Cartilla Semana 2 Campo Electrico

8/16/2019 Cartilla Semana 2 Campo Electrico

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C MPO ELECTRICO


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INTRODUCCIÓN

En esta unidad analizaremos la perturbación del espacio que rodea a una carga, es decir

definiremos una cantidad llamada campo eléctrico que puede utilizarse para determinar la

fuerza en una pequeña carga de prueba como resultado neto de la presencia de otras cargas.

2.1

Campo eléctrico.

Es un vector que representa la perturbación del espacio por la presencia de una carga

eléctrica. Si una carga eléctrica q se coloca en un lugar del espacio, entonces cualquier carga

que se coloque en la cercanía de esta, interactúa con ella sintiendo una fuerza eléctrica,

como se observa en la figura 2.1.

Figura 2.1: Campo eléctrico producido por una carga puntual negativa.

Para verificar que en un lugar del espacio existe un campo eléctrico se debe usar una carga

de referencia o de prueba q0, que permita medir la fuerza eléctrica F que siente dicha carga

de prueba y que es producida por la carga fuente q.

r r

qk q / r

r

qqk

q

F E

2

e02

0e

o

(2.1)

Es decir el campo eléctrico producido por la carga puntual positiva q se calcula mediante la

expresión

r r

qk E

2

e

(2.2)

2.2 Campo eléctrico producido por distribuciones discretas de carga.


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3

Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales como se muestra en la figura 2.2 y se

quiere calcular el campo producido por todas ellas en el punto P , se utiliza el principio de

superposición.

n

1i

i2

i

ien

1i

iT r ˆ r

qk E E

(2.3)

Donde n es el número de cargas puntuales y Ei es el campo producido cada carga en el

punto P .

Figura 2.2: Campo eléctrico de distribuciones discretas de carga.

2.3 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga.

Cuando la carga está distribuida de manera continua, es necesario hallar una cantidad que

defina la distribución de la carga en función de la geometría de esa distribución.

Cuando la carga Q está distribuida a lo largo de una línea de longitud L, por ejemplo en una

barra, se define la densidad lineal de carga λ.

mC LQ λ (2.4)

Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de longitud

dl con carga dq es igual en cualquier parte de la línea L

Q

dl

dq λ .


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4

Cuando la carga Q está distribuida en una superficie de área A, por ejemplo en una lámina,

se define la densidad superficial de carga σ .

2mC A

Qσ (2.5)

Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de área dA

con carga dq es el mismo en cualquier parte de la superficie A

Q

dA

dqσ .

Cuando la carga Q está distribuida en un todo el volumen V , por ejemplo en un sólido como

el que se muestra en la figura 2.3, se define la densidad volumétrica de carga ρ.

3

mC

V

Q ρ (2.6)

Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de volumen

dV con carga dq es igual en cualquier parte de la superficieV

Q

dV

dq ρ .

Figura 2.3: Campo eléctrico de distribuciones Continuas de carga.

Con estas consideraciones entonces el campo eléctrico producido por una distribución

continua de carga se puede obtener mediante la suma de las contribuciones de carga dq en


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5

todo el volumen, superficie o línea. Cuando se tiene una distribución volumétrica de carga

se procede así:

Aplicando la ley de Coulomb, para el elemento de carga dq, se puede escribir el campo

eléctrico producido por este elemento en el origen es r ̂ r

dqk E d

2

e

Para el caso de una distribución volumétrica de carga, el campo eléctrico es

r ˆ r

dV )r ( ρk r ˆ

r

dqk E

V

2e

V

2

e

(2.7)

Para el caso de una distribución superficial de carga, el campo eléctrico es

r ˆ r

dA )r ( σ k r ˆ

r

dqk E

A

2e

A

2

e

(2.8)

Para una distribución lineal de carga, el campo se escribe

r ̂ r

dI )r ( λk r ̂

r

dqk E

I

2e

l

2

e

(2.9)

En general la solución de un problema de distribución continua de carga usando la ley de

Coulomb, es un problema que se resuelve con integración múltiple, es decir cuando es una

distribución superficial de carga, se deberá resolver una integral doble y si es una

distribución volumétrica de carga una integral triple, sólo que en ocasiones es posible

resolver problemas donde la escogencia del elemento diferencial de carga permita

simplificar una o dos integrales, pero se deberá indicar en cada caso, cómo se obtiene el

campo eléctrico de ese elemento de carga.

Ejemplo 2.1 Dos cargas puntuales de -4µC y 6µC se localizan en los puntos (2cm, 3cm) y (2cm,

0cm) respectivamente. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico resultante en el

origen (0,0).


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6

Figura 2.4

Solución: El campo producido en el origen es la suma del campo1

E

producido por la carga

C μ6 =q1 y el campo 2 E

producido por la carga μC 4-q2 , el campo total es:

, E E E 21T

Con 0,02mr 1 y m036 ,0(0,03m)(0,02m)r 22

2

Además en la figura del ejemplo se observa que 0,553,6

2cosθ y 83 ,0

3,6

3 senθ

Las magnitudes del campo producido por la carga q1 es:

C / MN 135

m02 ,0

C 106 c

m N 109

r

qk E

2

6 2

29

21

1e1

La del campo producido por q2 es:

C / MN 7 ,27

m036 ,0

C 104c

m N 109

r

qk E

2

6 2

29

22

2e2

Vectorialmente los campos quedan expresados así:

ĵ θ sen E î θ cos E E y ĵ 0î E E 22211

, sustituyendo se tiene:

MN/C ĵ 0î 135 E 1

y C / MN ĵ 0 ,23î 3 ,15 E 2


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Entonces el campo total en el origen es: C / MN ĵ 23î 7 ,119 E T

y la magnitud es: C / MN 9 ,121237 ,119 E 22T

y su dirección es:

12 ,16918087 ,10

7 ,119

23tanα

1-

Ejemplo 2.2 Calcula el campo eléctrico producido un dipolo eléctrico (sistema compuesto por

dos cargas iguales y de signo contrario) separadas una distancia 2a en un punto P, a una

distancia x a lo largo de la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas ver figura

2.5.

Solución: El campo eléctrico en P es el resultado de los campos producidos por cada carga.

Figura 2.5

El campo total en el punto P es

E E E

Donde

E E K q

r K

q

x ae e

2 2 2


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8

Las componentes x de

E y E

se cancelan entre sí. El campo total

E tiene por lo tanto una

componente a lo largo del eje y únicamente, de magnitud

E E E K q

x aa

x a

K qa

x a

e e

cos cos 2 2

2 2

2 2

1

2 2 2

3

2

para el caso x >> a, se puede ignorar a 2 en el denominador de la última ecuación, por lo tanto

el campo

E para un dipolo eléctrico es

3e3e x

p K ) ĵ (

x

aq2 K E

3.4

donde ĵ )qa2( p

es llamado el vector de momento dipolar y va de la carga negativa a la

carga positiva y por lo tanto es antiparalelo al campo eléctrico de la distribución (figura 2.6).

Figura 2.6

El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas llamadas

dipolares, por ejemplo el H 2O.


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9

Ejemplo2.3 Una barra uniforme de carga total positiva Q y longitud L se localiza sobre el

semieje positivo x con un extremo en el origen como se muestra en la figura. Calcular el campo

eléctrico producido en un punto P sobre el eje x a una distancia d del otro extremo de la barra.

Figura 2.6

Solución: De acuerdo con la ley de Coulomb, el campo eléctrico producido por una distribución

lineal de carga en un punto P , se puede calcular usando la ecuación: r ̂ r

dI )r ( λk r ̂

r

dqk E

I

2e

l

2

e

Para lo cual se debe considerar un elemento deferencial de carga dq , que produce un campo

eléctrico E d

dirigido sobre el eje x, y se expresa: î r

dqk E d

2

e

De tal manera que la magnitud del campo E en el punto P , se obtiene integrado.

L

2

L

e2

e

r

dqk

r

dqk E

Pero como la carga está distribuida uniformemente en toda la longitud L , se utiliza la

densidad lineal de cargadx

dq λ , donde dx λdq .

La distancia r se puede expresar en términos de x así: x-d Lr . Sustituyendo:


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10

L

0

2e

xd L

dx λk E

Esta integral se resuelve por sustitución, haciendo x-d Lu , derivando se tiene

1dx

du , de donde se tiene que -dudx , la integral nos queda:

L

0

e

L

0

e

L

0

1

e

L

0

2e

L

0

2e ) xd L

λk

u

λk

1

u λk duu λk

u

du λk E

Evaluando los límites

Ld d

L λk

d L

1

d

1 λk E

ee , cómo

L

Q λ , se obtiene que el campo

eléctrico se exprese:

î

d Ld

Qk E e

Si la distancia d es mucho mayor que L , es decir d>>L , se obtiene la expresión2

e

d

Qk E , lo que

indica que el campo eléctrico producido por la barra en un punto muy lejos de ella, está en

concordancia con el campo producido por una carga puntual.

Ejemplo 2.4 Un anillo de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en toda su

longitud. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto P localizado sobre

el eje central perpendicular del anillo y a una distancia x de su centro. Ver figura 2.7.


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11

Figura 2.7

Solución: De acuerdo con la ley de Coulomb, el campo eléctrico producido por el anillo en el

punto P , se calcula integrando el diferencial de campo dE que el elemento de carga dq en el

punto P , es decir2

e

r

dqk dE , por la simetría de la distribución de carga del anillo se observa

que las componentes del campo en los ejes y y z se cancelan cuando se realice la integral a lo

largo de todo el anillo, y sólo se considera la contribución del campo a lo largo del eje x, con

θ dEcosdE x , por Ley de Coulomb

2

e

r

dqk dE , integrando en toda la longitud del anillo se tiene.

L2

e

x

θ cosr

dqk E

Pero en esta integral r y θ son constantes ya que la carga está distribuida en toda la

circunferencia del anillo y a la misma distancia del punto P .

En la figura se puede observar quer

x

θ cos , por lo tanto la integral queda:

L L 222

e3

e3

e

L

2e

x 3

x R

xQk dq

r

k x

r

xdqk

r

x

r

dqk E

Es decir el campo eléctrico en el punto P, será

î

x R

xQk E

2

322

e

Si x>>R , entonces R~0 comparado con x , por lo que la magnitud del campo es:

2

e

2

32

e

x

Qk

x

xQk E , que corresponde al campo eléctrico producido por una carga puntual, es decir

que desde muy lejos el anillo se visualiza como una carga puntual.


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12

Ejemplo 2.5 Un disco de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en toda su

superficie. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto localizado sobre

el eje central perpendicular del disco y a una distancia x de su centro. Ver figura 2.8.

Figura 2.8

Solución: Para calcular el campo eléctrico en el punto P producido por el disco, podemos

considerar nuestro elemento diferencial de carga dq como un anillo uniforme de radio a , como

la simetría del problema es similar a la del anillo donde sólo se considera la contribución del

campo en el eje x , el campo producido por el elemento de carga dq en P, entonces:

23

22

e

xa

xdqk dE

Como el disco tiene densidad superficial de carga uniforme, esto es:

dA

dq

A

Qσ

Podemos expresar dAσ dq , con adaπ 2dA , entonces adaπσ 2dq

R

0 2

3

22

e

R

0 2

3

22

e

A 2

3

22

e

A 2

3

22

e

xa

ada xk σπ 2

xa

adaσπ 2 xk

xa

dAσ xk

xa

xdqk E

Por lo que el campo eléctrico a lo largo del eje x , se obtiene integrando sobre toda el área del

disco, además como la variable de integración es a , se deberá integrar desde a=0 hasta a=R.


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13

La integral se resuelve por el método de sustitución, haciendo 22 xau , es decir que

a2da

du , donde

a2

duda , remplazando se tiene:

R

02

1e

R

0

2

1

e

R

0

2

3

e

R

0 2

3e

R

0 2

3e

u

1 xk σπ 2

2

1

u xk σπ duu xk σπ

u

du xk σπ

au2

adu xk σπ 2 E

Usando la sustitución 22 xau y evaluando los límites de integración se tiene

2

1

22

e

2

1

22

1

22

e

R

02

1

22

e

x R

1

x

1 xk σπ 2

x

1

x R

1 xk σπ 2

xa

1 xk σπ 2 E

Como la densidad de carga A

Qσ y el área del disco 2 Rπ A , el campo eléctrico es

2

122

2

e

2

122

e

x R

1

x

1

Rπ

xQk π 2

x R

1

x

1

A

xQk π 2 E ,

es decir que el campo eléctrico producido por un disco uniforme e un punto P, a lo largo del eje

perpendicular a su centro es:

î

x R

x

x

x

R

Qk 2 E

2

122

2

e

Semana 2: Ejercicios y Problemas

1. Dos cargas puntuales de 2µC y -4 µC están situadas en el eje x. La de 2µC está en x=2,00

m, y la otra está en x=-2,00 m. Determinar:a) El campo eléctrico sobre el eje y en y=1,00 m.

b) El punto sobre el eje x donde el campo eléctrico resultante es nulo.

2. Dos cargas puntuales positivas de 2 x 10-6C y 4 x10-6C están localizadas sobre el eje

horizontal en las posiciones x= -2m y y=4m respectivamente, encontrar:


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a) El campo eléctrico resultante en el origen (x=0m).

b) Un punto sobre el plano xy donde el valor del campo eléctrico resultante

sea nulo.

3.

Un anillo uniformemente cargado de radio de 10,0 cm tiene una total carga de 75,0µC.

Determinar el campo eléctrico en el eje del anillo a: (a) 1,00 cm, (b) 5,00 cm, (c) 30,0 cm, y

(d) 100 cm desde el centro del anillo.

4. Una varilla cargada uniformemente aislante es doblada en la forma de un semicírculo de

radio R como se aprecia en la figura. La varilla tiene una carga total de Q. Encontrar el

campo eléctrico en el punto P, localizado en el origen.

Figura: Problema 4

5. Una carga de 4nC está distribuida uniformemente a lo largo de una línea que sobre el eje

x, entre los puntos con coordenadas x= 10cm y x= 50,0 cm. Encuentra el valor del campo

eléctrico en el origen.

6. Un disco uniformemente cargado de radio 5,00cm tiene una carga total 80,0 µC. Calcular:

a) el campo eléctrico producido por el disco a 20,0cm sobre la línea que pasa perpendicular

a su eje y b) la distancia al centro sobre esa misma línea donde el campo eléctrico es

máximo y c) el valor máximo del campo en ese punto.

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