carnap-fundamentacionlogicadelafisicab

8/12/2019 carnap-fundamentacionlogicadelafisicab

1/43

Fundamentacin lgica de lafsica

Rudolf Carnap

Ed. Orbis S.A

Buenos Aires, 1985

Este material se utiliza con finesexcusivamente didcticos


2/43


3/43

3

XXX. El indeterminismo en la fsica cuntica..............................................................................241


4/43

4

CAPTULO VTRES TIPOS DE CONCEPTOS DE LA CIENCIA

Los conceptos de la ciencia, como los de la vida cotidiana, pueden ser divididos en tres gruposprincipales: clasificatorios, comparativos y cuantitativos.

Por concepto clasificatorio entiendo simplemente un concepto que ubica un objeto dentro de unacierta clase. Todos los conceptos taxonmicos de la botnica y la zoologa -las diversas especies, familias,gneros, etc.- son conceptos clasificatorios. Varan en la cantidad de informacin que nos dan acerca de unobjeto. Por ejemplo, si digo que un objeto es azul, caliente o cbico, estoy formulando enunciadosrelativamente dbiles acerca del objeto. Al ubicar el objeto en una clase ms restringida, aumenta lainformacin acerca de l, aunque todava sigue siendo relativamente modesta. El enunciado de que un objetoes un organismo viviente nos dice mucho ms acerca de l que el enunciado de que es caliente. Es unanimal, dice un poco ms. Es un vertebrado, dice an ms. A medida que continuamos restringiendo lasclases -mamfero, perro, perro de lanas, etc.- vamos aumentando la informacin, aunque todavarelat ivamente poco. Los conceptos clasificatorios son los ms familiares para nosotros. Las primeras palabrasque aprende un nio -perro, gato, casa, rbol, etc.- son de este tipo.

Mayor informacin trasmiten los conceptos comparativos. Desempean algo as como un papel

intermedio entre los conceptos clasificatorios y los cuantitativos. Creo que es conveniente prestarles atencinporque a menudo se pasa por alto, aun entre los cientficos, el valor y el poder de tales conceptos. A menudose oye decir a un cientfico: Ciertamente sera deseable introducir conceptos cuantitativos, conceptos quepuedan ser medidos de acuerdo con una escala, en mi campo de estudios; desgraciadament e, esto no se puedehacer. Mi disciplina slo se halla en su infancia. An no hemos elaborado tcnicas para la medicin, demodo que debemos restringirnos a un lenguaje no cuantitativo, cualitativo. Quizs en el futuro, cuando estadisciplina est ms adelantada, podamos elaborar un lenguaje cuantitativo. El cientfico puede tener mucharazn al hacer esta declaracin, pero se equivoca si concluye de ello que, como tiene que hablar en trminoscualitativos, debe limitar su lenguaje a los conceptos clasificatorios. Sucede a menudo que, antes de que sepuedan introducir conceptos cuantitativos en un mbito de la ciencia, estn precedidos por conceptoscomparativos que constituyen herramientas mucho ms efectivas para describir, predecir y explicar que losconceptos clasificatorios, que son ms toscos.

Un concepto clasificatorio, como caliente o fro, simplemente coloca un objeto en una clase. Unconcepto comparativo, como ms caliente o ms fro, nos dice de qu manera se relaciona un objeto conotro, en trminos de mayor o menor. Mucho antes de que la ciencia elaborar a el concepto de temperatura,que puede ser medida, era posible decir: este objeto es ms caliente que este otro. Los conceptoscomparativos de este tipo pueden ser enormemente tiles. Supongamos, por ejemplo, que treinta y cincohombres se ofrecen para un trabajo que requiere ciertos tipos de capacidades y que la compaa tiene unpsiclogo cuya t area es determinar los mritos de los solicitantes. Disponer de juicios clasificatorios, porsupuesto, es mejor que no disponer de ningn tipo de juicios. El psiclogo puede decidir que cinco de lossolicitantes tienen imaginacin gil, diez de ellos tienen imaginacin lenta y el resto ni gil ni lenta. Demanera similar, puede hacer clasificaciones aproximadas de los treinta y cinco hombres en trminos de sushabilidades manuales, su capacidad matemtica, su estabilidad emocional, etc. En cierto sentido, claro est,

estos conceptos pueden ser utilizados como conceptos comparativos dbiles; podemos decir que una personacon imaginacin gil es superior, en este aspecto, que una persona con imaginacin pobre. Pero si elpsiclogo puede elaborar un mtodo comparativo que ubique a los treinta y cinco hombres en un orden de,rango con respecto a cada capacidad, entonces sabremos mucho ms acerca de ellos que lo que sabamoscuando slo se los clasificaba en las tres clases: fuerte, dbil y mediano.

No debemos subestimar nunca la utilidad de los conceptos comparativos, especialmente en dominiosen los cuales an no se han desarrollado el mtodo cientfico y los conceptos cuantitativos. La psicologa estusando los conceptos cuantitativos cada vez ms, pero hay an grandes zonas de la psicologa en las cualesslo es posible aplicar conceptos comparativos. La antropologa casi no tiene conceptos cuantitativos.Trabaja principalmente con conceptos clasificatorios y tiene gran necesidad de criterios empricos con loscuales elaborar conceptos comparativos tiles. En tales campos, es importante elaborar tales conceptos, queson mucho ms poderosos que los clasificatorios, aun cuando todava no sea posible efectuar mediciones

cuantitativas.Quisiera llamar la atencin del lector sobre una monografa de Carl G. Hempel y Paul Oppenheim,Der Typusbegriff im Lichte der neuen Logik.Apareci en 1936 y su ttulo significa El concepto de tipo


5/43

5

desde el punto de vista de la lgica moderna. Los autores se ocupan especialmente de la psicologa y decampos vinculados con ella, en los cuales los conceptos de tipo son, como sealan los autores, ms bienpobres. Cuando los psiclogos gastan su tiempo clasificando a los individuos, por ejemplo, en extravertidos,introvertidos e intermedios, u otros tipos de clasificaciones, en realidad no hacen lo mejor que pueden hacer.De cuando en cuando hallamos esfuerzos por introducir criterios empricos que puedan conducir a valoresnumricos, como en la tipologa del cuerpo de William Sheldon; pero en la poca en la que Hempel yOppenheim escribieron su monografa era muy escasa la labor realizada en este aspecto. Casi todos los

psiclogos que se ocupaban del carcter, la constitucin y el temperamento, t enan su propio sistema detipos. Hempel y Oppenheim sealaron que todas estas diversas tipologas eran poco ms que conceptosclasificatorios. Destacaban el hecho de que, si bien sera prematuro introducir conceptos mtricos ycuantitativos, se dara un gran paso adelante si los psiclogos pudieran idear conceptos comparativoseficaces.

Sucede a menudo que un concepto comparativo se convierte luego en la base de un conceptocuantitativo. Un ejemplo clsico de esto es el concepto de ms caliente, que lleg a convertirse en el detemperatura. Antes de entrar en detalles acerca de la forma de establecer criterios empricos paraconceptos numricos, ser til ver cmo se establecen criterios para conceptos comparativos.

Consideremos el concepto de peso antes de que fuera posible asignarle valores numricos. Slotenemos los conceptos comparativos: ms pesado, ms liviano y de igual peso. Cul es el procedimientoemprico por el cual podemos tomar cualquier par de objetos y establecer su relacin en trminos de estostres conceptos? Slo necesitamos una balanza de platillos y estas dos reglas:

1) Si los dos objetos se equilibran en la balanza, son de igual peso.2) Si los objetos no se equilibran, el objeto del platillo que baja es ms pesado que el objeto del

platillo que sube.Hablando estrictamente, an no podemos decir que un objeto tiene mayor peso que el otro, porque

todava no hemos introducido el concepto cuantitativo de peso; pero en la prctica puede usarse tal lenguaje,aunque an no se disponga de ningn mtodo para asignar valores numricos al concepto. Hace unmomento, por ejemplo, decamos que un hombre puede tener mayor imaginacin que otro, aunque no esposible asignar valores numricos a la imaginacin.

En el ejemplo de la balanza de platillos, as como en otros procedimientos empricos para establecerconceptos comparativos, es importante distinguir entre esos aspectos del procedimiento que son puramente

convencionales y los que no son convencionales porque dependen de hechos de la naturaleza o de leyeslgicas. Para comprender esta distincin enunciemos ms formalmente las dos reglas por las cualesdefinimos los conceptos comparativos de igualmente pesado, ms pesado y ms liviano. Con respecto a laigualdad, necesitamos una regla para definir una relacin observable correspondiente a la igualdad, a la cualllamaremos I). Para los otros dos conceptos necesitamos una regla para definir una relacin a la quellamar menos que y que simbolizar por M.

Las relacionesIy Mestn definidas mediante procedimientos empricos. Colocamos los dos cuerpossobre los dos platillos de una balanza. Si observamos que la balanza permanece en equilibrio decimos que larelacinIrige, con respecto a la propiedad de peso, entre los dos cuerpos. Si observamos que un p latillo subey otro baja, decimos que rige la relacinM, con respecto al peso entre los dos cuerpos.

Podra parecer que estamos adoptando un procedimiento completamente convencional para definir IyM, pero no es as. A menos que las dos relaciones que elegimos satisfagan ciertas condiciones, no pueden

desempear adecuadamente los papeles de Iy M. Por lo tanto, no son relaciones elegidas arbitrariamente.Nuestras dos relaciones se aplican a todos los cuerpos que tienen peso. Este conjunto de objetos es eldominio de nuestros conceptos comparativos. Si las relacionesIyM son vlidas para este dominio, debeser posible ordenar todos los objetos del dominio en una especie de estructura estratificada a la que a vecesse llama un ordenamiento casi serial. Podremos explicar mejor esto utilizando algunos trminos de lalgica de relaciones. La relacin I, por ejemplo, debe ser simtrica (si es vlida entre dos cuerpos a y b,tambin debe ser vlida entre by a). Tambin debe ser transitiva (si es vlida entre ay b y entre by c,tambin debe ser vlida entre ay c). Podemos diagramar este concepto utilizando puntos que representencuerpos y flechas dobles que indiquen la relacin de igualdad.


6/43

6

Es evidente que si adoptramos para Iuna relacin que no fuera simtrica, esto no sera adecuadopara nuestros propsitos. Tendramos que decir de un objeto que tiene exactamente el mismo peso que otro,pero ste no tiene el mismo peso que el primero. Y no es esta, claro est, la manera como deseamos usar laexpresin igual peso. El equilibrio de la balanza es una relacin simtrica. Si dos objetos se equilibran,continuarn hacindolo aunque cambiemos sus posiciones en los platillos. Por lo tanto, I debe ser unarelacin simtrica. Anlogamente, hallamos que si a se equilibra con ben los platillos y b se equilibra con c,entonces a se equilibra con c; la relacinI, pues, es tambin transitiva. Si Ies transitiva y simtrica, tambin

debe ser reflexiva; esto es, todo objeto es igual a s mismo en cuanto al peso. En la lgica de relaciones,una relacin que es al mismo tiempo simtrica y transitiva es llamada una relacin de equivalencia.Nuestra eleccin de la relacinI, obviamente, no es arbitraria. Elegimos comoIel equilibrio de los platillosporque se observa que esta relacin es una relacin de equivalencia.

La relacin M no es simtrica, sino asimtrica. Si aes menos pesado que b, bno puede ser menospesado que a. Mes transitiva: si aes menos pesado que b y bmenos pesado que c, entonces a es menospesado que c. Esta transitividad de M, al igual que las propiedades de la relacin I, es tan familiar paranosotros que a menudo olvidamos que debemos realizar una prueba emprica para asegurarnos de que seaplica al concepto de peso. Colocamos ay ben los dos platillos de la balanza, y abaja. Colocamos by c enlos platillos y bbaja. Si colocamos en los platillos ay c, esperamos que abaje. En un mundo diferente, en elcual no fueran vlidas nuestras leyes de la naturaleza, apodra subir. Si sucediera esto, entonces la relacinque ensayamos no sera llamada transitiva y, por ende, no servira como M.

Podemos diagramar la relacinM, transitiva y asimtrica, con flechas que van de un punto a otro:

Si las relacionesIyMson vlidas para todos los objetos del dominio, debe ser posible ordenar todoslos objetos en el orden casi serial diagramado en la figura 5-1. En el nivel inferior, el estrato A, tenemostodos los objetos que son de igual peso entre s, pero menos pesados que todos los objetos que no estn eneste estrato. Puede haber un solo objeto semejante o puede haber muchos miles. La figura 5-1 indica cuatro.

En el estratoBtenemos otro conjunto de objetos igualmente pesados, todos ellos relacionados entre s porI,todos ms pesados que los objetos del estradoA y ms livianos que todos los objetos que no estn en Ao enB. Estos estratos continan hacia arriba, hasta llegar finalmente al estrato de los objetos ms pesados. Amenos que los ensayos empricos revelen que los objetos del dominio pueden ser colocados en este ordencasi serial, las relacionesIyMno sern adecuadas para definir, respectivamente, los conceptos comparativosde igual peso y menor peso.

El lector hallar un examen ms detallado de todo esto en las secciones diez y once de la monografade Hempel Fundamentals of Concept Formation in Empirical Science.1 Hempel dice que I y M debensatisfacer, cuatro condiciones:

1. Idebe ser una relacin de equivalencia.2. Iy Mdeben excluirse mutuamente. Ningn par de objetos pueden ser igualmente pesados y al mismo

tiempo estar relacionados de tal modo que uno sea menos pesado que el otro.3. M debe ser transitiva.1International Encyclopedia of United Science(Chicago: University of Chicago Press, 1952), Vol. 2, N. 7.


7/43

7

4. Para dos objetos cualesquiera ay b, debe darse uno de los tres casos siguientes (en realidad, basta decirque se da al menos uno de ellos; se desprende de las otras condiciones que slo se cumple exactamente uno):

(a)Ise cumple entre los dos objetos.(b)M se cumple entre ay b.(c)M se cumple entre by a.

Figura 5-1.

En otras palabras, dos objetos pesados a y b o bien son de igual peso, o bien a es menos pesado queb, o bien bes menos pesado que a.

Si dos relaciones cualesquieraIy Msatisfacen estos cuatro requisitos podemos decir que constituyenun orden casi serial, que puede ser diagramado de la manera estratificada que se indica en la figura 5-1. Pormedio de la relacin de equivalenciaIpodemos clasificar todos los objetos en clases de equivalencia; luego,con ayuda de la relacinM, podemos colocar estas clases en un orden serial y, de este modo, desarrollar todoel esquema de estratos ordenados. El punto que quiero destacar aqu es que los conceptos comparativos,dejando de lado la cuestin de si se aplican o no a los hechos de la naturaleza, obedecen a una estructuralgica de relaciones.

Esto no sucede con los conceptos clasificatorios. Al definir un concepto de clase, podemosespecificar las condiciones que nos plazca. Por supuesto, si incluimos condiciones lgicamente

contradictorias, como hablar de objetos que pesan tres kilos y al mismo tiempo pesan menos de un kilo,estamos definiendo una clase que no tiene miembros, en ningn mundo posible. Aparte de esto, somos libresde definir una clase de cualquier manera consistente que deseemos, independientemente de que la clase tengao no miembros en nuestro mundo. El ejemplo clsico es el concepto de unicornio. Lo definimos como unanimal con forma de caballo y con un cuerno recto en su frente. Se trata de una definicin perfectamentecorrecta, en el sentido de que da significado al trmino unicornio. Define una clase. No es una clase tilpara un zologo, porque es vaca en el sentido emprico, no tiene miembros, pero sta no es una cuestin quedeba decidir el lgico.

Con respecto a los conceptos comparativos, la situacin es muy diferente. A diferencia de losconceptos de clase, suponen una complicada estructura de relaciones lgicas. Si los introducimos, no somoslibres de rechazar o modificar su estructura. Es necesario satisfacer los cuatro requisitos enunciados porHempel. As, vemos que hay dos aspectos en los cuales los conceptos comparativos de la ciencia no son

totalmente convencionales: deben aplicarse a los hechos de la naturaleza y deben ajustarse a una estructuralgica de relaciones.


8/43

8

Pasamos ahora a los conceptos cuantitativos. Todo concepto cuantitativo tiene un parcorrespondiente de conceptos comparativos, los cuales, con el desarrollo de un campo de la ciencia,habitualmente son el primer paso hacia los conceptos cuantitativos. En los ejemplos que hemos utilizado, losconceptos comparativos de menor peso e igual peso conducen fcilmente a un concepto de peso que puedeser medido y expresado mediante nmeros. Examinaremos la naturaleza de los conceptos cuantitativos, larazn de que sean tan tiles, los campos a los que pueden aplicarse y si hay campos en los cuales no seanaplicables. Este ltimo punto es sumamente importante para la metodologa de la ciencia, razn por la cual lo

trataremos con mayor detalle. Pero antes de abordar estas cuestiones, har algunas observaciones generalesque adquirirn mayor claridad en el curso de nuestro anlisis, pero que deben ser indicadas ahora.

Ante todo, debemos destacar que la diferencia entre lo cualitativo y lo cuantitativo no es unadiferencia de naturaleza, sino una diferencia en nuestro sistema conceptual, en nuestro lenguaje, podramosdecir, si por lenguaje entendemos un sistema de concepto. Aqu utilizo la palabra lenguaje como lo hace ellgico, no en el sentido en el cual el ingls es un lenguaje y el chino otro. Tenemos el lenguaje de la fsica, ellenguaje de la antropologa, el lenguaje de la teora de conjuntos, etc. En este sentido un lenguaje estconstituido por reglas para el vocabulario, reglas para construir oraciones, reglas para efectuar deduccioneslgicas a partir de estas oraciones, etc. Los tipos de conceptos que aparecen en un lenguaje cientfico sonsumamente importantes. Lo que deseo aclarar es que la diferencia entre lo cualitativo y lo cuantitativo es unadiferencia entre lenguajes.

El lenguaje cualitativo se limita a los predicados (por ejemplo, el pasto es verde), mientras que ellenguaje cuantitativo introduce lo que se llaman smbolos functores, esto es, smbolos para funciones quetienen valores numricos. Esto es importante, porque existe la difundida opinin, especialmente entre losfilsofos, de que hay dos tipos de caractersticas en la naturaleza, las cualitativas y las cuantitativas. Algunosfilsofos sostienen que la ciencia moderna, debido a que restringe cada vez ms su atencin a lascaractersticas cuantitativas, desprecia los aspectos cualitativos de la naturaleza y, de este modo, ofrece uncuadro del mundo totalmente distorsionado. Esta concepcin es totalmente errnea, como puede verse si seintroduce la distincin en el lugar apropiado. Cuando contemplamos la naturaleza, no podemos preguntar:Son esos fenmenos que veo cualitativos o cuantitativos? sta no es la pregunta correcta. Si alguiendescribe esos fenmenos en ciertos trminos, definiendo estos trminos y dndonos reglas para su uso,entonces podemos preguntar: Son estos los trminos de un lenguaje cuantitativo o los de un lenguajeprecuantitativo, cualitat ivo?

Otro punto importante es que las convenciones desempean un papel muy importante en laintroduccin de conceptos cuantitativos. No debemos pasar por alto este papel. Por otra parte, tambindebemos tener cuidado de no sobreestimar el aspecto convencional. Esta no sucede a menudo, pero algunosfilsofos lo han hecho. Hugo Dingler, en Alemania, es un ejemplo de ello, pues lleg a una concepcintotalmente convencionalista que considero errnea. Deca que todos los conceptos, y aun las leyes de laciencia, son materia de convencin. En mi opinin, esto es ir demasiado lejos. Poincar tambin ha sidoacusado de convencionalismo en este sentido radical, pero creo que esto se debe a una interpretacinequivocada de sus escritos. Es cierto que a menudo ha destacado el importante papel de las convenciones enla ciencia, pero tambin era muy consciente de los componentes empricos que intervienen. Saba que nosiempre somos libres de hacer elecciones arbitrarias en la construccin de un sistema cientfico; t enemos queacomodar nuestro sistema a los hechos de la naturaleza a medida que los descubrimos. La naturaleza aporta alas situaciones factores que estn fuera de nuestro control. Si Poincar puede ser llamado un

convencionalista, slo se entiende por esto que destacaba ms que los filsofos anteriores el importante papelde las convenciones. Pero no era un convencionalista radical.Antes de abordar el papel de la medicin en la elaboracin de conceptos cuantitativos, debemos

mencionar que hay un mtodo cuantitativo bsico y ms simple, el mtodo de contar. Si no furamos primerocapaces de contar tampoco seramos capaces de medir. El acto de contar no supone ms que los enteros nonegativos. Digo enteros no negativos" y no enteros positivos, porque el cero es tambin el resultado decontar si damos a la palabra un sentido suficientemente amplio. Dada una clase finita -por ejemplo, la clasede todas las sillas de una habitacin-, contar es el mtodo por el cual determinamos el nmero cardinal deesta clase. Contamos las sillas -una, dos, tres, etc.- hasta que terminamos, por ejemplo, en veinte.Supongamos que deseamos contar el nmero de pianos que hay en una habitacin. Miramos a nuestroalrededor y no vemos ningn piano, decimos entonces que el nmero cardinal es cero. ste puede serconsiderado como un caso degenerado del contar. Sea como fuere, cero es un entero y puede ser aplicado a

una clase como su nmero cardinal. En tales casos, habitualmente la llamamos una clase nula.El mismo procedimiento de contar nos da el nmero cardinal de una clase finita de sucesos

consecutivos. Contamos el nmero de veces que omos el trueno durante una tormenta o el nmero de


9/43

9

campanadas de un reloj. Es probable que este tipo de enumeracin apareciera antes en la historia que elrecuento de clases de cosas simultneas, como sillas de una habitacin. En realidad, es la manera como unnio aprende a contar. Camina por la habitacin y toca cada silla individual a la par que enuncia las palabrasque expresan nmeros. Lo que l cuenta, en realidad, es una serie de toques. Si se le pide a un nio quecuente un grupo de rboles situados a cierta distancia, hallar difcil hacerlo porque le cuesta sealar losrboles uno por uno y poner en prctica alguna especie de este procedimiento de toque. Pero si logra contarcada uno de los actos de sealamiento, asegurndose de que seala cada rbol una vez y slo una vez,

entonces decimos que hay un isomorfismo - entre el nmero de rboles y el nmero de actos desealamiento. Si el nmero de estos actos es ocho, atribuimos el mismo nmero cardinal a los rbolessituados a distancia.

Un nio mayor o un adulto puede ser capaz de contar los rboles sin sealarlos. Pero, a menos que setrate de un nmero pequeo, como tres o cuatro, que puede ser determinado de una mirada, concentrarprimero su atencin en un rbol, luego en otro, etc. El procedimiento sigue siendo el de contaracontecimientos sucesivos. Puede demostrarse mediante una prueba formal que el nmero cardinal obtenidode esta manera es realmente el nmero cardinal de la clase, pero no entraremos aqu en sus detalles. Loimportante es que, al contar una clase de objetos, realmente contamos otra cosa: una serie de sucesos.Hacemos entonces una inferencia sobre la base de un isomorfismo (una correspondencia biunvoca entresucesos y objetos) y llegamos a la conclusin de que el nmero de sucesos es el nmero cardinal de la clase.

Un lgico siempre encuentra muchas complicaciones en cosas simples. Hasta el acto de contar, elms simple de todos los mtodos cuantitativos, sometido a anlisis, resulta no ser tan simple como parece aprimera vista. Pero una vez que sabemos contar, podemos continuar aplicando reglas para la medicin, comoexplicaremos en el captulo VI.


10/43

10

CAPTULO VILA MEDICIN DE CONCEPTOS CUANTITATIVOS

Para describir los hechos de la naturaleza mediante conceptos cuantitativos, conceptos con valoresnumricos, debemos disponer de procedimientos para llegar a esos valores. El ms simple de tales

procedimientos, como vimos en el captulo anterior, es contar. En este captulo, examinaremos losprocedimientos de medicin ms refinados. Contar slo permite obtener valores que se expresan mediantenmeros enteros. La medicin va ms all. No slo brinda valores que pueden ser expresados por nmerosracionales (enteros y fracciones), sino tambin valores que pueden ser expresados por nmeros irracionales.Esto permite aplicar herramientas matemticas poderosas, como el clculo infinitesimal, incrementando laeficiencia del mtodo cientfico.

El primer punto importante que debemos comprender claramente es que, para dar significado atrminos como longitud y temperatura, debemos disponer de reglas para el proceso de medicin. Estasreglas no nos dicen sino cmo asignar un cierto nmero a un cierto cuerpo o proceso, de modo que podamosdecir que este nmero representa el valor de la magnitud de ese cuerpo. Tomemos como ejemplo el conceptode temperatura, junto con un esquema de cinco reglas. Las reglas enuncian el procedimiento por el cualpuede medirse la temperatura.

Las dos primeras reglas de este esquema son las mismas dos reglas que examinamos en el captuloanterior como reglas para definir conceptos comparativos. Pero ahora las consideraremos como reglas paradefinir un concepto cuantitativo, al que llamaremos magnitudM

La Regla 1, para la magnitudM, especifica una relacin emprica ILa regla expresa que, si vale larelacinIMentre objetos a y b, los dos objetos tendrn valores, iguales de la magnitudM. En smbolos:

SiIM(a, b), entoncesM(a) =M(b).

La Regla 2 especifica una relacin empricaLM. Esta regla dice que, si vale la relacin LM entre ayb, el valor de la magnitudMser menor para a que para b. En smbolos:

SiLM(a, b), entoncesM(a) -< M(b).

Antes de continuar con las otras tres reglas de nuestro esquema, veamos cmo se aplicaron estas osreglas, primero al concepto precientfico comparativo de temperatura, luego a procedimientos cuantitativos.Imaginmonos que estamos viviendo en una poca anterior a la invencin de los termmetros. Cmoestablecemos si dos objetos estn igualmente calientes o si uno de ellos est menos caliente que el otro?Tocamos cada objeto con la mano. Si no sentimos a ninguno de ellos ms caliente que el otro (relacin I),decimos que estn igualmente calientes. Si sentimos que aest menos caliente que b(relacin L), decimosque aest menos caliente que b. Pero estos mtodos son subjetivos, sumamente imprecisos y es difcil lograrun acuerdo acerca de ellos entre diferentes observadores. Una persona puede sentir a ms caliente que b; otrapersona que toque los mismos dos objetos puede pensar que es cierto lo contrario. Los recuerdos de lassensaciones de calor son tan vagos que puede resultarle imposible, a una persona decidir si un objeto est

ms caliente en un instante determinado que tres horas antes. Por tales razones, los mtodos subjetivos paraestablecer las relaciones igualmente caliente (I) y menos caliente (L) son muy poco tiles en labsqueda emprica de leyes generales. Se necesita un mtodo objetivo para determinar la temperatura, unmtodo ms preciso que nuestras sensaciones de calor y acerca del cual puedan ponerse habitualmente deacuerdo personas diferentes.

El termmetro nos brinda tal mtodo. Supngase que deseamos determinar los cambios en latemperatura del agua contenida en un recipiente. Sumergimos un termmetro de mercurio en el agua.Cuando se calienta el agua, el mercurio se dilata y asciende en el tubo. Cuando el agua se enfra, el mercuriose contrae y desciende. Si se hace una marca en el tubo para indicar la altura del mercurio, es tan fcil ver siel mercurio est por encima o por debajo de la marca, que es escasa la probabilidad de que dos observadoresdiscrepen a este respecto. Si observamos hoy que el lquido est por encima de la marca, no tendremosdificultad para recordar que ayer estaba por debajo de la marca. Puedo declarar, entonces, con la mayor

confianza, que el termmetro registra hoy una temperatura mayor que ayer. Es fcil comprender de qumanera es posible definir mediante este instrumento las relacionesITy LTpara la magnitud T (temperatura).Simplemente, colocamos el termmetro en contacto con el cuerpo a, esperamos hasta que no se produzca


11/43

11

ningn cambio en la altura del lquido de prueba y luego marcamos el nivel del lquido. Aplicamos eltermmetro de la misma manera al objeto b. La relacinI queda definida por el ascenso del lquido a lamisma marca. Se establece la relacin L entre a y b si el lquido asciende hasta su punto inferior cuando se loaplica a ay no cuando se lo aplica a b.

Es posible expresar simblicamente las dos primeras reglas para definir la temperatura (T) de lasiguiente manera:

Regla 1: SiIT(a,b), entonces T(a) = T(b).Regla 2: SiLT(a,b), entonces T(a) < T(b).

Obsrvese que no es necesario, para establecer las dos relaciones I yL, tener una escala de valoresmarcada en el tubo. Pero si queremos usar el termmetro para asignar valores numricos a T, necesitamosalgo ms que las dos reglas.

Las tres reglas restantes de nuestro esquema suministran las condiciones adicionales requeridas. LaRegla 3 nos dice cundo asignar un valor numrico particular, habitualmente cero, a la magnitud queintentamos medir. Para esto, la misma especifica un estado fcilmente reconocible y, a veces, fcilmentereproducible, y prescribe asignar el valor numrico elegido a un objeto si se encuentra en este estado. Porejemplo, en la escala centgrada de temperaturas, la Regla 3 asigna el valor cero al agua cuando se halla enestado de congelacin. Luego agregaremos algunas reservas acerca de las condiciones en las cuales esadecuada esta regla; por el momento la aceptaremos tal cual.

La Regla 4, habitualmente llamada la regla de la unidad, asigna un segundo valor especial de lamagnitud a un objeto, especificando otro estado fcilmente reconocible y reproducible de este objeto. Estesegundo valor habitualmente es 1, pero puede ser cualquier nmero diferente del especificado por la Regla 3.En la escala centgrada es 100. Se le asigna al agua en estado de ebullicin. Una vez asignado el segundovalor, se dispone de una base para definir unidades de temperatura. Colocamos el termmetro en el aguacongelada, marcamos la altura del mercurio y le ponemos cero. Luego colocamos el termmetro en agua enebullicin, marcamos la altura del lquido y le ponemos 100. An no disponemos de una escala, perotenemos una base para hablar de unidades. Si el mercurio sube de la marca cero a la marca 100, podemosdecir que la temperatura ha subido 100 grados. Si hubiramos rotulado a la marca ms elevada con el nmero10, en lugar de 100, diramos que la temperatura ha subido diez grados.

El paso final es determinar la forma precisa de la escala. Se lo hace mediante la Regla 5, la msimportante de todas. Ella especifica las condiciones empricasIDMen las cuales diremos que dos diferencias(D) en dos valores de la magnitud (M) son iguales. Obsrvese que no hablamos de dos valores, sino de dosdiferencias entre dos valores. Queremos especificar las condiciones empricas en las cuales diremos que ladiferencia entre dos valores cualesquiera de las magnitudes de ay bes la misma que la diferencia entre otrosdos valores. digamos de c y d. Esta quinta regla adopta la siguiente forma simblica:

SiIDM(a,b,c,d), entoncesM(a) M(b) =M(c) M(d).

La regla nos dice que si se cumplen ciertas condiciones empricas, representadas por IDM en laformulacin simblica, para cuatro valores de la magnitud, podemos decir que la diferencia entre los dosprimeros valores es la misma que la diferencia entre los otros valores.

En el caso de la temperatura, las condiciones empricas se relacionan con el volumen de la sustanciade prueba usada en el termmetro, en nuestro caso, el mercurio. Debemos construir el termmetro de modoque, cuando la diferencia entre dos volmenes cualesquiera de mercurio, ay b, es igual a las diferenciasentre otros dos volmenes, cy d, la escala dar diferencias iguales de la temperatura.

Si el termmetro tiene una escala centgrada, el procedimiento para satisfacerlas condiciones de laRegla 5 es simple. Se introduce el mercurio en una ampolleta de uno de los extremos de un tubo muydelgado. La delgadez del tubo no es esencial, pero tiene gran valor prctico porque facilita la observacin decambios sumamente pequeos del volumen del mercurio. El tubo de vidrio debe ser elaboradocuidadosamente, para que su dimetro interior y sea uniforme. Como resultado de esto, los aumentos igualesen el volumen del mercurio pueden ser observados como distancias iguales entre marcas colocadas a lo largodel tubo. Si indicamos por d(a,b) la distancia entre las marcas cuando el termmetro est en contacto conel cuerpo a y con el cuerpo b, entonces la Regla 5 puede ser expresada simblicamente del siguiente modo:

Si d(a,b)= d(c,d), entonces T(a) T(b) = T(c) T(d).


12/43

12

Aplicamos ahora las Reglas 3 y 4. Se coloca el termmetro en agua congelada y se usa 0 paramarcar el nivel del mercurio en el tubo. Se coloca luego el termmetro en agua en ebullicin y se marca elnivel del mercurio con 100. Sobre la base de la Regla 5, ahora es posible marcar en el tubo cien intervalosespaciales iguales entre las marcas 0 y 100. Estos intervalos pueden ser prolongados por debajo de cero hastallegar al punto en el que el mercurio se congela. Tambin se los puede continuar por encima de 100 hasta elpunto en el cual el mercurio hierve y se evapora. Si dos fsicos construyen sus termmetros de esta manera yconcuerdan en todos los procedimientos especificados por las cinco reglas, llegarn a resultados idnticos

cuando midan la temperatura del mismo objeto. Expresamos este acuerdo diciendo que los dos fsicos usan lamisma escala de temperatura. Las cinco reglas determinan una escala nica para la magnitud a la cual seaplican.

Cmo hacen los fsicos para decidir el tipo exacto de escala que usarn para medir una magnitud?Sus decisiones son, en parte, convencionales, especialmente las relativas a la eleccin de los puntosindicados en las Reglas 3 y 4. La unidad de longitud, el metro, se define ahora como la longitud, en el vaco,de 1.656.763,83 longitudes de onda de un cierto tipo de radiacin de un tomo de criptn 86. La unidad demasa o peso, el kilogramo, se basa en un prototipo conservado en Pars- Con respecto a la temperatura,medida con una escala centgrada, 0 y 100 son asignados, por razones de conveniencia, al agua congelada yal agua en ebullicin. En la escala Fahrenheit y en la llamada escala absoluta, o Kelvin, se eligen otrosestados de las sustancias como puntos 0 y 100. Pero las tres escalas se basan, esencialmente, en losprocedimientos de la quinta regla y, por lo tanto, pueden ser consideradas de la misma forma. Un termmetropara medir temperatura en grados Fahrenheit se construye exactamente de la misma manera que untermmetro para medir grados centgrados; slo difieren en la manera de calibrarlos. Por esta razn, es muysimple el paso de una escala a otra.

Si dos fsicos adoptan procedimientos totalmente diferentes como quinta regla -por ejemplo, unfsico puede correlacionar la temperatura con la dilatacin de volumen del mercurio y otro con la dilatacinde una barra de hierro o con el efecto del calor sobre el flujo de electricidad por un determinado aparato-,entonces sus escalas tendrn formas muy diferentes. Las dos escalas, por supuesto, pueden coincidir en loque respecta a las Reglas 3 y 4. Si todos los fsicos eligen la temperatura de congelacin y la de ebullicindel agua como puntos de referencia para determinar sus unidades, entonces, claro est, coincidirn cuandomidan la temperatura de congelacin o la de ebullicin del agua. Pero cuando apliquen sus respectivostermmetros a determinada caldera de agua caliente es probable que obtengan resultados diferentes, y puede

no haber una manera simple de pasar de una escala a otra.Las leyes basadas en dos escalas diferentes no tienen la misma forma. Una escala puede conducir aleyes que quiz sea posible expresar mediante ecuaciones muy simples. La otra escala puede conducir a leyesque requieran ecuaciones muy complejas. Es este ltimo punto el que da tanta importancia a la eleccin delos procedimientos de la quinta regla, a diferencia del carcter ms arbitrario de las Reglas 3 y 4. Uncientfico elige estos procedimientos con el propsito de simplificar todo lo posible las leyes bsicas de lafsica.

En el caso de la temperatura, es la escala absoluta, o Kelvin, la que conduce a la mayorsimplificacin de las leyes de la termodinmica. Las escalas centgrada y Fahrenheit pueden ser consideradascomo variantes de la escala absoluta, que slo difieren en la calibracin y que pueden ser traducidasfcilmente a la escala absoluta. En los primeros termmetros, se usaban como sustancias de prueba lquidoscomo el alcohol y el mercurio, as como tambin gases que se mant uvieran a presin constante de modo que

los cambios de temperatura alteraran su volumen. Se descubri que cualesquiera que sean las sustanciasutilizadas, se podran establecer tipos de escala aproximadamente idnticos; pero cuando se construyeroninstrumentos ms precisos pudieron observarse pequeas diferencias. No quiero decir solamente que lassustancias se dilatan en proporciones diferentes cuando se las calienta, sino tambin que la forma misma dela escala es un poco diferente segn que se use como sustancia de prueba el mercurio o el hidrgeno.Posteriormente, los cientficos eligieron la escala absoluta por ser la que conduce a las leyes ms simples. Elhecho sorprendente es que esta escala no era determinada por la naturaleza de una sustancia de pruebaparticular. Est ms cerca de la escala del hidrgeno a de cualquier otro gas que de la del mercurio, pero noes exactamente igual a ninguna escala basada en un gas. A veces se dice que es una escala basada en un gasideal, pero esta slo es una manera de hablar.

En la prctica, por supuesto, los cientficos continan usando termmetros que contienen mercurio uotros lquidos de prueba cuyas escalas son muy prximas a la escala absoluta; luego convierten las

temperaturas basadas en esta escala a la escala absoluta, por medio de ciertas frmulas de correccin. Laescala absoluta permite la formulacin de leyes termodinmicas de la manera ms simple posible, porque sus


13/43

13

valores expresan cantidades de energa, y no cambios de volumen de diversas sustancias. Las leyes en lasque interviene la temperatura seran mucho ms complicadas si se utilizara alguna otra escala.

Es importante comprender que no podemos decir realmente cul es el significado de una magnitudcuantitativa hasta que formulamos reglas para medirla. Podra pensarse que la ciencia primero elabora unconcepto cuantitativo y luego busca las maneras de medirlo. Pero el concepto cuantitativo, en realidad, sedesarrolla a partir del proceso de medicin. El concepto de temperatura slo pudo recibir un significadopreciso cuando se inventaron los termmetros. Einstein destac este punto en los anlisis que condujeron a la

teora de la relatividad. Se ocup primordialmente de la medicin del espacio y del tiempo. Destac que nopodemos saber exactamente qu significan conceptos tales como igualdad de duracin, igualdad dedistancia (en el espacio), simultaneidad de dos sucesos que se producen en lugares diferentes, etc., sinespecificar los recursos y reglas mediante los cuales se miden tales conceptos.

En el captulo V vimos que haba tanto aspectos convencionales como no convencionales en losprocedimientos adoptados segn las Reglas 1 y 2. Una situacin similar se encuentra en lo que respecta a lasReglas 3, 4 y 5. Hay cierta amplitud de eleccin para decidir los procedimientos relacionados con estasreglas; en esta medida, estas reglas son cuestin de convencin. Pero no son enteramente convencionales. Esnecesario un conocimiento fctico para poder decidir cules tipos de convenciones pueden ser elaborados sinentrar en conflicto con los hechos de la naturaleza, y es menester aceptar diversas estructuras lgicas paraevitar inconsistencias lgicas.

Por ejemplo, decidimos adoptar el punto de congelacin del agua como punto 0 de nuestra escala detemperaturas porque sabemos que el volumen de mercurio de nuestro termmetro ser siempre el mismotoda vez que coloquemos el extremo del instrumento en agua congelada. Si hallramos que el mercurio seeleva a una cierta altura cuando usamos agua obtenida en Francia y a una altura diferente cuando usamosagua obtenida en Dinamarca o que la altura vara segn la cantidad de agua que congelamos, entonces elagua en congelacin no sera una eleccin adecuada para aplicar la tercera regla.

Un elemento emprico similar interviene, evidentemente, en nuestra eleccin del agua en ebullicinpara indicar el punto 100. Es un hecho de la naturaleza, y no el resultado de una convencin, el que latemperatura de toda agua en ebullicin sea la misma. (Suponemos que ya hemos establecido las Reglas 1 y 2,de modo que podemos medir la igualdad de temperaturas.) Pero aqu debemos introducir una reserva. Latemperatura del agua en ebullicin es la misma en una misma localidad, pero en una montaa elevada, dondela presin del aire es menor, el agua hierve a una temperatura ligeramente inferior que al pie de la montaa.

Para poder utilizar el punto de ebullicin del agua con el fin de satisfacer los requisitos de la cuarta regla,debemos agregar que es menester usar agua en ebullicin a una cierta altura o aplicar un factor de correccinsi no se est a esa altura. Hablando estrictamente, aun a la altura especificada debemos asegurarnos, pormedio de un barmetro, que estamos a cierta presin atmosfrica especificada o, de lo contrario, aplicartambin en este caso un factor de correccin. Estas correcciones dependen de hechos empricos. No sonfactores convencionales introducidos arbitrariamente.

Al buscar criterios empricos para aplicar la Regla 5, que determinan la forma de nuestra escala,tratamos de obtener una forma que nos brinde las leyes ms simples posibles. Tambin en este caso entra unaspecto convencional en la eleccin de la regla, porque los hechos de la naturaleza determinan las leyes quetratamos de simplificar. Finalmente, el uso de nmeros como valores de nuestra escala supone una estructurade relaciones lgicas qu no son convencionales porque no podemos abandonarlas sin incurrir encontradicciones lgicas.


14/43

14

CAPTULO VIIMAGNITUDES EXTENSAS

La medicin de la temperatura requiere, como vimos en el captulo VI, un esquema de cinco reglas.Hay conceptos de la fsica que puedan ser medidos mediante el uso de esquemas ms simples? S, un gran

nmero de magnitudes, llamadas magnitudes extensas, son medibles con ayuda de esquemas de tresreglas.Los esquemas de tres reglas se aplican a situaciones en las cuales es posible combinar o juntar de

alguna manera dos cosas para producir una tercera, y el valor de una magnitudMde esta nueva cosa ser lasuma de los valores deMpara las dos cosas combinadas. El peso, por ejemplo, es una magnitud extensa. Sicolocamos juntos un objeto de cinco kilogramos y otro de dos, el peso de los objetos combinados ser desiete kilogramos. La temperatura no es una magnitud de este tipo. No hay ninguna operacin simplemediante la cual podamos tomar un objeto que tiene una temperatura de 60, combinarlo con otro objeto quetiene una temperatura de 40 y obtener un nuevo objeto con una temperatura de 100.

Las operaciones mediante las cuales se combinan las magnitudes extensas varan enormemente deuna magnitud a otra. En los casos ms sencillos la operacin consiste simplemente en unir dos cuerpos,pegndolos, atndolos o colocndolos meramente uno junto al otro, como dos pesos en el mismo platillo de

una balanza. En la vida cotidiana abundan los ejemplos. El ancha de una hilera de libros d un anaquel es lasuma de los anchos individuales de los libros. Tomamos un libro y leemos diez pginas. Ms tarde leemosotras diez pginas. En total, hemos ledo veinte pginas, Despus de llenar parcialmente una baera,comprobamos que el agua est demasiado caliente y agregamos un poco de agua fra. El volumen total deagua en la baera ser la suma de las cantidades de agua caliente y agua fra que pasaron por las canillas. Amenudo no se enuncia explcitamente el procedimiento exacto para combinar cosas con respecto a una- ciertamagnitud extensa. Se trata de una costumbre arriesgada que puede provocar mucha confusin y muchosmalentendidos. Puesto que hay muchas maneras diferentes de combinar las cosas, es importante no dar porsupuesto que se conoce el mtodo de combinacin: ste debe ser enunciado explcitamente y definidoclaramente. Una vez hecho esto, puede medirse la magnitud utilizando un esquema de tres reglas.

La primera regla estipula lo que se llama el principio de adicin o de aditividad. Este principiodice que, cuando un objeto combinado se forma a partir de dos componentes, el valor de la magnitud paraeste objeto es la suma aritmtica de los valores de la magnitud para los dos componentes. Toda magnitud quesatisfaga esta regla es llamada una magnitud aditiva. El peso es un ejemplo familiar. La operacin deconjuncin es, en este caso, simplemente colocar juntos dos objetos y pesarlos como si fueran un solo objeto.Colocamos el objeto a en el platillo y observamos su peso. Lo reemplazamos por el objeto by observamos supeso. Luego colocamos ambos objetos en la balanza. Este nuevo objeto, que no es sino a y b tomadosjuntamente, tendr, por supuesto, un peso que es la suma aritmtica de los pesos de ay b.

Si sta es la primera vez que el lector da con esta regla, puede considerar extrao que mencionemossiquiera una regla tan trivial. Pero en el anlisis lgico del mtodo cientfico debemos hacer explcito todo,inclusive cuestiones que el hombre comn da por supuestas y raramente expresa en palabras. Naturalmente,nadie pensara que, si se colocara una piedra de cinco kilos en una balanza junto con una piedra de sietekilos, la balanza registrara un peso total de setenta kilos o de tres kilos. Damos por supuesto que el peso

combinado ser de doce kilos. Pero es concebible que en algn otro mundo la magnitud peso no se comportede una manera aditiva tan conveniente. Por lo tanto, debemos hacer explcita la aditividad del pesointroduciendo esta regla: si se juntan dos cuerpos y se los pesa como si fueran uno solo, el peso total ser lasuma aritmtica de los pesos componentes.

Es necesario introducir reglas similares para toda magnitud extensa. La longitud espacial es otroejemplo familiar. Un cuerpo t iene un borde recto a. Otro cuerpo tiene un borde recto b. Colocamos los dosjuntos de modo que sus extremos se toquen y se hallen alineados. Esta nueva entidad fsica -la lnea rectaformada por la combinacin de ay b- tendr una longitud que es la suma de las longitudes de ay b.

Las antiguas formulaciones de la regla aditiva para la longitud frecuentemente eran muyinsatisfactorias. Por ejemplo, algunos autores decan que si se agregan dos segmentos de rectas a y b, lalongitud del nuevo segmento se obtiene agregando la longitud de ba la longitud de a. sta es una manerasumamente defectuosa de formular la regla porque en la misma oracin se usa agregar de dos maneras

muy diferentes. Primero se la usa en el sentido de unir dos objetos fsicos colocndolos juntos de una maneraespecfica, y luego se la usa en el sentido de la operacin aritmtica de adicin. Estos autores aparentementeignoraban que los dos conceptos son diferentes, porque procedan a simbolizar la regla de esta manera:


15/43

15

L(a + b) = L(a) + L(b)

Algunos autores, a los cuales admiro por otros conceptos, incurran en esta confusa formulacin, unaformulacin que traduce en smbolos el mismo uso doble de la palabra agregar. El segundo smbolo +designa una operacin aritmtica, pero el primer + no es una operacin aritmtica en absoluto. No sepueden sumar aritmticamente dos lneas. Lo que se suma no son las lneas, sino los nmeros querepresentan a las longitudes de las lneas. Las lneas no son nmeros; son configuraciones en el espacio

fsico. Siempre he insist ido en que debe hacerse una distincin entre la adicin aritmtica y el tipo de adicinque consiste en la operacin fsica de combinar. Nos ayudar a recordar esta distincin la adopcin delprocedimiento de Hempel (quien ha escrito mucho acerca de las magnitudes extensas) consistente enintroducir un smbolo especial, un pequeo crculo, o, para la operacin fsica de unin. Esteprocedimiento permite simbolizar de una manera mucho ms satisfactoria la regla aditiva para la longitud:

L(a o b) = L(a) + L(b)

La combinacin de longitudes puede ser diagramada as:

[no L(a + b)]

En el caso del peso no interesa cmo se coloquen los dos cuerpos juntos en el platillo, pero sinteresa en el caso de la longitud. Supngase que los dos segmentos se colocan de este modo:

Los segmentos se tocan por los extremos pero no estn en lnea recta. La distancia entre los puntosAy Cno es la suma de las longitudes de a y b. Por eso, siempre debemos tener el cuidado de especificarexactamente qu queremos decir mediante la operacin de unin.

Ahora podemos simbolizar el principio general de aditividad, con respecto a cualquier magnitudextensaM, escribiendo:

M(a o b) = M(a) + M(b)

En este enunciado, el smbolo o indica un procedimiento especfico para unir ay b. Ser mejorque consideremos esta regla como la segunda, y no como la primera, de nuestro esquema de tres reglas. Laprimera regla, ms simple, es la regla de la igualdad. Es igual a la primera regla del esquema de cinco reglaspara medir la temperatura. Especifica el procedimiento por el cual definimos la igualdad de magnitud- En elcaso del peso, decimos que dos cuerpos tienen el mismo peso si, cuando se los coloca en los dos platillos dela balanza, sta permanece en equilibrio.

La tercera regla corresponde a la Regla 4 del esquema para la temperatura. Especifica la unidad devalor de la magnitud. Esto se hace habitualmente eligiendo un objeto o un proceso natural que puede serreproducido fcilmente, y luego definiendo la unidad de valor en trminos de este objeto o proceso.Mencion antes dos ejemplos: el metro, basado en determinado nmero de longitudes de onda de un ciertotipo de luz, y el kilogramo, basado en un prototipo internacional que se encuentra en Pars. El metro y elkilogramo son las unidades patrones de longitud y de peso en el sistema mtrico de medidas. Para resumir,nuestro esquema de la medicin de cualquier magnitud extensa consiste en las tres reglas siguientes:


16/43

16

1. La regla de la igualdad.2. La regla de la adit ividad.3. La regla de la unidad.

Puesto que este esquema es ms simple que el examinado anteriormente de cinco reglas, por qu nose lo usa siempre? La respuesta, por supuesto, es que para muchas magnitudes no hay ninguna operacin deunin que suministre una base para el principio de aditividad. Ya hemos visto que la temperatura no es una

magnitud aditiva. La altura del sonido y la dureza de los cuerpos son otros dos ejemplos. Con respecto aestas magnitudes no podemos hallar una operacin de unin que sea aditiva. Tales magnitudes son llamadasno extensas. Pero hay un gran nmero de magnitudes aditivas en la fsica y, con respecto a todas ellas, elanterior esquema de tres reglas suministra una base adecuada para la medicin.

Muchos cientficos y filsofos de la ciencia consideran sinnimas las expresiones magnitudesextensas y magnitudes aditivas, pero hay algunos autores que hacen una diferencia entre ellas. Siestablecemos tal distincin, se la debe efectuar de la siguient e manera. Decimos que una magnitud es extensasi podemos concebir una operacin que sea una operacin natural de unin y para la cual pueda construirseuna escala. Si luego descubrimos que con respecto a la escala y a la operacin elegidas, rige el principio deaditividad, podemos llamarla tambin una magnitud aditiva. Podemos decir que es una magnitud aditiva-extensa. Pero si el principio aditivo no rige, la llamamos una magnitud extensa-no aditiva.

Casi todas las magnitudes extensas de la fsica son aditivas, pero hay algunas excepciones. Unejemplo notable es la velocidad relativa en la teora especial de la relatividad. En la fsica clsica, lasvelocidades relativas a lo largo de una lnea recta son aditivas en la siguiente acepcin. Si los cuerposA,ByC se mueven a lo largo de una recta en el mismo sentido, y la velocidad de B relativa a A es V1, y lavelocidad de Crelativa aBes V2, entonces, en fsica clsica, la velocidad V3de Crelativa a Aes consideradasimplemente igual a V1+ V2. Si se camina por el pasillo central de un avin que vuela hacia el Oeste, cul esnuestra velocidad hacia el Este relativa al piso? Antes de la teora de la relatividad la respuesta habraconsistido simplemente en sumar la velocidad del avin a la nuestra. Hoy sabemos que las velocidadesrelativas no son aditivas; debe utilizarse una frmula especial en la cual la velocidad de la luz es uno de lostrminos. Cuando las velocidades son pequeas en relacin con la de la luz, se las puede tratar como sifueran aditivas; pero cuando las velocidades son muy grandes, debe usarse la frmula siguiente, en la cual ces la velocidad de la luz:

c

VV

VVV

221

213

1+

+=

Imaginemos, por ejemplo, que la nave espacialBse mueve en una trayectoria recta y pasa el planetaAcon una velocidad V1relativa a ste. La nave espacial C, que viaja en el mismo sentido, pasa a la naveespacialBcon una velocidad V2(relativa a B). Cul es la velocidad relativa, V3, de la nave espacial Cconrespecto al planetaA? Si las velocidades V1y V2de las naves espaciales son pequeas, entonces el valor de la

fraccin que es menester sumar a 1, debajo de la lnea de la parte derecha de la frmula, ser tan pequea quese la puede ignorar. Entonces, obtenemos V3simplemente sumando V1 y V2. Pero si las naves espacialesviajan a velocidades muy grandes, es necesario tomar en consideracin la velocidad de la luz, c. V3 se alejarsignificativamente de la simple suma de V1y V2. Si estudiamos la frmula, veremos que, por mucho que lasvelocidades relativas de las naves espaciales se acerquen a la velocidad de la luz, la suma de las dosvelocidades no puede superar a sta. Llegamos a la conclusin, entonces, de que la velocidad relativa en lateora especial de la relatividad es extensa (porque es posible especificar una operacin de unin) pero noaditiva.

Otros ejemplos de magnitudes extensas-no adit ivas son las funciones trigonomtricas de los ngulos.Suponga el lector que tiene un ngulo entre los bordes rectosL1y L2de un trozo de metal laminado A(verfigura 7-1). Otro trozo de metal laminado,B, presenta el ngulo entre los bordesL3y L4. Ahora unimos losdos ngulos colocndolos juntos sobre una mesa de modo que sus vrtices coincidan y L2de Acoincida con

L3deB. El ngulo entre L1 y L4 es evidentemente el resultado de unir los ngulos y . Podemos decir,pues, que cuando se unen ngulos de esta manera y se los mide en la forma habitual, sus valores son aditivos.El ngulo tiene un valor que es la suma de los valores de y . Pero sus valores no son aditivos si la


17/43

17

magnitud es una de las funciones trigonomtricas, por ejemplo, el seno de cada ngulo. Si lo deseamos,podemos llamar extensa a la magnitud seno (porque disponemos de una operacin de unin), pero no aditiva.Por otra parte, podemos decidir no llamar extenso al seno porque la operacin de unin en realidad no unelos senos. Une los ngulos, pero esto no es lo mismo que poner juntos los senos. Desde este segundo puntode vista, el seno no es extenso.

El criterio que hemos sugerido para decidir si una magnitud es o no extensa no es exacto, segnvemos. Como se recordar, dijimos que si podemos concebir una operacin que nos parezcauna operacin

natural de unin, con respecto a la magnitud dada, entonces llamamos extensa a esta operacin. Alguienpuede decir que, para l, la operacin de colocar dos ngulos juntos lado a lado es una manera totalmentenatural de unir senos. Para l, pues, el seno es una magnitud extensa-no aditiva.

Figura 7-1

Alguna otra persona podra decir que es una operacin muy buena para unir ngulos, pero no paraunir senos. Para esta persona el seno no es extenso. En otras palabras, hay casos lmite en los cuales llamar auna magnitud extensa o no es una cuestin subjetiva. Puesto que estos casos de magnitudes extensas pero noaditivas son relativamente raros y hasta discutibles,(porque podemos no aceptar la operacin propuesta comouna legtima operacin de unin), es muy comprensible que muchos autores usen los trminos extenso yaditivo como sinnimos. No es necesario criticar tal uso. Para esos autores, extenso se aplica a unamagnitud slo si hay una operacin de unin con respecto a la cual es vlido el principio de aditividad, comoes vlido para la longitud, el peso y muchas otras de las magnitudes comunes de la fsica.

Debemos hacer ahora algunas observaciones acerca de la medicin de intervalos temporales ylongitudes espaciales, porque en cierto sentido estas dos magnitudes son bsicas en la fsica. Una vez quepodemos medirlas es posible definir muchas otras magnitudes. Puede no ser posible definir explcitamenteesas otras magnitudes, pero al menos se las puede introducir mediante reglas operativas que utilicen losconceptos de distancia o de tiempo. Se recordar, por ejemplo, que en las reglas para medir la temperaturautilizamos el concepto de volumen del mercurio y de la longitud de una columna de mercurio en un tubo. Eneste caso, presuponamos que ya sabamos medir la longitud. En la medicin de muchas otras magnitudes dela fsica se hace una referencia similar a las mediciones de longitud especial y duracin temporal. En estesent ido, la longitud y la duracin pueden ser consideradas como magnitudes primarias. En los captulos VIII

y IX examinaremos los procedimientos mediante los cuales se mide el tiempo y el espacio.


18/43

18

CAPTULO VIIIEL TIEMPO

Qu tipo de operacin de unin puede utilizarse para combinar intervalos de tiempo? Nosenfrentamos inmediatamente a una grave dificultad. No podemos manipular intervalos de tiempo de la

misma manera que podemos manipular intervalos espaciales, o, ms exactamente, bordes de cuerpos slidosque representan intervalos espaciales. No hay bordes slidos de t iempo que puedan ser juntados para formaruna lnea recta.

Consideremos estos dos intervalos: la duracin de cierta guerra desde que se dispara el primer tirohasta el ltimo y la duracin de una tormenta de truenos desde el primer trueno hasta el ltimo. Cmopodemos unir estas dos duraciones? Tenemos dos sucesos separados, cada uno de los cuales tiene una ciertaduracin, pero no hay manera de juntarlos. Por supuesto, si dos sucesos ya estn juntos en el tiempo,podemos reconocer este hecho, pero no podemos trasladar sucesos como podemos trasladar los bordes deobjetos fsicos.

Lo ms que podemos hacer es representar los dos intervalos d tiempo en una escala conceptual.Supongamos que tenemos un suceso a que va desde el punto temporal A hasta el punto temporal B, y unsegundo suceso bque va desde el punto temporalBhasta el punto temporal C (ver la figura 8-1). El punto

inicial de bes el mismo que el punto terminal de

Figura 8-1.

a, de modo que los dos sucesos son adyacentes en el tiempo- No los ponemos en esta posicin, sino que seproducen de esta manera. La longitud de tiempo que hay desde el punto A hasta el punto C puede serconsiderada ahora como el resultado de combinar a y b, no de la manera fsica de combinar las longitudes,

sino de una manera conceptual, esto es, por la manera de considerar esta situacin. La operacin conceptual,que simbolizaremos por o, nos permite formular la siguiente regla de actividad para la medicin de lalongitud temporal T:

T(a o b) = T(a) + T(b)

En otras palabras: si tenemos dos sucesos, uno de los cuales comienza exactamente cuando el otrotermina, entonces, la longitud temporal del suceso total ser la suma aritmtica de las longitudes temporalesde los dos sucesos. Esta regla no es tan poderosa como la regla de aditividad para longitudes espaciales,porque slo podemos aplicarla a sucesos que son adyacentes en el t iempo, y no a cualquier par de sucesos.Luego, despus de elaborar un esquema de tres reglas para medir el tiempo, podremos medir las longitudescombinadas no adyacentes. Ahora slo buscamos una operacin de unin que nos suministre la base para

establecer una regla de aditividad. Hallamos esta operacin en la produccin de sucesos adyacentes en eltiempo.

Para completar nuestro esquema, necesitamos dos reglas ms: una regla de igualdad y una regla quedefina una unidad. Ambas reglas se basan, habitualmente, en algn tipo de proceso peridico: la oscilacinde un pndulo, la rotacin de la Tierra, etc. Todo reloj es simplemente un instrumento para originar unproceso peridico. En algunos relojes, esta tarea la realiza un pndulo, en otros una rueda catalina. El reloj desol mide el tiempo mediante el movimiento peridico del Sol a travs del cielo. Durante miles de aos loscientficos basaron sus unidades de t iempo sobre la longitud del da, esto es, sobre la rotacin peridica de laTierra. Pero, debido a que la velocidad de rotacin de la T ierra est cambiando levemente, en 1956 se lleg aun acuerdo internacional para basar las unidades de t iempo en el movimiento peridico de la Tierra alrededordel Sol en un ao particular. El segundo fue definido como la 1/31.556.925,9747 parte del ao 1900. Seabandon esta unidad en 1964 para obtener una precisin mayor basando el segundo en la vibracin

peridica del tomo de cesio. Es necesario comprender plenamente este concepto de periodicidad, esencialen la definicin de unidades de tiempo, antes de pasar a examinar cmo puede basarse en l una regla deigualdad y una regla para el establecimiento de unidades.


19/43

19

Primero, debemos distinguir claramente los dos significados de periodicidad, uno dbil y otrofuerte. En el sentido dbil, un proceso es peridico simplemente si se repite una y otra vez. El latido delpulso es peridico. La oscilacin de un pndulo es peridica. Pero, en el sentido dbil, t ambin la salida delSr. Prez de su casa es peridica. Se produce una y otra vez, cientos de veces, durante toda la vida del Sr.Prez. Evidentemente, pues, es peridica en el sentido dbil de que es repetida. A veces, peridico significaque un ciclo total de fases diferentes se repite en el mismo orden cclico. Un pndulo, por ejemplo, osciladesde su punto inferior hasta su punto ms alto a la derecha, vuelve al punto inferior, llega hasta el punto

superior de la izquierda y vuelve al punto inferior; luego se repite todo el ciclo. No se repite un suceso sinouna secuencia de sucesos. Pero no es necesario que suceda esto para llamar peridico a un proceso. Essuficiente que una fase del proceso contine repitindose. Tal proceso es peridico en el sentido dbil.

Pero frecuentemente, cuando alguien dice que un proceso es peridico, lo dice en un sentido muchoms fuerte: que, adems de ser peridico en el sentido dbil, los intervalos entre hechos sucesivos de unacierta fase son iguales. Con respecto a las salidas del Sr. P rez de su casa, esta condicin, obviamente, no secumple. Algunos das puede permanecer en su casa muchas horas. Otros, puede abandonar la casa variasveces en una hora. En cambio, los movimientos de la rueda catalina de un reloj bien construido sonperidicos en el sentido fuerte. Evidentemente, hay enorme diferencia entre los t ipos de periodicidad.

Qu tipo de periodicidad debe tomarse como base para medir el tiempo? Al principio, nosinclinamos a responder que, obviamente, debemos elegir un proceso que sea peridico en el sentido fuerte.No podemos basar la medicin del t iempo en la salida del Sr. Prez de su casa porque es demasiadoirregular. Tampoco podemos basarla en el pulso, aunque el pulso se acerca ms a la periodicidad en elsent ido fuerte que la salida del Sr. Prez, porque no es an suficientemente regular. Si se ha corrido mucho osi se tiene fiebre elevada, el pulso late mucho ms rpidamente que en otros, momentos. Necesitamos unproceso que sea peridico en el ms fuerte sentido posible.

Pero hay algo errneo en este razonamiento. No podemos saber si un proceso es o no peridico en elsentido fuerte, a menos que dispongamos ya de un mtodo para determinar intervalos de tiempo iguales. Esprecisamente tal mtodo el que tratamos de establecer mediante nuestras reglas. Cmo podemos escapar deeste crculo vicioso? Slo podemos escapar de l renunciando totalmente al requisito de periodicidad en elsentido fuerte. Nos vemos obligados a abandonarlo porque an no tenemos una base para identificarlo. Nosencontramos en la situacin de un fsico primitivo que aborda el problema de la medicin del tiempo sindisponer siquiera de la ventaja de las nociones precientficas de intervalos de tiempo iguales. Al no tener

ninguna base para la medicin del tiempo, busca un proceso peridico observable de la naturaleza que lesuministre tal base. Puesto que no tiene manera de medir intervalos de tiempo, tampoco tiene manera dedescubrir si un proceso particular es o no peridico en el sentido fuerte.

Esto es lo que debemos hacer. Primero, hallar un proceso que sea peridico en el sentido dbil(puede ser tambin peridico en el sentido fuerte, pero esto es algo que todava no lo podemos saber). Luegotomamos como operacin de unin dos intervalos de t iempo que sean consecutivos en el sentido de que unocomience justamente cuando el otro termina, y afirmamos, como regla de aditividad, que la longitud delintervalo total es la suma aritmtica de las longitudes de los dos intervalos componentes. Entonces podemosaplicar esta regla al proceso peridico elegido.

Para completar nuestro esquema, debemos hallar reglas para la igualdad y para la determinacin dela unidad. La duracin de uno cualquiera de los perodos de los procesos elegidos puede servir como unidadde tiempo. En la figura 8-2, estos periodos estn representados por las longitudes a, b, c, d ... entre los puntos

temporales A, B, C, D, E... Decimos que cada uno de estos segmentos tiene una longitud de una unidad.Alguien podra objetar: Pero el periodo b es mucho ms largo que el periodo a. Respondemos: Nosabemos qu quiere usted decir con "ms largo". Estamos tratando de establecer reglas para la medicin deltiempo de modo que podamos dar significado a la expresin "ms largo".

Figura 8-2.


20/43

20

Ahora que hemos especificado nuestra unidad (que es simplemente la longitud de cada perodo delproceso elegido), nuestra regla adit iva nos ofrece una base para medir longitudes de t iempo. Esta regla nosdice que el intervalo de tiempo entre el punto A y el punto Ces 2, entre el punto Ay el puntoDes 3, etc.Ahora podemos medir cualquier intervalo de tiempo, aunque basemos nuestro procedimiento en un procesodbilmente peridico- Simplemente contamos el nmero de veces que nuestro perodo unidad se repitemientras se produce el suceso que queremos medir. Este nmero ser la longitud del suceso. Esta regla parala igualdad es obvia. Afirma que dos intervalos de t iempo (que pueden estar muy separados en el tiempo) son

iguales si ambos contienen el mismo nmero de perodos elementales del proceso peridico. Esto completanuestro esquema de tres reglas. Tenemos una regla para la igualdad, otra para la aditividad y otra para launidad. Sobre la base de este esquema, disponemos de un mtodo para medir el tiempo.

Quiz se presenten algunas objeciones. Es posible, realmente, basar un esquema semejante encualquier proceso dbilmente peridico? Por ejemplo, se lo puede basar en las salidas del seor Prez de sucasa? La respuesta sorprendente es que s, aunque, como explicar en seguida, las leyes de la fsica sonmucho ms simples si elegimos otros procesos. El punto importante que es necesario comprender ahora esque, una vez establecido un esquema para medir el tiempo, aunque se base, en un proceso tan irregular comolas salidas del seor Prez, disponemos de un medio para determinar si un proceso peridico es o noequivalente a otro.

Supongamos que hemos adoptado como base para medir el tiempo el proceso peridico P. Ahorapodemos compararPcon otro proceso dbilmente peridico P' para ver si son equivalentes. Supongamos,por ejemplo, queP, el proceso peridico que hemos elegido, es la oscilacin de un cierto pndulo corto.Deseamos compararlo conP', la oscilacin de un pndulo ms largo. Considerando que los perodos de losdos pndulos no son iguales, cmo los comparamos? Lo hacemos contando las oscilaciones de ambospndulos durante un intervalo de tiempo ms largo. Podemos descubrir que diez oscilaciones del pndulocorto coinciden con seis oscilaciones del pndulo largo. Esto sucede todas las veces que repetimos la prueba.An no estamos en condiciones de trabajar con fracciones de perodos, de modo que debemos realizarnuestra comparacin en trminos de nmeros enteros de oscilaciones. Pero podemos observar que lacoincidencia no es exacta. Despus de diez oscilaciones del pndulo corto, el largo ya ha comenzado suspt ima oscilacin. Refinamos nuestra comparacin tomando un intervalo de tiempo ms largo, por ejemplo,cien perodos del pndulo corto. Cada vez que realizamos la prueba, observamos que durante este intervaloel pndulo largo completa sesenta y dos perodos. De esta manera, podemos afinar nuestra comparacin todo

lo que nos plazca. Si hallamos que un cierto nmero de perodos del proceso P siempre coinciden con uncierto nmero de perodos del procesoP', decimos que las dos periodicidades son equivalentes.Es un hecho de la naturaleza el que exista una clase muy grande de procesos peridicos que sean

equivalentes entre s, en este sentido. No es algo que podamos saberlo a priori. Lo descubrimos observandoel mundo. No podemos decir que estos procesos equivalentes son peridicos en el sentido fuerte, peropodemos comparar dos cualesquiera de ellos y hallar que son equivalentes. Todos los pndulos oscilantespertenecen a esta clase, al igual que los movimientos de las ruedas catalinas de los relojes, el movimientoaparente del Sol a travs del cielo, etc. Hallamos en la naturaleza una clase enorme de procesos t ales que doscualesquiera de ellos resultan equivalentes cuando los comparamos de la manera explicada en el prrafoanterior. En la medida de nuestro conocimiento, hay solamente una gran clase de esta especie.

Qu sucede si decidimos basar nuestra escala de tiempo en un proceso peridico que no pertenezcaa esta gran clase de procesos equivalentes, como el latido de un pulso? Los resultados sern algo extraos,

pero queremos destacar que la eleccin, del latida de un pulso como base para la medicin del t iempo noconduce a ninguna contradiccin lgica. No hay ningn sentido en el cual sea falso medir el t iempo sobreesta base.

Imaginemos que estamos viviendo en una fase muy primitiva del desarrollo de los conceptosrelat ivos a la medicin. No poseemos ningn instrumento para medir el tiempo, como un reloj, de modo queno tenemos manera de determinar si nuestro pulso puede variar en diferentes circunstancias fisiolgicas.Estamos tratando, por primera vez, de elaborar reglas operativas para la medicin del tiempo y decidimosusar el latido de mi pulso como base de la medicin.

Tan pronto como comparamos el latido de mi pulso con otros procesos peridicos de la naturaleza,encontramos toda clase de procesos que quizs habramos considerado uniformes, pero que resultan no serlo.Por ejemplo, descubrimos que el Sol necesita tantos y tantos latidos de mi pulso para atravesar el cielo losdas en los que yo me siento bien. Pero los das en los cuales tengo fiebre, el Sol necesita muchos ms para

efectuar su viaje. Consideramos extrao este hecho, pero no hay nada lgicamente contradictorio en nuestradescripcin de la totalidad del mundo sobre esta base. No podemos decir que el pndulo es la eleccincorrecta como base de nuestra unidad de tiempo y el latido de mi pulso la eleccin incorrecta. En esto


21/43

21

no hay nada correcto o incorrecto, porque en ninguno de los casos aparece una contradiccin lgica. Essimplemente una eleccin entre una descripcin simple y una descripcin compleja del mundo.

Si basamos el tiempo sobre mi pulso, tendremos que afirmar que los procesos peridicos de todasuerte, en la naturaleza, tienen intervalos de tiempo que varan segn lo que yo haga o cmo me sienta. Sicorro velozmente durante un momento y luego me detengo y mido estos procesos naturales por medio de mipulso, hallo que, mientras estoy corriendo y durante algunos instantes despus, las cosas del mundo seretardan. Despus de algunos minutos, vuelven a la normalidad. Debe recordarse nuestra suposicin de que

estamos en una poca anterior a la adquisicin de conocimiento alguno acerca de las leyes de la naturaleza.No tenemos textos de fsica que nos digan que tal o cual proceso es uniforme. En nuestro primit ivo sistemafsico, la revolucin de la Tierra, las oscilaciones de los pndulos, etc., son muy irregulares. Tienen unavelocidad cuando yo estoy bien, y otra cuando tengo fiebre.

As, podemos hacer una genuina eleccin. No es una eleccin entre un procedimiento de medidacorrecto y otro incorrecto, sino una eleccin basada en la simplicidad. Observamos que si elegimos elpndulo como base del t iempo, el sistema resultante de leyes fsicas ser enormemente ms simple que sielegimos los latidos de mi pulso. Es bastante complicado si usamos mi pulso, pero, por supuesto, seramucho peor si eligiramos las salidas del seor Prez de su casa, a menos que nuestro Sr. Prez fueraImmanuel Kant, de quien se dice que sala todas las maanas de su casa exactamente a la misma hora, hastael punto de que los miembros de la comunidad ponan en hora sus relojes al verlo aparecer por la calle. Perolos movimientos de un mortal corriente no seran una base adecuada para la medicin del t iempo.

Por adecuada quiero significar por supuesto, conveniente, en el sentido de que conduce a leyessimples. Cuando basamos nuestra medicin del tiempo en la oscilacin de un pndulo, hallamos que todo eluniverso se comporta con gran regularidad y es posible describirlo mediante leyes de gran simplicidad. Ellector quiz no haya considerado simples esas leyes cuando estudi fsica, pero son simples en el sentidorelat ivo de que seran mucho ms complicadas si adoptramos como unidad de t iempo el lat ido de mi pulso.Los fsicos constantemente expresan su sorpresa ante la simplicidad de nuevas leyes. Cuando Einsteindescubri su principio general de relatividad, manifest su asombro ante el hecho de que un principiorelativamente tan simple gobernase todos los fenmenos a los cuales se lo aplicaba. Esta simplicidaddesaparecera s basramos nuestro sistema para la medicin del tiempo en un proceso que no perteneciera ala gran clase de procesos equivalentes.

El latido de mi pulso, en cambio, pertenece a una clase sumamente pequea de procesos

equivalentes, Los otros miembros de esta clase probablemente son procesos de mi propio cuerpo que estnvinculados fisiolgicamente con el latido del corazn. El pulso de mi mueca izquierda es equivalente alpulso de mi mueca derecha. Pero aparte de los procesos que se relacionan con mi corazn, sera difcilhallar otros procesos de la naturaleza con los cuales mi pulso fuera equivalente. As, tenemos aqu una clasemuy pequea de procesos equivalentes, en comparacin con la vastsima clase que contiene a losmovimientos de los planetas, las oscilaciones de los pndulos, etc. Por esta razn, es aconsejable elegir comobase para la medicin del t iempo un proceso de esta gran clase.

No interesa mucho cul miembro de esta clase elijamos, ya que an no nos preocupa obtener unagran precisin en las mediciones. Una vez que hacemos nuestra eleccin, podemos decir que el procesoelegido es peridico en el sentido fuerte. Esto, claro est, es simplemente una cuestin de definicin. Peroahora los otros procesos equivalentes a l son peridicos en el sentido fuerte de una manera que ya no estrivial, que no es el resultado de una definicin. Realizamos ensayos empricos y descubrimos, mediante la

observacin, que son fuertemente peridicos en el sentido de que presentan una gran uniformidad en susintervalos de tiempo. Como resultado de esto, estamos en condiciones de describir los procesos de lanaturaleza de una manera relativamente simple. Este punto es tan importante que lo destacar repitindolomuchas veces. Nuestra eleccin de un proceso como base para la medicin del tiempo no es alga de lo quepueda decirse que es correcto, a incorrecto. Cualquier eleccin es lgicamente posible. Cualquier eleccinconducir a un conjunto consistente de leyes naturales. Pero si basamos nuestra medicin del tiempo enprocesos tales como la oscilacin de un pndulo, descubrimos que conduce a una fsica mucho ms simpleque si usramos otros procesos.

Histricamente, nuestra sensacin fisiolgica del tiempo, nuestra impresin intuitiva de regularidadintervino, sin duda, en las primeras elecciones de los procesos sobre los cuales iba a basarse la medicin deltiempo. El Sol parece salir y ponerse con regularidad, por lo cual los relojes de sol fueron una maneraconveniente de medir el tiempo: mucho ms conveniente, por ejemplo, que los movimientos, de las nubes.

De manera anloga, las culturas primitivas consideraron conveniente basar los relojes en el tiempo deescurrimiento de la arena o del agua o de otros procesos que eran aproximadamente equivalentes al


22/43

22

movimiento del Sol. Pero el aspecto bsico sigue siendo el siguiente: la eleccin se inspira en laconveniencia y la simplicidad.


23/43

23

CAPTULO IXLA LONGITUD

Pasemos ahora del concepto de tiempo al otro concepto bsico de la fsica, el de longitud, yexaminmoslo ms minuciosamente que antes. El lector recordar que en el captulo VII vimos que lalongitud es una magnitud extensa, medible por medio de un esquema triple. La Regla 1 define la igualdad:

un segmento marcado sobre un borde recto tiene igual longitud que otro segmento marcado sobre otro borderecto si los puntos extremos de los dos segmentos coinciden. La Regla 2 define la adit ividad: si juntamos dosbordes en lnea recta, su longitud total ser la suma de sus longitudes separadas. La Regla 3 define la unidad:tomamos una vara con un borde recto, marcamos dos puntos sobre este borde y elegimos el segmentodeterminado por estos dos puntos como unidad de longitud.

Sobre la base de estas tres reglas podemos aplicar el procedimiento habitual para la medicin.Supongamos que queremos medir la longitud de un largo borde c, por ejemplo el borde de una hendidura.Tenemos una vara de medir sobre la cual est marcada nuestra unidad de longitud a por sus puntos extremos

AyB. Colocamos la vara a lo largo de c, en la posicin al (ver fig. 9-1), de modo que A coincida con unextremo C0

Figura 9-1.

de c. Sobre el borde c marcamos el punto C1 que coincide con el extremo B de nuestra vara. Luego,trasladamos la vara aa la posicin adyacente a2y marcamos el punto C2 sobre c, y as sucesivamente hastallegar al otro extremo de c. Supongamos que la dcima posicin a10, de la vara es tal que su extremo Bcoincide aproximadamente con el extremo C10de c. Sean c1, c2, ..., c10 los segmentos marcados en c. Por laRegla 3, t enemos:

L(a) = L(a1) = L(a2) = ... = L(a10) = 1.

Luego, por la Regla 1:

L(c1) = 1,L(c2) = 1,...L(c10) = 1

Por la Regla 2:

L(c1o c2) = 2,L(c1o c2o c3) = 3...

Por lo tanto:

L(c) =L(c1o c2o ... o c10) = 10.


24/43

24

Este procedimiento, el procedimiento bsico para medir longitudes, slo da nmeros enteros comovalores de las longitudes medidas. El refinamiento obvio del mismo se logra dividiendo la unidad de longituden npartes iguales. (La pulgada se divide tradicionalmente de manera binaria: primero en dos partes, luegoen cuatro, luego en ocho, etc. El metro se divide en forma decimal: primero en diez partes, luego en cien,etctera.) De esta manera, podemos construir, por ensayo y error, una longitud

Figura 9-2.vara de medir auxiliar con un segmento marcado de longitud d, tal que dpueda ser colocado en nposicionesadyacentes, d1, d2, .... dn, a la largo del borde unidad a(ver fig. 9-2). Ahora podemos decir que:

nL(d) =L(a) = 1Por lo tanto:

1L(d) =

n

Una vez marcados sobre a estos segmentos parciales, podemos medir con mayor precisin lalongitud de un borde dado. Cuando volvemos a medir la longitud de la hendidura c del ejemplo anterior, lamisma puede resultar ahora, no 10, sino ms exactamente 10,2. De esta manera se introducen las fraccionesen las mediciones. Ya no estamos limitados a los enteros. Un valor medido puede ser cualquier nmero

racional positivo.Es importante comprender que, al introducir estos refinamientos en la medicin, podemos introducirfracciones cada vez ms pequeas, pero nunca podemos llegar a nmeros que no sean racionales. Por otraparte, la clase de los valores posibles de una magnitud habitualmente es considerada, en la fsica, como unaclase que contiene a todos los nmeros reales (o a todos los nmeros reales de un intervalo especificado), esdecir, que incluye tanto a los nmeros irracionales como a los racionales. Pero los nmeros irracionales sonintroducidos en una etapa posterior a la de la medicin. La medicin directa slo puede brindar valoresexpresables en nmeros racionales. Pero cuando formulamos leyes y hacemos clculos con ayuda de estasleyes, los nmeros irracionales entran en consideracin. Se los introduce en un contexto terico, no en elcontexto de la medicin directa.

Para aclarar lo anterior, consideremos el teorema de Pitgoras, segn el cual el cuadrado de lahipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Se trata de

un teorema de la geometra matemtica, pero, cuando lo aplicamos a segmentos fsicos, se convierte tambinen una ley fsica. Supongamos que en una tabla de madera cortamos un cuadrado de lado igual a la unidad delongitud. El teorema de Pitgoras nos dice que la longitud de la diagonal de este cuadrado (ver fig. 9-3) esigual a la raz cuadrada de 2.


25/43

25

Figura 9-3.

La raz cuadrada de 2 es un nmero irracional. Hablando estrictamente, no se la puede medir con una reglabasada en nuestra unidad de medida, por pequeas que sean las subdivisiones fraccionarias. Pero cuandocalculamos la longitud de la diagonal utilizando el teorema de Pitgoras, obtenemos, indirectamente, unnmero irracional. Anlogamente, si medimos el dimetro de un disco circular de madera y hallamos que es1, al calcular la longitud del permetro del disco llegamos al nmero irracional pi.

Puesto que los nmeros irracionales son siempre el resultado de clculos y nunca el de una medicin

directa, no sera posible abandonar totalmente en la fsica los nmeros irracionales y trabajar solamente conlos racionales? Ciertamente, esto es posible, pero sera un cambio revolucionario. Por ejemplo, ya nopodramos t rabajar con ecuaciones diferenciales, pues tales ecuaciones requieren el continuo de nmerosreales. Los fsicos an no han encontrado razones suficientemente importantes para introducir tal cambio. Escierto que en la fsica cuntica apunta una tendencia a la utilizacin de magnitudes discretas. La cargaelctrica, por ejemplo, slo se mide en cantidades que son mltiples de una carga elctrica mnima. Sitomamos esta carga mnima como unidad, todos los valores de cargas elctricas son nmeros enteros. Lamecnica cuntica an no se basa totalmente en magnitudes discretas, pero hay una parte tan grande de ellaque es discreta que algunos fsicos han comenzado a especular acerca de la posibilidad de que todas lasmagnitudes fsicas, inclusive las de espacio y tiempo, sean discretas. Pero se trata solamente de unaespeculacin, aunque sumamente interesante.

Qu tipo de leyes sera posible elaborar en una fsica semejante?. Probablemente, habra un valor

mnimo para cada magnitud, y todos los valores mayores se expresaran como mltiplos de este valor bsicoSe ha sugerido llamar un hodn al valor mnimo de la longitud, y un cromn al valor mnimo deltiempo. El tiempo discreto consistira en saltos inconcebiblemente pequeos, como el movimiento de lamanecilla de un reloj elctrico cuando salta d un segundo al siguiente. En los intervalos entre los saltos nopodra producirse ningn suceso fsico.

El espacio discreto consistira en puntos del tipo que se muestra en la figura 9-4. Las lneas deldiagrama indican cules son los puntos vecinos (por ejemplo,By Cson vecinos, peroByFno lo son). Enla geometra comn de la continuidad, diramos que entre B y C hay una infinidad de puntos, pero en lageometra discreta, si la fsica adoptara esta concepcin del espacio, deberamos decir que no hay puntosintermedios entre By C. Ningn fenmeno fsico, de ninguna especie, podra tener una posicin situadaentreBy C. Un electrn, por ejemplo, tendra que estar en uno de los puntos de la red, y no podra estarnunca en ninguna otra parte del diagrama. La longitud sera definida como la longitud mnima de un camino

que conecta dos puntos. Podramos estipular que la distancia entre dos puntos vecinos cualesquiera es 1.Luego, la longitud del caminoABCDGsera 4 y el deAEFGsera 3. Diramos que la distancia deAa Ges 3,porque es la longitud del camino ms corto entre A y G. Toda longitud estara expresada mediante unnmero entero. No se ha construido ningn sistema real de esta especie para la fsica, aunque se hanpresentado muchas sugestivas propuestas. Algunos fsicos hasta han especulado acerca del tamao de estasmagnitudes mnimas.


26/43

26

Figura 9-4

En algn tiempo futuro, cuando se sepa mucho ms acerca del espacio, del tiempo y de las otrasmagnitudes de la fsica, quiz se descubra que todas ellas son discretas. Las leyes de la fsica slo tendranque habrselas con nmeros enteros. Seran, por supuesto, nmeros enormes. En cada milmetro de longitud,por ejemplo, habra miles de millones de la unidad mnima. Los valores que adoptara una magnitud serantan cercanos unos a otros que, en la prctica, procederamos como si se tratara de un continuo de nmerosreales. Los fsicos probablemente continuaran utilizando el clculo infinitesimal y formulando leyes en

forma de ecuaciones diferenciales, como antes. Todo lo que podemos decir por ahora es que, con la adopcinde escalas discretas, algunos aspectos de la fsica se simplificaran mientras que otros se haran mscomplicados. Nuestras observaciones nunca nos permiten decidir si un valor debe ser expresado como unnmero racional o como un nmero irracional, de modo que sta es una cuestin de conveniencia: lamanera ms til de formular- ciertas leyes fsicas ser una escala discreta o una continua?

En nuestra descripcin de la medicin de longitudes an no hemos considerado una cuestinsumamente importante: qu tipo de cuerpo adoptaremos como vara de medida patrn? Para los propsitoscorrientes, bastara adoptar una vara de hierro o hasta una vara de madera, porque no sera necesario medirlongitudes con gran precisin. Pero si buscamos mayor exactitud, vemos inmediatamente que nosenfrentamos a una dificultad similar a la que se nos present con respecto a la periodicidad.

Como se recordar, se nos plante el problema evidente de basar nuestra unidad de tiempo en unproceso peridico de perodos iguales. En el cas presente se nos plantea el problema anlogo de basar

nuestra unidad de longitud en un cuerpo

carnap-fundamentacionlogicadelafisicab

Documents

Transcript of carnap-fundamentacionlogicadelafisicab