Calculo de Cortes y Terreplenes

8/20/2019 Calculo de Cortes y Terreplenes

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

REGIÓN XALAPA

“MOVIMIENTO DE TIERRAS“

MONOGRAFÍA

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL

PRESENTA

Iván Enrique Torres Urbina

DIRECTOR

Dr. René Álvarez Lima

Xalapa Enríquez Veracruz 2014


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AGRADECIMIENTOS.

A Dios

Por estar cuidando de mí en todo momento y hacer posible este sueño, gracias por regalarme

la fortaleza, la salud y la perseverancia para poder cumplir con esta meta.

A mí madre

Con todo mi cariño a la persona que siempre ha estado a mi lado, gracias por hacer de mí

quién soy, todo mi esfuerzo es gracias a tu ejemplo. Agradezco que confiaras en mí siempre

y me alentaras a seguir adelante.

A mis hermanas

Por apoyarme incondicionalmente, por enseñarme a luchar en la vida y demostrarme de lo

que pueden ser capaces las personas si desean algo.

A mis abuelos

Por siempre estar ahí, aparentemente distantes pero más cerca de lo que podía apreciar,

gracias por tantos consejos llenos de sabiduría y por la motivación que me han brindado.

A mis amigos

Por compartir conmigo tantos buenos momentos dentro de este ciclo de vida, por

aconsejarme y motivarme a seguir.

Iván Enrique Torres Urbina.


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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………….. 1

OBJETIVOS…………………………………………………………………………………..3

JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………………..4

CAPITULO 1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE MOVIMIENTO DE TIERRAS…5

1.1. DEFINICIÓN DE MOVIMIENTO DE TIERRAS……………….....………..…..6

1.2. PROYECTO DE LA SUBRASANTE………………………………..…………..8

1.3. ELEMENTOS QUE DEFINEN EL PROYECTO DE LA SUBRASANTE.…..9

1.3.1. CONDICIONES TOPOGRÁFICAS……………………………………...….91.3.2. CONDICIONES GEOTÉCNICAS………………………………….………11

1.3.3. SUBRASANTE MÍNIMA……………………………………………….……12

1.3.4. COSTO DE LAS TERRACERÍAS…………………………………………14

1.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN VOLUMÉTRICA……….……………….…16

CAPITULO 2. DETERMINACIÓN DE ÁREAS Y CÁLCULO DE VOLÚMENES……20

2.1. SECCIONES DE CONSTRUCCIÓN……………..…………………………...21

2.2. DETERMINACIÓN DE ÁREAS……………………..…………………………31

2.2.1. MÉTODO ANALÍTICO………………………………………………………32

2.2.2. MÉTODO GRAFICO………………………………………………….…….33

2.3. CÁLCULO DE VOLÚMENES………………..………………………………...34

2.3.1. FORMULA DEL PRISMOIDE………………………………………...……34

2.3.2. C.V.V. EN EL CUERPO DEL TERRAPLÉN……………………………..41

2.3.3. ORDENADAS DE CURVA MASA…………………………………….…..42

2.3.4. REGISTRO DE CALCULO………………………………………….……..432.4. EMPLEO DE PROGRAMAS ELECTRÓNICOS PARA DETERMINAR

VOLÚMENES...……………………………..………………………………… ..43

CAPITULO 3. MOVIMIENTO DE TIERRAS……………………………………………..44


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3.1. PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DE MASA……………….……………....45

3.2. PRECIO UNITARIO Y FORMA DE PAGO DE LOS CONCEPTOS QUE

INTEGRAN EL MOVIMIENTO DE TIERRAS……………..…………………48

3.3. DETERMINACIÓN DE LOS ACARREOS………..……………………….….51

3.3.1. ACARREO LIBRE……………………………………………………….…..51

3.3.2. DISTANCIA MEDIA DE SOBREACARREO……………………………..53

3.4. POSICIÓN ECONÓMICA DE LA COMPENSADORA.……………………..55

3.4.1. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTRE DOS

PRESTAMOS……………………………………………………………….58

3.4.2. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTRE

PRÉSTAMO Y DESPERDICIO……………………………………………61

3.4.3. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTREDESPERDICIO Y UN PRÉSTAMO……………………………………….61


DESPERDICIOS……….........................................................................62

3.5. POSICIÓN ECONÓMICA DE LA COMPENSADORA AUXILIAR……..…..68

CAPITULO 4. ANÁLISIS DE MOVIMIENTO DE TIERRAS CON CivilCAD ® ............72

4.1. TRAZO DE EJE DE PROYECTO DE ACUERDO A COORDENADASESTABLECIDAS………………………………………………………..………74

4.2. DIBUJO DE CURVA HORIZONTAL………………………………….………77

4.3. MARCAR ESTACIONES………………………………………………………79

4.4. PERFIL DE TERRENO………………………………………………….……..81

4.5. PERFIL DE PROYECTO………………………………………………………83

4.6. CALCULO DE VOLÚMENES Y SECCIONES DE PROYECTO…………..84

4.7. ANÁLISIS DE LA LÍNEA COMPENSADORA…………………………….….92

CONCLUSIÓN……………………………………………………………………..………101

RECOMENDACIONES…………………………………………………………..…….…102

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………...…….103


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ÍNDICE DE FIGURAS.

CAPITULO 2.

FIGURA 2.1. SECCIÓN DE CONSTRUCCIÓN DE UN TERRAPLÉN ENTANGENTE……………………………………………………………………………22

FIGURA 2.2. SECCIÓN DE CONSTRUCCIÓN DE UN CORTE ENTANGENTE.......................................................................................................23

FIGURA 2.3. ESCALÓN DE LIGA………………………………………………….29

FIGURA 2.4. MUROS…………………………………………………………..……30

FIGURA 2.5. BERMAS…………………………………………………………..…..31

FIGURA 2.6. DETERMINACIÓN DE ÁREAS MÉTODO ANALÍTICO……….…32

FIGURA 2.7. DETERMINACIÓN DE ÁREAS MÉTODO GRAFICO………..….33

FIGURA 2.8. VOLUMEN DE UN PRISMOIDE TRIANGULAR…………….……35

FIGURA 2.9. DESCOMPOSICIÓN DE UN PRISMOIDE EN PRISMOIDESTRIANGULARES………………………………………………………………..……37

FIGURA 2.10. CORRECCIÓN DE VOLUMEN POR CURVA……………..…….39

CAPITULO 3.

FIGURA 3.1. PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DE MASAS…………………...46

FIGURA 3.2. ACARREO LIBRE…………………………………………………….52

FIGURA 3.3. DISTANCIA MEDIA DE SOBREACARREO………….……………54

FIGURA 3.4. PRESTAMOS Y DESPERDICIOS………………….………………56

FIGURA 3.5. POSICIÓN ECONÓMICA DE LA COMPENSADORA……………59

FIGURA 3.6. UBICACIÓN DE LA COMPENSADORA ECONÓMICA……….…63

FIGURA 3.7. COMPENSADORA AUXILIAR………………………………………69


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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo centra su atención en los diferentes elementos que intervienen en

el movimiento de tierras, así como en el análisis adecuado para lograr optimizar

tiempo y costo en los procesos que lo integran.

Es importante aclarar que existen diferentes métodos de cálculo para lograr un

análisis correcto, pero se opto por considerar el método utilizado por la Secretaría de

Comunicaciones y Transportes, en su manual de proyecto geométrico de carreteras,

ya que en el capítulo 10, de este manual, se trata lo referente a los movimientos de

terracerías.

Debido a que el proceso de cálculo puede ser un tanto laborioso y repetitivo, en laactualidad se cuenta con programas de computo muy especializados, como

CivilCAD®1, que nos ayuda a reducir en gran manera el tiempo de análisis; este es un

software de aplicación práctica desarrollado por la empresa ARQCOM que se instala

en AutoCAD®2.

Por lo anterior podemos entender que es de suma importancia conocer el aspecto

teórico-práctico que interviene en el movimiento de tierras, pero también es

necesario saber utilizar las herramientas actuales que nos ayudan a ejecutar demanera más eficiente una labor, por lo cual este trabajo servirá como apoyo en ese

sentido, pues se realiza un ejemplo de movimiento de tierras utilizando dicho

programa.

Este trabajo se encuentra estructurado en cuatro capítulos, los cuales se describen

de manera breve a continuación:

Capitulo 1: Conceptos generales sobre movimiento de tierras, define a qué se le

llama movimiento de tierras y se establecen los aspectos más importantes que

intervienen en el análisis.

1 CivilCAD® es una marca registrada de la compañía ARQCOM. www.arqcom.com.mx

2 AutoCAD ® es una marca registrada de la compañía Autodesk inc. www.autodesk.com

http://www.arqcom.com.mx/http://www.arqcom.com.mx/http://www.arqcom.com.mx/http://www.autodesk.com/http://www.autodesk.com/http://www.autodesk.com/http://www.autodesk.com/http://www.arqcom.com.mx/


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2

Capitulo 2: Determinación de áreas y cálculo de volúmenes, se presenta de manera

grafica la sección de construcción, y se describen las partes que la conforman, esto

para poder entender de manera más fácil el procedimiento que se sigue en el cálculo

volumétrico.

Capitulo 3: Movimiento de tierras, en este capítulo se explica el procedimiento para

optimizar el costo de los movimientos, mediante el análisis de la curva masa y la

línea compensadora.

Capitulo 4: Análisis de movimiento de tierras con CivilCAD® , para que fuese más

rápido el entendimiento de cómo utilizar esta herramienta de cómputo, se opto por

realizar un ejemplo práctico en el que intervienen todos los factores relacionados con

el análisis, hasta llegar a la posición económica de la línea compensadora.


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OBJETIVOS

Los objetivos que se persiguen en este trabajo son:

Establecer las etapas constructivas que definen los movimientos de tierras. Entender la importancia del coeficiente de variación volumétrica (C.V.V.) en el

cálculo volumétrico.

Describir el proyecto de subrasante, así como los elementos que integran la

sección de construcción.

Lograr un análisis volumétrico por el método tradicional en terraplenes y con

software de computadora.

Estudiar las propiedades de la curva masa y comprender sus características.

Definir la posición económica de la línea compensadora.


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JUSTIFICACIÓN

A través de los años el movimiento de tierras ha sido un tema importante dentro de la

ingeniera civil, principalmente en el área de la construcción, pues en la mayoría de

los casos se requiere modificar la configuración topográfica del terreno, lo que

conlleva a dichos movimientos.

Es por eso que el presente trabajo busca de alguna manera facilitar esta información

a las futuras generaciones de estudiantes de ingeniería, pues se consideró

importante el contar con un material que sirva de apoyo para lograr que adquieran

los conocimientos básicos necesarios para realizar un análisis adecuado dentro de

esta área. En ello radica el interés de lograr un trabajo escrito que englobe la

información necesaria para un análisis correcto y eficaz, tanto de la forma tradicional

que se ocupó durante muchos años con los implementos más comunes como lápiz,

papel, regla, etc., hasta las herramientas con las que contamos en la actualidad

como programas de computadora, para lograr así un aprendizaje integral en los

estudiantes que consulten este trabajo, y que los conocimientos adquiridos sirvan

para ser aplicados en la vida real.


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CAPITULO 1.

CONCEPTOS GENERALES SOBRE

MOVIMIENTOS DE TIERRAS

1.1. DEFINICIÓN DE MOVIMIENTO DE TIERRAS.

1.2. PROYECTO DE LA SUBRASANTE.

1.3. ELEMENTOS QUE DEFINEN EL PROYECTO DE LA SUBRASANTE.

1.3.1. CONDICIONES TOPOGRÁFICAS.

1.3.2. CONDICIONES GEOTÉCNICAS.

1.3.3. SUBRASANTE MÍNIMA.

1.3.4. COSTO DE LAS TERRACERÍAS.

1.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN VOLUMÉTRICA.


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CAPÍTULO 1.

CONCEPTOS GENERALES SOBRE

MOVIMIENTO DE TIERRAS

Los movimientos de tierra son actividades constructivas muy frecuentes en la

ejecución de la infraestructura vial, el desarrollo urbano, social e industrial. Estas

actividades son de la competencia de los profesionales de la construcción y en

especial de los ingenieros civiles.

1.1. DEFINICIÓN DE MOVIMIENTO DE TIERRAS.

Se entiende por movimiento de tierras al conjunto de operaciones a realizar en un

terreno para mejorar las condiciones topográficas de acuerdo a un proyecto

establecido, dichas operaciones se pueden realizar en forma manual o en forma

mecánica. Esto incluye los trabajos para excavar material de lugares donde no se le

desea y moverlo hacia los lugares donde se le necesita. Así, se distingue el lugar de

excavación y el lugar de depósito.

La distancia entre estos lugares tiene una influencia marcada en la selección de la

maquinaria para efectuar de manera correcta los diferentes procesos que intervienen

en el movimiento de tierras.


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Estos movimientos se pueden clasificar en:

1. Conformaciones. En estas no se producen modificaciones relevantes en la

topografía, generalmente se evitan cambios bruscos, que no existan

oquedades, riscos, barrancos, etc.2. Explanaciones. En estas si se producen grandes modificaciones de la

topografía, lo cual provoca el movimiento de grandes volúmenes de tierras.

Las explanaciones se ejecutan usando el suelo como principal material de

construcción, con el objetivo de servir como apoyo a las obras viales y

estructurales.

Dentro de las explanaciones se encuentran los terraplenes y las terrazas, los

cuales se clasifican así por su forma y dimensiones; en las terrazas predomina

el área útil de la explanada con respecto a la altura y en los terraplenes

predomina la longitud con respecto al ancho y a la altura.

Por su diseño las explanaciones se pueden catalogar como compensadas o

no compensadas, lo ideal y lo que se busca, es que sean compensadas pues

esto significa que se puede ejecutar usando el suelo natural, logrando así la

máxima economía, cuando es no compensada, significa que el suelo sobrante

se debe colocar en un área de depósito cercana, o que se necesita trasladar

material de relleno desde un banco o préstamo lateral cercano para ejecutar la

explanación.

Generalmente las etapas constructivas de los movimientos de terracerías son:

1. Trazo. Se define con base en la información topográfica y geotécnica del

terreno, aplicando especificaciones y normas.

2. Desmonte y despalme. Es la remoción de la vegetación y capa superficial dematerial orgánico existente, el espesor de dicha capa varia por lo que es

recomendable realizar sondeos para determinar el espesor.

3. Cortes. Los cortes, son excavaciones en el terreno natural para la formación

de la sección de proyecto, cuando el material producto de dichas


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excavaciones cumpla con las características adecuadas, puede ser utilizado

en la formación de terraplenes, logrando con esto reducir el costo de la obra.

4. Terraplenes. Los terraplenes son estructuras que se construyen con material

producto de corte o préstamos de bancos.

5. Obras de drenaje. Son todas aquellas estructuras construidas para desalojar

tanto el agua que escurre sobre la superficie del camino, como la que lo cruza.

Estas obras evitan el deterioro del camino principalmente en épocas de lluvia.

Cumpliendo con estas etapas se logra un nivel de terracerías adecuado y en

condiciones de recibir la capa de rodadura, explanada, etc.

1.2. PROYECTO DE LA SUBRASANTE.

La subrasante es la línea obtenida al proyectar sobre un plano vertical el desarrollo

del eje de la subcorona, y en la sección transversal está representada por un punto.

Cuando se inicia el estudio de la subrasante con finalidad vial se analizan ciertas

características como el alineamiento horizontal, el perfil longitudinal, las secciones

transversales del terreno, los datos necesarios sobre la calidad de los materiales y la

elevación mínima que se requiere para dar cabida a las estructuras que se

construirán en dicho tramo.

Existe una subrasante económica la cual ocasiona el menor costo de la obra,

entendiéndose por esto, la suma de las erogaciones ocasionadas durante la

construcción y por la operación y conservación del camino una vez abierto al tránsito.

No obstante en este trabajo solo se analizara la subrasante económica determinada

por el costo de construcción, ya que este concepto generalmente es el que presenta

variaciones sensibles. Bajo este término, para el proyecto de la subrasante

económica hay que tomar en cuenta que:

1. La subrasante debe cumplir con las especificaciones del proyecto geométrico

dadas.


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2. En general, el alineamiento horizontal es definitivo, pues todos los problemas

inherentes a él han sido previstos en la fase de anteproyecto. Sin embargo

habrá casos en que se requiera modificarlo localmente.

3. La subrasante a proyectar debe permitir alojar las alcantarillas, puentes y

pasos a desnivel y su elevación debe ser la necesaria para evitar humedades

perjudiciales a las terracerías, causadas por zonas de inundación o humedad

excesiva en el terreno natural.

1.3. ELEMENTOS QUE DEFINEN EL PROYECTO DE LA

SUBRASANTE.

Se considera que los elementos que definen el proyecto de la subrasante económica

de acuerdo con lo escrito anteriormente, son los siguientes:

1) Condiciones topográficas.

2) Condiciones geotécnicas.

3) Subrasante mínima.

4) Costo de las terracerías.

1.3.1. Condiciones topográficas. De acuerdo con su configuración se consideran

tres tipos de terreno: plano, lomerío y montañoso.

Se considera que la definición de estos conceptos está íntimamente ligada con las

características que cada uno imprime al proyecto, tanto en los alineamientos

horizontal y vertical como en el diseño de la sección de construcción.

Terreno plano es aquel cuyo perfil acusa pendientes longitudinales uniformes y de

corta magnitud, con pendientes transversales mínimas o nulas. Lomerío se considera

al terreno cuyo perfil longitudinal presenta en sucesión, cimas y depresiones de cierta

magnitud, con pendientes transversales no mayores de 25°. Como terreno

montañoso se considera al que ofrece pendientes transversales mayores de 25°,

caracterizado por accidentes topográficos notables y cuyo perfil obliga a fuertes

movimientos de tierra.


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Cuando existe terreno plano el proyecto de la subrasante será generalmente en

terraplén, sensiblemente paralelo al terreno, con altura suficiente para quedar a salvo

de la humedad propia del suelo y de los escurrimientos laminares en el, así como

para dar cabida a las alcantarillas, puentes y pasos a desnivel que requiera el tramo.

En este tipo de configuración, la compensación longitudinal o transversal de las

terracerías se presenta excepcionalmente; como consecuencia, los terraplenes

estarán formados con material producto de préstamo, ya sea lateral o de banco

En terreno considerado como lomerío, el proyectista analizara la subrasante

combinando las pendientes especificadas, obteniendo un alineamiento vertical

ondulado, que permitirá aprovechar el material producto de corte, para formar los

terraplenes contiguos. Algunas caracteristicas de este tipo de terreno son la

compensacion longitudinal de las terracerias en tramos de longitudconsiderable, el

proyecto de la subrasante a base de contrapendientes, no presentar problemas al

dejar el espacio vertical necesario para alojar las alcantarillas, los pasos a desnivel y

puentes. Cuando se requiere considerar la distancia de visivilidad de revase en el

proyecto del alineamiento vertical, se ocaciona un incremento en el volumen de

tierras por mover.

En terreno montañoso, la formacion de terracerias se obtiene mediante la excavacion

de grandes volumenes de material, el proyecto de la subrasante queda generalmente

condicionado a la pendiente transversal del terreno y el analisis de las secciones

transversales en zonas criticas o de balcon. Cuando a causa de la excesiva

pendiente transversal del terreno haya necesidad de alojar en firme la corona del

camino, la elevacion de la subrasante debe estudiarse considerando la construccion

de muros de contension o de viaductos, siempre buscando obtener el menos costo

del tramo. En ocaciones, el proyecto de un tunel puede ser la solucion conveniente.

Algunas de las caracteristicas del tereno montañoso es el uso frecuente de las

especificaciones maximas, tanto en el alineamiento horizontal como en el vertical,

disponer de espacios libres para dar cabida a puentes y alcantarillas, la presencia en

el diagrama de masas de una seria de desperdicios interrumpidos por pequeños

tramos compensados, la frecuancia de zonas criticas, los grandes volumenes de


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material por mover, la necesidad de proyectar alcantarillas de alivio y el alto costo de

construccion resultante, si se quiere considerar en el proyecto la distacia de

visibilidad de rebase.

Existiendo una intima liga entre los alineamientos horizontales y verticales en todoslos casos antes descritos, especialmente en el terreno montañoso, es necesario que

al proyectar el alineamiento horizontal se tomen en cuanta los problemas que afectan

el estudio economico de la subrasante.

1.3.2. Condiciones geotécnicas. Conocer la calidad de los materiales que se

encuentran en la zona en donde se localiza el camino, es un factor de suma

importancia para lograr el proyecto de la subrasante economica, ya que ademas del

empleo que tendran en la formacion de las terracerias, serviran de apoyo al camino.La elevacion de la subrasante esta limitada en ocaciones por la capacidad de carga

del suelo que servira de base al camino.

Por la dificultad que ofrecen a su ataque, las Especificaciones Generales de

Construccion de la S.C.T., clasifican a los materiales de terracerias como A, B y C;

por el tratamiento que van a tener en la formacion de los terraplenes, los clasifican en

materiales compactables y no compactables.

Un suelo se clasifica como material A, cuando puede ser atacado con facilidad

mediante pico, pala de mano, escrepa o pala mecanica de cualquier capacidad;

ademas, se considera como material A, los suelos poco o nada cementados, con

particulas hasta de 7.5 centimetros.

Como material tipo B se clasifica a los suelos que requieren ser atacados mediante

arado o explosivos ligeros, como las piedras sueltas mayores de 7.5 centimetros y

menores de 75 centimetros.

El material tipo C es aquel que solamente puede ser atacado mediante explosivos,

requeriendo para su remocion el uso de pala mecanica de gran capacidad.

Se considera que un material es compactable cuando es posible controlar su

compactaqcion por alguna de las pruebas de laboratorio usuales. En caso contrario


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se considera como material no compactable, aun cuando se reconozca que estos

materiales puedan ser sujetos a un proceso de compactacion en el campo. Al

material llamado no compactable, generalmente producto de los cortes y

excepcionalmente obtenido de los prestamos, se le aplica el tratamiento de

bandeado al emplearse en la formacion de los terraplenes, tratamiento que tiene por

objeto lograr un mejor acomodo de los fragmentos, reduciendo los vacios u

oquedades mediante el empleo del equipo de construccion adecuado. Dentro de este

grupo quedan incluidos los materiales clasificados como C, y aquellos cuya

clasificacion B es debida a la presencia de fragmentos medianos y grandes.

Para el proyecto de la subrasante se deben conocer principalmente las propiedades

de los materiales que intervienen en la formacion de las terracerias, los datos

relativos a clasificacion para fines de presupuesto y el tratamiento a darles.

1.3.3. Subrasante mínima. Se refiere a la elevacion minima correspondiente a

puntos determinados del camino, a los que el estudio de la subrasante economica

debe sujetarse. Los elementos que fijan estas elevaciones minimas son:

A) Obras menores.

B) Puentes.

C) Zonas de inundación.D) Intersecciones.

A) Obras menores. Para lograr la economia deseada y no alterar el buen

funcionamiento del drenaje, es necesario que el estudio de la subrasante

respete la elevacion minima que requiere el proyecto de las alcantarillas. Esto

es determinante en terrenos planos, pues en terrenos considerados como

lomerio y montañoso, solamente en casos aislados habra que tomar en cuenta

la elevacion minima, ya que el proyecto de la subrasante estara obligado por

las condiciones que este tipo de configuracion topografica impone y

generalmente habra espacio vertical suficiente para dar cabida a las obras

menores.


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La elevacion a la cual debe sujetarse la subrasante generalmente esta en

funcion de las caracteristicas propias de la alcantarilla y de la seccion de

construccion, principalmente la elevacion del desplante, la pendiente según el

eje de la obra, el colchon minimo, el angulo de esviajamiento, la altura de la

obra hasta su coronamiento, el ancho de la semicorona, y las pendientes

longitudinal y transversal de la obra.

B) Puentes. La elevacion de la subrasante en estos casos sera conocida hasta

que la estructura este proyectada, es necesario tomar en cuanta los

elementos que intervienen para definir la elevacion minima, con el objeto de

que el proyecto del aliniamiento vertical se aproxime lo mas posible a la cota

que se requiere.

Para lograr lo anterior se debe contar con los siguientes datos:

i) Elevacion del nivel de aguas maximas extraordinarias.

ii) Sobreelevacion de las aguas ocasionada por el estrechamiento que origina el

puente en el cauce.

iii) Espacio libre vertical necesario para dar paso a cuerpos flotantes.

iv) Peralte de la superestructura.

La suma de los valores de estos elementos determina la elevacion minima de

rasante necesaria para alojar el puente, de la cual habra que deducir el

espesor de pavimento para obtener la elevacion de la subrasante.

El proyecto de vados puede suplir al de puentes cuando en el tramo se

precenten con poca frecuencia y magnitud las avenidas maximas

extraordinarias, y en el camino exista poco transito vehicular. La eleccion del

tipo de obra esta supeditada al regimen de la corriente, asi como al estudio

comparativo de costos de las alternativas que se presenten.

C) Zonas de inundacion. El paso de un camino por zonas de inundacion obliga a

guardar cierta elevacion de la subrasante que se fija de acuerdo con el nivel

de aguas maximas extraordinarias, con la sobreelevacion de las aguas


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producida por el obstaculo que a su paso presentara el camino y con la

necesidad de asegurar la estabilidad de las terracerias y del pavimento. En

estos casos se recomienda que la elevacion de la subrasante sea como

minimo un metro por arriba del NAME, estando el dato preciso en funcion de

las caracteristicas de la zona inundable.

D) Intersecciones. Los cruces que en un camino existen con otras vias de

comunicación terrestre, ya sean en proyecto o existentes, dan lugar a

intersecciones que puedan ser a nivel o a desnivel. En este caso el proyecto

de la subrasante debera considerar la via terrestre que se cruce.

En las intersecciones a desnivel, se hará un estudio economico para

determinar si conviene que sea inferior o superior el paso del camino que se

está proyectando. Para fijar la elevacion de la subrasante economica se sigue

una metodologia semejante a la ya explicada para el caso de obras menores,

tomando en consideracion ademas, para el caso de los entronques, que

deberan estudiarse los enlaces con los caminos que originan el cruce.

1.3.4. Costo de las terracerías. La posicion que debe guardar la subrasante para

obtener la economia maxima en la construccion de las terracerias, depende de los

conceptos:

A) Costos unitarios:

Excavacion en corte.

Excavacion en prestamo.

Compactacion en el terraplen del material de corte.

Campactacion en el terraplen del material de prestamo.

Sobreacarreo del material de corte a terraplen.

Sobreacarreo del material de corte a desperdicio.

Sobreacarreo del material de prestamo a terraplen.

Costo del terreno afectado para prestamo, desmonte y despalme, dividido

entre el volumen de terracerias extraido del mismo.


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B) Coeficiente de variacion volumetrica:

Del material de corte.

Del material de prestamo.

C) Relaciones:

Entre la variacion de los volumenes de corte y terraplen, al mover la

subrasante de su posicion original.

Entre los costos unitarios de terraplen formado con material producto de corte

y con material obtenido de prestamo.

Entre los costos que significa el acarreo del material de corte para formar el

terraplen y su compactacion en este y el que significa la extraccion del

material de corte y el acarreo para desperdiciarlo.

D) Distancia economica de sobreacarreo:

El empleo del material producto de corte en la formacion de terraplen, esta

condicionado tanto a la calidad del material como a la distancia hasta la que

es economicamente posible su transporte. Esta distancia está dada por la

ecuacion:

En donde:

DME= Distancia maxima de sobreacarreo economico.

ad= Costo unitario de sobreacarreo del material de corte de desperdicio.

Pc= Precio unitario de la compactacion en el terraplen del material producto

del corte. AL= Acarreo libre del material, cuyo costo esta incluido en el precio de

excavacion.

Pp= Costo unitario de terraplen formado con material producto de prestasmo.

Psc= Precio unitario del sobreacarreo del material de corte.


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Como se vera mas adelante son estos elementos en los que se basa

fundamentalmente el estudio del diagrama de masas.

1.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN VOLUMÉTRICA.

El material que se ocupa en la formación de terraplenes ya sea producto de corte o

préstamo de algún banco, experimenta un cambio de volumen al pasar de su estado

natural a formar parte del terraplén, es esencial conocer el valor de este cambio de

volumen para la correcta determinación de los volúmenes y de los movimientos de

tierra correspondientes.

Se denomina coeficiente de variación volumétrica o coeficiente de abundamiento a la

relación que existe entre el peso volumétrico del material en estado natural y al peso

volumétrico que ese mismo material tiene al formar parte del terraplén, esto es, los

pesos volumétricos sueltos y compactos del material de corte, dicha relación también

se puede dar como coeficiente de reducción en terraplenes.

Dicho coeficiente será mayor que la unidad, cuando un metro cubico de terraplén

pueda construirse con un volumen menor de material, obtenido en el corte o en el

préstamo. Contrariamente, el coeficiente será menor que la unidad, cuando elvolumen de terraplén requiera un volumen mayor de material constitutivo.

La siguiente expresión es la que se utiliza para obtener el coeficiente de variación

volumétrica o coeficiente de abundamiento:

Donde:

C.V.V.= Coeficiente de variación volumétrica

= Peso volumétrico compacto del material

= Peso volumétrico suelto del material


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El coeficiente de variación volumétrica permite establecer los volúmenes de

materiales que han de ser extraídos de los bancos de préstamo o del sitio donde se

está realizando la obra, para llegar al volumen requerido en las terracerías, es un

dato indispensable para llegar a los verdaderos costos de un proyecto dado.

A continuación se presenta una tabla con los valores típicos de coeficientes de

variación volumétrica:


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Tipo de materialCompactado

Bandeado Abundamiento90% 95% 100%

Arena

Suelta 0.87 0.82 0.78 1.00

Medianamente compacta 0.96 0.91 0.86 1.10

Compacta 1.03 0.98 0.93 1.20

Muy compacta 1.11 1.05 1 1.28

Limo no

plástico

Muy suelto 0.82 0.78 0.74 1.06

Suelto 0.91 0.86 0.82 1.17

Medianamente compacto 0.99 0.94 0.89 1.27

Compacto 1.06 1 0.95 1.36

Muy compacto 1.11 1.05 1 1.43

Arcilla y Limo

plástico

Muy blanda 0.78 0.74 0.7 1.08

Blanda 0.87 0.82 0.78 1.20

Media 0.95 0.9 0.85 1.30

Firme 1.01 0.96 0.91 1.40

Muy firme 1.08 1.02 0.97 1.49

Dura 1.14 1.08 1.02 1.57

Rocas

Muy

intemperizadas

Rocas con alteración física y química muy avanzada, poco

cementadas, con grietas apreciables rellenas de suelo, se

disgregan fácilmente, podrán atacarse con tractor y se

obtendrán fragmentos chicos, gravas, arenas y arcillas.

1.00 1.10

Medianamenteintemperizadas

Rocas con alteración física y química medianamente

avanzadas, medianamente cementadas, fracturadas. Para

atacarlas se requerirá el empleo de arado y de explosivos

de bajo poder y se obtendrán fragmentos chicos y

medianos, gravas y arenas.

1.07 1.25

Poco

intemperizadas

Rocas con poca alteración física o química, bien

cementadas, poco fracturadas. Para atacarlas se requerirá

el empleo de explosivos de alto poder y se obtendrán

fragmentos medianos, chicos, grandes y gravas.

1.15 1.50

Sanas

Rocas sin alteración física o química, poco o nada

fisuradas, bien cementadas, densas. Para atacarlas se

requerirá el empleo de explosivos de alto poder y seobtendrán fragmentos grandes y medianos.

1.25 1.75

*(Tabla tomada de Ingeniería de Suelos en las vías terrestres, Volumen 2, Alfonso Rico Rodríguez, pág. 272 )

Tabla 1.1. Coeficientes de variación volumétrica.


25/109

19

En el siguiente capítulo se describirán algunos de los métodos existentes para el

cálculo de volúmenes y se hará de nuevo referencia a la importancia del coeficiente

de variación volumétrica dentro de los movimientos de tierras.

También se explica cuales son los elementos y conceptos que determinan elproyecto de una sección de construcción, y se describe cada uno de ellos.


26/109

20

CAPÍTULO 2.

DETERMINACIÓN DE ÁREAS Y

CÁLCULO DE VOLÚMENES

2.1. SECCIONES DE CONSTRUCCIÓN.

2.2. DETERMINACIÓN DE ÁREAS.

2.2.1. MÉTODO ANALÍTICO.

2.2.2. MÉTODO GRAFICO.

2.3. CALCULO DE VOLÚMENES.

2.3.1. FORMULA DEL PRISMOIDE.

2.3.2. C.V.V. EN EL CUERPO DEL TERRAPLÉN.

2.3.3. ORDENADAS DE CURVA MASA.

2.3.4. REGISTRO DE CÁLCULO.

2.4. EMPLEO DE PROGRAMAS ELECTRÓNICOS PARA DETERMINAR VOLÚMENES.


27/109

21

CAPÍTULO 2.

DETERMINACIÓN DE ÁREAS Y CÁLCULO DE

VOLÚMENES

Para lograr una aproximación debida en el cálculo de los volúmenes de tierra, es

necesario obtener la elevación de la subrasante tanto en las estaciones cerradas

como en las intermedias en que se acusan cambios en la pendiente del terreno.

Asimismo, si se considera la subrasante con fines viales, es conveniente calcular la

elevación de los puntos principales de las curvas horizontales, en los que la sección

transversal sufre un cambio motivado por la sobreelevación y la ampliación.

Obtenida la elevación de la subrasante para cada una de las estaciones

consideradas en el proyecto, se determina el espesor correspondiente dado por la

diferencia entre las elevaciones del terreno y de la subrasante. Este espesor se

considera en la sección transversal del terreno previamente dibujada.

El cálculo de los volúmenes se hace con base en las áreas medidas en las secciones

de construcción y los movimientos de materiales se analizan mediante un diagrama

llamado de curva masa.

2.1. SECCIONES DE CONSTRUCCIÓN.

Se le llama sección de construcción a la representación grafica de las secciones

transversales, que contienen tanto los datos propios del diseño geométrico, como los


28/109

22

correspondientes al empleo y tratamiento de los materiales que formaran parte de las

terracerías.

Los elementos y conceptos que determinan el proyecto de una sección de

construcción, pueden separarse en dos grupos:

A) Los propios del diseño geométrico.

B) Los impuestos por el procedimiento a que debe sujetarse la construcción de

las terracerías.

Los elementos del grupo A) son los siguientes:

1. Espesor de corte o de terraplén.

2. Ancho de corona.3. Ancho de calzada.

4. Ancho de acotamiento.

5. Pendiente transversal.

6. Ampliación en curvas.

7. Longitud de transición.

8. Espesor de pavimentos.

9. Ancho de subcorona.

10. Talud de corte o de terraplén.

11. Dimensiones de las cunetas.

Figura 2.1. Sección de construcción de un terraplén en tangente.

SUBCORONA

CLSubrasante

-2 %-2 %

Cuña deafinamiento

Capa subrasante

1° porcion

2° porcion Espesor del terr aplen

Perfil del terrenoDespalme o capa de terrenonatural por compactar


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23

Los elementos que forman el grupo B) son los siguientes:

12. Despalme.

13. Compactación del terreno natural.

14. Escalón de liga.15. Cuerpo del terraplén.

16. Capa subrasante.

17. Cuña de afinamiento.

18. Muro de retención.

19. Berma.

20. Estratos de corte.

21. Caja de corte.

Figura 2.2. Sección de construcción de un corte en tangente.

Los elementos enumerados en el grupo A) se describen a continuación:

1. Espesor de corte o de terraplén. La diferencia que existe entre las elevaciones

del terreno y la subrasante obtenida para cada una de las estaciones consideradas

en el proyecto, determina el espesor correspondiente de corte o terraplén. Para el

caso de corte se tiene que la elevación de la subrasante es menor que la del terreno,

en terraplén el caso es inverso, es decir la subrasante tiene una elevación mayor que

el terreno natural.

CL

-2 %-2 % 3 : 1 3 : 1

Subrasante

Estrato 1 o despalme

Estrato 2

Estrato 3

Espesor del ter raplen

Caja o capa del terrenonatural por compactar

Perfil del terreno

SUBCORONA


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24

2. Ancho de corona. La corona es la superficie del camino terminado que queda

comprendida entre los hombros del camino, o sean las aristas superiores de los

taludes del terraplén y/o las interiores de las cunetas. Los elementos que definen la

corona son la rasante, la pendiente transversal, la calzada y los acotamientos.

3. Ancho de calzada. La calzada es la parte de la corona destinada al tránsito de

vehículos y constituida por uno o más carriles, entendiéndose por carril a la faja de

ancho suficiente para la circulación de una fila de vehículos.

El ancho de calzada es variable a lo largo del camino y depende de la localización de

la sección en el alineamiento horizontal y excepcionalmente en el vertical.

Normalmente el ancho de calzada se refiere al ancho en tangente del alineamiento

horizontal.

4. Ancho de acotamiento. Los acotamientos son las fajas contiguas a la calzada,

comprendidas entre sus orillas y las líneas definidas por los hombros del camino.

Algunas de sus ventajas son:

A) Dar seguridad al usuario del camino al proporcionarle un ancho adicional

fuera de la calzada, en el que puede eludir accidentes potenciales o reducir

su severidad, pudiendo también estacionarse en ellos en caso obligado.

B) Proteger contra la humedad y posibles erosiones a la calzada, así como

dar confinamiento al pavimento.

C) Mejorar la visibilidad en los tramos en curva, sobre todo cuando el camino

va en corte.

D) Facilitar los trabajos de conservación.

E) Dar mejor apariencia al camino.

El ancho de los acotamientos depende principalmente del volumen de transito y del

nivel de servicio a que el camino vaya a funcionar.

El color, textura y espesor de los acotamientos, dependerá de los objetos que se

quiera lograr con ellos y su pendiente transversal será la misma que la de la calzada.


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25

5. Pendiente transversal. La pendiente transversal de la subcorona es la misma que

la de la corona, logrando así mantener un espesor uniforme en el pavimento o la

explanada. Cuando la pendiente transversal se establece para fines viales, su

relación con los elementos del alineamiento horizontal puede generar tres tipos de

pendiente:

A) Bombeo. El bombeo es la pendiente que se da a la corona en las

tangentes del alineamiento horizontal hacia uno y otro lado de la rasante

para evitar la acumulación del agua sobre el camino. Un bombeo

apropiado será aquel que permita un drenaje correcto de la corona con la

mínima pendiente, a fin de que el conductor no tenga sensaciones de

incomodidad o inseguridad. En la siguiente tabla se dan valores de

referencia para emplearse en el proyecto en función del tipo de superficie

de rodamiento.

Tabla 2.1. Bombeo de la corona.

B) Sobreelevación. La sobreelevación es la pendiente que se da a la corona

hacia el centro de la curva para contrarrestar parcialmente el efecto de la

fuerza centrifuga de un vehículo en las curvas del alineamiento horizontal.

Algunos problemas relacionados con la construcción, operación y

conservación de la carretera, han mostrado la necesidad de fijar una

sobreelevación máxima de 12% en lugares donde no existan heladas ni

nevadas y el porcentaje de vehículos pesados en la corriente de transito

es mínimo; se usa 10% en los lugares en donde sin haber nieve o hielo se

TIPO DE SUPERFICIE DE RODAMIENTO BOMBEO

Muy buenaSuperficie de concreto hidráulico o asfáltico, tendido

con extendedoras mecánicas.0.010 a 0.020

BuenaSuperficie de mezcla asfáltica tendida con

motoconformadora. Carpeta de riegos.0.015 a 0.030

Regular a mala Superficie de tierra o graba. 0.020 a 0.040


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26

tiene un gran porcentaje de vehículos pesados, se usa 8% en zonas en

donde las heladas o nevadas son frecuentes y, se usa un 6% en zonas

urbanas.

C) Transición del bombeo a la sobreelevación. En el alineamiento horizontal,al pasar de una sección en tangente a otra en curva, se requiere cambiar

la pendiente de la corona, desde el bombeo a la sobreelevación

correspondiente a la curva, este cambio se hace gradualmente. Se tienen

tres procedimientos para efectuar esta transición: el primero consiste en

girar la sección sobre el eje de la corona; el segundo y el tercero consisten

en girar la sección sobre la orilla interior y exterior de la corona

respectivamente. El primer procedimiento es el más conveniente, ya que

requiere menor longitud de transición y los desniveles relativos de los

hombros son uniformes.

6. Ampliación en curvas. Cuando un vehículo circula por una curva del

alineamiento horizontal, ocupa un ancho mayor que cuando circula sobre una

tangente y el conductor experimenta cierta dificultad para mantener su vehículo en el

centro del carril, por lo que se hace necesario dar un ancho adicional a la calzada

respecto al ancho en tangente. A este sobreancho se le llama ampliación, el cual

debe darse tanto a la calzada como a la corona.

La ampliación de la calzada en las curvas, se da en el lado interior, la raya central se

pinta posteriormente en el centro de la calzada ampliada.

7. Longitud de transición. Es la longitud necesaria para que exista la transición del

bombeo a la sobreelevación, esta transición se hace gradualmente. Existen varios

criterios para su cálculo; empíricamente se ha encontrado que, cuando la curva

circular no tiene espirales, la transición puede hacerse 50% en la tangente adyacente

y 50% en la curva circular, siempre que por lo menos la tercera parte de la longitud

de la curva quede con sobreelevación completa.

8. Espesor de pavimentos. Se entiende por pavimento, a la capa o capas de

material seleccionado y/o tratado, comprendidas entre la subcorona y la corona, que


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27

tienen por objeto soportar las cargas inducidas por el transito y repartirlas de manera

que los esfuerzos transmitidos a la capa de terracerías subyacente a la subcorona,

no le causen deformaciones perjudiciales; al mismo tiempo proporciona una

superficie de rodamiento adecuada al tránsito. Los pavimentos generalmente están

formados por la sub-base, la base y la carpeta, definiendo esta ultima la calzada del

camino.

9. Ancho de subcorona. La subcorona es la superficie que limita a las terracerías y

sobre la que se apoyan las capas del pavimento. El ancho de esta es la distancia

horizontal comprendida entre los puntos de intersección de la subcorona con los

taludes del terraplén, cuneta o corte.

10. Talud de corte o de terraplén. El talud es la inclinación del paramento de los

cortes o de los terraplenes, expresando numéricamente por el reciproco de la

pendiente. Por extensión, en caminos, se le llama también talud a la superficie que

es corte queda comprendida entre la línea de ceros y el hombro correspondiente.

Los taludes de los cortes y terraplenes se fijan de acuerdo con su altura y la

naturaleza del material que los forman.

En terraplenes, dado el control que se tiene en la extracción y colocación del

material que forma el talud, el valor comúnmente empleado para este es de 1.5. En

los cortes, debido a la gran variedad en el tipo y disposición de los materiales, es

indispensable un estudio, por somero que sea, para definir los taludes en cada caso.

Se tiene como norma para los cortes de más de siete metros de altura, realizar

estudios con el detalle suficiente, a fin de fijar de un modo racional, los taludes y los

procedimientos de construcción.

11. Dimensiones de las cunetas. Las cunetas y contracunetas son obras de

drenaje que por su naturaleza quedan incluidas en la sección transversal, son zanjas

que se construyen en los tramos en corte a uno o a ambos lados de la corona,


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28

contiguas a los hombros, con el objeto de recibir en ellas el agua que escurre por la

corona y los taludes del corte.

Normalmente, la cuneta tiene sección triangular con un ancho de 1.00 m, medido

horizontalmente del hombro de la corona al fondo de la cuneta; su talud esgeneralmente de 3:1; del fondo de la cuneta parte el talud del corte. La capacidad

hidráulica de esta sección puede calcularse con los métodos establecidos y debe

estar de acuerdo con la precipitación pluvial de la zona y el área drenada.

La longitud de una cuneta está limitada por su capacidad hidráulica, pues no debe

permitirse que el agua rebase su sección y se extienda por el acotamiento, por lo que

deberá limitarse esta longitud colocando alcantarillas de alivio o proyectando las

canalizaciones convenientes.

A continuación se describen los elementos correspondientes al grupo B).

12. Despalme. Es la remoción de la capa superficial del terreno natural que, por sus

características no es adecuada para la construcción; ya sea que se trate de zonas de

cortes, de áreas destinadas para el despalme de terraplenes o de zonas de

préstamo.

13. Compactación del terreno natural. Es la que se da al material del terreno sobreel que se desplantara un terraplén o al que quede debajo de la subcorona o de la

capa subrasante en un corte, para proporcionarle a ese material el peso volumétrico

requerido.

14. Escalón de liga. Es el que se forma en el área de despalme de un terraplén,

cuando la pendiente transversal del terreno es poco menor que la inclinación de talud

1.5:1, a fin de obtener una liga adecuada entre ellos y evitar un deslizamiento del

terraplén. También se proyecta en casos de ampliación o reconstrucción de caminos

existentes, cuando la distancia horizontal (d) entre taludes, es menor que el ancho

del equipo de construcción, para lo cual hay que recortar al terraplén existente, hasta

obtener la distancia mínima (l) necesaria. Las dimensiones de los escalones de liga


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29

se fijan de acuerdo con las características de los materiales y del equipo de

construcción.

Figura 2.3. Escalón de liga.

15. Cuerpo del terraplén. Se llama así a la parte del terraplén que queda debajo de

la subcorona. Está formada por una o más porciones según sea la elevación del

terraplén, las características de los materiales y el tratamiento que se les dé.

16. Capa subrasante. Es la porción subyacente a la subcorona, tanto en corte como

en terraplén. Su espesor es comúnmente de 30 cm y está formada por suelos

seleccionados para soportar las cargas que le transmite el pavimento.

CLSubcorona propuesta Ampliación terraplén

Corona actual

d

l escalónde liga

escalónde liga

TERRAPLEN ACTUAL

CL

SUBCORONA

Berma

T a l u d

T a l u d

T a l u d

Cuneta

Escalón de liga

Escalón de liga

Escalón de liga

Terraplen natural

Subrasante

Espesor delterraplén


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17. Cuña de afinamiento. Es el aumento lateral que se le da a un talud de terraplén,

para lograr la compactación debida en las partes contiguas a él. Es de forma

triangular, comúnmente de 20 cm de ancho en su parte superior al nivel del hombro

de la subcorona, y termina en la línea de ceros del talud o en el lecho superior de la

porción inferior, si esta es de material no compactable. Esta cuña debe recortarse en

el afinamiento final.

18. Muro de retención. Cuando la línea de ceros del terraplén no llega al terreno

natural es necesario construir muros de retención, cuya ubicación y altura estarán

dadas como resultado de un estudio económico.

Figura 2.4. Muros.

19. Berma en un terraplén. Está formada por el material que se coloca adosado a

su talud, a fin de darle mayor estabilidad el terraplén. En corte, es un escalón que se

hace recortando el talud, con el objeto de darle mayor estabilidad y de detener en el

al material que se pueda desprender, evitando así que llegue hasta la corona del

camino.

CL

SUBCORONA

Berma

T a l u d

T a l u d

T a l u d

Cuneta

Perfil del terreno

Subrasante

E s t r at o 1 o d e s p al m e

Estrato 2

Estrato 3

Caja o capa delterreno natural por compactar

E s p e s o r

d e l c o r t e

Muros

A


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31

Figura 2.5. Bermas.

20. Estratos en cortes. Así se designa a las diferentes capas que aparecen en un

corte, cuando cada una de ellas está formada por material de distintas características

de las demás. En una sección típica en corte se observa lo siguiente:

A) La capa superficial del terreno o estrato (1), que en general está formada

por materiales finos, si es aprovechable por su calidad para formar el

terraplén, se considera como tal; si por el contrario es inadecuado para ese

empleo, viene a ser el despalme antes descrito. B) Las porciones (2) y (3) representan dos estratos formados por material

adecuado para la formación de terracerías, pero cuyas características son

distintas.

21. Caja de corte. Es la excavación del material subyacente a la subcorona,

inadecuado para formar la capa subrasante. Este material debe ser sustituido por

otro de características apropiadas.

2.2. DETERMINACIÓN DE ÁREAS.

Para fines de presupuesto y pago de la obra, es preciso determinar los volúmenes

tanto de corte como de terraplén. Para lograr lo anterior, es necesario calcular el área

de las distintas porciones consideradas en el proyecto de la sección de construcción.

SUBCORONA

CLSubrasante

-2 %-2 %

Perfil del terreno

Despalme o capa de terrenonatural por compactar

Berma

T a l u d

T a l u d

Ber ma

T a

l u d

T a l u d

B


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32

Dentro de los distintos procedimientos empleados para este fin, los siguientes son los

más comunes: método analítico y método grafico.

2.2.1. Método analítico. Este método se basa en la descomposición de la sección,

en figuras regulares obtenidas al trazar líneas verticales por los puntos de quiebre delterreno y de la sección de construcción. Si se considera una sección en corte referida

a un sistema de ejes cartesianos (figura 2.6); el área de la sección es la suma de las

áreas de los trapecios: A23CA, C34DC y D45FD, menos la suma de las áreas de los

trapecios A21BA, B16EB y E65FE. Puesto que el área de un trapecio es la

semisuma de las bases por la altura, se tendrá la siguiente operación:

Figura 2.6. Determinación de áreas método analítico.

Desarrollando y ordenando:

x

y

1(X1,Y1)

2(X2,Y2)

3(X3,Y3)

4(X4,Y4)

5(X5,Y5)

6(X6,Y6)

A B C D E F


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33

Lo que puede expresarse por la matriz:

Por su naturaleza, este método es útil cuando las áreas de las secciones se calculan

con la ayuda de una computadora. Si el cálculo se hace manualmente, el método

puede resultar muy elaborado; sin embargo, se simplifica escogiendo un sistema de

ejes adecuado y seleccionando apropiadamente los puntos que definen la sección de

construcción y el terreno natural.

2.2.2. Método grafico. La sección en terraplén mostrada ha sido dividida entrapecios y dos triángulos extremos, mediante líneas verticales a una separación

constante.

El área de la sección es igual a la suma de las áreas parciales.

Figura 2.7. Determinación de áreas método grafico.

O lo que es lo mismo, siendo constante S:

CL

AB C

D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S

WV

UTab

c d e f g h i j k l

vu

tsr qpoñnm

a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1 i1 j1 k1 l1 v1u1t1s1r1q1p1o1ñ1n1m1

s


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34

O sea:

Por lo tanto:

Para que esta expresión fuera exacta se necesitaría que las líneas verticales

coincidieran en todos los casos son los puntos de cambio de pendiente del terreno y

con los ceros, los hombros y centro de la línea de la sección, lo que no siempre

sucede; el error que se origina es función de la equidistancia S y lógicamente será

menor conforme S sea más pequeña.

La aplicación del método grafico basada en esta expresión, consiste en acumular las

distancias aa’, bb’, cc’, dd’, marcándolas en una tirilla de papel; una vez efectuada la

operación en toda la sección, la distancia entre las marcas extremas en la tirilla,

multiplicada por la equidistancia S, define el área total de la sección.

2.3. CALCULO DE VOLÚMENES.

Una vez que se han determinado las áreas de las secciones de construcción, se

procede al cálculo de los volúmenes de tierras. Para ello es necesario suponer que el

camino está formado por una serie de prismoides tanto en corte como en terraplén.

Cada uno de estos prismoides está limitado en sus extremos por dos superficies

paralelas verticales representadas por las secciones de construcción y lateralmente

por los planos de los taludes, de la subcorona y del terreno natural.

2.3.1. Fórmula del prismoide. Para deducir la expresión para el cálculo del volumende un prismoide, considérese uno de bases triangulares como el que se muestra en

la figura 2.8. Los triángulos no son iguales ni semejantes, por lo que si una de las

superficies laterales es plana, las otras dos serán alabeadas.


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35

Figura 2.8. Volumen de un prismoide triangular.

De la figura puede deducirse:

Pero:

…..…………………………………………………………...…….. (1)

Por lo cual:

El volumen del prismoide puede calcularse entonces como:

Sustituyendo el valor de Ax en la expresión anterior, integrando y simplificando:

L

x

dx

A2

h2

b2

bx

hx

Ax

b1

h1

A1


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36

Pero:

Son la base y la altura medida de un triangulo que se encuentra a la mitad de la

longitud L considerada; si se llama Am al área de ese triangulo, de las expresiones (1),

se tendrá:

………………………………………………………………...……(2)

Que es la expresión conocida como fórmula del prismoide.

Si ahora se introduce la hipótesis de:

Y se sustituye en (2), se tendrá:

……………………………………………………………………………. (3)

Que es la expresión conocida como fórmula de las áreas medias y que por susimplicidad es muy útil para el cálculo de volúmenes. Esta expresión introduce un

error, cuando Am no es el prismoide de las áreas externas, error que puede

calcularse de la siguiente manera:


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37

Para el prismoide triangular:

Realizando la operación y simplificando se llega a:

…………….……………………………………….………….. (4)

Aunque los prismoides definidos por las secciones transversales de un camino se

asemejan más a un prismoide trapecial que a uno triangular, las expresiones (2) y (3)

aun son validas. Ahora considérese un prismoide con base I y II, y descompóngaseen cuatro prismoides triangulares, como se muestra en la figura:

Figura 2.9. Descomposición de un prismoide en prismoides triangulares.

El volumen total del prismoide será igual a la suma de cada uno de los volúmenes de

los prismoides triangulares, esto es:

b/2 b/2

Xi Xd

X

L

X'i X'd

X'

1

2

h1 3

4

2'

1' h2

3'

4' ii

i


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38

Y empleando la formula de las áreas medias:

………………………………………………………………………..…… (5)

El error al aplicar la formula de las áreas medidas puede encontrarse sumando los

errores de cada uno de los prismoides triangulares, empleando la expresión (4).

Dado que las bases de los prismoides 1 y 4 son iguales, tienen un error nulo.

El prismoide 2 tiene un error:

El prismoide 3 tiene un error:

El error total será:

………………………………………………………………...…(6)

La expresión (6) da la cantidad que hay que sumar algebraicamente a la expresión

(5) para obtener el volumen correcto y por eso, en ocasiones se le llama corrección

prismoidal.


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39

Hasta ahora se han considerado prismoides en tramos rectos del camino. Cuando el

camino va en curva horizontal, las secciones transversales no son paralelas entre si

y las expresiones deducidas anteriormente no son validas. Para el cálculo de

volúmenes en curvas, se hace uso del teorema de Pappus y Guldinus, el cual dice

que el volumen de un sólido engendrado por una superficie plana que gira alrededor

de un eje contenido en el plano de su superficie, es igual al producto del área por la

distancia recorrida por el centro de su gravedad de la superficie durante el giro.

Si todas las secciones del camino en curva fueran iguales, sería fácil calcular el

volumen con el teorema anterior. Sin embargo, el caso más común es que sean

diferentes, lo que implica que la distancia del centro de gravedad de cada una de las

secciones respecto al eje del camino, varíe de sección a sección y entonces, el

cálculo exacto del volumen es muy complejo, requiriendo introducir alguna hipótesis

simplificadora.

Figura 2.10. Corrección de volumen por curvatura.

L

G1

G2

e 2

e1

C L

R

R

1

2


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40

De la anterior figura:

L= Distancia entra las secciones 1 y 2 medida en el eje.

R= Radio de la curva en el eje del camino.

G1, G2= Posición del centro de gravedad en las secciones 1 y 2.

e1, e2= Distancia del centro de gravedad en las secciones 1 y 2 al eje del camino.

A1, A2= Áreas de las secciones 1 y 2.

Aplicando la ley de Pappus y Guldinus, suponiendo que la sección 1 se mantiene

constante.

En donde es la distancia recorrida por el centro de gravedad de la sección 1.

Analógicamente para la sección 2.

Aceptando como aproximación suficiente el promedio de las áreas:

Se tendrá que:

Por otra parte también puede establecerse que:

Por lo que:


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41

Y sustituyendo en el valor de V:

La corrección por curvatura será entonces:

En el presente trabajo no se consideran las correcciones prismoidales y por

curvatura, debido a la complejidad que representa su cálculo. Esto es así, siguiendo

el criterio de la S.C.T., que en su manual de Proyecto Geométrico de Carreteras

establece que las simplificaciones hechas al dibujar las secciones de construcción y

los pequeños accidentes no considerados en el dibujo, pueden introducir errores muysuperiores a la magnitud de tales correcciones.

Es por esto que se ha optado por calcular los volúmenes, con la formula de las áreas

medias, pero recomendando considerar el mayor numero de secciones posibles. Por

lo general se consideran secciones en las estaciones cerradas de 20 m, en los

puntos principales de las curvas del alineamiento horizontal y en donde ocurren

cambios notables en la pendiente longitudinal o transversal del terreno.

2.3.2. Coeficiente de variación volumétrica en el cuerpo del terraplén. En el

capítulo 1 se menciona lo correspondiente al coeficiente de variación volumétrica, el

cual es la relación que existe entre el peso volumétrico del material en su estado

natural y el peso volumétrico que ese mismo material tiene al formar parte del

terraplén.


48/109

42

Al tratar lo relativo al proyecto de la sección de construcción, nos damos cuenta que

el terraplén está integrado por dos o tres porciones a las que se le puede dar distinto

grado de compactación. Para el material producto de corte que se empleara en la

construcción del terraplén, el coeficiente de variabilidad que se considera para cada

estrato en el corte, es proporcional al volumen de las porciones del terraplén; así por

ejemplo, si el cuerpo del terraplén está constituido por dos porciones de igual

volumen, el coeficiente empleado será el promedio de los correspondientes a los

grados de compactación considerados para cada una de las porciones. En cambio,

cuando el terraplén está formado por material producto de préstamo, se aplica el

coeficiente de variabilidad correspondiente a cada una de las porciones, según sea el

grado de compactación recomendado.

En el caso de los acarreos por estar los precios unitarios en función del volumen del

material a mover en su estado natural, los acarreos se calculan de la siguiente forma:

Si el material a mover proviene de un solo estrato, se divide el volumen de ese

material entre su coeficiente de variabilidad volumétrica. Si el material a mover

proviene de dos o más estratos, deberá entonces determinarse el coeficiente medio

de variabilidad para cada acarreo; o sea el resultado de dividir la suma de los

volúmenes compactados en el terraplén entre la suma de los volúmenes respectivos,

medidos en la excavación.

2.3.3. Ordenadas de curva masa. La ordenada de curva masa en una estación

determinada es la suma algebraica de los volúmenes de terraplén y de corte, estos

últimos afectados por su coeficiente de variación volumétrica, considerados los

volúmenes desde un origen hasta esa estación; se establece que los volúmenes de

corte son positivos y los de terraplén negativos.

Estas ordenadas sirven para dibujar el diagrama de masas en un sistema de

coordenadas rectangulares. Ocurre con frecuencia que la calidad del material

producto de corte, no es la adecuada para formar la totalidad del terraplén, sino que

únicamente puede emplearse en la construcción de parte del cuerpo del mismo.


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Cuando esta situación se presenta, es necesario calcular ordenadas de curva masa

para cada porción del terraplén que tenga distinta fuente de aprovisionamiento.

2.3.4. Registro de cálculo. Dada la liga que existe entre los datos que conducen a la

determinación de las ordenadas de curva masa, se hace hincapié en que los distintos

cálculos que es obligatorio efectuar, deben siempre verificarse progresivamente, con

el objeto de evitar la propagación de errores.

2.4. EMPLEO DE PROGRAMAS ELECTRÓNICOS PARA

DETERMINAR VOLÚMENES.

Para el cálculo de los volúmenes de terracerías y la obtención de la ordenada del

diagrama de masas, se cuanta con diferentes programas de cálculo, con los cuales

es posible optimizar en tiempo y costo el análisis de los volúmenes de material por

mover. Dichos programas se desarrollan para eliminar el rutinario trabajo que

representan los diferentes procesos del cálculo.

Dentro de estos programas se encuentra CivilCAD® desarrollado por ArqCOM

Consultoría y Programación CAD, este software es uno de los más utilizados en el

cálculo de movimiento de tierras, gracias a su interfaz con el usuario y por la gran

cantidad de herramientas que pose. En el presente trabajo se utilizara CivilCAD®

como herramienta en el cálculo de volúmenes en el movimiento de tierras.


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CAPÍTULO 3.


3.1. PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DE MASAS.

3.2. PRECIO UNITARIO Y FORMA DE PAGO DE LOS CONCEPTOS QUE INTEGRAN

EL MOVIMIENTO DE TIERRAS.

3.3. DETERMINACIÓN DE LOS ACARREOS.

3.3.1. ACARREO LIBRE.

3.3.2. DISTANCIA MEDIA DE SOBREACARREO.

3.4. POSICIÓN ECONÓMICA DE LA COMPENSADORA.

3.4.1. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTRE DOS PRESTAMOS.

3.4.2. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTRE PRÉSTAMO YDESPERDICIO.

3.4.3. COMPENSADORA EN ESTUDIO COMPRENDIDA ENTRE DESPERDICIO Y UN

PRÉSTAMO.


DESPERDICIOS.

3.5. POSICIÓN ECONÓMICA DE LA COMPENSADORA AUXILIAR.


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CAPÍTULO 3.


Los volúmenes de material, ya sean producto de corte o préstamo de algún banco,deben ser transportados para formar los terraplenes; sin embargo, en algunos casos

por las características del material parte de los volúmenes de corte deben

desperdiciarse, y se transportan a lugares convenientes fuera del camino.

Para determinar estos movimientos de terracerías y obtener un costo mínimo, el

diagrama de masas es el instrumento con el que se cuanta para lograrlo, siendo este

el resultado de unir todos los puntos dados por las ordenadas de curva masa.

3.1. PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DE MASAS.

Tomando como ejemplo la figura 3.1, que está representado el diagrama de masas

ABCDEFG correspondiente a los volúmenes de terracería por mover, al ubicar la

subrasante aceg en el perfil abcdefg del terreno, se definirán las principales

propiedades del diagrama.

Las principales propiedades del diagrama de masas son las siguientes:

1. El diagrama es ascendente cuando predominan los volúmenes de corte sobre los

de terraplén y descendente cuando ocurre lo contrario. En la figura 3.1, se tiene que

las líneas ABC y EFG son ascendentes por derivarse de los volúmenes de los cortes

abc y efg , en tanto que la línea CDE es descendente por referirse al terraplén cde.


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2. Cuando después de un tramo ascendente en el que predominan los volúmenes de

corte, se llega a un punto del diagrama en el cual empiezan a preponderar los

volúmenes de terraplén, se dice q se forma un máximo; caso contrario, cuando

después de un tramo descendente en el cual han sido mayores los volúmenes de

terraplén se llega a un punto en que comienzan a prevalecer los volúmenes de corte,

se dice que se forma un mínimo.

En la figura 3.1, los puntos A y E del diagrama son mínimos y corresponden a los

puntos a y e del terreno que son los extremos de tramos en terraplén, en tanto que

los puntos C y G del diagrama son máximos y corresponden a los extremos de los

cortes abc y efg.

Figura 3.1. Propiedades del diagrama de masas.

Q

UW

P

B

C

D

E A

F

G

H I

J

H' I'

MN

R

AL

SdV

dV

W'

a

b

c d'

f

gf '

L

d

b'e

T

L

Perfil del Terreno

Diagrama de masas

Compensadora

Subrasante


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3. La diferencia entre las ordenadas de la curva masa, en dos puntos cualesquiera P

y T , expresa un volumen U que es igual a la suma algebraica de todos los volúmenes

de corte, positivos, con todos los volúmenes de terraplén, negativos, comprendidos

en el tramo limitado por esos dos puntos. En el diagrama citado, la diferencia de

ordenadas entre P y T es U ; por quedar T arriba de P , expresa que en el tramo hay

un excedente U del volumen de corte sobre el del terraplén; si los dos puntos son

como el J y el K y este queda debajo de aquel, la diferencia de ordenadas Q indica el

volumen de terraplén en exceso del corte en ese tramo.

4. Si en un diagrama de masas se dibuja una línea horizontal en tal forma que lo

corte en dos puntos consecutivos, estos tendrán la misma ordenada y por

consecuencia, en el tramo comprendido entre ellos serán iguales los volúmenes de

corte y los volúmenes de terraplén, o sea que estos dos puntos son los extremos de

un tramo compensado.

Esta línea horizontal se llama compensadora. La distancia entre los dos puntos se

llama abertura del diagrama y es la distancia máxima de acarreo al llevar el material

del corte al terraplén.

En la figura 5.1, la horizontal BD es una compensadora, pues la línea BC representa

los volúmenes del corte bcb’ que son iguales a los volúmenes del terraplén cdd’ representados por la línea CD del diagrama. La abertura BD es la distancia máxima

de acarreo al transportar el volumen del corte b’bc al terraplén cdd’ .

5. Cuando en un tramo compensado el contorno que origina el diagrama de masas y

la línea compensadora WW’ queda arriba de esta, el sentido del acarreo es hacia

adelante; caso contrario, cuando el contorno cerrado queda debajo de la

compensadora, el sentido del movimiento es hacia atrás.

Así, en el diagrama, el contorno cerrado BCDB indica un movimiento hacia adelante

por estar arriba de la compensadora WW’ , pues el volumen BC del contorno cerrado

DEFD que está debajo de la compensadora WW’ indica que el volumen EF del corte

eff’ será llevado al terraplén ded´ mediante un acarreo cuyo sentido es hacia atrás.


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6. Las áreas de los contornos cerrados comprendidos entre el diagrama y la

compensadora, representan los acarreos. Si en el corte bcb’ se toma un volumen

elemental dV, que está representado en el diagrama de masas por el segmento MN,

que será transportado a una distancia L, para ser colocado en el segmento RS del

terraplén, el acarreo elemental será dV x L que es precisamente el área del trapecio

elemental MNSR ; por lo tanto, la suma de todas las áreas de los trapecios

elementales, representativos de acarreos elementales, será el área de contorno

cerrado BCDB, que representara el monto del acarreo total. Así pues, si se tiene un

contorno cerrado formado por el diagrama de masas y por una compensadora,

bastara con determinar el área de él, para que, considerando las escalas respectivas,

se encuentre el valor del acarreo total.

3.2. PRECIO UNITARIO Y FORMA DE PAGO DE LOS CONCEPTOS QUE

INTEGRAN EL MOVIMIENTO DE TIERRAS.

El precio unitario es la remuneración relativa al dinero en efectivo que se cubre al

contratista por unidad de obra realizada y que comprende el costo directo, el costo

indirecto y la utilidad, en cada concepto para el que se establece.

En el caso de la determinación de la subrasante económica es necesario conocer el

precio unitario de cada uno de los conceptos que comprenden los movimientos deterracerías, para que al multiplicarlo por el volumen de obra respectivo, se obtenga la

erogación correspondiente a cada uno de esos conceptos y se concluya si la

subrasante así obtenida es realmente la más económica.

Como no es posible precisar los precios unitarios hasta que no se ha concluido la

obra, se recurre para los proyectos, al empleo de precios unitarios determinados para

casos semejantes.

Puede decirse que la subrasante que se determine, se acercará a la económica, en

la misma forma que los precios unitarios supuestos para el proyecto, se acerquen a

los precios unitarios de la obra.


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Algunos de los conceptos que a continuación se indican fueron tratados en el

capítulo 4, aquí se verá el aspecto correspondiente a su pago. Los conceptos que se

tratan por primera vez, se describirán de manera breve antes de tratar su forma de

pago.

1. Despalme. El pago se hace midiendo el volumen geométrico de excavación, en

metros cúbicos, multiplicándolo por el precio unitario correspondiente.

2. Corte o excavación. El pago se hace midiendo el volumen geométrico de

excavación en metros cúbicos, multiplicándolo por el precio unitario correspondiente.

El precio unitario se fija de acuerdo con la dificultad que presenta el material al

extraerse y cargarse.

3. Prestamos laterales. Son las excavaciones ejecutadas dentro de las fajas

ubicadas paralelamente al eje del camino a uno o ambos lados de él, con anchos

determinados en el proyecto y cuyos materiales se utilizan exclusivamente en la

formación de los terraplenes contiguos. El límite exterior de cada faja se fija a una

distancia máxima de 100 metros, conectados a partir del eje del camino.

El pago se hace de la misma forma que en el punto anterior, se multiplica el volumen

por el precio unitario.

4. Préstamo de banco. Son los ejecutados fuera del límite de cien metros de ancho

indicado en el punto anterior y los ejecutados dentro de dicho límite, cuyos materiales

se emplearan en la construcción de terraplenes que no estén situados lateralmente a

dichos préstamos.

El pago se hace de la misma forma descrita en el inciso B.

5. Compactación. Es la operación que se ejecuta por medios mecánicos para

reducir el volumen de los vacios existentes entre las partículas solidas de un

material, con el objeto de mejorar sus características de deformabilidad y resistencia,

así como darle mayor durabilidad a la estructura formada por ese material.


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El pago se hace con base al volumen geométrico en el terraplén en metros cúbicos

multiplicado por el precio unitario correspondiente, el cual es función del grado de

compactación requerido.

6. Bandeado. Es el tratamiento mecánico que se aplica con equipo pesado deconstrucción, al material que por las dimensiones de sus fragmentos no se le puede

considerar susceptible de compactación normal, en el sentido de que los resultados

del proceso de compactación de campo no pueden controlarse con las pruebas de

laboratorio de vigor.

El pago se hace con base al volumen geométrico en el terraplén en metros cúbicos

multiplicado por el precio unitario correspondiente, el cual es función del tipo y

numero de pasadas del equipo.

7. Agua para compactación. Es el volumen de agua que se requiere incorporar a

las terracerías, a fin de lograr los grados de compactación específicos en el proyecto.

Es igualmente aplicable para el caso del bandeado.

El pago se hace con base a los volúmenes de agua medida en las pipas en el lugar

de aplicación, multiplicándolo por el precio unitario correspondiente.

8. Acarreos. Consisten en el transporte del material producto de cortes o prestamos,a lugares fijados para construir un terraplén o depositar un desperdicio. También se

aplica al acarreo de agua para compactación.

La S.C.T. clasifica los acarreos de acuerdo con la distancia que hay entre el centro

de gravedad de la excavación y el centro de gravedad del terraplén a construir, o del

sitio donde se depositara el desperdicio; en:

A) Acarreo libre. Es el que se efectúa dentro de una distancia de 20 m.

B) Sobreacarreo en m3-estacion. Cuando la distancia entre los centros de

gravedad está comprendida entre 20 y 120 m.

C) Sobreacarreo en m3-hectometro. Cuando la distancia entre los centros de

gravedad está comprendida entre 120 y 520 m.


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D) Sobreacarreo en m3-kilometro. Cuando la distancia entre los centros de

gravedad excede de 520 m.

A cada uno de estos tipos de acarreo corresponde un precio unitario, con excepción

del acarreo libre cuyo costo se incluye en el de la excavación.

El pago de los sobreacarreos se hace multiplicando el monto total de los mismos por

el precio unitario correspondiente.

3.3. DETERMINACIÓN DE LOS ACARREOS.

A continuación se determinaran los acarreos con base en el diagrama de masas.

3.3.1. Acarreo libre. Es la distancia máxima a la que puede ser transportado un

material, estando el precio de esta operación incluido en el de la excavación. Por lo

tanto, para no encarecer el precio de la excavación, el acarreo libre debe ser a la

mínima distancia requerida por el equipo que lleva a cabo la extracción, carga y

descarga del material.

Por convención, la SCT ha adoptado una distancia de acarreo libre de 20 m; esta se

representa por medio de una horizontal en la zona inmediata a los máximos o

mínimos del diagrama de masas.

En el diagrama de masas de la figura 5.2, son conocidas las ordenadas

correspondientes a las estaciones 1, 3, 4 y 6, y por supuesto el acarreo libre AL, que

estará dividido en los tramos a, b y c.

Se ha mencionado, dentro de las propiedades de la curva masa, que la diferencia de

ordenadas entre dos puntos cualesquiera expresa un volumen, representados en la

figura por las letras Q y U para terraplén y corete respectivamente.

La pendiente en la línea correspondiente al terraplén es:


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Figura 3.2. Acarreo libre.

Y la pendiente de la línea correspondiente al corte es:

Por otro lado, se tiene que la ordenada en el punto 2 es igual a la del punto 5 y portanto, en el tramo comprendido entre ellos serán iguales los volúmenes de corte y los

volúmenes de terraplén.

Entonces:

Como:

Q

AL

a b c

1

2

3

4

5

6

Distancias

U V o l ú m e n e s

OCM 1

OCM 6

OCM 2y5

OCM 3

OCM 4

E s t .

1

E s t .

2

E s t .

3

E s t

. 4

E s t . 5

E s t

. 6


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Se tiene que:

En esta ecuación son conocidos todos los valores menos la longitud de los

segmentos a y c.

Pero como AL = a + b +c; c = AL – (a + b), en donde b es conocido, por ser la

distancia entre las estaciones 3 y 4.

Sustituyendo el valor de c, se tiene:

Por lo tanto, las estaciones que limitan el acarreo libre serán:

3.3.2. Distancia media de sobreacarreo. Para poder hacer la cuantificación de los

movimientos de tierras, es necesario precisar la distancia de sobreacarreo y la

cantidad del volumen que hay que transportar más allá del límite establecido por el

acarreo libre.

Tomando como referencia la figura 5.3, se tiene, que la distancia de acarreo libre es

la horizontal que corta a la curva en los puntos A y C , de modo que AC = 20 m. El

material por en

Calculo de Cortes y Terreplenes

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