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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Clase 15

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Cultura MochicaTodos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos 5.730 años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.

Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Todos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos 5.730 años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Modelo para el movimiento de un resorte.

)(2

2

tfkxdt

dxb

dt

xdm

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Crecimiento de una poblaciónCrecimiento de una población

Experimentalmente puede comprobarse que: La rapidez con que una población P crece, La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es en un instante t cualquiera, es proporcional a la población presente en proporcional a la población presente en dicho instantedicho instante.

Inmediatamente podemos escribir donde k>0 es una constante de proporcionalidad

kPdt

dP

La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales.

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La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Desintegración radiactiva

Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia que se desintegra.La EDO que rige este fenómeno físico es donde k<0 es la constante de desintegración que varia de una sustancia a otra.

kXdt

dX

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t=1h, la cantidad medida de bacterias es . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.

0P23

Ejemplo 1

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 2

Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A0 , de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

Ejemplo 3

Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

MEZCLA

300 g

mg5

2 lb/g

mg3

A(t): Denota la cantidad de sal

dtdA Razón de Entrada

de la salRazón de

Salida de la sal

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Trayectorias ortogonales.

2

3

2

x)1y(

1xy

22

2

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Dada una familia uniparamétrica de curvas del plano F(x,y,C)=0 se dice que la familia G(x,y,C)=0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra.

Definición

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 4Hallar las trayectorias ortogonales de la familia x2+y2=2Cx

Derivando se obtiene 2x+2yy’=2C y sustituyendo C en la expresión original, tenemos x2+y2=2x(x+yy’) o y’=(y2-x2)/2xy, que evidentemente se trata de EDO homogénea

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplox2+y2=2Cx