Calcul Reservoirs

5/14/2018 Calcul Reservoirs

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~ 409 NOVEMBRE 1982 SERlE : THEORIES ET METHODES DE CA lCUL 2SE

,CALCUL PRATIQUE DE RESERVOIRS

EN ZONE SISMIQUEpar

Vlctor DAVJ l ;>OY!~I ;Conselller en G6nleSlsmlqueIng6nleur a la Direction Techniquede la SOCOTECAbdelkader HADDADIIng6nieur des Arts et ManuficturesMinistere de I'Urbanlsmeet de la Construction (Alger)

.INSTITUT TECHNIOUE DU BATIMENT ET DES TRAVAUX PUBLICE i * ;Z:*__


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.:.,. 'ISSN 0020:2568,-.,:". _.:.__ ............,.. --,_ ..,. ._.- '~-.~:.' .. : - : - : . . _ - : : : . . -__- - .. - - ..-- ._.

CALCUL PRATIOUE DE RESERVOIREN ZONE SISMIOUEOn presente les methodes de calcul mlses aupoint par dlfferents auteurs pour Ie calcui desreservoirs sous I'effet d'un seisme. Sont succes-slvement examinees :e les methodes de Jacobsen. et Ayre. de Huntet Priestley. de Houzner. applicables aux reser-voirs cylindriques:o les methodes de Graham et Rodriguez. de Huntet Priestley. de Houzner, etablies pour lesreservoirs rectangulaires.Les dlfferentes methodes sont comparees pourchaque categorle de reservoir, cylindrique ourectangulalre. _Une methode de cal cui relative aux chateauxd'eau est egalement expesee, iIIustree par uneapplication numerlque,

PRAKTISCHE BERECHNUNG VON BEHALTERNIN ERDBEBENZONENBerechnungsmethoden werden vorgestellt. dievon mehreren Autoren zur Analyse von Behalternunter selsmischer Elnwirkung vorgeschlagen wor-den sind. 1m einzelnen werden folgende Methodenuntersucht : die auf zylinderformige Behl!lter anwendbarenMethoden von Jacobsen und Ayre. von Huntund Priestley und von Houzner: die auf rechteckformige Behalter anwendbarenMethoden von Graham und Rodriguez. vonHuntund Priestley und von Houzner.Die einzelnen Verfahren werden fOr Jede Behalterform miteinander verglichen. Daneben wird elneMethode zur Analyse elnes Wasserturms vorgestelltund an Hand elnes Rechenbelspiels erll!utert.

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PRACTICAL CALCULATION OF A RESERVOIRIN A SEISMIC AREAWe present the computing method developed bydifferent authors for the calculation of reservoirssubject to seismic effects. We examine sueeesst-vely: ,_. the methods of Jacobsen and Ayre, of Huntand Priestley, of Houzner applicable to cylin'rectangular reservoirs. the methods of Graham and Rodriguez. ofHunt and Priestley. of Houzner established forrectangular reservolr.s.The different methods are compared for eachcategory of reservoir, cylindrical or rectangular..The method of calculation for water towers islikewise presented, Illustrated by a numerical appllcation.

CALCULO PRACTICO DE DEPOSITOSEN ZONA SISMICASe presentan en este articulo los rnetodos decalculo_ perfeccionados por distintos autores. condestino 81 calculo de dep6sitos sometidos a losefectos de un selsmo. Se examinan succestva-mente: los mcHodos de Jacobsen y Ayre. de Hunt yPriestley. de Houzner. aplicables a los dep6sitos cilindrlcos; _ los metodos de Graham y Rodriguez. de Hunty Priestley. de Houzner. establecidos paradep6sitos rectangulares.Se procede a la comparaci6n de los distintosrnetodos para cada categoria de dep6:;ito. cilindrlcoo rectangular.Un metodo de calculo aplicable a los dep6sitoselevadores de agua se expone tarnblen, ilustradopor una aplicaci6n numerlca.

Los Ih!sCJ eI. la "'tl~ode d'ozposil_ion adoplics par les a,uteurs peu,'enl parjois. heurt er certains points t:e "ue I,e-billle/.lcment ad""s .. }.fa,s ,I do,t tIre c.ampns. q!'t! ces IlltSt!. ~ I 'card dosqllel1es l'Lnstitut Technique ue sauralt prendre parli,II, ,"UIII ell Tlell tcs personnes HI Ie princip des l nstirutions,

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.:,.,.:-:.~." :- ~. _ . _ _ . . ~ . - A ~ , . ~ _ . '. Les preoccupations de nos concitoyens concernant les eJ/ets des seismes sur Ies constructions'

ont eu pour elfet d'actlver la mise au point des techniques de calcul des structures soumises a des ..'. ....:': '..actions dynamlques -, NOllS possedons ainsl a l'heure actuelle toute une panoplle de moyens iqul ---permettent de pre voir 1 0 repons d'une structure a une action sismique donnie. Cependant, un type',de construction avail echappe en France a cette investigation: c'est celul des reservoirs. _. ..:' _.L'etude de MM. DAVIDO\'ICI et HADDADI permet de combler cette lacune ; elle fait Ie pointdes dlverses connaissances acqulses dans ce domaine et [ournlt aux Ingenieurs conjrontes II ce delicatprobleme des methodes approprlees de calcul, .Le suiet est complexe car il impllque I'elude des actions dynamlques reolproques qui sedeveloppenl entre Ie flu ide et la cuve qui Ie contlent, C'est pourquol, opres un expose theorique desdiverses methodes de calcul, les auteurs ont eu Ie souci d'indlquer des moyens pratlques de calcul etde donner des exemples d'applicatlon, --"---"Nous devons remercler MM. DAVIDOVICI et HADDADI de l'utile contribution qu'lls apportentpar cet article a la mise aupoinl, II l'etud et aux methodes pratlques de prevision du comportement

des reservoirs sous l'actlon des seismes.ALBIGS Maurice,

Pr~sident d'Honneur de Ia SOCOTEC,Directeur du CHEC.

ProCesseur a )'Eco)e Cenlrale des Arts et Manufactures.

1. NOTATIONS. ET HYPOTHESES

.1. Notations

(I )masse volumique du liquide.acceleration du sol en fonctlcn du temps.acceleration maxirnale du sol.spectre de reponse en acceleration.hauteur du reservoir.hauteur du liquide dans Ie reservoir.niveau d'appJication des pressions d'lmpul-slon.niveau d'appJication des pressions d'oscil-lation excluant I'effet de la pression sur labase du reservoir.nlveau d'application des pressions d'oscil-Iation incIuant I'effet de la pression sur labase du reservoir.rayon du reservoir cylindrique.derni-longueur du reservoir rectangulaire.champ de vitesse regnant dans le reservoir.coordonnees cylindriques.surpression dynarnique dans Ie liquide.result ante horizontale des surpressions dyna-miques sur la parol du reservoir.

R~servoirs cylindriquesPI' r : pression et coefficient de pression (Jacobsenet Ayre). .P2, 5 : pression et coefficient de pression (Hunt etPriestley).P3 , E : pression etcoefficient de pression (Houzner),Reservoirs rectangulairesp.," pression et coefficient de pression (Grahamet Rodriguez).Ps,11 pression et coefficient de pression (Hunt etPriestley).P6, T J pression et coefficient de pression (Houzner).Indices

relatif a I'impulsion.o relatif a l'oscillation.1.2. HypothesesLorsqu'un reservoir couvert est entierernent plein, iln'y a naturelIement pas de rnouvernent relatif du

f1uide par rapport au reservoir it la suite d'uneexcitation. Du point de vue dynamique, tout se passecornrne si I'ensemble fluide-reservoir constituait une3

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masse unique. Par centre, dans des r~servoirs pariieJ-. - - Par allleurs, la dissipation d'energie due Ida visCOsili .Iernent remplis, I'excitation met 'une partie du flulde _ du fluide dans les reserVoirs sera negligee;- - - :.en mouvement, ce qui conduit a la formation de -- L e liquide dans Je reservoir sera considere cotlll::nevagues en surface. incompressible, Westergaard [31) ayant montreEn fait, Newmark [26J a demontr~ qu'iI suCfisait I'erreur introduite dans le cas de liquides tompressib\:d'un defaut de remplissage de 2 % de la hauteur pour ,.,_.; de_me~ inferieure a 4 % des pressions.-"-:o,- __que le~' reservoirs fe"!1es se coml!0rtent c : omrrie .des~~':_~,.-: Enfin~,: on. CODSiderera I 'hypothese '7stmp]jfica~ -reserv,!IrS . a surface hbre, du point d: vu~. ~e..J,.. - : selon laqueUe les .~servoirs-. son~ Jie~--rig~~eme~ aformation d.es vague~. Cette consta.~atJon Justlfiera -.; leur sol de fondatJon, ee qUI leur con~~ la m&ncdans l!l sur te la p!"se ell compte seulement~~~.,;;_ aedleration que celie du sol. _ _"''''.' _. 0: .reservoIrs 1 surface Iibre, .. .- .:... . .......

2. RESERVOIRS CYLlNDR;aUES

2.1. Presentation du problemeLes trois methodes de caleul developpees aux para-graphes 2.2, 2.3 et 2.4 conslderent des hypothesesdifterentes selon la d~pendance de la surpressiondynamique par rapport au temps:Pour Jacobsen [23J, Ie champ de vitesse dans Iereservoir est directement proportionnel a la vitessc dusol (voir annexe A 1).De plus, en negligeant dans l'equation (A 28),l'influence du - temps sur III pression, iI ne considereque la surpression d'impulsion, avant que ne eommen-cent Ics oscillations du liquide.Ceci a pour premiere consequence de pouvoirevaluer la surpression sans prejuger de Ia forme de

I'acceleration r (t).II ne sera pas developpe de calcul pratique relatifit cette methode qui ne prend pas en compte l'effetd'oscillation du Jiquide.La methode de caleul de Hunt et Priestley [1]en tenant compte a la lois des phenomenes d'impulsionet d'oscillation, conduit a une relation entre Ie champde vitesse fonction du temps et I'acceleratlon du sol(voir annexe A 2).Ce calcul, qui a I'avantage d'etre plus general,introduit neanmoins dans les resultsts une inconnuesupplernentaire e l'acceleratlon du sol a (t).Ainsi, dans la comparaison faite au paragraphe 2.5avec les resultats donnes par les autres auteurs, il a

fallu affecter d'une forme particulierc l'acCeleration dureservoir. .-Cctte methode fait apparaitre bien entendu despressions d'oscilJations tenant compte de I'ensernble desmodes de vibration du fluide.Houzner [21] sq,arc Ies deux phenomenes: impcl-sion et oscillation (yoir annexe A 3).Dans la suite de l'expcse, iI y aura lieu de cliffe-rencier deux classes de reservoirs: les reservoirs peu profonds dont le taux de remp~sage est tel que: h/R < 1.5 : les reservoirs "roConds dont Je taux de remplissag:est tel que h/R> 1.5.Les, deux methodes de ..calcul de Hunt et Priestleeet de Houzner s'appliquent quel que soit Ie taux o erempJissage h/R du reservoir.Ces methodes dannent des resultats comparables daDSJe cas des reservoirs ayant un taux de rernplissageh/R < 1.5; c'estpourquoi la methode de Houzner,pJus simple d'application, sera developpee en vue d'm:lcalcul pratique au paragraphe 2.43.Par centre, pour Ies reservoirs ayant un taux d.:rempllssage h/R> 1.5, la methode de Houzner donnoedes resultats approchCs a 10 % pres; donc dans lecas des reservoirs pour JesqueJs une meiJleure preci~iooest requise, on utilise de preference la methode de H:mtet Priestley, developpee au paragraphe 2.33.

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.., '...... - .. -THEOR1ES.ET METHODES DE CAlCUl 2562.2. Methode de calcul d'apres Jacobsen et Ayre

Dans cette methode, on neglige les .sollicitations. produites par Ies oscillations d~~ vagues 'd'~aupour ne s'ir 'lteresser .qu'aux efforts d'impulsion." _La forme des reservoirs etudies dans ce chapitre est celle de la figure 1.

Th

~ p - - - - ~ - - - - - _ l .-~ . . . . . . .,, J.H

Fig. 1. -- Resen'olr deforme cylindrique.

2.21. Champ de vitessesC'est Ie champ de vitesse regnant dans le reservoir qui permettra de determiner la distributiondes pressions: on suppose, pour calculer ee champ, que les hypotheses suivantes sont verifiees: les parois du reservoir sont rigides: le fluide est incompressible; Ie fluide est non visqueux: la formation des vagues en surface est ignoree ; Je reservoir se deplace a une vitesse r (/)-suivant une direction horizon tale.Si on se place en coordonnees eyllndriques r, a , Z (fig. 2), on aboutit au champ de vitesses dela forme (voir annexe A]):

~.~ = t' (I ) cos a L . . J A" sin nkz II(nkr),,-I.l.$

ou I" est la fonction de Bessel d'ordre n et d'argumcnt x = inkr purement imaginaire et A" est donnepar I'equation (A 15).

(1)

x

Fig. 2. - Reservolr cyIIndrique soumis a uneaccclera tion horizontalef" (1).f" ( t )

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:~f~~',222. S;;::~~~:hamp de ~1e s se s , tdiS~;~;~~~lurpresslon, due ; l';m~~I~~:"[' dynamique par: .' - . - ..r , ' t i t .p =- p ~~ = - p r (t) ~s e ~ A J i n nkzJI (nkr)"t'&~

:> " R -1.3.5" .i!~ . ' - . , . . . . 1


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r : -;i'}_.--------------------------";_ : THEORIES ET METHODES DE CALCUL 256

Ce qui permet de reecrire P sous sa forme dimensionnelle :P =P, = - p o (I) h R' [ r o + 2 w ' : ~ , ~ " ( I -~~,~(: ; :~g$~,~F

,_ 1 rzr: ~ i 3 . . sin~ .. V g/R t til A.h/R+ 2 p 0",U R \' R g L . J (1_) l) ( l R _ ~ :f )I "" '" W g ..

(4 )

On remarque que cette resultante (4) est Ja somme d'u~e rCsultante des pressions d'lmpulsionPll et d'une resultante des pressions d'osciJIations Plo' soil :~=~+~ mo u P;,; = po". h Rlo, (6)~ [ 2 w2 .. R l ~ th A.. h/R ]avec OJ= ..+ h ~ " n (1__ i.lll) (wl R~ g~ ,/)_ , (7)

le coefficient 0 1 est donne par le tableau 21 ou par J'abaque 23, au paragraphe 2.33.La resultante des pressions d'impulsions P 2 1 est appliquee a une hauteur Zj, telle que:

Zi = h Z, (8 )OU: [ + +Z;= ---------------------------------------- (9 )

est donne par J'abaque 25, au paragraphe 233.La resultante des pressions hydrodynamiques d'osci~Jation,est definie parPexpressicn :

P2 " = p a n a h R20" {I0)OU:

a _ 2 w .. R V R '8 ~ ~. . th A.. h/R., - h ._J A.(1-A n 2) (w2 R-g ~n2). Iest donne par le tableau 2 -2 ou par l'abaque 2-4; au paragraphe 2.33.

Cette resulrante est appliquee a une hauteur z ." definie par:z., =RZ"

(I1)

(12)OU:

z . , = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (13). . .~ ~II th A ,. h/R'7 A,.(1-- An2) (w2 R -- g p,,2)

est donne par I'abaque 2-6, au paragraphe 2.33.

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2.33. CaJcuJ pratique h> 1.5 R

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CARACTERisTiOUES OURESERvoiR E1 DU FLUiDE

R ~ h . , P

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'""'~.. . ~~: ..~THEORIES ET METHODES DE CALCUL 256' .

.TABLEAU 21RESERVOIRS CYLINDRIQUES PRESSIONS D'IMPULSION PljPli ... Q a m h. R' c 5 i

coefficients c 5 iRIh r - 1,6 Hz - r.; 4,8 Hz r - 8 Hz r - 16 Hz2.000 0.513 0.909 0.935 0.9461.000 1.379 1.692 1.712 1.7210.667 1.908 2.134 2.149 2.1540.500 2.209 2.381 2.392 2.3960.400 2.394 2.532 2.541 2.5440.333 2.518 2.633 2.640 2.6430.286 2.607 2 .706 2.712 2.7140.250 2.674 2.760 2.765 2.7680.222 2.726 2.802 2.807 2.8090.200 2.767 2.836 2.840 2.8420.182 2.801 2.864 2.868 2.8690.167 2.829 2.887 2.890 2.8920.154 2.853 2.906 2.909 2.91 I0.143 2.874 2.923 2.926 2.9270.133 2.891 2.937 2.940 2.9410.125 2.907 2.950 2.953 2.9540.118 2.921 2.961 2.964 2.9650.111 2.933 2.971 2.973 2.974.0.105 2.944 2.980 2.982 2.9830.100 2.954 2.988 2.990 2.9910.095 2;962 2.995 2.997 2.9980.091 2.970 3.002 3.004 3.0050.087 .2.978 3.008 3.010 3.0100.083 2.985 . 3.013 3.015 ~.0)60.080 2.991 3.018 3.ti20 3.0210.077 2.997 3.023 3.025 3.0250.074 3.002 3.027 3.029 3.0300.071. 3.007 3.031 3.033 3.0340.069 3.011 . 3.035 3.037 3.0370.067 3.016 3.039 3.040 3.0410.065 3.020 3.042 3.043 3.0440.063 3.023 3.045 3.046 3.0470.061 3.027 3.048 3.049 3.0500.059 3.030 3.051 3.052 3.0520.057 3.033 3.053 3.054 3.0550.0~6 3.036 3.056 3.057 3.0570.054 3.039 3.058 3.059 3.0590.053 3.042 3.060 3.061 3.062-0.051 3.044 3.062 3.063 3.0640.050 3.047 3.064 3.065 3.0660.049 3.049 3.066 3.067 3.0670.048 3.051 3.068 3.069 3.0690.047 3.053 3.069 3.070 3.0710.045 3.055 3.071 3.072 3.0720.044 3.057 3.072 3.073 3.0740.043 3.059 3.074' 3.075 3.0750.043 3.061 3.075 3.076 3.0770.042 3.062 3.077 3.078 3.0780.041 3.064 3.078 3.079 3.0790.040 3.065 3.079 3.080 3.080

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TABLEAU 22RESERVOIRS CYLINDRIQUES PRESSIONS D'OSCILLATION P20, ' , P20 = . Q 8m h. R' 60

' ' 'coeff ic ients 60R I h r - 1,6 Hz r - 4,8 H % r-8Hz. ( - 16 Hz2.000 1.040 0,288 0.170 0.0851.000 0.769 0.208 0.123 0.0610.667 0.547 0.147 0.087 0.043 :0.500 0.414 0.112 0.066 0.0330.400 0.332 0.089 0.053 0.0260.333 0.277 0.074 0.044 . O.Oll0.286 0.237 0.064 0.038 0.0190.250 0.208 0.056 0.033 0.0160.222 0.184 0.050 6.029 0.0150.200 0.166 0.045 0.026 0.0130.182 0.151 0.041 0.024 0.0120.167 0.138 0.037 0.022 0.0110.154 0.128 0.034 0.020 0.0100.143 0.119 0.032 0.019 0.0090.133 0.111 0.030 0.018 0.009 i0.125 0.104 0.028 0.015 0.0080.118 0.098 0.026 0.016 0.0080.111 0.092, 0.025 O.OIS 0.0070.105 0.087 0.024 0.014 0.007 '

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0.100 0.083 0.022 0.013 0.0070.095 - 0.079 0.021 0.013 ' 0.0060.091 0.075 0.020 0.012 0.0060.087 0.072 0.019 0.011 0.0060.083 0.069 0.019 .0.01l 0.0050.080 0.066 0.018 0.011 0.0050.077 0.064 0.017 0.010 0.005 !0.074 0.061 0.017 0.010 0.005 10.071 0.059 0.016 0.009 0.0050.069 0.057 0.01S 0.009 0.0050.067 0.055 0.015 0.009 0.0040.065 0.054 0.014 0.009 0.0040.063 0.052 0.014 0.008 0.0040.061 0.050 0.014 0.008 0.0040.059 0.049 0.013 0.008 0.004 I.057 0.047 0.013 0.008 0.0040.056 0.046 0.012 0.007 0.0040.054 0.045 0.012 0.007 0.0040.053 0.044 0.012 0.007 0.0030.051 0.043 0.011 0.007 0.003 I0.050 0.042 0.011 0.007 0.0030.049 0.040 0.011 0.006 0.0030.048 0.040 0.011 0.006 0.0030.047 0.039 0.010 0.006 0.0030.045 0.038 0.010 0.006 0.0030.044 0.037 0.010 0.006 0.0030.043 0.036 0.010 0.006 0.0030.043 0.035 0.010 0.006 0.0030.042 0.035 0.009 0.005 0.0030.041 0.034 0.009 O . O O S 0.003 !0.040 0.033 0.009 0.005 0.003

10

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1:-

1


11/60

, r . .1 1L.

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,~, L !..~:.fl

~,0 c-!~:~.. .rJi,I,.

',OL1,0

0,.

THEORIES ET METHODES DE CALCUl 256

AbaQue 2.3. - Reservoirs cyUndrlques. Pression d'lmpulslon PJjC~:'~~h;;TJ

2,0

,"1.6Hz

R/hO l + - ~ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ _ +_~o 1 2

Abaque 2.4. - Reservoirs cyl1~drlques. Pression d'oscillatlon PJ.

Q:,pO:r..h.R1. ~c f .l,6Hz

0 . "C " ,0,6.;.

I0,5 .LIO,~ t0,3 t . ,.t,8HZO'2l' _-----------------= = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~_e Hz_ - - ------------.0,1 _--- _---- 1.16Hz- . : : . - . . = ~ - ; . = = = . : : . = = = . - - - _ _ - _ - - . - - - ~ - - - - . - _ ~ ~ - - - - R/h~ ~~---.- ..--.- . .-------.-.-.,.. . _ . _ ..._----_ ._ _ _ _ . ,o , 2

1 1


12/60

_ _ - ~ ~ _ _ ~ ~ . ~ - ~ ~ _ ~ _ I I I I ! I. ~--IIIIIl~:f~: , : ~ , ? : , x -, . " '-" ': " =:.....;.""...;.''''-.-,.~~.' !~,~~=-.!::. . . . .~ ; ' ' ' : : - : < ". . . : . . . ,% ~ . : ~ : ~ . ,t._:~~. i: :;.......__........ .....'~..._-_--_............-----....--'" .. l''~.W~~~M~1~~--~~----------~---------

~I

TABLEAU I-2RESERVOIRS CYLINDRIQUES - PRESSIONS D'OSCILLATION P20

Plo = . Q a m h. R' 60'coefficients 60

RIh r '" 1,6 Hz r - ~,8 Hz r - 8 Hz r - 16 Hz2.000 1.040 0,288 0.170 0.0851.000 0.769 0.208 0.123 0.061 !0.667 0.547 O.I~7 0.087 0.0430.500 0.~14 0.112 0.006 0.033 .0.400 ... 0.332 0.089 0.053 0.0260.333 0.277 0.07~ 0.044 . .,0.0220.286 0.237 0.064 0.038 0.0190.250 0.208 0.056 0.033 0.0160.222 0.184 0.050 0:.029 0.0150.200 0.166 0.045 0.026 0.0130.182 0.151 0.041 0.024 0.0120.167 0.138 0.037 0.022 0.0110.154 0.128 0.034 0.020 0.0100.1~3 0.119 0.032 0.019 0.0090.133 0.111 0.030 0.018 0.0090.125 0.104 0.028 0.016 0.008

.0.118 0.098 0.026 0.016 0.0080.1Il 0.092 0.025 0.015 0.0070.105 0.087 0.024 0.014 0.0070.100 0.083 0.022 0.013 0.0070.095 0.079 0.021 0.013 0.0060.091 O . G 7 S 0.020 0.012 0.0060.087 0.072 0.019 0.01 I 0.0060.083 0.069 0.019 0.01 I 0.0050.080 0.066 0.018 0.011 0.0050.077 0.064 0.017 0.010 0.005 !0.074 0.061 0.017 0.010 0.005

,0.071 0.059 0.016 0.009 0.0050.069 0.057 0.015 0.009 0.0050.067 0.055 0.015 0.009 0.0040.065 0.054 0.014 0.009 0.0040.063 0.052 0.014 0.008 0.0040.061 0.050 0.014 0.008 0.0040.059 0.049 0.013 0.008 0.0040.057 0.047 0.013 0.008 0.0040.056 0.046 0.012 0.007 0.0040.054 0.045 0.012 0.007 0.0040.053 0.044 0.012 0.007 0.0030.051 0.043 0.011 0.007 0.0030.050 0.042 0.011 0.007 0.003 i0.049 0.040 0.011 0.006 0.0030.048 0.040 0.011 0.006 0.0030.047 0.039 0.010 0.006 0.0030.045 0.038 0.010 0.006 0.0030.044 0.037 0.010 0.006 0.0030.043 0.036 0.0)0 0.006 0.0030.043 oms 0.010 0.006 0.0030.042 oms 0.009 0.005 0.0030.041 0.034 0.009 0.005 0.003 i0.040 0.033 0.009 0.005 0.003

1 ..I

.

I II;~ ,~ L "I

1I

j J il


13/60

I,. J ' . [ " - : ~ : ' - 7 . " - - '- '" - . . - . .~ .. ;... : ."I' .

, r" ---------------------------d f r . ~ .{- . _ - - _- _ - - '- - . :- - - - : ;: ~ - = -, - - -_ - - . -- - - : _ - - ', - - - ' , _. .!~1~?THEORIES-ET METHODES DE CAlCUl 256

2.4. Methode approehee de caJcul d'apre~ Houzner

..,

Comme on vient de Ie voir-dan~ .I~~'deux ~tthode~ pre~ed~~l~;" ie; exp~~io;;s -ex~~~:;;d~~ ----efforts sont souvent tres complexes, 1 moins de se limiter aux premiers termes des series.La methode approchee qui 'suit aboutit 1 des expressions relativement simples qui serontcornparees aux precedentes dans le paragraphe2.5. " .Dans cette rnodelisetlon; on ,deCompose l'action du Jiquide en deux types: une action passive provoqu:~~~des efforts d'impulsion: une action active provoquanCdcs._effort,s d'o~ciJJation. . .Les cflorts d'impulsion provlennent de ce qu'une partie de la masse du fluide, dite massepassive, reagit par inertle, a la translation des parois du reservoir. Son systeme mecanique equivalentest obtenu en considerant une masse M ,. liee rigidement au reservoir a une hauteur hi teJJe qu'elleexerce sur les parois les memes efforts horizontaux que la masse d'eau equivalente.La figure 3 a dCfinit le systeme equivalent des efforts d'impulsion quand on neglige Iesoscillations de l'eau.

c

IL ' . tm"~i"B ..;~._'.:- .n hI-,

om, . I

(a)

I . . . _ _ -- _ - - - ' . - - - - - - - - 1 - - - H. . ..

1(c)

Fig. 3. - Reservoirs cyllndriques. Systernes physiques et systernes mccanlque s equivalentsa) Equivalent rnecaniquc des pressions d'impulsion.b) Equivalent mecanique des pressions d'oscillation : actions sur les parois.c) Equivalent mecanique des pressions d'oscillarion : actions sur les parois et sur la base.

-'13


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.. '"

N' 409 NOVEMBRE 1982

Quant aux erforts d'osci1Iations, lls proviennent de ce qu'une autre partie de la' masse du fi~id~;~';.:_dite masse active, se met en mouvement d'oscillation sous l'action du s~isme.. ....~~~:~. _ ..... ,~._._ ...Son equivaleiii""in-&:~niq~~ s;obii~~t-~n considirant n masses Moll retenuespar-des-'ressortS -d~ :raideurs kn a des niveaux h"'l ou h..,,, dont les oscillations horizon tales exercent les mem~_ effortsvibratoires que Ja masse active du fluide, . . .... _.-. '.. - ..... -. ..

. Pour Je calcul du moment de nexion: les seules a~tions prises. en comp~e .._~~!celles S\lr_ les ...parors; dans ce cas, les masses M.." sont apphquees'll un mveau hOft (fIg. 3b) ,... . ' .... Pour le calcul du moment de renversernent, 'on prend en Compte- I'action -des surp~ssio~s'ru~'le fond du reservoir; dans ce cas, les masses Mon sont appliqu~s 1 'un niveau holl (figt 3 c); ..Ainsi, le modele que l'on retlendra pour I'ensemble des deux types dOactions_-sera celul de Iafigure 4. '. '

.. ".

h L

Fig. 4. - Modele II. une masse passive MI (Impulsion) et deux masses actives M ... ~(oscillation)

2.41. Actions dim.[JulsiollsCcnsiderons un reservoir cylindrique 1 base horizonlale et parois verticales soumis a uneacceleration rnaximale am tel que definit par 1a figure 5.

h

d x xIIIIIIIII

1.1I R Om . .I Z

Fig, S . -Reservoir cyIlndriQue soumls a une acceleration rnaxlrnale aM'Si on neglige la compressibilite du Jiquide, en exprirnant Ie principe de conservation de masseet Ie principe fondamental de la dynarnique, on determine (voir annexe A 3) J'expression suivante dela pression hydrodynamique s'exercant sur les parois du reservoir:

p = - P 1 :2 [+ - + ( ~ r J ~ ~ (14)ou U reprcscnte Ja viiesse du liquide dans la direction Ox ct14

.._ ._ . ..f$. . . . .

: 11 '

1ILIr

lIII'1

. . . . . . I;. I,._.~


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f " l , , : : : , : : : . . . ~ ~ , , - ,i .:',.1 : : _ '- -- -- -- -~ ~ - - -- ~ - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -! THEORIES ET METHODES DE CAlCUl 2561 ',y chfif

sh fi ~ii donne la distribution de la pression (direction Ox):

P =-po",hV3 [~ - + ( ~ f J th ~ ~, (15)En int~grant, on obtient la resultante des pressions hydrodynamiques horizon tales d'impulsion:th V3R/h'" " '.-PJ; = - P 0", T o : R 2 h - . . . . . . . .=-__.:_YJR/h

il = a,.,

et en posant:thV3R/h

V 3R/h (16)on obtient:

(17)soit encore: (18)

r La valeur de la masse Mf est donnee par le tableau 27 et l'abaque 28, au paragraphe2.43. La resultante P31 est appliquee a Ja hauteur hi donnee par Ie tableau 27 et l'abaque 29 auparagraphe ,2.43.2.42. Actions d'oscillations

"

~Avec les memes hypotheses que prec~demment. 'en exprimant: d'une part l'energie potentielle acquise par la formation de vague en surface: d'autre part, l'energie cinetlque de I'ensemble du systerne, on etablit (annexe A 3) "I'expressionde la distribution des surpressions hydrodynamiques, en fonetion de la coordonnee angulaire a,sous la forme: '

R3 1 2 7 ( cos2 a sin' e )P=PT'\IT 1--3---2-I 1 2 7 h-zch '\IT Rcos e/27 h'TIt

e, w,,2 sin w " t (19)s h

avec les definitions suivantes :g rn h / ' 2 7 hw,,2 =R'Y s t '\ TR

h 1 2 7 h-zs 'Y ' 8 Re = e, - - - f t . - " ': : " ' _ _ _ ' : : " : " ' - sin w " th 27, h 's 8R

(20) pulsation fondamentaJede vibration du Jiquide

angle d'oseilJation

q ,,, : angle maximal d'oscillation (en Z = 0).En integrant P sur Z et 0, on obtient la resultante des pressions hydrodynamiques horizontalesd'oseillation : '

10 R C q, 2'P lo = P 4s 1 1 : "w " SID " ' 0 tsoit encore:

Plo = 1.21'110 g e, sin Wo t ,(21)Wo est def'inlt par la formule (20) en fonetion des parametres g, R et h ; Ie maximum de I'expression(21) est obtenu pour sin Wo t = I, soit :Plo = 1.21'110 g < 1 > 0 (22)

La valeur de la masse M, est donnee par Ie tableau 27 et par l'abaque 2-10, au paragraphe 2.43.La resultante Plo est appliquee a une hauteur ho donnee par Ie tableau 21," au paragraphe 2.43.15


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N 409 NOVEMBRE 1982 .... - - _ ..._ . _ - _ .. , . _ . ._ _ ..... _ . - . . . . . . : . . . ; . ... - -ii.

La frequence du mode fondamental de vibration du liquide est donn~.par la relation suivante :g R 41~ .I.= 1.2 If-;:;- ..._ ' .. '. _ . ~- - - --. . (23). ~.

OU: L.. , - _ -.Connaissant 1 0 on peut lire la reponse e n acceleration correspondante S., sur un spectre.

L'angle maximal d'oscillation ~. de la surface libre est exprlme en' fonction dud 'acceleration S.: .. ~ S. . . . = 0.83-gspectre

(24)Par ailleurs, 1 8 hauteur maximale dmu.. artelnte par les ocillations de I'eau, est:

0.408Rd~ = ------~ _[ w , , 2 ! o R -1] th 0.84 IJ/R) (25) iL

r,

"

.~I

16


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l, f JIJ L

'_ .- . _ _ ._ .. _ . . . . . . --" .. - - : . - _ .. ~-..~~~.:. -:: ,--THEORIES -ET METHODES DE CAlCUl 256

2.43. Cal cui pratique h ~ 1.5 R

CARACTERisTioUES DU - .- - - DO.NNEES DEFiNisSANT. . DURESERvoiR E1 DU .FLUiDE --,- LE MOUVEMENT.... --~" ~ " M . . . . SiSMioUE.. " _ .._ . . . . . . - -" '- . .. . c ; ; , -; 5.0 . - - - - - _ ...._ _ ...-

TAUXparogroph. METHODE DE h/R>1,S D.E2 33 ~ HUNT ET REM?LISSAGE, PRiESTLEY h I RIporogroPht2.3,h/R < 1,S

Mil M hi I h Mo/M he I h ho I h R~e/.Altableou 27 tableau 27 tableau 27 tableau 27 tobltau27 tableau 27obaque 2S cboque 29 cbcqut 210 cboque2-'1I - .

II

I Mi i hi I Mo I he G ..weJ'~ I'"~~o~

I PRESSIONSHYDROoYNAMiOUES1/ " CALeUL DE LAP3i P30 PRESsiON dma:x:HYDROSTATioUEoiMENSioNNE MENT D.U

RESERVoiR

17


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N0 .09 NOVEMBRE 1982 -:-- ------------------.:.::3

,~i,._... .TABLEAU 2'

METHODE DE HOUZNER RESERVOIRS CYLlNDRIQUES 1 -. CALCUL DES PRESS IONS HYDRODYNAMJQUES l1RIh Mi/M hilh Mol:\1 hoth hoOIh i! ~10.000 0.058 8.535 0.579 0.501 30.1665.000 0.115 4.205 0,560 0.506 7.7983.333 0.173 2.762 0.532 0.512 3.6642.500 0.231 2.041. 0.498 0.521 2;228 ~.2 . 000 0.288 1.610 0.462 0.533 1.5731.667 0.344 1.327 0.425 0.545 1.227 l~1.429 0.398 1.130 0.390 0.559 1.0281.250 0.450 0.986 0.358 0.574 0.9071.111 0.498 0.879 0.328 0.590 0.831 8.000 0.542 0.797 0.302 0.605 0.7840.909 0.583 0.'133 0.279 0.621 0.7550.833 0.620 0.682 0.259 0.637 0.7390.769 0.653 0.641 0.241 0.652 0.7300.7i4 0.683 0.607 0 . 22S 0.667 0.727 r0.667 0.710 0.S80 0.210 0.681 0.7270 . 625 0.734 0.557 0.198 0.694 0.7310.588 0.755 0.537 0.186 0.707 0.7350.558 0.715 0.521 0.176 0.719 0.7420.526 0.792 0.506 0.167 0.731 0.7480.500 0.808 0.494 0.159 0.742 0.7550.476 0.822 0.484 0.151 0.752 0.7630.455 0.834 0.474 0.144 0.761 0.7700.435 0.846 0.466 . 0.138 0.770 0.7770.417 0.856 0.459 0.132 0.779 0.7840.400 0.866 0.453 0.127 0.787 0.7910.385 0.874 0.447 0.122 0.794 0.7980.370 0.882 0.442 0.118 0.801 0.8040'.357 0.889 0.437 0.114 0.808 0.810 ,.345 0.896 0.433 0.110 0.814 0.8160.333 0.902 0.429 0.106 0.820 0.8220.323 0.907 0.426 0.103 0.826 0.827.0.313 0.913 0.423 0.099 0.831 0.8320.303 0.917 0.420 0.096 0.836 0.837 ~.294 0.922 0.418 0.094 0.841 0.8410.286 0.926 0.415 0.091 0.845 0.8460.278 0.929 0.413 0.088 0.849 0.8500.270 0.933 0.411 0.086 0.853 0.854 I.263 0.936 0.409 0.084 0.857 0.8580.256 0.939 0.407 0.082 0.861 0.8610.250 0.942 0.406 0.079 0.864 0.8640.244 0.944 0.404 0.078 0.868 0.8680.238 0.947 0.403 0.076 0.871 0.8710.233 0.949 0.402 0.074 0.874 0.8740.227 0.951 0.401 0.072 0.877 0.8770.222 0.953 0.399 0.071 0.879 0.8790.217 0.955 0.398 0.069 0.882 0.8820.213 0.957 0.397 0.068 0.884 0.8840.208 0.959 0.397 0.066 0.887 0.8870.204 0.960 0.396 0.065 0.889 0.8890.200 0.962 0.395 0.064 0.891 0.891

_ . .. :_

18


19/60

r 1 ' . /Ie,. ~.l:.; ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ - -~. THEOJltlES~'ETMETHODES DE. CAlCUL 256

Ab~que 2.8. -- Reservoirs cyllndriques. Pression d'lmpulslon PlI,.I1 .

, -L

r ~----I7~- l-----f--. . ,1L AbaQue 2.9. -- Reservoirs cyUndriques. Point d'applicatlon hi de la resultante despressions d'!mpulslon.

2

o -!------i-----+----+----i--.- --.....---''--__,---o 4 S 7 R/h10

19./ h. D ' ts,~ ..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - - ~ ~ = = ~ = = ~ - - ~ ~ ~ ~


20/60

_ - ---;-.~.- ..: . ..' .--_ ..._ _ ...- .... -_ .. --------'-'5 C ON 409 NOVEMBRE 1982:..... .-.:.~' Abaque 2.10. - Reservoirs c:yll.ndrlques. PresSIOD d'osc1l1atlon p,..M,/M

0,8260,8

0,7

r

.'

0,2

R/h0,1

0~0___,~ ~ r__ t -!----6~---io---J---i---1J-O---+

1.S81,S1,'1,3', Z1,1

Abaque 2.11._ Reservoirs cyUndrlques. Determination de R (f)./A,

1,0' T0,9 T0, ' T0,7 r0,' 00,5 iI0,_ t0,3 +,0,2 .! .I0,1 ~.I

:IIl/hr---~-__';'---+5--o--r----+7---;..----fs---o,ol-o-~-+- __ -4o

02.5. Comparaison des trois methodes de calculCette comparaison est effectuee en determinant les variations des resultantes des pressions

(PI' Pz et Pl) en fonction du rapport R/h.La gamme de frequence de 1 Hz it 20 Hz, utillsee dans la methode de calcul de Hunt etPriestley, est celle rencontree dans les applications du genie sismique.PRESSIONS D'IMPULSION :

D'apres Jacobsen:PJi = - p t" (t) It R2 Yj (26)

o D'apres Hunt et Priestley:P Zj = - p0", h R Z OJ (27)

D'apres Houzner:Plj = - ; h R2 Ej (28)La validite de la methode de caJcul de Houzner est confirrnee par comparaison (tableau 2 J 2)aux autres methodes de calcuJ.

J c

"l-~ l~. .J: I~J

i.

0 1I

20


21/60

" . . . . -.-.,. . ._.,- - . . . , . . . . - "'--~~~""""-""-"~- .._ . . . ..........._ - - - _ .Ill".1':,-----------------------~ ._.___._____.___ '_--r .#:) ! ~~~.:~; t, THEORIES 'E T METHODES DE CALCUL 2 56 ...' ....._ - . . . _ . . .. - ...- . . . . . . . _ .. _.'"TAItLEAU 212RESERVOIRS CYLlNDRJQUES PRESSIONS D.'IMPULSIONCOMPARAISON DES METHODES DE CALCUL

.. JACOBSEN HUNT C :I PRIESTLEY )R/Het AYRE I 6 j HOUZNER. " 1 . . _ - - f;- ( - 1,6 Hz r .. 4,8 Hz r = 8 Hz r .. 16 Hz- 5.000 0.359 0.117 0.343 0.366 0.375 0.3633.333 0.551 0165 - 0.526 0.551 0.561 0.5442.500 0.746 0.326 0.718 0.744 0.754 0.7252.000 0.939 0.513 0.909 0.935 0.946 0.9051.667 1.I23 0.705 1.094 1.119 1.130 1.081~ 1.429 1.294 0.893 1.267 1.291 1.301 1.251. . 1.250 1.449 1.069 1.424 1.447 1.457 1.413V 1.111 1.588 1.232 1.566 1.588 1.596 1.564" 1.000 1.711 . 1.379 1.692 1.712 1.721 1.703. .;. 0.909 1.820 1.511 1.804 1.823 1.830 1.8300.833 1.916 1.628 1.902 1.920 1.927 1.9460.769 2.000 1.733 1.989 2.006 2.012 . _ 2.0500.714 2.074 1.826 2.066 2.081 2.088 2.144~ 0.667 2.140 1.908 2.134 2.149 2.154 2.228

0.625 2.206 1.982 2.195 2.208 2.214 2.2940.588 2.258 2.048 2.249 2.262 2.267 2.3530.556 2.305 2.107 2.297 2.309 2.314 2.4050.526 2.348 2.161 2.341 2.353 2.357 2.4520.500 . 2.386 2.209 2.381 2.392 2.396 2.4940.476 2.420 2.253 2.416 2.427 2.431 2.5320.455 2.452 2.293 2.449 2.459 2.463 2.5660.435 2.480 2.330 2.479 2.489 2.493 2.5980.417 2.506 2.363 2.507 2.516 2.519 2.6270.400 2.530 2.394 2.532 2.541 2.544 2.6530.385 2.553 2.423 2.555 2.564 2.567 2.678, 0.370 2.573 2.449 2.577 2.585 .- - .- -- 2.588 -- _- 2.7000.357 2.692.' 2.474 2.597 2.605 2.608 2.722~ 0.345 2.610 2.497 2.616 2.623 2.626 2.7410.333 2.626 2.518 2.633 2.640 2.643 2.760"l 0.323 2.642 2.539 2.649 2.657 2.659 2.777

0.313 2.656 2.557 2.665 2.672 2.674 2.793II 0.303 2.669 2.575 2.679 2.686 2.689 2.808::: 0.294 2.682 2.592 2.693 2.699 2.702 2.822:; : 0.286 2.694 2.607. 2.706 2.712 2.714 2.8360.278 2.705 2.622 2.718 2.724 2.726 2.8480.270 2.715 2.636 2.729 2.735 2.737 2.8600.263 2:725 2.649 2.740 2.746 2.748 2.8720.256 2.735 2.662 2.750 2.756 2.758 2.882; 0.250 2.743 2.674 2.760 2.765 2.768 2.8930.244 2.752 2.685 2.769 2.774 2.777 2.9020.238 2.760 2.696 2.778 2.783 2.785 2.9120.233 2.767 2.706 2.786 2.791 2.794 2.9200.227 2.774 2.716 2.794 2.799 2.801 2.929.0.222 2.781 2.726 2.1102 2.807 2.809 2.9370.217 2.788 2.735 2.809 2.814 2.816 2.9450.213 2.794 2.743 2.816 2.821 2.823 2.9520.208 2.800 2.752 2.823 2.828 2.830. 2.9590.204 2.806 2.759 2.830 2.834 2.836 2.9660.200 2.811 2.767 2.836 2.840 2.812 2.972

1. -1

En effet pour. R / h : > 0.667. soit h < 1.5 R, Ia difference entre les coefficients "fj et O J d'unepart et Ie coefficient 1 d'autre part, varient entre 1 % et 4 %, alors que cette merne difference varieentre 3.5 % et 7 % pour les valeurs de h > J.5 R.De rneme, on constate que I'influence de la frequence d'excitation sur les coefficients 0; donnespar Hunt et Priestley est d'autant plus importante que la hauteur d'eau est faible.Par ailleurs, pour les taux de remplissage importants (h/R)) 1.5), les oscillations des fluidesetant negligeables, pour les hautes Irequences (l6 Hz) les coefficients a j et E j ne different pas de plusde 3.5 % et pour les basses frequences (1.6 Hz), ces memes coefficients ne different pas de plus de7 %.

PRESSIONS D'OSCILLATION : D'apres Hunt et Priestley

P10 = P am It R200 (29)21

=


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N' 409 NOVEMBRE .1982

A~. . . . . ..c

.. D'apres Houzner :Plo= P S. h R 2 . ' . . . (30)

!.

IU

,L

h

avec

' . . = ~ (h ~ ~~'.: .. c.. _ _ ; 10Le tableau 2.] 3 donne les valeurs des coefficients a . . et E .. en Ionction d~ i';~~de~emplissagehlR.

"_~.'___.'M. __ .. -._ ....... TABLEAU 2-13_

RESERVOIRS CYLlNDRIQUES ~.PRESSIONS D'OSCILLATIONCOMPARAISON DES METHODES DE CALCULHUNT ct PR IESTLEY

P.lH 00 HOUZNERr - 1,6 Hz f - 01,8Hz f - 8 Hz ( - 16 Hz .E o

5.000 0.873 0.279 0.165 0.082 1.7593.333 1.034 0.295

0.1701 0.087 1.6712.500 1.059 0.296 0.175 0.087 1.5652.000 1.040 0.288 0.170 0.085 1.01501.667 0.998 0.274 0.162 0.081 1.3351.429 0.944 0.258 0.153 0.076 - 1.2261.250 0.885 0.241 0.143 0.071 1.12011.11I 0.826 0.224 0.133 0.066 1.0331.000 0.769 0.208 0.123 0.061 0.9510.909 0.716 0.193 0.1101 0.057 0.8780.8)3 0.667 0.180 0.106 0.053 0.El30.769 0.622 0.168 0.099 0.049 O : : : S0.714 0.582 0.157 0.093 0.046 0.7060.667 0.547 0.147 0.087 0.043 0.6610.62.5 0.514 0.139 0.082 0.041 ' 0.6220.588 0.0185 0.131 0.077 0.038 0.5860.558 0.0159 0.124 0.073 0.036 0.554, 0.526 0.436 0.117 0.069 0.034 0.5250.500 0.414 0.112 0.066 0.033 0.4~0.476 0.395 0.106 0.063 0.031 0.4760.455 0.377 0.101 0.060 0.030 0.4540.435 0.361 0.097 0.057 0.028 0.4:'50.417 0.346 0.093 0.05S 0.027 OA170.400 0.332 0.089 0.053 0.026 0.4000.385 0.319 0.086 0.051 0.025 0.3850.370 0.307 0.083 0.049 0.024 0.3700.357 0.296 0.080 0.047 0.023 0.3570.345 0.286 0.077 0.045 0.023 0.3450.333 0.2i7 0.0701 0.044 0.022 0.3330.323 0.268 0.072 0.043 0.021 0.3230.313 0.259 0.070 0.041 0.020 0.3120.303 0.252 0.068 0.040 0.020 0.3030.294 0.244 0.066 0.039 0.019 0.2940.286 0.237 0.064 0.038 0.019 0.2("'-:0.278 0.231 0.062 0.037 0.018 0.21~0.270 0.224 0.060 0.036 0.018 0.2700.263 0.218 0.059 0.035 0.017 0.2630.256 0.213 0.057 0.034 0.017 0.2560.250 0.208 0.056 0.033 0.016 0.2500.244 0.202 0.055 0.032 0.016 0.2440.238 0.198 0.053 0.031 a.016 0.2380.233 0.193 0.052 0.031 0.015 0.2330.227 0.189 0.051 0.030 0.015 0.2270.222 0.184 0.050 0.029 0.015 0.2220.217 0.180 0.049 0.029 0.014 0.2170.213 0.177 0.048 0.028 0.014 0.21S0.208 0.173 0.047 0.027 0.014 0.20i.0.204 0.169 0.046 0.Q27 0.01l 0.2040.200 0.166 0.045 . 0.026 0.013 0.200

On constate que les pressions d'oscillation sent d'autant plus faibles que le taux de remplissageest grand.

D'apres Hunt et Priestley, pour des reservoirs tels que R."'=2.5 h, les oscillations sent maxirnalesdans la gamme de frequence de 1.6 Hz it 16 Hz, ce qui s'apparente it un phenomene de resonance.De meme que pour un taux de remplissage donne les osciJIations de la surface libre augmentent avecIa diminution des frequences (1.6 Hz).


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r ? $eM e

e_ f :~_ .---------,.-_._- .._.-,.-,-_.~_.-_-------- ..-._.-._- .!~E?~~ METHODESDE.C~lCUl 256

La comparaison des press ions d'oscillations d'apres Hunt et Priestley d'une part ct Houznerd'autre part, _n ~ pe~~. s~ .~~_rc~qu'l~partir.d'un .8cc~l~iogrllmm.e(ti...~~cf ~u s~ct~ ~rrcspondant (S.)..NianmOihs~--d;ap~bHouzner(~C o ~- ~~~~rq~e une 'dicroiSsancc assez rapide des pressionsd'oscillation pour les. res.er.~o~~d~!'t I~ ta.ux de remplissage / z / R _ ~ ).5..._ ..- .'Par eonsequent, pour des ~servoirs cylindriques, en beton arm~ ou en acier, dont Ie taux deremplissagc est (aible voire tres laible, on peut retenir I'approximation d'Houzner. A eet cffet, on

donne au paragraphe:.~."!3; lIn tableau rccapitulatif et les abaques pennettant un calcul rapide desresultantes des pressions, de leurs points d'application et de la hauteur maximale des vagues:Pour les reservoirs doni Ie"taux dc remplissage est important; qui servent au slockage d'hydro-carbures ou de produits inflammables, lesquels requierent davantage de preelslon, I'approximationd'Houzner peut mener a un coutcux surdimensionnement et iI est consellle d'utiJiser la methode deHunt et Priestley.'A cet effet, on donne au paragraphe 2.33 Its tableaux et les abaques pennettant d'cvaluerles efforts appliques sur la parol, des qu'on connait la lr6quence. d'excitation,Enfin, il a etc v~rifje que les pulsations du modc londamental sont identiques suivant lesmethodes de ealcul de Hunt et Priestley (annexe A 2, equation A 26 bis) et Houzner (annexe A 3,equation A 45).,L

. 1 3. RESERVOIRS RECTANGULAIRES3.1. Presentation du probleme

La methode de waham et Rodriguez prcnd en compte seulement les actions d'impulsions; par.centre, la methode de Hunt et Priestley envisage Ies actions d'impulsions et les actions d'osciJIations.On peut constater, au paragrphe 3.5, une identite entre ces deux methodes, si I'on compare

uniquement les surpressions d'impuIsions. Ceci confirme que la solution generale du probleme estcelle donnee par Hunt et Priestley. .La methode approehee de Houzner presentee au paragraphe 3.4 etudie aussi bien Ies actionsd'impulsion que celles d'oscillation.

3.2. Methode de cal cui d'apres Graham et RodriguezLes reservoirs rectangulaires c:onsideres dans ce chapitre ont la forme indiquee sur la figure 6.

h

,.-(l,~ . . ! ! . }- 2 2

-_ -------------I

L L Fig. _6.- Reservoirreclangulalre.

j; ; i. . ~,23


24/60

'.:\ N- 4 0 9 NOVEMBRE1982-:_:-:_:-,::-.::-..:.--------------::::::::::::----- .....--------- ...---.--.--'_...:...-.:. . . . : _Con~id~ron~~- tin :_rese~oir conteri~rii _.u~ 'ihJid~~'ri~ni;~ fs ibfe. non' visqueux, et soumis 1 une--acceleration Q (t) suivant l'axe OX; Ia methode prend en compte exclusivement les actions d'impulsions(p.i)

On demontre (voir annexe B 1) que la resultante;' des pressions hyd~odynamjques quis'exe~~t _sur la parol (h X b) s'ecrit : . . . . . . .' '., .' ' __"_ ......

PU;'-;:P'(~h2_Lb r ; ; e~.8~~~: : : :~{~:~(H!I -31)_ f ! : _= h w2 /g._ _ _"">c'" ,._ .. _ .. ' . (32)':1H Z= h w,Ng~ (33)

n [ nh . ]w i - = g (2 n+ 1) . 2 L th (2 n + 1)-, 2 L :avec

et (34)Pour un reservoir de largeur u~it~ (b = 1) et de longueur 2 L,on a done:

. ~. 8 th [(2n+ 1)hl2 L] I}p.=-p.(I)hL I I + ~ -"'(2. + 1)'h/2 L x (; r-1i

Notons :

(35)

A i = 1 + 8 th [(2 n + 1) hl2 L]r.l (2 n : r 1)lh/2 L ( / " ) ' .T -1 (36)"d'ou: (37)

,,,.,

, 3.3. Methode de caleul d'apres Hunt et Priestley'I 1 s'agit des memes hypotheses que pour le ca lcu l du paragraphe 3.2 , dans Ieque l onconsidere une largeur b unite et les dimensions rapportees a la demi-longueur L.Les calculs detailJes dans I'annexe B2 montrent que I'expression physique de Ia resultantedes surpressions hydrodynamique est la somme des pressions d'impulsion (PSi) et des pressionsd'oscilJation (PSo )

Ps = PSi+PSo (38)[1 _ 2 w 2 L2 i-, th lrll h/ L 1P S I = - P Q (t) h L h ~ rr."l (w 2 L _ g ~n2)U: (39)

avec Ies notations suivantes :1tan = (2n-l)T

~n= " 1 / lrn t I t rr.~ h/LEn posant :

(40)(41)-2 w 2 U ~ I " an 12/L

1 1 , ' = 1--..,..--" I anl (w2 L-g ~n2) (42)on obtient:P S i =- p a (I ) h L 1 1 1

L'expression de Ia pression d'oscillation Pso peut se mettre sous la forme:(43)

- .I'\:' a , , , w ~ .. Ih an h/LP 5 0 = 2 P g t L . . . J an3 (W2 L _ g ~,,2) h/LI (44)En posant :(45)

on obtient:(46)

RemarqueSi dans I'expression de la pression d'impulsion P4i (equation (31 on remplace I n et I parleurs valeurs et on effectue un changernent d'indice 11' = n + I,on aboutit a :

l', i. f _

n'

I


25/60

1 s1 . r -.~. . . . '-. - - - = - - .~ - - , - . _ - - : - : : . - _ _ - _ - '- : , : , , - . ' - : . - - - .- : . - - : - - : : : . : : = : ~..~.~...~.~ ...;#..I._, '_"

_,--------- -:..-:. -:.__:.. :. .._.-:_-._...-.._-_-__.--_- ....-__- __ !t!?OfUE~ ..~ ..METHODES DE CALCUL 256.,.

P 4 1 =- p a (I ) L h ) . . t h ]- ~ 8 th (. 2 n- 1)n.-1 + . . L J h X. J' r . ' (2' - l)1n ..~ I )x -g - ( 2 - . n - ' _ - ~ ~ : . . .. . : - .. , .. . i) - : - 2 - r ~ " " 7 ' " ~ - t h 7 : - : t~ : ( 2 - ~ " " " : ' . ~ - ~ :- . -l)....-;-:~- ._-.~- ... " (47) .

En posant :, , 0;;

C Zn = (2 n - 1)T (48)on obtient:

(49)IL Done les pressions d'lmpulsion caleulees d'apres Graham et Rodriguez (49) et d'apres Huntet Priestley (39) sont identiques:

~=~ ~3.4. Solution approehee d'apres Houzner

n Comme dans le ehapitre relatif aux riservoirs eylindriques, le cal cul approche considere deuxtypes d'aetions: les actions d'impulsions et les actions d'oscillations.3.41. Actions 'd'impulsior&

D'apres I'annexe B.3, la resultante horizontale 'des surpress'ons rl'impulsion, qui s'exerce surla parol verticale d'un reservoir rectangulaire soumis a une acceleration maximale am' s~eerit:th ,1 3 L/hP61 =-.p.,!", h L {3L/h (51)

On pose:~.

7 1 , = th V3L/hV 'J L/h (52)on a done: P61 = -pamh L7I, (53)Enfin, la resultante des pressions hydrodynamiques d'impulsion peut aussi s'ecrlre :~=~~ ~Mj est donnee par Ie tableau 3-1 ou ]'abaque 32, au paragraphe 3.43.

Cette resultante est appliquee a une hauteur hi donnee par Je tableau 31 et l'abaque 3-.3,au paragraphe 3.43.3.42. Actions d'oscillations

Dans l'annexe B 3, on demontre que les surpressions d'oscillation ont pour resultante :P", = + p V woz ~ 0sin Wo t (55)

ou. Wo est la pulsation fondamentale de vibration' du fIuideo'.et ~o est J'angle maximal de vibration du fluide.

De merne, I'equation (55) dormant Ia resultante oscilJatoire des pressions peut se rnettre sousla forme:P" , = M.., g ~o sin W. t (56)

ou M" est donnee par Ie tableau 31 ou I'abaque 3-4, au paragraphe 3.43. La force P 6 0 est appliqueea une hauteur ho ou ho, donnees par Ie tableau 31 ou l'abaque 35 (paragraphe 3.43) et definis auparagraphe 2.4.La frequence du mode fondamental de vibration du Iiquide est donnee par la relation suivante :

w"t" = 2 7. (57)ou W2-" - (58)

25


26/60

' : . r r 409 NOVEMBRE 1982- -- -- -- -- '- '- -- -- -- '- -- -'- - -- -- .. .; .; .. .. ... ;. ~- -; -- -- ... .; .. ..; -- ... .; .- .. ... :. -; ': .: :' : .: :- :;;.. .- : . - - . . . .: . : . . ~LA~ 'est donne par ~c tableau 31 ou.:'I'abaqu~,3-6,' a u paragraphc 3.43.

Pour determiner I'angle maximal d'oscillation l. dc la. surface librc ont ecrit :A.. _~ ,., _.,

""'0 - g , .-,O i l Sa est donne par le spectre de reponse en acceleration pour unc valeur de I.,-Par ailJeurs,'la hauteur maximale dmaa atteinte par les oscillations de I'eau est:_

d _ 0.527 Lmax - ( 2 ~ L -1) th (1.58h/9CIl. 0 ,

J (59).

(60)

EnCin, par extrapolation, on donne dans I'abaque 37 la distribution des press ions hydro- _..dynamiques s'exercant sur un barrag~ a parement vertical, pour unc action sismique horizontale: .. 3.43. Calcul pratique

CARACTERisTioUES nu DONNEES OEFiNisSANTRESERvoiR E1 DU FluioE lE MOUVEMENT2l , hiM sisMioUEam I So

TAUXDEREMPLiSSAGEh/L .. _ ..... ~

.I+

Mi 1 M hi / h Mo/M ho / h h~ / h l ~ 0 IA,tableau3-1 tablecu 3, tablecu 3' tableau 3' tableau 31 tobleou 3-1oboque32 obcque 3 3 cboque 3L cboque 35 cbcque 35 aboque 36III Mj f I hi f Mo I ho G J UJ a I

. . . . ., /"1~ c I

PREssioNS.HYDROD)'NAMIOUESPAR UNITE DE CALCUl DE LA DisTRiBUTioNP6i lARGEUR P60 PRESsioN DESPREssioNS dmox"

~ HYDROSTATioUE ebccue 3-7tDiMENSioNNEME NTDURESERvoiR

26

__ J ~

1IL

~"(( .( 1((((( -((( Uc((I I(((( ~.(((((((CC(


27/60

THEOR"lES ET METHODES DE CAlCUl 256

,,,.

TABLEAU 31METHODE DE HOUZNER RESERVOIRS "RECTANGULAIRESCALCUL DES PRESSIONS HYDRODYNAMIQUES

UI

- Lo/AILIh Mi/M hi/h Mo/M ho/h hoO/h10.000 0.058 8.535 0.826 0.501 40.393

0.2485.000 0.115 4.205 0.806 0.504 10.354 0.4833.333 0.173 2.762 0.77S 0.509 4.798 0.697,500 0.231 2.041 0.737 0.516 2.860 0.884:,m 0.288 1.610 0.694 0.524 1.972 1.0401.667 0.344 1.327 0.649 0.534 1.496 1.167

.' 1.429 0.398 1.130 0.6040.545 1.217 1.268

, ).250 0.450 0.986 0.561 0.557 1.043 1.3461.1Il 0.498 0.879 0.521 0.570 0.930 1.4061.000 0.542 0.797 0.484 . 0.583 0.856 1.451 '0.909 0.583 0.733 0.450 0.597 0.806 1.485 '0.833 0.620 0.682 0.420 0.610 0.772 1.5100.769 0.653 0.641 0.392 0.624 0.751 1.5290.714 '0.683 0.607 0.368 0.637 0.737 1.5430.667 0.710 0.580 0.345 0.650 0.730 1.5530.625 0.734 0.557 0.325 0.663 0.726 1.560US8 0.755 0.537 0.307 0.675 0.726 1.5650.556 0.775 0.521 0.291 0.687 0.728 1.5690.526 0.792 0.506 0.276 0.698 0.732 1.5720.500 0.808 0.494 0.263 0.709 0.736 1.574" - . '0.476 0.822 0.484 0.250 0.720 0.742 1.576i 0.455 0.834 0.474 0.239 0.730 0.747 1.577~ 0.435 0.846 0.466 0.229 0.739 0.754 J.S780.417 0.856 0.459 0.219 0.748 0.760 1.5780.400 0.866 0.453 0.211 0.756 0.766

1.5790.385 0.874 0.447 0.203 0.764 0.772 1.5790.370 0.882 0.442 0.195 0.772 0.779 1.5790.,57 0.889 0.437 0.188 0.779 0.785 1.5800.345 0.896 0.433 0.182 0.786 0.791 1.5800.333 Q.902 0.429 0.176 0.793 0.796 1.5800.323 0.907 0.426 0.170 0.799 0.S02 J.SSO0.313 0.913 0.423 0.165 0.805 0.807 1.5S00.303 0.917 0.420 0.160 0.810 0.812 1.5800.294 0.922 0.418 0.155 0.816 0.817 1.5800.286 0.926 0.415 0.151 0.821 0.822 . 1.5800.278 0.929 0.413 0.146 0.825 0.827 1.5800.270 0.933 0.411 0.142 0.830 0.831 1.5800.263 0.936 0.409 0.139 0.834 0.835 1.5800.256 0.939 0.407 0.135 0.838 0.839 1.580O:UO 0.942 0.406 0.132 0.842 0.843 1.580(U44 0.944 0.404 0.129 0.846 0.847 1.5800.238 0.947 0.403 0.125 0.850 0.850 1.5800.233 0.949 0.402 0.123 0.853 0.853

1.5800.227 0.951 0.401 0.120 0.856 0.S57 1.5S00.222 0.953 0.399 0.1l7 0.860 0.860 1.5800.217 0.955 0.398 0.1l5 0.863 0.S63 1.5800.213 0.957 0.397 o.na 0.865 0.S66 1.5800.20S 0.959 0.397 0.110 0.868 0.S68 1.5S00.204 0.960 0.396 0.108 0.871 0.871 1.5800.200 0.962 0.395 0.105 0.874 0.874 1.~80

L

LI

27


28/60

.v .

( I , '(1,2

1r

L/h

I

L1,1oL___o,.oo - + - _012 , 5

Abaque 3.3. - Reservoirs reclan&u1aires. Point d'appUcatlon hi de la resultante depression d'lmpulsJ~ ...ih~iI',20_

L13

2 1

Jo

n,

I---1-.3 LI n---T"0 -----5-

Abaque 3.4. - Resenooirs rectangulalres. Pression d'oscillailon p...

O.J_ --lo o__ .J ~--o-- _ l / h


29/60

p t b It ,I~.

I,J. ,

j,.~,j1

I

..--"~~---"''''-:--,

ih:/hIIo/h'D,H_'0 .J .II 17 T6 ~

Abaque 3.5. -- Reservoirs rectanruJaJres. Point d'appllaatlon h. (h." de la result,antedes pressions d'oscll1atlon. .,_----.-- ...-.-.....---.- _.-, _....-:_. ". ':'.

Absque 3.6. Rl!sen'oirs rectanru1alres. Dl!termination de L (lJ./At L 2 0 IL1 , s e ! _

: ,51;1,t.',3~\ll.",!, IiO,S,!..I

c , l t, C , ' t0,' ...0.5 Lo , d: : : t0 , , 1I L/hD ~ - - - - - - - - - - j - - - - - - - - - - - - - - 2 ~ - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - ~ ' ~ - - - - - - - - - - - - ~ S ~

Abaque 3.7. Distribution de pression sur parement vertical.

J " 'YC:AU DE L'u.u x

o :ACCll['''''Dlo ~ . ..a l" ..~ r au SO :. z

-----~------~C c. i 0,1 --1-- .,.0,) C,L --_--J___0,6 ".._.--,- ----1,------'- ....0,7. C,B 0,9


30/60

~-----------~---" 'f' I.: : _ " ." : i' ~ \ f " = ~N . 4 ~ NOVEMBRE 1982 .------------- ...~ ~ - ~ 4 - - . ~ _ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ 1 ~.~~:.,~:.. .3.5. Comparaison des trois methodes de calcui. Etant donne l'identite des expressions des pressions d'impulsion donnees par Graham etRodriguez (equation (49)), et par Hunt et Priestley (equation (39, dans Jes tableaux 38, 39 et 310.Jes comparaisons seront effectuees entre les methodes de Hunt et Priestley et de Houzner, )

Le tableau. l.g compare les coefficiepts J1 i et T }i appliques aux result antes des pressionsd'impulsions definies par:

P4i = PSi = -pa(t)h LJ1i (60: P6i = - P ain 1 2 L_T} j (61' .

On remarque de nouveau l'influence du tau x de rempJissage h/L dans les resultats, En effet, OJ!.constate que pour une frequence variant de 1 .6 Hz a 16 Hz et pour des hauteurs de Jiquide tres Iaibles(h/L < 1.5) la pression PS i varie de pres de 4 0 % en raison de l'importance, dans ce cas, des actions

......... . .'. . . . . .

L

TABLEAY 38RESERVOIRS RECTANGULAIRES PRESSIONS D'IMPULSIONCOMPARAISON DES METHODES DE CALCUL IU

GRAHAM et RODRIGUEZ IHUNT et PRIESTLEY-

L/H ~-1Ij HQrJ.;LNERf c 1,6 Hz f .. 4,8 Hz f- 8 Hz f - 16 Hz ' I J i

5.000 0.800 0.482 0.520 OoS37 -a: .sn"1 . 2.500 0.359 0.512 0.531 0.540 a:.sn- 1.667 0.390 0.518 0.530 0.536 (L.5i4V ' 1.250 0.412 0.509 0.518 0.522 ~.sfi2..J 1.000 0.417 0.490 0.496 0.499 1l;~2. . . . . .. z : . 0.833 0.410 0.465 . 0.470 0.472 IIi _ .,_;. ~0.714 0.396 0.438 0.442 0.443 m.4:'S

0.625 0.378 0.411 .. 0.414 0.415 1Il. . -670.556 0.359 0.386 0.388 0.389 CIl...Q70.500 0.340 0.362 0.364 0.365 ID.399. 0.455 0.322 0.340 0.342 0.342 03740.417 0.305 0.321

0.322 0.322 !!J.351t 0.385 0.290 0.303 0.304 0.304 0.3310.357 0.275 0.287 0.287 0.288 Cl..3120.333 0.262 0.272 0.273 0.273 ( : ' 1 . . 2 9 60.313 0.250 0.258 0.259 0.259 ~~, .0.294 0.239 0.246 0.247 0.247 O~;;70.278 0.228 0.235 0.236 0.236 Cl..2550.263 0.219 0.225 0.225 0.226 0..:2430.250 0.210 0.215 0.216 0.216 0..2330.238 0.202 0.207 0.207 0.207 I:l..2230.227 0.194 0.199 0.19.9 0.199 0..2140.217 0.187 0.191 0.192 0.192 0.2060.208 0.180 0.184 0.18S 0.185 C!..199"' - 0.200 0.174 0.178 0.178 0.178 CLl92f\ 0.192 0.169 0.172 0.172 0.172 ':!.lS5..J 0,185 0.163 0.166 0.166 0.167 O.Ji9. . . . . . 0.179 0.158 0.161 0.161 0.161 j::.l':~- = 0.172 0.153 0.156 0.156 0.156 i::.~{:.

0.167 0.149 0.151 0.151 0.152 . '::.Hi30.161. 0.145 0.147 0.147 0.147 : 1 .5 80.156 0.141 0.143 0.143 0.143 C!.lS30.152 0.137 0.139 0.139 0.139 ,::.1-490.147 0.133 0.13S 0.135 0.13S ~.1~50.143 0.130 0.132 0.132 0.132 '.:1.1410.139 0.127 0.128 0.128 0.128 0..1380.135 0.123 0.12S 0.125 0.125 c . . J 3 - 40.132 0.120 0.122 0.122 0.122 ~.1310.128 0.118 0.119 0.119 0.119 :U280.125 O. I I S 0.116 0.116 0.117 :,.12:'0.122 0.112 0.114 0.114 0.114 :!.12::0.119 0.110 0.111 0.111 0.111 : '.] ]90.116 0.108 0.109 0.109 0.109 ::.1170.114 0.105 0.106 0.107 0.107 :'.1140.111 0.103 0.104 0.104 0.104 :.1120.109 0.101 0.102 0.102 0.102 : .J090.106 0.099 0.100 0.100 0.100

: .1070.104 0.097 0.098 0.098 0.098 ~.;050.102 0.095 0.096 0.096 0.096 . j030.100 0.094 0.094 0.095 0.095 ..: 01

I~III1

30


31/60

. . .- . - ._ - - _ - . - . - - - _ --------_.: _ -

T H EOR IES ET M ETHODES D E CA lCU l 25 6

d'osclllatlon. Pour eette mcme gar:nme de f~uencc et pour des reservoirs 1m profonds, avec untaux de remplissage (h/L 1 .5 ) , 1a. pression PSi ne vane que de 2 %. . , .L'ecart entre les coefficients IL~et 7), est dans tous les cas inferieur a 10 %: I'approxlmation .de Houzner pcut done etre retenue. dans. tous les casne necessitant pas une precision superieure a 10 %.Le tableau 39 compare le s press ions d'oscilJations de Hunt er PnestleY(ILo) et de Houzner (~o) :

PSo = P tI",h2 ILo -r- ..,;: ..:. .... : '. '. .. _ (63)P60 = pS "h2 7)o :..... ..:-:." :'. =-:i~.;:: .,.:".":::,._. (64)La difference entre les~o~rfi~ients ILo c i - ' i ' pour desreservoiri ou h/L (CIS':' (L/h > 10) peuts'expliquer par la relation B20 de l'annexe B 30u l'on introduit L/h = 10, d'ou :- ~. -_. ---

.. -. .!':. :--:. ..~-. _" .:": ' : " - - : - 1 . : " - : ~ _ _ ' . - - . ~ : ' : _ ; " : - . : . _ ~ .Wo2


32/60

.''TABLEAU 3-10 .'" ....,

BARRAGES - PRESSIONS D'IMPULSION _COMPARAISON DES METHODES DE CALCULH UN T et P RIE ST LE Y ........ .' -/H iii HOUZ : . : E r .

( - 1,6 H z ( - ",8 H z f - 8 H z ( - 16 H z'Ii

6.667 34.824 0.463 0513 0.535 o.m -.000 0.800 0.482 0.520 0.537 . 0.57'74.000 0.461 0.494 0.525 0.538 0.5n3.333 0.380 0.502 0.528 0.539 0.Si:72.857, 0.360 0.508 0.530 0.539 o.m2.500 0.359 0.512 0.531 . _ 0.540 o.m2.222 0.365 0.515 0.532 0.539 O.s-:-:-! 2.000 0.373 0.517 0.532 _ .. 0.539 O.!.:,1.818 0.382 0.518 0.532 0.537 O.~.~1.667 0.390 0.518 0.530 0.536 0.5""""'11.538 0.397 0.517 0.528 0.533 o.m1.429 0.403' . .., ., " 0.515 0.525 . , 0.530'- O.~1.333 0.408 0.513 0.522 0.526 0.5661.250 0.412 0.509 0.518 0.522 0.5621.176 0.415 0.505 0.513 0.517 0.5~S

J.IJ 1 0.417 0.501 0.50S 0.511 . 0.5S1.053 0.417 0.496 0.502 0.505 - O.S-:S1.000 0.417 0.490 0.496 . 0.499 0.54:1. 0.952 0.416 0.484 0.490 0.493 O.S:?0.909 0.415 0.478 '" 0:4~4 0.486 O.!::;0.870 0.413 0.472 0.477 0.479 0""'-.;..:,0.833 0.410 0.465 0.470 0.472 0.5160.800 0.407 0.459 0.463 0.465 0.5090.769 0.404 0.452 0.456 0.458 0.50:20.741 0.400 0.445 0.449 0.450 0.49:50.714 0.396 0.438 0.442 0.443 . 0.4SS0.690 0.392 0.431 0.435 0.436 0.4S00.667 0.387 0.425 0.428 0.429 0.4730.645 0.383 0.418 0.421 0.422 0.4650.625 0.378 0.411 0.414 0.415 o.~-::0.606 0.373 0.405 0.407 0.408 O.~.:0.588 0.369 0.398 0.401 0.402 0.4-:::0.571 0.364 0.392 0.394 0.395 0.4:-:0.556 0.359 0.386 0.388 0.389 0.4r.0.541 0.354 0.380 0.382 0.383 0.4200.526 0.350 0.374 0.376 0.376 0.41=0.513 0.345 . 0.368 0.370 0.370 0.4060.500 0.340 0.362 0.364 0.365 .0.3990.488 0.336 0.356 0.358 0.359 0.3910.476 0.331 0.351 0.353 0.353 0.3S60.465 0.327 0.346 0.347 0.348 0.3500.455 0.322 0.340 0.342 0.342 0.37.!0.444 o.na 0.335 0.337 0.337 0'-.!'::0.435 0.314 0.330 0.332 0.332 0.3t-::0.426 0.310 0.325 0.327 0.327 0.3~c.0.417 0.305 0.321 0.322 0.322 0.3~10.408 0.301 0.316 0.317 0.318 0.3~0.400 0.297 0.311 0.313 0.313 0.3oSl ___

.~.:. --- - . . . .~. .~.:::-- ,.-.:..--.--;:..:_-. _' ';...--_. . ... -'._" .. .. . ' _ " _- ..-.-: -~ -- .... ---._' --.... .--~..-. _.. _' - .-_ .. _- -:'-:-- -:--~.'~ ...~-:-."~~--:':". _.: .~ ~':';~ .~~""" ..,A'~_~ ....__._ ...N" 409 NOVEMBRE '982 .__ .__ ._._7__.__:'_ ~------.;.._ __ --------- __.,.

'".:.:_ .: .. .:'. : ; ' : - . : :..---, .- - ------ =,:: .- . :.- =..~:':......: :-..:::-....

En effet, on constateque; par exemple, pour un reservoir d'une demi-Iongueur L = Sm et d'unehauteur d'eau h = O .S m, Iavaleur de Ja frequenee I est inferieure 110.10 Hz. On peut done, dans cecas. negJiger I'influenee des pressions d'oscil1ations.. . ,:: ":;-'.; ..,::-::"'::,i:';,:'-' .. :.. De meme. poJr"les -'reservoirs tres proConds (h/L 1.5)" les ~~~sin~ d'oseiJlation sontpratiquementnulJes (tableau~-9), - = - . . . . . . ' . . _ . ~ . ' : ' : . . . _ . ~ .

Une comparaisonp~~t et!e Illite dans le cas des resez;_~~ir~-,,-!.~~tl!.~8uJ_~~~~s~:_vi .I~ pressionunitaire s'exer~nt sur' le-paremenfverticaI- d'uri barrage," ..::_:~.;.; _.:: .... :,'.-' ._- .. Si dans Ie tabI~u'- 3 .1 0 '~ ~ faIt' 'tendre Ie rapport i.jh'v~~"i';infini"( L I T ! 10), on obtient lesresultantes des pressions sulvantes, par unite. de Jargeur : .

!I..J"'.::

Hunt et Priestley Pmu = 0.539 p- a ( I ) 112" Houzner Pmox = 0.577 p a , , , I I I Newmark et Rosenblueth [26J Pmn = 0.543 p a (I) 1 1 %Les di!ference.s n'excede?t pas 6 %, ce qui co,:stitue une ires bonne approximation puisque lesforces dynarniques viennent S'8Jouter a une force stauque P = 0.5 p g 112qui leur est tres superleurennllr rI,.. , ..,..,..~t~r..f ,. (,\ .,..n' c

7 . .. .I

'..'.~.F

. If ciI1J!..ILInI

-iL-1i!ILI

. .,' :,~~,


33/60

!!I, L ,~- . ~ . ~ 1!

r) . -,i

IT I~ . ~ Iii i 1J I I,

!"'.,I1

I ~1!I~I

e -,

THEORIES ET METHODES DE CAlCUl 256

4, CHATEAUX D'EAU METHODE APPROCHEE DE CALCULD'APRES HOUZNER

4.1. Methode de cal cuiDans le cas des chateaux d'eau, on ne peut plus considerer la euve (ou reservoir) comme etantrigidement lice au sol et subissant par consequent hi meme valeur de l'aceeleratlcn maximale queIe sol. _ - __ '. _ .. ..: .. " . . . .En effet, quand la cuve est au sommet d'une structure, on doit eonslderer Ia flexibilite decette derniere, Le caJcul approche par Ia methode d'Houzner [19] consiste en une modelisation del'ensemble du chateau d'eau (fig. 7 a) representc par son equivalent rnecanique (fig. 7 b) et par Iemodele (fig. 7 c) __ , . ... '. .On a vu, en ce qui eoneerne la cuve, que la masse totale M pouvait se decomposer en unemasse passive M, et une masse active M o reliees rigidement d'une part, et par l'intermediaire d'un ressortde constante de rappel kl d'autre part (fig. 7 b).Dans le modele adopte pour le chateau d'eau (fig. 7 c), la masse M o est reliee a la structure parune tige de meme raideur kl formant un couplage .direet avec Mi, landis que Mi est reliee au

so] par une tige representant le support de la structure et de constante de rappel ko

CUVEk,/2 - k,12A- 'A-Mo .. . . .

W'Mi.

.1,,/,/, I/. /I,

TOUR

b) EquIvalent mecanlqua, c) Modellsation.ig. 7. a) Chiteau d'eau.

Les valeurs de Mi, Mo' hi, ho et Wo ne dependent que de la geometrIe de Ia cuve et peuventdone etre calculees soit par Ies equations du chapitre 2 (pour les cuves cylindriques) soit par lesequations du chapitre 3 (pour Ies cuves rectangulaires). La valeur de Wo deterrninee a partir de cesequations donne la raideur: .kJ = ntJ w o2 (65)On dernontre [18] alors, en considerant Ie modele (fig. 7 c) et ~nappliquant Ie pnncipefondamental de la dynarnique, que les pulsations de vibration des deux modes principaux sontdonnees par:

(66)

33


34/60

, . - ,.'~t'"!!'t'~~,.,..


35/60

. ,

ri.I! '

:'

,1i j

_--- - - 0" :----_" ::, , :~:,~-:.. -.-

THEORIES ET METHODES DE CAtCUl 256

avec " _ - - _ "-::-- .. __ . . . _ . . . - . _ . . . .- .. '-;- ... - . .. _ - - ..... -AI" = = X I"...;_ x . ; , . - ' . . _ . - - - - - - _ - - . . - " . - (87)On peut alors calculer le deplacement maximal correspondant '1 chaque mode et en deduirele deplacement maximal correspond ant i. J'ensemble des deux modes de vibration, par la sommequadratique : . -. . __ . ..dmas'=V t J Z 1 + t J Z ~ I I - : _ ~ ' : H - . _Ce raisonnement vaut .egalement dans Ie cas d'un reservoir rectangulaire, en remplaeantI'equation (60) par I'equation : ., __ ;... '~.' _. .

,. :..~-- 0.527 r;-- _ .

(88)

dmu.II = ( )IJ)I e~.L .;-:- 1 . th (1.58 h/L) . (89)

Pour des grandes valeurs~ (90)de C d } ) "'0' I'amplitude maximale des vagues est donnee par:

oudmu = = ~~R-dmu = = e, L-_

4.2. Exemple d'applicationSoit le chateau d'eau en beton arme, represente par la figure 8.D'apres Newmark et Rosenblueth [26], Ia dissipation d'energie due a la viscosite du liquideest equivalent 1 un pourcentage de J'amortissement critique.Ce pourcentage est toujours inferieur ou egal a 2 % et ilaugmente avec la frequence d'oscillation.On admettra done 0.5 % d'amortissement critique pour Je premier mode de vibration de I'eau, et 2 %pour le second.

12, ISm

*JOm. : s k : J l 1 !!!._.HAUTEVRD'EAU

1,DOm

.. 2D,ODm.J,.. {2 f 11,OOm

.'D,DOm= s k = fOS,IDm

Fig. 8. - Chateau d'eaude 1000 mI

/]cm

I,I,I.I.ID,DD.:sk 0/o,IDm-k /,5Dm

35


36/60

, :,'~'.;.":

. . . ~ _ _ ~ _ : . ~ : ' __ _ , _ _ = : _ _ . . ._ . . _ ~ . . . . - - . . . ; - : : -. . _ "; " ': " - - . -. - ~ -- - - . . :1 fN. 4 09 NOV EMBRE 1 9 82 " _- _-_;__o;;,:." ..;:,___;;=;..;_;..;._-- ..;_ -.:.''On examin'era $ucccssivement la fI~he maximale en tate de ~servojr. I'effort tranch~nt maxin::..!.lau, sommet de la tour et le d~placement vertical de I'eau en surface en utilisant le spectre dertponse en vitesse S" de la figure_9._, ,. .Co : ~:. :~~-.:, - . .'. -::!:: .::..:", ,'. "_-'.Sv trn ' i ~ ) -

O,6H

..~ -":. . . . . . :. . --- .. ' - -.: _ .. _ - - -. ,-~. , . . - -, , - . _ . ..r-, - . - . - ._"/ _ "_ - . - - . _0-, ,... ,f -o--D~1 ..' JY.e ,

Y . . . . . 51~.II /V lOY.f_ ~~~ ~ 20Y.I lOY.~ ... . , . . r1 _

Fig. 9. - Spectre de vitesse, silsme de El Centro (1940).

Pour simplifier Jes calculs, on admettra que Ie chateau d'eau reel peut etre remplace par lemodele represente sur la figure 10.

Fig. 10. - Chateau d'eau.Exemple d'appJlcatlo.'1.

L

E ~0~

0. e n" " . .~jt ,,lI,j, .

E00MN

'8

36

- f lJ 1L ,OOm

15c

\ _ - - _. . . - . . . . . . .\ " " ' . . . . . 'toyo\ .\ - ---- - ~~ ~-- ------ -----'-,\ ---- I\ . . . _ _ ----- . . . . _ _ . . . . . . . I!~ . . . . . . . . . .em \ I\ I\ I\ I1 .\\ I\ I\ I\ II

12cm ~ 10 OOm

I \1I II II _ 1 '

-7I7-T-"-l "-, Eoor--II.c


37/60

THEORIES ET METHODES DE CALCUL 256, 'Le poids d'eau est ~gal 1:

M e = p r.R2 h = 9.81 X 1 000 X ,. -1- - ,X 6.85 X 6.82 '= 1 005 . 10 Neelul du reservoir vide (masse voJumique du beton d = = 2.5 tim)M,=239. 100Nle poids total du reservoir:

M, = Me +M, = 1 244 . 10' NSi on garde la meme den~ite pour le beton de la t o u r . on 'aura , '" _. '." :.,- .M ~ r = 214. let' N . . ",...D'apres le chapitre 2.4. le reservoir seul est equiva.lent au systeme mecanique de la figure 11.

\ .,

h ~ 7,00~ = 1,00

R = 7,00ig. 11.

Ith V'3R/hMi =Me .r: + M, = 783 J 04 Nv s R/h

Mo = M e X 0.3J8 : th (1.84 ~) = 303.104 ND'apres I'equation (20)

2 9.81 J 84 09- 2 - -2W" = --:r- X X ~ = .4~ sOn en deduit. par Ia relation"1'(65) : .

k,=m, 1JJ,,2 = 756.103 N/mCalcul de Ja eonstantede rappel k,

On dernontre par la methode de Rayleigh [25J. que pour une masse concentree au somrnet. d'une console de section constante (fig. 12) et de masse non negligeable, la periode du premier mode.". -de vibration est donnee par:I P' [3T=2"'Y'g3EI

P ' = P + : : 0 piP: poids de Ia masse concentreep : poids lineique de la console,On en deduit la rigidite de la tour k; par:

4 ,.1 g X 3E I koW2=Tl- p'p -MP 3 E Iko= 7-1-)-

p por mHre

Fig. 12.

P = M , = 12.44.106 N. 33 9 106NP = M, + 140 M,our = 12, .

Le module delasticlte du beton est pris egal a :E = 350. 10' N/m2et l'inerlie de la section transversale est egale it:

I = .. R) e = 45.4 m437


38/60

";'III : - . r A ' " ..,~. . . . .~.

d'ou Ia constante - .~- .~- ..~ . _ . -...

d'ouet

k - ~ 3 X 350 . ]0' X 45.4 7 N/0- 12.9 (23)1 = 37.6. 10 ,.~_,

A partir des ~quations (67) a (69) on obtient: ':koo ::.. 37 675 . JO e N/mkn ::.. 75. lo e N/m ._ ,k O I = k 10 = - 75. Joe N/m , , __..__.

D'apres I'~quation (66), Ies pulsations des deux modes'principaux de vibration sont donnes par :1 [37 675 75 ' I ( 31675 '75). 752 ]f J i Z , . 1 I =T 79.8 + 30.8 '\ '7't8- 30.8 ~ 4 79.8 X 30.8

fiJl = 2.43 fiJI = = 1.56 T, = 45fiJII2 = 472.123 fiJi, = 2l.?2, ,_____ Til = 0.29 sL'~quation (76) donne un rapport d'amplitude ,"0

-75 ---'79.8

, 1

....::~=:.. " '..~-:~~:~~:.~

lbo, = =0.002et

472.]]8-2.43-75

(Poll = - '79.8 = _ 188472.1 18 - 472.]23K, = 79.8 X 2. ]0-3 + 30.879.8 X (2 10-3)2 + 30.8 = 1.005

79.8 X (- 188) + 30.8 __ 0 00579.8 X (- 188)2+ 30.8 - .

soit

et KII = . ' T -D'apres le spectre de vltesse de la figure 9, on a :pour

TI = 4s~ = 0.5 % } 5 , , 1 = 0.79 m/secpourd'ou:Les neches:

Til = 0.29 s , l~ = 2 % I 5 " 1 1 = 0.42 m/secdu premier mode ~ XII' = ],005 X 0.79 = 0.50m Mo.56 pour( X ol = 0.5 X 2.10-3 = I. JO-3m pour MII Xllt = - 0.005 X 0.42 =-1.1O-em Mo1.7 pourX c I I =- 1. JO-4 X (- 188) = 18.10-3 m pour M j

o' IUI!.j

du second mode

Les forces horizontales (78) a (82) :PJI = (75 X 0.5 - 75 X JO-3) 104 = 37.4. 10cNPol = ( - 75 X 0.5, + 37675.10-3) 10c = 0.18. loe Nsolt un total pour le mode IP, = PII + Pol = 37.58 tde memePili = (75 (- 1. 10-C) - 75 X 18. ]O-3J 10c= _ 1.36. 10cNPoll = [- 75 (- 1.104) + 37675 X 18 .10-3 J 104 = 678 .10c Nsoit un total pour Ie mode IIP u = P llt + Poll = 676.6. 10c N

II y aura done un effort tranchant maximal au sommet de la tour deP = , /P t2 + P II2 = 677.6. 10c N

La hauteur maxlmale des vagues :Etant dans le cas d'un reservoir cylindrique, on ulilisera la relation (87) d'ou :

X ' ; t - X o t60t = 1.53 R II! (1.8411/R) = 0.10

.'

; - . 1

38,,;j~


39/60

ll.: I ~ "~ : t- . ;; .: , : ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -i1 ,.

t >

. i

III

THEORIES ET METHODES DE CAlCUl 256-::-,"_._7~-': ....-::.~:-.:". = ' - . . _ ~ . ;_ _: : .

0.408 X 7dmaxl = - - : ' ( - ~ 9 = - . 8 : : : - : 1 : - - ~ ~ : " " " ' : ) - - -0.34m1.56 X 0.1 X 7 -] xO.95

Xau-x"ii ". : .:--... _ --_ . .dm,xlI = 1.53._. R _._. _ ? < 0.95 X 7 = - 0.026 m )En resume, le systerne equivalent de ce chateau d'eau consiste en une masse passive de 783 tet une masse oscilJante de 303 t.Le systeme vibre selon les deux modes I et 11 definis sur la figure 13.II s'ensuit done un effort tranchant maximal en haut de tour de 677.6. i04 N:-A ces modes correspondent les vagues indiquees sur la figure 14, done un deplacement

/ . I Imaximal de \ 0.34 + 0.026 = = 0.35 m.On remarque que la contribution du second mode, en ce qui eoncerne Ja hauteur des vagues,est negligeable devant celle du mode I, alors que sa contribution est beau coup plus importanteque celle du mode I quand i1 s'agit des sollicitations dynamiques.

37,L.10'NIII0,18.10' NIIIIIIIIIIFig. 13.

M O D E nF===--... . . : . :=dt 0,026 m

M O D E .I

Fig. 14.

39


40/60

....a_... __ .._ . ~":" '_ """" ;""'- __ ' " _ ._..~;.N 409 NOVEMBRE1982

ANNEXE I i . : RESERVOIRS CYLINDRIQUESRESOLUTION DES EQUATIONS.' .

..~-:...-.-.;:-:" ..:. ;;'.:;-: :'_ , : - . ,A 1. Methode de JACOBSEN- et AYRE

. .. , . .. . =: .: .. .: .- :. ., :. ,; ;. ;. .. . .. :. ; _ ., ._ -

A 1 .1. Champ de t'ite$$e~:~..;~,:"~'~:..:.: _~.,::~~:.-:'_-:"i'::';'~ ..r - - . :: . . .~ . . : .e-;"."Soit le ~s~~voi~de l~.Ci~re 2 soumls ;; une translation Je long de I'axe OX.Sous Ie s conditions suivantes: .' fluide incompressible; fJuide non visqueux;.petits d~placements'; ." ..,' . regime non turbulent (done nombre de Reynolds suCCisamment petit),

le champ de vitesse ~ .dans le reservoir est dond par I'equation de LapJaceV2~ =0

En associant les conditions aux limites relatives aux parois et l Ja surface, on peut arrlver edonner la solution exacte du probleme. .En coordcnnees cylindriques, I'equation (A. 1) est equivalente a:

&2 ~ 1 8 ~ 1 C2~ 82 ~8r +Tar +'7W+ IT=0 (A.2. ' l1Cherchons le s solutions sous forme de variables separees

~ (6, r, z, I) = ot . (r) ~ (6)Z (z) .r (I ) (A. ~iavec Ie s conditions aux limites suivantes :

la composante vertlcale '" de la vitesse est nulle sur route la base (z = h)soit

( a ~ ) _ 0 (A.4}8 z :_,,- la vitesse de translation u suivant la direction X devant etre egale a r (I), la compos anteradiale de Ia vitesse est don nee par :

( 88~) =/'(/)Cos 6 (A.5}r r-R la pression pest nulle sur Ja surface libre

p):_o =0 (A. 6)Si on ne s'interesse qu'a I'impulsion de pression pendant un temps A I et qu'on neglige .Iasurpression apportee ulterieurement par la vibration du fJuide, dans Ia direction X, la surpressiond'impulsion verifie:

8p duax = - P dt (A. 7)La vitesse u se deduit du champ de vitesse para~u=~ ex

8 p 82~=> ax =-p 81 o xa >p =- Pat+ F (1)

soit en integrant(A. 8)

Dans Ie present calcul, nous supposerons que F (I ) = 0 en admettant que pendant l'impulsion.. 1 i, F (I ) est sans influence sur p. Donea~p =- Pat (A. 9)Si, en plus de la condition (A.6), on impose la condition initiale qu'a t = 0 la surface Hbresoit au repos, on aura:

4:=0 = 0 'VI> 0 (A. ]0)a) Fonction Z (z)

Supposons a present que J 3 fonction Z (z) pulsse s'ecrire sous forme de serie trlgonornetriquede rerrne general:Z (x) = Sin (nkz) n entier

40

(A. I]

i j

, '

r

1!L

III, t

.. -:

I


41/60

l~:f ". I . .) ,L

~ .I

I7UI. ,

-;'

.~ .

' : i : .~~;

' . : _ . .

TH EO RIE S E T M ETH ODE S D E C A LC UL 2 56Pour satisfairc simultanement les conditions aux limites (A.4) et CA.10),on doit avoir :Sin (nkz) =o ,...._.~~ur "z = o ~ v~rifi6Vk- .. ~ ~.. -.- ---.--..

et Cos (nkz) =0 7t~ nkz = (2 m + 1)Tm entierour r=hOn doit avoir simultanement! n impair-7t.k= 2h

b) Fonction e (6)De maniere a satisfaire laeondition aux limites CA . 5 ) , posons

c lJ (6) =Cos 8c) Foncticn Ol. (r)

Le champ de vitesses til C r , 6, z , t) ,'cerit a present:c lJ = Ol . (r) Cos 1 1 Sin nkz r (I ). [ 1 9 2 Ol . 1 a Ol.- ( 1 ) ] .(A. 2) => 8,:z +Tar - n2 k2 + -;r Ol . Cos 6 S10 nkz r (I ) = 0

Puisque eette equation doit etre verifice V 6, z et r (I) alcrs on doit avoir :a 2 Ol . 1 a ot ( 1 )Sr2 +r rr: n2k2+ -;r ot=o

En posant p = nkr I'equation (A. 11) peut s'ecrire :1 9 2 Ol . 1 a ot ( 1 )a p 2 +pp - 1 +pi" e: =0 (A. 12)

equation differentielle de Bessel, donnant pour solution Ie s fonetions de Bessel d'ordre 1 et d'argumentx = i p purement imaginaire, e'est-a-dlre ;Ol. - I()_. (inkr)- I P - i

(A. 11)

d'ou l'expression finale du champ de v ite s s es :'c lJ =,.(f)Cos Ii ~ Aft Sin nkz IInkr).. kJ.. -1.3.$ CA . 1 3 )

La determination des coefficients Art se fait a partir de la verification par I'equation (A. 13)de la condition aux limites (A.5), soit:,. (I) COS 6 ~ Sin nkz A " a 8r (I , (nkr, ..R = r (I) COS 6

,.3.5

=> ~ A" Sin nkz a a r (I, (nkr)] , ..R = 11.3.5

D'apres les proprietes des fonctions de Bessel (29), on a :a nke; : [II (nkr)] =TI" (nkr) +12(nkr)]ou encore en fonction de I" et II:

e 8r [II (nkr = nk [ I " (nkr) - nir II (nkr) ]d'ou :

~ An sin nkz . nk [ 1 0 (nkr) - n~r I I (nkr) ] = I1.3.5

(A.14)

41


42/60

' 1 'I:~~.. : ' ~ ~ a : '. ' .*~W4~NO~MB~1~2 . _ - = = _ - _ - _ . ~ _ ~ = .:~~~.';;.' - , , ~... - . .._ .... _ .. .; . . . . . .~ .. :).'-... '~ .. ~ . . .-~.:Z:[~1.. : . : .. .. ,... '" .-.. - sin 1ikzPar ,mcurs, on "tit que I, S < ! r i . irigonom~triqu. d. terme gen~,,1 ' pour propri."" ,_ _ _ .,

. k sin 3 kz + sin 5 kz 'ItSin Z + 3 . 5 + .... = " '4

ouV _ z tel queo~z~h

D'oll, en ~crivant I'expression (A.l4) sous la forme:~ A sin nkz n2 k [I" (nkr) .; -kI'l(lIkr) ./ = 1.k.J n 12 .' nkr .1.3.5

o ~ kz ~ ~.,. _ . -- , . !: .. . I

On peut en deduire I'expression des coefficients:1

4 'It " ' i i 2 Bh 1 _An =T 1 - ;:2n2 '11 " (nkr) - -:--k II (nkr) 1" (nkr) - -k II (nkr)n r n r

On a donc I'expression generale du champ de vitesses;r.. - r ( ) 6 2 ; - . . . . ! ! _ II (nkr) sin nkz'6_ I cos 22 1'It n

1.3.5 I" (nkr) - -k II (nkr)11 r

, -

(A. IS} L

A 1 .2 . Surpressiolt, forces et momentsConnaissant Ie champ de -vitesses, il est aise d'en deduire Ies efforts dans le reservoir sousl'action de l'impu]sion dynamique seu]e.

PressionEUe est donn~ par I'equation CA . 9 }

soit, pour


43/60

::'.','.

...: .;_.; .: . ~.-.---....;-- . _ ..---_...... - - _ . ~.- . ._ '. _, . ,_.-~. ' . . .~-.-_ . ._.,~:.;7(:t~.THEORIES ET METHODES DE CALCUL 256

._ h% = - p r (I) R X ; ~ .I\~II:.(n~:)I o. _~_sinkz dz

. . f " 1 .n lmpalr,~ z SIn nkzd_z. : : : : : . ._ k2 n1 .2hz - ---; :; (A. 18)

hi= h- %Moment des forces horizon tales (plan XY)

11 est exprlmc par Ia relation :N 4h2R ~ A . . I . (nkR)M = Puhi=- p f (t) - 7 J 7t,_._ n

Fig. 1 6.

Couple de forces agissant sur Ie fond (z = h) (fig.16)---------------

+!!J : Pz-h r1 co s e d e dr-2

= -2 p J N (I ) h2 R ~ (-1)" ~" [ 1 0 (nkR) - n~R IdnkR)] (A. 19)C e couple conjugue avec le moment de flexion M precedemment determine, exercent sur lereservoir un moment de renversement.

A 1 .S . Calcul de s vitessesPendant le premier intervalle de temps At, on a vu que seuls intervenaient Ies effortsd'impulsion. 'La coniposante verticale de la vitesse est donnee par:

III= ~~= r ( / )cos e ~_pk All I.cos nkz (A. 20)Remarque 1

Sur Ies parois r = R on a:- k 4 I I (nkR)nk A " II (n R ) = -=- -::----_:._.;:.... .. .".~----

..n [10 (nkR) - niR II (nkR) ]et pour des grandes valeurs de n I'expression (A. 21) est equivalente a:

4 1-x-r. nDone, pour z = 0, le terme cos nkz dans III prend les valeurs 1 selon la parite de n et

on justine ainsi I'approximation :.

(A.21)

~ A ft I. (nkR) nk cos nkz ~ ~ f. _1_~ "'-' n1.3.5 u.s .On s'apercoit ainsi. que la composante verticale- de la vitesse aux points d'intersection de, lasurface libre (z = 0) et des parois (r =R) n'a pas une limite finie. Ce sont des points singuliers pourIe modele choisi.Cependant, partout aiIIeurs, III est donne par I'expression (A. 20).Remarque 2

La condition de limite 111:=11 = est vCrifiee.La vitesse radiale 'r ] est donnee par

]1 0 (l1kr) - ~ I.(nkr)]1 0 (nkR) - nkR I I (nkR)

sin nk z

4 3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


44/60

... ,_ ....-. ' ., .. , _ ... . -. . . . , ; ; ~ - . . ~ . ; . - . ; _~::... . : - . : : ------, . " " ; . _ . :' .'-;:::-:::-: ~ -.'- _ . . ..N 409 NOVEMBAE 1982 ---...;;.;;.;..;..;.----~--;.;..;.-;.;.. .. .;..-.;;;..---....--.-----------~-....:.....

soit au niveau des paTOis (r;';;" R) . ." ::- .._,.. . '. ....~ . ::,::,_:::o::o_~~:.o_.. ' I ~ c : _ ' . : : . : . : _ : . : , : . . ..s: _T} = (~)'-';;;;'-(I)'~soe'_ ~ - sin nkz ~ f' (I ) cos 8a r , - R . . n l.loS n.

Pour avoir Jes composantes rectangulaires des vitesses (u dansdirection Y) determinons la vitesse c~rconrerentielle C, dUinie pa~ :a ~ . _ . - .c = 8 (r o)~--~~ __: : i ~ . 8 : ~ ~ . . ~ ~ = c . ~ : : ' On a ainsi ;et

8 C 8' Tj -u = T}cos - Sin = COsOV = T}sin 8 + C cos e = 0

Ia direction X et v dans Ia

soit. I 10 (nkr) - nkr I.("kr)u = f' (I ) _ 4 _ ~ . . . ! . . - - - - - - . . . , - - - - - sin nkzn.kJn 1.loS 10 (nkR) - nkR II (nkR)

v=oL'equation de u montre que la vitesse dans la direction X est independante de 8 et qu'elle vautJ ' (I ) pour r =R.L'equation de v prouve qu'il n'y a pas de composante de vitesse dan, J a direction Y pourune acceleration du reservoir dans la direction X.

A 1.4. Modeluation.La modelisation de ce cal cul peut se Caire en calculant la masse passive correspondant a laforce PIi exercee sur les parois, soit a partir de I'equation (A. 17) :

_ p rei) h R ~ An I. CnkR)M i P :u k.l 1 1M - pr (t) itR2 h = - p r (I ) itR2 h~ A" I. (nkR). . t . . . Jlv i , = M . nitRd'ou

ElIe ...est: appliquee a une hauteur h, definie par C A . 18).'La rnodelisation est done celie de la figure 17.

h M :M ASSE T OT ALED U F lU IO E

=:==--=

I"2R

__ ... f"(t)Fig. 17.

A 2. Methode de HUNT et PRIESTLEY

(Impulsion seule)_~ .. f"lt}

Considerons le reservoir de la figure 2, dont routes Jes dimensions sont rapportees au rayon,contenant un liquide suppose Incompressible et non visqueux.Les expressions sont d'abord etabJies sous leur forme adimensionnelle puis reecrites sousla forme physique en fin de chapitre. .Supposons qu'a I'lnstant t = 0, Ie reservoir soit soumis a une acceleration horlzontale a (r)dans la direction X.Soit e ll (x, y, z, t) Ie champ de vitesse regnant dans Ie reservoir.Ce deuxierne calcul se differencie de celui du paragraphe A 1 surtout par I'hypothese selon

laquelle On ne neglige plus Ie terme de gravite dans l'equation de mouvement, Ceci revient a

I

IL


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! ( .I, j, .~:.,1

1 . .1

,

i1iLI! ;I

III

._

--,-.--. . . . ._ _ .....'THEORIES ET METHODES DE CALCUL 256

conslderer, loujours dans le cas de petits mouvements, la memeequation de Laplace 'il2 ~ =0,mais 'avec des conditions aux limites modifiees. Condition initiale de repos du reservoir:

4 > (x, y, z, 0) =0 _. Condition qui annule les vitesses perpendiculaires aux parois et suppose donc des paroisrigides:

d 4 >---0dn - '..

(A. 22)

v (x,y, % ) (A. 23)sur les parois er la base. ,_,(n: normale A la surfaceconsideree).1 1 s'agit de vitesses relatives au mouvement du reservoir.

o Condition donnant I'equation de la surface A tout instant t :( ~ 4 > ) . _ ( a : ; ) + (I )%:~ Q :-0

Condition initiale de repos de la surface libre:a 4 >at (x, y z, 0) =0(A. 24)

(A. 25)Pour resoudre 1'equation du mouvement 'il2 ~ = = 0, introduisons les coordonnees cylindriques

(r, e z) on obtient alors:82 4 > 1 8 ~ 1 82 ~ a 2 4 >arl +rar+7W+ azl =0et avec la meme technique de separation de variable que precedemment on arrive [1] A la solutionsuivante:

~ T I ( A " r) ch A " (h - % )4 > (r, e . z, t) = cos e ..l F " (I ) J I ( ) ., . ) ch A n h,,-I (A. 26)ou A " est definit par J I ' ( A n ) = 0pour n ~ 1, 2, 3, et T I fonction de Bessel de premiere espeee.

Sachant par ailleurs que I'equation (A. 26) dolt verifier la condition (A. 24), en posantx = r cos 8 on aboutit a:~ J d A n r)cos 8 .. l J I ().,.) [F,," (t) + / 3 . .2F" (I)] + r 0' (I) cos e = 0, , - I (A. 26 bis)

avecSi 6 = ;, on simpliCie par cos e et A I'aide du theoreme d'inversion de Fourier-Bessel [29]

et de I'identite :A n T 2 ( A n ) = J I ( A n )

on arrive A l'equation differentielle dennissant F" (I)" ' . 1 : 1 2 20' (I)'F" (I) + 1" F"(I) = 1- A n 2 CA.27 )

Avec les conditions initialesF"" (0) = F, (0) =0la solution de (A. 27) est donnee par:F" (I ) = ~n (l~. . " 2 ) J : a' (0) sin / 3 " ( I - - - . ) do

d'ollF,,' (I) = 1 _: Ai I : a' ( .) cos ~" (I -.) d. (A. 28)

Done connaissant l'expression a (I) on peut en deduire celie F,,' (I ) et, par suite, l'expressloades pression et hauteur de vagues.Pressions dans Ie Iluide

A partir du champ de vitesse c I> les pressions en tout point sont donnees par:a e l >p = Z - at - X a (I )4S


46/60

..N" 409 'NOVEMBRE 1982 . ~--- ~------ _

" ' : : l. : r . . ; ..~~,: .~~- . .. _ , '0 l j

soit,'.:.

I~(.~. 29).

ResuItante des Corcess'exer~ant sur Ie reservoirElle s'obtient par )'integration de I'expression (A.29) sur la surCace:. J

, .

expression dans laqueJle apparaissent a ")a Cois l'action du poids du fluide (k ) et celle du t:";.lidesur Ies parols c 7 ) c'est.a-dire

- r., ( ~, I h i . l l h ) - : o JP2 = 7t H t k - Q (I) + k.J F" (I)" i...1 t I '.""'J

,'II1.CA . SO )!.

(A.. 31)Moment (calcuIe/o) des Corces sur Ies surfaces du reservoir

En integrant I'equation (A. 29) sur toute la surface, on obtientM = "j [Q~') (+ - 1 % 2 ) + . :t F i l ) ( C h ~n h - 1 ) ],,-J

qui est Ie moment total des Corcescomprenant eelles s'exer~ant sur Ia base.. Sip par contre, dans I'expression (A.30) des forces, on ne s'interesse qu'a )a composante poncepar ( 7 ) , alors on obtient le moment sur Ies parois verticales. _- - : - [ a (I) ~ r: ( I) ( 1 ) ]MI = -,,/ ""2 h2_:'. : f '_An 2 _ 1.-:-: ch A n h . . . ~.

Equation de Ia surface libre du fluidcA partir de la condition C A . 24) et de l'expression generale du champ de vitesse, les coordonn.ees.de Ia surface libre doivent verifier '. .

a (> (x,y, 0, t)"1'(X,y,t)= at +xa(l)Soit, en ccordonnees cylindriques :

[ ~ 1 1 (AnT)]"1(r, 6, I) = r a (I) + ~ Fn ' (I) Id"II) cos6

1 .IRemarque 1

Afin de proceder a des applications, il faut connaitre I'expression de F,,' (I), Or, comrne ~emontre l'equation (A.28), F,,' (I) est fonction de a' (f). Par COnsequent, iJ faut se donner une 10i cievariation de a (I),Si a (I ) = am sin w t

r2 f '.. (I ) = 1_j. 2 a , , , cos w t cos 1 3 " (I _ t) d .." 0

2 w 2 a (I )= -:-:(1:---j.'.2 ) : - ( . , . .W - : z - _ - - - , p ' " o : : Z ) -Remarque 2

Cette solution semble presenter une possibilile de resonnance, quandw -.. ~nMais, dans ce cas, a partir de J'equation (A. 28), on constate que :

DmF n ' (t) - J _ ' , , , 2 (sin w I + w I cos w t)done F.. (/) reste finie.

4 6. . . . . : 0 " , ' -: .~:~"n,


47/60

!.~..-. . . .

,I1

L

I, .!II

r

. . . . .,

'~~"

..~.. ::.. . . .

THEORIES ET' METHODES DEGALCUl 256

~.

Remarque J-;--Expr:_e ss ;ons ph ys iqu es (.) Pour obtenir Jes expressions physiques aiJ suCfit de conslderer Jes reJations :e = cz,-/\I g R'

P = p-/pg Ra (I) = a- (1)/,'" = w-/\' g/RP2 = P2-/pgRlM = M- /pg R -

r = rtY, = y,-JR--" ..'-h = h- /R-7---_. - .

partir des expressions adimensionneJJes de ee chapltre,

'.'

Ceei no us permet de reecrire la resultante P 2 sous Ja forme :h [ 2 w l a (I) ~ .th An hP2 = - r. a (I) + h ~ i'n (1 _ i.n') (w! _ ~n2)

~.

,;"

soit sa valeur dimensionnelJe :P2- = - p a ( I ) h R' [ r.+ 2W2r.R2 ~~~ __ ~th=)~.n~h~/~R~~~Jh kJ An (1 - ;'n 2) (w l R- g ~ n2) .I - ,---+ 2 paw r. R ' \ ' R g ~ ~n sin (~n \ g/R t) th A n h/R,n . k . . J An (1 - A,,2) (W2 R - g 1 3 n2)I

et une deuxleme partie oscillatoire..', .,.,.. .:.

done une partie proportionnelJe a a (I )Done P2- = P2i + P 2 0

. '.v A 3. Methode'd'HOUZNERConslderons Je reservoir cylindrique de la figure 18.

d x-iT X l_ . 7- - = = - - . :I R I I I . .

. . . .Z.Fig. 18. - Reservoir ey-lindrique soumis It uneacceleration maxlmale a...

A 3.1. Actions d'impulsion.On admettra que le mouvement qui s'ensuit a lieu uniquement dans Ie plan (x, z) etque la vitesse horizon tale u est independante de z, Ceci revient a conslderer que Ie fluide est retenuentre des membranes, flctlves, verticales, sans masse et distantes de dx au temps t = o.Si, de plus. on admet que la vltesse ie le long de )' est negligeable. alors I'accelerationdes parois a pour consequence premiere de presser Ie fJuide entre deux membranes. ce qui entraineI'echappement du Iluide verticalement, a une vitesse. du

w = (h - z) dx (A. 32)donnee par Ie principe de conservation de la masse .

Comrne on neglige la cornpressibilite du fJuide, l'acceleration verticale w = d w/dt est donneepar:. duw = (l1-z)-d x

le principe fondamental de la dynamique nous permet d'ecrireep .cz =-(-w

(A.33)

(A.34)

47


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.' " ..~-.- .- - . . . . _ ..... - " _ - :. ,.!,.__ ::.~_: ~."~'" _..._40 _ . - .. . . : : : - -- - = . : . . : - : - - . . : - : = : : . - : . -.:_ .--" '~_--.-,- _ -'~ .. , . . :_ ""-_ - ' - - - ' - ' _ LN 409 NOVEMBRE 1982 -.--. _

. ._ _ - - - ~ - . . - _ . - . _ . ;E : ~ : : : : : : : : : ' : . . '_ :~~~~' ~ ... w.. ':.- ... ~- :....:-- - -- -~ ...:._ pe meme que la force totale PM s'exercant sur 'une-membrane- esf-

PJ1= J : pdz 06quations (A. 34) et (A.35) donnent la pression P :. . . . - ' . - - _ . . - . . . - - . - . _ . . - -- _ . . - - - . ' ' : ; .. - - ' r - , . . - . ' -~ ~ ; J : C h - - z) ~~_~~o_ :oo 0 0" __ o =': 0 ~~ CA . 3 5 )

. . . . -: ..

Les

solt

d'ou (A. 36)J ' [ Z I ( Z ) t ] du' .P 31 = -ph2 ._ .oo _ _ - - dzo Iz 2 h dxsoith3 du 0PJ1=-PT dx

Determination de l'acceleration horizontale u = ~~Le principe fondamental de ladynamique applique a

Calcul Reservoirs

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