Cantoral Matematicas 2do

7/27/2019 Cantoral Matematicas 2do

1/282

I

MatemticasSegundo grado

Serie

Desarrollo del pensamiento matemtico

Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza

Rosa Mara Farfn Mrquez

Gisela Mont iel Espinosa

Apolo Castaeda Alonso

Mario Snchez Aguilar

Francisco Javier Lezama Andaln

Gustavo Martnez-Sierra

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA

MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

SAO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI

SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO


2/282

Publisher de la divisin: Jorge Rod rgu ez Hernnd ez

Director editorial: Jos Ashuh M onayer

Editora externa: M artha M aldonado Rosales

Supervisor de produccin: Gustavo Rivas Rom ero

Diseo de interiores:Cdig o X, S.C.

Formacin tipogrfica: Ricardo Viesca

Con la colaboracin d e:

M arth a M aldo nad o Rosales (DM E, Cinvestav IPN); Raciel Vzquez A gu ilar (DM E, Cinvestav IPN); Jos Ricardo M end ez Neri (DM E, Cinvestav

IPN); Gabr iela Lp ez Ballestero s (DM E, Cinvestav IPN); Juan Gab riel M olin a Zavaleta (Pro m e, Cicata IPN); Carlo s Oro peza Lego rret a

(Prom e, Cicata IPN); Hip lita Patricio Bustos (Cim ate, Facultad de M atem ticas, UAG); Ivn M aldo nad o Rosales (Facultad de Letras Espao las,

Universidad Veracruzana).

MatemticasSegundo grado

Prohib ida la reprod uccin to tal o p arcial de esta ob ra,por cualquier m edio, sin la aut orizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 20 07 , respecto a la prim era edicin p or:M cGRAW-HILL/INTERAM ERICANA EDITORES, S.A . DE C.V.A Subsidiary of The M cGraw-Hill Companies, Inc.

Punta Santa Fe,Prolon gacin Paseo d e la Reform a 10 15, Torre A ,Piso 1 7, Colo nia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 0 13 76 , M xico, D.F.M iemb ro de la Cmara Nacional de la Indu stria Edito rial Mexicana, Reg. Nm . 736

ISBN 970-10-6080-6

1234567890 09865432107

Imp reso en M xico Printed in Mexico

II


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III

Estimada alumna, estimado alumno:

El aprendizaje de las matemticas puede llegar a convertirse en unaaventura pues

Hay que buscar caminos.

Encontrar diversas soluciones a un mismo problema.

Colaborar con otros para llegar a resultados.

Saber comunicarse cada vez con mayor precisin para que el

mensaje sea efcaz.

Mantener el entusiasmo.

Con ayuda de este libro, aprenders nociones y procedimientos matem-ticos que servirn de base para tu ormacin acadmica y ciudadana. Para

ello seguirs construyendo conocimientos y desarrollars competencias y

habilidades que te ayudarn en tu vida utura tales como:

Plantear y resolver diversos problemas.

Obtener inormacin a partir de datos.

Comunicarte con efcacia.

Manejar diversas tcnicas, como el clculo mental y el empleo de

procedimientos abreviados. Utilizar con provecho los avances tecnolgicos.

Pensar y actuar de manera independiente y autnoma.

Colaborar con tus compaeros, compaeras, proesor (proesora)

en empresas colectivas de manera solidaria.

Adems, las matemticas te sern de gran utilidad para desenvol-

verte en la vida; por ejemplo, para inventar juegos cada vez mas

desafantes, para cuidar tu salud, proteger el medio ambiente y de-

ender tus derechos como ciudadano.

Dado que el objetivo ltimo de toda enseanza es el logro de los apren-

dizajes de los alumnos, nos esorzamos por hacer de este libro un ins-

trumento para tu aprendizaje, un medio que te permita articular los

conceptos con sus procedimientos y que te ayudar a vincular lo que

trabajaste en preescolar, primaria y primer ao de secundaria, con

aquello que ahora estudiars en tu segundo ao de secundaria. Todo

con el fn de desarrollar tu propio pensamiento matemtico.

Mensaje a las alumnas

y a los alumnos


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IV

Tu libro de Matemticas 2, Serie: Desarrollo del pensamiento matemtico, se es-

tructura en 36 lecciones (en la ltima hars una sntesis), en donde la vinculacin

entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los que se tratan en

otras asignaturas es un asunto de suma importancia. El contenido del programa

se articula en tres ejes:

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Forma, espacio y medida.

Manejo de la inormacin.

En cada leccin nos hemos valido del empleo de tus conocimientos y de tus prcticas

cotidianas. Nos hemos apoyado en tus conocimientos para construir otros nuevos.

Todas las actividades y ejercicios que te hemos propuesto en el libro, tienen por

objetivo que cuando las realices logres construir ideas matemticas y con ello de-

sarrolles algn aspecto de tu pensamiento matemtico.

Te deseamos el mayor de los xitos en este curso.

Los autores y las autoras.

Estimada profesora,

est imado profesor:

Este libro, Matemticas 2, Serie: Desarrollo del pensamiento matemtico, tienecomo propsito ser un auxiliar didctico para la educacin matemtica en las

aulas de secundaria. Con ustedes compartimos el reto de despertar el inters en

los jvenes estudiantes para que de manera cada vez mas autnoma y creativa

resuelvan situaciones problemticas; stas son el undamento de la enseanza de

las matemticas. Para lograr este fn, diseamos una propuesta didctica probada

en el saln de clases, la cual lleva a la reexin, a la aplicacin de conocimientos

que progresivamente se van adquiriendo, a la toma de decisiones, as como al

trabajo individual autnomo y al trabajo en equipo solidario. Todas las activida-

des y ejercicios que proponemos en el libro, tienen por objetivo el construir ideas

matemticas y con ello desarrollar algn aspecto del pensamiento matemtico denuestros estudiantes.

En el diseo didctico tratamos todos los temas del programa vigente de orma tal

que no se limitaran a una temtica especfca y permitiesen el trnsito por un mar

de ideas matemticas que estn presentes en diversos mbitos del conocimiento

humano: biologa, sica, espaol, geograa, demograa y temas de salud. Para in-

troducir un nuevo concepto matemtico o para desarrollar competencias y habili-

dades en algn mbito particular, nos apoyamos en conocimientos y prcticas co-


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V

tidianas de los estudiantes, es decir construimos nuevos conocimientos

a partir de otros ya estables. La novedosa estructura que hemos dado a

cada una de las lecciones permite distinguir claramente cada etapa del

aprendizaje, en donde los problemas se presentan clasifcados y en la

ltima leccin orecemos una sntesis del curso completo ayudando a

los proesores y proesoras en su importante labor docente.

El libro est organizado en 35 lecciones distribuidas atendiendo a los

indicativos de la SEP que ueron sealadas en la Reorma Integral de

la Enseanza Secundaria, en donde se seala que la vinculacin entre

contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los que se

tratan en otras asignaturas es de suma importancia. El contenido del

programa se articula en tres ejes undamentales:

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Forma, espacio y medida.

Manejo de la inormacin.

Sentido numrico y pensamiento algebraico. Este eje alude a los fnes

ms relevantes del estudio de la aritmtica y del lgebra: por un lado,

encontrar el sentido del lenguaje matemtico, ya sea oral o escrito; por

otro, tender un puente entre la aritmtica y el lgebra, en el entendido

de que hay contenidos del lgebra en la primaria que se proundizan y

consolidan en la secundaria.

Forma, espacio y medida. Trata los tres aspectos esenciales alrededor de

los cuales gira el estudio de la geometra o la medicin en la educacin

bsica. Es claro que no todo lo que se mide tiene que ver con ormas o

espacio, pero s la mayor parte, las ormas se trazan o se construyen, se

analizan sus propiedades y se miden.

Manejo de la inormacin En estos programas se ha considerado que

la inormacin puede provenir de situaciones deterministas, defnidas

por ejemplo, por una uncin lineal; o aleatorias, en las que se puede

identifcar una tendencia a partir de su representacin grfca o tabular.

Les deseamos el mejor de los xitos en su importante tarea.

Los autores y las autoras.


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VI

Leccin

15

99Leccin15 Clculo del volumen de cubos, prismas y pirmides

Clculo del volum ende cubos, prismasy pirmides

En esta leccin aprenders a calcular el volumen de cubos, prismas

y pirmid es, mediante la aplicacin de las frmulas correspon-dientes.

El clculo del volumen de los cuerpos es muy importan-te para el estudio de algunas de sus propiedades. Porejemplo, la densidad de un cuerpo se deine como lacantidad de masa contenida en un determinado volu-

men, en trminos matemticos: Rm

v

.

En la imagen se muestra una bola de billar que a pesar de sutamao, lota en un recipiente lleno de mercurio. Eso se debea que la densidad de la bola de billar es menor comparada con ladel mercurio.

Autoevaluacin

Todas las respuestas antalas en tu cuaderno.

1. Calcula el volumen de:

a) Una pirmide que tiene 8 cm de altura y una base cuadrada de lado 4.5 cm.

b) Un prisma que tiene una altura de 45 pies y una base triangular de 120 piescuadrados.

c) Un slido rectangular que tiene de longitud 6 pulgadas, de ancho 3 pulga-das y de altura 1 pie.

d) Un cubo con una arista de 7 metros.

2. Encuentra las magnitudes que se te indican:

a) La altura de una pirmide rectangular, si su volumen es igual a 30 cm3 y elrea de su base es de 9 cm2.

b) La longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es de 216 pies cbicos.

c) El rea de la base pentagonal de un prisma, cuya altura es de 0.5 metros y elvolumen es igual a 10 m3.

100 Bloque 2 Matemticas 2

3. Calcula el volumen de la siguiente igura:

Para aprender

Actividad 1. Prisma con el mismo vo lumen

Anota las respuestas en tu cuaderno.

1. Los egipcios construyeron muchas pirmides, sabemos que la pirmide del Jara(Kern) mide por lado 214.5 metrosy que tiene un volumen de 2200 823.625m3.Cmo puedes determinar la altura de la pirmide?

2. Qu altura tendra un ediicio con el mismo volumen y la misma base?

3. Comparar a escala ambos ediicios.

Actividad 2. Clculo de volmenes

1. Trabajando en equipo con tus compaeros. Completar la tabla eectuando losclculos para los elementos que altan, de los prismas indicados en sta.

AL: realateral h: Altura a: Apotema

AT: rea total B: Base L: Lado

V: Volumen r: Radio

e

e

e

eee

h

Base del prism a B h V AL

AT

Elementos del polgono

L a r

Hexgono 12 4

Tringulo 4 1

Cuadrado 49 735

Leccin

7

44 Bloque1 Matemticas2

Relaciones de p ropo rcionalidad.El factor inverso

En esta leccin, aprenders a calcular el factor inverso de una relacin pro-

porcional, a partir de factores de proporcionalidad enteros o fracciona-

rios.

Pitgoras ue un matemtico que naci en la isla de Samos, Grecia, en el ao 580antes de nuestra era. Hasta nuestros das, miles de millones de hom-bres y mujeres han escuchado su nombre en un teorema, que de tantomemorizar ha tomado tono de cancin: en un tringulo rectngulo, elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de losotros dos lados. En su tiempo, las aportaciones de la escuela pitagricaeran un secreto tan bien guardado que se penalizaba severamente aquien divulgara sus hallazgos.

Pero adems del teorema de Pitgoras, el descubrimiento de la pro-porcin numrica, responsable de la armona musical, ha sido de loshallazgos ms comentados, quiz por el beneicio auditivo que apor-t. Pitgoras examin las propiedades de una cuerda de lira, el instru-mento ms destacado de la msica helnica antigua. Con slo tocarla cuerda se generaba una nota o tono patrn que estaba producidopor la longitud de la cuerda. Si se presionaba la cuerda en un puntodeterminado, se provocaban otras vibraciones y tonos. Los tonos ar-mnicos slo se realizaban en ciertos puntos muy concretos. As, sise apretaba la cuerda justo en el punto medio de su longitud, el toquegeneraba un tono de una octava ms alto que el original y se mantenaen armona con l. Del mismo modo, presionando la cuerda en pun-tos que eran justo un tercio, un cuarto o un quinto de su longitud, seoriginaban otras notas armnicas. En cambio, si se trababa la cuerdaen un punto que no constitua una raccin simple de su longitud to-tal, se produca un tono disonante con los anteriores.

Autoevaluacin

1. En Argentina se construy una maqueta del amoso barco Titanic a una escalade 1:570. La maqueta tiene una longitud de 49 centmetrosy un ancho de 5 cen-tmetros. Cul era la longitud y el ancho del Titanic original?

Representacin de Pitgoras,expl icando lasproporc iones

musicales. Fragmento de La

escuela de AtenasAutor : Rafael .

Estilo: Renacimiento italiano.

Ubicacin: Estancias vaticanas,Roma, Italia.

Conoce tu libro

Para aprender

Actividades diseadas a fn de adquirir losnuevos conocimientos de la leccin.

Autoevaluacin

Con la fnalidad de que identifques tus principalesdifcultades en el tema, adems permite que el proesor

o proesora planifque con dicha inormacin la clase.

Entrada

con un tema alusivo y los objetivos de aprendizajepara la leccin.


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VII

9Leccin1 Problemasmultiplicativos

Los mtodos

Multiplicacin

El producto de dos cantidades con dierente signo es negativo:

(3) (4)12

El producto de dos cantidades con el mismo signo es positivo:

Caso 1. Ambos negativos

(3) (4)12

Caso 2. Ambos positivos

3 412

Divisin

El cociente de dos cantidades con dierente signo es negativo:

(10) (2)5

El cociente de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


(6) (2)3


6 23

Para hacer

Ejercicios fundamentales

1. Completa las siguientes tablas, examinando la regla que sigue.

2

3

4 36

5

6 54

7

8

9

36

54

69 23

72

81 27

84

93

96 32

8 Bloque1 Matemticas2

Los conocimientos

Como observamos en las actividades anteriores, en la multiplicacin de nmeros

con signo hay que poner especial atencin al signo del resultado.

3 (5)15

0

5

10

15

20

5

5

5

En el caso de las temperaturas, el des-censo de una temperatura se registracon un valor negativo.

Como puedes observar, la temperatura disminuye 5 grados en cada medicin, porlo que al fnal se tiene una temperatura de 15. Nota que al invertir el orden de losactores no cambia el sentido del problema obtenindose el mismo resultado:

5 315

En el caso de la sucesin de multiplicaciones, los resultados siguen un orden:

(5) 2 10

(5) 1 5

(5) 0 0

(5) (1)5

(5) (2) Resultados con signo positivo

(5) (3)

(5) (4)

Cuando ambos actores tienen signo negativo, el resultado es positivo, el signo no se escribe para un nmero positivo.

El caso de la divisin es semejante al de la multiplicacin.

(4) (2)2 Resultados con signo negativo

(2) (2)1

(0) (2)0

(2) (2)1 Resultados con signo positivo

(4) (2)2

En una divisin obtenemos resultado negativo si alguno de los miembros de ladivisin (el divisor o el dividendo) es negativo, y positivo si ambos miembros sonnegativos o positivos.

77Leccin11 Significadoy usodelasoperaciones

1. Primero se realizan las operaciones dentro de los parntesis.

2. Despus se eectan las potencias o races.

3. Luego las multiplicaciones y divisiones.

4. Por ltimo, se llevan a cabo las sumas y restas.

Ejemplo:

( )( )

2 6 1 35 7

412 1 3

12

412 1 9 20s s

s

Observa que cuando no hay parntesis la jerarquizacin se sigue respetando. Esdecir, primero se hacen las potencias o races, luego las multiplicaciones y divisio-nes y por ltimo las sumas y restas.

Para hacer

Ejercicios f undamentales

1. Realiza los siguientes clculos:

a) 3 + 5 4

b) (3 + 5) 4

2. Utiliza los nmeros del cuadrado y completa los signos de agrupacin consuma, resta, multiplicacin o divisin (+, , o ) y parntesis, de tal maneraque, al emplear los nmeros que se encuentran en el cuadrado, puedas encon-trar algunos de los que estn contenidos en el crculo. Escribe las soluciones entu cuaderno.

3. Analiza con atencin la siguiente expresin:

25 + 32 15 12 + 2 5 = 160

Hay algn un error? Comprubalo con tu calculadora y comenta el resultado contus compaeros.

410

1

8

3

4

6

17 4 31 12

2 4 1 6 4 32

16 1 0 13

24 8 30 10

Los conocimientos

Seccin en donde se sintetizan los conocimientosadquiridos de la leccin.

Los mtodosEn la que encontrars un desglose de los mtodos

a estudiar con detalle; incluimosejemplos ilustrativos.

Para hacer

Este apartado est dedicado a la resolucin de

diversos problemas a fn de poner en prcticalos conocimientos adquiridos en la leccin.Hacemos una clasifcacin de los mismos en:

Ejercicios undamentales, Ejercicios que permitenconsolidar los conocimientos de cada leccin,

Ejercicios de proundizacin y Problemas desntesis. Se sealan con rojo aquellos que tienen

respuesta al fnal del libro.


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Cont enido

VIII

Bloque 1 2

Leccin 1 Problemas multiplicativos 4

Leccin 2 Problemas aditivos 12

Leccin 3 Operaciones combinadas 19

Leccin 4 Medicin de ngulos 26

Leccin 5 Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas 31

Leccin 6 Rectas y ngulos 37

Leccin 7 Relaciones de proporcionalidad. El actor inverso 44

Leccin 8 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad mltiple 51

Leccin 9 Diagramas y tablas 58

Leccin 10 Grfcas 65

Bloque 2 72

Leccin 11 Signifcado y uso de las operaciones 74

Leccin 12 Problemas multiplicativos. Expresiones algebraicas 79

Leccin 13 Cubos, prismas y pirmides 87

Leccin 14 Frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides 92

Leccin 15 Clculo del volumen de cubos, prismas y pirmides 99

Leccin 16 Relaciones de proporcionalidad. Comparacin de razones 105

Leccin 17 Medidas de tendencia central y de dispersin 114

Bloque 3 120Leccin 18 Patrones y rmulas 122

Leccin 19 Ecuaciones de primer grado 130

Leccin 20 Relacin uncional 136

Leccin 21 Suma de los ngulos interiores de un polgono 145Leccin 22 Cubrimientos del plano 150

Leccin 23 Grfcas. Relaciones lineales I 155

Leccin 24 Grfcas. Relaciones lineales II 165

Leccin 25 Grfcas. Relaciones lineales III 174


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1

Bloque 4 182

Leccin 26 Potenciacin y radicacin 184

Leccin 27 Criterios de congruencia para tringulos 191

Leccin 28 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un tringulo 198

Leccin 29 Nocin de probabilidad I 205

Leccin 30 Grfcas y comportamientos 212

Leccin 31 Grfcas y rectas 222

Bloque 5 230

Leccin 32 Ecuaciones 232

Leccin 33 Movimientos en el plano 238

Leccin 34 Grfcas. Ecuaciones lineales 245Leccin 35 Nocin de probabilidad II 254

Leccin 36 Una sntesis necesaria 259

Bibliografa 273


10/282

oqueBloque1

2

Las paralelas para qu?

Una pregunta reiterada alude al para qu de los conceptos ma-temticos. Por ejemplo y para el caso de las paralelas podramosdecir que: Los sistemas de riego tradicionales del campo requie-ren, en muchos casos, de dotaciones de agua muy superiores alas necesidades reales de los cultivos. Para mejorar la efcaciade estos riegos tradicionales, se pueden tomar algunas medidaspreventivas. Por ejemplo, en los cultivos de rutales no es precisomojar toda la superfcie; asimismo, la realizacin de surcos para-lelos a las lneas de rboles permite reducir las dosis de riego en

orma sencilla y econmica.


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Como resultado del estudio de este bloque se esperaque los alumnos:

Resuelvan problemas que implican eectuar sumas, restas multiplicacio-nes y/o divisiones de nmeros con signo.

Justifquen la suma de los ngulos internos de cualquier tringulo ocuadriltero.

Resuelvan problemas de conteo mediante clculos numricos.

Resuelvan problemas de valor altante considerando ms de dos conjun-tos de cantidades.

Interpreten y construyan polgonos de recuencia.

3


12/282

Leccin

1


Problemasmultiplicativos

En esta leccin aprenders a resolver problemas que impliquen operaciones

con multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

Melanocetus johnsonii

Llamado comunmente pez sapo por el rgano que brotade su nariz, el cual tiene bacterias bioluminiscentes que le sirven

para atraer presas; vive en proundidades de hasta 1 000 metros del ni-vel del mar, es un pez voraz y puede tragar otros peces de ms del doblede su tamao.

La mayora de la biodiversidad abisal, es decir, la de los abismos del oca-no, se encuentra concentrada en ormaciones conocidas como montaassubmarinas, stas se elevan hasta 1 000 metros o ms sobre el lecho mari-

no, pero no suelen rebasar el nivel del mar.

Has visto en el cine este singular pez?

Autoevaluacin

1. Coloca en cada cuadro el nmero que corresponda:

8x 56 4 (4) (4) (4) 4 =72

9

2. Evala 4xpara dierentes valores de x

Valor para x Valor ob t enido

4

2

0

21

22

3. Encuentra los valores de a, b yc. Sigue estas tres pistas:

a c bbc2

3 a b 4

4. Completa los espacios en blanco de la siguiente tabla. Multiplica cada reglnpor cada una de las columnas.

x 1 3 6

12 12

5 30

12


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5Leccin 1 Problemas multiplicativos

5. Utiliza las operaciones de suma (), resta (), multiplicacin () y divisin ()para obtener, a partir de los seis nmeros, el resultado que se indica:

1 3 4 6 10 100 1011 2 1 4 0 5 55 3 2 4 1 2 30

Para aprender

Act ividad 1. En las profund idades

Un grupo de bilogos marinos desciende a unaosa marina en un batiscao para estudiar a lascriaturas de las proundidades. El batiscaoes un pequeo vehculo sumergible diseadopara soportar altas presiones de agua y llegaral ondo del ocano.

Este vehculo marino desciende a una veloci-dad de 45 metros por minuto y asciende a 50metros por minuto.

1. Cunto tiempo har el vehculo para lle-gar al ondo de una osa marina que est a7 700 metros del nivel del mar? Anota larespuesta en tu cuaderno.

2. Despus de dos minutos el batiscao est a 90 metros del nivel del mar. Acuntos metros del nivel del mar estar despus de 38 minutos? Y despus deuna hora? Anota las respuestas en tu cuaderno.

Actividad 2. Sucesiones

Completa los resultados en la siguiente sucesin de multiplicaciones:

(3) (3) 9

(3) (2) 6

(3) (1) 3

(3) (0) 0

(3) (1)

(3) (2)

(3) (3)

(3) (4)


14/282


Analiza los resultados y explica cmo se comportan. Siguen algn patrn?

Ahora, completa la siguiente sucesin de multiplicaciones:

(3) (3) 9

(3) (2) 3

(3) (0) 0

(3) (1) 3

(3) (2)

(3) (2)

(3) (3)

(3) (4)

Analiza los resultados y explica cmo se comportan. Hay alguna dierencia conla secuencia anterior?

Podras calcular el resultado de (5) (5) ? Construye una sucesin para

obtener el resultado.

Cul es el resultado de (18) (6)? Lo podemos resolver con una sucesincomo la anterior.

24 (6) 4

18 (6) 3

12 (6) 2

6 (6) 1


15/282


0 (6)

6 (6)

12 (6)

18 (6)

Actividad 3. Una investigacin biolgica

Un grupo de bilogos obtuvieron muestras de nieve del PoloSur y encontraron microorganismos que viven en este lugar,los cuales soportan temperaturas de hasta 30 grados Celsius.Los recipientes con las muestras ueron llevados a un labora-torio para analizarlas, reproduciendo las condiciones clim-ticas de origen.

Una cmara de rerigeracin en el laboratorio est a 0 Cel-

sius y disminuye 5 grados cada minuto. Qu temperaturaalcanzar despus de 6 minutos?

5

0

5

10

15

20

25

30

5

5

5

5

5

5

Disminuir 25 Celsius despus de6 minutos, lo expresamos como

(5) (6) 30

Otra cmara de enriamiento est a 0 Celsius y disminuye 2 Celsius cada minuto.Despus de 24 minutos, cul ser su temperatura?

Completa el registro de temperaturas.

Minutos

transcurr idos Temp eratu ra

0 0

1 2

6

4

7 14

15

38

20

48


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Los conocimientos

Como observamos en las actividades anteriores, en la multiplicacin de nmeroscon signo hay que poner especial atencin al signo del resultado.

3 (5) 15

05

10

15

20

5

5

5

En el caso de las temperaturas, el des-censo de una temperatura se registracon un valor negativo.

Como puedes observar, la temperatura disminuye 5 grados en cada medicin, porlo que al fnal se tiene una temperatura de 15. Nota que al invertir el orden de los

actores no cambia el sentido del problema obtenindose el mismo resultado:5 3 15

En el caso de la sucesin de multiplicaciones, los resultados siguen un orden:

(5) 2 10

(5) 1 5

(5) 0 0

(5) (1) 5

(5) (2) Resultados con signo positivo(5) (3)

(5) (4)

Cuando ambos actores tienen signo negativo, el resultado es positivo, el signo no se escribe para un nmero positivo.

El caso de la divisin es semejante al de la multiplicacin.

(4) (2) 2Resultados con signo negativo

(2) (2) 1

(0) (2) 0

(2) (2) 1Resultados con signo positivo

(4) (2) 2

En una divisin obtenemos resultado negativo si alguno de los miembros de ladivisin (el divisor o el dividendo) es negativo, y positivo si ambos miembros sonnegativos o positivos.


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Los mtodos

Multiplicacin

El producto de dos cantidades con dierente signo es negativo:

(3) (4) 12

El producto de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


(3) (4) 12


3 4 12

Divisin

El cociente de dos cantidades con dierente signo es negativo:

(10) (2) 5

El cociente de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


(6) (2) 3


6 2 3

Para hacer


1. Completa las siguientes tablas, examinando la regla que sigue.

2

3

4 36

5

6 54

7

8

9

36

54

69 23

72

81 27

84

93

96 32


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2. La temperatura registrada en la Antrtica, el 15 de junio de 2006, ue de 56(56 grados bajo cero). Se espera que por da descienda 2 grados centgradosms. Si se cumplen los pronsticos, cul ser la temperatura el 25 de junio delmismo ao?

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) ( ) ( ) ( ) =7 5 4

b)1

2

3

4

2

5

=

c)

=51

8

2

3

d)

=3

4

5

2

1

5

e)

=2

5

3

2

f)

=34

9

2

7

4.Jugando con la calculadora. Las pantallas son generadas por una calculadora;la palabra Nmero es el nombre de una memoria de la calculadora que alma-cena un valor numrico. Para cada pantalla escribe qu nmero se guard en lamemoria de la calculadora y produce el resultado mostrado.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

NOTA: En muchas calculadoras, el signo lo considera por omisin. Si escribes 3x, la calculadoralo reconoce como 3 x o tres por la cantidad llamada x .


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Ejercicios para consolidar los conocimientos

Utiliza tu cuaderno para anotar las respuestas.

1. Evala cada expresin.

xy x y = =( ),5 2 3si y

xx

5200, si =

ab2

, si a 1 yb 4

2. Un grupo de escaladores se ha propuesto alcanzar la cumbre del Everest. Suplan de ascenso inicia en Katmand, capital de Nepal, que est a 1 350 metrossobre el nivel del mar y tiene una temperatura promedio de 30 Celsius. Enlos registros de ascenso, por cada medio kilmetro que suben la temperatura

disminuye 4 Celsius. A cuntos metros est el lugar donde la temperatura re-gistrar 0 Celsius?

En promedio, a qu temperatura est la cima del monte Everest?

A una altura de 6 850 metros sobre el nivel del mar, cul es el promedio detemperatura?

A qu altura la temperatura promedio es de 30 Celsius?

El sitio llamado Valle de la Muerte, en la

cordillera del Himalaya, est aproxima-damente a 8 300 metros sobre el nivel delmar y es un paso obligado para subir alEverest. Puedes estimar cul es su tem-peratura promedio?

Elabora una tabla que relacione las altu-ras y las temperaturas promedio.

3. Un caracol asciende desde el ondo de un pozo, que est constituido por 10anillos; cada uno tiene un metro de altura. El caracol sube dos metros por el day por la noche desciende la mitad de lo que subi. Al tercer da de su recorridosube un metro durante el da y desciende metro y medio. A qu altura se en-cuentra el caracol al dcimo da? Qu signifcado tiene tu resultado?

Ejercicio de sntesis

Se tiene la siguiente operacin: a bb

aba+ = + . Cul es el valor de a b+ , si

a = 2

5 y b =

37

? Anota la respuesta en tu cuaderno.


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Leccin

2 Problemasaditivos

3n

4b

b

12 Bloque 1 Matemticas 212 Bloque 1 Matemticas 2

En esta leccin aprenders a resolver problemas que implican adicin y sus-traccin de expresiones algebraicas.

Una ancdota

Hablaremos acerca de un matemtico llamado Carl Gauss, quien naci en elsiglo XVIII, en lo que hoy da conocemos como Alemania. Cuenta la histo-ria que un da, estando en la escuela, su maestro de matemticas solicit a

la clase que encontrara la suma de TODOS los nmeros comprendidosentre 1 y 100. El maestro pens que con esta actividad tendra ocupado

al grupo un buen tiempo y as podra terminar algunos deberes. Para susorpresa, Gauss levant casi inmediatamente la mano para dar la respuesta

correcta. El nio explic que la solucin la haba encontrado usando l-

gebra. Gauss tena apenas 10 aos de edad.

Podras calcular esa suma? Cunto tiempo tardaras?

Autoevaluacin

1. Encuentra el permetro de las siguientes figuras:

2. Llena los espacios vacos de la siguiente tabla de sumas:

+ 2x 4 x

3x

0 6

21 3x

3. Un octaedro es un cuerpo geomtrico en el espacio con-formado por 8 tringulos regulares. Calcula el permetrode un octaedro cuyas aristas (lados de los tringulos)miden a.


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13Leccin 2 Problemas aditivos

Para aprender

Act ividad 1. Ladril los y paredes

Las figuras que se muestran enseguida estn formadas por ladrillos de la forma

Si todos los ladrillos son iguales, encuentra el permetro de cada figura. Anota entu cuaderno las respuestas.

Act ividad 2. La medida del enebro

Paco, Karla, Ana, Luca y Pedro pasean por el bosque. En su recorrido encuentranun rbol con hojas muy especiales, un enebro, pero ellos no lo conocen. A Paco sele ocurre que pueden utilizar las hojas que estn en el piso para medir sus alturas.stas quedan como sigue:

Karla: 90 hojas.

Ana: Lo que mide Karla ms 5 hojas.

Luca: Lo que mide Ana menos 6 hojas.

Paco: Lo que mide Ana menos lo que mide Luca ms 12 hojas.

Pedro: Lo que mide Ana menos lo que mide Paco ms 15 hojas.

Si representamos la medida de cada hoja con r, cmo quedaran las alturas de losnios?

Act ividad 3. Adivina, adivinador

Realiza el siguiente truco con algunos de tus amigos:

a) Piensa en un nmero que est entre 1 y 15.


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b) A este nmero smale 15 y escribe el resultado.

c) Aparte, a 15 rstale el nmero que pensaste y anota el resultado.

d) Suma los dos resultados que escribiste.

e) El resultado es 30.

Puedes explicar cul es el truco para adivinar el resultado?

Act ividad 4.Da lo m ismo!

Piensa en tres nmeros consecutivos y antalos en tu cuaderno. Realiza las si-

guientes cuentas y escribe los resultados:a) Suma los tres nmeros.

b) Multiplica por 3 el nmero de en medio.

c) Multiplica por 3 el primer nmero y smale al resultado 3.

Por qu en las tres cuentas da lo mismo?

Qu ocurre con otros 3 nmeros consecutivos?

Los conocimient os

La multiplicacin de dos nmeros naturales es una suma reiterada de tantos su-mandos de un factor como indique el otro factor. De este modo:

5 3 5 5 5 15 = + + =

5 sumado 3 veces

O bien

5 3 3 3 3 3 3 15 = + + + + =

3 sumado 5 veces


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Asimismo, la suma reiterada o repetida de un nmero cualquiera n puede escri-birse como producto. Por ejemplo:

5 = + + + +n n n n n n

n sumado 5 veces

7 = + + + + + +n n n n n n n n

n sumado 7 veces

En el lenguaje del lgebra, cuando se escribe el producto 7 n no se acostumbraescribir el smbolo del producto, sino yuxtaponer los smbolos; as, tenemos que7 n se escribe como 7n y 5 n se anota como 5n.

De manera inversa, es posible reducir una expresin que contiene sumas y restasde expresiones algebraicas si las agrupamos en una expresin. Por ejemplo:

3 2 5n n n n n n n n+ = + + + + =

n sumado 3 veces + n sumado 2 veces = n sumado 5 veces

5 3 2n n n n n n n n n n n = + + + + =

n sumado 5 veces - n sumado 3 veces = n sumado 2 veces

As, para la Actividad 4 podemos proceder de la siguiente manera: si tenemos quen simboliza un nmero natural cualquiera, sus consecutivos pueden representarsecon n + 1 yn + 2. La suma de tres nmeros consecutivos puede ser representadacomo sigue:

n n n n+ + + + = +1 2 3 3

o bien,

n n n n n n n+ + + + = + + + + + = +1 2 1 1 1 3 1( )

Lo cual explica por qu con las tres formas de solucin se obtiene lo mismo.

Como puedes observar, los resultados constan de un nmero multiplicado poruna letra. A este tipo de expresiones les llamamos monomios.

Un monomio consta de

4x

parte

literal

coeficiente

El coeficiente es un nmero que puede ser fraccionario, entero, decimal, etc.; laparte literalpuede estar constituida por una o ms letras que, a su vez, pueden es-tar elevadas a alguna potencia o representar un cociente. Algunos ejemplos son:

31

31 25 5x x x x, , . ,

A la expresin formada por dos o ms monomios relacionados por un signo deadicin o de sustraccin le llamamospolinomio. Un polinomio que consta de dos


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trminos recibe el nombre de binomio. Un polinomio que consta de tres trminosse le conoce como trinomio. A los polinomios de ms de tres trminos se les llamapolinomios de n trminos. Formemos polinomios a partir de los ejemplos de losmonomios:

3

1

3

x x+

binomio

1 25 5. ( )x x binomio

31

31 25x x x+ . trinomio

3 13

1 25 5x x x x+ + . ( )

polinomio de cuatro trminos

Los mtodos

Para reducir expresiones algebraicas que contienen sumas y restas debemos sumaro restar los coeficientes de cada una de ellas, utilizando las reglas para sumar n-meros enteros. Al resultado final le colocaremos la parte literal que tengan ambosmonomios:

3 2 5n n n+ =

Sumamos 3 + 2 = 5 y colocamos la parte literal que tienen ambos

5 3 2n n n =

Restamos 5 3 = 2 y colocamos la parte literal que tienen ambos

Para hacer


1. En la figura coloca los siguientes valores:

a 3a 4a 6a

5a 8a 3a 2a 9a

De tal manera que en forma vertical y horizontal lasuma sea 7a.


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2. El lado de cada uno de los siguientes hexgonos mide a. Calcula el permetrode la siguiente figura.

3. Efecta el siguiente truco con algunos de tus amigos:

a) Piensa un nmero.

b) Smale 5.

c) Rstale el nmero que pensaste.

d) El resultado da 5.

Explica el truco para adivinar el resultado.


Escribe en tu cuaderno las respuestas.

1. Argumenta por qu la siguiente proposicin es verdadera: la suma de dos nme-ros consecutivos siempre es un nmero impar.

2. Argumenta por qu la siguiente proposicin es verdadera: la suma de tres nme-ros consecutivos siempre es mltiplo de 3.

3. Es cierto que la suma de cuatro nmeros consecutivos es mltiplo de 4?

4. Realiza el siguiente truco con algunos de tus amigos:

a) Piensa en un nmero que est entre 1 y 20.

b) Smale a ese nmero 20 y escribe el resultado.

c) Ahora rstale a 20 el nmero que pensaste y anota el resultado.

d) Suma los dos resultados.

e) El resultado es 40.

Explica el truco para adivinar el resultado.


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Ejercicios de sntesis

1. Observa la siguiente lista de nmeros: 5, 9, 13, 17 Si se continuara escribiendonmeros en esa lista, se tendra que anotar el 877? Haz el ejercicio en el espaciosiguiente:

2. Un dodecaedro es un cuerpo geomtrico en el espacio, conformado por 12 pen-

tgonos regulares. Calcula el permetro de un dodecaedro cuyas aristas (ladosde los pentgonos) miden a.


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Leccin

3

19Leccin 3 Operaciones combinadas

Operacionescombinadas

En esta leccin aprenders a reconocer y obtener expresiones alge-braicas equivalentes, a partir del empleo de modelos geomtricos.

Mara Agnesi fue una destacada matemtica italiana que vivi en-tre 1718 y 1799. Se dedic a profundidad al estudio del lgebra yla geometra; en 1745 public Instituciones analticas, sin duda suobra ms importante en la que introduce el uso de los modelosgeomtricos para explicar relaciones de magnitud.

Ella fue la primera mujer que imparti clases de matemticas enuna universidad.

Autoevaluacin

1. Calcula el rea y el permetro de la siguiente figura:

2. Los lados de un rectngulo se alargan en 2 unidades. Obtn el nuevo permetro.Cunto aument respecto al permetro original?

3. Calcula el rea de la figura:

5

x

a

b

2

20

x 2

3

5

x

3


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4. Calcula el permetro de las siguientes figuras:

5. Se tiene un hexgono regular de lado a y apotema b. Calcula el permetro y elrea del polgono.

Para aprenderAct ividad 1.Permetros

Dibujamos un cuadro de un 1 metro por lado,

Recuerdas cmo obtenemos el permetro? Al sumar todos los lados de la figura: P= L + L + L + L

P= 1 m + 1 m + 1 m + 1 m = 4 m

Trazamos un rectngulo junto a este cuadrado.

x x

x

6a

4a 3.5a

2a

1 m

1 m

1 m

1 m

x

1 m

a

b


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Las dimensiones de este nuevo rectngulo son: 1 m de ancho yxde largo.

a) Calcula el nuevo permetro de las dos figuras unidas.

b) Si x= 2.5 m, cul es el permetro?

c) Encuentra el valor de x, en el caso donde el permetro es de 12 m.


Act ividad 2. reas

Nuevamente dibujamos un cuadrado y calculamos su rea.

A = L L

A = 1 m 1 m

A = 1 m2

Cuando el coeficiente de la expresin algebraica es 1, slo escribimos la literal.

Junto a este cuadrado trazaremos un rectngulo cuyas dimensiones son m de an-cho yxde largo.

Podemos obtener el rea total de dos formas:

La primera consiste en calcular el rea de cada figura y despus sumar los resul-tados,

A = xm A = mm

A = xm A = m2+ A = xm + m2

La segunda es dando un valor nico a los lados de la figura,

A = m (x+ m)

A = mx + m2

a) Para el caso de x= 4, cul es el rea que se obtiene?

b) Para el caso de m = 7, cul es el rea que se obtiene?

c) Si el rea obtenida es A = 2m2, cul es el valor de x?


1 m

1 m

mm

x

mm

m

x+ m

m

x


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Los conocimient osEn la Actividad 1 calculamos el permetro de un cuadrado sumando el valor decada uno de los lados.

En la figura los lados miden lo mismo, por lo que el valor de cada lado se repitecuatro veces.

P = m + m + m + m = 4 m

Pero en la siguiente figura hay dos magnitudes diferentes, que se repiten dos veces:

P = m + m + x + x = 2 m + 2x

En el primer caso, los cuatro trminos son semejantes. En el segundo, slo dos deellos son semejantes.

Llamamos trminos semejantes a aquellas expresiones que tienen las mismas lite-rales y los mismos exponentes, aunque sus coeficientes sean diferentes. Recuerdaque slo los trminos semejantes se pueden sumar y restar entre s.

4xes un trmino semejante con 15x

4xno es trmino semejante con 4x2

En la Actividad 2 calculamos el rea de un cuadrado con la frmulaA = L L

A = m2

Si hacemos que uno de los lados del cuadrado se incremente en 2 unidades, en-

tonces se ver as:

Para obtener el rea, multiplicamos m (m + 2)

Distribuimos el factor m en ambos trminos de la suma (m + 2)

A = m (m + 2)

m

m

x

m

m

m

m

m + 2


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A = (mm) + ( m 2)

A = m 2 + 2m

Los mtodos

Dos o ms trminos se pueden sumar o restar siempre y cuando sean semejantes.

a + a + a = 3a

Para el caso del producto, recuerda las leyes de los exponentes: el exponente indicacuntas veces se multiplica la base por s misma.

aaa = a3

Al multiplicar expresiones como:

3m 4x

Se multiplican los coeficientes y se deja indicada la multiplicacin de m y de x

3m 4x= 12mx

Para hacerEjercicios fundamentales

1. Calcula el rea de la figura, a partir de las cuatro reas que la componen.

2. En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide(x+ 6) de lado, la recmara tiene el mismo ancho que la cocinay su largo excede en 2xunidades su ancho.

a) Calcula el rea y el permetro de la cocina.

b) Calcula el rea y el permetro de la recmara.

a

b

b

a

ComedorCocina Bao

Sala Recm ara


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3. Calcula el rea y el permetro de las regiones sombreadas.


1. Encuentra el permetro y el rea de los paralelogramosABEF, BCDE yACDF.

2. Calcula el permetro de la figura.

a) Calcula el rea del tringulo que se indica.

b) Calcula el rea del polgono.

F E D

a + 1

a + 1A B Ca 1

n

2x

x

y

m


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1. De la siguiente figura, calcula el rea de los tringulos y tambin la del rectn-gulo.

a) Con los resultados obtenidos, calcula el rea del trapecio.

b) De lo anterior, podras deducir una frmula para calcular el rea de untrapecio?

2. En la figura,AEFD es un cuadrado de rea a2 yEBCFes tal que EB = b. Cul esel rea y el permetro del paralelogramoABCD?

ab

a

a + b

D F C

A E B


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Leccin

4


Medicin de ngulos

En esta leccin aprenders a medir ngulos, a dibujarlos, a clasificarlos ya realizar operaciones bsicas entre ellos.

La torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa. Fue cons-truida para que permaneciera en posicin vertical, pero comenz a incli-narse tan pronto como se inici su construccin, en agosto de 1173. Laaltura de la torre mide 55 metros desde la base tiene 294 escalones, supeso se estima en 14 mil 700 toneladas y su inclinacin actual es de aproxi-madamente 10%.1

Autoevaluacin

1. Utiliza tu transportador para encontrar la medida de los siguien-tes ngulos.

2. Relaciona las columnas:

ngulo recto ( )

ngulo llano ( )

ngulo agudo ( )

ngulo obtuso ( )

3. Resuelve las siguientes operaciones y traza el ngulo resultante en tu cuaderno:

a) 51 34 41 + 39 12 35

b) 142 18 33 34 49 39

c) 41 38 50 2

1 Informacin tomada de Wikipedia: ht tp ://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Pisa

a)b)

c)d)


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27Leccin 4 Medicin de ngulos

Para aprender

Act ividad 1. ngulos con un mismo vrt ice!

1. En el tringuloABCmarca todos los ngulos que tengan por vrtice el punto H.

2. Cuntos ngulos hay con vrtice H?

3. Con un transportador, encuentra la medida de todos los ngulos con vrtice H.

4. Suma de dos en dos los ngulos. Clasicalos, segn los resultados obtenidos.

5. Qu caracteriza a los ngulos cuya suma da la misma cantidad?


Act ividad 2. ngulos y relojes!

1. Qu hora es cuando el ngulo entre las manecillas del reloj es de:

a) 60 b) 120 c) 150?

2. Qu ngulo orman las manecillas cuando el reloj marca las siguientes horas?

A

B

C

D

E

H

12

3

12

6

12

8


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Los conocimient osngulo: Es la abertura ormada por dos semirrectas con un mismo origen, llama-

do vrtice. Las semirrectas se llaman lados.

ngulo agudo: Es el que mide menos de 90.

ngulo recto: Es el que mide 90.

ngulo obtuso: Es el que mide ms de 90 y menos de 180.

ngulo llano (plano): Es el que mide 180.

Los mtodosPrimero, consideremos que la orma de sumar o restar ngulos es igual a la demedir las horas, slo que ahora, en lugar de una hora, tendremos un grado; losminutos y segundos permanecern igual.

Supongamos que son las 3:40 horas exactas y que mi despertador suena a las 4:30horas con 20 segundos. La pregunta es, cunto tiempo alta para que suene eldespertador?

Act ividad 3. ngulos y brjulas!

1. En colaboracin con tus compaeros, indica qu ngulo se orma entre los si-guientes pares de direcciones:

a) NyS

b) E ySE

c) NySE

d) E yN

e) SE ySO

f) S yNE

N

NE

E

SE

S

SO

O

NO

Llano o plano

Obtuso

Recto

Agudo

Referencia


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29Leccin 4 Medicin de ngulos

Slo tenemos que hacer una resta:

_ 4 h 30 min 20 s Como tenemos que restar por separado los segundos,3 h 40 min 0 s los minutos y las horas, no podemos restar 40 minutos

20 s a 30 minutos, entonces convertimos una hora en minu-tos y la colocamos en la columna de los minutos, que-

dndonos:_ 3 h 90 min 20 s

3 h 40 min 0 s0 h 50 min 20 s

Ahora, si queremos sumar dos o tres ngulos, o restarlos, tenemos que usar gradosen lugar de horas, recordando que un minutotiene 60 segundos y, a su vez, ungrado tiene 60 minutos.

NOTA: Al multiplicar un ngulo por un escalar (2, 3, 4,, n) es como sumar esenmero de veces ( )2

1 1 1

= + .


1. Dada la siguiente igura, identiica: a) dos ngulos obtusos; b) un ngulo recto;c) un ngulo llano yd) un ngulo agudo con vrtice en D.

2. Calcula: a) las dos terceras partes de un ngulo recto; b) 25% de un ngulo llanoyc) un dcimo de las dos quintas partes de un ngulo de 45.

3. Observa el ngulo AOB ilustrado a la derecha.

a) Traza el segmento de recta O A.

b) Con centro en O, traza un arco que corte en CyD a los lados OA yOB, res-pectivamente.

c) Con centro en O y radio OC, traza el arco QR que corte a O A en C.

d) Con centro en C y radio CD, traza el arco STque corte a QR en D.

e) Traza el segmento de recta O B que pase por D.

El ngulo AOB es una reproduccin del ngulo AOB.

A

B C

D

12

3

A

B

O


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1. Utiliza la igura de la izquierda para calcular: a) COA; b) EOB; c) AOE.

2. Observa la siguiente fgura y da un valor aproximado de la magnitud del ngulo

ormado por: a) la manecilla de las horas y el segundero, HCS; b) el minuteroy la manecilla de las horas, MCH; c) el segundero y el minutero, MCS.

3. Utiliza la aplicacin de la pgina web del Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Tiempo_y_angulos_d3/estimacion_angulos.htm) paraejercitarte en la estimacin de las magnitudes de ngulos.

Ejercicios de profundizacin

1. Construye sin transportador ngulos de a) 60; b) 45; c) 30; d) 22 30;e) 75;f) 120. Utiliza tu cuaderno.

2. a) Cuntos grados gira la manecilla de las horas en 30 minutos? b) Cuntos

grados gira el minutero despus de doce minutos? c) Cuntos grados ha giradoel segundero despus de 38 segundos?


Cul es la magnitud del ngulo ormado por la manecilla de las horas y el minute-ro cuando son: a) las 7:00; b) las 9:30; c) las 5:15.

Nota: Utiliza la aplicacin de la pgina web del Proyecto Descartes (http://descar-tes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Tiempo_y_angulos_d3/angulosreloj.htm) para verii-car tus resultados.

Ejercicio con tecnologa

Resuelve las siguientes restas de ngulos y veriica tus soluciones utilizando laaplicacin (en ingls, applet), contenida en la pgina web del Proyecto Descartes(http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo6.htm).

a) 56 20 40 37 42 15

b) 125 15 30 24 50 40

c) 33 33 33 17 43 34

1

2

3

4

567

8

9

10

11 12

C

HM

S

B

C

DE

O

A

a = 90

b = 35c = 45

d=

50


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Leccin

5

31Leccin 5 Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas

Rectas paralelas,perpendiculares yoblicuas

En esta leccin aprenders a distinguir las lneasparalelas, perpendiculares y oblicuas; adems,conocers los ngulos que se forman cuando doslneas rectas se interceptan (intersecan).

Los sistemas de riego de campo tradicionales re-quieren, en muchos casos, de dotaciones de aguasuperiores a las necesidades reales de los cultivos.Para mejorar la eicacia de estos riegos, se puedentomar algunas medidas preventivas. Por ejemplo, enlos cultivos de rutales no es preciso mojar toda lasupericie; asimismo, la realizacin de surcos para-lelos a las lneas de rboles permite reducir las dosisde riego en orma sencilla y econmica.

Autoevaluacin

1. Determina cul de los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendicularesy oblicuas.

2. Relaciona las columnas:

Lneas perpendiculares ( ) a) Dos o ms lneas, equidistantes entre s, y que porms que se prolonguen no pueden encontrarse.

Lneas oblicuas ( ) b) Son dos ngulos no adyacentes formados por doslneas rectas que se intersecan.

Lneas paralelas ( ) c) Al intersecarse, forman un ngulo que no es recto.ngulos opuestospor el vrtice

( ) d) Al int ersecarse, forman un ngulo recto.

A

B

C

D

A

BC

D

A

B

C

D

E

F


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3. En las siguientes figuras, determina el valor dea.

Para aprender

Act ividad 1. Puntos y rectas!

Tenemos la rectaAB y el punto Cexterno a dicha recta.

Utiliza tus escuadras y comps, y responde las siguientes preguntas:

a)Traza una recta que pase por el punto Cy que corte la rectaAB. El punto decorte deber estar orzosamente entre los puntosA yB?

b)Traza una recta que pase por el punto Cy que no corte la rectaAB. Cmo pue-des estar seguro de que no cortar la rectaAB? Cuntas rectas se pueden trazarque pasen por Cy no corten a la rectaAB?

c)Traza los segmentos CA yCB.

a 70a

155

A B

C


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d) Ahora localiza dos puntos, R1

yR2, en la rectaAB, tales que las longitudes de los

segmentos CR1

yCB sean menores que la del segmento CR2.

e) Es posible encontrar en la recta AB un punto R tal que el segmento CR seamenor que los segmentos trazados anteriormente? Explica tu respuesta en tucuaderno.

Act ividad 2. Rectas y rectas!

Las letras a, b yc denotan rectas en el plano.

Ilustra las siguientes airmaciones en tu cuaderno:

a) Si a es paralela a b y b paralela a c, cmo son a yc?

b) Si a es paralela con b yb oblicua con c,cmo son a yc?c) Si a es perpendicular con b yb oblicua con c, cmo son a yc?

d) Si a es perpendicular con b yb perpendicular con c, podran ser oblicuas a yc?

e) Si a es oblicua con b yb oblicua con c, podran ser a yc oblicuas? Podran sera yc paralelas? Podran ser a yc perpendiculares?

Los conocimient osLneas perpendiculares:Dos rectas son perpendiculares si y slo sise intersecan, ormando un ngulo recto.

Lneas paralelas: Dos rectas son parale-las si y slo si yacen en el mismo planoy no se intersecan.

Lneas oblicuas:Dos rectas son oblicuas siempre que no sean para-

lelas ni perpendiculares.

ngulos opuestos por el vrtice: Dos ngulosson opuestos por el vrtice si y slo si las pro-longaciones de los lados de uno orman loslados del otro.

a1

ya2

a3

ya4

m

l

m

l

m

l

a3

a1

a2

a4


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ngulos adyacentes: Dos ngulos son adyacentes siempre que sean consecutivos ylos lados no comunes se encuentran sobre una misma recta. Los ngulos adyacen-tes son suplementarios.

Los mtodos

Sabemos que dos ngulos complementarios suman 90 y que dos ngulos suple-mentarios suman 180.

Para encontrar el valor de un ngulo que se desconoce, despejamos ese valor enlas relaciones siguientes:

ngulos complementarios ngulos suplementarios

ba

xy

b

55

b

143


1. Si en la siguiente igura el ngulo a mide40, cul ser el valor de cada uno de losngulos b, c yd?

b + 55= 90

b = 90 55

b = 35

b + 143= 180

b = 180 143

b = 37

d

b a

c


43/282


2. Calcula el ngulo complementario de:

a) 30 b) 18 50 15 c) 33 33

3. Calcula el suplemento de:

a) 25 b) 56 10 50 c) 27 18 17


1. Cul es la magnitud del ngulo ormado entre dos paralelas?

2. La suma de un par de ngulos opuestos por el vrtice es 70, cul es la magni-tud de cada uno de sus ngulos adyacentes?

3. Si en la siguiente fgura,COE = 165 y las rectasAD yCFson perpendiculares,cul es la magnitud de los ngulos AOB yEOF?


1. Cul es el ngulo que es: a) igual a su complemento; b) el doble de su suple-mento; c) la mitad de su complemento; d) 25% de su suplemento? Anota lasrespuestas en tu cuaderno.

2. Si el ngulo a es adyacente al ngulo b, y el ngulo b es adyacente al ngulo c, en-

tonces a yc son complementarios? Justiica tu respuesta, utiliza tu cuaderno.

3. El ngulo a es adyacente al ngulo b, y el ngulo c es complemento del ngulo a.Si c) 62 15 25, cul es la magnitud del ngulo b?

A

BC

D

EF

O

165

a

bc


44/282



1. Observa la siguiente igura. Cmo son las bisectrices de los ngulos adyacen-tes? Justiica tu respuesta, utiliza tu cuaderno.

2. Da argumentos para justiicar lo siguiente: si los lados de un ngulo son respec-tivamente paralelos a los lados de otro, los ngulos son congruentes o son suple-mentarios?Anota la respuesta en tu cuaderno.


45/282

Leccin

6

37Leccin 6 Rectas y ngulos

Rectas y ngulos

En esta leccin aprenders cunto vale la suma de los ngulos internos de un

tringulo y de un cuadriltero. Tambin conocers las caractersticas que tie-

nen los ngulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas porotra en forma transversal.

Cuando se tiene un conjunto de lneas rectas paralelas yson cortadas transversalmente por otra recta, aparecenrelaciones matemticas entre los ngulos que se or-man. Si en el espacio contenido entre las rectas parale-las se colocan de manera alternada cuadrados blancos ynegros no alineados, se producen eectos visuales inte-resantes Son paralelos los segmentos de la igura?

Autoevaluacin

1. En las primeras iguras AB||CD, y en la tercera (AB||CD||EF) encuentra el valorde los ngulosa yb, en cada caso.

2. Resuelve las operaciones que se indican:

+ + = + + + = + =

E

BA

DC

F

130

ba

EB

A

D

C

70

80

ba

A B

C D

E F

A

G

75

a

b

da

gbb

a g

d

a

gb


46/282


Para aprenderAct ividad 1. Un criterio f init o para establecer un

comportamiento infinito!

En la siguiente igura hay dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Encuen-tra el punto medio del segmento AB, al que denominaremos O; con un papel dechina, calca la igura. Sin quitar de encima el papel con la igura calcada, apoya lapunta de tu lpiz sobre el punto O y haz girar el papel hasta que el punto A en laigura original coincida con el B en la copia y viceversa.

Analiza y escribe en tu cuaderno qu ngulos de la copia coinciden con los de laigura original. Si coinciden, son iguales. Indica qu ngulos tienen esta caracte-rstica.

Ahora, para los ngulos1,2,3 y4 escribe todas las posibles relaciones con

los restantes ngulos. Por ejemplo:

1 +2 = 180 Por qu?

1 =4 Por qu?

1 +3 = 180 Por qu?

1 +6 = 180 Por qu?

1 +7 = 180 Por qu?

Act ividad 2. Una invariante del t ringulo!

Tenemos el tringulo ABC. Eecta loque se te indica:

a) Auxilindote de una regla, extiende el seg-mentoAB en ambas direcciones.

b) Traza por el puntoA una recta paralela alsegmento CB.

3

1

4

2

7

5

8

6

A

B

B

A

C


47/282


c) Haciendo una analoga con la Actividad 1, indica qu ngulo, entre los que seorman en el vrticeA, coincide con el ngulo B (interno) del tringulo.

d) De manera anloga, indica qu ngulo, entre los que tienen por vrticeA, coin-cide con el ngulo C(interno) del tringulo.

e) Qu propiedad tienen los tres ngulos con vrticeA?

f) Qu se puede concluir sobre los ngulos internos del tringulo?

Los conocim ientosLa secante es una lnea transversal que corta dos o ms rectas.

Dos rectas paralelas cortadas por una secante como se muestra en la igura, or-man ocho ngulos:

Cuatro internos, que son: s3, 4, 5 y 6.

Cuatro externos, que son: s1, 2, 7 y 8.

ngulos alternos internos: Son ngulos internos no adyacentes y opuestos a la se-cante. En la igura, los ngulos

s3 y 5, as como los

s4 y 6, son alternos internos.

ngulos alternos externos: Son ngulos externos no adyacentes y opuestos a la se-cante. Los pares

s1 y 7 y

s2 y 8 son alternos externos.

ngulos correspondientes: Son dos ngulos no adyacentes, situados en el mismolado de la secante. En la igura se muestran cuatro pares:

s1 y 5,

s4 y 8,

s2 y 6

ys3 y 7.

1 2

3 4

5 6

7 8


48/282


ngulos conjugados o colaterales: Son dos ngulos internos, o dos externos, situa-dos del mismo lado de la secante. Son conjugados internos los ngulos

s3 y 6 y

s4 y 5, mientras que los

s2 y 7 y

s1 y 8, conjugados externos.

Adems, se tienen las siguientes relaciones:

Los ngulos alternos internos son iguales.

Los ngulos alternos externos son iguales.

Los ngulos correspondientes son iguales.

Los ngulos conjugadosinternos yexternos son suplementarios.

Los mtodos

Las relaciones anteriores son tiles para calcular el valor de ngulos no conocidos.

Por ejemplo:

1. Si L ||M, cul es el valor del ngulo x?

Primer mtodo: El ngulo b mide 67, al ser opuesto por el vrtice al ngu-lo a. Como los ngulos b y x son correspondientes entre paralelas, entoncesx= b= a= 67.

Segundo mtodo: Los ngulos a yxson alternos externos; por tanto, son iguales.As, x= 67.

Resuelve con un tercer mtodo en tu cuaderno.

2. SiJ|| K, cunto mide el ngulo h?

Primera forma: Los ngulos m yn son adyacentes; por ende, m + n = 180. As,n = 180 m. Es decir, n = 180 120 = 60. Ahora, los ngulosh yn son corres-pondientes entre paralelas. Por lo tanto, ____________________.

L a= 67

b

M

x

K

m = 1 20

J

n

h


49/282


Segunda forma: Los ngulos m yh son conjugados externos; por tanto, son igua-les. As:

Existir una tercera forma? De ser as, ennciala en tu cuaderno.

Nota: Para hacer operaciones con ngulos de iguras triangulares, se sabe que lasuma de sus ngulos internos es 180. Para realizar operaciones con ngulos deiguras cuadrangulares, se sabe que la suma de sus ngulos internos es 360.


1. En la siguiente igura, AB||CD ya = 46. Calcula el valor de los ngulos b, c, d,e,f,gyh.

2. Dada la siguiente fgura, escribe en las lneas lo que alta.

a) a = 35; b = ____ ; g = ____; l =138

b) a = 42; b = 65; g = ____; l = ____

c) a =____; b = 28; g = 60; l = ____

a + b + c + d = 3 60 c

C

A

a

D

d

Bb

a + b + c = 1 80

Aa

B

b

c

C

a

db

c

e

hf

g

a

b

gl


50/282


3. En el ejercicio anterior, qu relacin encuentras entre los ngulos interiores,a yb, con el ngulo exteriorl? Se cumplir esta relacin en cualquier tringulo?


1. SeaABCD un paralelogramo, de tal orma que ABC= 137. Cunto miden

los ngulos

BCD,

CDA y

DAB?

2. Ser cierto que la suma de los ngulos interiores de todo cuadriltero es iguala 360?

Si tu respuesta es positiva, orece una argumentacin. Para ello, apyate en quelasuma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.

3. En la siguiente fgura, PO||TR, comprueba que los ngulos interiores,PyR,son suplementarios.


1. Demuestra que los ngulos agudos de todo tringulo rectngulo son comple-mentarios. Para ello, bastar utilizar el hecho de que la suma de los ngulosinteriores de todo tringulo es 180.

2. Utiliza las relaciones de los ngulos entre rectas paralelas y la reproduccin dengulos que hiciste en la Leccin 4 para construir una paralela a AB que pasepor Q.

C

A

D

B

O

T

P

R

A B

Q


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Un periscopio es un instrumento ptico que permite observar objetos que no es-tn alineados con su lnea visual. Consiste en un tubo con espejos paralelos en losextremos, como se muestra en la siguiente igura. Un rayo de luz entra por la partealta, se releja dos veces y sale por la parte inerior. Debido a que el ngulo de re-

lexin es igual al ngulo de incidencia, 1 = 2 y3 = 4, puedes explicar porqu el rayo de luz abandona el periscopio en la misma direccin con la que entra?En otras palabras, por qu ME y UH son siempre paralelas? Anota las respuestasen tu cuaderno.

Ejercicio con tecnologa

Con la aplicacin que se encuentra disponible en la pgina web http://descartes.

cnice.mecd.es/1y2_eso/Triangulos/triaa.htm, dibuja en tu cuaderno dos tringu-los con las siguientes caractersticas. Observa cunto vale la suma de los ngulosinternos en cada caso:

a) A= 90,AB = 4,AC= 3

b) A= 90,AB = 4,A = 45

M

R

T

H

4E

O

U

3V

2

1


52/282

Leccin

7


Relaciones de proporcionalidad.El factor inverso

En esta leccin, aprenders a calcular el factor inverso de una relacin propor-cional, a partir de factores de proporcionalidad enteros o fraccionarios.

Pitgoras fue un matemtico que naci en la isla de Samos, Grecia, en el ao 580antes de nuestra era. Hasta nuestros das, miles de millones de hombres y mujeres

han escuchado su nombre en un teorema, que de tanto memorizar hatomado tono de cancin: en un tringulo rectngulo, el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados .En su tiempo, las aportaciones de la escuela pitagrica eran un secretotan bien guardado que se penalizaba severamente a quien divulgarasus hallazgos.

Pero adems del teorema de Pitgoras, el descubrimiento de la pro-porcin numrica, responsable de la armona musical, ha sido de loshallazgos ms comentados, quiz por el beneficio auditivo que apor-t. Pitgoras examin las propiedades de una cuerda de lira, el instru-mento ms destacado de la msica helnica antigua. Con slo tocarla cuerda se generaba una nota o tono patrn que estaba producidopor la longitud de la cuerda. Si se presionaba la cuerda en un puntodeterminado, se provocaban otras vibraciones y tonos. Los tonos ar-mnicos slo se realizaban en ciertos puntos muy concretos. As, si

se apretaba la cuerda justo en el punto medio de su longitud, el toquegeneraba un tono de una octava ms alto que el original y se mantenaen armona con l. Del mismo modo, presionando la cuerda en pun-tos que eran justo un tercio, un cuarto o un quinto de su longitud, seoriginaban otras notas armnicas. En cambio, si se trababa la cuerdaen un punto que no constitua una fraccin simple de su longitud to-tal, se produca un tono disonante con los anteriores.

Autoevaluacin

1. En Argentina se construy una maqueta del famoso barco Titanic a una escalade 1:570. La maqueta tiene una longitud de 49 centmetrosy un ancho de 5 cen-tmetros. Cul era la longitud y el ancho del Titanic original?

Representacin de Pitgo ras,

explicando las pro porcionesmu sicales. Fragm ent o de La

escuela de At enas

Autor: Rafael.

Estilo: Renacimiento italiano.

Ubicacin: Estancias vaticanas,Rom a, Italia.


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45Leccin 7 Relaciones de proporcionalidad. El factor inverso

2. Al medir un poste con una cuerda de 1/2 metro de longitud, Ral y Pedro des-cubren que la longitud del poste es igual a 45 cuerdas. Cunto mide, en cent-metros, el poste?

3. Si la cuerda del ejercicio anterior midiera 1/6 de metro de longitud, a cuntas

cuerdas equivaldra la longitud del poste?

4. Debes construir una tortuga ttere con algunas piezas de papel. Para incluir lasimgenes en el libro, se redujeron 20%. Qu dimensiones tendr cada pieza y,aproximadamente, qu tamao tendra el ttere?

Para aprenderCunt os som os y dnde estamos?

Nuestro pas cuenta con una extensin territorial de 1 959 248 kilmetros cua-drados, dividida en 31 estados y un Distrito Federal. Segn el XII Censo dePoblacin y Vivienda, realizado en 2000 por el INEGI,1 97 483 412 habitantescompartimos este territorio.

Si repartiramos a la poblacin equitativamente en cada kilmetro cuadrado,tendramos que en cada uno viviran aproximadamente 49 habitantes. A estarelacin entre el espacio y el nmero de personas que lo habitan se le llamadensidad de poblacin.

Para calcular este dato, se establece una relacin proporcional:

97 483 412 habitantes son a 1 959 248 km2, como xhabitantes son a 1 km2.

1 Insti tuto Nacional de Estadstica Geogrfica e Informtica, informacin para nios, pgina de internetCuntame: http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/densidad.asp


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O, usando una expresin matemtica:

97 483 412

1 959 248 1km

habitantes

km2 2

=

y el clculo para obtener la densidad de poblacin se obtiene con la regla de tres.Esto es,

habitanteshabitantes] km

2

=[ [ ]97 483 412 1

1 9559 24849 75

kmhabitantes

2= .

Sin embargo, como no podemos dividir a una persona, aproximamos el clculo a49 habitantes.

Podramos pensar entonces que en 2 kilmetros cuadrados habitan 98 personas,

lo cual se calcula multiplicando 2 por el factor de proporcionalidad49

1

habitantes

km2

,

249

198km

hab

kmhab

2

2 =


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En general, si quisiramos calcular el nmero de habitantes en determinados kil-

metros cuadrados, debemos multiplicar esta ltima cantidad por el factor49

1

hab

km2

.

Sin embargo, estamos partiendo del supuesto que el reparto de poblacin es equi-tativo en el territorio nacional.

La siguiente tabla contiene el nmero de habitantes que hay en algunos estadosde la Repblica Mexicana. Considera que el reparto de poblacin en el territoriomexicano es equitativo y calcula el territorio (en kilmetros cuadrados) que lecorrespondera a cada estado. Construye tus razones proporcionales usando el

factor49

1

hab

km2

.

EntidadSuperficie

(km 2)Pob lacin Ent idad

Superficie(km 2)

Poblacin

Baja Californ ia 2 487 367 Nayarit 920 185

Baja Californ ia Sur 424 041 Nuevo Len 3 834 141

Coahuila 2 298 070 Puebla 5 076 686

Chiapas 3 920 892 Quintana Roo (a)(b) 874 963

Dist rito Federal 8 605 239 Sinaloa 2 536 844

Durango 1 448 661 Sonora 2 216 969

Guanajuato 4 663 032 Tabasco 1 891 829

Guerrero 3 079 649 Tam aulipas 2 753 222

Hidalgo 2 235 591 Tlaxcala 962 646

M xico 13 096 686 Yucatn 1 658 210

(a) No incluye la supercie de la isla Cozumel, que es de 498 km2.

(b) No incluye la supercie de la isla Mujeres, que es de 5 km2.

Cul es el factor proporcional que, al multiplicar por el nmero de habitantes,te proporciona los kilmetros cuadrados que tendra cada estado? Anota la res-puesta en tu cuaderno.

Segn tus clculos, cul de los estados tiene mayor extensin territorial?

Coinciden tus resultados con el mapa que se encuentra al inicio de esta sec-cin? Discute con tus compaeros y tu profesor lo que observas.

Los conocimientos

En la situacin inicial de esta leccin calculamos el factor de proporcin, que nospermita estimar la poblacin que habitaba en una extensin territorial dada. Pos-teriormente, calculaste otro factor para completar en la tabla la extensin territo-rial que deberan tener algunos estados de la Repblica, de acuerdo con la pobla-cin que habita en ellos, partiendo del supuesto que el reparto esproporcional.


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Por ejemplo, para calcular la extensin territorial que le correspondera al estadode San Luis Potos, que tiene una poblacin de 2 299 360 habitantes, establecemosla razn de proporcionalidad:

49

1

2 299 360habitantes

km

habitantes

km2 2

= ,

de donde nos queda,

kmhab] [ km ]

habkm

2

2

2=

=[

.2 299 360 1

4946 925 71 .

Veracruz tiene 6 908 975 habitantes, as que le correspondera una extensin te-rritorial de:

kmhab] [ km ]

habkm

2

2

2=

=[

.6 908 975 1

4946 925 71

Esto suena lgico, si lo comparamos con San Luis Potos, que tiene casi la terceraparte de la poblacin y aproximadamente la tercera parte de territorio. Nota queel nmero de habitantes se multiplica por 1 kilmetro cuadrado y se divide entre49 habitantes para encontrar la extensin territorial que le corresponde a ambosestados:

1 km

49 hab

2

es ahora el factor proporcional y se le denomina factor inverso, por ser elinverso del factor de proporcionalidad

49

1

hab

km2

.

Los mtodos

Para obtener la poblacin que le corresponde a una extensin determinada, mul-

tiplicamos por el factor proporcional49

1

hab

km2

, mientras que para determinar la

extensin territorial que debe tener un estado, dada su poblacin, multiplicamospor el factor inverso

1 km

49 hab

2

.

extensinterritorial

habitantes del estad=

[ oo] [ km ]

habhabitantes del estado

1 km2

= 1

49

22

49 hab

49

1

hab

km2

1 km

49 hab

2

2 kilmetros cuadrados

98 habitantes


57/282


En general, si multiplicamos a la cantidadA por un factora

by obtenemos una can-

tidad B, podemos obtener la cantidadA multiplicando B por el factor inversob

a.

Para hacer



La imagen que mostramos a un lado se obtuvo al reducir unmapa del Distrito Federal. La condicin que nos dieron fueque por cada 5 centmetros del mapa original la imagen ten-dra un centmetro.

1. Qu escala usamos en la reduccin?

2. Qu factor proporcional te dara las dimensiones de laimagen?

3. Usa el factor inverso para calcular las dimensiones del mapaoriginal.

4. Para comprobar tus clculos, bosqueja el mapa original y ob-serva que esta imagen respete la escala con la que fue hecha.

Ejercicio para consolidar los conocimientos

Completa las siguientes tablas con los factores de proporcionalidad y los factoresinversos que les corresponden a cada relacin entre cantidades.

5

7

3

6

4

3

2

7

8

6


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Ejercicio de profundizacin

La seora Snchez ha mandado a hacer un sombrero ala tienda chale Compadre. El sombrero es para Luis,su hijo, quien saldr en el prximo festival escolar del16 de septiembre. Luis cursa el segundo ao de secun-

daria y tiene una altura y complexin promedio.

Para hacer su pedido, la seora Snchez llev a la tien-da esta foto. Aydale a determinar las dimensiones quedebe tener el sombrero, tomando en cuenta que:

Debe guardar una escala con el de la foto.

Debe entrar la cabeza de Luis (mide la cabeza de algn compaero como refe-rencia y aproxima la medida de la foto).

Comenta con tus compaeros tus observaciones.


En la fotografa, la altura del jarrn de talavera es1

8de

la altura real del jarrn.

Calcula, aproximadamente, las dimensiones del jarrnoriginal:

La altura, de la base a la punta de la tapa.

La parte ms ancha.

El dimetro de la base.



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Leccin

8 Relaciones deproporcionalidad.Proporcionalidadmltiple

En esta leccin aprenders a resolver ejercicios de propor-

cionalidad mltiple, distinguiendo el tipo de relacin que

guardan las cantidades.

Los objetos tienen tres dimensiones (alto, ancho y profundo).Uno de los grandes retos de todo pintor radica en cmo con-seguir la ilusin de profundidad en un cuadro si tiene slo dos

dimensiones. La solucin es considerada como un engao alsentido de la vista, pues resulta fcil confundir a nuestros ojosy hacerles ver efectos engaosos.

En la antigedad y durante la Edad Media no se saba represen-tar la distancia ni la profundidad. Todo aparece en el mismoplano, los colores no estn gradados, los contornos son clarosy marcados y no hay fondo. Durante el gtico se elabora unaperspectiva teolgica: los personajes son ms grandes cuantamayor significacin poseen.

Es en el Renacimiento cuando los pintores florentinos comien-zan a investigar la perspectiva como una ciencia, con sus leyes ysus principios matemticos. Artistas como Mantegna, Ghiberti,Massaccio y otros establecieron ciertos principios observablespara reproducir la distancia. Estos principios fueron posteriormente perfecciona-dos por Leonardo, Miguel ngel, Giorgione y Rafael.

Aqu te mostramos una pintura hecha en el siglo pasado por el famoso artistaSalvador Dal (1904-1989), donde se pueden notar claramente algunos objetos deapariencia tridimensional.

AutoevaluacinAnota todas las respuestas en tu cuaderno.

1. Con 16 zanahorias llenamos 6 vasos de jugo y 4 vasos hacen1

4de litro, cuntas

zanahorias necesitas para obtener 6 litros de jugo? Cuntos vasos llenaras?

2. Un libro tiene 120 pginas de 27 lneas, cada una mide 16 centmetros de largo.Si se reimprime el libro con 36 lneas de 15 centmetros de largo por pgina,cuntas pginas tendr? Explica tu respuesta.

La Madonna dePort Lligat, 1950

96 144 cm

51Leccin 8 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad mltiple


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3. En una casa de estudiantes el gasto mensual es de 20 000 pesos, alojando a 20estudiantes. Cunto se gastara durante 35 das alojando a 45 estudiantes, vi-viendo en iguales condiciones? Explica tu respuesta.

4. Si 15 mquinas fabrican 2 500 metrosde tejido en 10 das, cuntas mquinasseran necesarias para producir 7 000 metros en 14 das?

Para aprender

Act ividad 1. Galletas y p roporcionalidad

Una estrategia exitosa de la industria galletera en los ltimos aos hasido vender sus productos en paquetes pequeos. Las galletas Citlal-tzin (palabra nhuatl que significa estrellita) son de forma rectangulary vienen en dos sabores: vainilla y cacao. La Citlaltzin de vainilla esuna galleta sencilla con grosor de 0.5 centmetros y la Citlaltzin de

cacao tiene un relleno de crema y su grosor es de 1 centmetro.

Como las galletas son rectangulares, su caja tiene la forma de prisma rectangular(Figura 1); el tamao depende de las medidas de la galleta.

Tamaos de las Citlaltzin de vainilla

4 centmetros 4 centmetros


Tamaos de las Citlaltzin de cacao




Cada paquete debe tener 20 galletas, sin importar el sabor. Calcula el volumen de

cada tipo de caja, segn los tamaos de las galletas. Recuerda que el volumen de un

prisma rectangular se calcula con la frmula volumen = largo ancho altura,donde el largo lo determinar el nmero de galletas multiplicado por su grosor,que depende del sabor.

Figura 1

Dimensiones de la caja

Caja t ipo Largo Ancho Alt ura Volum en

Cit lalt zin devaini l la

A 4 4

B 8 4

Cit lalt zin decacao

C 4 3

D 8 6

E 6 4


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Todas las respuestas antalas en tu cuaderno.

La cajaA tiene la mitad de largo que la caja B, pero el mismo ancho y la mismaaltura. Tiene entonces la mitad de volumen?

La caja Ctiene la mitad de largo y la mitad de ancho que la caja D, pero la mis-ma altura. En qu proporcin es mayor o menor el volumen de una respecto a

la otra?El largo de la caja E es 3

2del largo de la cajaA. La medida del ancho es igual en

ambas cajas, pero la altura de la caja E es el doble que la de la cajaA. En quproporcin es mayor o menor el volumen de una con respecto a la otra?

El largo de la caja D es igual al de la caja B, el ancho de B es 32

el de D y la altura

de D es el doble de la de B. En qu proporcin es mayor o menor el volumen deuna con respecto a la otra?

La caja D tiene el doble de largo que laA, el ancho de D es 32

el deA y la altura

de D es el doble de la deA. En qu proporcin es mayor o menor el volumen deuna con respecto a la otra?

Piensa en dos cajas ms, E yF, donde Ftenga el doble de largo, ancho y alto queE. En qu proporcin es mayor el volumen de F?

Los conocimientosEn la situacin inicial de esta leccin, trabajamos en la variacin de tres can-tidades que afectaban a la variacin de un volumen. En este caso, se tratabade un prisma, cuyo volumen se calcula con la frmula

Volumen = largo ancho altura

Ya que el volumen es el producto de las tres dimensiones es proporcional acada una de ellas. Si duplicamos una dimensin, duplicamos el volumen:

Si reescribimos los volmenes:Prisma a) Va ( ) ( ) ( )= =1 2 3 6

Prisma b) Vb

( ) ( ) ( )= =2 1 2 3 12

Si ahora duplicamos tambin el ancho del prisma b, tenemos:

altura

largo

ancho

Prism a Largo Ancho Alt ura Volum en

a 1 2 3 1 2 3 = 6

b 2 2 3 2 2 3 = 12


a 1 2 3 1 2 3 = 6

b 2 4 3 2 4 3 = 24


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Al consignar de nuevo los volmenes:

Prisma a) Va

( ) ( ) ( )= =1 2 3 6

Prisma b) Vb

( ) ( ) ( )= =2 1 2 2 3 24

Ahora, duplicamos dos dimensiones (largo y ancho) y el volumen de b es 4 vecesel de a. Finalmente, si duplicamos tambin la altura, queda:

Al reescribir los volmenes:

Prisma a) Va

( ) ( ) ( )= =1 2 3 6

Prisma b) Vb

( ) ( ) ( )= =2 1 2 2 2 3 48

Si duplicamos ahora todas las dimensiones del prisma, el volumen de b es 8 vecesel del prisma a. Si hacemos una frmula para calcular el volumen de b, tomandoen cuenta las dimensiones de a, tendramos:

Vb

= 2 (largo del prisma a) 2 (ancho del prisma a) 2 (altura del prisma a)

Los mtodos

Caso 1

El ejemplo que hemos trabajado en la leccin nos mostr la relacin que guardanlas dimensiones de un prisma con su volumen, al variar cada una de ellas en formaindividual y simultnea. Podemos concluir que el factor proporcional al que creceel volumen es igual a la multiplicacin de los factores a los que aumenta cada di-mensin del prisma. En el caso de nuestro ejemplo:

8 (veces el volumen de a) = 2 (veces el largo del prisma a) 2 (el ancho del pris-ma a) 2 (la altura del prisma a).

8 = 2 2 2Caso 2

Tambin puedes encontrar cantidades que se relacionan proporcionalmente, enforma muy distinta a la presentada en el ejemplo del volumen del prisma. Supnque 35 puercos consumen 63 kilogramos de alimento en 26 das y Doa Marthaha comprado 52 puercos y 72 kilogramos de alimento. Cuntos das durar elalimento?


a 1 2 3 1 2 3 = 6

b 2 4 3 2 4 6 = 48


63/282


Para resolver el problema, organicemos la informacin de la siguiente manera:

35 puercos 63 kilogramos 26 das

Averigemos primero lo que come un puerco en 26 das:

1 puerco 63 135kilogramos 26 das

Si aplicamos el factor proporcional1

35a la cantidad de puercos, lo hacemos tam-

bin a la cantidad de alimento que consumen, no al nmero de das. Ahora, calcu-lemos lo que un puerco consume en un da:

1 puerco 63 1

35

1

26kilogramos 1 da

Ahora, aplicamos el factor proporcional 126

a la cantidad de das y a la cantidad de

alimento que consume el puerco. De este modo, tenemos lo que come un puercoen un da. Si Doa Martha compr 52 puercos, aplicamos 52 como factor propor-cional al nmero de puercos y a la cantidad de alimento. Obtenemos as lo quecomeran 52 puercos en un da:

52 puercos 52 63 1

35

1

26= 3.6 kilogramos 1 da

Pero como Doa Martha ha comprado 72 kilogramos de alimento, si establece-mos la razn proporcional

3 6 72. kilogramos

1 da

kilogramos

das= ,

y aplicando una regla de tres, tenemos que =kilogramos] [1 da]

kilogramos]

[

[ .

72

3 62

= 00 das

En el Caso 2 no se multiplican todas las cantidades por los factores proporciona-les; slo aquellos que guardan relacin con la cantidad que se busca.

Para hacerEjercicio fundamental

1. Observa la pirmide que aparece a la derecha.La frmula para calcular su volumen es:

V b a h=

1

3

1

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