8/16/2019 Brownian Motion in Biology

1/6

La importancia del movimiento Browniano en Bioloǵıa y

sus múltiples aplicaciones

Jorge Luis Gálvez Vallejo

147520

1. Ensayo

La bioloǵıa es conocida por ser una ciencia que no estudia las ecuaciones de movimiento,

las fuerzas que actúan en la naturaleza y demás, sino el efecto que tienen estas fuerzas y movi-

mientos en los seres vivos, sus desplazamientos, sus comportamientos, ciclos, vida, reproducci ón

y desarrollo futuro. En general se cree que los biólogos no necesitan saber más matemáticas

además de la estad́ıstica y el uso de los programas de especialidad sin embargo, los modelos ma-

temáticos que se pueden lograr en comunidades de seres vivos para explicar su crecimiento, su

distribución de acuerdo a recursos y las posibles complicaciones que podŕıan ocurrir si existiera

algún desastre natural o causado por el hombre en esos medios, todos estos pueden proveernos

de grandes herramientas de prediccíon que son vitales para el desarrollo de la vida en el planeta.

Generalmente las áreas de las Matemáticas que se pueden usar para describir los fenómenos

biológicos son procesos estocásticos, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, teoŕıa degrupos y Fı́sica estadı́stica. En general estas disciplinas tienen en común que tienen habilidades

fuertes de generar predicciones u ordenar cosas (teoŕıa de grupos), las ecuaciones diferenciales

se pueden usar muy básicamente para modelar como se enfŕıa una taza de café bajo la influen-

cia del medio ambiente, cuánto tiempo lleva muerta una persona de acuerdo a su temperatura

corporal, se puede modelar el crecimiento de bacterias, hongos, personas, animales y en general

de todo, los procesos estocásticos y la mecánica estad́ıstica son disciplinas en donde se trabaja

con densidades de probabilidad, estados de un sistema y esto se puede usar para generar mo-

delos de desplazamiento desde part́ıculas hasta poblaciones enteras. La combinación de todos

1

8/16/2019 Brownian Motion in Biology

2/6

estos elementos pueden proveer de buenos y precisos modelos para el comportamiento de los

seres vivos en su medio, porque todo, absolutamente todo, se puede expresar matemáticamente.

Toda esta historia comienza con el italiano Vito Volterra cuando publica un an álisis de la

población de peces en el mar adriático, su investigación hecha a la par con Alfred Lotka culmina

en una ecuación para el modelado poblacional

d

dtxi  =  aixi(1− Σ jbijx j) (1)

Las ecuaciones de Lotka-Volterra funcionan para ciertos sistemas, sobre todo para los cúmu-

los, como parvadas, bancos, manadas, sin embargo, para poblaciones dispersas no se adecúa muybien el modelo, ya que en estas ecuaciones el   caos  no está intŕınsecamente relacionado con el

sistema. Los modelos posteriores, desarrollados por Einstein, Smoluchowski, Planck entre otros,

dictan que el caos es algo natural y es una propiedad de los sistemas por lo que lo consideran en

todas sus ecuaciones y aśı se fue llegando a modelos más exactos para sistemas más complicados.

Movimiento Browniano: Lo más probable es que mucha gente ya haya escuchado hablar

de este tipo de movimiento. El movimiento Browniano es movimiento al azar, muchas cosas lo

presentan y los modelos que lo incluyen logran inducir el caos en sus sistemas y con esto los

comportamientos no predecibles de los sistemas se pueden volver modelables y predecibles. El

movimiento Browniano fue observado por primera vez por el biólogo Robert Brown, él coloca

polen en agua y lo observa al microscopio, ah́ı nota el extrao comportamiento de las part́ıculas.

Él mismo no pensó que su descubrimiento inspiraŕıa a los f́ısicos de la época a desarrollar

modelos alrededor de esto y que seŕıa clave para la F́ısica moderna.

2

8/16/2019 Brownian Motion in Biology

3/6

Figura 1: Movimiento Browniano de part́ıculas de Polen

El movimiento Browniano se convirtió en algo tan fascinante que el mismo Albert Einstein

dedicó su tiempo a eso además de la relatividad general. En su estudio titulado   Investigaci´ on 

sobre la teoŕıa del movimiento Browniano   sentó las bases matemáticas para el estudio de la

dinámica de estos sistemas. El movimiento Browniano fue muy estudiado hasta que se desarroll ó

una dinámica que pod́ıa describir perfectamente el movimiento de las part́ıculas en solución,

esto lo logra Smoluchowski con su ecuación de movimiento en su versión más simple:

∂ 

∂tn(r, t) = Dr∆n(r, t) (2)

Posterior a esto, Paul Langevin desarrolla la famosa ecuación de Langevin donde además de

explicar el movimiento de las part́ıculas Brownianas en su ecuación se incluye lo que se llama

ruido, con esto se pudieron modelar sistemas más complejos y también sistemas bajo efectos

de campos externos.

¿Qué significa todo esto en Biologı́a ? Con este tipo de ecuaciones y modelos se pueden hacer

modelos computacionales de los comportamientos de animales, distribuciones y de factores que

puedan afectar al sistema. El ruido de Langevin lo podemos extrapolar a factores externos

del sistema, como pueden ser inundaciones, seqúıas, especies invasoras, especies exóticas que

rompen los balances en el ecosistema. Por ejemplo

3

8/16/2019 Brownian Motion in Biology

4/6

Figura 2: Orientación de una dinámica Browniana

Esto lo podŕıamos representar como alguna especie, por ejemplo elefantes, haciendo un

ćırculo para proteger a sus cŕıas de los depredadores o diferentes especies al rededor de una

fuente de agua, insectos rodeando una presa.

Ahora un gráfico tridimensional:

Figura 3: Dinámica Browniana en 3 dimensiones

Como vivimos en un mundo tridimensional los gráficos tridimensionales suelen dar más

información. Este es el comportamiento de ĺımites de distribución estad́ıstica en un sistema.

El gráfico podŕıa asemejar el comportamiento de una parvada movíendose con el viento o

depredando en algún área.

4

8/16/2019 Brownian Motion in Biology

5/6

La importancia del conocimiento de la dinámica de sistemas complejos es lo que nos permite

establecer modelos teóricos para explicar los extraños e impredecibles comportamientos de los

seres vivos. Con estas herramientas podemos hacer modelados de población usando ecuaciones

diferenciales estocásticas que permitan tratar todo como una densidad de probabilidad y que

consideren las interacciones del sistema por fuerzas externas (en Fı́sica esto se conoce como: bajo

la influencia de un campo externo) y aśı poder modelar la población incluyendo los efectos que

ocurren en la vida, por ejemplo en un modelo para personas u algún animal muy dependiente de

sus condiciones de vida, se puede establecer un modelo que considere enfermedades, epidemias,

cambios en presiones, precipitaciones y demás. La naturaleza de las ecuaciones que consideran

el movimiento Browniano permite acoplar el caos que es intŕınseco a la naturaleza y nos permite

hacer modelos de predicción futura.

Figura 4: Ejemplo de movimiento entre diferentes ambientes

Como se ha podido observar el uso del movimiento Browniano en la bioloǵıa es de vital

importancia, sobre todo para el estudio de la ecologı́a, ya que con las habilidades de predicción

que se obtienen se pueden generar estrategias para el cuidado del medio donde alguna especie

en peligro se desarrolla. Todo esto tiene que ser cotejado con la investigación experimental, ya

que las ecuaciones solamente ven las variables que uno le da y con las que quiere representarel sistema. Un error común es que en una variable se engloben varias condiciones que no

son necesariamente dependientes de la otra y esto le de al modelo un error y aśı el poder

de predicción baja. Esto nos indica que las disciplinas que se les conoce ahora como Biof́ısica,

Biomatemáticas no son independientes y requieren fuertemente del trabajo tanto de laboratorio

como de campo. Y cabe mencionar que los modelos teóricos no dictan cómo debe ser la vida,

sino al revés, el experimento, el sistema laboratorio es el que dicta las condiciones que deben

de seguir las ecuaciones que se plantearán. Si el modelo no explica a la perfección el sistema, el

modelo es el que está mal, no se puede justificar que la naturaleza est á mal. Esto es algo que

5

8/16/2019 Brownian Motion in Biology

6/6

muchas personas olvidan y se dedican solamente a escribir ecuaciones sin saber qué deben de

representar.

2. Bibliograf́ıa

A Modern Course in Statistical Physics, Linda E. Reichl, Wiley

Modern Thermodynamics from Heat Engines to Dissipative Structures, Ilya Priyogine, Wi-

ley

Introducción a la F́ısica Estad́ıstica, Leopoldo Garcı́a Coĺın

Mathematical Methods for Physicists, George B. Arfken, Elsevier

6