calculo

Las ideas basicasdel calculoSebastià Martín Molleví

P01/75005/00101

© FUOC • P01/75005/00101 Las ideas basicas del calculo

Indice

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Las ideas de continuidad y de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Ejemplos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. La nocion de continuidad de una funcion en un punto . . . . . . . 11

1.3. Clasificacion de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Calculo de los lımites mas sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Estudio de la continuidad de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. La medida de la variacion de una funcion:

la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Volvemos a la definicion de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Interpretacion fısica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Diferentes notaciones para la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Las unidades de la magnitud derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. El cálculo automático de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Las primeras reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. La derivada de las potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Aplicacion de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5. Derivadas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6. Derivadas de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


4. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1. La derivada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. La derivada como aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Aproximacion de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. La integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1. La integral como area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2. El signo de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3. Mas sobre la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Relacion entre la derivada y la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1. La diferencia entre dos primitivas de una misma constante . . . 54

6.2. Calculo de areas mediante primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4. Las unidades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.5. Todavıa algo mas sobre notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7. El calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1. Integrales de funciones polinomicas y potenciales . . . . . . . . . . . . 59

7.2. Integrales definidas e integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8. Metodos generales de calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3. Cambio de variables en integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.5. Metodo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.6. Integrales racionales de uso frecuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.7. Integrales racionales en las que el denominador

solo tiene raıces reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


8.8. Integrales racionales en las que el denominador solo tiene

raız real multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.10. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9. Los principales teoremas del calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.1. Teoremas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2. Teoremas sobre la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.3. Teoremas sobre la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4. Teorema fundamental del calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.5. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ejercicios de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

© FUOC • P01/75005/00101 7 Las ideas basicas del calculo

Introduccion

Dedicamos este modulo al estudio sistematico y mas formal de los concep-

tos y las tecnicas del calculo infinitesimal.

Algunos de los conceptos que se estudiaran ya se habıan introducido en el

modulo “Las funciones de una variable”, en el que se centraba la atencion

en las familias de funciones y sus aplicaciones. No obstante, en el presente

modulo presentaremos el concepto de lımite, una herramienta necesaria

para definir la mayor parte de las nociones fundamentales del analisis:

continuidad, derivabilidad e integrabilidad.

A grandes rasgos, vamos a hacer hincapie en tres conceptos basicos: el

lımite de una funcion en un punto, la derivada de una funcion en un

punto y la integral de una funcion en un intervalo.


Objetivos

La finalidad del modulo es que adquirais las tecnicas basicas del calculo,

que se pueden concretar en los siguientes objetivos:

1. Reconocer las funciones continuas.

2. Saber calcular lımites sencillos.

3. Identificar los diferentes tipos de discontinuidades que se presenten.

4. Derivar las funciones mas usuales y aplicar las reglas de derivacion

elementales, incluyendo la regla de la cadena.

5. Calcular integrales sencillas y utilizar las tecnicas de integracion por

partes y por sustitucion.

Ademas, teneis que conocer y saber aplicar con precision los teoremas

relacionados con estos conceptos, que se presentan al final del modulo.


1. Las ideas de continuidad y de límite.

En este apartado veremos como se caracteriza el hecho elemental de que la

grafica de una funcion se pueda dibujar con un sola lınea y analizaremos

que interes puede tener esto desde el punto de vista de las aplicaciones.

Ademas clasificaremos las situaciones en que esto no sucede.

1.1. Ejemplos de discontinuidad

Ejemplo 1.1.

Un vendedor, tambien conocido como director comercial de zona, de la empresa Sobresalto,S.A. cobra comision sobre las ventas mensuales segun se muestra en la siguiente tabla:

Ventas % comisión

hasta 500.000de 500.000 a 1m

de 1 m a 1,5 mmás de 1,5 m

7%10%12%15%

Podemos expresar la funcion C(v) que proporciona la comision que se debe cobrar porunas ventas de v millones de pesetas de la siguiente manera:

C(v) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0, 07v si v ≤ 0, 5

0, 10v si 0, 5 < v ≤ 1

0, 12v si 1 < v ≤ 1, 5

0, 15v si v > 1, 5

(1.1)

La funcion no es continua. ¿Que quiere decir eso? ¿Como lo sabemos? Vemos que porunas ventas de 500.000 pesetas, el vendedor cobra 35.000 y, en caso de que venda 500.001pesetas, ya cobra 50.000. Ası, una pequeña modificacion en la variable independienteprovoca un salto en la dependiente.

Podemos ver la grafica de la funcion en el programa de graficas, y allı encontraremosalgunos problemas, puesto que el programa de graficas espera que la mayor parte delas funciones con que trabajamos vengan dadas por una unica expresion. En algunasocasiones, nos encontramos con funciones parecidas a esta:

f(x) =

{0, 07x si x ≤ 0, 5

0, 10x si x > 0, 5

En el programa de graficas, esto significa que para calcular f(x) es necesario comprobarsi x ≤ 0, 5 y que si esto es cierto, f(x) vale 0,07, y que si no lo es, tiene que valer 0, 10x.


El resultado puede no ser satisfactorio por completo. Para entendernos, tenemos que saberque lo que hace el programa de graficas para dibujarlas es calcular, dentro del intervalode las x, 100 puntos igualmente separados unos de otros; despues, calcula el valor de lafuncion en los 100 puntos y, por ultimo, une con una lınea los puntos del plano que sehayan obtenido. Todo esto provocara que el salto que sufren las comisiones, cuando lasventas llegan a 0,5 millones, se vea como una pequeña rampa mas que como un salto.Una solucion serıa calcular con el programa de graficas no 100, sino (pongamos por caso)1.000 puntos de la grafica.

Podemos ver que el resultado mejora bastante; ahora, los saltos aparecen como segmentospracticamente verticales. No obstante, podemos mejorar todavıa mas el aspecto de lagrafica, si le pedimos al programa de graficas que no una los puntos con las lıneas, sinoque se limite a dibujar los puntitos que ha calculado:

Tenemos, por lo tanto,...

... una funcion que estadefinida en todos los x ≥ 0 yque es continua para todoslos puntos, a excepcion dex = 0, 5, x = 1, x = 1, 5.

Ejemplo 1.2.

Existen algunas funciones discontinuas que se utilizan con frecuencia en modelos mate-maticos y que poseen nombre y notacion propios. Por ejemplo, la parte entera de unnumero real positivo x es el entero mayor que no supera x, es decir:

[x] = max{z ∈ Z : z ≤ x}.

Mediante el uso de esta funcion se pueden construir modelos sencillos para situacionescomo la que hemos visto. Por ejemplo, la funcion:

f(x) = x [x]

se comporta de forma similar a la del ejemplo anterior, la del vendedor. Observad estecomportamiento en el programa de graficas.

Ejercicio 1.1.

A pesar de que se pueden definir los intereses continuos, en la realidad siempre se aplicanlos intereses simples. Podemos tener un deposito en el banco con estas condiciones:

1) El capital inicial es de 1.000 u.m., y la tasa de interes es del 5%.

2) Si retiramos el dinero antes de acabar el año, nos lo devuelven junto con la parteproporcional de los intereses en funcion el tiempo que haya transcurrido.

3) Al final de cada año, si no hemos tocado el dinero, al capital se le acumulan losintereses.

Elaborad una funcion definida a trozos que sea del mismo tipo que (1,1) y con la que seobtenga el dinero que recaudarıamos si retirasemos el deposito en el momento correspon-diente a x años, para 0 ≤ x ≤ 3. Es muy probable que os convenga plantear por separadocada uno de los años. Dibujad un croquis de la grafica de la funcion y determinad comopodrıais introducirla en el programa de graficas. ¿Es continua la funcion resultante? ¿Esderivable en todos los puntos? ¿Es continua su derivada?


En la realidad, a menudo se presentan situaciones donde algunas magnitu-

des cambian su valor de repente. Las tarifas electricas se modifican segun

el consumo, la legislacion puede exigir medidas de seguridad diferentes en

funcion de la energıa electrica consumida y su coste puede ser, tambien,

muy diferente. Las discontinuidades no son faciles de tratar, ası que lo

que se suele hacer es estudiar por separado los tramos del modelo donde

las variables se comporten de forma continua.

1.2. La nocion de continuidad de una funcion en un punto

No entraremos en un analisis demasiado formal del concepto de lımite,

aunque sı hablaremos del comportamiento de los valores cuando nos acer-

camos a un valor de x. Si tenemos un valor x = aque nos interesa, podemos

tomar una serie de valores que se vayan aproximando a a y observar que

pasa con los valores correspondientes de f(x). En caso de que veamos que

se estan acercando a un valor A, diremos que A es el lımite de f(x) cuando

x tiende a a.

Con mayor precision, diremos que A es el lımite de f(x) cuando x tiende

a a si, dado un entorno cualquiera V del valor A, existe un entorno U del

punto a, tal que ∀x ∈ U se tiene que f(x) ∈ V . En tal caso, escribiremos:

limx→a

f(x) = A.

Ilustremos esta definicion con la grafica que teneis a continuacion:

(existe)

(dado)

En el calculo de lımites, a medida que nos acercamos al punto a, en muchas

ocasiones sera de gran utilidad distinguir si lo hacemos por la derecha

(es decir, considerando valores de x mayores que a) o por la izquierda

(considerando valores de x menores que a). Escribiremos:

limx→a−

f(x) = A


para designar el lımite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda, y:

limx→a+

f(x) = A

para designar el lımite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha.

Cuando los dos lımites laterales (el lımite por la derecha y el lımite por

la izquierda) existen y coinciden, entonces su valor es el lımite de f(x)

cuando x tiende a a.

Para finalizar, podemos definir el concepto de continuidad de una funcion

en un punto.

.

Una funcion f es continua en un punto a si el lımite de f(x), cuando

x tiende a este punto, existe y coincide con f(a).

Por ejemplo, si observamos la grafica de las comisiones del vendedor de

Sobresalto, S.A., podremos afirmar que:

limv→0,5−

C(v) = 0, 035, limv→0,5+

C(v) = 0, 05,

limv→2+

C(v) = limx→2−

C(v) = limv→2

C(v) = 0, 3.

Cuando v se acerca a 0,5, decimos que el lımite de C(v) no existe, solo

existen los lımites laterales y son diferentes. En cambio, cuando v tiende a

2, los lımites laterales coinciden y, en consecuencia, diremos que el lımite

de C(v), cuando v tiende a 2, existe y es 0,3. Ası pues, la funcion no es

continua para x = 0, 5, pero sı lo es para x = 2.

Ejercicio 1.2.

Calculad los lımites laterales de las siguientes funciones y determinad si son continuas ono en el punto en cuestion. Podeis comprobar, dibujando las graficas de las funcionescerca del punto correspondiente, que el resultado obtenido concuerda.

a) f(x) = x|x| cuando x → 0, donde |x| indica el valor absoluto.

b) f(x) = x+1x−1

para x → 1.

c) f(x) = x2−164√x−8

cuando x → 4.

1.3. Clasificacion de discontinuidades

Una funcion puede dejar de ser continua en un punto de diferentes maneras;

las repasaremos y aportaremos algunos ejemplos.


1) Discontinuidad evitable: cuando los lımites laterales en un punto

coinciden, pero la funcion o bien no esta definida en aquel punto o bien

toma un valor diferente del de los lımites laterales. El apartado c del ejerci-

cio anterior es un buen ejemplo de esta situacion. En definitiva, decimos

que la funcion f tiene una discontinuidad evitable en x = a, cuando, tras

cambiar o añadir el valor de f(a) adecuadamente en la definicion de f(x),

la funcion ya es continua en a.

2) Discontinuidad de salto. Cuando los dos lımites laterales existen, pero

resulta que son dos numeros diferentes, diremos que tenemos una discon-

tinuidad de salto. La funcion de las comisiones del vendedor presenta una

discontinuidad de salto finito en tres puntos y la funcion del apartado a

del ejercicio 1.2 tambien presenta este tipo de discontinuidad. Observad

que no importa que la funcion este definida o no en el punto conflictivo,

ni que valor tenga en este.

3) Discontinuidades con asıntota vertical: puede ser que alguno de los

lımites laterales sea infinito. Esta es una manera de decir que cuando x se

acerca a a, los valores de f(x) se hacen cada vez mayores. Puede ser que

os encontreis con valores grandes a ambos lados, o solo en uno de ellos, y

tambien puede ser que los lımites laterales sean infinitos del mismo signo

o de signo diferente. Como ejemplos sencillos, pensad en las funciones 1x

o 1x2 cuando x → 0+ o x → 0−. Un ejemplo curioso es la funcion [x]

x−[x] .

1.4. Calculo de los lımites mas sencillos

Para calcular el lımite de una expresion algebraica f(x) conformada con

las operaciones habituales cuando x → a, lo primero que hay que hacer es

comprobar si se puede evaluar en a. Si en esta sustitucion no encontramos

ningun problema, podemos decir que cuando x se acerca a a, f(x) tendera

a f(a). !

Uno de los problemas que se pueden presentar al efectuar la sustitucion

es que se anule el denominador. En este caso, si el numerador no se

anula tambien, la funcion cerca de aquel punto toma valores infinitamente

grandes, cuyo signo se tendra que estudiar por separado cuando x sea

mayor o menor que a.

Si tanto el numerador como el denominador se anulan al sustituir x por a,

tenemos una indeterminacion 00 que trataremos en el modulo “Profundi-

zacion en las tecnicas del calculo”.


Haced los ejercicios que encontrareis al final de este apartado, en especial

si no teneis practica con el calculo de lımites.

1.5. Estudio de la continuidad de una funcion

La regla mas usual para saber si una funcion es continua es la que nos

asegura que la suma, la diferencia y el producto de las funciones continuas

tambien son funciones continuas. El cociente de dos funciones continuas

es continuo en todos los puntos donde no se anule el denominador, y

la composicion de funciones continuas es continua en todos los puntos

donde esta definida.

Esto significa que, por regla general, las expresiones algebraicas que se

pueden evaluar sin problemas aritmeticos tampoco tendran problemas de

continuidad. Como hemos visto, uno de los problemas que pueden surgir

es que se anule un denominador.

1.6. Ejercicios

1.3. Calculad los siguientes lımites:

a) limx→2

(x2 + 1

x2 − 1

)2x+3

b) limx→2

(x

x2 − 4− 3x− 1

x2 − 3x + 2

)

c) limx→∞

(√4x2 + x− 2x

)1.4. Estableced cual es el dominio de definicion de cada una de las funciones que tenemosa continuacion e indicad en que puntos presentan problemas de continuidad. Explicad quetipo de discontinuidad es la que se presenta.

a) f(x) = x4 − 3x2 + 1

b) f(x) = xx−1

c) f(x) = 1√2−x

d) f(x) = xx2+1

e) f(x) = x8−3x2+1x2+2x−2

f) f(x) =(x+1x−1

)12

g) f(x) =√x+ 1

xx2+2x+2

h) f(x) = |x| + 1|x|

i) f(x) = 1√x

+ x7(x + 2)−32


1.7. Solucionario

1.1. Igual que en (1.1), sera una funcion definida por trozos con discontinuidades en x = 1y x = 2. Sea D(x) el lıquido que obtenemos si retiramos el deposito en el momento igual ax años. En el primer año, 0 ≤ x < 1, tendremos:

D(x) = 1.000 + 0, 05 · 1.000x,

ya que x nos da de manera directa la parte de año transcurrida. Tendremos D(1) = 1.000 ++ 50 = 1.050. En el segundo año, sera:

D(x) = 1.050 + 0, 05 · 1.050(x− 1) = 1.050 + 52, 5(x− 1), 1 ≤ x < 2.

Y, dado que D(2) = 1.102, 5, para el tercer año sera:

D(x) = 1102., 5 + 0, 05 · 1102, 5(x− 2) = 1102, 5 + 55, 125(x− 2), 2 ≤ x < 3.

En resumen:

D(x) =

⎧⎨⎩

1000 + 50x si 0 ≤ x < 1

1050 + 52, 5(x− 1) si 1 ≤ x < 2

1102, 5 + 55, 125(x− 2) si 2 ≤ x < 3

(1.2)

La funcion es continua en todos los puntos; nos es derivable en x = 1 o x = 2, ya que lapendiente cambia bruscamente en estos puntos.

Si haceis la grafica, vereis que la diferencia entre las pendientes en los tres tramos es casiinapreciable, incluso puede que tengais que poner el borde de una hoja de papel sobre lapantalla para notar con claridad la diferencia.

1.2.a) Si habeis hecho la grafica mediante el programa de graficas, os habreis dado cuenta de quex|x| es igual a 1, cuando x toma valores positivos , y a −1, para x negativas. Por lo tanto:

limx→0+

x

|x| = limx→0+

x

x= lim

x→0+1 = 1

limx→0−

x

|x| = limx→0−

x

−x= lim

x→0−−1 = −1

b) Prestad atencion al hecho de que cuando nos acercamos a 1 el denominador disminuye yel numerador permanece cercano a 2. El signo del denominador depende de si nos acercamospor la derecha o por la izquierda. Por lo tanto:

limx→1+

x + 1

x− 1= +∞

limx→1−

x + 1

x− 1= −∞

c) Para extraer la raız del denominador partimos de (4√x− 8)(4

√x + 8) = 16(x− 4).

limx→4

x2 − 16

4√x− 8

= limx→4

(x− 4)(x + 4)(4√x + 8)

(4√x− 8)(4

√x + 8)

=

= limx→4

(x− 4)(x + 4)(4√x + 8)

16(x− 4)=

= limx→4

(x + 4)(4√x + 8)

16= 8.

Observad que, en este caso, los lımites por la derecha y por la izquierda coinciden.

1.3.a) Solo es necesario sustituir la x por el valor al que tendemos.

limx→2

(x2 + 1

x2 − 1

)2x+3

=

(5

3

)7

.


b) Observad que si efectuamos la sustitucion por x = 2, nos queda un lımite indeterminadode la forma 0

0. En este caso, lo primero que hay que hacer es averiguar el denominador comun

y simplificar los factores que aparecen en el denominador y el numerador.

limx→2

x

x2 − 4− 3x− 1

x2 − 3x + 2= lim

x→2

x(x− 1)(x− 2) − (3x− 1)(x− 2)(x + 2)

(x2 − 4)(x2 − 3x + 2)=

= limx→2

x(x− 1) − (3x− 1)(x + 2)

(x + 2)(x− 1)(x− 2)= −∞.

c) Aquı aparece la indeterminacion ∞ − ∞; aplicaremos el metodo de multiplicar y dividirpor la expresion conjugada.

limx→+∞

(√

4x2 + x− 2x) = limx→+∞

(√

4x2 + x− 2x)(√

4x2 + x + 2x)

(√

4x2 + x + 2x)=

= limx→+∞

(4x2 + x− 4x2)

(√

4x2 + x + 2x)= lim

x→+∞x

(√

4x2 + x + 2x)=

= limx→+∞

1√4 + 1

x+ 2

=1√

4 + 2=

1

4.

1.4.a) Al ser un polinomio, el dominio sera Dom f = IR y no presentara ninguna discontinuidad.

b) Recordad que, para un cociente de polinomios, los puntos que anulan el denominador(y no el numerador) no pertenecen al dominio, ademas de ser puntos con problemas decontinuidad. Ası, en este caso, Dom f = IR−{1}, y la funcion tiene una discontinuidad conasıntota vertical en x = 1.

c) Aquı encontramos un cociente con un numerador definido para todo IR y una raız de ındicepar en el denominador. Por tanto, para encontrar el dominio hay que considerar para quepuntos el radicando sera estrictamente positivo (no puede ser cero porque se encuentra en eldenominador). El dominio sera, entonces, Dom f = {x ∈ IR : x < 2} y, en consecuencia, nohabra ningun punto con problemas de continuidad.

d) Prestad atencion al hecho de que el denominador no se anula nunca y que, por lo tanto,Dom f = IR y no hallamos puntos problematicos por lo que respecta a la continuidad.

e) Puesto que no hay raıces comunes entre el denominador y el numerador, el dominiovendra dado por todo IR menos las raıces del denominador. Ası, resolviendo x2 + 2x− 2 = 0obtenemos x1 = −1 +

√3, x2 = −1 −√

3. Por lo tanto, Dom f = IR − {x1, x2}. Tendremosdos discontinuidades con asıntota vertical en los puntos x1, x2.

f) Para definir bien la raız, es necesario que el radicando(x+1x−1

)≥ 0 y, ademas, que el

denominador sea diferente de cero. De este modo, estas condiciones nos definen los dossistemas de ecuaciones que vemos a continuacion:

x + 1 ≥ 0

x− 1 > 0

}x + 1 ≤ 0

x− 1 < 0

}de donde obtenemos, respectivamente, las condiciones x > 1 y x ≤ −1. Ası, podemos escribirel dominio como Dom f = (−∞,−1] ∪ (1,∞). En cuanto a la continuidad, no hay puntosproblematicos.

g) Observad que el denominador no tiene raıces reales y, por tanto, no se anula nunca. Enel caso del numerador, por otro lado, la raız impone x ≥ 0 y, por otra, la funcion 1

xno esta

definida para x = 0. De estas dos condiciones se desprende que Dom f = (0,+∞).

h) Observad que esta funcion se puede presentar como:

f(x) = |x| + 1

|x| =

{x + 1

xx > 0

−x− 1x

x < 0

que no esta definida para x = 0. Por lo tanto, Dom f = IR − {0}. Por lo que respectaa la continuidad, x = 0 es una discontinuidad c on asıntota vertical donde lim

x→0+f(x) =

= limx→0− f(x) = +∞.

i) Los dos radicandos deberıan ser positivos, para lo que serıa necesario que x ≥ 0 y x ≥ −2,que se reduce x ≥ 0. Por otra parte, cada una de las raıces esta en un denominador, de maneraque la desigualdad tiene que ser estricta. Ası, Dom f = (0,+∞) y no encontramos puntosque presenten discontinuidades.


2. La medida de la variacion de una funcion:la derivada

.

En este apartado volveremos a estudiar como cambia una funcion o, mejor

dicho, como esta cambiando en un momento dado. En el modulo anterior

ya lo habıamos estudiado para los polinomios. A pesar de que las ideas

siguen siendo las mismas, el enfoque que daremos sera un poco mas general

con el fin de poderlo usar en cualquier contexto.

2.1. Volvemos a la definicion de derivada

.

Una funcion f es derivable en un punto a si existe el siguiente lımite:

limh→0

f(a + h) − f(a)h

.

El valor de este lımite es la derivada de la funcion f en a y se

representa f ′(a).

La derivada de una funcion en un punto es un numero real que mide como

esta creciendo la funcion en el punto, con relacion al cambio de la variable.

Ya hemos visto numerosos ejemplos en los apartados anteriores y todavıa

veremos mas en este. Antes, sin embargo, veamos un par de cuestiones

importantes.

.

Si una funcion presenta una discontinuidad en un punto, no existe

la derivada de la funcion en aquel punto.

Dicho de otra manera, si una funcion es derivable en un punto,

tiene que ser continua en este punto.


Es muy importante que tengais claro que una cosa es la derivada de una

funcion en un punto, que es un numero, y otra es la funcion derivada. La

funcion derivada de una funcion f (que se representa con f ′) es la que nos

da, para cada valor de x, la derivada f ′(x). En algunas ocasiones se utiliza

la expresion derivada de f , tanto en el sentido de derivada numerica como

en el de funcion derivada.

A continuacion presentamos una serie de ejemplos en los que interpreta-

remos la derivada en diferentes contextos.

2.2. Interpretacion geometrica de la derivada

De entre todas las interpretaciones de la derivada, una de las mas claras y

faciles de entender y de explicar es la geometrica, que ya hemos entrevisto

anteriomente.

.

La derivada de una funcion f en un punto a se puede representar

como la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto

(a, f(a)).

La recta tangente...

... a una curva en un punto Pes la que se obtiene cuandotomamos un punto Q sobrela curva, trazamos la secanteque pasa por P y por Q ydespues desplazamos Q haciaP . Justo en el momento enque Q llega a P , la posicionde la secante nos da latangente. Si repetimos laoperacion poniendo el puntoQ en la otra parte,obtendremos la misma rectatangente.En la figura de la derecha se ve claro que, a pesar de que en el punto P la

curva y la tangente tienen exactamente la misma pendiente, cuando la x

aumenta una unidad, la curva aumentara todavıa mas que la tangente. La

tangente solo nos proporciona una aproximacion al valor de f(a + 1).

La interpretacion geometrica nos puede servir para ver un primer caso

donde la derivada no existe (no olvideis que en la definicion hemos pun-

tualizado “en caso de que exista”).


Ejemplo 2.1.

La funcion f(x) = 1 − |x| tiene una forma familiar: es continua en todos los puntos de Nota

Si la grafica de una funcion espuntiaguda, la funcion no esderivable.Intentad dibujar la grafica deesta funcion.

su dominio, que es todo IR. En el punto x = 0 presenta un problema: es puntiaguda yen un punto puntiagudo de una curva no se puede dibujar la tangente. Imaginad que elpunto P que aparece en los graficos, esta situado en la punta de la grafica. Dependiendode si el punto movil Q se acerca por la derecha o por la izquierda, obtenemos dos rectastangentes diferentes. Si intentamos calcular el lımite del cociente de incrementos en elpunto x = 0, tendremos:

limh→0

f(0 + h) − f(0)

h= lim

h→0

(1 − |h|) − 1

h= lim

h→0

−|h|h

,

y este lımite ya lo conoceis del ejemplo 1.2. No se puede calcular, ya que obtenemosvalores diferentes por la derecha y por la izquierda.

La interpretacion geometrica de la derivada tambien nos sirve para entender

de manera intuitiva (lo haremos mas formalmente en el modulo “Profun-

dizando en las tecnicas del calculo”) lo siguiente:

.

Si f es una funcion derivable:

1) Allı donde la grafica de f es ascendente al recorrerla de izquierda

a derecha, la funcion es creciente, la recta tangente tiene pendiente

positiva y la derivada es positiva.

2) Donde la grafica es descendente, la funcion es decreciente, la

recta tangente tiene pendiente negativa y la derivada es negativa.

3) En los puntos en que la funcion ni sube ni baja (que son, entre

otros, las cumbres y las hondanadas), la tangente en el grafo de f

es horizontal y, por tanto, la derivada vale cero.

2.3. Interpretacion fısica de la derivada

La velocidad instantanea es la interpretacion clasica. De hecho, nace con

el descubrimiento de la idea de derivada que debemos a Newton y Leibniz.

Cuando un movil describe su trayectoria, solemos tener una funcion s(t)

que nos proporciona el espacio recorrido en cada momento. La posicion

inicial es s(0), y s(t + h) − s(t) es la distancia recorrida entre el momento t

y el momento t + h. Por lo tanto:

s(t + h) − s(t)h

es la velocidad media durante aquel perıodo de tiempo.


Si queremos hablar de la velocidad en un momento dado (t0), podemos

hacer el calculo anterior para un intervalo [t0, t0 +h] con un valor pequeño

de h, y ası obtendremos una buena aproximacion. Sin embargo, si que-

remos un mayor grado de precision, tendremos que tomar un intervalo

menor, es decir, que h sea cada vez menor, lo cual nos proporcionara

valores cada vez mas cercanos a nuestro objetivo, que es la velocidad justo

en el momento t0, ni antes ni despues. Observad que la velocidad ins-

tantanea tiene las mismas unidades que la velocidad media (por ejemplo,

kilometros por hora si s(t) se da en kilometros y t, en horas).

Ejemplo 2.2.

Las noticias del dıa 12 de julio de 1995 decıan que la nave espacial Galileo habıa enviadouna sonda suicida hacia Jupiter. Segun la informacion del periodico, al entrar en laatmosfera de Jupiter el dıa 7 de diciembre, la sonda habra recorrido ochenta millonesde kilometros y tendra una velocidad de 170.000 kilometros por hora. El modelo massencillo para describir el movimiento parte de la suposicion de que el espacio recorridopor la sonda viene determinado por una ecuacion de segundo grado tal que:

s(t) = at2 + bt + c,

en la que pondremos t en horas y s(t) en kilometros. Si ponemos t = 0, cuando lasonda se envıa a Jupiter, tendremos c = 0; el dıa 7 de diciembre habran pasado 178dıas y tendremos t0 = 178 · 24 = 4.272. Por lo tanto, en este momento encontramoss(t0) = 80 · 106 y la velocidad sera s′(t0) = 170 · 103. Con esto podemos plantear dosecuaciones para resolver las dos incognitas, a y b.

No obstante, lo que ahora nos interesa no es tanto construir y resolver el modelo comointerpretar que quiere decir que cuando la sonda entra en la atmosfera de Jupiter ira auna velocidad de 170.000 kilometros por hora. Se trata de una velocidad instantanea,y eso significa que para calcularla de manera aproximada hay que tomar dos momentosmuy poco separados en el tiempo y calcular la velocidad media entre estos momentos.La velocidad instantanea la interpretamos de la siguiente forma: tal como esta viajando


el movil en este momento, si continuase con el movimiento que lleva ahora mismo, enla hora siguiente recorrerıa 170.000 kilometros (aunque no estamos diciendo que en lasiguiente hora recorrera esta distancia, ya que es probable que recorra menos kilometrosdebido al efecto retardador de los gases de la atmosfera).

Ejemplo 2.3.

En la central de proteccion civil se ha decretado estado de alerta roja debido a la subidadel nivel del rıo. El jefe de servicio pregunta: “¿Cual es el nivel actual del rıo?”, “3 metrosy 50 centımetros”, le responden. Cuando le comunica esta informacion al alcalde, este ledice: “¡Pero si eso no representa ningun peligro! ¡Otras veces ha llegado a 4 metros!”. Eljefe de proteccion responde: “El problema no es el nivel actual, ¡el problema es como estacreciendo el nivel! ¡Hemos calculado que en este momento esta creciendo 10 centımetroscada hora!”.

¿Como podemos interpretar este caso? ¿Nos dice cuanto tardara en llegar a 4 metros?¿Nos dice que pasara durante las siguientes horas? Pues no, porque la informacion de unatasa instantanea de crecimiento solo es un retrato, una fotografıa instantanea del estadode las cosas en aquel momento. En tal caso, los miembros de proteccion civil permanecenen alerta roja, ya que si todo continuase de la manera indicada por la derivada en aquelmomento, las aguas no tardarıan demasiado en desbordarse.

2.4. Diferentes notaciones para la derivada

Hasta ahora hemos utilizado la notacion mas habitual, f ′, para la derivada

de una funcion f .

Sin embargo, existen notaciones alternativas que podeis encontrar en otros

contextos y que tambien son utiles. La notacion diferencial de Leibniz es

la que, cuando tenemos que y = f(x), escribe:

dy

dxen lugar de f ′(x)

Esta notacion cuenta con la ventaja de que no necesita ningun sımbolo

para la funcion, solo aparecen las variables involucradas. Sin embargo,

tiene el inconveniente de que no queda tan claro en que punto se calcula

la derivada.

Todavıa hay otra notacion que los fısicos, ası como algunos economistas,

utilizan mucho. La introdujo Newton cuando describio las fluxiones, que

son lo que conocemos como derivadas. Si la posicion de un movil en el

momento t es x(t), la notacion de Newton se escribe simplemente x para

indicar x′(t).


2.5. Las unidades de la magnitud derivada

Cuando utilizamos las funciones para modelizar situaciones reales, las mag-

nitudes que intervienen se tienen que expresar en unidades determinadas:

las longitudes, en metros o en kilometros; las cantidades monetarias, en

pesetas, dolares o euros; el tiempo, en segundos, horas, meses o años, etc.

Si tenemos dos variables relacionadas por una funcion, y = f(x), puede ser

que cada una represente una magnitud medida con su unidad correspon-

diente. Los incrementos de las variables y el cociente de incrementos se

corresponderan con el cociente de unidades. Cuando tomamos el lımite

del cociente incremental, las unidades no varıan y, por tanto, la derivada

se mide en las “unidades cociente” de las variables originales.

Por ejemplo, si t es el tiempo en años y f(t) son los beneficios en millones

de pesetas en el momento t, f ′(t) sera millones de pesetas por año. Por

otra parte, si P (q) es el precio de produccion en euros que corresponde a q

toneladas de acero producidas, P ′(q) se medira en euros por tonelada. O

si f(t) mide el espacio recorrido por el movil en t unidades de tiempo, f(t)

se medira en unidades de longitud dividido por unidades de tiempo.

2.6. Ejercicios

2.1. Aplicaremos la definicion de derivada para calcular directamente la derivada de algunasfunciones potenciales:

a) Comprobad que (√x + h−√

x)(√x + h +

√x) = h.

b) Sustituyendo el resultado anterior en el denominador, demostrad que el cociente de incrementosde la funcion f(x) =

√x es igual a 1√

x+h+√x

.

c) Utilizando este ultimo resultado, demostrad que:

si f(x) =√x entonces f ′(x) =

1

2√x.

Observad que si ponemos x12 en lugar de

√x, obtenemos:

d

dxx

12 =

1

2x− 1

2 =1

2x( 1

2−1)

y, por tanto, la regla es identica a la que vimos en el apartado 3.5 del modulo “Las funcionesde una variable” para otras funciones potenciales.

d) Demostrad que el cociente incremental en el punto x de la funcion f(x) = 1x

se puedeanotar como − 1

x(x+h).

e) Y, por ultimo, deducid que ddx

1x

= −1x2 .

2.2. Un operario de una fabrica que empieza a trabajar a las 8 de la mañana tiene una curvade rendimiento P (t) = −t3 + 8t2 + 15t, donde t es el tiempo en horas transcurrido desdeque ha llegado y P (t) es el numero de unidades producidas por unidad de tiempo, es decir,la productividad en el momento t. Calculad la tasa de variacion de la productividad P ′(t)y realizad una interpretacion acerca de que quiere decir. Dibujad la grafica de las funcionesP (t) y P ′(t) y explicad la relacion que encontrais.

2.3. En la siguiente figura se muestran los grafos de dos funciones y = A(x) e y = B(x). ¿Esposible que A sea la derivada de B? ¿Es posible que B sea la derivada de A? Responded de


manera razonada a estas preguntas, haciendo hincapie en señalar los tramos en los que lasfunciones son positivas o negativas, crecientes o decrecientes, etc.

2.7. Solucionario

2.1.a) Recordad que suma por diferencia es diferencia de cuadrados; por lo tanto:

(√

x + h−√x)(

√x + h +

√x) = x + h− x = h.

b) El cociente de incrementos de f(x) =√x es igual a f(x+h)−f(x)

h=

√x+h−√

xh

, dondeutilizamos el resultado del apartado anterior:

√x + h−√

x

h=

(√x + h−√

x)(√x + h +

√x)

h(√x + h +

√x)

=1√

x + h +√x.

c) Es muy simple, solo hay que hacer el lımite cuando h → 0:

limh→0

1

(√x + h +

√x)

=1

2√x.

d) Sustituyendo en f(x+h)−f(x)h

, f(x) = 1x

, tenemos:

1(x+h)

− 1x

h=

x− (x + h)

hx(x + h)=

−1

x(x + h).

e) Como antes, tomaremos el lımite cuando h → 0:

limh→0

−1

x(x + h)=

−1

x2.

2.2. La tasa de variacion de la productividad sera: P ′(t) = −3t2 + 16t + 15. Representa lavariacion instantanea en la productividad para un incremento unitario del tiempo.

Grafica de la funciony tasa de variacion

Como se puede observar enla grafica, mientras que laproductividad aumenta, laderivada es positiva hastallegar al maximo, momentoen el que la derivada se anula(alrededor de las 6 horas). Apartir de aquı, laproductividad empieza adecrecer, hecho que quedareflejado en el signo negativode la derivada.


2.3. B no puede ser la derivada de A, ya que en la parte central de la grafica vemos que Aes decreciente y B no es negativa. Ademas, cuando x = 0, la pendiente de A no es cero. Sihiciesemos una representacion del triangulo de las pendientes, mas bien serıa A′(x) ≈ 0, 2.

Es posible que A sea la derivada de B, puesto que:

1) En x = 0, vemos que la pendiente de B es aproximadamente 0,1.

2) El primer tramo de la grafica de B es creciente y A es positiva.

3) En el momento en que B llega a su valor maximo, tiene una pendiente 0, es decir, lafuncion A vale efectivamente 0.

4) Desde este punto hacia la derecha, B es decreciente y A es negativa.


3. El cálculo automático de derivadas.

Ahora que ya tenemos una idea bastante clara de lo que es la derivada y cual

es su utilidad, tenemos que hacer una puesta a punto de las herramientas

que nos van a permitir calcularlas sin tener que pensar demasiado en eso.

Con el fin de que las derivadas sean faciles de aplicar, es necesario que

las sepamos calcular, como se suele decir, “con los ojos cerrados”. Ası,

dedicaremos este apartado al calculo de funciones derivadas.

3.1. Las primeras reglas

Ya habeis utilizado estas primeras reglas, de manera que ya las conoceis:

La derivada de una constante es cero.

No hay que dar muchas mas explicaciones; si la derivada mide como

cambia una funcion, entonces una funcion constante no experimenta

ningun cambio.

.

La derivada de una suma es la suma de derivadas. Formalmente, se

puede expresar ası: si f(x) = g1(x)+ g2(x), f ′(x) = g′1(x)+ g′2(x). Esto

tambien se cumple para la diferencia.

La regla de la suma se puede comprobar como mostramos a continuacion:

f(x + h) − f(x)h

=g1(x + h) + g2(x + h) − (g1(x) + g2(x))

h=

=g1(x + h) − g1(x)

h+

g2(x + h) − g2(x)h

,


Esto nos indica que, cuando calculemos los lımites, la derivada de f sera

la suma de las otras.

. Nota

Solemos memorizar estaregla diciendo: “La derivadadel primero por el segundosin derivar mas el primero sinderivar por la derivada delsegundo’’.

La derivada del producto de dos funciones, f(x) = g1(x) · g2(x), se

calcula segun:

f ′(x) = g′1(x) · g2(x) + g1(x) · g′2(x).

En consecuencia, si c es constante:

d

dxcf(x) = c

d

dxf(x).

Podemos comprobar la regla del producto de la siguiente manera:

f(x + h) − f(x)h

=g1(x + h)g2(x + h) − g1(x)g2(x)

h=

=g1(x + h)g2(x + h) − g1(x + h)g2(x) + g1(x + h)g2(x) − g1(x)g2(x)

h=

= g1(x + h)g2(x + h) − g2(x)

h+ g2(x)

g1(x + h) − g1(x)h

.

Ejemplo 3.1.

Si f(x) = x ln x:

d

dxx ln x = 1 · ln x + x

1

x= ln x + 1.

Ejemplo 3.2.

Sea P (t) una funcion que indica los precios del petroleo en dolares por barril en elmomento t; la cotizacion del dolar en pesetas tambien cambia en relacion con el tiempo.Y sea D(t) las pesetas que vale un dolar en el momento t. De este modo, P (t)D(t) nosda el coste de un barril de petroleo en pesetas en el momento t. P ′(t) nos indica comoaumenta (o disminuye, si es negativo) el precio del barril en dolares y D′(t) nos da lavariacion de la cotizacion del dolar. Si queremos saber como aumenta el coste de unbarril de petroleo en pesetas, tenemos que calcular:

d

dt(P (t)D(t)) =

dP

dtD(t) + P (t)

dD

dt.

Con el objetivo de conseguir una interpretacion de todo esto algo mas clara, apuntamosel caso en que en un momento determinado el barril vale 50 dolares y aumenta 3 cadadıa. Contamos tambien con que el dolar esta a 150 pesetas y aumenta a un ritmo de 10pesetas diarias. Ası, diremos que el incremento que nosotros notamos se expresa:

3 · 150 + 50 · 10.

Este incremento tiene dos componentes: por un lado, el incremento del precio del barril,que tenemos que multiplicar por lo que nos cuesta un dolar y, por el otro, el incrementodel precio del dolar, que tenemos que multiplicar por los dolares que nos cuesta cadabarril.


3.2. La derivada de las potenciales

La derivada de x2, aplicando la regla del producto que acabamos de ver, es:

d

dx(x · x) = 1 · x + x · 1 = 2x;

la derivada de x3:

d

dx(x · x2) = 1 · x2 + x · 2x = 3x2;

y la de x4:d

dx(x · x3) = 1 · x3 + x · 3x2 = 4x3;

de este modo, vemos que la regla que ya dimos en el apartado 3.5 del

modulo “Las funciones de una variable” se cumple:

ddxx

n = nxn−1 para cualquier n = 2, 3...

y esto tambien se cumple para cualquier exponente real siempre que x > 0.

La segunda parte no se ha comprobado todavıa de una manera general,

pero sı que la dejaremos anotada. De hecho, ya la habeis comprobado un

par de veces en casos concretos, x−1 y x12 , en el ejercicio 2.1.

3.3. La regla de la cadena

Esta es la regla mas importante de todas, la que nos da una mayor capacidad

para calcular cualquier derivada que se nos presente. Se denomina regla de

la cadena porque el hecho de componer funciones es como encadenarlas.

.

Si tenemos una funcion compuesta f(x) = g1(g2(x)), la derivada sera:

f ′(x) = g′1(g2(x)) · g′2(x).

En notacion diferencial, si z es funcion de y e y es funcion de x,

tenemos:dz

dx=

dz

dy· dydx

.

La segunda formulacion de la regla es mas sencilla, peligrosamente sencilla

incluso, porque hay que saber interpretarla bien para no caer en errores.

Podemos decir que la derivada de la funcion compuesta es el producto de


derivadas, pero volvemos a simplificarlo demasiado y corremos peligro de

equivocarnos. !

Ejemplo 3.3.

Sea f(x) =√

lnx . f es una composicion de dos funciones, ln y raız cuadrada. En lanotacion de la regla anterior, g2(x) = lnx y g1(x) =

√x. Tendremos, en consecuencia

g′1(x) = 12√x

y g′2(x) = 1x

. En definitiva:

f ′(x) = g′1(g2(x)) · g′2(x) =1

2√

lnx

1

x.

Si utilizamos la otra notacion en este mismo ejemplo, diremos que y = lnx y quez =

√y = =

√lnx. Por lo tanto:

dz

dx=

1

2√y

1

x=

1

2√

lnx

1

x.

Ejemplo 3.4.

Supongamos que la demanda de un producto depende de su precio segun D(p) y que elprecio varıa en el tiempo segun p = p(t). De este modo, la variacion de la demanda a lolargo del tiempo sera:

dD

dt=

dD

dp

dp

dt.

Concretemoslo un poco: supongamos que en un momento determinado (t0) el precioes de 10 monedas y la variacion del precio respecto del tiempo es de 2 monedas pordıa, hecho que, por otra parte, ya sabemos interpretar. Y tambien imaginemos que lavariacion de la demanda cuando el precio es de 10 viene dada por D′(10) = 500 toneladaspor moneda. Podemos escribir:

dD

dt

∣∣∣∣t0

= D′(p(t0)) · p′(t0) = 500 · 2.

Es decir, que la tasa instantanea de variacion de la demanda respecto del tiempo sera de1.000 toneladas por dıa.

3.4. Aplicacion de la regla de la cadena

La regla de la cadena nos permite deducir otras reglas. Por ejemplo, si

consideramos que para un exponente c cualquiera:

xc = eln xc

= ec ln x,

podemos deducir que:

d

dxxc = ec ln x · c · 1

x= c

xc

x= cxc−1,

lo que nos demuestra la regla que ya habıamos adelantado en el apar-

tado 3.2.


Todavıa podemos generalizar un poco mas esta regla:

.

Si f(x) = g(x)c, cuando c es una constante cualquiera y g(x) es

positiva:

f ′(x) = cg(x)c−1g′(x).

En particular:d

dx

1g(x)

=−g′(x)g(x)2

.

Esto nos permite deducir una regla que tambien es famosa, la de la derivada

de un cociente. Si U y V dependen de x, aplicamos la regla del producto y

la anterior:

d

dx

U

V=

d

dx

(U

1V

)=

dU

dx

1V

+ U−dV

dx

V 2=

dUdx V − U dV

dx

V 2.

O de manera equivalente:U ′V − UV ′

V 2.

3.5. Derivadas exponenciales

En el apartado 1.7. hemos aceptado como definicion que la derivada de la

funcion exponencial f(x) = ex es ella misma. Y hemos demostrado en el

mismo apartado que ddx lnx = 1

x . Una sencilla aplicacion de la regla de la

cadena nos permite calcular ahora:

dax

dx=

d

dxeln ax

=d

dxe(x ln a) =

= e(x ln a) ln a = ax ln a.

3.6. Derivadas de funciones trigonometricas

Recordemos la derivada de las funciones seno y coseno:

(sinx)′ = cosx

(cosx)′ = − sinx !

A partir de estas dos expresiones, podemos deducir las derivadas del resto de

las funciones trigonometricas, como pueden ser la tangente y la cotangente:

tanx = sin xcos x , cotx = cos x

sin x .


Utilizaremos la formula de la derivada de un cociente:

U = sinx, V = cosx, tanx = sin xcos x .

(tanx)′ =U ′V − UV ′

V 2=

cosx cosx− sinx(− sinx)cos2 x

=cos2 x + sin2 x

cos2 x.

Esta expresion se puede simplificar de dos formas distintas:

1)cos2 x + sin2 x

cos2 x=

cos2 xcos2 x

+sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x.

2) Recordando que sin2 x + cos2 x = 1, ∀x, y por lo tanto:

cos2 x + sin2 x

cos2 x=

1cos2 x

.

En resumen:

(tanx)′ = 1 + tan2 x =1

cos2 x

Y, de manera analoga:

(cotx)′ = −1 − cot2 x = − 1sin2 x

Para acabar, explicitaremos la derivada de algunas funciones trigonome- Comentario

La función arcsin xproporciona el angulo entre−π

2y π

2que tiene por seno

el valor x. Ejemplo:arcsin 1 = π

2.

tricas inversas, ya que nos seran de utilidad mas adelante, por ejemplo en

el calculo de primitivas de funciones.

(arcsinx)′ = 1√1−x2 , (arccosx)′ = − 1√

1−x2 , (arctanx)′ = 11+x2

3.7. Ejercicios

3.1. Calculad la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = (x2 + x)(2x3 − x2 + 4x + 2).

b) f(x) =√

x√x+1

.

c) f(x) = 1x

+ ex.

d) f(x) = x lnx2.

e) f(x) = 2x+3.

f) f(x) = x tanx.

g) f(x) = ln(sin x).


3.2. El numero de individuos de una poblacion evoluciona a lo largo del tiempo de la formaque indica la ecuacion:

P =LP0

P0 + (L− P0)e−Lkt,

donde P0 es el valor inicial cuando t = 0 y L es una constante positiva. Calculad la tasa decrecimiento de la poblacion y la tasa relativa de crecimiento, P ′

P. Comprobad que se cumple:

P ′

P= k(L− P ).

3.3. Los impuestos que una empresa se ve obligada a pagar dependen de los beneficios segunla funcion T (B). Los beneficios (B) se expresan como I − C, donde los ingresos (I) y loscostes (C) estan en funcion de la cantidad producida (c). Lo que teneis que hacer es calculary desarrollar la derivada de T con respecto a c.

3.4. Ya definimos la tasa relativa de crecimiento de una funcion como el cociente f ′f

. De-mostrad ahora que si la funcion f es un producto de dos funciones, f(x) = g1(x)g2(x), sutasa relativa de crecimiento es la suma de las tasas relativas de las dos funciones g1 y g2.

3.8. Solucionario

3.1.a) Solo hay que aplicar la regla del producto:

f ′(x) = (2x + 1)(2x3 − x2 + 4x + 2) + (x2 + x)(6x2 − 2x + 4).

b) Aquı unicamente tendremos que aplicar la regla del cociente:

f ′(x) =

12√x(√x + 1) −√

x 12√x

(√x + 1)2

=1

2√x(

√x + 1)2

.

c) f ′(x) = − 1x2 + ex.

d) Es necesario que apliquemos la regla de la cadena y la del producto:

f ′(x) = lnx2 + x1

x22x = lnx2 + 2x2 1

x2= lnx2 + 2.

e) En este caso derivaremos una funcion potencial:

f ′(x) = ln 2 2x+3.

f) Aplicaremos la regla del producto:

f ′(x) = 1. tanx + x1

cos2 x= tanx +

x

cos2 x.

g) Hay que aplicar la regla de la cadena:

f ′(x) = − 1

sinx(sinx)′ =

− cosx

sinx= − cotx.

3.2. La tasa de crecimiento no es mas que la derivada de P con respecto a t, siendo L,P0, kconstantes. Por tanto:

P ′ =dP

dt= −LP0

((L− P0)(−Lk)e−Lkt

(P0 + (L− P0)e−Lkt)2

)=

L2P0k(L− P0)e−Lkt

(P0 + (L− P0)e−Lkt)2.

Por otro lado, a partir de la definicion, la tasa relativa de crecimiento sera la expresion anteriordividida por P . Entonces tendremos:

1

P

dP

dt= −

L2P0k(L−P0)e−Lkt

(P0+(L−P0)e−Lkt)2

LP0P0+(L−P0)e−Lkt

=Lk(L− P0)e−Lkt

P0 + (L− P0)e−Lkt= k

(L(L− P0)e−Lkt

P0 + (L− P0)e−Lkt

),

y es facil comprobar que L(L−P0)e−Lkt

P0+(L−P0)e−Lkt = L− P .


3.3. Para resolver este problema, tendremos que usar la regla de la cadena. Observad que losimpuestos (T ) son una funcion de los beneficios (B), que, a su vez, dependen de los ingresos(I) y los costes (C), los cuales son funciones de la cantidad (c). Por lo tanto, T (B(c)) == T (I(c) − C(c)). Ası, la derivada de T respecto de q sera:

dT

dq=

dT

dB

dB

dq=

dT

dB

(dI

dq− dC

dq

).

3.4. Queremos demostrar que cuando f(x) = g1(x)g2(x), entonces f ′f

=g′1g1

+g′2g2

, que seobtiene de manera directa aplicando la regla del producto:

f ′

f=

g′1g2 + g1g′2g1g2

=g′1g1

+g′2g2

.


4. Aplicaciones de la derivada.

En este apartado justificaremos por que la nocion de derivada y las tecnicas

que hemos desarrollado para computarlas son realmente utiles cuando se

trata de modelizar de manera matematica la realidad. Veremos que ocurre

cuando volvemos a derivar la derivada de una funcion y, por ultimo, nos

miraremos las derivadas como una herramienta que nos permite determi-

nar aproximaciones polinomicas de una funcion alrededor de un punto.

4.1. La derivada de la derivada

La derivada f ′ de una funcion f es una nueva funcion y, por lo tanto, la

podemos volver a derivar.

.

La derivada de la derivada f se conoce como derivada segunda

de f y se escribe f ′′. En notacion diferencial, la derivada:

d

dx

dy

dxse escribe

d2y

dx2

y se lee derivada segunda de y respecto de x dos veces.

Ejemplo 4.1.

Si f(x) = x2 − x + 3, tendremos f ′(x) = 2x− 1 y f ′′(x) = 2.

Si interpretamos la derivada primera como una medida de la variacion de f , la segundala interpretaremos como una medida de la variacion de f ′.

Por ejemplo, hemos visto que la derivada de la funcion es positiva; entonces, la funcion,que puede ser tanto positiva como negativa, es creciente. Una derivada segunda positivasignifica que la derivada es creciente (sea positiva o negativa); en caso de que la derivadasea creciente y positiva, podemos decir que la funcion crece y que su crecimiento cadavez es mayor.

Igual que hicimos en el apartado 3.4 del modulo “Las funciones de una variable”, conside-remos el polinomio f(x) = x4

4− 4x3

3− 7x2

2+10x y su derivada g(x) = f ′(x) = x3−4x2−

−7x+ 10. Ahora tambien nos interesa la derivada segunda h(x) = f ′′(x) = 3x2 − 8x− 7.Introducimos las tres funciones en el programa de graficas y solicitamos su representaciongrafica.


Hemos señalado sobre la grafica los puntos para facilitar las explicaciones que se siguen:

Comentario

Consideremos la grafica deuna funcion, dos puntoscualesquiera de esta graficay el segmento que los une.Decimos que la funcion esconcava cuando el segmentoqueda por encima de lagrafica de la funcion yconvexa en caso contrario.

• Desde D hacia la derecha, la derivada segunda es positiva y, en consecuencia, laderivada primera es creciente. Desde D hasta E, la derivada primera es creciente ynegativa; esto provoca que la funcion sea decreciente; pero, cuanto mas a la derecha,menos decreciente es, hasta llegar a E, donde la funcion ni crece ni decrece. En estepunto, la funcion se mantiene estacionaria (la derivada es cero). De E hacia adelante,la derivada continua creciendo y es positiva; por lo tanto, la funcion sera creciente,y cada vez crecera mas. Ası pues, en todo el tramo de D hacia delante, la funcion odecrece cada vez menos o, lo que es lo mismo, crece cada vez mas. En cualquier caso,sera concava.

• Desde B hasta D, la derivada segunda es negativa. En el primer tramo vemos quela funcion es creciente; la derivada, al ser positiva y cada vez menor, provoca quela funcion cada vez crezca menos. Llega un momento en que la derivada vale cero,cuando estamos en C. La funcion, en este punto, ni crece ni decrece, se encuentraestacionaria, su derivada vale cero. Desde C en adelante, la funcion es cada vez masdecreciente, paulatinamente su bajada es mayor, ya que la derivada es cada vez menor,mas negativa. En todo este intervalo decimos que la funcion es convexa. El punto Des remarcable: es el punto donde la funcion baja mas, donde la derivada es mınimay un punto donde la derivada segunda vale cero.

• Desde el inicio de la grafica hasta B, la derivada segunda es positiva o, dicho de otromodo: la derivada primera es creciente en todo este intervalo. La funcion es cada vezmas creciente, o menos decreciente, en todo este intervalo. Diremos, en este caso,que la funcion es concava.

El estudio del comportamiento de una funcion y, en particular, del cre-

cimiento y la concavidad se presentara de una forma mas sistematizada

en el modulo “Profundizacion en las tecnicas del calculo”. Sin embargo,

de momento es interesante que entendais el ejemplo que acabamos de

examinar. La tabla que encontramos aquı os puede ser de gran ayuda:

cóncavacreciente

decreciente

convexacreciente

decreciente


4.2. Derivacion implıcita

Lo mas normal es que encontremos la expresion de una variable en relacion

con otra de forma explıcita, y = f(x). Es decir, tenemos la y aislada en un

lado de la igualdad y en el otro solo tenemos la variable dependiente. En

otras ocasiones, nos podemos encontrar situaciones en las que las variables

se combinan en el mismo lado de la ecuacion. Por ejemplo, la ecuacion:

x2y + 2y3 = 3x + 2y

nos define una cierta relacion de dependencia entre x e y. Puede ser difıcil,

incluso imposible en algunos casos, conseguir aislar la y y expresarla de

manera explıcita en funcion de la x. Sin embargo, a pesar de todo, podemos

interesarnos por el estudio de como cambia y cuando x varıa, es decir, por

computar dydx .

. Comentario

Observad que al derivar eltermino 2y(x)3 hemos tenidoque aplicar la regla de lacadena.

La tecnica de la derivacion implıcita para calcular y′(x) consiste en

derivar cada lado de la expresion respecto de x teniendo en cuenta

en todo momento que y es funcion de x.

Una forma de no olvidarse es poner y(x) en lugar de y y despues igualar las

derivadas de ambos lados. Ası, en el ejemplo:

d

dx(x2y(x) + 2y3(x)) =

d

dx(3x + 2y(x)),

2xy(x) + x2y′(x) + 6y2(x)y′(x) = 3 + 2y′(x).

Mediante la igualacion de ambos lados y la posterior simplificacion, se

puede llegar a:

y′(x) =3 − 2xy

x2 + 6y2 − 2,

lo cual resulta interesante: sin llegar a aislar la y segun la x, podemos

calcular y aislar la derivada de y respecto de x.

Ejercicio 4.1.

Calculad y aislad la derivada de y respecto de x, teniendo en cuenta que xαyβ = xy,donde α y β son constantes positivas.

Aplicacion: calculo de la recta tangente a una curva determinada de ma-

nera implıcita. Si una curva viene dada en forma explıcita, y = f(x), la

ecuacion de la recta tangente en un punto P = (x0, y0) es:

Y − y0 = f ′(x0)(X − x0).

Todo lo que tenemos que hacer es calcular la derivada de la funcion y

evaluarla en la coordenada x del punto.


¿Que pasa si la curva viene dada de manera implıcita? Pues que tendrıamos

que calcular la pendiente de la recta tangente, que continuara siendo y′(x0),

solo que ahora no dispondremos de la expresion y(x) para poderla derivar.

Veamos en un ejemplo un caso concreto de como obtener esta pendiente.

Ejemplo 4.2.

La curva tiene la ecuacion y3 + y2 − 5y − x2 = −4 y el punto es P = (2, 0).

Antes de nada, comprobaremos que el punto pertenece a la curva, haciendo las sus-tituciones x = 2, y = 0 en la ecuacion; tambien sustituimos y por y(x) en la ecuaciony(x)3+y(x)2−5y(x)−x2 = −4, y derivamos respecto de x en ambos lados de la ecuacion:

3y2(x)y′(x) + 2y(x)y′(x) − 5y′(x) − 2x = 0.

Sustituyendo x = 2 e y = 0, obtenemos −5y′(2) − 4 = 0, es decir, y′(2) = − 45

.

La ecuacion de la recta tangente sera, entonces, Y −0 = − 45(X−2), o bien 4X +5Y = 8.

4.3. La derivada como aproximacion lineal

Si f(x) es una funcion derivable en el punto x = a, tiene sentido definir la

tangente a la grafica de la funcion en el punto (a, f(a)) y que su pendiente

es f ′(a). Por lo tanto, la ecuacion de la recta tangente sera:

y = f(a) + (x− a)f ′(a).

Y, hay que remarcarlo, lo mas importante aquı es que la tangente resulta

practicamente identica a la funcion si estamos cerca del punto de con-

tacto a. !

. Notacion

El sımbolo ≈ significa‘aproximadamente’.

Si una funcion f es derivable en un punto a, cerca de este punto

tenemos:

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a).


Cuanto mas cerca estamos de a, mejor es esta aproximacion. Tal como

muestra la figura anterior, si nos alejamos de a, la calidad de la aproxima-

cion se degrada.

Esto nos permite simplificar algunos calculos complicados. Por ejemplo,

la funcion logaritmo es difıcil de calcular. Si sabemos que ln 10 = 2, 3025 y

necesitamos calcular ln 10, 5, podemos hacer lo siguiente:

ln 10, 5 = ln 10 + ln′(10)(10, 5 − 10) = 2, 3025 + 0, 05 = 2, 3526.

Si lo comprobais con la calculadora, vereis que hemos afinado bastante.

4.4. Aproximacion de segundo orden

Si queremos aproximar mejor la funcion sin tener que hacer demasiados Nota

Tangente proviene del latıntangere, que quiere decir‘tocar’. Osculus en latınquiere decir ‘beso’. Es decir,que la parabola osculadorabesa la curva o el grafo.

calculos mas, podemos utilizar, en lugar de una recta tangente, una para-

bola tangente.

Intuitivamente, si la recta tangente se parece a la funcion es porque en el

punto donde se tocan tienen la misma pendiente o derivada primera. Si

una parabola se tiene que parecer a una funcion, las derivadas segundas

tambien deberan coincidir. Haremos los calculos necesarios para demos-

trarlo.

Queremos una parabola que se parezca lo maximo posible a la grafica

de nuestra funcion f en el punto x = a. Sera mas facil para hacer los cal-

culos desplazar nuestra funcion hacia el eje vertical a unidades, poniendo

f(x + a), y buscar una parabola que se parezca a la grafica de la funcion

g(x) = f(x+a) en el punto x = 0. Sea y = p(x) = c1x2 + c2x+ c3 la ecuacion

de la parabola. Planteamos las ecuaciones para que el polinomio p y la

funcion g tengan el mismo valor y derivadas iguales en x = 0.

g(0) = p(0) ⇒ c3 = f(a)

g′(0) = p′(0) ⇒ c2 = f ′(a)

g′′(0) = p′′(0) ⇒ 2c1 = f ′′(a)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

Es decir, nuestro polinomio es:

g(x) ≈ p(x) =f ′′(a)

2x2 + f ′(a)x + f(a), con x cerca de 0.

Sin embargo, ahora tenemos que volver a mover los elementos hasta el

punto x = a, hacia la derecha; con lo que obtendremos:

f(x) ≈ p(x− a) =f ′′(a)

2(x− a)2 + f ′(a)(x− a) + f(a), x cerca de a.


.

Para una funcion derivable f y un punto a, la mejor aproximacion

de segundo orden es la que viene dada por:

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2

para los valores de x que esten cerca de a.

Ejemplo 4.3.

Si volvemos al ejemplo anterior, para calcular de manera aproximada ln 10, 5 ahora harıamos:

ln 10, 5 = ln 10 + ln′(10)(10, 5 − 10) +ln′′(10)

2(10, 5 − 10)2 =

= 2, 3025 + 0, 05 − 0, 00125 = 2, 35375.

Ejemplo 4.4.

Introducimos la siguiente funcion en el programa de graficas:

f(x) = e−x2.

Sus derivadas (lo tendrıais que comprobar) son:

f ′(x) = −2xe−x2, f ′′(x) = −2(1 − 2x2)e−x2

y, por lo tanto, el polinomio de segundo grado que mejor se aproxima a la funcion x = asera el siguiente:

Pa(x) = e−a2 − 2ae−a2(x− a) − (1 − 2a2)e−a2

(x− a)2.

Tras haber introducido los datos en el programa de graficas, podemos darle

valores a a y solicitar la grafica conjunta de f(x) y de la parabola.

Repetid esta operacion para diferentes valores de a y observad con atencion

como la parabola se ajusta a la funcion cerca del punto (a, f(a)).

Mas adelante vereis que, dada una funcion derivable, se puede calcular un

polinomio de grado n que la aproxima cerca de un punto.

.

Dada una funcion derivable f(x) y un punto x = a de su dominio, el

polinomio de grado n que mejor aproxima la funcion cerca del punto

a es el polinomio de Taylor de grado n, que se calcula segun:

Pn(x) =n∑

i=0

f (i)(a)i!

(x− a)i =

= f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)3!

(x− a)3 +

+ . . . +f (n)(a)

n!(x− a)n.


4.5. Ejercicios

4.2. La ecuacion y2x−x3 = yx2+2 define una funcion implıcita y(x) en el cuadrante x, y > 0.

a) Calculad y para x = 2. ¿Podeis expresar y en funcion de x? ¿La expresion que se obtienees facil de derivar?

b) Derivando de manera implıcita, calculad y′(2).

4.3. Demostrad, utilizando la derivacion implıcita, que las unicas funciones derivables y(x)que pueden cumplir y + ln(1 + y) = 1 son funciones constantes.

4.4.a) Encontrad la ecuacion de la recta tangente a la curva 3(x2 + y2)2 = 100xy en el punto(3, 1). (Esta curva se conoce como lemniscata; tratad de hacer su grafica con el ordenador.)

b) Encontrad la ecuacion de la recta tangente a la curva x3 +y3 −6xy = 0 en el punto ( 43, 83).

(Esta curva se llama folio de Descartes; intentad hacer la grafica con el ordenador.)

4.5. Calculad la aproximacion lineal y la de segundo orden de las siguientes funciones en lospuntos dados:a) f(x) = x+1

x−1en el punto x = 3.

b) f(x) = xex en el punto x = 0.

c) f(x) = 3ln x en el punto x = 1.

4.6. Dada la funcion f(x) = ex + e−x, consideramos el punto de abscisa 1.

a) Encontrad la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion en el punto con-siderado. Dibujad en el programa de graficas la funcion y la recta para x entre 0,5 y 1,5.¿Considerais que la recta aporta una buena aproximacion a la funcion cerca del punto?Haced una comparacion de los valores de la funcion y de la recta en 1,1, 1,2, 0,9, 0,8, etc.Pedid al programa de graficas la grafica conjunta de la funcion f(x) y de la recta tangenter(x) para x sobre 0,8 y 1,2; despues, para x entre 0,9 y 1,1.

b) Calculad la aproximacion de segundo orden a f en el punto x = 1. Dibujad en el programade graficas las tres funciones para x entre −2 y 2: la funcion f(x), la recta tangente r(x) y laparabola que habeis obtenido p(x). Haced el mismo proceso de zoom, como antes: pedid lagrafica conjunta para x entre 0,5 y 1,5, entre 0,8 y 1,2 y entre 0,9 y 1,1. . .

4.6. Solucionario

4.1. Si derivamos el lado de la izquierda de la igualdad respecto de x, sin olvidar que y esfuncion de x:

d

dx(xαyβ) = αxα−1yβ + xα · βyβ−1 · y′,

mientras que por la derecha obtenemos:

d

dx(xy) = 1 · y + xy′.

Igualmente, aislando y′ obtenemos:

dy

dx=

y − αxα−1yβ

βxαyβ−1 − x=

y(1 − α)

x(β − 1).

4.2.a) Sustituimos x = 2 en la ecuacion dada y encontramos el valor de y. Es decir, tenemos queresolver la ecuacion: y2 −2y−5 = 0. Se trata de la unica solucion valida, teniendo en cuentaque x, y > 0, es y = 3, 45.

En general, para una x dada, y2x − x3 = yx2 + 2 ⇐⇒ y2x − yx2 − (2 + x3) = 0, que es unpolinomio de segundo grado para y. Ası, la solucion en funcion de x sera:

y =x2 ±√

5x4 + 8x

2x,

que no es facil de derivar.


b) Derivando implıcitamente, tenemos que 2yy′x + y2 − 3x2 = y′x2 + 2xy, de donde:

y′ =2xy − y2 + 3x2

2xy − x2.

Ahora, sustituyendo por x = 2, obtenemos y′ = 1, 42.

4.3. Derivando a ambos lados de la igualdad, tenemos:

y′ +1

(1 + y)y′ = 0 ⇒ y′

(1 +

1

1 + y

)= 0,para y > −1

de donde, dado que y �= −2, tenemos que y′ = 0, lo que implica que y tiene que ser constante.

4.4.a) Sustituimos y por y(x) y derivamos implıcitamente con respecto a x para encontrar lapendiente y′(3) de la recta tangente:

3 · 2(x2 + y2(x))(2x + 2y(x)y′(x)) = 100(y + xy′(x)).

Evaluamos en x = 3 e y = 1:

60(6 + 2y′(3)) = 100(1 + 3y′(3))

y despejamos la pendiente y′(3) = 139

. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto(3, 1) es:

Y − 1 =13

9(X − 3).

b) Sustituimos y por y(x) y derivamos implıcitamente respecto de x para encontrar la pen-diente y′( 4

3) de la recta tangente:

3x2 + 3y2(x)y′(x) − 6y(x) − 6xy′(x) = 0.

Evaluamos en x = 43

e y = 83

:

16

3+

64

3y′(

4

3) − 48

3− 24

3y′(

4

3) = 0

y despejamos la pendiente y′( 43) = 4

5. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto

( 43, 83) es:

Y − 8

3=

4

5(X − 4

3).

4.5.a) De entrada, calcularemos las derivadas primera y segunda de la funcion:

f ′(x) =−2

(x− 1)2,

f ′′(x) =4

(x− 1)3.

Por lo tanto, la aproximacion lineal en el punto x = 3 sera:

f(x) ≈ f(3) + f ′(3)(x− 3) = 2 + (−1

2)(x− 3),

y la de segundo orden:

f(x) ≈ f(3) + f ′(3)(x− 3) +f ′′(3)

2(x− 3)2 = 2 + (−1

2)(x− 3) +

1

4(x− 3)2.

b) Las derivadas primera y segunda de la funcion vienen determinadas por:

f ′(x) = ex + xex,

f ′′(x) = 2ex + xex.


f(x) ≈ f(0) + f ′(0)x = x,


f(x) ≈ f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2x2 = x + x2.


c) Las derivadas primera y segunda de la funcion vienen dadas por:

f ′(x) = 3ln x ln 3

x,

f ′′(x) = 3ln x(

ln 3

x

)2

− 3ln x ln 3

x2.


f(x) ≈ f(1) + f ′(1)(x− 1) = 1 + ln 3(x− 1),


f(x) ≈ f(1) + f ′(1)(x− 1) +f ′′(1)

2(x− 1)2 = 1 + ln 3(x− 1) +

(ln 3)2 − ln 3

2(x− 1)2.

4.6.a) A partir de la definicion, la recta tangente a la funcion f(x) = ex + e−x en x = 1 vendradada por la ecuacion y − f(1) = f ′(1)(x− 1), que se puede reescribir como:

y =2

e+ (e− 1

e)x.

b) Calculamos la ecuacion de la parabola tangente a f en el punto x = 1, que vendra dadapor:

y = f(1) + f ′(1)(x− 1) +f ′′(1)

2(x− 1)2

y, por lo tanto:

y = e +1

e+

(e− 1

e

)(x− 1) +

1

2

(e +

1

e

)(x− 1)2.


5. La integral.

Chema, un estudiante de la diplomatura de Empresariales, hace practicas

en la empresa Pujante, S.A., donde ha conseguido un modelo muy bueno

para representar la evolucion de los beneficios mensuales. Ha comprobado,

y ademas ha convencido al director general de ello, que la funcion con-

tinua:

B(t) = (t− 12)3 + 1.728

representa muy bien la evolucion de los beneficios a lo largo de los dos

ultimos años. Si ponemos el tiempo (t) en meses, se obtiene B(t), los

beneficios en miles de pesetas del mes t. Sin embargo, ahora tiene un

problema: el director general le dice que calcule el total de los beneficios

de estos dos años segun su modelo y no sabe como hacerlo. El director

le comenta que lo que tiene que hacer es calcular los beneficios de cada

mes y sumarlos. Sin embargo, Chema no lo ve claro, ya que su modelo es

continuo, y se encuentra con que el nivel de beneficios varıa a lo largo del

mes y el calculo propuesto por el director general no tiene en cuenta este

detalle. Por ejemplo, el primer mes, t = 0, darıa 0, cuando de hecho, al

final del primer mes el modelo esta dando beneficios.

Bene

ficio

s m

ensu

ales

Bene

ficio

s m

ensu

ales

Tiempo0 5 10 15 20 25

Tiempo0 5 10 15 20 25

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

500

0

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

500

0

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

500

0

A Chema se le ocurre una solucion: en lugar de sumar los beneficios de

todos los meses, calcula los beneficios de cada semana y los suma. En la

figura de la izquierda se muestra de forma grafica el resultado de haber

sumado los beneficios de los meses, donde cada mes queda representado

por una columna de altura igual a sus beneficios y de amplitud igual a

1. En la figura de la derecha, cada semana es una pequeña columna de

amplitud 14 , y el total de beneficios sera la suma de estas columnas.


Las conclusiones (aunque provisionales) que podemos extraer de esta historia

son las siguientes:

1) Para calcular el total de los valores de una funcion en un tramo de su

dominio, tenemos que calcular el area que queda entre la grafica y el eje

horizontal.

2) Para calcular esta area, podemos tomar una unidad pequeña y construir

rectangulos; sumando las areas obtenemos aproximadamente lo que

buscamos.

3) Cuanto mas estrechos sean los rectangulos, mas preciso sera el calculo,

aunque tambien sera mas laborioso.

5.1. La integral como area

Nos interesa desarrollar metodos para calcular areas que queden bajo las

graficas de funciones por varios motivos. Uno de estos ya lo hemos visto en

el ejemplo anterior, y mas adelante veremos otras aplicaciones del calculo

de areas o, como se suelen denominar, integrales definidas.

.

Dada la funcion continua y positiva f en un segmento [a, b], defi-

nimos la integral de f en [a, b] como el area comprendida entre el

grafo de f , el eje horizontal y las rectas x = a y x = b. Este numero

lo indicaremos por:

∫ b

a

f o bien∫ b

a

f(x)dx.

Observad que la integral de una funcion en un intervalo (o integral de f

desde a hasta b, como tambien se conoce) es un numero.

Actividad

1. Mediante el uso de la hoja de calculo, calculad el area de un semicırculo de radio 1. Siconsideramos la funcion f(x) =

√1 − x2 definida entre 0 y 1, su grafica es un cuarto de

circunferencia centrada en el punto (0, 0) de radio 1. Sabemos, por lo tanto, que el area tieneque ser πr2

4≈ 0, 7854. La calcularemos siguiendo las ideas que se han presentado antes.

Sin embargo, aprovecharemos la ocasion para observar que este tipo de calculos se puederealizar de dos formas distintas (como mınimo). Si se trata de dividir el cuarto de cırculoen cortes verticales y aproximar cada corte mediante un rectangulo, podemos tomar comoaltura del rectangulo el mayor o menor de entre los posibles. En el primer caso (figura dela izquierda), decimos que la suma superior, la suma de todos los rectangulos, aproxima elarea por encima. En el otro caso (figura de la derecha), la suma inferior aproxima el area encuestion por debajo.


Los calculos numericos realizados en la hoja de calculo se muestran en

las siguientes figuras, donde se nos presentan tres porciones de hoja de

calculo. En el primero, arriba a la izquierda, podeis ver los valores de x

que subdividen el segmento [0, 1] en diez subintervalos; en la columna B

encontramos los valores de la funcion (el cuarto de cırculo) en cada uno

de los extremos inferiores de los subintervalos.

.

Para calcular las sumas inferiores y superiores, necesitamos las alturas ma-

xima y mınima de cada rectangulo, que hallamos calculadas en las co-

lumnas C y D. Esto es facil de conseguir si las funciones son crecientes o

decrecientes; en este caso se alcanzan en los extremos.

La programacion de la hoja de calculo se puede ver en la tercera porcion.

Por ejemplo, en la casilla C4 tenemos la formula =MIN(B4;B5), y ası en

el resto. Con esto ya resulta facil calcular las areas de los rectangulos (co-

lumnas E, F). Arriba a la derecha se reproduce el tramo inicial y el final del

mismo computo, que se ha realizado no con 10 subintervalos, sino con 25.

Podeis apreciar con claridad que ahora las sumas inferiores y superiores se

aproximan mucho mejor al valor que sabemos que es el exacto: 0,7854.


Sin embargo, todavıa nos queda una observacion que os puede ayudar a

comprender totalmente el ejemplo: en la hoja de calculo que os presenta-

mos no se aprecia la diferencia entre los rectangulos inferiores y superiores,

circunstancia que se debe al hecho de que solo se ven dos decimales y en

casi todos los casos la diferencia es de orden superior.

Tras haber completado el ejemplo, generalizamos y fijamos notaciones,

teniendo en cuenta que si colocamos n rectangulos en el segmento [a, b],

cada uno tendra una amplitud b−an .

.

La integral definida

Si tomamos valores en a = x0 < x1 < . . . < xn = b que subdividen en

partes iguales el intervalo [a, b] en n tramos y denominamos sumas

inferiores al numero:

SIn(f, a, b) =b− a

n

n∑i=1

min(f(xi−1), f(xi))

y sumas superiores al numero:

SSn(f, a, b) =b− a

n

n∑i=1

max(f(xi−1), f(xi)),

tendremos, en tal caso, para valores grandes de n, que:

SIn(f, a, b) ≤∫ b

a

f ≤ SSn(f, a, b). (5.1)

Ademas, si la funcion f es continua, tomando un valor de n su-

ficientemente grande, podemos hacer que estos tres numeros sean

tan parecidos como queramos.

Este ultimo hecho es crucial: si en las graficas del cuarto de cırculo en

lugar de 10 intervalos tomamos 20, 30 o 2.000, la diferencia entre las

“escalerillas” y la circunferencia cada vez sera mas y mas pequeña. De este

modo, podremos calcular el area con tanta precision como queramos.

Ejercicios

5.1. Repetid sin el ordenador el computo de las aproximaciones al area del cırculo, to-mando n = 4 intervalos en [0, 1], y despues hacedlo en la hoja de calculo tomando 50intervalos.

Desde el principio de este apartado hemos considerado, exclusivamente, funciones posi-tivas, si bien las definiciones anteriores se pueden generalizar sin demasiados problemasa funciones que cambien de signo o que sean negativas.


5.2. Considerad la funcion f(x) = (x− 2)2 − 2 en el intervalo [0, 3].

a) Haced una subdivision del intervalo en tres subintervalos y calculad el valor de lafuncion en cada uno de los puntos que habeis obtenido.b) Calculad los valores maximo y mınimo de la funcion en los extremos del subintervalopara cada intervalo de la subdivision.c) Con la informacion anterior, calculad la suma inferior y la superior de f entre 0 y 3.d) Mediante el uso de la hoja de calculo, repetid este calculo para n = 25.

Ahora ya estamos en condiciones de precisar un poco mas la definicion

anterior, aplicandola a funciones que no sean por necesidad positivas y

continuas.

.

Dada una funcion cualquiera f definida en el intervalo [a, b], decimos

que f es integrable en [a, b] si cuando n → ∞ las sumas inferiores y las

sumas superiores tienden a un mismo numero. Este numero recibe

el nombre de integral de f entre a y b.

Ejemplo 5.1.

La funcion f(x) = x|x| , f(0) = 0 no es continua (lo habeis visto en el ejercicio 1.2); pero es

integrable y su integral en el intervalo [–1, 1] vale cero. Esta afirmacion se puede obtenerdirectamente de la definicion de la funcion ası como tambien se puede deducir de algunasde las propiedades que veremos a continuacion.

Tal y como se han definido las sumas superiores e inferiores mas arriba,

queda claro que para calcular la integral de una funcion en un intervalo

[a, b] podemos hacerlo dividiendo primero el intervalo en dos partes o mas,

calculando la integral en cada una de las partes y, por ultimo, sumando

los resultados parciales que se hayan obtenido. Podemos expresarlo de la

siguiente forma:

.

Si f es integrable en el intervalo [a, b] y m es un punto cualquiera del

intervalo, a < m < b:

∫ b

a

f =∫ m

a

f +∫ b

m

f.

5.2. El signo de la integral definida

Segun la definicion de integral, una funcion que sea negativa en un in-

tervalo tambien tendra integral definida negativa en este intervalo. Y por


otro lado, si tenemos en cuenta la observacion anterior que nos permite

calcular la integral dividiendola en partes, podemos decir que:

.

Si una funcion cambia de signo en el intervalo [a, b], su integral en

este intervalo sera la suma de las areas donde la funcion es positiva

menos la suma de las areas donde es negativa. Por este motivo

decimos, en algunas ocasiones, que las areas que tenemos bajo el

eje horizontal cuentan como negativas.

Ejemplo 5.2.

Si queremos calcular la integral de f(x) = 2 − 3x en [0, 1], nos encontramos con que lafuncion cambia de signo en x = 2

3. Por lo tanto, podremos hacer:

∫ 1

0

(2 − 3x)dx =

∫ 23

0

(2 − 3x)dx +

∫ 1

23

(2 − 3x)dx = A1 + (−A2),

donde A1 indica el area entre 0 y 23

y A2, el area entre 23

y 1, que son dos triangulos deareas 2

3y 1

6, respectivamente. Por lo tanto:

∫ 1

0

(2 − 3x)dx =2

3− 1

6=

1

2.

5.3. Mas sobre la integral definida

Antes de dejar la integral definida, vamos a hacer algunas observaciones:

1) Por definicion tomamos:

∫ a

a

f = 0

es decir, la integral en un intervalo que se reduce a un solo punto de

cualquier funcion es cero.

2) Tambien por definicion, si a < b y f es integrable en [a, b]:

∫ a

b

f = −∫ b

a

f

3) Si f es una funcion integrable en [a, b] y k ∈ IR, entonces la funcion

multiple kf es integrable y:


∫ b

a

kf(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx

4) Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces la funcion suma

f + g es integrable y:

∫ b

a

(f(x) + g(x)

)dx =

∫ b

a

f(x) dx +∫ b

a

g(x) dx

5) Como consecuencia de las dos ultimas afirmaciones, la integral de una

diferencia es la diferencia de las integrales.

Como justificacion de la tercera afirmacion, pensemos en que un cambio

de f(x) por kf(x) se ve en la grafica como una dilatacion o contraccion del

plano en sentido vertical, que hace que todas las areas queden multiplicadas

por k. Esto es cierto para k > 0. Si k = −1, la grafica de la funcion es la

simetrica con respecto al eje horizontal, y las areas que tomabamos como

positivas pasan a ser negativas, y a la inversa. La integral, por lo tanto,

cambiara de signo. Y el caso general k < 0 se puede descomponer en dos

pasos: el cambio de signo y el producto por |k|.

La afirmacion sobre la suma de funciones se ve con claridad si ambas

funciones son positivas o ambas son negativas. Tambien se ve claro cuando

una es positiva y la otra negativa, siendo la primera mayor (o menor) que

la segunda en valor absoluto en todo el intervalo. En estos casos, solo

tenemos que dibujar el croquis y pensar que significa la suma y que es la

integral. En el caso general, lo que hacemos es descomponer el intervalo

de integracion en diferentes tramos, en cada uno de los cuales se cumplen

algunas de las condiciones anteriores, y aplicar el hecho de que la integral

se puede calcular sumando las integrales de los tramos del intervalo.

5.4. La integral indefinida

.

Dado un numero a del dominio de una funcion integrable, la

funcion:

S(x) =∫ x

a

f(t)dt

recibe el nombre de integral indefinida de f con origen en a.


Observaciones:

1) La integral definida, que se ha introducido antes, es un numero.

La integral indefinida, o mejor dicho, las integrales indefinidas, son

funciones. !

2) Dado que existen muchos orıgenes como a que son posibles, tambien

habra muchas integrales de f que son posibles. Puede que ya sepais, y

en caso contrario lo veremos juntos un poco mas adelante, que todas las

integrales indefinidas de una misma funcion se parecen mucho, puesto

que solo se diferencian en constantes. !

3) Si recordamos que la integral entre dos numeros se puede interpretar

como un area por debajo de la grafica, la funcion S(x) de la definicion

anterior se puede interpretar como la funcion que nos mide el area entre

a y x, contando como negativas las areas que estan por debajo del eje

horizontal. !

Ejemplo 5.3.

Si consideramos la funcion f(x) = 0, 2x + 0, 8, sera facil calcular las areas que estaninvolucradas. Para tener una integral definida, hay que escoger un origen de integracion.Para empezar, tomaremos el cero, y entonces:

S1(x) =

∫ x

0

(0, 2t + 0, 8)dt = 0, 8x + x · 0, 2x2

= 0, 1x2 + 0, 8x,

donde hemos realizado los calculos simplemente sumando las areas de los rectangulosy las de los triangulos correspondientes (es posible que un croquis de la grafica f(x) osayude a entenderlo). La formula anterior es valida tanto para x > 0 como para x < 0.

Podemos escoger otro origen de integracion, pongamos por caso a = 2, con lo que elresultado sera:

S2(x) =

∫ x

2

(0, 2t + 0, 8)dt = 0, 1x2 + 0, 8x− 2,

otra integral indefinida de nuestra funcion.

Actividad

2. Construiremos la grafica de una integral indefinida.

. En la figura...

... se ve el croquis de lafuncion. Para aseguraros deque entendeis todo lo queestamos haciendo en esteapartado, se trata de que conla unica ayuda de lainformacion que aporta lagrafica, hagais un esbozo dela grafica de la integralindefinida

∫ x

0f , sin olvidar

nunca la observacion quehemos indicado antes.


Copiad ahora la grafica en una hoja de papel y con el lapiz id siguiendo los puntos queproponemos a continuacion para construir la grafica de:

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt.

1) Puesto que estamos calculando el area desde 0 hasta x, F (0) sera el area de 0 a 0, que tieneque ser tambien 0.

2) Para x entre 0 y A, el area entre 0 y x es positiva y cuanto mayor sea x, mayor sera el area.Ası, F tiene que ser creciente en este tramo; ahora bien, cuanto mas a la derecha este situada,tambien sera menos creciente, ya que cuando estamos cerca de A añadimos menos area queal principio. Por lo tanto, F sera cada vez menos creciente, es decir, convexa.

3) Cuando llegamos a A, F tiene que ser maxima, puesto que a partir de aquel punto f(x)pasa a ser negativa y las areas se contaran como negativas.

4) Desde A hacia delante, la funcion f tiene que ser decreciente, ya que cuanto mas haciala derecha se encuentre x, mas area restaremos. Ahora bien, cuando vamos desde A hasta B,la cantidad de area que restamos es cada vez mayor y, en consecuencia, la funcion F (x) serapaulatinamente mas decreciente y, en tal caso, continuara siendo convexa; por otra parte, Bsera el punto donde la funcion hara mas bajada.

5) En cambio, cuando sobrepasamos B, continuamos restando area, pero en este caso cadavez menos. Ası pues, la funcion F tiene que ser concava entre B y C.

5.5. Notaciones

Cuando se trabaja con integrales indefinidas, hay que prestar un poco

de atencion a la cuestion de la notacion. En primer lugar, como habreis

podido observar, cuando queremos escribir la integral de una funcion y =

f(x) ponemos∫ x

af(t)dt e introducimos una nueva variable t. Lo hacemos

de esta manera para evitar confusiones: utilizamos la variable t como

una variable de integracion, una variable muda en tanto que carece de

trascendencia en el exterior de la integral. Reservamos la variable x como

variable independiente de la funcion integral, interpretando el mismo rol

que en la funcion original.

5.6. Propiedades de la integral indefinida

De manera breve y concisa, vamos a hacer constar algunas propiedades de

la integral indefinida, propiedades que solo son consecuencia directa

de las que ya hemos visto para la integral definida. !

1) Las integrales indefinidas de la suma de dos funciones y de los multiplos

de una funcion satisfacen las igualdades:∫ x

a

f + g =∫ x

a

f +∫ x

a

g,

∫ x

a

kf = k

∫ x

a

f.

Tambien nos encontramos con que la integral de una diferencia de fun-

ciones es la diferencia de integrales.


2) Dos integrales indefinidas de una misma funcion solo se diferencian en

una constante.

Fijemonos, ahora, en la ultima propiedad. De entrada, dos integrales de

una funcion f se diferencian por el hecho de que se han tomado con dos

orıgenes de integracion diferentes. Tenemos:

S1(x) =∫ x

a

f(t) dt, S2(x) =∫ x

b

f(t) dt.

No cabe duda de que podemos descomponer:

S1(x) =∫ b

a

f(t) dt +∫ x

b

f(t) dt = K + S2(x),

donde K representa la integral desde a hasta b, que es una constante.

Repasad el ejemplo 5.3 y podreis ver que las dos integrales que hemos

calculado difieren en 2, que es precisamente la integral desde 0 hasta 2.

5.7. Solucionario

5.1. Para n = 4 y el intervalo [0,1], tenemos que a = x0 = 0 < x1 = 14< x2 = 1

2< x3 =

= 34< x4 = 1 = b. Ası pues, tendremos que:


n

n∑i=1

min(f(xi−1), f(xi)) =

=1

4

(min

(1,

√1 − 1

16

)+ min

(√1 − 1

16,

√1 − 1

4

)+

+ min

(√1 − 1

4,

√1 − 9

16

)+ min

(√1 − 9

16, 0

))= 0, 62,

SSn(f, a, b) =b− a

n

n∑i=1

max(f(xi−1), f(xi)) =

=1

4

(max

(1,

√1 − 1

16

)+ max

(√1 − 1

16,

√1 − 1

4

)+

+ max

(√1 − 1

4,

√1 − 9

16

)+ max

(√1 − 9

16, 0

))= 0, 87.

Para encontrar el area del cırculo, tenemos que multiplicar los resultados anteriores por 4, yaque solo hacıan referencia al area de un cuarto. Ası, los resultados son: 2,5 y 3,5. Dentro deeste intervalo encontraremos el area exacta, que es π.

5.2.a) Los subintervalos que hay que considerar son [0, 1], [1, 2] y [2, 3]. Las imagenes de susextremos son f(0) = 2, f(1) = −1, f(2) = −2, f(3) = −1.

La curva integral...

... de la actividad anterior setendrıa que parecer a la quese muestra aquı.

b) En la tabla que mostramos a continuacion encontraremos los mınimos y los maximos delas imagenes de los extremos de los subintervalos.

Intervalo fmin fmax

[0, 1] f (1)=−1 f (0)=2

[1, 2] f (2)=−2 f (1)=−1

[2, 3] f (2)=−2 f (3)=−1


c) En este apartado lo unico que hay que hacer es sumar los elementos de la primera columnay los de la segunda, respectivamente. De aquı: SI3(f, 0, 3) = −1−2−2 = −5 y SS3(f, 0, 3) =2 − 1 − 1 = 0.


6. Relacion entre la derivada y la integral.

Vamos a dedicar este apartado al analisis del hecho de mayor relevancia por

lo que respecta al calculo infinitesimal, que es la estrecha relacion que se

da entre los dos operadores que hemos estudiado hasta ahora: la derivada

y la integral.

Veremos que una tiene un papel inverso con respecto a la otra, es decir,

que si integramos la derivada o si derivamos la integral, nos quedamos

como antes de empezar. No es tan facil como puede parecer ası explicado,

pero casi.

Dada una funcion continua f(x), consideramos una de sus integrales con

origen en a, F (x) =∫ x

af(t)dt, y escribimos su cociente incremental para

un incremento h de la variable:

C(h) =F (x + h) − F (x)

h=

∫ x+h

af(t)dt− ∫ x

af(t)dt

h=

=

∫ x+h

xf(t)dth

.

Ahora bien, si f es positiva, el numerador es el area por debajo de f entre

x y x + h, que podemos considerar igual a la de un rectangulo de base h

y altura f(x), teniendo en cuenta que h es un incremento muy pequeño.

Ası, el cociente C(h) se convierte en f(x) cuando h tiende a cero.

.

Cualquier funcion G(x) tal que G′(x) = f(x) es una primitiva de f .

En particular, si F (x) es una integral de una funcion continua f ,

entonces F es una primitiva de f .

Ejemplo 6.1.

Reconstruimos una funcion continua a partir de su derivada. De momento, solo loharemos de manera grafica.


.

En la figura,...

... podeis ver la grafica de lafuncion f(x), de la cual notenemos ningunainformacion mas. Queremosrepresentar, o como mınimoidentificar, los tres puntosprincipales de una integralindefinida suya. Tendremosque tomar un valor inicial;podemos tomar el quequeramos (en la figura hemosmarcado F (0)). A partir deaquı, copiad la figura en unpapel, tomad un lapiz eintentad trazar la grafica de laprimitiva F (x) teniendo encuenta que F ′(x) debe serigual a f(x).

1) Dado que f(0) = 0, F tendra una pendiente 0 cuando arranca desde F (0).

2) A partir de este punto y hasta B, la funcion F (x) tiene que ser creciente, ya que suderivada es positiva.

3) A la izquierda de A, la derivada f(x) es creciente y, por lo tanto, la funcion F (x) tieneque crecer cada vez mas, debe ser concava. En el punto A, la derivada es maxima y, enconsecuencia, este tiene que ser el punto de maxima pendiente de F .

4) Desde A hasta B, F tiene que seguir creciendo, pero paulatinamente su crecimientosera menor, tiene que ser convexa. Al llegar a B su pendiente tiene que ser igual a cero.

5) A partir de B, F tiene que ser decreciente, puesto que su derivada f es negativa, y tieneque bajar cada vez mas hasta llegar a C, que sera el punto de maxima bajada.

6) F tiene que llegar al final con pendiente cero.

Esta es la representacion de un esbozo de la grafica de F (x). La vuestra se tendrıa queparecer a esta, por lo menos en los rasgos principales.

6.1. La diferencia entre dos primitivas de una misma constante

Por lo pronto, sabemos que las funciones del tipo F (x) =∫ x

af(t)dt son

primitivas de f(x). Pues bien, ahora la pregunta es: ¿todas las primitivas

son ası?

Si tenemos dos primitivas F1 y F2 de una misma funcion f , tendremos que:

d

dx(F1(x) − F2(x)) = F ′

1(x) − F ′2(x) = f(x) − f(x) = 0

y como resulta que una funcion que tiene derivada igual a cero tiene que

ser una constante, pues la diferencia entre dos primitivas de una funcion

siempre es constante.


Esto simplifica el trabajo que conlleva encontrar todas las primitivas de

una funcion. Solo es necesario que encontremos una y que le sumemos

una constante arbitraria.

Por ejemplo, si tenemos f(x) = 3x− 1, una primitiva sera 32x

2 − x y cual-

quier otra sera de la forma 32x

2−x+k, donde k es una constante adecuada.

Tenemos que tener muy presente lo que acabamos de exponer porque es

de gran importancia. Vamos a destacarlo:

.

Dada una primitiva F de una funcion f , cualquier otra primitiva

sera de la forma F (x) + C, donde C es una constante numerica. Lo

expresamos con la notacion:∫f(x) dx = F (x) + C.

Ejercicio 6.1.

Encontrad una primitiva de la funcion f(x) = 2 − 5x de valor 3 cuando x = 1.

A partir de estas premisas no puede ser difıcil encontrar las primitivas de las funcionesmas sencillas. Por ejemplo, la primitiva de la funcion constante f(x) = a sera ax + k,donde k es cualquier constante. Siguiendo con la misma idea, podemos saber como sonlas primitivas de las funciones potenciales. Si tenemos f(x) = xc, tendremos que tomarF (x) = 1

c+1xc+1 + k. Esto ultimo no lo podremos hacer cuando c = −1, pero no hay

ningun problema, ya que sabemos la primitiva de 1x

.

6.2. Calculo de areas mediante primitivas

Uno de nuestro objetivos es calcular integrales definidas sin utilizar las

sumas superiores ni las inferiores. La herramienta que nos permitira ha-

cerlo son las primitivas.

.

Regla de Barrow

Si F es una primitiva cualquiera de f , se cumple:

∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a).

De esta forma hallamos una manera mas facil de computar las areas o de

sumar los valores de una funcion.


Resulta facil demostrar que la regla de Barrow es cierta. SiF es una primitiva

cualquiera:

F (x) = k +∫ x

a

f(t)dt

para alguna constante k, como vimos en el apartado 6.1. Por lo tanto:

F (b) − F (a) = k +∫ b

a

f(t)dt− k −∫ a

a

f(t)dt =∫ b

a

f(t)dt.

Ejemplo 6.2.

Vamos a calcular algunas integrales definidas. Tenemos un caso muy sencillo: calculemos∫ 3

02x dx. Si lo hacemos utilizando integrales:

1) Buscamos una primitiva de f(x) = 2x, F (x) = x2.

2) Calculamos F (3) − F (0) = 9.

3) Obtenemos que∫ 3

02x dx = 9.

Si lo comprobamos de manera geometrica, diremos que es el area de un triangulo de base3 y altura 6, es decir, que vale 9.

Otro caso: calculamos∫ 2

11xdx. Escribimos:

∫ 2

1

1

xdx = lnx

∣∣∣∣2

1

= ln 2 − ln 1 ≈ 0, 6931.

Aquı hemos utilizado una notacion que es practica y habitual en este tipo de calculo.

Cuando ponemos una expresion∣∣ba

detras, queremos decir que hay que evaluar laexpresion en estos dos valores y que tenemos que restar, tal y como lo hemos hechoarriba.

En los ejercicios del final del apartado podreis practicar un poco todo lo que estamosviendo.

6.3. Aplicaciones de la integral

En las aplicaciones, la integral aparece muy a menudo como un mecanismo

de suma acumulativa de una magnitud que nos da un ritmo o una velocidad

de un proceso con respecto al tiempo.

Si conocemos la velocidad instantanea de un movil V (t), la integral nos

proporcionara la distancia a la que se encuentra el movil con respecto al

punto inicial cuando hayan pasado t unidades de tiempo. Si V (t) = 3 + 5t,

donde t son segundos, entonces:

∫ 2

0

(3 + 5t) dt = F (2) − F (0),

donde F es alguna primitiva de 3+5t, por ejemplo, 3t+(52 )t2. El resultado

sera 16, lo cual nos indica que el movil estara a 16 unidades de distancia

del punto original.


6.4. Las unidades de la integral

En correspondencia con el apartado 2.5, en el que analizabamos las unida-

des que tienen que corresponder a la derivada, aquı discutimos sobre las

unidades que le tenemos que asignar a la integral, si es que las variables

involucradas las tienen.

Si recordamos las operaciones que llevamos a cabo para calcular la integral,

tenemos que volver hasta la definicion de las sumas superiores o inferiores,

donde multiplicamos valores x por valores maximos (o mınimos) de f(x)

y sumamos estos productos para aproximar las areas bajo la curva. Por lo

tanto, la magnitud de la integral es la magnitud producto de x por f(x).

Ası, si tenemos que f(t) es la velocidad instantanea que se mide en metros

por segundo, la distancia∫f(t) dt se medira en (m/s) × s, es decir, en

metros.

6.5. Todavıa algo mas sobre notaciones

Ahora que ya lo hemos dicho casi todo sobre las integrales, nos gustarıa

insistir un poco en la posible confusion que pueden producir las diferentes

notaciones que se utilizan.

Las notaciones: ∫ b

a

f(x) dx o∫ x

a

f(t) dt

no presentan demasiados problemas por el momento; pero, ¿que quiere

decir la notacion, que se usa muy a menudo:∫f(x) dx?

Cuando escribimos, por ejemplo,∫x2 dx, con esta notacion representare-

mos todas las primitivas de la funcion x2. Por este motivo escribimos:∫x2 dx =

x3

3+ C

y con esta C indicamos que en su lugar puede ir una constante cualquiera.

6.6. Ejercicios

6.2. Calculad las siguientes integrales definidas:

a)∫ 5

1(x +

√x)dx.

b)∫ 2

−1x(1 − x)dx.


6.7. Solucionario

6.1. F (x) = 2x− 52x2 + k, F (1) = 3 ⇒ k = 7

2.

6.2.a) Recordad que para calcular una integral definida, hay que encontrar la primitiva y evaluarlaen los extremos. Es decir:∫ 5

1

(x +√x)dx =

x2

2+

2

3x

32

∣∣∣∣5

1

=25

2+

2

35√

5 −(

1

2+

2

3

)� 18, 79.

b) En este caso, primero tenemos que calcular el producto que aparece dentro de la integral:

∫ 2

−1

x(1 − x)dx =

∫ 2

−1

(x− x2)dx =x2

2− x3

3

∣∣∣∣2

−1

= 2 − 8

3−

(1

2+

1

3

)= −1, 5.


7. El calculo de integrales.

En este apartado y en el siguiente mostraremos las tecnicas basicas que

permiten calcular integrales de manera mecanica. Puede que algunos de

vosotros no tengais mucha practica, ası que, para facilitar vuestra tarea,

vamos a dedicar este apartado al repaso de los casos mas sencillos.

7.1. Integrales de funciones polinomicas y potenciales

Las reglas basicas que tenemos que aplicar son las que hemos visto en

el ultimo apartado: la integral de una suma es la suma de las integrales,

y para integrar una funcion potencial hacemos lo contrario que cuando

derivamos, es decir, sumamos 1 al exponente y dividimos por el exponente

obtenido.

A la hora de calcular la integral indefinida de una funcion, es suficiente

encontrar una primitiva y sumarle una constante.

Ejemplo 7.1.

Calculamos∫

(t4 − t2)dt.∫(t4 − t2)dt =

∫t4dt−

∫t2dt =

1

5t5 − 1

3t3 + C.

Comprobacion: ddt

( 15t5 − 1

3t3 + C) = t4 − t2.

Ejemplo 7.2.

Calculamos∫

(ax−2 + 2)dx.∫(ax−2 + 2)dx = a

∫x−2dx +

∫2dx = −ax−1 + 2x + C.

Ejemplo 7.3.

Calculamos∫

(e2x − 1x)dx. Ya sabemos la integral del segundo sumando, es: − lnx, pero

en el primer sumando tenemos que observar que hay 2x. La derivada de e2x es 2e2x, asıque, si al derivar queremos obtener solo e2x, tenemos que hacer:∫

(e2x − 1

x)dx =

1

2e2x − lnx + C.


7.2. Integrales definidas e integrales indefinidas

Como ya hemos visto, una integral definida corresponde al calculo de un

area con las oportunas correcciones de signo. El calculo de la integral

definida consiste en encontrar, en primer lugar, una primitiva, y despues,

en evaluarla en los dos extremos. La diferencia de valores obtenidos nos

da el resultado final. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 7.4.

Para calcular∫ 3

−2(x3 − 1

2x)dx, tenemos que encontrar una primitiva y despues evaluarla

en los extremos:∫ 3

−2

(x3 − 1

2x)dx =

1

4x4 − 1

4x2

∣∣∣∣3

−2

=1

434 − 1

432 −

(1

4(−2)4 − 1

4(−2)2

)= 15.

Ejemplo 7.5.

Calculemos: ∫ −5

−1

3ax−4dx.

Una primitiva es −ax−3 y la solucion es − 124a125

.

Ejemplo 7.6.

Calculemos: ∫ t2

t

dx

x.

La primitiva de la funcion 1x

es inmediata. Ası:

∫ t2

t

dx

x= ln |x|

∣∣∣∣t2

t

= ln t2 − ln |t| = 2 ln |t| − ln |t| = ln |t|.

Ejemplo 7.7.

Calculamos a con el fin de que el area por debajo de la curva x34 entre x = 1 y x = a

sea 1. ∫ a

1

x34 dx =

4

7x

74

∣∣∣∣a

1

= 1,

de donde deducimos que a =(

114

) 47 ≈ 1, 7826.

Ejemplo 7.8.

Calculemos: ∫ 5

0

2−xdx.

Para encontrar una primitiva de 2−x, observamos que ddx

2−x = −(ln 2)2−x, lo cual nos

indica que, dividiendo por − ln 2, ddx

(− 2−x

ln 2) = 2−x. Por lo tanto:

∫ 5

0

2−xdx = −2−x

ln 2

∣∣∣∣5

0

=1 − 2−5

ln 2≈ 1, 4.


7.3. Integrales impropias

Antes de seguir adelante con las tecnicas de integracion, os queremos

mostrar que en algunos casos es posible calcular areas por medio de integrales

definidas, a pesar de que propiamente no lo son.

Como primer ejemplo,...

... observad la grafica de lafuncion f(x) = 2−x que nosdibuja el programa degraficas.

Tal y como acabais de calcular (ejemplo 7.8.), el area por debajo de esta

curva entre la abscisa 0 y 5 es aproximadamente 1,4. No obstante, esta

curva no acaba en x = 5. De hecho, la curva nunca llega a tocar el eje

horizontal, lo cual significa que podemos calcular el area entre 0 y x para

valores de x tan grandes como queramos; ası, calcularemos el area de una

figura muy larga, pero al mismo tiempo muy estrecha en la punta. Si

hacemos que x tienda a infinito, es posible calcular el area de la figura

completa. El resultado sera:

limx→∞

1 − 2−x

ln 2=

1ln 2

.

Nos hemos encontrado, pues, con algo curioso: una figura ilimitada pero

sin area infinita, como quiza alguien habıa pensado de entrada. La forma

habitual de anotar este calculo es:

∫ +∞

0

2−xdx =1

ln 2. !

Sin embargo, es necesario estar alerta a la hora de interpretar de manera

correcta esta integral desde 0 hasta infinito, pues siempre se tiene que

interpretar como el lımite que hemos visto antes. Ahora vamos a ver otros

ejemplos.

Ejemplo 7.9.

Calculamos∫ +∞1

x−2dx.

Y esto significa calcular∫ a

1x−2dx y despues hacer que a → +∞.

Y esto cuando a a → +∞, nos da 1.


Ejemplo 7.10.

En otros casos, el area ilimitada no corresponde a valores de x muy grandes. Por ejemplo,si introducıs en el programa de graficas la funcion y = 1√

xentre 0 y 2, vereis que cuando

se acerca al eje vertical, la grafica se dispara hacia valores muy elevados de Y . Por lotanto, estamos ante otro caso de zona ilimitada. Llegados a este punto, la pregunta es:¿tambien aquı el area es finita?

Tendremos que utilizar un truco parecido al de antes:∫ 2

0

dx√x

= limh→0+

∫ 2

h

dx√x

= limh→0+

[2√x]2h = lim

h→0+[2√

2 − 2√h] = 2

√2.

7.4. Ejercicios

7.1. Calculad las integrales que teneis a continuacion:

a)∫ (

x− 3x2 + 1√

x

)dx.

b)∫ (

3x

+ 2)dx.

c)∫ 0

−∞ e2xdx.

7.2. ¿Para que valores del parametro p es finita el area por debajo de la curva y = 1xp entre

las abscisas x = 0 y x = 1?

7.5. Solucionario

7.1.a) Reescribimos la integral para facilitar su calculo, y lo hacemos en tres integrales de funcionespotenciales, cuyo resultado es:∫ (

x− 3x−2 + x− 12

)dx =

x2

2+ 3x−1 + 2x

12 + C.

b) Recordad que la derivada del logaritmo vale 1x

. Por tanto:∫ (3

x+ 2

)dx = 3 lnx + 2x + C.

c) Teniendo en cuenta que uno de los lımites es infinito, tendremos que resolver primero laintegral

∫ 0

ae2xdx y evaluar el resultado cuando a −→ −∞, es decir:

∫ 0

a

e2xdx =1

2e2x

∣∣∣∣0

a

=1

2− 1

2e2a.

Entonces, para terminar:

lima→−∞

1

2− 1

2e2a =

1

2.

7.2. Observamos que si p < 0, la funcion es potencial y el area es finita porque la region esacotada.

Si p = 0, la region es un cuadrado de lado 1.

Si p > 0, la funcion 1xp presenta una asıntota vertical en el punto x = 0 y la region esta

acotada; el area puede ser finita o infinita. Podemos salir de dudas calculando:

Ip =

∫ 1

0

1

xpdx = lim

h→0

∫ 1

h

1

xpdx.


Si p = 1, I1 = limh→0

∫ 1

h

1

xdx = lim

h→0(ln 1 − lnh) = +∞.

Si p �= 1, Ip = limh→0

∫ 1

h

x−pdx = limh→0

1−p+1 − h−p+1

−p + 1=

{1

−p+1si p < 1

∞ si p > 1

Conclusion: el area es finita solo cuando p < 1.


8. Metodos generales de calculo de integrales.

En este apartado presentaremos algunos metodos de integracion que os van

a ser utiles un poco mas adelante para esta misma asignatura o para otras.

Nuestra pretension no es que os convirtais en una maquina calculadora de

integrales, pero es importante entender como funcionan estas tecnicas y

saberlas aplicar.

8.1. Integracion por partes

Una de las tecnicas mas utiles para encontrar derivadas primitivas se basa

en la regla de la derivada del producto:

d

dx(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

Aislando el segundo sumando de la derecha e integrando a derecha e

izquierda, tenemos la regla de integracion por partes:

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) −

∫f ′(x)g(x)dx

Esta regla es util siempre que podamos descomponer el integrando en dos

partes: una que resulta facil de integrar y otra que se simplifica en gran

medida al derivarla.

Ejemplo 8.1.

Para calcular∫

x lnx dx, tomamos f(x) = ln x y g′(x) = x, con g(x) = x2

2, y podremos

aplicar la regla anterior:

∫x lnx dx = lnx · 1

2x2 −

∫1

x

1

2x2dx =

1

2x2 lnx− 1

2

1

2x2 + C.

Obtenemos como resultado final: x2 ln x− 12

2+ C.


Ejemplo 8.2.

Para calcular∫

xexdx, tomamos f(x) = x, ya que cuando la derivamos obtenemosuna constante y g′(x) = ex, que es facil de integrar: g(x) = ex. Tendremos:∫

xexdx = xex −∫

1 · exdx = xex − ex + C.

Haced la prueba vosotros mismos y averiguad que hubiera pasado si hubiesemos tomadof(x) y g(x) al reves; vereis que no nos habrıa servido de nada.

Esta tecnica se denomina integracion por partes. Puede que os pregunteis como seaverigua si una integral se puede resolver por partes y como se descompone en los dosfactores de la manera correcta. La unica respuesta que podemos dar es que con la practicase aprende a hacerlo.

Ejemplo 8.3.

Antes de que hagais los ejercicios del final del apartado, os presentamos un ultimo ejemplo:calculemos

∫lnx dx.

Nos direis: ¿como descomponemos esto si solo tenemos lnx? Pues bien, tomamos f(x) =lnx y g′(x) = 1. Tendremos g(x) = x y, por lo tanto:∫

lnx dx = lnx · x−∫

x1

xdx = x lnx− x + C.

8.2. Cambio de variable

La otra tecnica para encontrar primitivas tiene la regla de la cadena como

base, regla que, por otra parte, ya conoceis. La regla de la cadena nos

indica que si tenemos una funcion f(u) que sabemos integrar y, en lugar

de u ponemos alguna otra funcion de x, u = g(x), entonces:

∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du, (u = g(x)).

Es decir, que no hay cambios si sustituimos:

g(x) por u y g′(x)dx por du.

Despues integramos con respecto a u y, ya para acabar, volvemos a sustituir

u por g(x).

A continuacion, veamos algunos ejemplos que nos ayudaran a comprender

la tecnica de sustitucion.

Ejemplo 8.4.

Calculamos∫

2xx2+5

dx. Ponemos u = g(x) = x2 + 5 y tendremos como resultadog′(x) = 2x, con lo cual podemos hacer:

∫2x

x2 + 5dx =

∫g′(x)

g(x)dx =

∫du

u


y dado que conocemos esta ultima integral (es igual a lnu), podemos escribir:

∫2x

x2 + 5dx = ln(x2 + 5) + C.

Ejemplo 8.5.

Para calcular: ∫ex

3√1 + exdx

introducimos la nueva variable u = 1+ ex. Tendremos, entonces du = ex dx y podremosaplicar la sustitucion: ∫

ex

3√1 + exdx =

∫13√u

du.

La ultima integral es∫

u− 13 du = 3

2u

23 + C y, por lo tanto, nuestra integral inicial es:∫

ex

3√1 + exdx =

3

2(1 + ex)

23 + C.

8.3. Cambio de variables en integrales definidas

Para calcular una integral definida por cambio de variable se puede deter-

minar la integral definida como se ha explicado y, tras haber deshecho

la sustitucion, aplicar la regla de Barrow sobre la primitiva (consultad el

apartado 6.2.). Sin embargo, tambien se puede llevar a cabo la sustitucion

directamente.

.

Si tenemos una integral definida escrita en la forma:

∫ b

a

f(g(x))g′(x) dx

y tomamos a∗ = g(a) y b∗ = g(b), la integral resultante por sustitucion

tiene el mismo valor, es decir:

∫ b∗

a∗f(u)du =

∫ b

a

f(g(x))g′(x) dx.

Se puede comprobar facilmente que esto es cierto, ahora lo veremos. Su-

pongamos que F es una primitiva de f :

∫ b∗

a∗f(u)du = F (b∗) − F (a∗) = F (g(b)) − F (g(a)) =

=∫ b

a

d

dxF (g(x)) dx =

∫ b

a

F ′(g(x))g′(x) dx =

=∫ b

a

f(g(x))g′(x) dx.


Ejemplo 8.6.

Cuando os dispongais a calcular∫ e

1ln xx

dx es facil que se os ocurra el cambio de la variabley = lnx. Para llevar a cabo la sustitucion, necesitamos calcular y′(x) dx, que normalmentese escribe:

dy = y′ dx =1

xdx.

En cuanto a los extremos de integracion, puesto que 1 = ln e y 0 = ln 1, haremos:∫ e

1

lnx

xdx =

∫ 1

0

y dy =y2

2

∣∣∣∣1

0

=1

2.

Ejercicio 8.1.

Calculad las siguientes integrales:

a)∫

xex

dx.

b)∫

(lnx)2 dx.

c)∫

x2 lnx dx.

d)∫

3√3 + 2x dx.

e)∫

ln xx

dx.

f)∫

2ex

1+exdx.

8.4. Integracion de funciones racionales

En este apartado nos disponemos a presentar un metodo para calcular

primitivas de funciones racionales, es decir, funciones del estilo f(x) =

= P (x)Q(x) , donde P (x) y Q(x) sean polinomios. Un caso sencillo de este tipo

es cuando Q(x) es de primer grado.

Ejemplo 8.7.

Calculo de I =∫

x2−x+1x+2

dx.

Si hacemos la division polinomica de x2 − x + 1 per x + 2, obtenemos cociente x − 3 y Comentario

La division polinomica esanaloga a la division deenteros. Si dividimos 27 entre4, el resultado es cociente 6 yresto 3. Podemos comprobarque no nos hemosequivocado mediante laprueba de la division:27 = 4 × 6 + 3.

resto 7, es decir, x2 −x+1 = (x+2)(x−3)+7. Ahora, nuestra funcion racional presentaotro aspecto:

x2 − x + 1

x + 2=

(x + 2)(x− 3) + 7

x + 2= (x− 3) +

7

x + 2.

Se ha convertido en la suma de un polinomio y una fraccion simple, ambos faciles deintegrar:

I =

∫ (x− 3 +

7

x + 2

)dx =

x2

2− 3x + 7 ln |x + 2| + C.

Pero, ¿que haremos cuando el polinomio Q(x) del denominador sea de grado mayorque 1?

Ejemplo 8.8.

Calculamos I =∫

dxx2−5x+6

.

Descomponemos, si es posible, el polinomio x2 − 5x+6 en dos factores de primer grado.Para hacerlo, tendremos que buscar las soluciones de x2 − 5x + 6 = 0, que son x = 2 y


x = 3, y ya tenemos que x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3). Y ahora empezamos a manipularla funcion racional hasta que adopte una forma facil de integrar:

1

x2 − 5x + 6=

1

(x− 2)(x− 3)=

1

x− 3− 1

x− 2(comprobad este ultimo paso).

Por ultimo:

I =

∫ (1

x− 3− 1

x− 2

)dx = ln |x− 3| − ln |x− 2| + C = ln

∣∣∣x− 3

x− 2

∣∣∣ + C.

A continuacion exponemos un metodo que permite calcular∫ P (x)

Q(x)dx, siempre

y cuando todas las raıces de Q(x) sean reales.

8.5. Metodo general

En general, una función racional se puede escribir y = Pm(x)Qn(x) , siendo Pm(x)

un polinomio de grado m y Qn(x) un polinomio de grado n. Se trata, en

este caso, de estudiar el metodo que hay que seguir para calcular integrales

de la siguiente forma:

I =∫

Pm(x)Qn(x)

dx.

Si m ≥ n se puede dividir Pm(x) por Qn(x), es decir, obtener C(x) y R(x)

tal que Pm(x) = C(x)Qn(x)+R(x), siendo R(x) ≡ 0 o bien, grado R(x) < n.

Por lo tanto, la integral se puede descomponer:

I =∫

Pm(x)Qn(x)

dx =∫ [

C(x) +R(x)Qn(x)

dx

]=

∫C(x) dx +

∫R(x)Qn(x)

dx

La primera integral es la de una funcion polinomica, motivo por el cual

el problema queda reducido al estudio del sistema de resolucion de la

segunda integral: la de una funcion racional en la que el numerador es de

grado inferior al denominador. Para el caso particular R(x) ≡ 0, tendremos∫ R(x)Qn(x)dx = C.

El metodo que nosotros vamos a seguir requiere, en todos los casos, que

el polinomio del denominador se encuentre descompuesto en factores, es

decir, que se conozcan las raıces del denominador. !

A continuacion, calcularemos las integrales racionales mas sencillas que se

presentan, y despues veremos los diferentes casos que se pueden dar y que

siempre se resuelven utilizando estas integrales.


8.6. Integrales racionales de uso frecuente

Basicamente hay cuatro tipos de integrales racionales, que son: Nota

En algunas ocasiones nosinteresa, pensando encalculos posteriores, expresarla constante C como lnK,con K > 0. Fijaos en queesto siempre es posible.

I)

∫A

x− αdx = A

∫dx

x− α= A ln |x− α| + C = ln

(K|x− α|A

).

II)

∫A(x− α)

(x− α)2 + β2dx =

A

2

∫2(x− α)

(x− α)2 + β2=

A

2ln[(x− α)2 + β2] + C =

= ln(K[(x− α)2 + β2]

A2

).

Ejemplo 8.9.∫5x− 10

3x2 − 12x + 24dx =

∫5(x− 2)

3(x− 2)2 + 12dx =

5

6

∫2(x− 2)

(x− 2)2 + 4dx =

=5

6ln |(x− 2)2 + 4| + C = ln

(K|x2 − 4x + 8| 56

).

III)

∫A

(x− α)2 + β2dx =

A

β2

∫dx(

x−αβ

)2 + 1=

Aβ

β2

∫ 1β dx(

x−αβ

)2 + 1=

=A

βarctan

(x− α

β

)+ C.

Ejemplo 8.10.

∫6

x2 − 4x + 13dx =

∫6 dx

(x− 2)2 + 9=

6 · 39

∫13dx(

x−23

)2+ 1

=

= 2arctan

(x− 2

3

)+ C.

IV)

∫dx

(x− α)m=

∫(x− α)−m dx =

(x− α)−m+1

−m + 1+ C =

=1

(1 −m)(x− α)m−1+ C.

Ejemplo 8.11.∫dx

(x− 1)7=

∫(x− 1)−7 dx =

(x− 1)−6

−6+ C =

−1

6(x− 1)6+ C.


8.7. Integrales racionales en las que el denominador

solo tiene raıces reales simples

Supongamos que la ecuacion Qn(x) = 0 tiene todas las soluciones reales y

diferentes. En tal caso, tendremos:

Qn(x) = a(x− α1)(x− α2) . . . (x− αn), a ∈ IR, αi ∈ IR, ∀i = 1, . . . , n.

Esto nos permite realizar la siguiente descomposicion en fracciones simples:

R(x)Qn(x)

=1a

[A1

x− α1+

A2

x− α2+

An

x− αn

]

siendo los numeradores Ai ∈ IR,∀i = 1, 2, . . . , n,, constantes que se pueden

determinar por identificacion de los dos miembros de la igualdad.

Con esta descomposicion, tras conocer las constantesAi, la integral racional

dada queda reducida a una suma de integrales que son inmediatas.

Ejemplo 8.12.

I =

∫x2 − 1

3x3 − 11x2 + 12x− 4dx.

Descomponemos el denominador aplicando la regla de Ruffini:

Comentario

Otra manera de calcular A1 yA2 es sustituyendo las dosraıces del polinomio deldenominador, 2 y 2

3, en la

igualdad:

x + 1 = A1

(x− 2

3

)+

+A2(x− 2).

Ası:x = 2 ⇒ 3 = 4

3A1

x = 23⇒ 5

3= − 4

3A2.

Es decir: A1 = 94, A2 = − 5

4.

3 -8 4 0

3 -11 12 -43 -8 41

Ası, 3x2 − 8x + 4 = 0 ⇒ x = 2, x = 23.

Por lo tanto, 3x3 − 11x2 + 12x− 4 = 3(x− 1)(x− 2)(x− 2

3

).

Por este motivo tenemos:

I =

∫(x + 1)(x− 1)

3(x− 1)(x− 2)(x− 2

3

) dx =

∫(x + 1)

3(x− 2)(x− 2

3

) dx =

=1

3

x + 1

(x− 2)(x− 2

3

) =1

3

[A1

x− 2+

A2(x− 2

3

)]=

=A1

(x− 2

3

)+ A2(x− 2)

3(x− 2)(x− 2

3

) =(A1 + A2)x− 2

3A1 − 2A2

3(x− 2)(x− 2

3

) .

Igualando los numeradores nos queda:

x + 1 = (A1 + A2)x− 2

3A1 − 2A2 ⇒ A1 + A2 = 1

− 23A1 − 2A2 = 1

}⇒ A1 =

9

4, A2 = −5

4.


Por lo tanto, la integral tiene como resultado:

I =

∫1

3

[94

x− 2+

− 54

x− 23

]dx =

3

4ln |x− 2| − 5

12ln

∣∣x− 2

3

∣∣ +C = ln

[K 12

√|x− 2|9∣∣x− 2

3

∣∣5].

Ejemplo 8.13.

Calculamos I1 =∫

dxx2−a2 I2 =

∫1

a2−x2 dx.

1

(x2 − a2)=

1

(x− a)(x + a)=

A

x− a+

B

x + a=

A(x + a) + B(x− a)

x2 − a2=

=(A + B)x + (A−B)a

x2 − a2.

Igualando los numeradores, obtenemos:

(A + B)x + (A−B)a = 0 · x + 1 ⇒ A + B = 0

A−B = 1a

}⇒ A =

1

2a,B = − 1

2a.

1

a2 − x2=

1

2a

( 1

x− a− 1

x + a

).

Por lo tanto, I1 = 12a

∫ (1

x−a− 1

x+a

)dx = 1

2a

[ ∫1

x−adx−

∫1

x+adx

]=

=1

2a(ln |x− a| − ln |x + a|) + C =

1

2aln

∣∣x− a

x + a

∣∣ + C.

Puesto que I2 = −I1, resulta que:

I2 =

∫1

a2 − x2dx = −

∫1

x2 − a2dx =

1

2aln

∣∣x + a

x− a

∣∣ + C.

8.8. Integrales racionales en las que el denominador solo tiene

raız real multiple

Supongamos que la ecuacion Qn(x) = 0 tiene una raız real multiple de

orden n. Entonces tendremos: Qn(x) = a(x− α)n.

Podemos suponer que el polinomioQn(x) esta normalizado, es decir, a = 1.

En caso contrario, solo tenemos que extraer el factor 1a fuera de la integral.

Este hecho nos permite llevar a cabo la descomposicion en fracciones

simples:

R(x)(x− α)n

=An

(x− α)n+

An−1

(x− α)n−1+ . . . +

A2

(x− α)2+

A1

(x− α),

siendo los numeradores Ai ∈ IR,∀i = 1, 2, . . . , n constantes que se pueden

determinar por igualacion, como se ha visto antes.

Con esta descomposicion la integral racional se ve reducida a una suma de

integrales que son inmediatas.


Ejemplo 8.14.

Calculemos I =

∫x3 + 1

(x− 1)4dx.

Empecemos por descomponer la funcion racional en fracciones simples:

x3 + 1

(x− 1)4=

A4

(x− 1)4+

A3

(x− 1)3+

A2

(x− 1)2+

A1

x− 1=

=A4 + A3(x− 1) + A2(x− 1)2 + A1(x− 1)3

(x− 1)4=

=A1x3 + (A2 − 3A1)x2 + (A3 − 2A2 + 3A1)x + (A4 −A3 + A2 −A1)

(x− 1)4.

Igualamos los numeradores:

x3 + 1 = A1x3 + (A2 − 3A1)x2 + (A3 − 2A2 + 3A1)x + (A4 −A3 + A2 −A1).

Esta es una igualdad entre polinomios. Dos polinomios son iguales si, y solo si, tienenlos mismos coeficientes. Ası pues, la ecuacion anterior conduce al sistema de ecuaciones:

1 = A1

0 = A2 − 3A1

0 = A3 − 2A2 + 3A1

1 = A4 −A3 + A2 −A1

⎫⎪⎬⎪⎭

cuyas soluciones son A1 = 1, A2 = 3, A3 = 3, A4 = 2. Por lo tanto, la primitiva buscadaes:

I =

∫ (2

(x− 1)4+

3

(x− 1)3+

3

(x− 1)2+

1

x− 1

)dx =

= − 2

3(x− 1)3− 3

2(x− 1)2− 3

x− 1+ ln |x− 1| + C.

8.9. Ejercicios

8.2. Calculad las siguientes integrales:

a)

∫2x2 + 5x− 1

x3 + x2 − 2xdx.

b)

∫2x2 + 6x− 4

x3 + 4x2 + 4xdx.

c)

∫x3 + 7x2 + 21x + 6

x3 + 2x2 + xdx.

8.10. Solucionario

8.1. Todas estas integrales se pueden resolver por partes o bien por sustitucion. Si queremosaplicar el primer metodo, el integrando tiene que ser del tipo f(x)g′(x), en el que g′(x) tieneque ser una funcion facil de integrar. Fijaos en que las tres primeras se adaptan.

a) Sea f(x) = x y g′(x) = 1ex

= e−x. Entonces, aplicando la formula, tenemos que:∫x

exdx = x (−e−x) −

∫−e−x dx = −x e−x +

∫e−x dx =

= −x e−x − e−x + C = −e−x(x + 1) + C.

b) Igual que cuando calculabamos∫

lnx dx, tomemos f(x) = (ln x)2 y g′(x) = 1. Por lotanto: ∫

(lnx)2 dx = x (lnx)2 −∫

2lnx

xx dx =

= x (lnx)2 − 2

∫lnx dx = x (lnx)2 − 2(x lnx− x) + C.


c) Teniendo en cuenta que la funcion x2 es mas facil de integrar que lnx, tomaremosf(x) = lnx y g′(x) = x2. Entonces tenemos que:∫

x2 lnx dx =x3

3lnx−

∫x3

3xdx =

=x3

3lnx− 1

3

x3

3=

x3

3(lnx− 1

3) + C.

Podemos resolver las integrales que se siguen por el metodo de sustitucion. Para aplicareste metodo necesitamos tener una composicion de funciones en el integrando, f(g(x)),multiplicada por g′(x). En algunas ocasiones, si queremos tener g′(x), tendremos que multi-plicar y dividir por una constante.

d) En este caso utilizaremos f(g(x)) = 3√3 + 2x, siendo g(x) = u = 3+2x y, en consecuencia,g′(x) = 2. Observad que para obtener g′(x) tendremos que multiplicar y dividir por 2.Entonces: ∫

3√3 + 2x dx =1

2

∫2 3√3 + 2x dx =

1

2

∫3√u du =

=3

8u

43 + C =

3

8(3 + 2x)

43 + C.

Recordad que es necesario expresar el resultado en funcion de la variable original.

e) Prestad atencion al hecho de que en este caso podeis tomar f(x) = x y, por lo tanto,f(g(x)) == g(x) = u = lnx. Entonces:∫

lnx

xdx =

∫u du =

u2

2+ C =

(lnx)2

2+ C.

f) En caso de que tengamos un cociente, puede que sea conveniente que tomemos g(x) comodenominador y f(x) = 1

x. Si lo hacemos ası, en tal caso tendremos que g(x) = u = 1 + ex y

f(g(x)) = 11+ex

y g′(x) = ex.

∫2ex

1 + exdx = 2

∫ex

1 + exdx = 2

∫1

udu = 2 lnu + C =

= 2 ln(1 + ex) + C.

8.2.a) Puesto que x3 +x2 −2x = x(x−1)(x+2), podemos encontrar A1, A2, A3, de manera que:

2x2 + 5x− 1

x3 + x2 − 2x=

A1

x+

A2

x− 1+

A3

x + 2=

=A1(x− 1)(x + 2) + A2x(x + 2) + A3x(x− 1)

x(x− 1)(x + 2)=

=(A1 + A2 + A3)x2 + (A1 + 2A2 −A3)x− 2A1

x(x− 1)(x + 2).

Y ahora igualamos numeradores y con ello obtenemos el sistema de ecuaciones:

−1 = −2A1

5 = −A3 + 2A2 + A1

2 = A3 + A2 + A1

⎫⎬⎭

cuyas soluciones son A1 = 12

, A2 = 2, A3 = − 12

. Ası pues:∫2x2 + 5x− 1

x3 + x2 − 2xdx =

1

2

∫dx

x+ 2

∫dx

x− 1− 1

2

∫dx

x + 2=

=1

2ln |x| + 2 ln |x− 1| − 1

2ln |x + 2| + C =

= ln

((x− 1)2

√x√

x + 2

)+ C.

b) Puesto que x3 + 4x2 + 4x = x(x + 2)2, podemos encontrar A1, A2 y A3 de manera que:

2x2 + 6x− 4

x3 + 4x2 + 4x=

A1

x+

A2

x + 2+

A3

(x + 2)2=

=A1(x + 2)2 + A2x(x + 2) + A3x

x(x + 2)2=

=(A1 + A2)x2 + (4A1 + 2A2 + A3)x + 4A1

x(x + 2)2.


Igualamos numeradores y obtenemos el sistema de ecuaciones:

−4 = 4A1

6 = A3 + 2A2 + 4A1

2 = A2 + A1

⎫⎬⎭

que tiene por solucion A1 = −1, A2 = 3 y A3 = 4. Ası pues:∫2x2 + 6x− 4

x3 + 4x2 + 4xdx = −

∫dx

x+ 3

∫dx

x + 2+ 4

∫dx

(x + 2)2=

= − ln |x| + 3 ln |x + 2| − 4

x + 2+ C =

= ln

∣∣∣∣ (x + 1)3

x

∣∣∣∣ − 4

x + 2+ C.

c) Dado que x3 + 7x2 + 21x + 6 = (x3 + 2x2 + x) · 1 + (5x2 + 20x + 6), entonces:∫x3 + 7x2 + 21x + 6

x3 + 2x2 + xdx =

∫1 dx +

∫5x2 + 20x + 6

x3 + 2x2 + xdx.

Si queremos calcular una primitiva de la funcion racional restante, tendremos en cuenta quex3 + 2x2 + x = = x(x + 1)2 y, por lo tanto, encontraremos A1, A2 y A3 tales que:

5x2 + 20x + 6

x3 + 2x2 + x=

A1

x+

A2

x + 1+

A3

(x + 1)2=

=A1(x + 1)2 + A2x(x + 1) + A3x

x(x + 1)2.

Tras igualar numeradores, obtenemos 5x2 +20x+6 = A1(x+1)2 +A2x(x+1)+A3x; ahoradamos tres valores diferentes a x (por ejemplo, x = 0, x = −1 y x = 1) y vamos a parar alsistema de ecuaciones:

6 = A1

−9 = −A3

31 = A3 + 2A2 + 4A1

⎫⎬⎭

cuya solucion es A1 = 6, A2 = −1 y A3 = 9. Para finalizar:∫x3 + 7x2 + 21x + 6

x3 + 2x2 + xdx =

∫1 dx +

∫5x2 + 20x + 6

x3 + 2x2 + xdx =

= x + 6

∫dx

x−

∫dx

x + 1+ 9

∫dx

(x + 1)2=

= x + ln

∣∣∣∣ x6

x + 1

∣∣∣∣ − 9

x + 1+ C.


9. Los principales teoremas del calculo.

A lo largo de este apartado compilaremos los principales resultados teoricos

que hemos ido viendo desde un principio. Algunos ya los hemos enuncia-

do, pero tambien hay cosas nuevas que veremos.

9.1. Teoremas de continuidad

Un primer hecho importante sobre las funciones continuas es el siguiente:

.

Si f es una funcion continua en un intervalo (a, b) y en un punto x0

de este intervalo tenemos f(x0) > 0, entonces existe un entorno U

de x0 tal que f(x) > 0∀x ∈ U .

Esta propiedad de las funciones continuas se puede expresar de otras ma-

neras. Podemos decir que si para x = x0, la funcion cumple y1 < f(x) < y2,

tambien lo tiene que cumplir en todo un entorno alrededor del punto x0.

Exercici 9.1.

Tenemos una funcion continua en un intervalo (a, b) y un punto x0 ∈ (a, b). ¿Es cierta laafirmacion: “Si se cumple y1 ≤ f(x0) ≤ y2 para dos numeros y1, y2, existe un intervaloalrededor de x0 donde la desigualdad tambien se cumpla”?

El siguiente teorema tiene una gran importancia, ası como implicaciones

practicas:

. Comentario

Dicho de otra forma, elteorema de Bolzano estableceque si la grafica de unafuncion no se rompe y pasade un lado a otro del eje,necesariamente lo tiene quecruzar en algun punto.

Teorema de Bolzano

Si una funcion es continua en el intervalo cerrado [a, b] y cambia de

signo en este intervalo, es decir, f(a) < 0 < f(b) o f(a) > 0 > f(b),

entonces tiene que existir algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = 0.


La demostracion de este teorema se basa en el hecho de que una sucesion

de intervalos encajados define un numero real. En lugar de escribir la

demostracion, preferimos plantearnos una aplicacion practica.

Aplicación

Introducid la funcion f(x) = x3 − x2 − x − 3 en el programa de graficas. Si solicitamos lagrafica en el intervalo [−4, 4], veremos claramente que la funcion cambia de signo en esteintervalo y que, por lo tanto, tiene que cortar el eje horizontal en algun punto x0, dondetendremos f(x0) = 0. El objetivo es tratar de localizar este punto reduciendo el intervalo quelo incluye. Por ejemplo, podeis intentar dibujar la grafica de f(x) con el ordenador en lossiguientes intervalos:

[1 , 3] [2, 2, 2]

[2, 1, 2, 15] [2, 13, 2, 135]

[2, 13, 2, 1305] [2, 1303 , 2, 1305]

Por lo tanto, nuestro punto esta entre 2,1303 y 2,1305, lo cual nos permite asegurar concerteza cuales son las tres primeras cifras decimales, pero ninguna mas. Continuad adelantecon la busqueda e intentad encontrar las cinco primeras cifras decimales. ¿Os parece que esteproceso se acabara en algun momento? ¿Creeis que este sistema puede servir para encontrarlos ceros de cualquier funcion? Este procedimiento para resolver ecuaciones recibe el nombrede metodo de biseccion, y hablaremos de el en el modulo “Profundizacion en las tecnicas delcalculo”.

A continuacion vamos a ver un teorema crucial. Os recordamos que el

hecho de decir que una funcion f tiene un maximo en un punto x0 quiere

decir que f(x0) es mayor o igual que f sobre los otros puntos.

.

Teorema del maximo o de Weierstrass

Si f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces

f esta acotada en el intervalo [a, b] y, ademas, tiene que existir un

punto x0 donde f llegue a su valor maximo, es decir, que cumpla

f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b].

Este mismo teorema puede ser formulado para el mınimo.

Dicho teorema es importante a la hora de resolver problemas de optimi-

zacion, donde nos interesa asegurar que existe el valor que maximiza la

funcion. Esto sera facil si la funcion es continua en un intervalo cerrado.

Ejercicio 9.2.

Las premisas del teorema anterior son: que la funcion sea continua y que lo sea en unintervalo cerrado y finito. Aquı os pedimos que comprobeis que ninguna de estas dospremisas es superflua:

a) Encontrad un ejemplo de funcion definida en un intervalo cerrado que no llegue a suvalor maximo en ningun punto del intervalo.


b) Encontrad un ejemplo de funcion continua en un intervalo que no alcance su valormaximo en ningun punto del mismo.

Si os habeis encontrado con dificultades graves para entender lo que hemos

explicado hasta ahora, os recomendamos que volvais al apartado 1. De

todos modos, hay que tener claro que en este apartado vemos la parte mas

abstracta y mas formal del modulo.

9.2. Teoremas sobre la derivada

Aquı necesitamos recoger una serie de propiedades de las funciones deri-

vables que son importantes por sı mismas, ası como por las aplicaciones

que veremos en el modulo “Profundizacion en las tecnicas del calculo”.

Volvemos a un hecho que ya hemos discutido antes: si una funcion es

derivable en un punto, es continua en este punto. !

.

La derivada en un extremo local

Si f es una funcion derivable en un intervalo (a, b) y tiene un maximo

en x0 ∈ (a, b), f ′(x0) = 0.

Lo mismo podemos decir si se trata de un mınimo.

Demostracion

La derivada f ′(x0) que tenemos que demostrar que vale cero es igual al lımite del cociente:

C(h) =f(x0 + h) − f(x0)

h,

cuyo numerador siempre sera negativo, puesto que f(x0) es maximo. Si hacemos el lımitepor la derecha, h > 0, tenemos que C(h) ≤ 0 y, en consecuencia, el lımite tambien tieneque ser menor o igual que cero. Si hacemos el lımite por la izquierda, vemos que tieneque ser mayor o igual que cero y, dado que los dos tienen que ser iguales, la derivadatiene que ser cero.

.

Teorema de Rolle

Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y cumple f(a) = f(b),

entonces existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f ′(x0) = 0.


Demostracion

El teorema de Weierstrass nos asegura que existe algun punto x0 donde la funcion alcanzasu valor maximo y otro punto x1 donde la funcion llega a su mınimo. Puede que algunode estos puntos este en el interior del intervalo y, entonces, el teorema anterior ya nosasegura que la derivada vale cero. Si ninguno de los dos puntos esta en el interior, estossignifica que ambos se hallan en los extremos del intervalo cerrado y, en consecuencia,f(x0) = f(x1) = 0, con lo que tendremos que f(x) = 0 y f ′(x) = 0 en todos los puntosdel intervalo.

Ejercicio 9.3.

Los teoremas anteriores exigen que las funciones a las que se aplican sean derivables.Aportad ejemplos, tanto de manera grafica como analıtica, de una funcion continua quetenga un extremo local donde la derivada no exista. Y lo mismo de una funcion continuaque cumpla f(a) = f(b) en funcion de las notaciones del teorema de Rolle, pero que nocumpla la conclusion del teorema.

El teorema que presentamos ahora probablemente sea el mas importante:

.

Teorema del valor medio de la derivada

Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y consideramos su

incremento medio en el intervalo considerado:

M =f(b) − f(a)

b− a,

existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f ′(x0) = M .

Demostracion

La funcion:g(x) = f(x) − f(a) −M(x− a),

donde M es el valor medio que hemos definido en el enunciado, es una funcion quecumple los requisitos del teorema de Rolle, con g(a) = g(b) = 0. Por lo tanto, existealgun x0 tal que g′(x0) = 0. Y puesto que g′(x) = f ′(x) −M , tenemos que f ′(x0) = M .

Podemos reformular este teorema diciendo: sea como sea, una funcion

derivable entre dos puntos en algun momento vale exactamente lo mismo

que la media entre estos dos puntos. Por ejemplo, si la policıa os para en

la autopista y puede demostrar que desde el primer peaje habeis ido a una

velocidad media de 135 kilometros por hora, os podrıa poner una multa

por correr como mınimo en un momento del trayecto a 135 kilometros

por hora. Esto es lo que asegura el teorema del valor medio: es imposible

viajar a una media de 135 kilometros por hora sin ir en ningun momento

a 135 kilometros por hora.


. La figura muestra...

... graficamente el teoremadel valor medio. Esto nos dala idea de que el valor medio,el cociente entre f(b) − f(a)y b− a es precisamente lapendiente de la lınea que une(a, f(a)) con (b, f(b)). Y loque enuncia el teorema esque tiene que haber, comomınimo, un punto donde lapendiente de la curva seaigual que la de esta lınea. Enel ejemplo de la figura nosencontramos con tres puntosdonde esto sucede.

Ejercicios

9.4. Considerad la funcion f(x) = x3−2x+5 en el intervalo [0, 2]. Calculad el incrementomedio de la funcion en el intervalo dado y buscad el punto donde la derivada coincidecon el incremento medio.

9.5. Haced lo mismo que en el ejercicio anterior, pero con la funcion f(x) = 5 − 4x

en elintervalo [1, 4].

9.6. Dos unidades de la policıa de trafico equipadas con radar estan situadas en unacarretera a 8 kilometros de distancia la una de la otra. Cuando un camion pasa al ladode la primera, el radar detecta una velocidad de 90 kilometros por hora. Al cabo de4 minutos, al pasar cerca del segundo radar, la velocidad del camion resulta ser de 80kilometros por hora. ¿Se puede deducir con estos datos si el camion ha superado el lımitede velocidad de 100 kilometros por hora?

coches policíaradar

camión

8 km

t = 0 t = 4 minutos

9.3. Teoremas sobre la integral

Una de las aplicaciones de la integral que todavıa no hemos visto es que nos

permite calcular el valor medio o la media de una funcion en un intervalo.

Pero ¿que significa hacer la media de todos los valores de la funcion en

un intervalo si los valores que hay son infinitos? Podemos establecer un

paralelismo con el caso discreto y despues hacer que el numero de valores

cuya media hemos encontrado tienda a infinito.

Supongamos que queremos calcular la media µ de una funcion f en un

intervalo [a, b]. Tomamos n valores en el intervalo que se encuentren a la

misma distancia unos de otros:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b,

Tras haber realizado esta operacion, podemos aproximar la media de los

valores de f :

µ ≈ µn =1n

∑i

f(xi).

Asimismo, considerando que tenemos dividida la longitud del intervalo,

b− a, en n tramos del mismo tamaño xi+1 − xi, podemos escribir:

µn =∑i

f(xi)xi+1 − xi

b− a=

1b− a

∑i

f(xi)(xi+1 − xi).


Si ahora hacemos que n → ∞, tenemos que µn se convierte en:

1b− a

∫ b

a

f(x) dx,

que es lo que tomaremos por definicion como el valor medio de f en [a, b].

.

Teorema del valor medio para la integral

Si f : [a, b] −→ IR es continua, podemos asegurar que en algun punto

x0 ∈ [a, b] la funcion alcanza su valor medio:

f(x0) =1

b− a

∫ b

a

f.

El teorema nos indica que si construimos de manera grafica el valor medio,

el grafo de f tiene que pasar por algun punto de altura µ.

El valor medio...

... se puede interpretar demanera grafica. Puesto que laintegral es el area por debajode la funcion, y la dividimospor b− a, µ tiene que serigual a la altura de unrectangulo que tenga baseb− a y area igual al area pordebajo del grafo de f .

µ

Nos disponemos a demostrar este teorema, y para ello utilizaremos algunos

otros que ya hemos enunciado en este mismo apartado. Sabemos que la

funcion f alcanza los valores maximo y mınimo en puntos del intervalo,

que pueden ser, por ejemplo, xm y xM . El valor medio se encontrara, con

toda seguridad, entre f(xm) y f(xM ), y lo unico que tenemos que hacer para

comprobarlo es repasar la definicion. Por su parte, el teorema de Bolzano

nos permite asegurar que una funcion que toma dos valores tambien tiene

que alcanzar en algun punto cualquier valor intermedio.

Ejercicios

9.7. Calculad el valor medio de la funcion f(x) = x + 1x

en el intervalo [0, 5, 2, 5].Encontrad algun punto de este intervalo donde la funcion alcance este valor medio;haced lo mismo para f(x) = [x], el entero mayor que no es mayor que x en el intervalo[0, 5, 2, 5]. (Utilizad el ejemplo 1.2.)

9.8. Calculad el valor medio de la funcion f(x) = ln xx

en el intervalo [1, 5]. ¿Lo alcanzaen algun punto del intervalo?


9.4. Teorema fundamental del calculo

Hemos enunciado, demostrado y utilizado este teorema en apartados an-

teriores, pero conviene repetirlo aquı ya que es realmente fundamental.

.

Teorema fundamental del calculo

1) Si f : (a, b) −→ IR es continua, cualquier integral indefinida de f

es derivable y cumple F ′(x) = f(x) para toda x ∈ (a, b).

2) Cualquier funcion F que cumpla F ′(x) = f(x) en un intervalo

abierto, debe ser de la forma:

F (x) = k +∫ x

a

f

para alguna constante k y algun a del dominio de f .

9.5. Solucionario

9.1. No es cierta. El problema estriba en la parte donde se dice “menor o igual”. Por ejemplo,para la funcion f(x) = x2 nos encontramos con que f(0) ≤ 0, pero en todos los otros puntos,f(x) > 0. Otro ejemplo sencillo puede ser el de una funcion que cruce el valor en aquel punto:f(x) = 3x cumple 0 ≤ f(1) ≤ 3, pero no puede cumplir esto en ningun intervalo alrededorde x0 = 3.

9.2.a) Esto es imposible para una funcion continua. Encontramos un ejemplo si tomamos unafuncion que presente una discontinuidad en un intervalo cerrado. Os presentamos un ejemplode ello:

f(x) =1

x− 1con x ∈ [0, 2].

Os sugerimos que intenteis dibujarla para que lo veais claramente.

b) Para encontrar un ejemplo, sera necesario que el intervalo donde definimos la funcioncontinua no sea cerrado. La funcion continua mas sencilla que podemos tomar es f(x) = x,definida para x ∈ [−1, 2). Puesto que la funcion es creciente, no llegaremos nunca al maximo.

9.3. Una funcion con un extremo en x0, en el cual la derivada en x0 no existe, trazara unagrafica con una “punta” en este punto. Un ejemplo de ello es f(x) = |x| en x0 = 0. Veamoslo:

f(x) = |x| =

{x x ≥ 0

−x x ≤ 0=⇒ f ′(x) =

{1 x > 0

−1 x < 0

donde la derivada por la derecha y por la izquierda de f(x) en 0 son diferentes y, por estemotivo, no existe f ′(0). Dibujadla con el programa de graficas.

El mismo ejemplo nos servira para responder a la segunda pregunta. Si definimos f(x) = |x|en el intervalo [−1, 1], tenemos que f(x) es continua y cumple que f(1) = f(−1). En cambio,no existe ningun punto donde la derivada sea cero.

9.4. Como vemos a continuacion, el incremento medio viene dado por:

M =f(2) − f(0)

2=

9 − 5

2= 2.


Debido a que f satisface las hipotesis del teorema del valor medio, sabemos que existe unpunto x0 ∈ (0, 2) tal que f ′(x0) = M . Para calcular los posibles valores de x0, resolvemos laecuacion 3x2 − 2 = 2, cuyas soluciones son x = ± 2√

3. La unica que pertenece al intervalo

(0, 2) es x0 = + 2√3

.

9.5. El incremento medio es:

M =f(4) − f(1)

3=

4 − 1

3= 1.

Dado que f satisface las hipotesis del teorema del valor medio, sabemos que existe un puntox0 ∈ (1, 4) tal que f ′(x0) = M . Para calcular los posibles valores de x0, resolvemos la ecuacion4x20

= 1, que tiene por soluciones x = ±2; la unica que pertenece al intervalo (1, 4) es x0 = 2.

9.6. Si empezamos a contar el tiempo en el momento en que el camion llega al punto dondese encuentra el primer radar (t1 = 0), entonces t2 = 4

60= 1

15horas corresponde al instante

de paso por el segundo radar. Si designamos con d(t) la distancia recorrida en el instante t,entonces d(0) = 0, d( 1

15) = 8.

La velocidad media del camion durante el recorrido es:

d( 115

) − d(0)115

− 0=

8115

= 120 kilometros por hora.

Amparandonos en la hipotesis de que la funcion d(t) es derivable, el teorema del valormedio nos permite deducir que el camion ha viajado, en algun momento que no sabemosdeterminar, a 120 kilometros por hora.

9.7. El valor medio de f(x) = x + 1x

en el intervalo [0, 5, 2, 5] es igual a:

1

2, 5 − 0, 5

∫ 2,5

0,5

(x +

1

x

)dx =

1

2

(x2

2+ lnx

∣∣∣∣2,5

0,5

)= 2, 3.

Para encontrar el punto x0 tal que f(x0) = 2, 3, tenemos que resolver la ecuacion x+ 1x

= 2, 3,que tiene como soluciones x = 0, 58 y x = 2, 29; los dos puntos pertenecen al intervalo[0, 5, 2, 5].

No olvideis que la funcion “parte entera de x” es constante por intervalos. Ası, podemosescribir:

f(x) = [x] =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

· · ·−1 x ∈ [−1, 0)

0 x ∈ [0, 1)

1 x ∈ [1, 2)

· · ·De aquı se deduce que el valor medio en el intervalo [0, 5, 2, 5] es:

1

2, 5 − 0, 5

∫ 2,5

0,5

([x]) dx =1

2

(∫ 1

0,5

0 dx +

∫ 2

1

1 dx +

∫ 2,5

2

2 dx

)=

=1

2

(x|21 + 2x|2,52

)= 1.

Podeis ver que nos encontramos con infinitos puntos cuya imagen es 1; son todos los pertenecientesal intervalo [1, 2).

9.8. El valor medio de f(x) en el intervalo [1, 5] es:

M =1

5 − 1

∫ 5

1

lnx

xdx =

1

4

(ln2 5

2− ln2 1

2

)=

1

8ln2 5 ≈ 0, 32.

Teniendo en cuenta que f(x) es continua, el teorema del valor medio para la integral nosgarantiza que f alcanza el valor medio en algun punto x0 ∈ [1, 5]. Para encontrar x0,tendrıamos que resolver la ecuacion ln x0

x0= 1

8ln2 5. Veremos como resolver de manera apro-

ximada este tipo de ecuaciones en el modulo “Profundizacion en las tecnicas del calculo”.


Ejercicios de autoevaluacion

En los ejercicios que hallais a continuacion, solo una de las tres respuestas que se proponenes correcta; dicha respuesta la podreis encontrar en el solucionario.

Os encontrareis con preguntas faciles, de nivel medio y otras difıciles de resolver, puesto quese trata de evaluar vuestro nivel de comprension y de dominio del temario del modulo. Encaso de que os surjan dudas en el momento de responder, es mejor que dejeis la respuestaen blanco, ya que la evaluacion de este tipo de pruebas consiste en sumar 1 punto por cadarespuesta correcta y restar 0,5 por cada respuesta erronea. La cifra resultante se divide por elnumero total de preguntas y se multiplica por diez.

A no ser que considereis que mereceis un diez, es normal que dejeis en blanco entre el 10%y el 30% de las preguntas.

1. La funcion f(x) = xx−1

en el punto x = 1 no esta definida, pero podemos definir f(1) = 24.a) Se dice que la funcion presenta una discontinuidad evitable.b) La funcion no es discontinua en este punto.c) Ninguna de las respuestas anteriores.

2. La funcion f(x) = x2√x2−1

, quan x → 1+...

a) tiende a 0.b) tiende a infinito.c) Los lımites laterales existen, pero son diferentes.

3. La funcion f(x) = xα(x2 + 1), para α > 1...a) tiene lımite 0 cuando x → 0+.b) El lımite anterior no existec) Las dos respuestas anteriores son falsas.

4. La funcion definida por f(x) = x2 si x ≥ 0 y f(x) = |x| si x < 0...a) presenta una discontinuidad de salto en x = 0.b) es continua en x = 0.c) presenta una discontinuidad evitable en x = 0.

5. La funcion y = 1√x(x−1)

...

a) es continua en x = 1 ya que existe el lımite para x → 1−.b) tiene una asıntota vertical en x = −1.c) ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

6. Si sabemos que limx→0

f(x) = 0,...

a) el lımite de 1f(x)

cuando x → 0 es +∞.

b) el lımite de 1f(x)

cuando x → 0 no puede ser −∞.

c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

7. Si cuando calculamos un lımite aparece la indeterminacion ∞−∞, esto quiere decir ...a) que el lımite no existe.b) que el lımite puede ser 0.c) que el lımite es +∞ o −∞.

8. Escoged la afirmacion correcta:a) Una funcion no derivable en un punto puede ser continua en aquel punto.b) Una funcion continua en un punto tiene que ser derivable en aquel punto.c) Una funcion derivable en un punto puede tener lımite infinito en aquel punto.

9. La derivada de una funcion en un punto es...a) el cociente del lımite de incrementos en aquel punto.b) el lımite del cociente de incrementos en aquel punto.c) el incremento del cociente de lımites en aquel punto.

10. La funcion y = (1 − |x|)2 en el punto x = 0 ...a) es continua y derivable.b) no es derivable, ya que la derivada por la derecha da −2 y por la izquierda, 2.c) no es derivable, pero el motivo no es el anterior.

11. El lımite, cuando x tiende a infinito, de√x− 2 −√

x + 2 es...a) cero.b) no existe.c) es indeterminado, no se puede calcular.


12. El lımite de x2 + 1x

cuando x → 0...a) no existe.b) es infinito.c) es ±0.

13. El lımite de x2

10+x√x

cuando x → ∞...a) no existe.b) es ∞.c) depende de si nos acercamos a ∞ por la derecha o por la izquierda.

14. La funcion f(x) = x + log10 x, definida por x > 0,...a) siempre es creciente.b) es decreciente para x < 1 ya que el logaritmo es negativo.c) es creciente si en lugar de log10 ponemos el logaritmo neperiano.

15. Si tenemos x3 + y3 − 3xy = 0, aplicando la diferenciacion implıcita se obtiene ...

a) y′ = x2−yx−y2 .

b) No se puede derivar de manera implıcita esta expresion.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

16. La derivada de f(x) = −e−x es...a) ex.b) e−x.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

17. La funcion f(x) = x + lnx, x > 0 tiene una funcion inversa, g(x), lo cual quiere decirque ...

a) g′(x + lnx) = x, per a tot x > 0.

b) g′(x + lnx) = 1f ′(x)

, para todo x > 0.

c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

18. Sabeis, de dos funciones f(x) y g(x), que estan definidas en todo IR y que, para x > 0,f(x) es positiva y g(x) es negativa. Entonces ...

a) f no puede ser la derivada de g.b) g no puede ser la derivada de f .c) No se puede asegurar ninguna de las afirmaciones anteriores.

19. De una funcion f(x) definida en todo IR sabemos que siempre es creciente y que siemprees positiva.

a) Se puede asegurar que limx→∞

f(x) = ∞.

b) Se puede asegurar que limx→∞

f ′(x) = ∞.


20. Si f(t) es una funcion derivable mediante la cual obtenemos el saldo de una cuentabancaria en pesetas en el momento t ∈ [0, 10], t en años, ...

a) f ′(t) se expresara en pesetas por año.b) f ′(t) sera la cantidad de pesetas que entran o salen en un año.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

21. Si f(x) = 1

1+e1x

,...

a) f ′(x) = e1x(

1+e1x

)2

x2

.

b) f ′(x) = ln

(1 + e

1x

).

c) f ′(x) = −e1x(

1+e1x

)2

x2

.

22. La regla de la cadena que nos permite asegurar que la derivada con respecto a x de f(

1g(x)

)(suponiendo que exista) es...

a) f ′( 1g(x)

)g′(x)

g(x)2.

b) −f ′( 1g′(x)

)g(x)

g(x)2.

c) −f ′( 1g(x)

)g′(x)

g(x)2.


23. La derivada de f(x) = ax es ...a) f ′(x) = xax−1.b) f ′(x) = ex loga x.c) f ′(x) = ax ln a.

24. Una funcion que tiene la derivada segunda creciente...a) tiene que ser positiva.b) tiene que ser concava.c) Ninguna de las dos afirmaciones anteriores es cierta.

25. Si la derivada segunda en un punto es cero, ...a) la funcion es una recta.b) el punto es de inflexion.c) el punto puede ser un mınimo local.

26. Si sabemos que f ′(x0) > 0 y que f ′′(x0) = 0,...a) x0 puede ser un mınimo local de f .b) x0 puede ser un punto de inflexion de f .c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

27. Si f(x) es una funcion derivable en un punto a, se cumple...a) f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) para x en un entorno de a.b) f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) para x cerca de a.c) No se cumple ninguna de las respuestas anteriores.

28. La integral de una funcion f entre dos valores a y b es igual al area comprendida entre elgrafo de la funcion, el eje horizontal y las rectas x = a y x = b...

a) siempre.b) si f(x) es positiva y a < b.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

29. En el computo numerico de una integral, las sumas superiores y las inferiores...a) siempre son iguales.b) no pueden ser iguales.c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

30. Para calcular∫ 2

1dxx

realizamos una division del intervalo en cuatro subintervalos. Lassumas inferiores resultan...

a) 14

(1

1,25+ 1

1,5+ 1

1,75+ 1

2

).

b) 4(

11,25

+ 11,5

+ 11,75

+ 12

).


31. Sea a < b y f(x) una funcion positiva entre a y b,...a)

∫ a

bf(x) dx ≥ 0.

b)∫ a

bf(x) dx ≤ 0.

c) No se puede asegurar ninguna de las respuestas anteriores.

32. Sea f(x) una funcion continua en todo IR, definimos:

F (x) = 2 +

∫ x

0

f(t) dt.

a) Podemos asegurar que F es derivable y que F ′(x) = f(t).b) Podemos asegurar que F es derivable y que F ′(x) = f(x).c) No podemos asegurar ninguna de estas dos afirmaciones.

33. La primitiva de la funcion f(x) = 2x− 1x

, que vale 1 para x = 1, es...a) x2 − x−2 + 1.b) x2 − lnx.c) No existe esta primitiva.

34. Si una funcion f(t) nos aporta la cantidad de divisas de un paıs en dolares, donde t es eltiempo en meses, la derivada f ′(t)...

a) nos da la cantidad de divisas que entra o sale del paıs durante el mes t.b) nos da el ritmo mensual de entrada o salida de divisas en el momento t.c) acumula las divisas del paıs desde el momento 0 hasta el momento t.


35. Para calcular la integral∫

ex

ex−1dx,,...

a) la sustitucion u(x) = ex permite encontrar con facilidad la solucion.b) la sustitucion u(x) = lnx permite encontrar con facilidad la solucion.c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.

36. La integral∫ 1

0x(x− 1) dx da...

a) x2(x3− 1

2).

b) − 16

+ C.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

37. La integral impropia∫ 1

0x− 1

4 dx...

a) es igual a 43

.b) no se puede calcular, ya que x− 1

4 da infinito en x = 0.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

38. Para integrar∫

xex

dx,...a) la sustitucion u(x) = ex va muy bien.b) hay que aplicar la integracion por partes con f(x) = x, y g′(x) = e−x, y obtenemoscomo resultado −xe−x − ex + C.c) hay que aplicar la integracion por partes con f(x) = x, y g′(x) = e−x va bien, pero elresultado es diferente.

39. Si en la integral∫ 2

1ex

ex+10dx efectuamos la sustitucion u(x) = ex, tenemos que calcular...

a)∫ 2

1du

u+10.

b)∫ e2

edu

u+10.

c)∫ ln 2

0du

u+10.

40. Si f es una funcion continua en un intervalo [a, b],...a) podemos asegurar que tiene un mınimo local en el intervalo.b) podemos asegurar que tiene un maximo en el intervalo.c) podemos asegurar que f(a) = f(b) siempre que la funcion sea derivable.

41. Si f es una funcion cualquiera, definida en un intervalo [a, b] tal que f(a) < 0 < f(b),...a) se puede asegurar que en algun punto x0 ∈ [a, b] se tiene f(x0) = 0.b) se puede asegurar que en algun punto x0 ∈ [a, b] se tiene f(x0) ≈ 0.c) No se puede asegurar ninguna de estas dos afirmaciones.

42. Si f es una funcion continua en un intervalo [a, b] y es derivable en (a, b), y x0 ∈ [a, b] esel punto donde la funcion toma su valor mınimo,...

a) se puede asegurar que f ′′(x0) > 0.b) se puede asegurar que f ′(x0) = 0.c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

43. Si f es una funcion continua en un intervalo [a, b] y es derivable en (a, b), el teorema delvalor medio de la derivada nos indica que...

a) hay algun punto donde la derivada es igual a f(a)−f(b)b−a

.b) hay algun punto donde la derivada es igual a la pendiente del grafo en aquel punto.c) hay algun punto donde la derivada es igual al area comprendida debajo de la curva.

44. El valor medio de una funcion continua en un intervalo [a, b]...

a) es igual a f(b)−f(a)b−a

.

b) es igual a

∫ b

af

b−a.

c) es igual a f(a)+f(b)2

.

45. Consideremos la funcion f(x) = 1x(x+1)2

.

a) En la expresion de∫

f(x) dx no aparecen logaritmos.

b)∫

f(x) dx = ln∣∣ xx+1

∣∣ + xx+1

+ C.

c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.


46. Calculamos I =∫

3x2x2−12x+18

dx con el metodo habitual.

a) Ninguno de los sumandos de I es un polinomio

b) I = 3 ln |x− 3| − 9 1x−3

+ C.

c) I = 12

ln |x− 3| − 32

1x−3

+ C.


Solucionario1. c, 2. b, 3. a, 4. b, 5. c, 6. c, 7. b, 8. a, 9. b, 10. b, 11. a, 12. a, 13. b, 14. a, 15. a, 16. b,17. b, 18. c, 19. c, 20. a, 21. a, 22. c, 23. c, 24. c, 25. c, 26. c, 27. b, 28. b, 29. c, 30. a,31. b, 32. b, 33. b, 34. b, 35. a, 36. c, 37. a, 38. c, 39. b, 40. b, 41. c, 42. c, 43. a, 44. a,45. b, 46. a.

GlosarioDerivada de una funcion en un punto: la derivada de una funcion f en un punto a es:

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h

en caso de que este lımite exista. Cuando existe, decimos que la funcion es derivable en dichopunto.

Discontinuidades: decimosque la funcion f tiene una discontinuidad evitable en x = a La funcion...

... del apartado a del ejercicio1.2 presenta unadiscontinuidad de salto finito.Fijaos en que no importa quela funcion se encuentredefinida o no en el puntoconflictivo ni el valor quetenga allı.

cuando, cambiando o añadiendo la definicion de f(a), la funcion ya es continua en a. Silos dos lımites laterales existen pero son dos numeros diferentes, decimos que tenemos unadiscontinuidad de salto.

Funcion continua: decimos que una funcion f es continua en un punto a si el lımite def(x) cuando x tiende a este punto existe y coincide con f(a). Decimos que una funcion escontinua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo.

Integracion de funciones racionales: Pm(x), Qn(x) son polinomios de grado m y n,respectivamente:

• Si Qn(x) tiene todas las raıces reales y diferentes:∫Pm(x)

Qn(x)dx =

{polinomio + logaritmos si m ≥ n

logaritmos si m < n

• Si alguna de las raıces α de Qn(x) aparece con multiplicidad r > 1, entonces en la expresionde la primitiva de Pm(x)

Qn(x)encontraremos, ademas, los terminos 1

(x−α)k, k ≤ r.

Integracion por cambio de variable: para integrar por sustitucion tenemos que aplicar:∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du (u = g(x)).

Es decir, nada cambia si sustituimos:

g(x) por u,

g′(x)dx por du.

Despues integramos con respecto a u y, por ultimo, deshacemos el cambio remplazando upor g(x).

Integracion por partes: si queremos integrar por partes, tenemos que aplicar:∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) −

∫f ′(x)g(x)dx.

Integral como area: dada una funcion continua y positiva f en un segmento [a, b], defini-mos la integral de f en [a, b] como el area comprendida entre el grafo de f , el eje horizontaly las rectas x = a y x = b. Expresaremos este numero como:∫ b

a

f o bien

∫ b

a

f(x)dx.

Integral definida: si tomamos valores a = x0 < x1 < . . . < xn = b, que subdividen enpartes iguales el intervalo [a, b] en n tramos, y denominamos sumas inferiores al numero:


n

n∑i=1

min(f(xi−1), f(xi))

y sumas superiores al numero: nos encontraremos con que, para valores de n grandes:

SIn(f, a, b) ≤∫ b

a

f ≤ SSn(f, a, b).


Ademas, si tomamos n suficientemente grande, podemos hacer que estos tres numeros seantan parecidos como queramos (suponiendo que la funcion es continua).

Integral indefinida: dado un numero a del dominio de una funcion integrable, la funcion:

S(x) =

∫ x

a

f(t)dt

recibe el nombre de integral (indefinida) de f con origen en a.

Primitiva: la primitiva de una funcion f es la funcion que al ser derivada nos da lafuncion f .

Regla de Barrow: si F es una primitiva cualquiera de f , se cumple:∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a).

Regla de la cadena: si tenemos una funcion compuesta f(x) = g1(g2(x)), la derivada sera:

f ′(x) = g′1(g2(x)) · g′2(x).

En notacion diferencial, si z es funcion de y e y es funcion de x, tenemos que:

dz

dx=

dz

dy· dydx

.

Tasa de variacion proporcional o porcentual: la tasa de variacion porcentual o razon

de cambio relativa de una funcion f en un punto x = a es f ′(a)f(a)

.

Teorema de Bolzano: si una funcion es continua en el intervalo cerrado [a, b] y cambia designo en el intervalo, es decir, f(a) < 0 < f(b) o f(a) > 0 > f(b), entonces tiene que existiralgun punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = 0.

Teorema del maximo o de Weierstrass: si f es una funcion continua en un intervalocerrado [a, b], entonces f esta acotada en el intervalo [a, b] y, ademas, existe un punto x0

donde f alcanza su valor maximo, es decir, que cumple f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b].

Teorema del valor medio de la derivada: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b),y consideramos su incremento medio en el intervalo:

M =f(b) − f(a)

b− a,

existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f ′(x0) = M .

Teorema del valor medio para la integral: si f : [a, b] −→ IR es continua, podemosasegurar que en algun punto x0 ∈ [a, b] la funcion alcanza su valor medio:

f(x0) =1

b− a

∫ b

a

f.

Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y cumple f(a) = f(b),entonces existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f ′(x0) = 0.

Teorema fundamental del calculo: segun este teorema, tenemos que:

1) Si f : (a, b) −→ IR es continua, cualquier integral indefinida de f , F , es derivable y cumpleF ′(x) = f(x) para toda x ∈ (a, b).

2) Cualquier funcion F que cumple F ′(x) = f(x) en un intervalo abierto, tiene que ser de laforma:

F (x) = k +

∫ x

a

f

para alguna constante k y algun a del dominio de f .

Sumario

Hemos analizado los tipos de discontinuidades mas frecuentes y se han presentado algunosejemplos al respecto. Ademas, hemos podido analizar algunas tecnicas para calcular lımitesy para determinar si una funcion dada es continua.


Se ha definido el concepto de derivada de una funcion en un punto y de funcion derivada.Hemos mostrado las interpretaciones geometricas, fısicas, economicas, etc., al mismo tiempoque hemos repasado la relacion que existe entre el signo de la derivada y el comportamientode la funcion. Tambien se han podido considerar las diferentes notaciones que se utilizana la hora de anotar las derivadas y las unidades que hay que asignarles cuando las variablesinvolucradas corresponden a magnitudes con unidades determinadas.

Las reglas basicas de derivacion aparecen registradas en la tabla que tenemos a continuacion:

La función Tiene derivada Comentario

es constante

es constante

Para todo

ella misma


es constante

es constante

Para todo

ella misma


es constante

es constante

Para todo c ∈�

ella misma

Despues, tambien hemos visto algunos hechos sobre las derivadas: la relacion entre el signode la segunda derivada y la forma del grafo de la funcion, la tecnica de derivacion implıcitaaplicada al calculo de la tangente a una curva en un punto y la construccion de aproximacioneslineales y/o cuadraticas de funciones complicadas.

Hemos introducido el concepto de integral definida y sus propiedades fundamentales, laintegral indefinida como funcion que hace variar el extremo superior de integracion y suspropiedades, la relacion entre las integrales definidas y primitivas y sus aplicaciones, y, porultimo, la nocion y el calculo de integrales impropias.

Tambien hemos repasado los dos metodos generales que resultan de mayor utilidad para elcalculo de primitivas: integracion por partes y cambio de variable; hemos presentado unmetodo para calcular primitivas de funciones racionales de diferentes tipos.

Y ya para acabar, hemos recopilado los resultados fundamentales del calculo desde un puntode vista mas formal: el teorema de Bolzano, el teorema de Weierstrass, el teorema del valormedio integral y el teorema fundamental del calculo.

Bibliografía

Courant, R.; John, F. (1971). Introduccion al cálculo y al análisis matemático (vol. 1). MexicoD.F.: Limusa.

Larson, R.E.; Hostetler, R.P.; Edwards, B.H. (1995). Calculo y geometrıa analıtica(vol. 1, 5ª ed.). Santa Fe de Bogota: McGraw-Hill Interamericana.

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