brain_m04conic.pdf

17
2 2551 4 1. 1. (1, -329 (2, -429 x 2 + y 2 + 2x + 6y + 16 = 0 2. x 2 + y 2 - 16x + 2y + 16 = 0 28π 3. y (-3, 429 x 2 + y 2 + 6x - 8y + 16 = 0 4. x 2 + y 2 + 4x - 8y - 1 = 0 2 x 2 + y 2 - 4x + 8y - 64 = 0 2. () 3x 2 + 3y 2 + 6x - 6y - 6 = 0 (-1, 129 () (2, 3) (1, 3) (5, 0) (x - 229 2 + ( y - 329 2 = 9 25 () (0, 0) 10 x - 6 = 0 x 2 + y 2 + 12x - 16y = 0 x 2 + y 2 + 12x + 16y = 0 1. 1 2. 2 3. 3 4. 3 3. () (4, 0) , (0, 3) x 2 + y 2 - 4x - 3y = 0 () (4, 3) , (1, 0) x - 2y + 5 = 0 x 2 + y 2 + 2x - 3y + 5 = 0 1. () () 2. () () 3. () () 4. () () 1

Transcript of brain_m04conic.pdf

Page 1: brain_m04conic.pdf

����������� ��� �������������� �� � � ��������� 2 ��� ���� 2551 �#$�%#&�%��� ����� 4

�� �(�)� �)�*�+��%�)�% ��,��� � �)#���1. ��������� ��������

1. ������ �� ���������������� � �� �!�"#����� � $���!%&� (1, −3) (2, −4)

x2 + y2 + 2x + 6y + 16 = 0

2. %������($��!�)���������� � %�(���*) x2 + y2 − 16x + 2y + 16 = 0 28π

3. $���!������ �� ���������������� � �� $*�#*$��� y %&� (−3, 4)

x2 + y2 + 6x − 8y + 16 = 0

4. $���!������ �� ������������!���*)�����./��� $���! x2 + y2 + 4x − 8y − 1 = 0

�� � !*�� (�0� 2 (����������� �%&� x2 + y2 − 4x + 8y − 64 = 0

2. ��12��!3����%������� �(�) ����� � ������������%&� 3x2 + 3y2 + 6x − 6y − 6 = 0 (−1, 1)

(�) $���!������ �� ������������%&� (2, 3) �� $*�#*$($���!�� �#����� (1, 3) �� (5, 0)%&� (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9

25

(%) $���!������ �� �!�"#����� (0, 0) � !*�� 10 9��� �� ���������������)�($���!� %&� 9!&� x − 6 = 0 x2 + y2 + 12x − 16y = 0 x2 + y2 + 12x + 16y = 0

�����$!���������1. � ������ 1 ��� 2. � ������ 2 ���3. � ������ 3 ��� 4. � ���#2� 3 ���

3. ��12��!3����%������� �(�) $���!������ �#����� (4, 0) , (0, 3) �� ����:�(�2�%&� x2 + y2 − 4x − 3y = 0

(�) $���!������ �#����� (4, 3) , (1, 0) �� ���������������)�($���!� %&� x − 2y + 5 = 0 x2 + y2 + 2x − 3y + 5 = 0

�����$!���������1. (�) ��� (�) ��� 2. (�) ��� (�) #2�3. (�) #2� (�) ��� 4. (�) #2� (�) #2�

1

��������� �� ������� ����������������

Page 2: brain_m04conic.pdf

4. $���!��������./��$*�#*$��� x � ���� �*���� y � ���� A �� B >��%�!�� (−3, 0)

AB ��� 8 9��� �� �����������������%���!*���� � 3%&������1. x2 + y2 + 6x + 8y = 0

2. x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0

3. x2 + y2 + 6x + 8y + 9 = 0

4. x2 + y2 + 3x + 5y − 13 = 0

5. $���!($��$*�#*$�������� 3 ���./��������*��*)($���!� x2 + y2 − 10x = 0

�!��*)�����4x + 3y − 20 = 0

1. 9!&� 3x − 4y − 10 = 0 3x − 4y + 40 = 0

2. 9!&� 3x − 4y + 10 = 0 3x − 4y − 40 = 0

3. 9!&� 3x + 4y − 10 = 0 3x + 4y + 40 = 0

4. 9!&� 3x + 4y + 10 = 0 3x + 4y − 40 = 0

6. �������A$���! ��)���1�!�>)�� y2 − 4y − 4x = 0

1. ���>"�*$���� � (0, 2)2. ($���(!��!2�.�� $���!(�0� x = 23. ������1�!�>)��%&� y = 24. ���������� � (−1, 2)

7. ��12��!3����%������� �(�) 1�!�>)��./��� ($���(!��!2�.�%&� y = 5 �� ���>"�*$%&� � � %������(2, −5)

���*$(!��*�(���*) 10(�) %���������*$(!��*����1�!�>)�� ./��� ($���!� (�0�($���(!��!2�.�x + y − 2 = 0

�� � ��� (4, 2) (�0����>"�*$%&� 8 2

(%) $���!1�!�>)��� �%����� %���������*$(!��*�(���*) 8 �� � ���>"�*$!���*)����������������� %&� x2 + y2 − 6x − 10y + 54 = 0 y2 − 10y − 8x + 33 = 0

�����$!���������1. � ������ 1 ��� 2. � ������ 2 ���3. � ������ 3 ��� 4. � ���#2� 3 ���

2

��������� �� ������� ����������������

Page 3: brain_m04conic.pdf

8. ��12��!3����%������� �(�) 1�!�>)��� �� ���������� ���� �� ���>"�*$���� ���� � $���!(�0�(−1, 4) (−1, 1)

x2 + 2x − 12y + 47 = 0

(�) ! � ! 9����������������������� ��*����������1�!�>)��x2 + y2 = 2x

(���*) 9���y2 − 6y + 2x + 13 = 0 9 2

�����$!���������1. (�) ��� (�) #2� 2. (�) #2� (�) ���3. (�) ��� (�) ��� 4. (�) #2� (�) #2�

9. A (�0��������������������� B �� C (�0�����������%�!�� x2 + y2 + 4y − 5 = 0

1�!�>)�� ./�����#�����>"�*$ �� �����*)($���(!��!2�.����� x2 − 6y + 18 = 0

!��$��(9� ��� ABC � 1&��� �� ���!��9���1. 9.5 2. 15.53. 19.5 4. 36

10. �:�9��$���!����� $*�#*$�*)���������1�!�>)�� 3x2 + 3y2 − 6x − 24 = 0

)���� x ���>"�*$���1�!�>)��� �%&�y2 = 8(x − h)

1. (4, 0) 2. (5, 0)3. (6, 0) 4. (7, 0)

11. $���!���(�2���������������������� �$*�#*$�*) �� $*�#*$x2 + y2 − 12x + 11 = 0

��� y ($���!��*)�����1. 2.x2 − 22y + 11 = 0 x2 + 22y + 11 = 0

3. 4.y2 + 22x + 11 = 0 y2 − 22x + 11 = 0

12. ($�""F��!�$�� 2 ���$�� 25 (��! �G�9���*� 100 (��! ����/�$��"! 9���9*�($��*��$�����������9�$��"��������(�0�!��1�!�>)�� �� $��� ��������:��$�����$�����1&���2� 5 (��! ��9����:��9��� �$��""F�9�����($�����9�/�� 25 (��! � ���$�����1&���2�� �(��!1. 5 2. 103. 15 4. 20

13. �:�9��$���!��! %:�������������������25x2 + 9y2 − 100x − 54y − 44 = 0

1. ���(��������� x 2. ����������>�%&� (2, 0) �� (2, −6)

3. %���(�&������������(�0� 0.8 4. ���>"�*$%&� (1, 2) �� (−7, 2)

3

��������� �� ������� ����������������

Page 4: brain_m04conic.pdf

14. �����������������1. $���!��! � �� ���������� ���� �� (6, 0) �� � ����������>����9�/��(−6, 0)

���� ���� (0, 2) %&� x2

36+ y2

9= 1

2. �!�"��! ./��� ����������(������ ���� �� ����������>�(−1, 8) (−1, −2)

���9�/������ � (3, 3) � � ���>"�*$���� � �� (−1, 6) (−1, 0)

3. ��! � ���������������� ���� (0, 0) ���������9�/������ � (0, 5) %�%���(�&������������ = 0.6 � � $���!%&� x2

16+ y2

25= 1

4. �!�"��! � ���>"�*$���� � �� (6, 2) #����� (4, 6) � � %���������(��(−4, 2)

= 6 5

15. ��12��!3����%������� �(�) $���!����!�"� �� P(x, y) (�0������I )��!�" �� #�)�����! � ��� P(x, y)

��*���� �� %�� �(�0� 10 9���($��%&� (3, −1) (7, −1) (x − 5)2

16+ (y+ 1)2

25= 1

(�) $���!���(�2����������������!��$��(9� ���� �� ($��!�)!����� 30 9��� �� � (�0�J��%&� A(−6, 1) B(4, 1) (x+ 1)2

100+ (y− 1)2

75= 1

�����$!���������1. (�) ��� (�) ��� 2. (�) #2� (�) #2�3. (�) ��� (�) #2� 4. (�) #2� (�) ���

16. ����������:�(�0�!����! � $���!(�0� 25x2 + 16y2 − 100x + 96y − 156 = 0

������!����9K����$��� ��!(���*�!�� >��� ��� (�0�����������>��� ���B,B

(�0����>"�*$ ���%������� 9���(�0�(��! �� ($ �%�����9K����!��(��!� F,F

40 )�� � ($ �(�2�%�����9K���*��$2��� �)��1. 840 )��2. 960 )��3. 1200 )��4. 1600 )��

V

'

F'

V '

F

B B

4

��������� �� ������� ����������������

Page 5: brain_m04conic.pdf

17. $���!��! � �� ������������!���*)����� ���(������x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0

�*)��� y �� � ! � %!/�����(���*)%!/�����>� (���*) %���������! � ��$�� �� ! � ����$�������� (10, 7) ��*�($��!�)��������������:��*)%&������1. x2 + 9y2 − 4x − 18y − 212 = 0

2. 9x2 + y2 − 36x − 2y + 212 = 0

3. x2 + 9y2 − 18x − 4y + 188 = 0

4. 9x2 + y2 − 36x − 2y − 188 = 0

18. 1�!�>)��� $���!%&� �� ��! � ���������������� ���� (0, 0)x2 + 4y − 20 = 0

� ���������9�/������ ����������1�!�>)�� �� � ���>"�*$���9�/������ ����>"�*$���1�!�>)������ $���!��! �!��*)�����1. 2.25x2 + 9y2 = 225 25x2 + 16y2 = 400

3. 4.9x2 + 25y2 = 225 16x2 + 25y2 = 400

19. ���$���!N(1�!�>)�� �����$!����������4x2 − 9y2 − 32x + 90y − 197 = 0

1. ���>"�*$����!�"%&� �� (4 − 13 , 5) (4 + 13 , 5)

2. %���������$*���%(���*) 4 9���3. ($���:��*)�!�"� $���!%&� y − 5 = ±2

3(x − 4)

4. ���������� � �� (5, 5)(−1, 5)

20. ��12��!3����%������� �(�) N(1�!�>)�� � ���������� � �� � >"�*$���� ���� �� (−2, 0) (2, 0) ( 6 , 0)

� � $���!%&� (− 6 , 0) x2

16− y2

4= 1

(�) N(1�!�>)��� ���������� � �� ����������$*���%���9�/��%&� (−4, −2) (6, −2) (1, 10)

� � ���>"�*$%&� �� (1, 11)(1, −15)

���$!�����������1. (�) #2� (�) ��� 2. (�) ��� (�) #2�3. (�) #2� (�) #2� 4. (�) ��� (�) ���

******************

5

��������� �� ������� ����������������

Page 6: brain_m04conic.pdf

���������� ����������� ������ ���

1. )�� 3�&��- )#��,�� 1 .� : ���!�� r = CP = 1 + 1 = 2

$���!�����%&� (x − 1)2 + (y + 3)2 = ( 2 )2

�*�!���� x2 + y2 − 2x + 6y + 8 = 0

)#��,�� 2 .� : ����� ������������ x2 + y2 − 16x + 2y + 16 = 0 = (8, −1)

r = 64 + 1 − 16 = 7

%������($��!�)�� 9���= 2πr = 2π7 = 14π

)#��,�� 3 12� : $���!�����%&�(x + 3)2 + (y − 4)2 = 32

�*�!���� x2 + y2 + 6x − 8y + 16 = 0

)#��,�� 4 .� : ����� � ���������������� � x2 + y2 + 4x − 8y − 1 = 0 (−2, 4)

�� � r = 4 + 16 − (−1) = 21

������ �� ������������� �(� ���*) x2 + y2 + 4x − 8y − 1 = 0

�� � !*�� (�0� 2 (����������� �%&�(x + 2)2 + (y − 4)2 = (2 21 )2

�*�!���� x2 + y2 + 4x − 8y − 64 = 0

2. )�� 2�&��- (�) 12� : ����� 3x2 + 3y2 + 6x − 6y − 1 = 0

�:� 3 9�!����� ��$���!(�0�x2 + y2 + 2x − 2y − 1

3= 0

���$��!��!9������������������ �� ������������ = (−1, 1)

C(1,-3)

rP(2,-4)

(-3,4)

r = 3

y

x

6

��������� �� ������� ����������������

Page 7: brain_m04conic.pdf

(�) 12� : ($���!�� �#����� (1, 3) �� (5, 0) � %���A*� (m) = 3 − 0

1 − 5= −3

4

���(�%�2%��!$!���$���!($���!�>���2T %2������ ��$���!($���!�%&� 3x + 4y − 15 = 0

���!�� r = CP = 3(2) + 4(3) − 15

5= 3

5

$���!�����%&�

(x − 2)2 + (y − 3)2 = 3

5

2→ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9

25

(�) .� : ���!��������������������)�($���!� (!�$���!�$���2x = 6

�������������9�(�0� (6, k) ��(�&������ CP = 10 = 1036 + k2

����� k = ±8

������������������/�� 2 ��� %&� (6, 8) �� (6, −8)

$���!������ � 2 $���!%&� 9!&� (x − 6)2 + (y − 8)2 = 102 (x − 6)2 + (y + 8)2 = 102

�*�!���� 9!&� x2 + y2 − 12x − 16y = 0 x2 + y2 − 12x + 16y = 0

3. )�� 2�&��- (�) 12� :

���V��� �)!!����)�������∆

����� �����!������*)���V��%&�($��#����������������

���!���9� C (�0��������������������� C � ����/������! 9��� Q �*) R�*��*����� C � 12�*�%&� (2,

3

2) r = CQ = 4 + 9

4= 5

2

$���!�����%&� �*�!���� (x − 2)2 + (y − 3

2)2 =

5

2

2x2 + y2 − 4x − 3y = 0

*** ��� (�) ����A�$��!�*���� (�� ()!� � $!���$���!��(�0� �*�!���� (x − 0)(x − 4) + (y − 3)(y − 0) = 0 x2 + y2 − 4x − 3y = 0

./��� (!Y�����2T �!����

C(2,3)

rP

3x+4y-15=0

C(6,k)

P(0,0)10

x - 6 = 0x = 6

P(0,0)

y

x

R(0,3)

Q(4,0)

C

7

��������� �� ������� ����������������

Page 8: brain_m04conic.pdf

(�) .� : ��� C (h, k) ���)�($���!�x − 2y + 5 = 0

� ���� h − 2k + 5 = 0

h = 2k − 5

���!�� CA = CB(2k − 5 − 4)2 + (k − 3)2 = (2k − 5 − 1)2 + (k − 0)2

���:��*�$���*��$��\G]������! ���� ��4k2 − 36k + 81 + k2 − 6k + 9 = 4k2 − 24k + 36 + k2

���$���!�� k = 3 ∴ �����������������%&� (1, 3)r = CB = 0 + 9 = 3

$���!�����%&� �*�!���� (x − 1)2 + (y − 3)2 = 32 x2 + y2 − 2x − 6y + 1 = 0

4. )�� 2�&��- ���!�� ����������������� = (−3, −5)

�� !*�� (r) = 5$���!�����%&� (x + 3)2 + (y + 5)2 = 52

�*�!���� x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0

5. )�� 2�&��- ����� x2 + y2 − 10x = 0

� ������������ = (5, 0)�� r = 25 + 0 + 0 = 5

l : 4x + 3y − 20 = 0 , m = −4

3

��������������������������%&� (5, 0) ��$���!($���!� l 1)��$���!(�0��!2��$����($���!� l #������������������� ($��$*�#*$������ �*��V���*)($���!� l %���A*����($��$*�#*$�/�(�0� (!��� 9�$���!($��$*�#*$>��(!2�������!$���2�9�3

4

$���!($��$*�#*$%&� 3x − 4y + C = 0

C(h,k)

A(4,3)

B(1,0)2k-5

5

y

x(-3,0)

5

3

3

B

A4

8

5

5(5,0)

8

��������� �� ������� ����������������

Page 9: brain_m04conic.pdf

(�&������ ! � ������ (5, 0) ��*�($��$*�#*$����� = 5 = 53(5) + 4(0) + C

5

= 25C + 15

C = 10, −40

∴ $���!($��$*�#*$�����%&� 9!&� 3x − 4y + 10 = 0 3x − 4y − 40 = 0

6. )�� 2�&��- Parabola = 0y2 − 4y − 4x

=y2 − 4y + 22 4x + 22

= (y − 2)2 4 (x + 1)

4c → c = + 1

(� ���!�" Parabola ���*�� ����!�� ���>"�*$���� � (0, 2)

($���(!��!2�.�� $���!(�0� x = −2

������ Parabola %&� y = 2

���������� � (−1, 2)

∴ ��� 2 #2�7. )�� 1

�&��- (�) .� : ���!�� 2c = 10

∴ %���������*$(!��*� = 4c = 20

(�) .� : ! � ������>"�*$ (4, 2) ��*�($���!� %&� x + y − 2 = 0 2c

4 + 2− 2

2= 2c → 2c = 2 2

∴ %���������*$(!��*� = 4c = 4 2

1 1

F(0,2)x '

y 'Di : x = -2

(-1,2)

F(2,-5)

Di : y = 5

|c|

|c|

9

��������� �� ������� ����������������

Page 10: brain_m04conic.pdf

(�) ��� : �������� 4c = 8 → c = 2

����� � Parabola = ���������������� = (3, 5)"#$���%��&�'� �%�(

����% Parabola )*+(y − 5)2 = 4(2)(x − 1)

� �%�(&�'"(,�y2 − 10y − 8x + 33 = 0

8. � 4�� ����

(�) ��� : ����% Parabola )*+(x + 1)2 = 4(−3)(y − 4)

� �%�(&�'"(,�x2 + 2x + 12y − 47 = 0

(�) ��� : ����� � �%�(&�'"(,� x2 + y2 = 2x x2 + y2 − 2x = 0

���������������� = (1, 0)Parabola y2 − 6y + 2x + 13 = 0

� �%�(&�'"(,� (y − 3)2 = −2(x + 2)

Para �$���+�+��2�$3 (−2, 3)

∴ %4�4�������������������&(� ����+�#+�5�%��6�� = 9 + 9 = 3 2

9. � 3�� ���� ����� x2 + y2 + 4y − 5 = 0

����������� = A(0, −2)

Parabola x2 − 6y + 18 = 0

� �%�(&�'"(,� x2 = 6 (y − 3)

4c → c = +3

2

∴ 5*8��$3 9�%��:�2��∆ABC = 1

2(6)(3

2+ 5) = 19.5

2

F(3,5)x '

y '

(1,5)

F(-1,1)

y '

x '

3

(-1,4)

F

y '

x '(0,3) 5

B C32

|4c| = 6

A(0,-2)

10

��������� �� ������� ����������������

Page 11: brain_m04conic.pdf

10. � 3�� ���� ����� 3x2 + 3y2 − 6x − 24 = 0

�F� 3 :�%9�+�����%�4&�' x2 + y2 − 2x − 8 = 0

���������������� = (1, 0) r = 1 + 0 − (−8) = 3

4c → c = +2

Parabola �$� �GH494I)�#��y2 = 8 (x − h)

"�*3+������ �J �� 6���+�#+� Parabola �4"#$���%��&�'� ��$8���%�(����� �#+�5�%��6�� )*+ (6,0)

11. � 4�� ���� ���9KL:'���$3�����9'+���%:�����%���"�K�)*+�� P(x, y)

����� x2 + y2 − 12x + 11 = 0

�$����������� = (6, 0)r = 36 + 0 − 11 = 5

���%�( PQ = 5 + x

(x − 6)2 + y2 = 5 + x

���F�� ��+�� 8��+�NOP��4&�' =(x − 6)2 + y2 (5 + x)2

=x2 − 12x + 36 + y2 25 + 10x + x2

= 0y2 − 22 + 11

3 2

(1,0) F(6,0)x

xP(x,y)x

5

Q(6,0)x

y

11

��������� �� ������� ����������������

Page 12: brain_m04conic.pdf

12. � 2�� ����

���#'+����$3������F�:����L:'�F���"#$���%��&�'� ��$8

����%�� ����%#+� Parabola )*+ x2 = 4cy → x2∞y

�4&�'�2�

xPxQ

2=

yPyQ

I��)2� 25

50

2=

yP

20→ yP = 5 m

∴ �� P +��2������5*8� = 5 + yP = 5 + 5 = 10 m

13. � 4�� ����

��%$ 25x2 + 9y2 − 100x − 54y − 44 = 0

LQ'"�)�K)� �� �%�(�4&�'����%"(,� (x − 2)2

9+ (y− 3)2

25= 225

�4&�' a = 5 b = 3 c = 25 − 9 = 4

���%�( I��"+�#���I�� y��(���I����)*+ I�4 (5, 3) #'+ 1, 2, 4 JK�(−1, 3)

����� �)*+ (2, 7) I�4 (2, −1)

#'+ 3 S�� "5%�4 )���"�*8+���������� e = ca = 4

5= 0.8

25 m50 m

100 m

25 m

20 m

2550

25 m yP yP5 m

P P(25,y )P

Q(50,20)

y

x

y

(-1,3)

F(2,7)

(5,3)(2,3)

F(2,-1)'

4

4

5

5

3 3

'

x'

12

��������� �� ������� ����������������

Page 13: brain_m04conic.pdf

��� 14 ��� 1�����

��� 1 ��� : ���� ������������������������ x2

62+ y2

22= 1

x2

36+ y2

4= 1

��� 2 ��� : ���� ��������������c = 25 − 16 = 3

�������������� !" (−1, 6) (−1, 0)

��� 3 ��� : ���� ��������������� e = c

a

0.6 = c

5→ c = 3

� a2 = b2 + c2

25 = b2 + 9

b2 = 16

���������� x2

16+ y2

25= 1

��� 4 ��� : ���� ��������������

��� � �#� = PF + PF

= 4 + 16 + 64 + 16

$�%� = 6 5

(-6, 0) (6, 0)(0,0)

(0,2)

a = 6b = 2

y

x

a=5

b=4c=3

c=3(-1, 3) (3, 3)

F (-1,0)'

F(-1, 6)

x'

y'(-1,8)

(-1,-2)

(0,5)

x'

'y

(0, 0)

a=5

(1, 2)

y

x

P(4, 6)

F (-4, 2)' F(6, 2)

13

��������� �� ������� ����������������

Page 14: brain_m04conic.pdf

15 ��� 4�����

(�) ��� : ��9������� �:;�%��� !" ����������(3, −1) (7, −1)

�" "�"$�%�������� = 4 = 2c → c = 2

#��<��� ��� � �#� = =!;�����< = 10������� 2a = 10 → a = 5

� a2 = b2 + c2

25 = b2 + 4 → b2 = 21

���>�� �!������ �%?<�!��"$�%����� = (5, −1)

������� ��� (x − 5)2

25+ (y+ 1)2

21= 1

(�) ��� : @$� P #�A������<9����$�����#�B�C�#�����;��� �����< ∆ABP = 30

!" AB ����<9!�� = 10

�"���#��<�����% 9�������< PA + PB = 20

#����C;�����%��� A, B #�A����������������" "$%��"$�%����� = 2c = 10 → c = 5

��� � �#� = PA + PB = 2a = 20 → a = 10

� a2 = b2 + c2 → 100 = b2 + 25 → b2 = 75

���>�� �!��������� �%?<�!��"$�%����� = (−1, 1)

���������� (x + 1)2

100+ (y− 1)2

75= 1

16. ��� 2����� �������� 25x2 + 16y2 − 100x + 96y − 156 = 0

��������� (x − 2)2

16+ (y + 3)2

25= 1

�"��� a = 5 , b = 4 , c = 25 − 16 = 3

:�����< A1 = 1

2bc = 1

2(4)(3) = 6

:�����< �#�����$�� = 9�.�.4A1 = 4(6) = 24

�"#�� �%�!�$G������B�� = ;�40 × 24 = 960

P(x, y)

A(-6, 1) B(4, 1)10

F

F'

A1

y'

x'

14

��������� �� ������� ����������������

Page 15: brain_m04conic.pdf

17. ��� 4�����

��!� �����>�� �!�� �%��< (2, 1) x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0 r = 4 + 1 − (−20) = 5

������� ���>�� �!����� = (2, 1)���� AC = 64 + 36 = 10

��� ���?<� �#� (a) = �" "�!������� (10, 7) �� ����!� = AD = AC + r = 10 + 5 = 15

��� ���?<� ��� (b) = �" "@!�������� (10, 7) �� ����!�= AB = AC − r = 10 − 5 = 5

���������� ��������� (x − 2)2

25+ (y− 1)2

225= 1 9x2 + y2 − 36x − 2y − 188 = 0

18. ��� 1 4c → c = −1

����� Parabola ��������� x2 + 4y − 20 = 0 x2 = − 4 (y − 5)

�� Parabola #�A�������

��������<����!����;#��<���������� ��"#�� ����������� =a2 b2 + c2

25 = b2 + 16

= 9b2

���������� x2

9+ y2

25= 1

���������#�A� 25x2 + 9y2 = 225

r rD C(2,1) B A(10,7)

(0,5)

1

F(0,4)

y'

x'

(0,5)

x

y

(0, 0)

a=5(0,4)

c=4

15

��������� �� ������� ����������������

Page 16: brain_m04conic.pdf

19. ��� 4�����

��� Hyperbola 4x2 + 9y2 − 32x + 90y − 197 = 0

@R�#���B�!������������"���#�A� (x − 4)2

9− (y− 5)2

4= 1

a = 3, b = 2 c = 9 + 4 = 13

#�� ��� Hyperbola ���������

���� ���������� !" (4 − 13 , 5) (4 + 13 , 5)

��� � ���� �� = 4 $�%� ���#���S�;����� (x − 4)2

9− (y− 5)2

4= 0

���������#�A� ��� 3 C�y − 5 = ± 2

3(x − 4)

���� ��� ��� �%��< !" (7, 5) ��� 4 =B�(1, 5)

20. ��� 3�����

(�) ��� : ���� ��B#��"$�����% ���>�� �!�� �%��< (0,0) !" Hyper ��9��9� �� � xa = 2 c = 6

� =c2 a2 + b2

6 = 4 + b2 → b2 = 2

∴ ��� Hyperbola ��� x2

4− y2

2= 1

2

2

x'

y'

(4, 5)

(1, 5) (7, 5)

13

F (4- , 5)' 13 F (4+ , 5)13

13

33

��� 1, 2 C�

16

��������� �� ������� ����������������

Page 17: brain_m04conic.pdf

(�) ��� : ���� � ���>�� �!��"� �%?<�!��"$�%� !" (−4, −2) (6, −2)

����������>�� �!� ��� (1, −2)

!" b = 12 Hyper ��9��9� �� � xa = 5

� =c2 a2 + b2

=c2 25 + 144 = 169 → c = 13

∴ ���������� !" (−12, −2) (14, −2)

********************

17

��������� �� ������� ����������������