Talk less... Talk less... Talk less... Talk less... Talk less... Talk less... Talk less... Talk less...do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!! do more.............!!!!!CALCULUS CALCULUS VEKTOR VEKTORDiferensiasi fungsi Diferensiasi fungsi VEKTOR VEKTORIntegrasi fungsi Vektor Integrasi fungsi VektorDiferensiasi fungsi Diferensiasi fungsi VEKTOR VEKTORJika zk yj xi r + + =r) ( ; ) ( ; ) ( u z z dan u y y u x x = = = Dan Dimana u adalah suatu skalar, maka diferensiasi r terhadap u :Diferensiasi Biasa dari fungsi vektordudkz kdudzdudjy jdudydudix idudxdur d+ + + + + =rDimana u adalah suatu skalar, maka diferensiasi r terhadap u :yijijSistem koordinat Kartesian (x,y) xijijVektor satuan arah sumbu x dan arah sumbu y selalu tetap kapan pun dimana pun, tidak bergantung posisi dan waktudkz kdz djy jdy dix idx r d+ + + + + =r000Tapi karena i, j, dan k dalam sistem koordinat kartesian adalah konstan tidak bergantung posisi dan waktu, maka diferensiasi dari r terhadap u (biasanya variabel ruang) menjadi:dudkz kdudzdudjy jdudydudix idudxdur d+ + + + + =kdudzjdudyidudxdur d+ + =rSistem koordinat Polar (r,)xyuruuruurVektor satuan arah r dan arah tidak tetap bergantungposisi uururuRumus-rumus diferensiasi fungsi vektor yang lain :( )duB dduA dB Adudr rr r+ = + . 1( ) BduA dduB dA B Adud + = r rr r r. 2Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar u yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari u yang diferensiabel, maka :( ) BduA dduB dA B Adudrr rr r r + = . 3( ) AdudduA dAdudrrr + = . 4( ) AdudduA dB A C B Adudrrr vr r r+ = . 5( ) ( ) C BduA dCduB dAduC dB A C B Adudr rrrrrrr vr r r + + = ) ( ) ( . 6Diferensial Parsial dari fungsi vektorJika A adalah sebuah vektor yang bergantung pada lebih dari satu variabel skalar, misalkan x, y, z, maka kita tuliskan A = A(x,y,z). Maka A dapat diturunkan secara parsial terhadap x, terhadap y, atau terhadap z, dengan menganggap veriabel bebas lainnya konstan.A A A A =tan , kons z yxAxA==tan , kons z xyAyA==tan , kons y xzAzA==Diferensiasi-diferensiasi yang lebih tinggi dapat didefinisikan seperti dalam kalkulus, sbb :|||

\|=xAx xAr r22|||

\|=yAy yAr r22|||

\|=zAz zAr r22|||

\|= yAx y xAr r2|||

\|= xAy x yAr r2|

\ y x y x|

\ x y x y(((

|||

\|=|||

\|= zAz x zAx z xAr r r2223Apakahx yAy xA = r r2 2???Jika A memiliki sekurang-kurangnya diferensiasi-diferensiasi parsial orde kedua yang kontinyu(fungsi vektor berkelakuan baik), makaA A =r r2 2x y y x = Aturan-aturan untuk diferensiasi parsial dari fungsi-fungsi vektor mirip dengan yang dipergunakan dalamkalkulus dasar dari fungsi-fungsi skalar. Jadi jika Adan B adalah fungsi-fungsi dari x, y, z, maka :( ) BxAxBA B Axrr rr r r+ = . 1x x x ( ) BxAxBA B Axrr rr r r+ = . 2( ) ( ))`+=)`= ByAyBAxB Ay xB Ay xrr rr r r r r2. 3Diferensial dari vektor-vektorMengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari kalkulus dasar, seperti :k dA j dA i dA A d maka k A j A i A A Jika3 2 1 3 2 1, . 1 + + = + + =r r( ) B A d B d A B A dr r r r r r + = . 2 ( ) B A d B d A B A d + = . 2( ) B A d B d A B A dr r r r r r + = . 3( ), , , . 4 z y x A A Jikar r=dzzAdyyAdxxAA d maka++=r r rrContoh soalSebuah partikel bergerak sepanjang kurva :5 3 , 4 , 22 2 = = = t z t t y t xdimana t adalah variabel waktu. Tentukan komponen kecepatan dan percepatan pada saat t=1 dalam arah vektor A = i 3j + 2kJawabKecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu,Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu, ditulis :dtr dvrr=( ) ( )k t j t t i t r 5 3 4 22 2 + + =rDari soal diketahui :Maka :( ) ( )} 5 3 4 2 {2 2k t j t t i tdtddtr dv + + = =rrContoh soal( ) k j t i t v 3 4 2 4 + + =rk j i v 3 2 4 + =rPada t = 1, Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadap Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadapu dimana u adalah vektor satuan arah A142 34 9 12 3k j i k j iAAu+ =+ ++ = =rru v Komponen = rContoh soal( )1416142 33 2 4=||

\| + + = k j ik j i a vrKomponen kecepatan dalam arah vekor AadalahPercepatan didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan terhadap waktu, ditulis :dtv darr=( ) k j t i t v 3 4 2 4 + + =rSebelumnya didapat( ) } 3 4 2 4 { k j t i tdtddtv da + + = =rrmakaContoh soalj i a 2 4 + =rPada t = 1, Komponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari aj i a 2 4 + =rKomponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari aterhadap u dimana u adalah vektor satuan arah Au a Komponen =rKomponen percepatan dalam arah vekor Aadalah( )142142 32 4=||

\| + + = k j ij i u arSoal LatihanJika ( ) ( ) ( ), cos sin 22 4 2k y x j x y e i x y x Axy+ + =rTentukan :A A A A r r r r2 2, , ,x yAy xAyAxA , , ,Apakah A berkelakuan baik ?Tugas PRVektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh:j t i t r sin cos + =rdimana konstan. Buktikan bahwa :a. Kecepatan v dari partikel tegak lurus rb. Percepatan a arahnya menuju titik asal dan besarnya sebanding dengan jarak ke titik asalc. r x v = vektor konstanOperator Diferensial Vektor Lambang : Baca : del atau Nabla Definisi : Definisi :zkyjxi++ Operator vektor ini memiliki sifat-sifat yang analog dengan vektor-vektorbiasa, bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yangsering muncul dalam pemakaian praktis termasuk dalam Fisika yangdikenal sebagai Gradien, Divergensi, dan Curl.GradienMisalkan (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dandiferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalamruang, maka :Gradien atau Grad atau ditulis didefinisikan sebagai :zkyjxizkyjxi++=|||

\|++= Perhatikan bahwa merupakan suatu fungsi vektorKomponen dari dalam arah sebuah vektor satuan a, diberikan oleh :a Disebut Directional derivative atau Turunan Berarah dari dalam arah a. Secara fisisTurunan Berarah dari dalam arah a. Secara fisis memiliki pengertian laju perubahan kuantitas fisika pada (x,y,z) dalam arah a, dan ditulis :adsd = Turunan Berarah Turunan BerarahContoh Contoh kuantitas kuantitas fisis fisis yang yang tergolong tergolong medan medan skalar skalar (( ))adalah adalah potensial potensial listrik listrik (V) (V),, temperatur temperatur (T) (T) dan danpotensial potensial gravitasi gravitasi (Ep) (Ep)a TdsdT =Medan Listrik Medan Listrik dan Potensial listrik dan Potensial listrikrkqVrrkq==2E+EqEE abcVVVrV=Karena r yang sama, makaVa = Vb = Vc = VdtapiEa Eb Ec Edd c b aE E E E = = =+EqEE acdVV VMedan Listrik Medan Listrik dan Potensial listrik dan Potensial listrikbV1V2+qa cdV1V1V1V2V2V2Medan Listrik Medan Listrik dan Potensial listrik dan Potensial listrikBidang-bidang equipotensialcdefgKetika bergerak dari c ke d atau ke e, atau ke f, atau ke g, atau ke h, menempuh selisih potensial listriknya yang sama, yaitu V1-V2 = VYang berbeda adalah V1V2cghYang berbeda adalah panjang lintasan yang ditempuh. Hal ini menunjukkan laju perubahan potensial berbesa, semakin panjang lintasan berarti laju perubahannya kecil dan sebaliknyaHal ini menunjukkan laju perubahan potensialbergantung arah = turunan berarahMedan Listrik Medan Listrik dan Potensial listrik dan Potensial listrik cos a VdsdV =a VdsdV =Bidang-bidang equipotensialcdefgVV1V2cgh Adalah sudut antara V dan aV adalah vektor tegaklurus V di suatu titik.VPada perpindahan dari c ke g, vektor a(arah perpindahan) searah dengan , sehingga adalah 0 (nol)maksimum V VdsdV= = = 0 cosP(xo,yo,zo)aCB = CTitik P, C, B, A terletak pada satu bidang , sehingga ketika bergerak dari P ke C atau ke B atau ke A tidak terjadi perubahan nilai , sehingga = 0. dengan demikian :BuktiA0 =sDari kalkulus0 lim0= = dsdss 0 =dsdBerarti antara dan a di titik p membentuk sudut 90o. Dengan demikian tegak lurus a. cos adsd =P(xo,yo,zo)a = C90oBuktiCBA = CContoh Soal x z yz xy V sin2+ + =Diberikan fungsi potensial listrik dalam ruang :Tentukan :a. V di titik (0,1,2)b. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah k j i A + = 2 2rb. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah k j i A + = 2 2Jawab :zVkyVjxVi V++= a.( ) ( ) ( ) x y k z xy j x z y i V sin 2 cos2+ + + + + = Di titik (0,1,2)k j i V + + = 2 3Contoh Soal u VdsdV =b.Di titik (0,1,2)u adalah satuan vektor dalam arah A, sehingga :32 21 4 42 2k j i k j iAAu +=+ + += =rr31 4 4A+ +sehingga( )||

\| + + + =32 22 3k j ik j idsdV3 =dsdVSoal latihan yz x T =2Diberikan fungsi temperatur dalam ruang dan titik P(3,4,1) :Tentukan :a. T di titik P a. T di titik Pb. Suatu vektor satuan normal permukaan T=5 di Pc. Suatu vektor dalam arah peningkatan dari T paling cepat di Pd. Besar vektor pada soal ce. Turunan dari T di P dalam arah sejajar garis :t k j i k j i r ) 4 6 ( 2 + + =rDivergensi Misalkan( ) k V j V i V z y x V3 2 1, , + + =rAdalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang maka :Divergensi V atau Div V atau ditulis .V, didefinisikan sebagai : Divergensi V atau Div V atau ditulis .V, didefinisikan sebagai :( ) k V j V i Vzkyjxi V3 2 1+ + |||

\|++= zVyVxVV++= 3 2 1CurlMisalkan( ) k A j A i A z y x A3 2 1, , + + =rAdalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang maka :Curl A atau Rot A atau ditulis xA, didefinisikan sebagai :( ) k A j A i Azkyjxi A3 2 1+ + |||

\|++= r3 2 1A A Az y xk j iA= rContoh soalHitung divergensi dan Curl dari medan vektor berikut :xk yj zi A + + =rJawab :Divergensi V atau Div V atau ditulis .V, didefinisikan sebagai :zAyAxAA++= 3 2 1r1 0 1 0 = + + = ArzxyyxzA++= rCurl Aatau ditulis xA, didefinisikan sebagai :3 2 1A A Az y xk j iA= rx y zz y xk j iA= r0 = ArVariasi Formula Mengandung Variasi Formula Mengandung Lapla Laplaccian ianMisalkan U (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dandiferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalamruang, maka :Laplacian U atau ditulis 2U didefinisikan sebagai :|||

\|++|||

\|++= zUkyUjxUizkyjxi U2222222zUyUxUU++= Contoh soal Contoh soal2 2 22U U UU++= 3 2 33 y xy x U + =Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :Laplacian U atau ditulis 2U didefinisikan sebagai :2 2 22zUyUxUU++= y U 62= ( ) 0 6 6 62+ + + = y x x USoal latihan Soal latihan|||

\| rrrr( )2 2ln y x U + =1. Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :2. Hitunglah:k z j y i x r + + =rjikaINTEGRASI FUNGSIINTEGRASI FUNGSI VEKTOR VEKTOR VEKTOR VEKTORIntegral Biasa Integral Biasak u R j u R i u R u R) () () ( ) (3 2 1+ + =rmerupakan merupakan ssebuah ebuah vektor vektor yang yang bergantung bergantung pada padavariabel variabel skalar skalar tunggal tunggal u, u, dimana dimana RR11(u), (u), RR22(u), (u), RR33(u) (u)kontinu kontinu dalam dalam suatu suatu selang selang yang yang ditentukan ditentukan..Maka Maka::du u R k du u R j du u R i du u R + + = ) () () () (3 2 1rDisebut integral tak tentu dari R(u)Jika terdapat suatu vektor Jika terdapat suatu vektor) (u Srsehingga { } ) ( ) ( u Sdudu Rr r=Maka:{ }du u Sduddu u R = ) ( ) (r r{ }C u S u S d du u Rdu+ = = ) ( ) ( ) (r r rC adalah vektor konstantaIntegral Integral tentu tentu antara antara limit limit--limit limit uu == aa dan dan uu == b, b, ditulis ditulis sbb sbb ::{ }) ( ) () ( ) (du u S d du u Rdu u Sduddu u Rb u b ub ua ub ua ur rr r=== ===== ) ( ) ( ) ( ) () ( ) (a S b S u S du u Rdu u S d du u Rb ua ub ua ua u a ur r r r = ======= = Contoh Soal Contoh Soal( ) ( ) ( )k t j t i t a162 sin 82 cos 12 + =rJika, Jika, kecepatan kecepatan dan dan posisi posisi awal awal adalah adalah nol nol,, Tentukan Tentukankecepatan kecepatan dan dan posisi posisi partikel partikel setiap setiap saat! saat!Percepatan Percepatan suatu suatu partikel partikel pada pada setiap setiap saat saat tt >> 0 0diberikan diberikan oleh oleh::==dt v rdt a vr rr r0 ) 0 (0 ) 0 ( 000= = == = = =r t rv t v trrkecepatan kecepatan dan dan posisi posisi partikel partikel setiap setiap saat! saat!Solusi Solusi1282 cos 42 sin 6 C k t j t i t v + + + =r( )1282 cos21) 8 (2 sin2112. 16. 2 sin 8. 2 cos 12C t k t j t i vdt t k dt t j dt t i v+ +||

\| ||

\| =+ = rr;) 0 ( 80 cos 40 sin 6 012C k j i + + + =j C 41 =dengan mengambil v = 0pada saat t = 0, diperoleh :j k t j t i t v 482 cos 42 sin 62 + + =rSehingga :k t j t i t v8) 4 2 cos 4 (2 sin 62+ + =ratauSolusi Solusi( )23384 2 sin 2 2 cos 3 C k t j t t i t r + + + =r( )dt k t j j t i t dt v r + + = =28 4 2 cos 4 2 sin 6r rdengan mengambil r = 0pada saat t = 0, diperoleh :( ) ; ) 0 (380 0 sin 2 0 cos 3 023C k j i + + + =i C 32=sehingga( ) i k t j t t i t r 3384 2 sin 2 2 cos 33+ + + =r( ) k t j t t i t r3384 2 sin 2 ) 2 cos 3 3 ( + + =ratauSoal Soal latihan latihan( ) k t j t i e atsin 31 6+ + =rJika, Jika, kecepatan kecepatan dan dan posisi posisi awal awal adalah adalah nol nol,, Tentukan Tentukankecepatan kecepatan dan dan posisi posisi partikel partikel setiap setiap saat! saat!Percepatan Percepatan suatu suatu partikel partikel pada pada setiap setiap saat saat tt >> 0 0diberikan diberikan oleh oleh::kecepatan kecepatan dan dan posisi posisi partikel partikel setiap setiap saat! saat!IntegralIntegral Garis Garisk A j A i A A3 2 1+ + =rMisalkandan r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan kurva C yangmenghubungkan titik-titik P dan Q, dimana u = u1dan u = u2untukmasing-masingnyaC dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk( ) ( ) ( ) ( )k u z j u y i u x u r + + =rC dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untukmasing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu. Misalkan :Sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinusepanjang C, maka integral dari komponen tangensial A sepanjang Cdari P ke Q ditulis sebagai : + + = = QP C Cdz A dy A dx A r d A r d A3 2 1rrrrIntegralIntegral Garis GarisPr1r3r2QAdrzC0xy + + = = QP C Cdz A dy A dx A r d A r d A3 2 1rrrrAdalah contoh integral garis. Jika A adalah sebuah gaya F yang bekerjapada suatu partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis in imenyatakan usaha (W) yang dilakukan gaya F.IntegralIntegral Garis Garis + + = C Cdz A dy A dx A r d A3 2 1rrJika C adalah kurva tertutup sederhana (kurva yang tidak memotongdirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering dituliskan :TeoremaJika A = - pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yangQPr d Arr. 1Jika A = - pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yangdidefinisikan oleh a1 x a2, b1 y b2, c1 z c2, dimana(x,y,z)berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R,maka= Cr d A 0 . 2rrTidak bergantung pada lintasan C dalam R yangmenghubungkan P dan QMengelilingi setiap kurva tertutup C dalam RQTertutup sederhanazKurva tertutup sederhanaPCBerlawanan dengan arah Putar jarum jamyxIntegralIntegral Garis Garis0 = ArDalam hal demikian, A disebut sebuah medan vektor konservatif danadalah potensial skalarnya.Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika :Atau ekivalen juga dengan A = -. Dalam hal demikian : = + + = dz A dy A dx A r d A3 2 1rrContoh Soal Contoh SoalHitunglah usaha untuk memindahkan partikel dari titik (0,0) ke (3,4)melalaui lintasan seperti gambar di bawah ini :Jika j x i y F + =ry(3,4)x(0,0)(3,0)Apakah F merupakan medan vektor konservatif ?Soal Soal Latihan Latihank x j y i xz F212 + + =rc. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untukDiberikan j x i y F =2rdana. Yang manakah dari kedua gaya tersebut yang konservatif ?b. Untuk gaya yang konservatif, cari fungsi skalar sehingga F = - !c. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untukmemindahkan partikel sepanjang garis lurus dari titik (0,1)ke (1,0)Tugas PR Tugas PRb. Carilah potensial skalar () untuk Fa. Buktikan bahwa medan gaya berikut bersifat konservatif( ) ( ) ( )k xz j x y i z x y F 2 3 4 sin 2 cos2 3 2+ + + + =rc. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuah c. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuahpartikel dari (0,1,-1) ke (/2, -1,2)Teorema Green dalam Bidang Teorema Green dalam BidangJika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi olehsebuah kurva tertutup sederhana C dan jika P dan Q adalah fungsi-fungsikontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka :( ) ( ) dy dxyPxQdy y x Q dx y x PRC |||

\|= + , ,dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putar jarum jam) BuktixyA Ca bcdTeorema Green dalam Bidang Teorema Green dalam Bidang( ) ( )( ) ( ) [ ]dy y a Q y b Q dy dxxy x Qdy dxxy x Qdcdcba A ==, ,, ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )c b c aLakukan integral rangkap 2 terhadap luas bidang ALakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang Aberlawanan arah putar jarum jam( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + =cdCbacbabdy y a Q dy d x Q dy y b Q dy c x Q dy y x Q , , , , ,( ) =ACdy y x Q dy dxxQ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + =dccddcCdy y a Q y b Q dy y a Q dy y b Q dy y x Q , , , , ,Teorema Green dalam Bidang Teorema Green dalam Bidang( ) ( )( ) ( ) [ ]dx c x P d x P dx dyyy x Pdy dxyy x Pbabadc A ==, ,, ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )c b d aLakukan pula integral rangkap 2 terhadap luas bidang ALakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang Aberlawanan arah putar jarum jam( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + =cdCbadcabdx y a P dx d x P dx y b P dx c x P dx y x P , , , , ,( ) =ACdx y x P dx dyxP,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + =baabbaCdx d x P c x P dx d x P dx c x P dx y x P , , , , ,Teorema Green dalam Bidang Teorema Green dalam Bidangdy dxyPxQdy Q dx PCA |||

\|= +A \Contoh Soal Contoh SoalDimana C adalah kurva segiempat seperti gambar di bawah :Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :Cdx y dy x 3 2yxy(0,2)(-2,0) (2,0)(0,-2)Soal Soal Latihan LatihanDimana C adalah kurva tertutup seperti gambar di bawah :Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :+Cdy x dx xy2yxy2441Tugas PR Tugas PR( ) =Cdx y dy x A21a. Untuk kurva tertutup sederhana C dalam bidang, Tunjukkandengan teorema Green bahwa luas area yang dilingkupinyaadalah :b. Dengan menggunakan formula pada soal a), tunjukkan bahwaarea yang dibatasi elips x = a cos , y = b sin , 0 2memiliki luas :ab A =Teorema Divergensi (Teorema Gauss) Teorema Divergensi (Teorema Gauss)Menyatakan bahwa jika V adalah volum yang dibatasi oleh suatupermukaan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi darikedudukan dengan turunan-turunan yang kontinu, maka : = dS n A dV Ar r V Sdimana n adalah normal positif dari permukaan SContoh Soal Contoh SoalSdS n FrdimanaGunakan teorema Divergensi untuk menghitung integral berikut :k yz j y i xz F + =24rdan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh : x = 0, x = 1,y = 0, y = 1, z = 0, z = 1Soal Soal Latihan Latihank z j y i x A2 22 4 + =rPeriksa kebenaran teorema Divergensi untuk :Yang diintegrasi melalui ruang yang dibatasi oleh x2+ y2= 3,z = 0 dan z = 3 z = 0 dan z = 3Hukum Gauss Hukum Gauss = dS n A dV A r rDalam bidang kelistrikan, salah satu materi yang dibahas adalahmenentukan medan listrik disekitar benda bermuatan listrik. Salah satuteknik yang digunakan adalah hukum Gauss. Hukum ini sebetulnyaadalah teorema Divergensi yang diterapkan dalam materi bahasankelistrikan. = V SdS n A dV A dimana E adalah medan listrik, n adalah vektor normal bidang, S adalahpermukaan Gauss, adalah rapat muatan pada benda dan V adalahvolume benda.( ) = V SodV V dS n E rHukum Gauss Hukum GaussKasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.+Q E En nPermukaan Gauss S harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah E dengan nsejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik pada permukaan Gauss. Jadipemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkan bentuk geometribenda bermuatan. Dalam kasus kita benda bermuatan +Q bergeometri bola,sehingga permukaan Gauss yang paling tepat adalah permukaan bola (kulitbola)S = permukaan Gauss = kulit bolaHukum Gauss Hukum GaussKasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.+QE En nr( ) Q r E + =204 Q dS ES+ =02 204 rQkrQE+=+=S = permukaan Gauss = kulit bolaTeorema Stokes Teorema StokesMenyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi duayang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C maka jika Amemiliki turunan-turunan yang kontinu :( ) = Cr d A dS n Arr r CSdimana C dilintasi dengan arah positif. Arah dari C disebut positif jikaseorang pengamat berjalan pada daerah batas dari S dalam arah inidengan kepalanya menunjuk pada arah normal positif terhadap S, makaia mendapatkan permukaan ini di sebelah kirinyaContohContoh Soal Soal( ) k z y j yz i y x A2 22 =rPeriksa kebenaran teorema Stokes untuk :Dimana S adalah separuh dari permukaan bola bagian atasx2+ y2+ z2= 1 dan C batasnya. x2+ y2+ z2= 1 dan C batasnya.Soal Soal Latihan Latihan( ) ( ) k xz j yz i z y A + + = 4 2rPeriksa kebenaran teorema Stokes untuk :Dimana S adalah permukaan kubus x=0, y=0, z=0, x=2, y=2,z=2 di atas bidang xy. z=2 di atas bidang xy.Hukum Ampere Hukum Ampere( ) = Cr d A dS n Arr rDalam bidang kemagnetan, salah satu materi yang dibahas adalahmenentukan medan magnet disekitar penghantar berarus listrik (i). Salahsatu teknik yang digunakan adalah hukum Ampere. Hukum ini sebetulnyaadalah teorema Stokes yang diterapkan dalam materi bahasankemagnetan.( ) CSdimana H adalah medan magnet, C adalah kurva tertutup yangmelingkupi penghantar berarus listrik, n adalah vektor normal geometribenda berarus listrik.( ) = S CdS n H r d HrrrHukum Ampere Hukum AmpereKasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik iirKurva tertutup C harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah B dengan arahvektor yang menyinggung kurva sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titikpada kurva C. Jadi pemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkanbentuk geometri penghantar. Dalam kasus kita penghantar berarus listrik ibergeometri silinder, sehingga kurva C yang paling tepat adalah kurvalingkaran.C = kurva tertutup = lingkaranrHukum Ampere Hukum AmpereKasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik iirA( ) = S CdA n J r d B10rrr( ) = A CdA n H r d H rrr( ) i dA n J dr BS C0 0 = = rC = kurva tertutup = lingkaranrJ adalah rapat arus, A adalah luas permukaan silinder( ) i r B02 =riB20=