Cap 8 - Analiza Activelor re Derivate

CAPITOLUL

8

ANALIZA ACTIVELOR FINANCIARE DERIVATE

8.1 Rolul opţiunilor pe piaţa de capital 8.2 Modelul Black-Scholes de evaluare a opţiunilor

8.2.1 Analiza coeficienţilor modelului Black-Scholes 8.2.2 Extensii ale modelului Black-Scholes

8.3 Elemete de analiză a contractelor la termen ferm 8.3.1 Tranzacţiile futures şi forwards 8.3.2 Tranzacţiile swaps

Statistică financiar-bancară şi bursieră

8.1 ROLUL OPŢIUNILOR PE PIAŢA DE CAPITAL

Produsele derivate( derivative) reprezintă nişte titluri de valoare compuse care au la origine un alt activ sau un alt titlu, sau titlu ce derivă din alte titluri. Cele mai cunoscute sunt opţiunile (exemplu: opţiunea de a cumpăra un bon de tezaur).

Opţiunile sunt active care dau dreptul deţinătorului de a vinde sau cumpăra un anumit număr de titluri la un preţ stabilit şi peste un anumit interval de timp.

Din perspectiva acestei definiţii cumpărătorul unei opţiuni are dreptul dar nu şi obligaţia de a vinde sau de a cumpăra o cantitate standard de titluri. Vânzătorul opţiunii îşi asumă obligaţia de a vinde respectiv cumpăra la scadenţă cantitatea de titluri prevăzută în opţiune şi el are această obligaţie indiferent de cursul pieţei.

Cu alte cuvinte, din perspectiva riscului, vânzătorul este predispus la risc, îşi asumă un risc. Această aversiune este compensată de preţul opţiunii. Cumpărătorul are aversiune faţă de risc, atunci el vinde riscul suplimentar de a pierde cumpărând opţiunea. Opţiunile, practic, reprezintă în esenţa lor un contract de vânzare-cumpărare a riscului.

Operaţiunea de cumpărare („CALL option”) este un contract negociabil care dă dreptul cumpărătorului ca într-o anumită perioadă de timp să cumpere de la vânzătorul opţiunii activul de bază, la un preţ stabilit prin contract. Vânzătorul opţiunii CALL îşi asumă obligaţia de a vinde cumpărătorului activul de bază la preţul stabilit, dacă opţiunea este exercitată într-un anumit interval de timp.

Opţiunea de vânzare („PUT option”) este un contract care dă dreptul cumpărătorului opţiunii ca într-o anumită perioadă să vândă activul de bază vânzătorului acestuia, la un preţ stabilit prin contract. Vânzătorul unui PUT îşi asumă obligaţia de a cumpăra activul de bază de la cumpărătorul opţiunii la preţul stabilit, dacă operaţiunea este exercitată într-un anumit interval de timp.

Principalele elemente ale viitoarei tranzacţii sunt fixate anterior, în momentul încheierii contractului, indiferent dacă piaţa va evolua sau nu în direcţia aşteptărilor iniţiale. Asumarea riscului se face în schimbul unei prime, încasate în momentul încheierii contractului, aceasta reprezentând practic preţul opţiunii. Se poate spune că vânzătorul obţine câştiguri limitate dar certe (reprezentate de prima încasată). În schimb, pentru cumpărător, opţiunea are rolul unei «poliţe de asigurare», prima plătită la cumpărarea

Analiza activelor financiare derivate

opţiunii poate să-i aducă câştiguri foarte mari în cazul unei evoluţii favorabile a pieţei sau poate să-l apere de pierderile nefavorabile în cazul în care piaţa ar reacţiona negativ pentru acesta. În concluzie, tranzacţiile cu opţiuni pot fi privite ca operaţiuni de vânzare-cumpărare de riscuri.

Elementele contractuale ale unei opţiuni sunt1:

1. suma plătită la încheierea contractului pentru cumpărarea unei opţiuni, este denumită primă, poate fi de două feluri:

• prima pentru opţiunea de cumpărare (notată C) – CALL (“call to purchase”); • prima pentru operaţiunea de vânzare (notată P) – PUT (“put to sell”); 2. cursul activului support (preţul de piaţă – notat S) pe durata de viaţă a opţiunii, având valoarea S0 în momentul încheierii contractului şi valoarea S1 la scadenţă. Variabilitatea acestui curs implică existenţa unui risc al activului support (notatσ ); 3. durata de valabilitate (τ) a contractului opţional, de la momentul încheierii contractului (τ0), până la momentul scadenţei acestuia (τ1); 4. preţul de exerciţiu (X) stabilit în momentul încheierii contractului opţional pentru cumpărarea sau vânzarea activului suport. Preţul de exerciţiu al unei opţiuni este stabilit în jurul cursului activului suport şi poate fi la paritate , sub-paritate sau supra-paritate.

5. rata dobânzii fără risc (r) la care se presupune că un investitor se poate împrumuta pentru a cumpăra opţiuni.

Scadenţele opţiunilor sunt fixate pentru sfârşitul trimestrelor anului calendaristic (martie, iunie, septembrie, decembrie), fiecare opţiune fiind cotată pentru următoarele trei scadenţe. Exercitatea unei opţiuni se poate face diferit în raport cu scadenţa sa în funcţie de tipul de opţiune: american sau european. O opţiune de tip american poate fi exercitată oricând pe durata de valabilitate a contractului opţional, până la scadenţa finală. O opţiune de tip european nu poate fi exercitată decât la împlinirea scadenţei. Majoritatea opţiunilor sunt de tip american, cele de tip european se contractează în general pe termene lungi şi asupra indicelui bursier.

1 O analiză a modeului cum sunt tranzacţionate diferitele tipuri de opţiuni nu face obiectul

prezentei lucrări. Pentru mai multe detalii se pot consulta, de. ex., Dardac, Basno, C., Costică, I.- Tranzacţii bursiere cu produse derivate şi sintetice, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1999


Cu cât scadenţa este mai îndepărtată cu atât este mai incertă evoluţia cursului activului suport şi prin urmare opţiunea are o valoare mai mare. Pe măsură ce se apropie termenul de scadenţă valoarea opţiunii tinde către diferenţa dintre cursul activului suport la acea dată şi preţul de exerciţiu. Dacă diferenţa este favorabilă unei cumpărări (pentru CALL) sau vânzări (în cazul unui PUT), atunci valoarea opţiunii este nulă, cumpărătorul renunţă la cumpărarea ei şi pierde investiţia făcută (prima plătită) în aceste opţiuni.

Cumpărătorul unei opţiuni vizează acoperirea şi chiar câştigul ce pot fi obţinute din variaţia cursului bursier, într-un anumit sens şi cu o anumită mărime. Dacă previziunea sa nu se adevereşte, acesta va înregistra o pierdere care se va limita la mărimea sumei plătite ca primă. Vânzătorul unei opţiuni va accepta contractul opţional ca urmare a unei estimări a evoluţiei în celălalt sens a cursului bursier (decât cel prevăzut de cumpărător), în cazul realizării acestei evoluţii cumpărătorul va încasa prima prevăzută în contractul opţional.

Un element important este reprezentat de faptul că, cu un capital investit ce se poate limita la mărimea sumei plătite, investitorii pot avea câştiguri importante în cazul unei evoluţii favorabile a cursului bursier al activului suport. În schimb, investiţia directă îi poate aduce aceleaşi câştiguri dar pentru aceasta trebuind să aloce un capital mult mai mare şi să-şi asume riscuri mai mari.

Înainte de scadenţă orice opţiune are un preţ de piaţă care rezultă din raportul dintre cerere şi oferta acestui activ. Investitorii vor lua în calcul şansele de câştig din deţinerea acestor opţiuni în raport cu rezultatele deţinerii de active-suport, ei având în vedere corelarea factorilor determinanţi ai fiecărei opţiuni.

Exemplu: Se consideră o acţiune call pentru 100 de acţiuni la firma X, opţiune care a fost cumpărată pentru 130000 lei la un preţ de exerciţiu de 13000 lei/acţiune şi cu o scadenţă la 3 luni. Preţul opţiunii este: C=130000 lei; E=13000 lei/acţiune.

Cel care cumpără are dreptul ca peste 3 luni să cumpere la firma X 100 de acţiuni cu preţ de 13000 lei. Să se analizeze situaţiile în care la scadenţă cursul activului suport va fi: =1S 11000, 13000, 14300 şi 15000.


Rezolvare: Trebuie să identificăm în care din aceste patru situaţii avem un câştig sau o pierdere. a) Când =1S 11000 lei, pierde 3300 de acţiuni⇒3300x100=330000 lei. Pierderea e înregistrată la 130000 lei, cu cât a cumpărat opţiunea, deoarece nu e obligat să cumpere ⇒ abandonează opţiunea. b) Când =1S 13000 lei, este egală cu E. Pierde 130000 lei, el poate să cumpere fie acţiuni de la bursă, fie prin camera de compensaţie, dar pierde 130000 lei ⇒ nu îşi exercită opţiunea. c) Când =1S 14300 lei, nu este nici în pierdere nici în câştig, este un punct critic. Fie exercită opţiunea de 14300 lei ca să-şi recupereze costul opţiunii (prima).

d) Când =1S 15000,lei, atunci deţinătorul opţiunii va cumpăra acţiuni la 13000x100=1300000 lei ⇒ 1300000+130000=1430000 lei ⇒200000- -130000=70000 lei a căştigat.

Figura 8.1

Reprezentarea numerică avalorii unei opţiuni call

Π

abandonez operaţiunea

(nu o exercit)câştig

exercit operaţiunea

pierdere

S 14300130000

punct criticE

CO =


Principala problemă care se pune este aceea a evaluării corecte a opţiunilor, în cazul unei subevaluări sau supraevaluări investitorii procedând la operaţiuni de arbitraj pe piaţa financiară.

8.2 MODELUL BLACK -SCHOLES DE EVALUARE A OPŢIUNILOR

Opţiunea, ca titlu de valoare cotat la bursă, poate fi evaluată prin mai

multe modele. Deja sunt clasice modelul Black-Scholes şi modelul binomial2.

De la publicarea sa în 19733, modelul Black-Scholes a devenit un instrument foarte utilizat. Modelul a fost extins astfel încât să permită evaluarea opţiunilor pe curs de schimb, pe indici bursieri şi pe contracte futures. Brokerii s-au obişnuit cu prezumţia lognormalităţii care este la baza modelului, dar şi cu faptul ca volatilitatea este constantă. Nu este deci surprinzător că s-au facut încercări pentru extinderea modelului astfel încât să cuprindă şi derivativele pe rata dobânzii.

Ipotezele modelului sunt : • variaţia cursurilor activelor suport urmăreşte un proces stochastic continuu

în timp; • opţiunile sunt considerate a fi de tip european; • piaţa financiară este considerată perfectă; • pe durata de valabilitate a opţiunii nu au loc vărsăminte de dividente.

Modelul surprinde toţi cei cinci factori determinanţi ai valorii unei opţiuni: cursul activului suport, preţul de exerciţiu, rata dobânzii anuale fără risc, fracţiunea de timp rămasă până la scadenţa opţiunii şi variabilitatea cursului sctivului suport. Formulele modelului s-au construit pe baza preţurilor de echilibru de pe piaţa financiară şi în ipoteza absenţei oricărei oportunităţi de arbitraj preţ-valoare.

2 Cox, J.C., Ross, S.A., Rubinstein, M- Option princing- a simplified approach, Jurnal

of Financial Economics, 7, September 1979 3 Black, F., Scholes, M.- The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political

economy, 81, May-June 1973


După cum afirmă Wilmott4, ecuaţia a fost prima dată scrisă în anul 1969, dar au trecut câţiva ani pană când autorii să îl publice. Ecuaţia finală obţinută a fost în final publicată în anul 1973, iar formulele pentru call şi put au fost publicate cu un an înainte. Forma ecuaţiei este :

0rVSVrS

SVS

21V

2

222 =−

∂∂

+∂

∂+

∂∂ στ

notaţiile fiind cele de mai sus, iar V reprezintă valoarea opţiunii.

Ecuaţia este diferenţială parţială, liniară, parabolică.

Cu presupunerea referitoare la neplata dividentelor până la scadenţă, preţul unei opţiuni CALL este dat de următoarea formulă:

( ) ( )τσ−Φ−Φ= τ− hXehSC rtt

unde:

( )τσ+

σ=

τ−

21

rXe/Sln

hr

t

- St este preţul curent al acţiunii;

- r este rata fără risc a dobânzii;

- X reprezintă preţul de exerciţiu;

- τ reprezintă timpul rămas până la scadenţa opţiunii (exprimat în ani);

- σ reprezintă volatilitatea activului suport;

Funcţia Φ urmează o distribuţie normală de medie zero şi dispersie egală cu 15:

( ) dye

21 2/y 2−

ω

∞−∫

π=ωΦ

4 Wilmott, P.- Derivative. Inginerie financiară. Teorie şi practică, traducere din lb. engleză,

Editura Economică Bucureşti, 2002 5 Din acest motiv o serie de autori notează această funcţie cu simbolul N(.) Vezi Wilmott, P.-

Derivative. Inginerie financiară. Teorie şi practică, traducere din lb. engleză, Editura Economică Bucureşti, 2002 sau I. Stancu Finanţe, Editura Economică Bucureşti, 2002


În aceste condiţii, parametrul h poate fi scris într-o formă echivalentă în felul următor:

τσ

τσ++=

)21r()X/Sln(

h2

t

Cele două expresii ale parametrului h sunt echivalente. Φ(h) şi

)h( τσ−Φ sunt valori ale distribuţiei normale standard, ele reprezentând probabilităţi ce variază între 0 şi 1.

Dacă h → ∞ atunci Φ(h) → 1 şi )h( τσ−Φ → 1 ceea ce ne conduce la:

Ct = St - Xe-rτ

adică, atunci când h → ∞ valoarea unei opţiuni CALL tinde către preţul acţiunilor din care se scade valoarea ajustată a preţului de exerciţiu al opţiunii. Acest lucru se poate întâmpla atunci când:

a) preţul activului suport devine foarte mare în raport cu preţul de exerciţiu;

b) St > Xe-rτ şi opţiunea este foarte aproape de scadenţă. În acest caz Ct ≅ St - X deoarece e-rτ → 1 atunci când τ → 0 iar preţul opţiuni este egal aproape în întregime cu valoarea sa intrinsecă.

c) St > Xe-rτ şi volatilitatea tinde către 0. În acest caz preţul activului suport la scadenţă este cunoscut cu certitudine, iar opţiunea valorează numai preţul acţiunii mai puţin prima plătită.

Presupunerea că h → ∞ este puţin nerealistă, deoarece în realitate h ia valori mai mari decât 3, iar valoarea funcţiei Φ(h) va fi foarte apropiată de 1. Aceasta arată că, dacă preţul acţiunii este mare în raport cu preţul de exerciţiu al opţiunii, dacă opţiunea se apropie de scadenţă sau dacă dispersia activului suport tinde către zero atunci valoarea unei opţiuni va fi

Ct ≅ St - X.

Valoarea teoretică a unei opţiuni PUT, conform modelului Black-Scholes, în condiţiile îndeplinirii aceleiaşi ipoteze cu privire la


neplata de dividente pe parcursul existenţei opţiunii, este dată de formula similară cu cea a opţiunii CALL:

( ) ( )hShXeP tr

t −Φ−−τσΦ= τ−

La fel ca şi în cazul unei opţiuni CALL, valoarea unei opţiuni PUT este funcţie de cei cinci parametrii: St, X, r, τ şi σ.

În cazul în care h → -∞ atunci Φ(-h) → 1 şi 1)h( →−τσΦ ceea ce ne conduce la:

tr

t SXeP −= τ−

Acest lucru este echivalent cu faptul că, atunci când h are o valoare mai mică de -3 valoarea unei opţiuni PUT este egală cu preţul de exerciţiu din care se scade cursul activului suport al opţiunii. Acest lucru se poate întâmpla dacă:

a) preţul activului suport devine foarte mic în raport cu preţul de exerciţiu (Xe-rτ > St);

b) St < Xe-rτ şi opţiunea este foarte aproape de scadenţă. În acest caz Pt ≅ X - St deoarece e-rτ → 1 atunci când τ → 0 iar preţul opţiunii este egal aproape în întregime cu valoarea sa intrinsecă. c) St < Xe-rτ şi volatilitatea tinde către 0.

8.2.1 Analiza coeficienţilor modelului Black Scholes

Pentru o evaluare mai bună a opţiunii se analizează modificarea preţului unei opţiuni CALL la anumite variaţii ale parametrilor din model. Pentru aceasta se realizează modificări succesive ale unui parametru, ceilalţi rămânând constanţi şi se determină mărimea şi sensul schimbărilor intervenite în preţul opţiunii.

Coeficientul „delta” reprezintă variaţia preţului unei opţiuni rezultată dintr-o variaţie foarte mică a preţului activului suport. Acest coeficient este chiar sensibilitatea primei de cumpărare a opţiunii la variaţia


cursului acţiunii iar în termeni economici el măsoară riscul poziţiei unui portofoliu:

( )h

SCdelta Φ=∂∂

=

Coeficientul delta ia valori cuprinse între 0 şi 1, o valoare de 0,5 arată că o opţiune este la paritate, pentru o valoare mai mare de 0.5 opţiunea se află la supraparitate, dacă este mai mică decât 0.5 opţiunea este la subparitate. Coeficientl delta tinde către valoarea zero pe măsură ce opţiunea se apropie de scadenţă. Pentru un portofoliu ce conţine opţiunea de cumpărare CALL se atribuie semnul „+” pentru opţiunile care se apreciază atunci când activele suport cresc, şi semnul „-“ pentru opţiunile care se apreciază atunci când activul suport scade. Prin însumarea coeficienţilor delta ai opţiunilor cu cei beta ai acţiunilor rezultă un coeficient beta net care va măsua riscul poziţiei respective a portofoliului. Un portofoliu perfect acoperit trebuie să aibă coeficientul beta egal cu zero. În practică acest lucru nu poate fi întâlnit decât pentru variaţii foarte mici ale cursurilor activelor suport. Dacă acestea se modifică foarte mult atunci riscul portofoliului se va modifica şi el.

Acest coeficient mai este denumit şi coeficient de acoperire şi arată câte acţiuni sunt necesare a fi achiziţionate pentru fiecare opţiune pentru ca portofoliul constituit să fie perfect acoperit. „Delta” nu rămâne constant ci se schimbă pe măsură ce preţul activului de bază se schimbă, prin urmare raportul dintre numărul activelor suport şi cel al opţiunilor dintr-un portofoliu trebuie modificat pentru ca acest portofoliu să fie acoperit.

Coeficientul “gamma” măsoară sensibilitatea coeficientului “delta” la o variaţie a cursului activului suport:

( ) 0h'

S1

SCgamma 2

2

>Φτσ

=∂∂

=

Este derivata a doua a valorii opţiunii în funcţie de valoarea activului soport.

Acest coeficient creşte pe măsură ce se apropie scadenţa opţiunii. Calculul acestui coeficient permite ajustarea riscului portofoliului şi analiza poziţiei acestui risc în jurul valorii nule.

Sensibilitatea valorii opţiunii în funcţie de ceilalţi factori determinanţi (t, σ,Rf, E), se apreciază prin coeficienţii theta, vega, rho şi epsilon.


Coeficientul “theta” (θ) măsoară sensibilitatea preţului unei opţiuni la o variaţie a duratei timpului rămas până la scadenţă:

( ) ( )τσ−Φ+Φ

τ=

τ∂∂

= τ− hXreh'2

1Ctheta r

Aceasta reprezintă derivata întâi a preţului opţiunii în raport cu timpul. Acest coeficient exprimă, deci, influenţa timpului asupra valorii unei opţiuni. Cu cât opţiunea se apropie de scadenţă. cu atât acest coeficient creşte şi cu atât valoarea opţiunii scade. În cazul unui portofoliu, theta va contribui la asigurarea că acel portofoliu valorează echivalentul ratei dobânzii fără risc.6

Coeficientul “vega” măsoară sensibilitatea preţului unei opţiuni la o variaţie a volatilităţii cursului acţiunii-suport. Este derivata întâi a preţului opţiunii în raport cu volatilitatea acţiunii suport. Cu cât opţiunea se apropie de scadenţă, cu atât coeficientul "vega" scade:

( )h'SCvega Φτ=

σ∂∂

=

Coeficientul “rho” şi “epsilon”, mai puţin utilizaţi în gestiunea portofoliului, exprimă sensibilitatea preţului unei opţiuni în raport cu variaţia ratei de dobândă fără risc şi, respectiv, variaţia preţului de exerciţiu:

( )( )τσ−Φ−=

∂∂

=

τσ−Φτ=∂∂

=

τ−

τ−

herCepsilon

hXerCrho

r

r

O valoare mare a rentabilităţii activului suport fără risc va conduce la valori mari ale opţiunii call.7

6 Wilmott, P.- Derivative. Inginerie financiară. Teorie şi practică, traducere din lb. engleză,

Editura Economică Bucureşti, 2002 7 Stroe,R., Arsene,C., Focşeneanu, G. - Active financiare derivate, Editura Economică,

Bucureşti, 2001


Coeficienţii de sensibilitate ai valorii opţiunii la modificări ale diverşilor parametrii ai modelului în cazul unei opţiuni PUT se determină analog celor prezentaţi mai sus.

Coeficientul “delta” arată sensibilitatea primei de cumpărare a opţiunii la variaţia cursului acţiunii:

( )h

SPdelta −Φ−=

∂∂

=

Coeficientul “gamma” măsoară variaţia coeficientului "delta" la modificare cu o unitate a cursului activului suport şi are o valoare mai mare atunci când se apropie scadenţa opţiunii:

( ) 0h'

S1

SPgamma 2

2>−Φ

τσ=

∂

∂=

Coeficientul “theta” (θ) măsoară sensibilitatea preţului unei opţiuni la variaţiea timpului rămas până la scadenţă:

( ) ( )hXreh'

2SPtheta r −τσΦ+−Φτσ

=τ∂

∂= τ−

Coeficientul “vega” măsoară sensibilitatea preţului unei opţiuni la o variaţie a volatilităţii cursului acţiunii-suport:

( )h'SPvega −Φτ=

σ∂∂

=

Coeficientul “epsilon”, surprinde sensibilitatea preţului unei opţiuni în raport cu variaţia preţului de exerciţiu a acesteia:

( )he

XCepsilon r −τσΦ=∂∂

= τ−


Comparând coeficienţii de sensibilitate ai unei opţiuni CALL şi a unei opţiuni PUT se pot desprinde două observaţii interesante, des utilizate în practică:

;gammagammasau)h('

S1

SP

SC

;1deltadeltasau1SP

SC

putcall2

2

2

2

putcall

=Φτω

=∂

∂=

∂

∂

=−=∂∂

−∂∂

Toţi factorii determinanţi din modelul Black&Scholes sunt direct observabili, cu excepţia dispersiei rentabilităţii activului-suport care poate fi estimată pe baza unei serii de rate de rentabilitate observate anterior. Aceste rate trebuie să fie săptămânale şi determinate în bază anuală continuă (dobândă continuă). Volatilitatea este considerată stabilă, însă în realitate, volatilitatea activului-suport nu poate fi independentă de acţiunea operatorilor pe piaţă, de anticipările lor asupra rentabilităţii viitoare.

8.2.2 Extensii ale modelului Black-Schloes

Extensia modelului Black-Scholes care este cea mai cunoscută în domeniul evaluării ratei dobânzii este modelul lui Black din 19768. Iniţial acest model a fost dezvoltat pentru evaluarea opţiunilor pe contracte futures pe marfă. Pentru a arăta modul de utilizare a modelului la evaluarea opţiunilor europene vom presupune ca ratele dobânzii nu sunt stohastice şi vom folosi notaţiile cunoscute (considerăm cazul unei opţiuni call). Factorii modelului sunt:

V: variabila ce constituie activul suport al opţiunii; T: maturitatea opţiunii; F: preţul futures a lui V pentru un contract cu maturitatea T; X: preţul de exerciţiu al opţiunii; r: yield–ul obligaţiunii zero cupon cu maturitatea T; σ: volatilitatea lui F; VT: valoarea lui V la momentul T; FT: valoarea lui F la momentul T;

8 Black, F.- The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 1976


Opţiunea plăteşte la scadenţă max ( VT – X , 0 ). Din moment ce FT = VT putem privi opţiunea la momentul T şi ca max (FT – X , 0 ). Modelul lui Black dă valoarea unei opţiuni call ca :

unde

şi

Modelul Black presupune ca valoarea lui F este constantă. Noi

putem relaxa această prezumţie din moment ce evaluăm opţiuni europene şi nu ne interesează valorile lui V sau F înainte de T. Singura cerinţă pentru V este ca el să aibă o distribuţie a probabilităţii lognormală la momentul T. Într-un mediu de risc-neutru F este valoarea asteptată a lui FT. Cum FT = VT înseamnă că F=E*(VT ) şi se poate arăta că sunt suficiente următoarele condiţii pentru a obţine prin evaluarea într-un mediu neutru la risc ecuaţia pentru un call de mai sus:

1. Distribuţia probabilităţii lui VT este lognormală;

2. Abaterea medie pătratică a lui VT este ln (VT );

3. Rata dobânzii nu este stohastică.

La fel, se poate arăta că preţul forward este egal cu preţul futures atunci când rata dobânzii nu este stohastică. Putem defini variaţia F şi ca preţul forward al variaţiei V pentru un contract cu scadenţa la T.

Din moment ce nu presupunem ca V sau F evolueaza după mişcarea geometrică Browniană , nu este corect să ne referim la variabila σca volatilitate. Ea este de fapt nimic mai mult decât o variabilă cu proprietatea ca σ√T este abaterea medie pătratică a lui ln(VT). De aceea, ne vom referi la σca măsura volatilităţii lui V la momentul T.

( ) ( )[ ]21 dXNdFNeC rT −= −

T

TXF

dσ

σ2

ln 2

1

+=

Tdd σ−= 12


Dacă momentul plăţii este întârziat până la T* (T* �T), vom defini r* ca randamentul obligaţiunii zero-cupon cu scadenţa la T* şi ecuaţiile pentru call şi put devin:

( ) ( )[ ]21

** dXNdFNeC Tr −= −

( ) ( )[ ]12** dFNdXNeP Tr −−−= −

unde

şi

Ecuaţiile anterioare sunt frecvent utilizate pentru evaluarea

opţiunilor pe rata dobânzii. Variabila V este o rată a dobânzii, preţul unei obligaţiuni sau o diferenţă (spread) între două rate ale dobânzii. Variabila F este egalată cu preţul forward al lui V (daca V este rata dobânzii uneori este necesară o ajustare a convexităţii). Variabilele r şi r* care sunt folosite în scopul actualizării reprezintă randamentul obligaţiunilor zero-cupon calculat din structura temporală iniţială .

Când modelul Black e folosit astfel apar două aproximări:

1. Preţul forward al lui V se consideră egal cu preţul futures pentru V şi deci egal cu valoarea aşteptată a lui VT într-un mediu risc neutral. Trebuie însă precizat că preţurile forward şi futures diferă dacă considerăm că rata dobânzii urmează un proces stohastic (aşa cum se întâmplă în realitate).

2. Ratele dobânzii sunt considerate constante în scopul actuălizarii, chiar dacă elesunt considerate stohastice în momentul calculării câştigului opţiunii.

Întâmplarea face ca aceste două aproximări să aibă efecte contrare şi nu influenţează rezultatul final. Astfel modelul Black poate fi folosit la evaluarea opţiunii europene pe rata dobânzii cu rezultate satisfăcătoare având o bază teoretică destul de solidă.

Tdd σ−= 12

T

TXF

dσ

σ2

ln 2

1

+=


8.3 ELEMETE DE ANALIZĂ A CONTRACTELOR LA TERMEN FERM

8.3.1 Tranzacţiile futures şi forward

Tranzacţiile cu lichidare la un anumit termen de la încheierea

contractului au apărut cu câteva secole în urmă pe pieţele de mărfuri. Prin perfecţionarea acestui tip de tranzacţii şi extinderea lor la operaţiunile cu valute şi active financiare s-au consacrat în practica de afaceri două categorii de contracte la termen: forward („anticipate”) şi futures („viitoare”).

Un contract forward este un acord între două părţi, vânzătorul şi cumpărătorul, de a livra şi respectiv de a plăti la o anumită dată viitoare o marfă, valută sau un activ financiar la un preţ stabilit în momentul contractării. Contractul este deci determinat, în elementele sale esenţiale (obiect, preţ, scadenţă), în momentul perfectării tranzacţiei; rămâne însă incertă valoarea acestuia la lichidare (deci rezultatul virtual al contractului), ţinând seama de faptul că între momentul încheierii contractului şi cel al executării lui, preţul mărfii, valutei sau activului financiar se modifică pe piaţă. Prin urmare, vânzătorul sau cumpărătorul poate înregistra diferenţe favorabile sau nefavorabile de preţ (deci profit sau pierdere în urma tranzacţiei), după cum preţul la lichidare este mai mare sau mai mic decât cel contractual. Aşadar, printr-un contract forward cumpărătorul se obligă să cumpere o anumită marfă sau valoare (activ financiar sau valută) la un preţ stabilit în momentul încheierii contractului (preţ forward), la o scadenţă fixă. Contractul forward apare ca un bloc compact, cumpărat la o anumită dată şi menţinut până la expirare. Acest contract urmează să fie lichidat numai la scadenţă, iar rezultatul lui virtual depinde de preţul zilei (preţ spot) din momentul expirării contractului. Pieţele comerciale futures s-au conturat în forma modernă la jumătatea secolului trecut, un moment de referinţă fiind crearea, în 1848 a Bursei de Comerţ de la Chicago (Chicago Board of Trade sau CBOT), rămasă până în zilele noastre cea mai mare bursă de mărfuri din lume. Un contract comercial futures constă în angajamentul părţilor de a livra, respectiv prelua, la o dată viitoare (într-o anumită lună), o marfă determinată, la un preţ convenit în momentul contractării. Cel care îşi asumă obligaţia de a prelua marfa (cumpărătorul) deschide o poziţie „lungă” (long), în timp ce vânzătorul futures are o poziţie „scurtă” (short). Executarea contractului în natură se poate face în cursul lunii de livrare prin predarea/primirea unui titlu asupra mărfii.


În Statele Unite, ţara cu cea mai mare experienţă şi cel mai perfecţionat sistem de tranzacţii futures, pieţele comerciale pot fi clasificate în funcţie de provenienţa mărfurilor care se tranzacţionează la termen.

Mărfurile agricole care se lucrează futures sunt cerealele (porumb, grâu, ovăz, orez), seminţe oleaginoase (soia, în trei sortimente: boabe, făină şi ulei), produse animaliere (carcase de porc congelate, vite vii).

Piaţa futures a metalelor cuprinde aurul, argintul, cuprul, aluminiul, platina şi paladiul. Pentru aur, de exemplu, există două contracte distincte: cel pentru o cantitate standardizată de 1 kilogram şi cel pentru 100 de uncii (1 uncie aprox. 31 gr.). Contractul pe 100 de uncii (CBOT 100 – Ounce Gold Futures) cotează pentru luna curentă şi următoarele două luni calendaristice, plus lunile februarie, aprilie, iunie, august, octombrie, decembrie.

Pe piaţa pentru produse alimentare şi fibre se lucrează contracte pe cherestea, bumbac, esenţă de portocale, zahăr, cacao, cafea. În sfârşit, pe piaţa futures pentru produse energetice se tranzacţionează ţiţei, benzină şi propan. Futures cu instrumente financiar-valutare Una din cele mai recente creaţii în materie bursieră o constituie contractele futures pe instrumente financiar-valutare (engl. Financial futures). Cunoscute în SUA încă din anii ‚70 prin activitatea de la Chicago şi New York, ele se extind şi în Europa Occidentală, în urma deschiderii pieţei futures la bursa londoneză în 1982, iar ulterior, şi în Extremul Orient. Chicago, locul de naştere al acestui tip de operaţiuni, deţine şi în prezent jumătate din deverul mondial; operaţiunile financial futures reprezentau în 1990 80% din volumul tranzacţiilor la Chicago Mercantile Exchange (CME) şi la Chicago Board of Trade (CBOT).

Pieţele futures cu instrumente financiar valutare s-au format prin extinderea principiilor care guvernează activitatea pieţelor futures pentru mărfuri asupra activelor monetare (în speţă valute) sau diferitelor titluri financiare (bonuri de tezaur, obligaţiuni, depozite în eurodolari). În 1975, profesorul Richard Sandor a avut ideea să creeze la CBOT prima piaţă futures pe active financiare propriu-zise, lansând contracte pe creanţele ipotecare ale Asociaţiei Naţionale Generale de Ipotecare (General National Mortgage Association – GNMA), din SUA. În felul acesta piaţa financiară futures (financial futures) s-a impus alături de piaţa comercială futures (commercial futures), ca unul din sectoarele cele mai dinamice ale activităţii bursiere.

În esenţă, operaţiunea financial futures constă în asumarea prin contract de către părţi, în general mari instituţii financiare, a obligaţiei de a cumpăra sau vinde o sumă în valută sau instrumente financiare la o anumită dată viitoare, preţul fiind stabilit în momentul încheierii contractului;


obiectivul operatorilor nu este primirea sau livrarea efectivă a valorii tranzacţionate, ci obţinerea unei diferenţe favorabile la cursul de schimb (dacă s-au tranzacţionat valute) sau la dobândă (în cazul titlurilor financiare), între ziua încheierii contractului şi cea a lichidării poziţiei.

Pe piaţa valutară se efectuează trei mari categorii de operaţiuni: − operaţiuni spot, în care încheierea contractului de schimb valutar

(stabilirea volumului tranzacţiei şi a cursului de schimb) şi executarea acestuia (schimbul efectiv al valutelor) se realizează imediat (în fapt, cu un decalaj de 1-2 zile);

− operaţiuni forward, care presupun încheierea contractului într-un anumit moment şi executarea lui la un termen ulterior (peste 1,2,...luni), la un curs stabilit în momentul încheierii contractului (curs forward);

− operaţiuni futures care se realizează cu lichidarea la un termen ulterior dar, spre deosebire de operaţiunile forward, se derulează printr-un mecanism de tip bursier.

Contractele futures pe valute (engl. Currency futures) se caracterizează prin câteva elemente. În primul rând este vorba de contracte standardizate, între părţi negociindu-se numai preţul contractului, respectiv cursul de schimb al valutei care face obiectul acestuia; preţul este exprimat, de regulă, în moneda ţării de sediu a bursei.

În al doilea rând, contractele futures, spre deosebire de cele forward, beneficiază de o piaţă secundară, unde pot fi lichidate înainte de scadenţă, la o valoare de piaţă.

Unul dintre cei mai importanţi indicatori de pe piaţa futures este cel de “baza a preţurilor” (basis), care are un rol important în înţelegerea procesului de hedging. În funcţie de basis se iau deciziile de efectuare a tranzacţiilor.

Basis-ul reprezintă diferenţa dintre preţurile futures curente şi preţurile spot curente. Considerând: − b = basis − f = preţul futures curent − S = preţul spot curent, atunci:

b = f – S

Această diferenţă depinde de mai mulţi factori specifici fiecărui produs, printre care şi cheltuielile de depozitare, cheltuielile de manipulare a mărfii, marja de profit a vânzătorilor, inflaţie. Basis-ul, ca şi preţul spot de care este legat, are o mulţime de localizări, faţă de preţul futures care apare pe diferitele pieţe bursiere.


TIMP

PRETpret spotpret futures

Dacă preţul spot creşte mai mult decât preţul futures, aceasta va duce la scăderea basis-ului; invers, basis-ul va creşte. Tendinţa normala a basis-ului este să scadă, datorită reducerii cheltuielilor de stocare. Pe măsură ce se apropie momentul de livrare, basis-ul devine mai mic, astfel încât în momentul si locul livrării preţul spot şi cel futures sunt în mod normal identice. În consecinţă, la scadenţă basis-ul este nul.

Un operator pe piaţa futures care are o poziţie de cumpărare (a cumpărat un contract futures) si o poziţie de vânzare la marfa va câştiga daca baza se măreşte si va pierde dacă baza se micşorează. Invers, cel care o poziţie de vânzare pe piaţa futures (a vândut un contract) si o poziţie de cumpărare la marfă va câştiga daca basis-ul se micşorează si va pierde daca el creşte. Prin urmare, un hedger transformă riscul de preţ într-un risc privind basis-ul.

Conform studiilor efectuate, preţurile la marfa fizica oscilează mai mult decât oscilează basis-ul. De aceea o poziţie protejata prin hedge este mai puţin riscanta decât o poziţie neacoperita.

Exista doua situaţii generate de evoluţia basis-ului: a) cand basis-ul este pozitiv, deci preţul futures este superior preţului spot, vorbim de contango/report; b) cand basis-ul este negativ, deci preţul futures este inferior preţului spot, vorbim de backwardation/deport.

Din punct de vedere economic, o piaţa de tip backwardation apare atunci când preţurile spot cresc rapid, atingând niveluri foarte înalte, situaţie ce ilustrează un nivel al ofertei mult scăzut sub nivelul cererii, deci o criza pe piaţa la disponibil a mărfii ce constituie activul de baza al contractului futures.

Figura 8.2 Reprezentarea în timp a indicatorului Basis


Aceasta ultima situaţie este anormală pentru că preţul pentru o scadenţă îndepărtată devine mai mic decât cel pentru o scadenta apropiată.

8.3.2 Tranzacţiile swaps

Un swap reprezintă acordul privat de a schimba cash flow-uri generate de anumite active financiare în conformitate cu o formulă convenită dinainte, acord încheiat sub forma unui contract între două părţi. În practică, un acord de swap este aranjat de către un intermediar financiar care se interpune între cele două părţi. În acest caz, cele două părţi originale nu se cunosc, relaţiile lor limitându-se la cele cu intermediarul financiar. Celebrele procese din lumea financiară care au implicat banca Bankers Trust şi 2 clienţi ai săi au relevat caracterul complex al aranjamentelor pe care le poate lua acest instrument financiar. În practică, sunt chiar omologate de către bănci ”formule de calcul” complicate pentru ratele dobânzilor implicate în aceste acorduri.

Cele mai frecvent utilizate contracte swap sunt pe valute şi pe rata dobânzii.

Swap-ul pe valute este caracterizat9 de aceea intermediarul se obligă să plătească beneficiarului suma în valută necesară pentru acoperirea unei datorii la o scadenţă viitoare. În acelaşi timp, beneficiarul se obligă faţă de bancă (instituţia financiară) să plătească dobânda şi să ramburseze un împrumut echivalent în moneda naţională sau într-o altă valută.

În cele ce urmează, ne propunem să analizăm contractele swap pe rata dobânzii10 şi să prezentăm succint un model de evaluare a valorii acestora.

Acest tip de contract este caracterizat prin faptul că Banca se obligă să preia plata dobânzii fixe la împrumutul contractat de beneficiar, iar beneficiarul se obligă să plătească dobânda variabilă a unui împrumut echivalent.

Tipul obişnuit de swap pe rata dobânzii este swap-ul „plain vanilla”. În cazul swap-ului pe rata dobânzii, cele două cash flow-uri reprezintă de fapt schimbarea unei rate fixe a dobânzii cu o rata variabilă sau invers. 9 I. Stancu (coord.)- Finanţe. Pieţe financiare şi gestiunea portofoliului, Editura Economică,

Bucureşti 2002 10 tehnica operaţiunilor swap pe rata dobânzii este prezentată, de exemplu, în Dardac, N.,

Basno, C., Costică, I.- Tranzacţii bursiere cu produse derivate şi sintetice, Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1999


Valorile nominale ale celor două active care generează fluxurile monetare trebuie să fie egale la iniţierea poziţiei. De regulă, rata dobânzii care serveşte drept pivot la schimbarea cash flow-urilor o reprezintă LIBOR11. Ratele LIBOR sunt determinate prin tranzacţii între bănci şi se schimbă în funcţie de condiţiile economice.

Evaluarea swap-ului pe rata dobânzii Dacă presupunem că nici una din părţi din acordul de swap nu are

dificultăţi în efectuarea obligaţiilor, swap-ul pe rata dobânzii poate fi evaluat ca o poziţie long pe obligaţiune combinat cu o poziţie short pe altă obligaţiune sau ca un portofoliu de FRA (foward rate agreement).

Un swap poate fi caracterizat ca diferenţă între două obligaţiuni – una care plăteşte la o rată variabilă şi una la o rată fixă. Cu toate că principalul nu este schimbat la scadenţa acordului de swap, putem presupune, fără a schimba valoarea swap-ului la sfârşitul acestuia că are loc şi schimbul de principal. Pentru instituţia financiară valoarea swap-ului este diferenţa dintre valorile celor două obligaţiuni.

Presupunând că suntem la momentul zero şi că prin termenii acordului de swap instituţia financiară primeşte plăţi fixe în dolari la momentele ti (1<i<n)şi face plăţi variabile la aceleaşi momente, vom defini:

• V: valoarea swap-ului pentru instituţia financiară • Bfix: valoarea obligaţiunii cu rată fixă de la baza swap-ului • Bvar: valoarea obligaţiunii cu rată variabilă de la baza swap-ului • Q: principalul fictiv din cadrul acordului de swap.

Deci V = Bfix - Bvar

Se obişnuieste ca actualizarea cash-flow-ului dintr-un swap să se

facă la ratele LIBOR. Motivul este reprezentat de faptul că riscul asociat cu cash flowurile din cadrul swap-ului este acelaşi cu riscul asociat cu un împrumut pe piaţa interbancară (aici trebuie să se aibă în vedere şi ratingul instituţiei care ia creditul).

O curbă LIBOR a randamentului obligaţiunilor zero-cupon este de obicei calculată din cotaţiile contractului futures eurodolar şi din cotaţiile swap. În acest scop se presupune că dacă se intră într-un swap la media dintre cotaţia cerută şi cea oferită acesta are valoare nulă. Obligaţiunea cu rată fixă de la baza swap-ului are o valoare egală cu cea nominală. Înseamnă

11 LIBOR (London Interbank Offered Rate) este rata dobânzii oferită de bănci pentru depozitele

de la alte bănci în eurovalute.


că şi obligaţiunea cu rată fixă valorează valoarea ei nominală. În acest mod se determină o serie de obligaţiuni cu rată fixă şi valoare egală cu cea nominală (cunoscute ca fiind par yield bonds). Metoda bootstrap poate fi folosită pentru a determina curba randamentelor obligaţiunilor zero-cupon din cotaţiile futures pentru eurodolar şi din aceste obligaţiuni la valoarea nominală. Curba obţinută defineşte ratele potrivite pentru actualizare şi folosirea în evaluarea unui swap.

Vom defini ri ca rata de actualizare corespunzătoare maturităţii ti. Din moment ce Bfix reprezintă valoarea unei obligaţiuni ce plăteşte k la momentul ti (1≤ i≤ n) şi principalul din cadrul swap-ului este Q la momentul tn:

Imediat după data unei plăţi, Bvar este egal cu principalul fictiv. Între

plăţi putem folosi faptul că Bvar va egala Q imediat după urmatoarea plată, deci

unde k* este plata cu rată variabilă (cunoscută în prezent) care se va face la momentul t1. Pentru situaţia în care instituţia financiară plăteşte la o rată fixă şi primeşte la una variabilă Bfix şi Bvar sunt calculate la fel şi:

V = Bvar – Bfix Valoarea swap-ului la momentul negocierii acestuia este nulă. Pe parcursul existenţei sale el poate avea o valoare pozitivă sau una negativă.

nnn

i

iifix

trQetrkeB −+−= ∑=1

iiii trektrQeB −+−= *var

Cap 8 - Analiza Activelor re Derivate

Documents

Transcript of Cap 8 - Analiza Activelor re Derivate