CALCULO I - E. T. S. | Ingenieros de Caminos,...

$: CALCULO I - E. T. S. | Ingenieros de Caminos, …caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/102/pdf/...7.{Car acter, y suma en caso de ser convergente, de X1 n=1 1 (2n¡1)(2n)(2n+1):$
CALCULO I

Ejercicios propuestos en examen durante los cursos

1993/94 a 2007/08

Jaime Fe Marqués E.T.S. Ingenieros de Caminos A Coruña

INDICE

Página 1. PROBLEMAS.

-Curso 93/94. .…………………………………1 -Curso 94/95. ………………………………….4 -Curso 95/96. ……………………………….…8 -Curso 96/97. ………………………………...12 -Curso 97/98. ………………………………...15 -Curso 98/99. ………………………………...18 -Curso 99/00. ………………………………...21 -Curso 00/01. ………………………………...24 -Curso 01/02. ………………………………...27 -Curso 02/03. ………………………………...30 -Curso 03/04. ………………………………...34 -Curso 04/05. ………………………………...36 -Curso 05/06. ………………………………...38 -Curso 06/07. ...................................................41 -Curso 07/08. ...................................................43

2. INTEGRALES.

-Curso 93/94. ………………………………...45 -Curso 94/95. ………………………………...46 -Curso 95/96. ………………………………...47 -Curso 96/97. ………………………………...49 -Curso 97/98. ………………………………...50 -Curso 98/99. ………………………………...51 -Curso 99/00. ………………………………...52 -Curso 00/01. ………………………………...53 -Curso 01/02. ………………………………...54 -Curso 02/03. ………………………………...55 -Curso 03/04. ………………………………...56 -Curso 04/05. ………………………………...57 -Curso 05/06. ………………………………...58 -Curso 06/07. ………………………………...59 -Curso 07/08. ………………………………...60

3. TIPO TEST. ………………………………...62 4. SOLUCIONES.

-Problemas. ………………………………...71 -Integrales. ………………………………...91 -Test. ………………………………...99

1. PROBLEMAS

Primer Parcial. Curso 93/94

1.– Sea el numero complejo z = a + ib, donde

a =n∑

j=0

cos(jθ)cosj(θ)

; b =n∑

j=0

sen(jθ)cosj(θ)

.

Obtener los valores de θ (0 < θ < π) para los que z es un numero imaginario puro.

2.– Determinar los valores de a y α de modo que α = loga+i i sea un numero real.

3.– Calcular los siguientes lımites:

a) lımn→∞ [logn(n + 1)]n.

b) lımn→∞

an+1 + bn+1

an + bn , a > 0, b > 0.

c) lımn→∞

(tan 1

n2 + 1+ tan 1

n2 + 2+ · · ·+ tan 1

n2 + n

).

d) lımn→∞

n2 ln(5 · 21/n − 4)e + e1/2 + e1/3 + · · ·+ e1/n .

4.– Considerando los puntos del plano A(0, 0) y B(1, 0), se construye la sucesion {Pn} del siguientemodo:

–El primer elemento es P1(a, b).

–Tomando Q1 como el punto medio del segmento AP1, se traza la recta BQ1. P2 es elpunto medio del segmento BQ1.

–Se toma Q2 como el punto medio del segmento AP2. P3 es el punto medio del segmentoBQ2.

–Y ası sucesivamente. . .

Escribir la expresion de Pn. ¿Cual es la posicion lımite cuando n tiende a infinito?

Segundo Parcial. Curso 93/94

5.– Si∞∑

n=1

an es convergente, estudia el caracter de∞∑

n=1

11 + an

, an 6= −1 ∀n.

6.– Caracter, en funcion del parametro p, de∞∑

n=1

(√

np + 1−√np).

–1–

7.– Caracter, y suma en caso de ser convergente, de

∞∑

n=1

1(2n− 1)(2n)(2n + 1)

.

(Dato :

∞∑

n=1

(−1)n+1

n= ln 2

).

8.– Un deposito de agua tiene forma de cono recto de base circular, con el vertice hacia abajo. Sualtura es 10m y el radio de la base 4m.

Si el deposito se llena con un caudal constante de 5m3/min, ¿a que velocidad se eleva el niveldel agua cuando la profundidad es de 5m?

9.– Para el trazado de una lınea ferroviaria de alta velocidad, el parametro basico en tramo demontana es la pendiente (Si se admite una pendiente elevada, la velocidad media del trendisminuye; a cambio, el tramo se acorta. Si, por el contrario, se impone una pendientemoderada, el tren circula mas deprisa; en contrapartida, la longitud del tramo aumenta).Su valor optimo es aquel para el que el tren recorre el tramo en el menor tiempo posible.

En Piedrafita (tramo de la futura lınea La Coruna–Pekın), la longitud l y la pendiente p serelacionan por la siguiente expresion:

l = 30− 3p

{l en kmp en o/oo

La velocidad media v de los trenes viene dada por:

v = 350 e−p/8

{v en km/hp en o/oo

Ademas, la pendiente debe estar comprendida obligatoriamente entre 2 o/oo y 3.5 o/oo .

Con todos estos datos, el ingeniero encargado del proyecto deduce el tiempo que emplearıa eltren en recorrer el tramo en funcion de su pendiente p. Derivando e igualando a 0 halla elvalor de la pendiente que escoge para su propuesta de trazado.

a)¿Cual es el valor de la pendiente calculado de este modo?

A los pocos dıas, el ingeniero es cesado de su puesto.

b) ¿Cual es el valor de la pendiente que deberıa haber utilizado en su propuesta de trazado,y por que?

Examen Final. Curso 93/94

10.– Resolver la ecuacion cosh2 z + senh2 z + tanh2 z = 1, z ∈ IC.

Nota: a) cosh z = ez + e−z

2 ; b) senh z = ez − e−z

2 ; c) cosh2 z − senh2 z = 1.

11.– Dos individuos parten a la vez, del mismo extremo A del diametro AB de una circunferenciade radio r. Uno de ellos recorre la circunferencia en sentido horario con velocidad v. El otrorecorre, con la misma velocidad el diametro AB; al llegar a B realiza el recorrido inverso yası sucesivamente. Demostrar que nunca se encuentran.

–2–

12.– Sea IR, con la distancia usual. Se considera el conjunto

A ={

x ∈ IR / x = (−1)n n− 1n

, n ∈ IN}

.

Hallar◦A, A′, F r(A), A, Ext(A).

13.– Obtenerlım

n→∞1√n2

+1√

n(n + 1)+ . . . +

1√n(n + n)

.

14.– Estudiar el caracter de ∞∑

n=1

ln n

n2 .

15.– Estudiar la convergencia uniforme de la sucesion funcional fn = 1− nx2

1 + nx2 .

16.– Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 en un entorno del punto a = 1 de la funcion

f(x) =2x + 1

x(x + 1).

17.– Con una cartulina de 8× 5 metros se desea construir una caja sin tapa de volumen maximo.Hallar las dimensiones de dicha caja.

Examen Extraordinario. Curso 93/94

18.– Hallar los numeros complejos z tales que su cuadrado es igual a su conjugado.

19.– Obtener lımn→∞

1r + 2r + ... + nr

nr + 1 , r > 0.

20.– Caracter de las series:

a)∞∑

n=1

ann!nn+p b)

∞∑

n=2

n

(lnn)ln n.

21.– Caracter, y suma en caso de ser convergente, de la serie:

∞∑

n=1

1(2n− 1)2

.

(Dato :

∞∑

n=1

1n2 =

π2

6

).

–3–

22.– Un avion se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (suponemos la Tierra plana). Laruta de vuelo pasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avion y elpunto P disminuye a razon de 4 km por minuto en el instante en que esta distancia es de 10 kmCalcular la velocidad del avion en km/h en ese instante.

23.– Sea f : [0,∞) −→ IR dada por

f(x) =

{3− x2

2 si 0 ≤ x ≤ 11x si x > 1 .

Estudiar si es posible aplicar el teorema de los incrementos finitos a f en el intervalo [0, 2]. Encaso afirmativo, obtener el valor o valores de ξ mencionado en el teorema.


24.– Hallar el lugar geometrico de los afijos de z ∈ IC, tales que el argumento de az2 sea

π2 , a ∈ IR, a 6= 0 ( z = conjugado de z).

25.– Sea z un numero complejo. Se considera el triangulo formado por su inverso z−1, y las raıcescuadradas de z. Determinar z para que dicho triangulo sea equilatero.

26.– Sea la sucesion recurrente

an+1 =an

2+ 1 ; a1 = 3.

Estudiar la convergencia de dicha sucesion, y, en su caso, calcular su lımite.

27.– Estudiar el caracter de la serie

∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)2 · 4 · 6 · 8 · · · 2n

· np

segun el valor del parametro p ∈ IR.

28.– Estudiar la convergencia y, en su caso, sumar la serie

∞∑

n=0

n2

(n + 2)! 2n,

(ex =

∞∑

n=0

xn

n!

)

–4–

29.– Consideremos un cuadrado, D1, inscrito en un cırculo de radio R, C1. A este cuadrado, D1,a su vez, le inscribimos un cırculo C2. Este proceso se repite n veces.

Se pide calcular el lımite, cuando n tiende a infinito, de:

a) El area sombreada de la Figura 1.

b) La suma de los perımetros de los cırculos.

c) El area sombreada de la Figura 2.


30.– Sea f(x) = arcsen 2xx2 + 1

se pide:

a) Obtener el desarrollo de Taylor, explicitando los coeficientes.

b) Calcular el radio de convergencia del desarrollo en serie de f(x) mediante el criterio deCauchy. Definir el rango estricto de valores de x para los que la serie converge.

c) A la vista del resultado,¿existira alguna otra funcion conocida con el mismo desarrollo?

d) Relacionar ambas funciones, mediante una expresion algebraica, identificando todos losparametros.

31.– Un cilindro se ha obtenido haciendo girar, alrededor del eje OX, un rectangulo tal que su baseesta sobre el eje OX y todo el rectangulo esta contenido dentro de la region del plano limitadapor la curva y = 1

x2 + x + 1y el eje OX. Encontrar el cilindro de superficie lateral maxima.

32.– Sea la funcion de dos variables:

z = f(x, y) =

y2

2x x 6= 0

0 x = 0.

Calcular en el origen los lımites direccionales y el funcional, ası como sus derivadas direccionalesy parciales. ¿Es diferenciable en dicho punto?

–5–

33.– Sea z = f(x, y) = x2y.

a) Calcular d2f .

b) Si x = 2t e y = t2, expresa el resultado anterior en funcion de t.

c) Considera ahora la funcion compuesta h / z = f(2t, t2) = h(t). Calcula d2h. ¿Coincideel resultado con el del apartado anterior?

d) Considera en general z = f(x, y) = f [x(t), y(t)] = h(t). ¿Sabrıas hallar la relacion entredh y df? ¿Y entre d2h y d2f?


34.– Si A y B son los afijos de dos numeros complejos, tales que A y B son simetricos respecto ay = x , C es el afijo de la suma, y D el afijo del producto, se pide:

a) Lugar geometrico de C.

b) Lugar geometrico de D.

c) Lugar geometrico de A , si el angulo CBD= π2 radianes.

d) Lugar geometrico de B , si el angulo CBD= π2 radianes.

35.– Estudiar, en funcion del parametro p, el caracter de la serie∞∑

n=2

np

(1√n− 1√

n− 1

).

36.– Una rana de 1 cm de longitud desea atravesar una charca. Se coloca con las patas traserasjusto en el borde de la misma y empieza a saltar, con descansos de dos segundos entre salto ysalto. Si cada salto mide 3/4 del anterior y el primero es de un metro, se pide:

a) Averiguar si lograra tocar con su cabeza el otro lado de la charca.

b) Suponiendo que consiga su proposito y considerando instantaneos los saltos, calcular laexpresion exacta del tiempo necesario para ello (se dejara indicada la expresion obtenida).

37.– Se encarga a una fabrica una chapa de ancho 3B m, que se va a utilizar plegadaconvenientemente para construir un canalon de drenaje de aguas pluviales. La seccion quese ha adoptado para el canal es trapecial, segun la figura.

B B

B

� �

–6–

El caudal que desagua la seccion llena viene dada por Q = KA5/3, donde Q es el caudaldesaguado (m3/seg), K una constante dimensional (m−1/3seg−1) y A el area de la seccionllena (m2).

Se pide:

a) Demostrar que el caudal sera maximo cuando el area sea maxima.

b) Obtener el valor de θ que hace que el caudal desaguado sea maximo.

38.– Sea la funcion

f(x) =x(lnx)2

(x− 1)2, x ∈ IR.

a) Redefinir adecuadamente la funcion y = f(x), de modo que sea continua en [0, 2].

b) Obtener el valor de lımx→0+

f′(x).

39.– Dada la funcion f(x, y, z) = ln( 1xyz ), se pide:

a) Regiones del espacio en las que esta definida.

b) Regiones del espacio en las que es diferenciable.

c) Expresion de su Hessiano en el punto (1,–1,–1).

d) Obtener los tres primeros terminos del desarrollo en serie de Taylor en (1,–1,–1).

e) Calcular la expresion mas desarrollada posible de su diferencial n-esima.


40.– Obtener todas las soluciones posibles de la siguiente ecuacion, y representarlas graficamente:

sen z = i senh z; z ∈ IC.

41.– Se considera el conjunto A ⊂ IR,

A ={

0 ≤ x ≤ 2} ⋃{

x =6n− 3

2n, n ∈ IN

} ∖ {x =

13n

, n ∈ IN}

.

Hallar los conjuntos adherente, interior, derivado y frontera de A.

42.– Calcular el siguiente lımite,

lımn→∞

(an + b

an + c

)n

; a ∈ IR; b, c ∈ IR+.

–7–

43.– Estudiar, en funcion de los valores de los parametros α y β, el caracter de la serie

∞∑

n=1

nαeβ√

n; α, β ∈ IR.

44.– Siendo α y β las raıces reales positivas de la ecuacion ax2 + bx + c = 0, hallar, en funcion dea, b, c, α y β, el desarrollo en serie de McLaurin de la siguiente funcion:

y = ln(cx2 − bx + a); a, c ∈ IR+.

45.– Sea la funcion:

y = f(x) =

x sen(π/x) sen 1sen(π/x) si x 6= 0, x 6= 1

n

0 si x = 0 o x = 1n .

Estudiar su continuidad y derivabilidad.

46.– Se considera la familia de funciones de dos variables: f(x, y) = tan(x2 + y2)p + x2 + y2 .

a) En el caso de ser p = 0, se pide:

a.1. Hallar el valor que hay que asignar a la funcion en el origen para que sea continuaen dicho punto.

a.2. Estudiar su continuidad en el resto de R2.

a.3. Calcular en el origen sus derivadas direccionales y parciales. Tomar como valor dela funcion en ese punto el hallado en el apartado a.1.

b) Si p = 1, se pide:

b.1. Estudiar su diferenciabilidad en el origen.

b.2. En caso de ser diferenciable en M(√

π2 ,

√π2

), calcular su diferencial total en M .


47.– Dado el numero complejo z, se define la transformacion w = 1(1 + z2)

. Si z tiene modulo

unidad, hallar el lugar geometrico descrito por w.

48.– Calcular: lımn→∞

n∑

i=1

i · sen 1n2 + i

–8–

49.– Sea la sucesion de termino general

an =bnn−b

1 + 2 + ... + n + (n + 1), b ∈ IR.

Teniendo en cuenta que b2 = 1, se pide:

a) Segun los distintos valores de b, estudiar el caracter de la serie∞∑

n=1

an.

b) Segun los distintos valores de b, calcular la suma de la serie, en los casos en que proceda.


50.– Sea f(x) = xex . Se pide:

a) Calcular la expresion de su derivada n-esima fn(x).

b) Obtener el desarrollo de McLaurin, explicitando los coeficientes.

c) Calcular el radio de convergencia del desarrollo en serie de f(x).

d) Dar la expresion, particularizada para la funcion f(x), del resto de Lagrange.

51.– Demostrar que la ecuacion e−x2= ln x se satisface exactamente para un valor de x.

52.– Sea z = f(x, y) = 1−√

x2 + y2. Sean O(0,0) y P(1,1). Se pide:

a) Estudiar la continuidad en O, calculando el lımite funcional por la definicion de lımite.

b) Derivada direccional en O.

c) Continuidad de las derivadas parciales en O.

d) Diferenciabilidad en O.

e) Diferenciabilidad en P.

f) Diferencial de la funcion en P, si existe.

g) Calcular y dibujar el vector gradiente en P, si existe.

h) Dibujar la curva de nivel que pasa por P. Relacion entre este resultado y el g).

i) ¿Posee la funcion algun extremo relativo?


53.– Demostrar que se cumple (a, b, c, d ∈ IR):

a){

0 < a < b0 < c < d

}⇒ ac < bd b)

{a < b < 0c < d < 0

}⇒ ac > bd.

–9–

54.– Sea A el conjunto de ceros de la funcion f : IR \ {0} −→ IR, f(x) = sen 1x . Determinar los

siguientes conjuntos:◦A, A, A′, (A′)′, Fr(A).

55.– Calcular el siguiente lımite: lımn→∞

(1− an2

3n2 − 2

)bn2

; a < 0, b ∈ IR.

56.– Calcular la suma, si existe, de las siguientes series:

a) −11 + 1

2 + 14 − 1

3 + 16 + 1

8 − 15 + 1

10 + 112 + ...

b)∞∑

n=1

(n +

n

α+

n

α2+

n

α3+ ... +

n

αn+1+

n

αn+2

)

(n + 1)! , α > 0.

57.– Estudiar la continuidad de la funcion:f : IR \ {0} −→ IR, f(x) = E(

1x

)indicando el conjunto

A ⊂ IR en el que es continua. (E(y)= parte entera de y).

58.– Un camion debe recorrer un cierto trayecto de longitud L a velocidad constante v (en kilometrospor hora). El conductor cobra cc = 2.000 pesetas por hora. El litro de gasoil cuesta cl = 100pesetas y el consumo cg (en litros cada 100 kilometros) depende de la velocidad segun laexpresion

cg = 20 +v2

1000, v > 0.

A esto hay que anadir un coste de amortizacion del camion de ca = 50 pesetas por kilometro.

a) Determinar la velocidad que produce un menor coste por kilometro y calcular este.

b) Indicar de que variables dependen el coste por kilometro y la velocidad optima.

c) Suponiendo que las normas de trafico exijan a la velocidad cumplir la condicion 50 ≤ v ≤90 km/h , determinar en este caso cual sera la velocidad optima, justificando que la solucionobtenida es realmente la mas economica.

59.– Probar que la funcion h(x, y) = f(u) + g(v), u = x − y, v = x + y; f, g ∈ C2; x, y ∈ IRsatisface la relacion:

∂2h

∂x2 =∂2h

∂y2 .


z = f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si x2 + y2 6= 0

0 si x2 + y2 = 0.

Se pide:

–10–

a) Estudiar la continuidad en O(0,0), calculando el lımite funcional por la definicion delımite.

b) Derivada direccional segun una direccion generica, en el punto P(1,0), aplicando ladefinicion.

c) Derivadas parciales en O(0,0).

d) Estudiar la diferenciabilidad en IR2.

e) Diferencial en Q(1,1), si existe.

f) Calcular y dibujar el vector gradiente en Q(1,1).

g) Dar la ecuacion en forma explıcita, de la curva de nivel que pasa por Q(1,1).


61.– Hallar todas las raıces de la ecuacion cos z = iSh(2z), z ∈ IC, y representarlas graficamente.

62.– Hallar el siguiente lımite:

lımn→∞

tan(a +b

n)

tan a

n

; a ∈ (0,π

2), b 6= 0.

63.– Estudiar el caracter de la serie∞∑

n=2

1np(lnn)q ; p, q ∈ IR.

64.– Sea f(x) = (a− x2)n ; x, a ∈ IR, n ∈ IN. Se pide:

a) Obtener el desarrollo en serie de Maclaurin, explicitando los coeficientes.

b) Calcular el radio de convergencia del desarrollo en serie de f(x).

c) ¿ Sabrıas dar otro nombre al desarrollo en serie que acabas de obtener?

65.– Para construir la estructura de una cubierta, se dispone de L metros de perfil metalico. Laforma de la cubierta sera una piramide recta de base cuadrada. ¿ Que longitud ha de tenercada arista para que la piramide tenga el maximo volumen? (Las aristas de la base miden ametros; el resto de las aristas b metros).

66.– Estudiar en el origen la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de la funcion:{

f(x, y) = (x2 + y2) sen 1√x2 + y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

–11–


67.– Obtener la condicion que deben cumplir los complejos u y v para que sean realessimultaneamente las tres expresiones siguientes: a) u + v

1 + uv ; b) u− v1 + uv i; c) 1− uv

1 + uv .

68.– Dados ab, c

d∈ IQ, se cumple a

b≤ c

d. Demostrar la relacion a

b≤ a + c

b + d≤ c

d.

69.– Sea el conjunto A = {am + bn}m,n∈IN, siendo 0 < a < b < 1; a, b ∈ IR. Se pide:

a) A; b) A′; c)◦A; d) Fr(A); e) Razonar si A es abierto o cerrado.

70.– Calcular los siguientes lımites:

a) lımn→∞

[2 ln

(1− 1

n2 + 1

)+ 3 ln

(1− 1

n2 + 2

)+ ... + (n + 1) ln

(1− 1

n2 + n

)].

b) lımn→∞

ln[(

2

√1 + 2

√α

) (3

√1 + 3

√α

)...

(n

√1 + n

√α

)]

sen11

+ sen12

+ ... + sen1n

, α > 0.

71.– Estudiar el caracter de la siguiente serie y, en su caso, calcular su suma:

11− 1

62 −142 −

122 +

132 −

1122 −

1102 −

182 +

152 −

1182 −

1162 −

1142 + . . .

( ∞∑

n=1

1n2 =

π2

6

).

72.– Estudiar la convergencia de la serie∞∑

n=1

(n!)aebn

nn ; a, b ∈ IR.


73.– Sea f(x) = x2 cos ( bx2), b ∈ IR. Se pide:

a) Obtener el desarrollo de Mac Laurin, explicitando los coeficientes.

b) Deducir el radio de convergencia del desarrollo en serie de f(x).

74.– Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes simultaneamente a y1 = x2; y2 = −x2 − 1.

–12–

75.– Sea z = f(x, y) = (x + y)2 sen 1x + y , ∀ (x, y) ∈ IR2. Sean O(0, 0) y P (a,−a), a ∈ IR, a 6= 0.

Se pide:

a) Redefinir la funcion donde sea necesario para que sea continua.

Para esta nueva funcion, se pide:

b) Estudiar la continuidad de la funcion en IR2.

c) Derivada direccional en P.

d) Diferenciabilidad en O, aplicando la definicion.

e) Diferenciabilidad en P, aplicando la definicion.

f) Enunciar los posibles maximos y mınimos relativos.

76.– Calcular el diametro de una esfera, tal que al introducirla en un recipiente conico lleno de agua(angulo conico 2α , altura m), se derrame la mayor cantidad posible de lıquido (fig. 1).

Nota: Volumen de un casquete esferico (fig. 2): V c = π3h2(3r − h).


77.– Hallar el lugar geometrico de los complejos z, tales que el argumento de zz − 3 es π

2 .

78.– Estudiar el caracter de la serie de termino general bn = an

11

+12

+13

+ . . . +1n

, a ∈ IR.

79.– Determinar el caracter y, si procede, la suma de la siguiente serie:

112 + 4

22 − 132 + 6

42 − 352 + 8

62 − 572 + 10

82 − 792 . . .

(Dato :

∞∑

n=1

1n2 = π2

6

)

80.– Sea f(x) = ex

1− x . Se pide:

a) Obtener la derivada n-esima, fn.

b) Desarrollo en serie de Mac Laurin, explicitando termino general.


d) Termino complementario de Lagrange, particularizado para la funcion f .

–13–

81.– En un cono circular recto de radio R1 y altura h1 (cono 1), se inscribe otro cono de volumenmaximo (cono 2), de base paralela a la base del cono 1, y con el vertice situado en el centrode la base del cono 1. Se pide:

a) Obtener el volumen del cono 2.

b) Si se repite sucesivamente la operacion anterior, indicar el termino general de la ley desucesivos volumenes.

c) Suma de estos volumenes, si la operacion se repite indefinidamente.

82.– La parabola y = x2

2 representa un rıo y la recta y = x− 2 un canal. Queremos construir unsegundo canal para llevar agua del rıo al canal existente. Considerando unicamente criteriosde distancia, se pide:

a) Puntos entre los que hay que trazar el canal, para que su construccion resulte lo maseconomica posible.

b) Longitud del canal de coste mınimo.

Nota:

1. El problema se resolvera por extremos de funciones de varias variables.

2. Se llamara P1(x1, y1) al extremo del canal nuevo en el rıo y P2(x2, y2) al extremo enel canal ya existente.

3. Debe comprobarse que se trata de un mınimo.


83.– Demostrar que se cumplen las dos afirmaciones siguientes:

a) “La combinacion lineal de dos numeros complejos cualesquiera tiene como conjugado lacombinacion lineal de los conjugados de los complejos”.

b) Sea la funcion f : IC −→ IC, f(z) =n∑

j=0

ajzj ; aj ∈ IR, n ∈ IN.

“La imagen, por f , del conjugado de z es igual al conjugado de la imagen de z”.

84.– Sea a ∈ IR+. Demostrar que a−1 ∈ IR+, siendo a−1 el inverso de a.

85.– Sea A ⊂ IR el conjunto {0.2, 0.22, 0.222 . . . ; 0.02, 0.022, 0.0222 . . . ; 0.002, 0.0022, . . . ; . . .}.Determinar los conjuntos: a)

◦A, b) A, c) A′, d) Fr(A), e) Aisl(A).

86.– Calcular el lımite: lımn→∞

n∑

i=1

(i + 1) arctan 32n2 + i

.

–14–

87.– Estudiar el caracter, segun el valor del parametro a > 0, de la serie∞∑

n=1

nn

an · 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1).

88.– Sea f(x) = x · arg thx. Se pide:

a) Obtener la derivada n-esima, fn.

b) Desarrollo en serie de Mac Laurin, explicitando termino general.


d) Termino complementario de Lagrange, particularizado para la funcion f .

89.– Se va a construir un tanque de almacenamiento de gas de chapa metalica, cuya forma va aconsistir en un cilindro recto circular, rematado en ambos extremos por dos semiesferas.Elcoste por metro cuadrado de material de las semiesferas es el doble que el coste por metrocuadrado del cilindro. Si la capacidad deseada es de 100π m3, se pide calcular que dimensionesminimizaran el coste de material del deposito.


z = f(x, y) =

arctan x4 + y4

x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0)

a (x, y) = (0,0)

Se pide:

a) Determinar el valor de a, para que la funcion sea continua en el origen de coordenadas.

b) Estudiar la continuidad de la funcion en IR2.

c) Derivadas parciales en O(0,0).

d) Estudiar la diferenciabilidad en IR2.

e) Diferencial en Q(1,1), si existe.

f) Sea s la direccion que forma un angulo α con la parte positiva del eje OX. Determinarel valor que debera tener α para que f ′s(1, 0) = 1

2 .

Nota: f ′s es la derivada direccional a lo largo de la direccion s.


91.– Se sabe que, si a los vertices de un polıgono regular en el plano complejo les aplicamos latraslacion que lleva el centro del polıgono al origen, obtenemos los vertices de un polıgonoregular centrado en z = 0.

Un triangulo equilatero T tiene un vertice en z = 0 y, de los otros dos, z1 y z2 (numerados ensentido antihorario), el primero pertenece al primer cuadrante. Calcular z1 y z2 sabiendo que,al aplicar a T la traslacion descrita arriba, se obtienen las tres raıces cubicas de z1.

–15–

92.– Se considera el siguiente subconjunto de IR:

A ={[

12,32

]∩ (IR \ IQ)

} ⋃ {(1, 2) ∩ IQ

} ⋃ {n− 12n + 2

: n ∈ IN}

.

Con respecto a la distancia usual en IR, se pide:

a) Determinar el interior, la adherencia y los puntos aislados de A. Determinar tambien lospuntos de la frontera que pertenezcan a A.

b) Decidir si A es abierto, si A es cerrado y si A es compacto, justificando las respuestas.


[(na + 1n3/2

)2

+(

na + 2n3/2

)2

+ . . . +(

na + nn3/2

)2]

; a ∈ IR.

94.– Estudiar el caracter, en funcion de a, b ∈ IR, de la serie∞∑

n=1

(n!)a

3b · 6b . . . · (3n)b .

95.– Hallar la suma, en caso de ser convergente, de la serie∞∑

n=1

5n(n− 4)(n + 1)! .


96.– Hallar el angulo α para el que un sector circular de perımetro dado p tiene area maxima.

97.– Hallar las dimensiones de la piramide recta de base cuadrada y volumen maximo, inscrita enuna esfera de radio R (se resolvera por maximos y mınimos condicionados).

98.– Sea la funcionF (x, y) = ln

√x2 + y2 − arctan

y

x

Comprobar si F (x, y) = 0 determina y como funcion implıcita de x en el entorno de algunpunto. Calcular, si existen, las derivadas primera y segunda de y(x), particularizandolas en elpunto escogido.



(√n− 1n + 1

) 1√n+1−√n−1 .

100.– Estudiar el caracter de la serie, en funcion de los valores de los parametros a y b:∞∑

n=1

2n senn a

(bn)2; a, b ∈ IR, a ∈ (0, π), b 6= 0.

–16–

101.– Se considera un recipiente con forma de prisma recto, sin tapadera superior, de seccion rectaun rectangulo de tamano variable cuyos lados a y b valen inicialmente a0 = 10 cm y b0 = 20 cmLa altura del prisma es fija, H = 80 cm, y esta lleno de agua hasta una altura h0 = 30 cm. Enun momento dado comienzan a acortarse los lados del rectangulo, a una velocidad α = 2 cm/scada uno, manteniendose la forma prismatica y la altura. Si sobre la superficie del agua flotaen reposo una mosca, calcular:

a) Velocidad a que ascendera la mosca en el instante inicial.

b) Altura alcanzada por la misma al cabo de 2 segundos.

c) Tiempo que tardara el agua en llenar por completo el recipiente.

d) Caudal (en cm3/s) que rebosara en el momento en que el agua llegue al borde.


102.– Calcular: 1− 13 − 1

6 + 12 − 1

5 − 18 + 1

3 − 17 − 1

10 + 14 − 1

9 − 112 + . . .

103.– Una fabrica y una central electrica se encuentran situadas una en cada margen de un rıo deanchura 1 km, estando la primera 1 km aguas arriba de la segunda. Se desea llevar un tendidoelectrico desde la central a la fabrica. El tendido se compone de dos tramos rectos: el primero,de longitud x, es paralelo al rıo desde la central hasta un cierto punto P ; el segundo , delongitud y, va desde P hasta la fabrica, cruzando el rıo. El metro de tendido electrico poragua cuesta 5 unidades monetarias y por tierra 3. Hallar el valor de x que produce el mınimocoste, calculando este, ası como la longitud del tendido de coste mınimo. (Se recomiendautilizar el kilometro como unidad de longitud.)

104.– Sea la funcion f : IR2 −→ IR tal que la ecuacion f(x2− y2, y2− z2) = 0 define implıcitamentea z como funcion de x e y. Averiguar si depende de f la expresion

yz ∂z∂x

+ xz ∂z∂y

.

105.– Para cada numero natural n se considera el numero real xn de expresion decimal0.asas−1 . . . a2a1 , donde a1 . . . as es la expresion decimal de n. Ası, x2 = 0.2, x100 = 0.001,etc. Se forma el conjunto de todos los terminos de la sucesion xn, A = {xn : n ∈ IN}.

a) Sea S el conjunto de los numeros racionales estrictamente comprendidos entre 0 y 1, esdecir, S = IQ ∩ (0, 1). ¿Esta A contenido en S? ¿Esta S contenido en A? Razonar lasrespuestas.

b) Calcular, si existen, supremo, ınfimo, maximo y mınimo de A (no es necesario justificarlas respuestas).

c) Determinar la adherencia, el interior, la frontera, los puntos aislados y los de acumulacionde A (no es necesario justificar las respuestas).

d) ¿Es la sucesion {xn} convergente? ¿Es de Cauchy? Justificar las respuestas.

–17–

106.– Sea a un numero real estrictamente positivo. En el plano complejo se considera la circunferenciacon centro en (a, 0) y radio a. Se piden las ecuaciones de los lugares geometricos transformadosde esta circunferencia segun las aplicaciones

a) f(z) = z2.

b) g(z) = zz − a .


107.– Dados m,n ∈ IN y el polinomio J(z) = zn+m − zn, se pide:

a) Calcular las raıces de J(z) = 0.

b) Si a es una raız de J(z) = 0, hallar Sm = 1 + a + 2a2 + · · ·+ mam.

c) Si a es una raız de J(z) = 0, determinar el conjunto

A ={

z ∈ IC \ {0} : Re

(1z

)≤ |a|

2

},

donde Re(z) denota la parte real del complejo z.

108.– Estudiense los puntos de acumulacion del conjunto A = {xn}n∈IN, donde

xn = nn + 1 cos nπ

2 , ∀n ∈ IN.

109.– Sabiendo que lımn→∞

an+1an

= k > 0 y ai > 0, ∀i ∈ IN , hallar: lımn→∞

(an

n√

a1a2...an

)1/n

.

110.– Determinar el caracter de la serie siguiente y, si es convergente, calcular su suma.∞∑

n=1

2n− 1n2(n + 1)2

.

(Dato :

∞∑

n=1

1n2 = π2

6

).


111.– Un avion vuela horizontalmente en lınea recta, a una altura de 500m, con una velocidad de300m/s, alejandose de un reflector situado en tierra. La luz del reflector se mantiene dirigidahacia el aeroplano. Calcular la velocidad a la que cambia el angulo formado por el rayoluminoso y el suelo, cuando dicho angulo es de 30 grados. Se supone la Tierra plana.

112.– Estudiar el campo de existencia, continuidad y derivabilidad de la funcion

f(x) =

∣∣∣ ln xx− 1

∣∣∣ , x 6= 1

1, x = 1

–18–

113.– Sea

f(x, y) =

x2 arctan yx − y2 arctan x

y si x 6= 0 e y 6= 0

0 si x = 0 o y = 0

Hallar las derivadas cruzadas ∂2f∂x∂y

(0, 0) y ∂2f∂y∂x

(0, 0).

Nota: Al estar f definida a trozos, para calcular sus derivadas parciales sucesivas es necesariousar la definicion de derivada direccional.

114.– Determinar los puntos donde la funcion f(x, y, z) = x + y + z alcanza sus valores extremossobre el elipsoide x2 + 2y2 + 2z2 = 1 y estudiar de que tipo son.

115.– Sea la funcion F (x, y) = a2x2 + b2y2 − a2b2. Sean α, β ∈ IR tales que cumplen F (α, β) = 0.Se pide analizar todas las condiciones que deben cumplirse para que en un cierto entorno deP (α, β) exista una funcion y = ψ(x) diferenciable, concluyendo si dicha funcion existe o no.


116.– Dada la ecuacion z = (1− i)√

2i, se pide:

a) Probar que los afijos de las diferentes soluciones estan alineados.

b) Determinar el modulo de cada solucion, ası como el ınfimo de dicho conjunto de modulos.

117.– Calcular (1− i)42

(1 + i)62 expresando el resultado en forma binomica.

118.– Hemos definido distancia como una aplicacion d : E x E −→ IR, con las propiedades dePositividad, Simetrıa y Desigualdad Triangular. Podemos tambien definirla -mas brevemente-como una aplicacion d1 : E x E −→ IR+ ∪ {0}, con solo dos propiedades:

a) d1(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

b) d1(x, y) + d1(x, z) ≥ d1(y, z) (propiedad Triangular Fuerte).

Demostrar que, si d1 cumple ambas, cumple las de Simetrıa y Desigualdad Triangular.

119.– Estudiar el caracter de la serie∞∑

n=0

(n + 2

n

)bn; b ≥ 0, b ∈ IR y sumarla para el caso

particular de b = 1/7.

Nota:(

ab

)= a(a− 1)(a− 2)...(a− b + 1)

b!

120.– Una estatua de 2m de altura se apoya en un pedestal de altura 1m. Calcular la distancia delpedestal a la que hay que situarse para ver la estatua bajo un angulo maximo, demostrandoque se trata de un maximo.

–19–

121.– Dada la funcion f(x, y, z) = x2 + y2 + bxy + az, a, b ∈ IR se pide:

a) Obtener una relacion entre a y b que sea una condicion necesaria para que el puntoQ(1, 1, 1) sea un extremo relativo de f sobre la esfera de centro (0,0,0) y radio

√3.

b) Supuesto lo anterior, discutir para que valores de a y b el punto Q es un maximo, mınimoo punto de silla (puede ser de utilidad recordar que 2 dx dy ≤ dx2 + dy2).

122.– Dada la funcion f(x), acotada e integrable en [a, b], consideramos la funcion integral F (x) =∫ x

0f(t) dt; x ∈ [a, b]. Se pide:

a) Razonar brevemente la continuidad y derivabilidad de F (x). Se enunciaran los teoremasque se utilicen.

b) Calcular y dibujar F (x), x ∈ [0, 3] en el caso de ser f(x) la funcion Parte Entera de x,comprobando los resultados del apartado a).


123.– Encontrar el lugar geometrico de los complejos z tales que 1, z y 1 + z2 estan alineados.

124.– Demostrar que si un punto x ∈ IRn es de acumulacion de un conjunto M de IRn, toda bolaabierta de centro x contiene infinitos elementos de M .

125.– Sea la serie∞∑

n=1

nk

(n + 1)(n + 2)(n + 3) , k ∈ Z

a) Estudiar la convergencia de la serie segun el valor de k.

b) Calcular su suma para el maximo valor de k que la hace convergente.

c) Calcular, si existe, lımn→∞

[1

1 · 2 · 3 + 12 · 3 · 4 + . . . + 1

n(n + 1)(n + 2)

].

126.– Se considera una escalera de longitud l = 5m en reposo, apoyada contra un muro. Su extremoinferior dista x0 = 3m del muro. En un instante dado comienza a resbalar a velocidadconstante vx de 30 cm por minuto.

a) ¿Con que velocidad vy en m/s descendera el extremo superior de la escalera en elmomento en que el inferior diste 3m de la pared?

b) ¿Al cabo de cuantos segundos de comenzar el movimiento deslizaran ambos extremoscon la misma rapidez?

127.– Sea la funcion f(x) =

{E(x)

x , x 6= 01, x = 0.

Se pide estudiar si es uniformemente continua y/o derivable en [0,2] o algun subconjunto suyo.Si es derivable se indicara el valor de su derivada. Si se utiliza algun teorema debe enunciarse.

–20–

128.– Sea, para cada valor de p ∈ {1, 2, 3, 4}, la funcion fp(x, y) =

xp

x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)..

Discutir, segun los valores de p:

a) La continuidad de fp en el punto P(0,0).

b) La existencia y el valor de D~ωfp(P ).

c) La diferenciabilidad de fp en el punto P(0,0).


129.– Se desea unir, con el menor coste posible, dos localidades situadas a 10km de distancia. Paraello, se proyecta una carretera totalmente recta de L = 10 m de ancho. El perfil transversaldel terreno atravesado es el mismo a lo largo de los 10 km y forma un angulo de 45o con lahorizontal, tal y como se muestra en la figura. Debido a la inclinacion del terreno, una partede la carretera tendra que ir en desmonte y en la otra habra que construir un terraplen.

Perfil transversal del terreno y de la carretera.

Se pide calcular las longitudes d y t que hacen mınimo el coste total de la carretera en lassiguientes situaciones:

a) El coste por metro cubico de movimiento de tierras (suma de desmonte y terraplen)viene dado por la funcion f1 = 2e

2d+tL (pts/m3).

b) Se distinguen dos casos segun sea t ≤ d (el volumen desmontado se emplea en elterraplen) o t > d (hay que traer material de cantera), siendo el coste por metrocubico de movimiento de tierras:

f1 = 2e2d+t

L (pts/m3), t ≤ d.

f2 = 4t

Le

2d+tL (pts/m3), t > d.

–21–

130.– Se pide:

a) Calcular, segun los valores del parametro a ∈ IR, lımx→∞

a2x senπa

2+ a2

1 + a2x .

b) Como el resultado del lımite calculado en el apartado anterior depende de los valores quetoma el parametro a, el calculo de este lımite define una nueva funcion f(a). Estudiarla continuidad y derivabilidad y calcular la derivada de la funcion f(a).

131.– Demostrar que la suma de los cubos de tres naturales consecutivos es divisible entre 9.


132.– Calcular el volumen del paralelepıpedo mas grande que se puede inscribir en el elipsoide de

ecuacion x2

(3a)2+ y2

(2a)2+ z2

a2 = 1.

133.– Se pide:

a) Calcular las raıces de la ecuacion z2 − 8iz − (19− 4i) = 0, simplificando al maximo suexpresion.

b) Hallar el numero complejo z tal que el y las raices anteriores formen un triangulorectangulo isosceles. El vertice del angulo recto debe estar en el afijo de la raız demayor componente imaginaria de la ecuacion anterior.

134.– Hallar los valores de α para los que converge la serie∞∑

n=1

(n− 1)ααn−1, α ∈ IR.


n√

(n + 2)(n + 4) · · · (n + 2n)n .

Examen Final 99/00

136.– Sea In =[

122n , 1

22n−1

], n ∈ IN. Sea A =

⋃

n∈INIn. Se pide:

a) Determinar: A, A′,◦A, F r(A), y el conjunto de puntos aislados de A.

b) Razonar si A es abierto, cerrado o compacto, enunciando los teoremas que se utilicen.

137.– Se pide:

a) Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de la funcion f(x) = ln(a+ bx); a > 0, b > 0y determinar su radio de convergencia.

b) Aplicar el resultado anterior para calcular los siguientes lımites:

lımx→∞x− x2 ln

(1 +

1x

); lım

x→∞ ln (2 + 3ex) ln(

1 +1x

).

–22–

138.– En un paraboloide recto de seccion circular, con base de radio R sobre el plano z = 0 y alturaH, se inscribe otro paraboloide de volumen maximo, con base paralela a la del primero y convertice en el centro de la base del anterior.

a) Hallar el volumen del primer paraboloide.

b) Calcular el volumen del segundo paraboloide.

c) Indicar la ley que rige el calculo de los sucesivos volumenes si se repite sucesivamente laoperacion anterior.

d) Determinar el valor de la suma de estos volumenes, incluıdo el del paraboloide dado, sila operacion se repite indefinidamente.

139.– Estudiar, en el punto (0, 0), la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidadde la funcion siguiente:

f(x, y) =

x|y|√x2 + y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

140.– Resolver la ecuacion siguiente: 2ez + e−z = 1, z ∈ IC.

141.– Discutir, segun los valores de k ∈ IR+, lımn→∞

(k + 1

n

)kn.

142.– Sumar, justificando antes que es convergente, la serie∞∑

n=1

1(2n− 1)(2n + 1)(2n + 3).


143.– Una empresa desea sacar al mercado un nuevo modelo de deposito con forma de cilindro circularrecto rematado en ambos extremos por dos semiesferas. ¿Que dimensiones le recomendarıaspara que, conocida el area A de la superficie interior del deposito, su capacidad sea maxima?.

144.– Sean las aplicaciones

f : IR3 → IR2, f(x, y, z) =(sen(xy + z), (1 + x2)yz

)

g : IR2 → IR2, g(u, v) = (u + ev, v + eu)

Se pide:

a) Demostrar que f es diferenciable en el punto (1,−1, 1) y calcular df(1,−1, 1).

b) Demostrar que g es diferenciable en el punto (0, 1/2) y calcular dg(0, 1/2).

c) Calcular d(g ◦ f)(1,−1, 1).

–23–

145.– Resolver los siguientes lımites:

lımx→0

2− 2 cosx− x2

tan2 x− sen2 x; lım

x→0(cos ax)

1sen2 bx ; lım

x→∞(x + p)x+p − xp

xx ln x

146.– Sea IC el conjunto de los numeros complejos. Definimos como distancia entre dos elementos deIC : d(z1, z2) = |z1 − z2| . Se pide razonar si es de orden la siguiente relacion entre complejos:z1 R z2 ⇐⇒ d(0, z1) ≤ d(0, z2).

147.– Calcular, segun los valores de a ∈ IR+, lımn→∞a−

n2

n√

4 · 42 · · · 4n.

148.– Estudiar el caracter, segun los valores de p ∈ IR, de la serie∞∑

n=1

(1√

np + 1−√

np

).


149.– Sea la sucesion de numeros racionales: {bn}n∈IN ={

4− 2n2

}n∈IN

Se pide:

a) Demostrar que {bn}n∈IN es sucesion de Cauchy.

b) Dado el conjunto B =⋃

i∈IN(bi, bi+1), determinar (sin justificarlos) la adherencia, elconjunto derivado, el conjunto exterior, el conjunto interior, la frontera y los puntosaislados de A = B ∩ IQ. Decidir ademas (justificando brevemente y enunciando losteoremas empleados) si dicho conjunto A es o no abierto, cerrado, acotado, compacto.

150.– Estudiar el lımite: lımx→0

xα sen(

π/2xα

), α ∈ Z.

151.– Sea la funcion f : (−π + 1, π + 3) −→ IR:

f(x) =

1− sen(x + π − 1) , x ∈ (−π + 1, 1)1

(x− 2)2, x ∈ [1, 2) ∪ (2, 3)

0 , x = 21− sen(x− 3) , x ∈ [3, π + 3) ∩ IQ− 1 , x ∈ [3, π + 3) ∩ {IR \ IQ}.

Se pide:

a) Estudiar la continuidad de f(x) en su dominio de existencia.

b) Estudiar la derivabilidad de f(x) en su dominio de existencia.

c) Justificar en que subconjunto de su dominio admitirıa f(x) un desarrollo limitado deTaylor de 3er orden.

–24–

152.– La empresa Pineirino se dedica a serrar madera. Esta estudiando la construccion de un nuevoaserradero, que se alimentarıa a partes iguales de dos bosques propiedad de la empresa. Enel plano IR2, con unidades en km, el bosque A esta situado en el punto (50,0) y el bosqueB esta situado en el punto (0,40). El coste del transporte de madera depende solo de lasdistancias recorridas por las dos carreteras disponibles: el eje OX es una autopista de peajeen la que recorrer t km cuesta 30t pesetas; el eje OY es una carretera convencional de malacalidad que deteriora la maquinaria de transporte, por lo que recorrer t km cuesta 10t2 pesetas.

Determinar en que punto de esta red viaria deberıa Pineirino colocar su nuevo aserradero paraque el coste del transporte de madera resultase mınimo.


153.– Por una autopista circulan turismos y camiones. Cada ano la empresa concesionaria de laexplotacion debe pagar una cantidad de impuestos. Dicha cantidad es igual a la suma del1% del cuadrado del numero anual de turismos mas el 2 % del cuadrado del numero anualde camiones mas el 5% del producto de los numeros anuales de turismos y camiones. Si lacantidad total de vehıculos que circulan al ano es A, calcular la proporcion de vehıculos decada tipo que deberıa circular para que la cantidad a pagar fuera mınima.

154.– Sea la ecuacion F (x, y, z) = zez − xex − yey = 0:

a) Determinar los puntos donde es posible definir z como funcion implıcita ψ(x, y).

b) Se considera la funcion u = f(α, β) = φ(x, y). Calcular ∂φ∂x

, sabiendo que α = x + z yβ = yx y que z esta definida implıcitamente por la ecuacion F (x, y, z) = 0.

c) Aproximar la funcion z = ψ(x, y) en un entorno de x0 = 0, y0 = 0 mediante un polinomiode Taylor de segundo grado.

d) Calcular el plano tangente y la recta normal a la superficie z = ψ(x, y) en x0 = 0, y0 = 0.

155.– Obtener y dibujar el lugar geometrico de los z ∈ IC tales que los afijos A, B y C, de z, z2 y z3

respectivamente, forman un triangulo rectangulo con angulo recto en A.

156.– Calcular lımn→∞

(1√4n

+ 1√8n

+ 1√12n

. . . + 1√4n2

).

157.– Estudiar el caracter, segun los valores de p > −1, de la serie∑

n∈IN

11 + pn .


158.– Sea A = ((1, 2) ∩ IQ) ∪ {1n2

}n∈IN un subconjunto del espacio metrico (IR, | |). Se pide obtener

los conjuntos adherencia, derivado, exterior, interior, frontera y conjunto de puntos aisladosde A. Dar asimismo un ejemplo de subconjunto B ⊂ A cerrado y justificar brevemente si A escompacto, enunciando los teoremas empleados.

–25–

159.– Dada la funcion real de variable real f(x) =

{xα ln|x| , x 6= 00 , x = 0

, donde α ∈ Z, se pide:

a) lımx→0

f(x).

b) Estudiar la continuidad de f(x) en x0 = 0, especificando en su caso la clase dediscontinuidad que se produce.

c) Estudiar la derivabilidad de f(x) en x0 = 0.

d) Para el caso α = 2, obtener los extremos absolutos y relativos de f en el intervalo [0, 2].

160.– Demostrar que la suma de los cuadrados de tres numeros naturales ai, i = 1, 2, 3, es 264 comomaximo, sabiendo que la suma de los tres numeros es 20 y el producto de dos de ellos es 4.

161.– Los afijos de z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i son vertices consecutivos de un rectangulo. Hallar losotros dos vertices sabiendo que pertenecen al tercer cuadrante y que el area del rectangulo es24. Dibujar la solucion.

162.– Calcular, segun los valores de a ∈ IN, lımn→∞

n

√(a + n!)a! n! .

163.– Calcular: 1 + 13 + 1

5 − 12 − 1

4 + 17 + 1

9 + 111 − 1

6 − 18 + 1

13 + 115 + 1

17 − 110 − 1

12 + . . .


164.– Para subconjuntos A, B de un espacio metrico (E, d), demostrar las siguientes propiedades odar un contraejemplo en caso de falsedad:

a) A ⊂ B ⇒ Fr(A) ⊂ B.

b) Fr(A) = Fr(B),◦A⊂ B ⇒

◦A⊂

◦B.


f(x) =

1tan x

+x− 1

x, x 6= 0

0 , x = 0.

Calcular lımx→0

f(x) y estudiar la continuidad de f en x0 = 0.

166.– La ecuacion F (x, y, z) = eax+by+z + 2y + x − 1 = 0 define z como funcion implıcita de x e yen un entorno de P (0, 0, z0). Se pide:

a) Aproximar la funcion z = ψ(x, y) en un entorno de x0 = 0, y0 = 0 mediante unpolinomio de Taylor de primer grado.

b) Determinar a y b para que la recta normal a la superficie z = ψ(x, y) en P tenga porecuacion x

4 = y6 = z

1.

c) Se considera la funcion u = f(α, β) = u(x, y); α = xy, β = xu. Calcular ∂u∂y

.

–26–

167.– Dados dos complejos se sabe que su producto es real, su cociente imaginario puro y el modulode su diferencia vale p. Determinar el lugar geometrico descrito por el afijo de su suma.


an+1 + bn+1

an + bn ; a, b ∈ IR+.

169.– Estudiar el caracter de la serie∑

n∈IN

(n + 4)!π(π + 1) · · · (π + n)

.


170.– Sea A ={

(x, y) /√

x2 + y2 = 1n, n ∈ IN

}un subconjunto del espacio metrico (IR2, d2). Se

pide:

a) determinar: A, A′, Ext(A),◦A, F r(A), y el conjunto de puntos aislados de A.

b) Razonar si A es abierto, cerrado, acotado, compacto, enunciando los teoremasempleados.

171.– Determinar el conjunto de valores de x ≤ −1 para los que existe la expresion(

1x

)x.

172.– Sea la funcion g : (−2,∞) −→ IR:

g(x) =

|E(x + 1)| , x ∈ (−2, 0]1

bx − 1, x ∈ (0, 1), b ∈ IN

x2 + a , x ∈ [1, 3), a ∈ IR

max{

x2,1

1 + x2

}, x ∈ [3,∞).

Se pide:

a) Estudiar su continuidad, obteniendo los valores de a y b para que la funcion g(x) seacontinua en el mayor numero posible de puntos.

b) Estudiar su derivabilidad y calcular, donde exista, su derivada, utilizando los valores dea y b obtenidos en el apartado anterior.

173.– Una familia decide pasar una semana de vacaciones en la nieve. El dıa 30 de enero, a las 10de la manana, comienzan el viaje. A lo largo del trayecto realizan varias paradas para comery descansar hasta llegar a su destino. Una semana despues, a la misma hora, emprenden elregreso siguiendo el mismo itinerario que en el viaje de ida.

Demostrar, utilizando el teorema de Bolzano, que hay algun punto del camino por el cual elcoche pasa a la misma hora en los trayectos de ida y de vuelta.

–27–

174.– Sea un lapiz de madera de seccion circular de radio 5mm, con mina de grafito de secciontambien circular de radio r. El coste del material es de 3 · 10−7 euros/mm3 para la madera(el espacio ocupado por la mina no se descontara en el calculo del coste de madera), y de33 · 10−7 euros/mm3 para el grafito. El coste de operacion es de

(12πr + 3πr2

) · 10−3 eurospor cada metro de lapiz fabricado, donde r se mide en mm.

Hallar, justificando todas las decisiones tomadas, el radio r optimo para minimizar el costede la fabricacion de los lapices. Justificar los radios r en los que se dan maximos relativos oabsolutos del coste.


175.– Sean α1, α2, . . . αn las raıces complejas n-esimas de la unidad. Calcular Sn =n∑

j=1

αpj , p ∈ IN.

176.– Sea la funcion g : IR2 −→ IR : g(x, y) =

exy2 − 1x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0).Se pide:

a) Estudiar sus lımites direccionales en el origen.

b) Estudiar la existencia de derivadas parciales, calculando su expresion en todos los puntosen los que existan.

c) Estudiar su diferenciabilidad en el origen.

d) Calcular el valor de la derivada direccional de g en P (1, 1), segun la direccion v(1,1).

177.– Determinar, segun los valores de p ∈ IR, p > 0, el caracter de la serie∞∑

n=1

p1+1

2+13+1

4+...+ 1n .

Examen Final 01/02

178.– Calcular, segun los valores de α ∈ IR+, A = lımn→∞

[α n2(n + 1)

n3 + 1

]2n

.

179.– Sea la funcion g : D −→ IR:

g(x) =

x2 sen1x

, x < 0

0 , x = 0a + cosec(b + x) , x > 0; x ∈ D; a, b ∈ IR

Se pide:

a) Determinar su dominio D para x > 0.

b) Estudiar su continuidad en x = 0, especificando todas las situaciones posibles en funcionde los valores de a y b.

c) Calcular, si existe, su derivada en x = 0, estudiando todas las posibles situaciones enfuncion de los valores a y b obtenidos en el apartado anterior.

–28–

180.– Un barco cargado con 45 contenedores se dispone a descargar en un puerto. Dicho puertoposee -como equipos de descarga aptos para contenedores- dos gruas, A y B, siendo x e y elnumero de contenedores descargados con la grua A o B, respectivamente. El precio total apagar por la utilizacion de cada grua es la suma de dos precios, uno que depende del numerode contenedores descargados (precio 1) y otro que depende del tiempo de descarga (precio 2).Para el calculo del precio 1 se sabe que los precios unitarios de descarga para cada tipo degrua son: pA = 47−x y pB = 80− 2y. El precio 2 se obtendra a partir de los siguientes datos:

Tipo grua A BNumero de contenedores descargados por hora 10 8Coste de grua por hora (unidades monetarias) 200 80

Ademas, para realizar la descarga, es necesario pagar una tarifa al puerto por serviciosadicionales y ocupacion del muelle. Esta tarifa es de 40 unidades monetarias por hora deestancia del barco en el muelle. Si se considera que las dos gruas no pueden descargarsimultaneamente, calcular cuantos contenedores se tendrıan que descargar con la grua A ycuantos con la B para que el coste total fuese mınimo.

Nota: En ningun caso los precios unitarios pA y pB podran ser negativos. En el caso de quelleguen a ser nulos, debera cambiarse el tipo de grua para los contenedores restantes.

181.– Determinar y dibujar el lugar geometrico de los afijos de los numeros complejos tales que sucuadrado dividido entre su inverso tenga como argumento 0o.


182.– Demostrar 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2, siendo n ∈ IN.

183.– Sea el conjunto de numeros reales: A ={

(−1)n(1 + 1

n

)2n: n ∈ IN

}. Se pide determinar los

conjuntos◦A, Ext(A),A, F r(A), A′, Aisl(A) y razonar si A es abierto y/o cerrado.

184.– Se considera un bosque rectangular de dimensiones: b = 5 km, h = 14 km, bordeado por unacarretera. Un muchacho se dirige en su vehıculo a una entrevista de trabajo que tendra lugara las 4 de la tarde en el punto B. A las 10 menos 10 de la manana el coche sufre una averıaen el punto A. Los puntos A y B son respectivamente los vertices superior izquierdo e inferiorderecho del bosque. Debido a la inexistencia de trafico y de personas a las que pedir ayuda,el muchacho decide acudir a la entrevista andando y comienza a caminar adentrandose en elbosque a las 10 de la manana. Sabiendo que el muchacho anda a una velocidad de 5km/hpor carretera y a 2 km/h por bosque, indicar si existira una ruta que le permita llegar a laentrevista a tiempo (se considerara una ruta formada por dos segmentos rectilıneos).

185.– Sea la ecuacion F (x, y, z) = 1− ln(

1eaxyz

)= 0. Se pide:

a) Hallar los valores de a que garantizan que la ecuacion F (x, y, z) = 0 define a y comofuncion implıcita de x y z, en un entorno de (1,1,1).

b) Se considera la funcion v = f(α, β, γ) = v(x, z). Calcular ∂v∂z

, sabiendo que α =x+v, β = xy, γ = xz y que y esta definida implıcitamente por la ecuacion F (x, y, z) = 0.

–29–

186.– Determinar la imagen del recinto{

z ∈ IC /Re(z) ∈(0, π

2

)}mediante la aplicacion w = eiz+2.


(1

n2 + 1+ 2

n2 + 2+ . . . + n

n2 + n

).

188.– Estudiar, segun los valores de p ∈ IR+, el caracter de la serie∑

n∈IN

(n + 4)!p(p + 1) · · · (p + n)

.


189.– Se considera el siguiente subconjunto de IR2:

A =⋃

n∈IN

{(x, y)/ x + y =

1n

, x > 0, y > 0} ⋃ {

(x, y)/ x = y =1n

}

n∈IN.

a) Determinar: A, A′,◦A, F r(A), y el conjunto de puntos aislados de A.

b) Razonar si A es cerrado, abierto o compacto.

190.– Un ingeniero desea conocer la representacion grafica de la funcion f(x) = 1−√|cos 2x| en una

zona cercana al origen. Para ayudarle en su tarea, se pide responder a las siguientes cuestiones:

a) Determinar el dominio de la funcion f(x).

b) Analizar en que puntos es continua f(x).

c) Estudiar en que puntos es derivable f(x) y calcular f ′(x).

d) Determinar los ceros de la funcion f(x).

e) Calcular los extremos locales y absolutos de f(x).

Para comprobar que el resultado es correcto, el ingeniero decide calcular una aproximacionpolinomica de f(x), en torno al punto x0 = 0, valida para x ∈ (−π/4, π/4) y de cuarto orden.Para ayudarle en este segundo caso, responder a las siguientes cuestiones:

f) Calcular esa aproximacion, denominandola g(x).

g) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad de g(x) y calcular su derivada.

h) Determinar los ceros de g(x) y analizar las posibles simetrıas de la funcion y sus ramasparabolicas.

i) Calcular los extremos locales y absolutos de la funcion g(x).

j) Representar ambas funciones, f(x) y g(x) en un mismo grafico.


191.– Sea u(x, y, z) = x4y + y2z3 + ϕ(

xy

), donde

{x = 1 + rset

y = rs2e−t

z = r2s sen t

. Calcular ∂u∂s

cuando r = 2, s = 1,

t = 0, sabiendo que ϕ′(3/2) = −1.

–30–

192.– Se quiere construir un pentagono colocando un triangulo isosceles sobre un rectangulo. Si elpentagono tiene un perımetro fijo P0, determinar las longitudes de los lados del pentagono quemaximizan su area, sin justificar que esta area es maxima.

193.– Comprobar que la ecuacion z2 − 5xyz + x3 + 5x2y = 0 define a z como funcion implıcita de

(x, y) en un entorno de x = 1, y = 1, z = 2. Calcular ∂2z∂x∂y

en x = 1, y = 1, suponiendo queexista.

194.– Determinar el lugar geometrico de los afijos de los complejos z que verifican la condicionIm

(1z

)= 1

2, donde Im significa parte imaginaria.

195.– Resolver la siguiente ecuacion: z + i argsenh(−i) = 0.


(√4n2 + n− 3

√8n3 − 1

).

197.– Si escribimos en un papel los numeros enteros del 0 al 9 y lo giramos 180o en su plano,observamos que el 0 y el 8 se mantienen iguales, el 6 se convierte en 9 y el 9 en 6. Los demas,girados, carecen de sentido.

Averiguar cuantos numeros enteros entre 1 y 10n, con n ∈ IN, toman el mismo valor en las dosposiciones. No se consideraran numeros empezando por 0, vgr. 080.


198.– Se desea calcular el siguiente lımite:

lımx→1

y(x)− 11 + y′(x)

, (1)

en donde y(x) esta definida de forma implıcita en un entorno del punto (1, 1) por la ecuacionF (x, y) = cos (lnxy)− 1

xy = 0. Para ello, se propone realizar los siguientes pasos:

1) Calcular y′(x) en un entorno del punto x = 1, simplificando al maximo su expresion yjustificando adecuadamente los calculos.

2) Introducir este valor en (1) y demostrar que el lımite que se desea calcular se puedeexpresar como

lımx→1

x(y(x)− 1)x− y(x)

, (2)

indicando el tipo de indeterminacion que se obtiene.

3) Suponiendo que existe, calcular y′′(x) en un entorno del punto x = 1, justificandoadecuadamente los calculos.

4) Calcular el polinomio de Taylor de grado 2 de la funcion y(x) en x = 1.

5) Determinar el valor del lımite (2) sustituyendo y(x) por la expresion obtenida en elapartado anterior.

–31–

199.– Sea F (r, θ) ∈ C2 la expresion de una funcion en coordenadas polares. A partir de la relacionentre coordenadas polares y cartesianas, consideramos la funcion compuesta f :

F (r(x, y), θ(x, y)) = f(x, y)

Se pide calcular ∂2f∂x∂y

en funcion de las variables r, θ, y de las derivadas de F respecto a ellas.

200.–

a) Sean dos polinomios distintos de coeficientes reales,

{P (x) = k + a1x + a2x

2 + · · ·+ apxp

Q(x) = k + b1x + b2x2 + · · ·+ bqx

q p, q ∈ IN

Demostrar que la ecuacion P (x) = Q(x) tiene siempre una raız real y obtenerla.

b) La luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria de tiempo mınimo (Principiode Fermat). Supongamos que el eje de abscisas separa dos medios distintos. Sea c lavelocidad de la luz en el semiplano superior y 3

4c la velocidad en el semiplano inferior.Se desea obtener el punto P del eje de abscisas por el que pasara el rayo que viaja desdeA(−4, 3) a B(3,−4).b.1) Hallar la expresion del tiempo tardado t = f(x) en funcion de la coordenada x de

punto P .b.2) Obtener la ecuacion que proporciona la condicion necesaria de extremo.

c) Aplicar lo visto en el apartado a) para hallar la solucion del b.2), comprobando que elpunto x obtenido corresponde a un mınimo.

201.– Demostrar en IC la formula del seno del angulo doble de dos modos:

a) A partir de la definicion en IC de sen z y cos z.

b) A partir de las expresiones de sen z y cos z en funcion de a = Re(z) y b = Im(z).

202.– Calcular L = lımn→∞

(1 + 1

2n

)an

, siendo an = n1−α√n2 + 3− n

sen 3n, α ∈ IR.

203.– A partir de la serie armonica alternada se construye otra de la siguiente manera:

Se toman los tres primeros terminos positivos, a continuacion los dos primeros negativos, luegolos tres positivos siguientes, luego los dos negativos siguientes y ası sucesivamente...

Calcular la suma de la serie ası formada.


204.– John Wallis (1616-1703) fue el mas importante de los matematicos ingleses inmediatamenteanteriores a Newton. Sus principales contribuciones fueron en el campo de la geometrıaanalıtica y del analisis infinitesimal. Una de sus muchas aportaciones consistio en la resolucionde integrales del tipo

Im =∫ 1

0xmdx, m ∈ IN

–32–

por medio de sumatorios y demostrando los resultados alcanzados empleando el principio deinduccion. Wallis demostro que, definiendo Sm

n como

Smn =

n∑

i=0

im

(n + 1)nm ,

la integral Im se puede calcular como lımite de Smn (n →∞). Se pide:

1) Demostrar, aplicando el principio de induccion al caso m = 3, que se cumple

S3n = n + 1

4n

2) Comprobar que I3 = lımn→∞S3

n.

205.– Sea la siguiente funcion f(x):

f(x) ={

(1 + senx)1/x, x ∈ {(− π2 , 0) ∪ (0, π

2)}

e x = 0.

Se desea calcular la derivada de f(x) en el punto x = 0, definiendose para ello una nuevafuncion φ(x) = ln

(f(x)

). Se pide:

a) Comprobar que tanto la funcion f(x) como φ(x) son continuas en el punto x = 0.

b) Estudiar la derivabilidad de la funcion φ(x) en el punto x = 0 y calcular su derivada,evaluando el siguiente lımite:

lımx→0

φ(x)− φ(0)x− 0

.

c) Analizar si es posible estudiar la derivabilidad de f(x) a partir de la de φ(x) y calcularel valor de f ′(0) con los resultados obtenidos hasta ahora.

206.– Calcular la mınima distancia desde el origen a la superficie de ecuacion xyz = 8.

207.– Se desea calcular los tres primeros terminos del desarrollo en serie de Taylor de la funciony(x) = x1/x en torno al punto x = 1. Para ello, se pide:

a) Calcular de forma explıcita y′(x) e y′′(x) y evaluarlas en x = 1.

b) Para poder comprobar los resultados del apartado anterior, se construye la funcionF (x, y) = x ln y − ln x.

b.1) Verificar que F (x, y) = 0 define a y como funcion implıcita de x en un entorno dex = 1, y = 1.

b.2) Comprobar que y(x) ası definida es diferenciable y calcular y′(x) empleando elteorema de la funcion implıcita.

b.3) Suponer que y(x) es dos veces diferenciable en un entorno de x = 1 y calcular, atraves del mismo teorema, y′′(x).

208.– Sea z = x + yi ∈ IC. Definimos

u(x, y) = x2 + y2 + xx2 + y2 ; v(x, y) = −y

x2 + y2

A partir de u y v podemos obtener la funcion de variable compleja f(z) = u + vi. Se pideexpresar f(z) en funcion de z y z.

–33–

209.– Calcular L = lımn→∞

n

√(1 + a)(2 + a) . . . (n + a)

n! , a ∈ (0, 1).

210.– Determinar el caracter de la serie∑

n∈INaln( 1

n), a > 0.


211.– Dada la sucesion recurrente xn =√

1 + 2xn−1 − 1, con x0 = a, a > 0, se pide:

a) Demostrar que la sucesion es convergente.

b) Calcular, justificando el procedimiento empleado: α = lımn→∞xn.

c) Calcular, justificando el procedimiento empleado: β = lımn→∞nxn.

212.– Sea f : M → IR, tal que f(x) = e1

x−1

x + 1 sen(πx

).

a) Determinar su dominio M.

b) Se define la funcion g(x) =

{f(x) si x ∈ Mπ√e

si x 6∈ M

b.1) Estudiar su continuidad indicando que tipo de discontinuidades presenta.

b.2) Analizar la derivabilidad de g(x).

b.3) Calcular g′(x).

213.– Sea S un subconjunto de IR2 tal que: S ={

(x, y) ∈ IR2 / x2 + y2 =(1− 1

n

)2, n ∈ IN

}.

a) Determinar los conjuntos interior, exterior, derivado, adherente, los puntos aislados y lafrontera de S.

b) Razonar si S es compacto y si S es numerable.


214.– Se desea calcular el valor de S =∞∑

i=1

16i

(2i)! . Para ello, se pide:

a) Demostrar que la serie anterior es convergente.

b) Calcular la derivada n-esima de la funcion f(x) = Ch2(x).

c) Determinar, a partir del resultado anterior, el desarrollo en serie de Mc Laurin de f(x),indicando claramente cual es su termino general.

d) Calcular el radio de convergencia del anterior desarrollo en serie.

e) Basandose en los calculos anteriores, calcular el valor de S.

–34–

215.– Se desea obtener los puntos de la superficie f(x, y) = 8xy cuya distancia al origen es mınima,

sin calcular extremos de funciones. Teniendo en cuenta que la recta que los une con el origenes normal a la superficie, se pide realizar los siguientes pasos:

a) Calcular la ecuacion del plano tangente a la superficie en un punto P (a, b, c).

b) Calcular la ecuacion de la normal a la superficie en P e imponer que pase por el origen.

c) Con ayuda de los apartados anteriores, determinar las coordenadas de los puntos de lasuperficie z = f(x, y) cuya distancia al origen es mınima.

216.– Determinar los extremos absolutos de la funcion temperatura T (x, y, z) = x + y + z, en elrecinto R =

{(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 1

}.

217.– a) Calcular: ln(1 + i). Indicar cual es su valor principal.

b) Obtener razonadamente la expresion general de lnez, z = x + yi ∈ IC. Aplicarla az = 1 + i, dando la solucion en forma binomica.

c) Obtener razonadamente la expresion general de ln zz21 en funcion de z2 ln z1. Aplicarla

al caso: z1 = 1, z2 = 1 + i, dando la solucion en forma binomica.


218.– Se pide:

a) Calcular el valor de Sn =n∑

i=1

(2i− 1)2, sabiendo quen∑

i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)6 .

b) A partir del resultado anterior, calcular: lımn→∞

(312 + 32 + · · ·+ (2n− 1)2

4n3

)2n2+1

.

219.– Sea y = y(x) la curva dada de forma implıcita por x + y − exy = 0. Calcular la parabolatangente a la curva en el punto x = 0.

220.– Sea f : IR → IR, tal que f(x) =

x− x3

6 , si x < 00, si x = 0sen x, si x > 0

. Se pide:

a) Averiguar cuantas veces es f derivable.

b) Calcular el polinomio de Taylor del mayor grado posible en el punto x = 0.

221.– Sea A ={z ∈ IC tal que

∣∣z − 5√

2i∣∣ ≤ 5

}. Se pide:

a) Representar graficamente la region A.

b) Obtener, a partir de las propiedades de los numeros complejos, el valor de z = a+bi ∈ A,cuyo argumento sea el mınimo posible, expresandolo en forma binomica y exponencial.

c) Sabiendo que, para valores θ ∈ (−π/2, π/2), obtener el mınimo argumento θ esequivalente a obtener el mınimo valor de tan θ, verificar el resultado anterior planteandoy resolviendo un problema de extremos condicionados.

–35–


222.– Sea A un subconjunto de IC, tal que A =⋃

n∈INAn; Ai =

{z ∈ IC / zi = 1; i ∈ IN

}. Determinar

el interior, el exterior, el conjunto derivado, la adherencia, los aislados y la frontera de A yrazonar si A es compacto.

223.– Se pide:

a) Estudiar el caracter de la serie∞∑

n=2

ln(1− 1

i2

).

b) Demostrar quen∑

i=2

ln(1− 1

i2

)= ln

(n + 1

n

)− ln(2).

c) Calcular lımn→∞

nα ln(3 · 21/n − 2

)

αln(3/4) · αln(8/9) · · ·αln((n2−1)/n2) ; α > 0.

224.– Sea y = y(x) la curva dada de forma implıcita por xy − ey + ex+1 = 0. Suponiendo que secumplen las condiciones suficientes para poder hacerlo, se pide:

a) Calcular y′(x) e y′′(x).

b) Encontrar una expresion polinomica de grado 2 que aproxime a y(x) en un entorno delpunto x = 0.

225.– La temperatura en una determinada placa con forma de cırculo, con centro en el punto (0, 0)y radio r = (3/4)1/4, viene dada por T (x, y) = x

x2 + y2 + 2y, (x, y) 6= (0, 0). Se pide:

a) Expresar la funcion temperatura en coordenadas polares.

b) Determinar los extremos de la funcion T en la placa y los puntos en que se alcanzan.


226.– Dado el conjunto A ={

(x, y) ∈ IR2

/|y| ≤ x;

∣∣∣x− 12n

∣∣∣ ≤ 12n+2 , n ∈ IN

}, se pide:

a) Representarlo graficamente. b) Determinar los conjuntos adherencia, derivado, interior,exterior, frontera y el conjunto de puntos aislados de A. c) Razonar si A es compacto.

227.– Un ingeniero desea calcular el valor de√

p, p ≥ 0. No dispone de una calculadora que evalue

raıces, por lo que propone usar el algoritmo: un+1 = u2n + p2un

, u0 = a > 0; a2 ≥ p . Se pide:

a) Demostrar que se obtiene una sucesion monotona decreciente y acotada inferiormente,por lo tanto convergente.

b) Determinar el lımite de la sucesion y comprobar que el algoritmo propuesto es validopara calcular

√p.

–36–

228.– Dada la funcion f(x) = arcsen(x2 − 2

), se pide:

a) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad de f(x) y calcular f ′(x).

b) Calcular los extremos de f(x).

c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, representar f(x).

229.– Dada la funcion f(t) = te1/t ln |t|, calcular sus lımites laterales en el origen aplicando, si esposible, la regla de l’Hopital.


230.– Dada la siguiente serie funcional de potencias: f(x) =∞∑

n=1

xn

nan ; a ∈ IR+, se pide:

a) Calcular su radio y campo de convergencia.

b) Calcular su funcion suma en todos los puntos en los que converja.

c) Estudiar la convergencia de la serie numerica∞∑

n=1

(−1)n+1

ny, sin tener en cuenta los

resultados anteriores, calcular su suma S.

d) Calcular el valor de S a partir del resultado del apartado b) y comparar con el resultadodel apartado c).

231.– Calcular los extremos absolutos que alcanza la funcion temperatura, T (x, y) = x2+xy+y2−6x,en una placa circular definida geometricamente como: x2 + y2 ≤ 36. En caso necesario, puedetomarse 47 como valor aproximado de 27

√3.

232.– Sea z = 1 + 3i ∈ IC. Determinar en forma binomica w ∈ IC, tal que w3(z2 + 8) = 2z − z2 − 4.


233.– Demostrar que:

cos(α) · cos(2α) · cos(4α) · · · cos(2nα) =sen

(2n+1α

)

2n+1 sen(α); n = 0, 1, 2, · · · ; α ∈ (0, π).

234.– A partir de la igualdad enunciada en el ejercicio anterior, calcular el valor del siguiente lımite:

lımn→∞

ln |cos(α)|+ ln |cos(2α)|+ ln |cos(4α)|+ · · ·+ ln |cos(2nα)|n ; α ∈ (0, π).


f(x) ={ x

ln(1 + x) ; x ∈ (−1, 0) ∪ (0,∞)

a; x = 0

Indicar el valor de a para que f(x) sea continua y derivable ∀x ∈ (−1,∞). Calcular f ′(x).

–37–

236.– Determinar, en el punto P0(1, 1, 1), la direccion en la que f(x, y, z) = z ln(x2 +y2) decrece masrapidamente.

237.– Calcular la recta tangente a la curva 2xey + 2x2 + y3 = 0 en el punto (−1, 0).

238.– Calcular el radio y el campo de convergencia de la serie funcional∞∑

n=0

(n + 1)2xn y determinar

el valor de su suma por integracion.

239.– A partir del apartado anterior, calcular lımx→0

[1 + x

(1− x)3− 4x

]1/9x2

.

240.– Representar el conjunto de los complejos que satisfacen |2z + 3| ≤ 1.


241.– Sea A el conjunto formado por los afijos de los complejos de la forma z = 1n+xi, n ∈ IN, x ∈ IR,

que cumplen las condiciones: 0 ≤ x ≤ 10n ; |z| ≤ 1. Se pide:

a) Representar graficamente el conjunto A. Indicar para que n toma x su maximo valor ycual es ese valor maximo de x.

b) Determinar los conjuntos A,◦A, Ext(A),A′, F r(A), Aisl(A).

c) Razonar si A es compacto.

242.– Calcular los extremos absolutos que alcanza la funcion temperatura, T (x, y) = x2+xy+y2−6x,en una placa rectangular definida geometricamente por: 0 ≤ x ≤ 5; −3 ≤ y ≤ 3.

243.– Dada la funcion f(x) = 1− x3

(1− x)3, se pide:

a) Calcular su desarrollo en serie de MacLaurin, descomponiendo previamente la funcionen fracciones simples, y determinar su radio y campo de convergencia.

b) Indicar si la serie∞∑

n=0

1− 3n3n converge y, en su caso, calcular su suma a partir de a)

c) Calcular el valor del siguiente lımite: lımx→0

(f(x) + 3x)1

x(x−2)


244.– Sea la sucesion recurrente an = 13− an−1

, n ∈ IN; a0 = 2. Se pide:

a) Demostrar que la sucesion es convergente.

b) Calcular su lımite.

–38–

245.– Sea A el conjunto formado por los puntos tales que tan 1x = 1.

a) Determinar el conjunto A.

b) Calcular la adherencia, el conjunto derivado y la frontera de A.

c) Se define la funcion:

f(x) =

1− tan1x

cos1x− sen

1x

, x ∈ IR \A

−√2, x ∈ A.

Se pide analizar la continuidad de f , indicando que tipos de discontinuidad presenta.

246.– Determinar el punto sobre la curva y2 = 2x mas cercano al punto (1,4).


247.– Se desea fabricar un envase de volumen fijo V0 y coste mınimo. El envase tiene forma decilindro de seccion recta circular. Calcular las dimensiones que minimizan el coste total delmaterial empleado en la produccion si no se desperdicia nada al cortar el aluminio de lasuperficie lateral, pero las tapas de radio r se cortan de cuadrados de lado 2r. Comprobar quelas dimensiones obtenidas son efectivamente mınimas. [Puede tomarse V0 = 1].

248.– Sea la serie funcional∞∑

n=0

n2xn, x ∈ IR. Se pide:

a) Analizar la convergencia uniforme y puntual de la serie.

b) En los casos en que la serie sea puntualmente convergente, calcular su suma.

249.– Sea la funcion f(x) = x2 + x(1− x)3

. Se pide:

a) Descomponer la funcion f(x) en fracciones simples.

b) Calcular el desarrollo en serie de MacLaurin de la funcion f(x).

c) Determinar el radio y el campo de convergencia del desarrollo anterior.


250.– Estudiar el dominio, la continuidad, la derivabilidad y calcular la derivada de la funcion:

f(x) =

x ln(1 + x)1− cosx ; x 6= 0

2; x = 0.

–39–

251.– Obtener una aproximacion polinomica de segundo orden a la funcion z(x, y), definida de formaimplıcita en un entorno del punto (π/2, π/2, π/2) mediante la ecuacion x sen z − z sen y = 0.Calcular un valor aproximado de z(1.6, 1.6).

252.– Se desea calcular la suma de la serie numerica∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)n! . Para ello se pide:

a) Analizar la convergencia de la serie funcional∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)n! xn.

b) Sumarla por integracion en los puntos en que converja, sabiendo que∞∑

n=0

xn

n! = ex.

c) Calcular la suma de la serie numerica.


253.– Sea A un subconjunto de IC, tal que A =⋃

k∈INAk; Ak =

{z ∈ IC

/zk = k; k ∈ IN

}Determinar

la adherencia, el interior, el exterior, el conjunto derivado, el conjunto de puntos aislados y lafrontera de A y razonar si A es compacto.

254.– Se desea calcular el segmento de longitud mınima que, en el primer cuadrante, es tangente a

la elipse de ecuacion x2

a2 + y2

b2 = 1, a, b ∈ IR+, y esta limitado por los ejes coordenados. Sepide:

a) Analizar en que puntos la ecuacion de la elipse define a y como funcion implıcita de x.

b) Calcular dydx

en los puntos en que este definida.

c) Calcular la ecuacion de una recta tangente a la elipse.

d) Demostrar que la ecuacion anterior se puede escribir como: xξa2 + yη

b2 = 1, en donde

(x, y) es el punto de tangencia con la elipse y (ξ, η) son los puntos de la recta.

e) Calcular la longitud del segmento tangente a la elipse y limitado por los ejes coordenados.

f) Plantear el problema de extremos condicionados que permite determinar el segmento delongitud al cuadrado mınima.

g) Determinar los puntos que verifican la condicion necesaria de extremo.

h) Comprobar cuales de esos puntos son los de longitud mınima.

i) Calcular la longitud del segmento buscado.

255.– Se desea analizar la convergencia de la serie∞∑

n=2

1n (lnn)2

. Para ello, se pide:

a) Aplicar el criterio de Raabe.

b) Aplicar el criterio de condensacion.

–40–


256.– Dado el conjunto A ={

(x, y) ∈ IR2/ 1

2n x ≤ y ≤ 12n− 1 x, n ∈ IN; 0 ≤ x ≤ 2

}, se pide

representarlo graficamente, determinar la adherencia, el conjunto derivado, el interior, elexterior, la frontera y el conjunto de puntos aislados de A, ası como razonar si es compacto.

257.– Calcular los lımites:

a) lımn→∞

3(1 + 22 + · · ·+ n2)n3 .

b) lımn→∞

(3(1 + 22 + · · ·+ n2)

n3

)n

.

258.– Dada la funcion f(x) ={

xa cos(1/x), x 6= 00, x = 0

, a ∈ IN ∪ {0}, se pide:

a) Estudiar su dominio en funcion del parametro a.

b) Analizar para que valores del parametro a la funcion es continua.

c) Analizar para que valores del parametro a la funcion es derivable y calcular f ′(x).

Si se define g(x) = f(x), ∀x ∈ [−2/π, 2/π], a = 0, se pide:

d) Calcular los puntos de corte de g(x) con el eje de abcisas.

e) Calcular los extremos absolutos y locales de g(x).

f) Dibujar g(x), utilizando la informacion anterior.


259.– Calcular la suma de: 12 + 1

4 − 13 + 1

6 + 18 − 1

5 + 110 + 1

12 − 17 + 1

14 + 116 − 1

9 + · · ·

260.– Dada la sucesion funcional de termino general fn = x4n

x4n + x2n + 1, se pide calcular y dibujar

su funcion lımite f y determinar si la convergencia es uniforme en todo IR, razonando losresultados. Si se utiliza algun teorema, debe enunciarse.

261.– Calcular el polinomio de MacLaurin de grado 2 de la funcion z(x, y), definida de forma implıcitapor la ecuacion xez + zey = 0. La funcion z(x, y) se supone suficientemente diferenciable enun entorno del punto P (0, 0).


262.– Calcular los extremos absolutos y relativos de la funcion f(x, y, z) = 3x + 15y + 6z, definidaen el subdominio D de IR3, dado por la condicion: 9x2 + 5y2 + 2z2 ≤ 16.

–41–

263.– Sea la sucesion funcional {fn(x)}n∈IN ={

(1 + x)n + x2 − 1(1 + x)n − 2x− 1

}

n∈IN. Se pide:

a) Calcular la funcion f(x) a la que converge puntualmente la sucesion.

b) Determinar el dominio de f(x).

c) Indicar en que puntos es continua f(x).

d) Analizar la diferenciabilidad de f(x).

e) Calcular f ′(x).


264.– Sea una funcion f(x) : IR → IR que verifica las siguientes condiciones:

f ′′(x) + f(x) = 0; f(0) = −1; f ′(0) = 1.

Se pide:

a) Calcular la derivada f (n(0).

b) Obtener el desarrollo en serie de Mac Laurin de f(x) y estudiar su radio y su campo deconvergencia.

c) A partir de los desarrollos de Mac Laurin de las funciones trigonometricas, sumar laserie anterior y comprobar que la funcion ası obtenida cumple las condiciones impuestaspara f .

265.– Sea la funcion f : IR2 → IR definida del siguiente modo:

f(x, y) =

{4x3

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Se pide:

a) Analizar la continuidad de f en IR2.

b) Obtener las derivadas parciales de f y estudiar su continuidad en IR2.

c) Analizar la diferenciabilidad de f en el punto (0, 0).

266.– Sumar la siguiente serie telescopica:∞∑

n=1

sen1

n(n + 1)

cos1n

cos1

n + 1

.

–42–


267.– Sea f(x) =sen

π

2(x2 − 1)

x2 − 4x + 3. Se pide:

a) Calcular el dominio de la funcion.b) Analizar la continuidad de la funcion y clasificar sus discontinuidades.c) Redefinir la funcion para que sea continua en los puntos de discontinuidad evitable.d) Analizar la derivabilidad y calcular la derivada de la funcion ası redefinida.

268.– Calculad el siguiente lımite: lımn→∞(n + 1)n

[1√

n4 + 1+ 1

3√

n3 + n2

]n

.

269.– Una cuerda de longitud L se divide en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia ycon la otra un triangulo equilatero. Calculad el radio de la circunferencia y el lado del triangulopara que el area total encerrada por ambas curvas sea maxima.


270.– Sea z = z(x, y), x = eu cos v, y = eu sen v. Expresad en funcion de las variables u, v, z(u, v)la siguiente ecuacion, simplificando al maximo la expresion obtenida:

1y

∂z

∂x+

1x

∂z

∂y= 0

271.– Analizad la convergencia de la siguiente serie numerica, indicando claramente si es condicionalo incondicionalmente convergente y, en su caso, sumadla:

13− 1

4+

11

+15− 1

6+

13

+17− 1

8+

19

+19− 1

10+

127

+111− 1

12+

181

+ · · ·

272.– Calculad el campo y el radio de convergencia y sumad la serie funcional∞∑

n=0

(n +

1n + 1

)xn


273.– Sea an = (1− 1/n)1/n − 1(1− 3

√1 + 1/n

)sen(2/n)

, n ∈ IN, un subconjunto del espacio metrico (IR, ||). Se

pide analizar la convergencia de la sucesion {an}n∈IN y determinar la adherencia, el conjuntoderivado, el interior y la frontera del conjunto.

274.– Analizad el dominio, continuidad y derivabilidad y calculad la derivada de

f(x) ={

2−1/x2, x 6= 0

0, x = 0, x ∈ IR

–43–

275.– Sea la superficie definida por z = 4xy2 + 3x2y − 12xy + 7, (x, y, z) ∈ IR3. Se pide:a) Determinar el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto P(1, 1, 2).b) Calcular los extremos relativos de la superficie, indicando si son maximos o mınimos.

276.– Analizad la convergencia de la siguiente serie numerica, indicando claramente si es condicionalo incondicionalmente convergente y, en su caso, sumadla.

∞∑

n=2

(−1)n+1 2n− 1n(n− 1)

277.– Calculad el desarrollo en serie de Mac Laurin de la funcion f(x) = (1 + x5)−2 y determinadsu radio y su campo de convergencia.


278.– Sea la serie de termino general

αn =(a + 2)(a +

√2) . . . (a + n

√2)

(b + 2)(b +√

2) . . . (b + n√

2), a, b ≥ 0.

Hallad el lugar geometrico L de los puntos de coordenadas (a, b), tales que la serie seaconvergente. Razonad si el conjunto L es abierto o cerrado.

279.– Se pide calcular el siguiente lımite: lımn→∞

√n3 sen

(4√

nn + 1

)(4√

n + 1− 4√

n), n ∈ IN.

280.– Obtened los extremos absolutos y relativos de f(x) =1

1 + |x| +1

1 + |x− 2| , x ∈ IR.

281.– Sea z = z(x, y) una funcion suficientemente diferenciable, que esta definida de forma implıcitapor la ecuacion zex + yez − cosx = 0 en un entorno del punto P (0, 1, 0). Calculad unaaproximacion polinomica a z en un entorno de P utilizando el desarrollo de Taylor de gradodos.

282.– Representad el lugar geometrico de los numeros complejos que verifican:∣∣∣∣1z− 1

z

∣∣∣∣ = 2.

–44–

2. INTEGRALES


1.– Obtener las primitivas de las siguientes funciones:

a)∫

x2

(x cosx− sen x)2dx b)

∫(x2 + 1)e2x sen x dx

c)∫

x−√

arctan 2x1 + 4x2 dx d)

∫ √ln(x +

√1 + x2)

1 + x2 dx

e)∫

x3 arcsen1x

dx f)∫

ex 1 + x2

(1 + x)2dx.


2.– Resolver la siguiente integral:∫

(x + 1)2

(3− 2x− x2)32

dx.

3.– Discutir segun los valores de a, b y c la integral:∫

dx

a + b cos2 x + c sen2 x.

4.– Hallar el volumen interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 25 y exterior al cilindro x2 + y2 = 16 enlos dos casos siguientes:

a) Usando integrales simples.

b) Usando integrales multiples.


5.– Resolver la siguiente integral:∫ √

x + 1−√x− 1√x + 1 +

√x− 1

dx.

6.– Calcular∫

x sen√

x dx.

7.– Encontrar la formula de reduccion de I(n) =∫

tann x dx.

–45–

8.– Hallar la longitud de la astroide x23 + y

23 = a

23 .



arcsenx

(1− x2)32

dx.

10.– Calcular la integral:∫

arcsenex

ex dx.

11.– Encontrar la primitiva:∫

senx cosx

sen4 x + cos4 xdx.

12.– Hallar el volumen comprendido entre el elipsoide y el paraboloide siguientes:

x2 + y2 +z2

9= 1, x2 + y2 =

8z

9.

Primer parcial. Curso 94/95

13.– Obtener las primitivas de las siguientes funciones:

a)∫

x ln(1 + x)(1− x)

dx.

b)∫

earctan x

(1 + x2)32

dx.

c)∫

x

cosec√

xdx.

14.– Demostrar que la formula de reduccion de la integral I(n) =∫

(1 + x2)neax dx es:

I(n) =2n(2n− 1)

a2 I(n− 1)− 4n(n− 1)a2 I(n− 2) +

eax(1 + x2)n

a− 2nxeax(1 + x2)n−1

a2.

Segundo parcial. Curso 94/95

15.– Hallar el volumen de un cono recto truncado cuyas bases son elipses de semiejes A = 6, B = 3y a = 2, b = 1; y la altura es igual a 2.

–46–

16.– Calcular, segun el valor de a ∈ IR,

∫ √x2 + a dx.

17.– Calcular el volumen situado por encima de la superficie z = x2 + y2, limitado por la superficiex2

a2 + y2

a2 + z2

b2 = 1.


18.– Calcular, segun los valores de a y b,∫

sen x

a + b sen2 xdx; a, b ∈ IR.

19.– Demostrar que la formula de reduccion de la integral I(n) =∫

x

Chn axdx, a ∈ IR \ {0} es:

I(n) =x Sh ax

a(n− 1)Chn−1 ax+

1(n− 1)(n− 2)a2Chn−2 ax

+n− 2n− 1

I(n− 2).

20.– El plano de un triangulo movil permanece perpendicular al diametro fijo de un cırculo de radioa. La base del triangulo es la cuerda de dicho cırculo, mientras que el otro vertice resbala poruna recta paralela al diametro fijo, que se encuentra a una distancia h del plano del cırculo.Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el movimiento del triangulode un extremo del diametro al otro.


21.– Determinar el volumen comun limitado por las dos superficies siguientes:

S1 :y2

a2 +z2

b2 = 1, S2 :x2

a2 +z2

b2 = 1, a < b; a, b ∈ IR \ {0}.

22.– Hallar la longitud del arco de curva: x = 12y2 − 1

4 ln y (1 ≤ y ≤ e).

23.– Calcular la primitiva:∫ √

x arctan√

x dx.

–47–


24.– Calcular la primitiva de:∫ √

sen 2x tan 2x

2 cos xdx.

25.– Realizar la discusion del resultado, en funcion de los valores de a y b, de:∫

sen 2x√a2 sen2 x + b2 cos2 x

dx.


13√

(x + 1)2(x− 1)4dx.


27.– Hallar el area comun a las curvas ρ = a2 sin 2θ y ρ = a2

2 .

28.– Calcular el volumen exterior a la superficie x2

a2 + y2

a2 + z2

b2 = 1 e interior a la superficie

x2

b2 + y2

b2 + z2

a2 = 1, siendo a > b > 0.

Examen final. Curso 95/96

29.– Calcular la primitiva:∫

x√1 + x2 +

√1 + 3x2(1 + x2) + x6

dx.

30.– Calcular el volumen interior a la superficie x2 + y2 + (z − 4)2 = 8 y exterior a la superficie3x2 + 3y2 + z2 = 16.

31.– Hallar la superficie engendrada, al girar alrededor del eje OY, por el semiarco de la cicloide:

x = a2(t− sen t) y = a2(1− cos t) , t ∈ [0, π].

Examen extraordinario. Curso 95/96

32.– Hallar la longitud de la curva x = aθ cos θ; y = aθ sen θ; θ ∈ [0, 2π], a > 0.

33.– Determinar el volumen comun a las superficies: z = x2 + y2 y (z − 5)2 + x2 + y2 = 5.

–48–


34.– Calcular:∫

1a + b tan2 x

dx; a, b ∈ IR.

35.– Deducir la formula de reduccion de I(n) =∫

x

Shn xdx, n = 0, 2, 4, 6, ... y aplicarla para

calcular explıcitamente I(4).


36.– Calcular el area del paraboloide de revolucion engendrado por la parabola x = y2 , x ∈ [0, 1],al girar en torno al eje x.

37.– Calcular el volumen interior a la superficie x2 + y2 + (z − 4)2 = 16 y situado por encima dez =

√x2 + y2,

a) Por integracion simple.

b) Por integracion multiple.


38.– Calcular la siguiente integral:∫

x5

√a + bx2

dx , a > 0, b ∈ IR.

39.– Calcular el area comprendida entre las curvas y2 = 2x y x2 + y2 = 8.

40.– Sea el paraboloide de ecuacion αx2 + αy2 + z = h (α, h > 0). Demostrar por integraciontriple que el volumen limitado entre dicha superficie y el plano z = 0 vale V = 1

2Bh, siendoB el area de la base de la figura resultante.



1x2

√x− 1x + 1

dx.

42.– Calcular la longitud de la curva y = a ln a2

a2 − x2 comprendida entre x = 0 y x = b < a.

43.– Sea la espiral de ecuacion ρ = θ; θ ∈ [0, π]. Calcular el volumen interior a la superficieengendrada al girar la curva en torno al eje polar.

–49–


44.– Calcular, segun los valores de a y b:∫

Sh(ax) Ch(ax + b) dx; a, b ∈ IR.

45.– Calcular la siguiente integral:∫

1

(x− 1)2√

2x− x2dx.

46.– Demostrar que la formula de reduccion de I(n) =∫

ex senn x dx, n ∈ Z es igual a:

I(n) = ex senn−1 x1 + n2 (senx− n cosx) + n(n− 1)

1 + n2 I(n− 2).


47.– Sobre las cuerdas de la astroide x2/3 + y2/3 = c2/3, c ∈ IR, paralelas al eje OX, se hanconstruıdo unos cuadrados cuyos lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planosen que se encuentran son perpendiculares al plano OXY . Hallar el volumen del cuerpoası engendrado.

48.– Hallar el area interior a la curva ρ = a2 cos 3θ, a > 1, y comprendida dentro de lacircunferencia ρ = a.


49.– Calcular el volumen comun a las siguientes superficies:

- S1, engendrada al hacer girar la curva ρ1 = 1 + cos θ alrededor del eje polar.

- S2, engendrada al hacer girar la curva ρ2 = 32 alrededor del eje polar.

50.– Discutir, segun los valores de a, b ∈ IR, el valor de∫

x2

√ax2 + bx

dx.


51.– Deducir la expresion de la formula de reduccion de∫

arcsenm x dx, m ∈ IN.

52.– Resolver:∫

1sen x + cosx + 2

dx.

53.– Calcular el area interior a la curva ρ = 4 sen θ, que sea exterior a la curva ρ2 = 8 cos 2θ.

–50–



arctan√

x− 1√x− 1 +

√x3 − 3x2 + 3x− 1

dx.

55.– Resolver la integral∫

x2

(x− 1)100 dx.

56.– Calcular∫

1a + tanx

dx, a ∈ IR.


57.– Sea la curva en parametricas, de ecuacion

x(t) = 1 + 2 cos t− 2 sen t; y(t) = 2 sen t + 2 cos t, t ∈[−π

4,π

2

].

Se pide:

a) Hallar el area bajo la curva.

b) Calcular la superficie lateral generada al girar la curva alrededor del eje X.

c) Escribir la ecuacion cartesiana de la curva e interpretar el resultado graficamente.

58.– Se considera un cilindro recto de base la cardiode: ρ = 1+cos θ, θ ∈ [0, 2π]. Se considera elrecinto R de IR3 encerrado por el cilindro y acotado superiormente por la esfera x2+y2+z2 = 36e inferiormente por el cono z = 5−

√x2 + y2. Calcular la integral:∫ ∫ ∫

R

yz

x2 + y2 dV.



sen 2x

sen4 x + cos4 xdx.

60.– Dada la integral triple∫ √

2

−√2

∫ √2−y2

−√

2−y2

∫ √4−x2−y2

√x2+y2

z2dz dx dy,

se pide:

a) Identificar las cuadricas que delimitan el recinto de integracion y dibujarloaproximadamente.

b) Mediante el teorema de cambio de variable, escribir esta integral en coordenadasesfericas.

c) Hallar el valor de la integral.

–51–


61.– Calcular∫

dx√1 + ex

.

62.– Calcular el valor exacto de la integral:

∫ ∫

R−y

|x2 − y + 1|y − (x2 + 1)

dx dy,

siendo R ={(x, y) ∈ IR2; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 5, y 6= x2 + 1

}.


63.– Calcular la integral siguiente, segun los valores del parametro a:

∫cosx√

2 + a cos 2xdx, a ∈ IR.

64.– Hallar la formula de reduccion de I(n). Obtener tambien I(0) e I(1), razonando si es necesariocalcular una primitiva para ello.

I(n) =∫

arc cosn x dx


65.– Calcular el volumen comun a un cubo con centro en el punto (0, 0, 1) y base inferior sobre elplano z = 0 y a un paraboloide de ecuacion x2 + y2 = 1− z/4.

66.– Calcular el area encerrada por la curva ρ = a (sen t + cos t) sen 2t, t ∈ [0, π], en los dosprimeros cuadrantes.


67.– Calcular el volumen encerrado por el elipsoide de ecuacion x2 + y2 + z2/2 = 16, el planoz = 0, el plano x = 1 y el plano x = 3.

68.– Calcular el area encerrada bajo la curva y = sen 2x y sobre la curva y = cosx en el intervalo[0, 2π].

–52–


69.– Resolver las siguientes integrales:

∫x− 2√

x2 + x + 1dx ;

∫1

16ex + 4e−xdx.

70.– Dadas las siguientes superficies

(1) x2 + 4y2 + z − 4 = 0, (2) x2 + 4y2 + z2 − 163

z − 4 = 0,

calcular el volumen que, siendo interior a la superficie (2), esta bajo la superficie (1).


71.– Sea I(n) =∫

xα lnn x dx, α ∈ IR, n ∈ Z. Obtener una formula de reduccion para ella,

teniendo en cuenta los valores del parametro α y hallando I(0) cuando sea necesario.

72.– Resolver, en funcion de los valores de los parametros a, b ∈ IR,

∫dx

a + b senx.


73.– El plano z = 0 representa el suelo horizontal de una aldea esquimal. Sobre este suelo seconstruye un iglu, cuya superficie exterior esta descrita por x2 + y2 + z2 = 22, z ≥ 0, y cuyasuperficie interior esta descrita por z = 1 − (x2 + y2), z ≥ 0 (unidades en metros). El preciodel hielo colocado en el iglu varıa con la altura (10000 z pts/m3), de modo que el precio totalvendra dado por la expresion:

P =∫ ∫ ∫

R10000 z dV,

donde R es el espacio ocupado por la pared de hielo (no se consideraran puertas ni ventanas).Calculese el precio P del iglu.

74.– Resolver los siguientes problemas:

a) Sea R la region plana limitada por la curva y = sen 2x, 0 ≤ x ≤ π y por la curva y = 0.

Determinar I =∫ ∫

RxdA.

b) Hallar el area de la superficie generada al hacer girar el arco ρ = cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/4,alrededor del eje Y .

–53–


75.– Calcular el volumen comun a dos esferas de radios 11 y 5 cm. cuyos centros distan 12 cm.

76.– Calcular, segun los valores de a, b ∈ IR,

∫x3

(a + bx2)3dx.


77.– Calcular∫

x3√

1− 3xdx.

78.– Sea R la region del espacio inferior a z = 22 − x2 − y2 , con x ≥ −1, y ≥ −1, z ≥ 0. Sepide una expresion integral del volumen de R, sin que sea necesario resolver dicha integral.

79.– Hallar el volumen generado al hacer girar, alrededor de la recta y = −1, el area plana limitadapor y = senx, x ∈ [0, π] e y = 0.


80.– Obtener la formula de reduccion y la formula explıcita de la integral siguiente:

I(n) =∫

xn Sh ax dx, a ∈ IR, n ∈ IN, n par.

81.– Resolver la integral I =∫ −3 sen x cosx− sen x

cos3 x + 5 cos2 x + 12 cosx + 8dx.


82.– Calcular el volumen limitado por las superficies siguientes: z + cos y = 0, z − y − π2 = 0,

z + 2y − π = 0, x = −1, x = 1.

83.– Resolver los siguientes problemas:

a) Sea R la region plana limitada por la curva ρ = 2 cos θ. Determinar I =∫ ∫

Rx dA.

b) Hallar el volumen de la parte de madera de una peonza, descrita por la revolucion entorno al eje X de la region plana delimitada por la curva y = 6xe−x, x ∈ [0, 5] y por larecta x = 5.

–54–


84.– Calcular la siguiente integral segun los valores de a ∈ IR :∫

dx

(1 + sen ax)2.

85.– Se considera un deposito limitado por las siguientes superficies:

z = 0; x2 + y2 = (z + 1)2; x2 + y2 + z2 = 5.

El deposito esta completamente lleno de un lıquido de densidad f(z). El espesor de sus paredesse considera despreciable. Se pide:

a) Plantear la expresion integral para calcular la masa del lıquido.

b) Calcular el valor de dicha masa para una densidad constante f(z) = 1.

Nota: Para evitar ambiguedades en la determinacion del deposito pedido se tendra en cuentaque este se halla por encima del plano XY y contiene en su interior a un segmento del eje OZ.


86.– Calcular la integral siguiente:∫

dx

x2√

4x2 + 2x + 1.

87.– Como base para la construccion de un edificio, se desea levantar, sobre un terreno horizontal,un tronco de piramide de tierra. Dicha piramide es recta, de base un cuadrado de 20m de lado.La inclinacion de los taludes es de 45◦. La tierra se obtiene gratuitamente en una excavacioncercana, debiendose pagar tan solo su transporte a obra. El precio del transporte varıa con laaltura z a la que la tierra se deposita, segun la formula f(z) = (1+0.2 z) euros/m3. Determinarel coste debido a la tierra en funcion de la altura H del tronco de piramide y particularizarlopara el caso de que H valga 1m.


88.– Resolver la integral I =∫

ln(Ch2 x)Sh3 x

Ch x + 1dx.

89.– Obtener la formula de reduccion para I(n) =∫

x2n−1

(x2 + 1)n+3 dx, n ∈ IN.


90.– Calcular mediante integracion el volumen limitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 1;√3y − z = 0; y = 0 en el semiespacio z ≥ 0.

–55–

91.– Calcular el volumen del solido engendrado al girar alrededor del eje de abscisas la region delplano comprendida entre dicho eje y la curva de ecuacion: y = 8

4 + x2 .


92.– Calcular, segun los valores de a, b ∈ IR, a, b ≥ 0,∫

1(a + bx2)2

dx.

93.– Se consideran dos esferas de radios 3 y√

14 m respectivamente, cuyos centros distan entresı 5m. La mayor esta centrada en el origen de coordenadas y la menor en un punto de la partepositiva del eje OZ. Se pide:

a) Dibujar las esferas y su interseccion aproximada.

b) Escribir sus ecuaciones cartesianas.

c) Definir completamente (sin necesidad de resolverla) la expresion en integrales triples–cilındricas y cartesianas– necesaria para el calculo del volumen de su interseccion VI .

d) Expresar el volumen de la union de las dos esferas en funcion de VI .


94.– Calcular el valor de la siguiente integral, simplificando al maximo la expresion obtenida:

∫ 1

0xp(1− x)qdx; p, q ∈ IN.

95.– Se desea conocer el volumen y coste de una excavacion. El volumen excavado tiene formade tronco de cono. Su base mayor es un cırculo de radio 5 m. situado en el plano XY , quecorresponde al plano del terreno. La excavacion tiene una profundidad de 3 m y su fondo eshorizontal. La ecuacion de la superficie del cono es x2 + y2 − (z + 5)2 = 0. Se pide:

a) Obtener por integracion triple el volumen de excavacion en m3.

b) Si el precio p(z) por m3 de excavacion varıa con la profundidad, definir completamentela expresion, en funcion de p(z), necesaria para el calculo del coste total.


96.– Calcular∫

lnx4

x√

1 + lnx2dx.

97.– Obtener∫ (

1 + x + x2)−2

dx.

–56–


98.– Sea el cuadrado formado por los ejes coordenados y las rectas x = 1, y = 1. La curva y = xk,0 ≤ x ≤ 1, k > 0, divide dicho cuadrado en dos regiones: R1 (la superior) y R2 (la inferior).Obtener:

a) El volumen V1 del solido generado al girar la region R1 en torno al eje y.

b) El volumen V2 del solido generado al girar la region R2 en torno al eje y.

c) En el caso k = 2, obtener el area de la superficie generada al girar la curva dada entorno al eje y.

d) En el caso k = 2, obtener la longitud de la curva dada.

99.– Calcular∫ ∫

D

(x2 + y2

)dxdy, siendo D la region limitada por las curvas x2 + y2 = 2x y

x2 + y2 = 4x.


100.– Hallar el volumen interior a x2 + y2 = 9, comprendido entre las superficies z = 6 yx2 + y2 + 4z = 16.

101.– Obtener la formula de reduccion para I(n) =∫

arc cosn x dx, n ∈ IN. Calcular I(0) e I(1) si

es necesario para obtener explıcitamente I(n). De lo contrario, justifıquese.


102.– Calcular∫

(tan 2x + sec 2x)2 dx.

103.– Hallar el volumen limitado por las superficies siguientes:

x2 + y2 = (z + 3)2 con 0 ≤ z ≤ 4;

x2 + y2 = z2 + 9 con −4 ≤ z ≤ 0;

z + 4 = 0; z − 4 = 0.


104.– Calcular∫ √

x + 1− 1√x + 1 + 1

dx.

105.– Obtener∫

cos2 x

1 + cos2 xdx.

–57–


106.– Sean las curvas, y = b−x2 e y = ax2; a, b > 0. Se pide determinar los valores de a y b paraque el area comprendida entre el eje X y la primera de ellas sea el doble del area encerradaentre las dos.

107.– Hallar el volumen limitado por las superficies x2

6 + y2

2 = z − 2 y x2

3 + 3y2

2 = z.


108.– Calcular la primitiva de∫

x√x2 + 2x− 3

dx.

109.– Sea el cuerpo A, generado al girar en torno al eje y la superficie comprendida entre la curvay =

√25− x2 y el eje x. Sea el cilindro B, de eje el y, de seccion recta circular de radio 3m.

Se considera el cuerpo C, obtenido al eliminar de A el volumen comun a A y B. Calcular elcoste necesario para pintar completamente el cuerpo C, si la pintura necesaria para un m2 desuperficie cuesta un euro (el calculo de toda la superficie se realizara por integracion).


110.– Resolver, en funcion del numero real a, I =∫

14 + a cos2 x

dx.

111.– Sea el cuerpo IC, determinado por las superficies x2 +z2 ≤ r2, xy ≤ b, e y ≤ a, con x, y, z ≥ 0,donde b < ar y a, b, r > 0. Definir completamente, sin necesidad de resolverla, la expresion enintegrales triples necesaria para el calculo del volumen del cuerpo IC, reduciendolas a integralesdefinidas de variable x.


112.– Resolver∫

cos2 x

x + sen x cosxdx.

113.– Obtener∫

x2 arc cosx dx.


114.– Calcular la longitud de un arco de la cicloide de ecuacion: x = t− sen t; y = 1− cos t.

–58–

115.– Calcular el volumen comun, en el semiespacio z ≥ 0, interior a las superficies

x2 + y2 + z2 = 6 y 2x2 + 2y2 − z2 = 0.


116.– Sea el tramo de curva y = 2− x2, y ≥ 0. Calcular el area de la superficie generada por el, algirar en torno al eje OY .

117.– Calcular la formula de reduccion de I(n) =∫

x2n cos ax dx, a ∈ IR, n ∈ IN.


118.– Calcular∫

dx

x2√

x2 − a2, a ∈ IR.

119.– Hallar∫∫∫

Rz(x2 + y2)dxdydz, siendo R el recinto limitado por la superficie x2 + y2 + z2 = 1.


120.– Obtener∫

sen 2x + 2 cosx

sen2 x + sen x + 1dx.

121.– Sea I(n) =∫

xα

lnn xdx, n ∈ IN. Obtener la formula de reduccion para I(n), segun los valores

de α ∈ IR, suponiendo conocida I(1).


122.– Un recipiente en forma de embudo se obtiene como resultado de la union de dos troncos decono. Las dimensiones –en unidades de longitud– de la parte mas ancha (sobre la que se vierteel lıquido) son: radio mayor Ra = 10, radio menor ra = 2, altura ha = 4. Las dimensiones dela parte mas estrecha (por la que cae el lıquido) son: radio mayor Re = 2, radio menor re = 1,altura he = 3. Calcular por integracion simple la capacidad del recipiente, considerando queel volumen se genera al girar un area plana alrededor de uno de los ejes coordenados.

–59–

123.– Sea la funcion f(x, y) =

xy2 y ≥ 3x

19x y < 3x

. Se desea calcular∫ ∫

Rf(x, y) dxdy, siendo el recinto

de integracion R ={(x, y) ∈ IR2 / y ≥ x2; y ≤ 9; y ≥ 1; x ≥ 0

}. Se pide:

a) Dibujar el conjunto R.

b) Plantear la integral en los dos posibles ordenes de las variables.

c) Calcular la integral en uno de los dos ordenes.


124.– Obtener∫

dx

x4√

x2 + 1.

125.– Sea D la region comprendida entre las circunferencias x2+y2−2y = 0 y x2+y2−4y = 0, conx ≥ 0, y ≥ x. Se pide representar la region D y calcular su area por integracion doble.


126.– Calcular la primitiva de:∫

11− x2 ln

1 + x

1− xdx.

127.– En las obras del metro, para soportar el peso de la tierra, se construye una estructura comola encerrada entre las dos parabolas del dibujo. Si el precio del hormigon es de 300 euros/m3,calcular el coste del hormigon necesario para construir una longitud de tunel de 200 m.

20

10

10


128.– Resolver∫

1

x√

x2 + adx, a ∈ IR.

129.– Se pide la formula de reduccion de I(n) =∫

cotgn x dx, n ∈ IN.

–60–


130.– En una esfera de radio 5 unidades se efectua un agujero en forma de cilindro circular con radio4 unidades. El eje del cilindro taladrado coincide con un diametro de la esfera. Calcular,mediante integracion simple, el volumen del solido resultante.

131.– Sea V el volumen, en el primer octante, limitado superiormente por la superficie A einferiormente por la B, siendo las ecuaciones de dichas superficies, en coordenadas esfericas:

A : r = 3; B : ϕ = π/3.

Se pide:

a) Dibujar A y B en el primer octante.

b) Plantear el calculo de V en coordenadas esfericas, cilındricas y cartesianas.

c) Resolver los casos de cilındricas y esfericas.

Examen final. Curso 07/08

132.– Hallar la primitiva de∫ √

x cosh√

x

2dx.

133.– Calcular la integral: ∫∫∫

V(2zx2 + 2zy2)dxdydz,

siendo V el volumen exterior a z2 = x2 + y2 e interior x2 + y2 = 1, con z ≥ 0.

Examen extraordinario. Curso 07/08

134.– Obtener∫ (

cotgp x + cotgp+2 x)dx, siendo p ∈ IR.

135.– Un solido esta limitado por la superficie z = x2 − y2, el plano XY , y los planos de ecuacionx = 1 y x = 3 respectivamente. Se pide calcular su volumen.

–61–

3. CUESTIONES TIPO TEST

Nota: Pueden ser correctas varias respuestas simultaneamente, o ninguna de ellas.

1.– Sea {z} un conjunto de numeros complejos con la propiedad θ2 = a, siendo θ el argumento.En este caso el afijo de z recorre. . .

© Una recta de pendiente tan a.

© Dos rectas simetricas respecto al eje X, de inclinacion ±a2 radianes.

© Una circunferencia centrada en el origen.

© Una recta vertical de ecuacion x = ±√a.

© Una hiperbola equilatera.

2.– Sea el complejo z = a + bi. Se verifica . . .

© sen z = Sh a cos b + i Ch a sen b.

© Ch(−b + ai) = cos(a + bi).

© tan(zi) = −1i Th z.

© ezi = Ch(zi) + Sh(zi).

© Re(ez) = eb cos a.

3.– Sea z un numero complejo no nulo.

© El modulo de su logaritmo neperiano, | ln z|, puede ser tan grande como queramos.

© El conjugado de su cuadrado es igual al cuadrado de su conjugado.

© Su potencia n-sima cumple: zn = ρn(cosn θ + i senn θ).

© Los afijos de los complejos n√

z estan equiespaciados en una circunferencia de radio |z|n .

© El conjunto de los complejos es numerable pues es biyectivo con IR2.

4.– Hemos estudiado distintos tipos de numeros. Sean r y s dos numeros cualesquiera, con lacondicion de no pertenecer a IQ. Entonces . . .

© rs puede ser racional.

© rs puede ser imaginario.

© rs puede no existir.

© rs ≥ 1 o r

s < 1, siempre.

© Existe al menos una sucesion de numeros reales cuyo lımite es rs .

–62–

5.– Sean los conjuntos A = {a ∈ IQ/a2 ≤ 3} y B = {b ∈ IR/b2 < 3}. Se cumple . . .

© A y B estan acotados superiormente pero no inferiormente.

© A tiene maximo pero B no.

© No tienen maximo por la forma en que han sido definidos.

© Ambos tienen supremo en IR pero ninguno lo tiene en IQ.

© Ambos tienen ınfimo en IR pero ninguno tiene mınimo.

6.– Para poder aplicar el Principio de Induccion a un conjunto de infinitos elementos, con el finde intentar demostrar una propiedad, es necesario que. . .

© Todos los elementos del conjunto sean numeros enteros.

© Todos los elementos del conjunto sean numeros racionales.

© El conjunto sea numerable.

© El conjunto tenga estructura de cuerpo ordenado.

© No se repita ningun elemento.

7.– Sean las sucesiones de termino general an = 7n − 17n y bn = 8n + 1

8n , n ∈ IN. Se cumple que . . .

© Son de Cauchy pero no convergen en IQ por no ser este completo.

© Definen los numeros reales inmediatamente anterior y posterior a 1.

© Convergen en IQ a un mismo numero real.

© No convergen en IQ pues los numeros anterior y posterior a 1 no son racionales.

© Su diferencia no es una sucesion nula.

8.– Entre los numeros racionales y los naturales existe una correspondencia biunıvoca. Podemosafirmar que . . .

© Puede asignarse un numero de orden a cada numero racional.

© Dado un numero racional siempre es posible hallar el racional que le sigue en la rectareal.

© Existe el mismo numero de racionales que de naturales.

© Entre dos numeros naturales existe como maximo un numero finito de racionales.

© IQ es denso y numerable.

9.– Sea el espacio metrico (E, d) y el conjunto A ⊂ E.

© Todo punto frontera de A es de acumulacion de A.

© Todo punto de acumulacion de A es, o bien frontera, o bien interior de A.

© Fr(A) es cerrado solo si A es abierto.

© Si Fr(A) ⊂ A, entonces A = A.

© Fr(A) ∩A = φ ⇒ A ⊂◦A.

–63–

10.– Sea (E, d) un espacio metrico y A, B ⊂ E. Se cumple. . .

© Si A ⊂ B y A ⊂ B, entonces A es cerrado.

© A ∪ B = A ∪ B, siempre.

© A puede no contener algun punto de A, siempre y cuando este sea aislado.

© (A

)= A.

© Si A es abierto, su adherencia y su conjunto derivado coinciden y viceversa.

11.– Sea el espacio metrico (IR, ||). Podemos afirmar que . . .

© IQ ⊂ IR es abierto.

© IQ ⊂ IR es cerrado.

© El conjunto X = {x ∈ IR/ 1 < x ≤ 2} es abierto y cerrado.

© El conjunto φ no es ni abierto ni cerrado.

© Todo cerrado es intervalo cerrado.

12.– Consideramos el conjunto IR con la topologıa usual.

© Todo abierto en IR es intervalo abierto.

© Todo intervalo cerrado es cerrado.

© El conjunto de los naturales es cerrado.

© IR coincide con su adherencia.

© IQ no es ni abierto ni cerrado.

13.– Sea {an}n∈INuna sucesion tal que an < 0 y an+1 > an, ∀n ∈ IN. Entonces la sucesion. . .

© Tiene lımite 0.

© Diverge a −∞.

© No puede ser oscilante.

© Esta acotada inferiormente pero no superiormente.

© Es convergente en IR.

14.– Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones nulas. Para obtener los lımites que se indican a continuacionpodemos sustituir an, bn y cn por sus infinitesimos equivalentes.

© lımn→∞

an · bncn

.

© lımn→∞

an + bncn

.

© lımn→∞

anbn + cn

.

© lımn→∞

(an + bnbn + cn

).

© lımn→∞

(an + bn

cn

).

–64–

15.– Dadas las sucesiones de numeros reales {an}, {bn} y {cn}, donde cn = anbn

. Si existe c = lımn→∞cn,

podemos afirmar de {an} y {bn} que . . .

© No pueden ser divergentes las dos.

© Es posible que no sean convergentes las dos.

© {an} debe ser convergente y {bn} debe estar acotada inferiormente por un numeropositivo.

© Pueden ser oscilantes las dos.

© Si una es oscilante, la otra debe serlo tambien.

16.– Si la serie∞∑

n=1

an es divergente, la serie∞∑

n=1

(an)α, α > 1, sera. . .

© Divergente.

© Convergente.

© Puede ser convergente o divergente.

© Absolutamente divergente.

© Absolutamente convergente.

17.– Una serie tiene como termino general el infinitesimo an, cuyo signo es alternativamente positivoy negativo. Entonces . . .

© La serie es absolutamente convergente.

© Si ∀n |an| < |an−1| , la serie es convergente.

© Si ∃n/|am| < |am+1| ∀m ≥ n, la serie es convergente.

© La serie es convergente pero no absolutamente convergente.

© Si ∃n/|am| < |an| ∀m ≥ n, la serie es convergente.

18.– Sea {an} una sucesion oscilante. Se cumplira que. . .

© Su termino general no tiende a 0.

© Es de terminos positivos y negativos.

© La serie∞∑

n=1

an es absolutamente divergente.

© La serie∞∑

n=1

an es condicionalmente convergente.

© Podemos calcular el caracter de∞∑

n=1

an mediante el Teorema de Leibnitz.

–65–

19.– La convergencia de una serie aritmetico geometrica. . .

© No depende de los coeficientes del polinomio que define la parte aritmetica.

© No depende de la razon de la parte geometrica.

© Depende del grado del polinomio que define la parte aritmetica.

© Debe estudiarse por el criterio de la razon.

© Este tipo de series converge siempre.

20.– Si al aplicar el criterio de D’Alembert a∞∑

n=1

an, se obtiene un valor de l = −1 . . .

© La serie es convergente.

© La serie es divergente.

© La serie es absolutamente divergente.

© El criterio ha sido incorrectamente aplicado.

© Debemos aplicar el criterio de Raabe.

21.– Sea la funcion f : I → IR , I = (a, b) ⊂ IR.

© f puede descomponerse siempre en suma de una funcion par y una impar.

© Si f(x) es monotona creciente, |f(x)| tambien lo es.

© Si f ∈ C1, son continuas ella y su derivada.

© La funcion Parte Entera de x es discontinua en I, ∀I ⊂ IR.

22.– Sea la funcion f : D → IR, siendo D ⊂ IR el dominio de f .

© Si f tiene lımite en c, c ∈ IR, entonces esta definida en c.

© Si f tiene lımite en un punto de D, entonces esta acotada en un entorno de ese punto.

© Si f es continua en c ∈ I, tiene lımites laterales iguales en c.

© Si |f(x)| es continua, f(x) tambien lo es.

23.– Sea {fn}n∈IN una sucesion funcional.

© Dado un x ∈ IR, {fn(x)}n∈IN es una sucesion numerica.

© Si para cada x ∈ IR podemos obtener lımn→∞fn(x) = φ(x), decimos que {fn}n∈IN converge

uniformemente a φ.

© Si las fn son continuas y convergen a una funcion no continua, la convergencia no esuniforme.

© Si {fn}n∈IN es convergente ∀x ∈ IR, la serie funcional

{n∑

i=1

fi(x)

}

n∈INtambien lo es.

–66–

24.– Sea la funcion continua f : I → IR , I = [a, b] ⊂ IR.

© La imagen de [a, b] sera tambien un intervalo cerrado.

© f es uniformemente continua.

© Si f es monotona, es derivable.

© Si f es derivable, es diferenciable.

25.– Sea la funcion f : I → IR , I = [a, b] ⊂ IR.

© Si f es continua, tiene primitiva.

© Si f es continua a trozos, es integrable.

© Si f es integrable,∫ xa f(t)dt es una primitiva de f .

© Si f es discontinua, puede tener primitiva.

26.– Sea E(x) la parte entera de x. La funcion f(x) = E(|x|). . .© Es una funcion par.

© Es integrable entre dos puntos a, b ∈ IR, cualesquiera.

© Existen infinitos intervalos no vacıos en los que la funcion es derivable.

© Es creciente.

27.– Sean f y g funciones de I en IR , I = (a, b) ⊂ IR.

© Si f esta definida en c ∈ I, tiene lımite en c.

© Si f tiene lımite finito en c ∈ I, es continua en c.

© Si f + g es continua en I, f y g son continuas en I.

© Si f y f + g son continuas en I, g es continua en I.

28.– La funcion y = e1x . . .

© Tiene una sola asıntota y es horizontal.

© Pasa por el origen.

© Su mınimo absoluto es 0.

© Su recorrido tiene ınfimo.

29.– La funcion f(x) = 1− x23 verifica. . .

© Es derivable en todo IR.

© Es continua en todo IR.

© Es integrable en todo [a, b] ⊂ IR.

© f(1) = f(−1), luego f′(x) = 0 en algun punto de [-1,1].

–67–

30.– Sean las funciones f(x) y g(x).

© Si lımx→∞

f(x)g(x)

= 1 =⇒ lımx→∞ f(x)− g(x) = 0.

© Si f(x) es continua en [a, b] y se anula en un punto interior de dicho intervalo, entoncestiene distinto signo en los extremos.

© Si f(x) no esta acotada en (a, b), entonces no es continua en (a, b).

© Si g(x) es una funcion par, derivable en todo IR, entonces g′(0) = 0.

31.– Sea la funcion f , derivable en todo IR. Si f(1) = 1 y f(2) = 2, entonces . . .

© ∃ξ ∈ (1, 2)/ f(ξ) = ξ.

© ∃ξ ∈ (1, 2)/ f(ξ) = 1.

© ∃ξ ∈ (1, 2)/ f(ξ) =√

2.

© ∀ξ ∈ (1, 2)/ f′(ξ) > 0.

32.– Sean f y g dos funciones integrables en [a, b].

©∫

f(x)g(x) dx =∫

f(x) dx ·∫

g(x) dx.

© Si∫ b

ag(x) dx > 0, entonces existe

∫ b

a

f(x)g(x)

dx.

©∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx, ∀c ∈ IR.

©∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(x)| dx.

33.– Sea la funcion f : IR2 → IR. Sea el punto ~a ∈ IR2.

© Si en ~a existe lımite funcional, existen los direccionales y viceversa.

© Si en ~a los lımites direccionales existen y coinciden, existe lımite funcional.

© Los lımites reiterados o dobles son un caso particular de los direccionales.

© Si los lımites direccionales en ~a dependen de la direccion, f no es continua en ~a.

34.– Sea la funcion f : IRn → IR. Sea el punto ~a ∈ IRn.

© Para que f sea diferenciable en ~a, las derivadas parciales han de ser continuas en ~a.

© Si la derivada direccional en ~a depende de la direccion, f no es diferenciable en ~a.

© Si la derivada direccional en ~a depende de la direccion, las derivadas parciales en ~a sondistintas siempre.

© Si f es diferenciable en ~a, se cumplira: D~ωf = ~gt en ~a.

–68–

35.– Sea la funcion f : IR2 → IR, f ∈ C2.

© f es diferenciable.

© Se cumple el teorema de Schwarz, de las derivadas cruzadas.

© No podemos asegurar que la matriz hessiana sea simetrica.

© La derivada total de f,dfd~x

es una funcion vectorial de dos variables, continua.

36.– Sea la funcion f : IRn → IR y ~a interior a su dominio D ⊂ IRn.

© Si se cumple D~ωf = ~gt · ~ω en ~a, la funcion es diferenciable en ~a.

© Si f ∈ C2, entonces tiene lımite funcional en ~a.

© Si D~ωf(~a) = 0 ∀~ω, la funcion es continua en ~a.

© Si f(~x) tiene un extremo relativo en ~a y es diferenciable en ~a, entonces ~∇f(~a) = ~0.

37.– Para el calculo de extremos relativos, hemos de determinar que tipo de forma cuadratica es ladiferencial segunda de la funcion. Entonces. . .

© Si todos los menores de la matriz hessiana son negativos, la forma cuadratica es definidanegativa.

© Si diagonalizamos la matriz hessiana obtenemos el tipo de forma cuadratica.

© Si el determinante hessiano es nulo, la forma cuadratica es semidefinida.

© Si la forma cuadratica es semidefinida, no existen maximos ni mınimos relativos.

38.– Indıquese cuales de las siguientes expresiones son ciertas.

© Sean ~y = ~f(~x); ~z = ~g(~y) = ~Φ(~x); ~f,~g diferenciables. Entonces, ∂Φk∂xi

=∑ ∂gk

∂yj

∂fj

∂xi.

© Sea z = f(~x). Si f es suficientemente regular, dpz =(

∂f∂xi

dxi

)(p.

© Si u = f(~x), entonces du2 = d(u2).

© Sea ~f : IRn −→ IRn, diferenciable. Entonces, d~f−1(~x)d~x

=[d~f(~y)

d~y

]−1

~y=~f−1(~x)

.

39.– Sea z = f(x, y) la ecuacion de una superficie en IR3.

© Si existe ~∇f en un punto, es perpendicular a la superficie en dicho punto.

© Si existe ~∇f en un punto, nos indica la direccion en que f crece mas rapido, a partir dedicho punto.

© Si f es diferenciable, las componentes de ~∇f son las derivadas parciales de f .

© D~ωf = ~gt · ~ω es condicion necesaria y suficiente de diferenciabilidad.

–69–

40.– Sea la funcion f(x, y) = x sen y + y sen x. En el (0, 0), f . . .

© Tiene un maximo.

© Tiene un mınimo.

© No tiene ni maximo ni mınimo.

© No cumple la condicion necesaria de extremo.

41.– Sea X ⊂ IR. Se dice que F (x, y) = 0 define a y como funcion implıcita de x en X si y solo si∀x ∈ X ∃ψ(x)/ F (x, ψ(x)) = 0. Entonces. . .

© Es condicion necesaria para que exista funcion implıcita que ∂F∂x

sea continua.

© Para que exista funcion implıcita en un entorno de (a, b), es condicion suficiente queF, ∂F

∂x, ∂F

∂ysean continuas y F (a, b) = 0.

© Si F (x, y) = x2 + y2 + 1, no existe funcion implıcita.

© Si existe funcion implıcita, se cumple: dψdx

= −∂F/∂x∂F/∂y

42.– Sean la funcion f : IR2 → IR; f ∈ IC2 y el punto de IR3 P (a, b, f(a, b)). Entonces. . .

© z = f(a, b) es la ecuacion de un plano horizontal.

© z = f(a, b) + ∂f∂x

(x− a) + ∂f∂y

(y − b) es la ecuacion del plano tangente en el punto P a

la superficie z = f(x, y).

© La matriz hessiana de f es simetrica.

© No podemos asegurar que f sea dos veces diferenciable.

43.– Sea f una funcion de varias variables y g una condicion de ligadura.

© Si f tiene un extremo relativo en ~a, el extremo se mantiene cuando imponemos g.

© Si f tiene un extremo relativo condicionado en ~a, entonces f (sin ligadura) tiene tambienun extremo relativo en ese punto.

© Cuando la forma cuadratica d2L es definida, no es preciso utilizar la restriccion dg = 0.

© Si la forma cuadratica d2L es indefinida, puede convertirse en definida con la restricciondg = 0.

44.– Sean ~y = ~f(~x); ~z = ~g(~y) = ~g(

~f(~x))

= (~g ◦ ~f)(x).

© Es condicion necesaria y suficiente que ~f y ~g sean diferenciables para que ~g ◦ ~f lo sea.

© Si ~f y ~g tienen derivadas parciales, se cumple la regla de la cadena.

© Si una de las dos es diferenciable y la otra tiene derivadas parciales, ~g ◦ ~f tiene derivadasparciales y se cumple la regla de la cadena.

© Si ~g ◦ ~f no es diferenciable, al menos una de las dos funciones no lo es.

–70–

4. SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

1) θ = 1n + 1π, 2

n + 1π, . . . nn + 1π.

2) a = 0; α =

π

2+ 2kπ

π

2+ 2mπ

, k,m ∈ Z.

3) a) 1; b) max(a,b); c) 0; d) 5 ln 2.

4) Pn =(

a4n−1 +

[12 + 1

8 + . . . 122n−3

], b4n−1

), n > 1; P = (23 , 0).

5) Divergente.

6) p > 2, convergente; p ≤ 2, divergente.

7) Convergente. S = ln 2− 12.

8) 148π m/s.

9) a) 2o/oo b) 3.5o/oo.

10) z1 = kπi, z2 = 12 ln

(2 +

√3)

+(

π2 + mπ

)i, z3 = 1

2 ln(2−√3

)+

(π2 + nπ

)i; k, m, n ∈ Z.

12)◦A = φ; A′ = {−1, 1}; Fr(A) = A ∪ {−1, 1}; A = Fr(A);

Ext((A) = {x ∈ IR/x ∈ IR \A, x 6= 1, x 6= −1}.13) 2

√2− 2.

14) Convergente.

15) No converge uniformemente.

16) P3(x) = 32 − 5

4(x− 1) + 98(x− 1)2 − 51

48(x− 1)3.

17) Dimensiones: 6 x 3 x 1 m3.

18) z = −12 ±

√3

2 i.

19) ∞.

20)

a) a > e, divergente.

a = e, p > 32, convergente; p ≤ 3

2, divergente.

−e < a < e, convergente.

a = −e, p > 12, convergente; p = 1

2, oscilante; p ≤ 12, divergente.

a < −e, divergente.

b) Convergente.

21) Convergente. S = π2

8 .

22) 400 km/h.

23) Sı; los puntos son ξ1 = 12 y ξ2 =

√2.

24) a > 0 : y = x (x 6= 0); a < 0 : y = −x (x 6= 0).

–71–

25) ρ = 13√

3; θ1 = −π

3 ; θ2 = π3 ; θ3 = π.

26) Convergente. L = 2.

27) p < −32, convergente; p ≥ −3

2, divergente.

28) Convergente. S = 11√e− 18.

29) a) (2π − 4)R2. b) (4 + 2√

2)πR. c) (4− π)R2.

30)

a) f(x) = 2x− 2x3

3 + 2x5

5 − . . . + (−1)n+1 2x2n−1

2n− 1 + . . .

b) r = 1; IC = (−1, 1).

c) 2 arctanx.

d) arcsen 2xx2 + 1

= 2 arctanx, |x| < 1.

31) x1 = −1−√

32 ; x2 = −1 +

√3

2 ; h =√

3; r = 23.

32)

a) Lımites direccionales nulos.

b) No existe lımite funcional.

c) Dωf(0, 0) =

ω2y

2ωxωx 6= 0

0 ωx = 0.

d) ∂f∂x

(0, 0) = ∂f∂y

(0, 0) = 0.

e) No es diferenciable.

33)

a) 2ydx2 + 4xdxdy.

b) 40t2dt2.

c) 48t2dt2.

d) dh = df ; d2h = d2f + ∂f∂x

d2x + ∂f∂y

d2y.

34)

a) y = x.

b) x = 0; y ≥ 0.

c) Circunferencias de radio 1 y centros (1, 0) y (0,1).

d) Circunferencias de radio 1 y centros (0, 1) y (1,0).

35) p < 12, convergente; p ≥ 1

2, divergente.

36) a) Sı. b) T = 2E

(ln 400ln(4/3)

).

37) θ = π3 .

–72–

38) a) f(0) = 0, f(1) = 1. b) ∞.

39)

a) {P (x, y, x)/xyz > 0 ⇐⇒ Signo de (x, y, z) = (+, +, +), (+,−,−), (−+,−), (−,−,+)}.b) En todo su campo de existencia.

c) H = I3x3.

d) P3(x) = 3− x + y + z + 12

((x− 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2

).

e) dnf = (−1)n(n− 1)! (x−ndxn + y−ndyn + z−ndzn).

40) z = kπ(1 + i), z = (l + 12)π(1− i); k, l ∈ Z.

41)

a) A = [0, 2] ∪ {3} ∪{

6n− 32n

}n∈N

.

b)◦A= (0, 2) \

{13n

}n∈N

.

c) A′ = [0, 2] ∪ {3}.d) Fr(A) = {0, 2, 3} ∪

{6n− 3

2n

}n∈N, n>1

∪{

13n

}n∈N

.

42) a 6= 0, L = eb− c

a ; a = 0 :

{b > c, L = ∞b = c, L = 1b < c, L = 0.

.

43) β > 0, divergente.

β = 0 : α ≥ −1, divergente; α < −1, convergente.

β < 0, convergente.

44) y = ln a + (α + β)x− α2 + β2

2 x2 + . . . + (−1)n+1 αn + βn

n xn + . . .

45) Continua ∀x ∈ IR. Derivable ∀x ∈ IR /x 6= 0, x 6= 1n, n ∈ IN.

46)

a.1) f(0, 0) = 1.

a.2) Continua, salvo en x2 + y2 = (2k + 1)π2 , k ∈ Z.

a.3) Son nulas.

b.1) Diferenciable.

b.2)√

2π1 + π (dx + dy).

47) Recta x = 12.

48) 12.

49) a) b = ±1, convergente. b) b = 1, S = 12; b = −1, S = 4− 6 ln 2.

–73–

50)

a) (−1)n (x− n)e−x.

b) x− x2 + x3

3! − . . . + (−1)n−1xn

(n− 1)! + . . ..

c) ∞.

d) (−1)n+1

(n + 1)!

[θx− (n + 1)

eθx

]xn+1, 0 < θ < 1.

52)

a) Continua.

b) −1.

c) Discontinuas.

d) No diferenciable.

e) Diferenciable.

f) − 1√2(dx + dy).

g) (− 1√2,− 1√

2).

h) La curva de nivel es perpendicular al vector gradiente.

i) Maximo en el origen.

54)◦A = φ; A = A ∪ {0}; A′ = {0}; (A′)′ = φ; Fr(A) = A ∪ {0}.

55) −∞ < a < −3 : b > 0, L = ∞; b = 0, L = 1; b < 0, L = 0.

a = −3 : L = eb.

−3 < a < 0 : b > 0, L = 0; b = 0, L = 1; b < 0, L = ∞.

56) a) − ln 22 . b) α

α− 1

[1 + α− 1

α3 e1α − 1

α2

].

57) Continua en{

x ∈ IR/ x 6= 0; x 6= ± 1n, n ∈ IN

}.

58)

a) vopt = 100 km/h. copt = 100 pts/km.

b) c = f(cc(v), cg(v), cl, ca). vopt = f(cc(v), cg(v), cl).

c) 90 km/h.

60) a) Continua. b) Nula. c) Nula. d) Diferenciable. e) 12(dx + dy). f) (12 , 1

2).

g) y = ± x√2x2 − 1

.

61) z1 = 4m + 110 π(1− 2i); z2 = 4m + 3

10 π(1− 2i), m ∈ Z.

62) e

(2b

sen 2a).

63) p > 1, convergente; p < 1, divergente.

p = 1 : q > 1, convergente; q ≤ 1, divergente.

–74–

64) a)n∑

i=1

(−1)n

(ni

)x2ian−i. b) ∞. c) Binomio de Newton.

65) a = 5−√

1312 L; b =

√13− 212 L.

66) Continua, derivable y diferenciable.

67) Deben ser conjugados.

69)

a) A = A ∪ {am}m∈N ∪ {bn}n∈N ∪ {0}. b) A′ = {am}m∈N ∪ {bn}n∈N ∪ {0}.

c)◦A = φ. d) Fr(A) = A. e) Ni abierto ni cerrado.

70) a) −12. b) ln 2.


12 .

72)

a) a > 1, divergente.

b) a = 1 : b ≥ 1, divergente; b < 1, convergente.

c) a < 1, convergente.

73) a) f(x) =∞∑

n=0

(−1)nb2n

(2n)! x4n+2; b) ∞.

74) y1(x) = x2; y2(x) = −x2 − 1.

75)

a) f(x, y) = (x + y)2 sen 1x + y ∀(x, y)/ x + y 6= 0; f(x, y) = 0 si x + y = 0.

b) Continua. c) Nula. d) Diferenciable. e) Diferenciable.

f) Son los puntos que satisfacen la ecuacion: tan(

1x + y

)= 1

2(x + y) .

76) d = 2m senα1 + senα− 2 sen2 α

.

77) Puntos de la circunferencia de centro C(32 , 0) y radio R = 32, de ordenada negativa.

78) a ≥ 1, divergente; −1 ≤ a < 1, convergente; a < −1, divergente.


3 − ln 2.

80)

a) fn(x) = n!exn∑

i=0

(1− x)−i−1

(n− i)! .

b) f(x) =∞∑

n=0

(n∑

i=0

1(n− i)!

)xn.

c) 1.

d)

(n+1∑

i=0

(1− θx)−i−1

(n + 1− i)!

)eθxxn+1, 0 < θ < 1.

–75–

81)

a) V1 = πR21h13 ; V2 = 4

27V1.

b) Vn =(

427

)n−1V1.

c) S = 2723V1.

82) a) P1

(1, 1

2

); P2

(74 , −1

4

). b) d = 3

√2

4 .

85)

a)◦A= φ.

b) A = A ∪ {0} ∪{

29 , 2

90 , . . . 29 · 10n−1 , . . .

}n∈N

.

c) A′ = {0} ∪{

29 , 2

90 , . . . 29 · 10n−1 , . . .

}n∈N

.

d) Fr(A) = A.

e) Aisl(A) = A.

86) 34.

87) a > e2 , convergente. a ≤ e

2 , divergente.

88)

a) fn(x) = x(n− 1)!2

[1

(1− x)n + (−1)n−1

(1 + x)n

]+ n(n− 2)!

2

[1

(1− x)n−1 + (−1)n−2

(1 + x)n−1

].

b)∞∑

n=0

x2n+2

2n + 1.

c) 1.

d)(

θx2(n + 1)

[1

(1− θx)n+1 + (−1)n

(1 + θx)n+1

]+ 1

2n

[1

(1− θx)n + (−1)n−1

(1 + θx)n

])xn+1.

89) r = 3

√754 ; h = 100

r2 − 4r3 .

90) a) 0. b) Continua. c) Nulas. d) Diferenciable. e) 12(dx + dy). f) ±π

3 .

91) z1 = 33/4e(π/4)i; z2 = 33/4e(7π/12)i.

92)

a)◦A=

(1, 3

2

); A =

[12 , 2

]∪

{n− 12n + 2

}n∈N

; Aisl(A) ={

n− 12n + 2

}n∈N

.

Fr(A) ∩A ={

n− 12n + 2

}n∈N

∪[(

12 , 1

)∩ IR \ IQ

]∪

[[32 , 2

)∩ IQ

].

b) A no es abierto ni cerrado; A es compacto.

93) a2 + a + 13.

94) a > b, divergente; a = b ≤ 0, divergente; a = b > 0, convergente; a < b, convergente.

95) 5.

–76–

96) 2 rad.

97) Lbase = H = 43R.

98) Sı, p.ej. en un entorno de P (1, 0). ∂y∂x

= x + yx− y ; ∂2y

∂x2 = 2(x2 + y2)(x− y)3

.

99) 1.

100) a ∈(0, π

6

]∪

[5π6 , π

), convergente; a ∈

(π6 , 5π

6

), divergente.

101) a) 9 cm/s. b )62.5 cm. c )2.5 seg. d )3200 cm3/seg.

102) 74 − ln 2.

103) x = 14 km. L = 3

2 km. C = 7000 U.M.

104) No depende.

105)

a) Sı. No.

b) 1. 0. No existe. No existe.

c) A = [0, 1];◦A= φ; Fr(A) = [0, 1]; Aisl(A) = φ; A′ = [0, 1].

d) No. No.

106) a) ρ = 2a2(1 + cos θ) (cardioide); b) (x− 1)2 + y2 = 1.

107)

a) z = 0; z = e2kπim , k = 0, 1, . . . ,m− 1.

b) Sm = ma + a− 1a− 1 , (a 6= 1); Sm = m2 + m + 2

2 , (a = 1).

c) x ≤ 0, (a = 0); (x− 1)2 + y2 ≥ 1, (a 6= 0).

108) {−1, 1}.109)

√k.

110) 7− 2π2

3 .

111) − 320 rad/seg.

112) R+. Continua y derivable en su campo de existencia.

113) −1; 1.

114) P1(−√

22 ,−

√2

4 ,−√

24 ), mınimo. P2(

√2

2 ,

√2

4 ,

√2

4 ), maximo.

115) ψ(x) existe en un entorno de P (α, β) siempre que (α, β) 6= (±b, 0).

116) a) El argumento comun es√

22 ln 2; b) e

√2π4 e−2

√2kπ, k ∈ Z; Infimo: 0.

117) 11024.

119) b < 1, convergente; b ≥ 1, divergente. S =(

76

)3.

120)√

3m.

–77–

121) a) a− b = 2; b) a > 1, maximo; a = 1, punto de silla; a < 0, mınimo.

122) F (x) =

{ 0, 0 ≤ x < 1x− 1, 1 ≤ x < 22x− 3, 2 ≤ x < 3

.

123){(x− 1)2 + y2 = 1

} ∪ {y = 0}.125) a) k ≤ 1, convergente; k > 1, divergente. b) 1

4. c) 14.

126) a) 3800 m/s. b) 500

√2− 600 seg.

127) No continua, ni uniformemente continua, ni derivable en [0, 2].

Uniformemente continua y derivable en (0, 1).

Continua y derivable en (1, 2).

Uniformemente continua en [a, b], ∀[a, b] ⊂ (1, 2).

128)

a) f1, f2 no continuas; f3, f4 continuas.

b) Dωfp =

{no existe, p = 1, 2ω3

x, p = 30, p = 4.

c) f1, f2, f3 no diferenciables. f4 sı diferenciable.

129) a) d = 5(√

3− 1)m; t = 15− 5√

3m; b) d = t = 5m.

130)

a) a = 0, L = 0; 0 < a < 1, L = a2; a = 1, L = 1; a > 1, L = sen πa2 .

b) Es continua en IR+ ∪ {0} y derivable en IR+ ∪ {0} \ {1}.

f ′(a) ={

2a, 0 ≤ a < 1π2 cos πa

2 , a > 1.

131) Se demuestra por induccion.

132) V = 163√

3 a3.

133) a) 2 + 3i, −2 + 5i; b) z1 = 9i, z2 = −4 + i.

134) −1 ≤ α < 1.

135) L = 3√

3e .

136)

a) A = A∪{0}; A′ = A;◦A= ∪n∈IN

(1

22n , 122n−1

); Aisl(A) = φ; Fr(A) = {0}∪

{12n

}n∈IN

.

b) A no es abierto (A 6=◦A); no es cerrado (A 6= A); no es compacto (no cerrado).

137) a) ln a +∞∑

n=1

(−1)n−1

n

(ba

)nxn; ρ = a

b. b) L1 = 1

2; L2 = 1.

138) a) V1 = 12πR2H; b) V2 = 1

8πR2H; c) Vn = 24n πR2H; d) S = 4

3V1.

139) Continua; las derivadas parciales existen y son nulas; no diferenciable (no cumple la condicionnecesaria).

–78–

140) z = 2kπi, k ∈ Z.

141) k > 1, L = ∞; k = 1, L = e; 0 < k < 1, L = 0.

142) S = 112.

143) r = 12

√Aπ ; h = 0.

144)

a) df(1,−1, 1) = (−dx + dy + dz,−12dx + ln 2

2 dy − ln 22 dz).

b) dg(0, 1/2) = (du +√e dv, du + dv).

c) d(g ◦ f)(1,−1, 1) =((−1−

√e

2

)dx +

(1 +

√e

2 ln 2)

dy +(1− ln 2

2

)dz,−3

2dx +(1 + ln 2

2

)dy +

(1− ln 2

2

)dz

).

145) a) L = − 112; b) L = e

− a2

2b2 ; c) ρ > 0, L = ∞; ρ ≤ 0, L = 0.

146) No es de orden: cumple solo las propiedades reflexiva y transitiva.

147) a < 4, L = ∞; a = 4, L = 2; a > 4, L = 0.

148) Es divergente ∀p ∈ IR.

149) A = A′ = Fr(A) = [2, 4];◦A = Aisl(A) = φ; Ext(A) = (−∞, 2) ∪ (4,∞).

No abierto (A 6=◦A), no cerrado (A 6= A), acotado (A ⊂ [2, 4]), no compacto (no cerrado).

150) α < 0, L = π2 ; α = 0, L = 1; α > 0, L = 0.

151)

a) Continua en (−π + 1, 2) ∪ (2, 3).

b) Derivable en (−π + 1, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3).

c) Admite desarrollo en (−π + 1, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3).

152) En el punto P (0, 20).

153) Todos los vehıculos deben ser turismos.

154)

a) P (x, y, z)/ z 6= −1, F (x, y, z) = 0.

b) ∂φ∂x

= f ′α + f ′αex(1 + x)ez(1 + z) + f ′β y.

c) z = x + y − 2xy.

d) Plano: z = x + y; Recta: x1 = y

1 = z−1.

155) Puntos de coordenadas (−1, y), ∀y 6= 0.

156) L = 1.

157) −1 < p ≤ 1, divergente; p > 1, convergente.

158) A = {0} ∪{

1n2

}n∈IN

∪ [1, 2]; A′ = {0} ∪ [1, 2]; Int(A) = φ; Fr(A) = A;

–79–

Ext(A) = (−∞, 0) ∪ {(0, 1) \{

1(n + 1)2

}

n∈IN∪ (2,∞)}; Aisl(A) =

{1

(n + 1)2

}

n∈IN;

Ejemplo: B={1}; A no es compacto, pues no es cerrado (A 6= A).

159)

a) α > 0, L = −∞; α = 0, L = 0; α < 0, no existe L.

b) α > 0, continua; α ≤ 0, discontinuidad no evitable de segunda especie.

c) α > 1, derivable; α ≤ 1, no derivable.

d) Maximos: absoluto en x = 2 y relativo en x = 0; mınimo absoluto en x = 1√e

.

161) z3 = −3− 4i; z4 = −5− 2i.

162) L = 1, ∀a ∈ IN.

163) L = ln√

6.

164) Ambas propiedades son ciertas.

165) L = 1; f(x) tiene en x0 = 0 una discontinuidad evitable.

166) a) z = −(a + 1)x− (b + 2)y; b) a = 3, b = 4; c) ∂u∂y

= f ′α x1− f ′β x

.

167) Circunferencia de centro el origen y radio p.

168) L = max(a, b).

169) Divergente.

170) A = A ∪ {(0, 0)} ; A′ = A; Ext(A) = IR \A;◦A= φ; Fr(A) = A; Aisl(A) = φ.

A no es abierto ni cerrado; sı es acotado (A ⊂◦B [(0, 0), 2]); no es compacto (no cerrado).

171){

x ∈ IQ/ x ≤ −1, x = pq , irreducible, q impar

}.

172)

a) Es continua en (−2,∞) si a = 0 y b = 2, excepto en x = −1 (discontinuidad no evitablede primera especie) y x = 0 (discontinuidad no evitable de segunda especie).

b) Es derivable en todo su dominio, excepto en los puntos x = −1, x = 0, x = 1.

g′(x) =

0 x ∈ (−2,−1) ∪ (−1, 0)−2x ln 2(2x − 1)2

x ∈ (0, 1)

2x x ∈ (1,∞).

174) El coste mınimo se obtiene para r = 1 mm. En r = 5 mm. hay un maximo relativo. No existeun maximo absoluto.

175) Sn ={

0 p 6= nn p = n.

176)

a) 0.

–80–

b) (x, y) 6= (0, 0)

∂g∂x

=exy2

y2(x2 + y2

)− 2x(exy2 − 1

)

(x2 + y2

)2

∂g∂y

=exy2

2xy(x2 + y2

)− 2y(exy2 − 1

)

(x2 + y2

)2

; ∂g∂x

(0, 0) = ∂g∂y

(0, 0) = 0.

c) No cumple la condicion necesaria de diferenciabilidad.

d) e + 22√

2.

177) p < 1e , convergente; p ≥ 1

e , divergente.

178) α < 1, A = 0; α = 1, A = e2; α > 1, A = ∞.

179)

a) D = IR+ \ {x ∈ IR+/ x = kπ − b, k ∈ Z

}.

b) Es continua si a = − 1sen b

, b 6= kπ, k ∈ Z.

Si a 6= − 1sen b

, y b 6= kπ, discontinuidad evitable de primera especie.

Si b = kπ, discontinuidad no evitable de segunda especie.

c) La derivada existe y es nula, solo en los casos

a = 1, b = π2 + (2k − 1)π, k ∈ Z

a = −1, b = π2 + 2kπ, k ∈ Z.

180) 5 con la grua A y 40 con la B.

181) Se compone de las semirrectas y = 0, x > 0; y =√

3x, x < 0, y = −√3x, x < 0.

182) Se demuestra por induccion.

183)◦A= φ; Ext(A) = IR \A; A = A ∪ {

e2,−e2}

; Fr(A) = A; A′ ={e2,−e2

}; Aisl(A) = A.

A no es abierto (A 6=◦A) ni cerrado (A 6= A).

184) En las condiciones dadas no llegara a tiempo. Llegarıa si utilizara solo la carretera y tambiensi comenzara a caminar por carretera, entrando en un cierto momento en el bosque.

185) a = −1. ∂v∂z

=−xy

zf ′β + xf ′γ

1− f ′α.

186) Esta formada por los complejos w = x + yi/ x > 0, y > 0.

187) 12.

188) p > 5, convergente; p ≤ 5, divergente.

189) A = A ∪ (0, 0).

A′ =⋃

n∈IN

{(x, y)/ x + y =

1n

, x ≥ 0, y ≥ 0}∪ {(0, 0)}.

◦A= φ; Fr(A) = A; Aisl(A) =

{(1

2n− 1 , 12n− 1

)}n∈IN

.

A no es cerrado (A 6= A) ni abierto (A 6=◦A); no es compacto (no cerrado aunque sı acotado).

–81–

190)

a) El dominio es todo IR.

b) Continua en todo su dominio.

c) Derivable en IR \{

x = (2n− 1)π4

}n∈Z

.

f ′(x) = sen 2x√cos 2x

en⋃

n∈IN

(−π

4+ nπ,

π

4+ nπ

).

f ′(x) = − sen 2x√− cos 2xen

⋃

n∈IN

(π

4+ nπ,

3π

4+ nπ

).

d) Ceros en los puntos x = nπ2 , n ∈ Z.

e) Maximo en los puntos x1 = (2n− 1)π4 , n ∈ Z; mınimo en los puntos x2 = nπ2 , n ∈ Z.

f) g(x) = x2 + x4

6 .

g) El dominio de g es IR. Es continua y derivable en el. g′(x) = 2x + 2x3

3 .

h) g tiene un cero en x0 = 0. Es simetrica respecto a OY . Rama parabolica: y = x4

6 .

i) Mınimo de g en x0 = 0.

191) 758.

192) x = (2−√3)P0; y = 3−√

36 P0; z = 2−

√3√

3P0.

193) –20.

194) Circunferencia de ecuacion x2 + (y − 1)2 = 1.

195) z = (4k − 1)π2 , k ∈ Z.

196) 14.

197) Sn = 3 · 2n−1 − 2.

198) a) −yx . b)

(00

). c) 2y

x2 . d) y = 1− (x− 1) + (x− 1)2. e) −12.

199) −sen 2θ2r

∂F∂r

− cos 2θr2

∂F∂θ

+ sen 2θ2

∂2F∂r2 + cos 2θ

r∂2F∂θ∂r

− sen 2θ2r2

∂2F∂θ2 .

200)

a) x = 0.

b.1) t = 1c√

(x + 4)2 + 9 + 43c

√(x− 3)2 + 16.

b.2) x + 4c√

(x + 4)2 + 9+ 4(x− 3)

3c√

(x− 3)2 + 16= 0.

c) x = 0.

202) L = 1, α > 0; L = e, α = 0; L = ∞, α < 0.

203) ln√

6.

204) I3 = 14.

–82–

205)

b) φ′(0) = −12.

c) f(x) = eφ(x) =⇒ f ′(0) = −12e.

206) d =√

12. Puntos (2, 2, 2), (2,−2,−2), (−2, 2,−2), (−2,−2, 2).

207)

a) y′(x) = x1x

(1− lnx

x2

); y′(1) = 1.

y′′(x) = x1x

(1− ln x

x2

)2+ x

1x

(−3 + 2 lnxx3

); y′′(1) = −2.

b.2) y′(x) = −xy ln y − yx2 .

b.3) y′′(x) = − 1x2 (y ln y + xy′ ln y + xy′ − y′) + 2

x3 (xy ln y − y).

c) y(x) = 1 + (x− 1)− (x− 1)2.

208) f(z) = 1 + 1z .

209) L = 1.

210) a > e, convergente; a ≤ e, divergente.

211) b) α = 0. c) β = 2.

212)

a) M = IR \ {−1, 0, 1}.b.1) g es continua en IR \ {0, 1}.b.2) g es derivable en IR \ {0, 1}.

b.3) g′(x) =

−1(x− 1)2

1x + 1e

1x−1 sen π

x − πx2

e1

x−1

x + 1 cos πx − 1

(x + 1)2e

1x−1 sen π

x, x ∈ M

π√e

, x = −1.

213)

a) S = S∪ {(x, y) ∈ IR2/ x2 + y2 = 1

}; Fr(S) = S; Ext(S) = IR2 \ S; Aisl(S) = {0};

◦S= φ;

S′ ={

(x, y) ∈ IR2/ x2 + y2 =(1− 1

n

)2, n ∈ IN, n > 1

}∪ {

(x, y) ∈ IR2/x2 + y2 = 1}.

b) S es compacto, por ser cerrado y acotado. S no es numerable, pues cada una de lascircunferencias que lo forman son conjuntos no numerables de numeros reales.

214)

b) f (n(x) = (1 + (−1)n) 2n−2 Ch2x +(1 + (−1)n−1

)2n−2 Sh 2x.

c) f(x) = 1 +∞∑

n=1

(1 + (−1)n) 2n−2

n! xn = 1 + 12

∞∑

i=1

22ix2i

(2i)! .

d) r = ∞.

e) S = 2(Ch2 2− 1

).

–83–

215)

a) 8a2b

x + 8ab2 y + z = c + 16

ab.

b) a2b8 (x− a) = ab2

8 (y − b) = z − c; a3b8 = ab3

8 = c.

c) P1(2, 2, 2), P2(−2,−2, 2), P3(2,−2,−2), P4(−2, 2,−2).

216) Maximo en(

1√2, 1√

2, 1

); TM = 1 +

√2. Mınimo en

(−1

2 ,−12 , 1

2

); Tm = −1

2.

217)

a) ln(1 + i) = ln√

2 +(

π4 + 2kπ

)i, k ∈ Z. Valor principal: ln

√2 + π

4 i.

b) lnez = z + 2kπi, k ∈ Z. lne1+i = 1 + (2kπ + 1)i, k ∈ Z.

c) ln zz21 = z2 ln z1 + 2kπi, k ∈ Z. ln(1)1+i = −2mπ + 2nπi, m, n ∈ Z.

218) a) Sn = n(4n2 − 1)3 . b) 1√

e.

219) yp = x2

2 + 1.

220) a) Cuatro veces. b) p(x) = x− x3

6 .

221)

a) A es un cırculo de r = 5 y centro en (0, 5√

2).

b) z = 5√2

+ 5√2i = 5e

π4 i

.

c) Funcion lagrangiana: L = ba + λ

(a2 + (b− 5

√2)2 − 25

).

222) A ={(x, y) ∈ IC/ x2 + y2 = 1

}; A′ = A;

◦A= φ; Ext(A) = IR2\A; Aisl(A) = φ; Fr(A) = A.

A no es compacto por no ser cerrado (A 6= A.)

223)

a) Convergente.

b) Puede hacerse por induccion o calculando la suma de Sn.

c) α < 1, L = 0; α = 1, L = 3 ln 2; α > 1, L = ∞.

224)

a) y′ = −y + ex+1

x− ey ; y′′

= − ex+1

x− ey + y + ex+1

(x− ey)2− y′

(1

x− ey +ey

(y + ex+1

)

(x− ey)2

).

b) P2(x) = 1 + e + 1e x + x2

2e2 .

225)

a) T = cos θr + 2r sen θ, r 6= 0.

b) No existen extremos absolutos de la funcion T en el dominio. Existe un maximo local enr = (3/4)1/4, θ = π

3 y un mınimo local en r = (3/4)1/4, θ = 4π3 .

226)

b) A = A ∪ (0, 0); A′ = A; Ext(A) = IR2 \A; Aisl(A) = φ,

–84–

◦A=

{(x, y) ∈ IR2/

∣∣∣x− 12n

∣∣∣ < 12n+2 , n ∈ IN, |y| < x

}, F r(A) = (0, 0)∪

{(x, y)/

∣∣∣x− 12n

∣∣∣ = 12n+2 , n ∈ IN, |y| ≤ x

}∪

{(x, y)/

∣∣∣x− 12n

∣∣∣ ≤ 12n+2 , n ∈ IN, |y| = x

}.

c) No es compacto por no ser cerrado (A 6= A).

227) La sucesion converge a ±√p pero, partiendo de valores a > 0/ a2 ≥ p, converge a la raızpositiva. El algoritmo es valido para calcular

√p.

228)

a) D = [−√3,−1] ∪ [1,√

3]. f es continua en D y derivable en (−√3,−1) ∪ (1,√

3).f ′ = 2x√

1− (x2 − 2)2.

b) f tiene mınimos relativos en x = ±1 y maximos relativos en x = ±√3. No posee extremosabsolutos en sentido estricto.

229) lımt→0−

f(t) = 0; lımt→0+

f(t) = −∞.

230)

a) r = |a| , C = [−a, a).

b) f(x) = ln aa− x .

c) S = ln 2.

d) S = −f(−a) = ln 2.

231) M(−3√

3,−3), TM ≈ 48; m(4,−2), Tm = −12.

232) w1 = i; w2 =√

32 − 1

2 i; w3 = −√

32 − 1

2 i.

233) Se puede demostrar por induccion.

234) L = − ln 2.

235) a = 1. f ′(x) =

(1 + x) ln(1 + x)− x

(1 + x) ln2(1 + x); x ∈ (−1, 0) ∪ (0,∞)

12 x = 0.

236) ~v = (−1,−1,− ln 2).

237) y + x + 1 = 0.

238) r = 1, C = (−1, 1); S(x) = 1 + x(1− x)3

.

239) L = e.

240) Es el cırculo de centro C(−32 , 0) y radio 1

2.

241)

a) nx max = 10; xmax =√

99100.

b) A = A ∪ {0};◦A= φ; Ext(A) = IC \A; A′ = A ∪ {0} \ {1}; Fr(A) = A; Aisl(A) = {1}.

c) A no es compacto porque no es cerrado, aunque sı acotado.

242) M(5, 3), TM = 19; m(4,−2), Tm = −12.

–85–

243)

a) f(x) = 1− 3∞∑

n=0

xn−1(x− n), r = 1, C = (−1, 1).

b) Es convergente. S = −34.

c) L = e−3.

244)

a) Es decreciente y acotada inferiormente, por tanto convergente.

b) L = 3−√

52 .

245)

a) A ={

x ∈ IR/ x = 4(4k + 1)π , k ∈ Z

}.

b) A = A ∪ {0}, A′ = {0}, F r(A) = A.

c) f es continua en todo IR excepto en:

- El punto x = 0 (discontinuidad no evitable de segunda especie).

- Los puntos x = 2(2k + 1)π , k ∈ Z (discontinuidad no evitable de segunda especie).

- Los puntos x = 4(8l + 1)π , l ∈ Z (discontinuidad evitable).

246) Q(2, 2).

247) r =3√

V02 , h = 4

π3√

V0.

248)

a) Existe convergencia puntual en el intervalo (-1,1) y convergencia uniforme en cualquierintervalo cerrado comprendido en (-1,1).

b) S = x(1 + x)(1− x)3

.

249)

a) f(x) = 11− x − 3

(1− x)2+ 2

(1− x)3.

b) f(x) =∞∑

n=0

n2xn.

c) r = 1, C = (−1, 1).

250)

a) D = {x ∈ (−1,∞)/ x 6= 2kπ, k ∈ Z}.b) f es continua en D.

c) f es derivable en D. f ′(x) =

{x + (1 + x) ln(1 + x)(1 + x)(1− cosx) − x senx ln(1 + x)

(1− cosx)2, x 6= 0

−1 x = 0.

–86–

251)

a) z(x, y) ≈ π2 +

(x− π

2

)− π

4

(x− π

2

)2+ π

4

(y − π

2

)2.

b) z(1.6, 1.6) ≈ π2 (aproximacion de orden 0).

z(1.6, 1.6) ≈ 1.6 (aproximacion de orden 1 y de orden 2).

252)

a) Es convergente ∀x ∈ IR.

b) f(x) =(x2 + 4x + 2

)ex.

c) S = f(1) = 7e.

253) A = A ∪ {z ∈ IC/ |z| = 1} ;◦A= φ; Ext(A) = IC \A; A′ = {z ∈ IC/ |z| = 1},

Aisl(A) = A, F r(A) = A. A no es compacto pues no es cerrado (A 6= A).

254)

a) F (x, y) = 0 define a y como f. i. de x en {(x, y) ∈ IR/ F (x, y) = 0, y 6= 0}.

b) dxdy

= − b2xa2y

.

c) η − y = − b2xa2y

(ξ − x).

e) l =√

a4

x2 + b4

y2 .

f) L = a4

x2 + b4

y2 + λ

(x2

a2 + y2

b2 − 1)

.

g) P

(a3/2

a + b, b3/2

a + b

).

h) En P se alcanza un mınimo.

i) lmin = (a + b)3/2.

255)

a) Dudoso.

b) Convergente.

256)

A = A ∪ {(x, y) ∈ IR2

/0 ≤ x ≤ 2, y = 0

}.

A′ = A.◦A=

{(x, y) ∈ IR2

/ 12n x < y < 1

2n− 1 x, n ∈ IN, 0 < x < 2}

.

Ext(A) = IR2 \A.

Fr(A) ={(x, y) ∈ IR2

/0 ≤ x ≤ 2, y = 0

} ∪{

(x, y) ∈ IR2/ 1

2n x ≤ y ≤ 12n− 1 x, n ∈ IN; x = 2

}.

Aisl(A) = φ.

A no es compacto porque no es cerrado (A 6= A), aunque sı acotado.

–87–

257)

a) l = 1.

b) l = e3/2.

258)

a) El dominio de f es todo IR, ∀a ∈ IN ∪ {0}.b) Si a ∈ IN, f es continua en IR. Si a = 0, f es continua en IR \ {0}.c) Si a ∈ IN \ {1} , f es derivable en IR. Si a ∈ {0, 1} , f es derivable en IR \ {0}.

f ′ =

axa−1 cos 1x + xa−2 sen 1

x, x 6= 0, con a ∈ IN ∪ {0}

0, x = 0, con a ∈ IN \ {1}.

d) Puntos de corte: {0} ∪{

x ∈ IR/x = 2

(2k + 1)π , k ∈ Z}

.

e) Maximos locales en{

x ∈ IR/x = 1

2kπ, k ∈ Z \ {0}

}. En ellos, g = 1.

Mınimos locales en{

x ∈ IR/x = 1

(2k + 1)π , k ∈ Z}

. En ellos, g = −1.

Todos los extremos son absolutos en sentido amplio.

259) S = 1− ln 22 .

260) f(x) =

1 |x| > 11/3 |x| = 10 |x| < 1

. La convergencia no es uniforme en todo IR.

261) P (x, y) = x2 + xy − x.

262) Maximo absoluto en P1 =(

16 , 3

2 , 32

). Mınimo absoluto en P2 =

(−1

6 ,−32 ,−3

2

).

263)

a) f(x) =

1, x > 0

1− x2

2x + 1 , x ∈(−2,−1

2

)∪

(−1

2 , 0)

1, x ≤ −2.

b) Dom f = IR \{

0,−12

}.

c) f es continua en todo su dominio. En x = 0 hay una discontinuidad evitable. En x = −12

hay una discontinuidad no evitable de segunda especie.

d) f es diferenciable en IR \{−2,−1

2 , 0}

.

e) f ′(x) =

0, x > 0

−2(x2 + x + 1)(2x + 1)2

, x ∈(−2,−1

2

)∪

(−1

2 , 0)

0, x < −2.

–88–

264)

a) f (n(0) =(

1 + (−1)n+1

2

)(−1)

n−12 +

(1 + (−1)n

2

)(−1)

n+22 .

b) f(x) =∞∑

n=0

f (n(0)xn

n! ; r = ∞; C = (−∞,∞).

c) f(x) = senx− cosx.

265)

a) f es continua en IR2.

b) ∂f∂x

=

4x2 x2 + 3y2

(x2 + y2)2(x, y) 6= (0, 0)

4 (x, y) = (0, 0)

; ∂f∂y

=

−8x3y(x2 + y2)2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Las derivadas parciales son continuas en IR2 \ (0, 0).

c) f no es diferenciable en (0, 0), pues no cumple la condicion necesaria de diferenciabilidad.

266) S = tan 1.

267)

a) D = IR \ {1, 3}.b) La funcion es continua en todo su dominio. Presenta una discontinuidad evitable en x = 1

y x = 3, puntos en los que no esta definida.

c) g(x) =

f(x) ∀x ∈ IR \ {1, 3}−π

2 x = 13π2 x = 3

d) g es derivable ∀x ∈ IR.

g′(x) =

πx cos[π/2

(x2 − 1

)](x− 1)(x− 3) − (2x− 4) sen

[π/2

(x2 − 1

)]

(x− 1)2(x− 3)2∀x ∈ IR \ {1, 3}

−π2 x = 1, x = 3

268) L = e5/3.

269) r = L2π , l = 0.

270)(

1tg v + tg v

)∂z∂u

= 0, o bien1

sen v cos v

∂z

∂u= 0.

271) La serie converge condicionalmente. Con la ordenacion dada, S = 1 + ln 2.

272) C = (−1, 1); r = 1; S(x) =

x

(1− x)2− 1

xln(1− x) x 6= 0

0 x = 0

273) La sucesion {an} es convergente a L =32. A = A ∪

{32

}; A′ =

{32

};◦A= φ; Fr(A) = A.

274) El dominio es IR. La funcion es continua y derivable en IR. f ′(x) =

2 ln 2x3 2−1/x2

x 6= 0

0 x = 0

–89–

275)

a) Plano tangente: 2x + y + z − 5 = 0. Recta normal:x− 1

2=

y − 11

=z − 2

1.

b) Existe un mınimo en P1

(43, 1,

53

)y puntos de silla en P2(0, 0, 7), P3(4, 0, 7), P4(0, 3, 7).

276) Es condicionalmente convergente (Leibnitz). En la ordenacion dada, S = −1.

277) f(x) =∞∑

n=0

(−1)n(n + 1)x5n; r = 1; C = (−1, 1).

278) L ={(a, b) ∈ IR2/0 ≤ a < b

}. L no es abierto ni cerrado.

279) L = 1/4.

280) La funcion tiene maximos relativos en x = 0 y x = 2(f(0) = f(2) = 4

3

). Son tambien

absolutos en sentido amplio. Tiene un mınimo relativo en x = 1 (f(1) = 1).

281) z = −14x2 +

316

y2 +14xy − 1

4x− 7

8y +

1116

.

282) Es la circunferencia de centro C(0, 1/2) y radio r = 1/2.

–90–

5. SOLUCIONES A LAS INTEGRALES

1)

a) x sen x + cosxx cosx− sen x + C.

b) e2x

[sen x

(2(x2 + 1)

5 − 6x25 + 4

125

)+ cos x

(−x2 + 1

5 + 8x25 − 22

125

)]+ C.

c) 18 ln(1 + 4x2)− 1

3(arctan 2x)3/2 + C.

d) 23

(ln

∣∣∣x +√

1 + x2∣∣∣)3/2

+ C.

e) x4

4 arcsen 1x + 1

4

[13(x2 − 1)3/2 + (x2 − 1)1/2

]+ C.

f) ex(

x− 1x + 1

)+ C.

2) x− 1√3− 2x− x2

− arcsen(

x + 12

)+ C.

3) a + b = 0 : −1a + ccotanx + C.

a + c = 0 : 1a + b

tanx + C.

(a + b)(a + c) > 0 : 1√(a + b)(a + c)

arctan(√

a + ca + b

tanx)

+ C.

(a + b)(a + c) < 0 : 12√−(a + b)(a + c)

ln

∣∣∣∣∣∣∣∣

tanx−√−a + b

a + c

tanx +

√−a + b

a + c

∣∣∣∣∣∣∣∣+ C.

4) 36π.

5) x2

2 + 12 ln

∣∣∣x +√

x2 − 1∣∣∣− x

2√

x2 − 1 + C.

6) 6(x− 2) sen√

x + 2(6− x)√

x cos√

x + C.

7) I(n) = tann−1 xn− 1 − I(n− 2); I(0) = x; I(1) = − ln |cosx|.

8) 6a.

9) x√1− x2

arcsenx + ln√

1− x2 + C.

10) −arcsenex

ex + ln∣∣∣1−

√1− e2x

∣∣∣− x + C.

11) 12 arctan(tan2 x) + C.

12) 40π27 .

–91–

13)

a) x2 − 12 ln

∣∣∣1 + x1− x

∣∣∣ + x + C.

b) earctan x

2

(1 + x√1 + x2

)+ C.

c) 2√

x(6− x) cos√

x + 6(x− 2) sen√

x + C.

15) 52π3 .

16) a2 ln

∣∣∣x +√

x2 + a∣∣∣ + x

2√

x2 + a + C.

17) 2π

(ba2

3 − b(a2 − γ2)3/2

3a − γ4

4

), siendo γ =

√−b2 +

√b4 + 4a4b2

2a2 + C.

18) b = 0 : I = −cosxa + C.

b 6= 0:

a + bb

> 0 : I = 1

2b

√a + b

b

ln

∣∣∣∣∣∣∣∣

√a + b

b− cosx

√a + b

b+ cosx

∣∣∣∣∣∣∣∣+ C.

a + bb

< 0 : I = 1

b

√−a + b

b

arctan cosx√−a + b

b

+ C.

a + b = 0 : I = − 1b cosx

+ C.

20) πa2h2 .

21) 16a2b3 .

22) 2e2 − 14 .

23) 23x√

x arctan√

x− x3 + 1

3 ln |1 + x|+ C.

24) − 1√2

ln∣∣√2 cos x +

√cos 2x

∣∣ + C.

25) a2 = b2 6= 0 : I = sen2 xb

+ C.

a2 6= b2 : I = 2a2 − b2

√a2 sen2 x + b2 cos2 x + C.

26) −32

3

√x + 1x− 1 + C.

27)(

π6 −

√3

8

)a4.

28) 4π3 ab

(a2 − b2√a2 + b2

+ a− b

).

29) 2√

1 +√

1 + x2 + C.

30) 80 + 96√

29 π.

–92–

31) 323 πa4.

32) a2 ln

(2π +

√4π2 + 1 + aπ

√4π2 + 1

).

33) 40√

5− 16 π.

34) a = 0 : I = − 1b tanx

− xb

+ C.

a 6= 0 :

ba = 1 : I = sen 2x

4a + x2a + C.

ba > 0, b

a 6= 1 : I =

√b

ab

a− 1

arctan√

ba tanx + C.

ba < 0 : I = −

√− b

a

2(

b

a− 1

) ln

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 +

√− b

atanx

1−√− b

atanx

∣∣∣∣∣∣∣∣+ C.

ba = 0 : I = x

a + C.

35) I(n) = −xChx(n− 1) Shn−1 x

− 1(n− 1)(n− 2) Shn−2 x

− n− 2n− 1I(n− 2).

I(4) = −xChx3 Sh3 x

− 16 Sh2 x

+ 2x3Thx

− 23 ln |Sh x|+ C.

36) π6 (5

√5− 1).

37) 64π.

38) b = 0 : I = x6

6√

a+ C.

b 6= 0 : I = 1b3

(15√

(a + bx2)5 − 2a3

√(a + bx2)3 + a2

√a + bx2

)+ C

39) 4 + 6π3 .

41) 2 arctan√

x− 1x + 1−

√x2 − 1x +C = arctan

√x2 − 1−

√x2 − 1x +C = − arcsen 1

x−√

x2 − 1x +C.

42) −b + a ln a + ba− b

.

43) 23π4 − 4π2.

44) a = 0 : I = C.

a 6= 0 : I = 12

(Ch(2ax + b)

2a − Sh bx

)+ C.

45) −√

2x− x2

x− 1 + C.

47) 128c3

105 .

48) πa4

12 − a2

6√

a2 − 1 + 2a2 − a4

12 arcsen 2√

a2 − 1a2 .

–93–

49) 63π32 .

50) a = 0, b > 0 : I = 25√

bx5/2 + C.

a > 0 : I = 14a2

√ax2 + bx(2ax + b) + 3b2

8a2√aln

∣∣∣2ax + b + 2√

a√

ax2 + bx∣∣∣− b

a2

√ax2 + bx + C.

a < 0 : I = 14a2

√ax2 + bx(2ax + b)− 3b2

8a2√−a

arcsen(

2√−ab

√ax2 + bx

)− b

a2

√ax2 + bx + C.

51) I(m) = x arcsenm x + m(√

1− x2 arcsenm−1 x− (m− 1)I(m− 2)).

I(1) = x arcsenx +√

1− x2; I(0) = x.

52)√

2 arctan(

1√2

(tan x

2 + 1))

+ C.

53) 8π3 + 4

√3− 4.

54) (arctan√

x− 1)2 + C.

55) − 197(x− 1)97 − 2

98(x− 1)98 − 199(x− 1)99 + C.

56) 11 + a2 (ln |a cosx + senx|+ ax) + C.

57) a) 3π + 2. b) (16 + 8√

2)π. c) (x− 1)2 + y2 = 8, circunf. de centro C(1, 0) y R = 2√

2.

58) 0.

59) arctan(tan2 x

)+ C.

60)

a) Cono x2 + y2 = z2; esfera x2 + y2 + z2 = 4, (z ≥ 0).

b)∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ π4

0r4 cos2 ϕ sen ϕ dϕ dr dθ.

c) 64− 16√

215 π.

61) ln∣∣∣∣1−

√1 + ex

1 +√

1 + ex

∣∣∣∣ + C.

62) −145 + 5

√5

3 .

63) a > 0, I = 1√2a

arcsen√

2a senx√2 + a

+ C.

a = 0, I = sen x√2

+ C.

a < 0, I = 1√−2aln

∣∣∣∣senx +√

sen2 x− 2 + a2a

∣∣∣∣ + C.

64) I(n) = x arc cosn x− n√

1− x2 arc cosn−1 x− n(n− 1)I(n− 2).

I(0) = I(n)|n=0 = x; I(1) = I(n)|n=1 = x arc cosx−√1− x2.

65) V = 3π2 .

66) A = a2(

3π16 + 1

6

).

–94–

67) V = 353 π

√2.

68) A = 52.

69)

a)√

x2 + x + 1− 52 ln

∣∣∣x + 12 +

√x2 + x + 1

∣∣∣ + C.

b) 18 arctan 2ex + C.

70) V = 47681 π.

71) α 6= −1 : I(n) = xα+1

α + 1 lnn x− nα + 1I(n− 1), n ∈ Z.

α = −1 : I(n) = lnn+1 xn + 1 , n 6= −1; I(−1) = ln |lnx|.

72) a = 0 : I = 1b

ln∣∣∣tan x

2

∣∣∣ + C.

a 6= 0 :

a2 > b2 : I = 2√a2 − b2

arctan a tan(x/2) + b√a2 − b2

+ C

a2 = b2 : I = −2a tan(x/2) + b

+ C.

a2 < b2 : I = 1√b2 − a2

ln

∣∣∣∣∣a tan(x/2) + b−

√b2 − a2

a tan(x/2) + b +√

b2 − a2

∣∣∣∣∣ + C.

73) P = 236 104π.

74) a) I = π. b) A = π2

4 + π2 .

75) V = 1403 π.

76) b 6= 0 : I = −14b2

a + 2bx2

(a + bx2)2+ C.

b = 0 : I = x4

4a3 + C.

77) I = (1− 3x)5/3

15 − (1− 3x)2/3

6 + C = −x2 (1− 3x)2/3 − 1

10(1− 3x)5/3 + C.

78) Sol. 1: V =∫ √

3

−1

∫ √4−y2

−1

∫ 4−x2−y2

0dx dy dz +

∫ 2

√3

∫ √4−y2

−√

4−y2

∫ 4−x2−y2

0dx dy dz.

Sol. 2:

V =∫ 2π

3

−π6

∫ 2

0

∫ 4−ρ2

0ρ dz dρ dθ +

∫ 5π4

2π3

∫ −1cos θ

0

∫ 4−ρ2

0ρ dz dρ dθ +

∫ −π6

5π4

∫ −1sen θ

0

∫ 4−ρ2

0ρ dz dρ dθ.

79) V = 4π + π2

2 .

80) a = 0, I(n) = 0; a 6= 0, I(n) = xn Ch axa − nxn−1 Sh ax

a2 + n(n− 1)a2 I(n− 2).

–95–

I(n) = Ch ax

(xn

a1 + n(n− 1)xn−2

a3 + n(n− 1)(n− 2)(n− 3)xn−4

a5 + · · · n!an+1

)−

Sh ax

(nxn−1

a2 + n(n− 1)(n− 2)xn−3

a4 + n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)xn−5

a6 + · · · n!xan

).

81) 15 ln

∣∣∣∣cos2 x + 4 cos x + 8(cosx + 1)2

∣∣∣∣ + 1710 arctan

(cosx + 2

2

)+ C.

82) 4 + 2π2

3 .

83) I = π; V = 9π(1− 61e−10

).

84) a 6= 0, I = 2 tan3 ax3a + tan ax

a − 23a cos3 ax

+ C; a = 0, I = x + C.

85)

a) M =∫ 2π

0

∫ 1

0

∫ √5−ρ2

0f(z)ρdzdρdθ +

∫ 2π

0

∫ 2

1

∫ √5−ρ2

ρ−1f(z)ρdzdρdθ.

b) M = π(10√

5− 7)3 .

86) −√

4x2 + 2x + 1x + ln

∣∣∣∣x + 1 +√

4x2 + 2x + 1x

∣∣∣∣ + C.

87) C = 0.2H4 − 4H3 + 400H; C(1) = 396.2.

88) ln(Ch2 x

)(Ch2 x

2 − Chx

)− Ch2 x

2 + 2 Chx + C.

89) I(n) = x2n−2

(− 1

(2n + 4)(x2 + 1)n+2

)+ n− 1

n + 2I(n− 1).

90) π9 .

91) 4π2.

92) a, b 6= 0 : I = 12a√

abarctan

(√bax

)+ x

2a(a + bx2

) + C

a = 0 : I = − 13b2x3 + C; b = 0, I = x

a2 + C.

93)

b) x2 + y2 + z2 = 14; x2 + y2 + (z − 5)2 = 9.

c) VI =∫ 2π

0

∫ √5

0

∫ √14−ρ2

5−√

9−ρ2

ρdzdρdθ =∫ √

5

−√5

∫ √5−x2

−√5−x2

∫ √14−x2−y2

5−√

9−x2−y2

dzdydx.

d) V∪ = 43π

(143/2 + 27

)− VI .

94) p! q!(p + q + 1)!

95) a) V = 39π m3. b) C =∫ 2π

0

∫ 0

−3

∫ z+5

0p(z)ρdρdzdθ.

96) I1 = ln x4√

1 + lnx2 − 43(1 + lnx2)3/2 + C; I2 = 2

3(1 + lnx2)3/2 − 2√

1 + lnx + C.

–96–

97) 43√

3arctan 2x + 1√

3+ 2x + 1

3(1 + x + x2)+ C.

98) a) V1 = kπk + 2. b) V2 = 2π

k + 2. c) A = π6

(√125− 1

). d) L =

√5

2 + 14 ln

(2 +

√5).

99) 45π2 .

100) 225π8 .

101) I(n) = x arc cosn x−n√

1− x2 arc cosn−1 x−n(n−1)I(n−2). La expresion general vale para I0, I1.

102) tan 2x + sec 2x− x + C.

103) 488π3 .

104) x− 4√

x + 1 + 4 ln∣∣√x + 1 + 1

∣∣ + C.

105) x− 1√2

arctan(

tanx√2

)+ C.

106) La condicion se cumple con a = 3, ∀b ∈ IR.

107)√

24π.

108)√

x2 + 2x− 3− ln∣∣∣x + 1 +

√x2 + 2x− 3

∣∣∣ + C.

109) 80π euros.

110) a = −4 : I = −14 tanx + C.

a > −4 : I = 12√

4 + aarctan

(2 tanx√

4 + a

)+ C.

a < −4 : I = 14√−4− a

ln∣∣∣∣√−4− a− 2 tanx√−4− a + 2 tan x

∣∣∣∣ + C.

111)∫ b/a

0

∫ a

0

∫ √r2−x2

0dzdydx +

∫ r

b/a

∫ b/x

0

∫ √r2−x2

0dzdydx =

∫ b/a

0a√

r2 − x2dx +∫ r

b/a

b√

r2 − x2

x.

112) 12 ln |x + senx cosx|+ C.

113) I1 = x3

3 arc cosx+ 19(1−x2)3/2− 1

3√

1− x2 +C; I2 = x3

3 arc cosx− x2

3√

1− x2− 29(1−x2)3/2 +C.

114) 8.

115) 4π(√

6− 2).

116) 13π3 .

117) a 6= 0 : I(n) = x2n sen axa + 2n

a2 x2n−1 cos ax− 2n(2n− 1)a2 I(n− 1).

a = 0 : I(n) = x2n+1

2n + 1.

118) a 6= 0 :√

x2 − a2

a2x+ C.

a = 0 : − 12x2 + C.

119) 0.

–97–

120) ln(sen2 x + senx + 1

)+ 2√

3arctan

(2 sen x + 1√

3

)+ C.

121) I(n) = − xα+1

(n− 1) lnn−1 x+ α + 1

n− 1I(n− 1), n 6= 1, ∀α ∈ IR.

122) 10346 π.

123)

b) I =∫ y=9

y=1

∫ x=√

y

x= y3

19x

dx dy +∫ y=9

y=1

∫ x= y3

x=0

x

y2 dx dy.

I =∫ x=1

x= 13

∫ y=3x

y=1

19x

dy dx+∫ x=3

x=1

∫ y=3x

y=x2

19x

dy dx+∫ x= 1

3

x=0

∫ y=9

y=1

x

y2 dy dx+∫ x=3

x= 13

∫ y=9

y=3x

x

y2 dy dx.

c) 8− ln 39 .

124) 2x2 − 13x3

√x2 + 1 + C.

125) 3π + 64 .

126) 14 ln2

∣∣∣1 + x1− x

∣∣∣ + C.

127) 8 · 106 euros.

128) a = 0 : I = −1x + C.

a > 0 : I = − 1√a

ln

∣∣∣∣∣√

a +√

x2 + a

x

∣∣∣∣∣ + C.

a < 0 : I = 1√−aarc tg

√x2 + a√−a

+ C = − 1√−aarcsen

√−ax + C ′.

129) I(n) = −cotgn−1 xn− 1 − I(n− 2), n 6= 1; I(1) = ln |senx| ; I((0) = x.

130) V = 36π.

131)

b.1) I =∫ π/2

0

∫ π/3

0

∫ 3

0r2 sen φdr dφ dθ.

b.2) I =∫ π/2

0

∫ 3√

32

0

∫ √9−ρ2

ρ√3

ρ dz dρ dθ.

b.3) I =∫ 3

√3

2

0

∫ √274−x2

0

∫ √9−x2−y2

√x2+y2

3

dz dy dx.

c) V = 9π/4.

132) I = (x + 2) Sh√

x− 2√

xCh√

x + C.

133) I = π/3.

134) p 6= −1, I = −cotanp+1xp + 1 + C; p = −1, I = ln |tan x|+ C.

135) 80/3.

–98–

6. SOLUCIONES A LAS CUESTIONES TIPO TEST

Ejercicio Respuestas validas1 Ninguna2 b, c, d3 a, b4 a, b5 c, d, e6 c7 c8 a, e9 b, d, e10 b11 Ninguna12 b, c, d, e13 c, e14 a, e15 b, d16 c17 b18 a, c19 a20 d21 a, c22 b, c23 a, c24 a, b, d25 a, b, d26 a, b, c27 d28 d29 b, c30 d31 c32 d33 d34 Ninguna35 a, b, d36 b, d37 b38 a, b, d39 b, c40 c41 c42 a, b, c43 c, d44 d

–99–

CALCULO I - E. T. S. | Ingenieros de Caminos,...

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