水理学Ⅱ及び同演習hydro/lecture/hydraulics/...KBE 3/2 流量係数 ( ) d d H d b bH b B H H...
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水理学Ⅱ及び同演習 第13回 一様断面の不等流 (水面形・堰・水門の流れ) 目標：一様断面からなる開水路で，勾配の変化や堰・水門に よる水面形の変化を予測する ・一様断面における水深の変化(dh/dx)を表す開水路の 基礎式から勾配の変化による等流水深と限界水深の 関係を考察する ・与えられた水路勾配等流水深と限界水深の関係から， 常流・射流といった流れの分類を行う． ・水門や堰のある水路において水面形の変化を予測する
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水理学Ⅱ及び同演習 第13回 一様断面の不等流
(水面形・堰・水門の流れ)
目標：一様断面からなる開水路で，勾配の変化や堰・水門による水面形の変化を予測する ・一様断面における水深の変化(dh/dx)を表す開水路の 基礎式から勾配の変化による等流水深と限界水深の 関係を考察する ・与えられた水路勾配等流水深と限界水深の関係から， 常流・射流といった流れの分類を行う． ・水門や堰のある水路において水面形の変化を予測する
一様断面水路の不等流1 断面形状・水路勾配・粗度が一定＝一様断面水路
hA
gAQ
AQ
gRdxdh
∂∂α
−θ
ϕ−θ
=
3
2
2
2
cos
1sin
水深の変化(dh/dx)を表す一様断面水路 の基礎式
水路勾配を用いて
i=θθ
=θcossintan
θα
−
θ−
=
θα
−
θ−
=
cos1
sin11
cos1
sin11
3
2
23/4
22
3
2
22
2
gABQ
ARQn
i
gABQ
RACQ
idxdh
Chezy式 Manning式
一様断面水路の不等流2 3/22/1 1 AR
nCARK ==
BAZ /3=
通水能(式5.33)
断面係数(式5.17)
θ= sin/0 QK
等流水深h0の通水能(式5.34)
限界水深hcの断面係数(式5.18)
θα
=cosg
QZC
θα
−
θ−
=
θα
−
θ−
=
cos1
sin11
cos1
sin11
3
2
23/4
22
3
2
22
2
gABQ
ARQn
i
gABQ
RACQ
idxdh
220 / KK 22
0 / KK
22 / ZZc
22
220
/1/1ZZKKi
dxdh
c−−
=
通水能と断面係数を 用いた水面形の式
3
2
2
=
hh
ZZ cc
一様断面水路の不等流3
( ) 2/32/12/1 CbhhbhCCARK ===
広長方形水路(b>>h)の場合 h
b
hbhh
bhbh
sAR
bh=
+=
+==
→0/1/22
通水能K, K0 (Chezy)
断面係数Z, Zc
22
220
/1/1ZZKKi
dxdh
c−−
=
水面形の式
( ) 2/30
2/100
2/1000 CbhhbhCRCAK ===
径深R=hとなる
通水能K, K0 (Manning)
( ) 3/53/23/2 111 bhn
hbhn
ARn
K ===
( ) 3/50
3/200
3/2000
111 bhn
hbhn
RAn
K ===3
02
20
=
hh
KK
3/100
2
20
=
hh
KK
( ) hbbbhBAZ 233 // ===
( ) 3233 // cccc hbbbhBAZ === 3
3/100
3
30
1
1
1
1
−
−
=
−
−
=
hh
hh
i
hhhh
idxdh
cc
広長方形水路 の水面形の式
一様断面水路の不等流4
3
3/100
3
30
1
1
1
1
−
−
=
−
−
=
hh
hh
i
hhhh
idxdh
cc
広長方形水路の水面形の式
長方形，台形，円管断面等の一般断面形については以下のように表される
Mc
N
hhhh
idxdh
−
−
=
1
1 0
NhCK 12 = MhCZ 2
2 =
hの指数形式になるように近似
類似した形(式5.52)
この式に基づいて水面形の分類を行う(参考資料①,②)
参考資料①(水面形の分類) 水面形の分類 水深hの位置によって水面勾配dh/dxが
どの様に変化するか? 分類の方法 ①水路タイプを決める(限界勾配icを基準) i<ic → 緩勾配水路(mild slope) i>ic → 急勾配水路(steep slope) i=ic → 限界勾配水路(critical slope) i=0 → 水平勾配水路(horizontal slope) i<0 → 逆勾配水路(anti-slope)
②等流水深h0と限界水深hcの 位置関係を決める i<ic → h0 > hc (緩勾配) i>ic → h0 < hc (急勾配) i=ic → h0 = hc (限界勾配) i=0 → h0 → ∞ (水平勾配) i<0 → h0 (存在せず)(逆勾配)
③水深hを変化させdh/dxの変化 を表す式から推測する
Mc
N
hhhh
idxdh
−
−
=
1
1 0
(例)緩勾配水路(i<ic)→ h0 > hc
h> h0 > hc
h0 > h> hc
h0 > hc> h
→ )(0)()(
背水水深増加 分母
分子=>
++
)(0)()(
低下背水 分母
分子>
+−
)(0)()(
背水 分母
分子>
−−
→
→
参考資料②の(c)のパターン
参考資料②(水面形の分類) 水路の分類 定義 水深h,等流水深h0,
限界水深hcの関係 射流 常流
背水・ 低下背水
dh/dx 符号
水面 記号
(a)急勾配水路 (steep slope)
i >ic hc > h0
h> hc > h0 hc > h > h0 hc > h0 > h
常流 射流 射流
背水 低下背水 背水
正 負 正
S1 S2 S3
(b)限界勾配水路 (critical slope)
i =ic h0 = hc
h > h0=hc h0 = h = hc h0 = hc > h
常流 限界流 射流
背水 等流 背水
正 ゼロ 正
C1 C2 C3
(c)緩勾配水路 (mild slope)
i <ic h0 > hc
h > h0> hc h0 > h > hc h0 > hc > h
常流 常流 射流
背水 低下背水 背水
正 負 正
M1 M2 M3
(d)水平勾配水路 (horizontal slope) i =0 h > hc , h0→ ∞
h < hc , h0→ ∞ 常流 射流
低下背水 背水
負 正
H2 H3
(e)逆勾配水路 (anti-slope) i <0 h > hc
h < hc 常流 射流
低下背水 背水
負 正
A2 A3
参考資料③(水面形の分類)
(a)急勾配水路(i>ic) (b)限界勾配水路(i=ic)
(c)緩勾配水路(i<ic) (d)水平勾配水路(i=0)
(e)逆勾配水路(i<0)
h→ hc (急)
h→ h0 の時 dh/dx=0
h→ h0 の時 dh/dx=0
h→ hc (急)
h→ hc (急)
h→ hc (急)
Mc
N
hhhh
idxdh
−
−
=
1
1 0
dh/dxの変化を表す式
※矢印の向き(波が伝わる方向を表す) 常流(h>hc)の時：下流から上流へ 射流(h<hc)の時：上流から下流へ
参考資料④(水面形の計算)1 教科書P125図5.20 流量・断面形状が一定の場合→限界水深hcは勾配に関わらず一定
等流水深h0は勾配は勾配が小さくなると大きくなる CcCC BhAh
gQ 2)18.5( ==より式
5/3
0)35.5(
=
Inqhより式 射流→常流の間に跳水
常流→射流の間に支配断面
等流水深h0は勾配が 一定の状態が続くと発生する
緩勾配 (h0 >hc) 急勾配
(h0 < hc) 急勾配 (h0 < hc)
緩勾配(i<ic)→急勾配(i>ic)→ 急勾配(i>ic)
参考資料④(水面形の計算)2 緩勾配(i<ic)→急勾配(i>ic)→緩勾配(i<ic)
参考資料④(水面形の計算)3 緩勾配(i<ic)→急勾配(i>ic) →水門→緩勾配(i<ic)
急勾配(i>ic) →緩勾配(i<ic) →水門→急勾配(i>ic)
堰・水門の流れ
堰(せき) 水門
堰(せき) → 流れをせきとめ，その上を越流させる構造物 水門(すいもん)→ 水路・ダムの頂部に設置，流量・水位の調節に利用される
水門 堰(せき)
堰(せき)
堰の頂部は，一般には水脈を 安定させるために刃形状になっている
刃形堰の種類
全幅堰 四角堰 三角堰 台形堰
堰は頂部において，常流→射流の間に生じる 「支配断面(限界流)」が起きる．支配断面の地点では， 流量Qは限界水深hcのみの関数であるため，流量測定に適する．
ch
Q
全幅堰 接近速度水頭 gvh aa ρ= /2
刃先から上流の比エネルギー E H越流水深
D
ah
y
x
dH
av
E
(ナップ)堰の上から流下する水脈
H
gvHE a ρ+= /2
教科書P186表6.1 堰の頂点を原点としたha/Eの変化による ナップの形状(y/E, z/E)を示したもの
接近速度水頭ha/Eが大きいと ナップが平坦で上昇高D/Eの値は減少する
ナップの最高点に支配断面が生じる (限界流が生じ，フルード数Fr=1となる)
流量の式 2/3KBEQ =
流量係数
四角堰 水路幅bの水路に高さHd，越流幅Bの四角堰を設置
B
b越流量 2/3KBEQ =
流量係数 ( )
ddd Hb
bHHBb
HH
HK 034.0428.0237.000295.0785.1 +
−−++=
板屋・手島の式
適用範囲 0.5m ≦b ≦6.3m, 0.15m ≦B ≦5m, 0.5m ≦ Hd ≦3.5m, BHd / b2≧3.5m, 0.03m ≦H ≦0.45B1/2m
三角堰
a
ξ
b
H
B
dH
Hy
cθ
dy
y堰の頂点からy軸をとる 流線(ξ線)を通るa-c間 のベルヌーイ式
gvyH2
2
=−
( )yHgv −= 2
堰の位置において近似的 に圧力を0(ゼロ)とおく
y線を通る 流線の速度v
堰位置の水深＜越流水深H → 近似的にHと等しくする 水平帯の厚さdy
水平帯の面積
dyHByA
=
微小水平帯を通る流量の積分→越流量Q
( )
( ) 2/5
0
00
22
tan1582
2
HgCydH
yHCByg
dyH
CByyHgdyvAQ
H
HH
θ=′
−′=
−==
∫
∫∫
yHy −=′ 5/2乗に比例
直角三角堰の実用式 (沼知・黒川・淵沢式)
2/5KHQ =
2
09.02.014.0
004.0354.1
−
++
+=
bH
H
HK
d
水門
(a)自由流出 水門からの流れが射流状態で流出 (下流側の水位が高いときに発生する)
水門は河川や運河，湖沼，ダムの貯水池などに設けられる構造物 可動式の仕切りによって水の流れや量を制御する役割をもつ
a
0v
0h
v aCc
gvha 2
20=
a
0v
0h
v aCc
gvha 2
20=
h 2h
2v
(b)もぐり流出 水門からの流れが下流下面にもぐる (下流側の水位が水門の開きaにほぼ同程度 で下流の水位が低いときに発生する)
水門からの流れは，(a)自由流出と(b)もぐり流出の二種類がある
水門からの流れ(自由流出)
(a)自由流出
a
0v
0h
v aCc
gvha 2
20=
射流によって収縮した断面の水深 (水門の開きaに収縮係数Ccを掛ける形)
aCc
ベルヌーイの定理 g
vaCg
vh c 22
220
0 +=+
連続の式 avBCvBhQ c== 00
00 Bh
Qv =aBC
Qvc
=
①
② ③
( ) ( )2200 2
121 aBCQ
gaCBhQ
gh cc +=+
( )( )20
0
12
haCaChgaBCQ
c
cc
−
−=水門から
の流量Q
式①に式②，③を代入
収縮係数Ccの値は0.61～0.64程度 流量係数Cを導入して以下の形で表す
02ghBCaQ =
水門からの流れ(もぐり流出)
(b)もぐり流出
もぐり流出は噴流が起き表面渦が形成 エネルギー損失が起きる 収縮断面 (1)において断面Ccaをvで流れる (上層の表面は静止とみなし静水圧分布)
( )22
2
2
2 11 hhqaCh
qc
−ρ=
−ρ
02ghaCq c=自由流出の(単位幅)流量
①, ②式に③式を代入し， それぞれCca, (Cca)2で無次元化
( )22
20
2
0 22 aCgqh
ghqh
c
+=+
(0)→(1)区間は，エネルギー損失は 小さいとして，ベルヌーイの定理を適用 (単位幅流量q=Q/Bを用いた形で表示)
①
②
20
2
0
20
+=
+
aCh
CC
aCh
haC
CC
aCh
ccc
c
cc
−
=
−
2
22
2
02
411
aCh
aCh
haC
aCh
CC
cc
c
cc
①→
②→
③ (1)→(2)区間は， エネルギー損失が著しい 運動量保存の定理を適用 を消去両式から aCh c
の関数と
は
aChaChCC
cc
c
20
教科書P200図6.18
参考資料⑤
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2/52/5
0
2/52/3
02/10 2/1
02/1
22
tan1582
154
52
322
222
HgCHgH
CByyHgH
CB
ydyHygH
CBydyHygH
CBdyyyHgH
CBQ
H
H
H
H
θ==
′−′=
′′−′=′−′−′=−= ∫∫∫
頂点からの，ある高さyの位置に， ある厚さdy，水平幅xとなる水平帯状部分を考えると
b
H
B
dH
θ
dy
y
x
HyBx :: =HByx = dy
HByxdydA ==
水平帯の面積
水平帯の面積dAを通る流速v ( )yHgv −= 2
( ) dyH
CByyHgCvdAdQ −== 2
dAを通る流量dQは流量係数Cを用いて
yHy −=′ yddy ′−= y‘の積分範囲[H,0] ( )
2tan2/ θ
=H
B2
tan2 θ= HB
左上図より
