Bunch-Nielsen-Sorensen formula

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1. From Wikipedia, the free encyclopedia2. Lexicographical order

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  • BunchNielsenSorensen formulaFrom Wikipedia, the free encyclopedia

  • Contents

    1 BackusGilbert method 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Balanced set 22.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    3 Barycentric coordinate system 43.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Barycentric coordinates on triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3.2.1 Conversion between barycentric and Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Conversion between barycentric and trilinear coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 Application: Determining location with respect to a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.4 Application: Interpolation on a triangular unstructured grid . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.5 Application: Integration over a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3.3 Barycentric coordinates on tetrahedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Generalized barycentric coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3.4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    4 Basis (linear algebra) 114.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Expression of a basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5 Extending to a basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6 Example of alternative proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4.6.1 From the denition of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    i

  • ii CONTENTS

    4.6.2 By the dimension theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6.3 By the invertible matrix theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.7 Ordered bases and coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.8 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4.8.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.8.2 Ane geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.9 Proof that every vector space has a basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.10 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.12.1 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.12.2 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.13 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5 Basis function 225.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.1.1 Polynomial bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1.2 Fourier basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    6 Bidiagonal matrix 236.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    7 Big M method 257.1 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Other usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4 References and external links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    8 Bilinear form 278.1 Coordinate representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.2 Maps to the dual space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.3 Symmetric, skew-symmetric and alternating forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.4 Derived quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.5 Reexivity and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.6 Dierent spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.7 Relation to tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.8 On normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  • CONTENTS iii

    8.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.12 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    9 Binomial inverse theorem 339.1 Verication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.2 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    9.2.1 First . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2.2 Second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2.3 Third . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    9.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    10 Braket notation 3610.1 Vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    10.1.1 Background: Vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.1.2 Ket notation for vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.1.3 Inner products and bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.1.4 Non-normalizable states and non-Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    10.2 Usage in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2.1 Spinless positionspace wave function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2.2 Overlap of states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.2.3 Changing basis for a spin-1/2 particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.2.4 Misleading uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    10.3 Linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3.1 Linear operators acting on kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3.2 Linear operators acting on bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3.3 Outer products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3.4 Hermitian conjugate operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    10.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.4.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . .