcon en soampcn e pro3es one nterengnests nocones7
L etooog e camprso se centr en amptogestn e ampto-prenltgte7 Etamptor o cop=r en e proceso9 coo orentor poo en soampcn eamps9 conente ampste campent con s 4errents peggcs ampeprecen en c ampn e s sens e tr3gto s coo e ampO$(ONO)IRTU$ ampe es ampn espco pr resoer s pregampnts ampe n samprgenoamprnte e esrroo e os egterccos7
En campnto sste e eampcn se 4 progro ampn amplt9 ampn eampcnprc9 ampn proecto e amp ampe ser tr3gto trs e 4errent + e e6en n
Mampo e Mtetc 1
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
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pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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T+tulo Ocial del Curso MATEMTICAS
Campes son s -5 coss ampe os estampntes s3rn o sern cpces e4cer nltr e camprsoF
17 Operr correctente en e congtampnto e os n$eros rees7
27 esoer ecampcones nees9 camprtcs rcones7
7 8nter soampconr pro3es one nterenen reconese gamp esgamp7
)7 Aprener nocn e ampncn9 os eeentos ampe consttampen s erss ors en ampe se represent7
57 Ientcr oeos ampncones e tpo ne camprtcoen erentes conte6tos7
Mampo e Mtetc 1
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Ta-la de la descricioacuten comleta del curso
sectos Semanas Semanas 0 Semana 1 Semanas 2 3Unidad Unidad Unidad Unidad
Nom-re deltema FUNCIOacuteN $INE$
ara cada N45EROS RE$ES ECUCIONES FUNCIONES FUNCIOacuteNsemana CUDR6TIC
17 Ientcr os congtampntos 17 Ientcr tpos e 17 Mnegtr os 17 Mnegtr e oeonamprcos7 ecampcones7 eeentos e ampn camprtco7
27 Operr correctente en 27 Soampconr ecampcones ampncn tnto27 epresentrgrcente
Resultados de rees nees9 camprtcs ge3rcente e nterpretr erenteslos estudiantes 7 Soampconr pro3es rcones7 coo grcente7 pampntos e campero con ampn
7O-8eti9os7 Soampconrnecampcones
27 Anltr enterpretr conte6to7
nees camprtcs grcs7 7 Soampconr pro3es)7 Soampconr pro3es 7 Apcr oeos one nterenen
nees enerentes oeos ampnconesconte6tos7
Subtemas Subtemas Subtemas Subtemas
17 Opercones entre 17 Qamp es ampn 17 Hr3es 17 Coportento e enteros ecampcnF nepenente ampncn camprtc7
27 8rtes e porcentgtes 27 Coo se soampcon7 epenente7 27 Grc
)ideo7 Inecampcones9 27 Generes 7 8ro3e one
pro3es e Eeentos9 ono nterene e oeopccn ngo
7 (ampncn ne9pretros7
)7 8ro3e epccn
N$eros rees7 Ecampcones (ampncones (ampncn camprtc7OHA7 Teor e n$eros7 OHA7 E6presones Generes Apccn e ampncn
$ecturas OHA7 N$eros Enteros7 ge3rcs7 (ampncn ne camprtc7OHA7 Interpretcn e Apccones eos rcones ecampcones78rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e oro7 8rtcpcn en e 8rtcpcn en e oro7eltr s ectamprs7 eltr s ectamprs7 oro7 eltr s ectamprs7
Desrror os egterccos e Desrror os egterccos eltr s ectamprs7Desrror os egterccose
crt7 e crt7 Desrror os crt7
Tareas8resentr s eampcones
Desrror e tr3gto+7 egterccos e Desrror e tr3gto +78resentr s crt7 8resentr e e6en n7eampcones7 Desrror e tr3gto
+78resentr seampcones7
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Mampo e Mtetc 1
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Mampo e Mtetc 1
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
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pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
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entenero pcro en rccones7
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coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
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Mnegtr
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8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
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pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
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8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
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cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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cti9idad E9aluati9a UIlt = semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
estudiantede-e
el estudiantede-e
estudiantede-e ser nota
sa-er Aacer nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr
Segampr gortose Ser pampntamp en J0K
cplt e reltr os opercones ecampente s ner correct7 presentcn e proceentos correctente propees e s prampe37propampestos pro3tener con rees7 opercones7
Ser 4onesto segampr s
os resamptos
esperos7 pampts s 2K
Coprenso7 E Est3ecerMnegtr s noconese
epresentrente Ser pampntamp en 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9 e6presones presentcn e segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre stampcones prampe37 50
entenero pcroen rccones7 tetcs
Ser 4onesto segampr s pampntos
or eproceentos7 especcs pampts s 2K
L10Kpnteentos7Operrcorrectente7
Conceptamp7 Eestampnte cer
Hercr conrontr Mnegtr nocones Ser pampntamp en 20K
es cplt e segampr ampn estcones soampcn ente3scs rets os presentcn e
rltonento9entenero cerc e stnts ors e pensentos prampe37 pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
Ser 4onesto segampr s
samps propseampccones7 pro3e7
trco9ge3rco pampts s 2K
8roponercnos rcon7e soampcn7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
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estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
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Conceptamp7 E
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geotrco9namprco9
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8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
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cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
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8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
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Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
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proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
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J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
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rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
nercorrect7 eampenc entre
tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
Operrcorrectente7 s7
Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
estampnte cer
Hercr
conrontr
Mnegtr
nocones
8resentr e
ner 10Kes cplt e segamprampn estcones soampcn ente
3scs rets os
oportampn prampe3
rltonento9entenero cerc e stnts ors e
pensentos
ostrr 3ampen nee
pcro prproampcr soampcn e ampn representcn7
geotrco9namprco9
coproso rente
samps propseampccones7 pro3e7 trco9 ge3rco s7
8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
deIndicador de
lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
Operto7 E Incentr Mnegtr s Operr Asampr respons3 J0Kestampnte escplt e orcn e
propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
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s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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cti9idad E9aluati9a ampRCI$ B semana
Criterio dee9aluacioacuten
Resultadode
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
)aloren
arendia 8e
estudiantede-e
estudiantede-e
el estudiantede-e nota
sa-er Aacer ser nalOperto7 Eestampnte es cer Mnegtr Segampr gortos e
8resentr ener J0K
cplt e reltr os operconesecampentes
nercorrect7
oportampn prampe3
proceentos correctente propees e sostrr 3ampen nee
propampestos pro3tener con rees7 opercones7
coproso rente
os resamptosesperos7
Mnegtr oscsos
Soampconrecampcones s7
3scos enees9camprtcs
Ser 4onesto segampr
ctorltcn7 rconess pampts s2K
100Soampconr
ecampcones7pampnto
sCoprenso7 E Est3ecer
Mnegtr snocones e
epresentrente
8resentr ener 0K 20K
estampnte es cplte recones e prte9 porcentgte9
e6presonesstampcones
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
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tetcsespeccs
ostrr 3ampen nee
entenero pcro en rccones7
Lpnteentos7
coproso rente
or eproceentos7
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Ser 4onesto segamprs pampts s2K
Conceptamp7 E
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Mnegtr
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3scs rets os
oportampn prampe3
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pensentos
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geotrco9namprco9
coproso rente
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8roponercnos rcon7
Ser 4onesto segampr
e soampcn7s pampts s2K
cti9idad E9aluati9a II INDI)IDU$ B semana 0
Criterio deResultado
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lo gtueIndicador de
loIndicador de logtue el
)aloren
e9aluacioacutenarendia8
eel estudiante
de-egtue el
estudianteestudiante de-eser
notanal
sa-erde-eAacer
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propees es correctente7 coproso rente
reltr os43tos eestampo opercones entre Escr3r
esrroo e ampnpropampest 100
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
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Coprenso7 Ecer cn eos
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estampnte escplt e conceptos
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
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Conceptamp7 Eestampnte 20K
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cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
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spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
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es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
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epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
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samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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proceentosampencreenten n$eros rees7 proceentos
namp ampeposterorente
pampntospropampestos pr otcn7 tetcos eser scampt con ampneamppo
o3tener osresamptos
Gnr connlt ner cr e tr3gto7 20K
esperos7 segampr en co4erente7Segampr s pampts etr3gto7
pccn e MnegtIntegrr spectos tescoo
operconesecampenteos
amptono9respons39
tetcs enampn s3oos cret9 pampntamp conte6toespecco7 tetcos7 4onest7
Coprenso7 Ecer cn eos
Apcr nocne Soampconr Us s 4errents 0K
estampnte escplt e conceptos
proporcon
ecampcones etpo
ecamps pr encontrr
segampr ampn e6pccn estnts orse ne rcon7 soampcn e ampn pro3e7
rltonento9 proceentos7representcn eampn
Coampnc correctenteen
entenero pcro rcon7 or escrt er3en or e proceentos7proceentos7
Conceptamp7 Ecerestcones econoce os
Concampe ener 10K
estampnte escplt e cerc e
erenteseeentos
cr co4erente7
segampr ampn soampcn e ampnampe nterenenen e
rltonento9 pro3e7pro3e cnos
entenero pcro
8roponercnos pr
pr proampcr samps e soampcn7encontrr soampcn
props
eampccones7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
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samps propseampccones7
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Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
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Mnegtr s noconese
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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cti9idad E9aluati9a UIlt B semana 1
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador delo gtue
Indicador de logtue el
Indicador de logtue el
)aloren
arendia8e
el estudiante
de-e
estudiante
de-e
estudiante de-e
ser
nota
nalsa-er AacerOperto7 Eestampnte es
Soampconrecampcones e
Ientcr osstntos
Apcrcorrectente 8resentr e ner )0K
cplt e reltr osnecampconesnees
tpos eecampcones e os gortos pr oportampn prampe3
proceentospropampestos no nees7
necampcones tener
encontrr soampcn e ostrr 3ampen ne e
pr o3tener osresamptos
cr cerce os ampn ecampcn o
coproso rente
esperos7gortos segampr en necampcn7 s7c cso7 Ser 4onesto 2K
Coprenso7 Eestampnte
Mnegtr s noconese epresentr e
cer e grco eampn 8resentr e ner )0 K
es cplt e segampr ampn
r3e
epenenc
stnts ors
ampn
recn e
epenenc oportampn prampe3 50
rltonento9entenero recn e otrs ors e ostrr 3ampen ne e
pcro en or eepenencer39 representcn7
coproso rente pampntos
proceentos7 t39 grco9Mnegtr ampnsotre s7 10Ke6presn
ge3rc tetco pr Ser 4onesto 2K psr e ampn otr7 corro3orr7
Conceptamp7 Eestampnte 20K
es cplt e segampr ampnrltonento9entenero pcro prproampcrsamps propseampccones7
cti9idad E9aluati9a CONSO$IDDO II B semana 2
Criterio de
e9aluacioacuten Resultado de
Indicador de lo
gtue el
Indicador de lo
gtue
Indicador de lo
gtue
)alor
en
arendia8eestudiante de-esa-er
el estudiantede-e
el estudiantede-e nota
Aacer ser nalOperto7 Eestampnte Oper Soampcon Identifica los datos
esr osportes Asampr ampn ro
)0K
es cplt e reltr os ecampconesconocos e incoacutegnitasque nampes e os
eterno entr3gto
proceentos correctente7 intervienen en un prolema
cop=eros e+9
en eamppontegrno
propampestos pro3tener
Est3ece reconesampe
contrstr sampspropos
spectos tescoo
os resamptosesperos7
conen pnteentos proceentos
amptono9erltgo9
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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pr soampconrpro3es7
soampcones consgnr respons39
50coentros pampntos cret9
pampntose st en pgn e
pampntamp94onest
scampsn7 respeto7 10KCamppr s pampts
s en enstrampcto75K
Coprenso7 E cer cn e os Ientc os tosOrgnltr norcn
8rtcprctente
)0K
estampnte es cplt econceptos e6pccn
conocos9ncgnts e ner cr7
tor ecsones gtampnto
segampr ampnrltonento9 e proceentos7
r3es ampenterenen Escr3r os
con e eamppo +se
entenero pcroen en ampn pro3e7 proceentos e
erc trs e
or eproceentos7
Est3ecerrecones ampe or precs
pgn escampsn7
coneen pnteentos co4erente7pr soampconr
pro3es7Conceptamp7 Eestampnte Eegr cnos
Mnegtr nocones etpo
Coampncr concr
8rtcprctente
20K
es cplt e segampr ampn propos prgeotrco9namprco9 precsn
tor ecsones gtampnto
rltonento9entenero
encontrr soampcn
trco9 ge3rco rltonentos
con e eamppo +se
pcro prproampcr pro3e7 rcon pr r
tetcos enor
erc trs e
samps propseampccones7
soampcn pro3e7 escrt7
pgn escampsn7
Mampo e Mtetc 1
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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cti9idad E9aluati9a E5EN FIN$ B semana 3
Criterio dee9aluacioacuten Resultado de
Indicador de logtue el
Indicador de logtue
Indicador de logtue
)aloren
arendia8e
estudiante de-e
sa-er
el estudiante
de-e
el estudiante
de-e notaAacer ser nalOperto7 Eestampnte Operr
Mnegtrecampente
Ientcr egorto
Tener 3ampencoproso
J0K
es cplt e reltros
correctente7
s propees es amptltr negtro rente prampe39
proceentosSoampconrecampcones e opercones7 correctente7 presentr
propampestos pro3tener necampcones7 oportampnente9os resamptosesperos7
sgampeno spampts ampese ncn7 2K
50Coprenso7 E
Mnegtr s noconese
Usr stnts orse Conrontr stntos
8resentr ener
0K
pampntosestampnte es cplte
proporcon9r3e representcn pr
eeentos onstncs
oportampn prampe3
segampr ampnrltonento9
epenenc7 nltr stampcones e ampn stampcn ostrr 3ampen nee 10K
entenero pcro en
especcs9 9encontrr
prtcampr9 ampsno coproso rente
or eproceentos7
soampcn ampnpro3e7 stnts ors e s7
representcn7 Ser 4onesto 2KConceptamp7 Eestampnte Constrampr oeos
Desrror9 ercr Mnegtr
8rtcpr con tone
10K
es cplt e segamprampn
tetcos prtre
conrontr soampcne ecampente os
e coproso2K
rltonento9entenero
stampcones rees7 ampn pro3e e tpo pretros e ampn
pcro prproampcr
rcon ente ampncn ne
samps propseampccones7
stnts ors e camprtc pr
representcn7 constrampr oeos7
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Mampo e Mtetc 1
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CEROS DE $ FUNCIOacuteN grcente son os pampntos e corte egrco e ampn ampncn con e egte 4orltont 67 Antcente son oseeentos e ono e ampncn ampe tenen gen cero7
CONUNTO SO$UCIOacuteN congtampnto e ores ampe sampe ncgnt enampn ecampcn pr ampe gamp se cert7
CONUNTO reampnn e o3gtetos con enos ampn crcterstc co$n7
ECUCIOacuteN CONSISTENTE es ampn ecampcn ampe tene soampcn7
ECUCIOacuteN INCONSISTENTE es ampn ecampcn ampe no tene soampcn9es ecr samp soampcn es e congtampnto co7
ECUCIOacuteN gamp e e6presones con por o enos ampn ncgnt7
ECUCIONES EUI)$ENTES ecampcones ampe tenen ssoampcn7
FCTOR CO54N 6o eeento ampe e toos os sampnose ampn e6presn7
I5(EN or ampe e correspone c eeento e ono e
ampncn7 En ampn pregt oren es e segampno coponente7
INECUCIOacuteN esgamp e e6presones con por o enos ampnncgnt7
INTER)$O samp3congtampnto e n$eros rees7
Mampo e Mtetc 1
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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5NI5O CO54N DENO5INDOR es e enor $tpo co$nerente e cero e toos os enonores e s rccones s7
ampENDIENTE ncncn e ne rect
ampREI5(EN prer coponente e pregt oren7
TGR5INOS SE5ENTES son sampnos ampe soo eren en ecoecente namprco7
)RIH$E DEampENDIENTE ores ampe resamptn pcr reg e ampncn so3re os ores nepenentes ampe se sgnn7
)RIH$E INDEampENDIENTE r3e 3re camp se e sgnnores teneno coo reerenc e ono e ampncn7
)RIH$E en e conte6to e ecampcones se reere ampn oresconoco7 En e6presones9 es ampn o3gteto ampe pampee ser sampsttampo porerentes ores7
)GRTICE pampnto 6o e pr3o s 3re 4c 3gto pampntono s 3re 4c rr37
Mampo e Mtetc 1
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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AA9 gs4P LADNE9 o3n7 Mtetcs Apcs
Anstrcn Econo7 M6co Etor 8rentce - 9 127
AIMES9 N Mercees7 Mtetcs I7 Crt rtamp7 Bogot
8otcnco Grncoo3no9 200
AIMES9 N Mercees7 Docampento Mtetc I7 Bogot 8otcnco
Grncoo3no9 20057
EAUSLE9 Ernest (7P 8AUL9 c4r S7P DIAR MATA9 Areo7
Mtetcs pcs s Cencs Econco9 Anstrts
e H7 Camp Etor 8rentce 9 17
ELLIEGEL9 D7P SLOCUM9 7 20007 Anstrcn7 Spt
ecn7 Esp= T4oson Etores9 20007
O((MANN9 LamprenceP BADLE9 Ger7 Ccampo pr
Anstrcn9 Econo Cencs Soces7 Bogot Etor
McGr 9 17
LEITOLD9 Loamps7 Ccampo pr Cencs Anstrts9 Bogcs
Soces7 Bogot Etor Aoeg9 200)7
Mampo e Mtetc 1
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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OTROS RECURSOS OHETOS DE ampRENDIltE
O) 8resentcn e os n$eros rees7 Mr Mercees
Cceo Bor7 ampo e 200J7
O) Teor e n$eros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) N$eros enteros7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn D72007
O) E6presones ge3rcs7 AIMES9 NP CASTAEDA9 ampn
DP (ANCO9 (3rcoP UADO9 Gncro7 200J7
O) Interpretcn e os rcones7 AIMES9 NP
CASTAEDA9 ampn DP (ANCO9 (3rco7 200J7
Mampo eMtetc 1
UNIDAD1 -
NMEOSEALES
bullMt
er1Sen 1
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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bull Mter 2 Sen 2
bull Mter Sen
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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SEMANA 1
Unidad = Semana
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos 4F9 o9campnto eF L respampest estos nterrogntes con certelt esampn n$ero ampe en ampc4s ocsones reampere e proceentostetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrP erentescamptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr regstrrampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9 cone ampego coprr gntampes gntampes conensampr3es9 no s orgen os n$eros rcones postos s gntampes
nconensampr3es 4s por os ptgrcos n orgen osn$eros rrcones9 samprgen espamps os n$eros negtos9epeos por os 4n$es pr representr eamps os n$erosgnros e neces e encontrr soampcones s ecampconesge3rcs7
CTI)IDD SE5N INSTRUCTI)O
$ecturanuacutemerosreales
$ecturaeresioneotencias
9ideostemaacuteticos
O)s 7O-8)irtuales drendia8
)ideo caacutes
oosacadJmico
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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LECTUAS
bull Mter 1 Lectampr n$eros rees
bull Mter 2 Soampconro n$eros rees
bull Mter Lectampr E6presones potencs
bull Mter ) Soampconro E6presones potencs
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Unidad
UNIDD UNO
17 Sste e os n$erosrees
KEn lasmatemaacuteticas es
donde el es+rituencuentra los
elementos gtue maacutesans+a la continuidad la erse9eranciaL
Jacques Anat ole
83rs CeN$eros rees9 rees9 n$eros9 opercones entre rees9propees7
Introampccn
Usampente nos encontros con pregampnts coo campntos
4F9o9c
ampntoeFLrespampest
estosnterrogntescon
certeltesampnn$ero
ampeenampc4socsonesre
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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ampere e proceentos tetcos pr encontrro7
strcente9 os preros n$eros epeos amperon osntampres pampes estos samprgeron e neces e contrPerentes camptamprs epe3n samps propos nstrampentos pr
regstrr ampnes9 ecens9 centens9 etc7 L ccn e er9cone ampego coprr gntampes gntampes
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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conensampr3es9 no s orgen os n$eros rconespostos s gntampes nconensampr3es 4s por osptgrcos n orgen os n$eros rrcones9 samprgen
espamps os n$eros negtos9 epeos por os 4n$es prrepresentr eamps os n$eros gnros e neces eencontrr soampcones s ecampcones ge3rcs7
171 Desrroo tetco
17171 Constrampccn e os n$eros rees
Est es ampn representcn grc e congtampnto e os n$erosrees9 os samp3congtampntos ampe o consttampen s recones entreeos7
R
5 Congtampnto e os n$eros ntampres
1 V 01 2 3 4
5 Congtampnto e os n$eros enteros
R V minus4 minus3minus2 minus1 0 1 2 3 4
Mampo e MN Mercee
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l i t
O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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O3sere ampe este congtampnto contene congtampnto e os n$erosntampresgregno os opampestos respectos7 Es ecr s 19 29 9 )9 sonenteros9 samps opampestos W19 W29 W9 W)9 t3n o son eopampesto e cero es e so
cero7
bullCongtamp
nt
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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o e os n$eros rcones
Los n$eros rcones se crcterltn porampe se pampeene6presr coo rcconros con namperor enonorenteros9 con concn e ampe e denominador de-e ser
diMerente de cero
Son egtepos e rconesminus3
1
4
0 one samps namperoresson
4 2 1 17
respectente W9 19 )9 0 entrs ampe os enonoresson )9 29 1 1 respectente7
Los n$eros rcones t3n se pampeen representr en orec nnt perc7
E8emlos
3 = 075 = 0750000 Es ampn ec nnto perco e
peroc cero74
56=0833333 Es ampn ec nnto perco7 En este cso se not
e ec
s 0833333 =083
En este congtampnto no se pampeen str samps eeentos en orconsecampt coo se 4lto con os congtampntos nterores9 pampestoampe entre os n$eros rcones sepre se encampentrnnntos rcones est prope no tenen os nterorescongtampntos namprcos
Se ene entonces congtampnto e os n$eros rcones s
aa b isin Z b ne 0
Q V
b O3sere ampe este congtampnto contene tnto congtampnto e osn$eros ntampres coo congtampnto e os n$eros enteros7
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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l i t
bull Con8unto de los nuacutemeros Irracionales I
Este congtampnto contene eeentos namprcos ampe se e6presncoo eces nntos no percos7
E8emlos
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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2=141421356 Es ec nnto pero no perco nngampnsere e n$eros se repte con recampenc
π = 31415926
e =271828
De campero con s nterores encones9 poeos rr ampeNO e6ste ampn re ampe se rcon e rrcon elt9 es ecros congtampntos namprcos rcones e rrcones NO teneneeentos en co$n9 por o tnto se ce ampe son congtampntossgtampntos7
bull Con8unto de los nuacutemeros reales R
Este congtampnto es ampnn e os congtampntos nterores9 esecr
E8emlos
bull 115 es ampn ntampr por o tnto es ampn n$ero rebull WJ es ampn n$ero entero ampe NO es ntampr
bull7
9 es ampn rcon ampe NO es enterobull 25 es ampn entero por o tnto t3n es rcon
bull 5 = 272J0J es ampn n$ero rrcon por o tnto no esrcon7
Mampo eMtetcsN Mercees
es Gelt
l i t
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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EECICIO 1
1 Escr3ampnn$erorconnoentero7
2 Escr3ampnn$eroentero
ampe nosentampr7
Espos3eencontrrampnn$erorcon errcon eltF
E6pampe7) Too
ntampr esenteroFE6pampe7
5 ToorconesenteroFE6pampe7
J Do econgtampntoA en$erosrees
AV
minus 07 5 20 0
Copetr
7 Losntampres
en con
gtampnto A son
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X
37 Lo
s e
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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eros ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX
c7 Losrcones ampepertenecen congtampntoAsonXXXXX
XXXXXXXXXX XXXXXXXX
7 Losrrcones ampepertenecen congtampntoA son
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX X
17172U3ccne reesen
rectnamprc7
Seeper aroi
macioacuten pramp3cr
rect
namprc7 E
8em
loU3cr
enrectre
53
Coo
53
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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0
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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N Mercees es Gelt
l i t
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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07J prtre ampn pampntoereerenc ampe
socose
n$ero 09se amp3campn ampne tr3gto7Coo eneste cso ere estentre osenteros 0 19 se eestesegentoen 10prtesgampes seconsernJ7 Hergrc
larr
+++++++++++ + rarr
E8emlo
U3cr minus 10
3en rectre7
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0
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entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
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- 4
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
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37 c
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
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entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
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7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Coo minus 10 = minus333333
entre osenteros -) -7 8or otnto9 estesegento see en 10prtes 9 e scampes seconsern 7Her grc
larr
rarr
- 4
- 3
- 2
- 1
0
minus 10
3
E8emlo U3cr 12 en rect re7
12= 1095445
asymp 11
larr + +++++++++++ rarr0
12
12
EE
CICIO2
U
a 17 c 50e minus 4
13 7
-5 minus 30 d minus 70J M
)7J
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
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14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
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Y -1Y -75
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
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E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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N Mercees es Gelt
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Taller
Do e congtampnto BV
7 Deternr ampeeentos econgtampntoB sonntampres9 enteros9rcones orrcones7
37 U3crc ampnoe oseeentos econgtampntoB en rectnamprc7
8rcstampcn9ampestreosegteposse6sten en$erosampecamppn sconconess
7E6pampe samprespamp
7 c
onesen orecp
erc7
37 c
onesampenos
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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l i t
2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
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- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
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Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
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83r
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ponente9 no
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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nntampres9 nenteros7
c7 Ntampre
soresampe J enoresampe 117
7cones
entre 32
52
Deternes ssgampentesrconessonerers oss7
ampst
ampe samprespampest7
7 Tooentero esrcon7
37 Ag$nntamprNO esentero7
c7 Toorrcones re7
7 Agampnosrcones NO sonrees7
1717Opercot
n
D
E
A4
T
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2
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
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N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
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30
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
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a 00000144
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ro6entee500
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
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esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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4
+ 2 =
14 LHercr
5 5NOT Loss3oos
epeospr cn
son Y9 sum pr amptpccnse epen69 9 bull 9 lowast9 Π Campno noprecenng$ns3oo sesampe ampe es
amptpccn
8O8IEDADESDE LASO8EACIONESLsoperconesens ene congtampnto eos n$erosrees9stscen ssgampentespropees
ampara a - c isin R
) PROPIEDAD CONMUTATIVA
Y 3 V 3 Y
) PROPIEDAD AOCIATIVA
Y 3 Y c V Y 3 Y c V Y 3
Yc
75 Y ) Y -1Y -75 Apcno prope
V 75Y)
Y -1Y -75
V75 Y -
75
) P
8
3 Y c V 3 Y c 7
T3
n
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
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N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Y c V 3Y c
S o3ser e6presn e
prteltamper egampn eestsgampes9 sepampee rcampent ampe4 ostrnos osampnos9entrs ampeen prteerec4 4os ctores9es ecr9 e6presn estFCTORIltD
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
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V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
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IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
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E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
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V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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E8emlos
Utltno propestr3ampt9ctorltr e6presn nY 3c Y
SoampcnCoo sepampee r
campent m esampn ctorco$n ostres trnose samp7Lampego9n Y 3c Y V n Y3cY 1
Copro3r gamp
SoampcnV
V=4r
) PROPIEDADINVERTIVA
a 8r too isin R9 e6ste minuso OampUESTO e9 o IN)ERSODITI)O e 9 t ampe Yminus V 0
NOT Yminus se escr3een oreampente
E
-
IN)ERSO 5U$TIamp$ICTI)O9 noto
por -1 o1
t ampe asdota
B
a
E8emlo E recprocoe minus
3 7
porampe 3 7
es minus minus minus = 1
7 3 7 3
E8emlo E recproco e 6 Y1 es
1
x ne minus1 9 8or amp F x +
1
A
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
7252019 CB2015-1 SEGUNDO BLOQUE-MATEMATICASdocx
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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l i t
P
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
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S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
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2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
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V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
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N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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1 - -
V
2 -
Y 3 V -
Y -3 V - - 3
-
- 3
V 3 -
) -3 V-3 V -3
5 --3 V 3
S 3 sonreeserentes ecero
a minus1b
JM = b a
3-1
V -13 -1 divide 3
V 3 -1
-1-1
V
E
U
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (2) 5
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus 2 (minus3) ( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
Desarrol
lo 1 minus1
L e6presn ( )(minus 5 ) (2) tene trnos o sampnos minus 4 + 8 minus 5
1 minus1
W)minus5 9 9 9 (2) 9
5
A
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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propeesen c ampnoe estostrnos setene
1 minus1
( minus 4 )(minus 5 ) + 8 minus (25
V 20 + 8 minus (5 ) (2 )
entrs
V 20 + 8 minus10
V ( 20+8) minus10
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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l i t
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
l i t
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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V 28minus10
= 18
8or tnto ( minus 4
Segamprente9ampsteencontrrotro cnopr reampcr e6presn9 ent cso9 esportnte
resr ampprope 4so pc9e estner eproceentoamper
gtampstco respampeste3e ser s7
12 minus 34 minus1 + 2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)Los trnosprncpes e e6presn son 12934 minus1+2(4)3
minus10 992 ( minus3 )8or o tnto9 pcr spropeesencons9teneos
12 minus 34 minus1 +
2 (4 ) 3 minus10 minus
2 (minus 3)V 12 minus 33 + 8 (
1V
V 12 minus 317 + 6
V12 minus 51 + 6V (12 minus 51 )+ 6
V minus39+6V minus33
( 2 minus x)(3 + y)+ 4 y minus5 y ( 2 minus 6 )
V 2lowast3+2 y minus3 xminus x y+4 yminus10 y+30 ySe pc prope str3amptprer
tercer trno7
V 6 + ( 2 y + 4 y minus10 y + 30 y )minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + ( 2 + 4 minus10 + 30 ) y minus 3 x minus xy 8rope str3amptV 6 +(6+20 ) y minus3 x minus xy 8rope soctV 6 + 26 y minus3 x minus xy
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N Mercees es Gelt
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
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b
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
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V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
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N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
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ro6entee500
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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7252019 CB2015-1 SEGUNDO BLOQUE-MATEMATICASdocx
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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l i t
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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EECICI
O Spcrce6presnamptltno spropeese sopercones7
1 minus Z minus 5 Y5 2 Y minus2[5 Y 1
2 20 minus Y) minus 175 Y075
100 Y50 minus minus2 minus 1
) Utltnospropees e osn$erosrees9EDUCI
- 26 Y - -2lt - 6 Y
c - ) Y Y -52 Y e Z - 6 Y - 1[ - Z - 6Y5[
g 21 - - Y - 5 - )2
-32-Y23Y3
172
Los congtampntos namprcosampe conorn e e osn$eros rees son econgtampnto e os n$eros
ntampres9 e e os n$erosenteros9 e e os n$erosrcones e congtampnto eos n$eros rrcones7 Econgtampnto e os n$erosntampres est conteno ene e os n$eros enteros ste samp elt est contenoen e e os n$erosrcones7 He pennotr ampe e congtampnto e
os rcones e congtampntoe os rrcones sonsgtampntos9 es ecr9 notenen eeentos en co$n9pero ampnn e estosconor e con8unto delos nuacutemeros reales
Campn
o se co
nn e6preso
nes
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
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V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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ees9 see3en teneren campent spropeese cn9teneno ecampo ampeso sepampeenconrtrnosseegtntes9es ecr9ampeos ampeso erenen sampcoecentenamprco7
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
eE6p
resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
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Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
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MampoN Me
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l i t
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
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e 4 times10
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D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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7252019 CB2015-1 SEGUNDO BLOQUE-MATEMATICASdocx
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Unidad
UNIDDUNO27E6presones 8otenc
s
KEl aacutelQe-ra es
DAe3ert 11-1
83r
s C
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resn ge3rc9 e6
ponente9 no
tc
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
s3oltngenerentecon etrsamperepresentnstntosores e ampncongtampntonamprco9 s por egtepo9campno ses3olt xisin Z 9 se estrno ampe x representcampampereeento econgtampnto eos n$erosenteros7Es portntenegtre6presonesge3rcs enercorrect
p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
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S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
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c
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2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
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V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
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L
L
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B0
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B
30
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N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
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N Mercees es Gelt
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l i t
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
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2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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n centc9potenc7
Introampccn
Un e6presnge3rc es
ampn congtampntoe r3es n$erosoperosentre s7 Lsr3es eneste conte6tosecrcterltnporampe sono3gtetos se
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p
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
)an
8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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l i t
0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
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7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
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e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
otambiena minusn
= (a n
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8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
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Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
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V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
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Y YJ
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27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
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L
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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a 34 times 10minus2
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eampprenres
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
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esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
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MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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271Desrrootetco
271718otenccn
DEFINICIOacuteN
an =
a sdot a
sdot a
sdot a sdot sdot a 9one n esampn enteroposto a es ampnn$ero re7
n
factore
s
E
n$erorea se
3se
e
E
J7 p7
minus
) x
2
=
x sdot x
2 y 3
2 y sdot y sdot y
DEFINICIOacuteNS isin 9 ne 0 9 n entero posto entonces
a minusn
=
1
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= (a n
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8S 9 3 son rees erentes e cero 9n son enteros9 secamppe
1 sdot n V Yn sdot3 Vsdot3
sdot a m = a m a n nminus2 n Vn )
bm
5
a m
= a
b
Mampo e Mtetcs
N
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
sdot c
c 26 -2 V1
2 x2
S V
2n 9 n V r2
entonces
minus n V rJ
2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
minus 2 minusminus 52
-23c22
S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
2
c
3
V 0
2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
rcamp
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
minus
Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
)3 Y [ minusn Y 2 5minus3 Y 1]2Y 1
27172NotcnCentc
Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
soperconese ampn or
L
L
0 0
0
B0
0
B
30
30
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
E6presr sn e6ponentes c ampn e s sgampentescntes
a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
0003
c 5042000000 000
357000000
8r e =o 12 eamp p$3c en res er 1383 times10
eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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aEncontrreproe
oeeamptot
porcperson
7 eamppercpt
Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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0
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
MampoN Me
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l i t
1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
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c 26 -2 V1
2 x2
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2n 9 n V r2
entonces
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2 Operr9e6presnoe resamptoen orspc cone6ponentes postos
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S se s3eampe V 23
3 V c2 9copro3r
1
c
-J2c3 Y
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2 )2 Y 1
23 Y3 V )2c)
2
-3 - 232
V 0
Detern
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
3 150 minus 5 Y 0
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Y YJ
c 1 minus 5 2 minusn 2 Y 20 minus) Y 2n2
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Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
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L
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N Mercees es Gelt
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EECIC
IO )
E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
r prcopro3r osresamptoso3tenos7
a 00000144
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c 5042000000 000
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eampprenres
813 times10107Lpo3cnenes ec4erp
ro6entee500
0007
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
(23times10minus3 )(000012)
2500000000 0
5 times10 5
esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
e7 E6prese ampt tot e s tres epress amptltnonotcn centc7
7 S se sampe ampe po3cn 3enecr e ests epress ese 5 ones e persons9 s se reprte c4 ampteampttente entre toos samps 43tntes9 campnto nero ecorresponer c personF ampstampe samp respampest7
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
ampn eoc proeo
e 4 times10
4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Ter 2
1Deternr sssgampentesgampesson certs ono e6pcr7
J7 Y 32
V
2
Y1)3 Y
32
7 3 sdot c V sdot 3
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b) = 2
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Mampo e MtetcsN Mercees es Gelt
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5 Epenos
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Campno se4cenopercones
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EECIC
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E6presr ennotcncentc campn e ssgampentescntes
a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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a 34 times 10minus2
d 213 times10minus1
2 Eectamprssgampentesopercones7Utltr ccampo
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a 00000144
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c 5042000000 000
357000000
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aEncontrreproe
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
12times103
(36000000)(00004)6 times102
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2500000000 0
5 times10 5
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L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
Epres A )5 ones e res7
Epres B 21)J1 ones e res7Epres C7 15 ones e res7
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MampoN Me
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1
En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
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4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
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7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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7252019 CB2015-1 SEGUNDO BLOQUE-MATEMATICASdocx
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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e ssgampentesrconessonerers campes ss7
INDICA sregs ampe senrngen7
minus (a minus b)a)
b
1sdot x minus1
b) = 2
c) [ x divide (2 y +
d ) xminus1 minus y minus1 =
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5 Epenos
propeese osrees9operr reampcr
076 Y 22
Y 6 minus07
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Campno se4cenopercones
con n$erosamp grneso peampe=os9os ccampos seampeenpesos7 Lnotcncentc nosperteescr3r estosn$eros eor scort 4cer
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Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
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S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
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Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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esoer c ampno e os sgampentes pro3es
L ampt e tres epress amprnte ampn =o9 ampe en samporen
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Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
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S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
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Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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a )200 -25J0000000
e J000M07002121
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Mampo e Mtetcs
N Mercees es Gelt
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MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
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7 Tomadode
laRe9it
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
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272 Sntess
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Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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EECIC
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MampoN Me
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Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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Introduccion
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7 Tomadode
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ners N 10 ulio de P33
Un 3n e res eampe 1 n e ones eres7 Deterne campntos 3etes e US]50 se necestn
pr consttampr cnt encon7
S e sro no es e US]209 campntos srosnos se pampeen pgr con os 3ones e pesos9 s ampnr eampe 2000 pesosF
272 Sntess
Campno se conn e6presones rees9 se e3en tener encampent s propees e cn9 teneno e campo ampeso se pampeen conr trnos seegtntes9 es ecr9 ampeosampe so eren en samp coecente namprco7
Un potenc es ampn e6presn ampe tene ampn 3se ampne6ponente9 s e e6ponente es ampn n$ero ntampr erente ecero9 nos nc e n$ero e
Mampo eMtetcsN Mercees es Gelt
l i t
2
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eces ampe e3e amptpcr 3se7 8r or g en osccampos e3e tener presente s propees7
Mampo e Mtetcs 3N Mercees es Gelt
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MATEIAL DE A8OO DIDCTICO
bull Mter 1 O N$eros enteros
bull Mter 2 O E6presones ge3rcs
bull Mter Los n$eros e (3oncc
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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- L eamp p$3c pr tot pr e =o 15 er epro6ente 1)22J000000 e res7 Camp ampe erenc e eamp tot entre 12 15
Ter Eectampr c ampn e s sgampentes opercones7 Utltr ccampor pr copro3r os resamptos o3tenos7
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2500000000 0
5 times10 5
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MampoN Me
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En Estos Unos9 ampn cn recorre en proeo ampn
stnc e 24 times107 m =o7 S e cn se esplt
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4 etros por 4or9 eterne campnts 4ors tr3gt
=o7Usr recn T =
D 9 en one D represent stncrecorr9
7 Tomadode
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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Introduccion
Hitori
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)
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n de cu $or ue amptetic no nron u+icienteente t e ioI +ue in dud crenci de uno oo ue udrn o tetico e$reru tro de un ner i$e ue $eritiern u ectur con or +ciidd
ede o ionio (1700 de ) t io+nto (250 d de ) o$ercione eretn con e enue ordinrio (erodo retrico o er) $or ee$o en e $$iro de ind (1650 de ) e $uede eer $r decriir un $roe n ontn un$tio de io e iu 24on $r un ontn deinn incnitlt n $r de $iern ndndo en direccin de ecritur er e ino (=) en contr e ino (-) gto e ecriir oet ecucin $r Aer iene de ttuo de iro -r BCDuecrito en Edd rededor de Fo 825 $or e tetico trnoo ampoed in-ampu -GBrii (io de ampu ntio de GBrii) incnit (co) nore ue $erdur durnte tnte tie$o Aer e crcteri $or e uo de etr e$reione itere ore ue e ceno$ercione $oiiidd de re$reentr con un o etr un in+inidd de ore eeco de $oder o$err con e de +or ntur enci e o ue ce er de rnutiidd er e erico un enue tiene un re $rticure ue ue$render $or ee$o e $roe ue te encontrdo con e$rein 8 trducido $or oco etrolt en e$reione eric u ini+icdo er oco $or o o ue e o io oco ece undo neo oente nero(rittic) o ino de o$ercione indicn un ccin cuo reutdo e ie$re unnero (7 = 6 J 13) in ero cundo trto de con etr(Aer) eto$ercione no tienen ie$re $or u reire ino ue e den indicd (3 = ) orotr $rte ientr ue en e $riero de o co e e un reutdo nico en eeundo e e$ren todo o reutdo $oie en e or ue deo Ktrre eric ue de tener en cuent e ue cundo ecrie 35 ini+ic 5 = 3 L 10in ero cundo ecrie 3 ini+ic tre $or o o ue e o io = =
(o ue e e$eci+iue ue e ci+r de unidde de un nero 3 e ci+r de centen)