Buhlmann - unipi.gr · 2020. 4. 7. · = V[ (j)] +1 n2 Xn i=1 s2 = a+ s2 n LÔnontac wc proc akai...

= V [µ(Θj)] +1

n2

n∑i=1

s2

= a+s2

n

Λύνοντας ως προς a και εκτιμώντας την V (X.j) με την1

K−1

∑Kj=1(X.j − X..)

2

παίρνουμε την (4.96).

Σημείωση: Επειδή η a ισούται με τη διαφορά δύο ποσοτήτων μπορεί να

είναι αρνητική. Αρνητική τιμή της a συνεπάγεται ότι οι μέσες τιμές για κάθε

ασφαλιστήριο συμβόλαιο είναι ίσες και σ΄ αυτή την περίπτωση θέτουμε a = 0.

΄Ασκηση 9 ΄Ενα χαρτοφυλάκιο αποζημίωσης εργατικών ατυχημάτων περιέχει

τρείς ομάδες εργατών (3 ασφαλιστήρια συμβόλαια). Το ποσό ζημιών (σε εκα-

τομύρια Ευρώ) για τα πρώτα τέσσερα έτη ασφάλισης συνοψίζονται στον πίνακα

που ακολουθεί. Με τη βοήθεια του μοντέλου του Buhlmann να εκτιμήσετε τοποσό ζημιών κατα τη διάρκεια του 5ου έτους ασφάλισης για τα δύο ασφαλιστήριασυμβόλαια.

Το Μοντέλο του Buhlmannμε 3 Ασφαλιστήρια Συμβόλαια

Θ1 Θ2 Θ3

X11 = 2.6 X12 = 2.8 X13 = 4.6X21 = 3.0 X22 = 3.2 X23 = 5.0X31 = 3.6 X32 = 3.8 X33 = 5.4X41 = 4.0 X42 = 4.2 X43 = 6.0∑4i=1Xi1 = 13.2

∑4i=1Xi2 = 14.0

∑4i=1 Xi3 = 21.0

X.1 = 13.24

= 3.3 X.2 = 144

= 3.5 X.3 = 214

= 5.25

µ = X.. =1

3

3∑j=1

X.j =3.3 + 3.5 + 5.25

3=

12.05

3= 4.01667

s21 =

1

(4− 1)[(2.6− 3.3)2 + (3.0− 3.3)2 + (3.6− 3.3)2 + (4.0− 3.3)2]

=1.16

3= 0.386667

51

s22 =

1

(4− 1)[(2.8− 3.5)2 + (3.2− 3.5)2 + (3.8− 3.5)2 + (4.2− 3.5)2]

=1.16

3= 0.386667

s23 =

1

(4− 1)[(4.6− 5.25)2 + (5− 5.25)2 + (5.4− 5.25)2 + (6.0− 5.25)2]

=1.07

3= 0.3566667

s2 =1

3

3∑j=1

s2j =

1

3(0.386667 + 0.386667 + 0.3566667) = 0.3766667,

και

a =1

K − 1

K∑j=1

(X.j − X..)2 − 1

ns2

=1

3− 1[(3.3− 4.01667)2 + (3.5− 4.01667)2 + (5.25− 4.01667)2]− 0.3766667

4

= 1.056667

Z =na

na+ s2=

4(1.056667)

4(1.056667) + 0.3766667= 0.9181752

XCred1 = X.1Z + (1− Z)X..(3.3)0.9181752 + (1− 0.9181752)4.01667

= 3.358641

XCred2 = X.2Z + (1− Z)X.. = (3.5)0.9181752 + (1− 0.9181752)4.01667

= 3.542276

XCred3 = X.3Z + (1− Z)X.. = (5.25)0.9181752 + (1− 0.9181752)4.01667

= 5.149083

52

4.4 Ισοδυναμία Μεθόδων Υπολογισμού του Z

Θεώρημα 4.5 : α) σε μια περίοδο παρατήρησης έχουμε n ανεξάρτητες δοκι-μές, X1, X2, ..., Xn, κάθε μία με συνάρτηση κατανομής F (x|Θ) και β) σε κάθεμία από τις n περιόδους έχουμε μία απλή δοκιμή Xi, i = 1, 2, ..., n, όπου τα Xi

είναι ανεξάρτητα και ισόνομα με συνάρτηση κατανομής F (x|Θ), όπου Θ είναιένα τυχαίο διάνυσμα τιμών παραμέτρου. Τότε ο συντελεστής αξιοπιστίας στην

περίπτωση α) είναι ίσος με το συντελεστή αξιοπιστίας στην περίπτωση β)

Z =1

1 + EΘ[V ar(X1+...+Xn|Θ)]

V arΘ[E(X1+...+Xn|Θ)]

=ανεξ. 1

1 + EΘ[nV ar(X1|Θ)]

V arΘ[nE(X1|Θ)]

=1

1 + nEΘ[V ar(X1|Θ)]

n2V arΘ[E(X1|Θ)]

=n

n+ EΘ[V ar(X1|Θ)]

V arΘ[E(X1|Θ)]

΄Ασκηση 10 Τρία δοχεία περιέχουν μπάλες μαρκαρισμένες με το 0 και 1,

σύμφωνα με τις κάτωθι αναλογίες

Δοχείο

Δοχείο 0 1

A1 10% 90%

A2 60% 40%

A3 80% 20%

΄Ενα δοχείο επιλέγεται τυχαία με πιθανότητα 1/3, και τρεις μπάλες επιλέγο-

νται με επανάθεση. Το σύνολο των τιμών από τρεις μπάλες είναι 1. α) Τρεις

ακόμη μπάλες επιλέγονται με επανάθεση από το επιλεγμένο κουτί. Χρησιμο-

ποιώντας το μοντέλο του Buhlmann, να υπολογίσετε το αναμενόμενο σύνολοτιμών από τις τρεις μπάλες. β) Μία μπάλα επιλέγεται από το επιλεγμένο κου-

τί. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή της επόμενης επιλεγμένης μπάλας. Τι

παρατηρείτε.

Λύση: Γνωρίζουμε ότι η αξιοπιστία δίνεται υπό τη μορφή

C = ZR + (1− Z)H, 0 < Z < 1,

όπου R είναι η μέση τιμή της τρέχουσας παρατήρησης και H είναι η εκ των

προτέρων μέση τιμή.

53

α) ΄Εχουμε 1 περίοδο, δηλαδή, n = 1 και 3 δοκιμές, m = 3. Για τα δοχεία

A1, A2, A3 οι υποθετικές μέσες τιμές και οι διασπορές διαδικασίας είναι (Για

κάθε δοχείο χρησιμοποιούμε την Διωνυμική κατανομή με μέση τιμή mp και

διασπορά mp(1− p))

E(X|A1) = mp = 3(0.90) = 2.7

V (X|A1) = mp(1− p) = 3(0.90)(0.10) = 0.27

E(X|A2) = mp = 3(0.40) = 1.2

V (X|A2) = mp(1− p) = 3(0.40)(0.60) = 0.72

E(X|A3) = mp = 3(0.20) = 0.60

V (X|A3) = mp(1− p) = 3(0.20)(0.80) = 0.48

E(X) =3∑i=1

E(X|Ai)P (Ai) = (2.7 + 1.2 + 0.60)1

3= 1.5

E[V (X|A)] =3∑i=1

[V (X|Ai)P (Ai)

= [0.27 + 0.72 + 0.48]1

3= 0.49

V [E(X|A)] =3∑i=1

[E(X|Ai)− E(E(X|Ai))]2P (Ai)

=3∑i=1

[E(X|Ai)− E(X)]2P (Ai)

= [(2.7− 1.5)2 + (1.2− 1.5)2 + (0.60− 1.5)2]1

3= 0.78

΄Ετσι έχουμε

k =E[V (X|A)]

V [E(X|A)]=

0.49

0.78= 0.6282051

54

και

Z =n

n+ k=

1

1 + k=

1

1 + 0.6282051= 0.614.

Δοθέντος ότι (R = 1), λαμβάνουμε

C = ZR + (1− Z)H

= 0.614(1) + (1− 0.614)(1.50)

= 1.193

Λύση: β) Σε τρεις περιόδους παρατήρησης έχουμε μία απλή δοκιμή, δηλαδή

οι τρεις μπάλες αντιστοιχούν στις τρεις περιόδους παρατήρησης, δηλαδή n = 3και m = 1.

Για τα δοχεία A1, A2 ,A3 οι υποθετικές μέσες τιμές και οι διασπορές δια-

δικασίας είναι (Για κάθε δοχείο χρησιμοποιούμε την Διωνυμική κατανομή με

μέση τιμή m = 1, δηλαδή χρησιμοποιούμε την κατανομή Bernoulli )

E(X|A1) = mp = 1(0.90) = 0.90

V (X|A1) = mp(1− p) = 1(0.90)(0.10) = 0.09

E(X|A2) = mp = 1(0.40) = 0.4

V (X|A2) = mp(1− p) = 1(0.40)(0.60) = 0.24

E(X|A3) = mp = 1(0.20) = 0.20

V (X|A3) = mp(1− p) = 1(0.20)(0.80) = 0.16

E(X) =3∑i=1

E(X|Ai)P (Ai) = (0.90 + 0.40 + 0.20)1

3= 0.5

E[V (X|A)] =3∑i=1

[V (X|Ai)P (Ai)

= [0.09 + 0.24 + 0.16]1

3

=0.49

3

55

V [E(X|A)] =3∑i=1

[E(X|Ai)− E(E(X|Ai))]2P (Ai)

=3∑i=1

[E(X|Ai)− E(X)]2P (Ai)

= [(0.90− 0.5)2 + (0.40− 0.5)2 + (0.20− 0.5)2]1

3

=0.26

3


k =E[V (X|A)]

V [E(X|A)]=

0.49

0.26και

Z =n

n+ k=

3

3 + 0.490.26

= 0.614.

Το σύνολο των τιμών από τις 3 μπάλες ισούται με 1. Δοθέντος ότι επιλέ-

γουμε 1 μπάλα (R = 13), λαμβάνουμε

C = ZR + (1− Z)H

= 0.6141

3+ (1− 0.614)(0.50)

= (0.3977)

και

n(C) = 3(0.3977) = 1.193

΄Ασκηση 11 ΄Ενα κουτί, K1 περιέχει 2 άσπρες (Α) μπάλες και 3 μαύρες (Μ)

μπάλες. ΄Ενα δεύτερο κουτί K2, περιέχει 5 άσπρες (Α) μπάλες και 2 μαύρες (Μ)

μπάλες. Το κουτί K1 επιλέγεται με πιθανότητα34και το κουτί K2 επιλέγεται με

πιθανότητα14. ΄Ενα κουτί επιλέγεται στην τύχη και παίρνουμε 1 άσπρη μπάλα

από το επιλεγμένο κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξαμε το κουτί K1.

Λύση:

P (K1|A) =P (A|K1)P (K1)

P (A)=

P (A|K1)P (K1)

P (A|K1)P (K1)) + P (A|K2)P (K2)

56

=(2/5)(3/4)

(2/5)(3/4) + (5/7)(1/4)= 0.5575221

΄Ασκηση 12 ΄Εστω οι διακριτές τυχαίες μεταβλητές X και Y και η από κοινούσυνάρτηση πιθανότητας fX,Y (x, y), που παίρνει τιμές f(0, 0) = 0.1, f(0, 1) =0.2, f(1, 0) = 0, 3 και f(1, 1) = 0.4. Να βρεθούν α) E(Y |X = 0), β) E(Y |X =1) και γ) E(X|Y = 0)

Λύση: Οι περιθώριες κατανομές είναι

P (X = 0) =∑y

P (X = 0, Y = y) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1)

= f(0, 0) + f(0, 1) = 0.1 + 0.2 = 0.3

P (X = 1) =∑y

P (X = 1, Y = y) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1)

= f(1, 0) + f(1, 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7

P (Y = 0) =∑x

P (X = x, Y = 0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 1, Y = 0)

= f(0, 0) + f(1, 0) = 0.1 + 0.3 = 0.4

Οι δεσμευμένες πιθανότητες είναι

P (Y = 1|X = 0) =P (X = 0, Y = 1)

P (X = 0)=

f(0, 1)

P (X = 0)=

0.2

0.3=

2

3

P (Y = 1|X = 1) =P (X = 1, Y = 1)

P (X = 1)=

f(1, 1)

P (X = 1)=

0.4

0.7=

4

7

P (X = 1|Y = 0) =P (X = 1, Y = 0)

P (Y = 0)=

f(1, 0)

P (Y = 0)=

0.3

0.4=

3

4

57

E(Y |X = 0) =∑y

yP (Y = y|X = 0) = (0)P (Y = 0|X = 0) + (1)P (Y = 1|X = 0)

= P (Y = 1|X = 0) =2

3

E(Y |X = 1) =∑y

yP (Y = y|X = 1) = (0)P (Y = 0|X = 1) + (1)P (Y = 1|X = 1)

= P (Y = 1|X = 1) =4

7

E(X|Y = 0) =∑y

xP (X = x|Y = 0) = (0)P (X = 0|Y = 0) + (1)P (X = 1|Y = 0)

= P (X = 1|Y = 0) =3

4

΄Ασκηση 13 ΄Εστω X και Y συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με από κοινούσυνάρτηση πιθανότητας

fX,Y (x, y) =

{6xy + 3x2 0 < x < y < 1

0 αλλού.

Να βρεθεί η E(X|Y = y), για 0 < x < y < 1.

Λύση:

f(y) =∫ y

0(6xy + 3x2)dx =

6x2y

2+

3x3

3=∣∣∣∣x=y

x=0

= 3y3 + y3 = 4y3

f(x|y) =f(x, y)

f(y)=

6xy + 3x2

4y3=

3x

2y2+

3x2

4y3

E(X|Y = y) =∫ y

0xf(x|y)dx =

∫ y

0

(3x2

2y2+

3x3

4y2

)dx

=3x3

(3)(2)y2+

3x4

(4)(4)y3

∣∣∣∣x=y

x=0=y

2+

3y

16=

11y

16

58

΄Ασκηση 14 ΄Ενας πληθυσμός ασφαλισμένων οδηγών αποτελείται από 200

νέους και 800 ενήλικες. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των ζημιών

για ένα ασφαλιστικό έτος

Πιθανότητες

Αριθμός Ζημιών X Νέοι Ενήλικες

0 0.50 0.75

1 0.30 0.15

2 0.20 0.10

Ποια είναι η πιθανότητα, ο ασφαλισμένος να είναι νέος, δοθέντος ότι έχουμε

ακριβώς μια ζημιά.

Λύση:

P (Νέος) = P (N) =200

800 + 200= 0.20

P (Ενήλικας) = P (E) =800

800 + 200= 0.80

P (N |X = 1) =P (X = 1|N)P (N)

P (X = 1)=

P (X = 1|N)P (N)

P (X = 1|N)P (N) + P (X = 1|E)P (E)

=(0.30)(0.20)

(0.30)(0.20) + (0.15)(0.80)=

0.06

0.18=

1

3.

59

4.5 Ασκήσεις με βάση το Μοντέλο του Buhlmann

΄Ασκηση 15 Ο αριθμός ατυχημάτων ανά έτος συμβολαίου για έναν ασφαλι-

σμένο ακολουθεί την κατανομή Poisson, με παράμετρο Θ. Η εκ των προτέρωνκατανομή της Θ είναι ομοιόμορφη στο διάστημα (1, 4). ΄Ενας ασφαλισμένοςέχει ένα μόνο ατύχημα κατά τη διάρκεια του πρώτου έτους του ασφαλιστηρίου.

Χρησιμοποιείστε το μοντέλο του Buhlmann για να εκτιμήσετε τον συντελεστήαξιοπιστίας και τον αναμενόμενο αριθμό ατυχημάτων του ασφαλισμένου κατά

τη διάρκεια του επόμενου έτους του ασφαλιστηρίου.

Λύση: Γνωρίζουμε ότι για την κατανομή Poisson με παράμετρο Θ η μέση

τιμή και η διασπορά ισούται με Θ, δηλαδή, E(N |Θ) = V (N |Θ) = Θ

EΘ[VN |Θ(N |Θ)] = EΘ[Θ] =∫ 4

1θf(θ)dθ =

∫ 4

1θ

1

(4− 1)dθ

=1

3

θ2

2

∣∣∣∣θ=4

θ=1=

16− 1

6=

5

2= 2.5

EΘ[Θ2] =∫ 4

1θ2f(θ)dθ =

∫ 4

1θ2 1

(4− 1)dθ

=1

3

θ3

3

∣∣∣∣θ=4

θ=1=

64− 1

9= 7

VΘ[EN |Θ(N |Θ)] = VΘ[Θ] = EΘ[Θ2]− [EΘ(Θ)]2

= 7− (2.5)2 = 0.75

Γνωρίζουμε ότι

k =EΘ[VN |Θ(N |Θ)]

VΘ[EN |Θ(N |Θ)]=

2.5

0.75= 3.33334

και ο συντελεστής αξιοπιστίας του ασφαλισμένου κατά τη διάρκεια του επόμε-

νου έτους είναι

Z =n

n+ k=

1

1 + 3.33334= 0.23077

60

Δοθέντος ότι (R = 1) και

EN(N) = EΘ[EN |Θ(N |Θ)] = EΘ(Θ) =5

2λαμβάνουμε

C = ZR + (1− Z)H

= 0.23077(1) + (1− 0.23077)(5

2)

= 2.153845

΄Ασκηση 16 ΄Ενας πληθυσμός ασφαλισμένων οδηγών έχει ταξινομηθεί σε

δύο ομάδες O1 και O2 ίδιου μεγέθους. Κάθε μέλος της πρώτης ομάδας έ-

χει πιθανότητα 10% να κάνει κάποιο ατύχημα κάθε έτος, ενώ κάθε μέλος της

δεύτερης ομάδας έχει αντίστοιχη πιθανότητα 20%. Δίνεται επίσης ότι κανένας

ασφαλισμένος δεν μπορεί να έχει περισσότερα του ενός ατυχήματος ανά έτος.

Κάθε ασφαλισμένος έχει την ακόλουθη κατανομή μεγέθους ζημιάς

Πιθανότητα Μέγεθος ζημιάς X0.60 10 Ευρώ

0.20 30 Ευρώ

0.20 60 Ευρώ

Υποθέτουμε ότι οι οδηγοί είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Υπολογίστε α)

την διασπορά της υποθετικής αναμενόμενης τιμής, β) την αναμενόμενη τιμή

της διασποράς διαδικασίας, γ) την τιμή του k και δ) την τιμή του συντελεστήαξιοπιστίας για την εμπειρία ζημιών ενός ασφαλισμένου.

Λύση: α) ΄Εστω η τυχαία μεταβλητή X δηλώνει το μέγεθος της ζημιάς.

Οι πρώτες δύο ροπές είναι

E(X) =3∑i=1

xiP (X = xi)

= (10)(0.60) + (30)(0.20) + (60)(0.20)

= 24

και

E(X2) =3∑i=1

x2iP (X = xi)

= (102)(0.60) + (302)(0.20) + (602)(0.20)

= 960

61

και η διαπορά διαδικασίας είναι

V [E(S|O)] = E{E(S|O)− E[E(S|O)]}2

= E[E(S|O)− E(S)]2

=2∑i=1

[E(S|Oi)− E(S)]2P (Oi)

= [E(S|O1)− E(S)]2P (O1) + [E(S|O2)− E(S)]2P (O2)

=1

2[(2.4− 3.6)2 + (4.8− 3.6)2 = 1.44

΄Ομοια επειδή το μέγεθος της ζημιάς X είναι ανεξάρτητο των 2 δύο ομάδων O1

και O2,

V (S|O1) = E(N |O1)V (X|O1) + V (N |O1)[E(X|O1)]2

= E(N |O1)V (X) + V (N |O1)[E(X)]2

= (0.10)(384) + (0.09)(24)2 = 90.24

και κατά τον ίδιο τρόπο

V (S|O2) = E(N |O2)V (X) + V (N |O2)[E(X)]2

= (0.20)(384) + (0.16)(24)2 = 168.96

E[V (S|O)] =2∑i=1

V (S|Oi)P (Oi)

= V (S|O1)P (O1) + V (S|O2)P (O2)

=1

2(90.24 + 168.96) = 129.6

63

Συνεπώς το k ισούται με

k =E[V (S|O)]

V [E(S|O)]=

129.6

1.44= 90

και ο συντελεστής αξιοπιστίας

Z =1

1 + 90=

1

91= 0.01098901

΄Ασκηση 17 Δύο μηχανές A1 και A2 χρησιμοποιούνται για να καθορίσουμε

το πλήθος ζημιών. Κάθε μηχανή διαιρείται σε δύο περιοχές, μαρκαρισμένες η

μία με το μηδέν (0) (μηδέν ζημιές) και η άλλη με το ένα(1) (μία ζημιά). Οι

πιθανότητες για να έχουμε ζημιά γιά κάθε μία από τις μηχανές είναι

Μηχανή Πιθανότητα Ζημιάς

A1 0.15

A2 0.05

Δύο άλλες μηχανές B1 και B2 χρησιμοποιούνται για να καθορίσουμε το

μέγεθος ζημιών. Κάθε μηχανή διαιρείται σε δύο περιοχές, μαρκαρισμένες η

μία με το 20 και η άλλη με το 40 . Οι πιθανότητες για να έχουμε ζημιά γιάκάθε μία από τις μηχανές είναι

Πιθανότητες

Μέγεθος Ζημιάς

Μηχανή 20 40

B1 0.80 0.20

B2 0.30 0.70

Μία μηχανή επιλέγεται τυχαία από τις μηχανές A1 και A2 και άλλη μία

μηχανή επιλέγεται τυχαία από τις μηχανές B1 και B2. Τρεις παρατηρήσεις

επιλέγονται από την επιλεγόμενη μηχανή με τα ακόλουθα μεγέθη ζημιών, 0,20, 0. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο του Buhlmann, να εκτιμήσετε χωριστά,α) το αναμενόμενο πλήθος ζημιών και β) τη μέση τιμή του μεγέθους ζημιών.

γ) Χρησιμοποιείστε αυτούς τους εκτιμητές για να υπολογίσετε τη μέση τιμή

της επόμενης παρατήρησης χρησιμοποιώντας τα ίδια ζεύγη μηχανών.

Λύση: α) Για τις μηχανές A1, A2 οι υποθετικές μέσες τιμές και οι διασπο-

ρές διαδικασίας είναι

E(N |A1) = p = 0.15

64

Σημείωση: Το R = 13επειδή στις τρεις παρατηρήσεις που επιλέγονται

μόνο στην μία έχουμε μόνο μία ζημιά με μέγεθος ζημιάς ίσο με 20.β) Για τις μηχανές B1, B2 έχουμε

E(X|B1) = 20(0.80) + 40(0.20) = 24,

E(X2|B1) = 202(0.80) + 402(0.20) = 320 + 320 = 640,

V (X|B1) = E(X2|B1)− [E(X|B1)]2 = 640− 242 = 64,

E(X|B2) = 20(0.30) + 40(0.70) = 34,

E(X2|B2) = 202(0.30) + 402(0.70) = 120 + 1120 = 1240,

V (X|B2) = E(X2|B2)− [E(X|B2)]2 = 1240− 342 = 84.

Η υποθετική μέση τιμή είναι

E(X) =2∑i=1

E(X|Bi)P (Bi) =1

2(24 + 34) = 29,

η μέση τιμή των διασπορών

E[V (X|B)] =2∑i=1

[V (X|Bi)P (Bi)

=1

2(64 + 84) = 74

και η διασπορά των μέσων

V [E(X|B)] =2∑i=1

[E(X|Bi)− E(E(X|Bi))]2P (Bi)

=2∑i=1

[E(X|Bi)− E(X)]2P (Bi)

=1

2[(24− 29)2 + (34− 29)2] = 25.

66


k =E[V (X|B)]

V [E(X|B)]=

74

25

και ο συντελεστής αξιοπιστίας είναι

Z =1

1 + k=

1

1 + 7425

=25

99

και η εκτίμηση της επόμενης παρατήρησης

XCred = ZR + (1− Z)H =(

25

99

)(20) +

(1− 25

99

)(29) = 2646

΄Ασκηση 18 Για έναν μεγάλο αριθμό ασφαλισμένων, η παρατηρούμενη σχε-

τική συχνότητα των ζημιών κατά τη διάρκεια μιας περιόδου παρατήρησης είναι

ως ακολούθως

Πλήθος Ζημιών Σχετική Συχνότητα

0 65%

1 25%

2 7.5%

3 2.5%

� 4 0%

Θεωρούμε ότι, για έναν τυχαία επιλεγμένο ασφαλισμένο, η δεσμευμένη

κατανομή του πλήθους ζημιών δοθέντος της παραμέτρου Θ ακολουθεί την κα-τανομή Poisson με παράμετρο Θ. Δοθέντος ότι ένας ασφαλισμένος έχει τρείςζημιές στην περίοδο παρατήρησης, χρησιμοποιείστε την ημιπαραμετρική εμπει-

ρική εκτίμηση κατά Bayes για να εκτιμήσετε το αναμενόμενο πλήθος ζημιώνπου θα έχει ένας ασφαλισμένος την επόμενη περίοδο.

Λύση: ΄Εστω η τυχαία μεταβλητή N δηλώνει το πλήθος ζημιών. ΄Εχουμε

E[N ] =4∑i=1

fiNi = (0)(0.65) + (1)(0.25) + (2)(0.075) + (3)(0.025) + (4)(0) = 0.475

V [N ] =4∑i=1

fi(Ni − E[N ])2

= (0.65)(0− 0.475)2 + (0.25)(1− 0.475)2 + (0.075)(2− 0.475)2

+(0.025)(3− 0.475)2 + (0)(4− 0.475)2

= 0.549375

67

Γνωρίζουμε ότι

V [N ] = E[V (N |Θ)] + V [E(N |Θ)]

= s2 + a.

Επίσης για την κατανομή Poisson έχουμε V (N |Θ) = E(N |Θ) = Θ, το οποίο

συνεπάγεται E(N) = E[E(N |Θ)] = E[V (N |Θ)] = E(Θ) = s2και έχουμε

a = V (N)− s2 = V (N)− E[N ]

= 0.549375− 0.475

= 0.074375.


k =s2

a=

0.475

0.074375= 6.386555

Z =1

1 + 6.386555= 0.1353811

και το αναμενόμενο πλήθος ζημιών που θα έχει ένας ασφαλισμένος την επόμενη

περίοδο

C = ZR + (1− Z)H

= (0.1353811)(3) + (1− 0.1353811)(0.475)

= 0.8168373.

΄Ασκηση 19 ΄Ενα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο περιέχει δύο τύπους ασφαλιστη-

ρίων συμβολαίων (ΑΣ.Σ). Στον πρώτο τύπο ο αριθμός ζημιών ανά μήνα ακο-

λουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή 2 ανά περίοδο. Στον δεύτερο τύποο αριθμός ζημιών ανά μήνα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή 4ανά περίοδο. Το 75% των ΑΣ.Σ είναι τύπου ένα (T1) και το 25% είναι τύπου

δύο (T2). ΄Ενας τύπος ΑΣ.Σ επιλέγεται τυχαία και έστω η τυχαία μεταβλητή

N μας δείχνει τον αριθμό ζημιών που προέρχεται απο αυτόν τον τύπο ασφαλι-στηρίων συμβολαίων. α) Να βρεθεί η P (N = 0), β) Δοθέντος ότι N = 1 ναβρεθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον τύπο δύο ΑΣ.Σ.

Λύση: α)

P (N = 0) = P (N = 0|T1)P (T1) + P (N = 0|T2)P (T2)

=e−220

0!(0.75) +

e−440

0!(0.25) = 0.106080372.

68

β)

P (T2|N = 1) =P (N = 1|T2)P (T2)

P (N = 1)=

P (N = 1|T2)P (T2)

P (N = 1|T1)P (T1) + P (N = 1|T2)P (T2)

=e−441

1!(0.25)

e−221

1!(0.75) + e−441

1!(0.25)

= 0.289602998.

΄Ασκηση 20 (SOA)΄Ενα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο περιέχει δύο τύπους α-σφαλιστηρίων συμβολαίων (ΑΣ.Σ). Στον πρώτο τύπο ο αριθμός ζημιών ανά

μήνα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή 2 ανά περίοδο. Στον δεύ-τερο τύπο ο αριθμός ζημιών ανά μήνα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσητιμή 4 ανά περίοδο. Το 2/3 των ΑΣ.Σ είναι τύπου ένα και το 1/3 είναι τύπου

δύο. ΄Ενας τύπος ΑΣ.Σ επιλέγεται τυχαία και έστω η τυχαία μεταβλητή X μαςδείχνει των αριθμό ζημιών που προέρχεται απο αυτόν τον τύπο ασφαλιστηρίων

συμβολαίων. α) Να βρεθεί η P (X = 0), β) Δοθέντος ότι X = 1 να βρεθεί ηπιθανότητα ότι προέρχεται από τον τύπο ένα ΑΣ.Σ. [Απ. α) 0.09633, β) 0.881]

΄Ασκηση 21 Μία ασφαλιστική εταιρία έχει ασφαλίσει έναν πληθυσμό που α-

ποτελείται από δύο ανεξάρτητες ομάδες. Οι ζημιές εμφανίζονται σύμφωνα με τη

διαδικασία Poisson. Τα άτομα που προέρχονται από πρώτη ομάδα αποτελούν το60% του πληθυσμού και αναμένεται να προκαλέσουν μία ζημιά ανά έτος. Ταάτομα που προέρχονται από δεύτερη ομάδα αποτελούν το 40% του πληθυσμούκαι αναμένεται να προκαλέσουν δύο ζημιές ανά έτος. ΄Ενας ασφαλισμένος έχει

προκαλέσει μία ζημιά το πρώτο έτος. Να βρεθεί η πιθανότητα ο ασφαλισμένος

αυτός να προκαλέσει τουλάχιστον μία ζημιά το δεύτερο έτος. Δίνεται ότι για

κάθε ομάδα ο αριθμός ζημιών σε διαδοχικά έτη είναι ανεξάρτητος.

Λύση: α) ΄Εστω O1

P (N2 > 1|N1 = 1) =P (N2 > 1, N1 = 1)

P (N1 = 1)

=P (N2 > 1, N1 = 1|O1)P (O1) + P (N2 > 1, N1 = 1|O2)P (O2)

P (N1 = 1|O1)P (O1) + P (N1 = 1|O2)P (O2)

Επειδή για κάθε ομάδα ο αριθμός ζημιών σε διαδοχικά έτη είναι ανεξάρτητος,

έχουμε

P (N2 > 1, N1 = 1|O1) = P (N2 > 1|O1)P (N1 = 1|O1)

69

= [1− P (N2 ≤ 1|O1)]P (N1 = 1|O1)

= [1− (e−110

0!+e−111

1!)](e−111

1!)

= 0.097208875.

P (N2 > 1, N = 1|O2) = P (N2 > 1|O2)P (N1 = 1|O2)

= [1− P (N2 ≤ 1|O2)]P (N1 = 1|O2)

= [1− (e−220

0!+e−221

1!)](e−221

1!)

= 0.098704005.

΄Ετσι παίρνουμε

P (N2 > 1|N1 = 1) =P (N2 > 1, N1 = 1|O1)P (O1) + P (N2 > 1, N1 = 1|O2)P (O2)

P (N1 = 1|O1)P (O1) + P (N1 = 1|O2)P (O2)

=(0.097208875)(0.60) + (0.098704005)(0.40)

( e−111

1!)(0.60) + ( e

−221

1!)(0.40)

=0.09780693

0.3289959= 0.2972892.

70

5 Το Μοντέλο του και Buhlmann & Straub

(1970)

Η υπόθεση ότι για δοθέντα κίνδυνο οι τυχαίες μεταβλητέςX1j, X2j, ..., Xnj είναι

ισόνομα κατανεμημένες μπορεί να μην ισχύει στην πραγματικότητα, δηλαδή

(1) Σε μια ασφάλεια ανθρώπινου δυναμικού η απόδοση στην εργασία μπορεί

να αλλάζει από έτος σε έτος.

(2) Ο αριθμός αυτοκινήτων μπορεί να μεταβάλλεται από έτος σε έτος.

(3) Το ποσό του δεδουλευμένου ασφαλίστρου σε έναν συγκεκριμένο κλάδο

ασφάλισης μπορεί να είναι διαφορετικό από έτος σε έτος.

Στις παραπάνω περιπτώσεις δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι τυχαίες

μεταβλητές είναι ισόνομα κατανεμημένες.

Η έκθεση στον κίνδυνο ως προς τη ζημιά μπορεί να μεταβάλλεται και υπο-

θέτουμε ότι αυτή η έκθεση στον κίνδυνο μπορεί να μετρηθεί.

Παραδείγματα έκθεσης στον κίνδυνο ως προς τη ζημιά μπορεί να είναι:

(1) Το μέγεθος του ασφαλίστρου

(2) Αριθμός εργαζομένων

(3) Μισθολόγιο

(4) Αριθμός ασφαλισμένων αυτοκινήτων

(5) Αριθμός απαιτήσεων (ζημιών)

Στο μοντέλο του Buhlmann-Straub υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές έ-

χουν την ίδια μέση τιμή, αλλά η διασπορά διαδικασίας είναι αντιστρόφως ανά-

λογη του μεγέθους (έκθεσης) κινδύνου. Το μοντέλο του Buhlmann-Straubθέτει βάρος wij για κάθε δεσμευμένη διασπορά.

Για παράδειγμα αν ο κίνδυνος είναι δύο φορές μεγαλύτερος, η διασπορά

διαδικασίας μειώνεται στο μισό.

Το μοντέλο του Buhlmann-Straub με πολλά ασφαλιστήρια συμβόλαια και

σταθμισμένες παρατηρήσεις (ύπαρξη βαρών) ορίζεται από K ανεξάρτητα ασφα-

λιστήρια συμβόλαια που ικανοποιούν τις κάτωθι υποθέσεις

71

Μοντέλο Buhlmann & Straubμε Περισσότερα ΑΣ

Θ1 Θ2 ..... ΘK

X11, w11 X12, w12 ..... X1K , w1K

X21, w21 X22, w22 ..... X2K , w2K

X31, w31 X32, w32 ..... X3K , w3K

. . . .

. . . .

.. . . .

Xn1, wn1 Xn2, wn2 ..... XnK , wnK

Υποθέσεις:

(i) Τα ασφαλιστήρια συμβόλαια [δηλαδή τα (Θj, X1j, X2j, ..., X2j)′] είναι α-

νεξάρτητα και ισόνομα και οι τυχαίες μεταβλητές Θ1,Θ2, ...,ΘK είναι α-

νεξάρτητες και ισόνομα κατανεμημένες

(ii) Δοθέντος Θj = θj, οι τυχαίες μεταβλητές X1j, , X2j, ..., Xnj είναι υπό

δέσμευση ανεξάρτητες και ισόνομες.

(iii) E(Xij|Θj) = µ(Θj) για όλα τα j = 1, ..., K και i = 1, ..., n.

(iv) Cov(Xrj, Xij|Θj) = δri1wijσ2(Θj), όπου wij είναι γνωστά βάρη για j =

1, . . . K, i = 1, . . . n και δri και είναι το σύμβολο του Kronecker

5.0.1 Συμβολισμοί

µ(Θj) = E(Xij|Θj), µ = E[µ(Θj)], V (Xij|Θj) =1

wijσ2(Θj)/, s

2 = E[σ2(Θj)],

a = V [µ(Θj)], Zj =aw.j

aw.j + s2, w.j =

n∑i=1

wij, w.. =K∑j=1

w.j, Xwj =n∑i=1

wijw.j

Xij,

Xww =K∑j=1

w.jw..

Xwj, Xwz =K∑j=1

ZjZ.Xwj, Z. =

K∑j=1

Zj. (5.1)

72

5.1 Σχέσεις Συνδιασπορών και Μέσες Τιμές

E(Xij) = E(Xwj) = E(Xww) = E(Xwz) = E[µ(Θj)] = µ (5.2)

Cov(Xij, Xrj) = δir1

wijs2 + a (5.3)

Cov(Xij, Xwj) = Cov(Xwj, Xwj) =s2

w.j+ a (5.4)

Cov(Xwj, Xwz) = Cov(Xwz, Xwz) =a

Z.(5.5)

Cov(Xwj, Xww) =s2

w..+ a

(w.jw..

)(5.6)

Cov(Xww, Xww) =s2

w..+ a

K∑j=1

(w.jw..

)2

(5.7)

Cov(Xij′ , µ(Θj)) = aδjj′ (5.8)

Απόδειξη: Η (5.2) είναι απλή και παραλείπεται. Για την απόδειξη της

(5.3) έχουμε

Cov(Xij, Xrj) = E[Cov(Xij, Xrj|Θj)] + Cov[E(Xij|Θj), E(Xrj|Θj)]

= δir1

wijE[σ2(Θj)] + Cov[µ(Θj), µ(Θj)]

= δir1

wijs2 + V ar[µ(Θj)]

= δir1

wijs2 + a.

Cov(Xij, Xwj) = Cov(Xij,

n∑r=1

wrjw.j

Xrj

)

=n∑r=1

wrjw.j

Cov(Xij, Xrj)

73

=n∑r=1

wrjw.j

(δir1

wijs2 + a)

=wijw.j

(δii1

wijs2) +

∑r 6=i

wrjw.j

(δir1

wrjs2) +

n∑r=1

wrjw.j

a

=s2

w.j+ a.

Κατά τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι

Cov(Xwj, Xwj) =n∑r=1

wrjw.j

Cov(Xrj, Xwj)

=n∑r=1

wrjw.j

(s2

w.j+ a

)

=n∑r=1

wrjw.j

s2

w.j+

n∑r=1

wrjw.j

a

=s2

w2.j

n∑r=1

wrj +n∑r=1

wrjw.j

a

=s2

w.j+ a.

Η απόδειξη της (5.5) έχει ως εξής:

Cov(Xwj, Xwz) = Cov(Xwj,

K∑j′=1

Zj′

z.Xwj′

)

=K∑j′=1

Zj′

z.Cov(Xwj, Xwj′)

=1

z.

[ZjCov(Xwj, Xwj) +

∑j′ 6=j

Zj′Cov(Xwj, Xwj′ )]

=1

z.

[ZjCov(Xwj, Xwj) + 0]

74

=1

z.

[Zj

(s2

w.j+ a

)]

=1

z.

[(aw.j

aw.j + s2

)(s2

w.j+ a

)]

=a

z..

Κατά τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι

Cov(Xwz, Xwz) = Cov( K∑j=1

Zjz.Xwj, Xwz,

)

=K∑j=1

Zjz.Cov(Xwj, Xwz)

=K∑j=1

Zjz.

a

z.

=a

z..

Η απόδειξη της (5.5) έχει ως εξής

Cov(Xwj, Xww) = Cov(Xwj,K∑j′=1

w.j′

w..Xwj′ ))

=K−1∑j′=1

w.j′

w..Cov(Xwj, Xwj′ )

=w.jw..

Cov(Xwj, Xwj) +∑j′ 6=j

w.j′

w..Cov(Xwj, Xwj′ )

=w.jw..

(s2

w.j+ a

)

=s2

w..+ a

(w.jw..

).

και η απόδειξη της (5.7) έχει ως

75

Cov(Xww, Xww) = Cov( K∑j=1

w.jw..

Xwj, Xww

)

=K∑j=1

w.jw..

Cov(Xwj, Xww)

=K∑j=1

w.jw..

(s2

w..+ a

(w.jw..

))

=s2

w..+ a

K∑j=1

(w.jw..

)2

.

Η (5.8) αποδεικνύεται ως

Cov[Xij′ , µ(Θj)] = E{Cov[Xij′ , µ(Θj)|Θj]}+ δjj′Cov{E[Xij′ |Θj], E[µ(Θj)|Θj]

= 0 + δjj′Cov{µ(Θj′ ), µ(Θj)}

= δjj′a.

Θεώρημα 5.1 ΄Εστω ότι στο χαρτοπφυλάκιο μας ισχύουν οι υποθέσεις (iii)και (iv) του μοντέλου του Buhlmann, τότε οι βέλτιστες (Μέθοδος ελαχίστωντετραγώνων) μη ομογενείς εκτιμήτριες αξιοπιστίας µ(Θj)

Cred, j = 1, ..., K της

µ(Θj) για σταθερό j, είναι

µ(Θj)Cred = ZjXwj + (1− Zj)µ (5.9)

όπου Xwj είναι ο ατομικός εκτιμητής της µ(Θj) και Zj είναι ο συντελεστήςαξιοπιστίας για το ασφαλιστήριο συμβόλαιο j και δίνεται από τη σχέση

Zj =aw.j

(aw.j + s2), (5.10)

όπου a και s2είναι οι παράμετροι δόμησης όπως έχουν οριστεί στη (5.1).

Σημείωση: Για τις εξετάσεις θα γνωρίζετε μόνο τη διατύπωση του Θεω-

ρήματος και όχι την απόδειξη.

76

Απόδειξη: Θα βρούμε τα cj0, cj11, ..., c

jnK στην

gj(X11, ..., XnK) = cj0 +K∑l=1

n∑i=1

cjilXil (5.11)

έτσι ώστε η

Qj = E{[µ(Θj)− gj(X11, ..., XnK)]2}

= E{[µ(Θj)− cj0 −K∑l=1

n∑i=1

cjilXil]2} (5.12)

να είναι ελάχιστη.

Παραγωγίζουμε την (5.12) ως προς cj0 και έχουμε

∂Qj

∂cj0= −2E[µ(Θj)− cj0 −

K∑l=1

n∑i=1

cjilXil] = 0 (5.13)

Το cj0 γίνεται

cj0 = µ−K∑l=1

n∑i=1

cjilµ. (5.14)

Θέτοντας την (5.14) στη σχέση (5.11) λαμβάνουμε

Qj = E{[µ(Θj)− µ+K∑l=1

n∑i=1

cjil(Xil − µ)]2}. (5.15)

Στη συνέχεια παραγωγίζουμε την (5.15) ως προς cji′l′ για i′ = 1, ..., n, l′ =1, ..., K και έχουμε

∂Qj

∂cji′l′=

∂

∂cji′l′{E[µ(Θj)− µ+

K∑l=1

n∑i=1

cjil(Xil − µ)]2}

= −2E{[µ(Θj)− µ+K∑l=1

n∑i=1

cjil(Xil − µ)][Xi′l′ − µ]}

= 2Cov[µ(Θj), Xi′l′ ]− 2K∑l=1

n∑i=1

cjilCov(Xil, Xi′l′) = 0. (5.16)

Τώρα για i′ και l′ σταθερό,

K∑l=1

n∑i=1

cjilCov(Xil, Xi′l′) =K∑i=1

cjil′Cov(Xil′ , Xi′l′)

= an∑i=1

cjil′ + cji′l′(s2

wi′j) (5.17)

77

επειδή Cov(Xil, Xi′l′) = 0 αν l 6= l′ και Cov(Xil′ , Xi′l′) = 0 αν i 6= i′.Στην ειδική περίπτωση j = l′ η (5.17) γίνεται

K∑l=1

n∑i=1

cjilCov(Xil, Xi′l′) = an∑i=1

cjij + cji′j(s2

wi′j), (5.18)

και μαζί με την (5.8), απλοποιεί την (5.16) στην

a =K∑l=1

n∑i=1

cjilCov(Xil, Xi′l′) = an∑i=1

cjij + cji′j(s2

wi′j), (5.19)

ή ισοδύναμα

a− acj.j − cji′j(

s2

wi′j) = 0. (5.20)

Πολλαπλασιάζοντας την (5.20) με wi′j και παίρνοντας το άθροισμα ως προς

i′ = 1, ..., n λαμβάνουμε

cj.j =aw.j

aw.j + s2= Zj. (5.21)

Τώρα με βάση την (5.20) και (5.21) μπορούμε να επιλύσουμε ως προς cjij και

έχουμε

cji′j =awi′j − a

(aw.j

aw.j+s2

)wi′j

s2

=

(a

aw.j + s

)wi′j =

wi′jw.j

Zj. (5.22)

Αν j 6= l′ τότε από την (5.17) έχουμε

acj.l′ + cji′j(s2

wi′j) = 0. (5.23)

Αυτό συνεπάγεται ότι,

cji′j = −awi′l′c

j.l′

s2. (5.24)

Αθροίζοντας τις δύο πλευρές ως προς i′ = 1, ...n λαμβάνουμε

cj.l′ = −aw.l′cj.l′

s2(5.25)

78

η οποία ισχύει μόνο αν cj.l′ = 0. ΄Αρα ο εκτιμητής της µ(Θj) στην (5.11) είναι

µ(Θj) = µ−K∑l=1

n∑i=1

cjilµ+K∑l=1

n∑i=1

cjilXil

= µ− µcj.j +n∑i=1

cjijXij

= µ− µZj +n∑r=1

wijw.j

Xij

= µ− Zj(Xwj − µ). (5.26)

Θεώρημα 5.2 Αμερόληπτοι εκτιμητές των παραμέτρων µ, s2και a είναι α-

ντίστοιχα οι κάτωθι:

µ = Xww =K∑j=1

w.jw..

Xwj, ή µ = Xwz =K∑j=1

ZjZ.Xwj Z. =

K∑j=1

Zj (5.27)

s2 =1

K

K∑j=1

s2j όπου s2

j =1

(n− 1)

n∑i=1

wij(Xij −Xwj)2

(5.28)

δηλαδή

s2 =1

K(n− 1)

K∑j=1

n∑i=1

wij(Xij −Xwj)2

(5.29)

και

a =

[w..

w2.. −

∑Kj=1w

2.j

] K∑j=1

w.j(Xwj −Xww)2 − (K − 1)s2

. (5.30)

Παρατήρηση 1 Οι παραπάνω εκτιμητές ισχύουν στην περίπτωση που ο αριθ-

μός (ετών) παρατηρήσεων είναι ισος με n για ολα τα ασφαλιστήρια συμβόλαια.Σε περίπτωση που έχουμε διαφορετικό αριθμό κελιών (ετών) σε ένα τουλάχιστον

ασφαλιστήριο συμβόλαιο, τότε η s2γίνεται

s2 =K∑j=1

fj s2j =

1∑Kj=1(nj − 1)

K∑j=1

nj∑i=1

wij(Xij −Xwj)2

(5.31)

79

όπου fj = nj−1∑K

j=1(nj−1)

, nj είναι ο αριθμός παρατηρήσεων στο j ασφαλιστήριο

συμβόλαιο και

s2j =

1

(nj − 1)

nj∑i=1

wij(Xij −Xwj)2. (5.32)

΄Ασκηση 22 ΄Ενα χαρτοφυλάκιο αποζημίωσης εργατικών ατυχημάτων περιέ-

χει εμπειρίες ζημιών δύο ομάδων εργατών (2 ασφαλιστήρια συμβόλαια). Το

συνολικό ποσό ζημιών (σε εκατομμύρια Ευρώ) για τις πρώτες τέσσερες περιό-

δους ασφάλισης συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Με τη βοήθεια του

μοντέλου του Buhlmann - Straub να εκτιμήσετε ποσό ζημιών κατα τη διάρκειατου 5ου έτους ασφάλισης για τα δύο ασφαλιστήρια συμβόλαια.

Το Μοντέλο Buhlmann & Straubμε 2 Ασφαλιστήρια Συμβόλαια

Θ1 Θ2

X11 = 1.5, w11 = 2 X12 = 0.6, w12 = 3X21 = 2.0, w21 = 1 X22 = 0.4, w22 = 4X31 = 1.2, w31 = 2 X32 = 0.6, w32 = 2X41 = 1.0, w41 = 1 X42 = 1.0, w42 = 1

Λύση:

w.1 = 2 + 1 + 2 + 1 = 6, w.2 = 3 + 4 + 2 + 1 = 10, w.. = 6 + 10 = 16

Xw1 =(1.5)(2) + (2.0)(1) + (1.2)(2) + (1.0)(1)

6=

8.4

6= 1.4

Xw2 =(0.6)(3) + (0.4)(4) + (0.6)(2) + (1.0)(1)

10=

5.6

10= 0.56

µ = Xww =(6)(1.4) + (10)(0.56)

16=

14

16= 0.875

80

s21 =

1

(4− 1)

n∑i=1

wi1(Xi1 −Xw1)2

=2(1.5− 1.4)2 + 1(2− 1.4)2 + 2(1.2− 1.4)2 + 1(1− 1.4)2

4− 1= 0.2066667

s22 =

1

(4− 1)

n∑i=1

wi2(Xi2 −Xw2)2

=3(0.6− 0.56)2 + 4(0.4− 0.56)2 + 2(0.6− 0.56)2 + 1(1− 0.56)2

4− 1= 0.10133333

s2 =1

2

K∑j=1

s2j =

s21 + s2

2

2=

0.2066667 + 1.0133333

2= 0.15399999 = 0.154

a =

(w..

w2.. −

∑2j=1w

2.j

) 2∑j=1

w.j(Xwj −Xww)2 − (2− 1)s2

=

(16

162 − (62 + 102)

) [6(1.4− 0.875)2 + 10(0.56− 0.875)2 − 0.154

]= 0.3322667

Z1 =aw.1

(aw.1 + s2)=

(0.3322667)(6)

(0.3322667)(6) + 0.154= 0.9282921

Z2 =aw.2

(aw.2 + s2)=

(0.3322667)(10)

(0.3322667)(10) + 0.154= 0.9557047

XCred1 = Z1Xw1 + (1− Z1)Xww

= (0.9282921)(1.4) + (1− 0.9282921)(0.875)

= 1.362353353

81


= (0.9557047)(0.56) + (1− 0.9557047)(0.875)

= 0.573953019

΄Ασκηση 23 Αν στο χαρτοφυλάκιο αποζημίωσης εργατικών ατυχημάτων της

προηγούμενης άσκησης δεν έχουμε εμπειρία ζημιών για την πρώτη περίοδο του

2ου Ασφαλιστηρίου Συμβολαίου, με τη βοήθεια του μοντέλου του Buhlmann -Straub να εκτιμήσετε ποσό ζημιών κατα τη διάρκεια του 5ου έτους ασφάλισηςγια τα δύο ασφαλιστήρια συμβόλαια.

Το Μοντέλο Buhlmann & Straubμε 2 Ασφαλιστήρια Συμβόλαια

Θ1 Θ2

X11 = 1.5, w11 = 2 X12 = −, w12 = −X21 = 2.0, w21 = 1 X22 = 0.6, w22 = 3X31 = 1.2, w31 = 2 X32 = 0.4, w32 = 4X41 = 1.0, w41 = 1 X42 = 0.6, w42 = 2

Λύση: Με βάση και την προηγούμενη άσκηση έχουμε

w.1 = 6, w.2 = 3 + 4 + 2 = 9, w.. = 6 + 9 = 15

Xw1 = 1.4

Xw2 =(0.6)(3) + (0.4)(4) + (0.6)(2)

9=

4.6

9= 0.5111111

µ = Xww =(6)(1.4) + (9)(0.5111111)

15=

13

15= 0.8666667

s21 = 0.2066667

82

s22 =

1

(3− 1)

3∑i=1

wi2(Xi2 −Xw2)2

=3(0.6− 0.5111111)2 + 4(0.4− 0.5111111)2 + 2(0.6− 0.5111111)2

3− 1

= 0.04444444

s2 =K∑j=1

fj s2j =

(4− 1)(0.2066667) + (3− 1)(0.04444444)

(4− 1) + (3− 1)= 0.1417778

όπου f1 = n1−1∑2

j=1(nj−1)

= (4−1)(4−1)+(3−1)

, f2 = n2−1∑2

j=1(nj−1)

= (3−1)(4−1)+(3−1)

a =

(w..

w2.. −

∑2j=1 w

2.j

) 2∑j=1

w.j(Xwj −Xww)2 − (2− 1)s2

=

(15

152 − (62 + 92)

) [6(1.4− 0.8666667)2 + 9(0.5111111− 0.8666667)2 − 0.1417778

]= 0.3753704

Z1 =aw.1

(aw.1 + s2)=

(0.3753704)(6)

(0.3753704)(6) + 0.1417778= 0.9407779

Z2 =aw.2

(aw.2 + s2)=

(0.3753704)(9)

(0.3753704)(9) + 0.1417778= 0.9597235


= (0.9597235)(1.4)− (1− 0.9597235)(0.8666667)

= 1.308707

83


= (0.9414464)(0.5111111)− (1− 0.9414464)(0.8666667)

= 0.573953

84

Buhlmann - unipi.gr · 2020. 4. 7. · = V[ (j)] +1 n2 Xn i=1 s2 = a+ s2 n LÔnontac wc proc akai...

Documents

Transcript of Buhlmann - unipi.gr · 2020. 4. 7. · = V[ (j)] +1 n2 Xn i=1 s2 = a+ s2 n LÔnontac wc proc akai...