Capitulo 15 Sears

5/11/2018 Capitulo 15 Sears

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ONDASME CAN ICA$

Losrizos en un estanque, los sonidos musicales, los temblores sismicos produ-cidos par un terremoto: todos estos son fenornenos ondulatorios. Surgen on-das siempre gue un sistema es perturbado de su posicion de equilibrio y laperturbacion puede viajar 0 propagarse de una region del sistema a otra. Al pro-pagarse una onda, transporta energia. La energia de las ondas de la luz solar ca-lienta la superficie terrestre; la energia de las ondas sismica.'>puede resquebrajar lacortez a terrestre.Este capitulo y el que sigue tratan las ondas mecanicas, ondas que viajan por

algun material llamado medio. (El capitulo 16 se oeupa del sonido, un tipo irnpor-tante de onda mecanica.) Comenzaremos par dedueir las ecuaciones basicas quedescriben a las ondas, inc1uido el importante caso especial de las ondas senoida-le s en la s que el patr6n de la onda es una funcion seno 0 coseno que se repite. Pa-ra entender mejor las oIJ,das en general, examinaremos el seneillo caso de lasondas que viajan en una euerda estirada,Las ondas en las cuerdas desempefian un papel importante en musica, Cuando

un musico toea una guitarra 0 un violin, produce ondas que viajan en direccionesopuestas par las cuerdas del instrumento. Al traslaparse estas ondas de direccion opues-ta , se produce la interferencia. Descubriremos que, en una cuerda de guitarra 0 deviolin, solo pueden darse ondas senoidales de ciertas frecuencias especiales, lla-madasFecuencias de modo normal, determinadas por las propiedades de Ia cuer-da. Las frecuencias de modo normal de los instrurnentos de cuerda determinan el

Tras un terremoto, la noticia del sucesoviaja por la masa del planeta en forma deondas sismicas. Estudiando esas ondas,los geofisicos conocen la estructura internde la Tierra y detectan posibles centrosdeactividad tectonica futura,

A lgu nas o nd as sism icas tienenm as e ne rg ia y s on m as d es tr uc tiv asqu e otras. L Que aspectos de una ondasism ica determ inan cuanta pa ten ciatra nsporta? _

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(a)Ondas

t rans ve r sa l esen una cuerda

(b)Ondas

longirudinalesen un fluido

(c)Ondas

transversales ylongitudinalesc om b in ad a s enIn superficiede IIn I fqu i do

v- -

CAP i U L 0 15 I Ondas rnecanicas

tono de los sonidos musicales que se producen, (En el proximo capitulo veremosque la interferencia tambien ayuda a explicar los tonos de losinstrumentos dealiento, como las flautas y los organos.)No todas las ondas son mecanicas. Las ondas electromagneticas ---que inclu-

yen la luz, las ondas de radio, la radiaciones infrarroja y ultravioleta y los rayos X,se pueden propagar incluso en el espacio vacio, donde no hay un medio. Explora-remos estas y otras ondas no rnecanicas en capitulos posteriores. . .15 ..1 I T ip os de on das m eclm icasUna onda mecanica es una perturbacion que viaja por un material 0 una sustan-cia que es el medio de 1aonda. A l viajar la onda pOl' el medio, las particulas queconstituyen el medio sufren desplazamienros de varios tipos, dependiendo de lanaturalezade la onda.La figura 15.1 muestra tres variedades de ondas mecanicas . En la figura 15.1a,

el medio es una cuerda tens ada. Si imprimimos al extremo izquierdo una pequeiiasacudida hacia arriba, la sacudida viaja a 1 0 largo de la cuerda, Secciones sucesi-vas de la cuerda repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantesposteriores sucesivos. Dado que los desplazamientos del medio son perpendicula-res otransversaleSJi)a direccion en que la onda viaja por el medio, decimos quese trata de una onda transversal.

P ar tf cu Ia s d el m e di a..I~~__ ~'l \"""" to" ' I L . '---_c_..__ < t_:8 : ')_._._-4 ;_;ce_._. __ - _P a rt fc ula s d e I as u p er fi ci e d e l m e di a v~--Q(~)()Q

15.1 T re s f orm as de produeir una onda que se mueve hacia la derecha. (a) La mana mue -vela cuerda hacia arriba y regresa, produciendo una onda transversal. (b ) El piston semueve ala derecha, cornprimiendo el liquido 0 gas, y regresa, produciendo una ondalongitudinal. (c) La tabla se mueve a la derecha y regress, produeiendo una combinaci6nde ondas longitudinales.y transversales,rEn la figura 15.1b, e1medio es un Ifquido 0 gas en un tubo con una pared rigi-

da en el extreme derecho y un piston movil en el izquierdo. Si imprimirnos al pis-ton un solo rnovimiento hacia adelante y hacia atras, el desplazamiento y lasfluctuaciones de presion viajaran a 10 largo del medio. En esta ocasion, los movi-rnientos de las particulas del medio son en la misma linea en que viaja la onda, ydecimos que se trata de una onda longitudinal.


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15.2 I Ondas periodicas

En la figura IS.Ic, el medio es agua en un canal, digamos una zanja de irriga-ci6n. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia adelante y hacia atras unavez, una perturbacion de onda viajara a 10 largo del canal. En este caso, los des-plazamientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como transversaLCada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. En el caso de la cuer-da estirada, es el estado en que el sistema esta en reposo, tendido en linea recta.

Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido esta en reposo con presionuniforme; y para el agua en una zanja, es una superficie lisa y plana. En cada ca-so, el movimiento ondulatorio es una perturbacion del estado de equilibrio queviaja de una regi6n del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a volver elsistema a su posicion de equilibrio cuando se Ie desplaza, asi como la gravedadtiende a llevar un pendulo hacia suposicion deequilibrio vertical cuando se Iedesplaza.Estos ejemplos tienen tres cosas en comun. Primera, la perturbacion siempre ,

viaja 0 se propaga pOI'el medio con una rapidez definida llamada rapidez de pro-pagacion 0 simplemente rapidez de la onda, determinada en cada caso por laspropiedades mecanicas del medio. Usaremos el simbolo v para esta rapidez, (Larapidez de la onda no es la rapidez can que se mueven las particulas cuando sonperturbadas por la onda. Volveremos a esto en la secci6n 15.3). Segunda, el mediornismo no viaja por el espacio; sus particulas individuales realizan movimientosalrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es el"patrongeneral de la per-turbaci6n ondulatoria. Tercera, para poner en movirniento cualesquiera de estossistemas, debernos aportar energia realizando trabajo mecanico sabre el sistema.La onda transporta esta energia de una region del medio a otra, Las ondas trans-parkin energia, pero no materia, de una region a otra.

15.2 I Ondas pe ri6d icasLa onda transversal en una cuerda estirada de la figura 15.1 es un ejemplo de unpulso de onda. La mana sacude la cuerda una vez, ejerciendo una fuerza transver-sal sabre ella. EI resultado es un solo pulso que viaja a 10 l argo de Ia cuerda, Latension de la cuerda restablece su forma recta una vez que el pulso ha pasado.Se da una situacion mas interesante cuando imprimimos al extremo libre de la

cuerda un movirniento repetitivo, 0periodico. (Tal vez ellector desee repasar la ex-plicacion del movirniento periodico del capitulo 13 antes de continuar.) Entonees,cada particula de Ia cuerda tendra un movimiento pericdico al propagarse la onda,y tendremos una onda peri6dica.En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movi-

miento armonico simple (MAS) con amplitud A, frecuenciaj, frecuencia angulart =27TJyperiodo T= IIf= 27T lw . En la figura 15.2 se muestra una forma de ha-cerlo. La onda producida es una sucesion simetrica de crestas y valles. Como ve-remos, las ondas peri6dicas con movirniento armonico simple son especialmentefaciles de analizar; las llamamos ondas seneidales. Resulta tambien que cual-quier onda periodica puede representarse como una combinaci6n de ondas senoi-dales. Por tanto, este tipo de movimiento ondulatorio merece atenci6n especial.En la figura 15.2, la onda que avanza par la cuerda es una sucesion continua de

alteraciones senoidales transversales. La figura 15.3 muestra la forma de una par-te de la cuerda cerca del extremo izquierdo a intervalos deie periodo, para untiernpo totalde un periodo. La forma de onda avanza uniformemente hacia la de-recha, como indica Ja flecha raja corta que apunta a una cresta especifica. Al mo-

A c t I " VP h y s C E S1 0 .1 P ro pied ad es d e la s on da s

mecan icas


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y ~A~

1-0 ~ A i h / \ ( -r -- V '1 : A ~ ~Todas las partfculas de la cuerda oscilanen MAS con la misrna amplitud y periodo

y

T p A n (V V V xy

3 ; r v ~ s A 'os partfculas separadaspor unalongi tud de onda oscilan en fasey~h/v~,y

5 t l P v t \ A xy';lPvAJ"

y

7 ; k P u v ,L a o nd a viaja una longitud de onda Aellyull penodo T ~

T~'

"15.3 On da s en oi da l transversal que viaja ala derecha por una cuerda, Se muestra [aforma de la cuerda a intervalos de k de pe-riodo; la escala vertical esta exageradaLos puntos azules y rajas representan par-ticulas de la cuerda cuyas coordenadas xdifieren 'en la longitud de onda ,,-,

CAP i T U L 0 15 1 Ondas mecanicas

Arnplitud -A

. .15.2 Un bloque con masa m unido a un resorte tiene un movimiento arrnonico simple yproduce una onda senoidal que viaja a la derecha por la cuerda, La amplitud de 1aonda esla misma que 1aampJitud de la oscilacion del resorte. (En unsistema real, se tendria queaplicar una fuerzaimpulsora a IIIpara reponer 1aenergia que la onda se lleva.)

versela onda, cualquier punto de 1acuerda (el punto azul, pOl'ejemplo) oscila ver-ticalmente alrededor de su posici6n de equilibrio con movirn ien to arm6nico sim-ple, Cuando una onda senoidal pasa por un media, todas las particulas del mediasufren movimiento armonico simple con la misma frecuencia.

cuerda con el de una partfcula de esta. La onda avanza con rapidez constante ua 10 largo de la cuerda, mientras que el movimiento de la partfcula es arm6nicosimple y transversal (perpendicu lar) a la longitud de la cuerda.

En eI caso de una onda peri6dica, la forma de Ia cuerda en cualquier instante esun patr6n repetitive. La longitud de un patr6n de onda complete es Ia distancia en-tre una cresta y la siguiente, 0 de un valle al siguiente, a de cualquier punta al puntocorrespondiente en 1asiguiente repeticion de 1aforma. Llarnamos a esta distancialongitud de onda, denotada con A (Ia Ietra griega "lambda"). E1 patr6n de ondaviaja con rapidez constante u y avanza una longitud de onda en e1 I apso de unperiodo t.Par tanto, la rapidez de la onda u esta dada por v = AfT 0, dado queI= 111,

u.= A I (onda periodica) (15.1fLa rapidez de propagaci6n es iguaI a1producto de la longitud de onda y la fre-cuencia, La frecuencia es una propiedad de toda 1a onda pericdica, porque todoslos puntos de la cuerda oscilan can la misma frecuencia fLas ondi,/s en una cuerda se propagan en una sola dimensi6n (en la Fig. 15.3, a

1 0 largo del eje x) . No obstante, los conceptos de frecuencia, longitud de onda yamplitud son igua lmente aplicables a las ondas que se propagan en dos a t res di-mensiones. La figura 15.4 muestra una onda que se propaga en dos dimensionesen la superficie de un tanque d e a gu a, Igual que en las ondas de una cuerda, la Ion-gitud de onda es la distancia entre una cresta y la siguiente, y la arnplitud es 1aal-tura de una cresta,


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15.2 I Ondas peri6dicas

15.4 Una serie de gotas que cae en agua produce una ondaperiodica que se extienderadialmente hacia afuera, Las crestas y valles de Ia onda son circulos concentricos Lalongitud de ondaA es la distancia radial,entre crestas adyacentes ovalles adyacentes.

En muchas situaciones importantes, que incluyen las ondas en cuerdas, la rapi-dez de la onda v depende unicamente de las propiedades mecanicas del medio. Eneste caso, aumentarf hace que A disminuya de modo que e1producto v'" Alno cam-bie, y las ondas de tadas las f re cu e nc ia s s e propagan con la mi sma r ap id e z, En estecapitulo, solo consideraremos las ondas de este tipo. (En capitulos posteriores estu-diaremos la propagacion de las ondas de luz en sustancias en que Ia rapidez de Iiion-da depende de I a f re cu en c ia ; e st a es la r az on p er la que los p rism as d esc om p on en lalu z blanca en W1 espectro y por la que las gotas de l luvia crean Ull arcoiris.)Para entender la mecinica de una onda periodica longitudinal, consideramos

un tubo largo 11enocon un fluido, con un piston en el extremo izquierdo como enla figura IS. lb. Si empujamos el piston, comprimimos el fluido cerca de el, au-mentando la presion en esta region. Luego, esta region empuja la region vecina defluido, etc., y as! un pulso de onda viaja por el tubo.Suponga ahora que movemos el piston con un movimiento armonico simple a 10

largo de una linea paralela al eje del tuba (Fig. 15.5). Este movimiento forma regio-nes en el fluiclo en las que la presion y la densidad son mayores 0 rnenores que losvalores de equilibrio. Llamamos compresion a una region en la que se ha aumenta-do la d en sid a d, y expansion, a una en la que se ha reducido, En la figura, represen-tamos las compresiones con regiones oscuras y las expansiones con regionesclaras. La flecha raja corta indica la posicion de una compresion especifica; lascornpresicnes y expansiones avanzan hacia'la derecha con rapidez constante U.El movimiento de una sola particula del medio, como la indicada con un pun-

ta azul en la figura 15.5, es movimiento armonico simple paralelo ala direccionde propagacicn de la onda. La longitud de onda e s l a d is ta n cia .d e una compres iona la siguiente 0 de una expansion a la siguiente. La ecuacicn fundamental v =Afse cumple para las ondas longitudinales igual que para las transversaJes y, de he-cho, para todos los tipos de ondas periodicas, Como haremos con las ondas trans-versales, en este capitulo y enel siguiente, solo consideraremos las situaciones enlas que la rapidez de las ondas longitudinales no dependa de la frecuencia.

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15.5 Onda senoidal longitudinal que v iaa la derecha por un fluido. La onda tienemisma amplitud y periodo que la oscila-ci6n del pis ton. Los puntas azul y rojo representan particulas del fluido cuyascoordenadas x difieren en la longitud deonda ,t. Ell equilibria, la part icula repre-sentada par el punto rojo esta a ~ longitude onda del piston; sus oscilaciones estadefasadasmedio ciclo respecto al piston


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552 CAPiTULO 15 l Ondas mecanicas

Ejemplo15.1 L ong itu d de o nda de u n so nido m usicalLas ondas sonoras son ondas longitudinales en aire. La rapidez delsonido depende de la temperatura; a 20cC, es de 344 m/s , Calculela longitud de onda de una onda sonora en aire a 20cC si la frecuenciaes de 262 Hz (Ia frecueneia aproximada del do medio de un piano).11.!liM')~1ID EN TlF IC AR Y P LA NT EA R: La incognita es la lcngitud de onda A.Nos dan [a rapidez de [a onda v = 344 m/s y la frecuencia[= 262-Hz, as! que podemos usar la relacion de la ecuaci6n (15.1) entre A,v y[para ondas periodicas.EJECUTAR: Despejamos Ia incognita A de la ecuacicn (15.1);

v 344 m/s 344 m/sA = - = ---- = --- = 1.31 mf 262 Hz 2625-

Observe que las unidades de frecuencia son hertz (Hz) 0 bien se-gundos reciprocos (8-1).EVALUAR: " Q u e sucede con la longitud de onda si cambia la fre-cuencia? Los cambios de frecuencia no afectan [a rapidez de las on"das sonoras, asi que [a relaei6n A = ulfnos dice quela longitud deonda cambiara en proporci6n inversa con la frecuencia, Par ejem-plo, el "Do alto" que cantan las sopranos coloratura esta dos octa-vas arriba del Do medio. Cada oetava corresponde a un factor de 2en la freeuencia, asi que Ia frecuencia del Do alto es cuatro veces ladel Do medio,/= 4(262 Hz) = 1048 Hz. Par tanto, la longitud deonda del Do alto es la cuar ta par te de la delDo medio: A = (1.31 m)!4 =0.328 m,

Si se anmenta al doble la longitud de onda en una cuerda, i,que sucede con la ra-pidez de la onda? i_,Ycan su frecuencia?

15.3 I Descript ion matematica de una onda,

Muchas caracteristicas de las ondas periodicas pueden describirse usando los con-ceptos de rapidez de onda, amplitud, periodo, frecuencia y longitud de and a, peraes comun que necesitemos una descripci6n mas detallada de las posiciones y mo-vimientos de las particulas individuales del medio en instantes especificos duran-te la propagaci6n de una onda. Para esta descripcion necesitamos elconcepto defuncion de onda, una funcion que describe la posicion de cualquier particula en elmedia en cualquier instante. Nos concentraremos en las ondas senoidales, en lasque cada particula tiene un MAS alrededor de su posicion de equilibrio.Como ejemplo especifico, examinemos las ondas en un hilo estirado. Si despre-

ciamos el pandeo del hilo por la gravedad, la posici6n de equilibria es en una linearecta, la cual tomamos como el eje x de un sistema de coordenadas. Las ondas en unhilo son transversales; una particula con posicion de equilibrio x se desplaza ciertadistanciay en la direccion perpendicular al eje x, EI valor de y depende de cual par-ticula estamos considerando (es deeir, y depende de x) y tambien del instante tenque la consideramos, Asi, y esfunci6n de x y t; Y =y(x, t).Llamamos ay(x, t) la fun-cion de onda que describe 1aonda. Si conocemos esta funcion para cierto movi-miento ondulatorio, podemos usarla para calcular el desplazamiento (respecto alequilibrio)' de cualquier particula en cualquier instante. Con esto podemos calcularla velocidad y la aceleracion de cualquier particula, la forma del hila y todo 1 0 quenos interese acerca del comportamiento del hilo en cualquier instante. . .F uncio n d e o nda d e u na on da seno idalVearnos como se determina la forma de la funcion de onda para una onda senoi-dal, Supongamos que una onda senoidal viaja de izquierda a derecha (direcci6n dex creciente) pOTel hilo, como en Ia figura 15.3. Cada particula del hila oscila en


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15.3 I Descripci6n marematica de una onda 5movimiento armonico simple con la misma amplitud y frecuencia, pero las osci-laciones de particulas en diferentes puntos del hilo no estan todas coordinadas. Laparticula marcada con el punta azul en 1afigura 15.3 esta en su maximo valor po-sitivo de y en t = 0 y vuelve a y = 0 en t = 2T18; esto mismo sucede can una par-ticuia en el centro de la banda de color en t = 4T/8, Y t =6T18 , exactarnente mediopericdo despues, Para cualesquier dos particuias del hila, el movimiento de la par-ticula de la derecha se retrasa respecto al de la particula de la izquierda en unacantidad proporcional ala distancia entre las partlculas.Asi, los rnovirnientos ciclicos de diversos puntos del hila estan desfasados en

diversas fracciones de un ciclo, L1amamos a estas diferencias de fase, y decimosque lafase del movimiento es diferente para diferentes puntas. Por ejemplo, si unpunta tiene su desplazamiento positive maximo al mismo tiempo que otro tiene sudesplazamiento negativo maximo, los dos estan desfasados medio ciclo, CEstees elcaso del punto azul de 1afigura 15.3 y un punto en e1centro de la banda de color.)Supongamos que el desplazamiento de una particula en el extreme izquierdo

deJ hila (x = 0), donde Ia onda se origina, esta dado pory (x = 0, t ) = A cos w t = A cos 27T ft (15.2)

Es decir, la pahicula osciIa en movimiento armonico simple con amplitud A, fre-cuenciafy freeuencia angular w = 27Tf La notacion v(x = Q , ~ O nos recuerda que elmovimiento de esta particula es un caso especial de la funcion de onda y(x, t) quedescribe toda la onda. En t =0, la particula en x = = 0 tiene maximo desplazamien-to positive (y =A) Y esta instantaneamente en reposo (porque e l valor de y es unmaximo).La perturbacion ondulatoria viaja de x = 0 a algun punto x a la derecha del ori-

gen en un tiempo dado por xlv, donde v es la rapidez de la onda, Asi, el movimien-to del punto x en el instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en elinstante anterior t - xlv. Por tanto, podemos obtener el desplazamiento del puntax en el instante t con s610 sustituir ten la ecuacion (15.2) por (t - xlv). Al hacer-10 , obtenemos la siguiente expresion para la funcion de onda:

y(x, r) = A cos[ w ( t - ; ) ]Dado que cos (-8) =cos 8,podemos reescribir la funcion de onda asi:

y(x, t) = A C O S [ w ( ; - t ) ] = A cos 27Tf(; - t ) (15.3)(onda senoidal que avanza en la~eccion +x)

El desplazamiento y(x, t) es funcion tanto de 1a posici6n x del punto como deltiernpo t. Podemos hacer mas general la ecuacion (15.3) contemplando diferentesvalores del angulo de fase, como hicimos para el movimiento armonico simple enla seccion 13.2, pero por ahora omitiremos esto.Podemos reescribir la funcion de onda dada por la ecuacion (15.3) de varias

form as distintas pero utiles, Podemos expresarlaen terminos de periodo T= llfyde Ia longitud de onda A=olf:

y(x,t) = A cos 2 1 T ( I - ~ )(onda senoidal, que se mueve enJ~~ireccion +x)

(15.4)


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15.6 (a) La grafica de y(x, t) contra lacoordenada x para un instante especifico tdescribe la forma de la onda en ese instan-te, (b) La grafica de y(x, I) contra el tiernpot para una coordenada especificax descri-be el movimiento de una particula en esacoordenada, La escala vertical esta exage-rada tanto en (a) como en (b),

CAPiTULO 15 I Ondas mecanicas

Obtenemos otra forma util de la funcion de onda si definimos una cantidad k lla-mada mimero de onda:

2r.k=-A

( ntimero de onda ) (15.5)Sustituyendo A = = 2r.lk y f= l lJl2r. en l a r el ac io n u = A i ; obtenernos

c a = u k (onda peri6dica)Ahora podemos reescribir la ecuaci6n (15.4) como

(15.6)

(15,7)(x , t ) = A cos (kx - , l lJt)(onda senoidal que se mueve en la direccion +x)

Cual de estas fonnas de la funcion de onday(z, t) usernos en un problema especi-fico es cuestion de comodidad, Observe que w esta en rad/s asi que, por consisten-cia, el numero de onda k debe estar en rad/m en las ecuaciones (15.6) Y (J 5.7).(Algunos fisicos definen el numero de onda como J /A en lugar de 2r.'/Jt. AI Jeerotros textos, verifique 'como se defini6 este terrnino.)En la figura 15.6a, se grafica la funcion de onda y(x, t) como funcion de x para

un instante especificc t.Esta grafica da el desplazamiento y de una particula respec-to a su posici6n de equilibrio en funcion de la coordenadax de la particula. Si se tra-ta de una onda transversal en LUl hilo, la curva de la figura 15.6a representa la formadel hila en ese in stante , como una instantanea del hilo , E n particular, en t =0,

xy(x, t = 0) = A cos kx = A cos 2r.AEn la figura 15.6b, se muestra una grafica de Ia funcion de onda Contra el tiem-

po t para una coordenada x especifica. Esta curva da e1desplazamiento y de la par-ticula en esa coordenada en funcion del tiempo; es decir, describe e1movimientode la particula. Especificamente, en la posicion x =0,

ty( x = 0, t ) = A cos( ~llJt) = A cos ca t = A cos 2r.- TEsto es congruente con 1 0 que dijimos originalmente acerca del movimiento enx =0, ecuaci6n (15.2).

R IIIIIAunque a primera vista las figuras 15.6a y 15.6b seven iguales, noson identicas, La f igura 15.6a es una imagen de la forma del hi 1 0 en t = 0, mien-tras que la figura 15.6b es una gratica del desplazamiento y de una partfcula enx =0 en funci6n del tiempo.

.Desplazamiento de onday contra ccordenada x

If~-"~~l~I:~tante t = 0A I -~r-~-#--~~~~Y-X

yDesplazamiento de onda

contra tiempo !.en la coordenada x = 0

f:--Periodo r-?!(b)a)


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15.3 I Descripci6n matematica de una onda 55Podemos modificar las ecuaciones (15.3) a (15.7) para representar una onda

que viaja en la direccion x negativa. En este caso, e 1 desplazamiento del punto xen el instante t es el mismo que el del punta x=0 en un instante posterior (t + xlv),ast que sustituimos t por (t + xlv) en la ecuacion (15.2). Para una onda que viajaen la direcci6n ~x,

y(x , t) = A cos 271/( ; + t ) = A cos 271(~ + f ) = A co s(kx + w t)(onda senoidal que se mueve en la direccion -x) (15.8)

En la expresi6n y(x, t) =A cos (Ia : : ! : w t) para una onda que viaja en la direc-ci6n ~x a +x, la cantidad (k x : : ! : w t) se denomina fase, y desempefia el papel decantidad angular (siernpre en radianes) en la ecuacion (15.7) 0 (15.8); su valor pa-ra cualesquier valores de x y t determina que parte del ciclo senoidal existe en unpunto e instante dados. Para una cresta (donde y =A Y la funci6n coseno vale 1 ),la fase podria ser 0 , 27 1, 4 71 , etc.; para un valle (donde y =-A Y el coseno t iene elvalor -1 ), podria ser 1t, 3 7T , 5 7 1, etcetera.La rapidez de onda es la rapidez con que tenemos que movernos con la ondapara mantenernos junto a un punto que tiene una fase dada, como una cresta espe-cifica de una onda en un hilo. Para una onda que viaja en 1a.direccion +x, eso im-plica kx - to t = constante. Derivando respecto at, obtenemos k dxldt = w, 0

dx wdt k

Si comparamos esto con la ecuacion (15.6), vemos que dxldt es igual a la rapidezv de la onda. Por esta relaci6n, a veces se llama a v a la velocidad defase de la on-da. (Aunque rapidez defase seria mas correcto.)

E strateg ia para .reso lve r p rob lemas Ondas mecimicas

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Los problemas de on-das se dividen en dos categorias amplias, Los problemas de ci-nematica se ccupan de describir el rnovimiento de las ondas; enellos intervienen la rapidez de onda v, la longitud de onda A(0 e1 numero de onda k), la frecuenciaf(o la frecuencia angularw) y la amplitud A. Tambien podria intervenir la posicion, velo-cidad y aceleracion de particulas individuales del medio. Enproblemas de dintunica, tambien se usan conceptos de las leyesde Newton, como fuerza y masa, Por ejemplo, mas adelante elleste capitulo encontraremos problemas en que interviene la re-laci6n entre la rapidez de onda y las propiedades mecanicas delmedio. Veremos estas relaciones en la seccion .9.uesigue y en el ca-pitulo 16.

Como siempre, identifique laCs) incognita/s) del problema.En algunos casos, sera la longitud de onda, lafrecuencia 0 la ra-pidez dela onda; en otros se pide deducir una expresion para lafunci6n de onda.PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

J . Haga una lista de las cantidades cuyos valores se dan. Pa-ra visualizar mejor la situacion, podda ser util trazar gra-

- ficasdeycontrax(comolaFig.15.6a)ydeycontrat(co-mo la Fig. t5.6b). Rotule sus graficas con los valores delas cantidades conocidas,

2. Decida que ecuaciones necesitara, Si se dan dos de las trescantidades v,fy A, se puede obtener la tete era con laecuaci6n (15.1), v =Af(veaseel ejemplo 15.1). Si en elproblema interviene la frecuencia angular c o 0 el numerode onda k, se necesitaran las definiciones de esas cantidadesyla ecuacion (15.6), (w = uk}. Tambien.podrian necesitar-se las diversas fo rmas de la funcion de onda dadas en lasecuaciones (15.3), (1504) y (15.7).

3. Si no se da la rapidez de and a y no se tiene suficiente in-formacion para cal cul arla usando v =}if, pcdria obtenersea partir de las relaciones entre v y las propiedades meca-nicas del sistema. (En la seccion que sigue desarrollare-mas esa relaci6n para ondas en un hilo.)

EJECUTAR la solucion como sigue:Despeje las cantidades desconocidas empleando las ecuacionesque selecciono. En algunos problemas selohabra que hallar elvalor de una de las variables de onda.


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55 6 CAPITULO 15.1 Ondas mecanicas

Si lepiden determinar 1afuncion de onda, necesitara conocerA y dos de las t re s c an ti d ad e s v, A y /(0 v, k y w). Una ve z quetenga esa informacion, podra usarla en la ecuacion (15.3), (15.4)o (15.7) para obtener la f u nc ion e spec if ic a de onda para el pro-blema. Can ella, podra obtener el valor de y en cualquier punta(valor de x) yen cualquier instante par susti tuci6n en la funciondeonda ..

EVALUAR la respuesta: Examine de forma crit ica sus resulta-dos. Compruebe que los valores de v,fy k (0 v, w y k) concuer-den can las relaciones dadas en la eeuacion (15.1) 0 la (15.6). Sic alc ulo la fu nc io n de onda, revise uno 0 mas casas especialespara los cuales pueda conjeturar los resultados.

Ejemplo15.2 Onda e n u n te nd ed eroSu primo Tito esta juganda can la cuerda para tender: d es ata u n ex-trerno, tensa la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia aba-jo senoidalmente can una frecuencia de 2.00 Hz y una amplitud de0.075 m . La rapidez de onda es u = 12.0 m/s . En t = 0, el extrematiene desplazamiento positive maximo y esta instantanearnente enrepose. Suponga que ninguna onda rebota del extrema lejano paracomplicar el patron. a) Calcule la amplitud, frecuencia angular, pe-riodo, longitud de onda y numero de onda. b) Bscriba una funciorr- .de onda que la describa, c) Escriba las ecuaciones para eldesplaza-miento, en funcion del tiempo, del extrema que Tito sujeta y de UDpunto a 3.00 11 1 de ese extrema.I~ 'i,lS i B [ ' h i 'IDENTIF ICAR: Se trata de un problema de cinematics acerca delmovirniento de la cuerda, Puesto que Tito mueve la mana senoidal-mente, produce una o n da s en o id a l que s e p r op a ga por Ia cuerda. Portanto, p od er no s u sa r to da s las expresiones que desarrollamos en estaseccion, Las incognitas en la parte (a) son arnplitud A, frecuenciaangular w, periodo t.longitud de onda A y numero de onda k, asique necesitamos usar las ecuaciones que relacionan estas cantida-des. En las partes (b ) y (c), las "incognitas" son en realidad expre-siones de desplazamiento; para obtenerlas, usaremos las ecuacionesgenerales para la funcicn de onda de una onda senoidal,I .PLANTEAR: Una fotografia de la cuerda en eI instante t = 0 se ve-ria como la figura 1 5 .6a, can eJ desplazamiento maximo en x = 0 (elextreme que s uj et a T it o) . T o rn amos como direccion +x l a d i re c ci o nen que se propaga la onda, para poder usar las ecuacicnes (15.4) y(15.7) como descripcion del desplazamiento de la cuerda en fun-cion de la posicion x y el tiempo t.Tambien usaremos las relacionesI= liT, w = 21Tf , k = 21TIA , v = Af y w =ok :EJECUTAR: a) La amplitud A de 1a onda es la delmovimiento delextreme de 1acuerda, A = 0.075 m. Asimismo, la frecuencia de Iaonda esf= 2.00 Hz, igual a Ja frecuencia del extrema dela cuerda.La frecuencia angular es .

w =21T f = (2'71"ad/Ciclo)( 2.00 ciclos/s ) = 4.0017 rad/s= 12.6 rad/s

EI periodo es T = 1//= 0.500 S. Obtenemos la longitud de onda dela ecuacion (15.1):

A =.::.= 12.0 m/s = 6.00 illf 2.008-1Obtenemos el numero de onda de la ecuaci6n (15.5) 0 la (15.6):

21 1 2'71"adk =T= 6 . 0 ( ) m = 1.05 rad/mco 4.0017 rad/sk = - = . =1.05 rad/mu 12.0 rn/s

o bien

b) Puesto que obtuvimos los valores de A , T y Aen la parte (a), po-demos escribir la funcion de onda empleando la ecuacion (15.4):

y(x, r) =A cos 217(~ - ~)

(0.075 m)cos 217(-X -- - -0 t )6..00 m .500 s(0.075 m)cos [( 1.05 rad/rn} - (12.6 rad/s) t J

Podernos obtener e sta m ism a e cu ac io n de l a e cu ac ion (15.7) usan-do los valores de w y k que obtuvimos en la parte (a).c) Con la direccion +x que escog imos , los dos puntos en cuest ionestan en x = 0 y x = +3.00 m. Para cada uno, podemos obtener unaexpresion para el desplazamiento en funcion de t sustituyendo estosvalores de x en la funcion de onda obtenida en la parte (b):

y( x = 0, t) = (0.075 m)cos 211(6.0~ ill - 0.5~0 s )(0.075 m) cos (12.6 rad/s ) t

(3.00 m t )(0.075 mlcos 21r - - --_6.00 m 0.500 s(0.075 m)cos [ 7 T ~ (12.6 rad/s)t]

y( x =+3.00 m, r)

= -(0.075m)cos (12.6rad/s)t

EVALUAR En la parte (b), l a c an ri d ad (1 .05 rad/m)x - ( 12 .6 r a d/ sj res la/ase de un punta x de la cuerda ell el instante t. Las fases de losdos puntos de la parte (c) difieren en 17 porque los puntas e sta n s e-parados par media longitud de onda (Al2 = (6.00 11l)/2) = = 3.00 m).Ambos puntos oscilan can un MAS can la misma frecuencia y am-


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15.3 I Descripci6n maternatica de una onda 55plitud, perc sus oscilaciones estan desfasadas rnedio ciclo, Asi,rnientras que una grafica de y contra t para el punto en x =0 es unacurva de coseno (como.la Fig. 15.00), una grafica de y contra t pa-ra el punto x =3.00 m es un coseno negativo (igual a una curva decoseno desplazada medio ciclo),

Usando la expresi6n para y(x =D,-f) de la parte (c), lPuede dmostrar que el extremo de la cuerda en x =0 esta instantaneamenteen repose en t -= - 0, como se dij0 al principio del ejemplo? (Sugerencia: caleule la velocidad en este punto derivando y respecto at.)

Velocidad y aceleraclen d e particu las en u na o nd a sen oid alDe la funci6n de onda podemos obtener una expresi6n para la velocidad transver-sal de cualquier particula en una onda transversal, que llamarernos Vy para distin-guirla de la rapidez de propagacion de la onda, v. Para calcular vr en un punto xdado, derivamos la funci6n de onda y(x, t) respecto a t,manteniendo x constante.Si la funci6n de onda es

y (x , t) = A cos (kx - w t)entonces

ay(x,t)v y ( x , t) = _ = wA sen(kx - w t)at _" ,En esta expresi6n, a es una d modificada para recordarnos que y(x, t) es una fun-cion de dos variables y que s610 estamos permitiendo que una de ellas (t) vane. Laotra (x ) es constante porqlle estamos examinando un punto dado del hilo. Esta es unaderivada parcial. Si no ha Ilegado a ese punto en sus cursos de calculo, no se preo-cupe; es una idea sencilla.La ecuacion (15.9) rnuestra que la velocidad transversal de una particula varia

con e1tiempo, 10 esperado en movimiento armonico simple. La rapidez maxima deuna particula es wA ; esta puede ser mayor, menor 0 igual que la rapidez de ondav, dependiendo de la amplitud y frecuencia de la onda.La aceleracion de cualquier particula es la segunda derivada parcial de y ( . ; r , t)

(15.9)

respecto a t:

La aceleraci6n de una particula es igual a -w2 por su desplazamiento, que es elresultado que obtuvimos en Ja seccion 13.2 para el movimiento armonico simple.

Tarnhien podemos calcular derivadas parciales de yex, t) respecto ax, mantenien-do t constante. Esto equivale a estudiar la forma del hila en un momento dado,como una instantanea, La primera derivada ay(x, t)!ax es Ia pendiente del hilo encualquier p~nto. La segunda derivada parcial respecto a x es la cuniatura del hilo:

a 2 y (x , t ) ? ( ) 2ar = = -k-A cos kx+- w t = = k y(x, t ) (15.11)Par las ecuaciones (15.10) Y(15.11) y la relacion w = = vk, vemos que

a 2y(x, t)laf w 2 ,a 2y (x, t)la J? = = 11 = v- Y

1 ( F y{ x , l )v2 a r _ (15.12)ecuacion de anda)


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.558 CAPITULO 15 I Ondas mecanicasDeduj irnos 1a ecuaci o n (15.12) pam una onda que viaja en Ia direcci6n +x. Se pue-den seguir los rn ismos pasos para demostrar que la funci6n de onda para una ondasenoidal que se propaga en la direccion x negativa, y (x, t)=A cos (Ia + wt), tam-bien satisface esta ecuaci6n.La ecuacion (15.12), llamada ecuacion de onda, es una de las mas importan-tes en fisica. Siempre que ocurre, sabemos que una perturbacion puede propagar-

se como onda a 1 0 largo del eje x con rapi dez v. La perturbaci6n no tiene que seruna onda senoidal; veremos en la siguiente secci6n que cualquier onda en un hiloobedece la ecuaci6n (15.12), sea peri6dica 0 no (veanse tambien los problemas15.54 y 15.59). En 1.'01apitulo 32 veremos que los campos electricos y magnetic ossatisfacen la ecuacion de onda; la rapidez de la onda resulta ser la de la luz, 10quenos llevara a la conclusion de que la luz es una onda electrornagnetica,La figura 15.7a muestra la velocidad Vy Yla aceleraci6n ay, dadas por las ecua-ciones (15.9) y (15.10), para varies puntos de un hilo cuando una onda senoidal

pasa por 61. Observe que, en puntos donde 1.'01ilo tiene curvatura hacia arribaca 2y/ar- > 0), la aceleraci6n del punta es positiva (a y =Fly/of> 0); esto se sigue dela ecuacion de onda, ecuacion (15.12). Por la rnisma razon, la aceleracion es ne-gativa (a y =a 2y/af < 0 ) en puntos donde el hilo tiene curvatura hacia abajo (Ely/or-< 0), Y [a aceleracion es cera (a y =riylaf =0) en los puntos de inflexion donde lacurvatura es cero (, iyL?r =0). Subrayamos otra vez que Vy yay son la velocidad yaceleracion transversales de puntos en el hila; estos PU11tosse mueven en la direc-cion y, no en la direccion de propagaci6n de la onda. Los rnovimientos transver-sales de varios puntos del hilo pueden verse en la figura 15.7b.El concepto de funcicn de onda es igualmente util para las ondas longitudina-les, y todo 10 que hemos dichc acerca de funciones de onda se puede adaptar a es-

te caso. La cantidad y sigue midiendo ei desplazamiento de una particula delmedia respecto a su posici6n de equilibria; la diferencia es que ahora el desplaza-miento es paralelo al eje x en lugar de perpendicular a e l, Veremos las ondas 10n-gitudinales con detalle en el capitulo 16.

La aceleracidn ay en cada punto es proporcionalal desplazamiento y en ese puntoLa aceleracion es hacia arriba donde la cuerda tienecurva hacia arriba, y hacia abajo donde Ia cuerdatiene curva hacia abajo

)'A

V,." 0 vJ.'8 YA 8a " .=O vVy _____ v .- - - - --A - 44

vr" 0 Vy(a) (b)

15.7 (a) Otra vista de la onda en t = 0 de la figura 15.6a. Los vectores rnuestran la velo-cidad transversal Vy y la aceleracion transversal ay en varios puntas de la cuerda. (b) Lasdes curvas rnuestran Ia onda en t = 0 y en t =O.05T.Durante este intervale, una particulaen el punta 1 se desplaza a l punto I', una particula en el punto 2 se desplaza al punta 2',etcetera.


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15.4 I Rapidez de nna onda transversal

La funci6n de onda de una onda senoidal esy(x, t ) = (2.50 rnm ) cos [(2.00 m-I)x + (3.20 rad/s Ir ]

LEn que direccion se esta propaganda esta onda? Determine su numero de onda,su frecuencia angular y su amplitud,

15.4 I R apidez de una onda transversalUna de las propiedades clave de cualquier onda es su rapidez. Las ondas de luz enaire tienen una rapidez de propagaci6n mucho mayor que las del sonido (3.00 X108 rn/s contra 344 m/s); es par esto que vemos el destello de un rayo antes de oirel trueno. En esta seccion veremos que determina la rapidez de propagacion de untipo de onda especifico: ondas transversales en una cuerda. La rapidez de estasondas es importante per derecho propio porque es una parte fundamental del ana-lisis de los instrumentos musicales de cuerda, como veremos mas adelante en es-te capitulo. Adernas, la rapidez de muchos tipos de ondas mecanicas tiene lamisma expresi6n maternatica basica que la rapidez de ondas en una cuerda.Las cantidades fisicas que deterrninan la rapidez de las ondas transversales

en 1macuerda sonia tension de la cuerda y su masa por unidad de longitud (tambienHamada densidad de masa lineah. Podriamos suponer que aumentar la tension au-menta Jas fuerzas de restitucicn que tienden a enderezar la cuerda wando se leperturba, aumentando asi la rapidez de la onda. Tambien podriamos suponer queaumentar la masa haria el rnovimiento mas lento, reduciendo la rapidez. Resultaque arnbas ideas son correctas. Desarrollaremos la relaci6n exacta entre rapidezde onda, tensi6n y masa por unidad de longitud usando dos metodos distintos. E1primero es conceptnalmente sencillo y considera una forma de onda especifica; el se-gundo es mas general pero tambien mas formal. Escoja el que mas le guste ,R ap ide z d e u na o nda en u na cu erda : p rim er metodoConsideramos una cuerda perfectamente flexible (Fig. 15.8). En la posici6n deequilibrio, la tensi6n es F y la densidad de masa lineal (masa por unidad de Iongi-tud) es u: (Si porciones del hila se desplazan respecto al equilibrio, Ia masa porunidad de longitud disminuye un poco y la tension aumenta un poco.) Haremos ca-so omi.so del peso de la cuerda, de modo que cuando la cuerda este en reposo en laposicion de equilibrio forme una linea perfectamente recta como enla figura 15.8a.Cornenzando en el instante t = 0, aplicamos una fuerza constante hacia arriba

F ; al extrema Izquierdo de la cuerda. Podriamos esperar que el extrema se movie-ra con aceleracion constante; eso sucederia 5 1 Ja fuerza se aplicara a una masapun-t ua l . Aqui, el efecto de la fuerza F y es poner sucesivamente mas y mas masa enmovimiento. La onda viaja con rapidez constante u, asi que el punta de division Pentre la porciones en movimiento y estaticas se rnueve con la misma rapidez cons-tante v (Fig. 15.8b). .La figura 15.8b muestra que todas las particulas de la porcion en movimiento

de 1 3 cuerda se mueven hacia arriba can uelocidad constante vp no aceleracionconstante. Para entender esto, observamos que el impulso de la fuerza F ; hasta elinstante t es F/ Segun el teorema del impulsoy la cantidad de movimiento (sec-cion 8.1), el impulso es igual al cambio en la componente transversal total de lacantidad de movimiento (mo ; - 0) de la parte de la cuerda en movimiento , Dado

5

A c t j " VP h y s c s10.2 Rapidez de ondas en una cuerda


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560 CAPiTULO 15 I Ondasmecanicas

Equilibrio

(a)En movimiento Enreposo

r.. v.. FVI P

15.8 Propagacion de onda transversal en una cuerda. a) Cuerda en equil ibrio; b) Parte dela cuerda en movimiento.

que el sistema inicio sin cantidad de movimiento transversal, esto es igual a 1acantidad de movirniento total en el instante t:

Fy f = mvyAsi, la cantidad de movimiento total debe aumentar proporcionalmente can eltiempo. Sin embargo, dado que el punta de divisi6n P se mueve can rapidez cons-tante, la longitud de la cuerda que esta en movimiento y, por tanto, la masa total men movimiento, tambien son proporcionales a1 tiempo t durante el cual1a fuerzaha estado actuando, Por tanto, el cambio de eantidad de movimiento debe estarasociado unicamente a la eantidad creciente de masa en movimiento, no a una ve-locidad creciente de un elemento de rnasa individual. Es decir, mvy cambia porquem cambia, no porque vr cambie.En el instante t, el extremo Izquierdo de la cuerda ha subido una distancia vi,

y el punta de frontera P ha avanzado 1ma distancia vt. La fuerza total en el extre-ma Izquierdo de la cuerda tiene componentes F y F y- ~Por que F? No hay movi-miento en la direcci6n a 1 0 largo de la cuerda, asi que no hay ninguna fuerzahorizontal no balanceada. Por tanto F, la magnitud de la componente horizontal,no cambia cuando la cuerda se desplaza. En la posicion desplazada la tension es(F2 + F/)li2 (mayor que F), y Ja euerda se estira un poco.Para deducir una expresion para la rapidez de la onda v, aplicamos otra vez el

teorema del impulso y la cantidad de movirnieuto ala porcion de la cuerda en mo-vimiento en el instante t, es decir, la porci6n a la izquierda de P en la figura 15.8b.E! impulso transversal (fuerza transversal multiplicada par el tiempo) es igual alcambio de cantidad de mooimiento transversal de la porcion en movimiento (ma-sa multiplicada par la componente transversa! de velocidad). EI impulso de lafue;za transversal F y en el instante t es F y t . Enla figura 15.8b, el triangulo rectan-gulo euyo venice esta en P, con eatetos Vi y ot, es sernejante al triangulo rectangu-10euyo vertice esta en la posicion de la mano, con catetos F y YF. Por tanto,

F ) , _ ~) '_t VvF y = F _ _ : _F vt vy

VyImpulso transversai.r= F y t = = F _ : _ t. v


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15.4 I Rapidez de una cnda transversal

La rnasa de la porcion en movimiento de la cuerda es el producto de la masa parunidad de longitud fL y la longitud ut, 0 sea uut. La cantidad de movimiento trans-versal es el producto de esta masa y la velocidad transversal Vy:

Cantidad de movirniento transversal = (fLvt)vyObservamos una vez mas que la cantidad de movirniento aumenta con el tiempono porque la masa se mueva con mayor rapidez, como solia suceder en el capitu-lo 8, sino porque m a s masa se esta poniendo en movimiento. No obstante, el im-pulso de la fuerza Fy sigue siendo igual al cambio total de cantidad de movimientodel sistema. Aplicando esta relacion, obtenemos

Despejando v, obtenemos

-: (fapidez de una onda transversal en una cuerda) (15 .1 -3 ) -~ , ~La ecuaci6n (15.13) confirm a nuestra prediccion de que la rapidez de onda v de-be aumentar al aumentar la tension Fpero disminuir cuandoIa masa par unidad delongitud fL aumenta (Fig. 15.9). >Observe que u, no aparece en la ecuacion (15.13); par tanto, la rapidez de la

onda no dependede uy. Nuestro calculo considero s610 un tipo muy especial depulso, pero podemos considerar cualquier forma de perturbaci6n ondulatoria co-mo una serie de pulsos can diferentes valores de u y. Asi, aunque dedujimos laecuacion (15.13) para un caso especial, es valida para cualquier rnovimiento on-dulatorio transversal en una cuerda, incluidas la onda senoidal y las otras ondasperiodicas que vimos en la seccion 15.3. Observe tambien que la rapidez de onda nodepende de la amplitud ni la frecuencia de la onda, en congruencia con nuestrossupuestos de la secci6n 15.3.R ap id ez d e u na o nd a en u na cu erd a: seg un do metodoHe aqui una deduccion alterna de la ecuacion (15.13). Si ellector no maneja conconfianza las d~rivadas parciales, puede pasarlas par alto. Aplicamos la segunda leyde Newton, "2,F = mil, a un pequefio segmento de cuerda cuya longitud en la po-sicion de equilibrio es fu: (Fig. 15.10). La masa del segmento es m =fL fu:; las fuer-zas en los extremos se representan en terrninos de sus componentes x y y. Las

1 '"

Fly !'Ix(lougitud deequilibrio del

~ segmento !x de cuerda) x + Ax

S

15.9 Estes cables tienen una canti dad relativamente grande de rnasa por unidad dlongitud ( fL ) y una tension (F) baja, Si lcables sufren una perturbacion (comocuando un ave se po sa sobre ellos), viajaran ondas transversales en ellos con rapi-dez baja v = VFijJ . .

15.10 Diagrama de cuerpo libre de unsegmento de cuerda, La fuerza en cada etrema de la cuerda es tangente a la cuerden el punta de aplicacion,


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562 CAPfTU LO 15 I Ondas mecanicascomponentes x tienen magnitud igual F y su suma es cero porque el movimientoes transversal y no hay componente de aceleraci6n enla direccion x. Para obtenerF ly y F 2y, observamos que el cociente Fi)JP es igual en magnitud a la pendiente deIa cuerda en el punta x y que F2/P es igual ala pendiente en el punto x + A x. Te-niendo cuidado con ~os signos, vemos que

(15.14)

La notaci6n nos recuerda que las derivadas se evaluan en los puntos x y x + A x, res-pec t ivamen te , Por la ecuaci6n (15.14), vemos que la componente y de fuerza neta es

(15.15)

Ahora igualamos F; de la ecuacion (15.15) ala mas a /J. A x multiplicada por lacomponente y de aceleraci6n, e ly /a t2 . Obtenemos

(15.16)

o bien, dividiendo entre F Ll_r,

(15.17)Ahora tomamos e l limite cuando A x ~ O . En este limite, el l ad o i zq ui er do de Iaecuacion (J 5.17) se convierte en la derivada de Jy/ iJx respecto a x (con t cons tan-te), es decir ; la segunda derivada (parcial) de y respecto a x:

cP y /J. a 2y-a x 2 F a P ( 15 . 18 )Por fin l l egamos al desenlace de nuestra historia , La eeuaci6n (15 .18 ) tiene exac-tamente la misma forma que la ecuacion de onda, ecuaci6n (15.12), que dedu-jimos al final de Ia seccion 15 .3 . Esa ecuacion y la (15.18) deseriben el mismomovimiento, asi que deben ser identicas, Si comparamos las dos eeuaciones, vemosque, para que asi suceda, debemos tener

. ~~v= -;.t (15.19)que es la misma expresion que la ecuacion (15.13).En esta deduccion no hieimos supuestos especiales acerea de la forma de la on-da. .Puesto que nuestra deduccion nos llevo a redeseubrir la ecuaci6n (15.12), laecuacion de onda, concluimos que la ecuacion de onda es valida para las ondas elluna cuerda, sea cual sea su forina.La ecuacion (15.13) (0 la 15.19) da la rapidez de la onda unicamente para el ea-

so especial de las ondas mecanicas en un hiio 0 una euerda estirados. Curiosamen-te, para muchos tipos de ondas mecanicas, incluidas las ondas en una cuerda, laexpresi6n para la rapidez de la onda tiene la misma forma general:

(fuerza derestitucionque vuelve el sistema al equilibrio)(inercia que resiste el retorno al equilibrio )v=


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15.4 I Rapidez de una onda transversal 5Para interpretar esta expresion, examinemos una vez mas el caso de ondas en unacuerda. La tension F enla cuerda desempefia el papel de la fuerza de restitucion;tiende a hacer que la cuerda vuelva a su configuraci6n de equilibrio, no perturbada.La masa de la cuerda --0,mas bien dicho, la densidad lineal de masa p..- propor.-eiona la inercia que evita que la cuerda regrese instantaneamente a1 equilibrio , Partanto, tenemos v = V F T i . L para la rapidez de ondas en una cuerda.En el capitulo 16 veremos una expresion similar para la rapidez de las ondas so-

noras en un gas. A grandes rasgos, la presion del gas proporciona la fuerza que tien-de a volver a1 gas a su estado no perturbado despues de que una onda sonora pasapar el. La inercia proviene de la densidad, 0 masa par unidad de volumen, del gas.

Ejemplo15.3 . V ariar la rap id ez de un a on daEn el ejemplo 15.2, la densidad lineal de masa de la cuerda para ten-der es de 0.250 kg/m. a) I,Cuanta tension debe aplicar Tito paraprcducir la rapidez de onda observada de 12.0 mls? b) Si la tensionse aumenta a cuatro veces el valor de (a) pero la freeuencia siguesiendo 2.00 Hz, i,que longitud de onda tendra la onda en la euerda?limit3"BIDENTIFICAR: La incognita es la tension en la parte (a) y la longitudde onda en la parte (b). En ambas partes del problema interviene ladinamica; es decir, la relacion entre larapidez de laonda y las propie-dades de la cuerda (tension y densidad lineal de masa). En la parte(b) t ambien interviene la cinematica, porque necesitarernos la rela-ci6n entre la rapidez de la onda, la Iongitud de onda y la frecuencia,PLANTEAR: En la parte (a), nos dan la densidad lineal de masa J . . L yla rapidez de la onda v. Por tanto, podremos obtener la tension FCO D la ecuaci6n (15.13), v = ~. En la parte (b), usarernos larnisrna relaci6n para obtener la nueva rapidez de la onda con el nue-vo valor de la tension, y despues calcularemos lanueva longitud deonda con la ecuaci6n (IS . 1 ), v = ),tEJECUTAR:a) US~lllOS la ecuacion (15.13); despejando F,

F = J . . L V 2 = (0.250 kg/m)( 12.0 m/s )? ~ 36.0 kg-m/s''= 36.0 N = 8.09 Ib

Tiro bien puede aplicar esta fuerza.

-"

b) La ecuaci6n (15.13) dice que la rapidez de una onda es propocional a la raiz cuadrada de la tensi6n F. Adernas, la ecuaci6(15.1) nos dice que A=vlf de modo que la longitud de onda esrectamente proporcional a la rapidez de la cnda (si la frecuenciaccnstante, como en este caso), Por tanto, si aurnentamos el valorF en un factor de 4, tanto la rapidez como la longitud de ondamentaran en un factor de v4 = 2. POl' tanto, si usamos el antigvalor de la lcngitud de onda del ejernplo 15.2, obtendremos la nuva longitud de onda

A = 2(6.00m) = 12.0m

EVALUAR: Podernos comprobar nuestra respuesta a la parteusando la nueva tension F =4(36.0 N) en la expresion u = VFTpara obtener la nueva rapidez de la onda y calculando despuesnueva longitud de onda con A=uif:

v= 144N---- = 24.0 m/s asf que0.250 kg/rn24.0 mlsA = = 12.0 m2.00 S-l

Ejemplo15.4 C alcu lo de la rapidez de onda .Un extreme de una cuerda de nylon esta atado a unsoporte estaeio-nario en la boca de un tiro de rnina vertical de 80.0 m de profundi-dad (Fig. 15,11). La cuerda esta tensada por una caja fie muestrasde minera le s de 20.0 kg atada al extremo inferior. La masa de lacuerda es de 2.0 kg. EIgeologo que esta hasta abajo envia sefiales asucolega de arriba tirando lateralmente de la cuerda, a) Calcule la ra-pidez de una onda transversal en la cuerda. b) Si a un punto de lacuerda se imparte un movimiento arrnonico simple transversal confrecuencia de 2.00 Hz, {,cuiintosciclos de la onda habra en la cuerda?

',11 ! I I 3 ( m 'IDENTIFICAR: Este ejemplo es similar a1 anterior; tiene aspecttanto de dinamica [parte (a)] como de cinematica [parte (bj].

Ell la parte (a), la i nc og ni ta e s l a r ap id ez de la onda. Lo nuevoque la tension sedebe al peso de la caja de muestras, Ademas, el pso de la cuerda misma contribuye ala tension, 10 ,que implica quetension es diferente en la parte de arriba de la cuerda que en la pade abajo, Despreciaremos este efecto porque el peso de la cuerdapequefio en comparacion con el peso de las muestras de minerales


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564 CAP f r U L 0 151 Ondas mecanicasE J E C U T A R : a) La tension Fen 1a cuerda (debida ala caja de mues-t ras) es:

F = m " , u , s o r a , g = ( 20 _ 0 k g) (9 .8 0 i n/s 2) = 196NY l a rn asa p or u nid ad de longitud de Ia cuerda es

/.t = m


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15.5 I Energfa del movimiento ondulatorio

y la fuerza que ejerce en G se representa con Jas componentes F y F y, como en lasfiguras 15.8 y 15.10. Recalcamos que FJF es igual al negativo de la pendiente dela cuerda en a, que tambien esta dada por ay!Jx. Juntando esto, tenemos

Fy(x , t) - _ Fay(x , t )ax (15.20)Necesitamos el signo negativo porque F; es negativa cuando la pendiente es posi-tiva. Escribimos la fuerza vertical como P/'>:, t) para recordar que su valor puedevariar en diferentes puntos de la cuerda y con el tiempo.Cuando el punto a se mueve en la direccion y, la fuerza F; efectua trabajo so-

bre este punta y por tanto transfiere energia a la parte de la cuerda que esta a la de-recha de G. La potencia correspondiente P (rapidez can que se hace trabajo) en elpunto a es la fuerza transversal Fy(x , t) en a multiplicada par la velocidad trans-versal vix, t) =8 y (x , t) la t de ese punta:

. _ .: ay(x, t) ay(x, t)p(x, t) = F y ( x, t) v) ,( x, t) = -F (15.21). ax a tEsta potencia es la razon instantanea con que se transfiere energia por la cuerda;su valor depende de la posicion x en la cuerda y del tiempo t. Solo se transfiereenergia en los puntos en que la cuerda tiene pendiente distinta de cero (ay /ax =0),de modo que hay una componente transversal de la tension.y en los que la cuer-da tiene velocidad transversal distinta de cero (ay /at = = 0), de modo que la fuerzatransversal puede efectuar trabajo.La ecuacion (15.21) es valida para cualquier onda en una cuerda, ya sea senoi-

dal 0 no. Para W 1a onda senoidal con funci6n de onda dada por la ecuaci6n (15.7),tenemos

y(x, t) = A cos(kx - wt)ay(x, t). = -kA sen{kx - wt)axay(x, t )- '- - - - '- = wA sen (kx - wt)a tP(x, t) = FkwAl sen2(kx - wt) (15.22)

Usando las relaciones w = v k Y v2 = F!u; tambien podemos expresar la ecuacion(15.22) enla forma alterna

p(x, t ) = y;FuiA2 sen2(kx - w t ) (15.23)La funci6n serr' nunca es negativa, asi que la potencia instantanea de una onda se-noidal es positiva (can flujo de energia en la direccion +x) 0 bien cero (donde nohay transferencia de energia). Nunca se transfiere energia en 1a direcci6n opuestaa la de propagacion de 1aonda (Fig. 15.13).E l valor maximo de la potencia instantanea P(x, t) se da cuando la funcion serr'

vale Ia unidad: .(15.24)

Para obtener 1apotencia media a partir de la ecuaeion (15.23), observamos que elvalor media de la funcion serr' en cualquier mimero entero de ciclos es!.or tan-to, la potencia media es

['med = % ~w2A'l (potencia media, onda senoidal en una cuerda) (15.25)

56

Potencia de ondap contra tiernpo en la

coordenada x =0

~ Periodo T---o.j15.13 La potencia instantanea P(x, t) deuna onda senoidal , dada por la ecuacion(15.23), se muestra en funcion del t iernpoen la coordenada x =O.La potencia nuncaes negativa, 10 que implica que la energianunca fluye en direccion opuesta a la depropagaci6n de la onda.


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566 c .~p f T U L 0 15 I Ondas mecanicasLa potencia media es la mitad de la potencia instantanea maxima (vease la Fig.15.13).La razon media de transferencia de energia es proporcional al cuadrado de la

amplitud y al cuadrado de Ia frecuencia. Esta proporcionalidad es un resultado ge-neral para ondas mecanicas de todo tipo, incluidas las ondas sisrnicas (vease la fo-tografia inicial del capitulo). En el caso de una onda mecanica, la razon detransferencia de energia se cuadruplica si la frecuencia se aumenta al doble (sinvariar la amplitud) 0 si la ampIitud se aurnenta al doble (sin variar la frecuencia),Las ondas electromagneticas son un poco diferentes. Aunque la razon media de

transferencia de energia en una onda electromagnetica es proporcional al cuadradode l a amp l i tud , como sucede con las ondas mecani ca s , es independiente del valor de to

Ejemplo15.5 Potenciaen una ondaa) En los ejemplos 15.2 y 15.3 , (,can que rapidez maxima aporta Titoenergia a la cuerda? Es decir, i ,cual es su potencia instantanea m a -xima ? b ) L Y su potencia media? c) A l cansarse Tito, la amplituddisminuye. Calcule l a p o te n ci a media cuando la ampl i tud ha baja-do a 7.50 mm,1,,) 8 1 1 3 (.)11I D E N T I F I C A R : La incognita en (a) es la potencia instantanea m a -xima, rnientras que 'en (b ) y en (c) es la potencia media. Como vi-mos, estas dos cantidades tienen valores distinros para una ondasenoidal. Podremos calcular los valores de ambas cantidades por-que conccernos tcdas las demas propiedades de la onda gracias alejemplo 15.2.

!i P l A N T E A R : En la parte' (a) usarernos la ecuacion (15.24); en laspartes (b) y (c), usaremos la ecuacion (15.25).E J E C U T A R : a) La potencia instantanea maxima es

P = < r;; jw 2A2rruix V / . L .r= Y(0.250 kg/m)(36.0N)(4.001T rad/s)2(O.075 1 1 1 ) 2=2.66W

b) Por las ecuaciones (15.24) Y(15.25), la potencia media es la mi-tad de la potencia instantanea maxima, asi quePmed =H2.66 W) = 1.33 W

-. c) La nueva amplitud es k del valor ernpleado en las partes (a) y (b).La potencia media es proporcional al cuadrado de la amplitud, asique ahora es

P rued = ( _ ! _ ) 2 (1.33 W) =0.0133 W = 13.3 mW1 0 .E V A l U A R : La potencia instantanea maxima en la parte (a) se dacuando la cantidad se1l2(lcr - wt) de la ecuacion (15.23) es igual a1. En cualquier valor de x, esc sucede dos veces durante c.adaperio-do de la onda: una vez cuando la funcion sene es igual a +I Y otravez cuando es igual a-I. La potencia instantanea minima es cero;se da cuando sen(fa - WI) - = 0, 1 0 cual tambien sucede dos vecespor periodo.

In ten sid ad d e las o nd asLas ondas en una cuerda transfieren energia en una sola dimension del espacio (a10 largo de la cuerda), Sin embargo, otros tipos de ondas, incluidas las ondas so-noras en el aire y las ondas sismicas en la Tierra, transportan energia en las tres di-mensiones, Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad(denotada can 1) como Larapidez media can que fa onda transporta energia, parunidad d e area , a traves de una superficie perpendicular a la direcci6n de propa-gacion, Es decir, la intensidad J es la potencia media por unidad de area. Par 10re-gular se mide en watts par metro cuadrado (W/m 2).

S i las ondas se propagan igualmente en todas direcciones a partir de una fuen-te, la intensidad a una distancia r de la fuente es inversamente proporcional a r2(Fig. lS.14). Esto es consecuencia directa de la conservacion de la energia, Si la


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15.6 I Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposici6n

potencia desarrollada por la Fuente esP, entonces la intensidad media II en una es-fera con radio r1 Y superficie 47ir12 es

La intensidad media 1 2 en una esfera con diferente radio r2 esta dada por unaexpresion similar. Si no se absorbe energia entre las dos esferas, la potencia P de-bera ser la misma en ambas, asl que

47ir?Il = 47irl12

(ley del inverse del cuadrado para la intensidad ) (L 5 .26)

Por tanto, la intensidad 1a cualquier distancia r es inversamente proporcional a r2 .Esta relacion se denomina ley del inverso del cuadrado para 1aintensidad.

56

Intensidad 1 2 < I I :mi sma p o te n ci adistribuida e n . unarea mayor

15.14 Cuantomayor es la distancia desdla fuente de una onda, mayor es el area sbre la eual se distribuye la potencia delaonda, y menor es la in tensidad de la onda

Ejemplo15.6 La ley del inverso del cuadrado

Una sirena del sistema de advertencia de tornados que esta colocadaen un poste alto radia ondas senoras uniformemente en todas direccio-nes. A una distancia de 15.0 ill, I a in tens idad del sonido es de 0.250W/m2 i,A qu e distancia de l a s ir en a l a i nt en si da d e s de 0.010 W/m2?l i ,j W ," U 'IDENT IF ICAR: Dado que la s ondas se propagan igualmente en to-das direcciones, podemos usar la ley del inverso del cuadrado, Laincognita es la distancia de la fuente del sonido.PLAN lEAR: La relacion que debernos usar es la ecuacion (15.26),Nos dan la distancia /"1 = 15.0 III a la que [a intensidad es II=0.250W/m2; queremos encontrar la distancia /"2 a la que la intensidad es1 2 =0 .0 10 W /m2

EJECUTAR: Despejarnos /"2 de la ecuacion (15.26):

f t 0.250 W/m2r,= rl\ = (15.0 m)\ "" 0 =' = 75.0111- 1 2 0.010 W/nrEVA lUAR: Para comprobar nuestra respuesta, observarnos quees cinco veces mayor que 1"1 . Por la ley del inverso delcuadrado,intensidad [2 debera ser 1/52 = 1/25 de la intensidad 1,y as i es,

Al usar la ley del inverso del cuadrado, hemos supuesto queondas senoras viajan en linea recta desde la sirena, Una sohicicma s r ea li st a tendria en cuenta l a r e fl e xion de la s o nd as se no ra sel suelo. Sin embargo, semejante solucion rebasa el alcance de elibro.

En el ejemplo 15.5, supongamos que la arnplitud de la onda se mantiene en 0.075 mpero 1a f..cuencia se aumenta de 2.00 Hz a 4.00 Hz. LQu6 efecto tendria esto so-bre la potencia media?

15.6 I In te rfe renc ia de ondas, cond ic ionesde frontera y superposlclonHasta aqui, hemos hablado de ondas que se propagan continuamente en la mismadireccion, Sin embargo, cuando una onda choca can las fronteras d~ su medio, serefleja parcial 0 totalmente, Si gritamos hacia 1apared de un edificio 0 hacia un


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15.15 Serie de imagenes de un pulso deonda, tornadas a interval os iguales de arri-ba bacia abajo. El pulso cornienza ala de-recha en la i rnagen superior, viaja a laizquierda, y es reflej ado por el extremeizquierdo fijo.

CAPiTULO 151 Ondas mecanicas

acantilado que esta a cierta distancia, la onda sonora se refleja en la superficie ri-gida, y escuchamos un eco. Sisacudimos el extremo de una cuerda cuyo otro ex-tremo esta atado a un soporte rigidc, una pulsacion viaja a 10 largo de 1acuerda yse refleja hacia nosotros. En ambos casos, la onda inicial y la reflejada se trasla-pan en 1amisma region del medio. Este traslape de ondas se denornina interferen-cia. (En general, e1termino interferencia se refiere a 10 que sucede cuando dos 0mas ondas pasan por la misma region a1mismo tiempo.)Como ejemplo sencillo de reflexion de ondas y el papel de la frontera de un me-

dio de onda, veamos otra vez las ondas transversales en una cuerda estirada. i,Quesucede cuando un pulso de onda 0una onda senoidal llega al extremo de la cuerda?Si el extreme esta sujeto a un soporte rigido, es un extreme fijo que no puede

moverse, La onda ejerce una fuerza sobre el soporte; la reacci6n a esta fuerza,ejercida par el soporte sabre la cuerda, "recula" sobre la cuerda y crea una pulsa-ci6n u onda reflejada que viaja en la direcci6n opuesta. La figura 15.15 es una se-tie de fotografias que muestran Ia reflexion de un pulso en el extremo fijo de unresorte espiral largo. EI pulso reflejado se mueve en la direcciou opuesta a 1adelpulso inicial, 0 incidente, y SlI desplazamiento tambien es opuesto. Esta situaci6nse ilustra para un pulso ondulatorio en una cuerda en la figura 15.16a.

(1)

1 ~ T . ~Y x.; (2) V\.._I~ T~r '----3) r '--~ (4) f\-El pulse reflejado

se invierte~ EI pulse reflejado

no se invierte(5)

(6)

(7)

(a) Extreme fijo (b) Extreme Iibre15.16 Reflexion de un pulse de onda (a) en un eX.lTe111oijo de una cuerda y (b) en un ex-tremo libre. El tiempo aumenta hacia abajo.


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15.6 I Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposicion

La situacionopuesta a un extremo fijo es un extremo fibre que puede moversesin resistencia en la direccion perpendicular a la longitud de la cuerda, Por ejem-plo, la cuerda podria estar atada a un anillo ligero que se desliza sin friccion enuna varilla perpendicular a la cuerda, como en la figura 15.16b. EI anill0 y la va-rilla mantienen la tension pero no ejercen una fu er za tra ns ve rs al. C u an do una ondallega a este extrema libre, el anillo se desliza poria varilla, EI anillo alcanza undesplazamiento maximo y tanto 61como Ia cuerda se detienen momentaneamen-te, como en el cuarto dibujo de la figura 15.16b. La cuerda ahora esta estirada, au-mentando la tension, asi que el e xtrem e lib re de I a c u er d a es llevado otra vez haciaabaj 0, prcduciendose otra vez un pulso reflej ado (dibuj 0 7). Como en el caso delextrem e fijo , e l p u lso ref lejado se m ueve en d ir ec cio n o pu es ta a la del p u ls o i ni ci al ,p ero a ho ra la d ire cc io n del desplazamiento es l a m i sr n a que en el pulso inicial. Lascondiciones en el extreme de la cuerda, como un soporte rigido 0 1aausencia to-tal de fuerza transversal, se denominan condiciones de frontera.La formacion del pulso reflejado es similar al traslape de dos pulsos que viajan

en direcciones opuestas, La figura 15.17 rnuestra dos pulsos can la misma forma,una invertida respecto ala otra, que viajan en direcciones opuestas. Al traslaparselos pulsos y pasarse mutuamente, el desplazarniento total de la cuerda es la sumaalgebraica de los desplazamientos en ese punto en los pulses individuales, Pues-to que estos pulsos tienen la misma forma, el desplazarniento total en el punto 0ala mitad de 1aFigura es cera en todo momento. Asi, el movimiento de la mitadderecha de la cuerda seria el mismo si cortaramos la cuerda en e1punto 0, dese-charamos e11ado izquierdo, y sostuvieramos el extreme en 0 fijo. Asi, los dospulsos dellado derecho corresponden a los pulsos incidente y reflejado, combi-nandose de modo que el desplazamiento total en 0 s iempre es cera, Para que estoocurra, el pulso reflejado debe estar invertido relativo al incidente,La figura 15.18muestra dos pulsos can la misma forma que viajan en direcciones

opuestas pero no invertidas uno re sp ec to a l o tr o. EI desplazamiento en 0 a la m it ad dela f igura no es cera, pero I a p end ien t e de la c ue rd a en e ste p un to s ie m pr e es cera. Se-gill la ecuacion (15.20), esto corresponde a la ausencia de fuerza transversal en estepunto. En este caso , elmovimiento de lam it ad d er ec ha de la c ue rd a s er ia el rn i smo quesi c orta ra mo s la cuerda en 0 y an cla ra mo s e l extrema can un an il lo de s li zan te sin fric-cion (Fig. 15.16b) que mant ie ne la tension sin ejercer fuerza transversal. En otras pa-labras, esta s it ua cio n c or re sp o nd e a Ia re fle xio n de un pulso en un ex t reme libre de unacuerda en el punto O . En este caso , e l pulso ref lejado no s e i nv ie rt e.P r incip io de superposlclenCombinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada punta para ob-tener el desplazarniento real es un ejemplo del principia de superposicion: cuan-do dos ondas se traslapan, el desplazarniento real de cualquier punto de la cuerdaen cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que tendria el puntosi s610 estuviera presente la primera onda, con el que tendria si solo esruviera pre-sente la segunda, Dicho de otro modo, la funcion de onda y(x, t) que describe elmovimiento resultante en esta situacion se obtiene sumando las dos funciones deonda de las ondas individuales,

(rlril1cip)ode superposicion) (15.27)Matematicamente, esta propiedad aditiva es consecuencia de la forma de Ia

ecuacion de onda, ecuacion (15.12) 0 (15.18), que toda onda fisicamente posibledebe satisfacer, Especificarnente, la ecuacion de onda es l ineal ; es decir, solo con-tiene la funcion y(x, t) a la primera potencia (no ha y terminos en y(x, t? , )I(x, t) 1 1 2 ,

5

o15.17 Traslape de des pulsos de onda-uno bacia arriba, 1 0 1 otro invertido=- qviajan en direcciones opuestas. EI tiempaumenta hacia abajo.

==-~===

15 ..18 Traslape de dos pulses de onda-ambos arriba de la cuerda- que viajaen direcciones opuestas, El tiempo aumeta h ac ia a ba jo ,


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15.19 Dos pulses de onda COD diferenteforma.

CAPiTULO 15 I Ondas mecanicas

etc.). Par tanto, si cualesquiera dosfunciones Yl(x, t) y Y2(X"t) satisfacen la ecua-cion de onda por separado, su suma Y 1 (x, t) + Y2~" t) tambien Ia satisface Y . es unmovirniento fisicamente posible. Puesto que este principio depende de la lineali-dad de la ecuacion de onda y la propiedad de combinacion lineal correspondientede sus soluciones, tarnbien sedenornina principia de superposicion lineal. En al-gunos sistemas fisicos, como un medio que no obedece la ley de Hooke, la ecua-cion de onda no es lineal; y el principio no se cumple.El principio de superposicion es muy importante para todo tipo de ondas. Si un

amigo nos habla mientras escuchamos musica, podemos distinguir el sonido de suvoz del sonido de I a m u sic a. E st o es p re ci sam e n te p o rq u e la onda sonora total quelIega a nuestros oidos es la suma algebraica de la onda producida por la voz delamigo y la producida por las bocinas. Si dos ondas sonoras no se combinaran deesta sencilla forma lineal, el sonido que oiriamos en esta situacion seria una revol-tum incomprensible. La superposicion tambien se aplica a las ondas electromag-neticas (como la luz) y de muchos otros tipos.

Dos pulsos de onda con diferente forma viajan en direcciones opuestas por unacuerda (Fig. IS.19). Raga una serie de dibujos como los de la figura IS.18 quemuestren la f01111ade fa cuerda al aproximarse, traslaparse y pasarse los dos puisos.

15.7 I Ondas estacionarias en una cuerdaHemos hablado de la reflexion de unpulso de onda en una cuerda cuando llega auna frontera (un extremo fijo 0 Iibre). Veamos ahora 10que sucede cuando una on-da senoidal es reflejada por un extreme fijo de una cuerda. Otra vez enfocaremosel problema considerando Ia superposicion de dos ondas que se propagan por lacuerda, una que representa la onda original 0 incidente y otra que representa la on-da reflejada en el extremo fijo.La figura IS.20 muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. EI extremo

derecho se sube y baja en movirniento armonico simple para producir una ondaque viaja ala izquierda; la onda reflejada del extreme fijo viaja a la derecha, Elmovirniento resultante cuando las dos ondas se combinan ya no parece dos ondasque viajan en direcciones opuestas. La cuerda parece subdividirse en segmentos,como en las exposiciones de tiempo de las figuras IS.20a, IS.20b, 15.20c yIS.20d. La figura lS.20e muestra dos form as instantaneas de la cuerda de lafigura IS .20b. Comparemos este comportamiento con las ondas que estudi amosen Iassecciones 15.1 a IS.5. En una onda que viaja por la cuerda, la amplitud esconstante y el patron de la onda se mueve con rapidez igual a la de la onda. Aqui,en cambio, el patron de la onda permanece en la misma posicion en la cuerda, ysu amplitud fluctua. Hay ciertos puntos Ilamados nodos (rotulados con N en laFig. 15.20e) que nunca se mueven. A 1amitad del camino entre los nodos hay pun-tos llamados antinodos (rotulados con A en la Fig. 15.20e) donde la amplitud demovimiento es maxima. Dado que el patron no parece estarse moviendo a 10 lar-go de la cuerda, se denomina onda estacionaria. (Para subrayar la diferencia, unaonda que sf se mueve por 1acuerda es una onda viajera.)El principio de superposicion explicac6mo la onda incidente y la reflejada se

combinan para formar una onda estacionaria. En la figura 1S.21, las curvas rajas in -dican una onda que viaja a la izquierda. La curvas azules muestran una onda que via-ja a la derecha con la misma rapidez de propagacion, longitud de onda y amplitud.


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15.7 I Ondas estacionarias en una cuerda

(a) (b)

N AA

N = nodes A = antinodos

15.20 (a)-Cd) Exposiciones sucesivas de ondas estacionarias en una cuerda estirada. De(a) a (d), la frecuencia de oscilacion del extremo derecho aumenta, } la longitud de la 011-da estacionaria disrninuye. (e) Los extremos del movimiento de la onda estacionaria de(b), can nodos en el centro yen los extremos. EI extrema derecho de la cuerda se muevemuy poco en comparacion con los antinodos, asi que es practicamente un nodo.

Las ondas se muestran en nueve instantes, separados por un dieciseisavo de periodo.En cada punto de la cuerda, sumamos los desplazamientos (valores dey) para las dosondasindividuales; el resultado es la onda total en la cuerda, dibujada en negro.En ciertos instantes, como t = 4T/16, los dos patrones de onda estan exacta-

mente en fase, y la forma de la cuerda es una curva senoidal con el doble de am-plitud que las ondas individuales, En otros instantes, como t = 8T!16, las dosondas estan totalmente desfasadas y Ia onda total en ese instante es cero. El des-plazamiento resultante siempre es cero en los lugares marcados con N en la basede 1a figura 1S.21. Estos son los nodos. En un nodo, los desplazamientos de lasdos ondas en rojo y azul siempre son iguales y opuestos, y se cancelan. Esta can-celaci6n se llama interferencia destructiva. A la mit ad del camino entre los no-dos estan los puntos de maxima amp Iitud 0 antinodos, marcados con A. En losantinodos, los desplazamientos de las dos ondas en raja y azul siempre son iden-tieos, dando un desplazamiento resultante grande; este fenorneno se llama inter-ferencia constructiva. Podemos ver que la distancia entre nodose antirrodosucesivos es media longitud de onda, Al2.Podemos deducir una funci6n de onda para la onda estacionaria de la figuraIS.21 sumando las funciones de onda y.I, t) y Y2(x, t) para dos ondas con arnpli-tud, periodo y longitud de onda iguales que viajan en direcciones opuestas. Aqui,. v I (x, I) (las curvas rajas de la Fig. 15.21) representa una onda incidente que viaj aala izquierda por el eje +x, llegando a x = = 0 y reflejandose; Y2(x, t) (las curvas azu-les de la Fig.lS.21) representala onda reflejada que viaja a la derecha desde x =O.En la secci6n 15.6 sefialamos que la onda reflejada del extremo fijo de una cuerdae invierte, as! que anteponemos un signa negative a una de las ondas:YI ( x , t ) = -A cos (k x + wt) ( onda incidente que viaja a la izquierda )Y2 ( x , t ) = A cos ( k x - wt) ( onda reflej ada que viaja a la derecha)

5 7

(c)

II'


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NA N AII

N A N N A N A N

5 7 2 CAPiTULO 15 I Ondas mecanicas

y A

3Tt== -16

5Ti==-16

15.~1 Formacicn de una onda estacionaria. Una onda que viaja a Ia izquierda (curvasrojas) se combina can otra que viaja ala derecha (curvas azules) para forrnar una ondaestacicnaria (curvas negras), E1 eje x horizontal en cada parte muestra la posicion deequilibrio de 1acuerda,Observe tambien que el cambio de signa corresponde a un desfasamiento de 1800o 7 T radianes. En x=0, el movimiento de la onda reflejada es A cos tot; y el de laincidente, -A cos tot, q u e tamb ie n p o demo s escribir como A cos (w t + 7 T ) . Por Ia ecua-cion (15.27), la funci6n de onda para la onda estacionaria es la suma de las funcio-nes de onda individuales:

y (x , t) = Y I(x , t ) + Y2 (x , t) = A [ - cos (k x + wt) + cos (kx - wt)]


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15.7 I Dudas estacionarias en una cuerda 57

Podemos replantear los terminos coseno usando las identidades para el COSI ' ; )10 dela suma y la diferencia de dos angulos: cos (a : : ! : : b) =cbs a cos b + sen a sen b.Haciendolo y combinando terminos, obtenernos

y(x,t) =YI(X,t) + Y2(X,I.) = (2Asenkx)senwtes decir,y(x , t ) = ( A O E sen kx ) sen eo t

(ondaestacionaria en una cuerda, extreme fijo en x =0)(15.28)

La amplitud de la onda estacionaria, A OE , es dos veces la amplitud A de cualquie-ra de las ondas viajeras originales:A O E = 2A

La ecuacion (15.28) tiene dos factores: una funcion de x y una de t. EI factorAOE indica que, en cada instante, la forma de la cuerda es una curva senoidal. A di-ferencia de una onda que viaja por una cuerda, la forma de la onda permanece enla rnisma posicion, oscilando verticalmente segun el factor sen tot. Este compor-tamiento se muestra graficamente can las curvas negras de la figura 15.21. Todoslos puntos de la cuerda estan en rnovimiento arrnonico simple, pero todos los queestan entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan enfase. Esto contrasta con lasdiferenciasde fase entre oscilaciones de puntos adyacentes que vemos en las on-das que viajan en una direccion,Podemos usar la ecuaci 6n (15.28) para deterrninar las posiciones de los nodos;

estos son los puntos en los que sen kx = 0, de modo que el desplazamiento siem-pre es cera. Esto ocurre cuando kx = 0, 'T T , 2 'T T , 3 'T T , . . . , es decir, usando k = 2 ' T T I A ,

' i T 2 ' i T 3 'T Tx=O-,-,-, ...k k kA 2A 3A='2'2'2' (15.29)

(nodos de una onda estacionaria en una cuerda, extreme fijo en x =0)En particular, hay un nodo en x = 0 , como debia ser, ya que este punto es un extre-mo fijo de la cuerda.Una onda estacionaria, a diferencia de una viajera, no transfiere energia de un

extremo al otro, Las dos ondas que la forman transportarian individualmente can-tidades iguales de potencia en direcciones opuestas. Hay un flujo local de energiade cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pera 1a razon media de trans-ferencia de energia es cero en todos los puntas. S i el1ector evalua 1apotencia de ondadada por la ecuacion (i5.21) usando la funcion de onda de 1aecuacion (15.28), en-contrara que la potencia media es cere (vease el problema de desafio.15.82).

- Es tr at eg ia pa raresolver problemas~-. Ondas estacionarias

I DENT IF ICAR los conceptos pertinentes: Al igual qne .con lasondas viajeras, resulta uti l distinguir entre las cantidades pura-mente cinemaricas, como la rapidez de onda v, longitud de ondaA y frecnenciaf, y las cantidades dinamicas en las que intervie-

nen las propiedades del medio, como F y J .L para oadas transver-sales en una cuerda, Una vez que distinga 1a incognita, trate dedeterminar si el problema es de naturaleza exclusivamente cine-matica 0 si tambien intervienen las propiedadcs del media.


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574

EJECUTAR fa solucioncomo sigue:Despeje las incognitas utilizando las ecuaciones seleccio-

nadas. Una vez que tenga la funcion de onda, pcdra obtener elvalor del desplazamiento y en cualquier punto del medio de laonda (valor de x) yell cualquier instante. Se puede calcular la ve-locidad de una particula en el media de la onda obteniendo laderivada parcial de y respecto al tiempo. Para calcular la acele-racion de la partlcula, ebtenga la segunda derivada parcial-de yrespecto al tiempo.

CAP lTV L 0 15 I Ondas mecanicas

PLANTEAR elproblema siguiendo estos pasos:1. Al visualizar nodos y antincdos en ondas estacionarias,

siernpre es Mil hacer diagramas. Para una cuerda, pode-mos dibujar la forma en un instante y rotular los nodes Ny antinodos A. La distancia entre dos nodes 0 antinodosadyacentes siempre es Al2 , y entre un nodo y el antinodoadyacente, Al4.

2. Decida que ecuacicnes necesitara. La funcion de onda pa-ra la onda estacionaria casi siempre es util [como la ecua-ci6n (J 5.28)].

3. Se puede calcular la rapidez de onda si se conoce A y1(0,10 que es equivalente, k =2r.J Ay w =2 1 T f ) 0 las propieda-des del medi 0 (en el case de una cuerda, F y 0),

E jem plo .15 .7

EVALUA.R la respuesta: Compare sus respuestas numericas cansu diagrama. Cornpruebe que la funci6n de onda sea compatiblecon las condiciones de frontera (por ejemplo, el desplazarnientodebera ser cero en un extremo fijo).

Ondas esta ciona ria s en una cue rd a d e gu ita rraUna de las cuerdas de una guitarra esta en el eje x cuando esta enequilibrio. El extrema en x =0 (el puente de la guitarra) esta fijo,Una onda senoidal incidente (correspondiente a las curvas rojas dela Fig. 15.21) viaja por la cuerda en la direccion -x a 143,0 rn/s canamplitud de 0_750 mm y frecuencia de 440 Hz. Esta onda se refle-ja del extreme fijo en x =:0, y Ia superposicion de las oudas viaje-ras incidente y reflejada forma una onda estacionaria. a) Dbteuga laecuacion qLl eda el desplazamiento de un punta de la cuerda en fun-cion de la posicion y el tiempo. b) Encuentre los puntos de la cuer-da que no se mueven, c) Calcul e la amplitud, la velocidadtransversal maxima y la aceleracion transversal maxima en los pun-tas de maxima oscilacion.lielliI.leaIDENTIF ICAR: Se trata de lin problema de cinematica en el que nospiden describir el movimiento de la cuerda (vease la estrategia pararesolver problemas de la seccion 15.3). Ahora, las incognitas son lafuncion de onda de 1aonda estacionaria [parte (aj], la ubicacicn delos puntos que no se mueven [nodos, parte (b)J y los valores maxi-1110S de despl azamiento y, velocidad transversal Vv Y aceleraciontransversal ay ' (Las ondas en una cuerda son ondas transversales,asi que transversal significa "en la direccion del desplazamiento",es decir, enla direcciony.) Para obtener estas cantidades, usamos laexpresion que dedujirnos en esta see-cion para una onda esraciona-ria en una cuerda can un extreme fijo, asi como otras relaciones delas secciones 15.2 y J 5.3.PLANTEAR: Puesto que hay un extrema fijo enx =0,podemos usar lasecuaciones (15.28) Y (15.29) para deseribir esta onda estacionaria,Tambien usaremos las relaciones entre (I), k,f, A Yla rapidez de onda v.EJECUTAR: a) Para usaf la ecuacion (15.28), necesitamos los valo-res de AOE, W Yk. La arnplitud de la onda incidente es A =0J50 mm""7_50 X 10-4 m; la onda reflejada tiene la misma amplitud, y laamplitud de la onda estacionaria esAOE 0=211 = 1.';:;0X 10-3 m. La fre-cuencia angular (v y el mimero de onda k son

w =1 T f =( 2 1 T rad)( 440 s-1) = 2760 rad/sc o 2760 rad/sk =~= = 19_3rad/rnv 143 m/s .

Entonces, la ecuacion (15.28) day(x, t) = ( A O E sen kx) se n on

= [(LS~ X 1O-3m ) sen (19.3 rad/tn)x] cos (2760rad/s)tb) Las posiciones de los nodos estan dadas por la ecuacion (15.29):x =0 , A I2, A , 3A 12, , .. La longitud de onda es

A _V 143 nils 032=-=---= . 5 1 1 1f 440Hzasi que los nodos entan a estas distancias del extrerno fijo:

x = 0 , 0.163 Ill, 0.325 m, 0.488 rn, ...c) Pot la expresion de la parte (a) para y(x, t) , vemos que el despla-zamiento maximo respecto al equilibria es 1.50 X 10-3 m = 1.50mm, que es des veces la amplitud de la onda incidente, Este maxi-mo se da en los antinodos, qLleestan a medio camino entre nodosadyacentes (es decir, en x =0.081 m, 0.244 rn, 0.406 m, .. .).

Para una particula de la cuerda en cualquier punto x, la veloci-dad transversal (en la direccion v) es

( _ ) _ O Y ( X , I )uy .'\;, I - a t[( LSO X 10-3 rn ) sen (19.3 rad/m]x]X [( 2760 rad/s ) cos (2760 rad/s ) t J[( 4,15 m/s) sen (19.3 rad/m)x J cos (2760 rad/s ) t

En un antinodo, sen(19,3 rad/m)x = ::I, Yel valor de la velocidadtransversal varia entre 4. 15mls y -4.15 m/s. Como sucede siernpreen movimiento arrnonico simple, la velocidad maxima se da wan-do la partfcula pasa por la posicion de equilibrio (y =0).


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15.8 I Modos normales de una cuerda

La aceleracion transversal a _ v C x , t) es la primera derivada parcialde v,lx, t) respecto a t (0 sea, la segunda derivada parcial de y(x, t)respecto 31tiernpo). Dejamos el calculo allector; el resultado es

a v y ( x , t ) [ l 2 y ( X , t)O y ( x , t) = = f-a t a .

= (( -1.15 x 104 m/s2) sen ( 19.3 rad/rn} Jx sen (2160 md/s)t

57En los antinodos, el valor de la aceleracion transversal varia ent+1.15 X 104 m/s? y -1.15 X 104 m/52

Suponga que la frecuencia de la onda estacionaria del ejemplo 15.7 se duplica, de440 Hz a 880 Hz. l,Todos los nodes conf= 440 Hz serian tambien nodos conf=880 Hz? Si si, l,habria nodos adicionales conf= 880 Hz? Si no, l,que nodos faltancon[= 880 Hz?15.8 I Mod os n orm ales d e un a cu erdaHemos descrito ondas estacionarias en una cuerda sujeta rigidamente par un ex-tremo, como en la figura 15.20. No supusirnos nada acerca de la longitud de 1 acuerda 1 1 i de 10 que sucedia en el otro extreme. Consideremos ahara una cuerda deIongitud definida L, sujeta rigidamente en ambos extremos. Tales cuerdas se en-cuentran en muchos instrurnentos musicales, como en los pianos, violines y gui -tarras, Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se produce una onda en ella; estaonda se refleja una y otra vez en los extremos de la cuerda, formando una onda es-tacionaria. Esta, a BU vez, produce una onda sonora en el aire, cuya frecuencia estadeterminada par las propiedades de la cuerda. Esto es 10 que hace a los instrumen-tos de cuerda tan utiles para producir musica,Para entender estas propiedades de las ondas estacionarias en una cuerda fija

en ambos extremes, veamos primero 10 que sucede cuando establecemos una on-da senoidal en una cuerda asi, La ouda estacionaria que resulta debe tener un no-do en ambos extremes de la cuerda. En Ia seccion anterior, vimos que dos nodosadyacentes estan separados media longitud de onda (Al2), asi que la longitud de lacuerda debe ser Al2 , 0 2(A/2), 0 3(Al2), 0 en general un numero entero de mediaslongitudes de onda:

AL = n-2

(n = 1,2 ,3 , ... ) (cuerda fija en ambos extremos) (15.30)

EVALUAR : La velocidad transversal maxima en un antinodomuy respetable (unos 15 km/h), pero la aceleracion transversal mxima es tremenda, i1170 veces.Ia aceleracion debida a la gravedadLas cuerdas de guitarra se hacen de material resistente para aguantar semej ante aceleracion.

En realidad, las cuerdas de guitarra se fijan en ambos extremesVeremos las consecuencias de esto en la secci6n siguiente.

Esto es, si una cuerda de longitud L esta fija en ambos extremos, solo puede exis-tir una onda estacionaria si su longitud de onda satisface la ecuacion (15.30).Despejando A de esta ecuaci6n y denotando los posibles valores de Acon A m

tenemos2LA,,=-. n ( 1 1 = 1,2,3, ... ) (cuerda fija en ambos extremos ) (15.31)

Pueden existir ondas en la cuerda si Ano es igual a LIDO de estos valores, pero no pue-de haber un patron estable con nodos y antinodos, y la onda total no puede ser es-tacionaria. Las ondas estacionarias de las figuras IS.20a, IS.20b, IS.20c y JS.20dilustran la ecuacion (15.31); estas representan n = 1 , 2, 3 y 4, respectivarnente.

A c t " j VP h y s C S1 0 4 O ndas estac ionarias en c uerda s10.5 Afinadon de un instrumento decuerda: ondas estacionarias10.6 Masa de una cusrda y ondasestacionarias


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15.22 Cada cuerda de un violin oscila na-turalmente en una 0 mas de sus frecuenciasarmonicas, produciendo en el aire ondassenoras con las mismas frecuencias,

\

I t

15.23 Los primeros cuatro modos norma-les de una cuerda fija en ambos extremos.(Compare estos can las fotografias de IaFig. 15_0.)

CAPiT ULa 15 I Ondas mecanicas

A la serie de posibles longitudes de onda estacionaria A ll corresponde una seriede posibles frecuencias de onda estacionaria j', cada una relacionada con su 10n-gitud de onda correspondiente par J " =viAll' La frecuencia mas pequefia ij corres-ponde a la longitud de onda mas grande (el caso n = 1), A ) =2L:

vfi = 2L (cuerda fija en ambos extremos) (15.32)Esta se llama frecuencia fundamental. Las otras frecuencias de onda estaciona-ria soni; = 2vI2L ,J : " = 3v12L , etc. Todas estas son multiples enteros de la frecuen-cia fundamen ta1[h como 2fi, 3fl , 4[], etc., y podemos expresar todas lasfrecuencias como

vf" = n2L = nfi (n = 1,2,.3, ... ) (cuerdafija en ambos extremos) .(15.33)Estas frecuencias se Haman armenicos, y la serie es una serie armonica, Algu-nos rnusicos lIaman a1;'/3, etc., sobretonos.j', es el segundo arrnonico 0 el primerso

Capitulo 15 Sears

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