Cap-11-CA 205-231 CORRIENTE ALTERNA

8/9/2019 Cap-11-CA 205-231 CORRIENTE ALTERNA

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Cuaderno de Actividades: Fsica II

11) CORRIENTE ALTERNA

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 205


2/27

( ) t


11.1) Generadores

( ) m

CORRIENTES

ALTER

t e t

N S

n

A

s

+

67 8

Se pueden producir con un sistema de bobinas en la regin de B debido ainduccin Faraday.**La f.e.m. alterna la circulacin de las corrientes.

11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e

inductivos

i) Circuito Resistivo

( )

( ) { }

?

M

i i t

t sen t

= =

2Ley de Kirchhoff:

- Ri 0

( ) { } { }

( ) { }

MM

MM M

i t sen t I sen

i t I sen

t

R

R

t I

R

=



3/27


( ) { } ( ) { }M Mt sen t i t I sen t

:

( )

FASE

v i

USANDO FASORES ( =VECTORES), para describir lasrelaciones v-i

Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valoresmximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando con

frecuencia angular en un plano, de tal manera que los valores instantneosde las CF se obtienen mediante su proyeccin en el eje vertical.

Para el circuito resistivo:

( ) { } { }( ) M Mt v t sen sen t = = ( ) { } { }M Mi t I sen I sen t

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo

( )v t

( )i t

MV

MI

t

207


4/27

( ) t


Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)

ii) Circuito Capacitivo

C

De 2Ley de Kirchhoff:

q

- 0

( ) { } { }

{ }cos

M M

M

t V sen t q CV sen t

dqi CV t

dt

( ) { }

( )

cos

2

M

M

i t CV t

i t CV sen t

+

( )2

Mi t I sen t

+

{ }1

M M M M I C V V I C

M C MV X I



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, : Re1

CC X acatrancia

Capaci va

XC

ti

Con lo que las ecuaciones para V e i, resultan,

( ) { }( ) Mt v t V sen t = ( )2

Mi t I sen t

+

Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor

adelanta en ( /2) al voltaje, en el lenguaje de fasores tendramos la siguienterepresentacin,

De igual forma en el lenguaje grafico, las curvas v-i muestran el mismoadelanto de la corriente frente al voltaje,


MV

MI

209


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( ) t


iii) Circuito Inductivo

( ) ?

dt

=

De la 2Ley de Kirchhoff:

di - L 0

i i t

( ) { }( ) Mt v t V sen t = ( ) 2Mi t I sen t

En la ecuacin de corrientes,

{ }MM M MV

I V L I L

M L M LV X I X L

: Re tanLX ac cia inductiva

Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de ( /2) de lacorriente frente al voltaje,

( ) { }( ) Mt v t V sen t = ( )2

Mi t I sen t

Este retraso es claramente descrito por los fasores,


MV

MI

210


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La informacin contenida en la grfica V-t muestra claramente este retraso dela corriente,

iv)

Observaciones

j) Grafico de reactancias

La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias c y L, en

funcin de la ,

( )R R

1C

XC

LX L

jj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, Vef

Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, sedeterminan usando criterios energticos, como por ejemplo, a un circuito

resistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potenciadisipada por R sea la misma,



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( )2 2

" " max

M P

P

i t I sen t I sen t

I I pico o ima

+ +

Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia delcircuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)

genera la mitad de potencia que Im ( o Ip),

( )1

22P e fI I ei

P

t fII P P P

Razonamiento anlogo conduce a,2

Pef

VV

11.3) Circuitos RLC enserie

( ) ?i i t =


I

PI

R

i(t)

Pi

( ) t i

( )i t

(t)

L

R

C

212


9/27


De la 2da

de Kirchhoff,

( )

( )

0

1

...C

q di

t Ri LC dt

Rq q q t

L LC

resolviendola E Diferencial

+ +

&& &

Resolviendo usando FasoresEl diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,

Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en elcircuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con lacorriente. Los fasores VL, VC y VR se componen para obtener el fasor V0=VM,

de tal forma que,

( )

2 2 2

0,,

,

L C R M M

CS

L L M C C M R M

V V V V V V yconlas E

V I V I y V RI

+ =

= = =



10/27


( ){ }

( ){ }

2 2 2 2

12 2 2:

:Im

L C M M

L C

M M ef ef

MM

R I V

Definiendo Z R

Z pedanciadel circuitodeCA

V ZI V ZI

VI

Z

+ =

= +

= =

=

F

Con lo que si,

( ) { } { }( )

,

tan( )

M M

L C

v t V sen t i t I sen t

Donde

R

=

Depende de la intensidad de los s,


X *

R

X L

X C

X L X c X L X cX L X c=

R

X * L

L a t e n s i n t o t a le s t a r a d e l a n t a d o

m e n o s d e 9 0 g r a d o s

r e s p e c t o a l ac o r r i e n t e

R

X * C

L a t e n s i n t o t a l

e s t a r r e t r a s a d om e n o s d e 9 0 g r a d o s

r e s p e c t o a l ac o r r i e n t e

R

T e n s i n t o t a l yc o r r i e n t e

e n f a s e

X * L

X L X C

R

Z RX L

X C

R

X * c

X LX C

Z

214


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Observaciones:

i) Usando el plano complejo

Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando

complejamente R y las s,

,

,

( )

C L

R C C L L

R C C L C

Z R

transformandoa impedancias complejas

Z R Z i y Z i

Z Z Z Z R i

= + +

= + + +

Esto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo,

( ){ }1

2 2 2

1

?iL

n

C

i

Z Z ZR Z =

= = + =

ii) Circuitos RLC en paralelo



12/27


La Z del circuito se obtendr usando fasores de corriente, puesto que ahora seaplica el mismo voltaje a todos los Zs,

122 2

122 2

1 1 1 1

M M M M

C L

C L

V V V V

Z R

Z R

= +

= +

Tambin podramos asumir impedancias en paralelo, usando

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

1

22

122 2

1

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1?

L C

C L C L

C L L C C L

C L C L L C

C L C L L C

C L L C

C L

n

i i

i

Z R i i Z R

R i RZ

Z R R i

R

Z Z

R i

ZR

Z R

=

= + + = +

+ = =

+

= +

= +

=


IC

IL

IR

VM

IM

216


13/27


11.4) Potencia de un circuito de CA

i) P instantanea,P(t)

( )

{ } { }

{ } { }

( )

...M M

M M

v t i t

V sen t I sen t

P V I sen t sen

P

P

t

ii) P Media, PM

{ } { } { } { }

{ } { }

{ } { }

2

2

( )

1cos 2

2

12 0

2

T

M M

M M

T

m

T

P t

P V I sen t sen t sen

P V I sen t sen t

sen t sen t

P

{ } { } { } { }

{ } { }

2

2 2

0 0

12 2 0

2

1cos cos

2

?m

T T

TT

M M ef ef

ef

sen t sen t dt sen t sen t dt

P I

P V I V I

R

Al factorcos( ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia de

las impedancias (reactancias) sobre la Pm.



14/27


11.5) Resonancia

Es un fenmeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor mximo(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condicin,

1res

LC

En general:

( ) ( )( )

2

2

2

2

2 2

22 2 2 2 22

2

( )1

1

ef

ef

ef ef

m ef

ef

m m

res

VI I

R LC

P I R

VP R

R

V RP

LL

C

R

+

+

+

La grafica Pm- muestra la dependencia con res. A dicha frecuencia elcircuito se comportar como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos einductivos se anulan mutuamente.


218


15/27


En las curvas de Pm se define el factor decalidad, Q0, el cual se vincula a R,

0resQ

Donde w se mide amedia altura,Pm = (Pm,max /2)

Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?



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11.6) Transformadores

Son dispositivos (maquinas elctricas) que permiten controlar voltajes alternos,as como impedancias, usando induccin Faraday. Estn constituidos

bsicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura,

Primario Secundario

p p

p

N

R

s s

s

N

R

Aplicando induccin Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria,

,

,

...1

...2

B p

p p

B s

s s

dN

dt

dN

dt

De las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B(ferromagntico),

, ,B p B sd d

dt dt



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Entonces, en la aproximacin de transmisin de flujo ideal,

p p

s s

N

N

Esta expresin puede, por supuesto, extenderse a los (voltajepico)o , p ef V V

debido a que la seal en el secundario tiene la misma frecuencia que la delprimario,

p p pp efp

s s ps efs

N V V

N V V

Ahora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la ,p sP P

p p p s s s p p s sV I V I P V I P V I

En los casos reales se introduce un factor de potencia, ,

: %s pP P

? Que importancia tecnolgica tienen los transformadores.

? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.

? Podra construir un transformador no convencional y darle aplicacin.



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11.7) Circuitos Filtro

Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar seales elctricas enfuncin de la frecuencia, es decir, pueden filtrar seales de baja frecuencia, alta

frecuencia o una banda determinada de frecuencias.

i) CF pasa bajas

La ganancia, g, es notable para seales de baja frecuencia.

La g se define de la siguiente manera,

, : :s e

s

e

V V en la salida yV V de ent V

g a

V

rad

Tenemos el siguiente circuito,

El voltaje de salida se toma en el condensador, de tal forma que la gananciaes,

( )2

2

21

11

1

c

e

M

M

s I wC

ZIR

wC

Vg

V RwC

+

+

donde la g es casi 1 parabajas ws, como se muestraen la grafica,


g

1

0 w

222

R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0


19/27


ii) CF pasa altas

La ganancia, g, es notable para seales de alta frecuencia.

Usando el mismo circuito,

El voltaje de salida se toma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es,

222

1

11

1e

M

M

s RI RVg

RwC

ZIR

V

wC

+ +

observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica,


g

1

0 w

223

R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0


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? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.

? Como se construira un circuito pasa banda, (w1, w2).

? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.

? Aplicaciones tecnolgicas del los CF.

Aplicaciones:

S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCR

serie con R = 1 k , L = 50 mH y C = 2,5 F.a) Cul es la frecuencia de resonancia del circuito?



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b) Cul es el valor de Q?c) A qu frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el

generador es la mitad de su valor mximo?

SOLUCION:

a) CA, RCL ene serie:3 6 310 , 2,5 10 50 10R C y L

( ) ( )0

3 6

1 1

50 10 ,5 0?

2 1resw w

LC

b) y c) ,max1

? ? / ( )

2

s m mQ y w P w P

El factor de calidad Q, se obtiene por,

( )

? L rese resr s

w Lw

R

wQ

w R

donde, w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la

figura, 2 1,w w w

1 2 1 2 ,max1

?, ? / ( ) ( )2

m m mw w w P w P w P

yendo a la ecuacion de mP w , e imponiendo la condicin de ws,


Pm

Pm,max

(1/2)Pm,max

0 w w1wresw2

225


22/27


( )( )

2 2

22 2 2 2 2

ef

m

res

V RP

R L

+

( )( )

2 2 2

22 2 2 2 2

1

2

ef ef

m

res

V R VP

RR L

+

( )2

2 2 2 2 2 2 2

res res

RR

Lw wL w

2 2 2 2

2 2

...

...

0

0

res res

res

w w w w

w

R Rw wL L

Rw

L

I

w II

+

2

2

2

2

1 3

4 4

2:

2

res res

R R R R

L L L Lw w

w w

DeI

+ + +

2

2

2

2

2

4

4 4

2:

2

res resw w

D

R R R R

e IIL L L L

w w

+ + + + +

Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,

1

2

?

?

?

res

w LRw L Q R

w

w

S6P37)


iR

+

C-

-L

226


23/27


En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8 , L = 40 mH, C = 20 F, la diferencia de potencial pico de la fuente, v 0 = 100 V y =( 200/ ) Hz.a) Deduzca la impedancia del circuitob) Cul es el valor de la corriente?

Halle la diferencia de potencial rms a travs dec) R, C y L individualmented) R y C combinadose) C y L combinadas

SOLUCION:

De los datos6

max8, 0,04, 20 10 , 100 400

pR L C V V y w ,

a) ( ){ }1

2 2 2 ...?L CZ R +

b) De las ecuaciones,1

, ,MM C L

VI w

Z wC y L

( ) ( )

( ) ( )

6

1 1125

400 20 10

400 0,04 16

C

L

wC

y wL

Calculando max109,3 y con 100 8,Z V y R

0,92M

I

c) Hallando los ,rms ef V V

c1) , 50,92 8 7, 4 ,3

2

M R M

p

ef

VVV I R

c2) , 0,92 125 115 81,62

M eC

p

M C f

VVV I

c3) , 0,92 16 14, 107 ,42

M L M L

p

ef

VVV I

d) Ahora para la combinacin RC,



24/27


2 2 2 2

,

8 125 125,3

0, 92 125, 3 115, 1,3 8 82

CRC

M RC

p

fRC eM

R

V IV

V

+ +

e) Combinacin CL,

,

109

0,92 109 100 12

, 13 7 ,p

ef

LC

M LC M LC V I

VV



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S6P25)En relacin al circuito mostrado,a) Halle la resistencia equivalente.b) Halle corriente por la resistencia.c) Halle la corriente por la inductancia.

d) Si se toma una seal por la resistencia Es unfiltro? Why.

SOLUCION:

Datos:3 660, 150, 10, 5 10 , 20 10

pV R L C

,

a) La impedancia del sistema estara dada por,

( )

12 2

2 L C

C L

Z R

+

Calculando para,1

,C Ly wL

wC

( ) ( )

( ) ( )

6

3

1 1132,7

2 60 20 10

2 60 5 10 1,9

C

L

ywC

wL

Reemplazando en Z,

10,2Z

b) Usando MMVIZ

, resulta,

15014,7

10,2M

I

c) Determinando el voltaje en el inductor,

( ) ( )2 22 2 2 2150 10 14,7

p R LC LC V V V V + +

( )29,8 29,8 1, 5,79 1 LC L L L LL IV V I I


10

150 V

20 F5mH60Hz

229


26/27


d) De la ecuacin para la g,

( )( ) ( )

2 2

0

2 22

2

22 0

...

/

?M

ML C

C

s

e

L

w w

w w w RC

R RV

V

I

ZR

g

I

+

+



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S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste deimpedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificadorestreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante untransformador. En la ecuacin V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarselas corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 =

V2/Z. Utilizando las ecuaciones2

2 1

1

NV VN

= demostrar que

( )1 2

1 2/

IN N Z

= y, por consiguiente, Zef= (N1/N2)2Z.

SOLUCION:

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