Presentación para la clase MATE 5700Dr. Balbino García Bernal

Por:Hiram Negrón

Ricardo NegrónRosa E. Padilla

22 de diciembre de 2011

IID: Independientes idénticamente distribuidas

v.a. : Variable aleatoria

: Media aritmética o promedio

Pr: Probabilidad

X

Sea {Xi; i ≥ 1} una secuencia de v.a. IID, y sea Sn = X1 + X2 + … + Xn.

El proceso estocástico a tiempo entero {Sn; n ≥ 1} es llamado paseo aleatorio.

También es llamado paseo o camino unidimensional aleatorio, basado en {Xi, i ≥ 1}

Para cada n dado, Sn es simplemente la suma de las v.a. IID.

Su comportamiento es el proceso del paseo aleatorio {Sn; n ≥ 1}.

Dado un número real α > 0, queremos encontrar la probabilidad de una secuencia {Sn; n ≥ 1} que contiene los términos para los cuales Sn ≥ α.

Tenemos que tiende a cuando

Si , Sn tiende a desplazarse hacia abajo.

Si , Sn tiende a desplazarse hacia arriba.

n

Sn XXE ][

n

0X

0X

Suponemos X1, X2,… son v.a. IID binarias.

Cada una toma el valor 1 con probabilidad p y probabilidad q = 1 – p.

Dejamos Sn = X1 + … + Xn las secuencias de las sumas {Sn; n ≥ 1} sea llamada “paseo aleatorio simple”.

Sn es la diferencia entre las ocurrencias positivas y negativas en los primeros n intentos.

Los paseos simples no son poco más que una variación de la notación de Bernoulli.

X toma valores de 1 y 0, mientras que para un paseo aleatorio simple, X también toma valores de 1 y 0.

Para un paseo aleatorio, si Xm = 1 para m fuera de n intentos, entonces Sn = 2j – n.

jnj

n ppjnj

nnjS

)1(

)!(!

!2Pr

La probabilidad de que para cualquier entero k > 0 para la secuencia S1, S2, … es expresada como:

Se refiere a la probabilidad de que el paseo aleatorio con límite o umbral en k.

Probabilidad Sn para p ≤ ½:

}{Pr1

n

n kS

k

n

np

pkS

1}{Pr

1

Suponemos que tenemos v.a. enteras IID, x1, x2, … podemos obtener la probabilidad de su límite para k

ocurre, mientras los paseos aleatorios toman

sólo valores enteros, estos se pueden representar como cadenas de Markov con el conjunto de enteros formados por el espacio.

}{1

n

n kS

Si X1, X2, … son v.a. IID positivas, entonces {Sn; n ≥ 1} también es un caso especial de paseos aleatorios como de secuencias de un proceso de conteo {N(t); t > 0}.

Para el proceso de renovación de conteo N(α) es el nmás grande para el cual Sn ≤ α y N(α) + 1 es el n más pequeño con el límite en α, estrictamente extendido.

En la figura se ilustras las diferencias entre paseos aleatorios generales y los paseos aleatorios positivos.

a) Ilustra los paseos aleatorios con tamaño de pasos arbitrarios (positivos y negativos) {Xi; i ≥ 1}.

b) Ilustra paseos aleatorios con sólo pasos positivos.

c) Proceso de conteo correspondiente a los puntos de ejemplo.

Tipo de problema utilizado para detectar problemas de probabilidad en los problemas de paseos aleatorios.

El problema de detección es generalizado a un problema de detección secuencial basado en el cruce de límites en paseos aleatorios.

Consideramos un queue G/G/1 con un FCFS (“First come first serve”)

Asociamos la probabilidad de que un cliente espere más de un tiempo α dado en un queue con la probabilidad de que algún camino aleatorio cruce con el umbral en α.

Sea {Xi; I ≥ 1} un intervalo de arribo IID de un queue G/G/1, sea {Yi; i ≥ 0} los tiempos de servicio IID y asumimos que el sistema está vacío a tiempo = 0 cuando el cliente 0 arriba.

Sea Wn una demora para el enésimo cliente.

Sea para n ≥ 1 y sea para 1 ≤ i ≤ n.

Entonces:Para cada α > 0 y n ≥ 1

es la probabilidad de que el paseo aleatorio basado en {Ui; i ≥ 1} cruce el umbral en α en o antes del enésimo intento.

Finalmente:Es igual a la probabilidad de que un paseo aleatorio basado en {Ui; i ≥ 1} nunca cruce el umbral en α.

nnn XYU 1 11 ... innn

n

i UUUZ

n

n

nn

n ZZZW ,...,,,0max 21 nWPr

nnn WW PrlimPr

Consideramos una situación en la cual hacemos n observaciones ruidosas de los resultados de una variable discreta aleatoria H.

El invitado en las observaciones, sólo en las cuales ocurren, son ejemplo de valores de H.

En tecnología de la comunicación, se le llama “problema de detección”

Situación en la cual un símbolo es transmitido sobre un canal de comunicación y las observaciones ruidosas son recibidas.

Modelos similares del problema de detección del clima.

Teoría de control problemas de decisión

Estadística prueba de hipótesis, problemasde inferencia estadística

La Regla de Neyman Person viene de los prominente matemáticos Jezzy Neyman y EgonPearson.

Jezzy Neyman Person era de origen polacodedicado al estudio de las probalidades.

Egon Pearson era de origen Ingles estudioso de las Estadísticas.

Neyman-Pearson es la teoría de las pruebas de hipótesis estadísticas, y es responsable de muchas contribuciones importantes a los problemas de la inferencia estadística y la metodología, especialmente en el desarrollo y la utilización del criterio de la razón de verosimilitud

Ha desempeñado un papel destacado en la promoción de las aplicaciones de los métodos estadísticos - por ejemplo, en la industria, y también durante y después de la guerra, en la evaluación y ensayos de armas.

En las estadísticas, el lema de Neyman-Pearson, afirma que cuando se realiza una prueba de hipótesis entre dos hipótesis punto H0: θ = θ0 y H1: θ = θ1, entonces la prueba de razón de verosimilitud que rechaza H0 en a favor de H1cuando

Donde es la prueba más poderosa de α η tamaño de un umbral. Si la prueba es la más poderosa de todas, que se dice que es uniformemente más potente de alternativas en el conjunto.

En la práctica, la razón de verosimilitud se utiliza a menudo directamente a la construcción de pruebas. Sin embargo, también puede ser usado para sugerir concreta de las estadísticas que pudieran ser de su interés o para sugerir las pruebas simplificadas.

De este se tiene en cuenta la manipulación algebraica de la relación para ver si hay estadísticas clave se relaciona con el tamaño de la relación es decir, si una estadística de gran corresponde a una relación pequeña o una grande.

Hernan Chernoff- Matemático norteamericano actualmente es Profesor en Michigan StateUniversity (Mit)

Ph.D., Applied Mathematics, 1948. Brown University.[

M.S., Applied Mathematics, 1945. Brown University.

B.S., Mathematics, 1943. City College of New York.

Da los límites de manera exponencial decreciente en las distribuciones de cola de sumas de variables aleatorias independientes.

Es mejor que los límites momento la primera o segunda cola como base la desigualdad de Markov o la desigualdad de Chebyshev, que sólo el rendimiento de ley de potencia límites en la decadencia cola.

Se relaciona con las desigualdades históricamente la más antigua Bernstein, y la desigualdad de Hoeffding.

Sean X1, ..., Xn variables independientes de Bernoulli al azar, cada uno con probabilidad p > ½. Entonces la probabilidad de ocurrencia simultánea de más de n / 2 de los eventos {Xk = 1} tiene un valor de p exacto.

Donde ;

El límite de Chernoff muestra que la p tiene los siguientes límites bajos.

Este resultado admite varias generalizaciones como se indica a continuación.

Uno puede encontrar muchos sabores de los límites Chernoff: la forma de aditivo original que da un salto en el error absoluto o la forma de multiplicación más práctico que limita el error respecto a la media.

El siguiente lema muestra que un paseo aleatorio tanto con un umbral positivo y negativo, es decir α > 0 y β < 0, eventualmente cruza uno de los umbrales.

El primer paseo aleatorio cruza un umbral en el juicio n si β < Si < α para 1 ≤ i <n, y sea Sn ≥ α o Sn ≤ β.

Para tener una mejor idea debemos comprobar el siguiente ejemplo:

Sea {Xi, i ≥ 1} IID rv, no idénticamente 0. Para cada n ≥ 1, si Sn =X1 + · · · + Xn.

Permitiendo que α > 0 y β < 0arbitrario, y sea J el menor n para el cual Sn ≥ α o Sn ≤ β.

J es una variable aleatoria es decir,lim m→∞ Pr{J ≥ m} = 0.

La gráfica que pretendemos comprobar es la siguiente:

Comprobación Dado que X no es idénticamente 0, existe algún n para que sea Pr{Sn ≤ −α + β} > 0 o para que Pr {Sn ≥ α - β}> 0.

Para cualquier n definiendo ϵ como:

ϵ = max[Pr{Sn ≤ −α + β} , Pr{Sn ≥ α − β}].

en un intervalo k ≥ 1, teniendo en cuenta queJ > n (k - 1), y teniendo en cuenta un valor de Sn (k-1)

en (β, α)un intercepto cruza por nK con una probabilidad de al menos ϵ.

Por tanto Pr{J > nk | J > n(k − 1)} ≤ 1 − ≤ 0

Cuando interactúa con k se obtiene

Pr{J > nk} ≤ (1 − ≤) k.

Esto demuestra que J es finito con probabilidad

1 y Pr {J} j ≥ va a 0, al menos geométricamente.

Teorema Sea {Xi; i ≥ 1} IID y sea la semi-invariante MGF de cada Xi. Asumamos que ϒ(r) es finito en el intervalo abierto (r+, r-) con r- < 0 < r+ . Para cada n≥ 1 , sean Sn= X1+X2+ …. + Xn si α > 0 y β < 0 números reales arbitrarios y J sea el numero más pequeño para Sn ≥ α o Sn ≤ β. Para todo r ϵ(r- ,r+),

rXeEr ln)(

Comprobación Supongamos que Xi es distinta para cada i con el PMF px(x). Para el caso aviento el PMF debe ser remplazada por la suma por integrantes stieltjes, cumpliendo los detalles técnicos, pero no la introducción de una nueva idea. Para cualquiera r ϵ(r-,r+), utilizando la inclinación PMF qX, r(x).

qX,r(x) = pX(x) exp[rx − ɤ(r)].

Tomando el Xi a ser independiente en la medida de probabilidad inclinada, para el

n-tuple X^n = (X1,X2, . . . ,Xn)

es dada por

Ahora bien, Tn es el conjunto de n-tuplas X1,. . . , Xn tal que β <Si <α para 1 ≤ i <n, y sea Sn ≥ α orSn ≤ β.

Si tomamos la derivada de

a ambos lados se obtiene

si decimos que r = 0 y recordamos ɤ(0) = 0 y

ɤ’(0) = esto se convierte en la igualdad de Wald.X

Tenemos que decir que esta igualdad de Waldesta restringida a una caminada con 2 transversales.

Si tomamos la segunda derivada de al ecuación:

Se obtiene la ecuación:

Sustituimos en r = 0, el resultado es:

Tomando como ejemplo la ecuación:

Teniendo en cuenta un paseo aleatorio simple, si utilizamos la ecuación de igualdad de Wald E[SJ = α] = 0, obtenemos:

Utilizando el valor de y recordando que α^2X

obtenemos

Como una comprovación de validez, tengo en cuenta que se α y β se multiplican por algunaconstante K grande, E[J] se incrementa en k2.

q