cap4t · 2006. 2. 2. · Title: Microsoft Word - cap4t.doc Author: User Created Date: 1/31/2006...
Transcript of cap4t · 2006. 2. 2. · Title: Microsoft Word - cap4t.doc Author: User Created Date: 1/31/2006...
Algebră liniară
157
CAPITOLUL 4
VALORI ŞI VECTORI PROPRII. FORME CANONICE ALE
MATRICELOR ŞI ENDOMORFISMELOR
4.1. Forma celular diagonală - definiţie
Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K de
dimensiune n. Notăm cu EndK(V) mulţimea endomorfismelor pe V, adică
mulţimea transformărilor liniare u: V→ V.
Definiţie4.1.1. Un subspaţiu vectorial L al spaţiului vectorial V se
numeşte subspaţiu invariant la aplicaţia liniară u : V→V
dacă u(x) ∈ L pentru orice x ∈L. Un subspaţiu L
invariant la aplicaţia liniară u : V→V se numeşte
indecompozabil (relativ la u) dacă nu poate fi reprezentat
ca suma directă a două subspaţii diferite de {0V}
invariante la u.
Fie L ⊂ V un subspaţiu de dimensiune p invariant la aplicaţia
liniară u : V→V. Fie B' = {e1, e2, …, ep} o bază a lui L şi B = {e1, e2, …,
ep, …, en} o bază a lui V obţinută prin completarea lui B'. Considerăm
aplicaţia liniară indusă de u pe L, adică aplicaţia u' : L →L, u'(x) = u(x)
pentru orice x ∈ L (u' este corect definită deoarece L este un subspaţiu
invariant). Notăm cu MB(u) = (aij)1≤i,j≤n matricea lui u în baza B. Deci
pentru orice i ∈{1,2, …, n}
u(ei) = ∑=
n
1ijijea .
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
158
Deoarece pentru orice i ∈{1,2, …, p} u(ei) ∈ L = Sp(B'), rezultă că
u(ei) = ∑=
p
1ijijea
şi deci aij = 0 pentru orice j>p. Ca urmare, matricea MB(u) este de forma:
a11 a12 … a1p 0 … 0
a21 a22 … a2p 0 … 0
MB(u) =
ap1 ap2 … app 0 … 0
ap+1,1 ap+1,2… ap+1, p ap+1, p+1… ap+1, n
an,1 an,2… an, p an, p+1 … an, n
MB(u) = MB'(u') O
A A'
Vom demonstra că V se reprezintă în mod unic (până la un
izomorfism între perechi de sumanzi) ca sumă directă de un număr finit
de subspaţii L1, L2, …, Lq indecompozabile relativ la u:
V = L1 ⊕L2 ⊕…⊕Lq, Li subspaţiu invariant la u pentru orice i.
Pentru fiecare i ∈{1, 2, ..q} notăm cu ui aplicaţia indusă de u pe Li şi
considerăm o bază Bi pentru Li. Este uşor de observat că B = Uq
1iiB
=
este o
bază a lui V. Notăm cu ( )iB uMi
matricea asociată lui ui în baza Bi pentru
fiecare i ∈{1,2, …, q}. Ţinând cont că pentru orice i ∈{1,2, …, q} şi
orice e∈Bi u(e) ∈ Li = Sp(Bi), rezultă că matricea lui u în baza B = Uq
1iiB
=
este de forma
Algebră liniară
159
( )1B uM1
( )2B uM2
MB(u) =
( )qB uMq
care se numeşte formă celular diagonală.
Astfel se reduce studiul lui u la studiul transformărilor liniare
ui :Li → Li, i ∈ {1, 2, …, q}.
4.2. Inele şi module
Definiţia 4.2.1. Se numeşte inel o mulţime nevidă R înzestrată cu două
operaţii, una notată aditiv +: R×R→R (numită adunare)
şi cealaltă notată multiplicativ ⋅: R×R→R (numită
înmulţire),care satisfac următoarele condiţii
1. R este grup abelian faţă de operaţia de adunare
2. operaţia de înmulţire este asociativă
3. oricare ar fi x,y,z∈R, avem
x (y + z) = xy + xz
(x + y )z = xz + yz.
Dacă R este un inel, grupul abelian R faţă de adunare se numeşte
grupul aditiv subiacent inelului. Elementul neutru faţă de adunare se
notează cu 0 şi se numeşte elementul zero al inelului, iar opusul faţă de
adunare al unui element oarecare x∈R se notează cu -x. Dacă, în plus,
operaţia de înmulţire admite element neutru, spunem că inelul este unitar.
Elementul neutru la înmulţire (dacă există) se notează cu 1 şi se numeşte
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
160
elementul unitate al inelului. Dacă înmulţirea este comutativă, inelul se
numeşte comutativ. Spunem că x∈R este divizor al lui zero la stânga
(respectiv la dreapta) dacă există y∈R, y≠0 astfel încât xy = 0 (respectiv
yx = 0). Un element care este în acelaşi timp divizor al lui zero la stânga
şi la dreapta se numeşte simplu, divizor la lui zero. Un inel unitar nenul
fără divizori ai lui zero la stânga şi la dreapta nenuli se numeşte inel
integru. Dacă, în plus, inelul este şi comutativ el se numeşte domeniu de
integritate. Elementele inversabile faţă de operaţia de înmulţire a unui
inel unitar R se numesc elemente inversabile ale inelului, iar mulţimea lor
se notează cu U(R) (este uşor de arătat că U(R) are o structură de grup
faţă de operaţia de înmulţire din R). Dacă U(R) = R-{0}, atunci R este
corp. Dacă a şi b sunt două elemente din domeniul de integritate R, se
spune că a divide b şi se scrie a|b dacă există c∈R astfel încât b =ac. Două
elemente a şi b din R se numesc asociate în divizibilitate dacă a|b şi b|a,
sau echivalent dacă există un element u ∈U(R) astfel încât b = ua. Dacă a
şi b sunt asociate în divizibilitate, atunci scriem a ~ b. Un element d ∈ R
se numeşte cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b din R dacă
are următoarele proprietăţi:
1. d|a şi d|b
2. dacă d'|a şi d'|b, atunci d'|d.
Orice două elemente d1 şi d2 din R (domeniu de integritate) care satisfac
condiţiile 1 şi 2 de mai sus sunt asociate în divizibilitate. De aceea vom
nota cu (a, b) orice element care este cel mai mare divizor comun al lui a
şi b (adică nu facem distincţie între elementele asociate în divizibilitate).
Două elemente a şi b din R se numesc prime între ele dacă 1 este cel mai
mare divizor comun al lui a şi b. Un element x dintr-un domeniu de
Algebră liniară
161
integritate R se numeşte ireductibil dacă x ≠ 0, x ∉U(R), şi în plus dacă
din x = ab rezultă a sau b inversabil. Un element p∈R se numeşte prim
dacă p ≠ 0, p ∉U(R), şi în plus, dacă din p|ab rezultă că p|a sau p|b. Într-
un domeniu de integritate orice element prim este ireductibil. Dacă în
plus, pentru orice două elemente există un cel mai mare divizor comun,
atunci orice element ireductibile este prim (teorema 1.8/pg. 212 [5]). Un
domeniu de integritate R se numeşte factorial dacă orice element nenul şi
neinversabil al lui R este produs de elemente prime ale lui R. Într-un inel
factorial pentru orice două elemente a şi b există un cel mai mare divizor
comun (este dat de produsul elementelor prime comune la puterea
minimă la care apar în descompunerile lui a şi b).
Exemplul 4.2.2. Fie R un inel comutativ şi unitar şi m şi n două numere
naturale nenule. Se numeşte matrice de tip (m,n) peste inelul R, orice
funcţie
A: {1,2,…,m} × {1,2,…,n} → R.
Oricărei matrice A de tipul (m,n) peste inelul R i se asociază un tablou cu
m linii şi n coloane
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
am1 am2 … amn
unde aij = A(i,j) pentru 1 ≤ i≤ m şi 1≤ j≤ n.
Reciproc, un astfel de tablou cu m linii şi n coloane de elemente
(coeficienţi) din inelul R, determină în mod unic o matrice A, dată prin
A(i,j) = aij pentru 1 ≤ i≤ m şi 1≤ j≤ n. În cele ce urmează vom scrie
matricea A sub forma unui astfel de tablou sau condensat, A =
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
162
( )nj1mi1ija
≤≤≤≤ (sau A = (aij)i,j dacă m şi n se subînţeleg). Vom nota cu Mm,n(R)
mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din R. Vom defini
pe Mm,n(R) o operaţie algebrică internă, numită adunarea matricelor, în
felul următor:
dacă A = (aij)i,j∈ Mm,n(R),B=(bij)i,j∈ Mm,n(R), atunci A+B = C, unde
C=(cij)i,j ∈ Mm,n(R) şi cij = aij + bij pentru orice 1≤i≤m şi 1≤j≤n.
Produsul AB a două matrice A = (aij)i,j∈ Mm,n(R) şi B=(bij)i,j∈ Mn,p(R)
este o matrice C=(cij)i,j ∈ Mm,p(R) pentru care
cij = ∑=
n
1kkjik ba pentru orice 1≤ i≤ m şi 1≤ j≤ p.
Transpusa unei matrice A= ( )nj1mi1ija
≤≤≤≤ , este o matrice notată At = ( )
mj1ni1
tija
≤≤≤≤ ,
ale cărei elemente sunt: tija = aji pentru orice 1≤ i≤ n, 1≤ j≤ m. O matrice
pentru care m=n se numeşte pătratică. Matricele pătratice pentru care
A=At se numesc matrice simetrice. Mulţimea matricelor pătratice Mn,n(R)
cu elemente din inelul comutativ şi unitar R are o structură de inel unitar
în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Elementul neutru la
înmulţire în Mn,n(R) este matricea ale cărei elemente sunt egale cu
elementul zero al inelului R, cu excepţia celor de pe diagonala principală
care sunt egale cu 1 (elementul unitate al inelului R). Ea se notează cu
In:
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
0 0 0 … 1
Algebră liniară
163
Determinantul unei matrice A= (aij)ij ∈Mn,n(R) se notează cu det(A)
sau
a11 a1n
an1 ann
şi se defineşte ca ( ) ( ) ( )nn2211S
aaan
σσσ∈σ
σ∑ε ... ∈R (suma se face după toate
permutările σ ale mulţimii {1, 2, …,n}, iar εσ reprezintă signatura
permutării σ). În particular,
a11 a12 = a11a22 - a12a21.
a21 a22
Pentru orice matrice A= (aij)ij ∈Mn,n(R), elementul Γij = (-1)i+jdet(Aij)∈R
se numeşte complementul algebric al elementului aij, unde Aij este
matricea ce se obţine din A eliminând linia i şi coloana j. Se poate arăta
că
det(A) = ∑=
Γn
1jijija pentru orice 1 ≤ i ≤ n.
Determinanţii au următoarele proprietăţi (corolar 1.8/pg 162 [4],
propoziţia 1.10/pg 163 [4]):
1. det(A) = det(At) pentru orice matrice A∈Mn,n(R).
2. O matrice cu două coloane egale are determinantul zero.
3. Dacă permutăm două coloane, determinantul matricei îşi
schimbă semnul.
4. Dacă la o coloană a matricei se adună o altă coloană înmulţită
cu un element a∈R, determinantul matricei nu se schimbă.
5. Dacă toate elementele unei coloane sunt egale cu zero, atunci
determinantul matricei este zero.
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
164
6. det(AB) =det(A)det(B) pentru orice A,B∈Mn,n(R).
Datorită faptului că det(A) = det(At), este adevărată şi lista de
proprietăţi ce se obţine înlocuind în 2-5 cuvântul coloană cu cuvântul
linie.
Grupul unităţilor inelului Mn,n(R) (mulţimea elementelor
inversabile în inelul Mn,n(R)) se notează cu GLn(R) şi se numeşte grupul
liniar de grad n al inelului R. În particular, GL1(R)= U(R). Se
demonstrează că o matrice A∈ GLn(R) (adică este inversabilă) dacă şi
numai dacă det(A)∈U(R) (teorema 3.1/pg. 166 [4]). Demonstraţia este
constructivă: A-1(inversa matricei A) se obţine din matricea reciprocă a
lui A prin înmulţirea tuturor elementelor cu inversul determinantului lui
A. Reciproca matricei A =(aij)ij este transpusa matricei (Γij)ij, unde Γij
reprezintă complementul algebric al lui aij.
Se numeşte submatrice a matricei A∈Mm,n(R) o matrice obţinută
din A prin eliminarea unor linii şi unor coloane. Determinantul unei
submatrice cu p linii (şi p coloane) se numeşte minor de ordin p al
matricei A. Se spune că matricea A are rangul r, dacă A are un minor
nenul de ordin r şi toţi minorii lui A de ordin r+1 sunt nuli.
Exemplul 4.2.3. Fie R un inel comutativ şi unitar. Considerăm mulţimea
şirurilor (a0, a1, …an, …) de elemente din inelul R, cu condiţia ca în
fiecare şir, începând de la un anumit rang, componentele să fie 0
(elementul zero al inelului R). Un astfel de şir se numeşte polinom cu
coeficienţi în R (elementele a0, a1, …an, …se numesc coeficienţii
polinomului). Definim adunarea polinoamelor prin
(a0, a1, …an, …)+(b0, b1, …bn, …)
=(a0 + b0, a1 + bn, …an+ bn, …)
Algebră liniară
165
Dacă P = (a0, a1, …an, …) şi Q = (b0, b1, …bn, …) produsul PQ este
polinomul S =(c0, c1, …cn, …) cu proprietatea că ck = ∑=+ kji
jiba pentru
orice k ≥ 0. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi din inelul comutativ şi
unitar R are o structură de inel comutativ şi unitar în raport cu adunarea
şi înmulţirea definite mai sus. Elementele inelului R pot fi privite ca
polinoame cu coeficienţi în R prin identificarea unui element a∈R cu
polinomul (a, 0, …, 0, …). Dacă P= (a0, a1, …an, …) este un polinom
nenul, atunci n = max{i, ai ≠ 0} se numeşte gradul polinomului P, şi se
notează cu grad(P). Pentru polinomul nul (0, ..,0,…) convenim să
considerăm gradul său ca fiind -∞. Coeficientul an, unde n=grad(P) (P
nenul) se numeşte coeficientul dominant al polinomului P. Dacă acest
coeficient an este 1 (elementul unitate al inelului R) atunci P se numeşte
polinom unitar. Dacă P şi Q sunt două polinoame cu coeficienţi în R,
atunci grad(P+Q) ≤ max(grad(P), grad(Q)) şi grad(PQ) ≤ grad(P) +
grad(Q). Mai mult, dacă P şi Q sunt nenule şi coeficienţii dominanţi ai
lui P şi Q nu sunt divizori ai lui zero, atunci grad(PQ) ≤ grad(P) +
grad(Q).
Notăm prin X polinomul (0,1,0,…,0,…) care se numeşte
nedeterminata X. Înmulţirea polinoamelor ne dă
X2 = XX =(0, 0, 1, 0, …, 0,…)
şi, mai general, pentru orice număr natural i
Xi =(0, … 0, 1, 0, …, 0, …)
i ori
Folosind adunarea şi înmulţirea definite pe mulţimea polinoamelor cu
coeficienţi în R se obţine că orice polinom P= (a0, a1, …an, …) poate fi
scris sub forma
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
166
P = a0 + a1X +… + amXm, unde m =grad(P).
Elementele a0, a1, …am poartă denumirea de coeficienţi ai polinomului P.
Inelul polinoamelor cu coeficienţi în R se notează cu R[X]. Un element
a∈R este inversabil în R dacă şi numai dacă a (privit ca polinom) este
inversabil în R[X]. Dacă, în plus, R este domeniu de integritate, atunci
R[X] este domeniu de integritate şi U(R) = U(R[X]).
Definiţia 4.2.4. Fie R un inel şi I⊂R o submulţime nevidă a sa. Spunem
că I este un ideal la stânga (respectiv la dreapta) al
inelului B dacă:
1. oricare ar fi x, y ∈I, rezultă x - y∈I
2. oricare ar fi a∈R şi x∈I, rezultă ax∈I (respectiv
xa∈I).
Un ideal care este în acelaşi timp ideal la stânga şi la
dreapta se numeşte ideal bilateral.
Dacă inelul R este inel comutativ, atunci este clar că noţiunile de
ideal la stânga, ideal la dreapta şi ideal bilateral coincid. În acest caz vom
spune simplu ideal al inelului R.
Dacă R este un inel unitar şi a∈R, atunci
1. Ra = {xa, x∈R} este ideal la stânga în R
2. aR ={ax, x∈R} este ideal la dreapta în R
3. aRa ={∑=
n
1iiiayx , xi, yi ∈R, i =1,2, ..n} este ideal bilateral în R.
Dacă R este un inel unitar şi a∈R, atunci aR, Ra, aRa se numesc
ideale principale, respectiv, la stânga, la dreapta şi bilateral. Un inel se
numeşte principal dacă este un domeniu de integritate şi orice ideal al său
este principal. Dacă R este un inel principal, atunci R este factorial
Algebră liniară
167
(teorema 4.1/pg. 218 [5]). Dacă R este un inel principal, a, b∈R şi d este
un cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b, atunci există u, v∈R
astfel încât d = ua + vb (este suficient să observăm că Ra + Rb este un
ideal în inelul principal R, deci există d1 ∈R astfel încât Rd1 = Ra + Rb;
este uşor de observat că d1 este cel mai mare divizor comun pentru a şi b,
deci este asociat în divizibilitate cu d). În particular, elementele a şi b sunt
prime între ele dacă şi numai dacă există elementele u şi v astfel încât ua
+ vb = 1.
Un domeniu de integritate R se numeşte inel euclidian dacă există
o funcţie ϕ : R- {0} → N având proprietatea că oricare ar fi a, b∈R, b≠0,
există q, r ∈ R astfel încât
a = bq + r, unde r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b) (formula împărţirii cu rest).
Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal (teorema
4.4/pg. 219 [5]). În cazul unui inel euclidian se poate determina cel mai
mare divizor comun a două elemente prin aplicarea algoritmului lui
Euclid (se aplică de un număr finit de ori formula împărţirii cu rest).Un
exemplu de inel euclidian este inelul numerelor întregi Z. În acest inel
are loc formula împărţirii cu rest: dacă a, b∈Z, b≠0, atunci există q, r∈Z
unic determinate cu proprietatea
a =bq +r, unde 0≤r<|b|.
Evident, Z este un inel euclidian, considerând funcţia:
ϕ : Z-{0} → N, ϕ(n) = |n| (modulul lui n).
Un alt exemplu de inel euclidian este inelul K[X] al polinoamelor cu
coeficienţi în corpul comutativ K. În cadrul acestui inel se poate
demonstra teorema împărţirii cu rest: oricare ar fi polinoamele P1, P2∈
K[X] cu P2 ≠ 0, există două polinoame Q şi R astfel încât
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
168
P1 = P2Q + R, unde grad(R) < grad(P2).
Pentru a arăta că K[X] este inel euclidian, considerăm funcţia
ϕ: K[X] - {0} → N, ϕ(P) = grad(P).
Deci inelul K[X] (K corp comutativ) este euclidian, şi în consecinţă este
principal. De asemenea fiind principal este factorial.
Definiţie 4.2.5. Fie R şi S două inele. Se numeşte morfism de la R la S o
funcţie ϕ : R→ S, care îndeplineşte următoarele condiţii:
1. ϕ(x+y) = ϕ(x) +ϕ(y) oricare ar fi x, y∈R
2. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) oricare ar fi x, y∈R.
Un morfism ϕ : R→ S, unde R şi S sunt inele unitare, care satisface
în plus condiţia ϕ(1) = 1 se numeşte morfism unitar de inele. Un morfism
de inele ϕ : R→ S care, în plus, este bijectiv se numeşte izomorfism de
inele. Se poate arăta că dacă ϕ : R→ S este izomorfism de inele, atunci şi
ϕ-1 : S→ R este izomorfism de inele. Dacă
ϕ : R→S
este un morfism de inele atunci
1. Ker ϕ = {x∈R: ϕ(x) = 0} este un ideal bilateral al lui R numit
nucleul morfismului ϕ.
2. Im ϕ = ϕ/R) = {ϕ(x), x∈R} este un subinel al lui S (împreună
cu operaţiile induse de cele două operaţii algebrice de pe S
formează un inel) numit imaginea morfismului ϕ.
Un modul se deosebeşte de un spaţiu vectorial doar prin faptul că
înmulţirea externă nu se face cu elementele unui corp (ca în cazul
spaţiilor vectoriale), ci cu elementele unui inel. Restul axiomelor pentru
Algebră liniară
169
operaţia de adunare, ca şi pentru cea de înmulţire cu elementele inelului,
rămân aceleaşi.
Definiţie 4.2.6. Fie R un inel unitar şi (M, +) un grup comutativ. Spunem
că M este un R-modul la stânga, sau modul la stânga
peste R, dacă este definită o operaţie externă
⋅ : R× M → M, (a,x) → ax
care satisface condiţiile:
1. 1x=x, oricare ar fi x∈M.
2. (ab)x = a(bx) oricare ar fi a,b∈R şi x∈M;
3. (a+b)x = ax + bx oricare ar fi a,b∈R şi x∈M;
4. a(x + y) = ax + ay oricare ar fi a∈R şi x, y∈M.
În mod analog se defineşte noţiunea duală de R-modul la dreapta
(operaţie externă ⋅:M × R→M) . Grupul comutativ (M, +) se numeşte
grupul aditiv subiacent R-modulului. Elementele lui R se vor numi
scalari iar operaţia externă înmulţire cu scalari. Faptul că M este un R-
modul la stânga, respectiv la dreapta se mai notează prin RM, respectiv
MR. În cele ce urmează, dacă nu menţionăm contrariul, prin R-modul
vom înţelege un R-modul la stânga, noţiunile şi rezultatele prezentate
transpunându-se direct şi pentru R-module la dreapta.
Exemplul 4.2.7. Un inel unitar R poate fi privit ca un R-modul la stânga,
considerând grupul aditiv subiacent inelului R, împreună cu operaţia
externă R× M → M, (a,x) → ax, unde ax este produsul (în R) al
elementelor a şi x din inelul R.
Exemplul 4.2.8. Fie R un inel comutativ şi unitar şi n ≥ 1 un număr
natural. Mulţimea
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
170
Rn[X] = {P∈R[X], grad(P) ≤ n}
este un R-modul dacă considerăm grupul aditiv subiacent determinat de
adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, înmulţirea
polinoamelor cu elemente din R:
(a, a0 + a1X +… + anXn) → aa0 + aa1X +… + aanX
n.
Analog, mulţimea R[X] a tuturor polinoamelor cu coeficienţi în R poate fi
înzestrată cu o structură de R modul.
Exemplul 4.2.9. Fie R un inel comutativ şi unitar şi m şi n două numere
naturale. Mulţimea Mm,n(R) a matricelor cu m linii şi n coloane cu
elemente din R poate fi înzestrată cu o structură de R-modul luând drept
adunare adunarea obişnuită a matricelor, şi drept operaţie externă:
(a, ( )nj1mi1ija
≤≤≤≤ ) → ( )
nj1mi1ijaa
≤≤≤≤ .
Propoziţia 4.2.10. Fie M este un R-modul. Dacă a,b∈R şi x,y∈M, atunci:
1. a0 = 0x =0.
2. (-a)x = -ax, a(-x) = -ax, (-a)(-x) = ax.
3. a(x-y) = ax -ay.
4. (a - b)x = ax - bx.
5. Dacă, în plus, R este corp şi ax=0, atunci a=0 sau
x=0.
Demonstraţie. Se ţine seama de definiţia R-modului (vezi demonstraţia
propoziţiei 1.2/pg. 244 [5]).
Algebră liniară
171
Definiţia 4.2.11. Fie M un R-modul la stânga. O submulţime N ⊂ M se
numeşte submodul al lui M dacă sunt îndeplinite
următoarele condiţii:
1. oricare ar fi x, y ∈ N, atunci x-y∈N.
2. oricare ar fi a ∈R şi x ∈ M, atunci ax∈N.
Submodulul {0} se va numi submodulul nul al lui M.
Definiţia 4.2.12. Fie M un R-modul la stânga şi S o submulţime a lui M.
Intersecţia tuturor submodulelor la stânga ale lui R care
conţin mulţimea S se numeşte submodulul generat de S şi
se notează cu <S>. Se spune că S este un sistem de
generatori pentru <S>. Submodulul generat de mulţimea
vidă este submodulul nul. Submodulul <{x}> ={ax, a∈R}
se numeşte submodulul ciclic sau monogen al lui M
generat de x∈M, şi se notează Rx sau <x>. Dacă M =Rx,
atunci M se numeşte modul ciclic.
Dacă {Ni}i∈I este o familie de submodule ale lui M,
submodulul generat de UIi
iN∈
se numeşte suma familiei de
submodule {Ni}i∈I şi se notează ∑∈Ii
iN .
Se poate arăta că
<S> = {∑=
n
1iiixa , ai∈R, xi∈S, n∈N}
Dacă {Ni}i∈I este o familie de submodule ale lui M, atunci
∑∈Ii
iN =< UIi
iN∈
> = {∑=
n
1iji
x , ij
x ∈ij
N , ji ∈I, n∈N}
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
172
În particular, dacă N1, N2, …, Np sunt submodule ale unui R-modul M,
atunci
∑=
p
1iiN = {∑
=
p
1iix , xi∈Ni }
Dacă reprezentarea fiecărui element din ∑=
p
1iiN sub forma ∑
=
p
1iix , cu xi∈Ni
pentru orice i, este unică, atunci spunem că suma familiei de submodule
este directă şi folosim scrierea N1⊕N2⊕…⊕Np.
Definiţia 4.2.13. Fie M şi N două R-module. Se numeşte morfism de R-
module de la M la N o funcţie ϕ: M → N astfel încât să
fie satisfăcute următoarele condiţii:
1. ϕ(x+y) = ϕ(x) + ϕ(y) oricare ar fi x, y ∈ M.
2. ϕ(ax) = aϕ(x) oricare ar fi a∈R şi x ∈ M.
Dacă, în plus, ϕ este o funcţie bijectivă, atunci ϕ se
numeşte izomorfism de R-module.
Dacă
ϕ : M→N
este un morfism de R-module atunci
1. Ker ϕ = {x∈M: ϕ(x) = 0} este un submodul al lui M numit
nucleul morfismului ϕ.
2. Im ϕ = ϕ/M) = {ϕ(x), x∈M} este un submodul al lui N numit
imaginea morfismului ϕ.
Algebră liniară
173
Definiţie 4.2.14. Fie M un R- modul şi N⊂M un submodul al său.
Definim pe M următoarea relaţie de echivalenţă:
x ~ y dacă şi numai dacă x - y ∈ N.
Clasa de echivalenţă a lui x ∈N este x = {x + z, z ∈ N}.
Fie M/N ={ x , x∈M}. M/N are o structură de R-modul
relativ la următoarele operaţii:
adunare: x + y = yx + oricare ar fi x , y ∈M/N.
înmulţire cu scalari din R: a x =ax oricare ar fi a∈R
şi x ∈M/N.
Mulţimea M/N cu operaţiile definite mai sus se numeşte
modulul factor al lui M prin submodulul N. Nu este greu
de observat că funcţia surjectivă π: M→M/N, π(x) = x ,
este un morfism de R-module, numit morfismul canonic
de la M la M/N.
Teorema 4.2.15. (Teorema fundamentală de izomorfism) Fie f: M → N
un morfism de R module. Atunci există un unic
izomorfism de R-module
ϕ : M/Ker f → Im f
astfel încât f = ϕ oπ, unde π este morfismul canonic de
la M la M/Ker f.
Fie M un modul peste un inel unitar R. Noţiunile de sistem de
generatori şi mulţime liniar independentă se definesc la fel ca în cazul
spaţiilor vectoriale. Elementul x∈M este combinaţie liniară cu coeficienţi
în R a familiei de elemente ( )ieIix ale lui M, dacă x se poate scrie sub
forma x = ∑ieI
aixi, unde numai un număr finit dintre coeficienţii ai sunt
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
174
nenuli. Familia S = ( )ieIix de elemente din M este sistem de generatori
pentru M dacă pentru orice x ∈ M există familia finită I0 ⊂ I astfel încât
x =∑0ieI
iixa . Un modul care admite o mulţime finită de generatori se
numeşte modul finit generat sau de tip finit. Familia ( )ieIix de elemente
din M este liniar independentă dacă 0 se poate scrie ca o combinaţie
liniară (cu coeficienţi în R) de elemente din familie dacă şi numai dacă
toţi scalarii sunt nuli. Mai precis, pentru orice familie finită I0 ⊂ I avem
∑0ieI
aixi = 0 ⇔ ai = 0 oricare ar fi i∈I0 .
Evident orice submulţime a unei familii liniar independente este la rândul
ei o familie liniar independentă.
Definiţia 4.2.16. O familie B de elemente ale unui R-modul M se
numeşte bază dacă îndeplineşte condiţiile de mai jos:
a) B este liniar independentă;
b) B este sistem de generatori pentru M.
Un modul care admite o bază se numeşte modul liber.
Dacă R este un inel comutativ spunem că un R-modul
liber M are rang infinit dacă admite o bază infinită.
Dacă M are o bază finită spunem că este de rang finit iar
numărul de elemente al unei baze se numeşte rangul R-
modulului M şi se notează cu rangRM (se poate arăta că
rangRM nu depinde de baza aleasă pentru module libere
M peste inele comutative R).
Teorema 4.2.17. (teorema 3.4./pg. 257 [5]) Fie L un R-modul liber de
bază B = {ei}i∈I. Atunci oricare ar fi R-modulul M şi
Algebră liniară
175
oricare ar fi familia {xi}i∈I de elemente din M, există un
unic morfism de R-module ϕ : L → M astfel încât ϕ(ei) =
xi pentru orice i ∈ I. Mai mult, ϕ este injectivă (respectiv
surjectivă, bijectivă) dacă şi numai dacă {xi}i∈I este un
sistem liniar independent (respectiv sistem de generatori,
bază).
Teorema 4.2.18. (teorema 2.1./pg. 204 [5i]) Fie R un inel principal şi F
un R-modul liber de rang n. Dacă L este un submodul al
lui F, atunci:
1. L este liber de rang m ≤ n.
2. Există o bază {g1, g2, …,gm} a lui R şi o bază {f1, f2,
…,fn} a lui F astfel încât
gi =difi, 1 ≤ i≤m
unde di∈R, di≠0, 1≤i≤m şi d1 | d2 | ... | dm.
Notaţia 4.2.19. Fie M un modul peste un inel principal R şi x un element
din M. Se notează cu AnnR(x) idealul
AnnR(x) ={a ∈R, ax =0}
Deoarece R este inel principal rezultă că există µx ∈R
astfel încât AnnR(x) = Rµx. Elementul µx∈R se numeşte
ordinul lui x ∈M (µx este unic determinat mai puţin o
asociere în divizibilitate). Dacă R =K[X], K corp
comutativ, µx este unic determinat dacă cere să fie
polinom unitar. Elementul x se numeşte element de
torsiune (sau torsionat) dacă AnnR(x) ≠ {0}. Se notează
cu t(M) mulţimea elementelor de torsiune din M. t(M)
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
176
este un submodul numit submodulul de torsiune al lui
M. Dacă t(M) = M, spunem că M este modul de torsiune,
iar dacă t(M) = {0} spunem că M este modul fără
torsiune. Evident, t(M) = {x ∈M, µx ≠0}.
Funcţia
f : R → Rx, f(a) = ax oricare ar fi a ∈R
este un morfism surjectiv de R module al cărui nucleu
Ker f = AnnR(x). Aplicând teorema fundamentală de
izomorfism obţinem
Rx ≅ R/Ker f = R/AnnR(x) =R/ Rµx.
Teorema 4.2.20. (Teorema factorilor invarianţi) Fie M un modul de tip
finit peste un inel principal R. Atunci există două numere
naturale m şi n, m ≤ n şi elementele x1, x2, …, xn ∈M
astfel încât
1. M = Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxm⊕Rxm+1⊕…⊕Rxn
t(M)
şi, în plus,
ixµ ≠0 ixµ ∉U(R) pentru orice 1 ≤ i ≤m
1xµ |2xµ |…|
mxµ
ixµ = 0 pentru orice m<i≤n.
2. Numerele naturale m şi n precum şi elementele di
=ixµ ∈R , 1≤ i≤ m sunt unic determinate (până la o
asociere în divizibilitate) (teorema 2.7/pg. 209 [5i]).
Algebră liniară
177
Definiţia 4.2.21. Elementele di =ixµ 1 ≤ i≤ m a căror existenţă este
demonstrată în teorema precedentă se numesc factorii
invarianţi ai modulului M (sunt unici mai puţin o
asociere în divizibilitate). Divizorii elementari ai
modulului M reprezintă factorii ireductibili la puterea
maximă la care apar în descompunerea fiecăruia dintre
factorii invarianţi.
Teorema 4.2.22. (lema 3.1/pg. 212 [4i])Fie M un modul peste un inel
principal R şi µ1, µ2, …µr∈R astfel încât (µi, µj) =1
pentru orice i ≠ j. Atunci
1. Dacă x∈M şi µx =µ1µ2 …µr, atunci există x1, x2, …, xr
∈M astfel încât
Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxr =Rx
ixµ =µi pentru orice 1 ≤ i≤ r.
2. Dacă x1, x2, …, xr ∈M au proprietatea căixµ = µi
pentru orice 1 ≤ i≤ r, atunci există x∈M astfel încât
Rx = Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxr
µx = µ1µ2…µr.
Definiţia 4.2.23. Un R-modul M nenul se numeşte indecompozabil dacă
din M = X⊕Y, unde X ş Y sunt submodule ale lui M,
rezultă X = {0} sau X = M.
Teorema 4.2.24. (teorema 3.3/pg. 212 [4])Dacă M este un modul
indecompozabil de tip finit peste un inel principal R,
atunci M este izomorf cu R, sau M este izomorf cu R/Rπk,
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
178
unde π este un element ireductibil al lui R şi k un număr
întreg pozitiv.
Demonstraţie. Dacă M este indecompozabil, atunci M =Rx, unde fie µx
=0, fie µx ≠0. Dacă µx = 0, atunci M este izomorf cu R. Dacă µx ≠0,
atunci µx de forma πk (π ireductibil), altfel în descompunerea lui µx ar
există factori ireductibili primi între ei, şi conform teoremei 4.2.22,
M=Rx nu ar fi indecompozabil. În consecinţă, dacă µx ≠0, atunci M este
izomorf cu R/Rπk, unde π este un element ireductibil al lui R şi k un
număr întreg pozitiv.
Teorema 4.2.25. (teorema 3.6/pg. 214 [4])Fie M un modul de tip finit
peste un inel principal R şi
M = M1⊕M2⊕…⊕Mp = N1⊕N2⊕..Nq
două reprezentări ale lui M ca sumă directă de module
indecompozabile. Atunci p = q şi există o permutare σ
astfel încât Mi = Nσ(i) pentru orice 1 ≤ i ≤ p.
4.3. Polinomul minimal asociat unei transformări liniare
Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K de
dimensiune n. Fie u: V→ V o transformare liniară şi A matricea asociată
lui u într-o bază fixată B.
Fie K[X] inelul polinoamelor cu coeficienţi în K (reamintim că
acest inel este principal). Fie Mn,n(K) inelul matricelor cu n linii şi n
coloane cu elemente din K. Considerăm următoarele morfisme de inele
η : K[X] → EndK(V)
Algebră liniară
179
η(P) = P(u) = α01V + α1u + … +αsus,
pentru P = α0 + α1X + … +αsXs.
ξ : K[X] → Mn,n(K)
ξ(P) = P(A) = α0In + α1A + … +αsAs,
pentru P = α0 + α1X + … +αsXs.
Deoarece K[X] este inel principal şi Ker η = Ker ξ sunt ideale în
K[X] rezultă că există un polinom µ∈K[X] astfel încât
Ker η = Ker ξ =K[X]µ.
Polinomul µ se numeşte polinomul minimal al transformării liniare u
(respectiv al matricei A). Polinomul minimal este unic determinat de
proprietăţile:
1. este polinom unitar
2. µ(u) = 0 (respectiv µ(A) = 0)
3. dacă P ∈ K[X] şi P(u) = 0 (respectiv P(A) = 0), atunci µ|P.
Pe V definim o operaţie algebrică externă:
K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x
P⋅x = η(P)(x) = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),
pentru P = α0 + α1X + … +αsXs. V devine astfel un K[X]-modul la
stânga (adunarea este dată de adunarea vectorilor din V).
Lema 4.3.1. Fie L o submulţime a lui V. Următoarele afirmaţii sunt
echivalente:
1. L este subspaţiu invariant al lui u.
2. L este submodul al lui K[X]V.
Demonstraţie. 1 => 2. Fie P = α0 + α1X + … +asXs∈K[X] şi x ∈V.
Avem P⋅x = α0 + α1u(x) + … +αsus(x) ∈L.
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
180
2 =>1 Evident dacă L este submodul în K[X]V atunci L este subspaţiu
vectorial al lui V. Pe de altă parte pentru orice x∈L, avem u(x) = X⋅x ∈L,
şi deci L este invariant la u.
Lema 4.3.2. Modulul K[X]V este finit generat şi t(V) = V.
Demonstraţie. Fie B={e1, e2, …, en} baza fixată a lui a spaţiului vectorial
V peste K. Atunci
V = Ke1 + Ke2 + … +Ken ⊂ K[X]e1 + K[X]e2 + … +K[X]en ⊂ V.
Deci B este un sistem de generatori pentru K[X]V.
Fie x∈ V. Familia {x, u(x), …, un(x)} de elemente din spaţiu
vectorial n-dimensional V este liniar dependentă (are n+1 elemente). Ca
urmare, există scalarii α0, α1, …, αn ∈K, nu toţi nuli, astfel încât
α0x + α1u(x) + … +αnun(x) = 0
şi deci P⋅x = 0 pentru P = α0 + α1X + … +αnXn, P ≠ 0. În consecinţă,
x∈t(V).
Lema 4.3.3. Fie µ polinomul minimal al transformării liniare u.
1. Dacă d1| d2|…| dm sunt factorii invarianţi ai K[X]-
modulului K[X]V, atunci µ = dm.
2. Există x ∈ V astfel încât µ = µx.
Demonstraţie. Dacă d1| d2|…| dm sunt factorii invarianţi ai K[X]-
modulului K[X]V, ţinând seama că t(V) = V, rezultă că
V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xm
unde ixµ = di pentru orice 1≤ i≤ m (AnnK[X](xi) = diK[X]) . Deoarece di|dm
pentru orice 1≤ i≤ m, rezultă că există bi astfel încât dm =bidi, şi în
consecinţă
Algebră liniară
181
dm⋅xi = bidi⋅xi = bi ⋅(di⋅xi) =0
pentru orice 1≤ i≤ m.
Verificăm faptul că dm îndeplineşte condiţiile care caracterizează
un polinom minimal. Dacă
x∈ V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xm,
atunci există scalarii a1, a2, …am ∈ K[X] astfel încât x = ∑=
⋅m
1iii xa , şi deci
dm(u)(x) = dm(u)( ∑=
⋅m
1iii xa ) = ( )( )∑
=
⋅m
1iiim xaud = ( )∑
=
⋅⋅m
1iiim xad
= ( )∑=
⋅⋅m
1iimi xda = 0
Fie a un polinom din K[X] astfel încât a(u) = 0. Din faptul că
a⋅xm = a(u)(xm) =0
rezultă că a ∈AnnK[X](xm) = K[X] dm, de unde se obţine că dm|a.
Am demonstrat astfel că dm este polinom minimal al transformării
liniare u. Punctul 2 din lema se verifică pentru că dm = mxµ .
Pentru orice x∈V,
K[X]⋅x = { α0x + α1u(x) + … +αsus(x), s∈N, αi ∈K, 1≤ i ≤ s}
poate fi privit ca un subspaţiu vectorial al lui V peste K.
Lema 4.3.4. Pentru orice x∈V avem dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un
subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală cu gradul
polinomului µx.
Demonstraţie. Fie t = grad(µx). Arătăm că Bx ={x, u(x), …ut-1(x)} este o
bază a lui K[X]⋅x peste K. Pentru a arăta că Bx este liniar independentă să
considerăm scalarii α0, α2, …, αt-1∈K astfel încât
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
182
α0x + α1u(x) + … + αt-1ut-1(x) = 0.
Polinomul P =α0 + α1X + … + αt-1Xt-1 ∈ K[X] are deci proprietatea că
P⋅x = 0, ceea ce este echivalent cu P ∈ AnnK[X](x) = K[x]µx, de unde
rezultă că µx|P. Se obţine că P =0, fiindcă altfel
t = grad(µx) ≤ grad(P)≤ t-1.
Pentru a arăta că Bx este sistem de generatori, luăm un element oarecare y
din K[X]⋅x, adică un element de forma P⋅x cu P∈K[X]. Din teorema
împărţirii cu rest rezultă că există q ∈K[X] şi r ∈K[X] astfel încât
P = µxq + r, grad(r) < grad(µx).
Din faptul că grad(r) < grad(µx) deducem că r este de forma
r =α0 + α1X + … + αsXs cu s < t.
Avem
y = P⋅x = (µxq + r)⋅x = (µxq)⋅x + r⋅x =q⋅(µx⋅x) + r⋅x
= r⋅x = (α0 + α1X + … + αsXs)⋅x
= α0x + α1u(x) + … + αsus(x)
=α0x + α1u(x) + … + αsus(x) + 0us+1(x) +…+0 ut-1(x).
de unde rezultă că y este în spaţiu generat de Bx.
Definiţia 4.3.5. O transformare liniară u ∈EndK(V) se numeşte ciclică
dacă K[X]V este modul ciclic, i.e. dacă există x∈V astfel
încât V = K[X]⋅x.
Lema 4.3.6. O transformare liniară u ∈EndK(V) este ciclică dacă şi
numai dacă gradul polinomului minimal al lui u este egal
cu dimensiunea lui V peste K.
Demonstraţie. Dacă u este ciclică, adică dacă V = K[X]⋅x, atunci
dimensiunea lui V este egală cu gradul polinomului minimal al lui u,
Algebră liniară
183
deoarece acesta este egal cu dimensiunea lui K[X]⋅x conform lemei
precedente.
Reciproc, dacă gradul polinomului minimal al lui u este egal cu
dimensiunea lui V peste K, atunci aplicând lema precedentă, rezultă că
dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca subspaţiu vectorial al lui V este egală cu
dimensiunea lui V. În consecinţă se obţine V = K[X]⋅x.
Teorema 4.3.7. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
1. V este indecompozabil relativ la u
2. Există x ∈ V astfel încât V = K[X]⋅x. şi µx = πk, unde k
este un număr natural nenul şi π este un polinom
ireductibil în K[X].
Demonstraţie. Rezultă aplicând lemele precedente şi teoremele 4.2.20.
4.2.22, 4.2.24.
Teorema 4.3.8 Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Atunci V poate fi
reprezentat ca o sumă directă de subspaţii
indecompozabile relativ la u. Asemenea descompuneri
sunt unice, mai puţin un izomorfism de perechi (de K[X] -
module) ale sumanzilor.
Demonstraţie. Se aplică teoremele 4.2.20 şi 4.2.25.
Definiţia 4.3.9. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V).Factorii invarianţi
(respectiv divizorii elementari) ai K[X]-modulului asociat
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
184
lui u se numesc factori invarianţi (respectiv divizori
elementari) ai lui u. Factorii invarianţi (respectiv
divizorii elementari) ai lui u sunt unic determinaţi dacă
impunem condiţia să fie polinoame unitare.
4.4. Matricea canonică Jordan a unei transformări liniare
Definiţie 4.4.1. Fie K un corp comutativ şi K[X] inelul polinoamelor cu
coeficienţi în K. Fie π = Xs - αs-1Xs-1 - … -α1X - α0 un
polinom unitar din K[X]. Matricea Cπ ∈ Ms,s(K)
0 1 0 … 0 0
0 0 1 … 0 0
Cπ =
0 0 0 … 0 1
α0 α1 α2 … αs-2 αs-1
se numeşte companionul matriceal al polinomului π.
Dacă P =πk, unde k este un număr natural nenul, atunci
definim matricea kJπ
∈Msk,sk(K)
Cπ N
Cπ N
kJπ
=
Cπ N
Cπ
unde matricea N∈Ms,s(K) este
Algebră liniară
185
0 0 … 0
0 0 … 0
N =
0 0 … 0
1 0 … 0
Dacă π este un polinom ireductibil peste K (deci un
element ireductibil în K[X] ) şi k este un număr natural
nenul atunci matricea kJπ
se numeşte celulă Jordan
(peste K) asociată polinomului πk.
O matrice de forma
1k1
Jπ
2k2
Jπ
pkp
Jπ
unde π1, π2, …πp sunt polinoame ireductibile peste K se
numeşte matrice canonică Jordan peste K.
Definiţia 4.4.2. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Dacă 1k1π , 2k
2π ,
…, pkpπ sunt divizorii elementari ai transformării liniare
u, atunci matricea Ju 1k
1J
π
2k2
Jπ
Ju = pk
p
Jπ
se numeşte matricea canonică Jordan a transformării
liniare u.
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
186
Propoziţia 4.4.3. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V) o transformare
liniară ciclică al cărei polinom minimal este de forma πk,
cu π = Xs + αs-1Xs-1 + … + α1X + α0 şi k ≥ 1. Atunci
există o bază B = {e1, e2, …, en} a lui V astfel încât
matricea asociată lui u în baza B să fie kJπ
.
Demonstraţie. Fie n dimensiunea lui V peste K. Deoarece u este
transformare liniară ciclică, rezultă că există x∈V astfel încât V = K[X]⋅x,
şi dimensiunea lui V peste K este egală cu gradul polinomului minimal al
lui u (care este egal cu µx = πk). În consecinţă, n =sk. Definim următorii
vectori din V:
e1 = x, e2 = X⋅x, …, es = Xs-1⋅x
es+1 = π⋅x, e2 = (Xπ)⋅x, …, es = (Xs-1π)⋅x
e(k-1)s+1 = πk-1⋅x, e(k-1)s +2 = (Xπk-1)⋅x, …, eks = (Xs-1πk-1)⋅x
Observăm că fiecare ei poate fi scris sub forma ei = Pi⋅x cu Pi∈K[X]
având proprietatea că grad(Pi) ≤ s-1 +s(k-1) = sk -1 =n-1<n. Mai mult,
grad(Pi) ≠grad(Pj) pentru orice i≠j. Demonstrăm că B = {e1, e2, …, en}
este o bază a lui V peste K. Pentru această este suficient să arătăm că B
este liniar independentă (deoarece numărul de vectori din B este egal cu
dimensiunea spaţiului vectorial V). Presupunem prin absurd că există
scalarii β1, β2, …, βn ∈K, nu toţi nuli, astfel încât
β1e1 + β2e2 + … + βnen =0.
Ţinând cont de definiţia vectorilor din B, obţinem
β1(P1⋅x) + β2(P2⋅x) + … + βn(Pn⋅x) =0 <=>
(β1P1)⋅x + (β2P2)⋅x + … + (βnPn)⋅x =0 <=>
Algebră liniară
187
(β1P1 + β2P2 + … + βnPn)⋅x =0.
Dacă notăm P =β1P1 + β2P2 + … + βnPn, atunci
P∈AnnK[X](x) = K[X]µx= K[X]πk.
De aici rezultă că πk | P şi deci
n =ks =grad(πk) ≤ grad(P) ≤ max{grad(Pi), 1 ≤ i ≤ n} < n.
Am obţinut o contradicţie. Deci presupunerea că nu toţi scalarii β1, β2, …,
βn ∈K sunt nuli este falsă.
Vom arăta în continuare că matricea asociată lui u în bază B este
kJπ
. Pentru aceasta este suficient să observăm că
u(e1) = u(x) = X⋅x = e1
u(e2) = u(X.x) = u(u(x))=u2(x) = X2⋅x = e3
……….
u(es-1) = u(Xs-2.x) = u(us-2(x))=us-1(x) = Xs-1⋅x = es
u(es) = u(Xs-1.x) = u(us-1(x))=us(x) = Xs⋅x = π⋅x + (Xs -π)⋅x
= es+1 + (-αs-1Xs-1 - … - α1X - α0)⋅x
= es+1 -αs-1Xs-1⋅x - … - α1X⋅x - α0⋅x
= es+1 -αs-1es - … - α1e2 - α0⋅e1
u(es+1) = u(π⋅x)
= u(us(x) + αs-1us-1(x) + … + α1u(x) + α0x)
=us+1(x) + αs-1us(x) + … + α1u
2(x) + α0u(x) =(Xπ)⋅x
= es+2
………
u(e2s-1) = u(Xs-2π.x)
= u(u2s-2(x) + αs-1u2s-3(x) + … + α1u
s-1(x) + α0us-2(x))
= u2s-1(x) + αs-1u2s-2(x) + … + α1u
s(x) + α0us-1(x) =(Xs-1π)⋅x
= e2s
u(e2s) = u(Xs-1π.x) =X⋅( Xs-1π.x) =(Xsπ)⋅x = π2⋅x + (Xs -π)π⋅x
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
188
= e2s+1 + (-αs-1Xs-1 - … - α1X - α0)π⋅x
= e2s+1 -αs-1e2s - … - α1es+2 - α0⋅es+1
… u(en) = -αs-1en - … - α1en - s+2 - α0⋅en-s+1
Teorema 4.4.4. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste
corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V) o transformare
liniară. Atunci există o bază B = {e1, e2, …, en} a lui V
astfel încât matricea asociată lui u în baza B să fie Ju.
Demonstraţie. Fie 1k1π , 2k
2π , …, pkpπ divizorii elementari ai transformării
liniare u. Atunci există x1, x2, …, xp ∈V astfel încât
V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xp
şi ixµ = ik
iπ pentru orice 1≤ i≤ p. Fie Li = K[X]⋅xi, ui aplicaţia liniară
indusă de u pe Li şi µi polinomul minimal al lui ui∈EndK(Li). Atunci µi
=ixµ = ik
iπ şi ui este o transformare liniară ciclică. Din propoziţia
precedentă rezultă că există o bază Bi în Li astfel încât matricea ( )iB uMi
asociată lui ui în baza Bi să fie iki
Jπ
pentru orice 1 ≤ i ≤ p. Atunci
matricea lui u în baza B = Up
1iiB
=
este
( )1B uM1
( )2B uM2
MB(u) = ( )pBp uM
1k1
Jπ
2k2
Jπ
= pk
p
Jπ
Algebră liniară
189
Celule Jordan în cazul în care K =R sau K= C
Cazul K = C (corpul numerelor complexe)
Deoarece C este un corp algebric închis, orice polinom unitar
π∈C[X] este ireductibil dacă şi numai dacă este de forma π = X - α cu
α∈C. Aşadar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este
α 1 0 0 … 0 0
0 α 1 0 … 0 0
( ) kXJ
α− =
0 0 0 0 … α 1
0 0 0 0 … 0 α
Cazul K = R (corpul numerelor reale)
Dacă π∈R[X] este un polinom unitar şi ireductibil (peste R) atunci
π este fie de forma π = X - α cu α∈R, fie de forma π = X2- βX - γ cu
β,γ∈R şi β2 + 4γ < 0 .
Dacă π = X - α atunci companionul matriceal al polinomului π este
C(X-α) = (α) , iar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este
α 1 0 0 … 0 0
0 α 1 0 … 0 0
( ) kXJ
α− =
0 0 0 0 … α 1
0 0 0 0 … 0 α
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
190
Dacă π = π = X2- βX - γ (β,γ∈R şi β2 + 4γ < 0), atunci companionul
matriceal al polinomului π este
γ−β− XX2C =
iar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este
( ) k2 XXJ
γ−β−=
4.5. Forma diagonal canonică a unei matrice
Definiţia 4.5.1. Fie R un inel principal. Două matrice A,B ∈ Mm,n(R) se
numesc aritmetic echivalente dacă există două matrice
inversabile U∈Mm,m(R) şi V∈Mn,n(R) astfel încât
A = UBV.
Două matrice A,B ∈ Mn,n(R) se numesc asemenea dacă
există o matrice inversabilă P∈Mn,n(R) astfel încât
A = P-1BP.
0 1 γ β
0 1 γ β
0 1 γ β
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 γ β
0 0 1 0
0 1 γ β
Algebră liniară
191
Matricele care reprezintă aceeaşi transformare liniară (între spaţii
vectoriale de dimensiune finită) în perechi de baze diferite sunt matrice
aritmetic echivalente. Matricele corespunzătoare aceluiaşi endomorfism
în baze diferite sunt matrice asemenea (vezi teorema 4.3.7 şi corolarul
4.3.8) .
Definiţia 4.5.2. Fie R un inel principal. Matricea A∈ Mm,n(R) are forma
diagonal canonică dacă
A=
unde r ≤ min(m,n) şid1| d2| …| dr ≠ 0.
Vom arăta că orice matrice A este aritmetic echivalentă cu o
matrice D sub formă diagonal canonică. Pentru aceasta este necesară
noţiunea de transformare elementară.
Notaţii 4.5.2. Fie R un inel comutativ şi Mn,n(R) inelul matricelor pătrate
n-dimensionale cu elemente din R. Pentru orice 1≤ i, j≤ n
notăm
j
Eij = i
Pentru orice 1≤ i, j≤ n, i ≠ j şi orice a∈R notăm
d1 d2 dr 0 0
0 0 1 0 0
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
192
j
Tij(a)=
i
Pentru orice 1≤ i≤ n şi orice a∈U(R) notăm
i
Di(a) =
i
Pentru orice 1≤ i< j≤ n notăm
i j
i
Pij=
j
Ţinând cont de notaţiile precedente, se observă uşor că
1. EijEst =δjsEit
2. Tij =In + aEij
3. Tij(0) = In
4. Tij(a) Tij(b) = Tij(a+b)
1 0 1 a 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 a 1 0 1
Algebră liniară
193
5. Tij(- a) = Tij(a)-1
6. det(Tij(a)) = 1
7. Di(1) = In
8. Di(a) Di(b) = Di(ab)
9. Di(a-1) = Di(a)-1
10. det(Di(a)) = a
11. PijPij = In (Pij =Pij-1)
Dacă A∈Mm,n(R), atunci matricea
� ATij(a) se obţine din A adunând la coloana j coloana i înmulţită cu a
� ADi(a) se obţine din A înmulţind elementele coloanei i cu a
� APij se obţine din A permutând coloana i cu coloana j
Dacă A∈Mn,m(R), atunci matricea
� Tij(a)A se obţine din A adunând la linia i linia j înmulţită cu a
� Di(a)A se obţine din A înmulţind elementele liniei i cu a
� PijA se obţine din A permutând linia i cu linia j
Se poate arăta că dacă R este un inel euclidian, atunci orice matrice din
Mn,n(R) al cărei determinant este 1 se poate scrie ca un produs finit de
matrice de forma Tij(a), a∈R. De asemenea, dacă R este un inel euclidian,
atunci orice matrice inversabilă A din Mn,n(R) este egală cu un produs
finit de matrice de forma Tij(a) şi o matrice de forma Di(a) (unde a =
det(A)). Matricele de forma Tij(a), Di(a) şi Pij se numesc matrice
elementare, iar transformările liniare care le corespund se numesc
transformări elementare.
Teorema 4.5.4. Fie R un inel principal şi A o matrice din Mm,n(R). Atunci
există o matrice D sub forma diagonal canonică astfel
încât A ~ D (A este aritmetic echivalentă cu D).
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
194
Demonstraţie. Vom schiţa o demonstraţie constructivă. Trecerea de la A
la D se va face prin transformări succesive. Sunt posibile două cazuri:
1. există un element aij al matricei care divide toate elementele
matricei
2. ar fi i şi j există elemente ale matricei A care nu se divid cu aij.
2.a. există i şi j şi există pe linia i sau coloana j elemente
care nu se divid cu aij.
2.b. există un element aij al matricei care divide toate
elementele de pe linia i şi coloana j (dar nu divide toate
elementele matricei A)
Dacă ne plasăm în cazul 1, prin permutarea liniei i cu linia 1 şi
coloanei j cu coloana 1, elementul aij ajunge în locul lui a11. Deoarece
(noul) a11| a1k, rezultă că există dk astfel încât a1k = a11dk. Deci înmulţind
coloana 1 cu -dk şi adunând-o la coloana k elementul pe poziţia (1,k)
devine 0. Deci prin înmulţirea succesivă la dreapta a matricei A cu
matrice T1k(-dk) (k ≥ 2) elementele de pe prima linie, mai puţin a11, devin
0. Similar, a11| ak1, deci există ck astfel încât ak1 = a11ck. Deci înmulţind
linia 1 cu -ck şi adunând-o la linia k elementul pe poziţia (k, 1) devine 0.
Deci prin înmulţirea succesivă la stânga a matricei A cu matrice Tk1(-ck)
(k ≥ 2) elementele de pe prima coloană, mai puţin a11, devin 0. După
acesta se continuă diagonalizarea cu submatricea formată din ultimele m-
1 linii şi n-1 coloane.
Dacă ne plasăm în cazul 2.a, considerăm un element aij ≠0 cu
proprietatea că numărul de factori primi din descompunerea lui este cel
mai mic, şi permutăm linia i cu linia 1 şi coloana j cu coloana 1. Atunci
fie pe prima linie fie pe prima coloană există un element care nu se divide
cu a11. Dacă a1k este un element de pe prima linie care nu se divide cu a11,
Algebră liniară
195
permutăm coloana k cu coloana 2 şi considerăm că d∈R este cel mai
mare divizor comun al lui a12 şi a11. Atunci există u, v, a, b ∈R astfel
încât
d = ua11 + va12, a11 =da, a12 =db.
Matricea
V =
are determinantul egal cu 1, deci este inversabilă. Matricea AV se obţine
din matricea A prin înlocuirea primelor 2 coloane, după cum urmează
C1 ← uC1 + vC2
C2 ← (-b)C1 + aC2
Elementul de pe poziţia (1,1) al matricei AV este d. Numărul de factori
primi din descompunerea lui d este strict mai mic decât numărul de
factori primi din descompunerea lui a11. Se continuă algoritmul cu noua
matrice AV. Se procedează similar în cazul în care elementul care nu se
divide cu a11 se află pe prima coloană.
Dacă ne plasăm în cazul 2.b, procedând ca în cazul 1 obţinem o
matrice aritmetic echivalentă cu A ale cărei elemente de pe prima linie şi
prima coloană, cu excepţia lui a11, sunt egale cu zero. Dacă apq este un
element din noua matrice care nu se divide cu a11, atunci adunăm la linia
p linia 1 (sau la coloana q coloana 1). Matricea obţinută în urma acestei
transformări satisface condiţiile corespunzătoare cazului 2.a. În toate cele
trei cazuri s-a redus problema la matrice A' aritmetic echivalentă cu A, fie
cu număr de linii şi coloane mai mic decât pentru A, fie având
proprietatea că l(A') ≤ l(A),unde
u -b v a 0 1 0 1
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
196
l(A) = min{l(aij), 1≤i≤m, 1≤j≤n}
l(aij) = numărul de factori primi din descompunerea lui aij.
Formal demonstraţia acestei teoreme se face prin inducţie după
dimensiunea (m,n) a matricei A şi l(A).
Observaţia 4.4.5. Dacă (R, ϕ) este inel euclidian (ϕ fiind funcţia ce
intervine în definiţia acestuia), atunci în demonstraţia teoremei anterioare
putem face inducţia după dimensiunea (m,n) a matricei A şi
ϕ(A) = min{ϕ(aij), aij ≠ 0, 1≤i≤m, 1≤j≤n}.
De asemenea matricea V utilizată în cazul 2.a poate fi înlocuită cu
matricea elementară T12(-q), unde
a12 = a11q + r, ϕ(r) < ϕ(a11).
Deci în cazul unui inel euclidian putem găsi o matrice diagonal-canonică
D aritmetic echivalentă cu A prin aplicarea unui număr finit de
transformări elementare.
Observaţie 4.4.6. Calculele pentru obţinerea matricei diagonal canonice
D a unei matrice A pot fi organizate astfel încât să se obţină şi matricele
U şi V (D =UAV):
→ →…
Exemplul 4.5.7. Fie matricea din M2,3(Z):
A = 3 4 6
2 6 -4
A Im In
U0AV0 U0
V0
UAV U
V
Algebră liniară
197
→
1 = (-1)3 + 1⋅4
C1←(-1)C1+C2
C2← (-4)C1 +3C2
→ →
C3 ← C3 -6C1 L2 ←L2 -4L1
→
2 = 3⋅10 + 1⋅(-28)
C2←3C2 +C3
C3← 14C2+5C3
D = U= V =
Se verifică faptul că UAV = D.
Ţinând cont că Z este inel euclidian, putem obţine forma canonică
a lui A aplicând doar transformări elementare, după cum urmează:
→
L1 ↔L2
3 4 6 1 0 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 6 1 0 4 10 -4 0 1 -1 -4 0 1 3 0 0 0 1
1 0 0 1 0 4 10 -28 0 1 -1 -4 6 1 3 -6 0 0 1
1 0 0 1 0 0 10 -28 -4 1 -1 -4 6 1 3 -6 0 0 1
1 0 0 1 0 0 2 0 -4 1 -1 -6 -26 1 3 12 0 1 5
1 0 -4 1
-1 -6 -26 1 3 12 0 1 5
3 4 6 1 0 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 6 -4 0 1 3 4 6 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 2 0
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
198
→ →
3 =2⋅1+1 L1↔L2
L2←L2-L1
→
L2 ← L2 -2L1
→ →
C2 ← C2+2C1 -24 =10(-3) +6
C3 ← C3 -10C1 C3 ←C3+3C2
→
10 = 6⋅1 +4
C2←C2 -C3
→ →
6 =4⋅1 +2 C2↔C3
C3←C3 -C2
→
C3 ← C3 -2C2
1 -2 10 1 -1 0 10 -24 -2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 6 -4 0 1 1 -2 10 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 -1 0 10 -24 -2 3 1 2 -10 0 1 0 0 0 1
1 -2 10 1 -1 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 -1 0 10 6 -2 3 1 2 -4 0 1 3 0 0 1
1 0 0 1 -1 0 4 6 -2 3 1 6 -4 0 -2 3 0 -1 1
1 0 0 1 -1 0 4 2 -2 3 1 6 -10 0 -2 5 0 -1 2
1 0 0 1 -1 0 2 4 -2 3 1 -10 6 0 5 -2 0 2 -1
1 0 0 1 -1 0 2 0 -2 3 1 -10 26 0 5 -12 0 2 -5
Algebră liniară
199
D = U = V =
Se verifică faptul că UAV = D.
Observaţia 4.5.8. Fie R un inel principal. Pentru orice matrice A ∈
Mm,n(R) notăm cu ∆k(A) cel mai mare divizor comun al minorilor de
ordin k ai lui A (1≤k≤min(m,n)). De asemenea dacă a,b∈R şi a| b, atunci
notăm b/a acel element c∈R astfel încât b =ca. Dacă A,B ∈ Mm,n(R) sunt
două matrice aritmetic echivalente, atunci ∆k(A) şi ∆k(B) sunt două
elemente ale inelului R asociate în divizibilitate pentru orice
1≤k≤min(m,n). (Într-adevăr, dacă pentru o matrice A notăm cu AjC ,
respectiv AjL , coloana j, respectiv linia j a matricei A, atunci
AVjC = A
1j1 Cv + A2j2 Cv +…+ A
nnjCv
UAjL = A
11j Lu + A22j Lu +…+ A
njnLu .
Ca urmare ∆k(A)|∆k(AV) şi ∆k(A)|∆k(AV) pentru orice k. Deoarece A,B ∈
Mm,n(R) sunt aritmetic echivalente, există două matrice inversabile
U∈Mm,m(R) şi V∈Mn,n(R) astfel încât UAV = B. Atunci ∆k(A)|∆k(AV)
∆k(U(AV)) =∆k(B). Cum U-1BV-1 = A, avem şi ∆k(B)|∆k(A), de unde
∆k(A) ~ ∆k(B))
Fie D o matrice sub formă diagonal canonică aritmetic echivalentă
cu A :
1 0 0 0 2 0
1 -1 -2 3
1 -10 26 0 5 -12 0 2 -5
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
200
Avem ∆1(D) = d1, ∆2(D) = d1d2 …, ∆r = d1 d2 … dr, ∆j(D) = 0 pentru
orice j ≥r+1.
Datorită faptului că A şi D sunt aritmetic echivalente
d1 ~ ∆1(A) (asociere în divizibilitate),
d2 ~ ∆2(A)/ d1 ~ ∆2(A)/ ∆1(A) (deoarece ∆2(A) ~d1d2)
dr ~ ∆r(A)/ d1d2..dr-1 ~ ∆r(A)/ ∆r-1(A)
dj = 0 <=> ∆j(A) = 0 (j ≥r+1).
În concluzie matricea sub formă diagonal canonică D cu care A este
aritmetic echivalentă este unic determinată mai puţin o asociere în
divizibilitate a elementelor de pe diagonală. Convenim să numim
matricea D formă diagonal canonică a matricei A.
Fie
A = 3 4 6 2 6 -4 matricea din exemplul 4.5.7. Atunci ∆1(A) = 1 (sau -1 ~ 1). Minorii de
ordinul 2 ai lui A sunt
= 10 = -24 =-52.
Deci ∆2(A) = 2 (sau -2 ~ 2). În consecinţă putem scrie forma diagonal
canonică a lui A:
d1 d2 dr 0 0
3 4 2 6
3 6 2 -4
4 6 6 -4
Algebră liniară
201
D =
4.6. Calculul factorilor invarianţi
Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K de
dimensiune n. Fie B = {e1, e2, …, en} o bază a lui V şi fie u: V→ V o
transformare liniară. Notăm cu MB(u) = (aij)1≤i,j≤n matricea lui u în baza B.
Deci pentru orice i ∈{1,2, …, n}
u(ei) = ∑=
n
1ijijea .
Vom arăta că pentru calculul factorilor invarianţi ai transformării
liniare u, adică al factorilor invarianţi ai K[X]-modulului V asociat lui u,
se poate folosi matricea MB(u). Reamintim că V este K[X]-modul
înzestrat cu adunarea vectorilor (din V) şi operaţie algebrică externă:
K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x
P⋅x = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),
pentru P = α0 + α1X + … +αsXs ∈K[X].
Fie F un K[X]-modul liber de rang n, şi fie {ω1, ω2, …, ωn} o bază
a sa. Din teorema 4.2.17 rezultă că există un morfism de K[X]-module
ϕ : F → V astfel încât ϕ(ωi) = ei pentru orice 1 ≤ i ≤n.
Considerăm K[X] -modulul L = Ker ϕ şi notăm
yi = Xωi - ∑=
ωn
1jjija pentru orice 1 ≤ i ≤n.
Cu aceste notaţii putem scrie :
1 0 0 0 2 0
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
202
= (XIn - MB(u))
Demonstrăm că {y1, y2,…, yn} este o bază a K[X] - modulului L.
Arătăm că mai întâi că yi ∈ L ( adică ϕ(yi) = 0) pentru orice 1 ≤ i ≤ n:
ϕ(yi) = ϕ( Xωi - ∑=
ωn
1jjija ) =X⋅ϕ( ωi) - ( )∑
=
ωϕn
1jjija
= X⋅ei - ∑=
n
1jjijea = u(ei) - u(ei) =0.
Fie y ∈ F. Deoarece {ω1, ω2, …, ωn} este o bază a lui F, rezultă că
există P1, P2, …, Pn ∈ K[X] astfel încât
y = P1⋅ω1 + P2⋅ω2 + … + Pn⋅ωn .
Din yi = Xωi - ∑=
ωn
1jjija , rezultă că Xωi = yi - ∑
=
ωn
1jjija pentru orice 1≤ i ≤n.
Prin aplicarea repetată a acestor relaţii, rezultă că există polinoamele Q1,
Q2, …, Qn∈K[X] şi scalarii α1, α2, …, αn ∈ K astfel încât:
y = ∑=
n
1iii yQ + ∑
=
ωαn
1iii .
Deoarece ϕ(y) = 0 (y ∈L), avem
0 = ϕ(∑=
n
1iii yQ + ∑
=
ωαn
1iii ) = ( )∑
=
ϕ⋅n
1iii yQ + ( )∑
=
ωϕαn
1iii
= ( )∑=
ωϕαn
1iii = ∑
=
αn
1iiie
Cum {e1, e2, …, en} este liniar independentă (fiind bază a spaţiului
vectorial V peste K), obţinem α1 = α2 = … = αn = 0. În consecinţă,
y1 y2 yn
ω1 ω2 ωn
Algebră liniară
203
y = ∑=
n
1iii yQ ,
şi deci {y1, y2,…, yn} este sistem de generatori pentru K[X] - modulul L.
Rămâne să arătăm că {y1, y2,…, yn} este liniar independentă. Fie
polinoamele P1, P2, …, Pn∈K[X] astfel încât:
P1⋅y1 + P2⋅y2 + … + Pn⋅yn = 0.
Presupunem prin absurd că nu toate polinoamele P1, P2, …, Pn sunt nule.
Fie Ps unul dintre polinoamele de grad maxim dintre P1, P2, …, Pn. Avem
Psys = -∑≠=
n
si1i
ii yP < = >
Ps(Xωs - ∑=
ωn
1jjsja ) = -∑ ∑
≠= =
ω−ω
n
si1i
j
n
1jijii aXP < = >
(XPs)ωs - ∑=
ωn
1jjssjPa = - ( )∑
≠=
ωn
si1i
iiXP +∑∑≠= =
ωn
si1i
ji
n
1jijPa < = >
(XPs - assPs)ωs - ∑≠=
ωn
sj1j
jssjPa = - ( )∑≠=
ωn
si1i
iiXP +∑∑≠=
≠=
ωn
si1i
ji
n
sj1j
ijPa +∑≠=
ωn
si1i
siisPa < = >
(XPs - assPs -∑≠=
n
si1i
iisPa )ωs = ( )∑≠=
ωn
si1i
iiXP +∑∑≠=
≠=
ωn
si1i
ji
n
sj1j
ijPa + ∑≠=
ωn
sj1j
jssjPa < = >
Deoarece {ω1, ω2,…, ωn} este liniar independentă (fiind bază a K[X]-
modulului F), coeficientul lui ωs dintr-o combinaţie liniară nulă este nul:
XPs - assPs -∑≠=
n
si1i
iisPa =0 < = > XPs = assPs +∑≠=
n
si1i
iisPa < = > XPs = ∑=
n
1iiisPa
De aici, obţinem că
grad(XPs) ≤ max {grad(Pi), 1 ≤ i ≤ n},
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
204
ceea ce reprezintă a contradicţie cu alegerea polinomului Ps. În
consecinţă, {y1, y2,…, yn} este liniar independentă.
Teorema 4.6.1. Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K
de dimensiune n. Fie u: V→ V o transformare liniară.
Atunci factorii invarianţi ai transformării liniare u
coincid cu polinoamele de grad mai mare ca zero din
matricea diagonal canonică aritmetic echivalentă cu
matricea
XIn - A ∈ Mn,n(K[X]),
unde A= (aij)1≤i,j≤n este matricea lui u în bază oarecare B
a lui V.
Demonstraţie. Folosim notaţiile de la începutul acestei secţiuni.
Deoarece L este un K[X]-submodul liber al lui F, conform teoremei
4.2.18, există o bază {z1, z2, …, zn} a lui L şi o bază {w1, w2, …, wn} a lui
F astfel încât
zi = diwi, pentru orice 1 ≤ i ≤ n
unde di ∈K[X], di ≠ 0 pentru orice 1 ≤ i ≤ n şi d1 | d2 |… | dn. Factorii
invarianţi ai K[X]-modulului V = ϕ(F) (deci factorii invarianţi ai
transformării liniare u) coincid cu polinoamele di neinversabile în K[X],
deci cu polinoamele di de grad mai mare decât zero (vezi demonstraţiile
2.4/pg. 206 şi 2.7/p. 209 [4]). Să arătăm acum că matricea sub formă
diagonal canonică
D =
este aritmetice echivalentă cu matricea
d1 0 d2 0 dn
Algebră liniară
205
XIn - A = ∈Mn,n(K[X])
Deoarece zi = diwi, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, putem scrie
= D
Pe de altă parte, deoarece {z1, z2, …, zn} şi {y1, y2, …, yn} sunt baze ale
lui L, rezultă că există o matrice inversabilă U0 ∈ Mn,n(K[X]) astfel încât
= U0
(putem folosi un raţionament asemănător celui utilizat în secţiunea 1. 4.
pentru stabilirea matricei de trecere de la o bază la alta a unui spaţiu
vectorial). Analog, {w1, w2, …, wn} şi {ω1, ω2, …, ωn} fiind baze ale lui
F, rezultă că există o matrice inversabilă V0 ∈ Mn,n(K[X]) astfel încât
= V0
Deci
U0 (XIn-A) = DV0
= (y1, y2, …, yn)t
Cum {ω1, ω2, …, ωn} este liniar independentă, obţinem
X - a11 -a12 … -a1n -a21 X-a22 … -a2n -an1 -an2 … X - ann
z1 z2 zn
w1 w2 wn
z1 z2 zn
y1 y2 yn
w1 w2 wn
ω1 ω2 ωn
ω1 ω2 ωn
ω1 ω2 ωn
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
206
U0 (XIn-A) = DV0,
sau echivalent U0 (XIn-A) V0-1 = D, ceea ce însemnă că XIn -A şi D sunt
aritmetic echivalente.
Teorema 4.6.2. Fie K un corp comutativ şi A, B ∈ Mn,n(K). Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
1. A şi B sunt matrice asemenea (adică, există o matrice
inversabilă T∈ Mn,n(K) astfel încât TAT-1 = B).
2. XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente
(adică, există două matrice inversabile U0, V0∈ Mn,n(K)
astfel încât U0AV0 = B).
Demonstraţie. 1 => 2. Dacă A şi B sunt matrice asemenea, atunci există
o matrice inversabilă T∈ Mn,n(K) astfel încât TAT-1 = B. Cum T, T-1 ∈
GLn(K), T, T-1 ∈ GLn(K[X]). Din faptul că,
T(XIn - A)T-1 = XIn - B,
rezultă că XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente.
2 => 1. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste K, B o bază a lui
V, şi u,v: V→ V două transformări liniare astfel încât A =MB(u)
(matricea lui u în baza B) şi B=MB(v) (matricea lui u în baza B).
Deoarece XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente, rezultă că u
şi v au aceeaşi factori invarianţi, şi deci aceeaşi divizori elementari. Ca
urmare, Ju = Jv (matricele canonice Jordan ale transformării liniare u şi v
coincid). Există bazele B' şi B" astfel încât MB'(u) = Ju şi MB"(v) = Jv.
Cum A şi Ju reprezintă matricele asociate aceleiaşi transformări liniare u
în baze diferite, rezultă că A şi Ju sunt matrice asemenea. La fel, B
=MB(v) şi MB"(v) =Jv sunt asemenea. Obţinem că A şi B sunt asemenea
(deoarece sunt asemenea cu Ju = Jv).
Algebră liniară
207
Definiţia 4.6.3. Fie K un corp comutativ şi A∈∈∈∈Mn,n(K). Matricea
XIn - A ∈ Mn,n(K[X])
se numeşte matricea caracteristică a lui A.
Fie D ∈ Mn,n(K[X]) o matrice sub formă diagonal canonică astfel încât D
şi A să fie aritmetic echivalente. Cum A poate fi privită ca matricea
asociată unei transformări liniare u: V → V (V spaţiu vectorial n-
dimensional peste corpul K), din demonstraţia teorema 4.6.1, deducem că
D =
unde di, 1 ≤ i ≤ m, sunt polinoame unitare de grad mai mare decât zero cu
proprietatea că d1 | d2 | … | dm. Polinoamele d1, d2, …, dm se numesc
factorii invarianţi ai matricei A, iar polinoamele kiπ , 1 ≤ i ≤ p, rezultate
din descompunerea polinoamelor d1, d2, …, dm în factori ireductibili
neasociaţi în divizibilitate se numesc divizori elementari ai matricei A.
Factorii invarianţi şi divizorii elementari ai lui A sunt unic determinaţi
dacă cerem să fie polinoame unitare.
Corolarul 4.6.4. Fie K un corp comutativ şi A, B∈Mn,n(K). Matricele A şi
B au aceiaşi factori invarianţi dacă şi numai dacă sunt
asemenea.
Demonstraţie. Se aplică teorema 4.6.2.
1 1 O 1 d1 d2 O dm
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
208
Corolarul 4.6.5. Fie K un corp comutativ şi Pentru orice matrice
A∈Mn,n(K) există o matrice canonică Jordan JA astfel
încât A şi JA să fie asemenea.
Demonstraţie. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste K, B o
bază a lui V, şi u: V→ V o transformare liniară astfel încât A =MB(u)
(matricea lui u în baza B). Există o baza B' astfel încât MB'(u) = Ju. Cum
A şi Ju reprezintă matricele asociate aceleiaşi transformări liniare u în
baze diferite, rezultă că A şi Ju sunt matrice asemenea. Luăm JA = Ju.
Definiţie 4.6.6. Fie K un corp comutativ. Se numeşte formă canonică
Jordan (peste K) a matricei A∈Mn,n(K) o matrice
canonică Jordam JA∈∈Mn,n(K) care este asemenea cu A.
Forma canonică Jordan JA a matricei A este unică, mai puţin ordinea
celulelor pe diagonală.
Algoritm pentru calculul formei canonice Jordan a unei
matrice A ∈∈∈∈ Mn,n(K), K corp comutativ
Pas 1. Se aduce matricea caracteristică XIn - A la forma diagonal
canonică
D =
Pas 2. Factorii invarianţi ai matricei A sunt polinoamele unde di, 1 ≤ i ≤
m, (de grad mai mare decât zero)
1 1 O 1 d1 d2 O dm
Algebră liniară
209
Pas 3. Se determină divizorii elementari ikiπ , 1 ≤ i ≤ p, prin
descompunerea polinoamelor d1, d2, …, dm în factori ireductibili
neasociaţi în divizibilitate.
Pas 4. Scrierea formei canonice Jordan: pentru fiecare divizor elementar
ikiπ se ataşează companionul
iCπ , şi cu acest companion se construieşte
celula Jordan iki
Jπ
corespunzătoare lui ikiπ . Matricea canonică Jordan se
obţine aşezând celulele Jordan pe diagonală
1k1
Jπ
2k2
Jπ
pkp
Jπ
Exemplul 4.6.7. Să se aducă la forma canonică Jordan (peste R)
matricea A din M3,3(R):
A =
Aducem matricea caracteristică XI3 - A la forma diagonal canonică
(utilizând transformări elementare):
XI3 - A = ~
C2 ←C2+2C3
~
C1 ↔ C2
X-4 1 -2 -5 X+1 -3 -6 2X+1 X- 4
4 -5 2 5 -7 3 6 -9 4
X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4
1 X-4 -2 X+1 -5 -3 2X+1 -6 X- 4
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
210
~
C2 ← C2 - (X-4)C1, C3 ←C3 +2C1
~
L2 ← L2 - (X+1)L1, L3 ←L3 +(2X+1)L1
~
L3 ← L3 - 2L2
~
L2 ← L2 - 2L3
~
C2 ↔ C3
~
C3 ← C3 +(-X2 +X -1)C2
~
L3 ← L3 +XL1
Factorii invarianţi pentru A : X3 - X2 = X2(X-1)
Divizorii elementari: X2, X-1:
Celulele Jordan : JX2 = JX-1 = ( 1 )
1 0 0 X+1 -X2 +3X-1 2X-1 2X+1 -2X2 +7X-2 5X- 2
1 0 0 0 -X2 +3X-1 2X-1 0 -2X2 +7X-2 5X- 2
1 0 0 0 -X2 +3X-1 2X-1 0 X X
1 0 0 0 -X2 +X-1 -1 0 X X
1 0 0 0 -1 -X2 +X -1 0 X X
1 0 0 0 -1 0 0 X -X3 + X2
1 0 0 0 -1 0 0 0 -X3 + X2
0 1 0 0
Algebră liniară
211
Deci forma canonică Jordan a matricei A este:
Putem aduce matricea caracteristică XI3 - A la forma diagonal canonică
şi folosind minorii. Notăm cu ∆i cel mai mare divizor comun al minorilor
de ordin i ai matricei XI3 - A (1 ≤ i ≤ 3).
XI3 - A =
Evident ∆1 = 1. Cum
= -3X-2 = 2X-1
sunt minori de ordinul 2 ai matricei XI3 - A şi sunt primi între ei, rezultă
că ∆2 = 1.
∆3 = =X3 - X2
Deci d1 ~ ∆1 = 1, d2 ~∆2/∆1 =1, d3 ~ ∆3/∆2 = X3 - X2, şi în consecinţă
forma diagonal canonică a matricei XI3 - A este:
0 1 0 0 0 0 0 0 1
X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4
X-4 -2 -5 -3
5 -2 X+7 -3
X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4
1 0 0 0 1 0 0 0 X3 - X2
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
212
4.7. Valori şi vectori proprii
Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K, şi fie u : V →
V o transformare liniară.
Definiţia 4.7.1. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie (sau
caracteristică) a lui u dacă există un vector nenul x ∈ V
astfel încât u(x) = λx. Orice vector nenul x ∈ V astfel cu
proprietatea că u(x) = λx. se numeşte vector propriu (sau
caracteristic) al lui u corespunzător valorii proprii λ.
Considerăm pe V structura de K[X] - modul definită de adunarea
vectorilor din V şi de operaţia algebrică externă:
K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x
P⋅x = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),
pentru P = α0 + α1X + … +αsXs.
Propoziţia 4.7.2. Fie x un vector din spaţiu vectorial finit dimensional V.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. Dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un subspaţiu vectorial
al lui V peste K este egală 1.
2. x≠0 şi există un scalar λ ∈ K astfel încât u(x) = λx
Demonstraţie. 1 => 2. Dacă dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un
subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală 1, atunci x ≠0 (altfel
K[X]⋅x = {0}). Pe de altă parte din lema 4.3.4, rezultă că dimensiunea lui
K[X]⋅x privit ca un subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală cu
gradul polinomului µx. Deci µx este polinom unitar de grad 1, şi ca
urmare există λ∈K astfel încât µx = X - λ. Cum
Algebră liniară
213
0 = µx⋅x = u(x) - λx,
obţinem că u(x) =λx.
2 = > 1. Dacă există un scalar λ ∈ K astfel încât u(x) = λx, atunci u(x) -
λx = 0, şi deci (X - λ)⋅x = 0. De aici rezultă că µx | (X-λ), de unde
deducem că grad(µx) ≤ 1. Cum V este K[X] modul de torsiune (conform
lemei 4.3.2), AnnK[X]{x} ≠ 0, ceea ce implică grad(µx) ≥ 1. În consecinţă,
grad(µx) =1, şi deci dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un subspaţiu
vectorial al lui V peste K este egală 1 (conform lemei 4.3.4).
Definiţia 4.7.3. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie (sau
caracteristică) a unei matrice A∈Mn,n(K) dacă există un
vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn astfel încât Axt = λxt.
Orice vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn cu proprietatea
că Axt = λxt se numeşte vector propriu (sau caracteristic)
al lui A corespunzător valorii proprii λ.
Datorită corespondenţei biunivoce dintre endomorfismele unui
spaţiu vectorial V n-dimensional peste corpul comutativ K, u : V → V, şi
matricele A∈Mn,n(K), rezultă că un scalar λ ∈ K este valoare proprie
pentru u: V →V dacă şi numai dacă este valoare proprie pentru MB(u)t,
unde MB(u) este matricea lui u într-o bază oarecare B.
Definiţia 4.7.4. Fie A ∈Mn,n(K). Polinomul PA∈K[X]:
PA = det (XIn - A) =
= Xn - (a11 + a22 + … + ann)Xn-1 + … + (-1)ndet(A)
se numeşte polinomul caracteristic al matricei A.
X-a11 -a12 … -a1n -a21 X - a22 … -a2n -an1 -an2 … X-ann
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
214
În unele lucrări polinomul caracteristic al matricei A
este definit ca
det (A - XIn ) =
=(-1)n det (XIn - A)
Vom opta pentru prima variantă. Se observă că polinomul
caracteristic al matricei A şi cel al matricei At coincid.
Propoziţia 4.7.5. Orice două matrice asemenea A, B ∈Mn,n(K) au
polinoame caracteristice egale.
Demonstraţie. Dacă A, B ∈Mn,n(K) sunt asemenea, atunci există
T∈GLn(K) astfel încât TAT-1 = B. Avem
PA = det(XIn - A) = det(T(XIn - A)T-1)
= det(XIn - TAT-1) = det(XIn - B) = PB.
Definiţia 4.7.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp
comutativ K şi fie B o bază a lui V. Fie u: V→V o
transformare liniară. Se numeşte polinom caracteristic al
transformării liniare u polinomul caracteristic al
matricei MB(u) (unde MB(u) este matricea lui u în baza
B). Din propoziţia 4.8.5 rezultă că polinomul
caracteristic al lui u nu depinde de baza B.
Propoziţia 4.7.7. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul
comutativ K. Fie d1, d2, …, dm factorii invarianţi ai
transformării liniare u : V → V (respectiv ai matricei
a11 - X a12 … a1n a21 a22 - X … a2n an1 an2 … ann -X
Algebră liniară
215
A∈Mn,n(K)). Fie Pu (respectiv, PA) polinomul
caracteristic al transformării liniare u (respectiv,
polinomul caracteristic al matricei A) Atunci:
1. Pu = d1d2…dm (respectiv, PA = d1d2…dm)
2. Dacă µu (respectiv, µA) este polinomul minimal al lui u
(respectiv polinomul minimal al lui A), atunci µu = dm
(respectiv, µA = dm). În consecinţă, polinoamele
minimale divid polinoamele caracteristice.
Demonstraţie. 1. Fie B o bază în V şi fie MB(u) matricea lui u în baza B.
Fie D matricea sub formă diagonal canonică aritmetic echivalentă cu XIn
- MB(u) (respectiv, cu XIn - A) :
D =
Polinoamele unitare di, 1 ≤ i ≤ m, de grad mai mare decât zero cu
proprietatea că d1 | d2 | … | dm, sunt factorii invarianţi. Cum XIn - MB(u)
(respectiv cu XIn - A) şi D sunt aritmetic echivalente, det(XIn - MB(u))
(respectiv cu det(XIn - A)) şi det(D) sunt polinoame asociate în
divizibilitate. Fiindcă sunt polinoame unitare, rezultă de fapt că
det(XIn - MB(u)) =det (D) (respectiv, det(XIn - A) =det (D)).
În consecinţă, Pu = d1d2…dm (respectiv, PA = d1d2…dm).
2. Rezultatul se obţine din lema 4.3.3.
1 1 O 1 d1 d2 O dm
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
216
Teorema 4.7.8. (Teorema Hamilton-Cayley) Fie V un spaţiu vectorial
finit dimensional peste corpul comutativ K. Orice
transformare liniară u : V→V (respectiv matrice
A∈Mn,n(K)) este rădăcina a polinomului său
caracteristic.
Demonstraţie. Transformarea liniară u (respectiv matricea A) este
rădăcină a polinomului ei minimal (din definiţia polinomului minimal).
Din propoziţia precedentă rezultă că polinomul minimal divide polinomul
caracteristic. Deci, u (respectiv A) este şi rădăcină a polinomului
caracteristic.
Alternativ, putem demonstra această teoremă, utilizând doar
definiţia polinomului caracteristic. Pentru orice matrice C, notăm cu C+
matricea formată prin transpunerea lui C şi înlocuirea fiecărui element cu
complementul său algebric. Matricea C+ are proprietatea că CC+ = C+C =
det(C)In. Avem
(XIn - A)+ =Bn-1Xn-1 + Bn-2X
n-2 + … + B1X + B0,
unde Bk ∈ Mn,n(K) pentru orice 0 ≤ k ≤ n. Pe de altă parte,
(XIn - A)(XIn - A)+ = det(XIn - A)In = PA(X)In =
= (Xn + an-1Xn-1 + … +a1X + a0)In.
Înlocuind (XIn - A)+ obţinem,
Bn-1Xn + (Bn-2 - ABn-1)X
n-1 + … +(B0 -AB1)X - AB0 =
= (Xn + an-1Xn-1 + … +a1X + a0) In.
Identificând coeficienţii, avem
Bn-1 = In
Bn-2 - ABn-1 = an-1In
B0 -AB1 = a1In
- AB0 = a0In
Algebră liniară
217
Înmulţind la stânga prima egalitate cu An, a doua cu An-1, ş.a.m.d. şi
adunându-le obţinem:
O = An + an-1An-1 + … +a1A + a0 In.
Teorema 4.7.9. (Teorema lui Frobenius) Fie V un spaţiu vectorial finit
dimensional peste corpul comutativ K. Polinomul
minimal şi polinomul caracteristic ale unei transformări
liniare u:V→V (respectiv ale unei matrice A∈Mn,n(K)) au
aceiaşi factori ireductibili (peste K).
Demonstraţie. Fie Pu (respectiv µu) polinomul caracteristic (respectiv,
polinomul minimal) al transformării liniare u. Fie d1, d2, …, dm
(polinoame unitare cu proprietatea că d1 | d2 | … | dm) factorii invarianţi ai
transformării liniare u. Atunci din propoziţia 4.8.7 rezultă că Pu = d1d2,
…dm şi µu =dm. Cum di| dm pentru orice 1 ≤ i ≤ m, rezultă că Pu şi µu au
aceiaşi factori ireductibili. Analog, pentru polinomul caracteristic şi
polinomul minimal asociate unei matrice.
Teorema 4.7.10. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul
comutativ K. Fie Pu polinomul caracteristic al
transformării liniare u:V→V (respectiv, PA polinomul
caracteristic al matricei A∈Mn,n(K). Atunci λ∈K este o
valoare proprie a lui u (respectiv, a lui A) dacă şi numai
dacă Pu(λ) = 0 (respectiv, PA(λ) =0).
Demonstraţie. => Fie µu polinomul minimal al lui u. Presupunem că λ∈K
este o valoare proprie a lui u. Atunci există un vector nenul x∈V astfel
încât u(x) = λx, ceea ce este echivalent cu (X-λ)⋅x =0. Ţinând cont şi de
faptul că x≠0 rezultă că µx = X -λ. Dar µx | µu | Pu , de unde Pu(λ).
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
218
<= Fie λ∈K astfel încât Pu(λ) =0. Atunci (X - λ) | Pu şi în plus, (X - λ)
este ireductibil. De aici rezultă că (X - λ) | µu (din teorema lui Frobenius
Pu şi µu au aceeaşi factori ireductibili). Fie Q astfel încât µu =(X - λ) Q.
Din lema 4.3.3 rezultă că există y ∈ V astfel încât µu = µz. Dacă luăm x =
Q⋅y, atunci µx = X - λ. Deci u(x) = λx şi x ≠ 0.
Cum orice matrice A poate fi privită ca matricea asociată unei
transformări liniare u: V → V, rezultă că rezultatul demonstrat pentru
transformări liniare este valabil şi pentru matrice.
Alternativ, prezentăm o demonstraţie a acestei teoreme care nu
foloseşte noţiunea de polinom minimal şi teorema lui Frobenius. Scalarul
λ ∈K este valoare proprie pentru A = (aij)1≤i,j≤n dacă şi numai dacă există
un vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn astfel încât Axt = λxt, sau
echivalent dacă şi numai dacă sistemul
admite soluţii nebanale. Condiţia necesară şi suficientă că sistemul (liniar
şi omogen) de mai sus să admită soluţii nebanale este
= 0,
adică PA(λ) = 0.
Observaţia 4.7.11. În cele ce urmează vom formula rezultatele doar
pentru transformări liniare u: v → V (V spaţiu vectorial peste un corp
comutativ K). Ele pot fi uşor transpuse şi pentru matrice pătrate cu
(λ-a11)x1 - a12x2 … - a1nxn = 0 -a21 x1 + (λ - a22) x2 … - a2nxn = 0 -an1 x1 - an2x2 … + (λ-ann) xn = 0
λ-a11 -a12 … -a1n -a21 λ - a22 … -a2n -an1 -an2 … λ-ann
Algebră liniară
219
elemente în corpul K, ţinând cont că orice matrice poate fi privită ca
matricea asociată unei transformări liniare.
Lema 4.7.12. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u : V
→ V o transformare liniară. Dacă λ este o valoare
proprie a lui u, atunci mulţimea Vλ = {x ∈ V : u(x) = λx}
este un subspaţiu invariant faţă de u.
Demonstraţie. Fie x, y ∈Vλ şi fie α, β ∈K. Atunci
u(αx + βy) =αu(x) + βu(y) = α(λu(x)) + β(λu(y))
= λ(αu(x)) + λ(βu(y)) =λ(αu(x) + βu(y))
=λ(u(αx + βy) ,
de unde rezultă că αx + βy ∈Vλ, şi deci că Vλ este subspaţiu vectorial al
lui V. Pentru orice x ∈ Vλ, avem
u(u(x)) = u(λx) = λu(x),
ceea ce înseamnă că u(x) ∈ Vλ. Deci u(Vλ) ⊂ Vλ, sau echivalent Vλ este
subspaţiu invariant faţă u.
Definiţia 4.7.13. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K, u :
V → V o transformare liniară, şi λ o valoare proprie a
lui u. Mulţimea Vλ = {x ∈ V : u(x) = λx} se numeşte
subspaţiu propriu ataşat valorii proprii λ. Dimensiunea
subspaţiului propriu Vλ (ca subspaţiu vectorial a lui V
peste K) se numeşte multiplicitatea geometrică a valorii
proprii λ. Multiplicitate algebrică a valorii proprii λ este
multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului
caracteristic Pu (reamintim că r este multiplicitatea lui λ
ca rădăcină a polinomului Pu sau λ este rădăcină
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
220
multiplă de ordin r a lui Pu, dacă (x - λ)r | Pu iar (X - λ)r+1
nu divide Pu).
Lema 4.7.14. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K. Pentru
orice transformare liniară u : V → V, subspaţiile proprii
corespunzătoare la valori proprii distincte, sunt disjuncte
(adică intersecţia lor este subspaţiul vectorial {0}).
Demonstraţie. Fie λ1 şi λ2 două valori proprii distincte ale lui u.
Presupunem prin absurd că există x ∈ 1
Vλ ∩ 2
Vλ , x ≠ 0. Atunci u(x) =
λ1x şi u(x) = λ2x, de unde, obţinem că 0 = λ1x - λ2x = (λ1 - λ2)x, adică x
=0, ceea ce este absurd. Deci 1
Vλ ∩ 2
Vλ = {0}.
Lema 4.7.15. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K. Pentru
orice transformare liniară u : V → V, vectorii proprii
corespunzători la valori proprii distincte, sunt liniar
independenţi.
Demonstraţie. Fie S = {x1, x2, …, xm} un sistem de vectori poprii
corespunzători respectiv valorilor proprii distincte două câte două λ1, λ2,
…, λm. Demonstrăm că S este un sistem liniar independent prin inducţie
după m. Pentru m = 1 afirmaţia este evidentă deoarece orice vector
propriu este nenul. Presupunem afirmaţia adevărată pentru m -1 şi o
demonstrăm pentru m. Fie scalarii α1, α2, …, αm ∈ K astfel încât:
α1x1 + α2x2 + … + αmxm = 0. (1)
Aplicând u în relaţia (1) rezultă
α1λ1x1 + α2λ2x2 + … + αmλmxm = 0. (2)
Înmulţind relaţia (1) cu λm şi scăzând-o din (2), obţinem
Algebră liniară
221
α1(λ1 - λm)x1 + α2(λ2 - λm)x2 + … + αm-1(λm-1 - λm)xm-1 = 0.
Din ipoteza de inducţie rezultă că
α1(λ1 - λm) = α2(λ2 - λm) = … =αm-1(λm-1 - λm) = 0,
şi cum λm este diferită de λi pentru orice 1 ≤ i ≤m-1, obţinem
α1 = α2 = … =αm-1= 0.
Ţinând cont din nou de relaţia (1) rezultă că αmxm = 0, de unde αm = 0. În
consecinţă sistemul {x1, x2, …, xm} este liniar independent.
Propoziţia 4.7.16. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste
corpul comutativ K şi u : V → V o transformare liniară.
Multiplicitatea geometrică a oricărei valori proprii a lui
u este mai mică sau egală cu multiplicitatea ei algebrică.
Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie a lui u şi fie Vλ subspaţiu propriu
corespunzător lui λ. Notăm cu p multiplicitatea geometrică a lui λ (adică
dimensiunea subspaţiului Vλ) şi cu m multiplicitatea algebrică a lui λ
(adică multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului caracteristic Pu).
Presupunem prin absurd că p > m. Considerăm o bază {x1, x2, …, xp} a
lui Vλ pe care o completăm până la o bază a lui V: B={x1, x2, …, xp xp+1,
…, xn } (n fiind dimensiunea spaţiului vectorial V). Deoarece u(xi) = λxi
pentru orice 1 ≤ i ≤ p, matricea lui u în baza B este de forma
MB(u) =
λ 0 … 0 0 … 0 0 λ … 0 0 … 0 0 0 … λ 0 … 0 αp+1,1 αp+1,2 …αp+1,p αp+1,p+1…αp+1,n αn1 αn2 … αnp αn,p+1 … αnn
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
222
unde αij∈ K oricare ar fi p+1 ≤ i ≤n şi 1 ≤ j ≤ n. Deci polinomul
caracteristic al lui u este Pu = det(XIn - MB(u)), adică
Pu =
De aici rezultă că există un polinom P1 ∈ K[X] astfel încât
Pu = (X - λ)p P1,
de unde deducem că multiplicitatea m a lui λ ca rădăcină a lui Pu este mai
mare sau egală decât p > m ceea ce este o contradicţie. În consecinţă,
presupunerea că p > m este falsă.
4.8. Forma diagonală
Definiţia 4.8.1. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul
comutativ K. O transformare liniară u : V → V se
numeşte diagonalizabilă dacă există o bază B a lui V
astfel încât matricea lui u în această bază să fie
diagonală:
MB(u) =
O matrice A ∈Mn,n(K) se numeşte diagonalizabilă dacă
este asemenea cu o matrice diagonală.
X-λ 0 … 0 0 … 0 0 X-λ … 0 0 … 0 0 0 … X-λ 0 … 0 -αp+1,1 -αp+1,2 …-αp+1,p X-αp+1,p+1…-αp+1,n -αn1 -αn2 … -αnp -αn,p+1 … X-αnn
d1 0 … 0 0 d2 … 0 0 0 … dn
Algebră liniară
223
Observaţia 4.8.2. Ca şi în secţiunea precedentă, vom formula rezultatele
legate de diagonalizare doar pentru transformări liniare u: v → V (V
spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K). Ele pot fi
uşor transpuse şi pentru matrice pătrate cu elemente în corpul K, ţinând
cont că orice matrice poate fi privită ca matricea asociată unei
transformări liniare.
Teorema 4.8.3. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul
comutativ K şi u : V → V o transformare liniară.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. u diagonalizabil
2. Rădăcinile polinomului caracteristic Pu sunt în K, şi
pentru fiecare valoare proprie a lui u multiplicitatea ei
algebrică este egală cu multiplicitatea ei geometrică.
Demonstraţie. Fie n dimensiunea spaţiului vectorial V peste K.
1 => 2. Dacă u este diagonalizabil, atunci există o bază B = {x1, x2, …,
xn} astfel încât matricea lui u în bază B să fie diagonală
MB(u) =
unde λi de pe diagonală se repetă de mi pentru orice 1 ≤ i ≤p, şi λi ≠ λj
pentru orice i ≠ j. Atunci polinomul caracteristic al lui u este
λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 0 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
224
Pu = det(XIn - MB(u)) = ( )∏=
λ−p
1i
mi
iX .
Cum MB(u) ∈ Mn,n(K), m1 + m2 + … +mp =n, şi ca urmare polinomul Pu
are n rădăcini (deci toate) în corpul K. Fie gi multiplicitatea geometrică a
valorii proprii λi, adică dimensiunea subspaţiului propriu i
Vλ . Din faptul
că matricea lui u în baza B are forma de mai sus, rezultă că
u(xj) = λi xj pentru orice ∑−
=
1i
1kkm + 1≤ j ≤∑
=
i
1kkm ,
şi deci xj ∈ iVλ pentru orice ∑
−
=
1i
1kkm + 1≤ j ≤∑
=
i
1kkm . De aici rezultă că
dimensiunea lui i
Vλ (adică gi) este mai mare decât mi. Din propoziţia
4.8.16 gi ≤ mi. Deci gi = mi pentru orice 1 ≤ i ≤ p.
2 => 1. Fie p numărul de rădăcini distincte ale polinomului
caracteristic Pu şi {λi : 1≤ i ≤ p} rădăcinile distincte. Fie mi multiplicitatea
rădăcinii λi pentru orice 1≤ i ≤ p. Fie Bi o bază pentru subspaţiu propriu
iVλ pentru orice 1≤ i ≤ p. Fie B = {x1, x2, …, xn} o mulţime de vectori
din V astfel încât primii m1 să fie vectorii din B1, următorii m2 să fie
vectorii din B2, şi aşa mai departe. Demonstrăm că B este o bază a lui V.
Deoarece numărul de vectori din B coincide cu dimensiunea lui V este
suficient să arătăm că B este liniar independentă. Fie scalarii α1, …, αn ∈
K astfel încât α1x1 + …+αnxn = 0. Notăm
fi = ∑−
=
+
α1n
njjj
1i
i
x , unde ni =∑−
=
1i
1kkm + 1, pentru orice 1 ≤ i ≤ p.
Avem fi ∈ iVλ pentru orice 1 ≤ i ≤ p şi f1 + f2 +…+fp = 0. Nu pot exista
vectori fi nenuli, deoarece vectorii proprii corespunzători la valori proprii
Algebră liniară
225
distincte sunt liniari independenţi. Deci ∑−
=
+
α1n
njjj
1i
i
x =0 pentru orice 1 ≤ i ≤
p. Dar {inx , 1ni
x + , …, 1mn iix −+ } este o bază în
iVλ , ceea ce implică αj =0
pentru orice ni ≤ j ≤ ni+1 -1. Deci B este o mulţime liniar independentă.
Matricea lui u în baza B este diagonală:
MB(u) =
Corolarul 4.8.4. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul
comutativ K şi u : V → V o transformare liniară. Dacă u
este diagonalizabil şi dacă λ1, λ2, …, λp sunt cele p valori
proprii distincte ale lui u, atunci
V = i
Vλ ⊕2
Vλ ⊕…⊕p
Vλ ,
unde i
Vλ este subspaţiul propriu corespunzător lui λi
pentru orice 1 ≤ i ≤ p.
Demonstraţie. Fie Bi o bază pentru subspaţiu propriu i
Vλ pentru orice
1≤ i ≤ p. Fie B = {x1, x2, …, xn} o mulţime de vectori din V astfel încât
primii m1 să fie vectorii din B1, următorii m2 să fie vectorii din B2, şi aşa
mai departe. Utilizând aceleaşi argumente ca în demonstraţia de la 2 => 1
din teorema precedentă, rezultă că B este o bază a lui V.
λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 1 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
226
Teorema 4.8.5. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste un corp
comutativ K având mai mult de n elemente. Fie u : V → V
o transformare liniară. Următoarele afirmaţii sunt
echivalente:
1. u este diagonalizabil
2. Există o bază a spaţiului vectorial V formată din
vectori proprii ai lui u
3. Polinomul minimal al u este de forma
(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm)
cu λi ∈ K pentru orice 1 ≤ i ≤ m, şi λi ≠ λj pentru i ≠ j
(m≤ n).
4. Există o transformare liniară v: V → V cu n valori
proprii distincte astfel încât uo v = v ou.
Demonstraţie. 1 =>2. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază în care matricea lui u
are forma :
MB(u) =
Atunci u(xi) = λixi şi xi ≠0 pentru orice 1 ≤ i ≤n. Deci baza este formată
din vectori proprii ai lui u.
2 => 1. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază formată din vectori proprii ai
lui u. Atunci pentru orice 1 ≤ i ≤n, există λi astfel încât u(xi) = λixi. Cum
matricea lui u în această bază este
λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn
λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn
Algebră liniară
227
rezultă că u este diagonalizabil.
1 => 4. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază în care matricea lui u este :
MB(u) =
Fie {β1, β2, …, βn} o submulţime a lui K cu proprietatea că βi ≠ βj pentru
orice i ≠ j. Definim v : V → V, prin v(xi) = βixi pentru orice 1 ≤ i ≤ n.
Atunci {β1, β2, …, βn} sunt valorile proprii ale lui v şi
uov (xi) = u(βixi) = βiλixi = λiβixi =
= λiv(xi) = v(λixi) = v(u(xi)) = v ou(xi)
pentru orice 1 ≤ i ≤n.
4 = > 1. Fie v: V → V o transformare liniară cu n valori proprii
distincte astfel încât uov = v ou. Fie {β1, β2, …, βn} valorile proprii
(distincte) ale lui v şi fie B baza lui V formată din vectori proprii ai lui v.
Atunci
MB(v) =
Deoarece uov = v ou, avem MB(u) MB(v) = MB(v) MB(u). Dacă MB(u)
=(αij)ij atunci din egalitatea precedentă rezultă că αijβj =βiαij pentru orice i
şi j. Cum βi ≠ βj pentru i ≠ j, αij = 0 dacă i ≠ j. Deci matricea lui u în baza
B este diagonală.
1 =>3. Fie B = {x1, x2, …, xn} o bază astfel încât matricea lui u în
bază B să fie
β1 0 … 0 0 β2 … 0 0 0 … βn
λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
228
MB(u) =
unde λi de pe diagonală se repetă de mi pentru orice 1 ≤ i ≤p, şi λi ≠ λj
pentru orice i ≠ j. Arătăm că polinomul minimal al lui u este
µu =(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm).
Pentru a arăta că µu(u) = 0 este suficient să arătăm că xi ⋅ µu = 0 pentru
orice 1 ≤ i ≤n. Avem
xi ⋅ µu = (u(xi) - λ1xi)… (u(xi) - λixi)… (u(xi) - λnxi)
=(u(xi) - λ1xi)… (λixi - λixi)… (u(xi) - λnxi)
= 0.
Fie P =α0 + α1X + … + αsXs ∈K[X] cu proprietatea că P⋅x = 0 pentru
orice x ∈ V. Pentru orice 1 ≤ i ≤ n, din
P⋅ei = α0ei + α1u(ei) + … + αsus(ei)
= α0ei + α1λiei + … + αsλisei
= (α0 + α1λi + … + αsλis)ei
rezultă că (α0 + α1λi + … + αsλis)ei = 0, şi ca urmare (α0 + α1λi + … +
αsλis) = 0. Am obţinut astfel că λi este rădăcina a lui P, ceea ce implică
(X-λi)| P pentru orice 1 ≤ i ≤ n. Cum λi ≠ λj pentru orice i ≠ j, rezultă
(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm) | P, adică µu | P.
λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 2 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp
Algebră liniară
229
3 =>1. Fie d1, d2, …, dm factorii invarianţi ai transformării liniare
u:V → V. Din propoziţia 4.8.7 rezultă că µu = dm (µu fiind polinomul
minimal al lui u). Deoarece dm =(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm) cu λi ∈ K
pentru orice 1 ≤ i ≤m, m ≤n şi λi ≠ λj pentru i ≠ j, rezultă că pentru k < m
factorul invariant dk este fie 1 fie un produs de polinoame de forma jiλ cu
jiλ distincte. Deci divizorii elementari sunt de forma X -jiλ . Matricea
canonică Jordan este în acest caz o matrice diagonală:
Ju =
Fiecare valoare proprie λi se repetă pe diagonală de un număr de ori egal
cu numărul de divizori elementari ai lui u de forma X - λi.
4.9. Endomorfisme peste corpuri algebric închise
Scopul acestui subcapitol este prezentarea unei alte modalităţi de
aducere la forma canonică Jordan a unui endomorfism u : V → V, cu V
spaţiu vectorial peste corpul comutativ algebric închis K.
λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 3 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λm 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λm…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λm
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
230
Teorema 4.9.1. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste un corp
comutativ K. Fie u : V → V un endomorfism al cărui
polinom caracteristic este
Pu(X) = ( ) 1n1X λ− ( ) 2n
2X λ− … ( ) mnmX λ− ,
unde λi ≠ λj pentru orice i ≠ j şi ∑=
m
1iin = n. Dacă Vi =
Ker ( ) iniIu λ− pentru orice 1 ≤ i ≤m, atunci
1. Vi este subspaţiu invariant la u pentru orice 1 ≤ i ≤ m
2. V = V1 ⊕V2⊕…⊕Vm
Demonstraţie. 1. Fie x ∈ Vi. Atunci ( ) iniIu λ− (x) = 0 şi deci
( ) iniIu λ− (u(x)) = u( ( ) in
iIu λ− (x)) = u(0) =0,
de unde rezultă că u(x) ∈ Vi.
2. Considerăm polinoamele Pi(X) = Pu(X)/ ( ) iniX λ− , 1 ≤ i ≤ m. Cum λi
≠ λj pentru orice i ≠ j, polinoamele Pi sunt prime între ele. Prin urmare,
există polinoamele Q1, .., Qm astfel încât Q1P1 + Q2P2 + …+QmPm = 1. De
aici rezultă că Q1(u)P1(u) + Q2(u)P2(u) + …+Qm(u)Pm(u) = I. Pentru orice
x ∈ V, notăm xi = (Qi(u)Pi(u))(x), 1 ≤ i ≤ m. Avem x = x1 + x2 + …+xm.
Pe de altă parte ( ) iniIu λ− (xi) = Qi(u) ( ) in
iIu λ− Pi(u)(x) = Qi(u)Pu(u)(x)
= 0, deoarece Pu(u) = 0 conform teoremei Hamilton-Cayley. Deci xi ∈Vi.
Am arătat astfel că V = V1 + V2 + …+ Vm Cum λi ≠ λj pentru i ≠ j, avem
Vi ∩ ∑≠ij
jV = φ (demonstraţie prin inducţiei după m) şi deci suma
subspaţiilor Vi este directă.
Algebră liniară
231
Teorema 4.9.2. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste un corp
comutativ K algebric închis. Fie u : V → V un
endomorfism Atunci există o bază B = {e1, e2, …, en} a
lui V astfel încât matricea asociată lui u în baza B să fie
Ju (matricea canonică Jordan asociată lui u).
Demonstraţie. Fie Pu polinomul caracteristic. Deoarece K algebric
închis, rezultă că Pu poate fi scris sub forma
Pu(X) = ( ) 1n1X λ− ( ) 2n
2X λ− … ( ) mnmX λ− ,
unde λi ≠ λj pentru orice i ≠ j şi ∑=
m
1iin = n. Dacă Vi = Ker ( ) in
iIu λ− (1 ≤ i
≤m), atunci conform teoremei precedente, Vi este invariant la u. Notăm
cu ui endomorfismul indus de u pe Vi. Se observă uşor că ui -λiI este un
endomorfism nilpotent. Conform teoremei 3.5.18 există o bază Bi a lui Vi
astfel încât matricea lui ui în raport cu baza Bi să aibă forma
iBM (ui -λiI) =
unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ ni-1. Prin urmare matricea lui ui în
raport cu baza Bi este
iBM (ui) =
unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ ni-1. Deci matricea lui u în raport cu
baza B = B1∪B2∪…∪Bm are forma canonică Jordan.
0 ξ1 0 0 …0 0 0 0 ξ2 0 …0 0 0 0 0 0 …0 ξni-1 0 0 0 0 …0 0
λi ξ1 0 0 …0 0 0 λi ξ2 0 …0 0 0 0 0 0 …λi ξni-1 0 0 0 0 …0 λi
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
232
4. 10. Exerciţii
1. Să se scrie forma canonică Jordan peste corpul K (K = Q, R, C) a unei
matrice A care are proprietatea că factorii invarianţi (ai matricei XIn - A)
sunt
X2 + 4, (X2 - 5)( X2 + 4)2
R: Notăm cu DEK divizorii elementari ai matricei A (peste corpul K):
DEQ = { X2 + 4, (X2 - 5), ( X2 + 4)2 }
DER = { X2 + 4, X - 5 , X + 5 , ( X2 + 4)2}
DEC = { X - 2i, X + 2i, X - 5 , X + 5 , (X - 2i)2, (X + 2i)2}
Pentru K = Q,
( )4x2C+
= ( )5x2C−
=
( )22 4xJ
+ =
Forma canonică Jordan a lui A este
JA =
În cazul K = R forma canonică Jordan a lui A este
0 1 -4 0
0 1 5 0
0 1 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -4 0
0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0
Algebră liniară
233
JA =
În cazul K = C forma canonică Jordan a lui A este
JA =
2. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste corpul C şi fie
u:V→V un endomorfism. Să se arate că există două endomorfisme
v,w:V→V astfel încât u = v +w, v diagonalizabil şi w nilpotent.
R: Există o bază B în care matricea asociată lui u are forma canonică
Jordan. Deoarece celulele Jordan peste C sunt de forma
rezultă că
Ju =
unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ n-1. Luăm v endomorfismul
corespunzător matricei
0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 5 0 0 0 0 0
0 0 0 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0
2i 0 0 0 0 0 0 0 0 -2i 0 0 0 0 0 0
0 0 5 0 0 0 0 0
0 0 0 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 2i 1 0 0 0 0 0 0 0 2i 0 0 0 0 0 0 0 0 -2i 1 0 0 0 0 0 0 0 -2i
λ 1 0 0 …0 0 0 λ 1 0 …0 0 0 0 0 0 …λ 1 0 0 0 0 …0 λ λ1 ξ1 0 0 …0 0 0 λ2 ξ2 0 … 0 0 0 0 0 0 …λn-1 ξn-1 0 0 0 0 … 0 λn
λ1 0 0 0 …0 0 0 λ2 0 0 … 0 0 0 0 0 0 …λn-1 0 0 0 0 0 … 0 λn
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
234
în baza B. Luăm w endomorfismul corespunzător matricei
în baza B. Avem u = v + w, v diagonalizabil şi w nilpotent.
3. Să se determine valorile proprii şi subspaţiile proprii ale matricei
A =
R: Valorile proprii sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) =
det(XI3-A). Avem
PA(λ) = =(λ-1)
=(λ-1)(λ2 -3λ -10 +12) = (λ-1) (λ-1) (λ-2)
Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =2.
Pentru o valoare proprie λ, vectorii proprii sunt daţi de soluţiile x =(x1, x2,
x3) ale sistemului (λI3 - A)xt =0. Pentru λ1 = 1 obţinem
0 ξ1 0 0 …0 0 0 0 ξ2 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 ξn-1 0 0 0 0 … 0 0
5 -2 -6 0 1 0 2 -1 -2
λ-5 2 6 0 λ-1 0 -2 1 λ+2
λ-5 6 -2 λ+2
-4x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 0 -2 x1 + x2 + 3 x3 = 0
Algebră liniară
235
Deci subspaţiul propriu asociat lui λ1 este
1Vλ = {(α, 2α-3β, β), α, β∈R}
O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(1, 2, 0 ), (0, -3, 1)}
Similar, pentru λ2 = 2 obţinem
Deci subspaţiul propriu asociat lui λ2 este
2Vλ = {(2α, 0, α), α∈R}
O bază a acestui subspaţiu este B2 ={(2, 0, 1 )}
4. Să se arate că matricea A este diagonalizabilă şi să se calculeze An, n∈
N.
A =
R: Conform teoremei 4.8.3 pentru a arăta ca A este diagonalizabilă este
necesar şi suficient să arătăm că multiplicitatea algebrică a fiecărei valori
proprii a lui A este egală cu multiplicitatea geometrică. Valorile proprii
sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) = det(XI3-A). Avem
PA(λ) = =(λ+1)
x1 = α x2 = 2α -3β x3 = β
-3x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 0 x1 + x2 + 0 x3 = 0 -2 x1 + x2 + 4 x3 = 0
x1 = 2α x2 = 0 x3 = α
15 -8 -24 0 -1 0 8 -4 -13
λ-15 8 24 0 λ+1 0 -8 4 λ+13
λ-15 24 -8 λ+13
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
236
=(λ+1)(λ2 -2λ -195 +192) = (λ+1) (λ+1) (λ-3)
Obţinem valorile proprii λ1 = -1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =3.
Determinăm vectorii proprii asociaţi lui λ1 = -1 obţinem
Deci subspaţiul propriu asociat lui λ1 este
1Vλ = {(α, 2α-3β, β), α, β∈R}
O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(1, 2, 0 ), (0, -3, 1)}, în consecinţă
multiplicitatea geometrică a lui λ1 este 2. În cazul valorii proprii λ2
evident multiplicitatea algebrică = multiplicitatea geometrică =1. Deci
matricea A este diagonalizabilă şi are forma diagonală,
D =
Matricea A poate fi privită ca transpusa matricei unui endomorfism cărui
într-o bază B (formată din vectori proprii ai lui A) îi corespunde matricea
D. Determinăm matricea de trecere de la baza canonică la baza B. Mai
este necesar un vector propriu asociat lui λ2 = 3:
-16x1 + 8 x2 + 24 x3 = 0 0 x1 + 0x2 + 0 x3 = 0 -8 x1 + 4x2 + 12 x3 = 0
x1 = α x2 = 2α-3β x3 = β
x1 = 2α x2 = 0 x3 = α
-1 0 0 0 -1 0 0 0 3
-12x1 + 8 x2 + 24 x3 = 0 0 x1 + 4x2 + 0 x3 = 0 -8 x1 + 4x2 + 16 x3 = 0
Algebră liniară
237
Deci subspaţiul propriu asociat lui λ2 este
2Vλ = {(2α, 0, α), α∈R}
O bază a acestui subspaţiu este B2 ={(2, 0, 1 )}. Matricea de trecere de la
baza canonică la baza B este
C =
Avem CAtC-1 = D, sau echivalent (Ct)-1ACt = D. Ţinând cont că A =
CtD(Ct)-1, rezultă că An = CtDn(Ct)-1,
-1
An =
=
=
5. Să se studieze posibilitatea reducerii la forma canonică a următoarei
matrice:
A =
R: Conform teoremei 4.8.3 pentru a arăta ca A este diagonalizabilă este
necesar şi suficient să arătăm că multiplicitatea algebrică a fiecărei valori
1 2 0 0 -3 1 2 0 1
1 0 2 2 -3 0 0 1 1
(-1)n 0 0 0 (-1)n 0 0 0 (-3)n
1 0 2 2 -3 0 0 1 1
1 0 2 2 -3 0 0 1 1
(-1)n 0 0 0 (-1)n 0 0 0 (-3)n
-3 2 6 -2 1 4 2 -1 -3
-3(-1)n +4(-3)n 2(-1)n - 2(-3)n 6(-1)n -6(-3)n 0 (-1)n 0 -2(-1)n+2(-3)n (-1)n-(-3)n 4(-1)n-3(-3)n
3 1 2 4 3 4 -4 -1 -2
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
238
proprii a lui A este egală cu multiplicitatea geometrică. Valorile proprii
sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) = det(XI3-A). Avem
PA(λ) = = λ3-4λ2+5λ-2 =(λ-1)2(λ-2)
Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =3.
Determinăm vectorii proprii asociaţi lui λ1 = 1 obţinem
Deci subspaţiul propriu asociat lui λ1 este
1Vλ = {(5α, -14α, 2α), α∈R}
O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(5, -14, 2 ) }, în consecinţă
multiplicitatea geometrică a lui λ1 este 1 mai mică strict decât
multiplicitatea algebrică. În consecinţă, matricea A nu este
diagonalizabilă.
6. Folosind teorema Hamilton-Cayley să se calculeze inversa matricei A
în funcţie de puterile sale:
A=
R: Polinomul caracteristic al matricei A este P(X) = (X+1)n. Conform
teoremei Hamilton-Cayley, (A+In)n = O, sau echivalent
λ-3 -1 -2 -4 λ-3 -4 -4 -1 λ+2
-2x1 - x2 - 2 x3 = 0 -4 x1 - 2x2 - 4 x3 = 0 -4 x1 - x2 + 3 x3 = 0
x1 = 5α x2 = -14α x3 = 2α
-1 2 -3 4 … (-1)nn 0 -1 2 -3 …(-1)n-1n-1 0 0 -1 2 …(-1)n-2n-2 0 0 0 … -1
Algebră liniară
239
An + 1nC An-1 + 2
nC An-2 +…+ 1nnC − A + In = O.
Înmulţind această egalitate cu A-1, obţinem A-1 = - An-1 - 1nC An-2 - 2
nC An-3
-…- 1nnC − In.
7. Să se calculeze eA pentru
A =
unde eA = ∑∞
=0k
kA!k
1.
R: Orice polinom de matrice A (A∈Mn,n(K)) poate fi exprimat printr-un
polinom de grad cel mult n-1. Într-adevăr, fie PA(X) = Xn + an-1Xn-1 + …
+a1X + a0 polinomul caracteristic al matricei A. Conform teoremei
Hamilton-Cayley, PA(A) = O, şi deci An = - an-1An-1 + … +a1A + a0In.
Puterile An+p se exprimă recursiv cu ajutorul puterilor An-1, An-2, .., A, In.
De asemenea seriile de matrice se reduc la polinom (de matrice) de grad
cel mult n-1 (dacă seria este convergentă, atunci şi coeficienţii
polinomului sunt serii convergente). Dacă f este o serie de matrice A şi
dacă valorile proprii (λ1, …, λ2) ale matricei A sunt distincte, atunci
polinomul de grad n-1 poate fi scris sub formă Lagrange: f(A) =
( )∑=
λn
1jjjfZ , unde Zj =
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )nj1jj1jj1j
nnjn1jjn1jjn1
......
I...II...IA
λ−λλ−λλ−λλ−λ
λ−λλ−λλ−λλ−
+−
+−
nu depinde de f, şi deci poate fi aflat prin particularizarea lui f.
Să determinăm valorile proprii ale matricei. Avem
3 4 6 4 9 12 -4 -7 -10
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
240
PA(λ) = = λ3-2λ2-λ+2 =(λ-1) (λ+1) (λ-2)
Obţinem valorile proprii λ1 = 1, λ2 =-1, λ3 = 2. Deoarece sunt distincte
f(A) = Z1f(λ1) + Z2f(λ2) + Z3f(λ3) . Matricele Z1, Z2, Z3 nu depind de f, şi
de aceea pentru a le afla particularizăm pe f prin : f(z) = z-1, f(z) = z+1,
f(z) = z2. Obţinem
-2Z2 + Z3 = A-I3
2Z1 + 3Z3 = A+I3
Z1 + Z2 + 4Z2 = A2
de unde, Z1 = I3 - 2
1A2 +
2
1A, Z2 =
3
1I3 +
6
1A2 -
2
1A, Z3 =-
3
1I3 +
3
1A2.
Obţinem astfel
eA =( I3 - 2
1A2 +
2
1A)e +(
3
1I3 +
6
1A2 -
2
1A)e-1 +(-
3
1I3 +
3
1A2)e2.
8. Să se aducă la forma canonică Jordan endomorfismul u : C4 → C
4
căruia îi corespunde transpusa matricei:
A =
R: Determinăm valorile proprii ale lui A. Avem
PA(λ) = = (λ-1)2 (λ+1) (λ-3)
λ-3 -4 -6 -4 λ-9 -12 4 7 λ+10
-3 4 3 8 -4 5 -1 4 0 0 3 0 0 0 2 -1
λ+3 -4 -3 - 8 4 λ - 5 1 -4 0 0 λ -3 0 0 0 -2 λ +1
Algebră liniară
241
Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =-1 şi
λ3 =3. Fie matricea
A1 = A - λ1I3 =
21A =
N1 = Ker A1 = {(α, α, 0, 0), α ∈C}, dimCN1 = 1
N2 = Ker 21A = {(α, β, 0, 0), α, β ∈C}, dimCN2 = 2
F1 = N1, N2 = N1 ⊕ F2.
B1 = {(0,1,0,0) este o bază în F2}, e11 = (0,1,0,0)
e21t = A1e11
t =(4,4,0,0)
Deoarece dimCN1 = 1, B2 = {e21} este bază în N1.
Determinăm vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ2:
2Vλ ={(-8α, -6α,0, α), α ∈ C}
Luăm e'1 = (-8,-6,0,1);
Determinăm subspaţiu propriu asociat lui λ3:
3
Vλ ={(5α, 11α,-2α, -α), α ∈ C}
Luăm e"1 = (5,11,-2,-1). În baza B={e11, e21, e'1, e"3} endomorfismul u are
forma canonică
-4 4 3 8 -4 4 -1 4 0 0 2 0 0 0 2 -2
0 0 6 -32 0 0 -10 -24 0 0 4 0 0 0 0 4
Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor
242
JA =
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 3