8/15/2019 cap 16.pdf

1/16

Hoisés Villena Muñoz

Cap.

7 6

QeMrí*

ddtepar,ia

8/15/2019 cap 16.pdf

2/16

Illoisés

Villena tuñoz

Cap.

t

6

QMrí*

doÜZ

*par,Ot

16.1 SUPER}.ICIE

PRISMÁTTCE

Y

PRISMA

16.1.1

DTr.IITICIÓ}I

A 1a

recta

g

se

la

llama

generatrlz

y

a

la

poligonal

d

directrlz.

Observe

que

la superfieie

prismática

sería

1a frontera.

En

cambio

PRISMA

sería

ya

no

considerar

a

la

poligonal

solam

sino a

su

región

interior

ta.mbién,

es decir al

polígono. Por tanto

estaríamos

refiriendo al sólido.

Si

consideramos

la

región

limitada

entre dos

planos

paralelos

ten

un

PRISMA

DEI'INIDO.

Aquí

surgen

las

siguientes

definiciones.

A

polígonos

de

1os

planos

Se

los

denomina

BASE.

Si g

es

Lrna

438

8/15/2019 cap 16.pdf

3/16

Moisés

Villena

Muñoz

c a+.

7

6

GeMví*

d*.ü E

»par,b

perpendicular

a

los

planos

que

contienen

a

las base,

tenemos

un

Prisnr;a

Recto

definldo.

Caso

contrario

se lo

llama

Prlslna

9bltcuo.

Nos

dedicaremos al

estudio sólo

de

los Prismas

rect

8/15/2019 cap 16.pdf

4/16

Moisés

Villena

Muñoz

C

ap.

7

6

8

eom,efrí,o¿

dd/

Epar,b

1

dólar.

¿Cuánto

gastaría

en llenar

la

piscina?

d

=

arctanlO

l-6..2.

SUPERtr.ICIE

PIRAMIDAL

Y

PIRAMIDE

Se necesiia

construir

una

piscina

como

se

indica

en

la

gráfica.

Si

el metro cúbico

de

agua

tiene

un

costo de

440

8/15/2019 cap 16.pdf

5/16

Moisés

Villena

Muñoz

cap,

76

8Mríatdá,,Etpar,b

\

Si

las semirectas

intersecana

a

todo

el

potígo[,o,

tenemos

una región

sólida qu.e

se

denomina

Pirámide

Indefinida.

Si

considerarnos

la

región

superior

de

la

sr-rperficie piramidal

lirnitada

inferiormente por

un

plano

qlre

la

corta

tenemos

una

Pirámide

Definida

o

simplemente

lrr.a

pirámide

de

altura

h,

y

si

el

pie

de

la

altura

de la

pirárnide

equidista

d.e

los vértices

de

la

base tenemos

rr.na

pirámide

recta. Las

definiciones

se

ilustran

en

la figura.

be

i

\

üu

A

tu

'¡-_

T6.2.I

¿íNgE

DT

LA

§UPTRFICIT

PIRAMIDAL

La

base

es Ltn

polígono,

igual

que

en

1os

prismas,

por tanto

el

á,rea

de

esta

superfi.cie

se

la

determina

de

la

misma

forma

como ya

se ha

mencionado.

El

área

de

la

superficie

lateral,

se

la

determinada

fralan¿o

el área

de

cada

ltna

de

las

caras

laterales

y

luego

sr¡mar1as.

Si

la

base

es 1¡Ír

polígono,

entonces

las

caras

laterales

son

triángulos y

si el

polígono

es

regr-rlar,

bastará

con

hallar

al área

de

una

cara y

mrrltiplicarla

por

el

número

de

lados.

El

área

total

será

iguat

a

la

suma del

área

lateral

con

el

área

de la

base.

Es

decir:

L6.2.2

VOLUMEN

DT

UITA

PIR/{MIDT

El volumen

de

toda

pirrámide está

dado por:

441

8/15/2019 cap 16.pdf

6/16

iloisés

Villena

tluñoz

Hallar el

volumen de una

pirámide

triangular en la

que

todos

sus

lados

y

aristas

tlenen

la misma

longitud

/

.

Determine el

volumen del sólido

que

se muestra

en

la

figura:

Encuentre

el

área

de la

superficie

lateral

de un

tetraedro,

cuyas

caras

laterales

son

congruente§,

cuya

apotema mide el triple

de la arista de

la base

y

la circunferencia

circunscrita

a

la

base mide

24r cm.

4.

Un recipiente

siñ tapa üene

la forma

de

una

pirámide

regular

invertida,

donde su altura

mide

3

pies

y

su

base

es

un

hexágono inscrito

de

una circunferencia

de

diámetro

igual a 2

pies.

Se

desea

pintar

100 de estos

recipientes

por

dentro

y

por

fuera, para lo cual se

utilizará

pintura

donde con

un

galón se puede

pintar 470

pies

cuadrados.

Determine

la

cantidad

de

galones

de esa

pintura que

se

necesitarán

para pintar

los

10[

recipientes.

16.3.

CUERPOS

REDOTIDOS

16.3.1

CILTITTDR,O

El cilindro

es un

prisrna

circular,

es

decir

sr.ls bases

sorr

círcrrlos.

Las

dimensiones

que

10

definen

es

la

medida del

radio de

su base

y

su

altura.

¿-

-

-_E;>,_

La superficie lateral

es

tln

rectángulo,

observe

la

figr"rra:

r, 2* -l

I

Cap.

1

6

Q

wtnetui*

dolt f

*par,tc,

't.

2.

442

Entonces, el

área de

la

suPerficie

lateral

sería:

8/15/2019 cap 16.pdf

7/16

Moisés

Villena

Muñoz

Cap.

16

QMíod,&Zryaab

Y

su

área

total

sería:

su volumen

sería

ffi

16.3.2

CONO

El

cono

es

una

pirámide

circular,

es

decir

su base

es

un círculo.

Las

dimensiones

que

la

defi.nen

es

el radio

de

srr

base

y

su altura.

La

superflcie

lateral

es un

sector

circrrlar

Llamando g

a la

«;rnDRATnÍz

del

área

de

la superficie

lateral

serÍa:

2r

collo,

observe

la

figura

anterior,

el

ntonces

443

8/15/2019 cap 16.pdf

8/16

Moisés

Villena

Muñoz

Su

v*ñwm*"effi

sería:

3"

6.

&

"

S

S{.§pffi

xa§'x*§ffi

m§s.}ft

ffi.§#e

ás.8"§.

á

ffispffiR^e

i

$gru*$

*r

¿"

,

Sec

C

Liffi

punto

del

espccio

y

se*

j.

Un

i

if

i

ftúmero

positivo.

La superf

icie

esférícs

es

:

i

al

conjuntü

de

punto

tsles

que

§{"j

ciistsncic

,

la

ig_q

ss_¡gt.ls _

q,_.

i

_::*__*-i

d

*p.

í 6

6

**vee.a#ria,

+{eá¡

P-

W¡-;*+{,*.

j

L*

esfer«,

üm

c#ffifr)üo,

es

es

e$njLs§"?ts

#m

p*,grot*s

i

i

t*fas

q*sffi

slj

c,s?*m*i*

*§

eem***

*§

ffiffi#?#s.

*

j

Lre

*sf,*i-¿i

r:¡1ir-::ir._:es

el-

la

E}

}',

r&,r*ea

de

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ste,pq{&,§_,****.s{érá*m

i;$i

sii

q.cagar.á3}*á[

ris

t, t

.7,-¡y

i*

___

1''*_

i

,-*', *§{j

444

8/15/2019 cap 16.pdf

9/16

Moisés

Villena

Muñoz

Cq+.

76

QMríw

d¿l/f

*pa,c,b

liernpl,c

un

cono

recto

está inscrito

en

una esfera

de radio

R

y

centro

o.

Si el volumen

y

radio

del

cono

es

l2n

cm3

y

3

cm

respectivamente.

Hatle

el

área

de

la

esfera.

SOLUClÓN:

Como

el área

de

la

esfera

es

función

del radio,

entonces

debemos

encontrarlo.

Llamemos

h ala

altura

del cono

y

r

alradio

de

la

base

del cono.

El radio es dato

del

problema

y

la

altura

puede

ser calculada

debido

a

que

nos

proporcionan

el

valor

del

volumen

delcono.

V-

= *'h

3

t2n:lrbYn+h=4

3

"',

\

Ahora

observe

la

figura:

r

Aplicando

Elteorema

de Pitágoras

altriángulo

h-R

Tenemos

R2:r2 +(n-n)2

R2

:

12 +

h2

-2hR+

R2

-

12

+h2

2h

-

32

+42

25

u-

214)

8

625n .

3

-¿¡n'

16

A,

-4'(?)'

Finalmenle

44s

8/15/2019 cap 16.pdf

10/16

I

"l

Moisés

Villena Muñoz

L6.3.4

CONO

TRUNCADO

Cap.

7

6

8

wmefría¿

dn* E

*par,Oc

¡Demuéstrelo

Analicemos

u.n

tronco de

cono.

Note

que:

Su volumen es:

El área de

su superficie

¡Demuéstrela

'1.

Una

esfera

está inscrita en

un cono

y

la longitud del

diámetro de la

basedel

cono es igual a

la

longitud

de

generatriz

del mismo,

los

cuales

miden 10 cm.

Determine el volumen

de la esfera.

2. Una

esfe¡a

está

situada

denfo

de

un

cilindro de

manera

que

la

altura

y

el diámetro

del cilindro tienen

la

mi

dimensión

que

el diámetro

de la

esfera.

Determine la relación

entre

el

área

de

la superficie esférica

y

el área

la

superficie

lateral del cilindro.

3.

En una esfera de

radio

r

se tiene inscrito un cilindro

de tal manera

que

el

diámetro

del

cilindro es

con

el

radio

de

la esfera. Calcule

la relación entre el

volumen

del cilindro

y

el

volumen de

la

esfera.

4. Sean dos

esferas concéntricas,

con la característica

de

que

la

esfera

externa

se encuentra circunscrita a

cono cuya

generatriz

mide 3 cm.,

y

es

igual

en

longitud al diámetro

de su base; la esfera

interna está

el

mismo cono. Determine

el volumen del espacio

entre las dos esferas.

aa-

5. Un

globo

esférico contiene

originalmente

'-="

".t

de aire. Luego de inflarlo

más,

se

halla

que

su

-3

crecido

2

cm. Determine

el volumen de aire

que

se incrementó.

6.

Un recipiente en

forma

de

cono

recto

de

15 cm. de

altura

y

radio'r'tiene

sus

determine la

altura'a'del

helado.

a

oartes

27

I

¡

-H

-t¿

I

,

_

h

_g

RHG

446

llenas de

8/15/2019 cap 16.pdf

11/16

Xoisés

Villena

Muñoz

Cap.

7 6

QMyíw

ol¿l/E

Wa,c,tb

7.

En

un cono

circular

recto

donde el diámetro

de la

base

y

su altura

miden 3m.,

se

inscribe

otro

cono cuya altura

mide

2m.

de

manera

que

él vértice del

cono inscrilo

coincide con

el centro

de

la

base del

cono circunscrito.

Determine

el

volumen del cono

inscrito.

L Dos

esferas tangentes

externamentd

tienen

radios

de

longitud

iguala

8 cm.

y

12

cm.

respectivamente.

Las

esferas

están

situadas sobre

la superficie lisa

de

una mesa.

Determine la distancia

entre

los dos

puntos

de

tangencia de las

esferas con la mesa.

9. § la longitud

del radio

de

un

cono

recto

aumenta

en

un

25yo

y

la longitud

de su

generatriz

disminuye

en

un

60%o

,

determine

en

qué porcentaje

disminuye

el área

de la superficie

lateral del

cono,

10.

En

una caja cuya

superficie

conesponde

a

la de un

paralelepipedo

recto

rectangular caben

exactamente

seis latas

cilíndricas

de

radio

r .

¿Cuál

es la

razón

entre el volumen

de las seis latas

juntas

y

el volumen

de

la

caja?

11.

una empresa

necesita

enlatar

productos

para

exportación,

Los

requerimientos

son

los

siguientes:

el

entlase

debe ser

cilíndrico

con una

capacidad

de

400

*3

y un

diámetro

de

longitud

igual

a

15

crn .

Sise

desea

colocar

una

etiqueta

adhe-siva

que

recubra

la

superficie

lateral

externa,

¿cuánto

material

deberá

utilizar

en

la

elaboración

de

1000

latas?

12.

Se

tiene

una

orden de

trabajo

de

1000

cojinetes

de bronce,

los

mismos

que

tienen

la

siguiente

forma:

Sabiendo

que

en

el

proceso

de fundición

del

bronce

se

tiene

una

pérdlda

del

1006

del

material

fundente,

¿qué

cantidad

de

bronce

¡cm3

t

hay

que

considerar

en la

fundición

para

obtener

el

número

de

cojinetes

que

se desean?

13.

Una esfera

de

radio

r

está

insoita

en

un

prisma

recto

de

base

hexagonal,

tal

que

la

esfera

es

tangencial

a

cada

una

de las

caras

laterales

y

a

las

bases.

Determine

la

razón

entrell

volumen

de la

esfera y

el-volumen

del

prisma

I

5m

I

^

_

l5cm

_J_

Io,*

447

8/15/2019 cap 16.pdf

12/16

MoisésVillena

Muñoz

Cap. 7e

qenmp*¡a,rd2)/Epd,ob

14.

Determine

el

volumen

de

la

pieza

de

acero

que

se muestra

en

la figura:

8cn¡

I

':

2cnl

16.3

SÓr,rpOS

DE

REVOLUCTÓU

Las

figuras

planas

cou.ocidas,

corno

los

triáuegulos,

rectángulos

circunferencias,

pueden

Ser

giradas

con

respecto

a

un eje

y

Se

gene

los sólidos

de revolución.

Estos

sólidos

serán

cuerpos

redondos.

Consideraremos

sólo

ejes

verticales

u

horizontales.

ü

t-':..

-

i

"'J

l-

()

r\---lt

448

8/15/2019 cap 16.pdf

13/16

Moisés Villena Muñoz Cap.

I

6

QeM'l

* do;llE

tpar,íD

EíerWlDl

Hallar

el

volumen

del

sólido

que

se

genera

al

girar

la región sombreada

alrededor del eje

y.

SOLUCIÓN:

Observe

que

al

hacer

giar

360"

la región sombreada alrededor

del eje

y

,

se

forma un sólido

compuesto

de

un

cono con un cilindro y en su interior hay un

vacio

de una esfera.

Por tanto:

V

:

V"ono

*

%,,,no.o

-V"rr"

Entonces

\

v

:

*,

o

+ r{zo)2

(zo)'-

t,*,

lr^14?-r

:-tta-

+8rTa'

--/Ta'

:

/LTQ"

33

Éíer?ü\,a2

Hallar

el

volumen

del sólido

que

se

genera

al girar la

región sombreada alrededor

del

eje

indicado.

2a

449

8/15/2019 cap 16.pdf

14/16

Moisés

Villena

Muñoz

Cap.

1

6

Genmpfría¿

dPV

E

tPar,b

SOLUCÉN:

fl sOl¡Oo

generado

está

compuesto

por

un

cilindro

y

un

tronco

de

cono.

Por

tanto:

+2aa+(2.a)'h:

*'

7

,. 10

1

+-nrct':-,Tcl'

33

Sea

R

una

región

de

1R2

definida

Por

\

Hallar elvolumen

del

sólido

que

se

genera

al

girar

R

alrededor

del

eie:

al

v

b),

SOLUC6N:

a)

alrededor

del

eje

y

tenemos:

El sólido

generado

esta

compuesto

por

un

cono

y

un cilindro,

entonces

1

l+\'

4

+ n(

4\2 z

=16o

o

=V"oon*V^o*=1r,

,

3

tr:

r*'o* b'

450

8/15/2019 cap 16.pdf

15/16

Hoisés Villena Muñoz

Ca+.

76

QMría,

dá/E*q,ob

b) Alrededor del eje

x

tenemos:

El

sólido generado es

un

tronco de cono, entonces:

v

:

i(Q)'

+

(z{o)+

(u)'

Xo)

:

ry

"

x+Y:6

1.

Determine el volumen del sólido

que

se

genera

al

girar

la región

sombreada alrededor

del

eje

indicado

En el

kapecio

de la figura, las

longitudes

de

los

segmentcls

AC y

CE son respectivamente

2

m.

y

1 m., la

medida

del

ángulo

CAB

",

+

La

figura

es

rotada

360' alrededor del eje PQ.

Calcular el volumen,

y

el

área

lateral¿els¿¡i¿o oe

rerf.¡on

nJn"r.oo.

--',

4s1

8/15/2019 cap 16.pdf

16/16