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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA

CATEDRA DE CIRCUITOS ELECTRICOS II

SISTEMAS TRIFASICOS

Integrante Hinojosa Bryan

19170086 SAIA B

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SISTEMAS TRIFÁSICOS

INTRODUCCIÓN. Una de las razones para estudiar el estado senoidal permanente es que la mayor parte de la energía eléctrica que se usa en la industria y en los hogares, es en forma de corriente alterna. La onda senoidal es una función matemática muy particular, pero representa una función de excitación bastante común y sumamente útil. En forma análoga, una fuente polifásica es un caso aún más particular, pero se estudiará porque casi todas las cargas industriales son alimentadas con señales polifásicas con una frecuencia de 50 Hz . Antes de dar definiciones cuidadosas de los conceptos, como el sistema polifásico más común es el sistema trifásico equilibrado, mencionaremos algunas de sus características fundamentales. El análisis exhaustivo de los sistemas trifásicos constituye un área de estudio por sí mismo y no podemos esperar abarcarlo todo en un solo capítulo. La fuente tendrá probablemente tres terminales, y mediciones de voltaje indicarán que entre cualquier par de terminales se tendrán voltajes senoidales de igual amplitud; sin embargo, esos voltajes no están en fase y más adelante se mostrará que están desfasados en 120°. Otra característica importante es respecto a la potencia instantánea trifásica, ya que en circuitos con carga equilibrada, esta potencia es constante, lo cual es una gran ventaja para las máquinas rotatorias, ya que el par motor es mucho más constante de lo que sería si se usara una fuente monofásica.

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1.1 COMPARACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS MONOFÁSICOS Y TRIFÁSICOS.

En la actualidad todos los sistemas eléctricos de potencia son trifásicos debido a que esta modalidad presenta ventajas técnicas y económicas respecto a los sistemas monofásicos. Estos aspectos se mostrarán en el análisis respecto a la potencia instantánea transmitida, así como los costos asociados para cada caso. En la Figura 1.1 se muestra el esquema de un sistema monofásico, para el cual se supone una tensión wtVeftv sen**2)( = y una Figura 1.1 Sistema monofásico corriente )sen(**2)( φ−= wtIefti La potencia instantánea p(t) = v(t)*i(t) transmitida desde el generador al consumo está dada por:

)2cos(**cos**)sen(*sen***)2()( 2 φφφ −−=−= wtIefVefIefVefwtwtIefVeftp Esta ecuación indica que la potencia instantánea depende del tiempo y oscila alrededor de un valor medio de potencia, Vef*Ief*cosφ , con una frecuencia igual al doble de la frecuencia w. Aunque la potencia transmitida tiene un valor efectivo positivo, sus valores instantáneos son pulsantes. La energía no se entrega como flujo constante, sino que llega en oleadas. Esto puede tener efectos indeseables en los motores y los generadores. Esta situación se muestra en la

Figura1.2 Curva de potencia p(t) Figura 1.2 Veamos ahora lo que sucede en un sistema trifásico, que se muestra en la Figura 1.3

Figura 1.3 Sistema trifásico

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Las tensiones al neutro generadas por la máquina trifásica tienen las siguientes expresiones: va(t) = 2 *V*senwt vb(t) = 2 *V*sen(wt-120°) vc(t) = 2 *V*sen(wt+120°) Suponiendo un consumo equilibrado inductivo con ángulo φ, las corrientes por fase serán: ia(t) = 2 *I*sen(wt-φ) ib(t) = 2 *I*sen(wt-120°- φ) ic(t) = 2 *I*sen(wt+120° - φ) Estas relaciones indican que la suma de las corrientes por fase es cero y en consecuencia no se requiere un conductor de retorno. La potencia total instantánea p(t) estará dada por: p(t)= va(t) * ia(t) + vb(t) * ib(t) + vc(t) * ic(t) Usando las expresiones anteriores, y como 2*sen α * sen β = cos(α - β) − cos(α + β): p(t)= V*I*cos φ - V*I*cos(2wt - φ) + V*I*cos φ - V*I*cos(2(wt – 120)- φ)+ V*I*cos φ - V*I*cos(2(wt + 120)- φ). p(t) = 3*V*I*cos φ - V*I*cos(2wt - φ) - V*I*cos[(2wt - φ)+120] - V*I*cos[(2wt - φ)-120]. Como la suma de los tres últimos términos de la ecuación es nula, entonces: p(t)= 3*V*I*cos φ Este último resultado indica que en un sistema trifásico balanceado, la potencia instantánea es CONSTANTE. Ahora demostraremos que el sistema trifásico permite transmitir una misma cantidad de potencia real utilizando menos material conductor que un sistema monofásico; supondremos en ambos casos la misma distancia del punto de generación al centro de consumo, la misma potencia de pérdida y la misma tensión entre líneas. Designando las cantidades monofásicas con el subíndice 1φ y las trifásicas como 3φ, se tiene que: P 1φ = V1φ * I1φ cosφ P 3φ = 3 V3φ * I3φ cosφ Como : P 1φ = P 3φ y V1φ = V3φ , entonces de las expresiones anteriores resulta: I 1φ = 3 I 3φ

Las pérdidas en la línea de transmisión, suponiendo conductores de cobre son: (Pcu)1φ = 2∗ R1φ ∗Ι2 1φ (Pcu)3φ = 3∗ R3φ ∗Ι2 3φ Pero como (Pcu)1φ = (Pcu) 3φ entonces: R1φ / R3φ = φ = (3∗Ι2 3φ )/ ( 2∗Ι2 1φ ) = 0.5

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Considerando que para una longitud dada de línea de transmisión, la cantidad de material conductor es inversamente proporcional a la resistencia del conductor y directamente proporcional al número de ellos, se obtiene la siguiente relación:

Por lo tanto, el sistema trifásico, para las condiciones establecidas, emplea el 75 % del conductor requerido para el sistema monofásico. Por los antecedentes anteriores, el sistema trifásico es el más utilizado por ofrecer ventajas técnicas, flujo de potencia instantánea constante, y ventajas económicas, menor cantidad de conductores.

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1.2 SISTEMAS TRIFASICOS. CONCEPTOS BASICOS. Un sistema de tensiones trifásicas se representa por un conjunto de tres tensiones senoidales(ó cosenoidales), de igual magnitud y desfasadas entre sí 120°. La formulación matemática tiene dos situaciones posibles, lo cual genera el concepto de secuencia para el sistema trifásico. Se define la secuencia positiva del sistema cuando las tensiones son dadas por: va(t) = Vmáx senwt vb(t)= Vmáx sen(wt-120°) vc(t)=Vmáx sen(wt+120°) En este caso la referencia es la fase a; la tensión de la fase b atrasa en 120° a la fase a y la de la fase c adelanta en 120° a la fase a. Esto se muestra en la Figura 1.4. Figura 1.4 Secuencia positiva Para la secuencia negativa se tendrá que: va(t) = Vmáx senwt vb(t)=Vmáxsen(wt+120°) vc(t) =Vmáx sen(wt-120°) Esto se muestra en la Figura 1.5

Figura 1.5 Secuencia negativa

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Vab

Vca

Vbc

sec (-)

Vab

Vbc

Vca

sec (+)

1.3 NOTACION FASORIAL. Como las tensiones son de tipo senoidal y de igual frecuencia, es posible usar la transformada fasor para su representación en el dominio de la frecuencia. Si se selecciona la tensión va(t) como referencia, los fasores asociados son: Va = Vn/0° Vb = Vn/-120° Vc = Vn/120° secuencia positiva. Va = Vn/0° Vb = Vn/120° Vc = Vn/-120° secuencia negativa Estos fasores corresponden a la diferencia de potencial entre el neutro del sistema y cada una de las líneas. Determinaremos las diferencias de potencial entre Va, Vb y Vc: Secuencia positiva Vab = Va- Vb = Vn/0° - Vn/-120° = 3 Vn /30° = VL/30° Vbc = Vb- Vc = Vn/-120° - Vn/120° = 3 Vn /-90° = VL/-90° Vca = Vc- Va = Vn/120° - Vn/0° = 3 Vn /150° = VL/150° Secuencia negativa Vab = Va- Vb = Vn/0° - Vn/120° = 3 Vn /-30° = VL/-30° Vbc = Vb- Vc = Vn/120° - Vn/-120° = 3Vn /90° = VL/90° Vca = Vc- Va = Vn/-120° - Vn/0° = 3 Vn /-150° = VL/-150° Estas diferencias de potencial se denominan tensiones o voltajes de línea o entre líneas. Asignaremos como voltaje de referencia para nuestro sistema trifásico, la tensión Vab, con lo cual nuestros fasores quedan definidos como: Secuencia positiva Va = Vn/-30° Vb = Vn/-150° Vc = Vn/90° Vab = 3 Vn /-30° = VL/0° con VL = 3 Vn. Vbc = 3 Vn /-120° = VL/-120° Vca = 3 Vn /120° = VL/120° Secuencia negativa Va = Vn/30° Vb = Vn/150° Vc = Vn/-90° Vab = 3 Vn /0° = VL/0° Vbc = 3 Vn /120° = VL/120° Vca = 3 Vn /-120° = VL/-120°

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1.4 CONEXIÓN DE CARGAS EN UN SISTEMA TRIFÁSICO.

Las formas típicas de conexión de las cargas trifásicas se indican a continuación: a) Cargas equilibradas o desequilibradas, conectadas en delta o triángulo. b) Cargas equilibradas o desequilibradas, conectadas en estrella, con o sin neutro. Analizaremos en detalle cada una de las alternativas de conexión de las cargas trifásicas. En todos los casos se supondrá secuencia positiva y como referencia la tensión Vab, es decir: Vab= Vab/0°= VL/0°.

1.4.1 CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN DELTA ( Δ).

En la Figura 1.6 se muestran tres cargas distintas conectadas en delta. Los valores de tensión y corriente en la carga se designarán como valores de fase. Se suponen conocidas las cargas y las tensiones del sistema. Plantearemos ecuaciones de nudo en cada punto de conexión de nuestras cargas, lo cual nos lleva a las siguientes expresiones: Figura 1.6 Carga en delta desbalanceada Ia + Ica = Iab Ib+Iab= Ibc Ic+Ibc= Ica Ia = Iab-Ica Ib = Ibc-Iab Ic = Ica-Ibc Con: (Ia, Ib, Ic) corrientes de línea, (Iab, Ibc, Ica) corrientes de fase. En función de las tensiones de la red: Iab = Vab/Zab Ibc = Vbc/Zbc Ica = Vca/Zca Potencias en el sistema trifásico. La potencia activa P es igual a la suma aritmética de las potencias parciales en las cargas,

PcaPbcPabP ++=φ3 abIabVabPab φcos∗∗= = Rab*I2ab, expresiones idénticas para las otras cargas.

La potencia reactiva Q es igual a la suma algebraica de las potencias reactivas parciales, asumiendo Q(+) para cargas inductivas y Q(-) para las cargas reactivas capacitivas.

QcaQbcQabQ ++=φ3 , donde abIabVabQab φsen∗∗= = Xab*I2ab

La potencia aparente trifásica será: φφφ 32

32

3 QPS +=

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Vca

Vab

Vbc

IcIab

Ia

Ib

Ibc

Ica

DIAGRAMA FASORIAL

El factor de potencia FP está definido como: φφ 33 SPFP ÷= Analicemos un ejemplo numérico de la situación anterior: Ejemplo 1: Sea: Zab = 10/0° Zbc = 10/45° Zca = 10/-45° Voltaje de línea de 200 volts, secuencia positiva; esto define los fasores de voltajes de línea como: Vab = 200/0° Vbc = 200/-120° Vca = 200/120° Determinaremos las corrientes de línea, de fase, potencias y factor de potencia. Cálculo de corrientes de fase: Iab = Vab/Zab = 200/0° / 10/0° = 20/0° Ibc = Vbc/Zbc = 200/-120° / 10/45° = 20/-165° Ica = Vca/Zca = 200/120° / 10/-45° = 20/165° Cálculo de corrientes de línea: Ia = Iab-Ica = 39.31-j5.176 = 39.64/-7.5° Ib = Ibc-Iab = -39.31+j5.176 = 39.64/172.49° Ic = Ica-Ibc = j10.352 = 10.352/90° Cálculo de las potencias: Pab= 200*20*cos0° = 4000 Pbc= 200*20*cos45° = 2828.42 Pca=200*20*cos-45°=2828.42 )(85.96563 wattsP φ = Qab= 200*20*sen0°= 0 Qbc=200*20*sen45° =+2828.42(var) Qca = 200*20*sen(-45°)= - 2828.42(var) (var)03 =φQ

)(85.96563 vaS =φ φφ 33 SPFP ÷= = 1 El diagrama fasorial se muestra en la Figura 1.7. Figura 1.7 Diagrama fasorial

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1.4.2 CARGAS BALANCEADAS CONECTADAS EN DELTA ( Δ). Usando como fasor de referencia la tensión Vab, plantearemos las ecuaciones de corriente en cada vértice del triángulo de conexión de las cargas equilibradas. Usando la Figura 1.8 y mediante la aplicación de la ley de Ohm:

φφϕ −=−÷=÷= //)()/( IfZVZVabIab L φφϕ −−=−−÷=÷= 120/120/)()/( IfZVZVbcIbc L

φφϕ −=−÷=÷= 120/120/)()/( IfZVZVcaIca L Figura 1.8 con )( ZVIf L ÷= , definida como módulo de la corriente de fase o corriente en la carga. Las corrientes de fase forman un sistema de fasores de igual magnitud y desfasados 120° entre sí. Para las corrientes de línea, se tiene que:

IcaIabIa −= IabIbcIb −= IbcIcaIc −= Aplicando las identidades trigonométricas:

βαβαβα sen*sencos*cos)cos( +=− ; βαβαβα sen*coscos*sen)sen( −=− se tendrá que:

°−−= φ30/*3 IfIa φ−°−= 150/*3 IfIb φ−°= 90/*3 IfIc De estos resultados, se desprende que las corrientes de línea presentan las siguientes características: - Sus módulos son 3 mayores que las corrientes de fase. - Cada corriente de línea atrasa en 30° a la respectiva corriente de fase, esto para la

situación de secuencia positiva. - Los fasores de corriente de línea forman un sistema equilibrado, desfasados 120° entre

sí y de igual magnitud. Esto nos indica que para el caso de una carga equilibrada en delta y secuencia positiva, basta con calcular o conocer una de las seis corrientes del sistema, ya que las otras se calculan fácilmente debido a las condiciones indicadas anteriormente. En relación a las potencias , las ecuaciones para este caso equilibrado en delta son:

PcaPbcPabP ++=φ3 =3*Pab= φφ cos)3(**3cos**3 ∗÷=∗ LLfL IVIV . Racionalizando esta última expresión:

P3φ = φcos**3 ∗LL IV De igual manera, la potencia reactiva trifásica es: Q3φ = φsen**3 ∗LL IV

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Ica

Ic

Iab

Ib

Ibc

Ia

Con las expresiones anteriores, la potencia aparente trifásica es: S3φ = LL IV **3 El factor de potencia es igual a : φcos=FP El carácter equilibrado de las cargas permite obtener expresiones de potencias más simples. Presentamos a continuación un ejemplo típico de esta forma de conexión. Ejemplo 2: Se tienen tres cargas conectadas en delta, cada una de 5/45°. El sistema trifásico es de 200 volt, secuencia positiva. Calcular: fasores de las corrientes de fase y de línea, potencias y factor de potencia; dibuje el diagrama fasorial. Solución: Tomando como referencia la tensión de línea Vab: Vab = 200/0° Vbc = 200/-120° Vca = 200/120° Cálculo de las corrientes de fase:

°−=°÷°=÷= 45/4045/50/200ZVabIab °−= 165/40Ibc °= 75/40Ica Cálculo de las corrientes de línea:

°−= 75/3*40Ia °= 165/3*40Ib °= 45/3*40Ic Es decir, a partir de la corriente de fase Iab se calcularon las otras corrientes del sistema. Cálculo de las potencias:

)(1696845cos*3*40*200*33 wattsP =°=φ

(var)1696845sen*3*40*200*33 =°=φQ

)(240003*40*200*33 vaS ==φ φcos=FP = 0.707

En la Figura 1.9 se presenta el diagrama fasorial del ejemplo.

Figura 1.9 Diagrama fasorial

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1.4.3 CARGA DESBALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA CON NEUTRO. El conductor neutro tiene dos funciones dentro del sistema, conduce el desbalance de corriente de la carga conectada en estrella y además, lo que es más importante, mantiene la magnitud del voltaje en la carga a un valor igual a la tensión línea neutro. El circuito se muestra en la Figura 1.10. Figura 1.10 Las corrientes de línea no forman un sistema de fasores equilibrados. Las ecuaciones para resolver este caso son las siguientes: | ZaVanIa ÷= ZbVbnIb ÷= ZcVcnIc ÷= IcIbIaIn ++= El cálculo de las potencias y del factor de potencia se debe realizar en forma idéntica al caso delta desequilibrado. Analicemos un ejemplo de esta conexión: Ejemplo 3: Para el sistema de la figura, supongamos: Za = 20/0°, Zb= 20/45°, Zc= 20/-45° Vab= 200/0° Vbc= 200/-120° Vca= 200/120° Determinar las corrientes, potencias y factor de potencia del sistema. Solución: Las tensiones al neutro son:

°−=°−÷=== 30/47.11530/3200VaVaVan N °−=°−÷=== 150/47.115150/3200VbVbVbn N

°=°÷=== 90/47.11590/3200VcVcVcn N Cálculo de las corrientes de línea (o de fase).

°−=°÷°−=÷= 30/77.50/2030/47.115ZaVaIa °−=°÷°−=÷= 195/77.545/20150/47.115ZbVbIb

°=°−÷°=÷= 135/77.545/2090/47.115ZcVcIc °=++= 150/27.5IcIbIaIn

Cálculo de las potencias. P3φ = Pa+Pb+Pc=115.47*5.77*cos0°+115.47*5.77*cos45°+115.47*5.77*cos-45° = 1608.4 Q3φ = Qa+Qb+Qc = 115.47*5.77*sen0°+115.47*5.77*sen45°+115.47*5.77*sen-45° = 0 S3φ = P3φ FP = 1

Diagrama fasorial

Ia

Ic

In

Ib

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1.4.4 CARGA DESBALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA SIN NEUTRO.

Sin el conductor neutro, las impedancias conectadas en estrella tendrán voltajes distintos de la magnitud de línea a neutro, esto considerando que los puntos N y n no son el mismo punto La solución se puede plantear usando dos ecuaciones de mallas, lo cual nos permite escribir que para el circuito de la Figura 1.11 : Figura 1.11

ZbIyZbZaIxVab ∗−+∗= )( )( ZcZbIyZbIxVbc +∗+∗−=

Del sistema planteado se calculan las corrientes Ix e Iy, con lo cual: Ia = Ix Ib = Iy-Ix Ic = -Iy Cálculo de las tensiones: Van = Za*Ia Vbn = Zb*Ib Vcn = Zc*Ic Voltaje entre N(+) y n(-) VNn = -VaN+Za*Ia = -VbN+Zb*Ib= -VcN+Zc*Ic Este voltaje, VNn, se denomina voltaje de desplazamiento del neutro. El cálculo de potencias y factor de potencia se realiza en idéntica forma que para el sistema en delta desequilibrado. Analizaremos lo que sucede para el sistema del ejemplo 3 si no existe el conductor neutro en la carga. Ejemplo 4: Recordemos que: Za = 20/0°, Zb= 20/45°, Zc= 20/-45° Vab= 200/0° Vbc= 200/-120° Vca= 200/120° Determinar corrientes de línea, voltajes en cada carga, desplazamiento del neutro, potencias y factor de potencia. Planteando el sistema de ecuaciones indicado anteriormente:

°−°+°=° 45/20*)45/200/20(*0/200 IyIx )45/2045/20(*45/20*120/200 °−+°+°−=°− IyIx

La solución del sistema es: Ix = 8/-30° Iy= 5/-67.51° Con estos valores, las corrientes de línea son: Ia = Ix= 8/-30° Ib= Iy-Ix = 5.038/-173° Ic= -Iy = 5/112.49° Los voltajes en cada impedancia son: Van = Ia*Za = 8/-30° * 20/0° = 160/-30° Vbn = Ib*Zb = 5.038/-173° * 20/45° = 100.76/-128° Vcn = Ic*Zc = 5/112.49° * 20/-45° = 100/67.49°

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Comparando estos valores con los obtenidos en el ejemplo 3, se aprecia que para la carga conectada en la línea a, Za, se produce un aumento de la corriente y de la tensión en aproximadamente un 39%, lo cual evidentemente es perjudicial para esa carga en particular. Por supuesto que las otras cargas sufren el problema inverso, es decir, una disminución en sus variables de voltaje y corriente. La diferencia de potencial que se establece entre N(+) y n(-) es: VNn = -VaN + Za*Ia = -115.47/-30° + 20/0° * 8/-30° = 44.52/-30° Esta diferencia de potencial se denomina desplazamiento o corrimiento del neutro. Cálculo de las potencias: P

φ3 = Pa + Pb + Pc Pa = 20*82 = 1280(watt) Pb= 358.94(var) Pc= -353.5(var) P

φ3 =1992.44(watt) Q

φ3 =Qa + Qb + Qc = 0+358.94-353.5 = 5.44(var)

φφφ 32

32

3 QPS += = 1992.44 (va) FP= 1

1.4.5 CARGA BALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA. Supondremos inicialmente el sistema con neutro conectado y las tensiones en secuencia positiva, con Vab como referencia, el cual se muestra en la Figura 1.12. Vab= VL/0° Vbc= VL/-120° Vca= VL/120°

°−÷= 30/)3( LVVa °−÷= 150/)3( LVVb °÷= 90/)3( LVVc

Figura 1.12 Las corrientes, como las impedancias son idénticas, forman un sistema de fasores equilibrados, iguales módulos y desfasadas entre sí 120°. Lo anterior significa que la suma de estas corrientes, In, es igual a cero, lo que equivale a desconectar o abrir el conductor neutro. Es decir, en un sistema en estrella con carga equilibrada no tiene incidencia la existencia del conductor neutro. Por otra parte, como el sistema es equilibrado, sólo es necesario estudiar una de las fases del sistema para determinar todas las tensiones y corrientes. El circuito así formado se denomina circuito monofásico equivalente, el cual es fundamental para simplificar el estudio de sistemas trifásicos equilibrados, en que las

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cargas están conectadas en paralelo y sea necesario incorporar las impedancias de las líneas de alimentación. Si existen cargas equilibradas conectadas en delta, es necesario realizar una simple transformación a estrella para poder aplicar este circuito monofásico. En ese caso,

3÷= ΔΥ ZZ . En la Figura 1.13 se muestra el circuito monofásico, para lo cual usaremos la fase a. Figura 1.13

ZVaZVaIa N ÷=÷=

°−÷= 30/)3( LVVa En relación a las potencias y factor de potencia, tendremos que:

PcPbPaP ++=φ3 =3*Pa= φφ cos*)3(*3cos**3 ∗÷=∗ LLLf IVIV . Racionalizando esta última expresión:

P3φ = φcos**3 ∗LL IV De igual manera, la potencia reactiva trifásica es: Q3φ = φsen**3 ∗LL IV Con las expresiones anteriores, la potencia aparente trifásica es: S3φ = LL IV **3 El factor de potencia es igual a: φcos=FP Por la importancia del circuito monofásico, analizaremos tres ejemplos, los cuales se indican a continuación. Ejemplo 5: Se tiene un sistema trifásico equilibrado, secuencia positiva, voltaje de línea 380 volt, el cual alimenta una carga trifásica equilibrada, conectada en estrella, con ZY = 10/45° , el cual se muestra en la Figura 1.14. Determinar: a) corrientes de línea. b) potencias totales. c) factor de potencia total. Solución: Figura1.14 Asumiendo como referencia a Vab, Va = 220/-30°, y usando el circuito monofásico equivalente: Corrientes de línea. Ia = (220/-30° )/10/45° = 22/-75° Ib = 22/-195° Ic = 22/45° Potencias totales. Ptotal = Pa + Pb + Pc = )(19.1026745cos*22*220333 1 wattsPaP =°∗=∗=∗ φ Qtotal = Qa + Qb + Qc = (var)19.1026745sen*22*220333 1 =°∗=∗=∗ QaQ φ

)(1452022 VAQPStotal =+= 707.0=÷= totaltotal SPFP

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También, usando las ecuaciones anteriores de potencia tendremos(desarrollar): P3φ = φcos**3 ∗LL IV Q3φ = φsen**3 ∗LL IV S3φ = LL IV **3

φcos=FP siendo φ el ángulo de la impedancia Z. Ejemplo 6: Se tienen tres impedancias iguales de valor Z = 15/30° conectadas a un sistema trifásico con voltaje de línea de 100 volt, secuencia positiva. Calcule las corrientes de línea y las potencias trifásicas si las cargas se conectan: a) en estrella b) en delta c)repita el cálculo anterior si la secuencia es negativa. Solución: Caso a: Como se trata de un sistema equilibrado en estrella, calcularemos los valores pedidos usando el circuito monofásico equivalente. Vab = 100/0° °−÷= 30/)3100(Va Cálculo de corrientes:

°−=÷= 60/848.3ZVaIa Ib= 3.848/-180° Ic = 3.848/60° Cálculo de las potencias: P3φ = φcos**3 ∗LL IV = )(2.57730cos848.3*100*3 w=°∗ Q3φ = (var)2.33330sen*848.3*100*3sen**3 =°=∗ φLL IV S3φ = )(49.666848.3*100*3**3 vaIV LL ==

φcos=FP = cos30°=0.866 Caso b: En este caso, a partir de la corriente de fase Iab determinaremos las corrientes de línea. Cálculo de corrientes: Iab= 100/0° / 15/30° = 6.666/-30° Ia = °−°− 3030/*3 Iab = 11.547/-60° Ib= 11.547/-180° Ic = 11.547/60° Cálculo de potencias: P3φ = )(173230cos547.11*100*3 w=°∗ Q3φ = (var)100030sen*547.11*100*3 =° S3φ = )(2000547.11*100*3 va=

φcos=FP = cos30°=0.866 Caso c: Como las cargas están conectadas a un sistema trifásico con secuencia negativa, los fasores de tensiones son: Vab= 100/0° Vbc= 100/120° Vca= 100/-120° Caso a (cargas en estrella): Cálculo de corrientes: Ia= (57.73/30° )/15/30° = 3.848/0° Ib = 3.848/120° Ic = 3.848/-120° Cálculo de potencias: P3φ = φcos**3 ∗LL IV = )(2.57730cos848.3*100*3 w=°∗

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Q3φ = (var)2.33330sen*848.3*100*3sen**3 =°=∗ φLL IV S3φ = )(49.666848.3*100*3**3 vaIV LL ==

φcos=FP = cos30°=0.866 Caso b (cargas en delta): Cálculo de corrientes: Iab= 100/0° / 15/30° = 6.66/-30° Ia= 11.547/-30+30° = 11.547/0° Ib = 11.547/120° Ic = 11.547/-120° Cálculo de potencias: P3φ = )(173230cos547.11*100*3 w=°∗ Q3φ = (var)100030sen*547.11*100*3 =° S3φ = )(2000547.11*100*3 va=

φcos=FP = cos30°=0.866 Ejemplo 7: En el circuito de la Figura 1.15 la carga tiene 380 volt, secuencia positiva y absorbe 7.9 kVA con un factor de potencia de 0.707 en adelanto. Determinar: a) Vab b) Z Figura1.15 Solución: Usando el circuito monofásico equivalente, con el voltaje de línea en la carga como referencia, tendremos: Vxy= °− 30/)3/380( = 220/-30° Cálculo de la corriente Ia. 7.9 (kVA) = I∗∗3803 I = 12(A) Ia= 12/45°-30° = 12/15° ya que Z es de carácter capacitivo. Cálculo de Vab: Van= 220/-30° + 12/15° *(3+j4) = 219.6/-14.31° Vab = 219.6* 3 /-14.31°+30° =380.35 /15.69° Cálculo de Z: Z = 220/12 = 18.33 Z = 18.33/-45°

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1.5 MEDICION DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS. A primera vista, la medida de la potencia en una carga trifásica parece un problema sencillo. Necesitamos solamente conectar un wáttmetro en cada una de las fases y sumar los resultados. En la figura se muestra como ejemplo las conexiones para una carga conectada en estrella. Cada wáttmetro mide la corriente en cada fase de la carga y la bobina de tensión está conectada entre una línea y el neutro. Este método es teóricamente correcto, pero puede resultar inaplicable en la práctica, ya que el neutro de la estrella no suele ser accesible y no es corriente disponer de las fases si las cargas están conectadas en delta. Evidentemente se necesita un método para medir la potencia total de una carga trifásica que sólo tiene tres terminales accesibles y que puede ser equilibrada o desequilibrada. Conectemos tres wättmetros de tal modo que cada uno de ellos tenga su bobina de corriente en una línea y su bobina de tensión entre esta línea y algún punto común X, tal como se muestra en la Figura 1.16. Aunque se muestra el caso para una carga en estrella, los argumentos son también válidos para una carga conectada en delta. Figura 1.16 El punto X puede ser algún punto del sistema trifásico, o puede, simplemente, ser un punto del espacio, en el cual las tres bobinas de tensión tienen un nudo común.

La potencia media indicada por el wáttmetro A debe ser: dtieTP aA

T

AX∫÷=0

)1(

En donde T es el período de las tensiones del sistema. Las lecturas de los otros dos wáttmetros están dadas por expresiones similares y la potencia media total es:

∫ ++÷=++=T

cCCXbBBXaAAXCBA dtieieieTPPPP0

)()1(

Cada una de las tensiones de la expresión anterior se pueden escribir en función de una tensión de fase y de la tensión entre el punto X y el neutro: eAX = eAN + eNX eBX = eBN + eNX eCX = eCN + eNX

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Usando estas relaciones en la ecuación de potencia total:

∫∫ ++÷+++÷=T

cCbBaANX

T

cCCNbBBNaAAN dtiiieTdtieieieTP00

)()1()()1(

Como la carga trifásica puede ser considerada como un supernudo, y de acuerdo a la ley de Kirchhoff de corrientes:

iaA + ibB+ icC = 0 , con lo cual: ∫ ++÷=T

cCCNbBBNaAAN dtieieieTP0

)()1(

Esta suma representa realmente la potencia total del sistema trifásico, ya que cada sumando de la integral es la potencia de cada carga. Como el punto X, conexión común de las tres bobinas de tensión, puede estar situado en cualquier ubicación sin que afecte la suma algebráica de los wáttmetros, consideremos el efecto que se produce al ubicarlo directamente en una de las líneas del sistema trifásico. Si por ejemplo, un extremo de cada bobina de tensión se retorna a B, se tiene entonces que no existe tensión a través de la bobina de tensión del wáttmetro B y su medición será cero. Este wáttmetro puede suprimirse, y la suma algebráica de los dos wáttmetros restantes es la potencia total trifásica. Cuando el punto X se escoge de esta manera, este método de medida se define como el método de los dos wáttmetros. La suma algebráica indica la potencia total independientemente del desequilibrio de las cargas y de la forma de conexión. Analizaremos las distintas opciones para la conexión de los wáttmetros en un sistema trifásico de tres conductores. Para esto usaremos el circuito trifásico que se muestra en la Figura1.17: Figura 1.17 La potencia total trifásica debe ser igual a la suma algebráica de los wáttmetros que tengan en común la misma referencia de tensión, con lo cual se tienen tres opciones para la medición de la potencia trifásica:

P3φ = W1+W5 = W2 + W3 = W4 + W6

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Veamos algunos ejemplos de medición de potencia activa trifásica. Ejemplo 8: Sea: Zab = 10/0° Zbc = 10/45° Zca = 10/-45° Voltaje de línea de 200 volts, secuencia positiva; esto define los fasores de voltajes de línea como: Vab = 200/0° Vbc = 200/-120° Vca = 200/120° Determinaremos la lectura de dos wáttmetros conectados para medir la potencia trifásica total, como se muestra en la Figura 1.18 Solución: Figura 1.18 Usando como referencia la línea B, las lectura de un wáttmetro conectado en A y otro en C son: WA = VAB * IA * cos(VAB,IA) WC = VCB * IC * cos(VCB,IC) Usando los valores de las corrientes calculados en el Ejemplo 1, tendremos que: Ia = 39.64/-7.5° Ib = 39.64/172.49° Ic = 10.352/90° WA =200*39.64*cos(0°-(-7.5°)) = 200*39.64*cos(7.5°)= 7860.17 [watt] WC =200*10.352*cos(60°-90°) = 200*10.352*cos(-30°) = 1793 [watt] P3φ = WA +WC = 9653.17[watt] Se plantea como ejercicio, calcular la potencia usando las otras alternativas de conexión de los wáttmetros. Ejemplo 9: Para el mismo sistema del Ejemplo 8, sean: Zab= 10/-70°, Zbc= 10/30°, Zca = 10/70°, voltaje de línea 100 volt, secuencia positiva. Determinar las lecturas de los wátmetros WA y WC de la Figura 1.19 Solución: Vab = 100/0°, Vbc= 100/-120°, Vca= 100/120° Corrientes de fase: Iab = 10/70°, Ibc= 10/-150°, Ica= 10/50° Corrientes de línea: Figura 1.19 Ia= Iab-Ica= 3.51/149°, Ic= Ica-Ibc= 19.8/39.6° Lectura de los wáttmetros: WA = Vab*Ia*cos(Vab, Ia)= 100*3.51*cos(-149°)= -301 [watt]

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WC = Vcb*Ic*cos(Vcb, Ic)= 100*19.8*cos(60°-39.6°)= 1852[watt] Wtotal = -301+1852= 1551 [watt] La potencia total es igual a la suma algebráica de las lecturas parciales.