目录 -...

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目录 i

1. 绪论 - 1 -

1.1 应用 ................................................................................................................................ - 1 -

2. 数值模型 - 7 -

2.1 前言 ................................................................................................................................ - 7 -

2.2 数值模型是什么？ ........................................................................................................ - 8 -

2.3 岩土工程建模 .............................................................................................................. - 10 -

2.4 为什么建模？ .............................................................................................................. - 13 -

2.5 如何建模 ...................................................................................................................... - 21 -

2.6 不要这样建模 .............................................................................................................. - 31 -

2.7 结束语 .......................................................................................................................... - 31 -

3. SIGMA/W 基本原理和模拟思路 - 33 -

3.1 前言 .............................................................................................................................. - 33 -

3.2 密度和容重 .................................................................................................................. - 34 -

3.3 击实和密度 .................................................................................................................. - 35 -

3.4 塑性 .............................................................................................................................. - 36 -

3.5 体积改变 ...................................................................................................................... - 38 -

3.6 强度参数 ...................................................................................................................... - 43 -

3.7 总应力，有效应力和孔隙水压力 .............................................................................. - 48 -

3.8 增量形式 ...................................................................................................................... - 48 -

3.9 体积力——单位重量 .................................................................................................. - 49 -

3.10 适用性和稳定性 .......................................................................................................... - 50 -

3.11 模拟思路 ...................................................................................................................... - 50 -

3.12 单位 .............................................................................................................................. - 51 -

4. 几何与模型 - 54 -

4.1 引言 .............................................................................................................................. - 54 -

4.2 GeoStudio 中的几何对象 ............................................................................................ - 55 -

4.3 网格生成 ...................................................................................................................... - 63 -

4.4 表层 .............................................................................................................................. - 66 -

4.5 连接区域 ...................................................................................................................... - 70 -

4.6 瞬态分析的网格 .......................................................................................................... - 71 -

4.7 有限单元 ...................................................................................................................... - 71 -

4.8 单元基本原理 .............................................................................................................. - 72 -

4.9 无限区域 ...................................................................................................................... - 77 -

4.10 网格离散的通用准则 .................................................................................................. - 79 -

5. 材料模型与性质 - 84 -

5.1 本构模型概述 .............................................................................................................. - 84 -

5.2 线弹性模型 .................................................................................................................. - 86 -

目录

ii

5.3 各向异性弹性模型 ...................................................................................................... - 87 -

5.4 非线弹性双曲线模型 .................................................................................................. - 89 -

5.5 弹塑性模型 .................................................................................................................. - 94 -

5.6 剑桥模型 ...................................................................................................................... - 99 -

5.7 修正剑桥模型 ............................................................................................................ - 108 -

5.8 关于剑桥模型的说明 ................................................................................................ - 110 -

5.9 接触面 ........................................................................................................................ - 111 -

5.10 用户自定义本构模型 ................................................................................................ - 113 -

5.11 E 模量函数 ................................................................................................................. - 114 -

5.12 不排水强度函数 ........................................................................................................ - 117 -

6. 边界条件 - 118 -

6.1 多种类型边界条件 .................................................................................................... - 118 -

6.2 力或位移 .................................................................................................................... - 118 -

6.3 体荷载 ........................................................................................................................ - 119 -

6.4 边界条件位置 ............................................................................................................ - 120 -

6.5 节点边界条件 ............................................................................................................ - 121 -

6.6 边的边界条件（压力或应力） ................................................................................ - 122 -

6.7 瞬态边界条件 ............................................................................................................ - 128 -

7. 不同分析类型 - 131 -

7.1 研究问题的视图 ........................................................................................................ - 131 -

7.2 原位初始应力 ............................................................................................................ - 131 -

7.3 指定初始条件 ............................................................................................................ - 137 -

7.4 荷载/变形分析 ........................................................................................................... - 138 -

7.5 动力变形分析 ............................................................................................................ - 138 -

7.6 应力重分布 ................................................................................................................ - 139 -

7.7 分步/多步分析 ........................................................................................................... - 142 -

8. 孔压-应力耦合分析 - 144 -

8.1 土结构的本构方程 .................................................................................................... - 144 -

8.2 渗流方程 .................................................................................................................... - 146 -

8.3 耦合分析的有限元公式 ............................................................................................ - 147 -

8.4 计算的材料参数 ........................................................................................................ - 151 -

8.5 孔压响应比 ................................................................................................................ - 152 -

8.6 耦合分析的数据 ........................................................................................................ - 152 -

8.7 只在饱和区的耦合分析 ............................................................................................ - 153 -

8.8 非耦合分析 ................................................................................................................ - 153 -

8.9 时间步序列 ................................................................................................................ - 155 -

8.10 渗透系数的变化 ........................................................................................................ - 155 -

8.11 水下沉积 .................................................................................................................... - 156 -

8.12 验证 ............................................................................................................................ - 157 -

8.13 耦合分析例子 ............................................................................................................ - 158 -

9. Geostudio 中的函数 - 159 -

9.1 样条函数 .................................................................................................................... - 159 -

SIGMA 目录

iii |

9.2 线性函数 .................................................................................................................... - 161 -

9.3 分段函数 .................................................................................................................... - 161 -

9.4 含水量函数的已知曲线拟合 .................................................................................... - 162 -

9.5 自定义函数 ................................................................................................................ - 163 -

9.6 空间函数 .................................................................................................................... - 165 -

10. 结构单元 - 166 -

10.1 概述 ............................................................................................................................ - 166 -

10.2 梁单元 ........................................................................................................................ - 166 -

10.3 梁实例 ........................................................................................................................ - 169 -

10.4 杆单元 ........................................................................................................................ - 169 -

10.5 杆实例 ........................................................................................................................ - 172 -

11. 分步施工序列 - 173 -

11.1 基本概念 .................................................................................................................... - 173 -

11.2 填筑示例 .................................................................................................................... - 173 -

11.3 开挖示例 .................................................................................................................... - 176 -

11.4 有支撑的开挖 ............................................................................................................ - 177 -

11.5 结束语 ........................................................................................................................ - 177 -

12. 数值问题 - 178 -

12.1 非线性分析 ................................................................................................................ - 178 -

12.2 收敛 ............................................................................................................................ - 180 -

12.3 极限荷载－使用增量加载 ........................................................................................ - 183 -

12.4 张拉区 ........................................................................................................................ - 183 -

12.5 方程求解器 ................................................................................................................ - 184 -

13. 结果可视化 - 186 -

13.1 前言 ............................................................................................................................ - 186 -

13.2 荷载步 ........................................................................................................................ - 186 -

13.3 可用于云图表示的数据类型 .................................................................................... - 186 -

13.4 节点与单元信息 ........................................................................................................ - 188 -

13.5 节点与高斯点数据绘图 ............................................................................................ - 190 -

13.6 “无”值 .................................................................................................................... - 192 -

13.7 等值线 ........................................................................................................................ - 193 -

13.8 莫尔圆 ........................................................................................................................ - 193 -

13.9 动画 ............................................................................................................................ - 194 -

13.10 位移查看 .................................................................................................................... - 194 -

13.11 映射高斯点至节点 .................................................................................................... - 195 -

13.12 云图数据 .................................................................................................................... - 196 -

14. 案例说明 - 199 -

14.1 SIGMA 教程 ................................................................................................................ - 200 -

14.2 梁的案例 .................................................................................................................... - 201 -

14.3 桁架 ............................................................................................................................ - 202 -

14.4 斜梁上的法向应力 .................................................................................................... - 203 -

目录

iv

14.5 梁与桁架验证 ............................................................................................................ - 204 -

14.6 圆形基础 .................................................................................................................... - 205 -

14.7 条形基础 .................................................................................................................... - 206 -

14.8 双曲线本构模型三轴试验 ........................................................................................ - 207 -

14.9 弹塑性三轴试验 ........................................................................................................ - 208 -

14.10 修正的剑桥模型 ........................................................................................................ - 209 -

14.11 双曲线基础 ................................................................................................................ - 210 -

14.12 弹塑性基础 ................................................................................................................ - 211 -

14.13 接触面分析 ................................................................................................................ - 212 -

14.14 桩拔出试验 ................................................................................................................ - 213 -

14.15 一维固结 .................................................................................................................... - 214 -

14.16 Cryers Ball ................................................................................................................... - 215 -

14.17 饱和-非饱和土柱试验 ............................................................................................... - 216 -

14.18 由地面入渗引起的土体膨胀 .................................................................................... - 217 -

14.19 坝体堆筑模拟 ............................................................................................................ - 218 -

14.20 土工织物加固的堤坝堆筑 ........................................................................................ - 219 -

14.21 水下开挖 .................................................................................................................... - 220 -

14.22 连续的尾渣沉积 ........................................................................................................ - 221 -

14.23 尾渣沉积与开挖 ........................................................................................................ - 222 -

14.24 抽水沉降 .................................................................................................................... - 223 -

14.25 软土地基耦合固结 .................................................................................................... - 224 -

14.26 强度折减法边坡稳定性 ............................................................................................ - 225 -

14.27 有支护的开挖 ............................................................................................................ - 226 -

14.28 锚杆/板桩墙开挖支护 ............................................................................................... - 227 -

14.29 带有界面单元的板桩墙 ............................................................................................ - 228 -

14.30 排水板 ........................................................................................................................ - 229 -

14.31 地下管道的应力 ........................................................................................................ - 230 -

14.32 Von Mises 外接模型................................................................................................... - 231 -

14.33 柏林基坑分析 ............................................................................................................ - 232 -

14.34 waba 大坝地震变形 ................................................................................................... - 233 -

14.35 永久冻土融化与变形的外接模型 ............................................................................ - 234 -

15. 理论 - 235 -

15.1 前言 ............................................................................................................................ - 235 -

15.2 有限元方程 ................................................................................................................ - 235 -

15.3 数值积分 .................................................................................................................... - 241 -

15.4 组装和整体方程的求解 ............................................................................................ - 243 -

15.5 单元应力 .................................................................................................................... - 243 -

16. 附录 A：插值函数 - 245 -

16.1 坐标系统 .................................................................................................................... - 245 -

References - 251 -

SIGMA/W 绪论

- 1 -

1. 绪论

SIGMA/W 是一款用来进行土结构应力和变形分析的有限元软件。它可以分析

简单和高度复杂的问题。例如，SIGMA/W 可以分析简单的线弹性变形问题或高度复

杂的非线性弹塑性有效应力问题。当与其他 GEO-SLOPE 软件产品耦合使用时，使用

完全耦合或间接耦合的方法，也可以模拟土结构响应外部加载的孔隙水压力的产生和

消散。SIGMA/W 可应用于岩土、土木和采矿工程的分析和设计。

1.1 应用

SIGMA/W 能用来进行有孔压改变或无孔压改变的应力和变形分析，可以使用

梁或者杆来模拟土和结构的相互作用。下面是可以使用 SIGMA/W 分析的典型情况。

1.1.1 变形分析

SIGMA/W 经常被用于计算诸如基础、堤防、开挖和隧道土工作业导致的变形。

图 1-1 是关于地基上建储油罐的典型案例，图片用放大比例尺的手法表现了网格变形

的情况。图 1-2 展示了施加荷载导致的地下垂直应力分布。

Tank

Exaggeration 25X

Ele

vation (m

etres)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

图 1-1 储油罐作用下的地基变形

exaggeration 放大 tank 储油罐

绪论 SIGMA/W

- 2 -

Tank

5

10

20

30

Ele

vation (m

etres)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

图 1-2 储油罐作用下的垂直应力分布

tank 储油罐

1.1.2 分阶段施工

在一个文件中，土区域可以是激活或者非激活状态，使得软件可以进行随时间

推进的工况模拟。GeoStudio 2007 新思想是在一个项目文件中可以包含多个分析。按

时间顺序可以自动将这些分析联系在一起，来模拟施工顺序。同样对于边界条件，也

可以随工况推移进行新增或者移除。图 1-3 和 1-4 展示的是关于开挖和降低渗流面位

置的模拟。图 1-5 则展示了隧道开挖后，各向同性线弹性材料的变形情况。

Distance - m

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vatio

n -

m

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

图 1-3 第一步开挖和降低的水力边界条件

SIGMA/W 绪论

- 3 -

distance 距离 elevation 高程

Distance - m

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vation

- m

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

图 1-4 第二步开挖和降低的水力边界条件

Exaggeration 15000X

图 1-5 沿隧道的回弹变形

exaggeration 放大

1.1.3 超孔隙水压力

超孔隙水压力效应源自填筑施工，通常是施工期间边坡稳定分析考虑的主要因

素。SIGMA/W 可以计算这一类型的孔压。用 SIGMA/W 计算得到的超孔压可以被

SLOPE/W 分析调用，用于边坡稳定性分析。图 1-6 展示了在堤坝施工后，基础中立

刻产生的超孔隙水压力，注意模型左右两侧使用了无限单元模拟。

绪论 SIGMA/W

- 4 -

Infinite Elements Infinite Elements

40

40

60

60 80

80 1

00 1

00 1

20 1

20 1

40 1

40 1

60 1

60

200

260

图 1-6 填筑导致的超孔隙水压力

infinite element 无限单元

1.1.4 土和结构的相互作用

SIGMA/W 在二维平面应变问题中包含了结构单元来考虑土和结构的相互作

用。这些结构单元是有抗弯刚度的梁单元或有轴向刚度无抗弯刚度的杆单元。当分析

诸如桩板墙等这一类型单元时相当有用。图 1-7 是关于板桩墙支护基坑的变形情况，

图 1-8 展示了相应的桩板墙的弯矩分布。

图 1-7 桩板墙案例

SIGMA/W 绪论

- 5 -

Moment vs. Distance

Dis

tance

Moment

0

5

10

15

20

25

-100-200-300 0 100 200 300 400

图 1-8 桩板墙的弯矩分布

moment 弯矩 distance 距离

1.1.5 固结分析

SIGMA/W 可以与 SEEP/W 一起使用，模拟完全耦合固结分析。当两者同时运

行时，SIGMA/W 计算由于孔压变化导致的变形，而 SEEP/W 计算瞬态孔压变化，为

其提供分析的基础数据。这个过程用于模拟饱和或非饱和土的固结过程。

一个完全耦合分析要求正确模拟作用荷载造成的孔压响应。在一些案例中，施

加荷载作用下的孔压增加可能大于施加荷载，这个现象就是众所周知的 Mendel-Cryer

效应。图 1-9 展示了一个侧向荷载 100kPa 作用下的饱和三轴样的 SIGMA/W 分析，

加载前初始孔压是 0，图 1-10 展示了试样中心位置孔压随时间的响应，在孔压开始消

散前，上升到大约 110kPa（110%的作用荷载）。

绪论 SIGMA/W

- 6 -

Applied pressure 100 kPa

Initial pwp is zero

图 1-9 侧向荷载作用下的三轴试样

applied pressure 100kPa 应用 100kPa 压力

intial pwp is zero 初始孔隙水压力为零

PWP versus time

Po

re-W

ate

r P

ress

ure

(kP

a)

Time (sec)

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14

图 1-10 孔压随时间的变化

pore-water pressure 孔隙水压力 time 时间

SIGMA/W 数值模型

- 7 -

2. 数值模型

2.1 前言

现在，前所未有的计算能力导致先进的软件产品可用于工程与科学分析中，这

些软件产品的实用性和易操作性将有限元分析这样强大的技术应用于工程实际。这些

分析方法现在已经从研究工具变成了实用工具，并由此开创了数值模拟的新纪元。

像 SIGMA/W 这样的软件工具并不会自行得出好的结果。而软件本身只是一个

功能强大的计算器，只有在用户的引导下才能从这些工具中获得有用和有意义的结

果。用户对输入数据的理解和他们对于结果的解读能力才能使得这一工具变得强大。

总之，不是软件建模，而是用户在建模。软件只是提供了人力所不能及的，可以进行

极复杂计算的能力。同样，现代电子制表软件程序也同样很强大，但是从中获取有用

的结果就取决于用户。用户引导分析过程的能力使其成为强有力的工具。电子制表软

件能做所有的数学计算，但只有用户对其计算能力加以引导才能得出有用的、有意义

的结果。像 SIGMA/W 这样的有限元分析软件也是一样。

数值建模是一个需要时间与经验的技术工作，单一的瞄准一种软件产品不会让

你马上成为一个熟练的建模者。时间和练习有助于用户理解软件内部涉及的技术和学

习如何解读计算结果。

数值模拟在岩土工程中还是个相对比较新的实践领域，因此，关于数值模拟是

什么，数值模拟如何进行和期望从中得到什么，一般人会对此缺乏理解。对这些基本

问题的一个很好的理解是建立有效模拟的基础。像“分析的主要目标是什么？”，“什

么是需要解决的主要工程问题？”，以及“什么是预期的结果？”等这类基本问题，

需要在开始用软件之前就先思考一下。应用软件只是建模练习的一部分，与之相关的

脑力分析与在软件里点击按钮一样的重要。

本章讨论数值模拟 “是什么”，“为什么”，“怎么做”，并且给出应用于实

践的要点指导。现在需要注意的是，本章中给出关于应力变形分析的一些例子，而其

他的则是渗流分析类型的例子。尽管这些实际分析的类型可能会不同，但说明的概念

适用于所有的工程分析。

数值模型 SIGMA/W

- 8 -

2.2 数值模型是什么？

数值模型是对实际物理过程的数值模拟。SIGMA/W 是一个能对自身荷载或外

部荷载的作用下引起地下岩土体体积变化这一实际物理过程进行数值模拟的数值模

型。数值模拟是纯数学的方法，在这个意义上讲，它与实验室里的比例物理模拟或现

场等比例模拟很不同。

Rulon(1985)建立了一个内嵌不透水层和顶部洒水模拟淋滤和降水的土体边坡

的比例模型。在多处点上通过边墙将仪器插入土中来量测孔隙水压力。试验的结果如

图 2-1 所示。用 SEEP/W 模拟 Rulon 的实验室试验给出的结果如图 2-2 所示，这个结

果与原始实验室量测结果基本相同。等势线的位置稍有不同，但水位位置是一样的。

在这两个例子中，边坡上有两个渗出区域，这是这个案例的主要也是关键的观察现象。

图 2-1 Rulon 的实验室比例模型结果

(Observed equlpotential lines 观测的等势线 predicted water table 预测的水位线 observed

water table 观测点水位线)


- 9 -

图 2-2 Rulon 试验的 SEEP/W 分析结果

fine sand 细沙

数学可以用于实际物理过程的模拟是宇宙中的伟大奇迹之一。也许是物理过程

遵循数学规律，或者数学已经演变成描述物理过程的工具。很明显，我们不知道何者

第一位，这也不是真正重要的。不管两者关系如何发展，我们能够应用数学来模拟物

理过程的事实导致对物理过程更深入的理解，甚至能让我们理解或发现以前未知的物

理过程。

数值模拟与物理模型试验相比有很多的优点，下面是一些明显的特点：

• 相对于物理模型，数值模型可以很快建立。物理模型的建立要花费几个月的

时间，而数值模型的建立只需要几分钟、几个小时或几天。

• 物理模型经常局限于很小范围的研究。数值模型可以用来调查研究很广泛的

不同情况。

• 数值模拟可以设置不同的重力值。受制于实验室条件，重力不能被按比例调

整，克服这一困难需要使用离心机。

• 数值模拟对人体不会产生伤害，物理模拟有时会用到笨重的仪器，试验人员

的安全因此也需要关注。

• 数值模拟能够提供断面内任何位置的信息与试验结果。物理模拟只能提供外

部可见区域的结果和离散的仪器监测点的数据。

• 数值模拟能够设定大范围的多种类型边界条件，而物理模拟经常只能设定几

种有限的边界条件。


- 10 -

认为数值模型没有限制的想法是错误的。伴随着渗流的地方可能还有温度变化、

体积变化和化学变化。在同一模型中包括这些所有的变化过程是不可能的，数值的简

单引入可能使问题变得十分复杂。另外，由于其复杂性，用数学方法描述一个本构关

系是不可能的。这些难题中的一些在计算机运行处理能力更强大、更快速的时候能够

克服和将被克服。

了解像 SIGMA/W 这样的数值模拟软件的局限性很重要，这些局限性与当前计

算机的硬件与软件的整合能力有关，因为这些硬件与软件都是为特定的条件而开发

的。SIGMA/W 只是编制了用来解决小变形问题的，并且不适用于破坏后的变形(峰后

阶段)。在很多情况下，模型中用到的本构方程没有定义破坏后的应力条件，所以想

通过调查那些状态来开始一个分析是没有意义的。需要记住的关键点是，在 SIGMA/W

中用到的数值模型是模拟现实物理过程的一个强大的、多样的途径。

“数值模型是现实世界中的物体或系统的数学抽象。它是一种尝试，帮助我们理解这一过程（概

念模型）并将其翻译成数学表达。”国际研究协会报道（1990）。

2.3 岩土工程建模

John Burland 教授（伦敦皇家学院，英国）曾对岩土工程分析及数值建模的任

务和重要性做过生动的解释，这就是 Burland 教授 1987 年所做的世界闻名的 Nash 演

讲。这个演讲的题目是：土力学教学――个人观点。在这个演讲中，他倡导岩土工程

包括三个基本要素：地层剖面，土的力学行为与模拟。他将这三个要素比喻成三角形

的三个顶点，如图 2-3 所示，这就是业界周知的 Burland 三角（Burland,1987;

Burland,1996）。


- 11 -

图 2-3 Burland 三角

ground profile 地层剖面 soil behavior 土质 modeling 模拟 the soil mechanics triangle 土力学

三角 empiricism， precedent 经验，先例

土的行为要素包括包括室内试验，原位测试和现场量测。地层剖面要素基本上

涉及了现场特性：定义与描述现场条件。模拟可能是概念上的，分析的与物理化。

Burland 的观点认为很重要的是这三个要素需要用经验与实例联系在一起，这是

三角形内部的部分。

自从第一次被提出，Burland 三角的观点就被广泛的讨论并被大家提及。关于这

个话题的一篇论文在《地面工程》（Ground Engineering）中发表（Anon,1999）。2000

年在澳大利亚墨尔本召开的岩土工程学会上 Morgenstern 所做的 “共同的地面”的主

题报告用一定篇幅对其作了讨论。所有这些讨论，某种程度上使得“三角形”的知名

度被提高和拓宽，如图 2-4 所示。

在新加的特征中，一个很重要的特点是在各要素之间考虑了所有的双向联系箭

头。这个简单的增加，强调了各个部分是单独的，又与其他部分是相关的。

Burland 三角生动的说明了岩土工程中模拟的重要性，现场条件特征化和对其行

为进行量测都做的不够充分。最终，有必要对现场信息与土的性质进行一些分析以完

善“三角形”。


- 12 -

正如 Burland 指出的，模型可以概化，分析与物化。然而，通过现今可用的计

算力量与软件工具，模拟通常被特指为数值模拟。Burland 三角体现了数值模拟在岩

土工程中的重要性。

对现场条件进行量测与特性化经常要花费很多时间和金钱。如果做的正确，模

拟也就是真实的。一个公认的假设是数值模拟要素只是在项目最后实施的一个小部

分，而且可以被简单快速的完成。这样的观点是错误的。一个好的数值模拟，正如我

们在下面的部分要看到的，需要时间并且要求仔细的计划，同样也需要花时间和计划

收集现场量测结果与正确的抽象现场条件。

考虑到模拟的重要性，Burland 三角建议对于岩土工程，做模拟时要谨慎小心，

并且要完全理解模拟过程，这一点对数值模拟尤其重要。本书的目的就是在岩土工程

这方面提供帮助。

图 2-4 改进的 Burland 三角

ground profile 地层剖面 soil behavior 土质 modeling 模拟 empiricism 从实验得出的原则，

precedent 先例，experience 经验 risk management 风险管理 genesis/geology 起源/地质 site


- 13 -

investigation 场地调查 ground description 场地描述 lab/field testing 实验室/原位实验，

observation 观察，mesurement 测量 idealization followed by evaluation 理性化的评价

conceptual or physical modeling 概念或物理模型，analytical modeling 解析模型

2.4 为什么建模？

为什么进行数值模拟？对这个问题的第一反应似乎是显而易见的，目的是分析

问题。更多的想一想，答案变得更复杂了。没有对模拟的原因有一个清晰的理解，或

弄清楚模拟的目的是什么，数值模拟将会是一次挫败的经历和不确定的结果。正如在

下面章节中将看到的，建立模型，计算求解，然后再来确定解的意义，这样的思想是

错误的。在做模拟的开始就一定要弄清模拟的理由是很重要的：主要目的是什么，需

要解决什么问题？

从一个更高更广阔的视角看，以下几点通常是模拟的主要因素：

• 做定量预测；

• 比较方案；

• 确定控制参数；

• 理解过程和训练思维。

2.4.1 定量预测

当被问及为什么模拟的时候，多数工程师会说想要作一个预测。例如他们想要

预测基底变形，预测污染物从源头到排出处的渗流时间，或者水库首次注水直到堤坝

中渗透稳定的时间。目的是了解研究对象未来行为和表现。

作定量预测是模拟的一个正当理由。不幸的是，由于定量值经常直接与材料性

质有关，这也是模拟中最难的部分。例如，基础底部变形范围很大程度上受土体刚度

的控制，而刚度是受侧向约束应力控制的。而当我们真的获取了基础底部精确的应力

分布的时候，就会意识到变形的准确性就等于我们对刚度参数的了解和信心。

Carter 等人于 2000 年列举了德国岩土工程学会所做的一个竞赛结果。竞赛内容

被分配给工程师与大学研究组织，要求参加者预测在柏林深基坑开挖的连续支撑墙的

侧面挠曲。在施工期间，用测斜仪对真实挠度做了实测，随后预测结果与实际量测结

果进行了比较。图 2-5 展示了提交的最好的 11 个预测结果，其它提交的预测被认为

是不合理的，因此没有包含在总结里。


- 14 -

在图 2-5 中，有两条黑线。右边的虚线表示测斜计测得的没有修正的基于任何

可能的移动位移，它可能是测斜仪和墙一起移动的结果。假定倾斜计移动了约 10 毫

米，图 2-5 中的粗实线反映了测斜计移动的位移。首先乍看上去，尤其当预测结果出

现很大的离散性时，可能会很快得出结论：预测结果与实测值的一致性很差。这个练

习可以作为我们无法做出精确量化的实例。

然而，当我们更仔细的观察这个图时，结果似乎又不那么不理想。开挖深度是

32m。最大预测的侧向移动仅刚超过 50mm 或 5cm。对于墙的长度而言，这仅是一个

极小的位移，当然，还没大到肉眼可见。进而，当对基础位移修正时，真实测得的结

果或多或少落在了预测结果中部。最重要的是大量预测结果揭示了这个趋势，他们中

有很多预测的挠曲形状与实际量测结果相似。换句话说，预测模拟了正确的相对位移。

因此，我们争论无法做出精确的模拟，但我们也争论预测结果惊人的好。预测

结果落在量测结果的两边，而挠曲形状吻合。最后，模拟给出了墙体行为的正确认识，

这比模拟有多正确本身更有说服力，正如我们随后将要看到的，这可能是数值模拟的

最大优势。

由于定义材料特性的困难性，数值模拟结果有时会因为离散而变得无用，但仍

有很多理由来进行数值分析。如果数值模拟的其它目标可以先期完成，随后的量化预

测就会更有价值与意义。一旦完全理解了物理机理，尽管不能准确地确定材料参数，

但我们更有信心去做定量预测，而不是先前认为的那样无用。


- 15 -

图 2-5 挡墙侧向位移的预测结果与实测结果比较

deflection 挠曲量 computed 计算的 measured 量测的 depth below surface 地表以下深度

2.4.2 方案比选

数值模拟对于方案比选很有用。保持其它各项不变，只改变一个参数，这使得

它成为评价单一参数重要性的有力工具。对于方案选择和敏感性研究来说，准确定义

某些参数的属性并不是最重要的，模拟结果的差异才是我们最感兴趣的。

考虑结构下面防渗墙的例子。用 SEEP/W 通过改变防渗墙的长度可以很容易的

考察其优点。通过两个不同防渗墙深度的算例，评估结构底部扬压力的差异。图 2-6

所示是防渗墙为 10 英尺深的分析结果。沿着基础压力跌落和扬压力如图 2-7 左侧的

图所示，防渗墙横向压力从 24 跌落到 18 英尺。20 英尺深的防渗墙分析结果如图 2-7

右侧图所示，横向压力从 24 跌落到 15 英尺。下游面坝址部位的扬压力基本相同。

在本节讨论中对于实际计算值的讨论并不重要。它只是一个如何用 SEEP/W 这

样的软件来快速比选替换项的建模案例。其次，这种类型分析可以通过一个粗略估计


- 16 -

的渗透系数来完成，因为在这个例子中压力分布不受假设的渗透系数的影响。对于基

底的压力分布来说认真的定义渗透系数没有多大意义。

我们也可以分析流量的变化。绝对流量可能根本不精确，但不同深度的防渗墙

的结果的改变就很有价值。10 英尺的防渗墙的总流量为 6.26×10-3ft3/s，20 英尺的防

渗墙的总流量为 5.30×10-3ft3/s，只有 15%的差异。

图 2-6 防渗墙渗流分析

图 2-7 沿结构基础反力分配

cutoff 防渗墙 feet 英尺 pressure head 压力水头 distance 距离

2.4.3 确定控制参数

数值模拟对于确定影响设计的关键参数非常有用。考虑土层覆盖废料的情况。

什么是覆盖层行为的最重要的控制参数？是降水，风速，太阳辐射，植物种类，根的


- 17 -

埋深还是土的类型？运行一系列 VADOSE/W 模拟，保持其它参数不变，使其中一个

变化，可能会弄清那个是控制参数。结果可以表示成如图 2-8 所示的龙卷风状图表。

一旦确定了关键要素，进一步的模拟以细化设计可以将注意力集中在主要问题

上。例如，如果植物生长是主要影响因素，那么我们的精力就可以集中在需要作什么

来加快植物生长上。

图 2-8 龙卷风状图表的算例 (O’Kane, 2004)

base case 基本情况 thicker 厚 thinner 薄 high 高 low 低 bare surface 裸露的表面 deep 深

shallow 浅 thickness of growth medium 生长介质的厚度 transpiration 蒸腾作用 hudraulic

conductivity of compacted layer 压密层的渗透系数 root depth 根系深度 hydraulic conductivity

of growth medium 生长层的渗透系数 decreasing net percolation 减少网络渗流 increasing

net percolation 增加网络渗流

2.4.4 发现与理解物理过程－训练我们的思维

数值模拟最强大的一面就是它能帮助我们理解物理过程和训练我们的思维。如

需要的话，数值模型要么能够确认我们的想法，要么有助于修正我们的看法。

为了说明数值模拟这方面的作用，考虑如图 2-9 所示的两种多层土覆盖的例子

作为可能案例。覆盖层的目的是降低水渗透进下卧污染材料。目的是利用土覆盖层作

为一个淋滤路径，使降水下渗进入收集系统。我们知道，为实现这个目的，需要粗颗

粒的土与细颗粒的土。问题是，粗颗粒的土应该覆盖在细颗粒土之上呢，还是细颗粒

土应该覆盖在粗颗粒土之上呢？直觉上似乎是粗材料应该在上面；毕竟，它的渗透系


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数较高。用处理非饱和渗流问题的 SEEP/W 对这个状况进行的模拟可以解决这个问

题，并且可以验证我们的想法是不是正确的。

对于非饱和渗流，有必要定义水力传导函数，这个函数是用来描述水力传递系

数是如何随着基质吸力的变化而变化的(负的孔隙水压力=基质吸力)。在 SEEP/W 的

“第四章-材料特性”中，详细的描述了水力传导函数的性质。对于本案例，如图 2-10

所示的相对渗透系数函数就足够了。在低的基质吸力情况下（例如，接近饱和），在

直觉上，一般认为粗粒材料的水力渗透系数比细粒材料的要高。在高的基质吸力下，

粗材料有一个相对低的渗透系数，这通常与直觉相反。

图 2-9 两种可能的盖层设置

fine 细粒土 coarse 粗粒土 material to be protected 受保护材料 or 或


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图 2-10 渗透系数函数

coarse 粗粒 fine 细粒 conductivity 渗透系数 suction 基质吸力

在做了不同分析和试算了不同的表面渗透率后，就会发现覆盖层系统的行为依

赖于渗透率。在低的渗透率下，将细粒土层覆盖于粗粒土层之上的效果，导致如图

2-11 所示的渗流通过细粒层被侧向疏干，实现覆盖层的设计目标。如果降水率变得相

对集中，通过细粒材料的渗流就会降低并且在相对较低的粗粒材料中横向排出，如图

2-12 所示。在干燥的环境中，细粒土层覆盖粗粒土的设计会起作用。偶尔的阴云密布

可能会导致大量水渗入下层粗粒材料中，这将造成大量水渗透进污染物中。短期内这

可能是可以容忍的，如果降雨时间是适度的，渗流会沿上部细粒层横向排出，进入收

集系统。

因此，在干燥地区，最好的解决方案是将细粒土覆盖于粗粒土之上。这与我们

起初的设想刚好相反，我们的第一反应可能是这个软件有问题，但是这也可能是我们

对这个过程的理解与常规想法的不足之处。

对渗透系数函数更进一步的研究，可以得出一个合理的解释，软件正确，并且

对给定输入参数做出了正确的响应。考虑如图 2-13 所示的函数，当渗透率大时，负

孔隙水压力或基质吸力较小，因此，粗粒材料的渗透系数就比细粒材料的高。如果渗

透率变小，基质吸力增大（孔压负向增大），细粒材料的非饱和渗透系数就比粗粒材


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料的要高。因此，在低渗透率的情况下，水在上覆的细粒材料中要比在下层粗粒材料

中更容易流动。

图 2-11 在低渗透情况下渗流矢量

fine 细粒 coarse 粗粒

图 2-12 在高渗透情况下渗流矢量

这种类型的分析是一个很好的应用数值模型辅助理解物理过程的例子，关键是

材料非饱和与完全饱和相比具有相反的渗透性。

数值模拟在引导我们发现并理解真实的物理过程方面是很重要的。最终，模拟

要么证实了我们的猜想和理解，要么需要修正我们的认识。


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图 2-13 在低并集中渗流状态下的渗透系数

coarse 粗粒 fine 细粒 conductivity 渗透系数 suction 基质吸力 intense rainfall 暴雨 low to

modest rainfall 小到中雨

在模拟和使用数值建模中，这是很关键的一课。模拟的核心优势是，尤其是在

计算机模拟工具的使用中，能增强我们对于工程的判断能力，而不是增强我们的预测

能力。复杂的计算机工具相对于手算极大地提高了我们的预测能力，画图技术和封闭

形式的解析解，都是真实的。然而，预测并不是这些现代工具提供给我们的最重要的

优点。数值模拟基本是关于“过程”的，而不是预测。

“模拟吸引人的地方在于，它是人的精细判断与数字计算机力量的巧妙结合。”Anderson 和

Woessner(1992)

2.5 如何建模

数值模拟涉及到的不仅仅是获得一个软件产品。运行和使用软件是一个必需的

组成部分，但它只是数值模拟的一小部分。本节讲述数值模拟的主要概念，并强调在

一个好的模拟练习中的重要要素。


- 22 -

2.5.1 做个猜想

通常，在进行场地评价或观察行为的测量时，需要一个仔细的计划。模拟也需

要这样一个详细的计划。获得一个软件，输入一些参数，获取一些结果，然后确定如

何处理这些结果或使劲琢磨这些结果含义。这样做是不恰当的，通常会导致一个不好

的经历和没有意义的练习。

好的模拟开始于一些计划。在所有可能的情况下，应该在脑海中形成解的样子，

结果与预想的看起来很像。另一个途径表明，我们应该在开始使用软件前，对解做一

个粗略的猜想。图 2-14 所示的是一个快速手算的水下水平地面下的应力。

图 2-14 原位地基应力的手工计算

图 2-15 SIFMA/W 计算的有效应力曲线

effective stress 有效应力


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手算与 SIGMA/W 的计算结果一起输出可以用来衡量计算结果的有效性。如果

预期的结果与 SIGMA/W 的计算结果没有相似之处，要么是这种情况的初步构图不正

确，要么就是数值模型中的某些东西的指定不恰当。或许压力边界条件没有被指定在

地面上，需要额外的水位定义。水位控制了土中孔隙水压力，但没有在地面增加荷载。

如果这两者都被指定，并且通过对比预期和计算的结果就会发现这个错误是显而易见

的。为了对自己的模拟结果有信息，任何差异最终都需要被解决。如果从来都没有做

过解的初步猜想，那么对数值模拟结果的有效性就很难判断。

模拟的另一个极其重要的部分就是在一开始就要清楚定义模拟过程需要解决的

基本问题。主要问题是应力分布，还是应变分布？如果主要目标是确定应力分布，就

没有必要花很多时间来建立一个使用高级本构关系的土模型，一个简单的线弹性模型

就足够了。如果目标放在估计变形上，那么在确定恰当的应力－应变模型时需要花费

更多的精力。

有时建模的人会说，“我没有想过解看起来是什么样子，我做模拟就是为了寻

找这个解”。问题随后就来了，为什么对于解的形式不能在头脑中形成一个构图？也

许是缺乏对基础的过程或物理学的理解，也许是缺乏经验，或者也许是系统太复杂。

缺乏对基础的理解这个问题可以通过与有经验的工程师或科学家讨论问题来解决，或

通过研究已发表文献著作来解决。如果系统过于复杂，以至于不能做出初步估计，则

一个很好的尝试就是简化问题，以便于能进行设想，然后再逐步将其复杂化，每个模

拟间隔可以理解增加的复杂性的重要性。如果处理一个各向异性很强的系统，应该先

从各向同性横截面开始，在得到一个合理的解后，然后分步骤增加各向异性，这个方

法将在后续章节做详细讨论。

在使用软件前，如果不能在头脑中形成一个解的构图，则可能需要用如上述讨

论过的方法一样发现或学习一个新的物理过程。

有效的数值模拟应该从对解的猜想开始。

一些杰出工程师赞成这个说法。2000 年，在澳大利亚墨尔本市举行的地质工程

2000 会议上，Carter 在讲述模拟规则时，口头陈述了模拟应该“始于估计”。本次会

议上，Burland 教授呈现了他在复原比萨斜塔工作中的影像资料，其中部分影像就是

关于用于评价备选方案的模拟，在讲述模拟的同时，他还强调了模拟“始于假设”的

必要性。


- 24 -

2.5.2 简化几何关系

数值模拟需要对野外实际条件进行简化抽象。在野外，地层可能很复杂，边界

也是不规则的。在数值模型中，边界要求是直线，地层要求简化，这样就可能得到便

于理解的解。要记住，这只是个模型，而不是实际情况。通常，数值模型不可能也不

需要包含野外所有的细节。如果企图包含所有的细节，模型就会很复杂，以至于很难

甚至不可能解读，也就得不到结果。

图 2-16 所示的是地层剖面图（国家研究委员会报告，1990），图 2-17 所示是

简化后的有限元分析示意图，为便于有限元分析，简化考虑地层边界条件。

作为一个普遍规律，模型应该为特定的问题而设计。当设计模型的时候，应该

时刻问自己，这些特性会不会影响到结果。始终以最简单的模型开始。

图 2-16 地层剖面图（国家研究报告，1990）

图 2-17 地层剖面图的有限元模型

specified head 指定水头

初学者倾向于建立很复杂的几何模型。他们认为所有的东西都要被包含在模型

中，这样才可能得到最好的结果。在数值建模中，这点并不总是对的。提高复杂性并


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不代表能得到更好、更精确的解答。例如，过多的几何细节甚至会导致数值收敛困难，

相反可能掩盖真正的解。

2.5.3 从简单开始

数值模拟中最普遍的一个错误就是以一个复杂的模型开始。当模型太复杂时，

就很难判断和解释结果。有时候结果看起来完全不合理，这时随后要问的问题就是，

由什么因素导致？是几何模型、材料性质、边界条件，还是时间步长或其它什么东西？

解决问题的唯一途径是，简化模型直到解决困难。这几乎在所有项目中都有可能发生。

从简单模型开始并逐步复杂化，比从复杂模型开始，之后将模型分解并不得不重建模

型，效率更高。

以均质断面开始并逐步增加几何模型的复杂性可能是一个好的开始。均质断面

可能更容易判断结果的有效性。这样做能产生对边界条件与确定材料性质的自信。一

旦达到结果有意义的点时，就可以开始增加不同的材料和提高几何模型的复杂性。

另一种方法是尽管最终还是对瞬态过程感兴趣，仍然从稳态分析开始。稳态分

析有助于得到一个瞬态分析在哪结束的概念：方便定义结束点。使用这种方法，就能

解答达到稳态系统的过程是怎样随时间变化的问题。

在开始一个分析项目时，将所有的信息全都灌输到数值模型中，并奇迹般的获

得漂亮、合乎逻辑、合理的结果是不现实的。千万不要带着这种期望。如果这样做，

模拟经历将会很不愉快。

2.5.4 做数值试验

解释数值模型的结果有时要求做大量数值试验。如果不确定结果是否合理，这

样做就很重要。这种方法也有助于理解和学习特殊的功能，其做法是建立一个用手算

都可以求解问题的模型。

考虑下面的渗流分析例子，可能对流量监测断面、或者计算出的断面流量的含

义不十分确定。为帮助弥补对这个理解的不足，可以作一个如图 2-18 所示的一维例

子的数值试验。总压力水头差是 1m，渗透系数为 1m/day。稳态条件下的梯度是水头

差除以长度，梯度为0.1。流过系统中的总流量是横截面积乘以梯度，梯度为0.3m3/day。

流经全段的渗流监测断面证实了这个结果。流量段为单元 16~18，流过每个单元的流

量是 0.1 m3/day。这结果是正确的，因为每个单元代表区域的 1/3。


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另一种检查计算结果的方法是看节点信息。当水头指定了之后，SEEP/W 计算

相应的节点流量。在 SEEP/W 中，这些被认为是边界流量值。对于同一试验，计算得

到的边界节点流量如图 2-18 左边所示，顶部和底部节点的值是 0.05。两个节点中间，

节点的边界流量是每节点 0.1。总量是 0.3，与计算得到的监测断面的流量结果相同。

且结果为正值，说明流入系统。右侧的节点边界值与左侧的相同，但为负值。负值表

明是流出系统。

图 2-18 流过三个单元断面的水平流量

一个简单的数值试验只需几分钟建立并运行，但它在确认软件怎么工作，以及

帮助解释结果的过程是宝贵的。有很多的优点，最明显的是它展示了软件运行正常。

可以看到穿过整个问题的流量监测断面与只穿过一个单元的流量监测断面的差异，也

可以看出边界节点的流量与断面流量是相关的。它有助于验证边界节点的流量符号的

含义。完全理解与掌握像这样一个简单例子的结果有助于提高对更复杂问题结果解释

的自信。

对初学建模和有经验的建模者来说，做一个简单问题的数值试验是一项有用的

练习。对初学者来说，为了理解这个基本原则，学习软件的功能，获得解释结果的自

信，这是一个很有效的途径。对有经验的人来说，这对更新与证实自己想法是一个很

有效的手段。有时，这比尝试找到合适的文献，之后不得不依靠文献来的更快也更有

效。至少，它可以提高并澄清文献的含义。


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2.5.5 只模拟重要部分

数值模拟的一个强有力并吸引人的特点，是简化几何模型和不必包括模型的整

个物理结构。如图 2-19 所示，混凝土结构下防渗墙的渗流问题是一个很常见的普通

问题。为了分析流过基础的渗流，并不需要将坝体本身或防渗墙本身包含在模型内，

这是由于混凝土的建筑特点和不渗透的假设所决定的。

图 2-19 防渗墙下简单渗流

另一个常见的例子是堤坝下游面趾部排水或水平向的排水廊道（如图 2-20）。

相对于堤坝材料，排水廊道的渗透性如此之好，以至于排水廊道对通过结构的水头

（潜在能量）损失的消散没有贡献。物理上，在堤坝中需要排水廊道，但在数值模型

中这部分就不需要表示出来。如果细粒材料阻塞排水通道，以至于阻碍了渗流，那么

情况就不同了，这类排水廊道就需要在数值模型中表示出来。任何的材料，是否需要

在分析模型中表示出来，要看它对压力水头的损失是否有贡献。

另一个例子是，如图 2-21 所示的下游面坝壳区。心墙通常用细粒土建造，而坝

壳是由高渗性粗粒材料建造。如果中心与外壳的渗透系数差异很大，则渗流会流过心

墙，沿心墙的下游面降低（经常是在粒状过渡区域）到下部排水廊道。如果是这样，

下游坝壳对压力水头损失的消散没有作用，因而在渗流分析中不需要包含下游坝壳。

再说一遍，坝壳在物理上需要存在，但不必参与数值模拟。


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图 2-20 流经带粗粒材料堤坝趾部大坝的渗流场

图 2-21 流经带下游面坝壳的心墙坝的渗流

将不必要的性质，以及尝试将相邻的性质差异悬殊的材料考虑进模型会造成很

多困难。心墙和坝壳的渗透系数有很大的差异，可能相差很多数量级。如果非饱和渗

流出现，情况会变得更复杂，并且渗透系数方程很陡，使得求解高度非线性。如果以

现有技术不可能得到好的结果，那这种情况就变得极其困难了。

数值的困难可以通过消除数值模型中的次要部分来解决。如果只对通过心墙的

渗流感兴趣，为什么要包括下游面坝壳和复杂化分析？删除或忽略分析的次要部分是

一个很有用的技术，尤其是在一个分析的前期阶段。在这个前期阶段，只是简单的尝

试理解渗流域，并且决定哪些是重要的，哪些是不重要的。

在分析中有意忽略一部分次要问题，可能在一开始看起来是一个相当奇怪的想

法，但如果想成为一个有效率的数值建模者，这是一个需要接受的很重要的概念。

2.5.6 以估计材料性质开始

在数值模拟项目的初期阶段，最好以估计的材料性质开始练习。在 SIGMA/W

中，这意味着以线弹性土体模型开始。由于它是线性的，能够很快收敛，如果需要，

它允许细化几何模型，并且允许在需要的时候设定加载步序列。简单的估计材料的性


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质和简单的性质函数要比获取一个应力域内的应力分布更合适，这样可以正确地建立

模型，或验证边界条件的定义。估计性质通常足以确定已建模型的状态中多种性质的

重要性。

当有了实验室数据后，诱惑就在于这些数据需要被完全使用，并不能被任意操

纵。对试验数据的这种看法似乎是不灵活的，在数值模型中应用这些数据的时候可能

会制造麻烦。一个普遍的说法是：“我在实验室中测量的数据，对此我有完全的自信。”

试验结果与实际的现场土性质之间存在一个现实的鸿沟。在怎么取样以及最终在试验

室中的定量化过程中，材料样本的采集，会出现一些局限性。样本是通过铲子取得的，

切取的，还是取得样本的中心？样本的尺寸、数量能代表全部剖面的特性么？样品是

烘干的，筛选的，在实验进行前是否被草率处理过？为了能够放入试验仪器，样品是

不是被去除了大颗粒呢？这些实验室常见的处理技术可能导致一个不现实的性质函

数。或许在实验室中获得的大量数据要比实际建模需要的实际数据要多的多。因为收

集与测量数据是花了钱的，使得建模的人不愿在分析中改变实验数据来研究其会对分

析有何影响。

首先通过估计材料性质来获得一个可理解的和合理的解是一个好的模拟练习，

一旦知道什么是关键性质，就可以进行细化分析，就可以提前花很多费用来有效确定

哪些材料性质控制分析，并决定钱花在什么地方获取试验数据更合适。

2.5.7 结果审查

像 SIGMA/W 一样的强大的数值模型需要用户的认真引导，不经意和无意的指

定不合适的边界条件或错误的材料的性质是很容易的。因此，进行结果审查以确保约

束和材料性质与希望定义的相符很重要，也才能使结果有意义。例如，当定义模型时，

检查出现在结果中的边界条件与预计的和指定的边界条件是否一样很重要。设想的材

料性质函数是不是被施加在正确的土层？或初始条件与设想的是不是相同？

SIGMA/W 有许多工具用于检查和审查结果，可以看节点信息与单元信息，如

果检查数据的范围很大，则可以用画图的方式来核查结果。

在数值模拟中检查结果与现场核对是数值模拟中的一个很重要的和关键的组成

部分，这可以极大地提高理解模型和定义模型的自信心。


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2.5.8 依据预期评估结果

在模拟期间，需要问的一个基本问题是：“结果与预期是否一致？”如果不一

样，不要改变初衷，可能是模型出了问题，或者模型与对问题的抽象出了问题，这需

要调整直到两者一致。数值模拟过程需要不断地重复直到得到满意的解答，并且能够

看到结果，并对理解求解过程涉及的方方面面觉得自信。

2.5.9 记住真实世界

在数值模拟过程中要不时的问自己，与复杂的分析相比，对输入数据理解多少。

下面的漫画描述了一个极端情况，但却强调了没有经验和没有受过教育的用户在使用

这款强大功能的软件工具时存在的问题。

注：本文刊印时图片来源未查明

if we can incorporate boundary elements rather than simple finite elephants,enhance the

statistical evaluation of parameter generation and stick with the fuzzy sets, i am confident that

accuracy will be increased to at least the fourth decimal place

如果我们能整合边界单元而不是简单的有限单元，提高参数的统计学估计同时坚持模糊集，我确


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信计算精度能够提高到小数点后四位数。

put another shovel full in pat! it is fullcores they’re wanting!

放另一铲子土进去，这是他们想要的。

2.6 不要这样建模

正如本章前面提到的，在项目一开始就期望建立一个复杂的模型并马上得到一

个实际的，可理解的和有意义的结果是不现实的。有太多的参数与问题会影响到结果，

所以，如果这么期望，那么模拟结果可能会很失望。

对初学者而言，当面对不能理解的结果时，最初的反应是认为一定是软件出了

问题，结果不合理和完全没有意义一定是软件的局限性造成的。一定要记得软件本身

很强大，它能追踪百万条信息和重复计算，远超出人力所不能及的计算能力。没有软

件，是无法进行这种分析的。软件本身在数值上是很强大，但它没有思想。相反，人

类有逻辑与推理的思维能力，但在保留大量数据方面存在巨大的局限性。正是人类的

思维与计算机的计算能力的结合使得数值模拟如此强大，两者中的任何一个也不能独

立完成这个任务，只有在建模者细心的引导下软件才能被有效的使用。

有时由于时间的限制，以一个简单模型开始，然后再慢慢的提升到更复杂的分

析是不可能的。由于经费的限制，也需要快速的解答，需要马上开始最终的模拟。这

样很少成功，经常会导致多次失败，需要重新以简单模型尝试，直到得到一个可理解

的解答，并逐步的建立模型。与推荐方法相比，不遵循上面提到的如何模拟的过程，

这样可能需要花费更多的时间与资金。

记住，软件的好坏与使用者的引导能力相关，本篇文字的目的是帮助大家提高

引导的能力，以便于能充分利用软件提供的帮助。

2.7 结束语

正如介绍中提到的，数值模拟是一个相对新的实践领域，多数大学都没有相关

的如何进行数值模拟的课程，因此，这项技能大多要靠自学。随着 SIGMA/W 这样的

软件工具在教育机构中应用越来越广泛，教育家对这类软件越来越熟悉，与数值模拟

有关的书籍，课程与指导书也需要提高。

当像 SIGMA/W 这样的数值分析工具如期望的一样有效的被使用时，它就变为

能进行很复杂分析的强大的工具，它甚至也能产生对实际物理过程的新的认识。


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模拟的过程是一个发现的旅程，是一个学习我们的物质世界新东西的途径。这

个过程能帮助我们理解更复杂，真实的物理过程，以便于我们能带着极大的自信在工

程实际中锻炼我们的判断力。

SIGMA/W 基本原理和模拟思路

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3. SIGMA/W 基本原理和模拟思路

3.1 前言

SIGMA/W 是广泛应用于应力－应变分析，基于有限元方法的数值模拟工具，

具有跟 GeoStudio 其他软件相似的操作界面和易用性。例如，渗流分析（SEEP/W）

或者边坡稳定性分析(SLOPE/W)中定义的几何图形、有限元网格或者土体区域都可以

被 SIGMA/W 软件直接使用。但 SIGMA/W 和其他软件的分析原理不同，主要区别在

于 SIGMA/W 应用增量荷载公式，意味着工况改变（例如施加一个面荷载），软件计

算相应于这一步的应力和孔隙水压力等参数的改变。只有在加载之前建立初始地应力

场，才能够计算出真实的最终结果。

所有的 GeoStudio 用户手册中都有一章是关于模拟技巧的，在其他的用户手册

中，该章节包含从建立模型到结果解译的技巧提示，帮助用户提高使用软件的效率。

然而，由于 SIGMA/W 的独特性，这一章在本书中被冠以基本原理和模拟思路这一标

题，并放在其它章节之前，希望用户首先阅读，并理解其内容。本章对初学者非常有

用，高级用户会觉得本章第一部分是个很好的复习，但不是完全必要的。对于所有的

用户，都应当阅读并理解本章第二部分内容。

本章包含两部分：第一个部分对应力，体应变和材料强度有关的概念进行一个

全面的复习，关于土体的强度模型方面的理论知识将在第五章进行讨论，这里的重点

在于理解对体积改变和土体强度有重要影响的参数，以便深入认识 SIGMA/W 采用的

计算公式以及能够分析的问题。

第二部分重点说明基本概念怎样应用在模型中，怎样用创造性的模型来解决实

际问题。

贯穿本章的一个重要概念是，SIGMA/W 是被用来考察工程系统（分析对象）

适用性的强有力的工具，而不是预测工程系统稳定性的工具。

适用性研究目的是获得对设计能够发挥预期功能的信心。应用 SIGMA/W 建立

土体数值模型，帮助考察各种应用外部或内部荷载的工程系统是否会失效。

稳定性关注的是工程系统安全系数的量化。为了获得安全系数，必须要求解包

含一些已经破坏点的数值模型，以便将失效点的应力定义为失效后容许应力状态，问

题是，在小变形分析中，超过破坏的应力状态不能被定义，因此无法计算安全系数。

基本原理和模拟思路 SIGMA/W

- 34 -

认识到这些是很重要的，因此可以从考察工程系统的工作状况开始进行数值建

模和前瞻性的设计。如果结果表明是破坏的，那么有两件事需要考虑：一是分析结果

很可能是没有意义的，二是一个提醒，分析的目的是为了设计一个正常的工作系统，

而不是一个破坏的，换句话来说，模拟是为了验证系统的适用性。

3.2 密度和容重

对很多岩土工程应用而言，为了确定和土体自重相关的力，需要测定现场土体

的密度。密度的定义为：土样的质量除以土样的体积，计算公式为：

m

v

其中是土的体积密度，m 是土体的质量，v 是土体的体积。

当应用密度时要仔细对待，密度是单位体积的质量，不应当与“容重” 混淆，

容重也叫单位重量，具有重力（N, lbf）的单位。因为 SIGMA/W 是分析相应于力的位

移，因此使用单位重量形式的密度。

土体的总密度指的是单位体积的质量，包括给定体积中的土颗粒\水\空气。如

果含水量改变了，那么相应的体积密度也会改变。表示密度还有其他一些有用的方法：

干密度\饱和密度\浮密度。

干密度是单位体积干土的质量，在大多数情况下，在土方击实应用会经常提到

这一参数。干密度和体积密度的关系如下：

1

1d

w

其中w为土的含水率(百分数形式)。

土的饱和密度 sat 是所有的孔隙都充满水时的体积密度。土的浮密度是土的饱

和密度减去水的密度，等式如下：

' sat w

其中’是土的浮密度， w 是水的密度。

和土的容重一样（包括水的容重），在 SIGMA/W 中，浮容重也是一个很有用

的参数。浮容重为总的（饱和）容重减去水的容重，关系如下：

' w

其中 w 是水的容重（单位重量）。


- 35 -

关于浮容重的应用在软件分析类型章节中关于原位初始应力和孔隙水压力章节

中将进一步的讨论。

3.3 击实和密度

在很多岩土工程当中，土被作为一种填方材料。为了获得满意的工程耐久性，

非常必要将填方击实。从设计的观点来看，松散材料的击实有很多优点，因为可以增

加抗剪强度，减少压缩性和渗透率。为了解为达到预期的土体特性的击实功的大小，

取现场土的典型抽样来进行室内击实试验是很有用的。对于给定的击实功，试验目的

是为了对于给定击功，导致最大干密度的最优含水率。室内测试主要应用标准击实试

验，R.R.Proctor 在 1933 年引进。

击实涉及机械能，为了在几乎很少或者是不减少含水量的情况下而减少土体中

的空隙。含水率较低时，土粒表层的吸附水膜较薄，击实时土体颗粒分离趋向于形成

任意排列。随着含水率的增加，土颗粒更容易结合到一起，进而引起孔隙体积的减小

和体积（总）密度的增加。在某一时刻，在不改变击实强度下使土体太湿会导致密度

减小，对应于最大干密度的含水率是最优含水率。图 3-1 是一种单一的土体在不同击

实功下的含水量和最大干密度示意图，图中插入了不同土结构的方向的注释。一般来

说，土体是根据低于最优含水量、最优含水量和高于最优含水量来划分的。SIGMA/W

将对这一分类的用途作简短的讨论。

100% saturation

Increasing water content, w

Incre

asin

g d

ry d

en

sity,

Increasing

compactive

effort

A

B

C

DE

图 3-1 干密度、含水量和击实功（1981 年 Holtz 和 Kovacs 提出）


- 36 -

increasing compactive effort 增加击实功 saturation 饱和 increasing water content 增加含水量

increasing dry density 增加干密度

值得注意的是，增加击实功并不能引起土体中所有空隙的消除，会导致所需要

的最优含水量减少和最大干密度的增加。对于帮助估计应用更少水或是增加击实功，

这种类型的测试对比非常有用，可以取得最好的经济效益。

3.3.1 击实和强度

了解击实功和含水量对工程土的影响将有利于更好地理解其在荷载作用下的预

见性行为。对粘性土而言，应该意识到，当击实功一定时，加入的水越多，土体结构

更趋于定向排列（指图 3-1 中的 A,B,C），也就是说，粘性矿物质变得更加分散，很

少凝聚在一起。低于最优含水量时，土颗粒结构被认为是絮凝的；当高于最优含水量

时，其结构被认为是分散或者是定向的。随着击实功的增加，土体定向性增强（指图

中 C,D）。

全面地讨论含水量和击实功对土体特性的影响超越了本书的范围，重要的是要

理解压缩土体在最优含水量时具有更高的强度。还有，在击实功一定时，当含水量增

加，渗透系数降低，在最优含水量处渗透系数达到最低。如果击实功增加，由于孔隙

率降低，渗透系数也会降低。

理解通过观察来预见土体行为有助于使建模和定义更加容易，对输出数据的解

释更有意义。例如，如果做一个固结分析，分析得到工程结构中孔隙水压力消散延迟，

用户也许会调整应用的单位重量(总密度函数)，并将 SEEP/W 中应用的渗透系数函数

做相应的调整。这种对土体参数的微调通常是不推荐的，然而通过讨论应该明白如何

在土体上进行建筑是和土体特性有一定联系的。

3.4 塑性

SIGMA/W 不考虑塑性，也不需输入任何的 Atterberg Limits（粘性土的可塑性及

界限含水量）参数。然而由于确定这些参数相当简单，从实用的观点来看讨论其意义

是很有用的。如果知道土体的塑限和液限，就可以预测土体的响应，更好地理解模拟

用来解决什么样的问题。

1911 年，在描述粘性土塑性时，作为一种实用的方法，提出了 Atterberg Limits，

有几种分类，和本节讨论最相关的是塑限，液限和液性指数。


- 37 -

液限和塑限都是单位重量的含水率，用小数形式来表示。塑限 PL 是加载过程

中土（从可塑状态）转变为塑性（半固体状态）时的界限含水率。液限 LL 是在加载

过程中当土开始转变为黏性流体时的界限含水率。液性指数定义如下：

w PLLI

LL PL

其中w是土的天然含水率。

如果 LI 处于 0 到 1 之间，土处于可塑状态；如果 LI 大于 1，土处于流动状态

（受剪时）。图 3-2 对一定范围的液限和塑限预测的应力－应变行为进行了比较，很

明显接近塑限时，很可能会由很小的剪应力变化会引起较大的应变。同时表明土接近

或者是超过液限时，对应于小的荷载变化的应变量是无限的。

理解这一点是非常重要。如果对处于塑性和液限状态之间的土体进行应力应变

分析，就有可能得出大应变的结果。SIGMA/W 采用小应变的公式，当应变太大时它

经常不可能收敛得到合理的结果。在一些情况下，也许会得到一个结果，但是它没有

意义。要得到一个有意义的结果，取决于用户对预期的土体行为和模拟应力状态的理

解。如果想要一个有用的结果，必须在可行性范围之内设计（模拟）相应的情况。

w > LL

Strain

Sh

ear

str

ess

w < PL

w approaches LL

w approaches PL

图 3-2 应力应变和 Atterberg Limits 界限

strain 应变 shear stress 剪应力 approaches 接近


- 38 -

3.5 体积改变

3.5.1 有效应力和总应力

对有效应力和总应力，以及这两者之间的区别有一个明确的理解，这是非常重

要的。错误的参数应用将会导致错误的模型结果。

土的总应力取决于上覆土体的总单位重力加上地表荷载（如自由水）。还有，

在给定的某一深度处，水平和竖直方向的总应力是不同的。但现在我们只考虑竖直方

向的应力。

考虑图 3-3 所示的土体单元，处于地表面 10 米以下，地表有 2 米深的水。在土

体单元点处总的竖直应力等于其上面的所有重力除以覆盖的单位面积（假设为 1 平方

米）。用等式形式表示：

n

v i i

i

z

其中 z 是每个土层的厚度，r 是土的重度(每种材料总的单位重力)，i,n 分别是单个

材料号和总的材料数目。

因此，在这种情况下，总应力等于(2m*10 kN/m3) + (10m*20 kN/m3),或者 220kN/m2

= 220 kPa。

Z=10m, = 20 kN/m3

Z=2m, = 10 kN/m3

图 3-3 总应力和有效应力的说明图

有效应力和总应力是不同的，因为土体颗粒间的水会产生一个把土颗粒分开或

者把他们拉得更紧的力，后者对应于土体中的水处于毛细状态。有效应力用等式表示

如下：


- 39 -

'

v v u

其中 u是孔隙水压力。

基于图 3-3 所示的例子，土体单元的竖直方向的有效应力将和总应力一样计算，

220kPa，减去孔隙水压力（=12m*10kN/m3=120kPa）就是 100kPa.

实际上，有效应力比总应力小，说明水承担一些土的重力荷载，因此减小了土

体中的应力。

3.5.2 压缩和固结

压缩和固结是处理土体如何响应荷载变化。由于下面的因素，当一个荷载开始

作用于土体，土体将压缩，或体积改变：

• 土体粒径的变形，

• 孔隙中水和空气的压缩，

• 孔隙中的水和空气被挤出。

通常会忽略土粒径变形，以及空气和水的压缩产生的变形等，因为相比第三个

因素来说它们非常小，可忽略不计。

在粗糙材料中，孔隙中水的消散相当快，这会导致荷载作用下土体迅速固结。

然而在细颗粒材料中，压缩率直接是土的渗透系数的一个函数。因此，土的压缩随时

间增长的现象叫固结。

考虑如图 3-4 所示，在水下地表 1 平方米的基础上加载 50kN 的作用力，两个

重要的点可以用来做解释。

当荷载刚加上，土体的总应力便发生了 50kN/m2 或是 50kPa 的变化。因此，土

体单元中现在的总应力是 270kPa。加载瞬间，细粒土颗粒来不及向周围移动（扩散）

来承受新的荷载力，因此孔隙水承担该荷载，并且其压力的增量等于新的作用应力。

所以土体单元中的孔隙水压力增加 50kPa，新的有效应力等于 270kPa 减去 170kPa，

为 100kPa。和开始的有效应力一样，如果土体的有效应力没有改变，那么不会有体

积应变产生。


- 40 -

Z=10m, = 20 kN/m3

Z=2m, = 10 kN/m3

50 kN load

图 3-4 施加于例子中的面荷载

load 荷载

随着时间的增长，细粒土中超孔隙水压力将消散至加载前的值。这时，有效应

力等于新的总应力减去初始孔隙水压力，即 270 kPa – 120 kPa = 150 kPa。有效应力增

加就意味着土体体积的改变或者是固结。

有效应力不变意味着体积不会改变。有效应力的增加意味着土体固结或者是压缩。有效应力

的减少意味着体积膨胀或隆起。

有时将一个荷载步开始和结束时对应的有效应力参数绘图是很有用的。在这里

我们看一下相应于图 3-5 所示的荷载作用下的水压力，见图 3-4。瞬时增加的总应力

导致了固结开始时孔隙水压力的增加，且孔隙水压力的增量等于总应力的增量。

= u

Z=10

u end u start

Pressure

dissipation over

time

Z=2


- 41 -

图 3-5 压力随时间的消散

pressure dissipation over time 孔压随时间消散 start 初始 end 终值

我们可以使用相同的方法，并同时考虑为上述的两种情况计算所有的参数。图

3-6 表明两种工况下的所有应力和压力随土体深度的变化曲线。上面的图形表示的是

初始的有效应力（加载前），而下面的图形表示的荷载作用于基础，土体已开始固结。

从图中可以获得以下几个关键问题：

• 为了得到固结过程中的实际应力，必须知道初始应力。

• 地表面的有效应力始终为 0。

• 作用于基础的瞬时荷载使孔隙水压力升高，因为土体来不及消散孔压，增加

的孔压等于荷载增量。

• 加载后总应力没有变化。

• 加载开始有效应力没有变化。

• 随着孔隙水压力的消散，有效应力增加。


- 42 -

Pressure

dissipation

over time

Z=10

070Z=2

= 0 u = 0 ?= 0

70

270 170 150

Pressure / Stress units

?= - u

120 100

Increase in

effective stress

with time

u decreases ?increases

= 50

Z=10

020Z=2

= 0 u = 0 ?= 0

20

220 120 100

Pressure / Stress units

?= - u

图 3-6 两种情况下的应力和压力

pressure/stress 压力/应力单位 pressure dissipation over time 孔压随时间消散 increase

ineffective stress with time 有效应力随时间增加 decreases 降低 increases 增加

这里一个更加清楚的概念是：在土体中任一点的实际应力，不能仅仅根据当时

的作用力荷载大概计算，必须考虑土体如何在给定的时间点响应外部荷载的改变。为

了建模，我们研究出的有效应力等式为：

'

v v u

其中表示每个参数的一个阶梯性的变化。从前面的例子来看，总应力的变化

为 50kPa，孔隙水压力 u 的变化也是 50kPa，因此加载以后有效应力为 0，即土

体体积没有变化。

荷载改变或者荷载增量这一概念将在本章的后面进行详细的讨论，这是一个需

要理解的关键概念。


- 43 -

3.5.3 孔隙水压力零改变

如果总应力改变，孔隙水压力保持不变会怎么样？如果 0u ，那么有效应力

等式变为：

'

'

0v v

v v

or

在这种情况下，有效应力的改变等于总应力的改变。根据有效应力来考虑土中

的应力，那么关于体积的改变总是随着有效应力的改变而改变的准则总是适用的。如

果开始认为体积的改变有时由总应力变化引起，有时又是有效应力变化引起，就会产

生混淆。所以应该清楚孔隙水压力是否改变，用有效应力原理来解释。

3.6 强度参数

3.6.1 莫尔应力圆

莫尔圆可以用来描述平衡状态的一点的应力状态。考虑图 3-7 中受水平、垂直、

剪切和法向作用力的土单元。

N = x

H = xSin

V = yCos

A = Cos

A = 1

A =

Sin

T = x

图 3-7 作用在土单元上的力

将每个面上的作用力分解为水平和垂直部分，然后分别除以他们的作用面积得

到应力，根据、和可以建立两个方程。如果这些方程等于 0，他们分别平方再

相加到一起，结果是一个简单的圆的方程，半径为：

2

x y


- 44 -

圆心在

, 0

2

x y

土单元的竖向和水平面没有剪力作用，根据定义，就是主平面。因此，作用在

该面上的力是主应力。需要注意的是主应力作用在剪应力为 0 的面上。另外需要注意

的一点是数值最大的应力叫做最大主应力（以 1 表示），数值最小的是最小主应力

（以 3 表示）。

力方程求和的信息可以用来构造在剪应力——法向应力平面上的圆，如图 3-8

所示。使用这个圆，土单元中沿着任意潜在的破坏面施加的法向和剪应力可以确定下

来。在这种情况下，剪应力和法向应力点位于和水平面呈角的平面上。

1

3

图 3-8 莫尔应力圆

3.6.2 莫尔库伦破坏准则

在同样的土材料上使用不同的法向应力得到一系列的剪切实验，然后结合库伦

提出的摩擦角和粘聚力理论可以得到莫尔应力圆，然后获得莫尔库伦破坏准则。这个

准则更详细的讨论在大多数岩土工程书上都有，所以本书就省略了这块。现在介绍这

方面的目的是帮助我们在后面进行的有效应力和总应力参数的讨论，以及这些参数是

如何获得，以及各自的含义。


- 45 -

3'

'

c'

1'

3'

1'

图 3-9 莫尔库伦有效破坏参数

图 3-9 表示的是粘土的莫尔库伦的包络线。图中画出了 2 个莫尔圆，一条线和

两个圆相切，并且和竖向的剪应力轴相交。切线上相交的点可以提供有效粘聚力参数，

切线的倾角提供有效摩擦角。所有这些参数在图中有“’”符号，表示这些参数是有

效应力值，不是总应力值。他们是有效应力是因为样品中的孔隙水压力根据实验已经

测出来，从总应力中减去了。

一旦剪切试验的数据在图中标示出来，如图 3-9 所示，就可以建立代表这些数

据的方程了。我们知道切线是一条直线，并且被 y 轴截断。因此，直线的方程，被称

为莫尔库伦的破坏准则，如下：

' ' (tan ')f fc

其中，下标 f 代表土单元破坏时的剪应力和法应力。

3.6.3 轴向试验

可以用一本教科书来介绍关于执行和解释由不同类型的土做各种类型的三轴压

缩试验，因此这种类型的讨论是比较深奥的。然而，在三轴试验中区分两种主要类型

的试验是非常重要的。

3.6.4 不排水试验

不排水试验可以在掺砂或砾石的样品、掺粘土或泥沙的样品、或不掺杂其他材

料的样品上实施。样品可以在指定的围压下固结，然后在轴压下受剪。

在不排水试验中，样品中的孔隙水压力不允许消散，所以压力对应于总应力的

改变量来增加。应力的改变是因为在样品顶端施加了应变。所以，如果施加的应变导

致了 50kPa 的主偏应力，土中的水压力也增加了相同的量。


- 46 -

不排水试验可以在有或者没有孔隙水压力的测量设备下进行。如果孔隙水压力

没有测量，结果应该根据总应力来表达。土固结的条件一般不同于实验室中的条件，

所以根据总应力来描述试验结果时，仅能适用在一种极限的情况。

总应力轴向试验的结果如图 3-10 所示。

cu

3

1

3

1

图 3-10 不排水，总应力状态的莫尔圆

如果加载时测量了孔隙水压力，施加的应变速率要充分的慢，使得压力平衡并

且可以测量。在测量了孔隙水压力，结果可以根据有效应力来表达，c’和 Φ’可以在大

量实际领域使用，不排水有效应力轴向试验的结果可以在图 3-9 中得到说明。

土结构需要很长时间才能达到平衡，然后在极限排水范围内施加一个突然改变

的总应力，不排水试验结果是有用的，这可以用在水库的填充或者快速降水情况下。

3.6.5 排水试验

排水试验可以在所有类型的样品上实施，不管是否有干扰。以和不排水试样同

样的方式运行，但是在加载过程中，水允许排出。施加的应变率必须非常的小，防止

产生超孔隙水压力。换句话说，就是时刻保持和加载前固结时候一样的状态。

在完成试验以后，莫尔圆的破坏包络线和不排水有效应力分析的结果非常相似，

这也是合理的，因为如果土体允许排水，那么孔隙水压力的改变就是 0，有效应力的

改变等于总应力的改变。

当长期渗流情况出现时，排水试验的结果是非常有用的。然而，要做这个试验

却很不容易，因为要确保样品中没有孔隙水压力是很难得。另外，对于低渗透性的土

体，需要很长时间来排水，所以需要施加一个非常小的应变率。


- 47 -

3.6.6 土体刚度——杨氏模量

不管试验如何实施，目的是测量强度参数（上面描述的）和应力—应变行为。

应力—应变行为是在偏微分方程中使用的本构模型。强度参数仅用来告诉给定的土单

元是否超过自身的屈服点。关于在应力—变形模型中使用的强度参数，将在下面的稳

定性和适用性的章节中进行讨论。

图 3-11 表明在强度试验中，在三种围压下应力—应变的行为。当围压增加时，

变形的倾斜度更弯曲了，曲线的斜率描述对应于施加的应力和应变关系。以方程的形

式，斜率等于：

iE

或者

iE

这就是著名的胡克定律。

斜率 E，就是杨氏模量。对于任意的土样，它不是常数。这个模量，代表土体

的刚度，和有效围压有关，可以根据整个研究域的应力在区域内变化。所以，在

SIGMA/W 中求解的参数是应变，为了求解应变，我们必须知道应力和刚度。然而刚

度是应力的函数，这个循环逻辑使得求解是一个非线性的过程，这就是我们为什么需

要迭代求解到一个收敛解。

Str

ess

Strain,

i

图 3-11 试验中不同围压下应力——应变


- 48 -

strain 应变 stress 应力

3.7 总应力，有效应力和孔隙水压力

和我们前面讨论的一样，压力下水的存在会影响我们如何获得材料参数，以及

在求解过程中如何使用。根据一般的工程经验，材料参数可以在 SIGMA/W 中根据排

水土的有效应力参数或者不排水情况下的总应力参数确定。如果想使用有效应力参数

与孔隙水压力改变来模拟一种工况，则必须做完全的耦合固结分析，同时孔隙水压力

使用 SEEP/W 来计算。非耦合分析不计算由于总应力改变引起的孔隙水压力，因为孔

隙水压力的改变是使用外部程序来计算，例如 SEEP/W，SIGMA/W 或者 QUAKE/W。

当指定材料参数为“有效应力”参数，SIGMA/W 将用总应力减去已知的孔隙

水压力得到有效应力。这个有效应力被用来计算非线性土模型中的土体刚度。求解器

然后计算由于加载引起的总应力改变，增量作用在初始孔隙水压力，计算荷载步结束

后新的有效应力。所以，在指定有效应力参数，不是完全耦合分析时，有效应力的改

变总等于总应力的改变。

当有效应力参数被指定，应用不完全耦合分析，则有效应力的改变总等于总应力的改变。

在一个荷载—变形分析中，使用有效应力参数计算的材料参数和使用总应力计

算的材料参数很容易混淆，在一个完全耦合的固结分析中也会出现这样的情况。然而

在这种情况下，如果是总应力材料或者没有孔隙水压力变化的有效应力材料，孔隙水

压力在整个分析过程中始终保持初始条件的状态。换句话说，流入这些区域的水不会

引起区域内部压力的改变。

3.8 增量形式

SIGMA/W 以增量形式求解。对于每一个时间步，增量位移可以根据施加的增

量荷载计算出来。这些增量值加到以后时间步计算的值上去，积累的值在输出文件中

显示。方程的表示为，

2 1step step new

增量形式有几个优点，如果灵活使用，是建立单独荷载或应力分布的有效形式。

除了固结和孔隙水压力的消散和时间有关系，“时间”对于所有的分析不是一个相关

的参数，记住这点很重要。因为跟“时间”不相关，增量公式并不总是对施加荷载的


- 49 -

量级有敏感性。重要的是荷载步可以增加或者减少，使得加载结束后，地应力反映预

期的条件。

考虑一个例子，例如想建立一个初始应力条件，使得深度 10m 处的水平总应力

是 200kPa，而竖向应力仅 100kPa。现在，假定土的单位容重是 20kN/m3。现实中水

平应力大于竖向应力时不多见的，但是这个例子很好的说明了使用增量荷载的一些创

造性的想法：

Step1：设置泊松比为0.49，使深度为10处的水平和垂直处的应力都等于200kPa。

Step2：改单位容重为-10kN/m3，设置泊松比为 0，使用 Step1 计算的结果作为

Step2 的初始条件来进行荷载、变形分析。这个荷载步的结果应该从竖向应力中减去

100kPa，水平应力减去 0kPa。

在这两种情况下，最近的结果是水平应力达到 200kPa，竖向应力达到 100kPa。

很明显，可以选择一个 Step 的方法来获得希望的结果。这个例子的重点是增量

形式运行能够增加或者减去荷载，最终获得希望的地应力。

3.9 体积力——单位重量

体积力是土体的自重。如果希望得到土体的真实应力，那么分析中就必须包括

自重，或者对于非线性土体模型需要的真实应力，以便能够得到准确的土体刚度。线

弹性土体模型分析中可以不考虑体积力，然而，必须清楚任意显示的应力仅仅是由于

增加的外载引起的增量，不是载荷加上土体自重得到。

关于体积力如何计算的详细情况可以参考理论章节。到现在为止，只需要知道

施加在模型上的体积力是已知的单位重量和有限单元尺寸的简单函数。换句话说，一

个 1m2 的假定 1 米厚的有限单元有 1m3 的体积。这个单元的每个节点的体积力与单位

自重乘以单元体积成比例。

使用增量法体积力（单位重量）仅在分析中单元第一次被激活时起作用。然而，

如果施加体积力比其他荷载步有数值优势，可以将这种方法作为一个选择。

如果体积力被应用在原位分析中，原位分析的结果被用来作为另外一个分析的

初始条件，那么不需要在新的分析中禁用体积力，软件会自动在土体第一次被激活时

考虑体积力。这在以前的版本是不可能实现的，当体积力连续作用会导致反常的高应

力，这是许多用户会遇到的难题。


- 50 -

3.10 适用性和稳定性

正如在本章的引言里提到，SIGMA/W 是用来调查土工系统适用性的强大工具，

而不是用于预测系统稳定性的工具。

适用性是获得设计能否发挥预期作用的信心。适用性会告诉你土体将怎样向不

稳定的状态运动（例如大片的进入塑性区），但是它不能告诉你，或者向你保证不稳

定状态是什么样子。稳定性，即对于工程系统给定一个安全系数，它处理荷载和抵抗

力的问题，不关心土体怎样从一个状态过渡到另一个状态，极限平衡分析工具，例如

SLOPE/W 可以用于主要关心安全系数的分析。

本章我们讨论土的一些土的基本特性以及在模型中如何测量、计算和解释这些

性质。引入了一个重要概念，土体的强度参数是测量在不同主压力作用下土体的破坏

剪切强度。这在应力—变形数值模型中有重要的应用，因为可能有许多破坏面通过几

何体，他们在不同的主应力方向。如果是方向变化非常大的组合，一旦土体破坏，没

有方法来量化土体强度，土体的稳定性将如何来确定？

在极限平衡分析中，潜在滑面已经确定。根据这一点，就可以确定在指定点的

主应力下的沿着该滑面的剪应力强度。被“抗滑的”剪应力强度除以“下滑”剪应力

强度来确定一个大于或小于 1.0 的安全系数。这在应力—变形分析中是无法做到的。

3.11 模拟思路

有限元分析包括两步。第一步是建立分析模型，而第二步是建立并求解相关的

有限元方程。建立模型包括设计网格、定义材料属性、选择合理的土体本构模型和定

义边界条件，SIGMA/W 可以形成和求解有限单元方程。然而，分析模型必须由用户

来建立；也就是说，用户必须设计一个可以接受的网格，选择可应用的土体属性和控

制边界条件。SIGMA/W 不能给出判断，这是用户的任务。

好的模拟技巧需要实践和经验。为了帮助用户来分析，本章给出了一些指导方

法，并不是详尽的陈述“怎样”模拟，而是提供如何模拟各种工况和列出可能导致困

难的一些情况概述。

有限元模拟需要注意的最重要的一个规则是从简到难逐步深入。当刚开始分析

就将模拟考虑的非常复杂，这样将会很难解释计算结果，尤其当结果是错误的时候。

由简单逐步使模型复杂可以很容易的查明结果不合理的原因，因此首先定义一个简单

问题然后逐步加入复杂条件是一种很好的实践。


- 51 -

在有限单元模拟中，获得的结果和简单的手算结果非常接近是很重要的。如果

从简化问题开始就很容易做出判断。

例如，从简单到复杂问题的分析方法可以是首先进行弹性分析。这个结果可以

对复杂的非线性结果进行很好的参考，这也是检查施加的边界条件是否合理的一种方

法。一旦这部分分析是正确的，就可以很自信地进行弹塑性分析。

3.12 单位

在 SIGMA/W 中可以使用任何一个单位系统。然而，分析中使用的单位必须统

一。例如，如果几何涉及的单位是米，那么变形的单位也是米。

长度、力和容重必须选择单位。当长度的单位选定以后，水的容重单位也就确

定了。表 3-1 给出了一致的单位系统。


- 52 -

表 3-1 一致的单位系统

名称定义公制英制

几何长度米英尺

水的单位重量力/体积千牛/立方米磅/立方英尺

土的单位重量力/体积千牛/立方米磅/立方英尺

内聚力力/面积千帕磅/平方英尺

压力力/面积千帕磅/平方英尺

力力千牛磅

模量力/面积千帕磅/平方英尺

不论选择了什么单位系统，水的容重单位必须选择正确。在 SIGMA/W 中使用

的容重将水头转化为压力，也用来计算在一些非线性本构模型中的极限围压。例如，

如果水的容重单位是 kN/m3，当内摩擦角大于 0 时，弹性模型中的最小主应力被限制

为 1kPa。如果容重单位是 62.4pcf，这时的最小主应力接近 20psf。关于极限围压的更

多信息，请参考材料属性章节的弹塑性模型。


- 53 -

几何与模型 SIGMA/W

- 54 -

4. 几何与模型

4.1 引言

有限元数值计算方法基于将连续体分析对象离散成有限个相互连接的单元的概

念，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，从而

使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。这个划分单元的过程就是

“离散化或网格化”，这些单元就是“有限单元”。

在 GeoStudio 中，模型的几何形状在离散化或网格化之前整体定义，这是

GeoStudio 2007 中的新方法。另外，改进了自动网络生成算法，简单的操作就可以得

到表现良好、数值稳定的默认网格。当然，最好查看一下缺省的网格。改变网格可通

过修改全局单元尺寸参数方便地实现，例如通过改变网格在某一条线上的单元数量，

或者设置网格单元边长。

图 4-1 显示了一个土体开挖工程的完整模型，整个模型用到了各种几何要素。

• 指定土体区域

• 锚杆和基坑底面下的墙为几何线

• 创建土体材料模型并赋给几何对象

• 在区域边界绘制预定义的边界条件。

作为计算前的最后一步，查看网格质量并做调整。这个例子中，全局单元尺寸

设置为 1m。另外，表示锚杆锚固区域的几何线段也被离散化了，作用预应力的锚杆

自由端没有离散化。最终的模型如图 4-2 所示。

现在有了建立模型的几何对象的基本概念，可以更深入的探讨各种类型的几何

对象。我们也必须讨论有限元本身，因为这是整个有限元方法的构架。

SIGMA/W 几何与模型

- 55 -

Distance - m

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ele

vation -

m

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

图 4-1 土体开挖几何模型

distance 距离 elevation 高程

Distance - m

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ele

vation -

m

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

图 4-2 全局单位尺寸为 1m 时默认的网格划分

4.2 GeoStudio 中的几何对象

GeoStudio2007 中的一个新概念就是整个模型定义成一系列几何对象，可以是土

体区域、圆形开挖线对象、表面区域，或者是点对象等。这些对象见下图，定义并网

格离散。


- 56 -

Soil region

Surface layers

Circular region

Region lines

Free line

Free point

Region points

Free line in space

图 4-4 现有的几何对象

region points 区域点 free line 自由线 region line 区域线 free point 自由点 soil region 土体

区域 circular region 圆形区域 free line in space 空间自由线 surface layers 面层

图 4-4 模型网格

可以将材料或者边界条件赋给几何对象。它们也可以具有特别的属性，如网格

单元类型、尺寸和积分阶次。

下面我们分别介绍。

4.2.1 土体区域、点和线

GeoStudio 用区域和点的概念来定义一个问题的几何形状，便于问题的离散化。

用区域的好处是它可以替代我们直观的做法，就如工程师和科学家演示概念和绘制系

统组成图一样，例如，绘制一个地层断面，我们直观上先绘制各个不同土体类型区域。


- 57 -

利用区域有很多优点，如：把一个大范围划分为小块体，分析小块体，然后把

小块体连接起来得到整个研究范围的性态，这正如有限单元的概念一样。通常情况下，

所有的物理系统必须打碎成小块体才能建立、管理并控制整个系统。

高度自适应的独立块体集合可以组合起来，能够描述和定义几乎所有复杂的形

状和物理系统。这种方法较之将整个范围描述成一个单独对象的方法更加有效，也可

以应用到更广泛的问题。

区域可以是简单的直边形状，如四边形、三角形或自由形状的多边形等。图 4-5

是用一个四边形和两个三角形区域组成的模型。这张图上也显示了区域点和区域线

条，任意相邻两点之间的几何对象称为线。点和线都可以具有下节所讨论的属性。这

张图上的点和线段不是“自由的”，因为它们隶属于一个区域。但是它们具有与自由

点和线段相似的形状。

图 4-6 显示了一个用 10 个点定义的多边形区域，区域内不限制点的数目。然而

我们建议尽量保持模型简单，这是基本原则。

Points

Lines

图 4-5 区域点和线的示意图

points 点 lines 线

1 2

34

56

78

910


- 58 -

图 4-6 多边形区域

点可以选择并且移动，从而改变区域的形状和位置，这为调整和修改模型提供

了极大的便利。

11 12

1314

15 16

17

图 4-7 不同尺寸的区域

把不同尺寸的区域连接起来，以及控制网格都会用到点。图 4-7 显示了一个带

有基础区域的均质土体区域。地基区域由点 11，12，13，17，14 组成，基础区域由

点 14，17，16，15 组成，点 14 和 17 是公用点，因此两个区域在这条边上连接起来

了。另外，点 17 保证单元节点在此创建，并位于基础的边上，这是创建合适网络必

须的。点 17 也把点 13 和点 14 之间的区域分开，因此可以在这条边上分别设置独立

的边界条件。

当一个区域被定义好之后，具有如下属性：

• 一种材料类型

• 一种单元网格模式（或无网格）

• 一种单元阶数，一阶或二阶

• 一种积分阶次

关于有限单元的更多信息在本章后面会讨论。

4.2.2 自由点

正如上面提到的，区域可以由一系列的点组成，点也可以在区域内或区域外存

在。缺省情况下，一个有限单元“节点”必须在所有点的位置上存在，不管是区域角

点还是自由点。这样的好处是通过设置一个“自由点”，可以保证边界条件施加在需

要的位置。


- 59 -

在 GEO－SLOPE 软件早期版本中，所有的边界条件都是直接加在网格节点或

单元边上，这种方法不再使用了。现在所有的边界条件必须直接施加在区域线、区域

点（或自由点）或几何线段上。这种新方法在用户要改变缺省生成的网格时优势非常

明显。过去，改变网格会丢掉所有的边界条件和土体性质（有些情况下）或者需要重

新施加边界条件。而现在，由于特性和边界条件作为几何块体的对象存在，改变网格

不必再重新设置模型。

4.2.3 自由线段

自由线段是线对象，它不构成区域线段的任何部分。在施加锚杆到一个模型上、

设置土工织物或隔离层时它们非常有用。自由线段也可以用来建立部分在土体内部部

分在土体外的结构组件。下面是几个例子。

23 24 25

37 38

50

图 4-8 桁架加载模型

图 4-8 中，可以将结构杆（一种材料类型）赋给自由线，分析确定桁架系统在

荷载下的位移。

4

5

17

18

图 4-9 线代表锚杆（线段部分离散）


- 60 -

图 4-9 显示了自由线段的两个关键特征，绘制了两个自由线段来模拟锚杆。上

端的自由线段没有离散（即，和有限元网格无关），而下面部分包含在了网格中。下

面的自由线段代表一个梁结构件，这需要它和周围的土体单元共节点。上面的自由线

段代表结构杆单元，只受拉或受压，在它的端点处只有主动力和刚度，这和节点位置

重合。由于不和土体相互作用，因此除了端点外不必和土体共用单元节点。

图 4-10 线段的材料模型设置为“无”（无流动）

图 4-10 是用自由线段在工程土体下建立一个蒸渗收集盆，将材料模型“无”赋

给线段来模拟无流动条件（即，空的材料）。线段被赋予了一个材料模型，这是一个

要了解的关键问题。设置完之后，线段具有所赋予材料的属性，并且一个特殊的界面

单元添加到线段网格上。界面形状取决于问题本身。在这个例子中，界面具有“无流

动”的特性。在应力变形模型中，线段上的界面可以赋予土体－结构摩擦或滑动特性。

下一节中将详细讨论界面单元。

4.2.4 线段上的界面单元

前一节中介绍了把材料模型赋给一个单独线段上的概念，实际可用的材料模型

取决于要分析的问题。例如，在 SEEP/W 中，界面模型可以用来代表土工织物或空材

料来代表节流设施。在 TEMP/W 中，可以是一个薄的隔离层。在 SIGMA/W 中，材

料模型可以描述土或土和结构的摩擦特性。读者可以分别在各个工程手册中阅读关于

这些模型的内容。


- 61 -

Interface material on lines

图 4-11 几何线段上的“界面单元”

interface materials on lines 线上的界面材料

现在将集中讨论如何将界面区域赋予线段对象，有两种方法可以做到这一点。

方法一、用“绘制线段材料特性”的命令，可以选择已定义的材料模型，点击线段旁

边把材料模型赋予线段，如图 4-12 所示。可以给线段的任何一边指定不同的材料类

型。如果使用此选项，可以指定材料以及设立特别薄的“界面”单元。然后，可以返

回并通过绘制网格属性命令以及选择线段来更改其默认的单元厚度。

图 4-12 用绘制线段材料命令把界面模型赋予线段

方法二：先建立薄层单元，然后赋予线段材料模型。用绘制网格属性命令，选

择线段，选择创建界面单元选项，然后设定一个界面单元厚度。这个过程如图 4-13

所示。


- 62 -

界面单元的实际厚度可以有物理意义，也可以无物理意义，但是赋予的材料模

型也是一样。例如，在 TEMP / W 中界面代表一个隔离层，那么是跟厚度相关的。但

是，如果该界面描述的是两个滑动块体的摩擦行为，那么指定的厚度在计算中就没有

考虑，指定厚度只是满足显示的需要。

图 4-13 用绘制网格属性命令在选择的线段上创建界面单元

4.2.5 圆孔

一个圆孔是 “浮动”在其它土体区域上面的区域。它由绘图命令创建，由中心

点和圆周上的点定义。这个区域可拖动到不同的位置或周长点可以移动以改变圆孔的

尺寸。像所有其他区域一样，可以分配给它一个网格，也可以给区域的边赋予材料特

性（如隧道衬砌界面材料），可以给边或中心点赋予边界条件。

图 4-14 显示了一个圆孔区域，放置于现有的土体区域上。圆孔区域通过点击所

需的中心点然后拖动半径点到所需的位置。一旦定义，该区域可以指定为一个网格孔、

没有划分网格的圆孔或洞。为获得开挖前的初始应力状态可能有必要划分网格。要模

拟一个管道或暗渠就需要一个孔洞。在图中显示的圆孔，界面单元被赋给了圆孔线。

这样就可以用土体－结构相互作用模型设置在梁和土体接触面上。


- 63 -

图 4-14 设定了中心、半径点和界面单元的圆形区域

4.3 网格生成

在 GeoStudio 中所有的网格都是自动生成，不必绘制单独的“有限单元”。此

外，也不用担心网格的协调性或者改变网格是否会影响材料属性和边界条件。

一个几何区域或线段在绘制后，默认是没有网格化的。当第一次使用绘制网格

属性命令，将生成默认的网格，可以修改默认网格。软件允许用户在全局范围、任意

一个或多个区域、沿某一线段或者一个点周围改变整个网格的单元尺寸。也可以指定

网格密度为实际的长度单位、全局网格尺寸的比率、沿某一边上的网格划分数目。一

般来说，建议用户通过全局密度来改变网格，有必要时，在个别位置修改网格的尺寸。

网格化选项和可用的网格模式如下图所示。

图 4-15 绘制网格属性的选项


- 64 -

4.3.1 结构化网格

图 4-16 显示的是结构化网格，具有一致的单元模式，并且只有两个形状和尺寸。

非对称几何形状的结构化网格要求创建几个区域，对每个区域内部分别进行网格化。

可能这需要更多的工作来完成，却无法显著改善结果。现在有更高效、数值表现良好

的自动化网格选项，这将在下一节讨论。创建一个结构化网格使用四边形的矩形网格

或四边形/三角形的三角形网格。

1

2 3

4 5 6

78

9

10

图 4-16 结构化网格

4.3.2 非结构化的四边形和三角形网格

为了精细控制网格，要生成图 4-16 所示的完全结构化的网格需要创建多个区

域。有一种新的网格模式，可以自动创建一个表现良好的四边形和三角形单元的非结

构化网格，如图 4-17 所示。在网格选项中，应该首先选择这个网格选项，默认的网

格类型也是该选项，大多数情况下都能满足分析需要。

31

32 33

34 35

36

图 4-17 三角形和四边形混合的非结构化网格


- 65 -

4.3.3 非结构化的三角形网格

图 4-18 显示的是和图 4-16 相同的断面，但是这次是用非结构化三角形网格。

这个例子中网格用 Delaunay 三角剖分技术自动生成。非结构化网格的一个最大优势

是几乎任何古怪形状的区域都可以划分网格。然而这种简单网格化也存在一些数值和

积分顺序问题，这将在结构化–非结构化内容中详细讨论。

31

32 33

34 35

36

图 4-18 非结构化三角形网格

4.3.4 三角形格子区域

对于三角形区域，GeoStudio 内有一个特别的结构化网格模式，叫做四边形/三

角形的三角形格子。下图（图 4-19）显示了一个典型的三角形区域和最终的结构化网

格。单元由正方形、矩形、梯形、三角形组成。这种模式的应用非常普遍，但是有一

些局限和限制。

1 2

3

图 4-19 三角形格子区域

把这个区域看作由三条边组成非常有用：一条短边，一个中间长边和一个长边。

该算法首先对边进行排序，这些边以逆时针方向从最小到最大。这个例子中，最短的

一边是 3-1，中间的是 1-2 和最长的是 2-3。


- 66 -

当在最小和中间边上控制网格划分数量时，网格化算法效果最好。要保留图 4-19

所示的均匀模式，网格划分数目应该先在最短的边上定义，然后在中间的边上定义。

中间边上的网格划分数目可以是最短边上划分数目的偶数倍。上面的例子中，最短边

上划分了 5 个单元，中间的边上可以划分为 10 个，或者说是短边上划分数目的两倍。

如果不设定最长边上的网格划分数目，而让算法自动计算合适的划分数目，那么算法

会运行得最好。

如果一个三角形区域和其它一般形状的几何区域混合在一起，GeoStudio 会尝试

保证网格的协调性。有些情况下可能无法满足在三角形区域创建结构化网格的要求，

那么 GeoStudio 会用一个非结构化的网格替代。

4.3.5 四边形网格

图 4-20 显示的是一个相同的几何形状区域，划分成四边形网格。这是一个结构

化的网格，但是可能更难于控制。左边的网格模式非常好，但是在坡底处附近四边形

形状开始变形了。这个变形可以通过在底边上增加更多的区域点控制，但是这会导致

网格的左侧单元较大，而右侧的单元细长。这种网格模式最适用于四边形区域。

31

32 33

34 35

36

图 4-20 四边形单元的矩形网格

4.4 表层

地表条件随气候和气候条件而变化，这种变化可能在短期内变化非常剧烈。例

如，在暴风雨前很热的天气下地表处非常干燥。在很短的时间内，土体从非常干燥变

成饱和状态。另外一个例子是霜渗透入地表。为了数值上处理这种急剧的边界变化，

有必要在地表处划分精细的网格。GeoStudio 有一个特殊的方法可以用来创建表层，

表层可以精细地划分网格。图 4-21 显示的是一个表层放置在一个较大区域上面。表


- 67 -

层的特性对于划分覆盖在垃圾土上的工程土的网格也很有用，因为工程土可能包含几

个相对薄土层，这需要划分比较精细的网格。

创建表层的功能在 VADOSE/W，SEEP/W，TEMP/W 中可用。在 SEEP/W 中表

层用来告知求解器：对任意的流动边界条件都应该跟踪渗流和入渗。没有立即入渗到

地面的水在计算中并没有消失，而是允许水在地表聚积，在地表下用户定义的一个较

低点处产生一个正的压力水头。其它的 GeoStudio 模块无法创建表层，但是一旦表层

网格建立后，在其它模块中也还存在。因此，如果在 SEEP/W 中创建了一个表层，那

么这个表层也是 SLOPE/W 中的一部分，因为 GeoStudio 在一个数据文件内只使用一

个几何模型。

主要的土层剖面网格创建后，一个特殊的绘制表层命令就可以用来在所有的或

部分地表处创建一个或多个表层区域。定义土体类型和表层几何形状这些参数，一个

沿垂直向节点构成的四边形网格就自动在现有的地表上创建。在求解中网格的结构会

保证最佳的数值稳定性。

四边形单元非常适合模拟地表，因为因变量的梯度通常在垂直地表的方向上更

陡。在表面的薄层内出现的三角形单元在计算结果中会产生额外的波动，这种波动和

三角形单元的方向有关。在 VADOSE/W 中处理植物根系区也要求表层的单元节点都

落在垂直线上。还有，用四边形单元可大大减少单元的数目，这在需要大量计算的情

况下也是需要考虑的。

图 4-21 表层单元网格示例

表层有特殊的显示选项。考虑图 4-22 中所示的两个网格，左侧的示意图显示了

一个没有繁杂细节的表层，而右侧的网格上就有。当许多薄单元彼此靠得非常近的时

候，在较大的比例尺下就看不清了。通过选项关掉表层网格细节显示，就可以显示出

地表土层的清晰结构。


- 68 -

图 4-23 是显示选项的另外一个例子。左侧的示意图是有细节的网格，在土层穿

过 0.75m 后的表层区域。右侧的示意图没有显示细节，但仍然显示了颜色。关于这张

图可以得到两个额外的重点。注意到左侧示意图上底部的两个单元和主要的地层土体

类型是相同的。这是一个很好的网格设计策略–底部有大部分的表层网格和地面土体

类型是相同的。如果表层的底面和下面的土层相差非常大，如果一个精细的网格直接

放在不同的类型的土层上，由于公用节点下的材料较大单元面积的影响，那么在公用

点上材料特性的数值积分就不那么精确了。而如果表层底面和和下面地层的土体类型

相同，在两种对立的土体间的公用节点处单元的尺寸和形态都非常相似。

另外一点就是在右侧的示意图上，两种土体的接触处的节点也是可见的，即使

主要的网格细节不可见。故意这样处理，这样就能轻易地查看和绘制节点上数据的曲

线，这在 VADOSE/W 模型中会用来自动追踪层间流动。

图 4-22 表层区域网格左侧不显示细节，右侧显示细节

图 4-23 表层细节放大显示（左侧显示细节，右侧不显示，注意右侧的层间节点依然可见）

边界流动模拟降雨入渗、径流、雪融等，为了保证收敛可能需要大量计算。如

果表层网格不“真实”，可能导致潜在问题变得更加糟糕。考虑图 4-24 和图 4-25 中

的两个网格，第一个图上，地表是平滑过渡的，这更自然，数值计算也很容易。第二

个图上，坡脚的变化用尖锐转折表示，这种尖锐的转折不仅不够自然，如果同一个单

元内的不同节点上的边界条件变化很大，过渡点处的单元形状会产生数值问题。当坡


- 69 -

底的角点变成渗流表面点时，同时上坡的下一个节点仍然是入渗节点时就会产生这样

的问题。根本上说，最好建立的网格看起来自然一些。

Name: Learn_Example.gsz

图 4-24 平滑过渡的表层网格

图 4-25 尖锐转折的表层网格

为了创建平滑过渡的表层网格，需要创建同样平滑过渡的土体剖面。这通过在

边坡转折处增加额外的区域点很容易实现，使得区域点可以轻微移动，创建一个平滑

过渡的网格。图 4-26 就是一个例子，在坡脚和坡顶上用了三个区域点，另外注意到

在坡脚和坡顶位置处网格底部用到了三个区域点。这是要记住的有用提示。

如果想更多地控制有限元网格，就应该在网格的对边增加区域点。最后一点：

即使在表层创建之后，也可以随时增加区域点。当表层下的区域变化后，表层会自动

重新生成，保证网格和下面区域的一致性。


- 70 -

图 4-26 显示了区域角点细节但没有显示表层细节的区域网格

4.5 连接区域

各个区域必须协调以保证区域可以连接起来。区域必须在区域点上相连，为了

保证区域之间正确连接，这些连接点必须是公用的。GeoStudio 有很多特性用来完成

区域的协调。

下面是一些主要特性：

• 如果十字标志靠近一个现有点时，会自动捕捉到这个点。

• 如果光标放在一个现有区域的边上，创建一个新点。这个新点是现有区域和

新区域的公用点。

• 在一个现有区域边上，创建新区域时选择已有区域的点会自动创建连接区域，

除非按住 ctrl 键，则不会创建连接区域。

如图 4-27 的所示，首先绘出区域 1，区域 2 可以通过在点 7，3，8，9 上点击

创建。点 4，5，6 自动加到了区域 2 上。

1

2

1 2

3

4

5

6

7

89

图 4-27 区域在锯齿线上连接


- 71 -

1

2

1 2

3

4

5

6

7

89

图 4-28 在一个开口处连接区域

有时可能需要在网格上创建一个开口，那么当点击点 7，3 或 7，3 时，就需要

按下 ctrl 键。这样做的结果就产生了图 4-28 所示的网格。这个例子中，在点击点 7

之后和点击点 3 之前按下了 ctrl 键。

关于连接区域的更多细节可见在线帮助。

4.6 瞬态分析的网格

瞬态分析建模需要随时间增量变化。时间增量在 GeoStudio 中就是时间步。选

择和控制时步将在后面讨论。获得可接受的瞬态分析结果不但受时步影响，也和单元

尺寸有关。在一个污染物运移分析（CTRAN/W）中有必要设置一个充分大的时间步，

以便允许假想的污染物粒子移动一个相对单元尺寸较大的距离，同时不让时步太大，

以致污染物粒子跳过好几个单元。污染物粒子可以说要在每个单元内至少停一次。在

CTRAN/W 中，这由 Peclet and Courant 准则控制。

在固结分析中，第一个时间步需要足够大，以便渗流面旁边的单元至少固结到

50%。要做到这样和单元尺寸有关，较大的单元尺寸初始时间步相应就要大，如果时

间步太小，计算的孔隙水压力就不切实际。

本节关于网格化的重要目的是要意识到网格划分，尤其是单元尺寸在瞬态分析

中很重要。选择合适的时间步的规则和指导原则在其它章节的各种类型分析中讨论。

4.7 有限单元

离散化或网格化是有限元建模的三个基本方面之一，其它两个是定义材料属性

和边界条件。离散化涉及定义几何形状，距离，面积和体积，它是处理定义域的物理

量纲的一部分。


- 72 -

为了跟踪所有单元并了解这些单元是如何连接的，需要一个数值管理方案。这

需要一个有序的编号方案。当有限元方法最初提出的时候，建立网格编号是非常费力

的。然而现在很多计算机算法可以用来开发网格并分配单元编号，开发这些算法在某

些方面比求解有限元方程更为复杂。GeoStudio 有自己的网格化系统和算法，这些算

法是专门为岩土工程和环境岩土工程问题设计的。

要创建一个好的有限元网格，除了功能强大的自动网格划分算法外，也需要人

工操纵。其中的一个问题就是网格尺寸。计算机，尤其是笔记本电脑或个人电脑处理

能力有限，因此网格的尺寸也受到限制。有时为了计算机处理时间和结果要求之间的

平衡，需要采用可变的网格密度。确保所有单元都正确连接则是另外一个问题了。这

些大部分都可以通过网格化算法完成，但是用户有必要遵循一些基本的准则。在有限

元分析术语中，把这叫做网格的协调性。GeoStudio 在一个区域内保证网格的协调性，

大部分情况下可以保证连接区域之间的协调性，但是仍然可能有网格不协调情况。在

保证区域之间网格协调性方面用户需要进行一些操控。

本章的目的是介绍网格化的一些基本概念，以及略述一些在网格化时必须遵循

的准则。理解这些基本原理对合理进行网格离散化非常重要。

本章的很多部分致力于描述网格化系统以及 GeoStudio 中的一些特性和功能。

另外，也讨论了选择、不同单元类型的形状和使用方法、网格尺寸、形状和网格模式。

4.8 单元基本原理

4.8.1 单元节点

有限元的一个主要特性就是节点。节点存在于单元的角点或单元的边上。图 4-29

和图 4-30 显示了节点，用黑点表示。

基于如下目的需要和使用节点：

在一个坐标系统内节点的位置用来计算的单元的几何特性，例如长度、面积或

体积。

节点用来描述单元内基本未知量。在 SEEP/W 公式中，基本场变量是水头或孔

隙水压力。

节点用来连接和组合区域内所有的单元。具有公用节点的所有单元都在那点上

连接起来。这是单元之间的公用点，用来保证协调性，这在下面有详细的讨论。


- 73 -

所有的有限元方程都是在节点上建立的。公用一个节点的所有单元都对那点的

方程中的特性和系数起作用，但是用来计算这点的基本未知量的是这点上的方程。换

句话说，渗流方程是在每个节点上推导的，方程中用到的材料属性由周围单元共同分

担。

每个节点上可以有多个有限元方程，这取决于自由度的个数。在渗流分析中每

一个节点只有一个自由度，就是水头或孔隙水压力。要求解的有限元方程的数量和定

义网格的节点数相等。在二维应力变形分析中，每个节点上有两个自由度－x 位移和

y 位移。因此，其有限元方程的数量等于的节点数的 2 倍。在耦合固结分析中，每个

节点有三个自由度－ x 位移，y 位移和孔隙水压力。因此耦合固结分析中方程总数是

节点数的 4 倍。

由于有限元方程数量和节点数目有关，节点数目是求解基本未知量所需时间的

主要因素之一。

4.8.2 场变量分布

在有限元公式中，需要一个模型来描述单元内基本变量的分布（例如总水头）。

这种分布可以是线性的或非线性的。

对线性分布的基本未知量，只需要单元角点处的节点。单元一条边上的两个节

点就足以建立一个线性方程。图 4-29 就是这种情况。节点都在单元角点处，这称作

一阶单元。

图 4-29 一阶单元的基本场变量分布

基本未知量对距离的导数是梯度。对线性分布来说梯度是常量。在渗流公式中，

基本未知量是水头。水头对距离的导数是渗流梯度，在一阶单元内渗流梯度是常量。

沿着一条边定义三个节点，我们可以写一个二次方程来描述基本未知量在单元

内的分布。因此中，基本未知量的分布可以是非线性的，如图 4-30 所示。二次水头


- 74 -

分布的导数是一个线性分布的梯度。在一条边上有 3 个或更多的节点的单元被称作高

阶单元。更具体地说，一条边上由三个节点的单元称作二阶单元。

图 4-30 高阶单元内的基本场变量分布

对于基本未知量是矢量的问题，例如应力－变形分析（x 和 y 向的变形），高

阶单元更为合适。当基本未知量是标量时，例如渗流方程，使用高阶单元也无法得到

更多的信息。较小的一阶单元和较大的高阶单元一样有效。这将在本章结尾的网格化

指南那部分详细讨论。

4.8.3 单元和网格的协调性

单元和网格的协调是合理网格划分的基础。为保证连接起来单元之间必须有共

用节点，一条单元边上的基本未知量的分布也必须和两个单元的公用边上的相同。

考虑图 4-31 的例子。单元编号显示在单元中间，节点编号显示在节点旁边。即

使单元 4，5 和 6 似乎是连接到了单元 7，8 和 9，他们实际上没有连接。物理上说，

单元和图 4-31 中右侧图片物理上分离的单元组的性状将是相同的。要连接单元就需

要公用节点，如图 4-32 所示。例如，节点 11 个是单元 5，6，8 和 9 的公用节点。

不同阶数的单元混合在一起也可能产生不协调。图 4-33 显示了连接到 8 节点单

元的 4 节点四边形单元。单元 1 和 2 是 8 节点单元，而单元 3 到 10 是 4 节点一阶单

元。单元 1 沿边 9 和 11 上的场变量分布是非线性的。在单元 3 和 4 内，场变量分布

在 9 和 10、10 和 11 之间将是线性的。这意味着单元 1 和 2 之间的场变量分布和单元

3 至 6 之间的场变量分布是不协调的。

GeoStudio 中的网格划分算法保证区域内的单元协调性，也包含了一个特殊的基

于整数的算法用来检查区域之间的协调性。该算法可以确保区域之间的公用边具有相

同数目的单元和节点。尽管软件非常强大，旨在确保网格的协调性，用户在创建连接

区域时仍需要十分谨慎。图 4-31 表明在区域层面上也是可能存在的。在区域层面上，

区域点应该是相连区域的公用点，以确保网格协调性。


- 75 -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

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19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

图 4-31 没有连接的单元–失去协调性

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

图 4-32 连接的单元－满足协调性要求

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

图 4-33 单元不协调

GeoStudio 中的整数规划算法力图保证在一个区域相连的边上单元划分数量相

同。单元划分的数量在每个区域上是自动调整的，直到满足条件。也是因为这一点，

用户会经常注意到区域边界上的网格划分数通常比设定的个数要大。该算法自动计算

保持协调性需要划分的网格数。


- 76 -

4.8.4 数值积分

在有限元公式中，需要确定许多积分，如理论那章中所提到的那些。例如，组

成单元特性矩阵的积分是：

t

B C B dv

对于简单的单元形状如 3 节点或 4 节点单元，可以通过闭合解得到积分，但是

对于高阶和更复杂形状的单元，就需要用到数值积分。GeoStudio 中用的是高斯积分

方法。本质上，这个算法涉及到在特定点即高斯点上取样，然后把取样信息相加。

GeoStudio 中数值积分的具体细节可见理论一章。

通常并不需要用户深入了解高斯积分方法，但是需要了解一些基础知识，因为

在软件中有几个选项和这个问题有关，有些计算结果也是在高斯点上的。

下表中显示现有的选项。推荐使用默认值，除非用户对数值积分非常了解，也

理解不同选项的意义。积分点选项是 GeoStudio 中网格划分操作的一部分。

单元类型积分点备注

4 节点 4 边形 4 缺省

8 节点 4 边形 4 or 9 缺省为 4

3 节点三角形 1 or 3 缺省为 3

6 节点三角形 3 缺省

一些有限元计算结果是在高斯采样点上计算的。GeoStudio 在高斯区域上显示结

果，但是关联的数据实际上是在高斯积分点上计算得到的。即使显示了一个高斯区域，

数据在这个区域内也不一定是常量。

通过显示对象信息命令，可以点击一个区域内部，几何形状和材料信息会一起

显示出来。通过展开网格设定选项，可以查看分配给区域的网格信息。一个单元内的

高斯区域数和分析中用到的高斯积分点数相等。

重要的是要要认识到高斯点对计算时间和数据存储的影响。例如，一个四边形

单元内的 9 个积分点，意味着单元属性需要被采样 9 次来建立单元特性矩阵，单元数

据在 9 个点上计算并存储。和 4 个积分点相比，这需要两倍以上的计算时间和磁盘存

储空间。有时采用 9 个积分点是必要的，但这个选项需要有选择地使用。


- 77 -

4.8.5 次级变量

此前已经指出，有限元方程是在节点上建立的，基本未知量是在节点上计算的。

同样，在渗流公式中，基本未知量是节点上的总水头。一旦基本未知量计算完毕，其

他感兴趣的变量就可以计算了，如单元的渗透梯度。由于这些参数是在得到基本未知

量之后计算的，它们被称为次级变量。

次级变量是在高斯积分点计算的。GeoStudio 显示一个高斯区域，但是关联的值

只有在高斯积分点上才是完全正确的。

对于等值线和绘图来说，次级变量值是经过投影，然后在节点上平均得到的。

如果高斯点之间的参数值差异过大，有时会导致不切实际的值。把高斯点投影到节点

上的结果将在结果可视化那章中讨论，重点是要知道次级变量是在高斯积分点计算。

4.9 无限区域

岩土工程中有许多问题，在距感兴趣区域的合理距离内，没有明显的边界。一

个例子可能就是，在一个平坦的、延伸很广范围的地层上建造堤坝，在数值模型中，

有必要定义一个距大坝一定距离的边界。最理想的是，边界应该距主要感兴趣区域有

足够大的距离，以便边界不对计算结果有较大影响。一个解决办法是让网格延伸到一

个较大的范围，但这可能导致网格很难处理。另一种方法是使用无限区域。这些区域

包含单元，可以使得边界极大延伸，但并不实际延伸网格。这种远离主要感兴趣区域

的条件称为远场边界条件。

无限单元的公式详情在附录一章的插值函数部分。这里只介绍一些概念和使用

无限单元的指南。

无限区域用绘制无限区域命令施加到现有的边界线上。当选择这个命令时，可

以在现有区域上绘出一个附加的薄区域，如图 4-34 中所示。程序会知道绘制的区域

哪个方向是无限的。

无限单元基于形函数衰减实现。需要 3 个点来说明这个衰减函数。GeoStudio

中的公式中用单元的一些节点和所谓的极点来创建这 3 点。图 4-35 说明了这一概念。


- 78 -

1

2 3

45

6

7

8

图 4-34 无限区域加在模型的右侧

Far fie

ld n

ode

sPole

X1 X2

8

62

1

5

3

7

4

图 4-35 极点和一个无限单元的相对位置

pole 极点 far field nodes 远场节点

当用到无限单元时，节点 6 和 8 的 x 坐标被修改，使得节点 1 和 8 之间的距离

和节点 1 和极点之间的距离相等。也就是，修改节点 6 和 8 的 x 坐标，令图 4-35 中

的 X2 和 X1 相等。接下来用极点的 x 坐标、节点 1（或节点 2 或 5）的 x 坐标以及修

改后的节点 8（或节点 6）的 x 坐标创建衰减函数。认为节点 3，4，7 在无限远处，

因此创建形函数时没有用到。

无限单元必须是 8 节点四边形单元。需要次要节点（节点 6 和 8）来形成衰减

函数。三角形单元不能用于这一目的。

无限区域是一个问题延伸到远处的方便途径，但需要谨慎使用。当在远场指定

的边界条件在分析中是基本未知量时，无限区域运行得最好，也就是说，水头、位移、

温度等边界条件。指定沿单元边的梯度（例如单位流率或应力）代表远场也可以，但

效果不如指定基本场变量好。


- 79 -

在任何条件下边界条件都不应指定在平行无限方向的边上。图 4-35 中的单元，

边界条件不应施加到边 1-8-4 和 2-6-3。当认为边长是无限的时候，将无法施加一个是

边长长度函数的边界条件。

极点和无限单元内部边之间的距离显然影响到衰减函数的系数和次要点 x 坐标

的修改。因此极点位置确实对单元的性状有一些影响。幸运的是，并非所有结果都对

极点位置那么敏感。一般来说，目标是使极点和单元内部边之间的距离尽可能大，但

不超出整个网格的范围。

我们建议总是先完成一个不包含无界区域的分析，然后在获得一个可接受的结

果后，将其保存到一个新的文件，然后添加无限区域改进分析。有无限区域或没有无

限区域的计算结果对于了解延伸远场边界条件的作用、了解这些单元的响应是很有用

的方法。

我们建议总是先完成一个不包含无界区域的分析。有无限区域或没有无限区域的计算结果对于

了解延伸远场边界条件的作用、了解这些单元的响应是很有用的方法。

4.10 网格离散的通用准则

网格化和数值建模一样，是获得的一种技巧。创建理想的网格需要实践和经验。

经验可以更好了解网格和结果是如何关联的，反之亦然。当能估计结果时，划分网格

就会更加熟练。

GeoStudio 软件的吸引力在于可以迅速并相对容易地创建网格，之后的修改也相

对容易。这使得我们可以方便对尝试各种不同的网格划分，来观察网格对计算结果的

影响。

一个合适的有限元网格取决于要解决的问题，因此，创建网格没有硬性规定。

此外，特定问题的网格类型取决于用户的经验和创造力。然而，有一些非常有益的通

用准则可以遵循：

• 在开始分析时，使用尽可能少的单元。通常不需要超过 1000 个单元，以验证

概念并获得一个近似解。

• 当垂直和水平比例相同并且缩放比例为 100%时，所有的单元都应该肉眼可

见。表层单元例外。

• 网格应设计成可回答一个具体问题，应不包括那些对系统性状没有显著影响


- 80 -

的那些特性。

• 网格应该代表实际复杂几何区域的简化抽象。

4.10.1 单元个数

根据全球用户提出的问题，大多数用户在分析中一开始就采用了过于复杂、单

元数过多的网格。当用户一开始做有限元分析时，想的似乎是单元越多结果越好，大

量的单元会以某种方式提高解的精度。这不一定是正确的。如果网格过大，获得结果

所需的时间可能太长。有时，结果也难于解读，尤其是当结果看起来不合理时。找到

不合理结果的原因所需的工作量随网格个数增大显著增大。

我们强烈建议尝试创建一个小于 1000 个单元的网格，尤其是在一开始进行分析

时。我们的经验是大多数岩土工程问题可以用 1000 个或更少的单元来建模。显然也

有例外，但这个数字是一个很好的目标。以后，一旦对问题的关键机制有了深入了解，

就可以加密网格进行完善的分析。

4.10.2 绘图比例的影响

另一个好的指南是，当网格打印或显示比例是 100%时，所有网格应该肉眼可

见。单元组看起来是一个块或近乎一个黑色污迹就太小了。这意味着合适的单元大小

和绘图比例有关。在 1:100 比例下，单元较 1:2000 比例下要小的多。

换句话说，要区分出各个单元就要放大图形，单元可能太小了。

当图形的水平比例和垂直比例相等显示时，所有的单元应易于区分。很可能要

画一个垂直比例放大的好看的网格，但是当在真实垂直比例下，网格看起来就是一条

宽黑线。这个效果如图 4-36 所示。该图顶端的部分在 10V：100H（垂直方向放大 10

倍）比例下是一个不错的网格。相同的网格在 100V:100H 比例下看起来在图 4-36 的

底部。在放大的比例下，单元看起来合适，但是在真实的比例下就不恰当了。

重要的是要记住，求解有限元方程的主处理器只能看到真实比例下的单元。垂

直放大只在 DEFINE 和 CONTOUR 中使用，是为了更好显示。

要遵循这样的准则：在计算问题前总是在真实比例下查看网格，检查网格是否

合理。


- 81 -

图 4-36 放大比例的网格（上）和真实比例的网格（下）

4.10.3 网格的用途

在第二章的“如何建模”中指出，在好的数值模拟实践中，重要的是要形成一

种想象，想象出结果可能是什么样的，在创建模型之前清楚地知道模型的用途。网格

划分和这个思路紧密相连。网格应该设计成能回答特定的问题。试图在一个网格中包

含一切可能的细节，将使网格划分非常耗时，有时可能会使结果难以解释。

假设，想要估计堆石坝粘土心墙的渗流。图 4-37 显示了一个典型的例子。认为

堆石（rock shell）的渗透性超过粘土心墙几个数量级以上。此外，岩石和粘土之间的

粒状排水过滤层没有杂质，可以轻松地处理通过心墙的渗透而不妨碍排水。

换句话说，粒状过滤层和岩石对心墙上游侧的水头消散没有任何作用。如果这

种考虑是对的，那么在分析中包含高渗透性材料就没什么必要了。图 4-37 中的网格

用来分析心墙的渗流是合适的。

1

2 3

4

5 6

图 4-37 对分区大坝的心墙建模

图 4-38 显示的是心墙内的总水头等值线（等势线）。根据这个可以计算通过心

墙的渗流量。


- 82 -

图 4-38 大坝心墙内的等势线

有时为了其它原因可能需要把岩石包含在计算中，例如应力－变形分析。这种

情况下，岩石的网格可以存在，但是不包含在计算中。这通过图 4-39 中的空单元实

现。GeoStudio 中的单元可以是空的（未激活），这通过不设置关键的材料属性实现。

在 SEEP/W 中，如果不指定材料的渗透性函数，那么单元就是空的。图 4-39 的例子

中，岩石的材料没有指定传导函数。

1

2 3

4

5 6

图 4-39 大坝的岩石是空单元的网格

数值建模所固有的一个吸引力是几何模型和有限元网格不必符合严格的物理条

件。如图 4-37，粘土心墙可以孤立进行分析。在物理模型中这是不可能的。图 4-40

中的坝趾排水是另一个很好的例子。坝趾不必包含在数值分析中。这当然不可能在存

在于物理模型中。

7

8 9

10

11

图 4-40 有坝趾排水层的大坝


- 83 -

4.10.4 简化的几何模型

数值模型是实际现场条件的简化抽象。涉及到几何模型时更是如此。包括所有

的不规则表面在大多数情况下是不必要的。几何不规则可能导致计算结果的不规则，

这背离了整体结果。主要信息可能会丢失在数值噪音中。

尽可能简化几何模型在分析开始时特别重要。之后，一旦涉及的主要过程明确

了，就可以修改几何模型，以便确定是否几何细节对主要结论很重要。

如果分析的主要目的是研究不规则表面的影响，那情况就不同了。不规则的表

面必须被包括在内。因此，几何模型的复杂程度取决于分析的目的。

另外，根据确定的边界条件和材料特性，什么层次的几何细节需要包含在分析

中，这必须进行评估。如果材料特性只是粗略的估计，那么定义一个非常详细的几何

模型是徒劳的，此时，定义一个简化的模型更为合适。这需要在复杂性和有限元分析

中的所有方面（包括几何模型）之间保持一个平衡。

当用户第一次接触数值模时，常常采用过度复杂的几何模型。之后随着建模者

获得更多的经验，他们更倾向于使用简单的几何模型。这显然是了解了网格如何影响

结果、需要采用什么层次的复杂性之后才作出的决定。这种情况应该是反着来的。经

验有限的建模者应该使用简化的几何模型。

要记住的主要信息是，开始建模时尽可能保持简单，直到很好地理解了主要工

程问题。

材料模型与性质 SIGMA/W

- 84 -

5. 材料模型与性质

SIGMA/W 包括六种岩土本构模型，还有一个自定义嵌入本构模型的选项。

SIGMA/W 材料模型分三大类：总应力参数、有效应力参数、有效应力/孔隙水压力参

数。六类本构模型包含在三类材料模型中，对于每一个模型来说，归入总应力，有效

应力或是有效应力/孔隙水压力这三种不同类别，所表现出的性能是不同的。

对于缺乏经验的用户，针对某个特定的应用，可能难以确定选择何种模型，有

以下几点需要考虑，主要是材料刚度、允许的位移以及稳定性。

考虑建在超固结土之上的重型工业结构的例子，沉降常常是主要的设计标准，

并且必须相当小。为了保证沉降很小，施加的荷载需保持在相对于土的极限承载力而

言较低的荷载水平。因此在应力应变曲线较低的开始部分，载荷——位移的响应几乎

是线弹性。一个简单的线弹性分析就足够了，采用非线性分析不会获得多少好处。

若是建造堤防，在不影响结构的使用能力前提下，可能会允许相当多的屈服和

变形发生。为了获得可能发生的位移，非线性分析是必需的。这时，简单的线弹性分

析会严重低估位移。

在软土上建筑堤防时由于会产生超孔隙水压力，可能会影响稳定性。在这种情

况下，尤其是关心孔隙水压力是怎样消散时，就可能有必要采用一种更复杂的有效应

力模型，例如剑桥模型，进行耦合或者非耦合的固结分析。

每种本构模型并不一定适合所有的土壤条件。例如，软粘土模型（修正剑桥模

型）最适合对轻度超固结土使用，而不是过度超固结土。对过度超固结土，线弹性模

型可以给出比剑桥模型更真实的结果。

总之，必须经过仔细思考，选择一种与土壤条件和分析目标一致的本构模型。

5.1 本构模型概述

SIGMA/W 包含几种弹性和弹塑性本构模型。所有的模型都可应用于二维平面

应变或轴对称问题中。支持以下模型：

SIGMA/W 材料模型与性质

- 85 -

• 线弹性

• 各向异性线弹性

• 非线性弹性（双曲线）

hyperbolic curve 双曲线

• 弹-塑性（摩尔-库仑或 Tresca）


- 86 -

• 软粘土-修正剑桥模型（临界状态）

下面将详细讨论以上每一种模型。

5.2 线弹性模型

最简单的 SIGMA/W 土模型是应力与应变成正比的线弹性模型。比例常数是杨

氏模量 E 和泊松比。应力和应变通过以下式子联系起来：

1 0

1 0

1 01 1 2

1 20 0 0

2

x x

y y

z z

xy xy

E

对于二维的平面应变分析， z 等于 0。

值得注意的是，当趋近 0.5 时， 1 2 / 2v 趋近于 0， 1 v 接近于。这说明

应力和应变通过一个代表纯体积应变的常量直接相关联。并且，当 1 2v 趋近 0 时，

/ 1 1 2E v v 趋近于无穷大，这在物理上意味着当泊松比趋近于 0.5 时体积应

变趋向于 0。


- 87 -

为了计算的目的，永远也不能为 0.5，甚至大于 0.49 的值都会导致数值问题。

因此，SIGMA/W 把泊松比的最大值限制为 0.49。

表 5-1 线弹性模型的性质

编辑框标签性质

E Modulus 杨氏模量

Poisson’s Ratio 常量

Cohesion 常量

Friction angle 度

线弹性模型的数据包括内聚力和摩擦角。这信息并不是在求解中使用，而是在

等值线绘图中使用，以帮助绘出那些计算出的应力已经超出屈服强度的土的区域。回

想一下，对线弹性模型来说没有定义的屈服值，计算出的应变可能就会非常不切实际。

利用内聚力、摩擦角以及摩尔-库仑破坏准则使得计算出的剪应力能够与理论的屈服

应力作直观的比较。

5.3 各向异性弹性模型

自然的地面沉积物通常是分层和倾斜的。因此，有必要考虑在两个正交的方向

上有不同刚度值的可能性。考虑图 5-1 所示的情形。土层在局部的正交方向 x 和́ y´

上是横观各向同性的，其中 x 与́全局的 x 轴的夹角为 β。β 的符号约定如下：当从 x

轴逆时针转时，β 为正。在局部方向中的各向异性弹性参数用以下的参数定义：

• 在 x 方́向：E x ́ ，νx´

• 在 y 方́向：E y ́

• 在 x 和́ y 之́间的联结：Gxy ́ ，νyx ́

参数 ' yx 是由于 y 方́向应力变化引起的水平（x ）́应变与竖直（y ）́应变的泊松

比。这些必须满足以下限制（Pickering， 1970）：

E x ，́E y ，́和 Gxy >́0，

-1<νx´<1，以及 1-νx´>2(E x /́ E y )́ ' yx

各向同性情况下的本构关系矩阵[C ]́是对称的，并可以这样定义（Britto and

Gunn ， 1987）：

11 12 13

21 22 23

0

31 32 33

44

0

0

0

0 0 0

c c c

c c cC c

c c c

c


- 88 -

其中，

0 2

2

11

12

2

13

21 12

2

22

23 12

31 13

32 23

33 11

44 0

1 1 2

1

1

1

y

x x x y yx

x y x y yx

x y yx x

x y x x y yx

x

xy

Ec

E E

c E E E E

c E E

c E E E E

c c

c

c c

c c

c c

c c

c G c

图 5-1 各向异性材料性质

当局部和全局的轴不重合（β 不等于 0）时，就有必要把局部的 x -́y 坐́标系下

[C ]́矩阵转换到全局的 x-y 坐标系下。[C ]́到[C]的变换由下式给出（Zienkiewicz 和

Taylor， 1989）：

T

C T C T

其中，


- 89 -

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 2sin cos

sin cos 0 2sin cos

0 0 1 0

sin cos sin cos 0 cos sin

T

表 5-2 各向异性弹性模型的性质


E Modulus (1) x 方́向的杨氏模量，（E x）

P. Ratio (1) x 方́向的泊松比，（νx´）

E Modulus (2) y 方́向的杨氏模量，（E y）

P. Ratio (2) 泊松比，y 方́向的应力引起的x 方́向应变与y´

方向应变的比值，（νy´）

G Modulus (2) 剪切模量，（Gxy ）́

Angle 地层倾向，从 x 轴算起的角度，（β）

5.4 非线弹性双曲线模型

土的应力-应变特性表现出非线性，尤其是当接近破坏条件时（见图 5-2）。以

下部分将介绍如何通过改变土的模量模拟土的这一特性。

SIGMA/W 使用 Duncan 和 Chang（1970）给出的公式计算土的模量。在这个公

式中，应力-应变曲线是双曲线型，并且土的模量是所承受的围压和剪应力的函数。

这个非线性模型之所以有吸引力，是因为它需要的土的特性可以非常容易地从三轴试

验或文献（例如 Duncan 等，1980）中得到。

Duncan 和 Chang 的非线性应力应变曲线在剪应力（σ1-σ3）相对轴向应变的空

间中是一条双曲线。根据应力状态和应力路径，需要三个土的模量：即初始模量 Ei，

切线模量 Et，以及卸载-再加载模量 Eur（见下图）。


- 90 -

图 5-2 非线性应力-应变特性

5.4.1 初始模量

土的刚度 E 一般是围压或上覆土层应力的函数，Duncan 和 Chang 建议用下面

的式子描述之间的关系。

式 5-1 3

n

i L a

a

E K PP

其中：

iE = 作为围压 3 的初始切线模量，

LK = 加载模量数目，

aP = 大气压（作为标准化参数使用），

3 = 围压，

n = 定义围压对初始模量的影响的指数，

式中的这个指数说明了这是一个曲线关系。一个典型值是 1/2，意味着 iE 随着

围压的平方根而变化。

SIGMA/W 并不直接使用这一式子。相反，SIGMA/W 间接地利用这一式子帮助

用户建立例如下图（图 5-3）中所示的函数。初始模量 iE 就可以从这些用户定义的函

数中得到。

使用类似这样的函数的优点在于它们可以是任何一种形式，以便适应现场的情

况，并且可以方便的取得最小值和最大值。在图 5-3 中函数两端的短直水平线是最小


- 91 -

值和最大值，函数可以用总应力或有效应力定义。而且，与指定式子中的参数相比，

定义函数能给出已经定义内容的更加清晰的释义。

SIGMA/W 对许多不同的材料有相对应的各种各样的样本 E 模量函数，本章随

后将详细讨论这些样本函数的使用和应用。

在 SIGMA/W 中，如果认为合理，也可以指定 iE 为常量而不是函数。

E(i) function

Tota

l E

-Modulu

s (

psf)

Y-Total Stress (psf)

50000

60000

70000

80000

90000

100000

110000

120000

130000

140000

0 1000 2000 3000 4000 5000

图 5-3 一个典型的 iE 函数

function 函数 total E-modulus 总 E 模量 total stress 总应力

5.4.2 切线模量

当土受到比以前所经受的更高的剪应力作用时，可以认为土正遵循一条加载路

径，例如在图 5-2 中从点 O 到点 A。沿着这条加载路径，它的本构行为由切线模量

Et 控制。在 Duncan 和 Chang 模型中这个切线模量被定义为土的性质，是三轴偏应力

（σ1-σ3）和围压 σ3 的函数，如下式所示：

2

1 3

3

1 sin1

2 cos 2 sin

f

t i

RE E

c

其中：

iE = 初始切线模量，

tE = 切线模量，


- 92 -

Φ = 土的内摩擦角，

c = 土的粘聚力，

fR = 双曲线的渐近线和最大剪应力的比值，通常在 0.75 和 1 之间，

1 = 最大主应力，

3 = 最小主应力。

在 tE 式子中的分母表示抗剪强度，分子表示调用的剪切强度。理论上，调用的

剪切强度不能超出强度。如果调用的强度除以强度结果趋近于 1， tE 式子就变为，

2

1 1t f iE R E

tE 的最小值就由 fR 控制。例如，如果指定 fR 为 0.8， tE 的最小值就是 iE 的 0.04

倍或 iE 的 4%。

另外， tE 任何时候都不小于 aP （大气压）。

控制 tE 的最小值是为了减少收敛的困难，数值上不允许 tE 接近于 0.

既然有必要限制 tE 的最小值，因此加载-变形或应力-应变曲线就永远不可能完

全平直。

5.4.3 卸载-再加载模量

如图 5-4 所示，SIGMA/W 用 iE 作为卸载-再加载模量。在调动的剪应力减小到

之前的最大值以下，并再次超出之前，就会一直使用 iE 模量。

Stress-strain

Y-T

ota

l S

tress (

kP

a)

Y-Strain

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

图 5-4 卸载-再加载应力路径的图示

stress-strain 应力-应变


- 93 -

5.4.4 拉伸

当应力状态变为拉伸时（ 3 < 0）， tE 被设置为 aP 的 10%。在米制单位系统，

这意味着 tE 约等于 10 kPa。 tE 可以是除了由于数值上原因不能接近于 0 之外的任意

一个值。

5.4.5 负孔隙水压力

当定义材料性质为有效参数时，在 SIGMA/W 中就有可能定义如图 5-5 所示的

土的体积含水量函数。最低吸力处的第一个数据被认为是饱和含水量 s 。而 s

等于

5%时的含水量被认为是残余含水量 r ，这时土的粘聚力就可以用下式计算，

tan

r

a w

s r

C c u u

参数 ' 是土的有效内摩擦角，（u ua w ）是土的吸力。这说明当含水量为饱和

含水量（ S ）时，吸力全部贡献给了强度；当含水量为残余含水量（

r ）

时，吸力对强度没有贡献。含水量函数本质是用来分清吸力对强度的贡献，这个概念

建立在 Vanapalli 等（1996）的发表的成果之上。

Vol. W

ate

r C

onte

nt (m

³/m

³)

Matric Suction (kPa)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1 1001 10

图 5-5 体积含水量函数

vol.water content 体积含水量 matric suction 基质吸力


- 94 -

5.4.6 屈服区

从理论的观点看，当使用非线性弹性模型时无法定义屈服条件。为了表示在非

线性弹性模型中的很高的剪应力区域，当满足下面的准则时，SIGMA/W 就认为这样

的区域是“屈服区”：

式 5-2 1 3 1 3 sin cos2 2

fR c

在 Duncan 和 Chang 的双曲模型的公式中，以下面的方式使用失效比Rf ：

1 3 1 3ff ultR

最终强度项 ( )1 3 ult

代表双曲的应力 -应变曲线在大应变处的渐近线，

( )1 3 f

是破坏时的偏应力。从摩尔图中可以看出：

1 3 1 3sin cos

2 2

ult ult c

两边乘以Rf 并对上面的第二个式子进行替换，这个式子可以写成如下的形式：

1 3 1 3sin cos

2 2

f f

fR c

将这个式子与式 5-2 比较，可以看出式 5-2 给出的不等式提供了应力状态在多

大程度上接近于破坏状态的标志。

5.5 弹塑性模型

SIGMA/W 中的弹塑性模型表示一种弹性和理想塑性之间的关系，这种模型的

典型应力-应变曲线如图 5-6 所示。在屈服点之前应力与应变成正比；在屈服点之后，

应力-应变曲线变成完全水平。


- 95 -

图 5-6 理想弹塑性本构关系

stress 应力 strain 应变 elastic 弹性 plastic 塑性 yield point 屈服点

5.5.1 塑性矩阵

在 SIGMA/W 中，土的塑性用塑性增量理论（Hill，1950）表达。在理想弹塑性

材料开始屈服后，应变增量可以分成弹性部分和塑性部分。

,e p

p

e

d d d or

d d d

只有弹性应变增量 ed 能引起应力变化，于是，应力增量可以写成如下的形式。

式 5-3

,e

e

p

e

d C d or

d C d d

描述屈服点轨迹的函数叫屈服函数，用符号 F 表示。在 SIGMA/W 的理想弹塑

性模型中，屈服点只取决于应力状态。因此，屈服函数可以写成如下的形式。

, , ,x y z xyF F

屈服函数的增量变化用下式表示：

x y z xy

x y z xy

F F F FdF d d d d


- 96 -

或者，这个式子也可以写成如下的矩阵形式：

F

dF d

塑性增量理论规定屈服函数 F < 0，以及应力状态在屈服面上时， dF = 0。后

面的这种情形叫做中性变载，可以写成如下的数学形式：

0F

dF d

假定塑性应变为：

式 5-4 p

Gd

其中：

G = 塑性势，

= 塑性比例因子。

用式 5-4 替换掉应力增量方程（式 5-3）中的塑性应变，得到：

e e

Gd C d C

把应力增量{ }d 代入到中性变载的情形，可以得到关于塑性比例因子的如下

表达式：

e

e

FC

dF G

C

从前述两个式子中，可以得到应力增量和应变增量的关系，

e pd C C d

其中：

e e

p

e

G FC C

CF G

C


- 97 -

为了求塑性矩阵[ ]Cp ，需要指定屈服函数 F 和塑性势函数 G。

5.5.2 屈服准则

SIGMA/W 使用 Mohr-Coulomb 屈服准则作为理想弹塑性模型的屈服函数。下式

给出了用主应力项表达的 Mohr-Coulomb 准则的一般形式。

2 12 sin cos sin sin cos

3 3 3 3

J IF J c

Mohr-Coulomb 准则还可以用应力张量的不变量 1I ， 2

I ，表达。屈服函数 F

也可以写成下面的形式（Chen 和 Zhang，1991）。


3 3 3 3

J IF J c

其中：

• 应力偏张量的第二不变量： 2 2 2 2

2

1

6x y y z z x xyJ

• 罗德角： 1 3

3 2

2

1 3 3cos

3 2

J

J

• 应力偏张量的第三不变量： 2

3

d d d d

x y z z xyJ

• 应力张量的第一不变量：1 x y zI

• 内摩擦角：ϕ

• 土的粘聚力：C

在第 i 个方向上的偏应力d

i 可以定义为：

2 sin3

F J c

其中，i = x，y 或 z。

当内摩擦角 ϕ=0 时，Mohr-Coulomb 准则变成 Tresca 准则（Smith 和 Griffiths，

1988）：

2 sin3

F J c

除了内摩擦角被剪胀角代替外，SIGMA/W 中使用的塑性势函数与屈服函数

有同样的形式。这样，势函数可以写为：


- 98 -


3 3 3 3

J IF J c

屈服函数对应力张量不变量的导数可以利用求导的链式法则计算出，

1 2

1 2

I JF F F F

I J

Mohr-Coulomb 屈服函数对应力张量不变量的导数，可以写成如下的形式：

式 5-5

1

2 2

22

sin

3

1 1sin sin cos

3 32 3

cos sin sin3 3 3

F

I

F

J J

JFJ

应力张量不变量对应力的导数为：

32

1

2

3 3 2

22

23 2 2 2

1 1 1 0

2

33

22 sin 3

23 3 3

d d d

x y z xy

d d d d d d d

y z x z x y xy z xy

I

J

J J J

JJ

J J J J

类似地，势函数的导数可以通过在 5-5 中用 ϕ代替得到。

表 5-3 列出了这个模型所需要的材料性质。

表 5-3 理想弹塑性模型的性质

编辑框文字性质

E Modulus 土的初始线弹性刚度

Poisson’s Ratio 常值

Cohesion 土的粘聚力

Phi 以度为单位的土的内摩擦角

Dilation Angle 以度为单位的土的剪胀角（0≦ ≦ ϕ）

如果没有指定值，则认为剪胀角与内摩擦角

相等。


- 99 -

土的刚度模量 E 可以指定为常量或上覆土层应力的函数，就像之前在土的双曲

线模型中所说的那样。

5.5.3 负孔隙水压力

负孔隙水压力对Coulomb强度准则的影响用之前非线弹性双曲线模型同样的方

式来调整——在用户输入的有效粘聚力，基质吸力以及体积含水量函数的基础上计算

出表观粘聚力。

5.6 剑桥模型

剑桥模型是一个临界状态模型，也是一个硬化弹塑性模型。它在 SIGMA/W 中

的公式化表述建立在 Atkinson 和 Bransby（1978），与 Britto 和 Gunn（1987）所作的

研究基础之上。关于剑桥模型的更多详细背景和理论可以在这些参考文献中找到。本

节只给出解释 SIGMA/W 中的公式所必需的信息。剑桥模型使用有效应力参数，在接

下来的讨论中，有效应力用上标（ '）表示。

图 5-7（a）是包含正常固结线和超固结线的土的体积变化对压力的示意图。超

固结线也叫膨胀线。考虑一个在超固结线上的应力状态，增加所施加的应力将会引起

应力状态沿着超固结线向正常固结线移动。当经过两条线的交点后，任何进一步的应

力增加都会导致应力状态沿着正常固结线向下移动。

当把图 5-7（a）逆时针旋转 90 度时，超固结线和正常固结线会表现出弹性-塑

性硬化应力-应变曲线的特征，如图 5-7（b）所示。超固结线类似于初始线弹性部分，

正常固结线类似于应力-应变关系的塑性硬化部分。

（a）体积变化 vs. 压力（b）应力 vs.应变

图 5-7 体积-压力和应力-应变曲线的相似之处


- 100 -

volume change 体积改变 overconsolidation 超固结 normal consolidation 正常固结 pressure 压

力 strain 应变 stress 应力 hardening plastic 塑性硬化 linear elastic 线弹性

5.6.1 土的参数

剑桥模型是一个有效应力模型，它需要的土的参数如下：

• M p' - q 平面上临界状态线的斜率

• Γ p'为 1.0（或，ln（ p'）为 0）时临界状态处的比容

• κ 各向同性超固结（膨胀）线的斜率

• λ 各向同性正常固结线的斜率

• ν 比容

图 5-8 画出了这 5 个参数。在 p' - q 平面上的临界状态线是临界状态在这个平面

上投影的轨迹。临界状态线的斜率 M 与土的内摩擦角有关。对三轴压缩的情况，M

可以表达成：

6sin '

3 sin '

按照定义，比容 ν 通过下式与孔隙比 e 相联系：

ν=1+e

图 5-8 剑桥模型参数的定义

overconsolidation line 超固结线 critical state line 临界状态线 isotropic normal consolidation

line 各项同性正常固结线


- 101 -

5.6.2 屈服函数

剑桥模型的屈服函数，如图 5-9 所示，可以用应力不变量 p'和 q 表达成如下的

形式（Atkinson 和 Bransby，1978）：

ln 1x

q pF

Mp p

其中，

p'x = 峰值平均应力，临界状态线上或 t 处 p'的值。

峰值平均应力， p'x 与先期固结压力 p'

c有如下的关系：

ln ln 1 or

2.71828

x c

x

p p

p p

图 5-9 剑桥模型的屈服曲线

yield curve 屈服曲线

应力不变量 p'和 q 分别是应力第一不变量'

1I 和偏应力第二不变量 2J 的变体：

'

1

3

Ip

23q J


- 102 -

按照定义，应力第一不变量'

1I 可以用有效应力表达：

'

1

1

3x y zI

偏应力第二不变量 2J 可以写成：

2 2 2 2

2

1

6x y y z z x xyJ

不论是对总应力还是有效应力，偏应力第二不变量 2J 是一样的。

超固结线和临界状态线的方程可以用来计算峰值平均应力'px。如图 5-9 所示，

对一条特定的超固结线，临界状态处的比容 x 可以写为：

ln lnx xv v p p

从临界状态线上可计算相同的 x ，利用：

lnx xv p

从这两个式子中消去比容 x ，得到关于峰值平均应力'px的如下表达式：

式 5-6 ln

expx

v pp

图 5-10 剑桥模型中土的性质的定义

overconsolidation line 超固结线 critical state line 临界状态线 normal consolidation line 正常

固结线


- 103 -

5.6.3 塑性矩阵

塑性矩阵[ ]pC 是以类似与建立弹塑性和应变软化模型所使用的方法利用屈服函

数 F 形成的。在如下的讨论中，下标 e 和 p 分别表示弹性和塑性状态。

如式 5-6 所示，峰值平均应力'px是比容 ν 的函数。如果假定只有比容的塑性变

化才能引起峰值平均应力'px的变化，屈服函数 F 的增量变化可以写为：

式 5-7 0px

p

x

pF FdF d dv

p v

依据已给的正常和超固结的曲线系列，在比容中的塑性增量变化可以写成：

( )p e dpdv dv dv

p

塑性比容的增量与塑性体积应变有如下的关系：

0

p p

vdv v d

其中，

pd = 塑性比容增量，

0v = 初始比容，

dv = 塑性体积应变增量。

因为只有弹性应变能引起应力变化，增量的有效应力本构关系可以写成如下的

形式：

e p

e p

d C d d

GC d

其中，

[ ' ]eC = 有效弹性矩阵，

G = 塑性势函数，

p = （塑性）比例因子。

用前一个式子替换掉式 5-7 中的{ '}d ，得到：

式 5-8 pxe e p p

x

pF F G FC d C dv

p v

容重的塑性增量， pd 可以用原始容重和塑性体积应变增量 dv计算出。


- 104 -

( )p p

o v o p

x y z

G G Gdv v d v

d d d

利用关联流动法则（即，塑性势函数 G 与屈服函数 F 相同），可以得到关于塑

性比例因子 p 的如下表达式：

0

e

p

xe mp

x

FC

dpF F F

C v Fp v

其中，

m

x y z x y z

G G G F F FF

d d d d d d

把 p 代入式 5-8 中可得到应力增量和应变增量之间的一个关系，

e pd C C d

其中，

0

e e

p

xe mp

x

F FC C

CpF F F

C v Fp v

[ ' ]pC 叫做塑性矩阵。

5.6.4 塑性矩阵的计算

为了求出剑桥模型的塑性矩阵[ ' ]pC ，必须计算出弹性矩阵[ ' ]eC ，屈服函数的

导数矢量'

{ }F

，导数项

'x

F

p

，

'xp

p

， 0v ， mF ，

'xp

p

和 mF ，初始比容 0v 。

对有效应力的给定值，杨氏模量 'E ，泊松比 ' ，弹性矩阵[ ' ]eC 与线弹性模型

中的值相同。泊松比 ' 是用户输入的一个常量，模量 'E 则由超固结线的斜率算出。

超固结线的斜率可以写为：

ln

dv dvp

d p dp

体积应变的变化通过下式与容重的变化相联系：

1v

dV de dvd

V e v


- 105 -

其中，

V = 总体积

E = 土的孔隙比

结合以上两式，可得到关于比容增量的如下表达式：

( )vd dpvp

按照定义，有效体积模量 'K 由下式给出：

v

dpK

d

体积模量 'K 也可以用表达：

1 e pvpK

反过来，可以得到关于有效应力模量 'E 的如下表达式：

3

3 1 2 1 1 2p

E K e

屈服函数对应力的导数的矢量为：

T

x y z xy

F F F F F

利用求导的链式法则可以用对应力不变量'

1I 和 2J 的导数表达：

1 2

1

3

i i i

i i

F F p F q

p q

I JF F

I q

其中， i = 应力分量 x，y，z，xy。

按照定义， 23q J ，前面已经给出了这些应力不变量的导数。屈服函数 F 对

应力不变量的导数可以写成如下的形式：

2

1

1

F q

p p p

F

q p

塑性矩阵中的剩余项，'x

F

p

，

'xp

p

， 0v ， mF ， mF 由以下式给出：


- 106 -

1

x x

F

p p

x x

p

p p

v

2

1 (0)

1

m

x y z

x y z x y z

F F FF

F p p p F q q q

p q

F F

p q

q

p p

5.6.5 初始条件

使用剑桥模型时按照过去、现在和将来考虑屈服面是很有用的。对正常固结的

土，现在的应力状态位于现在的屈服面上。对超固结的土，现在的应力状态会在以前

某个时间形成的屈服面之下。不论是哪种情况，将来的荷载可能会导致屈服面扩大；

也就是说，可能会出现一个新的屈服面。需要记住的另一个重要概念是剑桥模型中的

屈服面永远不会收缩——它可以扩大但不会变小。

使用剑桥模型的关键是确定初始屈服面。这要在当前或现在的原位应力，以及

指定的超固结比（OCR）的基础上完成。

现在的原位应力状态的等式形式为

0

0

0

0

0

x

y

z

xy

土在过去所经受的最大垂直应力通常由固结试验确定。过去的最大垂直应力

max'v 与现在的 'v 的比值被称为超固结比，OCR。在 SIGMA/W 中，OCR 用户指定

与每一种土相对应的参数。最大垂直应力 max'v 和最大水平应力 'hm 的关系可以用下

式估计：

0

0

1 sin

hmax vmax

K

K


- 107 -

假设剪应力为 0，最大应力矢量{ ' }m 可以写为：

0 0

0

0 0

'

'

'

0 0

yxmax

ymax y

m

zmax y

K OCR

OCR

K OCR

过去历史的最大平均应力 'mp 和最大剪应力 mq 分别为：

1

3m xm ym zmp

2 2 21

2max xmax ymax ymax zmax zmax xmaxq

先期固结压力 p'c发生在 'p q 空间中剪应力 q 为 0 的地方。因此，由 Cam clay

的屈服函数可以得到：

ln 1 , or, ln ln 1cx c

x

pp p

p

替换掉先期固结压力的自然对数 xln p' ，Cam clay 的屈服函数可以写成：

ln ln 0c

qp p

p

所以，先期固结压力 p'c由下式给出：

exp maxc max

max

qp p

M p

先期固结压力 p'c和特定的孔隙比 e 用来计算比容参数 N 和 Γ，利用如下关系：

1 e

由正常固结线通过先期固结压力 p'c，得到临界状态处的比容为：

lnc cv N p

同样，由超固结线通过先期固结压力 p'c，初始比容 0v 可以写为：

0

0

ln cc

pv v

p

在这个关系式中，初始平均应力 0'p ，可以用下式由初始应力算出：


- 108 -

0 0 0 0

1

3x y zp

到此就完成了对 SIGMA/W 中定义剑桥模型的参数的计算。

5.6.6 土的参数

剑桥模型使用M ，，，等参数，这些材料性质可以由一些更一般的参数

像 ' 与压缩指数Cc 得到。本节给出了使用剑桥模型时一些有用的关系。

由三轴压缩试验得到的临界状态线的斜率M 与摩擦角 ' 有如下的关系：

6sin

3 sinM

土的压缩相对垂直压力的特性通常由一维固结试验得到，由孔隙比（ e ）相对

10log ( )p 的图中得到压缩指数Cc 也是一种习惯做法。压缩指数与斜率和有如下的

关系：

2.303

2.303

c

s

C

C

另一种方法是由孔隙比（ e ）相对 ln( )p 的图而不是孔隙比相对 10log ( )p 的图得

到和。

比容等于 1 加上孔隙比（ e）。

表 5-4 总结了剑桥模型所需要的材料性质。

表 5-4 剑桥/修正剑桥模型的性质


O.C.Ratio 超固结比

Poisson’s Ratio 常量

Lambda 正常固结线的斜率

Kappa 超固结（膨胀）线的斜率

Init.Void Ratio 孔隙比

Mu 临界状态线的斜率

5.7 修正剑桥模型

修正剑桥模型除了屈服函数为椭圆型不是泪滴型外，其他都与剑桥模型类似。

修正剑桥模型的屈服曲线如图 5-11 所示。


- 109 -

图 5-11 修正剑桥模型的屈服函数

modified cam-clay 修正剑桥模型

修正剑桥模型的屈服函数由下式给出（Britto 和 Gunn，1987）：

2 2 2 2

cq p p p

其中，

p'c = 先期固结压力

用来定义修正剑桥模型的参数为：M ，，和。这些参数与上节中提到的

定义剑桥模型的参数是一样的。

与剑桥模型相似，SIGMA/W 利用峰值平均应力'px确定修正剑桥模型屈服轨迹

的范围。峰值平均应力'px是当土达到临界状态时各向同性压力。在临界状态处，剪

应力 q 由下式给出：

xq p

把剪应力 q 的这个值代入到修正屈服函数的表达式中得到：

2c xp p

于是，修正剑桥模型的屈服函数就可以写成：

22 22 x

qF p p

p


- 110 -

屈服函数 F 对应力不变量 'p 和 q 的导数分别为：

22

2

2

F q

p p

F q

q p

2F q

q p

'{ }p

，{ }q

，[ ]eC 和

'xp

p

与剑桥模型中所使用的项相同。修正剑桥模型的塑

性矩阵[ ' ]pC 中的剩余变量为；

22

2m

qF M

p

2

22

2

2x

m

FM

p

qF M

p

除了在下面的讨论中将要提到的差异之外，确定修正剑桥模型的初始条件的过

程与上节提到的剑桥模型的过程基本相同。如果用户没有定义先期固结压力，则由下

式算出：

2 2 2

max max2

max

1cp q M p

M p

各向同性正常固结线与垂直轴的交点 N（即， ln 'p = 0），由下式给出：

( ) ln 2

初始条件

建立修正剑桥模型初始条件的过程与先前提到的原始剑桥模型的过程相同。

5.8 关于剑桥模型的说明

虽然这里讨论了剑桥模型和修正剑桥模型，但是在 SIGMA/W 最新的版本中只

有修正剑桥模型可用，早期的版本中有原始的剑桥模型主要是历史的原因，既然实际

上不使用它，就把它从 SIGMA/W 的最新版本中删除了。


- 111 -

5.9 接触面

SIGMA/W 可以用四边形单元模拟接触面。使用接触面材料模型时，用户可以

指定两个正交方向上的刚度，这两个方向平行或垂直于单元的长边。图 5-12 中，接

触面单元的长轴( 'x )与全局的 x 轴夹角为，节点编号为 1，2，3，4。

图 5-12 典型的接触面单元

long axis 长轴

SIGMA/W 用四个杆单元的组合处理接触面单元。例如，对图中所示的单元，

在局部法向 'y 方向上有两个刚度为 nK 杆单元：1-4 和 2-3；在局部切向 'x 方向上有

两个刚度为 tK 的杆单元：1-2 和 4-3， tK 和 nK 是用户指定的单元切向与法向刚度。

组装单元刚度矩阵[ ]K 时， SIGMA/W 首先把刚度值 tK 或 nK 直接赋到矩阵的合

适位置上形成局部刚度矩阵，而不是计算积分 [ ] [ ][ ]TB C B dv 。对于上面画出的单元，

它在局部坐标系 ( ' ')x y 下的局部刚度矩阵[ ']K 为：

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

t t

n n

t t

n n

t t

n n

t t

n n

K K

K K

K K

K K

K K

K K

K K

K K

利用以下变换可以旋转[ ']K 到全局坐标系下得到[ ]K :

T

K T K T


- 112 -

其中，

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 2sin cos

sin cos 0 2sin cos

0 0 1 0

sin cos sin cos 0 cos sin

T

当接触面上正应力为 0，或是拉应力(负值)时，刚度值减小为一个小的标称值。

上面的本构模型本质上等价于一个弹簧模型，法向弹簧使相对的两边互相分离，

切向弹簧则控制侧向接触。

除了类似弹簧的行为之外，SIGMA/W 还利用指定的粘聚力，内摩擦角以及计

算出的接触面上的正应力计算得到接触面上的有效抗剪力。一旦调动的剪应力超过了

有效抗剪力，切向弹簧就会被移除并代之于象征抗剪力的切向节点力。

这一行为如下图所示（图 5-13）。位移达到 0.02m 时，切线弹簧被压缩，之后

有效抗剪力开始起作用。

Slip - displacement

X-S

lip

Fo

rce

(kN

)

X-Displacement (m)

-100

-200

-300

-400

-500

0

0.00 0.01 0.02 0.03

图 5-1 接触面力-位移曲线

slip-displacement 滑动-位移

切向弹簧刚度在 SIGMA/W 中定义为剪切模量，它不等同于弹性力学中定义的

G，是一个描述这种行为的值，因此是个方便的指示。从下面关于滑面上点位移的式

子中可以获得对剪切模量的理解：

2 Fd

L G


- 113 -

F 是最大有效剪应力，L 是接触面总长度，G 是指定的剪切模量。由于界面单

元的双倍厚度，因子 2 是必须的。

G 值大，到达滑面上的点需要的位移就较小；相反 G 值小，到达滑面上的点所

需的位移就较大。

为了模拟接触面，接触单元就应该相对薄些。然而，强烈建议别把接触单元做

的太薄。接触单元要有足够的厚度，这样当以 100%的比例显示网格，并且问题的比

例在水平和垂直方向上是一样时，就可以很容易地在有限元网格中看到它们。

接触单元的应力和孔隙水压力是从上下相邻的单元中得到的。在这些相邻单元

中，应力首先由高斯点推算到界面节点上。然后，根据这些节点，SIGMA/W 使用形

函数对高斯点处的值进行插值。

5.10 用户自定义本构模型

用户可以定义被 SIGMA/W 有限元分析调用的自定义本构模型，这是 GeoStudio

2007 的一个新特征。自定义本构模型主要有两个组成部分：

• 计算并返回给求解器一个大 4x4 大小的[ ]C 矩阵的算法，

• 传递新求出的应变增量的算法，计算并返回给求解器每个高斯点的新应力状态。

GeoStudio 已经使这一过程变得非常直接与灵活。自定义模型可以用任何

以.NET 为基础的语言写成，如 Fortran，C++，C#等，所以用户可以使用熟悉的语言。

如果选择使用 C#，就可以利用许多 GeoStudio 的函数，例如求解器内置的所有的矩

阵数学库。当生成自定义模型时，可以赋给它一个变量的名字，这个名字会出现在

SIGMA/W 的定义菜单中，如图 5-14 所示。在这个案例中，用户自定义的 Von-Mises

模型，要求输入参数 Cu，E，泊松比值和孔隙水压力，编写代码实现超屈服变量来计

算基于将增量应变分解成小块的应力。

自定义模型可以非常复杂。这些模型可以获得 SIGMA/W 所有的实时求解数据，

例如孔隙水压力、迭代步、时间步、孔隙比、位移和 x y 坐标等。它们可以利用任

何已完成的其他GeoStudio分析模型。它们还可以与Excel或其他.NET语言程序交互，

这样自定义模型在求解的过程中可以读取或写入数据到其他程序。通过测试自定义模

型功能的方式，可以把 GEO-SLOPE 所有的内置本构模型重生成为外部自宝义模型，

并且还可以扩展修正剑桥模型解决随时间蠕变的粘塑性问题。后一个模型将来可能供

给用户下载。


- 114 -

图 5-14 用户自定义本构模型应用的例子

自定义概念的另一个强大之处是生成自定义模型并编译为*.dll 库后，它就可以

被传递，交换或者甚至售出。所有自定义的东西都储存在电脑上 GeoStudio 的 add-in

文件夹内，并且所有的项目文件都可以利用它们。

关于自定义函数和模型的更详细的文献，请查阅在 [email protected]

上的自定义开发工具包（SDK）。

5.11 E 模量函数

土的刚度模量 E 可以指定为常量或有效上覆土层应力的函数。

涉及土的刚度的专业论文根据围压 3 、垂直或上覆土层应力 v 或者平均应力

1 2 3( ) / 3 引用 E，它们之间的差异并不是那么大，尤其是对根据精度可以定义

E 的场问题而言。上覆土层应力可以很容易的心算或手算出，于是现场抽查的结果就

有很方便的参考点。正是由于这个原因以及追求一致性的原因，SIGMA/W 在上覆土

层应力上已经标准化了。

在双曲线模型一节中已经提到，土的刚度 E 通常与围压的平方根成正比。这个

关系一般表达为：


- 115 -

nE K

其中， K 是土的性质，n 是指数。

作为19世纪70年代加利福尼亚大学伯克利分校对双曲线模型的发展的一部分，

对很多种土做了大量的实验室试验工作，测量它们的K 和 n。这些成果被 Duncan 等

（1980）发表在加利福尼亚大学的内部文献上（不幸的是，这些文献已绝版）。根据

所有的结果，绘制成了如图 5-15 所示的表格，他们认为这些是适于初步或探索分析

估计的保守值。

这些值被作为形成一系列 SIGMA/W 分析中使用的样本函数的根据，下一节简

要介绍怎样使用这些估计函数。


- 116 -

图 5-15 Duncan 等（1980）给出的土的刚度性质

样本函数

为了估计 E 模量函数，需要指定最大深度，K -模量数，指数 n 和 0K 的值。由

这些值，SIGMA/W 计算出一个如图 5-16 所示的函数的数据点。

Sample function

Effective E

-Modulu

s (

kP

a)

Y-Effective Stress (kPa)

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

图 5-16 E-模量样本函数

sample function 样本函数纵轴-有效弹性模量横轴-有效应力

指定的深度值只是用来建立函数的应力范围，它与模型的几何上任何数据点都

无关。重点的是建立 E 和上覆（垂直）应力间的正确匹配。

对下列土，K 和 n 的样本值可以从一个表单中得到：

• 砂土/碎石

• 粉砂

• 粘质砂土

• 低塑性粉砂粘土

• 高塑性土

当然，也可以使用任何用户定义的值。

另外，可以输入具体的数据点，生成适于特定现场的任何函数。

E-模量函数可以用总应力或有效应力定义。

整个函数可以通过改变y-的截距值来上移或下降。


- 117 -

注意，图 5-16 中函数在两端都有一条短的水平线，这是对弹性模量函数有最小

值和最大值的图形化提示。

K 和 n 的样本值一般只用来作初步或探索性的分析，工程负责人必须确认和证

实这些值后才能为具体的现场所使用。

5.12 不排水强度函数

当做基于总应力的分析时，随土的深度改变，不排水强度 uC 通常是很有用的。

强度变化可以定义为像 5-17 所示的函数，定义强度为总的垂直（上覆）应力的函数。

对某个特定的现场，这个函数可以是任意形式函数的任意数据点的函数。图 5-17 中

在低上覆应力（接近地表时）强度的轻微增加也许代表了干燥的地表。

Sample

To

tal C

oh

esio

n (

kPa

)

Y-Total Stress (kPa)

40

50

60

70

80

90

100

110

0 20 40 60 80 100

图 5-17 不排水强度样本函数

sample 样本 total stress 总应力 total cohesion 总粘聚力

SIGMA 边界条件

- 118 -

6. 边界条件

本章讨论在 SIGMA/W 中可以施加的各种边界条件。有许多种方法在土体或结

构单元上施加力和位移，模拟真实世界的加载情况。在加载前，重要的是清楚模型如

何处理输入的数据。增量有限元公式的论述贯穿全文（详见第三章和理论章节）。理

解模型中，在一个载荷步只施加一个荷载，然后再移除是很关键的。有时候必须手动

移除一个荷载，有时候 SIGMA/W 将自动关闭这些荷载（例如在进行填筑时，当体荷

载仅在特定填筑施工步才被激活）。

本章展示了可用的边界条件选项，以及在模型中如何使用这些数据，之后是关

于分析类型的讨论，区别包括原位分析、荷载变形分析和使用不同边界条件工况间的

差异。因此，当前讨论的内容可以用于不同类型边界条件施加时的参考。

6.1 多种类型边界条件

多种类型边界条件是实现虚拟的所有载荷-变形建模方案的基础。在 SIGMA/W

中，位移、力或弹簧边界条件均可以施加在点或者沿线的节点上，应力和流体压力边

界条件可以作用在沿线的单元边上。

6.2 力或位移

原则上，应力应变分析中只有两种边界条件：力或位移。然而怎样解释和应用

这些边界条件是另外一回事，因为随研究对象的不同，有许多可选项。

在所有的应力-变形模型中，“约束”是问题的关键，这通常意味着必须定义一

些几何体的几个部分为 0 位移的边界条件。如果问题没有约束，施加荷载的反作用力

会如何？

通常，约束研究对象的底边和左右两侧边。一个典型例子如图 6-1 所示，底部

和两侧边均指定其为 x 和 y 方向位移为 0。也很容易理解为什么模型底部两个方向的

位移均为 0，但可能会有什么时候沿两侧边的垂直位移也置 0 的疑问。对于后一个问

题的答案取决于想怎么建模。如果模拟对象是一个较大的范围，认为离关心区域较远

的边是牢固的连接在其他甚至更远的土体上，那么 x 和 y 方向的位移均可以置 0。如

果你模拟的只是一个三轴样，是一个垂向轴对称问题，对称轴被固定在水平方向，右

端可以沿 x 方向自由移动，沿 y 方向则不可以，如图 6-2 所示。

边界条件 SIGMA

- 119 -

图 6-1 用沿边的 0 位移约束模型

图 6-2 轴对称位移边界条件

6.3 体荷载

通过指定土体的单位重量非 0，则体力包含在分析中。对于每个单元，SIGMA/W

计算单元的体积，乘以材料指定的单位荷载，并将全部单元体荷载作用在单元的所有

节点上。

SIGMA 边界条件

- 120 -

土的单位重量用于模拟重力荷载。在 SIGMA/W 中，一个图形反馈可以让用户

知道是否有一个体荷载被施加在单元上。体荷载如下图 6-3 所示，单元中填充阴影图

案。

1

1

2

3

4

图 6-3 阴影展示体荷载被施加在单元上

当建立初始应力或者模拟分层堆筑时，体荷载就开始起作用。体荷载仅在当土

材料被激活的第一个载荷步求解中起作用。每个材料被赋一个合适的重量值。

6.4 边界条件位置

在 GeoStudio2007 中，所有边界条件都必须直接作用在几何体上，例如区域面、

区域线、自由线或者自由点。不能把边界条件直接施加在单元的边或者节点上。把边

界条件和几何体联系起来的好处是，边界条件独立于网格，并且如果有必要的话可以

改变网格而不会丢失指定的边界条件信息。如果始终记住边界条件在几何体上的概

念，就会发现：能很容易的指定任意位置的边界条件。下列例子将展示期望的边界条

件的位置，边界条件施加在几何体上，最后显示了网格中可以设定边界条件的任意一

点的情况。

如果仔细观察图 6-5 和 6-6，就会明白沿斜边的边界条件符号的间距不同。在隐

藏网格显示中，边界条件的展示依赖于页面的比例和窗口格点的间距。在图中显示网

格可见条件下的情况，边界条件标志被画在它们应该出现的位置。对于这类边界条件

总是出现在节点上。也要注意的是自由点位置总是迫使网格节点逼近该点的精确位

置。这样，就可以总是定义边界条件于期望的任何位置，并且不管网格怎么变，边界

条件的位置将固定不变。

边界条件 SIGMA

- 121 -

Along a region edge sub-division

At a free point

图 6-4 期望的 BC 边界条件的位置

along a region edge sub-division 沿区域的边 at a free point 在自由点


At a free point

图 6-5 BC 边界条件被施加在几何体上


At a free point

图 6-6 网格中设定的 BC 边界条件自由点的显示

6.5 节点边界条件

在 SIGMA/W 中，边界条件被定义在指定几何体上，诸如：区域面、区域线、

自由线或自由点。但本质是，边界条件是作用在单元节点或者单元边上的。如果需要

定义指定位置的边界条件，则可能需要添加额外的区域点，以控制对应于要设定边界

条件的区域边界长度，或者确保对于定义节点边界的位置有节点存在。一些类型的边

界条件只有被恰当的施加在单元边或者节点上才能取得预期的效果，例如，流体压力

边界条件只能作用在单元边上。

SIGMA 边界条件

- 122 -

画边界条件命令允许用户定义位移、力或弹簧边界条件，这些边界条件适用于

节点边界条件。另外，0 旋度边界条件也能指定在沿结构梁单元的节点上。对于真实

生活中不同类型的边界条件的描述是独特的，但是在数值模拟中，他们都被归结为力

或者位移。

在线帮助提供了如何将边界条件作用于模型的详细描述。通常，节点边界条件

的定义分两步进行，首先，创建边界条件，例如：边界类型、功能、颜色和边界函数

数值；第二步，将边界条件作用于欲施加边界条件的指定几何体上。

表 6-1 列出了在 SIGMA/W 中可用的各种节点边界条件及其一旦被定义后将显

示的标识符。边界条件可以使用画边界条件命令来添加或移除。

表 6-1 不同类型边界条件的标识符号

类型值 x 方向符号 y 方向符号描述

无 ------- ------- ------- 无

位移正(+) 右上空心箭头

位移负(-) 左下空心箭头

位移零(0) 空心三角形

力正(+) 右上实心箭头

力负(-) 左下实心箭头

力零(0) ------- ------- 无

弹簧没有作用

左或右上或下弹簧

弹簧零(0) ------- ------- 无

转动零(0) ------- 空心圆

当边界条件中定义正值或者负值，对应边界条件的作用方向是 x、y 轴的正向或负向。

6.6 边的边界条件（压力或应力）

在 SIGMA/W 中，边界条件被定义在几何对象上，而不是被施加在节点或者单

元边上。如果需要定义指定位置的边界条件，则可能需要添加额外的区域点来控制设

定边界条件的区域边的长度，或者确保定义节点边界条件的位置有节点存在。定义边

边界条件 SIGMA

- 123 -

的应力边界条件分两步：首先，创建边界条件，如应力边界类型、功能和边界函数值；

然后，选中需要施加边界条件的几何对象。边界条件可以通过画边界条件命令设定或

移除。

表 6-2 显示了各种边的边界条件类型，连同与之相关的标识符和数据习惯。一

个方便的区分正负应力的方法是记住：压应力为正；对于切应力，沿单元逆时针方向

为正。或者检查法向/切向压力边界的箭头指向来判断正负。

表 6-2 边的边界条件标识符

类型值标识符描述

无 -------- 无 --------

法向力正(+)

沿着边的线，箭头垂

直指向边

法向力负(-)


直背离边

切向力正(+)

沿着边的线，箭头指

向围绕单元节点的逆

时针方向

切向力负(-)


向围绕单元节点的顺

时针方向

X 方向应力正(+)


向右

X 方向应力负(-)


向左

X 方向应力零(0)

沿着边的线

Y 方向应力正(+)


向上

Y 方向应力负(-)


向下

Y 方向应力零(0)

沿着边的线

流体高程大于最小值，y 坐标边


直指向边

流体高程小于最小值，y 坐标边

沿着边的线

SIGMA 边界条件

- 124 -

6.6.1 转换边的条件为等效节点力

沿着单元边的应力是形成节点边界力的一种形式，指定的应力乘上单元边长就

给出了一个总力，这个力被沿着单元边上的节点成比例的分配。

如图 6-7 所示，从指定应力计算得到的力对于四节点单元被两角点节点等分。

对于高阶 8 节点单元，每个角点节点分配了 1/6 力，4/6 的力被分配给中间节点。

图 6-7 压力等效节点力

constant stress 常应力 noded 节点

节点力事实上是通过沿每一单元边积分的形式计算的（详见理论章节）。这就

概括说明了这个节点力求解的流程，并使得沿单元边考虑不同压力分布成为可能。

在有限元分析中不能直接使用指定边界应力，边界应力必须被转换为节点力后才能进行分析，

记住这点非常有用。

6.6.2 流体压力边界条件

流体压力边界是一种特殊法向压力边界形式。这种压力通过指定一个水面标高

来定义，如图 6-8 所示。压力从计算指定水面高程和边界节点 Y 坐标间的间距来求得。

所有在 2-3 和 3-4 间的单元边被标记为流体压力边界。

边界条件 SIGMA

- 125 -

2 3

4

5 6

Fluid pressure boundary

Specified elevation

图 6-8 流体压力边界示例说明

specified elevation 指定高程 fluid pressure boundary 流体压力边界

当施加流体压力在一个单元边上时，SIGMA/W 内部计算等效节点力作用在定

义边的每个节点上。这个节点压力通过液面高程减去节点 Y 坐标的值乘上流体自重

获得。SIGMA/W 将只考虑正的流体压力，因此，对于流体压力边界条件有一个条件：

选择的边 Y 坐标必须低于液面高程。

注意：画水位线，超出地表的部分并不会像 SLOPE/W 那样自动计算地表水压力，即并未在地表

作用水荷载，定义水位线只是计算土体中的孔隙水压力，如果需要土水压力和地表水压力，必

须同时指定水位线和地表水压力荷载边界。

6.6.3 在单元边的内部定义应力边界条件

如果需要在一个单元边的内部定义应力边界条件，可以用如下所述等效节点力

的方法来实现。如果不这么做，将会有应力值被施加两次的风险。程序循环所有的单

元，找到施加应力的单元边，将应力转换为节点力，如果循环不同的单元找到相同的

施加应力的边，就会再次施加应力。用户自己将应力转换成力，可以确保在节点施加

了预期的力。

沿着单元边内部，等效节点力通过施加压力乘以相应的贡献面积求得，然后施

加这些节点力作为节点边界条件。这个贡献面积依赖于分析类型（二维平面问题或者

轴对称问题），并且取决于是否有中间节点。图 6-9 和图 6-10 显示了对角节点计算

贡献面积的示例， 1a 和 2a 角点； 4a 中间节点。对于轴对称分析，注意贡献面积是特

指当单元厚度为 1.0 弧度，并且当采用 2 弧度单位时单元厚度是 2 。

SIGMA 边界条件

- 126 -

（a）无中间节点（b）有中间节点

图 6-9 对于平面单元单位厚度的贡献面积

边界条件 SIGMA

- 127 -

（a）无中间节点（b）有中间节点

图 6-10 对于单位弧度轴对称单元的贡献面积

axis of symmetry 对称轴

6.6.4 区域面边界条件

在 GeoStudio2007 的 7.1 版中，引入了一个新的面边界条件。如果创建了一个应

力边界条件，并将其施加在一个边上，则节点力基于应力值和与这条边长有关的节点

来求取。如果施加了同样的应力边界条件在一个区域面上，则这个应力乘以面的面积，

然后将求得的力分配给与这个面有关的节点，转换为节点力。假设模型为单位厚度

1(这个厚度可以改变)，则面边界条件是一个可以考虑每个单元体积的施加体力的途

SIGMA 边界条件

- 128 -

径，即，可以使用区域面边界条件来模拟土的自重，或模拟由于土的蒸发改变总应力

等情况。

6.7 瞬态边界条件

一个边界条件函数可能与每一个边界条件有关，而不是一个指定的常数。这个

特点有助于模拟边界条件随时间或荷载步变化的情况。另外，瞬态边界条件可以循环

变化，允许指定边界条件在一定频率内周期性重复。

SIGMA/W 用函数中的增量变化作为每一个荷载步的边界条件。在一个力函数

情况下，施加力的增量是：

1 ii FFF

其中： i 为时间步数。

SIGMA/W 从边界条件中获得 iF 和 1iF ，然后力的差分作为第 i 时间步施加的边

界条件。

定义函数在零时间的值是必要的。对于第一时间步的增量是：

011 FFF

当创建了一个如图 6-11 所示的边界条件时，可以把 Y 值看作一个累积值。加

入想施加一个 10 磅的力在荷载步 2，而其他荷载步不施加力，则函数如下图所示。

对于荷载步 2 以后的所有步，没有荷载改变，因而没有荷载施加。如果其他的时步载

荷返回为零，则在第二步，程序将应用 0-100＝-100 磅的荷载改变，这将撤销在第一

步实现的结果。

边界条件 SIGMA

- 129 -

Time

0 1 2 3 4

Y-F

orc

e

0

2

4

6

8

10

图 6-11 第二载荷步施加力 10，其余载荷步施加 0 荷载

force 力 time 时间

SIGMA 边界条件

- 130 -

SIGMA/W 不同分析类型

- 131 -

7. 不同分析类型

SIGMA/W 能用两种视图（两维平面和两维轴对称）求解不同类型的分析。一

个项目的分析类型的选择依赖于建模对象的分析目的。通常情况，为了调查一个简单

问题会进行多工况分析。例如，如下分析步骤：a）用原位分析建立初始应力场；b）

用荷载变形或耦合分析进行填筑模拟；c）执行另一个荷载-变形或耦合分析模拟开挖；

如果要模拟地基中超孔隙水压力的产生和消散，则需要进行耦合（或非耦合）固结分

析。应力应变和渗流耦合分析将在专门的章节中详细讨论。

7.1 研究问题的视图

SIGMA/W 可以进行二维和二维轴对称问题的分析。二维视图分析了一个单位

厚度的垂直横截面，当定义几何区域后可以指定其厚度。

轴对称视图分析绕一个垂直轴（例如：一个立式圆柱形油罐或室内三轴试验）

对称的问题。在 SIGMA/W 中，垂直对称轴（坐标 r=0）是固定的。默认的轴对称分

析是一个弧度扇形区域。

7.2 原位初始应力

SIGMA/W 有一个特殊的分析类型叫“原位”分析，用于分析初始应力。大多

数问题都首先要进行原位初始应力场分析，然后再进行荷载-变形或应力-应变和渗流

耦合分析（例如：分期施工模拟）。初始应力只是重力作用的结果，表示了未扰动

土（岩）体的平衡状态。

在使用下列非线性本构关系时必须设定初始应力：

1. 弹塑性 Mohr-Couloum 本构（滑移面模型）：因为本构包含了一个破坏准则，

所以必须设定初始应力；

2. 修正 Cam-clay 本构：因为本构包含了一个破坏准则，并且刚度和超固结特性

均依赖应力状态，所以必须设定初始应力；

3. 双曲线非线性弹性本构：当总刚度和强度参数被指定成初始应力的函数时，

必须设定初始应力。

初始应力可以通过体荷载（如上章所述）的方式经由土体自重求得，指定的单

位重量乘以单元体积产生了一个向下的节点力。泊松比（对每种材料）可以控制水

平应力。注意：材料的刚度特性（例如杨氏模量）对初始应力没有影响。

不同分析类型 SIGMA/W

- 132 -

有一维变形历史的饱和土（例如沉积和可能的超固结）中水平有效应力与垂直

有效应力的比值被称作静止土压力系数，

01

h

v

K

SIGMA/W 限制了泊松比的值到 0.495；因而 K0 就被限定到大约 0.98。超固结

土的 K0 值通常大于该值，也就是说水平有效应力大于垂直有效应力。K0>0.98 的初始

应力状态不能应用泊松比的原位分析计算，随后提到的 K0 方法将用来处理这类问题。

原位分析类型对于模型要求左右边界能自由垂直运动，也就是说，只规定两侧边界的

x 位移为 0。底部边界全约束，即 x 位移和 y 位移均为 0（如图 7-1 所示）。

图 7-1 现场分析要求的边界条件的概念性说明

gravity load 重力荷载

7.2.1 K0 方法

K0 可以用于确定正常固结土和超固结土的初始应力。当输入材料参数时，指定

材料的 K0 值，在采用原位分析计算初始地应力场时，水平应力通过 K0 值计算。

使用 K0 方法通常需满足如下几种情况：a）地表面水平；b）水位线水平（即静

止水压力）；c）空间连续和水平的地层单元。当违反了这些准则使用 K0 方法时，会

导致应力分布不平衡。对于不满足的情况，应使用重力加载的原位分析，即不指定

K0 值。

选择 K0 方法（通过指定材料 K0 值）时，垂直和水平有效应力如下式算得：


- 133 -

v i ih u

0h vK

其中：总应力（ i ih ）是基于下卧土层的厚度 ih 和单位重量 i 求得，u 是孔隙水

压力。

7.2.2 范围限定

K0 值及与之相关的泊松比，对于正常固结土可以通过有效内摩擦角根据下式进

行估算：

'

0 1 sinK

对于超固结土，有很多的表达式提出了 K0 与超固结比的关系。这些表达式一般

都会造成 K0 随着超固结比以指数形式的无限增加。但是，用户必须确保输入的 K0（或

泊松比）不能产生违反 Couloum 强度准则的应力状态，即初始应力状态在屈服面之

外，位于不正确的应力空间。

当使用包含破坏准则的非线性土体本构时，软件强制用合适的 K0 值或泊松比计

算初始应力。SIGMA/W 包括两类这样的本构：a）理想弹塑性 Mohr-Couloum 本构；

b）修正 Cam-clay 本构。对于线弹性本构，即使单元处于不合理应力状态，分析仍能

够进行，因而不推荐这种建模方法。

根据土压力理论，土压力系数的理论范围是：

2 2

0tan 45 tan 452 2

K

o o

其中，下边界和上边界分别是主动、被动土压力系数。

7.2.3 孔隙水压力

初始孔隙水压力可以通过下列方法指定：a）画初始水位线；b）用其他有限元

分析的结果（例如 SEEP/W 或 SIGMA/W 分析的结果）；c）用空间函数。如果地下

水条件与静水压力状态差别很大的话，应该使用选项 b）和 c）。

初始水位线

初始水位线要求用户：a）指定最大负压力水头（即毛细上升高度），b）利用

绘图菜单中的初始水位线菜单绘制一系列点，自动连成水位线。很多分析中都会用到

绘制水位线。


- 134 -

初始孔隙水压力值与单位水重量 w 是线性关系，且水位之上或之下的距离是

iz ，则初始孔隙水压力计算如下：

w iu z

因此，孔隙水压力分布符合流体静力学，在水位以下是正的增加，在水位以上

是负的。水位线上负的孔隙水压力的增加有极限值，一旦超过最大负孔压就不再增加

（如图 7-2 所示）。

图 7-2 使用水位线计算的孔隙水压力

max negative pressure head 最大负孔隙水压力

空间函数

可用的空间函数允许用户在求解域内指定离散点的压力水头，在求解域内的任

何地方的孔隙水压力可以用线性或伽辽金插值确定。图 7-3 就是一个线性插值的压力

水头的例子。


- 135 -

图 7-3 用于给定初始压力的空间函数

7.2.4 非饱和土

存在于非饱和土中的初始平衡应力很难确定，因为如下两个原因：第一，在高

的基质吸力下，基质吸力和有效应力间的关系是非线性的。SIGMA/W 目前还不包含

基质吸力对于有效应力的非线性贡献，因为还没有建立合适的理论关系。近似的理论

方程已经被提出，在将来的 SIGMA/W 版本中将会包含进来。

第二，没有单独和很好的兼容非饱和土力学行为的应力应变本构关系。Frellund

和 Rhardjo（1993）提出使用应力状态变量的净法向应力 ( )au 和基质吸力 ( )a wu u ，

其中 au 是标准空气压力（正常是 0kPa）。因此，Frellund 和 Rhardjo（1993）提出了

土压力系数 k0 是总应力，而不是有效应力分量的比，

0

h a

v a

uK

u

K0 和泊松比的理论关系（没有展示）包括刚度属性和应力状态变量：总的垂向

应力、基质吸力。表达式表明对于给定的泊松比和总的垂向应力（诸如超载应力）

K0 随着基质吸力的增加而降低。K0 为 0 预示着高的基质吸力和浅层地表，暗示了张

裂的趋势（即总的水平向应力=0）。K0 和泊松比的关系近似于低基质吸力下非饱和土

的关系。

现场分析和 K0 方法假设计算得到的总（有效）应力与用户分别指定的泊松比或

者 K0 一致，使得用户可以灵活的控制初始总应力状态。假设基质吸力与应力是线性

关系的条件下求得有效应力状态。因此，对于非饱和问题领域，SIGMA/W 必须用总

应力而非有效应力，手算土压力系数。

7.2.5 示例

土层剖面如图 7-4 所示，用手算的方法概念性的说明有效应力的计算。地面水

平，高程为10m，水位线在地表以上 2m位置，土和水的单位重量20 kN/m3和10 kN/m3，

泊松比是 0.334，对应的 Ko = 0.5。

地面的有效应力和总应力的计算如下：

10(2) 20w iu z kPa

10 2 20 0v i ih u kPa


- 136 -

0 0.5(0) 0h vK kPa

0 20 20v v u kPa

0 20 20h h u kPa

剖面底部的有效应力和总应力的计算如下：

10(12) 120w iu z kPa

10 2 20 10 120 100v i ih u kPa

0 0.5(100) 50h vK kPa

100 120 220v v u kPa

50 120 170h h u kPa

图 7-5 和图 7-6 分别展示了模拟得到的断面有效应力和总应力图表（由后处理

界面的图表绘制菜单生成）。模拟得到的应力与手算的一致。

这个简单的练习在于强调建模实践的重要，在可能的时候，要学会用手算来检

验模拟结果。这类实践确保了对于研究问题的恰当定义和合理抽象。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

图 7-4 现场分析实例


- 137 -

Ve

rtic

al d

ista

nce

Y-Effective Stress

0

2

4

6

8

10

0 20 40 60 80 100

Ve

rtic

al d

ista

nce

X-Effective Stress

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60

图 7-5 有效应力断面

vertical distance 竖向距离 effective stress 有效应力

Ve

rtic

al d

ista

nce

Y-Total Stress

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200 250

Ve

rtic

al d

ista

nce

X-Total Stress

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200

图 7-6 总应力断面

vertical distance 竖向距离 total stress 有应力

7.3 指定初始条件

如果用户在定义问题时指定了初始条件，SIGMA/W 将增加应力和位移（应变）

增量到初始应力和应变上。初始条件可以从如下所述获得：

1. 从 GeoStudio 的其他模块分析（例如 SIGMA/W 或 QUAKE/W）或上一级分

析得到的总应力条件，并有选项可以选择清除之前分析的变形和累积值，

即可以选择位移清零（注意：由原位分析类型得到的初始条件是自动清除

变形的）。


- 138 -

2. 从 GeoStudio 的其他模块分析（例如 SIGMA/W, SEEP/W, VADOSE/W 或

QUAKE/W）或上一级分析得到的孔隙水压力或者水位线，或空间函数激活

孔隙水压力。

7.4 荷载/变形分析

荷载/变形分析被广泛应用，获得与施加荷载相应的应力和变形响应，包括填筑

和开挖施工的模拟，都可以使用荷载变形分析类型。在填筑施工案例中，填筑的重量

在每个填筑层被激活的第一载荷步就被增加到模型。在开挖分析中，SIGMA/W 计算

与开挖单元相关的节点力，将节点反力施加在沿开挖面的节点上。开挖力的大小被写

入文件，以便在后处理界面通过绘制等值线对其进行核查。

7.5 动力变形分析

GeoStudio 7.1 的新功能是能够应用 SIGMA/W 分析基于 QUAKE/W 动力分析的

结果或者另外一个 SIGMA/W 分析文件的结果，来计算不同时步由于增量单元应力产

生的节点力改变引起的变形。例如：QUAKE/W 动力分析的输出结果包括每个保存的

时间步的总应力和孔隙水压力，SIGMA/W能读取每个QUAKE/W时间步的输出结果，

减去前一时间步的结果，计算得到每个节点的增量力，然后根据用户选择的本构关系

计算由这个力产生的变形。

动力变形分析类型本质上是个弹塑性应力重分布分析，动应力在 QUAKE/W 结

果输出的每个时间步被重新分布。

SIGMA/W 基于两个时间步间的应力差计算一个增量荷载矢量。每个单元的荷

载矢量由下式求解：

t

v

F B dv

其中 1n n ，n 是被保存时间步。

也就是说，增量荷载矢量是两个连续时间步应力状态的算术差。

每个荷载步可能产生一些弹性应变和塑性应变，塑性应变和变形的积累是一种

永久变形。

当选择这一分析类型时，必须选择一个已求解的有输出应力的分析，然后确定

必须的时间步计划，以便为输出文件中的每一步改变施加一个增量荷载。


- 139 -

这类分析适用于，QUAKE/W 分析中的惯性力导致土体塑性应变，从而形成永

久变形。如果永久变形基本上源于超孔隙水压力的产生和相关的强度失效引起的应力

重分布，则应用下一章节的分析方法会更恰当。

7.6 应力重分布

7.6.1 概念和步骤

很多情况下，当前计算的应力状态要高于土的强度，即土体存在超载应力。典

型情况发生在线弹性分析中，应力的计算没有考虑土的强度。另一个常见的情况是总

应力保持不变而孔隙水压力增加，如降水入渗进土体。

图 7-7 说明了孔隙水压力改变的情况。在这个应力状态，孔隙水压力增加前是

低于强度包络线的，在孔隙水压力增加后有些超载应力，因而 Mohr 圆部分超出了强

度包络线。

另一种情况是土颗粒骨架的变化或可能存在的土的化学变化也能造成一部分强

度损失。这同样会导致如图 7-8 所示的超载应力。

u

Ø΄

Normal stress σ΄

Sh

ea

r str

ess τ

图 7-7 由于孔隙水压力增加引起的超应力

shear stress 剪应力 normal stress 法向应力

Ø΄

Normal stress σ΄

Sh

ea

r str

ess τ

Ø΄r

图 7-8 由于土颗粒结构改变引起的超应力


- 140 -

shear stress 剪应力 normal stress 法向应力

物理上，土中不可能产生超应力。这种过度的应力将自动转移到相邻单元。数

值上，例如在线弹性分析中，则可能产生这类超载应力。

对于应力重分布，SIGMA/W 有一个对应的分析类型，用弹塑性本构模型。

SIGMA/W 计算每个单元代表单元内超载应力部分的一个荷载矢量，这个荷载矢量通

常被称为不平衡荷载-不能被可用的抗剪力平衡的这部分力。这个不平衡荷载矢量被

应用作为常规的有限元分析来计算产生变形和应力变化。这个过程不断迭代，直到不

平衡荷载为 0 或在容差范围内为止。

7.6.2 强度折减法边坡稳定性分析

强度折减边坡稳定性分析方法已经被引入到岩土工程实践中。这个方法在一个

弹塑性分析中，折减土的强度参数，直到边坡失稳（Dawson 等, 1999; Griffiths 和 Lane,

1999）。数值上，当土的强度低至不能获得一个收敛解时，意味着边坡失稳。

SIGMA/W 有限元方程本质上是平衡方程，不能得到收敛解，则意味着系统超

出了极限平衡点。

用强度折减法的安全系数被认为是如下式所示的强度折减因子：

tan

tan f f

cSRF

c

其中 f和

fc 是失稳时土的参数。

在 SIGMA/W 中，应力重分布分析类型可以被用于做强度折减分析。可使用 SRF

方程折减土的强度，直到不再能获得一个收敛解。为了和现有的其他商业化程序一致，

所有土的强度应该相同的因子（SRF）折减，尽管这在 SIGMA/W 并不是必须的。

Krahn（2007）讨论了强度折减的几个局限性，因而一个更好的方法是将 SIGMA/W 计算得到的

应力与传统的试算滑动面一起用于 SLOPE/W 边坡稳定分析中。

将 SIGMA/W 算得的应力用于稳定性分析的计算原理在 SLOPE/W 的指南中有

详细的说明。同样，SIGMA/W 案例库中的应力重分布的例子也展示和进一步讨论了

这一分析方法。


- 141 -

7.6.3 永久变形

超载应力的重分布已通过变形说明了自身。如果将产生一些强度损失，可能有

一些移动或坍塌也是可以理解的。应力重分布分析类型因而可用于估算强度损失产生

的永久变形。

考虑到地震导致的超孔隙水压力。超孔隙水压力可能导致一些超载应力，如之

前提到的反过来可能导致永久变形。

两个 QUAKE/W 案例 San Fernando Dam 上游和下游工况案例使用、展示和讨论

了 SIGMA/W 中的应力重分布分析类型。

7.6.4 极限平衡

SIGMA/W 有限元方程本质上是平衡方程。这意味着能获取的方程的解，结构

必须是稳定的。如果施加在结构上的力或驱动力可能导致它不再稳定，则不可能获得

有限元方程的解。用数值上的专有名词，当这类情况出现时，不能获得收敛解。

按稳定性分析的说法，则为了获得收敛解，安全系数必须大于等于 1.0。

为了这个原因，当使用应力重分布分析时，需要多加注意，并多练习。应该多

考虑平衡，所以土的强度不能任意折减。如果有可能的话，一个好的建议或建模方法

是一步一步逐渐折减。

建议和 SLOPE/W 的稳定分析一起配合使用强度折减分析。当接近极限平衡点

时，稳定性分析可以提供一个很好的参考点。

7.6.5 应变软化

SIGMA/W 没有一个严格的应变软化本构模型。然而，应力重分布算法能够被

用于考虑强度损失的影响。简化的方法是已知结束点，但是到达结束点的路径未定义，

如图 7-9 所示。到折减强度的路径可以是任何虚线或任何其他物理许可路径。

当强度折减是由于例如像松散砂或土颗粒结构的突然坍塌或者化学变化造成土

体强度改变，而非土体硬化时，这个简化方法是可以接受的。如果强度损失基本是由

于土颗粒的重新排列形成的应变，那么简化的应力重分布方法是最好的实际应变软化

的估算方法，尤其是要求达到折减（残余）强度的大变形工况。


- 142 -

Normal stress

Sh

ea

r str

ess

Peak strength

Reduced strength

图 7-9 从峰值应力到一个折减残余强度的路径

peak strength 峰值强度 reduced strength 残余强度 shear stress 剪应力 normal stress 法向应

力

应力重分布分析的一个副作用是折减的强度值必须被指定，即折减强度不是按

真正的应变软化本构模型开发。

应力重分布方法不完全能代表真实情况，但对于很多工况，它能提供一个合理

的强度损失效应的估计。

7.7 分步/多步分析

新版的 GeoStudio 有多步分析的功能。从根本上来说，在一个简单的模型中多

步分析允许用户在时间和空间上明确不同的材料参数和边界条件。这就表明用户可以

在一个模型中模拟施工顺序，也可以模拟随着几何的变化引起的边界条件的变化。

在一个模型中允许多个分析，意味着多种情况。例如多工况分析，在一个文档

中，用户建立多个相互独立的稳态分析，对同一几何应用不同的材料类型或者边界条

件；或者建立时序分析，设定不同分析之间的顺序，前面的分析作为后面分析的上级

目录（初值）。

以前，进行瞬态渗流分析，在一个独立的模型分析中先执行稳流分析是必须的，

这个可以作为一个新的瞬态分析的初始条件。现在，用户可以创建一个项目，在其下

执行多个分析，先建立一个稳态分析模型，然后在下面建立一个瞬态分析模型。可以

建立多个分析，其中每个分析都是前面一个的基础上进行。当用户创立一个新的分析，

用户可以修改材料属性和边界条件作为一个新的模型来求解。在整个分析结束后，用

户可以查看所有分析的所有时步或任意时步的计算结果。

执行多步分析的一个非常强大的功能是在一个文件中，不同分析可以根据分析

目的应用不同的分析模型，例如渗流分析、边坡稳定分析等。参考下面的多步分析流


- 143 -

程表。在这个例子中，在第一阶段对大坝心墙的渗流使用 SEEP/W 进行了稳流分析，

同时使用 SLOPE/W 进行了稳定分析。在第二阶段，时间顺序开始，执行瞬态分析来

计算由于库水位上涨时孔隙水压力的改变。在这个阶段结束以后，执行第三阶段，在

一个较短的时间内使用 QUAKE/W 分析由于地震引起的附加孔隙水压力，同时使用

SLOPE/W 进行边坡稳定分析。最终，在第四个阶段，应用 SEEP/W 分析附加的孔隙

水压力消散，使用 SIGMA/W 来分析震后变形。

Steady state

seepage through

dam

Slope stability on

steady state case

Transient rise

in reservoir

level

Stability

analysis for

new condition

Earth quake

generation of

excess pore

pressures in

dam

Dissipation of

excess pore

pressures

Post

earthquake

deformation

Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4

Time 0 Time increasing

图 7-10 多步工作流程的例子

孔压-应力耦合分析 SIGMA/W

- 144 -

8. 孔压-应力耦合分析

SIGMA/W 可以使用一个完全耦合或者几个非耦合选项中的任何一个来求解土

的固结问题。完全耦合分析要求应力-变形和渗流方程同时被求解，伴随这一严格方

法的一些实际局限性的理论公式将在下面讨论。对于耦合分析，SEEP/W 不再是必需

的。在 SIGMA/W 中，跟渗流相关的所有的水力参数和边界条件都可以被创建和应用。

当耦合时，有限元划分网格中，在每个节点创建了三个方程。两个是平衡方程

（位移），第三个是渗流连续方程（孔隙水压力）。同时求解三个方程能给出位移和

孔隙水压力的变化。

在 SIGMA/W 中，非耦合固结公式在许多实际情况中更常用。这类分析中，渗

流分析独立于体积变化分析。渗流求解得到的孔隙水压力改变被应用到应力-变形计

算的每个荷载步，以确定有效应力的改变。对于非耦合分析，孔压的变化可以从

SIGMA/W, SEEP/W, VADOSE/W 或 QUAKE/W 分析中的任意两个或多个时间步结果

中获取。

这两类固结分析类型的细节将通过几个案例来说明，包括一些功能强大的选项

的应用和解释。本章第一部分讨论与固结有关的一般理论问题和完全耦合公式。随着

讨论的深入，可以清楚的看到非耦合公式的导出及意义。

8.1 土结构的本构方程

对于非饱和土介质的增量应变-应力关系（Fredlund and Rahardjo, 1993）可以写

成下列式子：

javascript:hhctrl.TextPopup('Fredlund,%20D.G.%20and%20Rahardjo,%20H.,%201993.%20%20Soil%20Mechanics%20for%20Unsaturated%20Soils.%20%20John%20Wiley%20&%20Sons,%20Inc.','Arial,8',10,10,00000000,0xc0ffff)

SIGMA/W 孔压-应力耦合分析

- 145 -

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 01

0 0 0 2(1 ) 0 0

0 0 0 0 2(1 ) 0

0 0 0 0 0 2(1 )

1

1

11

0

0

0

x x a

x y a

x z a

xy xy

yz yz

zx zx

u

u

u

E

H

a w

a w

a w

a w

a w

a w

u u

u u

u u

u u

u u

u u

其中：

= 法向应变,

= 工程剪应变,

= 法向应力,

= 剪切应力,

ua = 孔隙气压力,

uw = 孔隙水压力,

E = 对于土结构的弹性模量,

H = 与基质吸力（ua - uw）有关的土结构的非饱和土模量；

v = 泊松比。

在形式上，这个方程与 Biot（1941）提出的本构方程类似。

对于二维问题，这个关系可以写成下列应力-应变形式：

1 0 0 0

1 0 01

1 01 1 2

1 2

2 1

a wx

x a

a wyy a

z aa w

zxy

xy

u u

Hu

u uu E

Hu

u u

H

javascript:hhctrl.TextPopup('Biot,%20M.A.%20,%201941.%20%20General%20theory%20of%20three-dimensional%20consolidation.%20%20Journal%20of%20Applied%20Physics,%20Volume%2012,%20February,%20pp.%20155-164.','Arial,8',10,10,00000000,0xc0ffff)


- 146 -

或者，这个增量应力应变关系可以写成下式：

方程 8-1 H a w aD D m u u u

其中：

[D] = 排水本构矩阵

T

Hm = 1 1 1

0H H H

如果进一步假设在任何时间空气压力保持为大气压力，则方程 8-1 变为：

H wD D m u

另一方面，对于一个完全饱和的土单元，土结构上的总应力如下：

wD m u

其中：

{m} = 单位各向同性张量，< 1 1 1 0 >

对比最后两个方程，可以看到，当土完全饱和时（譬如饱和度 S = 100%）：

HD m m

对于线弹性材料，当下式成立时，土体完全饱和：

1 2

EH

v

8.2 渗流方程

流过一个单元体积土体的二维渗流可以用 Darcy 方程表示如下：

2 2

2 20

yx w w w

w w

kk u u

x y t

其中:

kx, ky = 分别表示 x 和 y 方向的渗透系数,

uw = 渗流速度,

w = 单位水的重量,

w = 体积含水量

t = 时间.


- 147 -

对于弹性材料体积含水量可以用下式表示（Dakshanamurthy 等，1984）：

方程 8-2 3

w v wu

且：

方程 8-3

31= and,

(1 2 )

1 3

BKE

H H

R H

其中:

KB = 体积模量,

R = 与体积含水量随基质吸力变化而变化有关的模量.

因为水土特征曲线图示了体积含水量随基质吸力（ua - uw）的变化，参数 R 可

以通过水土特征曲线斜率的倒数获取。

假设材料特性在一个增量步内不变，方程 8-2 可以写成下列一个增量的形式：

方程 8-4 w v wu

在完全饱和状态，体积含水量w 的变化等于体积应变 v 的变化。当w 等于 v 时，

方程 8-5 的条件满足。

8.3 耦合分析的有限元公式

在耦合固结分析中，平衡和渗流方程同时被求解。

SIGMA/W 中，用虚功原理表示了有限元平衡方程，对于一个平衡系统，这表

明总的内虚功等于外虚功。简单的情况下，当只有外部点荷载{F}被施加时，虚功方

程可写成下式：

* *T T

dV F dV

其中:

*} = 虚位移,

*} = 虚应变

} = 内应力.

将方程 8-4 代入该方程，并进行数值积分，SIGMA/W 求解的有限元方程可以表

成下式：

javascript:hhctrl.TextPopup('Dakshanamurthy,%20V.,%20Fredlund,%20D.G,%20and%20Rahardjo,%20H.,%201984.%20%20Coupled%20three-dimensional%20consolidation%20theory%20of%20unsaturated%20porous%20media.%20%20Proceedings%20of%20the%20Fifth%20International%20Conference%20on%20Expansive%20Soils,%20Adelaide,%20Australia,%20pp.%2099%20-103.','Arial,8',10,10,00000000,0xc0ffff)


- 148 -

T T

H wB D B B D m N u F ,

T

K B D B ,

T

d HL B D m N , and

1 1 1

0T

HmH H H

其中:

[B] = 梯度矩阵（也叫应变矩阵）,

[D] = 排水本构矩阵,

[K] = 刚度矩阵,

[Ld] = 耦合矩阵,

{} = 增量位移矢量

uw = 增量孔隙水压力矢量.

对于完全饱和土，耦合矩阵[Ld]可以写成如下形式：

, with <1, 1, 1, 0>T T

dL B m N m =

对于使用虚功原理的有限元方程，渗流方程可以表示为孔隙水压力和体积应变

的形式。如果虚的孔隙水压力 u*w 被用于渗流方程，并在整个体积上积分，虚功方

程可由下式得到：

* 2*

2 20

yx w w ww

w w

kk u uu dV

x y t

对该方程应用分部积分，则变为下式：

* ** *yx w w w w ww w n

w w

kk u u u udV u dV u v dA

x x y y t

其中:

Vn = 边界流量.

替换掉体积含水量w，则表达式变为：


- 149 -

* ** *y v wx w w w ww w n

w w

k uk u u u udV u dV u v dA

x x y y t

使用有限元近似法，则方程变为:

1 T T w

w w

w

T TT

n

uB K B u dV N N

t

N m B dV N v dVt

其中:

T

f wK B K B dV ,

T

NM N N , and

T T

fL N m B dV

并且:

[B] = 梯度矩阵,

[Kw] = 渗透系数矩阵,

[Kf] = 单元刚度矩阵,

<N> = 形函数行矢量,

[MN] = 质量矩阵,

[Lf] = 渗流耦合矩阵,

{m}T = 各向同性单元张量, < 1 1 1 0 >,

= 节点位移.

从时间 t 到时间 t +t 的方程积分如下式所示：

1

t t t t t t

w

f w N f

wt t t

t tT

n

t

uK u dt M dt L dt

t t

N v dAdt

对这个方程应用时间差分技术，使用作为时步因子，可得到下列有限元方程：


- 150 -

1

1

t t

f w t t f w t N w t

w

Tt t

f t n t t n t

tK u K u M u

L t N v v dA

使用向后（完全隐式）差分方法（通过设定 = 1），且假设和在一个时间

增量内保持不变，则方程变为：

f w t t N w f t t

w

tK u M u L t Q

其中:

{Q} = 在边界节点的渗流。

为了得到一个只包含增量孔隙水压力的方程， f w t

w

tK u

被加在方程两边。

描述渗流的方程变为下式：

1

f f N w t t f w t

w w

tL K M u t Q K u

因此对于饱和/非饱和土的耦合固结分析，可以用增量位移和增量孔隙水压力作

为场变量表示。

总之，有限元分析的耦合方程可以写成下列形式：

d wK L u F

1

f f N w t t f w t

w w

tL K M u t Q K u

其中:


- 151 -

1 1 10

T

T

d H

H

T

f w

T

N

T

f

K B D B

L B D m N

mH H H

K B K B

M N N

L N m B

并且，由方程 8-3 给出：

31

1 2

1 3

BKE

H v H

R H

为了这些方程能模拟完全饱和的情况，必须满足下列条件：

= 1

= 0

[Lf] = [Ld]T

8.4 计算的材料参数

在 SIGMA/W 2007 中，H 和 R 从指定的 E 模量和泊松比 ν 计算得到。

E 和 H 的关系如下式所示：

1 2

EH

v

原则上，这个关系只适合于饱和土体的情况。对于非饱和土这一关系很复杂，

Vu 和 Fredlund （2006）在文章中作了说明。实际上，这个关系是一个三维本构面。

SIGMA/W 目前还没达到如此复杂的程度。包含在案例中的名为“Heave due to

infiltration”的例子表明目前 SIGMA/W 采用了对实际场问题的恰当处理方法。

并且，在饱和时 β=1.0 和 ω = 0.0，

3 1 21 1

BR E K


- 152 -

当 ν =1/3 时,

1 1 1

BR E K 或 R = E = KB

如同 H 模量一样，SIGMA/W 计算 R 用 E 模量。

在饱和条件下，体积压缩系数 mv 等效于体积含水量函数在孔压为正段的斜率。

通过定义，这个斜率也等于 1/R，因此当 ν = 1/3 时 mv = 1/R = 1/E。

体积变化系数 mv 可以与体积含水量函数一起指定和定义。但是，在 SIGMA/W

耦合分析中，mv 是从 E 算得的。对于饱和的情况就要求强制上述 R、 E、H 和 ν 的

关系。

8.5 孔压响应比

水的体积模量小于土骨架的体积模量。这意味着即使在饱和条件下（正的孔隙

水压力），孔压也不是百分之百响应荷载。在耦合公式中表现为，即使孔压为正时，

R 值小于 E 值。

在 SIGMA/W 中可以通过指定一个荷载响应比来实现孔压响应比。这个比值默

认为 1.0。当泊松比为 1/3 时，调用孔压响应比值，R 值等于 E 值。如果荷载响应比

为 0.9，例如，如果泊松比为 1/3，R 则等于 0.9E。

荷载响应比类似于总应力孔压参数 B。在一维约束加载工况中，荷载响应比等

于 B，如果泊松比为 1/3。例如，指定荷载响应比 0.9，对于应用的表面荷载，将产生

一个 90%的孔压响应。

8.6 耦合分析的数据

8.6.1 材料性质

要想做一个完全的耦合分析，必须做如下选择：

• 分析类型：耦合应力/孔隙水压力

• 材料分类：有效的参数 w/孔压改变

• 材料模型：线弹性，弹塑性或修正剑桥模型（或用户自定义本构模型）

其他材料模型例如非线性双曲线本构模型不能用于耦合分析。

另外，还必须定义：


- 153 -

• 体积含水量函数

• 渗透系数函数

8.6.2 边界条件

在耦合分析中，必须定义和应用位移和水力边界条件。记住：两套方程同时求

解，对于位移和水力方程均需要定义各自边界条件。

8.7 只在饱和区的耦合分析

有时，一个耦合分析能在数值上极大的简化，例如，只在饱和区域允许孔压随

时间变化。在耦合分析中有这一选项。

只在饱和区进行的耦合分析中，SIGMA/W 将初始负的孔隙水压力转换为一个

固定的水力边界条件。这么做的影响在于负孔压不随时间变化。换句话说，非饱和区

保持非饱和，并且不随时间变化。在非饱和区，由于弹性压缩或超应力，可能会有一

些体积变化，但非饱和区的尺寸不会变。

有这个选项，SIGMA/W 求解耦合方程，但初始负的孔压变成水力边界条件，

这固定了负的孔隙水压力。

考虑到非饱和土与饱和土储水能力的比较，这不是一个合理的方法。体积含水

量函数表征了土储存和释放水的能力。当土饱和时，正如前面讨论的含水量函数的斜

率是 mv，当土非饱和时，含水量函数的斜率要比 mv 更陡，暗含了土有一个更高的储

水能力。再看另一个途径，少量的水被挤出饱和土能更容易储存在毗邻的有相对更大

储存能力的非饱和土中。

在非饱和区内的耦合分析有时会导致大量的数值收敛困难，尤其当体积含水量

函数很陡时，例如砂土。相反，与数值复杂性的斗争中，经常选择只在饱和区耦合选

项反而具有优势。一个好的接近的估算通常要比一个差的收敛估算要好。

8.8 非耦合分析

本质上，耦合分析涉及同时求解 SIGMA/W 平衡方程和渗流连续方程。有时，

先求解 SEEP/W 瞬态渗流方程，然后再在耦合方程中使用 SEEP/W 结果作为已知的水

力边界条件，在数值上要优于同时求解两套方程。孔压的变化首先被计算，然后才能

够计算相应孔压改变的的体积变化。这就是众所周知的非耦合分析。


- 154 -

下面就是一个简单的耦合方程，其中[L]是耦合矩阵，Δd 是增量位移，Δu 是孔

压的增量变化。

s

t

w

K L d F

K u QL

上一半表示 SIGMA/W 平衡方程，下一半表示渗流连续方程。在非耦合分析中，

Δu 是已知的，可以从像 SEEP/W （或 VADOSE/W）等其他分析中得到，然后变成

上述方程中的已知边界条件。解随后给出了前一个计算得到的 Δu 导致的体积变化。

在 SIGMA/W 中，可以用体积变化分析类型来做非耦合分析。

当体积变化分析类型被选择时，有两个选项，可用其指定孔隙水压力的变化。

• 一步初始和最终孔压：用这个选项，需要确定有初始和最终孔压的结果文件。

SIGMA/W 将两个值做减法得到 Δu。

• 多步瞬态分析：用这个选项，需要选择瞬态分析的开始时间。SIGMA/W 查

看有关的时间序列和从连续步的孔压相减得到 Δu，然后计算每一步的体积

变化。

非耦合与耦合分析所得结果通常非常相似，在高度复杂的情况下使用非耦合分

析非常有优势。

通常强烈推荐先做渗流分析，以获取对渗流域的完全了解。这有助于得到正确

的水力边界条件，恰当的材料性质和合适的时间序列。一旦这部分得到了很好的理解，

在非耦合体积变化分析中这个结果就能被用于建立耦合分析。同完全耦合相比，非耦

合分析更易于控制。

由于抽水井造成的沉降的案例展示了非耦合体积变化分析的过程。

非耦合分析不能获得众所周知的 Mendel-Cryer 效应，在本节将做进一步讨论。

尽管这样，从非耦合和耦合分析得来的最终沉降通常是相似的。

非耦合方法优于耦合分析的地方就在于从 SEEP/W、VADOSE/W 或 QUAKE/W

分析得到孔压的变化，这极大的扩展了要分析问题的范围和类型。

在非耦合固结分析中，不应该在分析中施加任何其他加载。例如，不要加面荷

载，面荷载将导致不能被考虑的孔压的变化。孔压由渗流分析提供，施加任何荷载导

致总应力的变化可能会导致一个没有意义的解。


- 155 -

8.9 时间步序列

如同在 SEEP/W 分析中的一样，在 SIGMA/W 耦合分析中，有必要定义恰当的

时间步序列。对于 SEEP/W 指南中讨论的合适的时间步创建过程在这里一样可用。这

也是为什么要在进行耦合分析前先做瞬态 SEEP/W 分析的另一个原因。

设置合适的时间步序列没有一个固定的规则。但是，可进行一些有助于至少在

正确方向开始的考虑。

正如在固结试验中，初始时间步需要相当的小，然后时步变化指数增加。

时间步尺寸很小也很大。时间步太小将导致数值噪音，这可能混淆结果的解释，

进而，可能花费很多不必要的计算时间。时间步太大可能不能代表实际的瞬态过程。

对于开始时间 Δt 的设定，一个很粗的指导意见是 mv 除以 Ksat。这至少可以提

供正确的数量级。

最后，如果没有其他选择，只能尝试不同的时间步长序列，调整直到获得有一

个好的趋向长期稳定解。

另一个有用的建模实践是先做一个稳态 SEEP/W 分析，对于瞬态结束点有一个

清晰地概念。

8.10 渗透系数的变化

当土固结时，渗透系数随着土颗粒结构逐步变得更紧密而降低。这个行为在

SIGMA/W 耦合分析中可以通过 K 修改功能来实现，如图 8-10 所示。

K reduction

K-M

odifie

r

Y-Effective Stress (kPa)

0.1

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

图 8-1 k 渗透系数修正函数抽样


- 156 -

modifier 修正 reduction 减小

基本上，Ksat 源自于指定的渗透系数函数可以通过一个依赖于垂直有效应力状态

的因子来修改。在上图中，当有效应力从 10 增加到 100 kPa，K 降低为原来的十分

之一。

这个关系可以从传统的压缩实验获取。K 渗透系数从下式计算：

1

v w v

o

c aK

e

其中 cv 是固结系数，也可从压缩试验获取。

压缩系数va 是：

1 2

2 1

v

e e ea

参数 va 对于有效应力增量变化而言是一个孔隙比的增量变化。在应力增量中，

计算得到的 K 对应于平均有效应力。这个信息可用于创建 K 修改功能。

在土层内，在初始或开始近似平均有效应力，程序设定 K 修正函数为 1.0。对于

其他垂直有效应力，Ksat 将根据指定的 K 修正函数进行修改，K 将随着土的固结和有

效应力的增加被修改。

SIGMA/W 参考垂直有效应力修正 K 渗透系数改进，而不是孔隙比。这么做有

几个原因，但主要原因是相对于从超载手算 σ΄v，制作一个方便的参考点来现场检查

结果更直接。

演示算例章节包括了一个关于尾矿顺序堆载的例子，其中使用了 K 修正函数。

8.11 水下沉积

耦合公式可用于模拟饱和土的沉积（诸如水力沉积尾矿），激活这类有效应力

孔隙水压力改变的材料能够分析由自身产生的超孔隙水压力。为了保持新激活材料顶

部的水位，即阻止材料顶部超孔隙水压力的发展，必须施加一个水力边界条件。这个

水力边界条件表示沉积时间的水位位置。另外，SIGMA/W 的阶段施工功能也被用于

模拟饱和土的多次沉积。有很多更详细的文件可以说明这类耦合问题公式的使用。


- 157 -

8.12 验证

很久以来大家都知道，当一个饱和半圆被压缩时，圆里的孔压响应要大于施加

的压力。这就是闻名的 Mendel-Cryer 效应。对于任何耦合公式的严格试验的结果将

展示这个效应。

图 8-2 展示了 SIGMA/W 建立的这个工况。作用压力是 100kPa，结果如图 8-3

所示。圆心的压力先增加，然后逐步消减到加载前状态。图 8-2 中放大的十倍的变形

显示与这个有效应力的增加（诸如超孔压的消散）同时变化的还有半圆缩小。

正如包括在这个叫 Cryers 球的演示实例中更进一步讨论的，解析解的响应与手

算结果很一致。这肯定了 SIGMA/W 耦合公式和编程正确反映了这一理论。

1

2

图 8-2 Mendel-Cryer 半圆和变形半圆（关于左轴对称）


- 158 -

Pore-Water Pressure vs. Time

Pore

-Wa

ter

Pre

ssure

Time

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10

图 8-3 Mendel-Cryer 效应：在衰减前的应力增加

pore-water pressure 孔隙水压力 time 时间

8.13 耦合分析例子

在后续章节中描述了很多说明性实例，购买软件之后的资源光盘也有很多耦合

的例子。和有关的手册一起来研究这些例子是一个很好的学习 SIGMA/W 强大功能的

途径。

SIGMA/W GeoStudio中的函数

- 159 -

9. Geostudio 中的函数

通过 GeoStudio 来定义函数可以确定土层的材料属性，修改参数为常数或其他

函数，或者确定随时间改变的边界条件。理解如何定义函数、如何使用求解器以及输

入这些参数时用户的选择是非常重要的。“x”和“y”数据之间的函数关系可以使用

以下方式来定义：

• 数据点之间的自然和加权样条曲线

• 数据点之间的线性关系

• 数据点之间的分段函数

• 并不需要数据点的基于参数的解析解

• 用户编写的编解码（动态链接库）链接 GeoStudio 数据或者第三方程序（例

如，Excel）的数据

在 GeoStudio 7.1 版本中包括空间函数，对给定的土层材料根据 x 和 y 坐标可以

返回不同的值。这个功能可用于 SLOPE/W 的强度参数和其他有限元代码的激活值。

激活值是初始压力或者温度，例如，瞬态分析时施加于地表的初始压力或温度。

选择使用何种类型的函数要依据需要而定。

多数情况所需要的函数可以从已输入的其他数据中估计出。依据用户输入的含

水量函数获得渗透系数函数就是这样的例子。如果没有完整的数据， GeoStudio 各个

软件中的材料模型可以通过估计得出需要的函数。

9.1 样条函数

样条函数是用曲线段连接相邻数据点的数学技术。不幸的是，所有的数据并不

总是能和预测的曲率很好地符合对数或指数衰减形式。岩土工程中的许多函数都有包

含拐点的双曲面。想象一下开始向下凹的含水量函数，在高吸力段则向上凸。样条曲

线法是一个经过数据点拟合曲线的有益技术，因为可以改变样条曲线的设置拟合几乎

所有类型的数据。

在 GeoStudio 中用户可以通过调整弯曲程度和输入数据点拟合的水平来控制样

条函数的形状。考虑以下两幅图。

GeoStudio 中的函数 SIGMA/W

- 160 -

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0 2 4 6 8 100.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0 2 4 6 8 10

图 9-1 在不同设置情况下的样条函数

左图中利用合理的设置，样条曲线几乎精确符合数据点。右图中有更多的和数

据大致符合的直线段。拟合和弯曲的程度通过两个“滑块控件”控制，并且可以在

0%到 100%之间变化。重要的是要记住求解器会使用样条拟合所代表的数据。用户在

函数建立过程中所看到的与当需要时求解器会使用的完全一样。

9.1.1 样条函数的斜率

有时，求解器需要的并不是所给“X”值处的“Y”值，而是所给“X”值处的

斜率。对于含水量函数来说，在求解瞬态渗流和空气流动方程中直接使用其斜率就是

这样的例子。当一个样条曲线看起来很光滑时，它的斜率可能并不如此，所以在设置

样条曲线值时必须注意。

下面两幅图是上图所示的两个函数的斜率。可以看到，在样条曲线设置中弯曲

和精确度都接近 100%的更自然弯曲的函数（左图）产生了比大致接近的函数光滑很

多的斜率函数。尽管通常不是很关键，用户应该知道正在使用的函数是否依赖于它的

斜率的正确表现。


- 161 -

-0.01

-0.03

-0.04

0.00

0.01

0.03

0.04

0 2 4 6 8 10

-0.02

-0.03

-0.05

0.00

0.02

0.03

0 2 4 6 8 10

图 9-2 样条函数的斜率

9.2 线性函数

线性函数是设置曲率为 0%，并且拟合度设置为 100%的样条函数，如下图所示。

Linear

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0 2 4 6 8 10

图 9-3 线性精确拟合

9.3 分段函数

GeoStudio 2007 有一个函数选项可以导致数据点间的“分段”。如果数据随时

间突然地变化，例如，不同日子的降雨量。当使用分段函数时，需要注意蓝色数据点

的位置。可以看到，这些函数假定步骤的开始时间是在一个数据点处，且它的持续时

间延伸至接近于但是没有达到下一个数据点。


- 162 -

Step

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0 2 4 6 8 10

图 9-4 分段函数

上述 4 类数据点函数形式在下面的图中进行了比较。在 GeoStudio，当多种函数

同时显示时，数据点隐藏，仅展示函数。

Step

Linear

Spline

100%

Spline

approx.

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0 2 4 6 8 10

图 9-5 所有数据点函数的对比

9.4 含水量函数的已知曲线拟合

含水量函数默认情况下由样条函数代表。然而，也可以用与数据相符的解析方

程来表示这个函数。对含水量函数来说，文献中存在的两种常用方法是 Fredlund 和

Xing 法以及 Van Genuchten 法，需要输入通常由土工实验室发布或提供的拟合参数获

得拟合曲线。在 GeoStudio 2007 中使用这些技术的唯一优点就是用户不必输入一大堆


- 163 -

数据点。如果知道拟合参数，就可以直接输入它们得到函数。在本书的“材料模型与

土体属性”一章中有关于这两个拟合方程的更多信息。

9.5 自定义函数

GeoStudio 2007 的一个新特征是用户可以生成自己的附加函数。在 GeoStudio

的任何需要输入函数的地方，都可以选择绕开 Geo-Slope 默认的“Y”关于“X”的

函数。可以通过定义自己的“Y”关于许多参数的函数或者关于求解器的内部参数的

函数，或是从其他程序获得的外部参数的函数代替。

附加函数可以非常简单，也可以非常复杂。考虑如下所示的简单例子，其中函

数返回的“Y”值是传入的“X”值处的正弦曲线。

//样本函数输入 x，返回 sin(x)

public class MySineCurve

{

// this is the main function calculator

public double Calculate( double x )

{

// declare the variable to return to the solver

double y;

// calculate the value to return

y = Math.Sin(x);

// return the function Y value

return(y);

}

}

如果附加函数是建立在可用数据之上，它实际上就可以在 GeoStudio 中显示出

来。如果在求解时间前数据是不可用地，函数就不会被显示。在上述代码的情况下，

显示的函数是在 0 到 10 的范围上的正弦曲线，如图 9-6 所示。

默认情况下，所有的附加函数都被传递给之前基于函数类型定义好的“X”参

数。例如，如果用户的函数是关于含水量的，输入的 X 值就是基质吸力。使用这个

输入的 X 值或是在其他数据上建立返回值，这取决于用户。

使用附加函数的可能性是无穷地。由于可以选择编写函数的计算机语言（例如，

C-sharp，.NET，Visual Basic，C++，Fortran），通过定义附加函数，用户几乎可以


- 164 -

定义任何想实现的功能。它可以只是简单的返回“Y”值给求解器，也可以在电脑上

运行整个的其他程序，读入或写出基于现在求解数据的报告，或者甚至开始第二个

Geo-Studio 分析。

Ret

urne

d Y

val

ue

Input X value

-0.5

-1.0

0.0

0.5

1.0

0 2 4 6 8 10

图 9-6 用户自定义的简单函数

input value 输入值 returned Y value 返回值

可以让求解器把它在内存拥有的任何现存的数据传给用户。例如，可以请求当

前的求解时间，现在的空气速度，空气含量或密度。用户的函数可以追踪当前的和以

前的时间步里的数据，这样就可以考虑滞后的效应。

自定义的函数生成后被赋予的每个节点或高斯积分点都会复制一份。这说明它

可以“知道”自己的位置，这样就可以生成返回建立在一些随机性或与正常数据有标

准偏差上的参数的函数。

如果用户想简单处理，可以让函数读取之前求解出的 GeoStudio 文件里的列表

式的数据，例如用户可以把 SIGMA/W 分析中的地面强度建立在先前在 TEMP/W 分

析中计算出的温度之上。

在同一库里可以有几个函数，并且在 GeoStudio 请求用户数据的对话框里会出

现一系列可用的函数和需要的输入。

最后一点，一旦建立了自定义函数，用户可以编辑它作为一个数据库文件，可

以在同事之间传阅，或者在网上出售。

总之，函数的形式是无限的。


- 165 -

如果用户需要了解更多的自定义函数的详细情况，可以参考 GEO-SLOPE 网

www.geo-slope.com/downloads 中的自定义拟合曲线（Add In Developers Kit）。

9.6 空间函数

SIGMA/W 中的空间函数可以用来定义二维域的初始压力。当第一次建立空间

函数时，用户不需要理会出现在几何模型中的等高线颜色。然而，一旦在分析设定中

设置了函数，用户可以返回分析设定命令，修改或编辑函数的数据，可以立即看到新

函数在模型中的表现。下面展示的是一个施加于渗流分析部分的初始孔隙水压力的函

数形式。

图 9-7 施加给模型的空间函数表现形式

http://www.geo-slope.com/downloads

结构单元 SIGMA/W

- 166 -

10. 结构单元

10.1 概述

本章给出了 SIGMA/W 中的结构单元公式。在 SIGMA/W 中，结构单元可能是

只承受轴向应力的杆单元，或者是承受轴向应力和弯矩的梁单元。结构单元只适用于

二维平面应变条件下的力－位移分析计算。

10.2 梁单元

在 SIGMA/W 模块中，梁单元是基于经典梁（Bernoulli）理论（Hinton、Owen,

1979）进行公式推导。这种梁单元要求单元内部的斜率和侧向位移是连续的，因此用

三次 Hermitian 共轭插值函数进行描述。梁单元的每个节点都给定了一个转动自由度

和两个方向的位移自由度。

10.2.1 梁单元的插值函数

图 10.1 展示了对于两个节点的一维单元，在 r= -1 和 r=1 时，其侧向位移 w 可

根据节点位移 a表示：

1 1 1 2 2 2

1 2

da daw N a N N a N

dr dr

其中： ,i iN N 为 i 结点的 Hermitian 共轭插值函数。

在局部坐标系 r 和全局坐标系 'x 的 n 阶偏微分关系如下：

方程 10-1 2

nn n

n n

d w l d w

dr dx

其中：l 为梁单元的长度；

图 10-1 2 节点单元

Hermitian 共轭插值函数列于表 10-1 中。

SIGMA/W 结构单元

- 167 -

表 10-1 梁单元的插值函数

插值函数

2

1 (2 )(1 ) / 4N r r

2

1 (1 )(1 ) / 4N r r

2

2 (2 )(1 ) / 4N r r

2

2 (1 )(1 ) / 4N r r

10.2.2 梁单元的刚度矩阵

对于挠曲刚度为 EI 和长度 l 的梁，其弯曲产生的变形能Πb 为：

2

2

02

l

b

EI d wdx

dx

其中：w 为梁的侧向变形； 'x 为沿着梁的距离；

SIGMA/W 中的梁单元可以是 3 节点或者 2 节点共单元边的线状物体。3 节点梁

单元被看成是 2 个 2 节点单元的组合。2 节点单元用三次 Hermitian 共轭插值形函数

列式。对于这样的单元，侧向位移可以根据 Hermitian 共轭插值函数表达如下：

1 1 1 2 2 2

1 2

e e

e e edw dww N w N N w N

dr dr

上角标 e 表示单元变量；

上式代入方程 10-1，则上述方程变为：

1 1 1 2 2 2

1 22 2

e ee ee e el dw l dw

w N w N N w Ndx dx

其中：le为梁单元的长度。

图 10-2 局部坐标系和全局坐标系下的梁单元


- 168 -

再利用方程 10-1 并忽略轴向位移，梁单元中任意点处的弯曲率可表示为：

1

1

2 2 2 22

1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2

2

2

2

40 0

2 2

e

e

e ee e

ee

e

e

u

w

dw dxd N d N d N d Nd w l l

udx l dr dr dr dr

w

dw dx

B a

其中：[B]为梁单元的变形矩阵；

{a}为节点场变量矢量，包括节点位移 u,w 和节点转动量 dw/dx；

u 为节点轴向变形；

x 为局部坐标（－1≤r≤1）；

梁单元弯曲所引起的变形能可以表示为：

1

0 12

el eT TT Te

b

la B C B a dx a B C B a dr

其中：C=EI，梁的挠曲刚度。

梁的单元刚度矩阵[ ]eK 为：

1

1[ ] [ ] [ ]

2

ee Tl

K B C B dr

在 ( ', ')x y 坐标系下的列式， 'x 轴应与梁的长轴方向一致。在 SIGMA/W 中用数

值方法进行积分估算。在单元刚度矩阵组装成有限元方程总刚之前，需要通过下式转

化到笛卡尔坐标系下：

[ ] [ ] [ ] [ ]e T e

gK T K T

对于与 x 轴倾角为 β 的梁，其变换矩阵为：

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

T


- 169 -

在 SIGMA/W 中为了定义梁，应给出模量 E，横截面积，惯性矩和激活步骤。

如果惯性矩为 0，则梁单元就变成只能承受轴力的杆单元。

10.3 梁实例

在实例说明章节包括了几个验证和使用梁单元的例子。图 10-3 种说明的就是他

们中的一个。

Distance - m

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ele

va

tio

n

-1

0

1

2

3

4

5

6

图 10-3 SIGMA/W 中梁和杆的案例

10.4 杆单元

在 SIGMA/W 中，结构单元的挠曲刚度为 0 时就是杆单元，只能承受轴向应力。

因此，杆单元节点不能有转角自由度。杆单元可以沿线性物体设置，不必与土体单元

边界一致。它可以横穿单元，并且只能和区域点连接。

10.4.1 杆单元的插值函数

与那些用于平面实体单元的插值函数类似的插值函数可以用来表达杆单元的函

数公式。在局部坐标系 r(-1≤r≤1)下的插值函数列于下表中：


- 170 -

表 10.2 杆单元插值函数

函数如果节点为 3，则函数表示如下

1

1(1 )

2N r

21(1 )

2r

2

1(1 )

2N r

21(1 )

2r

2

3 (1 )N r ___

10.4.2 杆的单元刚度矩阵

对于轴向刚度 EA，长度 l 的杆，轴向变形引起的变形能Πa 为

21

0'

2a

EA dudx

dx

其中：u 为沿杆的轴向位移；

'x 为沿杆的距离。

杆单元中，轴向变形可以根据节点位移通过插值函数得到：

1

ne e

i i

i

u N u

其中：n＝2 或 3，杆单元的节点数。

角标 e 为单元变量。

e 阶偏微分可以根据插值函数的偏微分表示：

1

11 2

2

1

31 22

3

, for a 2-noded element


e neii

i

e

e

e

e

e

dNduu

dx dx

udN dN

dx dx u

udNdN dN

udx dx dx

u

for a 2-noded element 用于 2 节点单元

for a 3-noded element 用于 3 节点单元

其中：{n}为轴向位移矢量；

n 为杆单元节点数，2 或 3。

节点 i 对应的 'x 的插值函数的偏导数可以表示为：


- 171 -

1

e

i i idN dN dNdrJ

dx dx dr dr

其中：r 为局部坐标系，-1≤r≤1；

J 为雅可比行列式＝ / 'dr dx

代入计算后， / 'du dx 的表达式变为：

1 11 1

2

1

1 31 22

3

1



e e

e

e

e

e

udN dNduJ

dx dr dr u

udNdN dN

J udr dr dr

u

= J B a

其中：[B]为杆单元的变形矩阵；

{a}为节点轴向变形矢量。

可以得到杆单元轴向变形引起的变形能表达式：

1

1

0 1

elT TT Te

a a B C B a dx a B C B a J dr

其中：C＝EA，为杆单元的轴向刚度矩阵。

单元刚度矩阵[ ]eK 为：

1

1

1

e TK B C B J dr

在 ( ', ')x y 坐标系下的列式， 'x 应与杆的长轴方向一致。在 SIGMA/W 中用数值

方法进行积分的估算。在单元刚度矩阵进行组装成有限元方程总刚之前，可以通过与

梁单元类似的方法转化到笛卡尔坐标系下。

杆单元可以在不同的加载步骤下被激活。如果激活步设为 0，杆单元就可以认

为是从步 1 激活而来的；如果激活步为非 0，则认为它是从激活步而来。

在杆单元中，设定轴向拉力为负值和压力为正值。两端节点的反应力可以用向

内的箭头表示拉应力和向外的箭头表示压应力，这样的表示方法可以应用在设定步骤

网格的其它地方，并在激活杆单元之前可以预加轴向预应力。


- 172 -

10.5 杆实例

图 10-4 展示了杆单元如何被用于构架和框架分析。该实例的细节可参考实例说

明章节。

1

2

3

4

56

90 deg.

30 kN20 kN

Hand cal = -34.644 kN

Hand cal. = 17.318 kN

Distance - m

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ele

va

tio

n -

m

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

图 10-4 框架中的杆单元

hand cal 手算

SIGMA/W 分步施工序列

- 173 -

11. 分步施工序列

SIGMA/W 可以用来模拟施工顺序或阶段。在有限元中这意味着增加或者删除

网格单元。在 SIGMA/W 中，表现为激活或者不激活区域。网格对于所有的分析是相

同的，但是区域可以激活或者不激活来模拟，例如，填筑或者移除土体来创建一个开

挖工序。

本章概述模拟涉及的步骤，例如，坝基建设过程的填满或者移除地表进行开挖。

11.1 基本概念

SIGMA/W 可以将一系列分析串联起来，所有的分析依序排列，前面分析的结

束时间是后面分析的开始时间。

每个分析中，区域激活或者不激活，通过对区域赋予或者移除材料来实现。

对于每一个分析，边界条件都是唯一的。

在任何一个步骤中，想要施加或者移除结构单元，通过将梁或者杆的材料属性

赋给线几何对象，或移除。

需要知道的是：对于所有分析，网格和几何是不变的，对于每个分析工况，材料属性和边界条

件是独一无二的。

11.2 填筑示例

考虑通过一系列填筑来建造坝基的例子。下面（图 11-1）是一个典型的情况。

通过 8 次填筑来形成坝体，加上初始也就是在填筑之前地基中已知的应力状态，需要

九个分析步骤，如图 11-2 的“模型树”所示。

图 11-1 填筑示例

分步施工序列 SIGMA/W

- 174 -

图 11-2 分析树

第一次分析是建立初始应力状态。然后是分八次填筑，由基础到填筑完成，每

次填筑抬高一米。

采用总应力分析，所以不涉及“真实”的时间，分析关注的是给出每个工况步

的分析结果，以及填筑过程中分析结果随时步的变化。

在 SIGMA/W 术语中，填筑 1 的“上级目录”是初始应力分析或者反过来说，

初始应力分析的“下级目录”是填筑 1。这种算法的意义是“下级”总能得到或者继

承“上级”的初始条件。所以，在 SIGMA/W 增量形式的背景下，每次分析都是一个

增量，增量逐渐增加形成初始条件。

下面是前三步分析的图示。

图 11-3 初始状态的外观

图 11-4 填筑 1 的外观


- 175 -

图 11-5 填筑 2 的外观

注意地基的初始状态的交叉影线。这表明分析中使用体积力（自重）来计算土

体应力状态。对于填筑 1，交叉影线从地基消失，提高到第一次填筑的地方。对于填

筑 2，体积力转移至第二层。图 11-1 显示的第八层和顶端的最后一层。总的来说，体

积力总是施加在第一次激活的区域。

这里需要指出的另外重要的一点是每层填筑必须是一个独立的几何区域。

每次分析需要一定的时间，使时间连续，多部分析的结果就可以同时显示，如

图 11-6 的情况。

Settlements

Y-D

ispla

ce

ment

(m)

X (m)

-0.03

-0.06

0.00

0.03

0 20 40 60 80 100

图 11-6 沿原始地面线的沉降情况

settlements 沉降 displacement 位移

SIGMA/W 可以选择补偿，由于新土层施加，土层自重引起的压缩沉降。对于

每一次填土，SIGMA/W 增加当前的位移到单元节点坐标来计算单元自重和体积，然

后再计算重力引起的节点力来模拟填筑。增加位移相当于增加单元的重力，这个重力

分步施工序列 SIGMA/W

- 176 -

相当于增加土层来补偿建设过程。基本上来说，这表明充分的填土来补偿由于建设过

程的位移，目的是建设坝基到一个指定的设计高度。

选项“根据地基沉降调整填筑高度”必须谨慎的选择。仅在不考虑这个选项计

算出一个实际结果后，再选择这一选项，作为一个可能的改进。

关于这个例子的细节在案例说明章节有详细解释。

11.3 开挖示例

模拟开挖的过程与模拟填筑相类似，只是开挖是将作用在区域的材料移除，从

而使区域不激活。图 11-7 和 11-8 说明了土层的开挖。

图 11-7 第一层的开挖

图 11-8 第二层的开挖

这个案例是关于水位线以下的开挖，所以水力边界条件根据开挖的序列来改变。

注意上面两个图的水力边界条件如何根据开挖面来变化的。这进一步说明了对于每一

个分析边界条件是不同的。

如上所述，开挖与填土是相似的，可以通过在任何一个荷载步不激活区域来模

拟从顶端的开挖过程（或者在隧道的情况下，从中心到衬砌）。当区域被移除，在剩


- 177 -

余区域被应用了一个向外的拉力，不像填筑区域由于土自重增加的力是已知的，开挖

区域使用和移除单元靠近的单元边界存在的总应力。这样，作用在 X 向和 Y 向的实

际总应力被用来作为单元节点的节点力。

注意：当执行开挖文件时需要初始应力文件。没有初始应力条件，不可能计算开挖引起的卸荷

力。在一些靠近结构部分的开挖情况，最好手动使用边界条件确定开挖力，而不是使用单元应

力。这在 Berlin Wall 案例有介绍说明。

11.4 有支撑的开挖

处理结构单元和填筑或者开挖很相似。结构单元可以在分析中增加或者移除。

图 11-9 说明了一个支撑开挖的对称分析的的左半部分。

图 11-9 支撑开挖的过程中的两个步骤

左边的图表明板桩墙在原来的位置和第一部开挖的状态。右边的图说明第二次

开挖后，施加第一道支撑的情况。

11.5 结束语

SIGMA/W 具有强大的多工况分析功能，可以方便的模拟各种施工工序，然而

在模拟之初仔细的计划也是必不可少的。记住几何和网格对于所有的分析必须是相同

的，边界条件、材料属性和结构组件对于每一步分析是可以改变的。

在案例章节的的多数例题都是多工况分析，对于这些可能性和过程的细节可以

通过研究这些实例来学习。

数值问题 SIGMA/W

- 178 -

12. 数值问题

本章讨论几个用于求解应力－应变偏微分方程的数值问题，包括非线性土体本

构模型以及非线性本构模型如何被处理。本章也讨论了 SIGMA/W 程序的一些特点，

这将有助于评估所得解的收敛性，例如：可以在计算过程中绘制收敛数据图表，发现

问题可以及时中止计算，然后调整模型重做分析，而不是等到整个求解过程结束后再

重新求解，加快分析进程。

12.1 非线性分析

SIGMA/W 能进行涉及非线性材料属性的分析。有限元平衡源于线性静态工况，

对于非线性的材料属性，全局刚度矩阵[K]不再是线性的，需要一个能达到收敛解的

迭代次数。有关非线性分析程序的其他资料可以从有限元书籍中获得，如 Bathe

（1982），和 Zienkiewicz and Taylor (1991)。本节将详细论述非线性增量分析中与收

敛准则和应用 SIGMA/W 估算极限荷载有关的一些方面。

概括地说，非线性分析中的基本问题是找到分析对象在外力作用下对应的平衡

状态。如果这些荷载是时间的函数，在 t 时刻，非线性平衡问题可以用如下的方程表

达求解。

方程 12-1 0t t tR a F

式中：Ψ＝节点不平衡荷载；F＝外部节点荷载；R＝对应于单元应变的节点荷

载；a＝节点位移。

假设计算从平衡（或者，至少接近平衡）状态开始，（Ψt-1）约为零。矢量

R B d 在单元内应力的基础上计算。在 SIGMA/W 中，外部荷载用连续样

条函数进行描述，该函数表述作用在系统上的总荷载与时间的关系。因此，对于任意

一个特殊的时间增量 t，｛tF｝是一个增量荷载，通过 t 和 t＝1 时刻荷载函数的差值

求得。

SIGMA/W 用 Newton Raphson 方法迭代计算方程 12-1，方程近似的用如下方程

表示：

方程 12-2 1i

i i iaa

SIGMA/W 数值问题

- 179 -

式中：i 是迭代次数计数器，并且上标 t 容易被忽视。对于时间步 t，在开始迭

代运算过程后，前一个时间步（如，时间 t-1）的位移用以下方程初始估计：

1 1t ta a

如果方程 12-2 的推导方程如下所示表示：

T

RK

a a

其中： TK ＝切线刚度矩阵。

作用在节点位移的迭代修正值用以下方程计算：

i i i

TK a

或

1

i i i

Ta K

一系列后续的迭代如下所示：

1 1

1

it i t i

k

a a a

在 Newton-Raphson 方法中，刚度矩阵是荷载位移曲线的切线值，并且在每一步

迭代中更替。这一过程如图 12-1（a）所示。对于涉及到应变软化材料的分析，这一

过程被改成刚度矩阵不再随迭代更替，在第一次迭代所用刚度矩阵保留在整个时间步

中，如图 12-1（b）所示。在 SIGMA/W 中，为了保持计算稳定性，初始模量在弹性

力学行为的基础上计算得到。

值得注意的是，在一个加载步内，荷载项被作为第一次迭代的外部荷载施加；

对于后续迭代，它是作为不平衡力施加的。

在时间 t 由增量荷载｛tF｝产生的增量位移可由方程 12-1 计算得到。这些增量

位移在时间增量开始就被增加到位移上。在位移值输出文件中，SIGMA/W 列出了在

时间步骤 1 开始时的每一个节点的总位移值。


- 180 -

a）切线模量的迭代图解

load荷载 displacement位移 extemally applied load极限应用荷载 unbalanced load不

平衡荷载 end of load increment终止荷载增量 start of load increment开始荷载增量

b）常数（初始）模量的迭代图解

图 12-1 非线性分析迭代图解

12.2 收敛

在所有的非线性分析中，有必要使用迭代技术计算出可以接受的解。当土体的

性质依赖于计算结果时，就使用非线性分析。例如，土体的变形模量 E 依赖于地应力


- 181 -

状态，而应力依赖于土体的刚度。这就意味着分析不得不计算很多次直到土体的性质

和计算所得的应力合理匹配。当分析得出了可以接受的匹配结果后，解被认为是收敛

的。作为用户，必须决定收敛条件是什么。

当满足位移收敛准则时，分析就被认为是收敛的 (或者取得了收敛)，并且

SIGMA/W 将终止迭代过程，进入下一时间步。作为一个公认的指导原则，1%～2%

的收敛准则和最大 25 的迭代数对于大部分问题都足够了。

12.2.1 收敛参数定义

最大迭代次数－这个参数限定了迭代的次数，执行求解器以期得到一个解。如果

迭代的次数达到了设定的最大值，计算将停止运行或者运行下一步。

容差（％）：位移法则－该参数是当前节点在加载步中当前节点(增量)位移矢量

范数参照总位移矢量（增量）的期望百分数变化值。如果这个百分数差值小于指定的

容差，则迭代过程停止。反之，迭代过程继续，直到达到最大迭代次数。

两个标准可以用矢量的欧几里德范数表示。矢量（欧几里德）范数是其大小的

度量方法，定义如下：

1/ 2

2

1

n

i

D d

P P

其中： DP P ＝矢量 d 的范数，d＝矢量数，例如，对于特定迭代的节点增量位

移；n＝矢量维数。

例如，节点位移范数， aP P，可用如下表达式表示：

2 2

1

( )N

xn yn

n

a a a

P P

其中：N=节点总数， xna =节点 n 的 x 向增量位移， yna =节点 n 的 y 向增量位

移。

位移收敛准则比较迭代中的增量位移范数和一个时间步中的累积增量位移范

数。此准则表达第 i 步迭代的百分比率，并可用下式表达：

1

1

100%i

dik

k

a

a

P P

P P


- 182 -

其中： d =用户自定义的容差值， a =在一个荷载步的累积节点位移1

1

ik

k

a

，

a =第 i 步迭代节点矢量增量位移。

12.2.2 收敛曲线图

SIGMA/W 的求解器允许用户通过图形查看收敛过程。无论何时，一个大的迭

代数是得到解所必需的，图表示法要比依赖 SOLVE 窗口中显示的数值数据更有利于

评价收敛过程。通常地，收敛参数将趋于合理，稳定，常量收敛值。图形化显示收敛

参数可以更加容易地判断是否满足收敛准则。

解的差异或者不同精度的解与迭代次数图可以通过点击 Graph（图形）按钮显

示。当分析的问题逼近极限状态时，这个功能尤其有用。用户可以在分析过程中查看

收敛图，或者打开数据文件和显示前一个计算问题的收敛图。

在迭代过程开始时，位移矢量范数可能剧烈震荡。收敛图可以图形化查看收敛

过程和可视化判断收敛情况。

图 12-2 显示了 SIGMA/W 分析非粘性土体的承载力例子的收敛图。

图 12-2 总共 44 加载步时位移范数收敛图

绘制了不同解的差异，图 12-2 似乎表明解收敛的相当好。

小技巧在于：设定迭代次数的最大值为一个很高的数，并且设置收敛容差为一

个很低的数对于判断收敛有时是有用的。这样很快通过一个可接受的收敛值，并且这

事实上已经相信已经取得了一个可接受的、稳定的解。在求解收敛准则方面需利用所


- 183 -

学知识选择一个可接受的标准，在一些情况下，可以放松这个标准；而在另外一些情

况下，可能必须严格这个标准。

12.3 极限荷载－使用增量加载

SIGMA/W 有限元方程是一系列的平衡方程。驱动（施加）力与由土体强度引

起的抗力相互平衡。施加荷载因此被系统最终的阻力限制。在 SLOPE/W（另一个

GEO-SLOPE 的产品模块）术语中，极限荷载是导致安全系数等于 1.0 的荷载。

施加荷载超过极限荷载的模拟结果通常是数值不稳定的，也就是说，结果不能

收敛和解的震荡幅度过大。不幸的是，极限荷载并不总是已知的。在经过一系列超载

步后的不收敛可能才暗示已经达到了极限荷载。

在某些情况下，用户可能对分析接近极限平衡点的东西更感兴趣。可以采用的

一个技巧是用指定位移代替施加荷载。如果想得到材料的极限强度，对于应变软化模

型可能更具有强制性。当施加荷载接近极限值时，除非使用了应变控制来加载，否则

可能会遇到收敛的困难。在例题说明章节有几个这样的例子说明变形控制的优点。

另一个获得解的技巧在于，当接近极限状态时，选择自适应荷载步选项。这样

将把荷载步细分到一个指定的初始荷载的最小值比值。这个方法在例题说明章节中的

承载力分析中进行说明。

记住 SIGMA/W 不能分析大位移或大应变这一点是重要的。因此，进行分析时

刚好过了极限平衡点将会产生不切实际的结果。

12.4 张拉区

张拉区的影响在 SIGMA/W 中可以直接处理。可以考虑山顶有裂缝的陡坡地工

况。如果材料有抗拉强度，能量将会储存在其中，阻止土体出现变形直到出现裂缝的

临界点。但是，如果土体没有承受拉的能力，裂缝将会形成同时储存的同等能量将会

进一步导致变形。为了防止土体储存代表抗拉强度的能量，可以通过设置低弹性模量

使得土体很软。

通常，拉力的影响可通过 E 模量函数降低方式实现，E 随着应力水平变得相当

低时也会变得很小。但是也没必要变得太小，因为这可能造成收敛困难。低于理论材

料性质的收敛解要优于具有理想性质但收敛差的解。


- 184 -

12.5 方程求解器

SIGMA/W 有两类内置求解器：直接方程求解器和并行直接求解器。两者在某

些方面各具特色。

如果想用高斯消元法直接求解系统方程，可以选择直接方程求解器选项。直接

求解的处理速度依赖于方程矩阵的带宽（在求解域内所有单元最大节点数的差分）。

换句话说，当求解问题简单的时候,系数矩阵带宽很小，直接求解很快；但是当求解

问题复杂时，系数矩阵带宽很大，求解速度很慢。SIGMA/W 自动对节点分类，以便

于带宽最小，这有助于使用直接求解器时运行速度较快。默认选项是方程直接求解器。

如果网格划分的很庞大，则选择直接并行求解方程选项。并行求解器存储压缩

格式的矩阵，消除所有 0 值，并且采用很多更先进的方法使得求解大规模方程系统更

具效率。如果使用多核或并行电脑，它同时提供了在计算机上进行多处理器运行功能。

这个求解器的缺点在于当模型尺寸更小时运行有点慢。

如果有疑虑，进行试算，然后选择其中性能表现最好的那个。


- 185 -

结果可视化 SIGMA/W

- 186 -

13. 结果可视化

13.1 前言

SIGMA/W 的主要特点就是其可以通过各种方式来查看、评估、显示结果，这

对于有限元分析来说是非常重要的，因为分析结果将是大量的数据。很多数据只能通

过等值线云图或图形来解释，同时很多时候查看单元特定的节点或高斯积分点的数据

来了解细节是很必要的。

本章介绍和总结了 SIGMA/W 在查看，评估和可视化结果时的功能。

13.2 荷载步

一些 SIGMA/W 分析，例如原位分析或者单步的非耦合固结分析，采用一个荷

载步求解。而另一些例如连续的填筑，则要用到多个荷载步。等值线云图能让用户看

到单个荷载步或多个荷载步产生的数据。假如激活单个荷载步，用户就能查看变形的

网格或者压力、应力的等值线云图所表现的结果数据。假如在等值线云图中激活多个

荷载步，那用户就看不到压力等值线云图，但可以绘制任一参数随荷载步变化的图表，

不论何种情况，用户看到的数据都是该荷载步相应的土体中的真实情况。与求解器计

算荷载步之间的增量变化不同，等值线云图显示了所有增量步后的最终结果。只查看

增量差的选项在下面会探讨。

13.3 可用于云图表示的数据类型

除了位移，边界力，孔隙水压力，所有的计算参数都在单元高斯点计算。高斯

值就是从高斯点映射到节点上所获得的节点值，便于进行结果查看和绘图。在下面的

章节中将会讨论映射高斯点数据至节点，如果节点值表现的不一致，用户可以查看实

际计算的高斯点数据以验证任何疑虑。

一些计算结果参数可以直接从所分析的数据文件中获得，还有一些参数则需要

从输出文件中的值计算而得。假如用户使用附加函数或本构模型，就可以利用这些特

性将自己的数据写进结果文件中，以便之后绘制曲线图或等值线云图。

以下的三个表格显示了各种类型的后处理程序计算得到的应力应变数据以及如

何计算的方程，这些数据可以用于结果可视化分析。由求解器直接计算得到的参数不

包含在表格中，尽管它们也可以用来进行可视化分析。

SIGMA/W 结果可视化

- 187 -

表 13-1 等值线云图中计算的力与位移参数

参数方程

xy 位移 ( )xy 2 2

xy x y

xy 力 ( )xyF 2 2

xy x yF F F

表 13-2 等值线云图中计算的应变参数

参数方程

最大应变 max( ) 2 2

max

( ) ( )

2 2 2

y x y x xy

最小应变 min( ) 2 2

min

( ) ( )

2 2 2

y x y x xy

最大剪应变 max( ) 2 2

max

( )

2 2

y x xy

体应变 ( )v v x y z

偏应变 ( )q

2 2 2 21 3

22x y y z z x xyq

表 13-3 等值线云图中计算的应力参数

参数方程

xy 位移 ( )xy 2 2

xy x y

xy 力 ( )xyF 2 2

xy x yF F F

最大总应力 max( ) 2 2

max

( ) ( )

2 2 2

y x y x xy

最小总应力 min( ) 2 2

min

( ) ( )

2 2 2

y x y x xy

平均总应力 ( )p

3

x y zp

法向总应力 ( )n cos 2 sin 2

2 2

x y x y

n xy


- 188 -

切向总应力 ( )t sin 2 cos 2

2

x y

t xy

x 向有效应力'( )x

' ( )x x u

y 向有效应力'( )y

' ( )y y u

z 向有效应力'( )z

' ( )z z u

最大有效应力'

max( ) '

max max( )u

最小有效应力'

min( ) '

min min( )u

平均有效应力 ( ')p '

3

x y zp u

法向有效应力'( )n

' ' ' '

' 'cos 2 sin 22 2

x y x y

n xy

切向有效应力'( )t

' '

' 'sin 2 cos 22

x y

t xy

最大剪应力 max( )xy 2

2

max 1 32

y y

xy xy

偏应力 q 2 2 2 21

62

x y y z z x xyq

13.4 节点与单元信息

为了帮助用户理解会输出哪些类型的结果数据，有必要了解数据是如何获得的。

简要的讲，建立问题的几何模型，定义材料属性，应用已知的水头（或压力）或流量

边界条件，求解器在每个单元的高斯点装配土体属性和几何信息，并将之应用到每个

节点的渗流方程，因此在每个节点应用了边界数据、土体属性的插值数据和几何数据，

然后求解器计算每个节点方程的未知值——水头或流量。高斯点数据被用来建立节点

方程组，所以输出文件中的高斯点数据是求解器实际使用的数据。

在 GeoStudio 中，使用查看结果信息命令能够查看模型中所有节点和高斯点的

输出数据。用户可以移动鼠标点击任意单个节点来查看输出数据，也可以按住 shift


- 189 -

键选择多个节点。除了选择单元的结点外，还可以得到同一位置高斯点的数据，多选

后可以查看数据列表。

图 13-1 是有限元网格中每个节点可查看的信息和数据类型。数据类型分为多

种，每一种都有相关的数据选项，同时还有节点位置信息。实际上，节点信息包括了

三个有限元分析的主要因素：模型几何、土体材料属性、边界条件。

图 13-1 节点信息查看

图 13-2 是与上图节点对应的高斯点的信息，位于节点右下方，图中的阴影区就

是高斯点的贡献区域，在这种情况下，单元是矩形的，高斯区域等于单元面积的四分

之一。

图 13.2 单元高斯点信息查看


- 190 -

13.5 节点与高斯点数据绘图

画图命令允许用户根据时间，地点或这两者兼具的函数所得的计算值来画图。

GeoStudio 过去的版本中，所有的画图都基于选中的节点，改进后，GeoStudio 要求用

户基于一点、多点、线段、或点域来选择图表数据的位置，并且可以在单个图形中选

择所有三种数据类型的位置。图 13-3 所示为大坝横截面上所有三种图形数据的组合。

使用这种类型的数据选择的优势在于任何图形中数据的类型与位置都能够保存

与命名。每次返回绘制图形命令，用户不必重新绘制它们，可以直接从图形保存列表

中选取。即使用户改变了网格，模型也能知道离所选图形最近的新节点，并且用最新

的解答绘制图形。

图 13-3 绘图数据选择选项（点、线、面）

SIGMA/W 中的绘图选项是很强大的。在很多情况下，用户想要得到的数据的类

型和图形都能在程序内部完成。在很少情况下，用户使用原始图形数据绘制表格并且

直接可以粘贴到 Excel 等外部程序中进行额外的绘图。

在选择的节点中，画图命令允许用户绘制包括在 13-4 任一列中计算节点参数值

的图形。

表 13-4 可用于画图的数据

xy 位移 x 边界力

x 位移 y 位移

y 边界力 xy 边界力

x 总应力 y 总应力

z 总应力最大总应力

最小总应力平均总应力

x 有效应力 y 有效应力

z 有效应力最大有效应力

最小有效应力平均有效应力


- 191 -

法向有效应力切向有效应力

xy 剪应力最大剪应力

偏应力孔隙水压力

x 应变 y 应变

z 应变 xy 剪应变

最大应变最小应变

最大剪应变体应变

偏应变泊松比

不排水剪切强度孔隙比

切线模量

弯矩(梁单元) 转动(梁单元)

轴向应力(梁/杆单元) 剪应力(梁单元)

表格中的参数均是因变量。任何因变量均可由下列自变量绘制出：节点 x 坐标，

节点 y 坐标，节点间的距离。

假如使用更多的时间增量，下列的自变量同样也能得到：x 方向位移，y 方向位

移，x 方向应变，y 方向应变，xy 方向剪应变。

用户选择的图形绘制的自变量影响用于绘图的节点与时间步的选择：

假如图形自变量是 x 方向位移，y 方向位移和距离，那么可以通过坐标节点或

者节点间的距离来绘制所选节点的参数值。在图形中，每个所选的时间步均可画为一

条单独的线。

如果自变量是时间，绘制每个选定节点的参数值随时间的曲线，每个节点在图

中都是一条单独的曲线。

13.5.1 绘制 Y 方向总和随 X 方向平均值的图表

在一些情况下，一个非常有用的绘图选项是绘制所有被选取节点的因变量的求

和随所选自变量的平均值的变化曲线。设想这么一个例子，绘制一个基础的荷载变形

曲线，过去必须提取基础上每一节点的力与位移数据，把数据导入 Excel 求取力的总

和与平均位移；现在这些均能自动完成，如 13-4 所示，在图形中，选择所有基础下

的节点并且绘制力的总和随平均位移的变化曲线。

在 GeoStudio 分析工具中，这一绘图选项可以用在许多情况下。


- 192 -

图 13-4 基础的力-位移图形

radius 半径 round footing 圆形基础

13.6 “无”值

在 GeoStudio 中，如何区分节点数据中为零的数据和没有值的数据？当保存数

据或导出、粘贴数据到另外的程序（例如 Excel），数据列表中没有值的数据被标记

为“无”。没有值是一种简单的数据类型，意味着与当前分析参数不相关。例如之前

提到的图 13-1，节点边界流量值为空，这是因为内部无边界条件作用节点，没有节点

流量。

“无”或者数据缺失，在 GeoStudio 并不将其错误地设置成零。下图所示为施

工过程中孔隙水压力随时间变化的曲线。在 0 时刻，土体表面高程是 10m，在 10 秒

时，增加了 2m 厚的土层，8010 秒时又增加了 2m。注意到土体每上升两米，压力值

并不像先前开始时显示的为零，数据缺失了，不能被导出到报告或者绘制曲线图。


- 193 -

图 13-5 缺失的数据未以零值显示

pore-water pressure 孔隙水压力

13.7 等值线

用户可以使用画等值线命令，选择基于水位计算的参数绘制等值线，可以是孔

隙水压力、位移或者是应力。用可以将多个时步的等值线绘制在一起，以方便追踪值

相等的等值线的空间位置随时间改变，例如潜水面位置随时间推移的变化。

13.8 莫尔圆

一个点的应力状态可以用莫尔圆表述，如图 13-6

Effective Stress at Node 655

Normal

20 30 40 50 60 70 80 90 100

She

ar

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

sx

sy

36.421

-24.559

85.488

26.241

95.668

图 13-6 单元中应力莫尔圆


- 194 -

可以查看单元节点或高斯点的莫尔圆。节点应力等于相邻的高斯区域应力的平

均值。

莫尔圆可分为总应力莫尔圆与有效应力莫尔圆。

可以像查看应力莫尔圆一样查看应变莫尔圆。

13.9 动画

新版 GeoStudio 2007 能够把一系列单个时间步的瞬时结果制成动画。动画的特

点是连续展示所有时间步结果的变形网格、位移矢量或等值线云图。保存更多的时间

步将会提供更为完整的动画，同时也要求更多的磁盘空间。

变形的网格与位移矢量可以被放大以提高可视化效果。在下一章节中，将会讨

论放大系数的量级。

13.10 位移查看

可查看保存的任一时步位移，通过变形网格（图 13-7）或矢量显示（图 13-8）。

图 13-7 放大系数为 50 的变形网格

图 13-8 位移矢量


- 195 -

一般来说，变形网格比位移矢量更能清楚地展示位移结果。矢量显示对于某些

区域有用，但对于整个网格，由于矢量与位移大小成比例，因此会在某些区域比较长，

而另外一些区域比较短。

位移只能在单个时间步中查看，连续的位移可以用动画的方式查看。

因为大多数位移太小，如果按实际大小绘图，将不能清楚地看出结果，用户可

以指定放大系数来控制位移显示的大小。当用户在放大系数编辑框中输入数值后，最

大长度编辑框就会显示能够画出的最大位移。用户可以通过指定放大系数或最大长度

值来控制位移长度。放大系数通过如下关系来计算：

放大系数 = 最大长度*比例*单位转换/最大变形。

假如用户想查看各种分析的位移结果，可以选择放大系数或者矢量长度，对显

示不满意时可以重新调整系数以获得更好的结果显示。

13.11 映射高斯点至节点

SIGMA/W 基于节点处参数的值进行等高线计算。因为位移和边界力的计算和

储存都在节点进行，所以这些参数可以直接用于云图绘制，而另外一些参数储存在单

元高斯点，因此必须将单元高斯点的结果映射到节点才能作等高线图。

三角形单元，高斯点值映射基于穿过三个高斯点的面。单节点积分，高斯点的

值就是节点的值（即单元内高斯点的值是常数）。

四边形单元，高斯点的值通过插值函数映射到节点（关于插值函数的介绍，请

参看附录说明），方程：

x N X

x = 在高斯点外映射的值，在局部坐标系下大于 1

<N> = 形函数矩阵

{X} = 高斯点的值

形成单元系数矩阵，单元节点的局部坐标与高斯点的局部坐标成倒数，以图 13-9

为例，单元四个高斯点向外映射，在单元节点处的局部坐标 1.7320 是高斯点坐标

0.57735 的倒数。


- 196 -

当高斯点处的参数值变化较大时，这种映射方法能够避免节点处的误差。例如，

假如要做体积含水量的等高线，一些单元高斯点处的含水量变化超过了体积含水量函

数。映射如此大的变量将会造成节点含水量远超体积含水量函数给出的值。

单元内高斯点处参数值的剧烈变化经常意味着数值困难（节点处的尖峰就是问

题的一个体现），通过细化网格能够减少尖峰，区域内更小的单元将会导致在单元内

更小的参数值，这样就能降低不合理映射的可能性。

图 13-9 具有四个高斯积分点的单元角点局部坐标

element gauss points 单元高斯点 element corner nodes 单元节点

13.12 云图数据

很多计算值都能用来绘制等值线云图，包括上面提到的节点上的任一信息。图

13-10 就是地基中超孔隙水压力的等值线云图。


- 197 -

10 20

30 40 50 60

图 13-10 超孔隙水压力等值线云图

等值线云图对话框，如图 13-11 所示，显示了所选择参数的数据，在这个例子

中，孔隙水压力 0~69.8324kPa。SIGMA/W 计算出开始绘制等值线云图的值，等值线

云图间距，以及等值线云图的数量。这些都是默认值，默认值很少能给出一份完美的

图形。问题在于数据范围内有一些数据干扰，通常可以通过调整等值线云图参数来绘

制更适合的等值线云图。默认值可以快速出图，但也许并不合适。

通过几次迭代得到的等值线云图是有意义的，并且能提供预期的信息。等值线

云图的颜色与阴影部分在软件的在线帮助上有说明。当等值线云图绘制完成后，就会

被命名与保存，再次查看时就可以直接调用。


- 198 -

图 13-11 等值线云图编辑框

通过选定等值线云图范围，可以排除一些小的数值噪点，或者通过指定某些单

元的等值线云图数据来忽略一些小的数值噪点。

SIGMA/W 案例说明

- 199 -

14. 案例说明

本章展示了一般应力与变形问题的分析案例。通过案例，一方面解释怎样对问

题建模，怎样定义边界条件，怎样计算并使用初始条件；另一方面通过案例验证

SIGMA/W 理论公式的正确性和可靠性。

这些例子对于学习 SIGMA/W 的特点与功能是非常有用的，每个问题的数据输

入文件与计算输出文件包含在每个案例的 SIMGA/W 文件中。本章的许多图表可以用

来作为了解软件强大的可视化功能的有效方式。

每一个例子的说明文件都描述了分析问题的细节，并对计算结果进行了讨论，

这些文件与 GeoStudio 数据文件有着相同的名称。

案例说明 SIGMA/W

- 200 -

14.1 SIGMA 教程

这是一个简单的入门案例，这个案例在大多数土力学教科书中都有分析说明和

如下图所示的应力等值线。SIMGA/W 也把它作为一个好的学习基本原理的案例。

Tank File Name: SIGMA Tutorial.gsz

Round tank - 40 kPa pressure

Symmetric axis

Upper soil

Lower soil

Distance (m)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Ele

va

tion

(m

)

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

5

10

15

20

本案例包含一个完整的视频教程，一个好的学习方法是重复观看，以学习所有

的建模步骤和过程。


- 201 -

14.2 梁的案例

本例子分析了在各种荷载条件下，结构构架中一系列梁和杆，包括悬臂梁、简

单梁、分段梁和杆。

一个重要的意义在于结构单元没有连接常规的连续单元。

SIGMA/W 计算了轴力，弯矩和剪力，并与手算值比较。

File Name: Beam examples.gsz

Distance - m

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ele

va

tio

n

-1

0

1

2

3

4

5

6

在所有的例子中，SIGMA/W 计算所得的结果与手算值精确匹配，由此可验证

SIGMA/W 的结构单元是正确的。


- 202 -

14.3 桁架

本例子是关于结构桁架分析。桁架由只受轴向力，不受弯曲力的杆单元组成。

点荷载施加在桁架的两个地方。

一个重要的意义在于杆单元与连续单元并无连接，表明它们可以独立于连续体。

1

2

3

4

56

90 deg.

30 kN20 kN

Hand cal = -34.644 kN

Hand cal. = 17.318 kN

Distance - m

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ele

va

tion -

m

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

桁架中的轴向力可以通过手算计算得到，SIGMA/W 中计算得到的力与手算值

精确匹配，可验证 SIGMA/W 的杆单元是正确的。


- 203 -

14.4 斜梁上的法向应力

本案例主要是为了测试水平、竖直、倾斜梁的法向应力分解成有限元等式需要

的 x 方向，y 方向力。

These examples verify that normal stress BC'sapplied on lines in space cause movement in the samedirection as the BC arrows.

Black arrows indicate correct resultant displacements

File Name: Normal stress on inclined beams.gsz

本案例计算荷载作用于斜梁上引起的弯矩和法向应力，验证梁的可靠性。


- 204 -

14.5 梁与桁架验证

本案例验证从桁架与杆单元和梁单元上获得的相同的力，同时也说明了如何建

模铰链和验证弹簧。调整轴向力、剪力、力矩、旋转、位移。

F=-25

y disp=0.104

Shear 25

M=0

R=0.0039

M=0

R=0.0039

M=125

R=0

M=31.25

y disp 0.007

M=62.5

S=25 F=-25

M=0

S=0

y=0.0325

R=0.0078

F=-30

y=-0.225F=-20

Beams with no inertia and solid (1 element)

to represent Truss case.

M=0

R=0.197 M=62.5

S=25

F=-25

y disp=1.03

R=0.213

S=21.8

R=0.213S=21.8

R=0.213 Stress -10

M=31.25

y disp=0.008

Hinge: two points with zero I beam between

F=-30

y=-0.225F=-20

R=0.0007

S=11.75R=0.0007

S=11.75M=8

y disp=-0.0005

Truss (bar) elements

File Name: Beams and truss verifcation.gsz

SIGMA/W 的解与其他独立结构程序的解进行对比，以验证其准确性。


- 205 -

14.6 圆形基础

本案例分析弹性半无限空间中，圆形基础下的应力分布。在土力学教科书中，

基于 Boussinesq 公式的解析解最常见。因为这个解非常容易得到，而且很有名，这是

一个很好的验证 SIGMA/W 的案例。

施加在基础上的压力为 100kPa，可以很容易地查看应力等值线云图随深度的变

化。

10

20

30

60

90

Diameter - B

1B

2B

例如 10%、30%等值线云图与竖直中心线相交，其位置与出版的图表匹配。


- 206 -

14.7 条形基础

本案例分析弹性半无限空间中，条形基础下的应力分布。在土力学教科书中，

基于 Boussinesq 公式的解析解最常见。因为这个解非常容易得到，而且很有名，这是

一个很好的验证 SIGMA/W 的案例。

施加在基础上的压力为 100kPa，可以很容易地查看应力等值线云图随深度的变

化。

1

0

20

30

4

0

60

Width - B

1B

2B

3B

4B

计算结果压力形状与解析解一致，但是低应力变化影响较深。差异可能在于使

用 Boussinesq 公式的简化假设，是发展的点荷载理论。而基于弹性应变理论的有限元

方法在数学上更加严密，就能得出更好的分析结果。


- 207 -

14.8 双曲线本构模型三轴试验

本案例模拟一系列三轴试验，用于验证双曲线模型是否合理。模拟包括：

• 试样各向同性应力固结

• 排水应变控制试验

• 加载-卸载-再加载试验

• 拉伸试验

• 各向异性应力固结

• 回压固结

• 验证包括与手算值比较，并且讨论了与双曲线理论构架的关系。

Stress-strain

Y-T

ota

l S

tress (

kP

a)

Y-Strain

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

Total and effective stress-starin

vert

ical str

ess

(kP

a)

Y-Strain

50

100

150

200

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20


- 208 -

14.9 弹塑性三轴试验

本案例模拟一系列三轴试验，用于验证弹塑性模型是否合理。模拟包括：




• 拉伸试验

• 回压固结

• 验证包括与手算值比较，并且讨论了与弹塑性理论构架的关系。

Stress-strain

Y-T

ota

l S

tre

ss (

kP

a)

Y-Strain

100

150

200

250

300

350

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Total and effective stresses (

kP

a)

Y-Strain

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18


- 209 -

14.10 修正的剑桥模型

本案例模拟一系列三轴试验，用于验证修正的剑桥模型是否合理。模拟包括：



• 不排水的孔隙水压力测试


• 回压固结

• 验证包括与手算值比较，并且讨论了与修正的剑桥模型理论构架的关系。

Stress path

Devia

tori

c S

tress (

q)

(kP

a)

Mean Effective Stress (p') (kPa)

0

10

20

30

40

50

60

70

65 70 75 80 85 90 95 100 105

pore-pressureP

ore

-Wa

ter

Pre

ssu

re (

kP

a)

Y-Strain

0

10

20

30

40

50

60

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18


- 210 -

14.11 双曲线基础

本案例分析土中的圆形基础在不排水时的承载力。把土看成非线性双曲线应力

应变特性，当剪应力增加时，土的弹性模量 E 减少，土逐渐变软直到达到剪应力强度。

这时变形很大，并且达到其承载力。

像这样的简单结构其其承载力通过解析公式很容易得到，使 SIGMA/W 与手算

值的比较变成可能。

下面的图形显示了当剪应力随着基础荷载产生时，剪切模量是如何变化的。

10000

300

00

50000

700

00

900

00

Radius = 4 ft

Axisymmetricaxis

Round footing

Ele

vatio

n -

feet

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40


- 211 -

14.12 弹塑性基础

本案例验证弹塑性土的地基承载力。计算值与普通承载力公式所得的手算值比

较。

除此之外，力-变形曲线与从 PLAXIS（另一个商业土工软件）所得的相关曲线

作比较。

此处的图形代表了 c 与 φ 的取值范围。包括从公式中得到的低的和高的承载力，

以及从 SIGMA/W 与 PLAXIS 中得到的力-变形曲线。

c = 10 ; phi = 30

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

Vertical Displacement ( m )

pre

ssu

re -

kP

a

Plaxis SIGMA Low High


- 212 -

14.13 接触面分析

本案例模拟刚性面上的滑动。案例的主要目的是检验 SIGMA/W 中的界面单元。

界面可以模拟成全粘性的或者分水上或水下的摩擦型的。

Distance - m

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Ele

va

tion -

m

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Slip - displacement

X-S

lip

Fo

rce

(kN

)

X-Displacement (m)

-100

-200

-300

-400

-500

0

0.00 0.01 0.02 0.03


- 213 -

14.14 桩拔出试验

本案例模拟从土中拔出桩的过程。这并不是真实的场地试验，但是模拟可以验

证结构单元与两边的界面单元，案例的主要目的是验证 SIGMA/W 中土体与结构之间

的界面单元。

Distance - m

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Ele

va

tion

- m

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

Left slip - time

Y-S

lip F

orc

e (

kN

)

Time (sec)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20

Right slip

Y-S

lip F

orc

e (

kN

)

Time (sec)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20


- 214 -

14.15 一维固结

本案例模拟一维固结试验。两边均被约束。存在解析解，使得验证 SIGMA/W

完全耦合公式成为可能。

在边界上施加瞬时力 100kPa，允许超孔隙水压力消散。

PWP dissipation

Y (

m)

Pore-Water Pressure (kPa)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60 80 100 120

结果与使用时间系数与无量纲计算值作比较。

这个比较说明它们的趋势是一样的，但是达到相同程度所需的精确时间有细微

差别。


- 215 -

14.16 Cryers Ball

本案例分析饱和球体，施加瞬时荷载后，在介质中的孔隙水压力将会比施加的

边界压力大，这个现象久为人知。Mendel 在 1953 年的三轴土试样试验时第一次提出，

之后 Cryer 在 1963 年提出球形土试样，这就是有名的 Mendel-Cryer 效应。

案例展示了用 SIGMA/W 分析的 Mendel-Cryer 效应，与早期的 Cryer 提出的解

析解作比较。

Coupled axisymmetric

Applied pressure 100 kPa

Two stages

- loading stage

- dissipation stage

File Name: Cryers Ball.gsz

Ele

va

tio

n -

m

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

PWP versus time

Po

re-W

ate

r P

ressu

re (

kP

a)

Time (sec)

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14

施加的压力为 100kPa，孔隙水压力峰值接近施加压力的 120%。


- 216 -

14.17 饱和-非饱和土柱试验

本案例分析底部为饱和区，顶部为非饱和区的圆柱状土的固结与体积变化。主

要目的是解释在饱和与非饱和条件下，一般耦合分析时 SIGMA/W 的使用。

开始时，潜水面在土柱的中部，使得上部的孔隙水压力为负，下部的压力为正。

左图表示由于边界压力引起的孔隙水压力；右图表示由于边界渗透引起的孔隙

水压力。

Excess pwp

0 sec

1 sec

3 sec

7 sec

15 sec

31 sec

63 sec

126 sec

251 sec

501 sec

1000

sec

Y (

m)


0

1

2

-10 0 10 20

Excess pwp

Y (

m)


0

1

2

-10 0 10 20


- 217 -

14.18 由地面入渗引起的土体膨胀

本案例分析了因土体膨胀引起的隆起，这可能是由于建筑物周围降水或者灌溉。

假定土体初始是有着均匀基质吸力分布的非饱和区，入渗发生在建筑物周围地表，这

样就会造成基质吸力减少和土体膨胀。

symmetric axis

Infiltration 1.73e^-3 m/day = 1.73 mm/day

Regina clay

Distance - m

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ele

va

tio

n -

m

-1

0

1

2

3

4

5

案例中，应用了非饱和土的 SIGMA/W 耦合与非耦合实现。

SIGMA/W 计算的隆起与已发表的解作比较。


- 218 -

14.19 坝体堆筑模拟

本案例为软土地基上堤坝的建筑过程模拟。地基的弹性模量是上覆初始应力与

地基材料不排水强度 Cu 的函数。

本案例在模型的两端应用了无限单元。

File Name: Dam construction by stages.gsz

Ground surface settlement and heave

Y-D

ispla

ce

ment

(m)

X (m)

-0.2

-0.4

0.0

0.2

0 20 40 60 80 100

上面的图表显示了初始地表随着坝体堆筑过程进行，坝底位置下沉和坝脚两侧

的隆起。


- 219 -

14.20 土工织物加固的堤坝堆筑

本案例是关于包含土工织物的堤坝堆筑的模拟，土工织物可以用没有弯曲刚度

的梁模拟。土工织物的上下两端有着不同的摩擦性质。在土工织物中不允许存在压力，

只能存在张力。

Name: Embankment on geofabric.gsz

Fabric axial force

Axi

al F

orc

e (

kN)

X (m)

-5

-10

-15

-20

0

0 10 20

上图显示了分层堆筑过程中土工织物中张力的变化。


- 220 -

14.21 水下开挖

本案例分析在水下开挖的情况，这要求用移动的水力边界条件完全耦合应力-

孔隙水压力分析。不仅水压边界条件随着开挖面变动，而且通过迭代过程和每一个时

间步决定产生的渗透面的位置和大小。

下面的第一个云图表示在开挖的中间阶段，产生负的孔隙水压力。第二个云图

表示长期条件和靠近开挖面的坡脚与开挖底部的渗透面（水压力为零）是如何生成的。

-20

0

0

20

-20 0

0

20


- 221 -

14.22 连续的尾渣沉积

本案例模拟连续矿渣沉淀过程，水位线在整个过程中位于地表面。模型是一维

柱状的，起始条件是三米高的柱体，然后分 7 次堆载，每次加载 1 米高程的土层。

每一个地层的堆载都会引起超孔隙水压力，但是在下一个地层放置前，一些超

孔隙水压力会消散。但并不是所有的超孔隙水压力都会消散，因此会有超孔隙水压力

的累积。在最后一个地层加上后，超空隙水压力就会慢慢消散。

水压边界条件随着地层变动，这要求完全耦合分析。随着每一个地层的施加，

水压边界条件就会上移到当前表面。

PWP vs Y

Y (

m)

Pressure Head (m)

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7

PWP vs YY

(m

)

Pressure Head (m)

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7

上面左图显示孔隙水压力的变化，右图显示最后一个地层加上后孔隙水压力的

消散。

案例中计算采用修正的渗透系数。


- 222 -

14.23 尾渣沉积与开挖

本案例由上一个例子变化而来。案例中，两个两米的地层加到沉积地层上，然

后再移除，主要目的就是验证增加地层以及移除地层函数的合理性。

PWP

Y (

m)


0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

PWP

Y (

m)


0

2

4

6

8

10

12

14

-20 0 20 40 60 80 100 120

左边的图表显示随着地层的增加，压力逐渐增加，长期的孔隙水压力的消散过

程；右边的图显示移除两个地层后，顶部的孔隙水压力如何变成负数，经过长时间后

进入稳态。


- 223 -

14.24 抽水沉降

这是一个非耦合固结分析的例子。使用 SEEP/W 计算由于抽水造成的水位降低，

在初始时与最后稳态时孔隙水压力不一样，由 SIGMA/W 计算孔压改变后的体积变

化。

下面两个图表显示长期抽水后的稳态水位与网格变形及体积变化（放大系数为

30）。

Pumping well

File Name: Settlement due to pumping well.gsz

Distance - m

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

va

tio

n -

m

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Pumping well

Distance - m

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

va

tio

n -

m

-2

0

2

4

6

8

10

12

14


- 224 -

14.25 软土地基耦合固结

本案例模拟在软土地基上堤坝的建设。堤坝分五层，每层一米。在每次加高后，

地基有六天固结时间，最后一次加高在第二十五天，之后超孔隙水压力慢慢消散。

File Name: Soft ground coupled consolidation.gsz

下面的图表显示了在每次加高后超孔隙水压力的升高与消散和长期消散。

Pore

-Wate

r P

ressure

(kP

a)

Time (day)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60

这是一个很好的分期堆载固结模拟的案例。


- 225 -

14.26 强度折减法边坡稳定性

在第七章中讨论过的分析类型，提到了强度折减法边坡稳定性分析。基本上，

在弹塑性有限元分析中土体强度会逐渐降低直至破坏，即数值上没有收敛解。本案例

即用来说明在 SIGMA/W 程序中如何实现强度折减法的边坡稳定验算。

2

110 m

1.081

2

110 m

第一个图表示在强度最低时变形的网格（放大系数 40）并给出收敛解，第二个

图表示 SLOPE/W 计算最低强度时的安全系数。值得注意的是，尽管强度最低，但它

的安全系数大于 1。这个案例在文献中有讨论，Krahn 在 2007 年会议论文中发表。


- 226 -

14.27 有支护的开挖

本案例模拟基坑分期开挖并支护，包括五个分析，如下面的分析树所示。模型

中板桩墙完成初始应力分析后，设置在开挖之前。

Name: Strutted excavation.gsz

Symmetric axis

案例中一个有意思的地方在土体移除后，支架的右边为固定边界条件，左边为

无限元模式。


- 227 -

14.28 锚杆/板桩墙开挖支护

本案例模拟分期建筑物板桩墙与预应力灌浆锚杆。分析步骤如分析树所示，值

得注意的是在第一次开挖后如何安装锚杆并且施加指定的预应力。

Distance - m

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ele

va

tio

n -

m

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

案例中一个有意思的地方在板桩墙中与锚杆灌浆部分用梁单元模拟，锚杆中的

自由端用杆单元模拟。


- 228 -

14.29 带有界面单元的板桩墙

本案例是上面例子的重复，不同之处在于板桩墙与周围土体之间增加了界面单

元。下面的图显示了有网格和无网格的界面单元。

案例的主要目的就是说明界面单元在这种工况中的应用：

File Name: Tie-back wall with slip.gsz


- 229 -

14.30 排水板

本案例模拟一个排水板单元。排水间距四米，长度六米，深入软土层十米。在

表面施加 100kPa 的附加荷载且允许超孔隙水压力消散。

下面的两个图显示了在第三天和第三十七天时超孔隙水压力的等值线云图，清

楚地显示了排水板的效果。

10

9

0

Result Time: 3 days

10

90

Result Time: 37 days


- 230 -

14.31 地下管道的应力

本案例分析当地表有超载时，地下管道的应力与力的变化。管道用梁单元模拟。

案例中分别考虑了地表与管道之间有/无界面单元的情况。

Pipe stresses

Axi

al F

orc

e (

kN)

Distance (m)

60

70

80

90

100

110

120

130

0 1 2 3 4 5

上图分别显示在有/无界面单元时，沿管道断面的轴向力分布。


- 231 -

14.32 Von Mises 外接模型

本案例说明在 SIGMA/W 中如何应用外接程序。用外接用户自己开发的 Von

Mises 破坏准则来取代内置的 Tresca 破坏准则。分析不排水强度 Cu 为 100kPa 时，土

中圆形基础的承载压力。圆形基础半径为二米。

File Name: VonMises Add In.gsz

Distance

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ele

va

tio

n

-1

0

1

2

3

4

5

6

Y-B

oundary

Forc

e (

kN

)

Y-Displacement (m)

-500

-1000

-1500

-2000

0

-0.005-0.010-0.015-0.020-0.025 0.000

上面的图表显示了 Von Mises 破坏准则与 Tresca 破坏准则的力-变形曲线。两条

相似的曲线中外接模型更加合理。


- 232 -

14.33 柏林基坑分析

本案例用数值分析重现了柏林基坑开挖及支护受力和变形。德国柏林的深基坑

开挖构筑被用来设计成数值分析比赛，组织方要求参与者提交对墙体挠度的预测，之

后这个预测与现场测量作比较。

如下图所示，SIGMA/W 所做的挠度计算与墙体测量所得的结果非常接近。粗

虚线是测量所得的结果，粗实线是 SIGMA/W 计算的，图表中另外的曲线是其他参赛

者的挠度曲线。


- 233 -

14.34 waba 大坝地震变形

本案例展示了粘土地基上低坝的永久变形分析结果。QUAKE/W 用于地震分析，

其结果被 SIGMA/W 用来做“动力分析”，结果与 Newmark 变形相比较。

Waba 大坝是建在软粘土中的低宽坝。静态情况下，大坝拥有可接受的安全系

数。当大坝经受地震时软粘土会发生塑性应变。这些塑性应变可以用 SIGMA/W 动态

分析来估计。由 QUAKE/W 计算得到的惯性力被用于 SIGMA/W 中分析塑性应变和

永久变形。

El 91El 97

El 102El 99

案例计算所得的永久变形约一百一十毫米，这与其他软件计算值相符。

在这个特殊的案例中，当大坝承受地震荷载时，安全系数会随着时间发生改变，

但不会小于一。Newmark 分析因此推断在地震中不会发生永久变形。然而弹塑性动

态变形分析结果并不是这样，表明 Newmark 分析有一定的局限性。

变形主要为动态惯性力产生的塑性应变与永久变形，同时没有由于超孔隙水压

力产生的土体强度损失或者其它土体强度的降低。对于类似工况，Waba 大坝分析是

一个很好的案例。


- 234 -

14.35 永久冻土融化与变形的外接模型

本案例说明如何把 TEMP/W 分析的温度结果用于 SIGMA/W，以分析因冻土融

化，地面强度降低而产生的变形。案例中使用了改进的弹塑性公式与外接用户定义的

Von-Mises 屈服准则模型。

SIGMA/W 从 TEMP/W 中读取的温度结果保存在每一个输出时间步中。土体强

度受温度的影响而改变，采用应力重分布分析类型。典型的应用是因温度升高而使冻

土区长期融化的变形模拟。

Y-Displacement: -0.96006068 m

Elapsed Time: 20 years

X-Displacement: 1.241037 mY-Displacement: 0.65647048 m

X-Displacement: 0.8260049 m

上图显示了内聚力强度云图和因 20 年融化使强度降低产生的变形。

值得注意的是修正的弹塑性模型并不由 GEO-SLOPE 公司提供，案例中

Von-Mises 外接模型由附件模型（软件开发工具箱 SDK）提供，开发者考虑了温度对

强度的修正。

SIGMA/W 理论

- 235 -

15. 理论

15.1 前言

本章展示了 SIGMA/W 分析中用到的方法、方程、程序和技术。在使用该软件

时熟悉这些内容是很重要的，了解这些概念在软件使用、求解问题及判断结果是否可

靠时是大有裨益的。

在推导应力/变形分析相关的有限元方程所用到的势能、加权残值法、变分法等

在标准的教科书中已有较详细的叙述，所以在本手册中不再赘述（关于有限元方程更

多的信息可参考 Bathe, 1982， Smith and Griffiths，1988，Segerlind， 1984 和

Zienkiewicz 及 Taylor, 1989）。

SIGMA/W 程序是针对二维平面应变或轴对称问题，采用小变形和小应变理论

而开发的。为了符合传统岩土工程惯例，采用“压正拉负”的符号约定。本章中，括

号<>，{}，[]分别表示一个行矢量、一个列矢量和一个矩阵。

15.2 有限元方程

SIGMA/W 中在给定的一个时间增量上的有限元方程为：

nA

T

v

T

v

TFdANpdvNbadvBCB }{][

式中：

[B] = 应变-位移矩阵，

[C] = 本构矩阵，

{a} = 节点 x 和 y 方向位移增量的列矢量，

<N> = 插值函数行矢量，

A = 沿单元边界的面积，

v = 单元体积，

b = 体积力密度，

p = 面荷载增量，

{Fn}= 集中节点力增量。

该方程意味着需要在所有单元求和。需要注意的是 SIGMA/W 采用增量分析求

解。对每一个时间增量步，增量位移是根据增量荷载来求解的。求得的增量被紧接着

理论 SIGMA/W

- 236 -

累加到上一增量步得到的结果上。累计值会被写入输出文件中。通过这种增量算法，

只有当该单元被第一次纳入到分析中时单位体积力才会被施加。

对于二维平面应变问题，SIGMA/W 认为所有的单元都是单位厚度，对常单元

厚度 t，上述方程可写为：

方程15-1： L

T

A

T

A

TdLNptdANbtadABCBt }{][

然而，在轴对称分析中，相应单元的厚度是关于对称轴的环向距离。虽然整个

环向距离是 2π 乘以半径 R，但是 SIGMA/W 采用 1 弧度（单位弧度），所以相应的

厚度为 R，轴对称情况的有限元方程变为：

nL

T

A

T

A

TFdLNRpdANRbaRdABCB }{][

与平面应变问题中的厚度 t 不同，在单元内半径 R 不是一个常数。所以，R 需

要在积分中计算。

有限元方程的简化形式为：

方程15-2： }{}{}{}{}]{[ nsb FFFFaK

式中：

[K] = 单元特征（或刚度）矩阵，

= dABCBtA

T][ （对于平面应变），或

= RdABCBA

T][ （对于轴对称）

{a} = 节点位移增量，

{F} = 施加的节点力，由以下组成：

{Fb} = 体积力增量，

{Fs} = 表面压力增量，

= L

T dLNpt ，对于平面应变问题，或者

= L

T dLNRp ，对于轴对称问题，和

{Fn} = 节点集中力增量。

SIGMA/W 对每个时间增量步求解这些方程，得到位移增量，并求解相应的增

量应力和应变，把从第一个增量步以来的增量累加在一起，输出到结果文件中。

15.2.1 应力-应变矩阵

SIGMA/W 使用工程剪应变来定义应变矢量：

SIGMA/W 理论

- 237 -

xy

z

y

x

应力/位移问题中的场变量与应变矢量关系如下式：

方程 15-3：

v

uB][

式中：

[B] = 应变矩阵，

u,v = 分别为 x 方向和 y 方向的节点位移，

SIGMA/W 仅适用于小应变分析。对二维平面应变问题， z 为 0 且应变矩阵为：

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

Nx

N

x

N

B

8811

81

81

0000

00

0

对轴对称问题，应变矢量（原文为矩阵）可以写为：

x

v

y

ur

u

y

vx

u

xy

z

y

x

相应的应变矩阵[B]为：

y

N

x

N

y

N

x

NR

N

R

N

y

N

y

Nx

N

x

N

B

8811

81

81

81

00

00

0

有关插值函数的导数将在本章中的插值函数的导数一节中给出。

理论 SIGMA/W

- 238 -

15.2.2 弹性本构关系

根据弹性理论，应力-应变关系如下式：

C

式中[C]为本构矩阵，由下式给出：

2

21000

01

01

01

211v

vvv

vvv

vvv

vv

EC

式中：

E = 杨氏模量

v = 泊松比

[C]矩阵对平面应变问题和轴对称问题是一样的。

15.2.3 体积力

SIGMA/W 可以模拟竖向和水平方向的体积力。当体力作用的单元第一次激活

时，这些力就会被施加上去。在竖直方向上的体积力，bv，是由于重力作用在单元上

引起的。对给定的材料，竖直方向上的体积力密度就是它的容重， s ，公式如下：

gs

式中的 g 是重力加速度。当容重 s 非零时，SIGMA/W 通过数值积分对

v

T

s dvN 进行计算，然后在单元的每个节点上施加一个竖向（负的）力。同样，

当水平方向上的体积力密度，bh 为非零时，水平方向上的节点力可以用 v

T

h dvNb

来计算。

15.2.4 边界应力引起的力

方程 15-2 中的项 A

T dANp 代表由于沿单元边界上施加的外部应力导致的节

点力。SIGMA/W 通过 SOLVE 函数中的数值积分来计算该积分。

在 SIGMA/W 中荷载可分为三类，它们分别是法向和切向压力，x 向和 y 向应

力，以及流体压力。这几类荷载的等效节点力的计算方法将在下面详述。

考虑一单元边界受到法向和切向压力分布，如图 15-1 所示。为了计算沿边界上

的等效节点力，单元荷载必须沿 x 方向和 y 方向进行分解。单位单元长度上的法向力

SIGMA/W 理论

- 239 -

和切向力为 pn 和 pt，dS 为荷载作用边界，可得到 x 方向和 y 方向单元上的力 dPx 和

dPy，它们可以写成：

tdypdxptdSppdP

tdypdxptdSppdP

tnnty

ntntx

cossin

sincos

式中 t 是单元厚度。

总荷载可以通过沿单元边界积分得到（也就是沿局部坐标 r）。微分 dx 和 dy

可以根据 r 来表达：

drr

ydy

drr

xdx

把上述微分带入增量形式的力平衡方程，并通过有限元近似，就可以导出下面

的沿单元边界在节点 i 上的等效节点力：

S

tniyi

S

ntixi

drr

yp

r

xptNP

drr

yp

r

xptNP

)(

)(

该积分在 SIGMA/W 中通过高斯积分来计算，积分点的数量与单元边界上的节

点数量一致。

当施加在单元边界上的力为 x 和 y 向分布的应力时，就不需要进行单元力的分

解，而相应的等效节点力为：

S

yiyi

S

xixi

drr

yptNP

drr

xptNP

)(

)(

流体压力边界是法向和切向力情况下，当切向力为零时的一种特殊情况。在每

个高斯点上，也就是在第 i 个高斯点上，通过数值积分计算压力时采用下式：

0, ififfni yyyyp

式中：

f = 流体自重，

fy = 流体高程，

理论 SIGMA/W

- 240 -

iy = 积分点的 y 坐标。

只有当流体高程超过该积分点的 y 坐标时才计算流体压力。

图 15-1 沿单元边界的法向和切向应力

15.2.5 节点力

在 SIGMA/W 中，节点力被包含到有限元公式方程 15-2 中去。节点力可以作为

边界条件来指定，也可以在单元被首次开挖时由 SIGMA/W 程序自动进行计算。

对每个单元来说，节点力可以按下式计算：

dvBFv

T

式中

= 单元应力矢量，

TB = 应变-位移矩阵的转置，

dv = 单元体积。

所得的节点力会累加到每个节点上。模拟土的开挖时，这些力的反力被合并到

有限元方程中去。

在位移输出的文件中，SIGMA/W 会输出所有被施加位移或弹性边界条件节点

的节点力，节点力是按照前述的方法计算的。然而，此时不需要改变正负号。例如，

节点力所代表的边界力可以作为估计开挖支挡结构的支护力。

SIGMA/W 理论

- 241 -

15.3 数值积分

SIGMA/W 采用 Gauss-Legendre 数值积分来形成单元特征（刚度）矩阵[K]，通

过首先计算单元中某些特定点的值，这些点叫做积分点或高斯点，然后对单元内的这

些高斯点的值求和。下面将详述计算步骤。

为了进行数值积分，SIGMA/W 把方程 15-1 中的

dABCBA

T][

替换为：

jjj

n

j

jj

T

j WWJBCB 21

1

det

式中：

j = 积分点，

n = 积分点的个数或积分阶次，

jJdet = 雅克比矩阵行列式，

jj WW 21 , = 加权系数。

表 15-1 到 15-4 为 SIGMA/W 中不同单元类型的积分方案和高斯点位置。

表15-1 四边形4点积分的积分点位置和权重

点 r s W1 W2

1 +0.57735 +0.57735 1.0 1.0

2 -0.57735 +0.57735 1.0 1.0

3 -0.57735 -0.57735 1.0 1.0

4 +0.57735 -0.57735 1.0 1.0


点 r s W1 W2

1 +0.77459 +0.77459 5/9 5/9

2 -0.77459 +0.77459 5/9 5/9

3 -0.77459 -0.77459 5/9 5/9

4 +0.77459 -0.77459 5/9 5/9

5 0.00000 +0.77459 8/9 5/9

6 -0.77459 0.00000 5/9 8/9

7 0.00000 -0.77459 8/9 5/9

8 +0.77459 0.00000 5/9 8/9

9 0.00000 0.00000 8/9 8/9

理论 SIGMA/W

- 242 -


点 r s W1 W2

1 0.33333 0.33333 1.0 0.5

表15-4 三角形3点积分的积分点位置和权重

点 r s W1 W2

1 0.16666 0.16666 1/3 1/2

2 0.66666 0.16666 1/3 1/2

3 0.16666 0.66666 1/3 1/2

恰当的积分阶次取决于二阶节点的个数。当存在二阶节点时，插值函数为非线

性，所以需要更高的积分阶次。表 15-5 给出了不同单元的合理积分阶次。

表15-5 可接受的单元积分阶次

单元类型二阶节点积分阶次

四边形否 4

四边形是 4或9

三角形否 1或3

三角形是 3

在某些情况下，对没有二阶节点的四边形单元用四点积分也是可以接受的。这

称为缩减的积分阶次，见 Bathe（1982），Zienkiewicz 与 Taylor（1989）。例如：缩

减积分对几乎不可压缩弹性和弯曲单元可以获得更加精确的结果。此外，选择使用缩

减积分可以大大减少所需的计算量。

对没有二阶节点的单元也可以使用高阶（三点或九点）积分。然而，在这种情

况下，使用高阶积分的优势就较小，特别是对于四边形。对四边形来说，九点积分的

计算量显著大于四点积分，而对计算精度却没有显著提高。作为一般规则，四边形应

该采用二阶节点来从九点积分中得到比较大的收益。

对三角形单元来说，情况有些不同。一点积分意味着在单元内部材料参数和应

变都是常量，导致较差的单元性能，特别是当单元位于应力剧烈变化的区域。采用 3

点积分，因为材料属性和单元内的梯度分布得更为真实，所以即使不用二阶节点也能

提高性能。对于四边形占主导的单元划分，对没有二阶节点的三角形采用三点积分也

是相当可取的。但对于无二阶节点的三角形占主导的单元划分并不推荐这个方法。

SIGMA/W 理论

- 243 -

15.4 组装和整体方程的求解

离散单元划分后每个单元都可以形成单元矩阵并被加到联立方程组中。有限元

求解需要求解该联立方程组。

SIGMA/W 采用压缩行存储方案来存储联立方程组中的系数（见 Barrett 等，

1994）。它是一个普通的方法，对矩阵的稀疏结构没有任何假定。取代存在大量零元

素的满阵，压缩行存储方案采用 3 个矢量来存储矩阵，一个用来存储非零元素，一个

用于列索引，一个用于行指针。最终，它可以节省大量的存储空间，特别是有很多单

元划分时。

SIGMA/W 采用了预处理的 Bi 共轭梯度（BiCG）迭代求解器来求解联立方程组。

BiCG 求解器是从 IML++（迭代方法库）移植而来的，该库可以从美国诺克斯维尔的

田纳西大学橡树岭国家实验室的国家标准和技术研究所免费获取。BiCG 求解器可以

很高效地处理压缩行存储方案，且同时适用于对称和非对称联立方程组。

该方程求解器可以容许数组中的缺失单元，这个特性使得一个有限元网格在无

需对单元和节点重新编号的情况下，就能增加或删除单元。与 SIGMA/W 以前的版本

中采用的高斯消去法不同，采用这个改进的迭代求解器，对节点行和列编号的排序不

会影响计算时间和精度。

迭代求解器的结果是：联立方程组的解很大程度上依赖于收敛容差和迭代次数。

默认的容差和迭代次数适合大多数情况下的求解。

一维变列高斯消元法直接求解器也被纳入到了程序中，直接求解器的计算速度

取决于有限元网格的带宽。对简单问题而言，直接求解器较快，对带宽较大的复杂问

题而言，它就显得较慢。在处理较多迭代次数和时间步的大问题之前，可以用这两种

方法在较小迭代问题上先尝试一下。

15.5 单元应力

一旦获取了节点位移，SIGMA/W 就可以计算单元中高斯点的应力和应变。应

变可以从节点位移中用方程 15-3 计算。

每个高斯点上的应力用本构矩阵[C]通过如下公式计算：

xy

z

y

x

xy

z

y

x

C

http://dict.cnki.net/dict_result.aspx?searchword=direct+solver+with+skyline+storage+scheme&tjType=sentence&style=&t=%e4%b8%80%e7%bb%b4%e5%8f%98%e5%88%97%e7%9b%b4%e6%8e%a5%e6%b1%82%e8%a7%a3%e5%99%a8

理论 SIGMA/W

- 244 -

附录 SIGMA/W

- 245 -

16. 附录 A：插值函数

16.1 坐标系统

SIGMA/W 公式中用到的全局坐标系是常规 xy笛卡尔系统的第一象限。

单元矩阵公式中用到的局部坐标系见图 16-1。图 16-1 中还显示了局部单元编号系统。

表 16-1 给出了每个节点的局部坐标。

表16-1 局部单元编号系统

单元类型节点 r s

四边形 1 +1 +1

2 -1 +1

3 -1 -1

4 +1 -1

5 0 +1

6 -1 0

7 0 -1

8 1 0

三角形 1 0 0

2 1 0

3 1 1

4 – –

5 ½ 0

6 ½ ½

7 0 ½

8 – –

SIGMA/W 利用第 4 个节点来区分三角形和四边形单元。如果第四个节点号为零，则单

元是三角形，如果第四个节点号非零，则单元是四边形。

对于四边形单元，节点 5，6，7 和 8 是二次节点，对于三角形单元，节点 5，6 和 7 是

二次节点。

局部坐标系和全局坐标系通过一组插值函数相联系。在单元内部，SIGMA/W 使用相同

的与坐标系相关的函数来描述单元内场变量（位移）的变化，因此这种单元为等参单元。

SIGMA/W 附录

- 246 -

图 16-1 全局和局部坐标系

local coordinates 局部坐标 global coordinates 全局坐标

进行有限元分析需要采用单元内场变量的分布模型。应力/变形分析中的场变量是节点

位移。

SIGMA/W 中假定单元内的位移分布遵循本章前述的插值函数。它意味着当没有二次节

点时，位移分布是线性的，而当有二次节点时，位移分布是二次的。

单元内任一给定点位移通过下式给出：

方程16-1 UNu

方程16-2 VNv

这里：

附录 SIGMA/W

- 247 -

u = 给定点在 x 方向的位移

v = 给定点在 y 方向的位移

U = 单元节点在 x 方向的位移

V = 单元节点在 y 方向的位移

N = 在给定点的插值形函数值

16.1.1 插值函数的导数

在 SIGMA/W 公式中的基本本构关系的应力，应变，采用材料的刚度E ，可写成

公式：

E

在二维平面应变问题中有三个基本应变分量，他们是 x 方向的线应变 x ，y 方向的线

应变 y ，x-y 面内的剪应变 xy 。SIGMA/W 是针对小位移和小变形推导的。应变分量与 x 方

向和 y 方向的位移 u 和 v 通过下式联系：

x

v

y

u

y

v

x

u

xy

y

x

在单元内的任意点上，位移 u 和 v 通过方程 16-1 和 16-2 与节点位移矢量 U 和 V 发

生联系。应变可以通过节点位移用下式表达：

Vx

NU

y

N

x

v

y

u

Vy

N

y

v

Ux

N

x

u

xy

y

x

上述公式说明：为了计算应变，必须将插值函数对 x 和 y 微分。插值函数对局部和全

局坐标的微分通过链式法则给出：

方程16-3:

y

N

x

N

s

y

s

xr

y

r

x

s

N

r

N

SIGMA/W 附录

- 248 -

这里：

方程16-4 J

s

y

s

xr

y

r

x

，为雅克比矩阵。

于是，插值函数对 x 和 y 的导数可以通过方程 16-3 的逆运算求得：

s

N

r

N

J

y

N

x

N

1

这里 1J 是雅克比矩阵的逆。

雅克比矩阵可以通过把方程 16-1 和 16-2 代入方程 16-4 得到：

88

22

11

821

821

YX

YX

YX

s

N

s

N

s

N

r

N

r

N

r

N

J

从方程 16-3 和 16-4 可以看出，在计算应变和雅克比矩阵时也需要插值函数的导数。

SIGMA/W用到的四边形和三角形单元的插值函数对 r 和 s 的导数分别在表 16-2和 16-3

中给出。

一维和二维无限元所需的映射函数对 r 和 s 的导数在表 16-4 中给出。

在前述的表格中用下面的记号来表达给定函数 Ni 对 r 的导数：

r

NN i

ri

,

表16-2 四边形的插值函数的导数

函数导数节点存在时包含的导数

5 6 7 8

N1,r = ¼(1+s) -½(N5,r) – – –

N2,r = -¼(1+s) -½(N5,r) -½(N6,r) – –

N3,r = -¼(1-s) – -½(N6,r) -½(N7,r) –

N4,r = ¼(1-s) – – -½(N7,r) -½(N8,r)

N5,r = -½(2r+2sr) – – – –

N6,r = -½(1-s2) – – – –

N7,r = -½(2r-2sr) – – – –

N8,r = ½(1-s2) – – – –

N1,s = ¼(1+r) - ½(N5,s) – – -½(N8,s)

N2,s = ¼(1-r) -½(N5,s) -½(N6,s) – –

附录 SIGMA/W

- 249 -

N3,s = -¼(1-r) – -½(N6,s) -½(N7,s) –

N4,s = -¼(1+r) – – -½(N7,s) -½(N8,s)

N5,s = ½(1-r2) – – – –

N6,s = -½(2s-2sr) – – – –

N7,s = -½(1-r2) – – – –

N8,s = -½(2s+2sr) – – – –

表16-3 三角形的插值函数的导数

函数导数节点存在时包含的导数

5 6 7

N1,r = -1.0 -½(N5,r) – –

N2,r = 1.0 -½(N5,r) -½(N6,r) –

N3,r = 0.0 – -½(N6,r) -½(N7,r)

N5,r = (4-8r-4s) – – –

N6,r = 4s – – –

N7,r = -4s – – –

N1,s = -1.0 -½(N5,s) – –

N2,s = 0.0 -½(N5,s) -½(N6,s) –

N3,s = 1.0 – -½(N6,s) -½(N7,s)

N5,s = -4r – – –

N6,s = 4r – – –

N7,s = (4-4r-8s) – – –

表16-4 无限元中映射函数的导数

映射函数的导数

1维无限元 2维无限元

M1,r=0 M1,r =0

M2,r = 2

2

1

2

r

ss

M2,r =0

M3,r = 2

2

1

2

r

ss

M3,r =

sr

s

11

242

M4,r =0 M4,r =0

M5,r = 21

1

r

s

M5,r =0

M6,r = 2

2

1

12

r

s

M6,r =

sr

s

11

122

SIGMA/W 附录

- 250 -

M7,r = 212

1

r

s

M7,r =

sr 11

42

M8,r =0 M8,r =0

M1,s =0 M1,s =0

M2,s = r

sr

1

2 M2,s =0

M3,s = r

sr

1

2 M3,s =

2

11

24

sr

r

M4,s =0 M4,s =0

M5,s = r

r

12

1 M5,s =0

M6,s = r

s

1

4 M6,s =

211

4

sr

s

M7,s = r

r

12

1 M7,s =

2

11

14

sr

r

M8,s =0 M8,s =0

附录 SIGMA/W

- 251 -

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