CAPITOLE SPECIALE DE ANALIZA NUMERICA CURS 1 …math.ubbcluj.ro/~tcatinas/Curs_CapSpecialeAN.pdf ·...

CAPITOLE SPECIALE DE ANALIZA NUMERICA

CURS 1

Bibliografie:

1. Gh. Coman, I. Chiorean, T. Catinas, Numerical Analysis. An Advanced

Course, Ed. Presa Universitara Clujeana, 2007.

2. Gh. Coman, T. Catinas, si altii, Interpolation operators, Ed. ”Casa Cartii

de Stiinta”, Cluj-Napoca, 2004.

3. T. Catinas, Interpolation of scattered data, Ed. ”Casa Cartii de Stiinta”,

Cluj-Napoca, 2007.

4. O. Agratini, P. Blaga, Gh. Coman, Lectures on wavelets, numerical

methods and statistics, Ed. ”Casa Cartii de Stiinta”, Cluj-Napoca, 2005.

5. Gh. Coman, Analiza Numerica, Ed. Libris, Cluj-Napoca, 1995.

6. O. Agratini, P. Blaga, I. Chiorean, Gh. Coman, R.T. Trimbitas, D.D.

Stancu, Analiza Numerica si Teoria Aproximarii, vol. (I,II,III), Presa Univer-

sitara Clujeana, 2001-2002;

Cap. 1. Notiuni introductive

Analiza Numerica pune la dispozitie metode computationale pentru studiul

solutiilor problemelor matematice. Vom studia metode numerice de rezolvare

a problemelor matematice si vom analiza eroarea indusa de aceste metode.

Definitia 1 Fie V si V ′ doua K-spatii liniare. O functie f : V →

V ′ se numeste transformare liniara sau operator liniar daca:

1) f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2), ∀v1, v2 ∈ V (aditivitate)

2) f(αv) = αf(v), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V (omogenitate).

Observatia 2 1) Aplicatia f : V → V ′ este un operator liniar

daca si numai daca

f(αv1 + βv2) = αf(v1) + βf(v2), ∀α, β ∈ K, ∀v1, v2 ∈ V.

2) Daca f este un operator liniar atunci

f(0) = 0 si f(−v) = −f(v), v ∈ V.

Definitia 3 Daca f : V → V ′ este un operator liniar atunci

Ker f = v ∈ V | f(v) = 0

este un subspatiu a lui V, numit nucleul sau spatiul nul al lui f ;

si

Im f := f(V ) = f(v) | v ∈ V

este un subspatiu a lui V ′, numit imaginea lui f.

Observatia 4 Daca K = R sau C =⇒ spatiu liniar real sau com-

plex.

Definitia 5 Daca V este un K-spatiu liniar atunci o aplicatie f :

V → K se numeste functionala ( functionala reala (sau complexa)

daca K = R (sau C)).

Definitia 6 O functionala reala nenegativa p, definita pe spatiul

liniar V, adica p : V → [0,∞], cu proprietatile:

1) p(v1 + v2) ≤ p(v1) + p(v2), ∀v1, v2 ∈ V,

2) p(αv) = |α| p(v), ∀α ∈ R si v ∈ V,

se numeste seminorma pe V. Daca, ın plus,

3) p(v) = 0 =⇒ v = 0

atunci p se numeste norma si V se numeste spatiu liniar normat.

O norma se noteaza cu ‖·‖ .

Observatia 7 d(v1, v2) = ‖v1 − v2‖ , pentru v1, v2 ∈ V, reprezinta

o distanta (metrica) ın V.

Observatia 8 Un spatiu liniar normat este un spatiu metric.

Definitia 9 Un spatiu liniar normat complet se numeste spatiu

Banach.

Definitia 10 Fie V un K-spatiu liniar. O aplicatie

〈·, ·〉 : V × V → K,

cu proprietatile:

1) 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉 ,

2) 〈v1 + v2, v3〉 = 〈v1, v3〉+ 〈v2, v3〉 ,

3) 〈αv1, v2〉 = α 〈v1, v2〉 , α ∈ K

4) v 6= 0 =⇒ 〈v, v〉 > 0,

se numeste produsul scalar a lui v1 si v2.

Definitia 11 Intr-un spatiu liniar cu produs scalar norma definita

prin

‖v‖ =√

〈v, v〉,

se numeste norma indusa de produs scalar.

Definitia 12 Un spatiu liniar normat cu norma indusa de un

produs scalar se numeste spatiu pre-Hilbert.

Definitia 13 Un spatiu pre-Hilbert complet se numeste spatiu

Hilbert. Un spatiu Banach cu norma indusa de un produs scalar

este spatiu Hilbert.

Definitia 14 Fie V un spatiu liniar peste R sau C. Un operator

liniar P : V → V se numeste proiector daca

P P = P, (sau pe scurt, P2 = P).

De exemplu, operator identic I : V → V, I(v) = v si operatorul

nul 0 : V → V, 0(v) = 0 sunt proiectori.

Definitia 15 Consideram proiectorii P1, P2 : V → V . Daca

P1 P2 = P2 P1

atunci P1 si P2 sunt proiectori comutativi.

Observatii.

1) P1 P2 se noteaza si cu P1 · P2 sau P1P2.

2) P este proiector implica ca PC := I − P este proiector.

Intr-adevar,

(PC)2 = (I − P)(I − P) = I2 − P − P + P2 = I − P = PC .

3) Proiectorii P si PC sunt proiectori comutativi.

Avem

PPC = P(I − P) = PI − P2 = P − P = 0,

PCP = (I − P)P = IP − P2 = P − P = 0.

4) (PC)C = P.

5) P si Q sunt proiectori comutativi implica PQ este proiector.

Intr-adevar, (PQ)2 = PQPQ = PPQQ = P2Q2 = PQ.

7) P, Q sunt proiectori comutativi implica PC , QC sunt proiectori

comutativi.

Avem

PCQC = (I − P)(I −Q) = I2 − IQ− PI + PQ = I −Q− P + PQ,

QCPC = (I −Q)(I − P) = I2 − IP −QI + PQ = I − P −Q + PQ.

Rezulta ca PCQC = QCPC .

8) P, Q sunt proiectori comutativi implica PCQC si (PCQC)C sunt

proiectori, cu

(PCQC)C = P + Q− PQ.

Avem

(PCQC)C = I − (I − P −Q + PQ) = P + Q− PQ.

P ⊕Q = P + Q− PQ reprezinta suma booleana a lui P si Q.

1.2. Exemple de spatii de functii

1. Cp[a, b], p ∈ N spatiul functiilor f : [a, b] → R care au derivate

continue pana la ordinul p, inclusiv. Pentru p = 0 =⇒ C[a, b]−

spatiul functiilor continue pe [a, b].

2. Pm - spatiul polinoamelor de grad cel mult m. Avem Pm

⊂ C∞[a, b].

Pnm - multimea polinoamelor de n variabile si de grad global cel

mult m.

Pnm1,...,mn

- multimea polinoamelor de n variabile x1, ..., xn si de

grad cel mult mk ın raport cu variabila xk, k = 1, ..., n.

3. Lp[a, b], p ∈ R, p ≥ 1 spatiul functiilor p-Lebesgue integrabile

pe [a, b].

Norma definita prin ‖f‖ =(

∫ ba |f(x)|p dx

)1/p.

4. Fie w o functie pozitiva si integrabila pe [a, b], cu∫ ba w(x)dx <

∞. Functia w se numeste pondere.

L2w[a, b] - multimea functiilor f astfel ıncat

∫ b

aw(x)|f(x)|2dx <∞.

5. Hm[a, b], m ∈ N∗ spatiul functiilor f ∈ Cm−1[a, b] cu f(m−1)

absolut continua pe [a, b].

Orice functie f ∈ Hm[a, b] se poate reprezenta folosind formula

lui Taylor cu restul ın forma integrala:

f(x) =m−1∑

k=0

(x− a)k

k!f(k)(a) +

∫ x

a

(x−t)m−1

(m−1)!f(m)(t)dt, (1)

Pentru f, g ∈ Hm[a, b] si λ ∈ R, avem f + g, λf ∈ Hm[a, b]. Rezulta

ca Hm[a, b] este un spatiu liniar.

6. Hm,2[a, b], m ∈ N∗ spatiul functiilor f ∈ Hm[a, b] cu f(m) ∈

L2[a, b].

7. Bpq(a, c), (p, q ∈ N, p+q = m) - spatiul de tip Sard al functiilor

f : D → R, D = [a, b]× [c, d] care satisfac conditiile:

1. f(p,q) ∈ C (D) ;

2. f(m−j,j)(·, c) ∈ C [a, b] , j < q;

3. f(i,m−i)(a, ·) ∈ C [c, d] , i < p.

Daca f ∈ Bpq(a, c) atunci admite reprezentarea lui Taylor:

f(x, y) =∑

i+j<m

(x−a)i

i!(y−c)j

j! f(i,j)(a, c) + (Rmf) (x, y), (2)

cu

(Rmf) (x, y) =∑

j<q

(y−c)j

j!

∫ b

a

(x−s)m−j−1+

(m−j−1)!f(m−j,j)(s, c)ds

+∑

i<p

(x−a)i

i!

∫ d

c

(y−t)m−i−1+

(m−i−1)!f(i,m−i)(a, t)dt

+

∫∫

D

(x−s)p−1+

(p−1)!

(y−t)q−1+

(q−1)!f(p,q)(s, t)dsdt,

unde

z+ =

z, pentru z ≥ 0,0, pentru z < 0.

Observatia 16 Formula de tip Taylor (2) are loc pentru orice

domenii Ω cu proprietatea ca exista un punct (a, c) ∈ Ω astfel

ıncat domeniul [a, x]× [c, y] ⊆ Ω, pentru (x, y) ∈ Ω.

Teorema 17 (Teorema lui Peano pentru functii de o vari-

abila.) Fie L : Hm[a, b]→ R o functionala liniara care comuta cu

operatorul integrala definita, de exemplu de forma

L(f) =m−1∑

i=0

∫ b

af(i)(x)dµi(x),

unde µi sunt functii cu variatie marginita pe [a, b].

Daca Ker L = Pm−1 atunci

L(f) =

∫ b

aKm(t)f(m)(t)dt, (3)

unde

Km(t) = Lx

(

(x−t)m−1+

(m−1)!

)

.

Notatia Lx(f) indica faptul ca L se aplica lui f ın raport cu

variabila x.

Demonstratia. Cum f ∈ Hm[a, b] avem

f = Pm−1 + Rm−1,

unde

Pm−1 =m−1∑

k=0

(x− a)k

k!f(k)(a),

Rm−1(x) =

∫ b

a

(x−t)m−1+

(m−1)!f(m)(t)dt.

Deci

L(f) = L(Pm−1) + L(Rm−1).

Cum L(Pm−1) = 0 (Ker L = Pm−1), se obtine

L(f) = Lx

(

∫ b

a

(x−t)m−1+

(m−1)!f(m)(t)dt

)

.

Tinand cont de conditia din ipoteza rezulta

L(f) =

∫ b

aL

(

(·−t)m−1+

(m−1)!

)

f(m)(t)dt.

Functiile K se numesc nucleele lui Peano.

Corolar 18 Daca nucleul K nu ısi schimba semnul pe intervalul

[a, b] si f(m) este continua pe [a, b], atunci

L(f) =1

m!L(em)f(m)(ξ), a ≤ ξ ≤ b, (4)

unde ek(x) = xk.

Demonstratia. Aplicand teorema de medie formulei (3), se

obtine

L(f) = f(m)(ξ)∫ b

aKm(t)dt, cu ξ ∈ [a, b]. (5)

Considerand f = em, se obtine

∫ b

aKm(t)dt =

1

m!L(em).

Inlocuind aceasta integrala ın (5) se obtine (4).

Teorema 19 (Teorema lui Peano pentru functii de 2 vari-

abile) Fie f ∈ Bpq(a, c) si functionala liniara L data prin

L(f) =∑

i+j<m

∫∫

D

f(i,j)(x, y)dµi,j(x, y) (6)

+∑

j<q

∫ b

af(m−j,j)(x, c)dµm−j,j(x)

+∑

i<p

∫ d

cf(i,m−i)(a, y)dµi,m−i(y)dy,

unde µm,n sunt functii cu variatie marginita pe D, [a, b] si, re-

spectiv, pe [c, d]. Daca Ker L = P2m−1 atunci

L(f) =∑

j<q

∫ b

aKm−j,j(s)f

(m−j,j)(s, c)ds (7)

+∑

i<p

∫ d

cKi,m−i(t)f

(i,m−i)(a, t)dt

+∫∫

D

Kp,q(s, t)f(p,q)(s, t)dsdt,

unde

Km−j,j(s) = L

(

(x−s)m−j−1+

(m−j−1)!(y−c)j

j!

)

,

Ki,m−i(t) = L

(

(x−a)i

i!

(y−t)m−i−1+

(m−i−1)!

)

,

Kp,q(s, t) = L

(

(x−s)p−1+

(p−1)!

(y−t)q−1+

(q−1)!

)

.

Demonstratia. Avem f ∈ Bpq(a, c), deci putem considera for-

mula (2). Aplicand functionala L fiecarui membru al acestei

formule si tinand cont de ipoteza ca

L(p) = 0, ∀p ∈ P2m−1

obtinem L(f) = L(Rmf). Apoi, din (6) rezulta (7).

1.3. Polinoame ortogonale

Definitia 20 Doua elemente v1, v2 dintr-un spatiu liniar cu pro-

dus scalar V se numesc ortogonale daca

< v1, v2 >= 0.

O multime V ′ ⊂ V se numeste multime ortogonala daca

〈v1, v2〉 = 0, ∀v1, v2 ∈ V ′, v1 6= v2.

Daca, ın plus,

〈v, v〉 = 1, ∀v ∈ V ′,

atunci V ′ se numeste multime ortonormala.

Notam cu P ⊂ L2w[a, b] multimea polinoamelor ortogonale pe

[a, b], ın raport cu functia pondere w, si cu Pn ⊂ P multimea

polinoamelor ortogonale de grad n, cu coeficientii lui xn egali cu

1 (un astfel de polinom se noteaza cu pn).

Consideram sirul de polinoame ortogonale (pi)i∈N ∈ P. Avem

∫ b

aw(x)pi(x)pj(x)dx =

0, j 6= ic, j = i, c ∈ R.

Daca c = 1 rezulta (pi)i∈N este un sir de polinoame ortonormale.

Polinoamele lui Legendre. Polinomul ln dat prin

ln(x) = Cdn

dxn[(x2 − 1)n], C = const

se numeste polinomul lui Legendre de grad n, relativ la intervalul

[−1,1], iar

ln(x) =n!

(2n)!

dn

dxn[(x2 − 1)n]

este polinomul lui Legendre cu coeficientul lui xn egal cu 1.

Formula de recurenta:

ln+1(x) = xln(x)−n2

(2n− 1)(2n + 1)ln−1(x), n = 1,2, ...,

(8)

cu l0(x) = 1 si l1(x) = x.

Polinoamele lui Cebısev

Polinomul Tn ∈ Pn definit prin

Tn(x) = cos(n arccosx), x ∈ [−1,1],

se numeste polinomul lui Cebısev de speta ıntai.

Proprieta ti 21 1) Forma algebrica. Pentru x = cos θ avem

Tn(cos θ) = cosnθ =1

2(einθ + e−inθ) (9)

=1

2[(cos θ + i sin θ)n + (cos θ − i sin θ)n].

Adica

Tn(x) =1

2[(x +

√

x2 − 1)n + (x−√

x2 − 1)n]. (10)

2) Tn(x) = 12n−1Tn(x).

Din (10) se obtine

limx→∞

Tn(x)

xn=

1

2lim

x→∞

1 +

√

1−1

x2

n

+

1−

√

1−1

x2

n

= 2n−1.

Coeficientul lui xn ın Tn este 2n−1. Rezulta ca

Tn =1

2n−1Tn.

3) Proprietatea de ortogonalitate.

Avem

∫ π

0cosmθ cosnθdθ =

0, m 6= n,π2, m = n 6= 0,π, m = n = 0,

si considerand cos θ = x rezulta ca

∫ 1

−1

1√

1− x2Tm(x)Tn(x)dx =

0, m 6= n,c 6= 0, m = n.

Deci (Tn)n∈N sunt polinoame ortogonale pe [−1,1], ın raport cu

ponderea w(x) = 1/√

1− x2.

4) Radacinile polinomului Tn sunt

xk = cos2k − 1

2nπ, k = 1, ..., n,

reale, distincte si din (−1,1).

5) Relatia de recurenta. Identitatea

cos[(n + 1)θ] + cos[(n− 1)θ] = 2cos θ cosnθ (11)

conduce la

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), x ∈ [−1,1],

cu T0(x) = 1 si T1(x) = x.

CURS 2

Polinomul Qn ∈ Pn definit prin

Qn(x) =sin((n + 1)arccosx)

√

1− x2, x ∈ [−1,1]

se numeste polinomul lui Cebısev de speta a doua.

Are loc relatia:

Qn(x) =1

n + 1T ′n+1(x), x ∈ [−1,1].

Avem Tn+1(x) = 12nTn+1(x). Rezulta ca

Qn =1

2nQn.

Avem∫ 1

−1

√

1− x2QmQndx =

0, m 6= n,π2, m = n,

adica, (Qn)n∈N este un sir ortogonal pe [−1,1], ın raport cu

ponderea w(x) =√

1− x2.

Din

sin(n + 2)θ + sinnθ = 2cos θ sin(n + 1)θ, (12)

se obtine formula de recurenta

Qn+1(x) = 2xQn(x)−Qn−1(x), n = 1,2, ...,

cu Q0(x) = 1 si Q1(x) = 2x.

2. Operatori de interpolare pe un domeniu rectangular

2.1. Operatori de interpolare polinomiali

O problema de aproximare are 3 elemente: a) o functie data f

dintr-o multime B; b) o multime A ⊂ B care contine functiile g

care aproximeaza functia data f ; c) informatii relative la metoda

de alegere a functiilor g din A.

B este o multime de functii reale de n variabile, definite pe o

multime Ωn ⊂ Rn.

Consideram A=P. Fie B un spatiu liniar de functii reale definite

pe [a, b] ⊂ R, A ⊂ B, si o multime de functionale liniare

Λ = λi | λi : B → R, i = 1, ..., N.

P : B → A este operatorul de interpolare corespunzator lui Λ,

daca pentru f ∈ B avem

λi(Pf) = λi(f), i = 1, ..., N.

Pf−polinomul de interpolare. Formula de interpolare:

f = Pf + RPf,

unde RPf noteaza termenul rest.

Fie nodurile de interpolare xi ∈ [a, b, ], i = 0, ..., m.

• Functionale de tip Lagrange (ΛL):

ΛL = λi | λi(f) = f(xi), i = 0, ..., m;

• Functionale de tip Hermite (ΛH):

ΛH = λij | λij(f) = f(j)(xi), j = 0, ..., ri; i = 0, ..., m,

cu ri ∈ N, i = 0, ..., m;

• Functionale de tip Birkhoff (ΛB):

ΛB = λij | λij(f) = f(j)(xi), j ∈ Ii, i = 0, ..., m,

cu

Ii ⊂ 0,1, ..., ri astfel ıncat ri ∈ Ii, i = 0, ..., m.

Proprietati comune:

1. Lm, Hn, Bk sunt operatori de interpolare.

2. Fiecare operator Lm, Hn, Bk are gradul de exactitate egal cu

gradul polinomului de interpolare, adica

dex(Lm) = m, dex(Hn) = n, dex(Bk) = k.

3. Toti operatorii Lm, Hn, Bk si operatorii rest corespunzatori

sunt proiectori.

2.2. Operatori de interpolare pe un domeniu rectangular

O solutie a unei probleme de aproximare multidimensionala de-

pinde de forma lui Ωn.

Consideram Ωn ⊂ Rn un domeniu rectangular: Ωn =n∏

i=1[ai, bi] ,

ai, bi ∈ R, ai < bi, i = 1, ..., n.

Fie B o multime de functii reale definite pe Ωn ⊂ Rn si f ∈ B o

functie data.

Consideram operatorii Pi, Pi : B → Ai, care interpoleaza f ın ra-

port cu xi, i = 1, ..., n. Notam cu Ri operatorii rest corespunzatori

lui Pi, i = 1, ..., n.

Pi, i = 1, ..., n sunt proiectori. Fie P multimea proiectorilor

P1, . . . , Pn si a tuturor proiectorilor generati de produsul tensorial

si suma booleana.

Pentru P, Q ∈ P =⇒ produsul tensorial: PQ = P · Q; si suma

booleana: P ⊕Q = P + Q− PQ.

Se defineste pe P relatia de ordine partiala ”≤”: P ≤ Q daca

PQ = P, ∀P, Q ∈ P.

Daca produsul este comutativ atunci (P, ≤) este latice cu P =

P1...Pn elementul minimal si S = P1⊕ ...⊕Pn elementul maximal.

Formula de aproximare minimala:

f = Pf + RPf

si formula de aproximare maximala:

f = Sf + RSf,

cu RP = R1 ⊕ ... ⊕ Rn si RS = R1...Rn - operatorii rest core-

spunzatori.

Formula de aproximare minimala este discreta si formula de

aproximare maximala este transfinita (blending).

Avem urmatoarele descompuneri ale operatorului identic I:

I = P1...Pn + R1 ⊕ ...⊕Rn,

I = P1 ⊕ ...⊕ Pn + R1...Rn.

Daca ri sunt ordine de aproximare ale lui Pi, i = 1, ..., n, (notatie

ri = ord(Pi)), atunci

ord(P) = min r1, ..., rn ,

ord(S) = r1 + ... + rn.

Rezulta ord(P) < ord(Q) < ord(S), ∀Q ∈ P.

Propozitia 22 Daca Q ∈ P astfel ıncat

Q = (P1...Pi1)⊕ (Pi1+1...Pi2)⊕ ...⊕ (Piν−1+1...Piν),

atunci operatorul rest corespunzator este

RQ = (R1⊕ ...⊕Ri1)(Ri1+1⊕ ...⊕Ri2)...(Riν−1+1⊕ ...⊕Riν), (13)

unde R1, ..., Riν sunt operatorii rest corespunzatori operatorilor

P1, ..., Piν .

Demonstratia. Notam cu Q1 = P1...Pi1, Q2 = Pi1+1...Pi2, ...,Qν = Piν−1+1...Piν . Avem

I = Q1 + RQ1,

...

I = Qν + RQν ,

unde

RQ1= R1 ⊕ ...⊕Ri1,

...

RQν = Riν−1+1 ⊕ ...⊕Riν .

Avem Q = Q1 ⊕ ... ⊕ Qν si I = Q + RQ cu RQ = RQ1... RQν .

Inlocuind RQ1, ..., RQν obtinem (13).

Observatia 23 Se observa ca restul RQ corespunzator opera-

torului Q se obtine ınlocuind fiecare operator Pi cu Ri, ın Q, si

ınlocuind produsul cu suma booleana si invers.

Exemple de operatori de interpolare pe patrat

Exemplul 24 Consideram patratul D1 = [0, h]2, h > 0, si f :

D1 → R. Cautam polinomul P ∈ P22 care interpoleaza f pe

varfurile Vi, i = 1, ...,4 ale patratului, adica,

P(Vi) = f(Vi), i = 1, ...,4. (14)

Sunt 4 conditii pentru aflarea polinomului de gradul 2 cu 4

parametrii,

P(x, y) = Axy + Bx + Cy + D, A, B, C, D ∈ R. (15)

Se obtine sistemul

D = f(0,0)Bh + D = f(h,0)Ch + D = f(0, h)

Ah2 + Bh + Ch + D = f(h, h),

care are solutie unica. Se obtine polinomul

P(x, y, z) =(h−x)(h−y)h2 f(0,0) + (h−x)y

h2 f(0, h) (16)

+ x(h−y)h2 f(h,0) + xy

h2f(h, h).

Fixand variabila x, resp. y si aplicand lui f operatorul de inter-

polare Lagrange Ly (ın raport cu y) si Lx (ın raport cu x) pentru

nodurile 0 si h se obtin

(Lyf)(x, y) = h−yh f(x,0) + y

hf(x, h),

(Lxf)(x, y) = h−xh (0, y) + x

hf(h, y),

cu

(LxLyf)(x, y) = (h−x)(h−y)h2 f(0,0)+x(h−y)

h2 f(h,0)+(h−x)yh2 f(0, h)+xy

h2f(h, h),

care este egal cu polinomul (16). Formula de interpolare este

f(x, y) = (Pf)(x, y) + (RPf)(x, y), (17)

cu P = LxLy si

(RPf)(x, y) = (Rx ⊕Ryf)(x, y),

unde Rx si Ry noteaza resturile din formulele de interpolare:

f(x, y) = (Lxf)(x, y) + (Rxf)(x, y),

f(x, y) = (Lyf)(x, y) + (Ryf)(x, y).

Daca f ∈ C1,0(D1) si f(1,0) este derivabila pe (0, h) ın raport cu

x atunci exista ξ ∈ (0, h) astfel ıncat

(Rxf)(x, y) = x(x−h)2! f(2,0)(ξ, y).

Daca f ∈ C0,1(D1) si f(0,1)este derivabila pe (0, h) ın raport cu

y atunci exista η ∈ (0, h) astfel ıncat

(Ryf)(x, y) = y(y−h)2! f(0,2)(x, η).

Obtinem

(RPf)(x, y) = (Rxf)(x, y) + (Ryf)(x, y)− (RxRyf)(x, y)

= x(x−h)2! f(2,0)(ξ, y) + y(y−h)

2! f(0,2)(x, η)− xy(x−h)(y−h)4 f(2,2)(ξ1, η1).

Daca f ∈ C2,2(D1) atunci

|(RPf)(x, y)| ≤ x(h−x)2! M20f + y(h−y)

2! M02f + xy(x−h)(y−h)4 M22f,

unde Mpqf = maxD1

∣

∣

∣f(p,q)(x, y)∣

∣

∣ si

‖RPf‖ ≤ h2

8

[

‖f(2,0)‖+ ‖f(0,2)‖+ h2

8 ‖f(2,2)‖

]

,

unde ‖·‖ este norma uniforma.

CURS 3

Exemple de operatori de interpolare pe patrat (continuare)

Consideram patratul D1 = [0, h]2, h > 0, si f : D1 → R. Polinomul

(Pf)(x, y) = (LxLyf)(x, y)

= (h−x)(h−y)h2 f(0,0) + x(h−y)

h2 f(h,0) + (h−x)yh2 f(0, h) + xy

h2f(h, h),

interpoleaza f pe varfurile Vi, i = 1, ...,4 ale patratului, adica,

P(Vi) = f(Vi), i = 1, ...,4.

Formula de interpolare este

f(x, y) = (Pf)(x, y) + (RPf)(x, y), (18)

cu

(RPf)(x, y) = (Rx ⊕Ryf)(x, y).

Aplicam teorema lui Peano pentru a obtine o noua forma a restu-

lui din (18).

Teorema 25 Daca f ∈ B1,1(0,0) atunci

(RPf)(x, y) =

∫ h

0K20(x, y; s)f(2,0)(s,0)ds +

∫ h

0K02(x, y; t)f(0,2)(0, t)dt

(19)

+∫∫

D1

K11(x, y; s, t)f(1,1)(s, t)dsdt,

cu

K20(x, y; s) = (x− s)+ −xh(h− s),

K02(x, y; t) = (y − t)+ −yh(h− t),

K11(x, y; s, t) = (x− s)0+(y − t)0+ −xyh2 .

Daca f ∈ B1,1(0,0) atunci

|(RPf)(x, y)| ≤h∫ h

0

∣

∣

∣f(2,0)(s,0)∣

∣

∣ds + h∫ h

0

∣

∣

∣f(0,2)(0, t)∣

∣

∣dt (20)

+∫∫

D1

∣

∣

∣f(1,1)(s, t)∣

∣

∣dsdt,

Demonstratia. Fie eij(x, y) = xiyj, i, j ∈ N. Avem

(Pe00)(x, y) = (h−x)(h−y)h2 + x(h−y)

h2 + (h−x)yh2 + xy

h2

= h2−hx−hy+xh−xy+hy−xy+xyh2 = 1 = e00(x, y),

(Pe10)(x, y) = x(h−y)h2 h + xy

h2h

= xh−xy+xyh = x = e10(x, y),

(Pe01)(x, y) = (h−x)yh2 h + xy

h2h

= hy−xy+xyh = y = e01(x, y),

si

(Pe20)(x, y) = x(h−y)h2 h2 + xy

h2h2 = xh 6= e20(x, y).

Rezulta ca

Pf = f, ∀f ∈ P21 ⇔ dex(P) = 1⇔ Ker(RP ) = P

21.

Deci m = 2 si consideram p = q = 1. Aplicand teorema lui Peano

se obtine (19), cu

K20(x, y; s) = RP

[

(x− s)+]

= (x− s)+ −x(h−y)

h2 (h− s)+ −xyh2(h− s)+

= (x− s)+ −xh−xy+xy

h2 (h− s) = (x− s)+ −x

h(h− s)

K02(x, y; t) = RP

[

(y − t)+]

= (y − t)+ −(h−x)y

h2 (h− t)+ −xyh2(h− t)+

= (y − t)+ −yh(h− t)

K11(x, y; s, t) = RP

[

(x− s)0+(y − t)0+

]

= (x− s)0+(y − t)0+ −xyh2(h− s)0+(h− t)0+

= (x− s)0+(y − t)0+ −xyh2.

Avem

K20(x, y; s) =

x− s− xh(h− s) = s(x−h)

h ≤ 0, s ≤ x,

−x(h−s)h ≤ 0, s > x,

K02(x, y; t) =

y − t− yh(h− t) = t(y−h)

h ≤ 0, t ≤ y,

−y(h−t)h ≤ 0, t > y,

si

K11(x, y; s, t) =

(x− s)0(y − t)0 − xyh2 = 1− xy

h2 ≥ 0, s ≤ x si t ≤ y,

−xyh2 ≤ 0, altfel.

.

Avem K20(x, y; s) ≤ 0, s ∈ [0, h] si K ′20(x, y; s) = x−hh ≤ 0, s ∈

[0, x) si K ′20(x, y; s) = xh ≥ 0, s ∈ [x, h].

Minimul lui K20(x, y; s) este ın s = x, deci avem |K20(x, y; s)| ≤

|K20(x, y; x)| = xh−xh ≤ x.

Se observa ca K02(x, y; t) = K20(y, x; t), de unde rezulta

|K02(x, y; t)| ≤ y.

Avem urmatoarea estimare

|K11(x, y; s, t)| ≤∣

∣

∣1− xyh2

∣

∣

∣ ≤ 1.

Are loc

|(RPf)(x, y)| ≤x∫ h

0

∣

∣

∣f(2,0)(s,0)∣

∣

∣ds + y∫ h

0

∣

∣

∣f(0,2)(0, t)∣

∣

∣dt (21)

+

∫∫

D1

∣

∣

∣f(1,1)(s, t)∣

∣

∣dsdt,

si cum max0≤x≤h

x = h si max0≤y≤h

y = h se obtine (20).

CURS 4

Exemple de operatori de interpolare pe patrat (continuare)

Consideram patratul D1 = [0, h]2, h > 0, si f : D1 → R.

Problema de interpolare pe laturile lui D1 se rezolva folosind

operatorii suma booleana:

(Lx ⊕ Lyf)(x, y) = Lxf + Lyf − LxLyf

= h−xh f(0, y) + x

hf(h, y) + h−yh f(x,0) + y

hf(x, h)

− x(h−y)h2 f(h,0)− (h−x)y

h2 f(0, h)− xyh2f(h, h)− (h−x)(h−y)

h2 f(0, 0).

Se verifica conditiile de interpolare:

(Lx ⊕ Lyf)(x,0) = f(x,0)

(Lx ⊕ Lyf)(0, y) = f(0, y)

(Lx ⊕ Lyf)(x, h) = f(x, h)

(Lx ⊕ Lyf)(h, y) = f(h, y), cu x, y ∈ [0, h].


f(x, y) = (Lx ⊕ Lyf)(x, y) + (RSf)(x, y), (22)

unde

(RSf)(x, y) = (RxRyf)(x, y, z).

Daca f ∈ C1,0[0, h] si f(1,0) este derivabila pe (0, h) atunci exista

ξ ∈ (0, h) a.ı.

(Rxf)(x, y) = x(x−h)2! f(2,0)(ξ, y).

Daca f ∈ C0,1[0, h] si f(0,1) este derivabila pe (0, h) atunci exista

η ∈ (0, h) a.ı.

(Ryf)(x, y) = y(y−h)2! f(0,2)(x, η).

Prin urmare,

(RSf)(x, y, z) = xy(x−h)(y−h)4 f(2,2)(ξ, η).

Daca f ∈ C2,2(D1) atunci

|(RSf)(x, y, z)| ≤ xy(h−x)(h−y)4 M22f,

unde Mpqf = maxD1

∣

∣

∣f(p,q)(x, y)∣

∣

∣ iar ın plus

‖RSf‖ ≤ h4

64

∥

∥

∥f(2,2)∥

∥

∥.


(RSf)(x, y) =

∫ h

0K30(x, y; s)f(3,0)(s,0)ds (23)

+

∫ h

0K21(x, y; s)f(2,1)(s,0)ds +

∫ h

0K03(x, y; t)f(0,3)(0, t)dt

+

∫∫

D1

K12(x, y; s, t)f(1,2)(s, t)dsdt,

unde

K30(x, y; s) = 0,

K21(x, y; s) = 0,

K03(x, y; t) = 0,

K12(x, y; s, t) = (x− s)0+(y − t)+ −xh(y − t)+ −

yh(x− s)0+(h− t) + xy

h2(h− t).

Daca f ∈ B1,2(0,0) atunci

‖RSf‖ ≤ h3∥

∥

∥f(1,2)∥

∥

∥. (24)

Demonstratia. Avem (Lx ⊕ Ly)f = f ∀f ∈ P22 si consideram

p = 1, q = 2 (m = 3). Aplicand teorema lui Peano obtinem (23),

cu

K30(x, y; s) = RS

[

(x−s)2+2

]

=(x−s)2+

2 − xh

(h−s)2+2 − h−y

h

(x−s)2+2

− yh

(x−s)2+2 + x(h−y)

h2

(h−s)2+2 + xy

h2

(h−s)2+2

=(x−s)2+

2 − xh

(h−s)2+2 −

(x−s)2+2 + y

h

(x−s)2+2 − y

h

(x−s)2+2

+ xhh2

(h−s)2+2 − xy

h2

(h−s)2+2 + xy

h2

(h−s)2+2 = 0

K21(x, y; s) = RS

[

y(x− s)+]

= 0

K03(x, y; t) = RS

[

(y−t)2+2

]

= 0

K12(x, y; s, t) = RS

[

(x− s)0+(y − t)+]

= (x− s)0+(y − t)+ −xh(y − t)+ −

yh(x− s)0+(h− t) + xy

h2(h− t).

Avem

K12(x, y; s, t) = (y − t)+[(x− s)0+ −xh] + (h− t)[xy

h2 −yh(x− s)0+]

≤ (y − t)+h−x

h + (h− t)xyh2

si

|K12(x, y; s, t)| ≤ |(y − t)+h−x

h + (h− t)xyh2 |.

Notam ϕ(t) = (y−t)+h−x

h +(h−t)xyh2 si obtinem ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [0, h]

si ϕ′(t) = −(y − t)0+h−x

h − xyh2 ≤ 0, t ∈ [0, h]. Maximul lui ϕ este ın

t = 0, deci

|K12(x, y; s, t)| ≤ ϕ(0) ≤ yh−xh + xy

h .

Se obtine

|(RSf)(x, y)| ≤ y∫∫

D1

∣

∣

∣f(1,2)(s, t)∣

∣

∣ dsdt, (25)

si cum max(x,y)∈D1

y = h rezulta (24).

Ca o extensie a problemei de interpolare se considera urmatoarea

problema de cele mai mici patrate: pentru o functie data

f : D1 → R sa se gaseasca polinomul P ∈ P21 a.ı.

4∑

i=1[P(Vi)− f(Vi)]

2 → min,

unde Vi, i = 1, ...,4 sunt varfurile patratului D1. Considerand

P(x, y, z) = Ax + By + C

problema se reduce la minimizarea functiei

S(A, B, C) =4∑

i=1[P(Vi)− f(Vi)]

2.

Obtinem sistemul:

∂S∂A := 2h[2Ah + Bh + 2C − f(h,0)− f(h, h)] = 0∂S∂B := 2h[Ah + 2Bh + 2C − f(0, h)− f(h, h)] = 0∂S∂C := 2[2Ah + 2Bh + 4C − f(0, 0)− f(0, h)− f(h,0)− f(h, h)] = 0

cu solutiile:

A = 12h[f(h, h) + f(h,0)− f(0, h)− f(0,0)],

B = 12h[f(h, h)− f(h,0) + f(0, h)− f(0,0),

C = 14[−f(h, h) + f(h,0) + f(0, h) + 3f(0,0).

Astfel, polinomul care rezolva problema de cele mai mici patrate

este

P(x, y) =2x+2y−h4h f(h, h) + 2x−2y+h

4h f(h,0)

+ −2x+2y+h4h f(0, h) + −2x−2y+3h

4h f(0,0).

Exemple de operatori de interpolare pe cub

Consideram cubul D2 = [0, h]3, h > 0, si f : D2 → R. Trebuie

determinat un polinom P ∈ P33 care interpoleaza f pe varfurile

Vi, i = 1, ...,8 adica

P(Vi) = f(Vi), i = 1, ...,8. (26)

Sunt opt conditii, deci cautam un polinom de grad trei

P(x, y, z) = Axyz + Bxy + Cyz + Dxz + Ex + Fy + Gz + H. (27)

Rezolvand sistemul (26) obtinem

P(x, y, z) =(h−x)(h−y)(h−z)h3 f(0,0,0) + (h−x)y(h−z)

h3 f(0, h,0) (28)

+ x(h−y)(h−z)h3 f(h,0,0) + (h−x)(h−y)z

h3 f(0,0, h) + xy(h−z)h3 f(h, h,0)

+ x(h−y)zh3 f(h,0, h) + (h−x)yz

h3 f(0, h, h) + xyzh3 f(h, h, h).

Fixand variabilele x si y, x si z, resp. y si z si aplicand pentru f

operatorul Lagrange Lz1 (ın raport cu z), L

y1 (ın raport cu y), si

Lx1 (ın raport cu x) pentru nodurile 0 si h obtinem

(Lz1f)(x, y, z) = h−z

h f(x, y,0) + zhf(x, y, h),

(Ly1f)(x, y, z) = h−y

h f(x,0, z) + yhf(x, h, z),

(Lx1f)(x, y, z) = h−x

h f(0, y, z) + xhf(h, y, z).

Avem (Lx1L

y1Lz

1f)(x, y, z) = P(x, y, z).

Lx1L

y1Lz

1f interpoleaza functia f pe nodurile cubului D2. Formula

de interpolare este

f(x, y, z) = (Lx1L

y1Lz

1f)(x, y, z) + (RPf)(x, y, z),

unde

(RPf)(x, y, z) = (Rx1 ⊕R

y1 ⊕Rz

1f)(x, y, z),

si Rx1, R

y1,R

z1 sunt operatorii rest.

Daca f ∈ C1,0,0(D2) si f(1,0,0) este derivabila pe (0, h) ın raport

cu x atunci exista ξ ∈ (0, h) astfel ıncat

(Rx1f)(x, y, z) = x(x−h)

2! f(2,0,0)(ξ, y, z).


cu y atunci exista η ∈ (0, h) astfel ıncat

(Ry1f)(x, y, z) = y(y−h)

2! f(0,2,0)(x, η, z).


cu z atunci exista δ ∈ (0, h) astfel ıncat

(Rz1f)(x, y, z) = z(z−h)

2! f(0,0,2)(x, y, δ).

Se ınlocuiesc Rx1, R

y1 si Rz

1 ın (RPf)(x, y, z) = (Rx1⊕R

y1⊕Rz

1f)(x, y, z)

(Rx1 ⊕R

y1 ⊕Rz

1f)(x, y, z) = x(x−h)2! f(2,0,0)(ξ, y, z) + y(y−h)

2! f(0,2,0)(x, η, z)

+ z(z−h)2! f(0,0,2)(x, y, δ)− xy(x−h)(y−h)

4 f(2,2,0)(ξ1, η1, z)

− xz(x−h)(z−h)4 f(2,0,2)(ξ2, y, δ1)−

yz(y−h)(z−h)4 f(0,2,2)(x,

+ xyz(x−h)(y−h)(z−h)8 f(2,2,2)(ξ3, η3, δ3), cu ξ, η, δ, ξi, ηi, δ

Daca f ∈ C2,2,2(D2) atunci

|(RPf)(x, y, z)| ≤x(h−x)2! M200f + y(h−y)

2! M020f + z(h−z)2! M002f

+ xy(h−x)(h−y)4 M220f + xz(h−x)(h−z)

4 M202f

+ yz(h−y)(h−z)4 M022f + xyz(h−x)(h−y)(h−z)

8 M222f,

unde Mpqrf = maxD2

∣

∣

∣f(p,q,r)(x, y, z)∣

∣

∣. Mai mult,

|(RPf)(x, y, z)| ≤h2

8 M200f + h2

8 M020f + h2

8 M002f + h4

64M220f + h4

64M202f

+ h4

64M022f + h6

512M222f.

Observatia 27 Problema de interpolare pe laturile cubului este

rezolvata de Lx1 ⊕ L

y1 ⊕ Lz

1f .

Problema celor mai mici patrate: pentru o functie data f :

D2 → R sa se gaseasca polinomul P ∈ P31 a.ı.

8∑

i=1[P(Vi)− f(Vi)]

2 → min .

Se considera

P(x, y, z) = Ax + By + Cz + D

care se gaseste prin minimizarea functiei

S(A, B, C, D) =8∑

i=1[P(Vi)− f(Vi)]

2.

Se rezolva sistemul:

∂S∂A = 0∂S∂B = 0∂S∂C = 0∂S∂D = 0.

CURS 5

3. Operatori de interpolare pe un simplex

3.1. Exemple de operatori de interpolare pe triunghi

Orice triunghi se transforma printr-o transformare afina ın tri-

unghiul standard:

Th = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ h, h ∈ R+. (29)

Fie f : Th → R si consideram operatorul Lagrange P1, ın raport

cu x, corespunzator nodurilor 0 si h− y, cu y fixat:

(P1f)(x, y) = x+y−hy−h f(0, y) + x

h−yf(h− y, y).

Similar consideram operatorul Lagrange P2, corespunzator nodurilor

0 si h−x, cu x fixat, si resp. P3, corespunzator nodurilor (x+y,0)

si (0, x + y):

(P2f)(x, y) = x+y−hx−h f(x,0) + y

h−xf(x, h− x),

(P3f)(x, y) = xx+yf(x + y,0) + y

x+yf(0, x + y).

Avem

(Pf)(x, y) := (P1P2P3f)(x, y) = h−x−yh f(0,0)+x

hf(h,0)+yhf(0, h),

polinom ce interpoleaza f pe varfurile triunghiului Th:

(Pf)(0, 0) = f(0,0)

(Pf)(0, h) = f(0, h)

(Pf)(h, 0) = f(h,0).

Formula de interpolare:

f = P1P2P3f + RPf,

unde RPf noteaza restul.


(RPf)(x, y) =

h∫

0

K20(x, y; s)f(2,0)(s,0)ds +

h∫

0

K02(x, y; t)f(0,2)(0, t)dt

(30)

+∫∫

Th

K11(s, t)f(1,1)(s, t)dsdt,

cu

K20(x, y; s) = (x− s)+ −xh(h− s), (31)

K02(x, y; t) = (y − t)+ −yh(h− t),

K11(x, y; s, t) = (x− s)0+(y − t)0+,

si mai mult, daca f(2,0)(·,0), f(0,2)(0, ·) ∈ C[0, h] si f(1,1) ∈ C(Th)

atunci

(RPf)(x, y) =x(x−h)2 f(2,0)(ξ,0)ds + y(y−h)

2 f(0,2)(0, η) (32)

+ xyf(1,1)(ξ1, η1),

unde ξ, η ∈ [0, h] si (ξ1, η1) ∈ Th.

Demonstratia. Avem

(Pe00)(x, y) = h−x−yh + x

h + yh = 1 = e00(x, y)

(Pe10)(x, y) = xhh = x = e10(x, y)

(Pe01)(x, y) = yhh = e01(x, y)

(Pe20)(x, y) = xhh2 = xh 6= e20(x, y),

deci Pf = f, ∀f ∈ P21, de unde Ker(RP ) = P2

1 ⇒ m = 2 si

consideram p = q = 1. Aplicand teorema lui Peano se obtine

(30), cu

K20(x, y; s) = R1

[

(x− s)+]

= (x− s)+ −xh(h− s),

K02(x, y; t) = R1

[

(y − t)+]

= (y − t)+ −yh(h− t),

K11(x, y; s, t) = R1

[

(x− s)0+(y − t)0+

]

= (x− s)0+(y − t)0+,

Avem

K20(x, y; s) =

sh(x− h) ≤ 0, s ≤ x,−x

h(h− s) ≤ 0, s > x,

si similar K02(x, y; t) ≤ 0, t ∈ [0, h]. Pentru K11 avem

K11(x, y; s, t) =

1, s ≤ x si t ≤ y,0, alfel.

Se observa ca K20(x, y; ·), K02(x, y; ·), K11(x, y; ·, ·) nu schimba

semnul pe [0, h], resp. pe Th.

f(2,0)(·,0), f(0,2)(0, ·) si f(1,1) sunt continue, deci putem aplica

teorema de medie si se obtine:

(RPf)(x, y) =f(2,0)(ξ,0)

h∫

0

K20(x, y; s)ds + f(0,2)(0, η)

h∫

0

K02(x, y; t)dt

+ f(1,1)(ξ1, η1)

∫∫

T1

K11(x, y; s, t)dsdt.

Integrand obtinem

(RPf)(x, y) =x(x−h)2 f(2,0)(ξ,0)ds + y(y−h)

2 f(0,2)(0, η) (33)

+ xyf(1,1)(ξ1, η1).

Suma booleana a operatorilor Pi si Pj interpoleaza f pe frontiera

triunghiului Th, adica

(Pi ⊕ Pjf)|∂Th= f |∂Th

, pentru i, j = 1,2,3.

Avem

(P1P2f)(x, y) =x+y−hy−h

[

y−h−h f(0,0) + y

hf(0, h)]

+ xh−y

[

h−y+y−hh−y−h f(h,0) + y

h−h+yf(h− y, y)]

=h−x−y−h f(0,0) + y(x+y−h)

h(y−h)f(0, h) + x

h−yf(h− y, y),

si

(S12f)(x, y) :=(P1 ⊕ P2f)(x, y)

=h−x−yh−y f(0, y) + h−x−y

h−x f(x,0) + yh−xf(x, h− x)

− h−x−yh f(0,0)− y(h−x−y)

h(h−y)f(0, h)

Consideram formula de interpolare

f = S12f + RSf,

cu RSf termenul rest. Avem urmatoarele proprietati de interpo-

lare:

(S12f)(x,0) = f(x,0), pentru x ∈ [0, h](S12f)(0, y) = f(0, y), pentru x ∈ [0, h](S12f)(x, h− x) = f(x, h− x), pentru x ∈ [0, h].

Se verifica ca

S12f = f, ∀f ∈ P22,

adica Ker(RS) = P22. Deci se poate aplica teorema lui Peano

pentru a afla expresia lui RSf, pentru m = 3.

CURS 6

3.2. Exemple de operatori de interpolare pe triunghi si pe

linii interioare ale triunghiului

Fie triunghiul

Th = (x, y) ∈ R | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ h, h ∈ R+.

Consideram cazul ın care nodurile de interpolare nu sunt doar pe

frontiera ∂Th ci si ın interiorul triunghiului Th, anume pe una din

medianele triunghiului.

Fie varfurile triunghiului V0(0,0), V1(h,0) si V2(0, h), si mediana

V2M, deci M ∈ V0V1.

Fie Ly1 un operator care interpoleaza functia f ın raport cu y, ın

punctele (x,0) si (x, h− x):(

Ly1f)

(x, y) = h−x−yh−x f (x,0) + y

h−xf (x, h− x)

iar Lx2 operatorul care interpoleaza functia f ın raport cu x, ın

punctele (0, y) ,(

h−y2 , y

)

si (h− y, y) , cu y fixat:

(Lx2f) (x, y) =(h−x−y)(h−2x−y)

(h−y)2f (0, y) +

4x(h−x−y)

(h−y)2f(

h−y2 , y

)

+x(2x+y−h)

(h−y)2f (h− y, y) .

Lx2 interpoleaza functia f pe cateta V0V2, pe ipotenuza, si pe

mediana V2M, iar Ly1 interpoleaza functia pe ipotenuza, si pe

cateta V0V1.

Teorema 29 Daca f : Th → R, atunci

1. Lx2 ⊕ L

y1f = f pe ∂Th ∪ V2M,

2. dex(

Lx2 ⊕ L

y1

)

= 3.

Demonstratia. Avem(

Lx2 ⊕ L

y1f)

(x, y) =h−x−y

(h−y)2

[

(h− 2x− y) f (0, y) + 4xf(

h−y2 , y

)]

+ 1h−x [(h− x− y) f (x,0) + yf (x, h− x)]

− (h−x−y)(h−2x−y)

(h−y)2

[

h−yh f (0,0) + y

hf (0, h)]

− 4x(h−x−y)

(h−y)2

[

h−yh+yf

(

h−y2 ,0

)

+ 2yh+yf

(

h−y2 , h+y

2

)]

.

Se verifica direct ca

(Lx2 ⊕ L

y1f)(x, 0) = f(x,0)

(Lx2 ⊕ L

y1f)(0, y) = f(0, y)

(Lx2 ⊕ L

y1f) (h− y, y) = f (h− y, y)

(Lx2 ⊕ L

y1f)

(

h−y2 , y

)

= f(

h−y2 , y

)

.

Se obtine, prin calcul, ca

Lx2 ⊕ L

y1eij = eij, pentru i + j ≤ 3,

si, de exemplu, Lx2⊕L

y1e22 6= e22, unde eij (x, y) = xiyj, i, j ∈ N⇒

dex(

Lx2 ⊕ L

y1

)

= 3.


f = Lx2 ⊕ L

y1f + Rx

2Ry1f,

restul determinandu-se cu ajutorul Teoremei lui Peano, pentru

m = 4.

3.3. Interpolare pe triunghi bazata pe Algoritmul lui New-

ton generalizat

Teorema 30 (Teorema lui Micchelli). Interpolarea datelor ar-

bitrare printr-un element din P2m este posibila ın mod unic pe o

multime N de 12(m +1)(m +2) noduri daca exista m +1 drepte

L0, L1, ..., Lm a caror reuniune contine cele N noduri si care au

proprietatea ca fiecare dreapta Li contine exact i + 1 noduri,

i = 0, ..., m.

Algorithm 31 (Algoritmul lui Newton generalizat). Fie X un

spatiu liniar arbitrar. Fie o functie g (nu neaparat un polinom)

care interpoleaza functia data f : X → R pe o multime de noduri

N . Fie y un nou nod, y /∈ N. Cautam o functie h a.ı. h = 0 pe

N si h(y) 6= 0. Atunci g + f(y)h interpoleaza f pe N ∪ y.

Pentru un nou nivel de generalizare folosim g+rh ca interpolant,

dar permitem lui r sa fie o functie mai generala decat o simpla

constanta. Folosim notatia Z = x ∈ X : h(x) = 0.

Consideram o multime N de noduri, fie g care interpoleaza f pe

N ∩ Z(h) si r care interpoleaza f−gh pe N\Z(h). Atunci g + rh

interpoleaza f pe N .

Observatia 32 Aceasta versiune a algoritmului Newton permite

ımpartirea unei probleme de interpolare ın doua subprobleme mai

simple, (”mai simplu” se refera la numarul conditiilor de inter-

polare).

Exemplul 33 Fie f : Th → R o functie definita pe triunghiul Th.

Fie N = X1, X2, X3, X4, X5, X6 ∈ ∂Th, cu X1(0, h3), X2(0, 2h

3 ),

X3(h4,0), X4(

h2,0), X5(

3h4 ,0), X6(

h2, h

2). Consideram functionalele

de interpolare Lagrange

ΛL = λi(f) |λi(f) = f(xi), 1 ≤ i ≤ 6.

Sa se gaseasca r ∈ P22 astfel ca r sa interpoleze f ın raport cu

ΛL.

Notam prin L0, L1, L2 laturile triunghiului, astfel ca X6 ⊂ L0,

X1, X2 ⊂ L1, X3, X4, X5 ⊂ L2. Problema astfel formulata

satisface ipotezele teoremei lui Micchelli. Prin urmare, acest

rezultat asigura faptul ca exista un interpolant ın P22 pentru f ın

raport cu ΛL si acesta este unic.

Notam cu l2 un element din P21 al carui multime zero este dreapta

L2,

Z(l2) = (x, y) : l2(x, y) = 0 = L2.

Avem N ∩ L2 = X3, X4, X5 , l2(x, y) = y.

Fie p2 ∈ P22 ce interpoleaza f pe N ∩ L2 = X3, X4, X5 . Prin

urmare, p2 are forma

p2(x, y) = a0x2 + b0x + c0,

unde a0, b0 si c0 pot fi determinate din conditiile de interpolare:

p2(h4,0) = f(h

4,0)

p2(h2,0) = f(h

2,0)

p2(3h4 ,0) = f(3h

4 ,0).

(34)

Expresia lui este

p2(x, y) =( 8h2x2 − 6

hx + 1)f(3h4 ,0) + ( 8

h2x2 − 10h x + 3)f(h

4,0)

+ (−16h2x2 + 16

h x− 3)f(h2,0).

Fie q1 ∈ P21 ce interpoleaza (f−p2)/l2 pe N\Z(l2) = X1, X2, X6 .

Prin urmare, q1 are forma

q1(x, y) = a1x + b1y + c1,

unde a1, b1 si c1 pot fi determinate din conditiile de interpolare:

q1(0, h3) =

f(0,h3)−p2(0,h3)h3

q1(0, 2h3 ) =

f(0,2h3 )−p2(0,2h

3 )2h3

q1(h2, h

2) =f(h

2,h2)−p2(h2,h2)

h2

.

(35)

Se obtine ca r = p2 + l2q1 interpoleaza f pe N. Problema de

interpolare se ımparte ın 2 subprobleme cu mai putine conditii

de interpolare. Subproblemele atrag determinarea lui p2 si q1, cu

3 conditii de interpolare.

Problema este mai usor de rezolvat daca aplicam de doua ori

algoritmul Newton generalizat. Avem de gasit un interpolant

pentru q1 pe multimea M := X1, X2, X6. Notam prin l1 un

element din P21 al carui multime zero este dreapta L1,

Z(l1) = (x, y) : l1(x, y) = 0 = L1.

Avem M ∩ L1 = X1, X2 , l1(x, y) = x.

Fie p1 ∈ P21 care interpoleaza q1 pe M ∩ L1 = X1, X2 . Prin

urmare, p1 are forma

p1(x, y) = a2y + b2,

unde a2 si b2 pot fi determinate din conditiile de interpolare:

p1(0, h3) = q1(0, h

3)

p1(0, 2h3 ) = q1(0, 2h

3 ).(36)

Din (35), (36) devine

p1(0, h3) =

f(0,h3)−p2(0,h3)h3

p1(0, 2h3 ) =

f(0,2h3 )−p2(0,2h

3 )2h3

.(37)

Expresia sa este

p1(x, y) = 32h(

3hy − 1)f(0, 2h

3 ) + 3h(−

3hy + 2)f(0, h

3)

+ 32h(−

3hy + 1)p2(0, 2h

3 ) + 3h(

3hy − 2)p2(0, h

3).

Fie q0 ∈ P20 ce interpoleaza (q1−p1)/l1 pe M\Z(l1) = X6 . Prin

urmare, q0 este constanta:

q0 =q1(

h2, h

2)− p1(h2, h

2)h2

.

Potrivit algoritmului Newton generalizat avem ca p1 + l1q0 inter-

poleaza q1 pe M = X1, X2, X6 .

Problema de interpolare pe N este rezolvata de

r = p2 + l2q1 = p2 + l2(p1 + l1q0).

CURS 7

3.4. Exemple de operatori de interpolare pe triunghiul cu

o latura curba

Consideram triunghiul Th, cu varfurile V1 = (0, h), V2 = (h,0)

si V3 = (0,0), doua laturi drepte Γ1, Γ2, pe axe, si ipotenuza

Γ3 definita prin functiile f si g, unde g este inversa lui f, adica,

y = f(x) si x = g(y), cu f(0) = g(0) = h.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V3 V

2Γ2

V1

Γ3

Γ1

(0,y) (x,y)

(x,0)

(x,f(x))

(g(y),y)

Figura 1: Triunghiul Th.

Operatori de tip Lagrange. Fie F o functie definita pe Th.

A. Fie L1, L2 si L3 operatorii de interpolare definiti prin

(L1F)(x, y) =g(y)− x

g(y)F(0, y) +

x

g(y)F(g(y), y), (38)

(L2F)(x, y) =f(x)− y

f(x)F(x,0) +

y

f(x)F(x, f(x)),

(L3F)(x, y) =x

x + yF(x + y,0) +

y

x + yF(0, x + y).

Fiecare operator L1, L2, L3 interpoleaza functia F pe doua laturi

ale lui Th :

(L1F)(0, y) = F(0, y), y ∈ [0, h],(L1F)(g(y), y) = F(g(y), y), y ∈ [0, h],(L2F)(x,0) = F(x,0) x ∈ [0, h],(L2f)(x, f(x)) = F(x, f(x)), x ∈ [0, h],(L3f)(x + y,0) = F(x + y,0) x, y ∈ [0, h],(L3f)(0, x + y) = F(0, x + y), x, y ∈ [0, h],

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V3

V2

V1

(g(y),y)(0,y)

L1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V3 V

2(x,0)

L2

V1

(x,f(x)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V3 V

2(x+y,0)

L3

V1

(0,x+y)

Figura 2: Domeniile de interpolare pt. L1, L2,L3.

Definitia 34 Se numeste multime de precizie a operatorului P

(pres(P)) multimea monoamelor pentru care interpolantul este

exact.

Avem

dex(Li) = 1, i = 1,2,3, (39)

pres(L1) = 1, x, yj, j ∈ N∗,

pres(L2) = 1, xi, y, i ∈ N∗,

pres(L3) = 1, x, y.

De exemplu,

(L1e00)(x, y) =g(y)− x

g(y)· 1 +

x

g(y)· 1 = 1 = e00(x, y)

(L1e10)(x, y) =g(y)− x

g(y)· 0 +

x

g(y)· g(y) = x = e10(x, y)

(L1e01)(x, y) =g(y)− x

g(y)· y +

x

g(y)· y = y = e01(x, y)

(L1ei0)(x, y) =g(y)− x

g(y)· 0 +

x

g(y)(g(y))i 6= ei0(x, y), i ≥ 2

(L1e0j)(x, y) =g(y)− x

g(y)yj +

x

g(y)yj = yj = e0j(x, y), j ≥ 0.

Formulele de interpolare:

F = LiF + RLi F, i = 1,3.

Resturile RLi F, i = 1,3 se studiaza cu Teorema lui Peano, pt.

m = 2, deoarece dex(Li) = 1, adica ker(RLi ) = P2

1, i = 1,3.

B. Fie Pij produsul operatorilor Li si Lj, adica Pij = LiLj, i, j =

1,2,3, i 6= j. Avem

(P12F)(x, y) =h− y

h

g(y)− x

g(y)F(0,0)+

y

h

g(y)− x

g(y)F(0, h)+

x

g(y)F(g(y), y),

(P13F)(x, y) = g(y)−xg(y)

F(0, y) + xg(y)[y+g(y)]

[g(y)F(y + g(y),0)

+ yF(0, y + g(y))],

(P23F)(x, y) =f(x)−yf(x)

F(x,0) + yf(x)[x+f(x)]

[xF(x + f(x),0)

+ f(x)F(0, x + f(x))].

Proprietatile de interpolare:

P12F = F, pe Γ3 ∪ V3,P13F = F, pe Γ1 ∪ V2,P23F = F, pe Γ2 ∪ V1.

Observatia 35 Operatorii Pij au aceleasi proprietati de interpo-

lare ca si operatorii Pji, i, j = 1,3, i 6= j.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

L1

L2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

L1

L3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

L2L

3

Figura 3: Domeniile de interpolare pentru P12, P13, P23.

Avem

dex(Pij) = 1, (40)

pres(Pij) = 1, x, y, i, j = 1,3, i 6= j.

De exemplu,

(P12e00)(x, y) =h− y

h

g(y)− x

g(y)· 1 +

y

h

g(y)− x

g(y)· 1 +

x

g(y)· 1 = e00(x, y)

(P12e10)(x, y) =h− y

h

g(y)− x

g(y)· 0 +

y

h

g(y)− x

g(y)· 0 +

x

g(y)· g(y) = e10(x, y)

(P12e01)(x, y) =h− y

h

g(y)− x

g(y)· 0 +

y

h

g(y)− x

g(y)· h +

x

g(y)· y = e01(x, y)

(P12e20)(x, y) =h− y

h

g(y)− x

g(y)· 0 +

y

h

g(y)− x

g(y)· 0 +

x

g(y)· (g(y))2 6= e20(x, y).

Resturile RPijF, ale formulelor de interpolare

F = PijF + RPijF, i, j = 1,3, i 6= j,

se studiaza cu Teorema lui Peano, pt. m = 2, deoarece dex(Pij) =

1, adica ker(RPij) = P2

1, i, j = 1,3, i 6= j.

C. Fie Sij suma booleana a operatorilor Li si Lj, adica Sij =

Li ⊕ Lj, i, j = 1,3, i < j.

Avem

(S12F) (x, y) =g(y)− x

g(y)F(0, y) +

f(x)− y

f(x)F(x,0) +

y

f(x)F(x, f(x))

−g(y)− x

g(y)

[

h− y

hF(0,0) +

y

hF(0, h)

]

,

(S13F) (x, y) =x

g(y)F(g (y) , y) +

x

x + yF(x + y,0) +

y

x + yF(0, x + y)−

−x

g(y)

[

g(y)

y + g(y)F(y + g(y),0) +

y

y + g(y)F(0, y + g(y))

]

,

(S23F) (x, y) =y

f(x)F(x, f (x)) +

x

x + yF(x + y,0) +

y

x + yF(0, x + y)−

−y

f(x)

[

y

x + f(x)F(x + f(x),0) +

f(x)

x + f(x)F(0, x + f(x))

]

.


SijF = F, i, j = 1,3, i < j pe ∂Th.

Avem

dex(S12) = 1, (41)

dex(S13) = dex(S23) = 2,

pres(S12) = 1, y, xy, xk, k ∈ N∗,

pres(S13) = 1, x, y, x2, y2, xyk, k ∈ N∗,

pres(S23) = 1, x, y, x2, y2, xky, k ∈ N∗.

Formulele de interpolare

F = SijF + RSijF, i, j = 1,3, i < j.

Resturile se studiaza aplicand Teorema lui Peano (pentru RS12F

avem m = 2, deoarece dex(S12) = 1, iar pentru RS13F si RS

23F

avem m = 3, deoarece dex(S13) = dex(S23) = 2).

Operatori de tip Hermite. Presupunem ca functia F, definita

pe Th, poseda derivatele partiale F (1,0) si F (0,1) pe latura Γ3.

Consideram operatorii H1 si H2 definiti prin

(H1F)(x, y) = [x−g(y)]2

g2(y)F(0, y) + x[2g(y)−x]

g2(y)F(g(y), y) + x[x−g(y)]

g(y)F (1,0)(g(y), y),

(42)

(H2F)(x, y) = [y−f(x)]2

f2(x)F(x,0) + y[2f(x)−y]

f2(x)F(x, f(x)) + y[y−f(x)]

f(x)F (0,1)(x, f(x))


H1F = F, pe Γ1 ∪ Γ3,

(H1F)(1,0) = F (1,0), pe Γ3

si

H2F = F, pe Γ2 ∪ Γ3,

(H1F)(0,1) = F (0,1), pe Γ3.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

H1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

H2

Figura 4: Domeniile de interpolare pt. H1si H2.

Avem

dex(H1) = dex(H2) = 2, (43)

pres(H1) = 1, x, y, x2, y2, xyn, n ∈ N∗,

pres(H2) = 1, x, y, x2, y2, xny, n ∈ N∗.


F = HiF + RHi F, i = 1,2.

Resturile RHi F , i = 1,2 se determina aplicand Teorema lui Peano

pentru m = 3, deoarece dex(H1) = dex(H2) = 2.

CURS 8

3.4. Exemple de operatori de interpolare pe triunghiul cu

o latura curba (continuare)

Consideram triunghiul Th, cu varfurile V1 = (0, h), V2 = (h,0)

si V3 = (0,0), doua laturi drepte Γ1, Γ2, pe axe, si ipotenuza

Γ3 definita prin functiile f si g, unde g este inversa lui f, adica,

y = f(x) si x = g(y), cu f(0) = g(0) = h.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V3 V

2Γ2

V1

Γ3

Γ1

(0,y) (x,y)

(x,0)

(x,f(x))

(g(y),y)

Figura 1: Triunghiul Th.

Operatori de tip Birkhoff. Presupunem ca functia F, definita

pe Th, poseda derivatele partiale F (1,0) si F (0,1) pe latura Γ3.

Consideram operatorii B1 si B2 definiti prin:

(B1F) (x, y) = F (0, y) + xF (1,0) (g (y) , y) ,

(B2F) (x, y) = F (x,0) + yF (0,1) (x, f (x)) .


B1F = F pe Γ1 si (B1F)(1,0) = F (1,0) pe Γ3,

B2F = F pe Γ2 si (B2F)(0,1) = F (0,1) pe Γ3.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

B1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

B2

Figura 5: Domeniile de interpolare pt. B1si B2.

Avem

dex (B1) = dex (B2) = 1, (44)

pres (B1) =

1, x, yj, j ∈ N∗

,

pres (B2) =

1, y, xi, i ∈ N∗

.


F = BiF + RBi F, i = 1,2.

Resturile RBi F , i = 1,2 se determina aplicand Teorema lui Peano

pentru m = 3, deoarece dex (B1) = dex (B2) = 1.

Exemplul 36 Consideram functia:

Gentle: F1(x, y) = exp[−8116((x− 0.5)2 + (y − 0.5)2)]/3. (45)

Reprezentam grafic F1, L1F1, P13F1, S12F1, H1F1 si B1F1, pe T1,

considerand f : [0,1]→ [0,1], f(x) = 1− x2.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

F1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

L1F1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

P13F1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

S12F1.

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

H1F1.

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Graph of

B1F1.

Figura 6: Interpolantii pt. F1.

3.5. Exemple de operatori de interpolare pe tetraedru

Consideram tetraedrul

T =

(x, y, z) ∈ R3 |x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ h, h > 0

,

si f : T → R.

Metoda 1: Gasim polinomul P , de 3 variabile, care interpoleaza

functia f pe varfurile Vi ale tetraedrului,

P(Vi) = f(Vi), i = 1, ...,4. (46)

Avem 4 conditii, deci consideram un polinom de forma:

P(x, y, z) = Ax + By + Cz + D,

cu A, B, C, D ∈ R, obtinuti din (46). Se obtine sistemul

D = f(0, 0,0)

Ah + D = f(h,0,0)

Bh + D = f(0, h,0)

Ch + D = f(0,0, h),

de unde solutia este:

P(x, y, z) = h−x−y−zh f(0,0,0)+x

hf(h,0,0)+yhf(0, h,0)+z

hf(0, 0, h).

(47)


P(0,0,0) = f(0, 0,0)

P(h,0,0) = f(h, 0,0)

P(0, h,0) = f(0, h,0)

P(0,0, h) = f(0, 0, h).

Metoda 2: Fie P1 operatorul Lagrange corespunzator nodurilor

0 si h− y − z, (cu y si z fixate):

(P1f)(x, y, z) = x+y+z−hy+z−h f(0, y, z) + x

h−y−zf(h− y − z, y, z).

Similar, consideram operatorul Lagrange P2, corespunzator nodurilor

0 si h− x− z, (cu x si z fixate),

(P2f)(x, y, z) = x+y+z−hx+z−h f(x,0, z) + y

h−x−zf(x, h− x− z, z),

resp. P3, corespunzator nodurilor (x+y + z,0,0), (0, x+y + z,0)

si (0,0, x + y + z):

(P3f)(x, y, z) = xx+y+zf(x + y + z,0,0) + y

x+y+zf(0, x + y + z,0)

+ zx+y+zf(0, 0, x + y + z).

Se obtine

(P1P2P3f)(x, y, z) =h−x−y−zh f(0, 0,0) + x

hf(h,0,0) + yhf(0, y,0)

+ zhf(0,0, h),

care coincide cu P din (47).

P1P2P3 interpoleaza f pe varfurile tetraedrului T .

Formula de interpolare:

f = P1P2P3f + RPf,

cu

(RPf)(x, y, z) = (R1 ⊕R2 ⊕R3f)(x, y, z), si

f(x, y, z) = (Pif)(x, y, z) + (Rif)(x, y, z), i = 1,2,3.

Fie f : T → R, care admite derivatele f(1,0,0)(0,0, z) pt. z ∈ [0, h]

si f(0,1,0)(0, h,0).

Fie Q1 operatorul ce interpoleaza f(h−y−z, y, z) si f(1,0,0)(0, y,0),

y, z ∈ [0, h] iar Q2 operatorul ce interpoleaza f(x,0, z) si f(x, h−

x− z, z), x, z ∈ [0, h]. Avem

(Q1f)(x, y, z) = f(h− y − z, y, z) + (x + y + z − h)f(1,0,0)(0, y,0)

(Q2f)(x, y, z) = h−x−y−zh−x−z f(x,0, z) + y

h−x−zf(x, h− x− z, z).

Se obtine ca (Sf)(x, y, z) := (Q1⊕Q2f)(x, y, z) satisface conditiile

de interpolare:

(Sf)(x,0,0) = f(x,0,0), x ∈ [0, h]; (48)

(Sf)(1,0,0)(0,0, z) = f(1,0,0)(0,0, z), z ∈ [0, h];

(Sf)(x, y, h− x− y) = f(x, y, h− x− y), x, y ∈ [0, h];

(Sf)(x, h− x− z, z) = f(x, h− x− z, z), x, z ∈ [0, h];

(Sf)(h− y − z, y, z) = f(h− y − z, y, z), y, z ∈ [0, h].

Deci Sf interpoleaza functia f si derivate ale ei pe laturile tetrae-

drului.

Formula de interpolare f = Sf + RSf, cu RSf termenul rest.

Avem Sp = p, ∀ p ∈ P32, deci Ker(RS) = P3

2. Restul se gaseste

folosind Teorema lui Peano pentru m = 3.

3.5. Exemple de operatori de interpolare pe tetraedru cu

trei laturi curbe

Consideram tetraedrul Th cu varfurile V0 = (0,0,0), V1 = (h,0,0),

V2 = (0, h,0) si V3 = (0,0, h), si trei laturi drepte τ1, τ2, τ3 pe

axe, si trei laturi curbe σ1, σ2, σ3 (opuse lui V0), definite, resp.,

prin functiile fi si gi, unde gi este inversa lui fi, (y = fi(x) si

x = gi(y), x, y ∈ [0, h], i = 1,3 ).

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

Figura 1: Tetraedrul Th.

Fie functia F : Th → R.

Operatori de tip Lagrange

A. Consideram

(Q1F)(x, y, z) =[

1− yf1(x)

− zg2(x)

]

F(x,0,0) + yf1(x)

F(x, f1(x),0)

(49)

+ zg2(x)

F(x,0, g2(x)),

(Q2F)(x, y, z) =[

1− xg1(y)

− zf3(y)

]

F(0, y,0) + xg1(y)

F(g1(y), y,0)

+ zf3(y)

F(0, y, f3(y)),

(Q3F)(x, y, z) =[

1− xf2(z)

− yg3(z)

]

F(0,0, z) + xf2(z)

F(f2(z),0, z)

+ yg3(z)

F(0, g3(z), z).

Teorema 37 Daca F : Th → R atunci avem:

1) proprietatile de interpolare:

Q1F = F, pe τ1 ∪ σ1 ∪ σ2,Q2F = F, pe τ2 ∪ σ1 ∪ σ3,Q3f = F, pe τ3 ∪ σ2 ∪ σ3.

2)

dex(Qi) = 1, i = 1,3, (50)

pres(Q1) = 1, x, z, yj, j ∈ N∗,

pres(Q2) = 1, y, z, xi, i ∈ N∗,

pres(Q3) = 1, x, y, zk, k ∈ N∗.

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

Figura 2: Domeniile de interpolare pentru Qi, i = 1,3.

B. Fie Qij produsul operatorilor Qi si Qj, adica Qij = QiQj,

i, j = 1,3, i 6= j, i < j. Avem proprietatile de interpolare:

Q12F = F, pe σ1 ∪ V0, V3 ,Q13F = F, pe σ2 ∪ V0, V2 ,Q23F = F pe σ3 ∪ V0, V1 ,

si

dex(Qij) = 1, i, j = 1,3; i 6= j, i < j,

pres(Qij) = 1, x, y, z .

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

Figure 3: Domeniile de interpolare pt. Q12, Q13, Q23.

C. Consideram produsul Qijk = QiQjQk, i, j, k = 1,3, i, j, k dis-

tincte. De exemplu,

(Q123F) (x, y, z) =h− x− y − z

hF(0,0,0) +

x

hF(h,0,0)

+y

hF(0, h,0) +

z

hF(0, 0, h).

Se verifica ca:

1) (Q123F) (Vi) = F (Vi) , i = 0,3.

2) dex(Q123) = 1 si pres(Q123) = 1, x, y, z .

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

Figura 4: Domeniul de interpolare pt. Q123.

D. Fie Sij = Qi ⊕ Qj = Qi + Qj − QiQj, i, j = 1,3; i 6= j. Avem

propritatile de interpolare:

S12F = F, on τ1 ∪ τ2 ∪ σ1 ∪ σ2 ∪ σ3,

S23F = F, on τ1 ∪ τ3 ∪ σ1 ∪ σ2 ∪ σ3,

S13F = F, on τ2 ∪ τ3 ∪ σ1 ∪ σ2 ∪ σ3;

si

dex(Sij) = 1, i, j = 1,3, i 6= j,

pres(S12) = 1, xi, y, z, xiy, xiz, i ∈ N∗,

pres(S23) = 1, x, yj, z, xyj, yjz, j ∈ N∗,

pres(S13) = 1, x, y, zk, xzk, yzk, k ∈ N∗.

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

τ1

V0

τ3

τ2

V1

V2

V3

σ1

σ3

σ2

Figura 5: Domeniile de interpolare pt. S12,S23, S13.

E. Pentru S123 = Q1 ⊕ Q2 ⊕ Q3, se obtin proprietatile de inter-polare:

S123F = F, pe ∂Th.

si

dex(S123) = 1,

pres(S123) = 1, x, y, z.

CURS 9

Cap. 4. Interpolare pe un domeniu arbitrar

4.1. Generalizari ale formulei lui Lagrange

Fie F multimea functiilor definite pe D ⊆ R2, si fie multimea de

noduri Π = (xi, yi) ∈ D : i = 0, . . . , N. Consideram functionalele

Lagrange:

Λ(f) = λi(f) | λi(f) = f(xi, yi), i = 0, . . . , N.

Problema: a se determina functia g ∈ F astfel ıncat λi(g) = λi(f),

i = 0, ..., N.

Daca D este dreptunghi, D = [a, b]× [c, d], si Π0 = (xi, yj) ∈ D :

i = 0, . . . , m, j = 0, . . . , n atunci avem o problema de interpolare

pe domeniu rectangular.

Interpolantul se gaseste ca produs tensorial al operatorilor La-

grange de interpolare relativi la nodurile x0, . . . , xm, si respectiv

y0, . . . , yn.

Fie Lxm operatorul Lagrange de interpolare relativ la nodurile

x0, . . . , xm, adica

(Lxmf)(x, y) =

m∑

i=0

u(x)(x−xi)u′(xi)

f (xi, y) ,

cu

u (x) = (x− x0) . . . (x− xm),

si fie Lyn operatorul Lagrange de interpolare relativ la nodurile

y0, . . . , yn, adica

(Lynf)(x, y) =

n∑

j=0

v(y)(y−yj)v′(yj)

f(

x, yj

)

,

cu

v(y) = (y − y0) . . . (y − yn).

Produsul tensorial este

(LxmLy

nf) (x, y) =m∑

i=0

n∑

j=0


v(y)(y−yj)v′(yj)

f(

xi, yj

)

. (51)

Se obtine formula de interpolare Lagrange:

f = LxmLy

nf + Rf, (52)

cu restul

(Rf)(x, y) = (Rxm ⊕Ry

nf) (x, y)

unde

(Rxmf) (x, y) = u (x) [x, x0, . . . , xm; f (·, y)]

(Rynf)(x, y) = v (y) [y, y0, . . . , yn; f (x, ·)] .

O prima generalizare a formulei (52) a fost data de J.F. Stef-

fensen, anume formula de interpolare:

f = P1f + R1f, (53)

unde

(P1f) (x, y) =m∑

i=0

ni∑

j=0


vi(y)(y−yj)v′i(yj)

f(

xi, yj

)

,

si

(R1f) (x, y) =u (x) [x, x0, . . . , xm; f (·, y)]

+m∑

i=0

u(x)vi(y)(x−xi)u′(xi)

[

y, y0, . . . , yni; f (xi, ·)]

,

cu vi (y) = (y − y0) . . .(

y − yni

)

.

Polinomul P1f interpoleaza functia f pe multimea

Π1 =(

xi, yj

)

∈ D| i = 0,1, . . . , m; j = 0,1, . . . , ni, ni ∈ N

.

Observatia 38 Formula lui Steffensen (53) nu rezolva problema

generala de interpolare.

A doua generalizare a formulei lui Lagrange(52), care este si

o extensie a formulei lui Steffensen (53), a fost data de D.D.

Stancu ın 1964:

f = P2f + R2f, (54)

cu

(P2f) (x, y) =m∑

i=0

ni∑

j=0


vi(y)(y−yi,j)v′i(yi,j)

f(

xi, yi,j

)

, (55)

si

(R2f) (x, y) =u (x) [x, x0, . . . , xm; f (·, y)] (56)

+m∑

i=0

u(x)vi(y)(x−xi)u′(xi)

[

y, yi,0, . . . , yi,ni; f (xi, ·)

]

,

cu vi (y) =(

y − yi,0

)

. . .(

y − yi,ni

)

.

Polinomul P2f interpoleaza functia f pe multimea

Π2 =(

xi, yi,j

)

| j = 0,1, . . . , ni, i = 0,1, . . . , m

.

Observatia 39 Formula (54) este solutia problemei generale de

interpolare.

Fie Zk ⊂ Π multimea nodurilor (xi, yi), i = 1, N cu aceeasi abscisa

xk, adica, Zk = (xk, ykj) | j = 0, nk, k = 0,1, . . . , m. Avem

Zi 6= Zj, pt. i 6= j. Daca numarul punctelor multimii Π ale caror

abscise difera 2 cate 2 este m+1 atunci Π = Z0∪ · · · ∪Zm = Π2.

Formula (54) se obtine folosind 2 nivele de aproximare. Pornim

de la formula de interpolare Lagrange pe x0, ..., xm :

f (x, y) =m∑

i=0


f (xi, y) + (Rxmf) (x, y) . (57)

Apoi, pentru fiecare i = 0,1, . . . , m folosim formula de interpolare

f (xi, y) =(

Lyni

f)

(xi, y) +(

Ryni

f)

(xi, y) ,

unde Lyni este operatorul Lagrange relativ la nodurile yi0, . . . , yin,

si Ryni este operatorul rest corespunzator. Tinand cont de faptul

ca

(

Lyni

f)

(xi, y) =ni∑

j=0

vi(y)(y−yi,j)v′j(yi,j)

f(

xi, yi,j

)

,

formula (57) devine

f (x, y) =m∑

i=0


[(

Lyni

f)

(xi, y) +(

Ryni

f)

(xi, y)]

+ (Rxmf) (x, y)

=m∑

i=0

ni∑

j=0


vi(y)(y−yi,j)v′i(yi,j)

f(

xi, yi,j

)

+ (R2f) (x, y) ,

cu

(R2f) (x, y) = (Rxmf) (x, y) +

m∑

i=0


(

Ryni

f)

(xi, y) .

Observatia 40 Se pot utiliza si alti operatori de interpolare ın

locul operatorilor Lagrange Lxm si L

yni.

4.2 Interpolare Shepard

4.2.1. Interpolare Shepard unidimensionala

Fie functia f : X → R, cu X ⊂ R si xi ∈ X, i = 0, . . . , N distincte.

Operatorul Shepard unidimensional S0 este definit prin

(S0f) (x) =N∑

i=0

Ai (x) f (xi) , (58)

unde

Ai (x) =

N∏

j=0, j 6=i

∣

∣

∣x− xj

∣

∣

∣

µ

N∑

k=0

N∏

j=0, j 6=k

∣

∣

∣x− xj

∣

∣

∣

µ, i = 0, . . . , N (59)

cu µ ∈ R+. Functiile Ai, i = 0, . . . , N, pot fi scrise si sub forma

baricentrica

Ai (x) =|x− xi|

−µ

n∑

k=0|x− xk|

−µ, i = 0, . . . , N.

Se verifica ca

Ai

(

xj

)

= δij, i, j = 0, . . . , N, (60)

si

N∑

i=0

Ai (x) = 1. (61)

Proprietatile de baza:

1. proprietatea de interpolare

(S0f) (xi) = f (xi) , i = 0, . . . , N ;

2. gradul de exactitate este

dex (S0) = 0.

Extinderile lui S0 au urmarit cresterea gradului de exactitate si

folosirea altor tipuri de functionale.

In definirea lui S0 s-au folosit functionale de tip Lagrange.

Una dintre cele mai eficiente cai de generalizare-combinarea lui

S0 cu alti operatori de interpolare.

Fie

Λ := λi | i = 0, . . . , N

o multime de functionale si operatorul de interpolare corespunzator

P . Se considera Λi ⊂ Λ asociate respectiv functionalelor λi,

i = 0, . . . , N, astfel ıncat

N⋃

i=0

Λi = Λ si Λi ∩ Λj 6= ∅,

cu exceptia cazului ın care

Λi = λi , i = 0, . . . , N,

cand

Λi ∩ Λj = ∅, pentru i 6= j.

Fiecarei submultimi Λi i se asociaza operatorul de interpolare Pi,

i = 0, . . . , N, corespunzator.

Operatorul SP definit prin

(SPf) (x) =N∑

i=1

Ai (x) (Pif) (x) (62)

este operatorul combinat al operatorilor S0 si P .

Observatia 41 Daca Pi, i = 0, . . . , N sunt operatori liniari, atunci

operatorul SP este liniar.

Teorema 42 Fie Pi, i = 0, . . . , N operatori liniari oarecare. Daca

dex (Pi) = ri, i = 0, . . . , N,

atunci

dex (SP ) = min r0, . . . , rN .

Observatia 43 Pi pot fi operatori Taylor, Lagrange, Hermite,

Birkhoff, spline, etc. atasati unor submultimi a multimii nodurilor

de interpolare.

Observatia 44 Forma functiei S0f ın vecinatatea nodurilor de-

pinde de µ. Daca 0 < µ ≤ 1 atunci S0f este ascutita ın noduri.

Pentru µ > 1 functia S0f devine neteda ın noduri si pentru µ

suficient de mare S0f devine o functie ın scara.

Exemplul 45 Fie f : [−2,2]→ R,

f(x) =1

1 + x2

si xi = −2 + 0.5i, i = 0, . . . ,8. Graficul lui f si a lui S0f pentru

µ = 1,2,20.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Functia f.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S0f, pentru

µ = 1.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S0f, pentru

µ = 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S0f, pentru

µ = 20.

Formula de interpolare Shepard este

f = S0f + R0f,

unde R0f este termenul rest.

Teorema 46 Daca f ∈ H[a, b] atunci

(R0f)(x) =

∫ b

aK(x, s)f ′(s)ds, (63)

cu

K(x, s) = (x− s)0+ −N∑

i=0

Ai(x)(xi − s)0+.

Demonstratia. Se aplica Teorema lui Peano tinand cont ca

dex (S0) = 0, deci m = 1.

Avem

(R0f)(x) =

∫ b

aK(x, s)f ′(s)ds, (64)

cu

K(x, s) = R0[(x− s)0+] = (x− s)0+ −N∑

i=0

Ai(x)(xi − s)0+.

4.2.2. Interpolare Shepard bidimensionala

Fie Ω ⊂ R2 un domeniu arbitrar, f : Ω→ R si mutimea de noduri

Z = zi | zi = (xi, yi), i = 1, ..., N. In 1968, D. Shepard a

introdus un proces de interpolare unde functiile fundamentale

de interpolare pe z := (x, y) se definesc folosind distanta de la

punctul z la nodurile (xi, yi), i = 1, ..., N.

Operatorul Shepard de 2 variabile, S0, se defineste prin:

(S0f)(x, y) =N∑

i=1

Ai(x, y)f(xi, yi), (65)

unde

Ai (x, y) =

N∏

j=1j 6=i

dµj (x, y)

N∑

k=1

N∏

j=1j 6=k

dµj (x, y)

, (66)

cu µ ∈ R+ si d este o metrica pe R2. De obicei,

dj(x, y) =√

(x− xj)2 + (y − yj)

2.

Functiile Ai, i = 1, ..., N, se pot scrie:

Ai(x, y) =

1

dµi (x, y)

N∑

j=1

1

dµj (x, y)

.

Se verifica ca

Ai(xj, yj) =

0, j 6= i,1, j = i,

(67)

si

N∑

i=1

Ai(x, y) = 1 (68)

Proprietati.

1) Proprietatea de interpolare:

(S0f)(xi, yi) = f(xi, yi), i = 1, ..., N.

2) Reproduce numai constantele, adica:

dex(S0) = 0.

3)

mini=1,...,N

f(xi, yi) ≤ (S0f)(x, y) ≤ maxi=1,...,N

f(xi, yi).

Aceste proprietati rezulta din (75) si (68).

Observatia 47 Cum Ai(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ Ω, rezulta ca S0 este

un operator pozitiv.

Observatia 48 Operatorul S0 este liniar.

Observatia 49 Exponentul µ ∈ R+ se alege arbitrar. Daca 0 ≤

µ ≤ 1 functia S0f e ascutita ın noduri, pentru µ > 1 este neteda

ın noduri si pentru µ suficient de mare S0f devine o functie ın

scara.

Exemplul 50 Fie f : [−1,1]× [−1,1]→ R,

f(x, y) = −(x2 + y2)

si nodurile z1 = (−1,−1), z2 = (−1,1), z3 = (1,−1), z4 =

(1,1), z5 = (−0.5,−0.5), z6 = (−0.5,0.5), z7 = (0.5,−0.5), z8 =

(0.5,0.5), z9 = (0,0). Reprezentam S0f , pentru µ = 1,2,20.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.8−0.6−0.4−0.200.20.40.60.81−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Functia f.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

1−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

S0f pentru

µ = 1.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

1−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

S0f pentru

µ = 2.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−2

−1.5

−1

−0.5

0

S0f pentru

µ = 20.

CURS 10

4.2.2. Interpolare Shepard bidimensionala

Operatorul Shepard-Lagrange bidimensional

Fie multimea de functionale Lagrange:

Λ := ΛL = λi |λi(f) = f(xi, yi), i = 1, . . . , N .

Fie Lif polinomul de interpolare Lagrange de 2 variabile de grad

n, care interpoleaza functia f pe multimea

Zm,i :=

zi, zi+1, . . . , zi+m−1

, i = 1, . . . , N , m < N (69)

cu zN+i = zi, i = 1, . . . , m − 1 si m := (n + 1)(n + 2)/2 fiind

numarul coeficientilor unui polinom de 2 variabile de grad n,

Pn(x, y) =∑

i+j≤n

aijxiyj.

Teorema 51 Fie zi := (xi, yi), i = 1, . . . , (n+1)(n+2)/2 puncte

din plan care nu se afla pe aceeasi curba algebrica de grad n

(∑

i+j≤naijx

iyj = 0). Atunci, pentru orice functie f definita pe

punctele zi, i = 1, . . . , (n + 1)(n + 2)/2, exista un polinom unic

Qn, de grad n, care interpoleaza functia f pe zi, adica,

Qn(xi, yi) = f(xi, yi), i = 1, . . . , (n + 1)(n + 2)/2.

Deci, daca punctele multimii (69) nu se afla pe o curba algebrica

de grad n, atunci Lni exista si este unic, pentru i = 1, . . . , N .

Avem

(Lni f)(x, y) =

i+m−1∑

k=i

lk(x, y)f(xk, yk), i = 1, . . . , N,

unde lk sunt polinoamele fundamentale,

lk(xj, yj) = δkj, k, j = i, . . . , i + m− 1. (70)

Avem

(Lni f)(xk, yk) = f(xk, yk), k = i, . . . , i + m− 1. (71)

si

dex(Lni ) = n, i = 1, . . . , N. (72)

Definitia 52 Operatorul Shepard-Lagrange, SLn , este dat prin

(SLnf)(x, y) =

N∑

i=1

Ai(x, y)(Lni f)(x, y). (73)

Observatia 53 Operatorul combinat SLn este liniar.

Teorema 54 Operatorul combinat SLn are urmatoarele proprietati

de interpolare:

(SLnf)(xj, yj) = f(xj, yj), j = 1, . . . , N. (74)

Demonstratia. Din (71) rezulta

(SLnf)(xj, yj) =

N∑

i=1

Ai(xj, yj)(Lni f)(xj, yj) =

N∑

i=1

Ai(xj, yj)f(xj, yj)

si

Ai(xj, yj) =

0, j 6= i,1, j = i,

(75)

implica (74).

Teorema 55 Operatorul SLn are gradul de exactitate

dex(SLn ) = n.

Demonstratia. Avem

(SLnekj)(x, y) =

N∑

i=1

Ai(x, y)(Lni ekj)(x, y), k + j ≤ n

si din (72) rezulta ca

(SLnekj)(x, y) =

N∑

i=1

Ai(x, y)ekj(x, y) = ekj(x, y)N∑

i=1

Ai(x, y),

si cum

N∑

i=1

Ai(x, y) = 1

rezulta

(SLnekj)(x, y) = ekj(x, y), k + j ≤ n.

Deci dex(SLn ) ≥ n.

Deorece dex(Lni ) = n rezulta ca exista (p, q) ∈ N2, cu p + q =

n+1 astfel ıncat Lni epq 6= epq, de unde rezulta SL

nepq 6= epq, adica

dex(SLn ) = n.

Observatia 56 Functiile SLnf si S0f folosesc aceleasi informatii

relative la f (f(xi, yi), i = 1, . . . , N), dar dex(SLn ) = n, iar dex(S0) =

0.

Caz Particular. n = 1 Avem

(SL1 f)(x, y) =

N∑

i=1

Ai(x, y)(L1i f)(x, y),

unde

(L1i f)(x, y) = li(x, y)f(xi, yi)+li+1(x, y)f(xi+1, yi+1)+li+2(x, y)f(xi+2, yi+2),

pentru i = 1, . . . , N (zN+1 := z1, zN+2 := z2).

li, li+1 si li+2 se obtin din (70).

O extindere a operatorului Shepard-Lagrange SLn se obtine daca

Lif sunt de grade diferite, ni, i = 1, . . . , N, astfel ıncat (ni +

1)(ni + 2)/2 < N .

Fie

Zmi,i :=

zi, zi+1, . . . , zi+mi−1

, i = 1, . . . , N ,

multimi de mi noduri de interpolare, cu mi = (ni +1)(ni +2)/2.

Se construiesc operatorii Lagrange corespunzatori Lnii , i = 1, . . . , N .

Definitia 57 Operatorul SLn1,...,nN

definit prin

(SLn1,...,nN

f)(x, y) =N∑

i=1

Ai(x, y)(Lnii f)(x, y) (76)

se numeste operator general Shepard-Lagrange.

Observatia 58 Pentru n1 = · · · = nN = n operatorul SLn1,...,nN

devine SLn .

Teorema 59 Avem

(SLn1,...,nN

f)(xi, yi) = f(xi, yi), i = 1, . . . , N

si

dex(SLn1,...,nN

) = minn1, . . . , nN.

Exemplul 60 Consideram f : [−1,1]× [−1,1]→ R,

f(x, y) = −(x2 + y2)

si reprezentam SL1 f, µ = 1;2.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

SL1 f pentru

µ = 1.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

SL1 f pentru

µ = 2.

Operatorul Shepard-Hermite bidimensional

Consideram domeniul arbitrar X ⊂ R2, f : X → R si nodurile

de interpolare Z = zk | zk = (xk, yk) ∈ X, k = 1, ..., N. Fie

multimea de functionale Hermite:

ΛH(f) =

λk | λkf = f(p,q)(zk), (p, q) ∈ N2, p + q ≤ m, k = 1, . . . , N

,

Pentru νk ∈ N∗, νk < N consideram submultimea

ΛH,νk(f) :=λk+j | λk+jf = f(p,q)(zk+j), (p, q) ∈ N

2, p + q ≤ m,

j = 0,1, . . . , νk − 1

cu zN+i = zi, i ∈ N∗.

Daca∣

∣

∣ΛH,νk(f)

∣

∣

∣ = m fie Hnk operatorul Hermite corespunzator

multimii ΛH,νk(f), k = 1, . . . , N, cu n astfel ıncat m = (n+1)(n+

2)/2.

Definitia 61 Daca Hnk , k = 1, . . . , N exista atunci operatorul SH

n

definit prin

(SHn f)(x, y) =

N∑

k=1

Ak(x, y)(Hnk f)(x, y)

se numeste operatorul Shepard-Hermite bidimensional.

Observatia 62 SHn este liniar.

Teorema 63 Pentru µ > m avem

(SHn f)(p,q)(xk, yk) = f(p,q)(xk, yk), p + q ≤ m, k = 1, . . . , N,

(77)

si

dex(SHn ) = n. (78)

Demonstratia. Relatiile (77) rezulta din proprietatea de cardi-

nalitate a lui Ak, tinand cont de proprietatile interpolatoare ale

lui Hnk f, k = 1, ..., N.

Din dex(Hnk ) = n ⇒ (78).

Observatia 64 O extindere a lui SHn se obtine daca Hn

k f sunt

de grade diferite, nk, k = 1, . . . , N.

Observatia 65 Daca νk = 1, k = 1, . . . , N, atunci SHn devine

operatorul Shepard-Taylor bidimensional STn .

Exemplul 66 Consideram g : [−2,2]× [−2,2]→ R,

g(x, y) = xe−(x2+y2),

si 10 noduri aleatoare. Reprezentam SH2 g, µ = 1;2.

−2 −1 0 1 2

−2−1012−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Functia g.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

SH2 f pt.

µ = 1.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

SH2 pt.

µ = 2.

CURS 11

Operatorul Shepard-Birkhoff bidimensional

Consideram domeniul arbitrar X ⊂ R2, f : X → R si nodurile de

interpolare Z = zi | zi = (xi, yi) ∈ X, i = 1, ..., N. Fie multimea

de functionale Birkhoff:

ΛB(f) =

λk | λkf = f(p,q)(zk), (p, q) ∈ Ik ⊂ N2, k = 1, . . . , N

.

Pentru νk ∈ N∗, νk < N consideram submultimea

ΛB,νk(f) =

λk+j ∈ ΛB

∣

∣

∣(p, q) ∈ Ik+j, j = 0,1, . . . , νk − 1

, (79)

cu zN+i = zi, i ∈ N∗.

Fie Bnk f polinomul Birkhoff corespunzator multimii ΛB,νk

(f), k =

1, . . . , N, cu n astfel ıncat∣

∣

∣ΛB,νk(f)

∣

∣

∣ = m := (n + 1)(n + 2)/2.

Definitia 67 Daca Bnk , k = 1, . . . , N exista atunci exista opera-

torul SBn definit prin

(SBn f)(x, y) =

N∑

k=1

Ak(x, y)(Bnk f)(x, y), (80)

si acesta se numeste operatorul Shepard-Birkhoff bidimensional.

Observatia 68 SBn este liniar.

Teorema 69 Pentru µ > max(p + q), (p, q) ∈ Ik avem

(SBn f)(p,q)(xk, yk) = f(p,q)(xk, yk), (p, q) ∈ Ik, k = 1, . . . , N (81)

si

dex(SBn ) = n. (82)

Demonstratia. Relatiile (81) rezulta din proprietatea de cardi-nalitate a lui Ak, tinand cont de proprietatile interpolatoare alelui Bn

kf, k = 1, ..., N.

Relatia (82) rezulta din faptul ca dex(Bnk ) = n.

Observatia 70 O extindere a lui SBn se obtine daca Bn

kf sunt de

grade diferite, nk, k = 1, . . . , N.

Exemplul 71 g si 10 noduri aleatoare. Reprezentam SB2 g, µ =

1;2; 20.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

0

2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

SB2 f pt

µ = 1.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

SB2 f pt

µ = 2.

−2

−1

0

1

2

−2−1

01

2−3

−2

−1

0

1

2

3

SB2 f pt

µ = 20.

Neajunsurile interpolarii Shepard sunt:

• cost computational ridicat;

• grad mic de exactitate.

Exista 2 modalitati de diminuare a acestor neajunsuri:

⋆ Cresterea gradului de exactitate si utilizarea altor tipuri de

functionale prin combinarea cu alti operatori de interpolare.

⋆ Modificarea functiei de baza.

Functia Shepard are proprietatea ca are denivelari ın fiecare nod

si acuratetea ei scade ın zonele ın care nodurile sunt rare. Acest

fenomen se diminueaza prin modificarea functiei de baza de ex-

emplu, folosind versiunea locala a formulei Shepard formula, in-

trodusa de Franke and Nielson ın 1980. In acest caz operatorul

Shepard operator este de forma:

(Swf) (x, y) =

N∑

i=0Wi (x, y) f (xi, yi)

N∑

i=0Wi (x, y)

, (83)

cu

Wi (x, y) =

[

(Rw − ri)+

Rwri

]2

, (84)

unde

ri(x, y) =

√

(x− xi)2 + (y − yi)

2

si Rw este o raza de influenta a nodului (xi, yi). Aceasta este

distanta de la al i-lea nod la al j-lea cel mai apropiat nod de

(xi, yi), pt. j > Nw (Nw o valoare fixata) si j cel mai mic posibil.

Observatia 72 Metoda de interpolare Shepard modificata este

unul dintre cele mai puternice procedee de interpolare multidi-

mensionala a datelor arbitare.

Exemplul 73 Consideram functiile:

Gentle

f1(x, y) = exp[−8116((x− 0.5)2 + (y − 0.5)2)]/3,

Sphere

f2(x, y) =√

64− 81((x− 0.5)2 + (y − 0.5)2)/9− 0.5.

Reprezentam grafic fi, S0fi si Swf, considerand 10 noduri aleatoare

ın [0,2]× [0,2].

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.05

0.1

0.15

0.2

0.25

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

4.3. Interpolare prin functii radiale

O metoda moderna si foarte eficienta de interpolare pe un dome-

niu arbitrar.

Consideram functia f ∈ C(Ω), Ω ⊆ Rn. In aplicatiile practice nu

este data expresia functiei f ci doar valorile ei pe o multime finita

de noduri.

Consideram multimea X = x1, ..., xM de noduri din Ω ⊆ Rn

(multimi mari), si valorile f1, ..., fM ce reprezinta valorile aproxi-

mative ale lui f pe nodurile date.

Problema: sa se gaseasca interpolantul lui f bazandu-ne pe

informatiile date.

Se alege ca interpolant pentru f o functie de forma:

sf,X(x) =M∑

j=1αjΦ(x, xj), (85)

cu αj ∈ R, j = 1, ..., M si functia Φ : Ω×Ω→ R fixata.

Functia Φ se alege astfel ıncat:

φ : Rn → R, Φ(x, y) = φ(x− y) (invarianta la translatii)

si, mai mult, daca este si invarianta la rotatii (radiala), se obtin

functii radiale (radial basis functions):

φ : R+ → R, Φ(x, y) = φ(‖x− y‖2).

Conditiile de interpolare care trebuie ındeplinite sunt:

sf,X(xk) = fk, k = 1, ..., M, (86)

care conduc la sistemul liniar

M∑

j=1αjΦ(xk, xj) = fk, k = 1, ..., M, (87)

notat pe scurt

Aα = f,

cu A = (Φ(xk, xj))1≤j,k≤M . Acest sistem are solutie unica daca

matricea A nu este singulara.

Functiile radiale se clasifica folosind conceptul de functii (condi-

tional) pozitiv definite.

Definitia 74 O functie Φ : Ω × Ω → R este pozitiv definita

pe Ω, daca si numai daca pentru orice alegere a submultimilor

X = x1, ..., xM ⊆ Ω ale lui M , matricea

A = (Φ(xk, xj))1≤j,k≤M

este pozitiv definita.

Definitia 75 Matricea A ∈ Cn×n se numeste pozitiv definita

daca

xtAx > 0, ∀x = (x1, ..., xn)t ∈ C

n, x 6= 0.

Definitia 76 O functie continua Φ : Ω×Ω→ C este conditional

pozitiv (semi-)definita de ordin m pe Ω daca pentru M ∈ N,

x1, . . . , xM ∈ Ω si α = (α1, . . . , αM) ∈ CM\0 satisfacand

M∑

j=1αjp(xj) = 0, ∀p ∈ Pm(R),

forma patratica

M∑

j=1

M∑

k=1αjαkΦ(xj, xk)

este pozitiva (nenegativa).

Functia Φ este pozitiv definita daca este conditional pozitiv

definita de ordin m = 0.

Exemple de functii radiale care sunt pozitiv definite (m = 0):

φ(r) = e−βr2, β > 0 (Gaussian)

φ(r) = (c2 + r2)β/2, β < 0 (inverse multiquadric)

φ(r) = (1− r)4+(1 + 4r), (Wendland)

si exemple de functii radiale conditional pozitiv definite de ordin

m:

φ(r) = rβ, β > 0, β /∈ 2N; m ≥ [β/2]

φ(r) = rβ log r, β ∈ 2N (thin-plate splines); m > β/2

φ(r) = (c2 + r2)β/2, β > 0, β /∈ 2N (multiquadric); m ≥ [β/2].

Exemplul 77 Consideram f : [−2,2]× [−2,2]→ R,

f(x) = −(x2 + y2),

si nodurile de interpolare (xi, yj), cu xi = −2 + 0.5i si yj = −2 +

0.5j, i, j = 0, . . . ,8.

Consideram functia radiala multicuadrica, care interpoleaza f ,

de forma

s1(x, y) =n∑

j=1

αj[(x− xj)2 + (y − yj)

2 + 1]1/2,

cu c = 1, r =√

(x− xj)2 + (y − yj)

2 si αj, j = 1, n se gasesc

rezolvand sistemul liniar:

n∑

j=1

αj[(xi − xj)2 + (yi − yj)

2 + 1]1/2 = f(xi, yi), 1 ≤ i ≤ n.

(C.A. Micchelli a demonstrat ca matricea coeficientilor acestui

sistem este nesingulara).

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Function

f.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Function

s1.

Exemplul 78 Interpolantul thin-plate spline pentru f este:

s2(x, y) =n∑

j=1

αj[(x− xj)2 + (y − yj)

2] ln√

[(x− xj)2 + (y − yj)

2].

Desenam s2 si eroarea de interpolare.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2−1

01

2−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Function

s2.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

The error

for interpo-

lation by

s2.

5. Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale

Consideram ca model problema lui Cauchy relativa la o ecuatie

diferentiala de ordinul ıntai:

y′ = f(x, y) (88)

y(x0) = y0

unde functia f este definita pe dreptunghiul D = (x, y) ∈ R2 |

|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b cu a, b ∈ R+ si satisface conditiile

necesare de continuitate si derivabilitate.

Fie y = y(x), x ∈ I ⊂ [x0− a, x0 + a], o solutie a problemei (88).

Metodele de aproximare a lui z pot fi grupate ın doua clase:

metode analitice - cand aproximatia este data printr-o expresie

analitica, deci pe fiecare punct x ∈ [x0 − a, x0 + a] si metode

discrete - cand solutia este aproximata pe o multime discreta

de puncte din intervalul considerat. Acestea din urma pot fi cu

un pas sau cu mai multi pasi ın functie de numarul valorilor de

pornire.

Vom prezenta metoda interpolarii Taylor din prima clasa si a

unor metode, mai mult utilizate, din clasa metodelor discrete.

5.1. Metoda interpolarii Taylor

Din clasa metodelor analitice.

Fie f ∈ Cp(D) si y solutia problemei (88). Atasam functiei y

(care ın conditia impusa lui f exista pe un interval I ⊂ [x0 − a, x0 + a] ,

este unica si y ∈ Cp+1(I)) si punctului x0 formula de interpolare

Taylor:

y = Tpy + Rpy,

cu

(Tpy)(x) = y(x0) +x− x0

1!y′(x0) + ... +

(x− x0)p

p!y(p)(x0),

iar termenul rest Rpy poate fi scris sub forma

(Rpy)(x) =(x− x0)

p+1

(p + 1)!y(p+1)(x0 + θ(x− x0)), 0 < θ < 1. (89)

Prin urmare, functia y poate fi aproximata pe intervalul I prin

polinomul lui Taylor Tpy. In acest polinom cunoastem ınsa numai

valorile y(x0) = y0 si y′(x0) = f(x0, y0). Ramane sa determinam

valorile y(k)(x0), k = 2, ..., p. Folosim ecuatia (88) si obtinem

y′′ =∂f

∂x+

∂f

∂yy′

y′′′ =∂2f

∂x2+ 2

∂2f

∂x∂yy′+

∂2f

∂y2y′2 +

∂f

∂yy′′

y(4) =∂3f

∂x3+

∂3f

∂x2∂yy′+ 3

∂3f

∂x∂y2y′2 +

∂3f

∂y3y′3 + 3

∂2f

∂x∂yy′′+

+ 3∂2f

∂y2y′y′′+

∂f

∂yy′′′,

si asa mai departe. Luand valorile acestor derivate ın punctul x0,

se obtin coeficientii polinomului Tpy, aproximatia solutiei y fiind

complet determinata.

Folosind notatia y(k) = f(k−1), polinomul lui Taylor se poate

scrie sub forma

(Tpy)(x) =y(x0) +(x− x0)

1!f(x0, y(x0)) +

(x− x0)2

2!f ′(x0, y(x0))

(90)

+ ... +(x− x0)

p

p!f(p−1)(x0, y(x0))

Avem, de asemenea,

(Rpy)(x) =(x− x0)

(p+1)

(p + 1)!f(p)(ξ, y(ξ)), minx, x0 ≤ ξ ≤ maxx, x0

(91)

Din expresia restului (89) se poate obtine si o delimitare a erorii

de aproximare. Daca presupunem de exemplu, ca∣

∣

∣y(p+1)(x)∣

∣

∣ ≤

Mp+1, x ∈ [x0 − a, x0 + a] obtinem

y(x)− (Tpy)(x)| ≤|x− x0|

p+1

(p + 1)!Mp+1, x ∈ I. (92)

S-a demonstrat astfel teorema urmatoare:

Teorema 79 Daca f ∈ Cp(D) atunci solutia y a problemei Cauchy

(88) poate fi aproximata pe intervalul I prin polinomul lui Taylor

(90), eroarea de aproximare avand expresia din (91) si delimitarea

(92).

Observatia 80 Aceasta metoda prezinta dezavantajul ca pentru

p mare expresiile derivatelor lui y, adica expresiile f(k), k = 1, ..., p,

devin tot mai complicate ın raport cu cresterea lui k, ceea ce

are implicatii nu numai asupra cresterii volumului de calcul, dar

si asupra controlului erorilor ce apar si se cumuleaza ın aceste

calcule.

Metoda interpolarii Taylor este avantajoasa pentru valori mici

ale lui p, cazuri care poate servi si la construirea unor metode

discrete cu mare utilitate practica.

CURS 12

5. Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale

Consideram ca model problema lui Cauchy relativa la o ecuatie

diferentiala de ordinul ıntai dat in (88), unde functia f este

definita pe dreptunghiul D = (x, y) ∈ R2 | |x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤b cu a, b ∈ R+ si satisface conditiile necesare de continuitate si

derivabilitate.

Fie y = y(x), x ∈ I ⊂ [x0− a, x0 + a], o solutie a problemei (88).

Pentru o diviziune echidistanta a intervalului [a, b], xi = x0 +

ih; i = 0, ..., N ; N ∈ N este dat, h = b−aN , metoda interpolarii

Taylor de ordin n se poate scrie si sub forma

yi+1 = yi + hTn(xi, yi), (93)

cu

Tn(xi, yi) = f(xi, yi) +h

2!f ′(xi, yi) + ... +

hn−1

n!f(n−1)(xi, yi). (94)

5.2. Metoda lui Euler

Metoda de tip discret.

Consideram ecuatia (88) si o diviziunea echidistanta a inter-

valului [a, b] determinata de punctele xk = x0 + kh, h = b−aN ;

k = 0,1, ..., N ; N ∈ N∗.

Observatia 81 Metoda descrisa de relatiile de recurenta (93)

pentru n = 1, adica

yk+1 = yk + hf(xk, yk), k = 0,1, ...

se numeste metoda lui Euler.

Sub aspect geometric, prin metoda lui Euler, graficul solutiei y se

aproximeaza cu linia poligonala cu varfurile (xk, yk), k = 0,1, ...,

motiv pentru care aceasta metoda se mai numeste si metoda

liniilor poligonale.

Teorema 82 Fie y (x) solutia problemei

y′ = f (x, y) , a ≤ x ≤ b, y (a) = α,

iar w0, w1, ..., wn aproximatiile generate de metoda Euler pentru

parametrii N, xi = a + ih, i = 0, ..., N, h = b−aN .

Presupunem ca f este Lipschitz continua pe D, de constanta L,

unde D = (x, y) : a ≤ x ≤ b,−∞ < y <∞ , adica:

|f (x, y1)− f (x, y2)| ≤ L |y1 − y2| , ∀ (x, y1) (x, y2) ∈ D.

Daca exista constanta M cu proprietatea ca∣

∣

∣y′′ (x)∣

∣

∣ ≤M, ∀x ∈ [a, b] ,

atunci

|y (xi)− wi| ≤hM

2L

(

eL(xi−a) − 1)

, i = 0,1, ..., N.

Algoritmul pt. metoda lui Euler:

h← b−aN

α← y0

for i = 0,1, ..., N − 1

yi+1 ← yi + hf(xi, yi)

end

Exemplul 83 Sa se aproximeze solutia problemei Cauchy:

y′(x) = 2x− y

y(0) = −1

pe nodurile echidistante xi = a + ih, i = 0, ..., N ;h = b−aN , cu

a = 0, b = 1, N = 10, folosind metoda lui Euler

5.3. Metoda lui Runge-Kutta

Metoda de tip discret.

Primul pas ın construirea metodei Runge-Kutta este determinarea

valorilor a1, α1 si β1 cu proprietatea ca a1f (x + α1, y + β1) aprox-

imeaza polinomul Taylor, dat ın (94), cu eroare cel mult O(

h2)

,

care e eroarea de trunchiere a metodei Taylor de ordin doi,

T2(x, y) = f (x, y) +h

2f ′ (x, y) , h =

b− a

N, N-dat.

Avem

f ′(x, y) =∂f

∂x(x, y) +

∂f

∂xy′(x)

deci

T2 (x, y) = f (x, y) +h

2

∂f

∂x(x, y) +

h

2

∂f

∂yy′(x).

Dezvoltand ın serie Taylor f (x + α1, y + β1) se obtine

a1f (x + α1, y + β1) = a1f (x, y) + a1α1∂f

∂x(x, y) + a1β1

∂f

∂y

+ a1(R1f) (x + α1, y + β1) .

Prin identificarea coeficientilor termenilor f (x, y), ∂f∂x (x, y) si ∂f

∂y (x, y)

se obtine ca

a1 = 1

α1 =h

2

β1 =h

2y′(x) =

h

2f (x, y) .

In (93), pt. n = 2 avem

byi+1 = yi + hT2(xi, yi), (95)

si ınlocuind T2 prin a1f (x + α1, y + β1) , se obtine ”midpoint

method” (metoda de tip Runge-Kutta de ord. 2), data de:

y0 = α

yi+1 = yi + hf

(

xi +h

2, y +

h

2f (xi, yi)

)

, i = 0, ..., N − 1

Pentru aproximarea polinomului Taylor de ordinul trei

T3 (x, y) = f (x, y) +h

2f ′ (x, y) +

h2

6f ′′ (x, y) ,

cea mai potrivita expresie cu patru parametri ar fi

a1f (x, y) + a2f (x + α2, y + δ2f (x, y)) , (96)

care ınsa nu este suficient de flexibila ıncat sa permita identifi-

carea termenului h2

6

(

∂f∂y (x, y)

)2f (x, y) ce apare din dezvoltarea

h2

6 f ′′ (x, y) .

Prin urmare, din expresii de forma (96) se pot deduce metode de

ordinul cel mult doi. Faptul ca sunt patru parametri ınsa ofera

posibilitatea de a obtine mai multe metode.

Mentionam cele mai importante doua din ele.

Metoda Euler modificata, pt. a1 = a2 = 12, α2 = δ2 = h:

yi+1 = yi +h

2

[

f (xi, yi) + f(

xi+1, yi + hf (xi, yi))]

.

Metoda lui Heun, pt. a1 = 14, a2 = 3

4, α2 = δ2 = 23h:

yi+1 = yi +h

4

[

f (xi, yi) + 3f

(

xi +2

3h, yi +

2

3hf (xi, yi)

)]

.

Amandoua aceste metode pot fi clasificate ca metode Runge-

Kutta de ordinul doi.

Cu toate ca polinomul Taylor de ordinul trei T3 (x, y) poate fi

aproximat cu eroare O(

h3)

printr-o expresie de forma

f (x + α1, y + δ1f (x + α2, y + δ2f (x, y))) ,

care implica patru parametri, calculele pentru determinarea lor

sunt mai complicate si nu le prezentam. Metodele Runge-Kutta

rezultate nu se prea folosesc ın practica.

Cea mai comuna metoda Runge-Kutta folosita ın practica este

cea de ordinul patru:

y0 = α

k1 = hf (xi, yi)

k2 = hf

(

xi +h

2, yi +

1

2k1

)

k3 = hf

(

xi +h

2, yi +

1

2k2

)

k4 = hf(

xi+1, yi + k3

)

yi+1 = yi +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) , i = 0, ..., N − 1.

CURS 13

6. Operatori de interpolare spline polinomiali

Fie multimea de functionale liniare Λ = λi | λi : Hm,2[a, b] → R,

i = 1, ..., n, y ∈ Rn si

U(y) =

f ∈ Hm,2[a, b] | λi(f) = yi, i = 1, ..., n

. (97)

Definitia 84 Problema gasirii unui element s ∈ U(y) cu proprie-

tatea ca∥

∥

∥s(m)∥

∥

∥

2= inf

u∈U(y)

∥

∥

∥u(m)∥

∥

∥

2

se numeste o Problema de Interpolare Spline Polinomiala (notata

PISP).

Observatia 85 O solutie s a (PISP) este functia pentru care∥

∥

∥s(m)∥

∥

∥

2→ min, sau functia cea mai apropiata de un polinom

P ∈ Pm−1 (∥

∥

∥P (m)∥

∥

∥

2= 0), care satisface conditiile λi(P) = yi,

i = 1, ..., n.

O solutie a (PISP) se numeste functie spline polinomiala ce in-

terpoleaza y ın raport cu Λ, sau o functie spline naturala ce

interpoleaza y.

Observatia 86

(PISP) : a se gasi s ∈ U(y) astfel ıncat∥

∥

∥s(m)∥

∥

∥

2= inf

u∈U(y)

∥

∥

∥u(m)∥

∥

∥

2

este echivalenta cu problema de cea mai buna aproximare ın

L2[a, b], adica

(PCMBA) : a se gasi σ ∈ U(m)(y) astfel ıncat ‖σ‖2 = infv∈U(m)(y)

‖v‖2 ,

unde

U(m)(y) =

v | v = u(m), u ∈ U(y)

.

Teorema 87 (Teorema de existenta). Daca functionalele λi ∈

Λ, i = 1, ..., n sunt marginite si U(y), data ın (97), este o multime

nevida atunci (PISP) are solutie.

Teorema 88 O (PISP) are o solutie unica daca si numai daca

Pm−1 ∩ U(0) = 0. (98)

Observatia 89 Existenta si unicitatea solutiei (PISP) este car-

acterizata de multimea de functionale Λ.

Teorema 90 (Proprietatea de ortogonalitate). Functia s ∈ U(y)

este o solutie a (PISP) daca si numai daca⟨

s(m), g(m)⟩

2= 0, g ∈ U(0). (99)

Consideram

S(Λ) =

f ∈ Hm,2[a, b] |⟨

f(m), g(m)⟩

2= 0 g ∈ U(0)

.

Teorema 91 Multimea S(Λ) este un subspatiu liniar ınchis al lui

Hm,2[a, b].

Observatia 92 Relatia⟨

p(m), g(m)⟩

2= 0, pentru p ∈ Pm−1, g ∈ U(0)⇒ Pm−1 ⊂ S(Λ).

Definitia 93 Multimea S(Λ) se numeste spatiul functiilor spline

ce interpoleaza U(y).

Observatia 94 Fie si, i = 1, ..., n solutie a (PISP) care inter-

poleaza multimea

Ui =

f ∈ Hm,2 [a, b] | λi (f) = δij, j = 1, ..., n.

,

pentru i = 1, ..., n. Daca

Pm−1 ∩ U(0) = 0,

(adica, (PISP) are solutie unica), atunci

dimS(Λ) = n

si s1, ..., sn este o baza pentru S(Λ).

Functiile si, i = 1, ..., n se numesc spline fundamentale de inter-

polare sau spline cardinale, datorita proprietatii ca

λk(si) = δki, k, i = 1, ..., n.

In continuare presupunem ca Λ este multimea de functionale de

tip Birkhoff

Λ =

λij | λijf = f(j) (xi) , i = 1, ..., k, j ⊂ Ii

, (100)

unde a ≤ x1 < ... < xk ≤ b este o partitie a intervalului [a, b] ,

r1, ..., rk ∈ N, cu ri ≤ m− 1 si Ii ⊆ 0,1, ..., ri , i = 1, ..., k.

Teorema 95 (Caracterizare Structurala) Fie Λ o multime de

functionale de tip Birkhoff date prin (100), y ∈ Rn si fie U(y)

multimea interpolatoare corespunzatoare. Functia s ∈ U(y) este

o solutie a (PISP) daca si numai daca:

1) s(2m) (x) = 0, x ∈ [x1, xk] \ x1, ..., xk ,

2) s(m) (x) = 0, x ∈ [a, x1) ∪ (xk, b],

3) s(2m−1−µ) (xi − 0) = s(2m−1−µ) (xi + 0) , µ ∈ 0,1, ..., m− 1\

Ii, for i = 1, ..., k.

Observatia 96 Solutia s este un polinom de grad 2m − 1 pe

fiecare interval(

xi, xi+1

)

si este un polinom de grad m − 1 pe

intervalele [a, x1) si (xk, b].

O solutie a (PISP) se numeste functie spline (naturala) de or-

dinul 2m− 1.

Teorema 97 Daca Λ este o multime de functionale de tip Birkhoff,

U(y), y ∈ Rn este multimea de interpolare corespunzatoare si

S (Λ) este multimea splinelor care interpoleaza U(y), atunci urmatoarele

afirmatii sunt echivalente:

(A) s ∈ S (Λ)⇐⇒∥

∥

∥s(m)∥

∥

∥

2= inf

u∈U(y)

∥

∥

∥u(m)∥

∥

∥

2

(B) s ∈ S (Λ)⇐⇒⟨

s(m), g(m)⟩

2= 0, g ∈ U(0)

(C) s ∈ S (Λ)⇐⇒

1) s(2m) (x) = 0, x ∈ [x1, xk] \ xii=1,...,k

2) s(m) (x) = 0, x ∈ [a, x1) ∪ (xk, b]

3) s(2m−1−µ) (xi + 0) = s(2m−1−µ) (xi − 0) ,cu µ ∈ 0,1, ..., m− 1 \ Ii, i = 1, ..., k.

Oricare dintre cele 3 afirmatii se poate folosi ca definitie a solutiei

s a (PISP), iar celelalte 2 se demonstreaza ca teoreme.

Observatia 98 Fie functia data f ∈ Hm,2 [a, b] si o multime de

functionale Λ,

Λ = λi(f), i = 1, ..., n , (101)

functia

Sf =n∑

i=1

siλi (f) (102)

este functia spline care interpoleaza f ın raport cu Λ, adica

λi (Sf) = λi (f) , i = 1, ..., n.

Mai mult, Sf este functia din Hm,2 [a, b] care interpoleaza f, si

pentru care∥

∥

∥(Sf)(m)∥

∥

∥

2→ minim.

Observatia 99 S : Hm,2 [a, b] → S (Λ) este un operator liniar si

idempotent, deci este proiector.

Definitia 100 Operatorul S : Hm,2 [a, b] → S (Λ) se numeste

ope-rator de interpolare spline polinomial relativ la Λ.

6.1. Operatori spline de tip Lagrange

Fie f : [a, b]→ R, xi ∈ [a, b], i = 1, ..., n si

Λ := ΛL = λi | λi(f) = f(xi), i = 1, ..., n.

Daca n ≥ m atunci pentru orice f ∈ Hm,2[a, b] functia spline de

interpolare SLf exista si este unica.

Definitia 101 Pentru Λ := ΛL operatorul corespunzator SL se

numeste operator spline de tip Lagrange.

Pentru determinarea lui SL se foloseste Teorema 95, unde conditia

3) devine 3′) SLf ∈ C2m−2[a, b]. Daca scriem functia Sf ca

(SLf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

n∑

j=1

bj(x− xj)2m−1+ , (103)

rezulta ca sunt ındeplinite conditiile 1) SLf ∈ P2m−1 pe intervalele

(xj, xj+1), j = 1, ..., m− 1; 2) SLf ∈ Pm−1 pe [a, x1) si 3′).

Intr-adevar avem

(SLf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

k∑

j=1

bj(x− xj)2m−1, x ∈ (xk, xk+1)

pentru k = 1, ..., n− 1,

(SLf)(x) =m−1∑

i=0

aixi, x ∈ [a, x1),

si

(SLf)(ν)(xj−0) = (SLf)(ν)(xj +0), ν = 0, ...,2m−2, j = 1, ..., n.

Pe intervalul (xn, b] avem

(SLf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

n∑

j=1

bj(x− xj)2m−1,

deci SLf ∈ P2m−1. Pentru ca 2) sa fie verificata pe (xn, b] trebuieSLf ∈ Pm−1.

Scriind polinomul SLf ın forma lui Taylor, adica

(SLf)(x) =2m−1∑

k=0

(x− α)k

k!(SLf)(k)(α), α > xn,

acesta se reduce la un polinom de grad m− 1 pe (xn, b] daca

(SLf)(p)(α) = 0, p = m, ...,2m− 1. (104)

Functia SLf depinde de m+n parametrii, ai, bj ∈ R, i = 0, ..., m−1; j = 1, ..., n.

Relatiile (104) si conditiile de interpolare

(SLf)(xi) = f(xi), i = 1, ..., n

conduc la un sistem liniar (m + n)× (m + n) :

(SLf)(p)(α) = 0, p = m, ...,2m− 1(SLf)(xi) = f(xi), i = 1, ..., n.

(105)

Pentru n ≥ m, functia SLf se poate scrie sub forma

SLf =n∑

k=1

skf(xk),

unde sk, k = 1, ..., n sunt functiile spline fundamentale de inter-

polare.

Determinarea lui SLf se reduce la a gasi sk, k = 1, ..., n. Acestea

se scriu sub forma:

sk(x) =m−1∑

i=0

aki xi +

n∑

j=1

bkj (x− xj)

2m−1+ , k = 1, ..., n,

cu aki , i = 0, ..., m − 1 si bk

j , j = 1, ..., n obtinuti ca solutii ale

sistemelor:

s(p)k (α) = 0, p = m, ...,2m− 1 si α > xn

sk(xν) = δkν, ν = 1, ..., n(106)

pentru k = 1, ..., n.

Matricile sistemelor coincid si doar termenii liberi sunt diferiti.

CURS 14

6.1. Operatori spline de tip Lagrange (continuare)

Fie f : [a, b]→ R, xi ∈ [a, b], i = 1, ..., n si

Λ := ΛL = λi | λi(f) = f(xi), i = 1, ..., n.

Daca n ≥ m atunci pentru orice f ∈ Hm,2[a, b] functia spline de

interpolare SLf exista si este unica si

(SLf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

n∑

j=1

bj(x− xj)2m−1+ .

Definitia 102 Formula

f = SLf + RLf

se numeste formula de interpolare spline de tip Lagrange, unde

RL este operatorul rest.

Avem dex(SL) = m− 1 si aplicand teorema lui Peano se obtine

(RLf)(x) =

∫ b

aϕL(x, t)f(m)(t)dt,

unde

ϕL(x, t) =(x− t)m−1

+

(m− 1)!−

n∑

i=1si(x)

(xi − t)m−1+

(m− 1)!.

Daca f(m) este continua pe [a, b] atunci

|(RLf)(x)| ≤∥

∥

∥f(m)∥

∥

∥

∞

∫ b

a|ϕL(x, t)|dt.

Exemplu. Fie f ∈ C[0,1] si

ΛL(f) =

f

(

i

n

)∣

∣

∣

∣

i = 0, ..., n

.

Sa se gaseasca formula de interpolare spline.

Avem m = 1 si

f = S1f + R1f,

cu

(S1f)(x) =n∑

i=0

si(x)f

(

i

n

)

si

(R1f)(x) =

∫ 1

0ϕ1(x, t)f ′(t)dt,

cu

ϕ1(x, t) = (x− t)0+ −n∑

i=0si(x)

(

i

n− t

)0

+.

Avem

si(x) = ai0 +

n∑

j=0bij

(

x−j

n

)

+, i = 0, ..., n,

si coeficientii ai0, bi

0, ..., bin, i = 0, ..., n sunt dati de sistemele:

si

(

kn

)

= δik, k = 0, ..., n

s′i(α) = 0, α > 1 (consideram α = 2).

Avem

s0(0) = 1

s0(kn) = 0, k = 1, ..., n

s′0(2) = 0

adica

a00 = 1

a00 + b00

1n = 0

a00 + b00

2n + b01

1n = 0

a00 + b00

3n + b01

2n + b02

1n = 0

...n∑

j=0b0j = 0

Se obtine

s0(x) = 1− nx + n(

x− 1n

)

+

s1(x) = nx− 2n(

x− 1n

)

++ n

(

x− 2n

)

+

s2(x) = n(

x− 1n

)

+− 2n

(

x− 2n

)

++ n

(

x− 3n

)

+

...

sn−1(x) = n(

x− n−2n

)

+− 2n

(

x− n−1n

)

++ n (x− 1)+

sn(x) = n(

x− n−1n

)

+− n (x− 1)+ .

6.2. Operatori spline de tip Hermite

Consideram f ∈ Hm,2[a, b] si multimea de functionale de tip Her-

mite

ΛH = λkj | λkjf = f(j)(xk), k = 1, ..., n, j = 0, ..., rk,

unde rk ∈ N, rk < m.

Definitia 103 Operatorul spline SH , corespunzator multimii de

functionale Hermite, ΛH , se numeste operatorul spline de tip

Hermite.

Functia spline de tip Hermite se poate scrie sub forma:

(SHf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

n∑

k=1

rk∑

j=0

bkj(x− xk)2m−j−1+ , (107)

cu ai, bkj determinati din conditiile 1)-3) din [Curs 13] si din

conditiile de interpolare:

(SHf)(j)(xk) = f(j)(xk), k = 1, ..., n; j = 0, ..., rk.

Se verifica direct ca SHf ındeplineste conditiile 1), 2) on [a, x1)

si 3).

Pentru ca sa fie ındeplinita conditia 2) si pe (xn, b] este suficientsa consideram

(SHf)(p)(α) = 0, p = m, ...,2m− 1.

Parametrii ai, i = 0, ..., m− 1 si bkj, k = 1, ..., n, j = 0, ..., rk, sunt

solutiile sistemului liniar N ×N, cu N = n + m +n∑

k=1rk:

(SHf)(j)(xk) = f(j)(xk), k = 1, ..., n; j = 0, ..., rk

(SHf)(p)(α) = 0, p = m, ...,2m− 1.

Daca |ΛH| ≥ m, din [Curs 13] rezulta ca functia spline SHf existasi este unica.

Functia SHf se poate reprezenta folosind functiile spline funda-mentale:

(SHf)(x) =n∑

k=1

rk∑

j=0

skj(x)f(j)(xk), (108)

cu

skj(x) =m−1∑

µ=0

akjµ xµ +

n∑

µ=1

rk∑

ν=0

bkjµν(x− xµ)

2m−ν−1+ ,

pentru k = 1, ..., n si j = 0, ..., rk. Fiecare functie skj se obtine din

sistem de forma:

s(q)kj (xν) = 0, ν = 1, ..., n, ν 6= k, q = 0, ..., rν

s(q)kj (xk) = δjq, q = 0, ..., rk

s(p)kj (α) = 0, p = m, ...,2m− 1 si α > xn,

(109)

pentru k = 1, ..., n si j = 0, ..., rk. Toate sistemele au aceleasi

matrici, iar termenii liberi sunt diferiti.

Definitia 104 Fie Λ := ΛH si operatorul spline corespunzator

SH. Formula

f = SHf + RHf,

se numeste formula de interpolare spline de tip Hermite, unde

RH este operatorul rest.

Aplicand Teorema lui Peano se obtine

(RHf)(x) =

∫ b

aϕH(x, t)f(m)(t)dt,

cu

ϕH(x, t) =(x−t)m−1

+(m−1)!

−n∑

k=1

rk∑

j=0

skj(x)(xk−t)

m−j−1+

(m−j−1)!.

Daca f(m) este continua pe [a, b] atunci

|(RHf)(x)| ≤∥

∥

∥f(m)∥

∥

∥

∞

∫ b

a|ϕH(x, t)|dt.

6.3. Operatori spline de tip Birkhoff

Consideram functia f ∈ Hm,2[a, b] si multimea de functionale de

tip Birkhoff:

ΛB = λkj | λkjf = f(j)(xk), k = 1, ..., n, j ∈ Ik,

pentru Ik ⊆ 0, ..., rk, rk ∈ N, rk < m.

Definitia 105 Operatorul spline SB corespunzator multimii ΛB

se numeste operator spline de tip Birkhoff.

Daca functia spline de tip Birkhoff exista atunci ea este de forma:

(SBf)(x) =m−1∑

i=0

aixi +

n∑

k=1

∑

j∈Ik

bkj(x− xk)2m−j−1+

sau

(SBf)(x) =n∑

k=1

∑

j∈Ik

skj(x)f(j)(xk),

unde skj sunt functiile spline fundamentale. Acestea se obtin din

conditii similare cu (109).

CAPITOLE SPECIALE DE ANALIZA NUMERICA CURS 1 …math.ubbcluj.ro/~tcatinas/Curs_CapSpecialeAN.pdf ·...

Documents

Transcript of CAPITOLE SPECIALE DE ANALIZA NUMERICA CURS 1 …math.ubbcluj.ro/~tcatinas/Curs_CapSpecialeAN.pdf ·...