30matesup.cl/portal/apuntes/calculo2/ejercicios.pdf · C´alculo II. Ing. Civil Gu´ıa 3: Cambio...

Guıa de Ejercicios 30Guıas de Ejercicios

30.1 Guıa 1: Previo a integral indefinida

1) Completar la siguiente tabla con la funcion que corresponda. En algunos casos haymas de una funcion que satisface la condicion.

Funcion f Derivada de f = f ′

x2 − 2x + 2x− 1

sin(2x)sin(2x)

xex

xex

x2 cos(2x)x2 cos(2x)

ln(x)ln(x)

xn

xn

2) Determinar una funcion y = F (x) sabiendo que y′ =√

x−x+1 y que su grafico pasapor el punto (1, 2).

219

Calculo II. Guıa 2 : Introduccion integral indefinida

30.2 Guıa 2: Introduccion integral Indefinida

1) Verificar usando derivadas, los resultados de cada una de las siguientes integralesindefinidas.

a)∫

1a2 + x2

dx =1aarctan

x

a+ C, a > 0

b)∫ √

x2 + a2 dx =x

2

√x2 + a2 +

a2

2ln(x +

√x2 + a2) + C

2) Recordando las formulas de derivacion, encontrar por medio de ensayo y error, unaantiderivada de cada una de las siguientes funciones. Verificar la respuesta, usandoderivadas.

a) f(x) =√

x(1 + x + x2)

b) g(x) = sin x(1 + x + x2)

3) En cada uno de los siguientes graficos se entrega el grafico de una funcion y unade sus antiderivadas. Determinar el grafico que corresponde a la funcion y el quecorresponde a la antiderivada. Justificar su respuesta.

a)

b)

c)

Instituto de Matematica y Fısica 220 Universidad de Talca

Calculo II. Guıa 2 : Introduccion integral indefinida

4) En la siguiente figura se muestra el grafico de una funcion y = f(x), Bosquejar lagrafica de la antiderivada continua que pasa por el punto (−4, 1).

5) Si∫

f(x)dx = F (x) + C, entonces

a) Para cada a ∈ R:∫

f(x + a) dx = F (x + a) + C

b) Para cada k 6= 0:∫

f(kx) dx =1kF (kx) + C


Calculo II. Ing. Civil Guıa 3 : Cambio de variable e Integracion por partes

30.3 Guıa 3: Cambio de variable e Integracion por

partes

1) Determinar cada una de las siguientes integrales usando formulas o el metodo desustitucion. Comprobar el resultado usando derivadas.

a)∫

(x2 − a)2dx b)∫

t

3t2 + 4dt c)

∫x + 2√x2 + 4x

dx

d)∫ (

3√

x− 13√

x

)dx e)

∫ (1− 3

(5t + 1)3

)dt f)

∫5 cos(7x) dx

g)∫

sin(at)cos(at) + b

dt h)∫

xesin 3x2cos 3x2 dx i)

∫z√

1− 2z2dz

j)∫

ex3−3x−2(6x2 − 6) dx k)∫ √

1 + ln(x + 1)2x + 2

dx l)∫

(πx√

1− 5x2) dx

m)∫

(4x + 3)3√

1 + 3x + 2x2dx n)

∫5x

(9x2 + 4)3dx o)

∫ex√

ex − 1 dx

p)∫

(2x + x2) dx q)∫

e√

x

√x

dx r)∫

1√x2 − 6x + 5

dx

Soluciones:a) (1/5) x5 − (2/3) ax3 + a2x + C c)

√x2 + 4 x + C

e) t + 3/10 (5 t + 1)−2 + C g) − ln(cos(at) + b)a

+ C

i) −(1/2)√

1− 2 z2 + C k) (1/3) (1 + ln (x + 1))3/2 + C

m) (3/2)(1 + 3 x + 2 x2

)2/3 + C o) (2/3) (ex − 1)3/2 + C q) 2 e√

x + C

2) Calcular las siguientes integrales usando el metodo de Integracion por Partes (com-probar el resultado usando derivadas).

a)∫

100x e−0.3xdx b)∫

y2

e3ydy c)

∫x ln(4x)dx

d)∫

u sinu du e)∫

lnx

(x + 1)2dx f)

∫7x2 ln(4x)dx

Soluciones:

a) −100e−0.3x

3+ C c)

x2 ln (4x)2

− x2

4+ C e)

x ln(x)x + 1

− ln(x + 1) + C

3) Hallar la ecuacion de la curva cuya pendiente, (m), en un punto cualquiera es laexpresion dada y que pasa por el punto indicado P :

a) m =x2

1 + x2, P = (0, 2) b) m = sin2(x), P = (0, 0)

Soluciones: a) y = x− arctanx + 2


Calculo II. Ing. Civil Guıa 3 : Cambio de variable e Integracion por partes

4) Despues que una persona ha estado trabajando durante t horas con una maquina enparticular, habra rendido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (numero deunidades por hora) esta dada por:

dx

dt= 10

(1− e−

t50

)a) ¿Cuantas unidades de rendimiento alcanzara la persona en sus primeras 20 ho-

ras?

b) ¿Cuanto rendira durante las segundas 50 horas?.

5) En el siguiente desarrollo se llega a un resultado claramente incorrecto. ¿Que errorse ha cometido?.∫

x2dx =∫

x · x dx = x

(∫xdx

)= x

(12x2 + C

)=

12x3 + Cx


Calculo II Guıa 4 : Fracciones parciales e int. trigonometricas

30.4 Guıa 4: Fracciones parciales e integrales

trigonometricas

1) Usando el metodo de las fracciones parciales, calcular

a)∫ (y4−8)dy

y3+2y2 b)∫ (

t+3t2+4t+5

)2dt c)

∫2x2+x+3(x2+1)2

dt

Respuestas:

a) y2

2 − 2y + 4y + 2 ln(y2 + 2y) + C b) arctan(t + 2)− 1

t2+4t+5+ C

c) ln(x2 + 1) + 12(x2+1)

+ 32

(x

x2+1+ arctanx

)+ C

2) Usando los metodos de integracion de funciones trigonometricas, calcular

a)∫

cos4 x sin3 xdx b)∫

csc4(

t4

)dt c)

∫tan4 xdx d)

∫cos4 x csc6 x dx

Respuestas:

a) −15 cos5 x + 1

7cos7x + C b) −43 cot3 t

4 − 4 cot t4 + C

c) tan3 x3 − tanx + x + C d) −1

5 cot5 x + C

3) Usando los diferentes metodos de integracion revisados, calcular las siguientes inte-grales indefinidas:

a)∫ √

1+ln xx ln x dx b)

∫sin3 t cos5 t dt c)

∫s

s4+s2+sds

d)∫

x csc x cot x dx e)∫

t4+1t(t2+1)2

dt

Respuesta:

a) 2√

1 + lnx + ln(√

1+ln x−1√1+ln x+1

) + C b) 18 cos8 t− 1

6 cos6 t + C

c) 1√3arctan(4s2+2

2√

3) + C d) x csc x + ln | csc x cot x|+ C e) ln t + 1

t2+1+ C

4) Si f(x) es una funcion cuadratica tal que f(0) = 1 y∫ f(x)

x2(x+1)3dx, es una funcion

racional, encontrar el valor de f ′(0).

Respuesta: Si f(x) = a2 + bx + c, entonces f ′(0) = b.

5) Calcular la integral propuesta, usando el cambio de variable sugerido.

a)∫

x2dx√a2 − x2

, con a > 0, x = a sin t. b)∫

dx√x− 3√

x, u = 6

√x.

c)∫

dx

x√

1 + x + x2, x =

1z. d)

∫x3dx

(a + bx2)3/2, a + bx2 = z2.

Respuesta:

a) a2

2 arcsin(xa )− x

2

√a2 − x2 + C b) 2

√x + 3 3

√x + 6 6

√x + 6 ln( 6

√x− 1) + C

c) ln(

cx2+x+2

√1+x+x2

)d) 1

b22a+bx2√

a+bx2+ C


Calculo II Guıa 4 : Fracciones parciales e int. trigonometricas

6) El matematico aleman Karl Weierstrass (1815-1897) observo que la sustitucion t =tan(x

2 ) transforma toda funcion racional de sin x y cos x en una funcion racional enla variable t.

a) Si t = tan(x2 ), comprobar que cos(x

2 ) = 1√1+t2

y sin(x2 ) = t√

1+t2.

b) Verificar que cos x = 1−t2

1+t2, sin x = 2t

1+t2y dx = 2

1+t2dt

c) Usando la sustitucion indicada, transformar la siguiente integral en una funcionracional de t y evaluar la integral

∫1

3 sin x−4 cos x .

Respuesta (c) 15 ln

∣∣∣2 tan(x/2)−1tan(x/2)+2

∣∣∣+ C.

7) En el siguiente desarrollo el desarrollo es evidentemente falso. ¿Donde esta el error?

Se desea calcular I =∫

1x dx.

Se procede de la siguiente manera. Claramente I =∫

xx2 dx. Esta integral se resuelve

por partes haciendo u = x y dv = 1x2 dx. De donde du = dx y v = − 1

x . Luego,aplicando la formula de integracion por partes se tiene, I = −1 +

∫1x dx, es decir,∫

1x dx = −1 +

∫1x dx. De donde, cancelando por

∫1x dx, se llega a que 0 = −1.


Calculo II. Ing. Civil (2007-1) Guıa 5 : Aplicaciones de la Integral indefinida

30.5 Guıa 5: Aplicaciones de la Integral indefinida

1) Decidir si la funcion y = ae5x + be−2x − 12ex es solucion de la ecuacion diferencial

y′′ − 3y′ − 10y = 6ex.

2) Determinar la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) (4x + xy2)dx + (y + x2y)dy = 0

b) (y + ex+y)dy = (1 + xex)dx

c) (ey + 1) cos xdx + ey(sinx + 1)dy = 0

Respuesta: (a) (1 + x2)(4 + y2) = C (b) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = C (c) (sin x +1)(ey + 1) = C

3) Encontrar la funcion y = f(x), sabiendo que

(a) y′′ = x2ex

(b) y(0) = 12(c) y′(0) = 4

Respuesta: y = ex(x2 − 4x + 6) + 2x + 6

4) Comprobar que la ecuacion de la curva que pasa por el punto (1, 0), y cuya pendienteen un punto cualquiera es igual a y−1

x2+x, es y(1 + x) = 1− x.

5) En un movimiento rectilıneo la aceleracion es inversamente proporcional al cuadradode la distancia s, y es igual a −1 cuando s = 2. Ademas, v = 5 y s = 8, cuando t = 0.

a) Hallar v cuando s = 24.

b) Hallar el tiempo que transcurre cuando el punto se mueve de s = 8 a s = 24.

Nota: Observar que a = v dvds . Respuesta: (a) v ≈ 4.93 (b) t ≈ 3, 23

6) Se dice que una poblacion sigue un crecimiento logıstico si dNdt = kN(M −N) donde

N es el tamano de la poblacion en el tiempo t, M es el tamano maximo de la poblacion,y k una constante

a) Probar que la funcion N viene dada por la ecuacion N(t) = M1+be−ct .

b) La poblacion de una ciudad tiene un crecimiento logıstico y esta limitada a40.000 personas. Si en 1984 la poblacion era de 20.000 personas y de 25.000 en1989. ¿Cual fue la poblacion en 1995?

Respuesta: (b) 30.188 personas, aproximadamente.

7) La ley de enfriamiento de Newton dice que la rapidez de enfriamiento de un objeto esproporcional a la diferencia de la temperatura del objeto y la temperatura del medioque lo rodea. Suponer que el objeto demora 40 minutos para enfriarse de 30◦C a24◦C, en un lugar que se mantiene a 20◦C.


Calculo II. Ing. Civil (2007-1) Guıa 5 : Aplicaciones de la Integral indefinida

a) ¿Cual es la temperatura del objeto 15 minutos despues de que fue de 30◦C?

b) ¿Cuanto tiempo transcurrira para que el objeto se enfrıe hasta 21◦C?

Respuesta: (a) Aproximadamente 27◦C. (b) Aproximadamente 100 minutos.

8) Segun un estudio, una noticia importante se difunde en una poblacion adulta de Lpersonas a una tasa proporcional al numero de personas que no han escuchado lanoticia.

Si y = f(t) representa el numero de personas que han escuchado la noticia t dıasdespues de que esta se ha producido,

a) Plantear la ecuacion diferencial que modela la situacion descrita.

b) Resolver la ecuacion diferencial precedente. Observar que f(0) = 0.

c) Sabiendo que cinco dıas despues de un escandalo en la ciudad, una encuestamostro que la mitad de las personas lo habıa escuchado. ¿Cuanto tiempo pasara,aproximadamente, para que el 99% de las personas se enteren del escandalo?.

9) Encontrar la funcion de costo C = f(q) de un fabricante dado que (q + 1)2 dCdq = Cq

y que el costo fijo es e.

Respuesta: C = (q + 1)e( 1q+1

)

10) Dado el siguiente problema con condicion inicial.(x2 − 3y2)dx + 2xydy = 0

y(2) = 1

a) Verificar que la ecuacion propuesta no es de variables separables.

b) Resolver esta ED, introduciendo el cambio de variable y = vx, con v = v(x).

Respuesta: y = x√

1− 38x


Calculo II Guıa 5 : Aplicaciones de la Integral indefinida

30.6 Aplicaciones de la Integral indefinida

1) Resolver y′ =x + xy2

4y. Solucion:y = ±

√Kex2 − 1

2) Se dice que una poblacion sigue un crecimiento logıstico sidN

dt= kN(M −N) donde

N es el tamano de la poblacion en el tiempo t, M es el tamano maximo de la poblacion,y k una constante

a) Probar que la funcion N viene dada por la ecuacion

N(t) =M

1 + be−ct

b) La poblacion de una ciudad tiene un crecimiento logıstico y esta limitada a40.000 personas. Si en 1984 la poblacion era de 20.000 personas y de 25.000 en1989. ¿Cual fue la poblacion en 1995?

30.188 personas aproximadamente.

3) De una funcion y = f(x), se sabe que:

y′′ = −x sinx + 2 cos x.

Encontrar esta funcion si su grafico pasa por el punto (0, 5) y en este punto la rectatangente es paralela al eje de la X.

Solucion: y = f(x) = x sinx + 5

4) La ley de enfriamiento de Newton dice que la rapidez de enfriamiento de un objeto esproporcional a la diferencia de la temperatura del objeto y la temperatura del medioque lo rodea. Suponer que el objeto demora 40 minutos para enfriarse de 30◦C a24◦C, en un lugar que se mantiene a 20◦C.

a) ¿Cual es la temperatura del objeto 15 minutos despues de que fue de 30◦C?

b) ¿Cuanto tiempo transcurrira para que el objeto se enfrıe hasta 21◦C?

(a) Aproximadamente 27◦C.

(b) Aproximadamente 100 minutos.

anual mundial de petroleo crecio exponencialmente con una constante de crecimientode alrededor de 0.07. Al inicio de 1970, la tasa era de alrededor de 16.1 miles demillones de barriles de petroleo al ano. Si R(t) es la tasa de consumo de petroleo altiempo t, donde t es el numero de anos a partir de 1970, entonces

R(t) = 16.1e0.07t

Determinar la cantidad total de petroleo que se hubiera consumido de 1970 a 1980,si esta tasa de consumo hubiera continuado durante toda esta decada.

Respuesta: 233 miles de millones de barriles


Calculo II Guıa 5 : Aplicaciones de la Integral indefinida

5) Segun un estudio, una noticia importante se difunde en una poblacion adulta de L per-sonas a una tasa proporcional al numero de personas que no han escuchadola noticia.

Si y = f(t) representa el numero de personas que han escuchado la noticia t dıasdespues de que esta se ha producido,

a) Plantear la ecuacion diferencial que modela la situacion descrita.

b) Resolver la ecuacion diferencial precedente. Observar que f(0) = 0.

c) Sabiendo que cinco dıas despues de un escandalo en la ciudad, una encuestamostro que la mitad de las personas lo habıa escuchado. ¿Cuanto tiempo pasara,aproximadamente, para que el 99% de las personas se enteren del escandalo?.

6) Encontrar la funcion de costo C = f(q) de un fabricante dado que

(q + 1)2dC

dq= Cq

y que el costo fijo es e

Respuesta: C = (q + 1)e( 1q+1

)


Calculo II. Ing. Civil (2007-1) Guıa 5 : Aplicaciones de la Integral definida

30.7 Aplicaciones de la Integral definida

1) Dada las siguientes funciones:

y = f(x) = x3 + x2 − 2x e y = g(x) = 2x− 2x2

Se pide:

a) Obtener sus graficas en un mismo sistema de coordenadas.

b) Determinar el (o los) puntos(s) de interseccion de ambas curvas.

c) Achurar la region, R, del plano delimitada por las curvas correspondientes a lasdos graficas obtenidas

d) Calcular el area de R.

Solucion:(d) Area de R = 1314 (u de l)2.

2) Determinar el area de la region del primer cuadrante limitada por la curva x = e√

y

y la recta y = 4.

Solucion:2e2 + 2 ≈ 16.778(u. de long)2.

3) Encontrar el area de la region ubicada en el segundo cuadrante acotada por la graficade y = |x + 3| y la recta x + 5 = 0.

4) Usando integrales, calcular el area de la siguiente region achurada

Solucion:7.5 (u. de l.)2.

5) Comprobar que el area de la region encerrada por la elipse x2

a2 + y2

b2= 1 es igual a πab.

¿Es posible deducir de este resultado, que el area de un cırculo de radio r es πr2?.

Solucion:3.5 (u. de l.)2.

6) Calcular el area acotada por los graficos de

a) y = 2x + 3 e y = x2 − 2x− 8.

b) y = x3 − 8.5x e y = 0.5x.

c) las parabolas y2 = 2px y x2 = 2py.



d) la hiperbola x2− y2 = a2, eje X y la recta que pasa por el origen y un punto enel primer cuadrante (b, c) de esta hiperbola.

e) la curva x2/3 + y2/3 = a2/3.

f) x(y − ex) = sin x, 2xy = 2 sin x + x3, eje Y y la recta x = 1.

Solucion:(a) 36 (u. de l.)2. (b) 40.5 (u. de l.)2. (c) 4p3/3. (d) a2

2 ln b+ca . (e)

3πa2

8 (f) e− 7/6 ≈ 1.55.

7) Verificar que el area de la region acotada por la curva y = ln x−cx , el eje X y la recta

vertical que pasa por el punto maximo de la curva es independiente de c.

8) Para cada una de las regiones del primer cuadrante, calcular el volumen del solido derevolucion obtenido al girarla en torno a cada uno de los ejes coordenados.

a) Region limitada por y = x4+x entre x = 0 y x = 2.

Grafico de y = x4+x Solido al girar en eje X Solido al girar en eje Y

Solucion:VX ≈ 0.28. VY ≈ 3.06.

b) Region limitada por y =√

sinx cos2 x entre x = 0 y x = π.

Grafico de y =√

sinx cos2 x Solido al girar en eje X Solido al girar en eje Y

Solucion:VX ≈ 1.26. VY ≈ 6, 02.

c) Region limitada por y = 1 + cos x entre x = 0 y x = 2π.

Grafico de y = 1 + cos x Solido al girar en eje X Solido al girar en eje Y



Solucion:VX ≈ 29.61. VY ≈ 124, 03.

d) Region limitada por y = 2 + x sinx entre x = 0 y x = π.

Grafico de y = 2 + x sinx Solido al girar en eje X Solido al girar en eje Y

Solucion:VX ≈ 92.89. VY ≈ 98.89.

e) Region limitada por y = 3|x− 3| entre x = 0 y x = 4.

Grafico de y = 3|x− 3| Solido al girar en eje X Solido al girar en eje Y

Solucion:VX ≈ 263.89. VY ≈ 119.38.



9) Otras aplicaciones de la integral definida

a) Calculo de longitudes de porciones de curva.La longitud de la porcion de la curva y = f(x), entre x = a y x = b, viene dadopor L =

∫ ba

√1 + (y′)2 dx. Usando esta informacion,

i) calcular la longitud de la curva y = 14(e2x + e−2x), desde x = 0 a x = 1.

ii) verificar que el perımetro de una circunferencia de radio r es 2πr.

b) Areas de superficies de revolucion.Al girar en torno al eje X la curva y = f(x) entre x = a y x = b, se formaun solido (de revolucion). El area de la superficie de este solido viene dada porSX = 2π

∫ ba y√

1 + [y′]2 dx.

i) Calcular el area de la superficie de revolucion obtenida al girar la curvax2/3 + y2/3 = a2/3, alrededor del eje X.

ii) Verificar que el area de una esfera de radio r es 4πr2.

Solucion:(i) 12πa2/5


Calculo II. Guıa 8 : Regla de L’Hopital-Integrales impropias

30.8 Guıa 2: Regla de L’Hopital-Int. impropias

1) Usando la Regla de H’Hopital, calcular (de ser posible) los siguientes lımites:

a) limx→1

xa − 1xb − 1

b) limx→1

ln lnx

x

c) limt→0

a2t − b2t

t

d) limx→−∞

x3ex

e) limx→1

sinx lnx

f) limx→0+

(cos x)1/x2

Solucion: (a) ab (c) a2

b2(e) 0

2) Un alumno (que no es de este curso) ha calculado los siguientes lımites:

a) limx→∞

2x− sinx

2x + sinx

[∞∞ ]= lim

x→∞

2− cos x

2 + cos x= lim

x→∞

sin x

− sinx= lim

x→∞(−1) = −1

b) limx→0

x2 sin( 1x)

sinx

[∞∞ ]= lim

x→0

2x sin( 1x)− cos( 1

x)cos x

= limx→0

0− cos( 1x)

1= − lim

x→0cos(

1x

)no

existe

En caso que algunos de los lımites precedentes esten mal calculados, indicar la razony luego, calcularlos correctamente.

3) Si una cantidad inicial de dinero A0 se invierte a una tasa de interes i compuesta nveces por ano, el valor de la inversion despues de t anos es

A = A0

(1 +

i

n

)nt

El interes compuesto continuamente corresponde al caso en que n tiende a infinito.Usando la regla de L’Hopital, comprobar que si el interes se compone continuamente,entonces la cantidad despues de t anos, viene dada por A0e

it.

4) Sea f una funcion con derivada continua tal que (2) = 0 y f ′(2) = 7. Calcularlimx→0

f(2+3x)+f(2+5x)x . Solucion: 56

5) Asignar un valor, cuando sea posible, (a) al area de la region R, y (b) al volumen delsolido S que se obtiene al girar R alrededor del eje X.

a) R ={

(x, y) / 0 6 x 6 1, 0 6 y 61√x

}b) R =

{(x, y) / 0 6 x 6 1, 0 6 y 6

13√

x

}c) R =

{(x, y) / 1 6 x 6 1, 0 6 y 6

1x− 1

}6) Dada la funcion y = f(x) = 1

x . Considerar La region R del plano limitada por elgrafico de f , el eje X y la recta x = 0.


Calculo II. Guıa 8 : Regla de L’Hopital-Integrales impropias

a) ¿Es finita o infinita el area de R?

b) Considerar el solido S generado al girar en torno al eje X la region R. ¿Sinningun tipo de calculo, usted estima que el volumen de S es finito o infinito?

c) Realizar los calculos pertinentes para aceptar o refutar su estimacion precedente.

7) En estadıstica, una funcion f se denomina funcion de densidad si f(x) > 0 y∫ +∞−∞ f(x) dx =

1. Si

f(x) ={

2ke−x para x > 00 en los demas casos

es una funcion de densidad, determinar el valor de k.

8) Para cada una de las siguientes integrales impropias, determinar todos los valores deC que la hacen convergente y calcular su valor:

a)∫ +∞

0

(2x

x2 + 1− C

2x + 1

)dx

b)∫ +∞

1

(C

x + 1− 3x

2x2 + C

)dx

c)∫ +∞

1

(Cx2

x3 + 1− 1

3x + 1

)dx

9) La funcion Γ(n) se define como

Γ(n) =∫ +∞

0xn−1e−x dx, n > 0

a) Calcular Γ(1), Γ(2) y Γ(3)

b) Integrando por partes, comprobar que

Γ(n + 1) = nΓ(n)

c) Expresar Γ(n) en terminos de factoriales cuando n es un entro positivo.

10) Comparando integrales impropias.

a) Comprobar que para x > 1 se cumple que e−x26 x · e−x2

.

b) Esbozar el grafico de ambas funciones para x > 1

c) Verificar que∫ +∞1 xe−x2

dx converge

d) En base al resultado precedente, ¿que puede decir de la convergencia de la

integral∫ +∞

1e−x2

dx?

e) Usando un argumento similar al anterior, comprobar que la integral∫ +∞

1

| sinx|x2

dx

converge.


Calculo II Guıa 9 : Sucesiones

30.9 Sucesiones

1) Dadas las sucesiones:

an = (−1)n+1−n bn = (−1)2n+1 + 3n

cn = 1 + 121 + 1

22 + · · ·+ 12n dn = (−1)n+1 · n(−1)n

fn ={

1− n2 si n es par(1n

)3 si n es impargn =

{1 si n = 2 o n = 1

dn−1 + dn−2 si n > 2

a) Encontrar y graficar los 5 primeros terminos de cada sucesion.

b) Decidir cuales son acotadas (si lo son, encontrar las cotas).

c) Decidir cuales son convergentes.

2) Usando teoremas, propiedades y lımites especiales calcular el lımite de cada una delas siguientes sucesiones.

(a)5− 7n− 10n2

2n2 + 3n(b)√

3n2 − 5n + 42n− 7

(c)4 · 10n − 3 · 102n

3 · 102n + 2 · 10n−1

(d)(

13

)n

+14n

(e)1 + 2 + . . . + n

n + 2(f) cos

nπ

2

(g)an + bn

bncon 0 < a < b (h)

sen5n

sen7n(i)

sin 2n

n

(j) n√

an + bn; 0 < a < b (k) n

√an

n+

bn

n(l)(

1− 1n

)2n

(m)(

1 +12n

)n

(n)−n3 + n− 2

n2 + 2n(n)√

n + 1−√

n

(o)(

3n + 53n + 4

)4n

(p) 3√

n (q) n√

n2 − n√

2n

(r)n√

22n

(s)(−1)n(n + 1)√

2n− 3(t)(

1 +1n

) 1n

3) A cada una de las siguientes aseveraciones, responder con Verdadero o Falso. Jus-tificar adecuadamente su respuesta.



a) Si (an) es una sucesion convergente, entonces lim an+1 = lim an.

b) Si (an) es divergente entonces lim 1an

= 0.

c) Si (an) es acotada, entonces (an) es convergente.

d) Si (an) es convergente y ∀n ∈ N : an > 0, entonces lim an > 0.

e) Si ∀n ∈ N : an 6 1, entonces lim an 6 1.

f) La suma de sucesiones divergentes es una sucesion divergente.

g) La diferencia entre una sucesion convergente y una divergentes es una sucesiondivergente.

4) Sea an =(

1 +1n

)n

.

a) Probar que si 0 6 a < b, entoncesbn+1 − an+1

b− a< (n + 1)bn

b) Deducir que bn[(n + 1)a− nb] < an+1

c) Usando a = 1 + 1/(n + 1) y b = 1 + 1/n en (b), verificar que la sucesion (an) escreciente.

d) Usando a = 1 y b = 1 + 1/(2n) en (b), verificar que a2n < 4.

e) Usando (c) y (d), verificar que la sucesion (an) es acotada superiormente por 4.

f) Verificar que existe lim an. ¿Cual es su valor?.

5) Dada la sucesion definida por la recurrencia:

an+2 =2an+1 + an

3, a0 = 0, a1 = 3

demuestre que converge y calcular su limite.

6) Escribir la expresion

1 +1

2 + 12+ 1

2+···

como una sucesion definida por recurrencia, y en base a ella determinar su valor (encaso que exista).

7) a) Sea a1 = a, a2 = f(a1), a3 = f(f(a2)), etc. Si f es una funcion continua ylim an = L, entonces f(L) = L.

b) Ilustrar (a) para f(x) = cos(x) y a = 1. Estimar el valor de L con 5 decimalesexactos.

8) Sean an la sucesion aritmetica de primer termino a y diferencia d, y bn la sucesiongeometrica de primer termino b y razon r.

a) Determinar los terminos generales de estas sucesiones.



b) Escribir estas sucesiones por recurrencia.

c) Sean Sn =∑n

k=1 ak y Tn =∑n

k=1 bk. Estudiar lo lımites de de las sucesionesan, bn, Sn y Tn.


Calculo II. Ing. Civil (2007-1) Guıa 10 : Series de constantes

30.10 Series de constantes

1) Sabiendo que la serie+∞∑n=1

1n2 + 7n + 12

es telescopica. Verificar que ella converge y

hallar su suma. Solucion:14

2) Estudiar la convergencia de las series:

(a)∑ 3n2

4n3 + 1(b)

∑ (√

5− 1)n

n2(c)∑ 1

n(lnn)3

Solucion:(a) Diverge. Esta serie puede ser estudiada usando los criterios: de com-paracion, de comparacion con paso al lımite y de la integral. (b) Converge. (c)Converge.

3) a) Probar que la serie∑ n

en converge.

b) Usando (a), encontrar lim(

2en+nen

)Solucion:(b) 2.

4) Decidir si en cada una de las siguientes series es convergente o divergente.

(a)∑ n + 2

n(n + 1)(b)

∑ 13n + 1

(c)∑ n + 1

n√

3n− 2

(d)∑ n + 1

2n(e)∑ |sen(nx)|

n3(f)∑ n!

(n + 2)!

(g)∑ ln(n)

n√

n + 1(h)

∑ (n + 1)(n + 2)n!

(i)∑ 5n

n!

(j)∑ 32n−1

n2 − n(k)

∑(n

n2 + 2

)n

(l)∑ n!

nn

Solucion:(a) D (b) C (c) C (d) C (e) C (f) C(g) C (h) C (i) C (j) D (k) C (l) C

5) Mostrar en cada caso que la serie converge, y encontrar su suma.

(a)+∞∑n=1

2(4n− 3)(4n + 1)

(b)+∞∑n=1

2n + 1n2(n + 1)2

(c)+∞∑n=1

23n−1

(d)+∞∑n=1

n

(n + 1)!(e)

+∞∑n=2

√n + 1−

√n√

n2 + n(f)∑ 1

n(n + 3)

(g)+∞∑n=1

sennπ2 + 32n

(h)+∞∑n=1

n2 + n + 3n

3nn(n + 1)



Solucion:

a) 0.5 b) 1 c) 3 d) 1 e)≈ 0.7071 f)≈ 0.611 g) 3.4 h) C = 1.5

6) Determinar si las siguientes series alternadas son convergentes o divergentes. En casode converger establecer la naturaleza de la convergencia y estimar el valor de su suma,calculando en cada caso S10.

(a)+∞∑n=1

(−1)n−1

(2n− 1)2(b)

+∞∑n=1

(−1)n−1

n!(c)

+∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1

(d)+∞∑n=1

(−1)n−1

3n− 1(e)

+∞∑n=2

(−1)n−1

ln(n)(f)

+∞∑n=1

(−1)n−1

(n + 1)2

(g)+∞∑n=1

(−1)n−1 n + 1n

(h)+∞∑n=1

(−1)n−1√n(n + 1)

(i)+∞∑n=1

(−1)n−1

(n!)2

(j)+∞∑n=1

(−1)n−1 ln(n)3n + 2

(k)+∞∑n=1

(−1)n−1

2n + 3(l)

+∞∑n=3

(−1)n−1

√n− 2

Solucion:(a) CA, 0.9147 (b) CA, 0.6321 (c) CC, 0.7605 (d) CC, 0.3572

(e) CC, −0.7197 (f) CA, 0.3738 (g) D (h) CC, 0.4180

(i) CA, 0.7761 (j) CC, −0.0723 (k) CC, 0.0979 (l) CC, 0.4507

7) Estudiar la convergencia de las siguientes series:

a)(1!)2

2!+

(2!)2

4!+

(3!)2

6!+

(4!)2

8!+ . . .

b) − 12 ln 2

+1

3 ln 3− 1

4 ln 4+

15 ln 5

− . . .

Solucion:(a) C (b) C

8) A cada una de las siguientes aseveraciones, responder con Verdadero o Falso. Jus-tificar adecuadamente su respuesta.

a)∑ e

√n

√n

converge.

b)+∞∑n=0

1(n + 2)(n + 3)

=12

c)∑ n!xn

nnconverge para x ∈ ]− e, e [



d) Si las series∑

(an + bn) y∑

(an − bn) convergen, entonces las series∑

an y∑bn tambien convergen.

e) Si la serie∑

an es convergente y la serie∑

bn es divergente, entonces∑

(an+bn)es divergente.

f) Si la serie∑

an es divergente y la serie∑

bn es divergente, entonces∑

(an + bn)es divergente.

g) Si la serie∑

an es convergente y an > 0 para todo n, entonces la serie∑ 1

anes

divergente.

h) Si k < e, entonces la serie∑ kn · n!

nnes convergente.

i)1

1 · 2 · 3+

12 · 3 · 4

+1

3 · 4 · 5+ · · · = 1

4j) lim nrn = 0 para r ∈]− 1, 1[.

k)+∞∑n=1

(−1)n+1 1(2n)3

≈ 0.112 (con 3 decimales exactos).

Solucion:(a) F (b) F, es igual a 13 (c) V (d) V (e) V (f) V (g) V (h)

V

9) a) Mostrar que la serie+∞∑n=1

n!nn

es convergente.

b) Usando una consecuencia de lo anterior, verificar que:

limn→∞

3n! + 2nn

nn= 2

10) Determinar todos los valores de x para los cuales convergen las siguientes series:

(a)∑ (2x + 1)n

n + 1(b)

∞∑n=0

(−1)n+1 (x− 5)n

n · 5n(c)∑ n2

2n

(x + 1x + 3

)n

Solucion:(a) −1 < x < 0 (b) 0 < x 6 10 (c) x < −5 o x > −7/3

11) Considerar un cuadrado C1 de lado 1 metro, y una sucesion de cuadrados Cn dondecada cuadrado tiene como lado la cuarta parte del lado del cuadrado anterior, es decirel lado de C2 es 1

4 de metro.

Sean ln = lado del cuadrado Cn y hn = ln − ln+1.

a) Encontrar formulas para ln y hn.

b) Calcular limn→+∞(ln + hn).

c) ¿Converge la serie∑+∞

n=1(−1)n+1ln? En caso afirmativo calcular su lımite

d) Calcular la suma de las areas de todos los cuadrados (en caso que tal sumaexista).



Solucion:(a) ln =(

14

)n−1, hn =

(14

)n (b) 0 (c) C = 0.8 (d) C = 1.0666

12) Considerar un triangulo equilatero T = T1 de lado a = a1. Uniendo los puntos mediosde los lados se forma un nuevo triangulo T2 de lado a2. De la misma manera se formanlos triangulos T3, T4, T5, . . .

Calcular la suma de las areas de todos triangulos (Tn), es decir, la serie

+∞∑n=1

(area de Tn).

Solucion:(a) ln =(

14

)n−1, hn =

(14

)n (b) 0 (c) C = 0.8 (d) C = 1.0666

13) Considerar los cıculos: C1 centrado en el origen, y de diametro 2r, C2 cırculo dediametro igual a r, C3 cırculo de diametro igual a la mitad del diametro de C2.

En general Cn+1 es el cırculo de diametro igual a la mitad del diametro de Cn

Se pide:

a) Determinar los terminos generales de las siguientes sucesiones An = area de Cn

y Ln = longitud de Cn.

b) Calcular limn→∞(An + Ln)

c) Decidir la convergencia de las series∑+∞

n=1An y∑+∞

n=1(−1)n+1Ln. En casocaso de convergencia calcular las sumas.

Solucion:

(a) An=π( r

2n−1

)2, Ln=2π

( r

2n−1

)(b) lim

n→∞

(π( r

2n−1

)2+ 2π

( r

2n−1

))= 0

(c)+∞∑n=1

An =4πr2

3y

+∞∑n=1

(−1)n+1Ln =4πr

3

14) A los pacientes que tienen ciertos problemas cardıacos generalmente se les trata con di-gitoxina, un derivado de la planta digitalis. La tasa a la cual el cuerpo de una personaelimina la digitoxina es proporcional a la cantidad de digitoxina presente. En un dıa(24 horas) alrededor del 10% de cualquier cantidad de droga dada sera eliminada.Suponer que diariamente se le da a un paciente una dosis de mantenimiento de 0.05miligramo (mg). Determinar, aproximadamente, la cantidad de digitoxina presenteen el paciente:

a) Al final de 5 dıas de iniciado el tratamiento.

b) Al final de n dıas de iniciado el tratamiento.

c) Despues de muchos anos de tratamiento.



Solucion:

(a) ≈ 0.1842795

(b) 0.05(0.9 + 0.92 + 0.93 + ... + 0.9n) = 9 · 0.05(

1−(

910

)n)(c) ≈ 0.05 · 0.9

1− 0.9= 0.45


Calculo II. Ing. Civil (2007-1) Guıa 11 : Series de potencias

30.11 Series de potencias

1) Encontrando intervalos de convergencia

Encontrar el radio e intervalo de convergencia de:

(a)+∞∑n=1

xn

n23n(b)

+∞∑n=1

(−1)n+1 (2x)n

n!(c)

+∞∑n=1

n!xn (d)+∞∑n=1

(−1)n+1 xn

n

e)+∞∑n=0

3nxn

(n + 1)2f)

+∞∑n=0

(−3)nx2n

n + 1g)

+∞∑n=0

n(x + 10)n

(n2 + 1)4nh)

+∞∑n=0

n!(2n)!

xn

Solucion:(a) [−3, 3] (b) ]−∞,+∞[ (c) {0} (d) [−1, 1[

2) Con respecto al radio de convergencia, R, de la serie de potencias∑

an(x− a)n:

a) Un alumno A afirma que

R = limn→+∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ ,donde 0 6 R 6 +∞, en caso que este lımite exista.

b) Un alumno B afirma que

R =1

limn→+∞

n√|an|

,

en caso que este lımite exista, y con las convenciones 10 = +∞, 1

+∞ = 0.

¿Usted que opina?

3) Chequeando series de Taylor graficamente

El grafico de una funcion y = f(x) es

a) Un alumno A afirma que la serie de Taylor de esta funcion, en torno al 1, es

0.5 + 0.5(x− 1)− (x− 1)2 − 0.5(x− 1)3 + · · ·

¿Que opina usted?.



b) Un alumno B afirma que la serie de Taylor de esta funcion, en torno al 1, es

1.5− 0.5(x− 1) + (x− 1)2 − 0.5(x− 1)3 + · · ·

¿Que opina usted?.

c) Un alumno C afirma que la serie de Taylor de esta funcion, en torno al 2, es

2.1− 0.5(x− 2) + 2(x− 2)2 − 0.5(x− 2)3 + · · ·

¿Que opina usted?.

4) Determinando series de Taylor y Series de MacLaurin

Determinar la serie de Taylor para la funcion dada en el punto especificado e indicarintervalo de validez. Expresar los resultados usando la notacion de sumatoria.

(a) e2x+e−2x

2 en x = 0 (b) ln 1+x1−x en x = 0

(c)∫ x0

sin tt dt en x = 0 (d) x2−2x+19

(x−3)2(2x+5)en x = 0

(e) cos x en x = π/4 (f) lnx en x = e

(g) xm en x = 1 (h)∫ x0 sin t2dt en x = 0

(i) sin(x2) en x = 0 (j) sin2 x en x = 0

Solucion:(a)∑+∞

n=04n

(2n)!x2n, R (c)

∑+∞n=1

(−1)n+1x2n−1

(2n−1)(2n−1)! , R (e)∑+∞

n=0(−1)n+1(x−π)2n

(2n)! ,R(g)

∑+∞n=0

(mn

)(x− 1)n, 0 < x < 2 (i)

∑+∞n=0

(−1)nx4n+2

(2n+1)! , R

5) Calculando sumas de series

a) Encontrar la suma de la serie:

11! · 3

+1

2! · 4+

13! · 5

+ · · ·+ 1n! · (n + 2)

+ . . .

Sugerencia: A partir de la serie de ex, encontrar la serie de xex, e integrarentre 0 y 1.

b) Encontrar la suma de la serie:

1− 13

+15− 1

7+ . . .

c) Encontrar la suma exacta de:

i) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . .

ii)x3

1 · 3+

x5

3 · 5+

x7

5 · 7+

x9

7 · 9+ . . .



6) Determinando series de potencias, a partir de series de potencias conocidas

Usando la lista basica de series de potencias, encontrar los 4 primeros terminos nonulos de las series de MacLaurin de:

a) ex sinx b) cos x ln(1 + x) c)sinx

1 + xd) sec x e) esin x

Solucion:(a) x + x2 + x3

3 −x5

30 − · · · (c) x− x2 − 5x3

6 −5x4

6 + · · ·

7) Comparando graficamente una funcion con su serie de Taylor o MacLaurin

Graficar en un mismo sistema de coordenadas:

a)1

1 + xjunto a las siguientes funciones correspondientes a las primeras sumas

parciales de su serie de potencias: 1, 1 − x, 1 − x + x2, 1 − x + x2 − x3 y1− x + x2 − x3 + x4.¿Que se puede observar de los graficos obtenidos?

b) Realizar lo mismo para la funcion cos x

Sugerencia: Usar una calculadora con capacidad grafica.

8) Calculando lımites usando series de Taylor o MacLaurin

Encontrando en primer lugar la serie correspondiente a la funcion dada, calcular cadauno de los siguientes lımites:

(a) limx→0

1− cos x

x2(b) lim

x→0

ln(1 + x)e2x − 1

(c) limx→0

sinx− x

tanx− x(d) lim

x→1

e2x − e2

lnx

Solucion:(a) 12 , (c) −1

2

9) Calculando aproximadamente integrales definidas usando series de poten-cias

Encontrando en primer lugar la serie correspondiente a la funcion dada, aproximar laintegral dada con un error menor que 0.0001.

a)∫ π/2

0

sinx

xdx b)

∫ 1

0cos x2dx c)

∫ 1/2

0

ln(1 + x)x

dx d)∫ 1

0e−x2

dx

Solucion:(a) ≈ 1.852572637, (c) ≈ 0.4484580498

10) Calculando una serie que surge con el juego de una moneda

a) Representar en serie, la funcion1

(1− x)2y hallar su intervalo de convergencia.

b) Ajustar el ındice en la serie precedente, de modo que comience en n = 1.



c) Si se lanza al aire repetidas veces una moneda, la probabilidad de que la primeracara se produzca en la n-esima tirada es:

P (n) =(

12

)n

Cuando ese juego se repite muchas veces, el numero medio de tiradas hasta quesalga la primera cara es:

E(n) =+∞∑n=1

n · P (n)

Hallar E(n).

11) Calculo de π con siete cifras decimales correctas

a) Comprobar que para xy 6= −1:

arctanx− arctan y = arctanx− y

1 + xy

siempre que el primer lado de la relacion este entre −π/2 y π/2

b) Comprobar que

arctan120119− arctan

1239

=π

4

c) Deducir la siguiente formula de John Machin:

4 arctan15− arctan

1239

=π

4

d) Usando la serie de MacLaurin de arctan, comprobar que

0.197395560 < arctan15

< 0.197395562

e) Verificar que

0.004184075 < arctan1

239< 0.004184077

f) Finalmente, deducir que con 7 cifras decimales exactas:

π ≈ 3.1415927


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